Úvod do variačního počtu
1 Funkcionál a jeho variace
Definice 1. Buď V vektorový prostor nad R. Zobrazení ||·|| : V → R se nazývá norma, jestliže
(N1) (∀x1, x2 ∈ V )(||x1 + x2|| ≤ ||x1|| + ||x2||)
(N2) (∀x ∈ V )(∀α ∈ R)(||αx|| = |α| ||x||)
(N3) (∀x ∈ V )(x = 0 ⇒ ||x|| = 0)
Poznámka 1. Norma má vlastnosti:
1. ||0|| = 0
2. (∀x ∈ V )(||x|| ≥ 0)
Důkaz:
1. 0 = 0x pro libovolné x ∈ V . Tedy podle (N2) je ||0|| = ||0x|| = |0| ||x|| = 0
2. S využitím (N1), (N2) a 1.:
||x|| =
1
2
(||x|| + ||x||) =
1
2
(||x|| + | − 1| ||x||) =
1
2
(||x|| + ||−x||) ≥
1
2
||x + (−x)|| =
1
2
||0|| = 0.
Poznámka 2. Buď V vektorový prostor nad R a ||·|| norma na něm. Zobrazení ρ : V 2 → R
definované předpisem ρ(x, y) = ||x − y|| je metrikou na V .
Důkaz: ρ(x, y) = ||x − y|| = 0 ⇔ x − y = 0 (podle definice 1, (N3) a poznámky 1) ⇔ x = y
ρ(x, y) = ||x − y|| = | − 1| ||y − x|| = ||y − x|| = ρ(y, x)
ρ(x, z) = ||x − z|| = ||x − y + y − z|| ≤ ||x − y|| + ||y − z|| = ρ(x, y) + ρ(x, z)
Definice 2. Buď V vektorový prostor nad R. Zobrazení v : V → R se nazývá funkcionál (na
vektorovém prostoru V ).
Obraz vektoru x při zobrazení v označíme v[x].
Funkcionál v na prostoru V se nazývá spojitý v x0 ∈ V , pokud ke každému ε > 0 existuje
δ > 0 takové, že pro všechny x ∈ V z nerovnosti ||x − x0|| plyne nerovnost |v[x] − v[x0]| < ε.
(Funkcionál je tedy chápaný jako zobrazení metrického prostoru V s metrikou zavedenou
v poznámce 2 do metrického prostoru R s přirozenou metrikou). Funkcionál na V se nazývá
lineární, jestliže pro všechna x, y ∈ V a α ∈ R platí
v[x + y] = v[x] + v[y], v[αx] = αv[x].
Poznámka 3. Lineární funkcionál v na vektorovém prostoru V je spojitý právě tehdy, když v
je spojitý v 0 (nulovém vektoru).
Důkaz: Nechť zobrazení v je spojité v 0 a buď ε > 0 libovolné číslo. K ε existuje δ > 0 takové,
že pro každý vektor z ∈ V takový, že ||z|| < δ platí |v[z]| < ε.
Buď nyní x ∈ V libovolný vektor. Pro každý vektor y ∈ V takový, že ||x − y|| < δ platí
|v[x] − v[y]| = |v[x − y]| < ε, což znamená, že v je zobrazení spojité v x ∈ V .
Opačná implikace je triviální.
Označení: O = Oε = Oε,V,||·|| = {x ∈ V : ||x|| < ε}
1
Definice 3. Nechť v je funkcionál na reálném vektorovém prostoru V s normou ||·||, a A ⊆ V
je vektorový podprostor.
A nazveme prostor přípustných vektorů, prvky z A nazveme variace (přírůstky) argumentu
funkcionálu v. Variace argumentu funkcionálu v se někdy značí δx.
Dále nechť x ∈ V a L(x) je lineární funkcionál na prostoru přípustných vektorů A. Jestliže
existuje funkcionál τ na A takový, že lim
h→0
τ[h] = 0 a navíc platí
∆v[x] = v[x + h] − v[x] = L(x)[h] + ||h|| τ[h]
pro všechny vektory h ∈ A ∩ O. Pak lineární funkcionál L(x) nazveme variace funkcionálu v
(v prostoru V s normou ||·|| na vektoru x vzhledem k množině A) a značíme L(x) = δv(x).
Definice 4. Buď v funkcionál na reálném vektorovém prostoru V s normou ||·|| , x ∈ V a buď
A prostor přípustných vektorů.
Řekneme, že funkcionál v nabývá na x ∈ V lokálního maxima (resp. minima) vzhledem k A,
jestliže existuje O tak, že pro každý vektor h ∈ O∩A je v[x] ≥ v[x+h] (resp. v[x] ≤ v[x+h]).
Řekneme, že funkcionál v nabývá na x ∈ V ostrého lokálního maxima (resp. minima) vzhledem
k A, jestliže existuje O tak, že pro každý vektor h ∈ (O ∩ A) \ {0} je v[x] > v[x + h] (resp.
v[x] < v[x + h]).
(Ostrá) lokální maxima a minima nazýváme souhrnně (ostré ) lokální extrémy funkcionálu v
vzhledem k A.
Věta 1. Buď v funkcionál na reálném vektorovém prostoru V s normou ||·|| a buď A prostor
přípustných vektorů. Pro pevně zvolené vektory x ∈ V a h ∈ A definujme reálnou funkci jedné
reálné proměnné ϕ( · ; x, h) předpisem ϕ(α; x, h) = v[x + αh]. Existuje-li variace funkcionálu
v na x vzhledem k A, pak δv(x)[h] =
d
dα
ϕ(0; x, h).
Důkaz: ∆v[x] = ϕ(α; x, h) − ϕ(0; x, h), ∆α = α − 0 = α
d
dα
ϕ(0; x, h) = lim
α→0
ϕ(α; x, h) − ϕ(0; x, h)
α
= lim
α→0
∆v[x]
α
=
= lim
α→0
δv(x)[αh] + ||αh|| τ[αh]
α
= lim
α→0
αδv(x)[h] + |α| ||h|| τ[αh]
α
=
= δv(x)[h] + ||h|| lim
α→0
sgn(α)τ[αh] = δv(x)[h]
Věta 2. Buď v funkcionál na reálném vektorovém prostoru V s normou ||·|| , x ∈ V a A
prostor přípustných vektorů. Jestliže funkcionál v nabývá na x ∈ V svého lokálního extrému
vzhledem k A a existuje-li variace δv(x), pak δv(x) = 0 (tj. funkcionál, který každému vektoru
z A přiřadí číslo 0).
Důkaz: Nechť v nabývá na x ∈ V svého lokálního maxima vzhledem k A a nechť existuje
δv(x).
Připusťme, že existuje takový vektor h ∈ A takový, že δv(x)[h] > 0.
Definujme funkci ϕ( · ; x, h) jako ve Větě 1. Pak je
d
dα
ϕ(0; x, h) > 0. To podle známých vět
z diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné znamená, že funkce ϕ(·, x, h) (tj. funkce ϕ
chápaná jako funkce pouze první proměnné, přičemž druhou a třetí proměnnou považujeme
za parametry) je rostoucí v okolí nuly. Existuje tedy ˜α > 0 takové číslo, že pro všechna
2
α ∈ (0, ˜α) je ϕ(α; x, h) > ϕ(0; x, h). Buď ε > 0 libovolné a α ∈ 0, min ˜α,
ε
||h||
. Pak
αh ∈ A (neboť A je vektorový podprostor) a αh ∈ Oε (neboť ||αh|| = α ||h|| <
ε
||h||
||h|| = ε).
Pro αh ∈ A tedy platí, že
v[x + αh] = ϕ(α; x, h) > ϕ(0; x, h) = v[x] ,
což znamená, že funkcionál v nenabývá v x svého lokálního maxima.
Analogicky ukážeme, že nemůže existovat vektor h ∈ A takový, aby δv(x)[h] < 0. Celkem
tedy pro každý vektor h ∈ A je δv(x)[h] = 0.
Pro minimum se důkaz provede analogicky.
Definice 5. Buď v funkcionál na reálném vektorovém prostoru V s normou ||·|| a A buď
prostor přípustných vektorů. Vektor x ∈ V se nazývá extrémální vektor (stručně extrémála)
funkcionálu v (vzhledem k prostoru přípustných vektorů A), jestliže δv(x) = 0, tj. δv(x)[h] = 0
pro každý vektor h ∈ A.
2 Úlohy s pevnými konci
2.1 Úlohy typu
b
a
F s, x(s), x′
(s) ds → extr, x(a) = x1, x(b) = x2
Je-li F dvakrát diferencovatelná funkce tří proměnných, V prostor funkcí definovaných a
spojitě diferencovatelných na intervalu [a, b] a na V je zavedena některá z norem
||x||0 = max{|x(t)| : t ∈ [a, b]}
||x||1 = max{max{|x(t)| : t ∈ [a, b]}, max{|x′
(t)| : t ∈ [a, b]}}.
Poznámka 4. Definujme funkcionál v : V → R předpisem
v[x] =
b
a
F s, x(s), x′
(s) ds.
Tento funkcionál je spojitý na prostoru V s normou || · ||1.
Důkaz: Buď x ∈ V libovolná funkce a ε > 0 libovolné číslo. Položme
p1 = min{x(t) : t ∈ [a, b]}, p2 = max{x(t) : t ∈ [a, b]},
q1 = min{x′
(t) : t ∈ [a, b]}, q2 = max{x′
(t) : t ∈ [a, b]},
M = max max{|Fx(t, ξ, η)| : t ∈ [a, b], ξ ∈ [p1 − ε, p2 + ε], η ∈ [q1 − ε, q2 + ε]},
max{|Fx′ (t, ξ, η)| : t ∈ [a, b], ξ ∈ [p1 − ε, p2 + ε], η ∈ [q1 − ε, q2 + ε]} ,
δ = min ε,
ε
2M(b − a)
.
3
Buď g ∈ Oδ,V,|| · ||1
. S využitím věty o střední hodnotě a vět známých z integrálního počtu
dostaneme
|v[x + g] − v[x]| =
b
a
F s, x(s) + g(s), x′
(s) + g′
(s) ds −
b
a
F s, x(s), x′
(s) ds ≤
≤
b
a
Fx s, x(s) + ϑ1(s)g(s), x′
(s) + g′
(s) g(s) + Fx′ (s, x(s), x′
(s) + ϑ2(s)g′
(s) g′
(s)ds ,
přičemž 0 ≤ ϑ1(s) ≤ 1, 0 ≤ ϑ2(s) ≤ 1 pro všechna s ∈ [a, b]. Tedy
|v[x + g] − v[x]| ≤
b
a
M max{|g(t)| : t ∈ [a, b]}ds +
b
a
M max{|g′
(t)| : t ∈ [a, b]}ds ≤
≤ ||g||1 2M(b − a) < 2M(b − a)δ ≤ ε.
Funkcionál v může být spojitý i na prostoru V s normou || · ||0.
Položme A = {h ∈ V : h(a) = h(b) = 0}.
Hledáme lokální extrémy funkcionálu v vzhledem k A. Navíc požadujeme, aby pro funkci
x ∈ V , v níž se extrém realizuje, platilo x(a) = x1, x(b) = x2, kde x1, x2 ∈ R jsou předem
dané konstanty. V případě normy ||·||1 mluvíme o slabých extrémech, v případě normy ||·||0
mluvíme o silných extrémech. (Nabývá-li funkcionál v na x silného extrému vzhledem k A,
nabývá na této funkci i slabého extrému.)
Využijeme věty 1 a 2:
ϕ(α; x, h) =
b
a
F(s, x(s) + αh(s), x′
(s) + αh′
(s))ds ,
δv(x)[h] =
d
dα
ϕ(0; x, h) =
b
a
Fx(s, x(s), x′
(s))h(s) + Fx′ (s, x(s), x′
(s))h′
(s) ds .
Integrací per partes dostaneme
b
a
Fx′ (s, x(s), x′
(s))h′
(s)ds = Fx′ (s, x(s), x′
(s))h(s)
b
a
−
b
a
d
ds
Fx′ (s, x(s), x′
(s)) h(s)ds
a poněvadž h(a) = h(b) = 0, platí
δv(x)[h] =
b
a
Fx(s, x(s), x′
(s)) −
d
ds
Fx′ (s, x(s), x′
(s)) h(s)ds = 0 .
Tato rovnost má platit pro libovolnou funkci h z prostoru přípustných funkcí A, takže pro
t ∈ [a, b] musí být splněna Eulerova rovnice
Fx −
d
dt
Fx′ = 0 ,
4
v rozepsaném tvaru
Fx − Fx′t − Fx′xx′
− Fx′x′ x′′
= 0 .
Řešení (integrální křivky) Eulerovy rovnice splňující podmínky
x(a) = x1, x(b) = x2
jsou extrémály funkcionálu v. Jsou to funkce podezřelé z toho, že na nich nabývá funkcionál
v lokálního extrému.
2.1.1 Řešení Eulerovy rovnice v některých speciálních případech
1. F nezávisí na x′:
Fx(t, x) = 0
Rovnice není diferenciální, její řešení nezávisí na volitelných konstantách. Úloha: najít
extrém funkcionálu v[x] =
b
a
F(s, x(s))ds s podmínkami x(a) = x1, x(b) = x2 obecně
nemá řešení.
2. F závisí pouze na x′:
Fx′x′ x′′
= 0
Odtud Fx′x′ = 0 nebo x′′ = 0.
Je-li x′′ = 0, pak x(t) = C1t + C2, kde C1, C2 jsou konstanty.
Je-li Fx′x′ = 0 a λ je kořenem této (nediferenciální) rovnice s neznámou x′, pak
x(t) = λt + C,
kde C je konstanta.
Extrémálou je tedy úsečka.
3. F nezávisí na t:
Fx − Fx′xx′
− Fx′x′ x′′
= 0
Poněvadž
d
dt
F − x′
Fx′ =
= Fxx′
+ Fx′ x′′
− x′′
Fx′ − x′
Fx′xx′
+ Fx′x′ x′′
= x′
Fx − Fx′xx′
− Fx′x′ x′′
,
Eulerova rovnice přejde na tvar
d
dt
F − x′
Fx′ = 0 ,
neboli
F − x′
Fx′ = C ,
kde C je konstanta.
5
2.2 Úlohy typu
b
a
F s, x(s), x′
(s) ds → extr, x(a) = x1, x(b) = x2
Je-li F dvakrát diferencovatelná funkce 2n + 1 proměnných, V prostor (vektorových) funkcí
R → Rn definovaných a spojitě diferencovatelných na intervalu [a, b] a na V je zavedena
některá z norem
||x||0 = (x1, x2, . . . , xn)T
0
=
n
i=1
max{|xi(t)| : t ∈ [a, b]}
||x||1 = (x1, x2, . . . , xn)T
1
=
n
i=1
max{max{|xi(t)| : t ∈ [a, b]}, max{|x′
i(t)| : t ∈ [a, b]}},
pak
v[x] =
b
a
F s, x1(s), x2(s), . . . , xn(s), x′
1(s), x′
2(s), . . . , x′
n(s) ds
je spojitý funkcionál na V s normou || · ||1.
Položme A = {h ∈ V : h(a) = h(b) = 0}.
Hledáme lokální extrémy funkcionálu v vzhledem k A.
Položme hi
= (h1, h2, . . . , hn)T ∈ A, kde
h1 ≡ 0, h2 ≡ 0, . . . , hi−1 ≡ 0, hi+1 ≡ 0, . . . , hn ≡ 0
a složka hi je libovolná (i = 1, 2, . . . , n).
Analogicky jako v 2.1 odvodíme
0 = δv(x)[hi
] =
b
a
Fxi s, x1(s), . . . , xn(s), x′
1(s), . . . , x′
n(s) hi(s)ds−
−
b
a
d
ds
Fx′
i
s, x1(s), . . . , xn(s), x′
1(s), . . . , x′
n(s) hi(s)ds
i = 1, 2, . . . , n,
z čehož dostaneme soustavu Eulerových diferenciálních rovnic druhého řádu
Fxi −
d
dt
Fx′
i
= 0, i = 1, 2, . . . , n
Jejím řešením splňujícím podmínky
xi(a) = (x1)i, xi(b) = (x2)i, i = 1, 2, . . . , n
jsou extrémály funkcionálu v — (vektorové) funkce podezřelé z toho, že na nich nabývá
funkcionál v lokálního extrému.
6
2.3 Úlohy typu
b
a
F s, x(s), x′
(s), x′′
(s), . . . , x(n)
(s) ds → extr, x(a) = α0,
x′
(a) = α1, . . . , x(n−1)
(a) = αn−1, x(b) = β0, x′
(b) = β1, . . . , x(n−1)
(b) = βn−1
Je-li F (n+1)-krát diferencovatelná funkce n+2 proměnných, V prostor funkcí definovaných
a (n+1)-krát spojitě diferencovatelných na intervalu [a, b] a na V je zavedena některá z norem
||x||k =
= max max{|x(t)| : t ∈ [a, b]}, max{|x′
(t)| : t ∈ [a, b]}, . . . , max{|x(k)
(t)| : t ∈ [a, b]} ,
k = 0, 1, 2. . . . , n ,
pak
v[x] =
b
a
F s, x(s), x′
(s), x′′
(s), . . . , x(n)
(s) ds
je spojitý funkcionál na V s normou || · ||n.
Položme A = {h ∈ V : h(a) = h′(a) = · · · = h(n−1)(a) = 0 = h(b) = h′(b) = · · · =
h(n−1)(b)}.
Opět využijeme věty 1 a 2:
ϕ(α; x, h) =
b
a
F s, x(s) + αh(s), x′
(s) + αh′
(s), x′′
(s) + αh′′
(s), . . . , x(n)
(s) + αh(n)
(s) ds ,
δv(x)[h] =
d
dα
ϕ(0; x, h) =
b
a
Fxh + Fx′ h′
+ Fx′ h′′
+ · · · + Fx(n) h(n)
ds =
=
b
a
Fxhds +
b
a
Fx′ h′
ds +
b
a
Fx′′ h′′
ds + · · · +
b
a
Fx(n) h(n)
ds
Druhý až (n + 1)-ní integrál upravíme pomocí integrace per partes
b
a
Fx′ h′
ds = [Fx′ h]b
a −
b
a
d
ds
Fx′ hds = −
b
a
d
ds
Fx′ hds
b
a
Fx′′ h′′
ds = Fx′′ h′ b
a
−
b
a
d
ds
Fx′′ h′
ds =
= −
d
ds
Fx′′ h
b
a
+
b
a
d2
ds2
Fx′′ hds =
b
a
d2
ds2
Fx′′ hds
...
b
a
Fx(n) h(n)
ds = (−1)n
b
a
dn
dsn
Fx(n) hds .
7
Má-li na funkci x ∈ V být extrém funkcionálu v, musí podle 2 být
δv(x)[h] =
b
a
Fx −
d
ds
Fx′ +
d2
ds2
Fx′′ − · · · + (−1)n dn
dsn
Fx(n) hds = 0 .
pro libovolnou funkci h ∈ A. Odtud dostaneme Eulerovu-Poissonovu diferenciální rovnici
Fx −
d
ds
Fx′ +
d2
ds2
Fx′′ − · · · + (−1)n dn
dsn
Fx(n) = 0 .
Její řešení (integrální křivky) splňující podmínky
x(a) = α0, x′
(a) = α1, . . . , x(n−1)
(a) = αn−1, x(b) = β0, x′
(b) = β1, . . . , x(n−1)
(b) = βn−1
jsou extrémály uvažované variační úlohy. Jsou to funkce podezřelé z toho, že na nich nabývá
funkcionál v svého lokálního extrému.
Analogicky jako v 2.2 lze ukázat, že nutnou podmínkou pro extrém funkcionálu
v[x] =
b
a
F s, x1(s), x′
1(s), x′′
1(s), . . . , x
(n1)
1 (s), . . . , xm(s), x′
m(s), x′′
m(s), . . . , x(nm)
m (s) ds
je soustava rovnic
Fxi −
d
ds
Fx′
i
+
d2
ds2
Fx′′
i
− · · · + (−1)ni
dni
dsni
Fx
(ni)
i
= 0 , i = 1, 2, . . . , m.
2.4 Úlohy typu
Ω
F x, y, u, ∂
∂x
u, ∂
∂y
u dxdy → extr,
u(x, y) = g(x, y) pro (x, y) ∈ ∂Ω
Nechť F : R5 → R je třikrát diferencovatelná funkce a Ω ⊆ R2 je elementární množina
(vzhledem k oběma osám), tj. existují čísla x0, x1, y0, y1 ∈ R a funkce η0, η1, ξ0, ξ1 : R → R
takové, že
Ω = (x, y) ∈ R2
: x0 ≤ x ≤ x1, η0(x) ≤ y ≤ η1(x) =
= (x, y) ∈ R2
: y0 ≤ y ≤ y1, ξ0(y) ≤ ξ1(y)
a pro hranici množiny Ω platí
∂Ω = x, η0(x) ∈ R2
: x0 ≤ x ≤ x1 ∪ x, η1(x) ∈ R2
: x0 ≤ x ≤ x1 =
= ξ0(y), y ∈ R2
: y0 ≤ y ≤ y1 ∪ ξ1(y), y ∈ R2
: y0 ≤ y ≤ y1 .
Nechť dále V je vektorový prostor funkcí ¯Ω → R dvakrát spojitě diferencovatelných na int Ω
a spojitých na ¯Ω s normou
||u|| = max max |u(x, y)| : (x, y) ∈ ¯Ω , sup
∂u
∂x
(x, y) : (x, y) ∈ int Ω ,
sup
∂u
∂y
(x, y) : (x, y) ∈ int Ω .
8
pak
v[u] =
Ω
F x, y, u(x, y),
∂u
∂x
(x, y),
∂u
∂y
(x, y) dxdy
je spojitý funkcionál na prostoru V .
Položme A = {h ∈ V : h(x, y) = 0 pro (x, y) ∈ δΩ}.
Opět využijeme věty 1 a 2. Pro zjednodušení zápisu budeme používat označení ∂
∂x u = ux,
∂
∂y u = uy.
ϕ(α; u, h) =
Ω
F x, y, u(x, y) + αh(x, y), ux(x, y) + αhx(x, y), uy(x, y) + αhy(x, y) dxdy,
δv(u)[h] =
d
dα
ϕ(0; u, h) =
=
Ω
Fu(x, y, u, ux, uy)h + Fux (x, y, u, ux, uy)hx + Fuy (x, y, u, ux, uy)hy dxdy.
S využitím Fubiniovy věty a integrace per partes dostaneme
Ω
Fux
∂h
∂x
dxdy =
y1
y0



ξ1(y)
ξ0(y)
Fux
∂h
∂x
dx


 dy =
=
y1
y0


 Fux x, y, u(x, y), ux(x, y), uy(x, y) h(x, y)
ξ1(y)
x=ξ0(y)
−
ξ1(y)
ξ0(y)
d
dx
Fux hdx


 dy =
= −
Ω
d
dx
Fux hdxdy,
neboť h ξ0(y), y = 0 = h ξ1(y), y . Podobně dostaneme
Ω
Fuy
∂h
∂y
dxdy = −
Ω
d
dy
Fuy hdxdy.
Má-li tedy funkce u ∈ V být extrémálou funkcionálu v, musí podle vět 1 a 2 platit
δv(u)[h] =
Ω
Fu −
d
dx
Fux −
d
dy
Fuy hdxdy = 0.
Aby tato rovnost byla splněna pro libovolnou funkci h ∈ A, musí být funkce v závorce za
integrálem identicky nulová na množině Ω. To znamená, že funkce u je řešením parciální
diferenciální rovnice
Fu −
d
dx
Fux −
d
dy
Fuy = 0. (1)
Tato rovnice se nazývá Eulerova-Lagrangeova nebo Ostrogradského rovnice.
Poznamenejme, že rovnici (1) extrémály funkcionálu lze odvodit i bez předpokladu, že
množina Ω je elementární. V takovém případě bychom využili Greenovy vzorce.
9
3 Úlohy s volnými konci
3.1 Úlohy typu
b
a
F s, x(s), x′
(s) ds → extr, x(a) = x1
Je-li F dvakrát diferencovatelná funkce tří proměnných, V prostor funkcí definovaných a
spojitě diferencovatelných na intervalu [a, b] a na V je zavedena některá z norem
||x||0 = max{|x(t)| : t ∈ [a, b]}
||x||1 = max{max{|x(t)| : t ∈ [a, b]}, max{|x′
(t)| : t ∈ [a, b]}} ,
pak
v[x] =
b
a
F s, x(s), x′
(s) ds
je spojitý funkcionál na V s normou || · ||1.
Položme A = {h ∈ V : h(a) = 0}.
Hledáme lokální extrémy funkcionálu v vzhledem k A. Navíc požadujeme, aby pro funkci
x ∈ V , v níž se extrém realizuje, platilo x(a) = x1, kde x1 ∈ R je předem daná konstanta.
V případě normy ||·||1 mluvíme o slabých extrémech, v případě normy ||·||0 mluvíme o silných
extrémech.
Využijeme věty 1 a 2:
ϕ(α; x, h) =
b
a
F(s, x(s) + αh(s), x′
(s) + αh′
(s))ds ,
δv(x)[h] =
d
dα
ϕ(0; x, h) =
b
a
Fx(s, x(s), x′
(s))h(s) + Fx′ (s, x(s), x′
(s))h′
(s) ds .
Integrací per partes dostaneme
b
a
Fx′ (s, x(s), x′
(s))h′
(s)ds = Fx′ (s, x(s), x′
(s))h(s)
b
a
−
b
a
d
ds
Fx′ (s, x(s), x′
(s)) h(s)ds
a poněvadž h(a) = 0, platí
δv(x)[h] = Fx′ (b, x(b), x′
(b))h(b) +
b
a
Fx(s, x(s), x′
(s)) −
d
ds
Fx′ (s, x(s), x′
(s)) h(s)ds = 0.
Tato rovnost platí pro každou přípustnou funkci h ∈ A právě tehdy, když funkce x splňuje
na (a, b) Eulerovu rovnici
Fx =
d
dt
Fx′
a tzv. podmínku transverzality
Fx′ (b, x(b), x′
(b)) = 0 .
10
x(t) b x
y(t)
y1
y
s(t)
Obrázek 1: K úloze o brachystochroně
Úplně stejně můžeme ukázat, že extrémála funkcionálu v, která vyhovuje podmínce x(b) = x2,
musí splňovat Eulerovu rovnici a podmínku transverzality
Fx′ (a, x(a), x′
(a)) = 0 .
3.1.1 Úloha o brachystochroně
V roce 1696 zformuloval Johann Bernoulli problém najít tzv. čáru nejrychlejšího sestupu.
Představme si, že hmotný bod, který je na začátku v klidu a pohybuje se pouze působením
gravitace, má překonat vodorovnou vzdálenost b. Výchozí bod v takovém případě samozřejmě
musí být výše, než bod koncový. Má se najít „převýšení a tvar křivky, po níž se má bod
pohybovat, které zaručí, aby čas potřebný k překonání vzdálenosti byl nejmenší.
Zavedeme souřadný systém tak, že osa x je vodovorovná a směřuje zleva doprava, osa y je
svislá a orientovaná shora dolů. Výchozí bod je v počátku souřadnic, koncový bod má první
souřadnici rovnu b a druhou, vyjadřující „převýšení , zatím neurčenou, viz obr. 1.
Poloha pohybujícího se bodu závisí na čase. V okamžiku t se bude bod nacházet v bodě
(x, y) = x(t), y(t) , od začátku děje urazí dráhu s = s(t) a poklesne o výšku y = y(t) =
y x(t) . Dráha s(t), kterou za čas t urazí, je rovna délce brachystochrony od počátečního
bodu (0, 0) do bodu x(t), y(t) , tedy
s(t) =
x(t)
0
1 + y′(x)2
dx, (2)
kde ′ označuje derivaci podle proměnné x.
Rychlost v pohybujícího se bodu je derivací dráhy podle času,
v =
ds
dt
.
Označíme-li m hmotnost pohybujícího se bodu, bude nárůst jeho kinetická energie od začátku
pohybu ∆Wk = 1
2mv2 a ztráta energie potenciální ∆Wp = mgy. Ze zákona zachování energie
11
tedy dostaneme
1
2
m
ds
dt
2
= mgy,
kde g je tíhové zrychlení. Poněvadž dráha s bodu v čase narůstá, je její derivace podle času
kladná a tedy z poslední rovnosti dostaneme
ds
dt
= 2gy.
Za levou stranu dosadíme derivaci proměnné s dané rovností (2) podle času. Dostaneme tak
obyčejnou diferenciální rovnici
1 + y′(x)2 dx
dt
= 2gy
a po separaci proměnných
dt =
1 + y′(x)2
2gy(x)
dx.
Integrací této rovnosti dostaneme celkový čas pohybu uvažovaného bodu jako
t[y] =
1
√
2g
b
0
1 + y′(x)2
y(x)
dx. (3)
Tento čas závisí na tvaru křivky y = y(x).
Hledáme tedy minimum funkcionálu t daného rovností (3). Poněvadž funkce
F =
1 + y′2
2gy
nezávisí na nezávisle proměnné x, bude Eulerova rovnice podle 2.1.1 tvaru
F − y′
Fy′ = const.
Jest
Fy′ =
1
√
2gy
y′
1 + y′2
, (4)
takže
F − y′
Fy′ =
1
2gy 1 + y′2
= const,
a Eulerovu rovnici můžeme přepsat ve tvaru
y 1 + y′2
= C, (5)
kde C je kladná konstanta. Zavedeme substituci u = arccotg y′, tj. y′ = cotg u. Proměnnou u
budeme považovat za parametr. Z rovnosti (5) vyjádříme
y =
C
1 + (cotg u)2
=
C(sin u)2
(sin u)2 + (cos u)2
=
C
2
(1 − cos 2u). (6)
12
Pak platí
cotg u =
dy
dx
=
dy
du
du
dx
=
C
2
2 sin 2u
du
dx
= 2C sin u cos u
du
dx
.
Substituce tedy převádí rovnici (6) na obyčejnou diferenciální rovnici se separovanými pro-
měnnými
dx
du
= 2C(sin u)2
,
jejíž obecné řešení je
x = 2C (sin u)2
du = C (1 − cos 2u)du =
C
2
(2u − sin 2u) + D, (7)
kde D je integrační konstanta. Tato rovnost spolu s (6) představuje obecné řešení Eulerovy
rovnice v parametrickém tvaru.
Počáteční bod je v počátku souřadnic (0, 0), tj. y = 0 pro x = 0. Podle (6) je y = 0 pro
u = 0, takže pro u = 0 musí být x = 0, což vzhledem k (7) znamená
0 =
C
2
(0 − sin 0) + D = D. (8)
Podle rovnosti (4) je podmínka transverzality tvaru
y′(b)
2gy(b) (1 + y′(b)2)
= 0
a to znamená, že y′(b) = 0. Poněvadž
y′
=
dy
dx
=
dy
du
dy
du
=
2 sin 2u
2 − 2 cos 2u
,
je y′ = 0 pro u = π
2 . Tedy pro u = π
2 má být x = b, takže podle (7) a (8) platí
b =
C
2
(π − sin π) ,
neboli C = 2b/π. Parametrické vyjádření brachystochrony tedy je
x =
b
π
(2u − sin 2u),
y =
b
π
(1 − cos 2u),
u ∈ 0,
π
2
.
Jedná se o cykloidu s poloměrem kotálející se kružnice
b
π
. Koncový bod je tedy o
2b
π
níže, než
bod výchozí.
13
3.2 Bolzova úloha Φ x(a), x(b) +
b
a
F s, x(s), x′
(s) ds → extr
Je-li F dvakrát diferencovatelná funkce tří proměnných a Φ diferencovatelná funkce dvou
proměnných, V prostor funkcí definovaných a spojitě diferencovatelných na intervalu [a, b]
s některou z norem
||x||0 = max{|x(t)| : t ∈ [a, b]}
||x||1 = max{max{|x(t)| : t ∈ [a, b]}, max{|x′
(t)| : t ∈ [a, b]}} ,
pak
v[x] = Φ(x(a), x(b)) +
b
a
F(s, x(s), x′
(s))ds
je spojitý funkcionál na V s normou || · ||.
Položme A = V . Hledáme lokální extrémy funkcionálu v vzhledem k A. V případě normy
||·||1 mluvíme o slabých extrémech, v případě normy ||·||0 mluvíme o silných extrémech. Opět
využijeme věty 1 a 2:
ϕ(α; x, h) = Φ (x(a) + αh(a), x(b) + αh(b)) +
b
a
F(s, x(s) + αh(s), x′
(s) + αh′
(s))ds ,
δv(x)[h] =
d
dα
ϕ(0; x, h) = Φx(a) (x(a), x(b)) h(a) + Φx(b) (x(a), x(b)) h(b)+
+
b
a
Fx(s, x(s), x′
(s))h(s) + Fx′ (s, x(s), x′
(s))h′
(s) ds
a budeme integrovat per partes
b
a
Fx′ (s, x(s), x′
(s))h′
(s)ds = Fx′ (s, x(s), x′
(s))h(s)
b
a
−
b
a
d
ds
Fx′ (s, x(s), x′
(s)) h(s)ds
takže
0 = δv(x)[h] = Φx(a) x(a), x(b) − Fx′ a, x(a), x′
(a) h(a)+
+ Φx(b) x(a), x(b) + Fx′ b, x(b), x′
(b) h(b)+
+
b
a
Fx s, x(s), x′
(s)) −
d
ds
Fx′ (s, x(s), x′
(s) h(s)ds.
Tato rovnost platí pro každou přípustnou funkci h ∈ A právě tehdy, když funkce x splňuje
na (a, b) Eulerovu rovnici
Fx =
d
dt
Fx′
a podmínky transverzality
Fx′ a, x(a), x′
(a) = Φx(a) x(a), x(b) , Fx′ b, x(b), x′
(b) = −Φx(b) x(a), x(b) .
Poznamenejme, že volbou Φ ≡ 0 dostaneme úlohu předchozího typu bez omezení x(a) = x1.
14
3.3 Úlohy typu
τ
a
F s, x(s), x′
(s) ds → extr, x(a) = x1
Nechť F je dvakrát diferencovatelná funkce tří proměnných, C1([a, ∞)) množina funkcí definovaných,
ohraničených a spojitě diferencovatelných na intervalu [a, ∞), V = C1([a, ∞))×R.
Na V lze zavést normu
||(x, τ)||0 = max |τ|, max{sup{|x(t)| : t ∈ [a, ∞)}, sup{|x′
(t)| : t ∈ [a, ∞)}} .
Pak
v[(x, τ)] =
τ
a
F s, x(s), x′
(s) ds
je spojitý funkcionál na V .
Položme A = {(h, ν) ∈ V : h(a) = 0}.
Hledáme lokální extrémy funkcionálu v vzhledem k A za podmínky x(a) = x1. Opět
využijeme věty 1 a 2:
ϕ(α; (x, τ), (h, ν)) =
τ+αν
a
F s, x(s) + αh(s), x′
(s) + αh′
(s) ds ,
d
dα
ϕ α, (x, τ), (h, ν) =
= νF τ + αν, x(τ + αν) + αh(τ + αν), x′
(τ + αν) + αh′
(τ + αν) +
+
τ+αν
a
Fx s, x(s) + αh(s), x′
(s) + αh′
(s) h(s)ds+
+
τ+αν
a
Fx′ s, x(s) + αh(s), x′
(s)αh′
(s) h′
(s)ds,
δv(x, τ)[(h, ν)] =
d
dα
ϕ 0, (x, τ), (h, ν) =
= νF τ, x(τ), x′
(τ) +
τ
a
Fx s, x(s), x′
(s) h(s) + Fx′ s, x(s), x′
(s) h′
(s) ds .
Integrací per partes a s využitím podmínky h(a) = 0 dostaneme
τ
a
Fx′ (s, x(s), x′
(s))h′
(s)ds =
= Fx′ (s, x(s), x′
(s))h(s)
τ
a
−
τ
a
d
ds
Fx′ s, x(s), x′
(s) h(s)ds =
= Fx′ (τ, x(τ), x′
(τ))h(τ) −
τ
a
d
ds
Fx′ s, x(s), x′
(s) h(s)ds,
15
takže platí
0 = δv(x, τ)[(h, ν)] =
= νF τ, x(τ), x′
(τ) + Fx′ τ, x(τ), x′
(τ) h(τ)+
+
τ
a
Fx s, x(s), x′
(s) −
d
ds
Fx′ s, x(s), x′
(s) h(s)ds.
Tato rovnost je splněna pro každou dvojici (h, ν) ∈ A právě tehdy, když funkce x splňuje
Eulerovu rovnici
Fx =
d
dt
Fx′
a podmínky transverzality
F τ, x(τ), x′
(τ) = 0 , Fx′ τ, x(τ), x′
(τ) = 0 .
4 Vázané (podmíněné) extrémy
4.1 Úlohy typu
b
a
F s, x(s), x′
(s) ds → extr, x(a) = x1, x(b) = x2,
(∀s ∈ [a, b])fj s, x(s) = 0, j = 1, 2, . . ., m
Nechť F : R1+2n → R je dvakrát diferencovatelná funkce a Vn je prostor spojitě diferencovatelných
vektorových funkcí x : [a, b] → Rn s normou
||x||1 =
n
i=1
max max{|xi(s)| : s ∈ [a, b]}, max{|x′
i(s)| : s ∈ [a, b]} .
Pak v : Vn → R definovaný vztahem
v[x] =
b
a
F s, x(s), x′
(s) ds =
b
a
F s, x1(s), . . . , xn(s), x′
1(s), . . . , x′
n(s) ds
je spojitý funkcionál na vektorovém prostoru Vn s normou || · ||1.
Nechť dále fj : R1+n → R, j = 1, 2, . . . , m jsou diferencovatelné nezávislé funkce. Položme
X = x ∈ Vn : (∀s ∈ [a, b])(∀j ∈ {1, 2, . . . , m})fj s, x(s) = 0 ,
A = {h ∈ Vn : h(a) = 0 = h(b)} ,
AX = {h ∈ A : (∀x ∈ X)x + h ∈ X} ;
poznamenejme, že množina AX ⊆ Vn obecně není vektorový podprostor. Řekneme, že funkcionál
v nabývá na x∗ ∈ Vn lokálního maxima (resp. minima) vzhledem k A na množině X,
jestliže x∗ ∈ X a existuje O takové, že pro každou funkci h ∈ O ∩ AX platí v[x∗ + h] ≤ v[x∗]
(resp. v[x∗+h] ≥ v[x∗]). Stručně mluvíme o extrémech za podmínek fj(x) = 0, j = 1, 2, . . . , m
nebo o vázaných extrémech.
16
Uvažujme nyní prostor Vm s normou || · ||1. Buď L : R1+2n+m → R funkce definovaná
vztahem
L(s, x, x′
, y) = F(s, x, x′
) +
m
j=1
yjfj s, x(s)
(složky vektoru y se nazývají Lagrangeovy multiplikátory). Pak funkcionál v∗ : Vn × Vm → R
definovaný vztahem
v∗
[(x, y)] =
b
a
L(s, x, x′
, y)ds =
b
a

F s, x(s), x′
(s) +
m
j=1
yj(s)fj s, x(s)

 ds
je spojitý. Položíme
A∗
= {h ∈ Vn × Vm : h1(a) = h2(a) = · · · = hn(a) = 0 = h1(b) = h2(b) = · · · = hn(b)} .
Prostor A lze považovat za podprostor prostoru A∗, neboť zobrazení
(h1, h2, . . . , hn) → (h1, h2, . . . , hn, 0, 0, . . . , 0)
je prosté.
Extrémály funkcionálu v∗ podle 2.2 splňují Eulerovy rovnice
Lxi −
d
ds
Lx′
i
= 0, i = 1, 2, . . . , n, Lyj −
d
ds
Ly′
j
= 0, j = 1, 2, . . . , m.
Avšak Ly′
j
= 0, neboť hodnota funkce L nezávisí na derivaci funkce yj, a
Lyj =
∂
∂yj
F(s, x, x′
) +
m
k=1
ykfk(s, x) = fj(x).
Extrémály funkcionálu v∗ tedy splňují n + m rovnic
Lxi −
d
ds
Lx′
i
= 0, i = 1, 2, . . . , n, fj = 0, j = 1, 2, . . . , m.
Odtud plyne, že pro extrémálu (x∗, y∗) funkcionálu v∗ platí
v∗
[(x∗
, y∗
)] =
b
a

F s, x∗
(s), x∗′
(s) +
m
j=1
y∗
j (s)f s, x∗
(s)

 ds =
=
b
a
F s, x∗
(s), x∗′
(s) = v[x∗
].
Poněvadž AX ⊆ A ⊆ A∗, platí: Pokud na (x∗, y∗) je lokální extrém funkcionálu v∗ vzhledem
k A∗, pak na x∗ je lokální extrém funkcionálu v vzhledem k A na množině X.
17
4.1.1 Úloha o geodetických čarách
Mezi všemi křivkami, které spojují dva body na ploše o rovnici f(x, y, z) = 0 se má vybrat
ta, která má nejmenší délku.
Délka křivky y(x), z(x) : x ∈ [x0, x1] je rovna integrálu
ℓ[(y, z)] =
x1
x0
1 + y′(x)2 + z′(x)2 dx,
′ označuje derivaci podle proměnné x. Hledáme tedy minimum funkcionálu ℓ za podmínky
f(x, y, z) = 0.
Máme
L(x, y, z, y′
, z′
, λ) = 1 + y′2
+ z′2
+ λ(x)f(x, y, z),
Ly = λfy, Ly′ =
y′
1 + y′2
+ z′2
, Lz = λfz, Lz′ =
z′
1 + y′2
+ z′2
.
Geodetické čáry tedy splňují rovnice
λfy =
d
dx
y′
1 + y′2
+ z′2
, λfz =
d
dx
z′
1 + y′2
+ z′2
, f(x, y, z) = 0.
Eliminací Lagrangeova multiplikátoru λ z prvních dvou rovnic dostaneme
fz
d
dx
y′
1 + y′2
+ z′2
= fy
d
dx
z′
1 + y′2
+ z′2
.
Poněvadž
d
dx
y′
1 + y′2
+ z′2
=
y′′ 1 + y′2
+ z′2
− y′ 2y′y′′ + 2z′z′′
2 1 + y′2
+ z′2
1 + y′2
+ z′2 =
=
y′′ 1 + y′2
+ z′2
− y′2
y′′ − y′z′z′′
1 + y′2
+ z′2 3/2
=
y′′ + z′ (z′y′′ − z′′y′)
1 + y′2
+ z′2 3/2
a
d
dx
z′
1 + y′2
+ z′2
=
z′′ + y′ (y′z′′ − y′′z′)
1 + y′2
+ z′2 3/2
,
můžeme poslední rovnici přepsat na tvar
fz
y′′ + z′ (z′y′′ − z′′y′)
1 + y′2
+ z′2 3/2
= fy
z′′ + y′ (y′z′′ − y′′z′)
1 + y′2
+ z′2 3/2
.
Po úpravě dostaneme, že geodetická čára splňuje rovnice
fzy′′
− fyz′′
= fyy′
+ fzz′
y′
z′′
− y′′
z′
, f(x, y, z) = 0.
18