Domácí úkoly ke cvičení č. 1
1.    Nechť V je afinní podprostor v prostoru M5 zadaný implicitně jako množina všech řešení soustavy lineárních rovnic
x\ + X2 — X2, + 2aľ4 + 3aľ5 = 12, x\ + 3aľ2 — 2aľ3 + 62:4 + 2rr5 = 20, 2x\ + 2aľ2 — ^3 + 2aľ4 + £5 = 16.
Nechť Q je afinní podprostor v prostoru M5 zadaný implicitne jako množina všech řešení soustavy lineárních rovnic
X\ + 2X2 — X2, + X4 — 2xs = 3, 2a?i — X'i + 2aľ3 — £4 + rr5 = 9, 2a?i + X'i — X2, — 2x^ + X5 = 5.
Určete dimenze afinních podprostorů ? a Q v f5 a zjistěte, zda jejich průnik V n Q je či není prázdný. Nechť V U Q značí nejmenší afinní podprostor v prostoru M5 obsahující sjednocení uvedených afinních podprostorů VUQ. Najděte implicitní popis tohoto afinního podprostorů V U Q pomocí lineárních rovnic nad K. Určete dimenzi tohoto afinního podprostorů V U Q.
2.    Nechť V je afinní podprostor v prostoru M5 zadaný tím, že obsahuje bod S = [4, —4,3,1, —1] a že jeho zaměření Z (V) je generováno vektory
ui = (1,-1,1,0,-1),
u2 = (1,-5,-1,4,1), u3 = (2,-3,0,3,-2).
1
Nechť Q je afinní podprostor v prostoru M5 zadaný tím, že obsahuje bod T = [5, —2, 4,1, —2] a že jeho zaměření Z(Q) je generováno vektory
V! = (1,3,3,-3,-1), v2 = (1,-5,-1,5,3), v3 = (3,-1,1,3,-3).
Zjistěte, zda průnik těchto afinních podprostoru V n Q je neprázdný, a je-li tomu tak, pak najděte parametrický popis afinního podprostoru VC\Q. Najděte tedy alespoň jeden bod ležící v průniku VnQ, zjistěte, zda zaměření Z(Vr\Q) tohoto afinního podprostoru je nenulové, a je-li nenulové, najděte nějakou jeho bázi. Pomocí těchto údajů pak užitím parametrů vyjádřete všechny body afinního podprostoru ?ílQa určete jeho dimenzi.
2