Domácí úkoly ke cvičení č. 2
1. V každém z následujících případů určete vzájemnou polohu afinních podprostoru V a Q v prostoru M5. Každý z podprostoru V a Q je pokaždé zadán buďto parametrickým popisem, anebo implicitně pomocí soustavy lineárních rovnic nad IL V každém z uvedených případů dále určete dimenzi spojení V U Q podprostoru "P a Q, a nejsou-li tyto podprostory navzájem disjunktní, určete též dimenzi jejich průniku V H Q.
(a)    V: X = [0,-7,0,-4,9]
+s-(l,-l,l,l,3)+í-(l, -2, -1,-2,2),
Q: X = [0,1,0,0,9]
+w-(l, 1,-3, -3,1)+ Wl,2,-1, 0,2).
. ,   j- ,           ^,           ^,   j.  /      i      1/    ij.,^,            J-5^5
(b)     P: X= [0,-1,0,4,1]
+s-(l, 2,4, 0,-2)+í-(4, -1,-4, 0,7),
Q: X = [2,-3,1,4,0]
+w-(2,3,-1,0,4)+í;-(1,-5,2,0,-3).
(c)     V : X = [2, -6, 5, -8,1] + r-(2, -8, 3, -5,1), Q :   x\ + x2 + 2x3                     = 6,
#i — %2 — 4aľ3 — 4aľ4 + 2^5 = 2, 5xi + 3^2 + 2^3 + 2^4 — 2rr5 = 4.
(d)     V: X = [l,l,l,l,l]+r-(l,2,-1,3,1),
Q :    x\ + 4^2 + 2^3 — X4 — 4rr5 = 8,
X\ + 4^2 + 4^3 — X4 — 2xs  = 8, 3X\ + 2^2 + 2^3 — X4 — 2xs  = 6.
(e)     V :    xi — X'i — 2x2, — 3^4            = —5,
x\ + X'i + 3^3 + 6x4 — 3^5 =  7, £3 + %4 — %5 =   0,
1
Q :    x\ — 3aľ2 — £3 + 2aľ4 + 2rr5 = 6,
Zx\ — Zx'i — X2, + 2aľ4            = 4,
4aľ2 + 2aľ3 — £4 — 2rr5 = 5.
2.   V prostoru M4 nechť jsou prostřednictvím parametrického popisu zadány přímky
p: X=[l, 2,1, 2]+s-(l, -1,-1,1), g: X=[2,l,2,l]+/>(1,1,-1,-1),
a dále nechť je implicitně pomocí soustavy lineárních rovnic zadána rovina
77 :   X\ — X'i — X2, + X4 = 2, X\ + £2 + ^3 — 2aľ4 = 1.
Najděte v prostoru M4 přímku r rovnoběžnou s přímkou p a protínající současně přímku q i rovinu 77. Najděte také průsečíky této přímky r s přímkou q i s rovinou 77.
2