Domácí úkoly ke cvičení č. 3
Ve vektorovém prostoru lU[:r] všech polynomů jedné proměnné x stupně nejvýše 4 nad tělesem IR je dána báze
a = (1, a? + 1, (rr + 1)2, (x + lf} (:r + l)4).
Najděte k ní duální bázi a* v duálním vektorovém prostoru !U[:r]* pozůstávajícím ze všech lineárních forem na lU[:r]. Každou lineární formu duální báze a* přitom zadejte předpisem, podle něhož je možno stanovit hodnotu této lineární formy na libovolném polynomu axA + bxz + cx2 + dx + e zR4[x].
Ve vektorovém prostoru !U[:r]* duálním k vektorovému prostoru !U[:r] všech polynomů jedné proměnné x stupně nejvýše 4 nad tělesem K, který pozůstává ze všech lineárních forem na IU[:r], je dána báze
r = (go, 9u 92, 93, 9a),
kde lineární formy 90,91,92,93,94 '■ KU[^] —>■ IR jsou zadány následujícími předpisy. Pro každý polynom p G ^[x] jsou hodnoty lineárních forem go, #1, #2,93,94 n& p dány takto:
9o(p) =p(l), 9í(p) =p'(l), 92Íp) =/(l),
93{P)=P'"{1), 94(p)=pm(l).
Najděte polynomy qo,qi,q2,Q3,Q4 £ KU[^] takové, aby
ß   =   {Qu, Qí, (12, (13, (h)
byla báze vektorového prostoru IU[:r] s vlastností, že daná báze ľ vektorového prostoru IU[:r]* je bází k ní duální, tedy taková, aby platilo ľ = ß*.