Domácí úkoly ke cvičení č. 4
1.   Nechť symetrická bilineární forma / na vektorovém prostoru M4 má ve standardních souřadnicích prostoru M4 vyjádření tvaru
/(x, y) = 2xiy2 + 8xiy3 + 2x2yi - 2x2y3 - 8x2y4
+ 8aľ3ž/i - 2x?,y2 + 8aľ3y4 - 8x4y2 + 8x4y3 .
Metodou stejných elementárních řádkových a sloupcových úprav matice bilineární formy / upravte tuto bilineární formu na diagonální tvar, v němž budou vystupovat pouze koeficienty 1,-1, případně 0, a to v tomto uvedeném pořadí. Najděte bázi ß prostoru M4 takovou, aby v souřadnicích vzhledem k bázi ß měla daná bilineární forma / nalezený diagonální tvar.
2.   Nechť kvadratické formy F, G, H na vektorovém prostoru M4 mají ve standardních souřadnicích prostoru M4 vyjádření tvarů
F(x) = x\x2 + 2x1X4 + 2x2x% + 4x3X4,
G(x) = X\  + X2  + XI  + X\  + X\X2 — X1X4  + X2X%  + ^3^4,
-řř(x) = 2a?ia?2 + 2x\Xz + 2a3iX4 — x\ — 2x\ — ?>x\ — Qx\.
Metodou doplňování na čtverce upravte každou z těchto kvadratických forem na diagonální tvar, v němž budou vystupovat pouze koeficienty 1,-1, případně 0, a to v tomto uvedeném pořadí. Pro každou z kvadratických forem F, G, H najděte bázi prostoru M4 takovou, aby v souřadnicích vzhledem k této bázi měla dotyčná kvadratická forma nalezený diagonální tvar. O každé z kvadratických forem F, G, H rozhodněte, zda je tato forma pozitivně či negativně definitní, případně semidefinitní, anebo zda jde o kvadratickou formu, která je indefinitní.