Afinní podprostory vektorových prostorů Afinní podprostory vektorového prostoru nad daným tělesem jsou jeho neprázdné podmnožiny charakterizované podmínkou, že s každými svými dvěma různými prvky obsahují i celou přímku jimi proloženou. Formálně jsou afinní podprostory vektorových prostorů definovány následovně. Nechť (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Řekneme, že neprázdná podmnožina Q V je afinní podprostor ve vektorovém prostoru (V, +, ), splňuje-li podmínku (u, v Q)(s, t T)(s + t = 1 = su + tv Q). V následujícím textu uvedeme ještě jiný popis afinních podprostorů ve vektorovém prostoru charakterizující je, volně řečeno, jako podprostory daného vektorového prostoru posunuté obecně mimo počátek, tj. posunuté mimo jeho nulový vektor. K tomu budeme potřebovat následující pozorování, snadno odvoditelné z předchozí definice afinních podprostorů. Je-li Q afinní podprostor ve vektorovém prostoru (V, +, ) nad tělesem (T, +, ), pak pro kterékoliv dva vektory u, v Q platí {x - u | x Q} = {y - v | y Q} a tato množina vektorů je vektorovým podprostorem ve vektorovém prostoru (V, +, ). Vektorový podprostor W vektorového prostoru (V, +, ) zkonstruovaný k danému afinnímu popdprostoru Q ve (V, +, ) v předchozím odstavci se nazývá zaměření afinního podprostoru Q a užívá se pro něj označení Z(Q). Pro samotný afinní podprostor Q pak odtud plyne, že Q = {u + w | w W}, kde u je kterýkoliv pevně zvolený vektor z Q. Stručně tuto rovnost zapisujeme ve tvaru Q = u + W; tato rovnost platí pro pro kterýkoliv vektor u Q. 1 Na druhé straně platí následující tvrzení. Nechť (V, +, ) je vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť W V je libovolný vektorový podprostor vektorového prostoru (V, +, ) a nechť u V je libovolný vektor. Pak množina Q = {u+w | w W}, tj. množina Q = u + W je afinní podprostor ve vektorovém prostoru (V, +, ), jejímž zaměřením Z(Q) je vektorový podprostor W. Celkem tedy odtud plyne, že afinní podprostory ve vektorovém prostoru (V, +, ) nad tělesem (T, +, ) jsou právě množiny tvaru Q = u + W, kde u V je libovolný vektor a W je libovolný vektorový podprostor vektorového prostoru (V, +, ). Přitom pro kterýkoliv vektor v z u+W platí rovnost u+W = v+W. Zaměření Z(Q) takového afinního podprostoru Q = u + W je určeno jednoznačně; pak totiž platí, že Z(Q) = W. Dále budeme prvky afinních podprostorů vektorových prostorů značit velkými latinskými písmeny (zpravidla ze začátku abecedy) a budeme o nich mluvit jako o bodech daných vektorových prostorů. Takže afinní podprostory vektorových prostorů budeme zapisovat ve tvaru Q = C +W, kde C je nějaký bod daného vektorového prostoru a W = Z(Q) je zaměření dotyčného afinního podprostoru Q. Buď nyní (V, +, ) nenulový vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ). Buď dále Q = C + W libovolný afinní podprostor ve vektorovém prostoru (V, +, ), takže C V je libovolný bod a W V je libovolný vektorový podprostor. Nechť navíc W je nenulový vektorový podprostor ve (V, +, ). Buď = (w1, w2, . . . , wm) libovolná báze vektorového podprostoru W, takže 1 m n. Pak každý bod X Q lze psát ve tvaru X = C + t1w1 + t2w2 + + tmwm pro jednoznačně určená t1, t2, . . . , tm T. Popis bodů afinního podprostoru Q v právě uvedeném tvaru se nazývá parametrický popis afinního podprostoru Q. Obecněji obvykle stačí, je-li množina vektorů {w1, w2, . . . , wm} pouze množinou generátorů vektorového podprostoru W. V takovém případě ale nemusí být hodnoty parametrů t1, t2, . . . , tm T pro daný bod X Q ve výše uvedeném popisu určeny jednoznačně. 2 Buď opět (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Buď M V libovolná neprázdná podmnožina. Uvažme systém všech afinních podprostorů vektorového prostoru (V, +, ) obsahujících množinu M jako podmnožinu. Jedním z prvků tohoto systému je i prostor V sám. Označme M průnik tohoto neprázdného systému afinních podprostorů. Z definice afinních podprostorů plyne, že pak tento průnik M je opět afinní podprostor vektorového prostoru (V, +, ), a přitom M též obsahuje množinu M jako podmnožinu. Navíc M je nejmenší afinní podprostor vektorového prostoru (V, +, ) vzhledem k inkluzi obsahující množinu M. Tento afinní podprostor M se nazývá afinní obal podmnožiny M. Je-li v předchozím odstavci M V neprázdná konečná podmnožina, takže lze psát M = {A0, A1, A2, . . . , Ak}, kde k 0, pak afinní obal M podmnožiny M v případě k = 0 je roven M = {A0} a v případě k 1 jsou A1 - A0, A2 - A0, . . . , Ak - A0 vektory ze zaměření Z(M) afinního obalu M podmnožiny M a samotný afinní obal M podmnožiny M pak má parametrický popis ve tvaru X = A0 + t1(A1 - A0) + t2(A2 - A0) + + tm(Ak - A0). Nechť ještě jednou (V, +, ) je nenulový vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ). Nechť = (u1, u2, . . . , un) je některá báze tohoto vektorového prostoru. Připomeňme, že pak zobrazení V - Tn dané pro každý vektor u V předpisem u (u), tj. zobrazení přiřazující každému vektoru u V uspořádanou n-tici (u) jeho souřadnic (s1, s2, . . . , sn) v bázi (zapsanou jako sloupec), je izomorfismem vektorového prostoru (V, +, ) na aritmetický vektorový prostor (Tn , +, ). Z tohoto důvodu se kvůli jednoduchosti budeme dále věnovat pouze afinním podprostorům aritmetických vektorových prostorů, tj. vektorových prostorů tvaru (Tn , +, ), kde (T, +, ) je těleso a n je nějaké přirozené číslo. 3 Buď (T, +, ) těleso. Buď A = (aij) matice typu m/n nad tělesem (T, +, ), buď b posloupnost (b1, b2, . . . , bm) prvků tělesa (T, +, ) zapsaná jako sloupec a buď x posloupnost neznámých (x1, x2, . . . , xn) zapsaná jako sloupec. Pak A x = b je soustava m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem (T, +, ). Je-li tato soustava lineárních rovnic řešitelná, pak množina Q všech řešení této soustavy lineárních rovnic tvoří afinní podprostor ve vektorovém prostoru (Tn , +, ). Přitom zaměřením Z(Q) tohoto afinního podprostoru je vektorový podprostor vektorového prostoru (Tn , +, ) pozůstávající ze všech řešení zhomogenizované soustavy lineárních rovnic Ax = o. Parametrický popis afinního podprostoru Q získáme následovně. Je-li D Tn libovolný bod, který je řešením soustavy A x = b, a je-li = (w1, w2, . . . , wk) libovolná báze vektorového podprostoru W Tn všech řešení zhomogenizované soustavy lineárních rovnic A x = o, pak X = D + t1w1 + t2w2 + + tkwk je parametrický popis afinního podprostoru Q. Platí ale i obrácené tvrzení. Buď opět (T, +, ) těleso. Pak pro libovolný afinní podprostor Q ve vektorovém prostoru (Tn , +, ) existuje soustava lineárních rovnic A x = b o n neznámých nad tělesem (T, +, ) taková, že množinou všech řešení této soustavy rovnic je právě afinní podprostor Q. Uvedeme postup, jak najít tuto soustavu lineárních rovnic A x = b, jejíž množinou všech řešení je právě zadaný afinní podprostor Q. Nechť afinní podprostor Q ve vektorovém prostoru (Tn , +, ) je zadán ve tvaru Q = C + W, kde C Q je libovolný bod a W Tn je vektorový podprostor v (Tn , +, ), který je zaměřením afinního podprostoru Q. Pro jednoduchost předpokládejme, že W je nenulový podprostor a současně že W = Tn . Nechť = (f1, f2, . . . , fk) je libovolná báze vektorového podprostoru W. Takže pak máme 0 < k < n a přitom X = C + t1f1 + t2f2 + + tkfk 4 je parametrický popis takto zadaného afinního podprostoru Q. Vytvořme nyní nejprve matici B tak, že za její řádky vezmeme právě vektory f1, f2, . . . , fk. Uvažujme homogenní soustavu lineárních rovnic B x = o. Pak množinou všech řešení této homogenní soustavy je nějaký vektorový podprostor U v (Tn , +, ) dimenze n-k. Vezměme dále libovolnou bázi = (g1, g2, . . . , gn-k) podprostoru U. Sestavme nyní matici A tak, že za její řádky vezmeme tentokrát vektory g1, g2, . . . , gn-k. Takto vzniká homogenní soustava lineárních rovnic A x = o. Množinou všech řešení této poslední homogenní soustavy je nějaký vektorový podprostor vektorového prostoru (Tn , +, ) dimenze k. Na základě právě popsané konstrukce není těžké nahlédnout, že tímto vektorovým podprostorem, který je množinou všech řešení posledně uvedené homogenní soustavy, je právě výchozí vektorový podprostor W. Konečně určeme vektor b z Tm zapsaný jako sloupec následovně. Vezměme původně zvolený bod C z Q a zapišme ho jako sloupec. Označme symbolem c takto zapsaný bod C. Pak položme b = A c. Je jasné, že pak množinou všech řešení takto pořízené soustavy lineárních rovnic A x = b bude právě zadaný afinnní podprostor Q. Toto vyjádření afinnního podprostoru Q jakožto množiny všech řešení posledně uvedené soustavy lineárních rovnic se nazývá implicitní popis tohoto afinnního podprostoru Q. Buď (T, +, ) těleso a buď n přirozené číslo. Nechť P a Q jsou dva afinní podprostory ve vektorovém prostoru (Tn , +, ). Uvažme průnik P Q těchto afinních podprostorů. Pak jsou dvě možnosti: buďto P Q = , anebo P Q = . Pro nalezení průniku P Q je výhodné použití implicitního popisu afinních podprostorů P a Q. Jestliže P Q = , pak P Q je opět afinní podprostor v (Tn , +, ) 5 a pro zaměření uvedených afinních podprostorů v tom případě platí Z(P Q) = Z(P) Z(Q). V situaci z předchozího odstavce definujme dále spojení P Q uvedených afinních podprostorů P a Q jako nejmenší afinní podprostor ve vektorovém prostoru (Tn , +, ) obsahující sjednocení P Q těchto afinních podprostorů. Pro určení tohoto spojení P Q je výhodné použití parametrického popisu afinních podprostorů P a Q. Jsou-li totiž afinní podprostory P a Q zadány ve tvaru P = C + U a Q = D +W, kde C P a D Q jsou libovolné body a U = Z(P) a W = Z(Q), pak pro zaměření Z(P Q) spojení P Q uvedených afinních podprostorů platí Z(P Q) = D -C +U+W, takže pak lze například psát P Q = C + D - C + U + W. 6