Bilineární a kvadratické formy Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Zobrazení f : V × V T splňující podmínky (a, b T)( u, v, w V)(f(au + bv, w) = af(u, w) + bf(v, w)), (a, b T)( u, v, w V)(f(u, av + bw) = af(u, v) + bf(u, w)) se nazývá bilineární forma na vektorovém prostoru (V, +, ). Buď dále (V, +, ) nenulový vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ) a buď = (v1, v2, . . . , vn) báze vektorového prostoru (V, +, ). Buď f : V × V T bilineární forma na vektorovém prostoru (V, +, ). Pak matice A = f(vi, vj) i,j=1,...,n se nazývá matice bilineární formy f v bázi . V této situaci potom pro libovolné vektory u, w V mající v bázi souřadnice (u) = (x1, x2, . . . , xn) a (w) = (y1, y2, . . . , yn) což znamená, že u = n i=1 xivi a w = n j=1 yjvj platí vztah f(u, w) = n i=1 n j=1 xif(vi, vj)yj = x1 x2 . . . xn A y1 y2 ... yn . Buď dále = (r1, r2, . . . , rn) obecně jiná báze vektorového prostoru (V, +, ). Uvažme matici B = f(ri, rj) i,j=1,...,n bilineární formy f v bázi . Nechť výše uvažované vektory u, w V mají v bázi souřadnice (u) =(s1, s2, . . . , sn) a (w) =(t1, t2, . . . , tn) což tentokrát znamená, že u = n i=1 siri a w = n j=1 tjrj . Buď konečně P = (idV) matice přechodu od báze k bázi . Pak pro uvedené souřadnice vektorů u, w V v bázích a platí vztahy x1 x2 ... xn = P s1 s2 ... sn a y1 y2 ... yn = P t1 t2 ... tn . 1 Potom pro výše zmíněné libovolně zvolené vektory u, w V podle shora uvedeného vztahu máme f(u, w) = s1 s2 . . . sn B t1 t2 ... tn a dále pro ně na základě předchozích vztahů vychází f(u, w) = x1 x2 . . . xn A y1 y2 ... yn = s1 s2 . . . sn P A P t1 t2 ... tn . Z těchto dvou vztahů pak snadno vyplyne rovnost B = P A P. Buď znovu (V, +, ) nenulový vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ) a buď f : V × V T bilineární forma na vektorovém prostoru (V, +, ). Řekneme, že bilineární forma f je symetrická, splňuje-li podmínku ( u, w V)(f(u, w) = f(w, u)). Řekneme, že bilineární forma f je antisymetrická, splňuje-li pod- mínku ( u, w V)(f(u, w) = -f(w, u)). Je-li dále = (v1, v2, . . . , vn) libovolná báze vektorového prostoru (V, +, ) a je-li A = f(vi, vj) i,j=1,...,n matice dané bilineární formy f v bázi , pak platí, že bilineární forma f je symetrická, resp. antisymetrická právě tehdy, když její matice A v bázi je symetrická, resp. antisymetrická. 2 V situaci z předchozího odstavce uvažme k dané bilineární formě f : V × V T bilineární formy g, h : V × V T definované následujícími předpisy: ( u, w V)(g(u, w) = f(u, w) + f(w, u)), ( u, w V)(h(u, w) = f(u, w) - f(w, u)). Pak očividně g je symetrická bilineární forma a h je antisymetrická bilineární forma na vektorovém prostoru (V, +, ). Navíc, není-li těleso (T, +, ) charakteristiky 2, pak pro tyto bilineární formy platí vztah: ( u, w V) f(u, w) = 1 2 g(u, w) + 1 2 h(u, w) . Je tedy za uvedeného předpokladu o tělese (T, +, ) každá bilineární forma f : V × V T součtem symetrické bilineární formy a antisymetrické bilineární formy. Věnujme se dále problematice diagonalizace symetrických bilineárních forem. Buď opět (V, +, ) nenulový vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ). Předpokládejme, že těleso (T, +, ) není charakteristiky 2. Pak ke každé symetrické bilineární formě f : V×V T existuje báze vektorového prostoru (V, +, ) taková, že matice B bilineární formy f v bázi je diagonální. To znamená, že existují prvky b1, b2, . . . , bn T takové, že pro souřadnice (u) = (s1, s2, . . . , sn) a (w) = (t1, t2, . . . , tn) libovolně vybraných vektorů u, w V v bázi platí f(u, w) = b1s1t1 + b2s2t2 + + bnsntn. Poznamenejme, že k dané symetrické bilineární formě f není báze s uvedenou vlastností určena jednoznačně. Diagonální matici B z předchozího odstavce můžeme najít metodou souběžného provádění stejných elementárních řádkových a sloupcových úprav. Tato metoda předpokládá, že těleso (T, +, ) není charakteristiky 2. Nechť symetrická bilineární forma f : V × V T je dána svou maticí A v nějaké bázi vektorového prostoru (V, +, ). 3 Pak matice A je symetrická. Vhodnou posloupností stejných elementárních řádkových a sloupcových úprav A E E B P P lze docílit toho, aby matice B byla diagonální. Přitom matice P vyjde regulární. Pak platí B = P A P a P je matice přechodu (idV) od hledané báze zmíněné v předchozím odstavci k bázi . Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ) a buď f : V × V T symetrická bilineární forma na vektorovém prostoru (V, +, ). Pak zobrazení F : V T dané předpisem ( u V)(F(u) = f(u, u)) se nazývá kvadratická forma na vektorovém prostoru (V, +, ) (určená symetrickou bilineární formou f). Jestliže v situaci z předchozího odstavce těleso (T, +, ) není charakteristiky 2, pak symetrická bilineární forma f určující kvadratickou formu F na vektorovém prostoru (V, +, ) je zase naopak sama plně určena touto kvadratickou formou F. Pak se totiž lze snadno přesvědčit, že platí vztah ( u, w V) f(u, w) = 1 2 F(u + w) - 1 2 F(u) - 1 2 F(w) . Buď dále opět (V, +, ) nenulový vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ). Předpokládejme, že těleso (T, +, ) není charakteristiky 2. Buď některá báze vektorového prostoru (V, +, ). Buď F : V T kvadratická forma na vektorovém prostoru (V, +, ) a buď f : V × V T k ní příslušná symetrická bilineární forma. Pak maticí kvadratické formy F : V T v bázi rozumíme matici příslušné symetrické bilineární formy f v bázi . Je-li A matice kvadratické formy F : V T v bázi , pak A je symetrická matice a pro libovolný vektor u V mající v bázi souřadnice (u) = (x1, x2, . . . , xn) platí vztah F(u) = x1 x2 . . . xn A x1 x2 ... xn . 4 Z výše uvedeného poznatku o možnosti diagonalizace symetrických bilineárních forem pak plyne odpovídající výsledek také pro kvadratické formy. Předpokládejme situaci popsanou v předchozím odstavci. Pak ke každé kvadratické formě F : V T existuje báze vektorového prostoru (V, +, ) taková, že matice B kvadratické formy F v bázi je diagonální. To znamená, že existují prvky b1, b2, . . . , bn T takové, že pro souřadnice (u) = (s1, s2, . . . , sn) libovolně vybraného vektoru u V v bázi platí F(u) = b1s2 1 + b2s2 2 + + bns2 n. Báze s právě popsanou vlastností se nazývá polární báze kvadratické formy F. Poznamenejme znovu, že k dané kvadratické formě F není její polární báze určena jednoznačně. Existuje ještě jiná metoda diagonalizace kvadratických forem. Je známa jako Lagrangeova metoda nebo též jako metoda úprav na čtverce či metoda doplňování na čtverce. V závěru si krátce všimneme kvadratických forem na vektorových prostorech konečných dimenzí nad tělesem reálných čísel. Tady je při diagonalizaci možno dospět až ke tvaru, v němž se u kvadrátů souřadnic vektorů objevují jenom koeficienty 1, -1 nebo nuly. Navíc zde platí Sylvestrův zákon setrvačnosti: Buď (V, +, ) nenulový vektorový prostor konečné dimenze n nad tělesem (R, +, ) reálných čísel. Potom ke každé kvadratické formě F : V R existuje báze vektorového prostoru (V, +, ) a nezáporná celá čísla p, q splňující 0 p q n taková, že pro každý vektor u V a jeho souřadnice (u) = (s1, s2, . . . , sn) v bázi platí F(u) = s2 1 + + s2 p - s2 p+1 - - s2 q. Přitom počty koeficientů 1 a -1 nezávisí na volbě báze . 5