Vzájemná poloha afinních podprostorů
Buď (U, +, ) nenulový vektorový prostor konečné dimenze n nad
tělesem (T, +, ). Buďte P a Q dva afinní podprostory vektorového
prostoru (U, +, ). Nechť C  P a D  Q jsou dva libovolně zvolené
body a nechť V = Z(P) a W = Z(Q) jsou zaměření uvedených
dvou afinních podprostorů P a Q. Takže pak lze psát P = C + V
a Q = D + W.
V této situaci platí následující tvrzení:
P  Q =  právě tehdy, když D - C / V + W.
Rozeznáváme následující vzájemné polohy uvedených dvou afinních
podprostorů P a Q vektorového prostoru (U, +, ) konečné dimenze
n nad tělesem (T, +, ):
* Afinní podprostory P a Q jsou totožné : P = Q.
Nastává právě tehdy, když platí P  Q =  a V = W.
* Jeden z afinních podprostorů P, Q je podprostorem druhého
z těchto afinních podprostorů : například P  Q.
To nastává právě tehdy, když platí P  Q =  a V  W.
* Afinní podprostory P a Q jsou různoběžné : P  Q = , avšak
P Q a Q P.
Nastává právě tehdy, když platí P  Q =  a přitom V W
a W V.
* Afinní podprostory P a Q jsou rovnoběžné, ale žádný z nich
není podprostorem druhého z nich : P Q.
Nastává právě tehdy, když platí P  Q =  a přitom buď
V  W nebo W  V.
* Afinní podprostory P a Q jsou mimoběžné : P  Q =  a přitom
P Q.
Nastává právě tehdy, když platí P  Q =  a přitom V W
a W V.
1
Jsou-li afinní podprostory P = C +V a Q = D+W vektorového
prostoru (U, +, ) mimoběžné, můžeme provést ještě jemnější rozlišení.
Řekneme, že tyto dva afinní podprostory P a Q jsou částečně
mimoběžné, jestliže přitom V  W = {o}. Naproti tomu řekneme,
že zmíněné dva afinní podprostory P a Q jsou úplně mimoběžné,
jestliže navíc V  W = {o}.
Jsou-li V a W dva vektorové podprostory nenulového vektorového
prostoru (U, +, ) konečné dimenze n nad tělesem (T, +, ), pak
pro zjištění, zda platí například inkluze W  V, je užitečný následující
zřejmý fakt:
W  V právě tehdy, když V + W  V.
K ověřování těchto a podobných podmínek pak bývá výhodné použít
metod ke zjišťování hodností matic.
2