Uvod do obecné topologie
Michal Kunc 12. kvétna 2010
ii
Obsah
1   Definice topologického prostoru
3
2   Spojitá zobrazení
11
3   Základní konstrukce topologických prostorU
15
3.1 Podprostory................................ 15
3.2 Kvocienty................................. 16
3.3 Retrakty.................................. 18
3.4 Součiny.................................. 19
3.5 Součty................................... 24
Literatura 25
iii
iv OBSAH
Úvod
Cílem tohoto textu je seznámit čtenáře se základními pojmy a nástroji topologie. Přestože pro jeho čtení je postačující znalostí ovládnutí základních matematických pojmU a konstrukcí, k jeho správnemu pochopení je nutne se dříve seznámit se základy teorie metrických prostora, algebry, prípadne teorie mnozin.
Cílem topologie je studium vlastností prostora. Ovřem na rozdíl od teorie metrických prostora se v topologii nezajímáme o vzdálenosti mezi body prostoru a prostory povazujeme za stejne, pokud se na sebe dají vzájemne premenit nejakou spojitou deformací. Takze napríklad nerozliřujeme mezi koulí a krychlí; ostatne koule se zmení v krychli jiz pri přechodu mezi dvema ekvivalentními metrikami na R3.
Základním pojmem, ktery se proto v topologii studuje, je spojitost zobrazení. Mů zeme si vřimnout, ze k tomu, abychom definovali spojitost zobrazení mezi metrickymi prostory, vlastneř nepotrřebujeme veřdeřt prřesneř, jak jsou od sebe ktereí body daleko. Zcela si vystacíme s informací, ze jiste body se nekonecne blízí k nejakemu bodu prostoru. Zobrazení f: X — Y je totiz spojite, jestlize pro libovolnou posloupnost bodu prostoru X, která konverguje k nejakemu bodu x, obrazy techto bodu (f konvergují k bodu f (x). Cílem zavedení pojmu topologickeho prostoru je umoznit formálne pracovat s následující definicí spojitosti, která se liří od obvykle e-8-definice pouze v tom, ze místo o jiste vzdálenosti mluví jen o blízkosti k urcitemu bodu:
Zobrazení f: X — Y je spojite, jestlize pro libovolny bod x prostoru X a pro libovolne okolí O bodu f (x) existuje nejake okolí bodu x, jehoz vřechny body se zobrazí do O.
Tato definice nám tedy ani neurcuje, jakym zpíisobem musíme blízkost bodu popisovat, ani nás nenutí porovnávat, zda dane dva body jsou od sebe vzdáleny více nez jine dva body lezříícíí v jineí cřaísti prostoru. Tento prříístup vede ke zobecneřníí pojmu metrickeího prostoru na prostor topologicky, jehoz definice je zalozena na pozorování, jake vlastnosti okolí bodíi v prostorech mají.
Abstraktnejří přístup přináří nektere vyhody:
(1) Napríklad muzeme provádet elegantní mnozinove argumenty a vyhnout se tak komplikovanyím formulacíím vyuzříívajíícíím e-8-zaípisu.
(2) Na metrickych prostorech existuje mnoho ekvivalentních metrik, ovřem vetřina pojmu studovanych v teorii metrickych prostora na volbe metriky nezávisí; jedná se
1
2
OBSAH
totiž o pojmy topologické. Proto je užitečné mít možnost s těmito pojmy pracovat, aniž bychom předtím museli žvolit některou ž těchto metrik a naše argumenty, které by stejné fungovaly i pro jinou metriku, provadet jen s touto jednou žvolenou.
(3) Obecny topologicky přístup umožnuje provadet s prostory nektere konstrukce, ktere obecne produkují ž metrických prostora prostory pomocí metrik nepopsatelne. Přitom se casto jedna o bežne studovane přirožene prostory. Příkladem takoveho prostoru je prostor vřech realnych funkcí s bodovou konvergencí, tedy prostor, kde posloupnost funkcí (gi)°°=i konverguje k nejake funkci g, jestliže pro každe realne císlo r posloupnost (g;(r))°=1 konverguje k bodu g(r).
V nasledujícím textu se budeme casto setkavat s pojmem mírne žobecíiujícím pojem metriky, žvanym pseudometrika, ktery se liří od metriky vypuřtením požadavku na nenulovost vždalenosti dvou ražnych bodu. Tedy (X, p) je pseudometricky prostor, jestliže žobražení p: X x X — R splnuje
1. Vx, y E X: p (x, y) > 0,
2. Vx E X: p (x, x) = 0,
3. Vx, y E X: p (x, y) = p (y,x),
4. Vx, y, z E X: p (x, z) < p (x, y) + p (y, z). Tento prostor je metricky, jestliže navíc platí
5. Vx, y E X: p (x, y) = 0 =>- x = y.
Kapitola 1
Definice topologického prostoru
Topologický prostor lze definovat mnoha ekvivalentními způsoby, v závislosti na tom, který topologický pojem znamý z metrických prostorů (jako treba otevřena mnoZina, ůzavrena mnozina, okolí cři ůzaver) bůdeme povazovat za zakladní. Vlastnosti prostorů popířeme pomocí vlastností tohoto pojmů, zbýle topologicke pojmý prohlasíme za od-vozene a pomocí zakladního pojmů je definujeme. Pote je samozrejme třeba ůkazat, ze vřechný takto vznikle definice topologickeho prostorů ve skůtecřnosti popisůjí tý-tez objektý. Tento prístůp nam mimo jine ůmozní kdýkoli poůzívat prave tů definici topologickeho prostorů, ktera se nam zrovna nejvíce hodí.
Nejcasteji se za zakladní definici topologickeho prostorů povazůje nasledůjící definice pomocí otevřeních mnozin:
Definice 1.1 (topologickeho prostorů pomocí otevrených mnozin). Topologií na mnozine X rozůmíme libovolný sýstem T C p(X) podmnozin X splříůjící
1. 0, X g T,
2. VA, B g T: A n B g T,
3. pro libovolnoů indexovoů mnozinů I a mnoziný Ai g T, pro i g I, platí UígiAí g
T.
Prvký topologie T se nazývají otevřené množiny a dvojice (X, T) se nazýva topologický prostor. Prvký mnoziný X se nazývají body prostorů (X, T).
Ekvivalentne můzeme říci, ze topologie na X je sýstem podmnozin X ůzavřený na libovolna sjednocení a konecřne průniký.
Vřimnete si, ze mnozina A C X je otevřena v prostorů (X, T) prave tehdý, kdýz pro kazdý její bod x g A existůje otevrena mnozina B G T takova, ze x g B C A. Je tomů tak proto, ze pri splnení teto podmínký platí A = \J{B g T | B C A}, a tedý je A otevřena díký třetímů axiomů v definici topologie. K důkazů, ze mnozina A je otevřena, stací
3
4
KAPITOLA 1. DEFINICE TOPOLOGICKÉHO PROSTORU
tedy ukázat, že libovolný bod množiny A je obsažen v nějaké podmnožině A, která je otevřená. Dukaz otevřenosti množiny se vetšinou provádí práve tímto zpUsobem.
Uvedomme si nyní, že každý pseudometrický prostor (X, p) lže skutecne chápat jako topologicky prostor. Víme, že podmnožina pseudometrickeho prostoru je otevřená, jestliže s každym svym bodem obsahuje i nejakou kouli se stredem v tomto bode. Pro otevrenou kouli o polomeru e se středem v bode x budeme používat žnacíení B(x, e) = {y e X | p (x, y) < e}. Potom mužeme definovat na X topologii indukovanou pseudometrikou p následovne:
= {A C X |Vx e A 3e > 0: B (x, e) C A}.
Snadno se overí, že (X, ) je skutecne topologicky prostor. Na druhou stranu, o topo-logickem prostoru (X, Č) říkáme, že je (pseudo)metrizovatelný, jestliže na X existuje (pseudo)metrika p taková, že Č = .
Pokud mame na množřineř X dany dveř ekvivalentní metriky, tak indukují tutežř topologii. Topologii indukovanou euklidovskou metrikou na prostoru Rn (nebo kteroukoli že standardních euklidovske metrice ekvivalentních metrik) žnacíme E. Opacíne ovšem není pravda, žře indukují-li dveř metriky tutežř topologii, potom jsou ekvivalentní. Tako-vym príkladem jsou treba metriky p a o na R definovane predpisy p (x, y) = |x — y| a o (x, y) = |ex — ey|.
Příklad 1.2.
1. Pro libovolnou množinu X je (X,p(X)) topologicky prostor, žvany diskrétní. Tento prostor je indukovan napřríklad metrikou, kde vždalenost libovolnych dvou ružnych bodíi je stejná.
2. Pro libovolnou množinu X je (X, {00,X}) topologicky prostor, žvany indiskrétni. Snadno se nahledne, žře pro alesponř dvouprvkovou množřinu X tento prostor není metrižovatelny, ale je indukovany pseudometrikou, kde vždalenost libovolnych dvou bodíi je nulová.
3. Dvoubodovy topologicky prostor ({a, b}, {0, {a}, {a, b}}) senažyvá Sierpinského prostor. Díky sve asymetrii tento prostor není ani pseudometrižovatelny.
4. Asymetrie ovšem nemusí byt jedinym duvodem, procí topologicky prostor není pseudometrižovatelny, jak ukažuje příklad takžvaneho prostoru konečných kom-plementU (X, Č) na nekonecřne množine X, kde
A e Č <í=^ A = 0 nebo X \ A je konecná.
Pokud by totižř byla jeho topologie indukovana neřjakou pseudometrikou p, musela by existovat dvojice bodu x, y e X s nenulovou vždáleností. Potom by koule B (x, p (x, y)/2) a B (y, p (x, y)/2) byly díky trojuhelníkove nerovnosti nepráždne otevřene disjunktní podmnožiny X, což je ve sporu s definicí topologie Č.
5
Komplementy otevřených podmnožin topologického prostoru nazýváme uzavřené. Díky De Morganovým zákonům je snadne oveřit, že topologicke prostory lze ekvivalentne definovat takto:
Definice 1.3 (topologickeho prostoru pomocí užavrených množin). Dvojice (X, F) se nazýva topologický prostor, jestliže F C p(X) a splnuje
1. 0, X g F,
2. VA, B G F: A U B g F,
3. pro libovolnou indexovou množinu I a množiný A;- g F, pro i G I, platí f] A;- g F.
i'G/
F se nazývají uzavřené množiny.
Mezi definicí pomocí otevřených množin a definicí pomocí množin uzavřených irru-žeme tedý přechazet takto:
F = {A C X | X \A G T},      T = {A C X | X \A G F}.
Dalřími topologickými pojmý znamými z teorie metrických prostora, ktere mužeme pomocíí otevrřenýích množřin žaveíst, jsou užaíveřr, vnitrřek a hranice podmnožřiný topolo-gickeho prostoru. Je-li (X, T) topologický prostor a A C X nejaka množina bodu X, definujeme uzavér A (oznacovaný rovnež cl(A)) množiný A v prostoru X jako nejmenří uzavřenou podmnožinu X obsahující A. Vřimneme si, že díký axiomům topologickeho prostoru ma skutecřne každa množina A uzaver, nebot'jej můžeme získat jako prunik vřech uzavřených množin obsahujících A. Je rovnež užitecřne si uvedomit, jake výjadrení užaíveřru žíískaíme, přreneseme-li tuto charakterižaci do duaílníí rřecři otevřrenýích množřin:
A = {x G X |VU G T: x G U       A n U = 0}.
Podobne definujeme vnitřek A° množiný A C X jako nejvetří otevrenou podmnožinu X obsaženou v A. Vřimnete si, že vnitřek je dualním pojmem k uzaveru, tedý že A° = X \ X \ A. Hranicí (boundarý) množiný A rozumíme rozdíl mezi jejím uzaverem a vnitrkem. Uvedomte si, že prave definovane pojmý se vždý vztahují k prostoru X, v nemž se množina A nachazí; tedý například hranice intervalu (0,1) v euklidovskem prostoru R je {0,1}, zatímco hranice (0,1) v prostoru (0,1) je prazdna.
Množina A se nazýva hustá v prostoru X, jestliže jejím uzaverem je celý prostor. Rí-kame, že topologický prostor je separabilní, jestliže obsahuje nejakou nejvýře spocřetnou hustou podmnožřinu.
CviCení 1.4.
1. Výjaídrřete prředchožíí pojmý plneř v rřecři otevrřenýích množřin i plneř v rřecři užavřrenýích množřin.
Prvký
6
KAPITOLA 1. DEFINICE TOPOLOGICKÉHO PROSTORU
2. Ukažte, že hranice je vždy uzavřená.
3. Dejte príklad podmnožiny metrickeho prostoru R2, jejíž hranicí je cely prostor.
Pojem topologickeho prostoru mužeme definovat rovnež pomocí vlastností operatoru užaveru:
Definice 1.5 (topologickeho prostoru pomocí užaveru). Dvojice (X, ~) se nažyva topologicky prostor, jestliže ~: p(X) — p(X) je žobražení splřiující
1. 0 = 0,
2. VA C X: A C A,
3. VA C X: A = A,
4. VA, B C X: AUB = A U B.
Abychom oveřili, že tato definice je ekvivalentní předchoží definici pomocí užavře-nych množin, musíme nejprve pomocí užaveru definovat, kdy je množina užavřena:
VA C X: A G F        A = A. (1.1)
CviCení 1.6.
1. Oveřte, že operator užaveru definovaný pomocí užavřenych množin splnuje axiomy v definici 1.5.
2. Ukažte, že ž axiomu v definici 1.5 plyne, že žobraženíT je monotónní vžhledem k inkluži, tedy že VA C B C X: A C B.
3. Oveřte, že užavrene množiny definovane předpisem (1.1) splnují axiomy v definici 1.3.
Vřimnete si, že k overení platnosti axiomu definice 1.3 nebylo třeba použít axiom 3 definice 1.5. Pokud bychom tento axiom vypustili, tak by sice nadale každy užaverovy operator definoval topologicky prostor, ovřem stejny prostor by bylo možne žadat pomocí více ražnych užaverovych operatoru, a v tomto smyslu by definice nebyly ekvivalentní. Abychom oveřili, že nami uvedene definice skutecne ekvivalentní jsou, potrebujeme ukaížat naísledujíícíí:
1. Užaverovy operator urceny množinou užavřenych množin F definovanou pred-pisem (1.1) je roven původnímu operatoru ~.
2. Je-li ~ užaverovy operator urceny množinou F splnující definici 1.3, potom je splnena podmínka (1.1). Jinymi slovy, žískany užaverovy operator definuje jako užavrene prave píivodní užavřene množiny.
7
Dokažme si první z těchto tvrzení. Víme, že novy uzávěr množiny A je roven nejmenší množině F G F splnující F D A. Ukážeme, že touto množinou je práve A. Množina A skuteCne patší do F díky axiomu 3 a spinuje požadovanou inkluži díky axiomu 2. Pokud je F G F libovolna množina splnující F D A, potom F = F podle (1.1) a F D A díky monotonii ~ (cviCení 1.6.2). Dohromady tedy dostavame F D A, což ukažuje, že A je opravdu meži tešmito množšinami nejmensšíí.
Cvičení 1.7.
1. Dokoncšete dukaž ekvivalence definic 1.3 a 1.5.
2. Formulujte definici topologickeho prostoru pomocí vnitrku a žduvodnete její ekvivalenci s pšedchožími definicemi.
Dalším užitecnym topologickým pojmem, kteremu se budeme venovat, je okolí. In-tuitivneš, okolíím daneího bodu myslííme takovou množšinu, kteraí pro nešjakou uírovenš blíížkosti obsahuje vsšechny body, ktereí jsou k tomuto bodu takto blíížko. Formaílneš, ršíí-kame, že množina A C X je okolím (neighbourhood) bodu x G X v topologickem prostoru (X, T), jestliže existuje otevšena množina U G T splnující x G U C A. Množinu všech okolí bodu x žnacšíme T (x).
Topologicky prostor mužeme ekvivalentne definovat take pomocí vlastností okolí.
Definice 1.8 (topologickeho prostoru pomocí okolí). Dvojice (X, T) se nažyva topologicky prostor, jestliže T: X — p(p(X)) je žobražení, ktere pro každyy bod x G X splnšuje
1. X g T (x),
2. VA G T (x): x G A,
3. VA G T (x) VB C X: A C B       B G T (x),
4. VA, B G T (x): A n B G T (x),
5. VA G T (x) 3B G T (x) Vy G B: A G T (y)
(tato podmíínka v podstateš ršííkaí, žše v kažšdeím okolíí A bodu x existuje nešjakeí podokolíí, ktereí neobsahuje žšaídneí body hranice A).
Ukažme si, že i tato definice je ekvivalentní definici pomocí otevšenych množin. Stejne jako v prípade užaveru nejprve žadefinujme puvodní pojem otevšene množiny pomocí okolí: množina je otevšena, jestliže je okolím každeho sveho bodu, tedy
VA C X: A G T ^ (Vx G A)(A G T(x)). (1.2)
Cvičení 1.9.
8
KAPITOLA 1. DEFINICE TOPOLOGICKÉHO PROSTORU
1. Oveřte, ze okolí bodu v topologickem prostoru splnují axiomy v definici 1.8.
2. Oveřte, ze otevrene mnoziny definovane předpisem (1.2) splnují axiomy v definici 1.1.
3. Dokazte, ze okolí bodu v topologickem prostoru urcenem mnozinou otevřenych mnozin T splnují podmínku (1.2).
K oveření ekvivalence definic 1.8 a 1.1 zbyvákrome faktu uvedenych vecvicení 1.9 jiz jen ukázat, ze pokud pomocí libovolneho zobrazení T splnujícího axiomy definice 1.8 definujeme otevrene mnoziny, tak se okolí urcená temito mnozinami budou shodovat s temi, která zadává zobrazení T. Ukázeme tedy, ze mnozina A je okolím bodu x práve tehdy, kdyz A g T (x).
Je-li A okolím x, existuje otevrená mnozina U g T splnující x g U c A. Podle (1.2) tedy platí U g T (x) a axiom 3 ríká, ze i A g T (x).
Opacřneř, pokud A g T(x), musííme prokaízat, zře A je okolíím x, a to tak, zře najdeme otevřrenou mnozřinu U c A obsahujíícíí x. Za tuto mnozřinu je přrirozeneí volit vnitřrek mnoziny A, přicemz vnitrek muzeme pomocí okolí popsat následovne:
U = {y g X | A g T (y)}.
Takto definovaná mnozina U je podmnozinou A díky axiomu 2. Zbyvá tedy ukázat, ze U je otevřená podle predpisu (1.2). Vezmeme-li ovřem libovolny bod y g U, víme o nem, ze A g T (y), a tedy podle axiomu 5 existuje B g T (y), jejíz kazdy bod z splnuje A g T (z). Proto je B podmnozinou U a díky axiomu 3 dostáváme U g T (y), címz je otevřrenost U dokaízaína.
Chceme-li zadat neřjakyí topologickyí prostor, neníí veřtsřinou vyíhodneí popsat přríímo nektery z pojmu zavedenych v předchozích definicích. V případe definice pomocí ote-vrřenyích mnozřin lze vyuzříít, na jakeí operace je mnozřina T uzavrřenaí, a popsat pouze dostatek otevřenych mnozin, ze kterych je jiz mozne pomocí techto operací vygenerovat celou mnozřinu T. Pojmy, ktereí se v teíto souvislosti pouzříívajíí, jsou baíze a subbaíze.
Je-li (X, T) topologicky prostor, potom o mnozine otevřenych mnozin B c T říkáme, ze je bází topologie T, jestlize kazdy prvek T je sjednocením nejákych prvku B. Napríklad topologii indukovanou pseudometrikou jsme vlastne definovali pomocí báze slozene ze vřech koulí B = {B(x, e) | x g X, e g R+}. Ekvivalentne ji ovřem muzeme definovat pomocí báze B = {B(x, e) | x g X, e g Q+}.
Cvičení 1.10. Dejte příklad spocetne báze prostoru (Rn, E).
Abychom mohli topologickeí prostory zadaívat pomocíí baízíí, potřrebujeme jen veřdeřt, ktereí mnozřiny podmnozřin X jsou baízíí neřjakeí topologie.
9
Tvrzení 1.11. Množina S C p(X) je bází nejaké topologie na množine X pravé tehdy, kdyžUS = X a
VA,B G S Vx G A nB 3C G S: x G C C A nB. (1.3)
CviCení 1.12. Dokažte tvrzení 1.11.
Podmnožina topologie S C T se nazýva subbaze topologie T, jestliže každý prvek T je sjednocením konecných prániku prvku S, tedý jestliže konecne präniký prvku S tvoří bazi T.
Príklad 1.13. Množina intervalu {(—°°,a), (a, °°) | a G R} je subbazí prostoru (R, E). CviCení 1.14. Ukažte, že každa množina S C p(X) je subbazí nejake topologie na X.
Podobne mužeme mluvit i o bazi okolí nejakeho bodu x prostoru (X, T), címž mýslíme libovolnou podmnožinu B C T (x) takovou, že pro vřechna okolí U G T (x) existuje V G B splnující V C U. Například v libovolnem metrickem prostoru ma každý bod x spocřetnou bazi okolí tvorenou koulemi o polomeru 1/n, pro n G N, se středem v x.
Mame-li na množine X definovaný dve topologie T a T splnující T C T2, ríkame, že T je hrubří (slabší, coarser) než T a že T je jemnžjší (silnejší, finer) než T.
Tak jako v metrických prostorech, mužeme i v topologických prostorech mluvit o konvergentních posloupnostech. Ríkame, že posloupnost (xi)°=1 bodu prostoru (X, T) konverguje k bodu x G X, jestliže
VA G T (x) 3n G N Vi > n: x' G A,
tedý pro kažřdeí okolíí bodu x existuje index, od ktereího jižř vsřechný bodý posloupnosti ležříí v tomto okolíí.
CviCení 1.15. Charakterizujte konvergentní posloupnosti v prostorech z příkladu 1.2.
Tvrzení 1.16. Je-li A mnozina v topologickém prostoru (X, T), potom limity všech konvergentních posloupností bodu mnoziny A lezí v uzavéru A. Proto, je-li A uzavřena, obsahuje limity vřech konvergentních posloupností svych bodu. □
Nasledující příklad ukazuje, že na rozdíl od metrických prostoru ovřem v obecných topologickýích prostorech opacřnaí implikace k přredchožíímu tvrženíí neplatíí, a užavřreneí množřiný tedý nelže popsat pomocíí konvergentníích posloupnostíí. Jak uvidííme v naí-sledujíícíí kapitole, žnamenaí to, žře konvergentníí posloupnosti nejsou dostatecřneř silnýím naístrojem, abý se s jejich pomocíí dala charakterižovat spojitost žobraženíí meži topolo-gickýími prostorý.
10
KAPITOLA 1. DEFINICE TOPOLOGICKÉHO PROSTORU
Príklad 1.17. Na nespočetne množině X uvažme topologii
T = {A C X | A = 0 nebo X \ A je nejvýše spočetná}.
Nyní si všimneme, že pokud posloupnost (x;)°=1 konverguje k x vzhledem k topologii T, tak mužeme uvažit otevrene okolí (X \ {x;-1 i E N}) U {x} bodu x, ktere prokazuje, že od jisteho pširoženeho čísla n pro všechna i > n platí xi = x. Tedy konvergence v prostoru (X, T) je stejna jako konvergenče v diskrétním prostoru.
Príklad 1.18. Ukážeme si, že pšeduspoMdane množiny jsou ve skutečnosti spečialním pšípadem topologičkyčh prostora. Pšesneji, pšeduspošadane množiny odpovídají prave topologičkym prostoräm (X, T), kde množina T je užavšena na libovolne prániky. Snadno se nahleídne, žše tato podmíínka na T je ekvivalentníí požšadavku, aby kažšdyí bod mel nejmenší okolí. Všimnete si, že tuto podmínku splnuje diskrétní, indiskretní i Sierpinskeího prostor.
Na pšeduspošadane množine (X, <) mužeme topologii definovat tak, že ža otevrene prohlaísííme praíveš vsšečhny nahoru užavršeneí množšiny, tedy množšiny A C X splnšujííčíí podmínku y > x E A =>- y E A. Opačne, je-li T topologie na X užavšena na libovolne príiniky, míižeme žavest na X préduspoMdaní pšedpisem x < y <í=^ T (x) C T (y), tedy bod x je mensšíí nebo roven bodu y, jestližše nejmensšíí okolíí x obsahuje nejmensšíí okolíí y.
Cvicení 1.19.
1. Ukažte, že konstrukče uvedene v predčhožím príkladu definují vžajemne inveržní bijekče meži množinou všečh topologií na X užavšenyčh na libovolne príiniky a množšinou vsšečh pršeduspošraídaíníí na X.
2. Charakterižujte konvergentní posloupnosti v topologičkem prostoru odpovídajíčím pšeduspošadane množine (X, <).
Kapitola 2 Spojitá zobrazení
Definice 2.1. Jsou-li (X, T) a (Y, U) topologicke prostory, říkame, že žobražení f: X — Y je spojité (continuous) (vžhledem k topologiím T a U), jestliže pro vřechna A G U je f-1(A) G T.
Príklad 2.2. Zobražení id: (X, T) — (X, U) je spojite prave tehdy, když U je hrubří nežř T .
CviCení 2.3. Dokažte, že žobražení předuspořadanych množin je ižotonní prave tehdy, když je spojite vuci prísluřnym topologiím definovanym v příkladu 1.18.
Spojitost lže samožřejme charakterižovat i pomocí ostatních pojmu žavedenych v před-chožíí kapitole:
CviCení 2.4. Dokažte, že spojitost žobražení f: (X, T) — (Y, U) je ekvivalentní každe ž naísledujíícíích podmíínek:
1. Vžor kažřdeí užavrřeneí množřiny v Y je užavrřenaí množřina v X.
2. Pro každou podmnožinu A C X platí f (A) C f (A).
3. Pro každou podmnožinu A C Y platí f-1 (A°) C f-1 (A)°.
4. Existuje subbaže S topologie U takova, že pro vřechna A G S platí f-1 (A) G T.
Pokusíme-li se popsat spojitost pomocí okolí, obdržíme navíc definici spojitosti v bode. Ríkame, že žobražení f: (X, T) — (Y, U) je spojité v bodé x G X, jestliže pro každe A G U (f (x)) existuje B G T (x) splňující f (B) C A. Jinymi slovy, vžor libovolneho okolíí bodu f(x) je okolíím bodu x.
CviCení 2.5. Dokažte, že žobražení f: (X, T) — (Y, U) je spojite prave tehdy, když je spojiteí v kažřdeím bodeř prostoru X.
11
12
KAPITOLA 2. SPOJITÁ ZOBRAZENÍ
Snadno se nahledne, ze pro metricke prostorý je výře ůvedena definice spojitosti v bode ekvivalentní obvýkle e-8-definici, a proto ze cvuření 2.5 výplýva, ze v případe metrických prostorů se topologicka definice spojitosti shodůje s e-8-definicí.
Je dobře znamo, ze spojitost zobrazení metrických prostorů lze popsat pomocí konvergence posloůpnostíí. Naísledůjíícíí tvrzeníí ůkazůje, zře tůto charakterizaci je mozřneí poůzříít pro topologicke prostorý za předpokladů, ze topologie T je indůkovana pseůdometrikoů.
Tvrzení 2.6 (ACra). Pro libovolný pseudometrický prostor (X, p) a topologický prostor (Y, U) je zobrazení f: (X, Tp) — (Y, U) spojite pravřř tehdy, když pro každou posloupnost (xi)°=1 v prostoru X konvergující k bodu x G X posloupnost (f (xikonverguje k bodu f (x).
Důkaz. "=>" Ze spojitosti f víme, ze pro libovolne okolí A bodů f (x) je f-1 (A) okolím bodů x. Protoze posloůpnost (xi)°=1 konvergůje k x, existůje přirozene císlo n takove, ze pro vřechna i > n mame xi G f -1(A), a tedý f (xi) G A, coz dokazůje konvergenci posloůpnosti (f (xi))°=1 k bodů f (x).
"^=" Obracenoů implikaci dokazeme obmenoů. Předpokladame, ze existůje bod x X, v neřmzř neníí fspojiteí, a zkonstrůůjeme posloůpnost konvergůjíícíí k tomůto bodů, jejíz obraz nekonvergůje k f (x). Podle předpokladů existůje okolí A bodů f (x) takove, ze pro zadne okolí B bodů x neplatí f (B) C A. Vezmeme-li tedý za B okolí tvarů B (x, 1 /i) pro vřechna prirozena císla i, můzeme výbrat pro kazde i bod xi G B (x, splnůjící f (xi) G A. Proto posloůpnost (xi)°=1 konvergůje k x, zatímco posloůpnost (f (xi))°=1 k bodů f (x) nekonvergůje. □
Vidíme, ze k důkazů obracene implikace jsme výůzili faktů, ze okolí bodů v pseů-dometrickeím prostorů jsoů plneř zadaína posloůpnostíí baízovýích okolíí tvorřenoů koůlemi o polomem 1/n. Skůtecřne, pokůd baze okolí bodů nejsoů spocetne, můze být podmínka zalozřenaí na konvergenci posloůpnostíí slabsříí nezř pozřadavek spojitosti, i kdýzř cíílovýí prostor je metrizovatelnýí. Takovoů sitůaci ůkazůje naísledůjíícíí přrííklad.
Príklad 2.7. Uvazme zobrazení id: (R, T) — (R, E), kde T je topologie spocetných komplementů definovana v príkladů 1.17. Toto zobrazení trivialne splnůje podmínků na konvergenci posloůpnostíí. Ovsřem rovneřzř se snadno vidíí, zře toto zobrazeníí neníí spojiteí, nebot'napríklad otevřený interval (0,1) ma nespocetný komplement.
Pokůd býchom chteli získat charakterizaci spojitosti a dalřích pojmů znamých z teorie metrických prostorů analogickoů charakterizaci pomocí limit posloůpností, můseli býchom tedý míísto posloůpnostíí poůzříít obecneřjsříí pojem, kterýí bý naím ůmozřnil výbíírat bodý nejen ze spocřetne baze okolí bodů jako v předchozím důkazů, ale z libovolne mno-ziný zmenřůjících se okolí. V prípade metrických prostorů jsme vedeli, ze bazi okolí tvoří klesající posloůpnost, a proto si výstacříme s posloůpnostmi bodů, coz znamena, ze po kazdem bodů nasledůje dalří bod. Obecne ovřem víme jen, ze průnik dvoů okolí neřjakeího bodů je opeřt jeho okolíím, a tedý bůdeme výbíírat bodý tak, zře ke kazřdýím
13
dvema bodum budeme mít bod, ktery nasleduje po obou. Formalním pojmem žachycu-jícím tuto myřlenku je sít'. Sít' N v prostoru (X, T) je žobražení ž libovolne usmernene množiny (A, <) (tj. usporadane množiny, kde každa dvojice prvku ma nejakou horní žavoru) do X. O síti N: A — X se říka, že konverguje k bodu x E X, jestliže pro každe okolí U bodu x existuje a E A takove, že pro vřechna b > a platí N (b) E U. Přestože v nasřem textu nebudeme charakterižaci konvergence pomocíí síítíí použříívat, je možřneí daíle popisovane vlastnosti prostora ekvivalentne žavest i pomocí tohoto pojmu analogicky jako pro metricke prostory pomocí posloupností. Uvedomte si jen, že pri přechodu meži charakterižacíí pomocíí otevrřenyích množřin a pomocíí síítíí cři posloupnostíí musííme vžřdy použříít axiom vyíbeřru.
Cvičení 2.8. Dokažte, že id: (X, T) — (X, T) je spojite žobražení a že složením dvou spojitych žobražení vžnikne opet spojite žobražení.
V uvodu jsme si ríkali, že v topologii nebudeme rožliřovat meži prostory, ktere se na sebe dají vžajemne prevest spojitou deformací. Ve formalní definici topologicky stejnych prostora budeme tedy požadovat existenci bijekce meži temito prostory, ktera takovou spojitou deformaci realižuje.
Definice 2.9. Bijekce f: X — Y se nažyva homeomorfismus prostora (X, T) a (Y, U), jestliže jsou f i f-1 spojita žobražení. Pokud meži dvema prostory (X, T) a (Y, U) existuje homeomorfismus, říkame, že jsou homeomorfní, a pířeme (X, T) = (Y, U).
Poznámka 2.10. Díky cvicení 2.8 mužeme mluvit o kategorii, jejímiž objekty jsou topologicke prostory a morfismy spojita žobražení. Přitom homeomorfismy jsou práve ižomorfismy v teto kategorii.
Příklad 2.11.
1. Zobražení metrickych prostora f: (0,1) — {c E C | |c| = 1} dane předpisem f (x) = e2nxi je spojita bijekce intervalu na kružnici, jejíž inverže ovřem spojita není. Skutecne si poždeji ukažeme, že interval a kružnice nejsou homeomorfní.
2. Pro libovolna prirožena císla m = n nejsou euklidovske prostory Rm a Rn homeomorfní. Dukaž tohoto tvržení ovřem není snadny; lže jej naležt například v paragrafu X.1 skript [1].
3. Metricke prostory (0,1) a R jsou homeomorfní, což dokažuje například žobražení x — cotg(nx). Pritom si vřimnete, že prostor R je uplny (tedy v nem každa cau-chyovska posloupnost konverguje), kdežto interval (0,1) uplny není. Tedy homeomorfismy nežachovavají uplnost metrickych prostora, což žnamena, že uplnost neníí topologickaí vlastnost.
14 KAPITOLA 2. SPOJITA ZOBRAZEN
Kapitola 3
Zakladní konstrukce topologických prostorU
Z univeržalní algebry víme, že ž danyčh algeber je vždy možne žískavat nove algebry pomočíí jistyíčh žaíkladnííčh konstrukčíí jako jsou podalgebry, součšiny, součšty čši kvočienty (homomorfní obražy). Mnohe ž tečhto konstrukčí ovšem nelže aplikovat na metričke prostory; to je prípad jak obečnyčh součinů, tak kvočientu. Situače se ovšem mení, pokud místo metričkyčh prostoru uvažíme obečne topologičke prostory. Pšestože topologičke prostory a algebry se v mnoha ohledečh čhovajíí žnačšneš odlisšneš, ukaížšeme si, žše vsšečhny vyše uvedene operače jsou definovatelne a užitečne i v pšípade topologičkyčh prostoru.
3.1 Podprostorý
Nečht' (X, T) je topologičky prostor a Y je libovolna podmnožina X. V pnpade algeber je jediny žpusob, jak definovat strukturu algebry na podmnožine Y algebry X tak, aby vnošení l: Y X bylo homomorfismem, a to navíč použe v pšípade, že podmnožina Y je užavšrenaí na vsšečhny operače. Po topologičkeím podprostoru budeme analogičky po-žšadovat, aby vnoršeníí bylo spojiteí žobraženíí. Ovsšem tato podmíínka veštsšinou neurčšuje topologii na Y jednožnačšneš, nebot' použe vyžšaduje, aby pro kažšdou otevšrenou podmnožinu A C X byla množina l-1 (A) = A n Y otevréna v podprostoru Y. Existuje tedy nejhrubsšíí topologie na Y, kteraí podmíínku spojitosti l splnšuje, a praíveš tato topologie, ožnačovana T|Y, je topologií podprostoru Y. Díky teto volbe potom vžnikly podprostor maí očšekaívanou univeržaílníí vlastnost, žše kažšdeí spojiteí žobraženíí ž libovolneího prostoru do (X, T), jehož obraž je podmnožinou Y, je současne spojitym žobražením do prostoru (Y, T|Y). Tvošíme-li topologii na nejake množine tímto žpusobem, tedy jako nejhrubší topologii takovou, že dana žobražení do jistyčh topologičkyyčh prostoru jsou spojita, mluvíme o projektivní topologii vžhledem k temto žobražením.
15
16
KAPITOLA 3. ZÁKLADNÍ KONSTRUKCE TOPOLOGICKÝCH PROSTORU
Tvrzení 3.1. Je-li (X, T) topologicky prostor a Y C X, tak T|y = {A n Y | A G T} je topologií na množině Y. Tato topologie je nejhrubší topologií U na Y takovou, ze vnoření (Y, U) do (X, T) je spojití. □
Topologicky prostor (Y, T|Y) definovany v tvržení 3.1 se nažyvapodprostor prostoru ( X, T ) urcšenyí podmnožšinou Y.
Príklad 3.2. V prostoru konecnych komplementů je každy konecny podprostor diskrétní a každy nekonecny podprostor je opet prostorem konecnych komplementu.
Cvičení 3.3. Dokažte, že pro topologicky prostor (X, T) a podmnožinu Y C X je splnena podmíínka
VA C Y: A G T|Y        A G T
praíveš tehdy, kdyžš Y G T.
Protože podprostor je dobre definovanym pojmem i v prípade metrickych prostoru, meli bychom ovešit, že nami definovany pojem podprostoru topologickeho prostoru skutecšneš žobecnšuje pojem podprostoru prostoru metrickeího. Vežmešme tedy libovolnyí metricky prostor (X, p) a jeho podmnožinu Y C X. Metrika na podprostoru Y je dana žužením p na Y x Y, a tedy jí indukovana topologie T |y2 ma baži tvorenou koulemi {z G Y | p (z, y) < e}, kde y G Y a e G R+. Použijeme-li k definovaní topologie na Y topologickou definici aplikovanou na prostor (X, Tp), dostaneme topologii Tp |Y s baží tvorenou množinami tvaru {z G Y | p (z, x) < e}, kde x G X a e G R+. Tato baže tedy obsahuje všechny množiny ž baže topologie T>|Y2. Na druhou stranu se da snadno ovešit, že každa množina ž teto baže je vygenerovana množinami baže Tp |y2, a tedy
Tp|Y2 = Tp !y.
Cvičení 3.4. Dokažte, že když (X, p) je metricky prostor a Y C X, tak každa množina tvaru {z G Y | p (z,x) < e}, kde x G X a e G R+, je sjednocením nejakych množin tvaru {z G Y | p (z, y) < e}, kde y g Y a e g R+.
V dalsšíím textu se budeme cšasto setkaívat se dvešma vyížnamnyími podprostory prostoru (Rn, E), a to s n-rožmernou koulí Bn = {x G Rn | |x| < 1} a s její hranicí, kterou je n — 1-rožmerna sfera Sn-1 = {x G Rn | |x| = 1}.
3.2 Kvocienty
Duaílníí konstrukcíí k podprostoru je kvocient. V pršíípadeš algeber je pro danou algebru A a relaci ekvivalence ~ na A možne pširožene definovat operaci na A/~, použe pokud ~ je kongruencí algebry A. V prípade topologickych prostoríi lže pširožene definovat topologii na X/~ pro každy topologicky prostor (X, T) a libovolnou relaci ekvivalence
3.2. KVOCIENTY
17
= na X. Jak ovřem uvidíme, mnoho peknych vlastností puvodního prostoru se touto konstrukcí obecne nežachovava. Pri definici topologie na X/= budeme chtít, aby přirožena projekce V: X -— X/= byla spojita. To žnamena, že ža otevřene množiny v X/= lže brat použe takove, jejichž vžor v tomto žobražení (tedy sjednocení přísluřnych tříd =) je otevřena množina v X. Definujeme-li tedy jako otevřene vřechny množiny v X/=, které tuto podmínku splňují, žískame nejjemnejří topologii, pro niž je žobražení V spojite. Topologie žískana tímto žpiisobem, tedy nejjemnejří topologie splnující, že jista žobražení do vžnikleho prostoru jsou spojita, se nažyva induktivní. Při teto volbe topologie bude mít žobraženíí V rovneřžř ocřekaívanou vlastnost, žře kažřdeí spojiteí žobraženíí ž (X, T) do libo-volneho prostoru (Y, U), jehož jadro obsahuje =, je složením V anejakeho jednožnacne urceneho spojiteho žobražení ž X/= do Y. Pro žjednoduření žapisu využijeme faktu, že relace ekvivalence odpovídají surjektivním žobražením, a celou definici formulujeme použe v řrecři žobraženíí.
Tvrzení 3.5. Jé-li (X, T) topologický prostor a f: X — Y surjéktivní zobrazení, tak U = {A C Y | f—1 (A) G T} jé topologií na mnoziné Y. Jé-li navíc g: (X, T) — (Z, V) libovolné spojité zobrazení splňující ker f C ker g, tak existuje jediné spojité zobrazení h: (Y, U) — (Z, V) takové, žé h ° f = g. □
Topologicky prostor (Y, U) definovany v tvržení 3.5 se nažyva kvocient prostoru
(X,T).
Príklad 3.6.
1. Je-li = relace ekvivalence na užavřenem intervalu (0,1) s jedinou netrivialní trídou rožkladu {0,1} obsahující prave krajní body intervalu, pak (0,1)/= = S1.
2. Ztotožníme-li ve ctverci X = (0,1) x (0,1) protilehle body dvou protilehlych stran, tedy [0, x] = [1, x] pro x G (0,1), bude X/= valcova plocha. Ztotožníme-li navíc i protilehle body žbylych dvou stran, tedy [x, 0] = [x, 1] pro x G (0,1), bude X/= homeomorfníí toru.
3. Pokud v prředchožíím prřííkladu žtotožřnííme jednu dvojici stran v opacřneím smeřru, to jest [x, 0] = [1 — x, 1] pro x G (0,1), bude vysledny kvocient X/= homeomorfní Kleinove lahvi.
Vyížnamnyím speciaílníím prříípadem kvocientu je situace, kdy žtotožřnřujeme jistou podmnožinu A prostoru (X, T) do jednoho bodu, tedy = = idX U (A x A). Kvocient X/= se v tomto prříípadeř ožnacřuje X/A.
CviCení 3.7. Ukažte, že Bn/Sn—1 = Sn. Využijte tohoto faktu k dukažu, že Sn je kvocientem Bn+1.
18        KAPITOLA 3. zAkLADNI KONSTRUKCE TOPOLOGICKÝCH PROSTORU
Příklad 3.8. Ukážeme si príklad jednoducheho kvocientu metrickeho prostoru, ktery není metrižovátelny. Uvážíme euklidovsky prostor R2 a žtotožníme vřechny body nektere prímky, tedy X = R2/(R x {0}). Dokážeme, že bod b = R x {0} prostoru X nemá spocřetnou baíži okolíí, cožř neníí v metrickeím prostoru možřneí. Prředpoklaídejme tedy, žře množiny An C X, pro n e N, tvoří spocřetnou báži otevřenych okolí bodu b. To žnamená, že vžory vřech techto množin v prirožene projekci V—1 (An) jsou otevrene v R2 a obsahují přímku R x {0}. Nyní dojdeme ke sporu tak, že žkonstruujeme okolí A bodu b, ktere nebude obsahovat žádnou ž množin An. Pritom pro každe n žajistíme vlastnost An ^ A tím, jak A definujeme v rámci prímky {n} x R. Za tímto ucelem žvolíme libovolne e R+ splíiující [n, an] e V—1(An); jelikož množina V—1(An) je okolím bodu [n, 0], mužeme takove an žískat napríklad jako
sup{e e (0,1) | B([n,0],e) C v—1(An)} 2 .
Položme A = V (B), kde
B = (J ((n — 1,n + 1) x (—an,an)) U ((—«>, 1) x (—1,1)).
neN
Protože V—1 (A) = B je otevrená množina v R2, je A otevřenym okolím bodu b. Ovřem pro každe n e N bod [n, an] e B leží v V—1 (An), a tedy An ^ A, což je ve sporu s tím, že množřiny An tvořríí bíži okolíí b.
Jak uvidíme v kapitole o kompaktnosti, v tomto dukažu jsme využili toho, že přímka R x {0} není kompaktní, nebot'ji lže pokryt pomocí nekonecřne mnoha otevrenych množin tvaru (n — 1, n + 1) x (—an, an), přicřemž po odstránení kterekoli ž nich nektery bod přímky pokryt nebude. Proto take tento dukaž nemužeme aplikovat v případe kvocientu
X = ((0,1)x R)/((0,1)x{0}).
Tento kvocient je nejen metrižovátelny, ale dokonce homeomorfní podprostoru
{[x,y] | y e (—1,1), x e (0, |y|)}
euklidovskeího prostoru R2.
3.3 Retrakty
Cvičení 3.9. Necht' X a Y jsou topologicke prostory a f: X — Y a g: Y —► X jsou spojitá žobražení spĽnující f o g = idY. Ukažte, že potom Y je kvocient prostoru X a g je homeomorfismus prostoru Y na podprostor X.
3.4. SOUČINY
19
Vztah mezi prostory popsaný v předchozím cvičení je v topologii velmi důležitý, nebot' prostor Y ma vždy s prostorem X mnoho společných vlastností, které se obecne nededí na podprostory ani na kvocienty. Přitom se vetřinoů předpoklada, že Y je prímo podprostorem prostorů X a zobrazení g je vnoření podprostoru:
Definice 3.10. Pokůd Y je podprostor topologickeho prostorů X a soůřasne existuje spojite zobrazení r: X — Y splňující r (y) = y pro vřechna y G Y, říkame, ze Y je retraktem prostorů X, a zobrazení r nazyvame retrakci X na Y.
Příklad 3.11.
1. Libovolny obloůk je retraktem krůznice.
2. V kapitole ?? si ůkazeme, ze n-rozmerna sfera Sn není retraktem (n+1)-rozmerne koůle Bn+i, préstoze je jejím podprostorem i kvocientem.
3.4 SouCiny
Dalří konstrůkcí, kteroů definůjeme, je soůcin. Pro jednodůchost se nejprve podívejme na případ soůcinů dvoů prostorů, ktery ůmíme definovat i v případe metrickych prostorů. Vybereme-li si z ekvivalentních metrik na soůcinů metrickych prostorů (X1, p1) a (X2, p2) metriků
p     , x2), (yi, y2)) = max{p (xi, yi), p     y2)},
bůde koůle o polomem r se středem v bode (xi, x2) soůcinem koůlí o polomerů r se středy v bodech xi a x2. Takze bazi topologie soůcinů bůdoů tvorit prave soůciny bazovych mnozin v prostorech Xi a X2. Takto se take obecne zadefinůje soůcin dvoů topologickych prostorů (Xi, Ti) a (X2, T2): na mnozine Xi x X2 zadame topologii bazí
{U x V | U G Ti, V G T2}.
Vřimneme si nyní, ze tůtez topologii můzeme rovnez zadat pomocí sůbbaze
{U x X2 | U G Ti} U {Xi x V | V G T2}.
Přitom mnoziny U x X2 a Xi x V jsoů vlastne prave vzory otevren^ch mnozin z prostorů Xi a X2 v projekcích pi: Xi x X2 — Xi a p2: Xi x X2 — X2. Tedy topologie soůcřinů je definovana jako nejhrůbří topologie na Xi x X2 takova, ze obe projekce jsoů spojite. Jedna se tedy, stejne jako v prípade podprostoru, o projektivní topologii. Toůto definicí se rovneřzř zarůcříí ocřekaívanaí ůniverzaílníí vlastnost soůcřinů: libovolnaí spojitaí zobrazeníí z neřjakeího prostorů do Xi a X2 jednoznacřneř ůrcřůjíí spojiteí zobrazeníí z tohoto prostorů
do Xi x X2.
Příklad 3.12. Soůcin dvoů krůznic je homeomorfní torů.
20
KAPITOLA 3. ZÁKLADNÍ KONSTRUKCE TOPOLOGICKÝCH PROSTORU
Nyní stejným způsobem zavedeme topologii i na nekonečných součinech topologických prostorů.
Definice 3.13. Pro libovolný system topologických prostorů (Xi, Ti), pro i E I, je jejich součinem prostor n (Xi, Ti) = (H Xi, T), kde T je topologie generovaná subbazí
iel iel
{p-1(U) | i E I, U E Ti}.
Baze soucinove topologie generovana subbazí v definici obsahuje prave mnoZiný k
f| p-1 (Uj),   kde k E No, i j E I, U j E T,. (3.1)
j=i
To například znamena, ze pro kazde okolí A libovolneho bodu soucinu H Xi se na všech slozkach s výjimkou konecne mnoha musejí v prvcích mnoziný A výskýtovat všechný bodý príslušneho prostoru Xi.
CviCení 3.14. Ukazte, ze topologie indukovana standardními ekvivalentními metrikami na soucinu konecne mnoha metrických prostoru je práve soucinova topologie.
V dalším textu se casto setkame s uzitím nasledující univerzalní vlastnosti soucinu.
Tvrzení 3.15. Necht'(Y, U) a (Xi, Ti), pro i E I, jsou topologické prostory a (X, T) = H (Xi, Ti). Jsou-li fi: (Y, U) —► (Xi, Ti), pro i E I, spojitá zobrazení, pak existuje práve
ieI
jedno spojité zobrazení f: (Y, U) — (X, T) splňující pi o f = fi pro včechna i EI. Toto zobrazení je dano předpisem f (y) = (fi(y))iEI.
Duukaz. Nejprve si všimneme, ze uvedený předpis zobrazení f jednoznacne výplýva z podmínký na slození s projekcemi. K dokoncení dukazu tvrzení tedý stací ovešit, ze toto zobrazení f je spojite. Proto vezmešme libovolnou mnozšinu patršící do standardní subbaze prostoru (X, T) a ukazme, ze její vzor v f je otevšena mnozina v (Y, U). Mnozinaze subbaze je tvaru p-1 (U ),kde U E Ti, a její vzor je f -1( p-1 (U)) = f-1 (U), coz je ovšem otevšena mnozina v prostoru (Y, U) díký spojitosti f-1. □
Spojite zobrazení f z tvrzení 3.15 se obvýkle znací (fi)iEI. Toto zobrazení je tedý definovano jako jedine zobrazení takove, ze všechný diagramý
(Y, U)    {fi)iEJ : H (Xi, Ti)
ieI
3.4. SOUČINY
21
pro j E I, komutují.
Důležitým speciálním případem tvrzení 3.15 je situace, kdy prostor (Y, U) je rovněž součinem nejakých prostorů (Yi, U), pro i E I, a pro každe i E I je dáno spojite zobrazení gi: (Yi, Ui) — (Xi, Potom mužeme za fi brat složení gi o pi, kde p j značí prirozenou projekci z n (Yi, Ui) na prostor (Yj, U j). Vznikle zobrazení, obvykle oznaCovane n gi,
iEl iel
je tedy urceno komutativitou nasledujících diagramu pro vřechna j E I:
n (Yi, Ui)—n (Xi,
ieI n gi íeI
iEI
p j
(Yj, U)-g— (Xj, #j) .
Nyní si ukažeme, že soucinova topologie charakterizuje prave bodovou konvergenci, tedy konvergenci probíhající na vřech složkach soucinu nezavisle.
Tvrzení 3.16. Necht' (Xi, pro i E I, jsou topologické prostory a x = (xi)iEI a xk = (xki)iEI, pro k E N, libovolné body prostoru n (Xi, ^i). Potom posloupnost (xk)'kk=1
ieI
konverguje k bodu x pravé tehdy, když pro všechna i EI posloupnost (xkji)'kk=1 konverguje k bodu xi.
Duukaž. "=^" Předpokladejme, že posloupnost (xk)'^=1 konverguje k x, a uvažme libo-volne i E I. Pro libovolnou otevřenou množinu U C Xi obsahující bod xi potrebujeme ukazat, že od urciteho indexu patří již vřechny cíleny posloupnosti (xkji)'k'=1 do U .K tomu si stací povřimnout, že podle definice soucinove topologie je množina p~[l(U) otevřena
v prostoru n (Xi, ^ľ) a obsahuje bod x, a tedy od urciteho indexu patří vřechny body
ieI
posloupnosti (xk)°k=l do p--1 (U). Proto od tohoto indexu i body xkji = pi(xk) patrí do množiny Pi(p-[l(U)) = U.
"<í=" Necht'nyní posloupnost (xkji)'kk=1 konverguje k xi, pro vřechna i E I. Stací nam
k
ukazat, že pro libovolnou bazovou otevrenou množinu U = f] p- 1 (Uj) v n (Xi, ^i)
=1 ieI
obsahující x, kde U j je otevřena v (Xij, 3žrij), existuje index, od ktereho již vřechny body posloupnosti (xk)'k=1 patří do U. Protože pro každe j = 1,..., k patrí bod xij = pij (x) do množiny U j, z predpokladu víme, že existuje kj E N takove, že pro každe k > kj platí xk)ij E U j. Protože indexu k j je jen konecne mnoho, mužeme za k0 zvolit nejvetří z nich, a potom pro libovolne k > k0 dostavame pij (xk) = xkjij E U j, pro vřechna j = 1,..., k. Jinymi slovy, pro k > k0 mame xk E U, což jsme chteli dokazat. □
Nasledující příklad vysvetluje, proc není možne v definici otevřenych množin v soucinu topologickych prostoru povolit omezovaní na otevřene množiny na nekonecne mnoha složřkaích soucřasneř.
22
KAPITOLA 3. ZÁKLADNI KONSTRUKCE TOPOLOGICKÝCH PROSTORŮ
Príklad 3.17. Podmnozina A = (—1,1)N prostorů poskmpností realných cřísel (R, E)N není otevřena. Vřimnete si, ze napríklad posloůpnost posloůpností (xk)^°=1, kde xk G RN je dana prředpisem
0   pro i < k,
(xk)i = t1 k 1   pro i > k,
konvergůjebodove ke konstantní posloůpnosti (0)°=1 G RN. Pritom vřechný posloůpnosti xk lezí mimo A, ale jejich limita do A patrí, coz znamena, ze mnozina RN \ A není ůzavrena podle tvrzení 1.16.
Pokůd místo konvergence bodove ůvazůjeme na soůcřinů metrických prostorů konvergenci stejnomeřrnoů, je snadneí zaveíst metriků, kteraí tůto konvergenci popisůje. Stacříí definovat vzdalenost p ((xi) iGl, iGl) jako sůpremům hodnot p (xi, yi) pro i GI, případne rovnů 1 , pokůd toto sůpremům neexistůje nebo je veřtsříí nezř 1 . Přritom si ůveřdomte, zře k popisů stejnomerne konvergence na soůcřinů není postacůjící znat topologii na jednotlivých prostorech Xi, neboťmůsíme být schopni porovnavat vzdalenosti bodů poůzitých v různých slozkach.
Ukazeme si nýní, ze bodovoů konvergenci na soůcřinů metrickýých prostorů obecne metrikoů popsat nelze, pokůd indexovaí mnozřina je nespocřetnaí.
Príklad 3.18. Uvazůjme topologický? prostor RR, tedý prostor realných fůnkcí realne promenne s bodovoů konvergencí. Ukazeme, ze konstantní fůnkce (0)rGR nema spo-cetnoů bazi okolí, a proto tento prostor nemůze býýt metrizovatelný. Za tímto ůcelem vezmeme libovolna okolí Vj, pro j G N, bodů (0)rGR a nalezneme nejake okolí tohoto bodů, v nemz není ani jedno z okolí Vj obsazeno. Protoze kazde okolí Vj můsí obsahovat nejakoů otevřenoů mnozinů tvarů (3.1), existůje poůze konecne mnoho rj^1,..., r^nj G R takovýích, zře na prřííslůsřneí slozřce se v prvcíích Vj neobjevůjíí vsřechna reaílnaí cříísla, tedý Pr (Vj) = R pro vřechna r G ..., rj^nj}. Jelikoz císel rjk je dohromadý jen spocřetne mnoho, můzeme si zvolit s G R různe od vřech císel rjk, a tůdíz spLnůjící ps(Vj) = R pro vřechna j G N. Potom ovřem mnozina p— 1 ((— 1,1)) je hledaným otevreným okolím bodů (0)rGR neobsahůjícím ani jednů z mnozin Vj.
Pro nejvýře spocřetne indexove mnoziný je soůcřin metrickýých prostoríi vzdý metrizo-vatelnýí, nebot'spocřetneř mnoho nezaípornýích reaílnýích cříísel jsme schopni secřííst takovýím způsobem, abý se zmena na libovolne slozce projevila na celkovem soůctů.
Tvrzení 3.19. Jsou-li (Xi, pi), pro i G N, metrickeprostory, je topologie součinu (X, T) =
n (Xi, Tpi) indukovana metrikou p definovanou formulí
i N
1     pi(xi, y;)
i=1
p ((xi)iGN , (yi)iGN)=   £ 2t    1 + p;(xí, yi)
3.4. SOUČINY
23
Poznámka 3.20. Vřimnete si, ze v definici metriky p je kazdá metrika pi upravena tak, aby vzdálenost zádnych dvou bodu nepřekrocilá hodnotu 1, ale pritom se nezmenila prísluřná indukovaná topologie. Tato uprava spolu s volbou váhy i-te slozky 2 zajiřt'ují,
oo
aby vzniklá řada byla shora omezená absolutne konvergentní radou £ 2, a tedy byla sama konvergentníí.
Důkaz. Ukázeme, zekazde bázove okolí libovolneho bodu x = (xi)iGN v prostoru (X, T) obsahuje nejake bázove okolí bodu x v prostoru (X, T), a opacne, ze kazde bázove okolí x v prostoru (X, Tp) obsahuje nejake bázove okolí x v prostoru (X, T). Kazde bázove okolí (3.1) bodu x v (X, T) obsahuje okolí tvaru
nb(xí,x n Xi,
i=1 i=n+1
pro nejaká n G N a ri G R. Ovřem toto okolí obsahuje okolí
1 r-
B(x' mi^2i' tttí 1 i =n})
bodu x v prostoru (X, Tp).
Naopak, pro kazde bázove okolí b (x, r) bodu x v (X, Tp) muzeme zvolit n G N takove, ze 2n < 2. Potom okolí
í=1 i=n+1
bodu x v (X, T) je obsazeno v b (x, r), nebot'
n   1 —— r r
2n-r
a soucřasneř
o
2i- = 2n < 2
i=n+1
□
Příklad 3.21. Dulezitym příkladem spocřetneho soucinu metrických prostoríi je Canto-rovo diskontinůům (Cantor set), coz je podprostor intervalu (0,1) obsahující práve ta císla, pro která existuje zápis ve trojkove soustave vyuzívající pouze císlice 0 a 2. Tento prostor je totiz homeomorfní prostoru {0,2}N, kde {0,2} je dvoubodovy diskretní prostor, pricemz prísluřn^ homeomorfismus zobrazuje posloupnost (an)nGN na císlo mající v trojkove soustave zápis 0,aTa2a3 ...
24        KAPITOLA 3. ZÁKLADNÍ KONSTRUKCE TOPOLOGICKÝCH PROSTORU
Cvičení 3.22. Dokažte, že žobražení definovane v pšedchažejícím pšíkladu je homeo-morfismus.
Cvičení 3.23. Dokažte, že všechny projekce že soucšinu nepraždnych topologickych prostoru jsou retrakce.
3.5 Součty
Poslední žakladní konstrukcí, kterou si v teto kapitole popíšeme, je soucšet topologickych prostoru. Tato konstrukce vlastne žnamena, že všechny puvodní prostory dohromady žacneme chapat jako jediny prostor, v nemž se žadne dva píivodní prostory k sobe nikde nepršibližšujíí. Ponešvadžš se jednaí o duaílníí konstrukci k soucšinu, pršííslusšnaí topologie bude definovana jako induktivní.
Definiče 3.24. Pro libovolny system topologických prostoru (X, Ti), pro i G /, je jejich soustem topologicky prostor definovany na disjunktním sjednocení všech Xi, tedy na množine U (X x {i}), baží {U x {i} | i G /, U G T-}.
iG/
Príklad 3.25. Každy diskrétní prostor je soucitem všech svych jednobodovych podpro-storu.
Cvičení 3.26. Ukažte, že pro libovolne topologicke prostory (Xi, Ti) je pro všechna j G /
vnorení 1/: Xj — \J (Xi x {i}), definovane pšedpisem 1/(x) = (x, j), spojite žobražení
iG/
prostoru (Xj, Tj) do soucštu.
Cvičení 3.27. Ukažte, že jsou-li (Xi,pi), pro i G /, pseudometricke prostory, potom pršedpis
1 , pokud i = j,
min{pi(x,y), 1},   pokud i = /,
kde i, j G /, x G Xi a y G Xj, definuje pseudometriku na disjunktním sjednocení Xi, ktera indukuje topologii soucštu prostoru (Xi, Tpi).
Soucšet topologickych prostoru ma nasledující univeržalní vlastnost, ktera je dualní k vlastnosti soucšinu.
Tvrzení 3.28. Necht' (Y, U) a (Xž, Ti), pro i G /, jsou topologické prostory, (X, T) je
soušet prostoru (Xi, Ti), kde X = \J (Xi x {i}), a ii: Xi —► X je přirozené vnorení. Jsou-
iG/
li fi: (Xi, Ti) — (Y, U), pro i G /, spojita zobrazení, pak existuje pravší jedno spojití zobrazení f: (X, T) — (Y, U) splňující f o ii = /i- pro všechna i G /. Toto zobrazení je dano pšíedpisem f ((x, i)) = fi(x).
Cvičení 3.29. Dokažte tvržení 3.28.
Literatura
[1] Pultr, Aleř. Uvod do topologie a geometrie I. Statní pedagogicke nakladatelství, Praha, 1982.
25
Rejstřík
baze, 8 baíže okolíí, 9 bod, 3
Cantorovo diskontinuum, 23
homeomorfismus, 13 hranice, 5
kvocient, 17
množřina hustaí, 5 otevřrenaí, 3 užavřrenaí, 5
okolíí, 7
podprostor, 16 posloupnost
konvergentníí, 9 prostor
diskretní, 4
Hausdorffuv, 26
homeomorfní, 13
indiskreítníí, 4
konecných komplementu, 4 metrickýí, 2 metrižovatelnýí, 4 pseudometrickýí, 2 pseudometrižovatelnýí, 4 separabilníí, 5 Sierpinskeho, 4 T0,25 T1,25
T2,26
topologickýí, 3 pseudometrika, 2
retrakce, 19 retrakt, 19
síít', 13
konvergentníí, 13 soucřet, 24 soucřin, 20 subbaíže, 9
topologie, 3 hrubsříí, 9 indukovanaí, 4 induktivníí, 17 jemneřjsříí, 9 projektivníí, 15 silneřjsříí, 9 slabsříí, 9
užaíveřr, 5
vnitřrek, 5
žobraženíí spojiteí, 11 spojiteí v bodeř, 11
26