Téma 5: Parametrické úlohy o jednom náhodném výběru z normálního rozložení Úkol 1.: Vlastnosti výběrového průměru z normálního rozložení Předpokládejme, že velký ročník na vysoké škole má výsledky ze statistiky normálně rozloženy kolem střední hodnoty 72 bodů se směrodatnou odchylkou 9 bodů. Najděte pravděpodobnost, že průměr výsledků náhodného výběru 10 studentů bude větší než 80 bodů. Návod: X[1], ..., X[10] je náhodný výběr z N(72, 81). Počítáme P(M > 80), přičemž výběrový průměr M má normální rozložení se střední hodnotou E(M) = μ = 72 a rozptylem D(M) = = 8,1 (viz skripta Základní statistické metody, věta 6.1.1.1., bod 2). Tedy P(M > 80) = 1 - P(M ≤ 80) = 1 – Φ(80), kde Φ(80) je hodnota distribuční funkce rozložení N(72; 8,1) v bodě 80. Vytvoříme datový soubor o jedné proměnné a o jednom případu. Do Dlouhého jména této proměnné napíšeme =1 – INormal(80;72;sqrt(8,1)). Zjistíme, že 1 - Φ(80) = 0,00247005. Funkce INormal(x;μ;σ) počítá hodnotu distribuční funkce rozložení N(μ,σ^2) v bodě x. Úkol 2.: Intervaly spolehlivosti pro parametry μ, σ^2 normálního rozložení Z populace stejně starých selat téhož plemene bylo vylosováno šest selat a po dobu půl roku jim byla podávána táž výkrmná dieta. Byly zaznamenávány průměrné denní přírůstky hmotnosti v Dg. Z dřívějších pokusů je známo , že v populaci mívají takové přírůstky normální rozložení, avšak střední hodnota i rozptyl se měnívají. Přírůstky v Dg: 62, 54, 55, 60, 53, 58. a) Najděte 95% empirický levostranný interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu μ při neznámé směrodatné odchylce σ. b) Najděte 95% empirický interval spolehlivosti pro směrodatnou odchylku σ. Návod: Vytvoříme datový soubor o 4 proměnných a 6 případech. První proměnnou nazveme hmotnost, druhou dm1, třetí dm2 a čtvrtou hm2. Do proměnné hmotnost zapíšeme zjištěné údaje. Pomocí Popisných statistik zjistíme realizace výběrového průměru a výběrové směrodatné odchylky. ad a) Dolní mez 100(1-α)% empirického levostranného intervalu spolehlivosti pro μ při neznámém je (viz skripta Základní statistické metody, věta 6.1.2.1., bod 2 b), tedy v našem případě Do Dlouhého jména proměnné dm1 zapíšeme výraz = 57 – 3,577709* VStudent(0,95;5)/sqrt(6) Funkce VStudent(x;df) počítá x-kvantil rozložení t(df). Dostaneme výsledek 54,05682, tedy μ > 54,06 Dg s pravděpodobností aspoň 0,95. ad b) Meze 100(1-α)% empirického oboustranný intervalu spolehlivosti pro σ při neznámém μ jsou (viz skripta Základní statistické metody, věta 6.1.2.1., bod 3 a – nutno odmocnit). Do Dlouhého jména proměnné dm2 zapíšeme výraz =3,577709*sqrt(5)/sqrt(VChi2(0,975;5)). Vyjde 2,233235. Podobně do Dlouhého jména proměnné hm2 zapíšeme výraz =3,577709*sqrt(5)/sqrt(VChi2(0,025;5)) Vyjde 8,774739 . Funkce VChi2(x;nu) počítá x-kvantil rozložení χ^2(nu). Dostaneme výsledek: 2,23 g < σ < 8,77 g s pravděpodobností aspoň 0,95. Úkol 3.: Testování hypotézy o parametru μ normálního rozložení Systematická chyba měřicího přístroje se eliminuje nastavením přístroje a měřením etalonu, jehož správná hodnota je μ = 10,00. Nezávislými měřeními za stejných podmínek byly získány hodnoty: 10,24 10,12 9,91 10,19 9,78 10,14 9,86 10,17 10,05, které považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 9 z rozložení N(μ, σ^2). Je možné při riziku 0,05 vysvětlit odchylky od hodnoty 10,00 působením náhodných vlivů? Návod: Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H[0]: μ = 10 proti oboustranné alternativě H[1]: μ 10. Jde o úlohu na jednovýběrový t-test (viz skripta Základní statistické metody, návod 6.1.4.2.). Ten je ve STATISTICE implementován. Vytvoříme datový soubor o jedné proměnné a devíti případech, kam zapíšeme naměřené hodnoty. V Základních statistikách/tabulkách vybereme t-test, samostatný vzorek. Do Referenčních hodnot zapíšeme 10. Ve výstupu se podíváme na hodnotu testového kritéria a na p-hodnotu. Pokud p-hodnota bude menší nebo rovna 0,05, zamítneme hypotézu H[0]: μ = 10 ve prospěch oboustranné alternativní hypotézy H[1]: μ ≠ 10 na hladině významnosti 0,05. V opačném případě H[0] nezamítáme. V našem případě je Protože p-hodnota 0,373470 > 0,05 nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05. S rizikem omylu nejvýše 5% lze tedy odchylky od hodnoty 10 vysvětlit působením náhodných vlivů. Všimněme si ještě hodnoty testového kriteria: = 0,942611. Kritický obor Protože , nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu . Úkol 4.: Interval spolehlivosti pro rozdíl parametrů μ[1 ]- μ[2] dvourozměrného rozložení Bylo vylosováno 6 vrhů selat a z nich vždy dva sourozenci. Jeden z nich vždy dostal náhodně dietu č. 1 a druhý dietu č. 2. Přírůstky v Dg jsou následující: (62,52), (54,56), (55,49), (60,50), (53,51), (58,50). Za předpokladu, že rozdíly uvedených dvojic tvoří náhodný výběr z normálního rozložení se střední hodnotou μ[1 ]- μ[2], sestrojte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot. Návod: Vytvoříme datový soubor o třech proměnných a šesti případech. Do proměnných v1 a v2 zapíšeme naměřené přírůstky, do proměnné v3 uložíme rozdíly v1 - v2. Ve STATISTICE je implementován výpočet oboustranného intervalu spolehlivosti pro μ, když neznáme (viz skripta Základní statistické metody, věta 6.1.2.1., bod 2 a). Pomocí Popisných statistik zjistíme meze 95% intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu proměnné v3 tak, že zaškrtneme Meze spoleh. prům. Dostaneme výsledek: 0,63 Dg < μ < 10,71 Dg s pravděpodobností aspoň 0,95. Úkol vý pýznamnosti 0,05 se tedykritického oboru 5.: Testování hypotézy o rozdíl parametrů μ[1 ]- μ[2] dvourozměrného rozložení Pro data z úkolu 4. testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že obě výkrmné diety mají stejný vliv. Návod: Označme μ = μ[1 ]- μ[2]. Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H[0]: μ = 0 proti oboustranné alternativě H[1]: μ ≠ 0. Jde o úlohu na párový t-test (viz skripta Základní statistické metody, odstavec 6.2.2.). Ten je ve STATISTICE implementován.Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných a šesti případech. Do proměnných v1 a v2 zapíšeme naměřené přírůstky. V menu Základní statistiky/tabulky vybereme t-test, závislé vzorky. Zadáme názvy obou proměnných a ve výstupu se podíváme na hodnotu testového kritéria a na p-hodnotu. Protože p-hodnota 0,034183 < 0,05, zamítáme hypotézu H[0]: μ = 0 ve prospěch alternativní hypotézy H[1]: μ ≠ 0 na hladině významnosti 0,05. Znamená to, že jsme s rizikem omylu nejvýše 5% prokázali rozdíl v účinnosti obou výkrmných diet. Všimněme si ještě hodnoty testového kriteria: = 2,890087. Kritický obor Protože , zamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu . Příklady k samostatnému řešení Příklad 1.: Měřením délky deseti válečků byly získány hodnoty (v mm): 5,38 5,36 5,35 5,40 5,41 5,34 5,29 5,43 5,42 5,32. Těchto deset hodnot považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 10 z normálního rozložení N(μ, σ^2). a) Sestrojte 99% interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu μ b) Sestrojte 99% interval spolehlivosti pro neznámou směrodatnou odchylku σ. c) Na hladině významnosti 0,01 testujte hypotézu, že střední hodnota délky válečků je 5,3 mm proti oboustranné alternativě. Výsledky: ad a) 5,3248 mm < µ < 5,4152 mm s pravděpodobností aspoň 0,99 ad b) 0,0272 mm < σ < 0,1002 mm s pravděpodobností aspoň 0,99. ad c) Testujeme H[0]: μ = 5,3 proti H[1]: μ 5,3 na hladině významnosti 0,01. Nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti 0,01 a přijímáme alternativní hypotézu. Příklad 2.: Bylo náhodně vybráno 15 desetiletých chlapců a byla zjištěna jejich výška (v cm). Výsledky měření 130, 140, 136, 141, 139, 133, 149, 151, 139, 136, 138, 142, 127, 139, 147 považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 15 z rozložení N(μ,σ^2). Podle názoru odborníků by střední hodnoty výšky desetiletých chlapců měla být 136,1 cm. Testujte tuto hypotézu na hladině významnosti 0,05. Pomocí N-P plotu a S-W testu ověřte normalitu dat. Výsledky: S-W test poskytl p-hodnotu 0,7998, tedy hypotézu o noramlitě nezamítáme na hladině významnosti 0,05. Dále testujeme H[0]: μ = 136,1 proti H[1]: μ ≠ 136,1 na hladině významnosti 0,05. Protože p = 0,0947 > 0,05, nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05. Příklad 3.: Pět mužů se rozhodlo, že budou hubnout. Zjistili svou hmotnost před zahájením diety a po ukončení diety. Číslo osoby 1 2 3 4 5 Hmotnost před dietou 84 77,5 91,5 84,5 97,5 Hmotnost po dietě 78,5 73,5 88,5 80 97 Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že dieta neměla vliv na hmotnost. Výsledky: Testujeme H[0]: μ[1] - μ[2] = 0 proti H[1]: μ[1 ]- μ[2] ≠ 0. Testová statistika nabývá hodnoty 4,1105, odpovídající p-hodnota je 0,0174, tedy nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti 0,05. S rizikem omylu nejvýše 5% jsme tedy prokázali, že dieta má vliv na středníá hodnotu hmotnosti.