Využití MATLABu při práci s exponenciálním rozložením
Základní poznatky o exponenciálním rozložení Ex()
Náhodná veličina X udává dobu čekání na příchod nějaké události, která se může dostavit
každým okamžikem se stejnou šancí bez ohledu na dosud pročekanou dobu. Přitom 1/ vyjadřuje
střední dobu čekání.
Hustota:
 







0xpro0
0xproe
x
x
, distribuční funkce:
 







0xpro0
0xproe1
x
x
,
kvantilová funkce:
   


1ln
11
, kde 0 <  < 1.
Střední hodnota:
 


1
XE
, rozptyl:
  2
1
XD


.
Interval spolehlivosti pro střední hodnotu: Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení Ex() a
nechť m je realizace výběrového průměru. Pak meze 100(1-)% přibližného empirického intervalu
spolehlivosti pro
 


1
XE
jsou:    n2
nm2
h,
n2
nm2
d
2/
2
2/1
2
 



Pozor, funkce v MATLABu pro práci s exponenciálním rozložením vyžadují zadávat převrácenou
hodnotu parametru .
a) Kreslení grafu hustoty a distribuční funkce rozložení Ex(1/2)
x=[0:0.01:10]';
f=exppdf(x,2);
plot(x,f)
df=expcdf(x,2);
figure
plot(x,df)
Graf hustoty
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Graf distribuční funkce
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
b) Kreslení grafu kvantilové funkce rozložení Ex(1/2)
alfa=[0.01:0.01:0.99]';
kv=expinv(alfa,2);
plot(alfa,kv)
Graf kvantilové funkce
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
c) Generování 100 realizací náhodné veličiny s rozložením Ex(1/2) a kreslení histogramu s 10
třídicími intervaly
r=exprnd(2,100,1);
hist(r)
Histogram
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
d) Odhad střední hodnoty a meze intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu na základě proměnné
r
Hodnoty uložené v proměnné r považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 100 z
rozložení Ex(1/2)
[m,meze]=expfit(r)
e) Výpočet střední hodnoty a rozptylu rozložení Ex(1/2)
[m,v]=expstat(2)
Využití exponenciálního rozložení při analýze příjmů
Úvod do problému: Je známo, že příjmy obyvatelstva ve společnosti jsou rozděleny
nerovnoměrně. Jako první zkoumal toto rozdělení italský inženýr Vilfredo Pareto na konci 19.
století. Zjistil, že příjmy lze modelovat mocninnou funkcí. V dalších letech se ukázalo, že tento
tzv. Paretův zákon platí jen pro 5% nejbohatších lidí. Příjmy ostatních 95% obyvatel lze
modelovat pomocí exponenciálního rozložení. (Proč to tak je? To je vysvětleno v článku F.
Slaniny, Vesmír č. 9, rok 2001)
Hustota:
 







0xpro0
0xproe
x
x
, distribuční funkce:
 







0xpro0
0xproe1
x
x
Nechť náhodná veličina X udává měsíční příjem náhodně vybraného zaměstnance.
Předpokládejme, že X ~ Ex(). Podle údajů Českého statistického úřadu dosáhla průměrná hrubá
mzda v ČR za 1. až 3. čtvrtletí roku 2007 hodnoty 21 119 Kč.
Úkol 1.: Zjistěte parametr  pro náhodnou veličinu X.
Řešení:
  00004735,0
21119
1
21119
1
dxexXE
0
x


 



Úkol 2.: Odvoďte obecný vzorec pro výpočet -kvantilu náhodné veličiny X a pak vyjádřete
medián náhodné veličiny X. Co lze říci o vztahu střední hodnoty a mediánu?
Řešení:
    
   

 



1ln
1
XKe1XK XK
Výpočet mediánu:
  146392ln21119
2ln
2
1
ln
1
XK 50,0 




Znamená to, že aspoň polovina osob má průměrnou hrubou mzdu nejvýše 14 639 Kč a aspoň
polovina osob má průměrnou hrubou mzdu aspoň 14 639 Kč.
Protože exponenciální rozložení je rozložení s kladnou šikmostí (lze spočítat, že šikmost = 2),
bude medián vždy menší než střední hodnota.
Úkol 3.: Kolik procent zaměstnanců má podprůměrnou hrubou mzdu?
Řešení:











1
0
1x
6321,0e1dxe
1
XP
Znamená to, že téměř 2/3 zaměstnanců nedosáhnou na průměrnou mzdu. Průměr tedy není
vhodnou charakteristikou střední úrovně mezd.
Práce se systémem MATLAB
Úkol 1.: Pomocí funkce exprnd náhodně vygenerujte příjmy n = 1000, 10 000 a 100 000 osob a
vytvořte histogram vygenerovaných příjmů.
r = exprnd(20000,n,1);
hist(r)
Úkol 2.: Vypočtěte průměrný příjem a vypočtěte medián příjmů.
m = mean(r); x50 = median(r);
Zjištěné hodnoty porovnejte s teoretickými hodnotami.
Úkol 3.: Zjistěte, kolik procent osob bude mít podprůměrné příjmy.
pocet=0;
pocet=sum(r<m);
procento=100*počet/n
Zjištěnou hodnotu porovnejte s teoretickou hodnotou 63,2%.
Příklady na využití exponenciálního rozložení
Příklad 1.: Doba do ukončení opravy v opravně obuvi je náhodná veličina, která se řídí
exponenciálním rozložením se střední hodnotou 3 dny. Jaká je pravděpodobnost, že oprava bude
ukončena do dvou dnů?
Řešení: X ~ Ex(1/3),
  4866,0e1edxe
3
1
2XP 3
22
0
3
x2
0
3
x









V MATLABu: p = expcdf(2,3)
Příklad 2.: Životnost žárovky má exponenciální rozložení se střední hodnotou 600 h. Jaká je
pravděpodobnost, že žárovka bude svítit dalších aspoň 200 h, jestliže již svítila aspoň 800 h?
Řešení: X ~ Ex(1/600),
       
7165,0eee1
dxe
600
1
1200XP200XP1200XP800X/200800XP
3
1
600
200200
0
600
x
200
0
600
x











V MATLABu: p = 1- expcdf(200,600)
Příklad 3.: Náhodné doby života dvou součástek jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny,
přičemž Xi ~ Ex(i), i = 1, 2. Střední hodnota doby života první součástky je 2 roky, druhé
součástky 3 roky. Jaká je pravděpodobnost, že druhá součástka přežije první?
Řešení:
  6,0XXP
6
5
2
1
3
1
2
1
2
1
21
1
12 





Příklad 4.: Doba (v hodinách), která uplyne mezi dvěma naléhavými příjmy v jisté nemocnici, se
řídí exponenciálním rozložením se střední hodnotou 2 h. Jaká je pravděpodobnost, že uplyne více
než 5 h bez naléhavého příjmu?
Řešení: X ~ Ex(1/2),
    082,0ee1dxe
2
1
15XP15XP 5,2
5
0
2
x5
0
2
x






 


V MATLABu: p = 1- expcdf(5,2)
Příklad 5.: Zkoumá se funkce dvou nezávisle na sobě pracujících přístrojů. Doba bezporuchové
funkce i-tého přístroje je náhodná veličina Xi ~ Ex(i), i = 1, 2. Jaká je pravděpodobnost, že za
dobu t0 > 0 a) ani jeden přístroj neselže, b) selže aspoň jeden přístroj?
Řešení: ad a)
           
       2100201 ttt
0201
020102010201
eeet1t1
tXP1tXP1tXPtXPtXtXP



ad b)
   210t
0201 e1tXtXP 

Příklad 6.: Najděte 5. percentil náhodné veličiny X ~ Ex(0,1)
Řešení:
        5129,095,0ln10XKXK1,0exp1XK05,0 05,005,005,0 
V MATLABu: K = expinv(0.05,10)