Testování exponenciálního a Poissonova rozložení
Test dobré shody
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z rozložení s distribuční
funkcí (x).
Je-li distribuční funkce spojitá, pak data rozdělíme do r třídicích intervalů
 1jj u,u 
,
j = 1, ..., r. Zjistíme absolutní četnost nj j-tého třídicího intervalu a vypočteme pravděpodobnost
pj, že náhodná veličina X s distribuční funkcí (x) se bude realizovat v j-tém třídicím intervalu.
Platí-li nulová hypotéza, pak pj = (uj+1) - (uj).
Má-li distribuční funkce nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti, pak místo třídicích intervalů
použijeme varianty x[j], j = 1, ..., r. Pro variantu x[j] zjistíme absolutní četnost nj a vypočteme
pravděpodobnost pj, že náhodná veličina X s distribuční funkcí (x) se bude realizovat variantou
x[j]. Platí-li nulová hypotéza, pak
    
 
  j
xx
jj xXPxlimxp
j


.
Testová statistika:
 



r
1j j
2
jj
np
npn
K
. Platí-li nulová hypotéza, pak K  2(r-1-p), kde p je počet
odhadovaných parametrů daného rozložení. (Např. pro normální rozložení p = 2, protože z dat
odhadujeme střední hodnotu a rozptyl.) Nulovou hypotézu zamítáme na asymptotické hladině
významnosti , když K  2
1-(r-1-p). Aproximace se považuje za vyhovující, když npj  5, j = 1,
..., r.
Upozornění: Hodnota testové statistiky K je silně závislá na volbě třídicích intervalů. Navíc při
nesplnění podmínky npj  5, j = 1, ..., r je třeba některé intervaly resp. varianty slučovat, což vede
ke ztrátě informace.
Jednoduchý test exponenciálního rozložení (Darlingův test)
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z exponenciálního
rozložení. Označme M výběrový průměr a S2 výběrový rozptyl tohoto náhodného výběru. Víme,
že střední hodnota náhodné veličiny X ~ Ex() je E(X) = 1/ a rozptyl je D(X) = 1/2. Test
založíme na statistice
 
2
2
M
S1n
K


, která se v případě platnosti H0 asymptoticky řídí rozložením
2(n-1). Kritický obor:
      ,1n1n,0W 2/1
2
2/
2
. Jestliže WK  , H0 zamítáme
na asymptotické hladině významnosti .
Jednoduchý test Poissonova rozložení
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z Poissonova rozložení.
Označme M výběrový průměr a S2 výběrový rozptyl tohoto náhodného výběru. Víme, že střední
hodnota náhodné veličiny X ~ Po() je E(X) =  a rozptyl je D(X) = . Test založíme na statistice
 
M
S1n
K
2


, která se v případě platnosti H0 asymptoticky řídí rozložením
2(n-1). Kritický obor:
      ,1n1n,0W 2/1
2
2/
2
.
Příklad 1.: Byla zkoumána doba životnosti 45 součástek (v hodinách). Výsledky jsou uvedeny v
tabulce rozložení četností:
Doba životnosti Počet součástek
(0, 50] 15
(50, 100] 14
(100, 150] 6
(150, 200] 5
(200, 250] 2
(250, 300] 1
(300, 350] 1
(350, 400] 1
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že daný náhodný výběr pochází z
exponenciálního rozložení. Použijte a) test dobré shody, b) Darlingův test exponenciálního
rozložení (využijte toho, že z původních dat byl vypočten průměr m = 99,93 a rozptyl s2 =
7328,91).
Řešení:
ad a)
Zadáme vektor xj = [0:50:400]' a vektor pozorovaných četností nj = [15 14 6 5 2 1 1 1]'.
Celkový rozsah souboru je n = sum(nj) a parametr lambda = 99.93.
Vypočteme teoretické četnosti npj=n*diff(expcdf(xj,lambda))
Protože nejsou splněny podmínky dobré aproximace pro j = 4, 5, 6, 7, 8, je třeba sloučit třídicí
intervaly 4 až 8 do jednoho. Dostaneme novou tabulku rozložení četností
Doba životnostiPočet součástek
(0, 50] 15
(50, 100] 14
(100, 150] 6
(150, 400] 10
Zadáme nový vektor xj = [0 50 100 150 400]' a nový vektor pozorovaných četností
nj = [15 14 6 10]'. Znovu vypočteme teoretické četnosti npj=n*diff(expcdf(xj,lambda)).
Nyní již jsou splněny podmínky dobré aproximace. Vypočítáme testovou statistiku K=sum((njnpj).^2./npj)
a kvantil    21pr 95,0
2
1
2
 
pomocí funkce chi2inv(0.95,2).
Protože testová statistika K = 1,5153 se nerealizuje v kritickém oboru
 ,9915,5W
, H0
nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
ad b)
Testovou statistiku K vypočteme podle vzorce
 
2
2
M
S1n
K


. Kritický obor má tvar:
      ;1n1n;0W 2/1
2
2/
2
. V našem případě K = 32,2924,
,;202,64575,27;0W 
H0 tedy nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Samostatný úkol: Vypočtěte p-hodnotu pro jednoduchý test exponenciálního rozložení. Pro
oboustrannou alternativu se počítá podle vzorce p = 2min{(K), 1- (K)}, kde  je distribuční
funkce rozložení, kterým se řídí testová statistika, když H0 platí. (p = 0,1912).
Příklad 2.: Studujeme rozložení počtu pacientů, kteří během 75 dnů přijdou na pohotovost.
Osmihodinovou pracovní dobu rozdělíme do půlhodinových intervalů a v každém intervalu
zjistíme počet příchozích pacientů:
Počet pacientů Pozorovaná četnost
0 79
1 188
2 282
3 275
4 196
5 114
6 45
7 10
8 7
9 3
10 1
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že daný náhodný výběr pochází z
Poissonova rozložení. Použijte a) test dobré shody, b) jednoduchý test Poissonova rozložení.
Řešení:
ad a)
Postupujeme podobně jako v příkladu 1, ale místo funkce expcdf použijeme funkci poisspdf,
abychom vypočítali hodnoty pravděpodobnostní funkce Poissonova rozložení v bodech 0 až 10.
Odhad parametru lambda získáme jako vážený průměr počtu pacientů (m = 2,7992). Protože
nejsou splněny podmínky dobré aproximace, je třeba sloučit poslední tři varianty do jedné.
Počet pacientůPozorovaná četnost
0 79
1 188
2 282
3 275
4 196
5 114
6 45
7 10
8 a víc 11
Upozornění:
   

7
0x
x18
K = 8,502,
 ,067,14W
, H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
ad b)
 
M
S1n
K
2


, kde m = 2,7992, s2 = 2,6594
K = 1139,1,
,;86,129693,1104;0W 
H0 nezamítáme na asymptotické hladině
významnosti 0,05.
Samostatný úkol: Vypočtěte p-hodnotu pro jednoduchý test Poissonova rozložení.
(p = 0,2187)
Další možnosti ověřování exponenciálního rozložení - využití funkce probplot
(pravděpodobnostně - pravděpodobnostní graf), Kolmogorovův - Smirnovův test (funkce kstest).
Použití K-S testu
Vygenerujeme 100 hodnot z exponenciálního rozložení s parametrem 2:
x=exprnd(2,100,);
Provedeme porovnání výběrové distribuční funkce s distribuční funkce exponenciálního rozložení
Ex(2):
[h,p,ksstat]=kstest(x,[x,expcdf(x,2)])
Význam výstupních parametrů:
h = 0, když nezamítáme hypotézu o exponenciálním rozložení Ex(2) na hladině významnosti 0,05,
h = 1, když tuto hypotézu zamítáme.
p je odpovídající p-hodnota
ksstat je hodnota testové statistiky.