Lineární proces vzniku a zániku
Definice: Lineární proces vzniku a zániku je HMŘ se spojitým časem, který má množinu
stavů J = {0, 1, 2, ...}, vektor počátečních pravděpodobností p(0) = (0, 1, 0, ...) a matici
intenzit přechodu
( )
( )














+-
+-
=
KKKKKK
K
K
K
022220
00
00000
Q . Konstanty  > 0,  > 0 se
nazývají intenzity vzniku resp. zániku.
Vlastnosti lineárního procesu vzniku a zániku (pro   ):
a) Je-li k0 rozsah souboru v čase 0, pak pro střední hodnotu a rozptyl rozsahu souboru
v čase t platí: ( ) ( )t
0t ekXE =
, ( ) ( ) ( )
[ ]1eekXD tt
0t -
-
+
= --
.
b) Pravděpodobnost zániku souboru v čase t je dána vztahem ( )
( )
( )t
t
0
e
e1
tp -
-
-
=
.
Úkol:
Napište v MATLABu funkci, která bude ilustrovat vlastnosti lineárního procesu vzniku a
zániku.
Vstupní parametry:
lambda ­ intenzita vzniku
mi ­ intenzita zániku
tau ­ konečný čas
k0 ­ rozsah souboru v čase t = 0
Výstupní parametry:
M ­ vektor středních hodnot v čase t = 0 až tau
S ­ vektor směrodatných odchylek v čase t = 0 až tau
P ­ vektor pravděpodobností zániku souboru v čase t = 0 až tau
Funkce bude graficky znázorňovat závislost parametrů M, S, P na čase t= 0 až tau.
Návod:
function [M,S,P]=lpvz(lambda, mi, tau,k0)
% funkce lpvz ilustruje vlastnosti linearniho procesu vzniku a zaniku
% lambda je intenzita vzniku, mi intenzita zaniku
% tau je konecny cas, k0 rozsah souboru v case t=0
% M je vektor strednich hodnot rozsahu souboru v case t=0 az tau
% S je vektor smerodatnych odchylek rozsahu souboru v case t=0 az tau
% P je pravdepodobnost zaniku souboru v case t=0 az tau
t=[0:tau]';
M=k0*exp((lambda-mi).*t);
S=sqrt(k0*((lambda+mi)/(lambda-mi))*exp((lambda-mi).*t).*(exp((lambda-mi).*t)-1));
P=mi*((1-exp((lambda-mi).*t)))./(mi-lambda*exp((lambda-mi).*t));
plot(t,M)
figure
plot(t,S)
figure
plot(t,P)
Praktická aplikace:
Nechť je dán lineární proces vzniku a zániku, v němž intenzita vzniku odpovídá roční míře
porodnosti v ČSSR v r. 1983 ( = 0,0148) a intenzita zániku odpovídá roční míře úmrtnosti
v ČSSR v r. 1983 ( = 0,0121). Předpokládáme, že v čase t = 0 má soubor rozsah k0 = 100.
a) Pro t = 0, 1, 2, ..., 100 vypočtěte a graficky znázorněte střední hodnotu a směrodatnou
odchylku rozsahu souboru.
b) Pro t = 0, 1, 2, ..., 100 vypočtěte a graficky znázorněte pravděpodobnost vyhynutí.
Výsledek:
Graf závislosti střední hodnoty rozsahu souboru na čase:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
100
105
110
115
120
125
130
135
Graf závislosti směrodatné odchylky rozsahu souboru na čase:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
5
10
15
20
25
Graf závislosti pravděpodobnosti vyhynutí na čase
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Modifikace: V roce 2009 byla roční míra porodnosti v ČR 8,83 promile, úmrtnosti 10,74
promile. Proveďte úkoly (a), (b) s těmito parametry.
Příklad k samostatnému řešení:
Nechť { }Tt;Xt  je lineární proces vzniku a zániku s parametry
1000
1
,
100
1
== .
a) Jaká je pravděpodobnost, že proces zanikne v čase t = 100?
b) Jaká je limitní pravděpodobnost zániku?
c) Předpokládejme, že v čase t = 0 má soubor 20 objektů. Jaká je střední hodnota a
směrodatná odchylka rozsahu souboru v čase t = 100?
Výsledky: ad a) 0,0619, ad b) 0,1, ad c) 49,1921 a 9,3679.