Erlangův proces
Definice: Erlangův proces je HMŘ se spojitým časem, který má množinu stavů J = {0, 1, 2,
..., m}, vektor počátečních pravděpodobností p(0) = (1, 0, ..., 0) a matici intenzit přechodu
( )
( )
( )( )




















-
-+-
+-
+-
-
=
mm00000
1m00000
000220
0000
00000
K
K
KKKKKKKK
K
K
K
Q .
Věta: Stacionární rozložení Erlangova procesu je dáno vzorcem:
=
















=
m
0k
k
j
j
!k
1
!j
1
a , j = 0, 1, ..., m
Úkol:
Napište v MATLABu funkci, která bude počítat stacionární rozložení Erlangova procesu.
Vstupní parametry:
m ... nejvyšší pořadové číslo v množině stavů J = {0, 1, ..., m}
lambda ... intenzita vstupu
mi ... intenzita výstupu
Výstupní parametr:
vektor a ... stacionární vektor
Návod:
function [a]=Erlang(m,lambda,mi)
% Stacionarni rozlozeni Erlangova procesu
a0=1/sum(((lambda/mi).^(0:m)).*(1./(factorial(0:m))));
a=((lambda/mi).^(1:m)).*(1./(factorial(1:m)))*a0;
a=[a0 a];
Příklad 1.: Benzínová stanice má dvě čerpadla. U každého čerpadla může čerpat benzín
jenom jedno auto. Když jsou obě čerpadla obsazena, další přijíždějící auta nečekají a
odjíždějí. Průměrná doba čerpání benzínu je 2 min a průměrně přijíždí 40 aut za 1 h.
a) Kolik procent doby bude benzínová stanice nevyužitá?
b) S jakou pravděpodobností nebude přijíždějící auto obslouženo?
c) Jaká je střední hodnota počtu obsazených čerpadel?
Řešení: Zavedeme Erlangův proces { }Tt;Xt  , kde Xt je počet obsazených čerpadel
v okamžiku t, Xt = 0, 1, 2. Dále 2m,30
30
1
1
,40 ====  .
ad a) 31,0
29
9
9
16
2
1
3
4
1
1
!j
1
1
a
2
0j
j0 ==
++
=








=
=
Benzínová stanice je nevyužitá asi po 31% doby.
ad b) 28,0
29
8
29
9
9
16
2
1
a
!2
1
a 0
2
2 ===







=
Přijíždějící auto nebude obslouženo s pravděpodobností asi 28%.
ad c) Abychom stanovili střední hodnotu počtu obsazených čerpadel, musíme ještě vypočítat
složku a1 stacionárního vektoru a.
29
12
29
9
3
4
aa 01 ==


=
Střední hodnota = 97,0
29
8
2
29
12
a2a1a0 210 =+=++
Příklad 2.: Vstupní kontrola do zábavního parku je prováděna třemi stejně zdatnými
pracovníky ochranky. Návštěvník je kontrolován v případě, že některý z pracovníků ochranky
je volný, jinak prochází bez kontroly. Předpokládejme, že všichni tři pracovníci dohromady
zvládnou zkontrolovat během hodiny 9 návštěvníků. Dále předpokládejme, že návštěvníci
chodí jednotlivě a během hodiny přijdou v průměru 4. Vypočtěte pravděpodobnost, že
návštěvník vstoupí do parku bez kontroly.
Řešení: Zavedeme Erlangův proces { }Tt;Xt  , kde Xt je počet těch pracovníků ochranky,
kteří v okamžiku t provádějí kontrolu, Xt = 0, 1, 2, 3. Dále 3m,9,4 === .
0094,0
3407
2187
729
64
6
1
!k
1
!3
1
a
3
0k
k
3
3 ===
















=
=
K
S pravděpodobností asi 0,9% nebude návštěvník při vstupu do parku kontrolován.
Příklad k samostatnému řešení: Kolik linek by minimálně měla mít telefonní ústředna, aby
pravděpodobnost, že telefonní účastník zastihne všechny linky obsazené, byla nanejvýš
2
1
?
Přitom za 1 min se vyskytne průměrně 5 požadavků na zprostředkování hovoru a jeden hovor
trvá v průměru 2 min.
Návod: Zavedeme Erlangův proces { }Tt;Xt  , kde Xt je počet obsazených linek v okamžiku
t, Xt = 0, 1, ..., m. Dále
2
1
,5 == . Hledáme m tak, aby
2
1
am  .
Minimální počet linek je 6, neboť pro m = 1 je ,9,0a1 = pro m = 2 je ,8197,0a2 = pro m = 3
je ,7321,0a3 = pro m = 4 je ,6447,0a4 = pro m = 5 je ,564,0a5 = pro m = 6 je 4845,0a6 = .