Optimalizační úlohy v systémech hromadné obsluhy
Optimalizace systému M/M/1/∞/FIFO
Hledáme µ tak, aby funkce nákladů a ztrát ( )
λ−µ
λ
+µ=µ 21 ccF nabývala svého minima:
λ+λ=µ
1
2
c
c
, kde c1 jsou náklady na obsluhu jednoho požadavku a c2 jsou náklady na
údržbu prázdného systému.
Příklad 1.: Sledujeme činnost výdejny nářadí ve strojírenském závodě. Náklady na obsluhu
jednoho požadavku činí 2 Kč, ztráty z prostoje jednoho požadavku jsou 10 Kč/h. Průměrně
má výdejna 8 požadavků za 1 h. Najděte
a) optimální intenzitu obsluhy
b) hodnotu funkce nákladů a ztrát pro tuto optimální intenzitu obsluhy.
Řešení:
ad a) 32,1410288
2c
10
8
c
c
,10c,2c,8
1
2
21 =+=+=λ+λ=µ===λ
Výdejna tedy musí obsloužit průměrně 14,32 požadavku za 1 h provozu.
ad b) ( ) 30,41
832,14
8
1032,142ccF 21 =
−
⋅+⋅=
λ−µ
λ
+µ=µ
Celkové náklady a ztráty za 1 h provozu výdejny činí 41,30 Kč.
Návod na řešení v MATLABu:
lambda=8;c1=2;c2=10;
[mi,F]=opt_neomezeny_1(lambda,c1,c2)
Dostaneme:
mi=14,3246
Fi=41,2982
Optimalizace systému M/M/n/∞/FIFO
Hledáme počet linek n tak, aby kriteriální funkce ( ) ( ) ( )[ ]S2Q1 NEncNEcnC −+= nabývala
svého maxima, přičemž c1 jsou náklady na čekajícího zákazníka a c2 jsou náklady na
nevyužitou linku obsluhy.
Příklad 2.: V nově otevřené pobočce České spořitelny bylo rozhodnuto rezervovat pro
operace se sporožirovým účtem 3 přepážky. Klienti pro tyto operace, kteří do pobočky
přicházejí, se řadí do jedné fronty a po uvolnění libovolné z přepážek mohou být obsluhováni.
Po otevření pobočky bylo zjištěno, že klienti přicházejí s průměrnou intenzitou 68 osob za 1 h
s tím, že intervaly mezi jejich příchody mají exponenciální rozložení. Doba potřebná
k obsloužení jednoho zákazníka je náhodná veličina s exponenciálním rozložením se střední
hodnotou 2 min 24 s. Za předpokladu, že náklady na pobyt klienta v pobočce po dobu 1 h jsou
120 Kč a náklady na provoz jedné přepážky za 1 h jsou 300 Kč, najděte optimální počet
přepážek.
Řešení:
( ) 300c,120c,1
n
7,2
n
,72,2
25
68
,25
4,2
60
,68 21 ==<=
β
=ρ==
µ
λ
=β==µ=λ
n=3: ( ) ( ) 72,2NE,0638,8NE,0774,0a,0231,0a,690,0
3
72,2
SQ30 ======ρ
( ) ( ) 2,105072,233000638,81203C =−+⋅=
n=4: ( ) ( ) 72,2NE,8461,0NE,1274,0a,0559,0a,68,0
4
72,2
SQ40 ======ρ
( ) ( ) 53,48572,243008461,01204C =−+⋅=
n=5: ( ) ( ) 72,2NE,2058,0NE,0787,0a,0231,0a,544,0
3
72,2
SQ50 ======ρ
( ) ( ) 69,70872,253002058,01203C =−+⋅=
Optimální jsou 4 přepážky.
Návod na řešení v MATLABu:
n=3;lambda=68;mi=25;c1=120;c2=300;
C=opt_neomezeny_n(n,lambda,mi,c1,c2)
Dostaneme C = 1050,2
Dále:
n=4;
C=opt_neomezeny_n(n,lambda,mi,c1,c2)
Dostaneme C = 485,5302
Dále:
n=5;
C=opt_neomezeny_n(n,lambda,mi,c1,c2)
Dostaneme C = 708,6919
Odtud vidíme, že optimální jsou 4 přepážky.
Příklad 3.: Pro zadání příkladu 2 vypočtěte, jak by se musely snížit náklady c1 na pobyt
klienta v pobočce, aby byl optimální původně uvažovaný systém se třemi přepážkami.
Řešení: c1 vypočteme z nerovnice ( ) ( )4C3C < , tj.
( ) ( )72,243008461,0c72,233000638,8c 11 −+⋅<−+⋅
56,41
2177,7
300
c300c2177,7 11 =<⇒<
Náklady na pobyt jednoho klienta v pobočce po dobu 1 h by se musely snížit pod 41,56 Kč.