Model neuronu
Idealizovaný neuron (axon): Válec, jehož průměr je vzhledem k délce zanedbatelný (lze ho tedy
považovat za jednorozměrný objekt). Uvnitř i vně je kapalina, v níž jsou rozptýleny různé ionty,
zejména Na+
, K+
, Cl.
Jejich koncentrace je jiná vně a uvnitř neuronu a tedy uvnitř neuronu
je jiný elektrický potenciál než vně, neuron je polarizován. (Konkrétně, iontů K+
je v neuronu
více než v okolí, iontů Na+
méně; přitom celkové množství kladných iontů v neuronu je menší
než v okolním prostředí.) Povrch neuronu (plášť válce) je tvořen membránou, v níž jsou specifické
iontové kanálky schopné propouštět ionty. Tyto kanálky se mohou uzavírat nebo otevírat, jinak
řečeno, počet kanálků se může měnit.
Přes membránu se ionty pohybují působením elektrostatické síly, v neuronu difúzí.
Vedení impulsu v neuronu začíná depolarizací -- změnou elektrického potenciálu. Je-li depolarizace
malá, neuron se téměř bezprostředně vrátí do svého obvyklého stavu. Větší depolarizace
(změna potenciálu asi o -25mV) však vyvolá následující změny:
- Iontové kanálky pro sodík se vlivem depolarizace otevřou a kladné sodíkové ionty proudí do
neuronu, čímž dále zvětší polarizaci. Tento proces způsobí, že neuron má kladný náboj, je
opačně polarizován. Tato fáze je fází zdvihu (upstroke phase).
- Po delší době (řádově ms) se otevřou iontové kanálky pro draslík a draslíkové ionty vytékají
z neuronu. Sodíkové ionty s nimi po jistou dobu drží krok a potenciál se téměř nemění. To
je fáze excitace.
- Nakonec vytékající draslíkové ionty přemohou přitékající sodíkové ionty, takže neuron bude
mít opět záporný náboj a ten uzavře iontové kanálky pro sodík. Záporný náboj bude dokonce
větší, než je rovnovážná polarizace, neuron je hyperpolarizován. Tato fáze je fází poklesu
(downstroke phase).
- Většina iontových kanálků pro sodík je uzavřena a potřebuje čas k zotavení, než mohou
být opět otevřeny. To je období netečnosti (refractory period), v němž má neuron více než
obnovenou polarizaci, ale nereaguje na žádný další podnět.
- Pomalu se iontové kanálky pro draslík uzavřou a iontové kanálky pro sodík opět začnou být
aktivní. To je fáze obnovy (recovery phase).
V [mV]
t
0
-45
-70
excitace
polarizace depolarizace hyperpolarizace
stimulus
obnova
Obrázek 1: Schématické znázornění časového průběhu membránového potenciálu
1
Označme: t . . . čas,
x . . . poloha na neuronu,
V = V (t, x) . . . napětí na membráně neuronu.
Membránové napětí V (rozdíl potenciálů uvnitř a vně neuronu) je určeno koncentrací iontů uvnitř
neuronu; koncentraci iontů ve vnějším prostředí považujeme za konstantní. Pohyb iontů (a tedy
vývoj napětí V ) je popsán rovnicí rekce-difúze. Reakce vyjadřuje změnu koncentrací iontů v určitém
místě neuronu, závisí tedy na membránovém napětí V a na množství iontových kanálků,
které zapíšeme jako k-rozměrný vektor w; jeho i-tá složka vyjadřuje množství kanálků jednoho
(i-tého) typu, např. aktivační kanálky pro Na+
, tj. takové, jimiž mohou sodíkové ionty proudit do
neuronu. Dostáváme tedy rovnici
V
t
= D
2
V
x2
+ I(V, w).
Funkce I je v první proměnné V lineární; při pevném množství kanálků je množství prošlých iontů
úměrné napětí.
Budeme předpokládat, že při konstantním membránovém napětí V se množství iontových
kanálků i-tého typu ustálí na jisté hodnotě wi, = wi,(V ) a že tato změna je v čase exponenciální,
tj.
wi(t) = wi, + wi(0) - wi,(V ) e-pi(V )t
pro t > 0;
přitom pi(V ) > 0. Funkce wi = wi(t) (počet iontových kanálků i-tého typu) je tedy řešením
obyčejné lineární diferenciální rovnice
dwi
dt
= pi(V ) - wi + wi,(V ) .
Při označení
P = P(V ) = diag - p1(V ), -p2(V ), . . . , -pk(V ) =





-p1(V ) 0 . . . 0
0 -p2(V ) . . . 0
...
...
...
...
0 0 . . . -pk(V )





,
q = q(V ) =





p1(V )w1,(V )
p2(V )w2,(V )
...
pk(V )wk,(V )





dostaneme model neuronu tvořený jednou parciální diferenciální rovnicí a k-rozměrným systémem
obyčejných diferenciálních rovnic
V
t
= D
2
V
x2
+ I(V, w), t > 0, x  R,
dw
dt
= P(V )w + q(V ), t > 0.
1. zjednodušení
Budeme uvažovat pouze tři typy iontových kanálků. Označme tedy m množství aktivačních kanálků
pro sodíkové ionty (propouští Na+
dovnitř neuronu), h množství inaktivačních kanálků pro
sodíkové ionty (propouští Na+
z neuronu do vnějšího prostředí), n množství aktivačních kanálků
pro draslíkové ionty (propouští K+
dovnitř neuronu), tj.
m = m(t) = w1(t), h = h(t) = w2(t), n = n(t) = w3(t)
a dále
m(V ) = w1,(V ), h(V ) = w2,(V ), n(V ) = w3,(V ),
2
m(V ) =
1
p1(V )
, h(V ) =
1
p2(V )
, n(V ) =
1
p3(V )
.
Empiricky bylo zjištěno, že
I(V, m, h, n) = -D gNam3
h(V - VNa) + gKn4
(V - VK) + gL(V - VL) .
Přitom
VK < VL < VNa, gL < gK < gNa.
Označme dále C =
1
D
. Tímto způsobem dostaneme slavné Hodgkinovy-Huxleyho rovnice
C
V
t
=
2
V
x2
- gNam3
h(V - VNa) - gKn4
(V - VK) - gL(V - VL),
m(V )
dm
dt
= m(V ) - m, h(V )
dh
dt
= h(V ) - h, n(V )
dn
dt
= n(V ) - n.
Pro funkce m, h a n platí
dm(V )
dV
>
dh(V )
dV
,
dn(V )
dV
> 0, lim
V m(V
) = lim
V 
h(V ) = lim
V n(V
) = 0.
Jednotky volíme tak, aby
lim
V 
m(V ) = lim
V h(V
) = lim
V 
n(V ) = 1.
2. zjednodušení
Veličiny C a m(V ) jsou řádově menší než veličiny h(V ) a n(V ), tj. změny veličin V a m jsou
rychlejší než změny veličin h a n. Na základě tohoto pozorování lze sestavit jednodušší model, obsahující
pouze dvě stavové proměnné: rychlou proměnnou v vyjadřující excitaci (lze si ji představit
jako membránové napětí) a pomalou proměnnou w vyjadřující obnovu (lze si ji představit jako
vodivost membrány pro sodíkové ionty). Tento model sestává z jedné parciální a jedné obyčejné
diferenciální rovnice

v
t
=
2
v
x2
+ f(v, w),
dw
dt
= g(v, w).
Tyto rovnice se nazývají zobecněné FitzHughovy-Nagumovy. Obvykle uvažovaný tvar funkcí f a
g je
g(v, w) = v - bw - c,
f(v, w) = v(v - a)(1 - v) - w nebo f(v, w) =
-v - w, v < a
1 - v - w, v > a
.
3. zjednodušení
Budeme předpokládat, že počáteční impuls byl rovnoměrně rozložen podél neuronu, takže počáteční
hodnota V (0, x) = V0 nezávisí na prostorové proměnné x. Řešení tedy také nezávisí na
prostorové proměnné, V (t, x) = V (t), a Hodgkinovy-Huxleyho rovnice se zjednoduší na tvar
C
dV
dt
= -gNam3
h(V - VNa) - gKn4
(V - VK) - gL(V - VL),
m(V )
dm
dt
= m(V ) - m, h(V )
dh
dt
= h(V ) - h, n(V )
dn
dt
= n(V ) - n.
Zobecněné FitzHughovy-Nagumovy rovnice v prostorově nezávislém tvaru jsou

dv
dt
= f(v, w),
dw
dt
= g(v, w).
3
V obou případech dostaneme nelineární systém obyčejných diferenciálních rovnic.
První složka v řešení obyčejných FitzHughových-Nagumových rovnic (tedy rozdíl potenciálů
na membráně neuronu) má všechny kvalitativní vlastnosti pozorované u skutečného neuronu: při
malé depolarizaci se polarita vrátí do klidového stavu. Při vetším počátečním stimulu napětí na
membráně prudce vzroste, nějakou dobu zůstane v excitovaném stavu, posléze klesne na nižší než
klidovou hodnotu a postupně se na klidové hodnotě ustálí.
a)
v
10,80,60,40,20-0,2
w
0,16
0,12
0,08
0,04
0
1,41,21
v
0,6
0,8
-0,2
0,2
t
0,80
0,4
0,6
0,2
0
0,4
b) c)
Obrázek 2: Numerické řešení obyčejných FitzHughových-Nagumových rovnic

dv
dt
= v(v - a)(1 - v) - w,
dw
dt
= v - bw - c
s  = 0.003, a = 0.1, b = 0.5 a c = 0.
a) Použité příkazy jazyka Maple.
b) Fázový portrét a dvě trajektorie.
c) Průběh první složky řešení v pro dvě různé počáteční hodnoty v(0) = 0.25 a v(0) = 0.1. V obou
případech byla počáteční hodnota w(0) = 0.
4