1 Parciální diferenciální rovnice prvního řádu
1.1 Lineární homogenní parciální diferenciální rovnice ve dvou nezávisle
proměnných
a(x, y)
u
x
+ b(x, y)
u
y
= 0 (1)
Řešením je funkce u = u(x, y).
Hledáme vrstevnice funkce u. Nechť mají parametrické vyjádření x = x(s), y = y(s). Pak
u x(s), y(s) = const a tedy
d
ds
u x(s), y(s) =
u
x
x
s
+
u
y
y
s
= 0.
Porovnáním s (1) vidíme, že pokud funkce x = x(s), y = y(s) jsou řešeními systému autonomních
obyčejných diferenciálních rovnic
x
= a(x, y),
y
= b(x, y),
(2)
kde 
označuje obyčejnou derivaci podle nezávisle proměnné s, pak jsou parametrickými rovnicemi
vrstevnic řešení rovnice (1). Systém (2) se nazývá charakteristická soustava rovnic rovnice (1),
jeho trajektorie se nazývají charakteristiky rovnice (1).
Nechť rovnice (x, y) = c je implicitním popisem charakteristik rovnice (1), tj. vrstevnic řešení
této rovnice, a  je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné. Pak u = u(x, y) =
 (x, y) je obecným řešením rovnice (1).
D.: Podle ,,řetězového pravidla pro parciální derivaci složené funkce je
u
x
=  
x
,
u
y
=  
y
,
na charakteristikách x = x(s), y = y(s) platí  x(s), y(s) = c a tedy
a(x, y)
u(x, y)
x
+ b(x, y)
u(x, y)
y
= 
(x, y) a
(x, y)
x
+ b
(x, y)
y
=
= 
(x, y)
dx
ds

x
+
dy
ds

y
= 
(x, y)

x
dx
ds
+

y
dy
ds
=
= 
(x, y)
d
ds
 x(s), y(s) = 0.
1.2 Okrajová úloha pro lineární homogenní parciální diferenciální rovnice
ve dvou nezávisle proměnných
Nechť x = (), y = () je parametrický popis rovinné křivky, která protíná každou z charakteristik
rovnice (1) právě jednou, a nechť f je funkce se stejným definičním oborem jako  a .
Podmínka
u (), () = f() (3)
se nazývá okrajová podmínka pro rovnici (1).
Heuristická úvaha: Podmínku (3) si lze představit jako prostorovou křivku. Dále si lze představit,
že máme vrstevnice řešení, tj. charakteristiky, vytvořené např z drátu. Tyto vrstevnice
umisťujeme na křivku vyjadřující okrajovou podmínku.
Nechť charakteristiky rovnice (1), tj. trajektorie systému (2), mají obecné parametrické vyjá-
dření
x = x(s, c1, c2),
y = y(s, c1, c2),
(4)
1
kde c1, c2 jsou integrační konstanty. Dále nechť okrajová podmínka je parametricky vyjádřena
rovnicemi
x = (),
y = (),
u = f().
(5)
Pro jednu hodnotu parametru s, řekněme pro s = 0, vrstevnice protíná křivku, na níž je zadána
okrajoví podmínka, tedy
x(0, c1, c2) = (),
y(0, c1, c2) = ().
Z těchto rovnic vypočítáme konstanty c1, c2 v závislosti na parametru , tedy c1 = c1(), c2 =
c2(). Toto vyjádření dosadíme do (4) a dostaneme soustavu dvou rovic pro dvě neznámé s a :
x = x s, c1(), c2() ,
y = y s, c1(), c2() .
Tuto soustavu vyřešíme; zejména vyjádříme  pomocí x a y, tj.  = (x, y) a dosadíme do poslední
z rovnic (5). Tím dostaneme řešení úlohy (1), (3) ve tvaru u(x, y) = f (x, y) .
1.3 Quasilineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu ve dvou
nezávisle proměnných
a(x, y, u)
u
x
+ b(x, y, u)
u
y
= c(x, y, u). (6)
Řešením je opět funkce u = u(x, y). Předpokládejme, že toto řešení je implicitně dáno rovnicí
F(x, y, u) = 0, tedy
F x, y, u(x, y) = 0.
Odtud dostaneme
d
dx
F x, y, u(x, y) =
F
x
+
F
u
u
x
= 0,
d
dy
F x, y, u(x, y) =
F
y
+
F
u
u
y
= 0.
První z těchto rovnic vynásobíme funkcí a, druhou z nich funkcí b, sečteme je a upravíme s využitím
(6):
0 = a
F
x
+ b
F
y
+
F
u
a
u
x
+ b
u
y
= a
F
x
+ b
F
y
+ c
F
u
.
Pokud funkce x = x(s), y = y(s) a u = u(s) jsou řešením následující charakteristické soustavy
rovnic rovnice (6)
x
= a(x, y, u),
y
= b(x, y, u),
u
= c(x, y, u),
(7)
pak podle předchozí rovnosti platí
d
ds
F x(s), y(s), u(s) =
F
x
dx
ds
+
F
y
dy
ds
+
F
u
du
ds
=
F
x
a +
F
y
b +
F
u
c = 0.
Trajektorie systému autonomních obyčejných diferenciálních rovnic (7) -- prostorové křivky --
se nazývají charakteristiky rovnice (6). Z provedeného výpočtu plyne, že podél charakteristik je
funkce F konstantní.
Nechť rovnice 1(x, y, u) = c1 a 2(x, y, u) = c2 jsou implicitním popisem charakteristik rovnice
(6) (jednorozměrné variety v třírozměrném prostoru) a  je libovolná diferencovatelná funkce dvou
proměnných. Pak funkce u = u(x, y) implicitně zadaná rovnicí
 1(x, y, u), 2(x, y, u) = 0 (8)
je obecným řešením rovnice (6).
2
D.: Rovnici (8), v níž u považujeme za funkci proměnných x a y, derivujme parciálně podle
proměnné x:
0 =

1
1
x
+
1
u
u
x
+

2
2
x
+
2
u
u
x
=
=

1
1
x
+

2
2
x
+

1
1
u
+

2
2
u
u
x
.
Označíme-li A =

1
1
u
+

2
2
u
, dostaneme z předchozí rovnosti
u
x
= -
1
A

1
1
x
+

2
2
x
.
Analogickým postupem bychom dostali
u
y
= -
1
A

1
1
y
+

2
2
y
.
Poněvadž na charakteristikách platí
d
ds
1 x(s), y(s), u(s) = 0,
d
ds
2 x(s), y(s), u(s) = 0
dostaneme vzhledem k (7):
a
u
x
+ b
u
y
= -
1
A

1
1
x
a +
1
y
b +

2
2
x
a +
2
y
b =
= -
1
A

1
1
x
dx
ds
+
1
y
dy
ds
+

2
2
x
dx
ds
+
2
y
dy
ds
=
= -
1
A

1
d
ds
1 x(s), y(s), u(s) -
1
u
u
t
+
+

2
d
ds
2 x(s), y(s), u(s) -
2
u
du
ds
=
1
A

1
1
u
+

2
2
u
du
ds
= c.
Nechť x = (), y = () je parametrický popis nějaké rovinné křivky, a nechť f je reálná
funkce se stejným definičním oborem jako funkce , . Podmínka
u (), () = f() (9)
se nazývá okrajová podmínka pro rovnici (6). Okrajovou úlohu řešíme analogicky jako okrajovou
úlohu (1), (3):
Nechť charakteristiky rovnice (6) mají parametrické vyjádření
x = x(s, c1, c2, c3),
y = y(s, c1, c2, c3),
u = u(s, c1, c2, c3),
(10)
kde c1, c2, c3 jsou nějaké konstanty. Má-li soustava rovnic
x(0, c1, c2, c3) = (),
y(0, c1, c2, c3) = (),
u(0, c1, c2, c3) = f()
(11)
3
pro neznámé c1, c2, c3 řešení c1 = c1(), c2 = c2(), c3 = c3(), dosadíme je do prvních dvou
rovnic soustavy (10):
x = x s, c1(), c2(), c3() ,
y = y s, c1(), c2(), c3() .
Má-li tato soustava rovnic řešení  = (x, y), s = s(x, y), dosadíme je do třetí z rovnic (10). Tím
dostaneme řešení úlohy (6), (9) ve tvaru
u = u s(x, y), c1 (x, y) , c2 (x, y) , c3 (x, y) .
1.4 Quasilineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu
Rovnici
a1(x1, . . . , xn, u)
u(x1, . . . , xn)
x1
+  +an(x1, . . . , xn, u)
u(x1, . . . , xn)
xn
= f(x1, . . . , xn, u) , (12)
kde a1, . . . , an, f jsou funkce n + 1 proměnných a u je (hledaná) funkce n proměnných, nazýváme
quasilineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu; v případě f  0 homogenní, v opačném
nehomogenní. Pokud funkce a1, . . . , an nezávisí na poslední proměnné a funkce f závisí na poslední
proměnné lineárně, nazýváme tuto rovnici lineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu.
Soustavu obyčejných diferenciálních rovnic
d
ds
x1(s) = a1 x1(s), . . . , xn(s), u(s) ,
...
d
ds
xn(s) = an x1(s), . . . , xn(s), u(s) ,
d
ds
u(t) = f x1(s), . . . , xn(s), u(s) ,
nazýváme (rozšířená) charakteristická soustava rovnice (12). Trajektorie x1(s), . . . , xn(s), u(s)
řešení charakteristické soustavy (křivky v prostoru Rn+1
) nazýváme charakteristiky rovnice (12).
Buď D  Rn-1
otevřená množina a
 = {(x1, . . . , xn)  Rn
: x1 = 1(1, . . . , n-1), . . . , xn = n(1, . . . , n-1), (1, . . . , n-1)  D}
regulární (n-1)-rozměrná nadplocha v n-rozměrném prostoru Rn
. Dále buď u0 = u0(1, . . . , n-1)
spojitá funkce definovaná na D. Podmínka
u(1(1, . . . , n-1), . . . , n(1, . . . , n-1)) = u0(1, . . . , n-1) , (1, . . . , n-1)  D (13)
se nazývá okrajová podmínka pro rovnici (12).
Jsou-li funkce a1, . . . , an, f diferencovatelné, pak charakteristická soustava s Cauchyovými
podmínkami
x1(0) = 1(1, . . . , n-1) ,
...
xn(0) = n(1, . . . , n-1) ,
u(0) = u0(1, . . . , n-1) ,
má pro každé (1, . . . , n-1)  D jediné řešení (podle Picardovy-Lindelöfovy věty, viz např. Kalas
J., Ráb M.: Obyčejné diferenciální rovnice, MU 2001, str. 64). Označme toto řešení
1(s, 1, . . . , n-1), . . . , n(s, 1, . . . , n-1), n+1(s, 1, . . . , n-1) .
4
Platí
1(0, 1, . . . , n-1) = 1(1, . . . , n-1), . . . , n(0, 1, . . . , n-1) = n(1, . . . , n-1) ,
n+1(0, 1, . . . , n-1) = u0(1, . . . , n-1)
tedy
i
j
(0, 1, . . . , n-1) =
i
j
(1, . . . , n-1) , i = 1, 2, . . ., n, j = 1, 2, . . . n - 1,
pro každé (1, . . . , n-1)  D
a dále
i
s
(0, 1, . . . , n-1) = ai 1(1, . . . , n-1), . . . , n(1, . . . , n-1), u0(1, . . . , n-1) .
Funkcemi 1, . . . , n je určeno zobrazení  : R×D  Rn
. Jacobián J = J(1, . . . , n-1) zobrazení
 v bodě (0, 1, . . . , n-1) je
a1(1(1, . . . , n-1), . . . , n(1, . . . , n-1) . . . an(1(1, . . . , n-1), . . . , n(1, . . . , n-1)
1
1
(1, . . . , n-1) . . .
n
1
(1, . . . , n-1)
...
...
...
1
n-1
(1, . . . , n-1) . . .
n
n-1
(1, . . . , n-1)
.
Je-li J(1, . . . , n-1) = 0 pro každé (1, . . . , n-1)  D, existuje inversní zobrazení -1
: Rn

R × D (podle věty o existenci inversního zobrazení, viz např. Došlá Z., Došlý O.: Diferenciální
počet funkcí více proměnných, MU 1999, str. 84).
Položme u(x1, . . . , xn) = n+1 -1
(x1, . . . , xn) . Pak u je řešení úlohy (12), (13):
n
k=1
ak
u
xk
=
n
k=1
dxk
ds

du
ds
s
xk
+
n-1
j=1
u
j
j
xk

 =
du
ds
n
k=1
s
xk
dxk
ds
+
n-1
j=1
u
j
n
k=1
j
xk
dxk
ds
=
=
du
ds
s
s
+
n-1
j=1
u
j
j
s
=
du
ds
= f .
Toto řešení je jediné.
1.5 Kanonický tvar parciální diferenciální rovnice prvního řádu ve dvou
nezávisle proměnných lineární v prvních derivacích
a(x, y)
u
x
+ b(x, y)
u
y
= f(x, y, u), (14)
funkce a, b jsou definovány na množině G  R2
, funkce f je definována na množině G × R, pro
funkce a, b platí a(x, y) = 0 = b(x, y) pro (x, y)  G. Parciální rovnici (14) přiřadíme její obyčejnou
charakteristickou rovnici
y
=
b(x, y)
a(x, y)
, (15)
kde 
označuje obyčejnou derivaci podle x. Předpokládejme, že charakteristická rovnice (15) má
řešení, které lze implicitně zapsat ve tvaru
(x, y) = C, (16)
5
kde C je integrační konstanta. Pak je x(x, y) + y
y(x, y) = 0, tj.
ax + by = 0. (17)
Poznamenejme, že charakteristická rovnice lineární homogenní rovnice ve dvou nezávisle proměnných
(1) je podílem jednotlivých rovnic charakteristické soustavy (2) této rovnice a tedy rovnost
(16) vyjadřuje charakteristiky rovnice (1) také ve smyslu oddílu 1.1.
Položme
 = (x, y),  = y.
Pak xy - yx = x(x, y), tedy na množině H = (x, y)  R2
: x(x, y) = 0  G je zobrazení
(, ) : H  R2
prosté. Toto zobrazení na množině H transformuje rovnici (14) na rovnici
aux + b(uy + u) = f.
Tuto rovnici lze upravit na tvar
(ax + by) u + bu = f,
takže vzhledem k (17) a předpokládané nenulovosti funkce b platí
u(, ) = F(, , u),
kde F = f/b. Tato rovnice je kanonickým tvarem rovnice (14). Poněvadž se v ní vyskytuje pouze
jedna parciální derivace, lze ji považovat za rovnici obyčejnou takovou, že hledaná funkce u je
funkcí jedné nezávisle proměnné  a závisí na parametru .
2 Cvičení
Najděte obecné řešení rovnice
1) ux = 6x2
uy 3) ux + 2uy = 3
2) (z + y - x)ux + (z + x - y)uy + zuz = 0 4) ux + xuy = u
Najděte řešení rovnice, které splňuje danou podmínku
5) ux + yuy = 0, u(0, y) =
1
y
8) yux - xuy = y2
- x2
, u(x, a) = x2
- a2
6) ut + aux = 0, u(x, 0) = sin x 9) xzux + yzuy + xy = 0, u x,
1
x
= 1
7) ut + aux = x2
t + 1, u(x, 0) = x + 2 10) 2xux + yuy = 4u + 1, u(x, 1) = x2
Výsledky: 1) u(x, y) = (2x3
+y) 2) u(x, y, z) =  x+y-2z, z2
(x-y) 3) u(x, y) = 3
2 +(2x-y)
4) u(x, y) = ex
(x2
- 2y) 5) u(x, y) = ex
y 6) u(x, t) = sin(x - at)
7) u(x, t) = a2
12 t4
- ax
3 t3
+ x2
2 t2
- (a - 1)t + x + 2 8) u(x, y) = x2
+ y2
+ xy - 2a2
- a x2 + y2 - a2
9) u(x, y) =

2 - xy 10) u(x, y) = x2
+ 1
4 (y4
- 1)
6