Téma 1: Hodnocení kontingenčních tabulek
Úkol 1.: Testování hypotézy o nezávislosti, měření síly závislosti
V roce 1950 zkoumali Yule a Kendall barvu očí a vlasů u 6800 mužů.
Barva očí Barva vlasů
světlá kaštanová černá rezavá
modrá 1768 807 180 47
šedá nebo zelená 946 1387 746 53
hnědá 115 438 288 16
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti barvy očí a barvy
vlasů. Vypočtěte Cramérův koeficient. Simultánní četnosti znázorněte graficky.
Návod:
Testujeme hypotézu H0: X, Y jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny proti
H1: X, Y nejsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny. Testová statistika má tvar:
 








r
1j
s
1k k..j
2
k..j
jk
n
nn
n
nn
n
K
Platí-li H0, pak K se asymptoticky řídí rozložením 2((r-1)(s-1)),
kde r, s jsou počty variant jednotlivých proměnných.
Hypotézu o nezávislosti veličin X, Y tedy zamítáme na asymptotické hladině významnosti , když
K  2
1-((r-1)(s-1)).
V našem případě zjistíme, že K = 1088,15, r = 3 , s = 4, 2
1-((r-1)(s-1) = 2
0,95(6) = 12,592 a
protože hodnota testové statistiky K = 1088,15  12,592, zamítáme nulovou hypotézu na
asymptotické hladině významnosti 0,05.
Cramérův koeficient:
)1m(n
K
V


kde m = min{r,s}. Tento koeficient nabývá hodnot mezi 0 a 1. Čím blíže je 1, tím je těsnější
závislost mezi X a Y, čím blíže je 0, tím je tato závislost volnější.
Význam hodnot Cramérova koeficientu:
mezi 0 až 0,1 ... zanedbatelná závislost,
mezi 0,1 až 0,3 ... slabá závislost,
mezi 0,3 až 0,7 ... střední závislost,
mezi 0,7 až 1 ... silná závislost.
Vytvoříme nový datový soubor o 12 případech a třech proměnných (OCI, VLASY, CETNOST).
Do proměnné OCI napíšeme varianty barvy očí x[1] = 1 (modrá), x[2] = 2 (šedá nebo zelená), x[3] =
3 (hnědá), přičemž každou variantu napíšeme čtyřikrát pod sebou. Do proměnné VLASY
napíšeme třikrát pod sebe všechny varianty y[1] = 1 (světlá), y[2] = 2 (kaštanová), y[3] = 3 (černá), y
[4] = 4 (rezavá).
Před provedním testu je zapotřebí ověřit podmínky dobré aproximace:
Statistiky - Základní statistiky/tabulky - Kontingenční tabulky - Specif. tabulky - List 1 OCI, List
2 VLASY, OK, Váhy - CETNOST, Stav zapnuto, OK - na záložce Možnosti zaškrtneme
Očekávané četnosti - Výpočet.
Souhrnná tab.: Očekávané četnosti (oci_vlasy.sta)
Četnost označených buněk > 10
Pearsonův chí-kv. : 1088,15, sv=6, p=0,00000
OCI VLASY
světlá
VLASY
kaštanová
VLASY
černá
VLASY
rezavá
Řádk.
součty
modrá 1167,259 1085,976 500,902 47,8622 2802,000
šedá nebo zelená 1304,731 1213,875 559,895 53,4990 3132,000
hnědá 357,010 332,149 153,202 14,6388 857,000
Vš.skup. 2829,000 2632,000 1214,000 116,0000 6791,000
Podmínky dobré aproximace jsou splněny. Všechny teoretické četnosti jsou větší než 5. Nyní
budeme testovat hypotézu o nezávislosti proměnných OCI, VLASY.
Návrat do Výsledky; kontingenční tabulky - na záložce Detaily zaškrtneme Pearsonův & M-L Chi
- kvadrát, Phi & Cramerovo V - Detailní výsledky - Detailní 2 rozm. tabulky.
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Fí
Kontingenční koeficient
Cramér. V
1088,149 df=6 p=0,0000
1155,669 df=6 p=0,0000
,4002923
,3716246
,2830494
Ve výstupní tabulce najdeme mj. hodnotu testové stastistiky (Pearsonův chí-kv = 1088,149) s
počtem stupňů volnosti (sv = 6) a odpovídající p-hodnotou (p = 0,0000), dále Cramérův
koeficient (V = 0,283). Protože p-hodnota je mnohem menší než 0,05, nulovou hypotézu o
nezávislosti barvy očí a barvy vlasů zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Cramérův koeficient svědčí o slabé závislosti barvy očí a vlasů.
Pro grafické znázornění četností se vrátíme do Výsledky; kontingenční tabulky - Detailní výsledky
- 3D histogramy. Po vytvoření grafu 2 krát poklepeme levým tlačítkem myši na pozadí grafu:
Rozvržení grafu - Typ Šipky - OK. Graf lze natáčet pomocí volby Zorný bod.
Dvourozměrné rozdělení:
OCI x VLASY
Úkol k samostatnému řešení: Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti
pedagogické hodnosti a pohlaví a vypočtěte Cramérův koeficient vyjadřující intenzitu závislosti
pedagogické hodnosti na pohlaví, jsou-li k dispozici následující údaje:
pohlaví pedagogická hodnost
odb. asistent docent profesor
muž 32 15 8
žena 34 8 3
Výsledek: Podmínky dobré aproximace jsou splněny, pouze jediná teoretická četnost klesne po 5.
Testová statistika K nabývá hodnoty 3,5, p = 0,1739, tedy na asymptotické hladině významnosti
0,05 nezamítáme hypotézu o nezávislosti pedagogické hodnosti a pohlaví. Cramérův koeficient: V
= 0,187.
Úkol 2.: Fisherův faktoriálový test
100 náhodně vybraných mužů a žen bylo dotázáno, zda dávají přednost nealkoholickému nápoji A
či B. Údaje jsou uvedeny ve čtyřpolní kontingenční tabulce.
preferovaný nápoj pohlaví
muž žena
A 20 30
B 30 20
Na hladině významnosti 0,05 testujte pomocí Fisherova faktoriálového testu hypotézu, že
preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Návod: Vytvoříme nový datový soubor o třech proměnných NAPOJ, POHLAVI, CETNOST a
čtyřech případech. Do proměnné NAPOJ napíšeme dvakrát pod sebe 1 (nápoj A) a dvakrát pod
sebe 2 (nápoj B). Do proměnné POHLAVI napíšeme jedničku (1 - muž) a dvojku (2 - žena) a
znovu jedničku a dvojku. D proměnné CETNOST napíšeme uvedené četnosti.
Statistiky - Základní statistiky/tabulky - Kontingenční tabulky - Specif. tabulky - List 1 NAPOJ,
List 2 POHLAVI, OK, Váhy - CETNOST, Stav zapnuto, OK - na záložce Možnosti zaškrtneme
Fisher exakt, Yates, McNemar (2x2) - Detailní výsledky - Detailní 2-rozm. tabulky.
Statist. : POHLAVI(2) x NAPOJ(2) (kap11_2)
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Yatesův chí-kv.
Fisherův přesný, 1-str.
2-stranný
McNemarův chí-kv. (A/D)
(B/C)
4,000000 df=1 p=,04550
4,027103 df=1 p=,04478
3,240000 df=1 p=,07186
p=,03567
p=,07134
,0250000 df=1 p=,87437
,0166667 df=1 p=,89728
Ve výstupní tabulce je mimo jiné uvedena p-hodnota pro oboustranný a jednostranný test. V
našem případě se jedná o oboustranný test (nevíme, zda muži více preferují nápoj A či nápoj B
než ženy), zajímáme se tedy o Fisherův přesný, 2-str. Ta je 0,07134. Protože p-hodnota je větší
než 0,05, nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že preferovaný typ nápoje nezáleží
na pohlaví respondenta.
Úkol 3.: Podíl šancí
Pro údaje z úkolu 2 vypočtěte podíl šancí a sestrojte 95% asymptotický interval spolehlivosti pro
podíl šancí. Pomocí tohoto intervalu spolehlivosti testujte na asymptotické hladině významnosti
0,05 hypotézu, že preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Návod: Nejprve zopakujme teorii:
Ve čtyřpolních tabulkách používáme charakteristiku
bc
ad
OR 
která se nazývá podíl šancí (odds ratio). Můžeme si představit, že pokus se provádí za dvojích
různých okolností a může skončit buď úspěchem nebo neúspěchem.
Výsledek pokusu okolnosti nj.
I II
úspěch a b a+b
neúspěch c d c+d
n.k a+c b+d n
Poměr počtu úspěchů k počtu neúspěchů (tzv. šance) za 1. okolností je a/c, za druhých okolností
je b/d. Podíl šancí je
bc
ad
OR 
Považujeme ho za odhad skutečného podílu šancí o. Pomocí 100(1-)% asymptotického
intervalu spolehlivosti pro logaritmus skutečného podílu šancí ln o lze na asymptotické hladině
významnosti  testovat hypotézu o nezávislosti nominálních veličin X a Y. Asymptotický 100(1)%
interval spolehlivosti pro přirozený logaritmus skutečného podílu šancí má meze:
2/1u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORln 
.
Jestliže interval spolehlivosti nezahrne 0, pak hypotézu o nezávislosti zamítneme na asymptotické
hladině významnosti .
V našem případě podíl šancí vypočteme ručně.
4,0
9
4
3030
2020
bd
ac
OR 



Dolní a horní mez intervalu spolehlivosti pro OR zjistíme pomocí STATISTIKY. Vytvoříme
datový soubor o dvou proměnných DM a HM a dvou případech. Do Dlouhého jména proměnné
DM napíšeme vzorec pro dolní mez:
=log(4/9)-sqrt(1/20+1/30+1/30+1/20)*VNormal(0,975;0;1)
a analogicky do Do Dlouhého jména proměnné HM napíšeme vzorec pro horní mez: =log(4/9)
+sqrt(1/20+1/30+1/30+1/20)*VNormal(0,975;0;1)
1
DM
2
HM
1 -1,61108 -0,01078
Výsledek: -1,61108 < ln o < -0,01078 s pravděpodobností přibližně 0,95. Protože tento interval
spolehlivosti neobsahuje 0, na asymptotické hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu, že
preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Tento výsledek je v rozporu s výsledkem, ke kterému dospěl Fisherův přesný test. Je to
způsobeno tím, že test pomocí asymptotického intervalu spolehlivosti je pouze přibližný.
Úkol k samostatnému řešení: 18 mužů onemocnělo určitou chorobou. Někteří z nich se léčili,
jiní ne. Někteří se uzdravili, jiní zemřeli. Údaje jsou uvedeny ve čtyřpolní kontingenční tabulce.
přežití léčení
ano ne
ano 5 3
ne 6 4
Vypočtěte a interpretujte podíl šancí. Pomocí intervalu spolehlivosti pro podíl šancí testujte na
asymptotické hladině významnosti 0,05 hypotézu, že přežití nezávisí na léčení proti tvrzení, že
léčení zvyšuje šance na přežití.
Výsledek: OR=1,1111, nulovou hypotézu nezamítáme asymptotické hladině významnosti 0,05,
protože levostranný 95% asymptotický interval spolehlivosti pro logaritmus podílu šancí je
(-1,80498; ).
Úkol 4.: Testování hypotézy o symetrii ve čtyřpolní tabulce (McNemarův test)
Máme náhodný výběr 18 pacientů, kteří byli léčeni dvěma různými antihypertenzívy A a B. Každý
pacient dostával po dobu jednoho měsíce lék A a po odeznění jeho případných účinků dostával po
dobu jednoho měsíce lék B. Výsledek byl klasifikován jako úspěch nebo neúspěch. Za úspěch byl
pokládán pokles krevního tlaku alespoň o 15 mm Hg. Každý jiný výsledek byl považován za
neúspěch. Lék A byl úspěšný u 4 pacientů, přičemž u jednoho z nich byl úspěšný i lék B. Lék B
byl úspěšný u 10 pacientů. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testuje hypotézu, že
pravděpodobnost úspěchu je stejná pro oba léky.
Výsledek: Testová statsitika McNemarova testu se realizuje hodnotou 3, kritický obor je
W= [3,84;), tedy nulovou hypotézu nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.