Téma 2: Jednoduchá korelační analýza
Úkol 1.: Testování nezávislosti ordinálních veličin
12 různých softwarových firem nabízí speciální programové vybavení pro vedení účetnictví.
Jednotlivé programy byly posouzeny odbornou komisí složenou z počítačových odborníků a
komisí složenou z profesionálních účetních. Úkolem bylo doporučit vhodný program na základě
stanovení pořadí jednotlivých programů. Výsledky posouzení:
Produkt firmy číslo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Pořadí dle odborníků 6 7 1 8 4 2,5 9 12 10 2,5 5 11
Pořadí dle účetních 4 5 2 10 6 1 7 11 8 3 12 9
Vypočtěte Spearmanův koeficient pořadové korelace a na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu, že hodnocení obou komisí jsou nezávislá.
Návod:
Testujeme vlastně nulovou hypotézu, že koeficient pořadové korelace je roven nule proti
oboustranné alternativě.
Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných X (hodnocení 1. komise), Y (hodnocení 2. komise)
a 12 případech. Do proměnných X a Y zapíšeme zjištěná hodnocení.
Statistiky - Neparametrické statistiky - Korelace - OK - vybereme Vytvořit detailní report Proměnné
X, Y - OK - Spearmanův koef. R. Dostaneme tabulku
Spearmanovy korelace (Tabulka1)
ChD vynechány párově
Označ. korelace jsou významné na hl. p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
plat.
Spearman
R
t(N-2) Úroveň p
X & Y 12 0,714537 3,229806 0,009024
Spearmanův koeficient pořadové korelace nabývá hodnoty 0,7145, testová statistika se realizuje
hodnotou 3,2298, odpovídající p-hodnota je 0,009024, tedy na asymptotické hladině významnosti
0,05 zamítáme hypotézu o pořadové nezávislosti hodnocení dvou komisí ve prospěch oboustranné
alternativy.
Upozornění: Systém STATISTICA používá při testování hypotézy o pořadové nezávislosti veličn
X, Y asymptotickou variantu testu bez ohledu na rozsah náhodného výběru. Pokud rozsah výběru
nepřesáhne 20, měli bychom systém STATISTCA použít jen k výpočtu rS a testování bychom
měli provést pomocí tabelované kritické hodnoty. V našem případě pro n = 12 a  = 0,05 je
kritická hodnota 0,5804. Vidíme, že nulovou hypozézu zamítáme na hladině významnosti 0,05,
protože 0,7145  0,5804.
Úkol k samostatnému řešení: Bylo sledováno 10 žáků. Na základě psychologického vyšetření
byli tito žáci seřazeni podle nervové lability (čím byl žák labilnější, tím dostal vyšší pořadí Ri).
Kromě toho sledování žáci dostali pořadí Qi na základě svých výsledků v matematice (nejlepší žák
v matematice dostal pořadí 1). Výsledky jsou uvedeny v tabulce:
Pořadí Ri 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pořadí Qi 9 3 8 5 4 2 10 1 7 6
Vypočtěte Spearmanův koeficient pořadové korelace a na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu, že nervová labilita a výsledky v matematice jsou nezávislé.
Výsledek: rS = -0,127, H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Úkol 2.: Testování nezávislosti intervalových a poměrových veličin
Zjišťovalo se, kolik mg kyseliny mléčné je ve 100 ml krve matek provorodiček (veličina X) a u
jejich novorozenců (veličina Y) těsně po porodu. Byly získány tyto výsledky:
Číslo matky 1 2 3 4 5 6
xi 40 64 34 15 57 45
yi 33 46 23 12 56 40
Nakreslete dvourozměrný tečkový diagram, vypočtěte výběrový korelační koeficient, sestrojte
95% interval spolehlivosti pro korelační koeficient a na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu o nezávislosti výsledků obou měření.
Návod: Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných X a Y a šesti případech. Obvyklým
způsobem zobrazíme dvourozměrný tečkový diagram, s jehož pomocí posoudíme dvourozměrnou
normalitu dat. Tedy:
Grafy - Bodové grafy - vypneme lineární proložení - Proměnné X, Y - OK - Detaily - Elipsa
normální - OK. Ve vzniklém grafu upravíme měřítka na vodorovné a svislé ose:
-40 -20 0 20 40 60 80 100 120
X
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
Y
Testování hypotézy o nezávislosti: Statistiky - Základní statistiky/tabulky - Korelační matice - OK
- 1 seznam proměn. - X, Y - OK - na záložce Možnosti vybereme Zobrazit detailní tabulku
výsledků - Výpočet.
Korelace (Tabulka3)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
(Celé případy vynechány u ChD)
Prom. X &
prom. Y
Průměr Sm.Odch. r(X,Y) r2 t p N Konst.
záv.: Y
Směr.
záv: Y
Konst.
záv.: X
Směrnic
záv.: X
X
Y
42,50000 17,39828
35,00000 15,89969 0,934832 0,873912 5,265339 0,006232 6 -1,30823 0,854311 6,696994 1,022943
Ve výstupní tabulce je mj. hodnotu výběrového korelačního koeficientu R12 (r=0,9348), tzn. že
mezi X a Y existuje silná přímá lineární závislost), hodnota testové statistiky (t = 5,2653) a phodnotu
pro test hypotézy o nezávislosti (p=0,006232), H0 tedy zamítáme na hladině významnosti
0,05. S rizikem omylu nejvýše 5% jsme tedy prokázali, že mezi oběma koncentracemi existuje
závislost.
Pro testování pomocí intervalu spolehlivosti zopakujme nejprve teori:
Nechť dvourozměrný náhodný výběr rozsahu n pochází z dvourozměrného normálního rozložení
s koeficientem korelace . Meze 100(1-)% asymptotického intervalu spolehlivosti pro  jsou:







 
3n
u
Ztghd 2/1
,







 
3n
u
Ztghh 2/1
přičemž
xx
xx
ee
ee
xtgh 




, 12
12
R1
R1
ln
2
1
Z



.
Výpočet mezí intervalu spolehlivosti: vytvoříme nový datový soubor s proměnnými DM a HM.
Do Dlouhého jména proměnné DM zapíšeme příkaz
= TanH(0,5*log((1+0,9348)/(1-0,9348))-VNormal(0,975;0;1)/sqrt(6-3))
a do Dlouhého jména proměnné HM zapíšeme příkaz
= TanH(0,5*log((1+0,9348)/(1-0,9348))+VNormal(0,975;0;1)/sqrt(6-3))
1
DM
2
HM
1 0,510617 0,993014
95% interval spolehlivosti pro  má tedy meze 0,5106 a 0,9930, nepokrývá hodnotu 0
a tudíž hypotézu o nezávislosti veličin X, Y zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Poznámka: Pokud známe výběrový koeficient korelace a rozsah výběru, můžeme test nezávislosti
veličin X, Y provést pomocí Pravděpodobnostního kalkulátoru.
Statistiky - Pravděpodobnostní kalkulátor - Korelace - zadáme n a r, zaškrtneme Výpočet p z r -
Výpočet.
Úkol k samostatnému řešení: V náhodném výběru 10 dvoučlenných domácností byl zjišťován
měsíční příjem (veličina X, v tisících Kč) a vydání za potraviny (veličina Y, v tisících Kč).
xi 15 21 34 35 39 42 58 64 75 90
yi 3 4,5 6,5 6 7 8 9 8 9,5 10,5
Vypočtěte výběrový koeficient korelace. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o
nezávislosti veličin X, Y. Sestrojte 95% asymptotický interval spolehlivosti pro 
Výsledek: r12 = 0,9405, H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05, s pravděpodobností aspoň
0,95 platí: 0,7623 <  < 0,9862
Úkol 3.: Porovnání dvou korelačních koeficientů
V psychologickém výzkumu bylo vyšetřeno 426 hochů a 430 dívek. Ve skupině hochů činil
výběrový koeficient korelace mezi verbální a performační složkou IQ 0,6033, ve skupině dívek
činil 0,5833. Za předpokladu dvourozměrné normality dat testujte na hladině významnosti 0,05
hypotézu, že korelační koeficienty se neliší.
Návod: Nejprve zopakujeme teorii:
Nechť jsou dány dva nezávislé náhodné výběry o rozsazích n a n* z dvourozměrných normálních
rozložení s korelačními koeficienty  a *. Testujeme H0:  = * proti H1:   *. Označme R12
výběrový korelační koeficient 1. výběru a R12
* výběrový korelační koeficient
2. výběru. Položme 12
12
R1
R1
ln
2
1
Z



a
*
12
*
12*
R1
R1
ln
2
1
Z



. Platí-li H0, pak testová statistika
3n
1
3n
1
*
*
ZZ
U




má asymptoticky rozložení N(0,1). Kritický obor pro test H0 proti oboustranné
alternativě tedy je
   ,uu,W 2/12/1
. H0 zamítáme na asymptotické hladině
významnosti , když WU  .
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Statistiky - Základní statistiky a tabulky - Testy rozdílů: r, %, průměry - OK - vybereme Rozdíl
mezi dvěma korelačními koeficienty. Do políčka r1 napíšeme 0,6033, do políčka N1 napíšeme
426, do políčka r2 napíšeme 0,5833, do políčka N2 napíšeme 430 - Výpočet. Dostaneme phodnotu
0,6528, tedy nezamítáme nulovou hypotézu o shodě dvou koeficientů korelace na
asymptotické hladině významnosti 0,05.