Téma č. 6.: Mnohonásobná a parciální korelace, mnohonásobná regrese
Příklad 1.: Výnosy pšenice (příklad je převzat ze skript Michálek Jaroslav, Osecký Pavel, Pešek
Josef, Rod Jan, Vondráček Jiří: Biometrika, SNTL Praha 1982)
Během 30 let od roku 1913 do roku 1942 byly na 20 vybraných farmách ve Švédsku v oblasti
Kalmar sledovány následující čtyři náhodné veličiny:
Y ... průměrný výnos pšenice z podzimní setby (v kg/ha)
X1 ... průměrná teplota vzduchu během předchozí zimy (říjen - březen) v oblasti Kalmar (ve °C)
X2 ... průměrná teplota vzduchu během vegetačního období (duben - září) v oblasti Kalmar (ve °
C)
X3 ... celkové srážky během vegetačního období, počítané jako průměr ze tří různých
meteorologických stanic (v mm)
1
Y
2
X1
3
X2
4
X3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1990 2,7 12,8 230
1950 3,1 13,7 268
1630 1,9 12 188
1720 1,3 11,7 315
1560 1 12,7 180
1680 1,6 12 261
1980 2,3 12,2 216
2180 1,7 12,8 346
2370 3,1 13,1 131
1790 1,1 11,8 256
2400 1,6 11,2 327
1410 0,1 11,8 320
2570 3,7 13,2 382
2180 1,1 12,5 279
2150 2,5 12,2 351
2530 0,8 10,5 324
2100 0,8 10,9 196
2330 3,6 12,4 381
1850 1,6 10,7 237
2230 1,9 12,5 289
2310 2,2 11,9 338
2600 3 13,5 267
2480 3,2 12,3 372
1940 2,8 12,3 367
2770 2,1 13,5 358
2570 3,3 12,9 202
2510 3,8 13,4 311
1420 -1,1 11,3 172
810 -0,4 11,3 194
1990 -2,4 11,2 261
Budeme předpokládat, že náhodný vektor (Y, X1, X2, X3)' se řídí čtyřrozměrným normálním
rozložením, tedy naše data jsou realizacemi náhodného výběru rozsahu 30 z tohoto normálního
rozložení.
Úkol 1.: Pomocí dvourozměrných tečkových diagramů znázorněte závislost mezi všemi dvojicemi
náhodných veličin. Vypočtěte výběrové korelační koeficienty pro všechny dvojice náhodných
veličin a na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézy o nezávislosti.
Řešení:
Grafy - Maticové grafy - Proměnné - Vybrat vše - OK
Maticový graf
psenice.sta 4v*30c
Y
X1
X2
X3
Statistiky - Základní statistiky/tabulky - Korelační matice - OK - 1 seznam proměnných Proměnné
1-4 - OK - na záložce Možnosti zaškrtneme Zobrazit r, úrovně p, počty N a
zaškrtneme Zobrazit dlouhá jména proměnných - Výpočet
Korelace (psenice)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=30 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná Y X1 X2 X3
Y: výnos
X1: zimni teploty
X2: letni teploty
X3: srazky
1,0000 ,5962 ,4188 ,4542
p= --- p=,001 p=,021 p=,012
,5962 1,0000 ,6703 ,3205
p=,001 p= --- p=,000 p=,084
,4188 ,6703 1,0000 ,1370
p=,021 p=,000 p= --- p=,471
,4542 ,3205 ,1370 1,0000
p=,012 p=,084 p=,471 p= ---
Vidíme, že korelační koeficient mezi:
a) výnosem a zimní teplotou je 0,5962, p-hodnota je 0,001, tedy na hladině významnosti 0,05
zamítáme hypotézu o nezávislosti veličin Y a X1;
b) výnosem a letní teplotou je 0,4188, p-hodnota je 0,021, tedy na hladině významnosti 0,05
zamítáme hypotézu o nezávislosti veličin Y a X2;
c) výnosem a srážkami je 0,4542, p-hodnota je 0,012, tedy na hladině významnosti 0,05 zamítáme
hypotézu o nezávislosti veličin Y a X3;
d) zimní teplotou a letní teplotou je 0,6703, p-hodnota je 0,000, tedy na hladině významnosti 0,05
zamítáme hypotézu o nezávislosti veličin X1 a X2;
e) zimní teplotou a srážkami je 0,3205, p-hodnota je 0,084, tedy na hladině významnosti 0,05
nezamítáme hypotézu o nezávislosti veličin X1 a X3;
f) letní teplotou a srážkami je 0,137, p-hodnota je 0,471, tedy na hladině významnosti 0,05
nezamítáme hypotézu o nezávislosti veličin X2 a X3.
Úkol 2.: Vypočtěte všechny výběrové parciální korelační koeficienty mezi Y a ostatními
proměnnými a na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézy o jejich nevýznamnosti.
Řešení:
Postup ukážeme na výpočtu 21 X.X,Yr
, tj. při zkoumání závislosti výnosu na zimních teplotách při
vyloučení vlivu letních teplot a na výpočtu 1.2 XX,Yr
, tj. při zkoumání závislosti výnosu na letních
teplotách při vyloučení vlivu zimních teplot.
Statistiky - Základní statistiky/tabulky - Korelační matice - OK - na záložce Možnosti zaškrtneme
Zobrazit r, úrovně p, počty N a zaškrtneme Zobrazit dlouhá jména proměnných, na záložce
Detaily zvolíme Parciální korelace - 1. seznam proměnných Y, X1, druhý seznam proměnných X2
- OK
Parciální korelace (psenice.sta)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=30 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná Y X1
Y: výnos
X1: zimni teploty
1,0000 ,4682
p= --- p=,010
,4682 1,0000
p=,010 p= ---
Vidíme, že výběrový parciální korelační koeficient 211 X.X,Yr
je 0,4682, p-hodnota je 0,01, tedy na
hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o nevýznamnosti 21 X.X,Y
.
Analogicky 1. seznam proměnných Y, X2, druhý seznam proměnných X1 - OK
Parciální korelace (psenice.sta)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=30 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná Y X2
Y: výnos
X2: letni teploty
1,0000 ,0322
p= --- p=,868
,0322 1,0000
p=,868 p= ---
V tomto případě výběrový parciální korelační koeficient 12 X.X,Yr
je 0,0322, p-hodnota je 0,868,
tedy na hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o nevýznamnosti 12 X.X,Y
.
Interpretace: Výběrový korelační koeficient
5962,0r 1X,Y 
, což je podstatně více než
4188,0r 2X,Y 
. Mohlo by to znamenat, že vliv zimních teplot na výnosy pšenice je vyšší než vliv
letních teplot. Pokud zkoumáme závislost Y na X1 při vyloučení vlivu X2, dostaneme výběrový
parciální korelační koeficient 0,4682, což je poněkud nižší než 0,5962. Ovšem když zkoumáme
závislost Y na X2 při vyloučení vlivu X1, dostaneme výběrový parciální korelační koeficient
0,0322, což je zcela nevýznamná korelace.
Stejným způsobem vypočteme a prozkoumáme další parciální korelační koeficienty. Pro kontrolu:
31 X.X,Yr
= 0,534, p = 0,033, 32 X.X,Yr
= 0,4041, p = 0,03, 13 X.X,Yr
= 0,346, p = 0,066, 23 X.X,Yr
=
0,4412, p = 0,017,  321 X,X.X,Yr
= 0,388, p = 0,041,  312 X,X.X,Yr
= 0,0756, p = 0,702,  213 X,X.X,Yr
=
0,3519, p = 0,066.
Z těchto výsledků vyplývá, že na výnosy mají silný vliv zimní teploty a srážky, zatímco vliv letních
teplot je způsoben silnou korelací mezi zimními a letními teplotami.
Úkol 3.: Vypočtěte výběrový koeficient mnohonásobné korelace mezi výnosy a ostatními
proměnnými a na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o jeho nevýznamnosti.
Řešení:
Statistiky - Vícenásobná regrese - Proměnné - Závislá proměnná Y, seznam nezáv. proměnných
X1, X2, X3 - OK - OK.
Koeficient  321 X,X,X,Yr
najdeme v záhlaví výstupní tabulky pod označením Vícenás. R = 0,6602.
Hodnota testové statistiky pro test nevýznamnosti koeficientu mnohonásobné korelace
 321 X,X,X,Y
je 6,6963, počet stupňů volnosti čitatele je 3, jmenovatele 26, odpovídající p-hodnota
je 0,001691, tedy na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu, že výnosy pšenice nejsou
závislé na zimních teplotách, letních teplotách a srážkách.
Upozornění: Povšimněte si, že všechny výběrové párové korelační koeficienty veličiny Y s
ostatními proměnnými jsou v absolutní hodnotě menší než výběrový koeficient mnohonásobné
korelace: 1X,Yr
= 0,5962, 2X,Yr
= 0,4188, 3X,Yr
= 0,4542, zatímco  331 X,X,X,Yr
= 0,6602.
Příklad 2.: U 19 vzorků potravinářské pšenice byl zjišťován obsah zinku v zrnu (proměnná Y), v
kořenech (proměnná X1), v otrubách (X2) a ve stonku a listech (X3).
Y X1 X2 X3
175 164 198 162
169 160 198 159
175 158 211 164
181 162 211 162
539 520 567 523
526 502 540 491
344 339 355 334
475 460 500 446
820 683 813 695
841 731 832 714
828 710 846 697
775 716 818 709
622 543 635 563
661 577 712 580
579 505 596 531
936 790 946 814
903 806 946 834
927 793 912 824
889 820 919 807
a) Normalitu proměnných Y, Xl, X2, X3 posuďte pomocí K-S testu s hladinou významnosti
0,05.
b) Závislost mezi dvojicemi proměnných (Y,X1), (Y,X2), (Y,X3) znázorněte
dvourozměrnými tečkovými diagramy.
c) Vypočtěte výběrovou korelační matici všech čtyř proměnných a pro  = 0,05 otestujte
významnost jednotlivých korelačních koeficientů.
d) Vypočtěte výběrové parciální korelační koeficienty  321 X,X.X,Yr
,  312 X,X.X,Yr
,  213 X,X.X,Yr
a
porovnejte je s výběrovými párovými korelačními koeficienty 1YXr
, 2YXr
, 3YXr
. Na hladině
významnosti a = 0,05 testujte hypotézy o nevýznamnosti parciálních korelačních koeficientu
 321 X,X.X,Y
,  312 X,X.X,Y
,  213 X,X.X,Y
.
e) V první fázi zpracování předpokládejte, že je vhodný regresní model Y = 0+ 1x1 + 
2x2 + 3x3 + . Vypočtěte index determinace a interpretujte ho. Proveďte celkový F-test.
Odhadněte parametry regresního modelu. Proveďte dílčí t-testy pro regresní koeficienty.
Zjistěte odhad rozptylu. Vypočtěte parciální indexy determinace. (Hladinu významnosti volte  =
0,05.)
f) Posuďte pomocí beta koeficientů vliv jednotlivých nezávisle proměnných veličin na
regresní model.
g) Z regresního modelu odstraňte ty proměnné, jejichž regresní koeficienty se neprokázaly
významné pro  = 0,05. Sestavte nový regresní model a proveďte v něm tytéž úkoly jako v bodě
e).
h) Normalitu reziduí v tomto novém regresním modelu posuďte K-S testem na hladině
významnosti  = 0,05.
i) V novém regresním modelu najděte 95% interval spolehlivosti pro teoretickou regresní
funkci a 95% predikční interval.
Řešení: Načteme datový soubor zinek.sta.
ad a) Výsledky K-S testu normality
proměnná testová statistika p-hodnota
Y 0,15792 > 0,2
X1 0,15613 > 0,2
X2 0,18177 < 0,1
X3 0,16420 < 0,2
Na hladině významnosti 0,05 nelze ani v jednom případě zamítnout hypotézu o normalitě.
ad b)
Dvourozměrné tečkové diagramy dvojic (Y,X1), (Y,X2), (Y,X3) svědčí o existenci dosti silné
přímé lineární závislosti.
100 200 300 400 500 600 700 800 900
X1
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Y
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
X2
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Y
100 200 300 400 500 600 700 800 900
X3
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Y
ad c) Výběrová korelační matice proměnných Y, X1, X2, X3 spolu s odpovídajícími p-hodnotami:
Proměnná Y X1 X2 X3
Y
X1
X2
X3
1,0000 ,9947 ,9981 ,9959
p= --- p=,000 p=0,00 p=0,00
,9947 1,0000 ,9954 ,9980
p=,000 p= --- p=,000 p=0,00
,9981 ,9954 1,0000 ,9962
p=0,00 p=,000 p= --- p=0,00
,9959 ,9980 ,9962 1,0000
p=0,00 p=0,00 p=0,00 p= ---
Na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o nevýznamnosti jednotlivých korelačních
koeficientů.
ad d)
Výběrový koeficient parciální korelace  321 X,X.X,Yr
Proměnná Y X1
Y
X1
1,0000 -,0390
p= --- p=,882
-,0390 1,0000
p=,882 p= ---
Výběrový koeficient korelace 1YXr
je 0,9947, zatímco  321 X,X.X,Yr
je -0,039.
Pokud eliminujeme vliv proměnných X2, X3, tak mezi proměnnými Y a X1 existuje velmi slabá
nepřímá lineární závislost, která není na hladině 0,05 významná.
Výběrový koeficient parciální korelace  312 X,X.X,Yr
Proměnná Y X2
Y
X2
1,0000 ,7515
p= --- p=,001
,7515 1,0000
p=,001 p= ---
Výběrový koeficient korelace 2YXr
je 0,9981, zatímco  312 X,X.X,Yr
poklesl na 0,7515.
Pokud eliminujeme vliv proměnných X1, X3, tak mezi proměnnými Y a X2 existuje silná přímá
lineární závislost, která je na hladině 0,05 významná.
Výběrový koeficient parciální korelace  213 X,X.X,Yr
Proměnná Y X3
Y
X3
1,0000 ,2230
p= --- p=,390
,2230 1,0000
p=,390 p= ---
Výběrový koeficient korelace 3YXr
je 0,99589, zatímco  213 X,X.X,Yr
je pouze 0,223.
Pokud eliminujeme vliv proměnných X1, X2, tak mezi proměnnými Y a X3 existuje slabá přímá
lineární závislost, která není na hladině 0,05 významná.
Vidíme, že existují značné rozdíly mezi párovými a parciálními výběrovými korelačními
koeficienty. Lze tedy soudit na existenci multikolinearity. O tom svědčí ikoeficienty VIF:
Statistiky kolineace za daných podmínek (zinek.sta)
Sigma-omezená parametrizace
Efekt
Toler. Rozptyl
Infl fak
R^2 Y
Beta v
Y
Parciál.
Y
Semipar.
Y
t
Y
p
X1
X2
X3
0,003802 262,9861 0,996198 -0,037425 -0,038960 -0,002308 -0,151006 0,881983
0,007214 138,6290 0,992786 0,793836 0,751501 0,067422 4,411716 0,000505
0,003120 320,5035 0,996880 0,242409 0,223005 0,013540 0,886006 0,389598
ad e) Výsledky pro regresní model Y = 0 + 1x1 +  2x2 + 3x3 + 
Výsledky regrese se závislou proměnnou : Y (zinek.sta)
R= ,99824679 R2= ,99649665 Upravené R2= ,99579598
F(3,15)=1422,2 p<,00000 Směrod. chyba odhadu : 18,094
N=19
Beta Sm.chyba
beta
B Sm.chyba
B
t(15) Úroveň p
Abs.člen
X1
X2
X3
-28,7607 10,60478 -2,71205 0,016066
-0,037425 0,247835 -0,0439 0,29089 -0,15101 0,881983
0,793836 0,179938 0,8079 0,18312 4,41172 0,000505
0,242409 0,273598 0,2802 0,31623 0,88601 0,389598
Adjustovaný index determinace je 0,9958, tedy zvolený regresní model s proměnnými X1, X2, X3
vysvětluje variabilitu proměnné Y z 99,58%. Testová statistika pro celkový F-test nabývá hodnoty
1422,2, odpovídající p-hodnota je velmi blízká 0, tedy model jako celek je významný na hladině
0,05.
Odhad rozptylu získáme z tabulky analýzy rozptylu:
Efekt
Součet
čtverců
sv Průměr
čtverců
F Úroveň p
Regres.
Rezid.
Celk.
1396846 3 465615,2 1422,205 0,000000
4911 15 327,4
1401757
s2 = 327,4
Odhadnutá regresní funkce má tvar: Y

= -28,7607 - 0,0439x1 + 0,8079x2 + 0,2802x3.
Dílčí t-testy pro jednotlivé regresní koeficienty:
testová statistika pro test hypotézy H0: 0 = 0 je -2,71205, p-hodnota je 0,016066, tedy H0
zamítáme na hladině významnosti 0,05;
testová statistika pro test hypotézy H0: 1 = 0 je -0,15101, p-hodnota je 0,881983, tedy H0
nezamítáme na hladině významnosti 0,05;
testová statistika pro test hypotézy H0: 2 = 0 je 4,41172, p-hodnota je 0,000505, tedy H0
zamítáme na hladině významnosti 0,05;
testová statistika pro test hypotézy H0: 3 = 0 je 0,88601, p-hodnota je 0,389598, tedy H0
nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Výpočet parciálních indexů determinace:
9894,09947,0r 22
X,Y 1

(Pokud do modelu Y = 0 +  zařadíme veličina X1, pak bude
vysvětlovat variabilitu hodnot veličiny Y z 98,94%.)
6527,08079,0r 22
X.X,Y 12

(Pokud do modelu Y = 0 +  1x1 +  zařadíme veličinu X2, pak bude
vysvětlovat variabilitu hodnot veličiny Y z 65,27%.)
  0497,0223,0r 22
X,X.X,Y 213

(Pokud do modelu Y = 0 +  1x1 +  2x2 +  zařadíme veličinu X3,
pak bude vysvětlovat variabilitu hodnot veličiny Y z 4,97%.)
ad f) Interpretace beta koeficientů:
beta1 = -0,037425, beta2 = 0,793836, beta3 = 0,242409. V absolutní hodnotě je největší beta2,
tedy obsah zinku v otrubách má největší vliv na obsah zinku v zrnu.
ad g) Protože dílčí t-testy prokázaly, že na hladině 0,05 nejsou proměnné X1 a X3 významné,
sestavíme nový regresní model Y = 0 +  2x2 + .
Výsledky regrese se závislou proměnnou : Y (zinek.sta)
R= ,99807615 R2= ,99615600 Upravené R2= ,99592988
F(1,17)=4405,5 p<0,0000 Směrod. chyba odhadu : 17,803
N=19
Beta Sm.chyba
beta
B Sm.chyba
B
t(17) Úroveň p
Abs.člen
X2
-30,2507 10,31117 -2,93378 0,009274
0,998076 0,015037 1,0157 0,01530 66,37372 0,000000
Adjustovaný index determinace je 0,9959, tedy zvolený regresní model s proměnnou X2
vysvětluje variabilitu proměnné Y z 99,59%. Testová statistika pro celkový F-test nabývá hodnoty
4405,5, odpovídající p-hodnota je velmi blízká 0, tedy model jako celek je významný na hladině
0,05.
Vidíme, že Y

= -30,2507 + 1,0157x2.
Dílčí t-testy pro jednotlivé regresní koeficienty:
testová statistika pro test hypotézy H0: 0 = 0 je -2,93378, p-hodnota je 0,009274, tedy H0
zamítáme na hladině významnosti 0,05;
testová statistika pro test hypotézy H0: 2 = 0 je 66,37372, p-hodnota je 0,000000, tedy H0
zamítáme na hladině významnosti 0,05.
ad h) Ověření normality reziduí
Abychom mohli analyzovat rezidua, musíme je uložit. Ve výstupní tabulce zvolíme
Rezidua/předpoklady/předpovědi - Reziduální analýza - Uložit - Uložit rezidua& předpovědi -
OK.
Testová statistika pro K-S test nabývá hodnoty 0,1163, odpovídající p-hodnota je větší než 0,20,
tedy hypotézu o normalitě reziduí nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Pro úplnost ještě posoudíme vzhled N-P plotu:
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
Pozorovaná hodnota
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Očekávanánormálníhodnota
N-P plot svědčí o tom, že rozložení reziduí se příliš neliší od normálního rozložení.
ad i) Intervaly spolehlivosti pro regresní funkci a pro predikci získáme pomocí dvourozměrných
tečkových diagramů, kde v Detailech vybereme lineární proložení a zvolíme regresní pásy.
95% interval spolehlivosti pro regresní funkci
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
X2
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Y
95% interval spolehlivosti pro predikci
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
X2
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Y