Téma č. 8.: Snížení dimenze dat metodou hlavních komponent
Příklad: Máme k dispozici datový soubor z roku 1979 o 26 evropských zemích, který obsahuje
údaje o procentuálním zastoupení ekonomicky činného obyvatelstva v různých odvětvích
národního hospodářství:
X1 ... zemědělství
X2 ... těžba
X3 ... průmyslová výroba
X4 ... energetika
X5 ... stavebnictví
X6 ... místní hospodářství
X7 ... finanční sektor
X8 ... služby
X9 ... doprava a komunikace.
1
Stát
2
X1
3
X2
4
X3
5
X4
6
X5
7
X6
8
X7
9
X8
10
X9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Belgie 3,3 0,9 27,6 0,9 8,2 19,1 6,2 26,6 7,2
Dánsko 9,2 0,1 21,8 0,6 8,3 14,2 6,5 32,2 7,1
Francie 10,8 0,8 27,5 0,9 8,9 16,8 6 22,6 5,7
Záp. Německo 6,7 1,3 35,8 0,9 7,3 14,4 5 22,5 6,1
Irsko 23,2 1 20,7 1,3 7,5 16,8 2,8 20,6 6,1
Itálie 15,9 0,6 27,6 0,5 10 18,1 1,5 20,1 5,7
Lucembursko 7,7 3,1 30,8 0,8 9,2 18,5 4,5 19,2 6,2
Nizozemsko 6,3 0,1 22,5 1 9,9 18 6,9 28,5 6,8
Velká Británie 2,7 1,4 30,2 1,4 6,9 16,9 5,8 28,3 6,4
Rakousko 12,7 1,1 31,4 1,4 8 16,8 4,9 16,7 7
Finsko 13 0,4 25,9 1,3 7,4 14,7 5,5 24,2 7,6
Řecko 41,4 0,6 17,6 0,6 8,1 11,5 2,4 11,1 6,7
Norsko 9 0,5 22,4 0,8 8,6 16,9 4,7 27,7 9,4
Portugalsko 27,8 0,3 24,5 0,6 8,4 13,3 2,7 16,7 5,7
Španělsko 22,9 0,8 28,5 0,7 11,5 9,7 8,5 11,9 5,5
Švédsko 6,1 0,4 25,9 0,8 7,2 14,4 6 32,4 6,8
Švýcarsko 7,7 0,2 37,8 0,8 9,5 17,5 5,3 15,5 5,7
Turecko 66,8 0,7 7,9 0,1 2,8 5,5 1,1 11,9 3,2
Bulharsko 23,6 1,9 32,3 0,6 7,9 8 0,7 18,2 6,8
Československo 16,5 2,9 35,5 1,2 8,7 9,2 0,9 17,9 7,2
Vých. Německo 4,2 2,9 41,2 1,3 7,6 11,2 1,2 22,1 8,3
Maďarsko 21,7 3,1 29,6 1,9 8,2 9,4 0,9 17,2 8
Polsko 31,1 2,5 25,7 0,9 8,4 7,5 0,9 16,1 6,9
Rumunsko 34,7 2,1 30,1 0,6 8,7 5,9 1,3 11,6 5
Sovětský svaz 23,7 1,4 25,8 0,6 9,2 6,1 0,5 23,4 9,3
Jugoslávie 48,7 1,5 16,8 1,1 4,9 6,4 11,3 5,3 4
Tento datový soubor analyzujte metodou hlavních komponent.
Řešení v systému STATISTICA:
Vazby mezi dvojicemi proměnných posoudíme pomocí maticových grafů:
Grafy - Maticové grafy - Proměnné X1 - X9 - OK - OK.
Maticový graf
staty1979.sta 10v*26c
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
Dále data znázorníme pomocí krabicových diagramů:
Krabicový graf
Všechny případy
Medián
25%-75%
Min-Max
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
Proměnné vykazují značně rozdílnou variabilitu. Analýzu tedy založíme na výběrové korelační
matici R:
Statistiky - Vícerozměrné průzkumné techniky - Hlavní komponenty & klasifikační analýza Proměnné
X1 až X19, OK - OK - Popisné statistiky - Korelační matice.
Korelace (staty1979.sta)
Proměnná X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
1,00 0,04 -0,67 -0,40 -0,53 -0,73 -0,22 -0,75 -0,56
0,04 1,00 0,44 0,41 -0,02 -0,40 -0,44 -0,28 0,16
-0,67 0,44 1,00 0,39 0,48 0,21 -0,15 0,15 0,36
-0,40 0,41 0,39 1,00 0,03 0,20 0,11 0,13 0,37
-0,53 -0,02 0,48 0,03 1,00 0,33 0,01 0,17 0,38
-0,73 -0,40 0,21 0,20 0,33 1,00 0,36 0,57 0,17
-0,22 -0,44 -0,15 0,11 0,01 0,36 1,00 0,11 -0,25
-0,75 -0,28 0,15 0,13 0,17 0,57 0,11 1,00 0,56
-0,56 0,16 0,36 0,37 0,38 0,17 -0,25 0,56 1,00
Tato korelační matice má bohužel determinant blízký 0 (říkáme, že je špatně podmíněná), nelze
tedy provést Bartlettův test. Je však vidět, že některé korelační koeficienty jsou v absolutní
hodnotě dostatečně velké a zřejmě tedy bude mít smysl provést analýzu hlavních komponent.
Nyní získáme vlastní čísla výběrové korelační matice a procento vysvětleného rozptylu: na záložce
Základní výsledky vybereme Vlastní čísla.
Pořadí vl.č.
vl. číslo % celk.
rozptylu
Kumulativ.
vl. číslo
Kumulativ.
%
1
2
3
4
5
6
7
8
3,466490 38,51655 3,466490 38,5166
2,135004 23,72227 5,601494 62,2388
1,115581 12,39534 6,717075 74,6342
0,989394 10,99326 7,706468 85,6274
0,539211 5,99123 8,245679 91,6187
0,382111 4,24568 8,627790 95,8643
0,233226 2,59140 8,861015 98,4557
0,138985 1,54428 9,000000 100,0000
První hlavní komponenta tedy vysvětluje 38,52% variability obsažené v devíti sledovaných
proměnných, druhá 23,72%, třetí 12,40% atd. Celkové procento variability vysvětlené prvními
třemi hlavními komponentami je 74,63%.
Sestrojíme sutinový graf (scree plot): na záložce Základní výsledky vybereme Sutinový graf.
38,52%
23,72%
12,40%
10,99%
5,99%
4,25%
2,59%
1,54%
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Pořadí vl. čísla
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0Vlast.číslo
38,52%
23,72%
12,40%
10,99%
5,99%
4,25%
2,59%
1,54%
Počet m hlavních komponent zvolíme tři na základě sutinového grafu, na základě vysvětleného
rozptylu a na základě Kaiserova kritéria (první tři vlastní čísla jsou větší než 1). V nabídce
Výsledky hlavních komponent snížíme počet faktorů na 3.
Vypočteme korelační koeficienty prvních tří hlavních komponent a původních devíti proměnných:
na záložce Proměnné vybereme Korelace faktorů & proměnných.
Korelace faktorů a proměnných (faktor. zátěže) podle korelací (staty1979.sta)
Proměnná Faktor 1 Faktor 2 Faktor 3
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
0,978776 0,081725 -0,049455
-0,000898 0,901105 0,216344
-0,652174 0,513343 0,112868
-0,474888 0,378598 0,649962
-0,595263 0,073032 -0,304047
-0,698213 -0,513734 0,119592
-0,136193 -0,663299 0,589451
-0,727506 -0,327637 -0,251642
-0,684094 0,304809 -0,337074
Získáme 2D graf faktorových souřadnic proměnných:
Projekce proměnných do faktorové roviny ( 1 x 2)
Aktiv.
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
Faktor 1 : 38,52%
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
Faktor2:23,72%
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
Velmi důležité jsou proměnné X1 (zemědělství) a X2 (těžba) , nejméně důležitá je pak proměnná
X5 (stavebnictví). X1 záporně koreluje se všemi proměnnými kromě X2.
Podívejme se rovněž na vektory souřadnic (v systému STATISTICA se jim říká faktorové
souřadnice případů): na záložce Případy vybereme Faktorové souřadnice případů.
Faktorové souřadnice případů podle korelací (staty1979.sta)
Případ Faktor 1 Faktor 2 Faktor 3
Belgie
Dánsko
Francie
Záp. Německo
Irsko
Itálie
Lucembursko
Nizozemsko
Velká Británie
Rakousko
Finsko
Řecko
Norsko
Portugalsko
Španělsko
Švédsko
Švýcarsko
Turecko
Bulharsko
Československo
Vých. Německo
Maďarsko
Polsko
Rumunsko
Sovětský svaz
Jugoslávie
-1,68273 -1,20656 0,16668
-0,90831 -2,05598 -0,85147
-0,74050 -1,11048 0,38553
-0,85647 -0,03165 0,56466
0,11153 -0,40400 0,53134
-0,36366 -0,74902 -1,29050
-1,04022 0,74294 0,46327
-1,65732 -1,98866 -0,08729
-1,61201 -0,39776 1,35031
-1,01103 0,16508 1,16804
-0,97223 -0,73166 0,54475
2,07154 -0,33521 -0,92274
-1,66538 -1,05092 -1,14341
0,99709 -0,74259 -0,75474
0,43244 -0,60818 0,31825
-1,07387 -1,55390 -0,22815
-1,04031 -0,74707 0,28216
6,19519 -1,04930 -0,64265
0,67558 1,48159 -1,03101
-0,48005 2,63421 0,07902
-1,73669 2,73412 0,26970
-0,57526 3,07981 1,09460
1,08637 1,87264 -0,54684
2,01536 1,57550 -0,48595
-0,04779 1,26246 -2,30671
3,87872 -0,78542 3,07316
1. HK vysoce kladně koreluje s proměnnou X1 (zemědělství) a záporně se všemi ostatními
proměnnými. Tato hlavní komponenta tedy rozlišuje země na zemědělské a průmyslové.
Povšimněte si, že souřadnice této hlavní komponenty jsou nejvyšší u Turecka (6,2) a Jugoslávie
(3,9).
2. HK vysoce kladně koreluje s proměnnou X2 (těžba) a podstatně slaběji s proměnnou X3
(průmyslová výroba). Vysoké hodnoty souřadnic této hlavní komponenty najdeme u Maďarska,
Východního Německa a Československa.
3. HK středně silně koreluje s proměnnou X4 (energetika) a X7 (finanční sektor). Nejvyšší
hodnotu najdeme u Jugoslávie.
Nyní znázorníme rozmístění zemí na ploše prvních dvou hlavních komponent:
Na záložce Případy vybereme 2D graf fakt. souřadnic příp.
Projekce případů do faktorové roviny ( 1 x 2)
Případy se součtem cos()^2 >= 0,00
Belgie
Dánsko
Francie
Záp. Německo
Irsko
Itálie
Lucembursko
Nizozemsko
Velká Británie
Rakousko
Finsko
Řecko
Norsko
Portugalsko
Španělsko
Švédsko
Švýcarsko
Turecko
Bulharsko
ČeskoslovenskoVých. Německo
Maďarsko
Polsko
Rumunsko
Sovětský svaz
Jugoslávie
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Faktor 1: 38,52%
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Faktor2:23,72%
Belgie
Dánsko
Francie
Záp. Německo
Irsko
Itálie
Lucembursko
Nizozemsko
Velká Británie
Rakousko
Finsko
Řecko
Norsko
Portugalsko
Španělsko
Švédsko
Švýcarsko
Turecko
Bulharsko
ČeskoslovenskoVých. Německo
Maďarsko
Polsko
Rumunsko
Sovětský svaz
Jugoslávie
Můžeme se ještě pokusit o znázornění zemí v prostoru prvních tří hlavních komponent: přepneme
se v pracovním sešitě na tabulku Faktorové souřadnice případů dle korelací. Označíme myší 3
hlavní komponenty. Klikneme pravým tlačítkem, vybereme Grafy bloku dat - Vlastní graf bloku
podle sloupce - 3D XYZ grafy - Bodové grafy - Běžný - OK, 2x klikneme na pozadí grafu Popisy
bodů - zaškrtneme Zobrazovat popisy bodů.
3D bodový graf z Faktor 3 proti Faktor 1 a Faktor 2
Tabulka33 3v*26c
Turecko
Jugoslávie
Rumunsko
Řecko
Polsko
Bulharsko
Portugalsko
Španělsko
Sovětský svaz
Irsko
Maďarsko
Československo
Itálie
Francie
Lucembursko
Záp. Německo
Rakousko
Finsko
Švýcarsko
Švédsko
Dánsko
Vých. Německo
Velká Británie
Norsko
Belgie
Nizozemsko
Turecko
Jugoslávie
Rumunsko
Řecko
Polsko
Bulharsko
Portugalsko
Španělsko
Sovětský svaz
Irsko
Maďarsko
Československo
Itálie
Francie
Lucembursko
Záp. Německo
Rakousko
Finsko
Švýcarsko
Švédsko
Dánsko
Vých. Německo
Velká Británie
Norsko
Belgie
Nizozemsko
Nakonec posoudíme reprodukovanou a reziduální korleační matici:
Statistiky - Vícerozměrné průzkumné techniky - Faktorová analýza - Proměnné 1 - 12, OK - Max.
počet faktorů 2 - OK - Výklad rozptylu - Reproduk./ rezid. korelace.
Reprodukované korelace (staty1979.sta)
Extrakce: Hlavní komponenty
Proměnná X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
0,96 0,07 -0,60 -0,43 -0,58 -0,73 -0,19 -0,74 -0,64
0,07 0,81 0,46 0,34 0,07 -0,46 -0,60 -0,29 0,28
-0,60 0,46 0,69 0,50 0,43 0,19 -0,25 0,31 0,60
-0,43 0,34 0,50 0,37 0,31 0,14 -0,19 0,22 0,44
-0,58 0,07 0,43 0,31 0,36 0,38 0,03 0,41 0,43
-0,73 -0,46 0,19 0,14 0,38 0,75 0,44 0,68 0,32
-0,19 -0,60 -0,25 -0,19 0,03 0,44 0,46 0,32 -0,11
-0,74 -0,29 0,31 0,22 0,41 0,68 0,32 0,64 0,40
-0,64 0,28 0,60 0,44 0,43 0,32 -0,11 0,40 0,56
Reziduální korelace (staty1979.sta)
Extrakce: Hlavní komponenty
(Označená rezidua jsou > ,100000)
Proměnná X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
0,04 -0,04 -0,08 0,03 0,05 -0,01 -0,03 -0,01 0,08
-0,04 0,19 -0,02 0,06 -0,09 0,07 0,15 0,01 -0,11
-0,08 -0,02 0,31 -0,11 0,06 0,01 0,10 -0,15 -0,25
0,03 0,06 -0,11 0,63 -0,28 0,06 0,30 -0,09 -0,07
0,05 -0,09 0,06 -0,28 0,64 -0,05 -0,03 -0,24 -0,04
-0,01 0,07 0,01 0,06 -0,05 0,25 -0,08 -0,11 -0,15
-0,03 0,15 0,10 0,30 -0,03 -0,08 0,54 -0,20 -0,14
-0,01 0,01 -0,15 -0,09 -0,24 -0,11 -0,20 0,36 0,17
0,08 -0,11 -0,25 -0,07 -0,04 -0,15 -0,14 0,17 0,44
Nejmenší rezdiuální korelace vidíme u proměnné X1, naopak největší u proměnné X4.
Příklad k samostatnému řešení:
Datový soubor osoby.sta obsahuje následující údaje o 32 náhodně vybraných osobách:
Sex (1 muž, 2 žena)
Věk (věk osoby v dosažených letech)
Výška (výška osoby v cm)
Hmotnost (hmotnost osoby v kg)
BMI (Body Mass Index se počítá podle vzorce
 
 22
mvvýška
kgvhmotnost
BMI 
. Osoby, které mají BMI
pod 18,5, trpí podvýživou, BMI mezi 18,5 a 25 ukazuje na normální stav, hodnoty mezi 25 a 30
svědčí o nadváze a hodnoty nad 30 pak o obezitě.)
Křestním jménem osoby jsou označeny jednotlivé případy v datovém souboru.
Proveďte analýzu hlavních komponent pro tento datový soubor.
Interpretace: 1. hlavní komponenta odlišuje muže a ženy, 2. hlavní komponenta pak odlišuje
osoby podle věku.