42
KRIGING ­ geostatistické metody interpolace
Krigování je základní geostatistickou metodou určování lokálního odhadu. Metoda
se často označuje akronymem BLUE (Best Linear Unbiased Estimator ­ tedy
nejlepší lineární nezkreslený odhad). Toto označení má vystihnout výchozí podmínky
krigování:
* odhadovaná hodnota je vypočtena jako lineární kombinace vstupních hodnot:
=
=
n
i
ii xzxz
1
0 )()(^ 
kde pro váhy platí
=
=
n
i
i
1
1
* nezkreslený (nestranný) odhad značí, že průměrná chyba tohoto odhadu je
rovna nule
0)^( =- ii zz
* je minimalizován rozptyl odhadu
.min)^(
2
=- ii zz
Pokud prostorově závislá náhodná kolísání nejsou překryta nekorelovaným šumem,
potom může být semivariogram využit k určení vah i potřebných pro interpolaci.
Procedura je podobná jako v případě metody vážených klouzavých průměrů s tím
rozdílem, že právě váhy jsou odhadnuty geostatistickými metodami. Váhy i jsou
zvoleny tak, aby odhad )(^ 0xz byl nestranný a odhad rozptylu 2
e byl menší, než
jakákoliv jiná lineární kombinace pozorovaných hodnot (minimální).
Přitom pro minimální rozptyl hodnot )(^ 0xz platí výraz :
=
+=
n
i
iie xx
1
0
2
),(^ 
kde:
=
=+
n
i
jjii xxxx
1
0 ),(),(  pro všechna j.
Hodnota ),( ji xx je semivariance proměnné z mezi body xi a xj. Hodnota ),( 0xxi je
semivariance proměnné z mezi bodem xi a bodem x0, pro který je hodnota proměnné
z zjišťována. Obě hodnoty lze získat z vhodného teoretického modelu
semivariogramu. Hodnota  je tzv. Lagrangeův multiplikátor, který zajišťuje
požadavek minimalizace odchylek a zároveň podmínku, že suma vah je rovna jedné.
Uvedená metoda se označuje jako základní (ordinary) kriging a je možné ji použít
pro interpolaci v pravidelné mřížce hodnot, ke konstrukci map (např. izolinií).
43
PŘÍKLAD: Výpočet neznámé hodnoty v bodě metodou základního krigingu.
Na základě změřených hodnot veličiny Z v pěti bodech (i=1,..., 5) (viz. obrázek) máme za
úkol odhadnout hodnotu Z bodě (i=0) o souřadnicích (x=5, y=5) metodou krigingu.
Obr. 1 Vstupní data pro lokální odhad metodou základního krigování (podtržená čísla značí
hodnotu atributu v bodě)
Na základě předem provedené strukturní analýzy použijeme sférický semivariogram.














-+=
3
10
2
1
2
3
)(
a
h
a
h
cch ........... pro ah 
10)( cch += ........... pro ah >
Parametry použitého teoretického semivariogramu jsou:
c0 = 2,5
c1 = 7,5
a = 10,0 (dosah)
Data v pěti měřených bodech mají následující souřadnice
i x y z
1 2 2 3
2 3 7 4
3 9 9 2
4 6 5 4
5 5 3 6
Pokud budeme dále značít:
A ­ matice semivariancí mezi všemi dvojicemi bodů
b ­ vektor semivariancí mezi všemi body a bodem predikovaným
 ­ vektor vah jednotlivých bodů
 ­ tzv. Lagrangeův člen
potom základní vztah pro odhad metodou krigování lze psát jako:
bA =
44
Pro vlastní řešení je nutné vypočítat váhy , které musí splňovat podmínku 1=
Uvedený základní vztah lze vyjádřit jako soustavu rovnic:






















=












































1
.
.
.
.
.
.
*.
01...11
1...
...
...
...
1...
1...
0
20
10
2
1
21
22221
11211
nnnnnn
n
n










V tomto zápisu poslední řádek a poslední sloupec v první matici a hodnota Lagrangeova
členu  jsou použity pro zajištění podmínky sumy vah 1= . Hodnota Lagrangeova
multiplikátoru  také slouží pro výpočet rozptylu odhadnuté hodnoty. Uvedená soustava
rovnic nám poskytne hodnoty všech vah  a hodnotu . V maticovém zápisu lze tedy psát:






=-


bA 1
Aby bylo možné vyčíslit hodnoty semivariancí, je v prvním kroku zapotřebí vytvořit matici
vzdáleností mezi datovými body:
i 1 2 3 4 5
1 0,000 5,099 9,899 5,000 3,162
2 5,099 0,000 6,325 3,606 4,472
3 9,899 6,325 0,000 5,000 7,211
4 5,000 3,606 5,000 0,000 2,236
5 3,162 4,472 7,211 2,236 0,000
Vektor vzdáleností mezi měřenými body a bodem predikovaným:
i 0
1 4,234
2 2,828
3 5,657
4 1,000
5 2,000
Těchto vzdáleností využijeme k výpočtu semivariancí pro sférický model semivariogramu
s výše uvedenými parametry c0 , c1 , a ­ tedy k sestavení matice A a vektoru b:
Matice A:
i 1 2 3 4 5 6
1 2,500 7,739 9,999 7,656 5,939 1,000
2 7,739 2,500 8,667 6,381 7,196 1,000
3 9,999 8,667 2,500 7,656 9,206 1,000
4 7,656 6,381 7,656 2,500 4,936 1,000
5 5,939 7,196 9,206 4,936 2,500 1,000
6 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,000
Ve výše uvedené matici má řádek navíc (i=6) zajistit podmínku, že váhy budou mít sumu
rovnu jedné.
45
Vektor b:
i 0
1 7,151
2 5,597
3 8,815
4 3,621
5 4,720
6 1,000
Inverzní matce A
-1
:
i 1 2 3 4 5 6
1 -,172 ,050 ,022 -,026 ,126 ,273
2 ,050 -,167 ,032 ,077 ,007 ,207
3 ,022 ,032 -,111 ,066 -,010 ,357
4 -,026 ,077 ,066 -,307 ,190 ,030
5 ,126 ,007 -,010 ,190 -,313 ,134
6 ,273 ,207 ,357 ,003 ,134 -6,873
Řešením výše uvedené soustavy rovnic lze pro jednotlivé vzdálenosti získat hodnoty vah :
i 
1 0,0175
2 0,2281
3 -0,0891 vypočtené hodnoty vah
4 0,6437
5 0,1998
6 0,1182 vypočtená hodnota 
Pro váhy i=1,...5 platí, že jejich suma se rovná jedné, v posledním řádku je hodnota
Lagrangeova členu .
Vzdálenosti měřených bodů od bodu predikovaného, již přísluší výše určené váhy:
i 0
1 4,234
2 2,828
3 5,657
4 1,000
5 2,000
Potom odhad hodnoty Z v bodě (i=0) o souřadnicích (x=5, y=5):
Z(xi=0) = 0,0175*3+0,2281*4-0,0891*2+0,6437*4+0,1998*6 =
Z(xi=0) =4,560
Rozptyl odhadu:
e
2
= [0,0175*7,151+0,2281*5,597-0,0891*8,815+0,6437*3621+0,1998*4,720]+  =
e
2
= 3,890 + 0,1182 =
e
2
= 4,008
Typy krigování
Na rozdíl od deterministických metod interpolace nabízí metody krigingu vedle
odhadů vlastní interpolované hodnoty také odhady pravděpodobnosti výskytu těchto
hodnot a dále odhady chyb predikce. Pro charakterizování jednotlivých typů krigingu
předpokládejme jednoduchý model:
( ) )()( iii xxxZ  +=
kde Z(xi) je proměnná v bodě xi, která se skládá z deterministické hodnoty trendu
(xi) a autokorelované náhodné proměnné (xi). Protože ve většině případů hodnotu
trendu často pouze odhadujeme a neznáme ji přesně, je určitou chybou zatížena též
46
náhodná složka. Pro tuto platí, že její průměrná chyba je rovna nule a autokorelace
hodnot (xi) (xi+h) nezávisí na aktuální pozici, ale pouze na hodnotě vzdálenosti h.
Hodnota trendu může nabývat konstantní hodnoty ((xi)= . V závislosti na tom, zda
hodnota  představuje konstantu či zda data obsahují trendovou složku a v závislosti
na tom, za hodnota  představuje zámou hodnotu či zda ji odhadujeme definujeme
různé metody (modely) krigování. Mezi základní metody krigování, kterými se
provádí odhad na základě přímo naměřených hodnot patří především:
* základní (ordinary) krigování s bodovým odhadem
* základní (ordinary) krigování s blokovým odhadem
* jednoduché (simple) krigování
* univerzální krigování
* pravděpodobnostní krigování
* co-kriging
* lognormální krigování.
Základní krigování (ordinary kriging)
Obecný model základního krigování:
( ) )()( iii xxxZ  +=
kde  je neznámá hodnota trendu.
Obr. 2 Princip základního krigování
Jednoduché krigování (Simple kriging)
Nejjednodušší variantou krigování je tzv. jednoduché krigování (simple kriging). K
výpočtu je potřebná znalost průměrné hodnoty veličiny v poli () a dále předpoklad
stacionarity. Obecný model jednoduchého krigování má opět tvar:
( ) )()( iii xxxZ  +=
kde  je známá konstanta.
47
Obr. 3 Princip základního krigování
V tomto modelu, protože známe hodnotu , potom v bodech měření známe přesně
také (x). V případě základního krigování jsou obě hodnoty odhadovány. Základní
korigování tedy nabízí přesnější odhad autokorelace, předpoklad znalosti  je však
často nereálný. Často se však používá některá z běžných trendových funkcí, kterou
se nejprve vyjádří rezidua. Trend reziduí se potom považuje za nulový a aplikuje se
základní krigování.
Univerzální krigování (Universal kriging)
Obecný model univerzálního krigování má opět tvar:
( ) )()( iii xxxZ  +=
kde (x) je deterministická funkce - např. polynom druhého stupně jako na
přiloženém obrázku. Pokud odečteme hodnotu polynomu od originálních dat,
dostaneme chybovou složku (x), která má charakter náhodné proměnné
s průměrem rovným nule. Autokorelace je modelována právě z této náhodné
proměnné. Jak je patrné z obrázku, univerzální kriging je v tomto případě analogií
regresní závislosti. Na rozdíl od regrese, kde složku (x) považujeme za
nekorelovanou, v případě krigování ji modelujeme jako složku autokorelovanou.
Stejně jako v případě základního krigingu, vhodná dekompozice na obě výše
uvedené složky ze samotných dat nelze provést (proto je třeba model ???).
Univerzální kriging používá k popisu autokorelované náhodné složky semivariogramu
nebo kovariance.
Obr. 4 Princip univerzálního krigování
Indikátorové krigování
48
V řadě úloh nás nezajímá, zda je v daném místě nebo na dané ploše
nejpravděpodobnější průměrná koncentrace 0,016 nebo 0,015, ale odhad
pravděpodobnosti, s jakou je překročena limitní hodnota např. 0,012. Tyto úlohy řeší
tzv. indikátorové krigování, které náleží do skupiny neparametrických
geostatistických metod. Dále sem patří také soft kriging a pravděpodobnostní
krigování. Pro tyto metody krigingu se zavádí pojem prahové hodnoty, kterou lze
spojitou proměnnou převést na binární (viz. obr.)
Indikátorové krigování předpokládá model ve tvaru:
( ) )( ii xxI  +=
kde  neznámá konstanta, (x) autokorelovaná náhodná proměnná a I(x) je buďto
přímo zjištěná binární proměnná a nebo binární proměnná, kterou obdržíme ze
spojitých dat prahováním. Jinak se model neliší od základního krigování. Protože
indikátorová proměnná nabývá hodnot 0 nebo 1, potom interpolované hodnoty budou
nabývat hodnot od 0 do 1 a lze je interpretovat jako pravděpodobnost, že proměnná
nabývá hodnoty 1. Pokud bylo pro vytvoření indikátorové proměnné použito postupu
prahování, potom lze vytvořenou mapu interpretovat jako pravděpodobnost
překročení prahové hodnoty.
Obr. 5 Princip prahování hodnot proměnné
Obr. 6 Princip indikátorového krigování
Uvedený princip lze obecně rozšířit a použitím dvou více hodnot vytvořit např. dvě
indikátorové proměnné (viz. dále - co-kriging).
49
Pravděpodobnostní krigování (probalility kriging)
Pravděpodobnostní krigování předpokládá model ve tvaru:
( ) )())(( 111 xcxZIxI  +=>=
( ) )(22 xxZ  +=
kde 1 a 2 jsou neznámé konstanty. I(x) je binární proměnná vytvořená
indikátorovým prahováním (I(Z(x) > c1). V tomto případě dostáváme dvě náhodné
chyby 1(x) a 2(x). Cíle pravděpodobnostního krigování jsou stejné jako u krigování
indikátorového, jsou však dosaženy využitím konceptu co-krigingu.
Na obrázku 7 má datový bod Z(u=9) hodnotu indikátorové proměnné I(u)=0 a bod
Z(x=10) hodnotu I(x)=1. Pokud bychom chtěli predikovat hodnotu v polovině
vzdálenosti mezi oběma body ­ na x-ové souřadnici 9,5, potom použitím modelu
indikátorového krigování bychom obdrželi hodnotu 0,5. Z obrázku je však patrné, že
datový bod Z(x) je nepatrně nad hodnotou prahu, naopak bod Z(u) je výrazně pod
prahovou hodnotou. Je tedy reálné předpokládat, že predikovaná proměnná v bodě
9,5 bude méně než 0,5.
Obr. 7 Princip pravděpodobnostního krigování
Pravděpodobnostní krigování se tedy snaží využít vedle indikátorové proměnné ještě
další extra informace v původních datech. Nevýhodou pravděpodobnostního
krigování je nutnost provádět odhady jako autokorelací pro jednotlivé proměnné, tak
křížových korelací mezi mini. Dalšími odhady neznámých autokorelací se vnáší do
výsledného modelu větší míra nejistoty.
Nelineární kriging (log-normal)
Pokud nemají vstupní data normální rozdělení, je nutné je před vlastní interpolací
transformovat. Nejběžnější je transformace lognormální. Originální data jsou
transformována na přirozený logaritmus o základu 10. Tedy modelování variogramu
a interpolace probíhá s proměnou y(u):
)(ln)( uzuy =
Predikované hodnoty je poté nutno transformovat nazpět, což může působit
problémy (viz. Borrough et. al. 1992) a jako alternativa se nabízí indikátorový kriging
Pro některá FG data, která vykazují rozdělení s kladnou asymetrií, je však
lognormální transformace výhodná (např. obsah chemických látek v půdě).
Kriging s využitím externí informace
K interpolaci kromě hodnot vlastní interpolované proměnné lze využít například:
1. vhodnou stratifikaci dat (stratifikovaný kriging)
50
2. hodnoty jiné proměnné, která koreluje s původní a kterou lze snadno měřit ve
větším počtu bodů (např. výškové poměry) ­ co kriging
3. fyzikální či empiricky sestavený model, který podmiňuje rozložení hodnot
studované proměnné
Stratifikovaný kriging spočívá v rozdělení oblasti na subregiony. Předpokládá
dostatečný počet bodů pro výpočet hodnot variogramu. Může dávat vhodnější
odhady, je však nutné řešit oblasti na styku subregionů. Např. obsah znečišťujících
látek podle oblastí zaplavovaných podél vodního roku s různou frekvencí.
Co-kriging
Máme dvě proměnné z1 a z2, které vykazují prostorovou korelaci. Pak lze využít
hodnot proměnné z2, k interpolaci hodnot proměnné z1. Tento koncept je vhodný
zvláště v případech, kdy je proměnná z2 snáze získatelná a rozšiřitelný i na více než
dvě proměnné. Přitom pro přesnější odhady se používá jak autokorelace jednotlivých
proměnných, tak vzájemné (cross) korelace všech použitých proměnných. Základní
co-kriging využívá následujících modelů:
( ) )(111 xxZ  +=
( ) )(222 xxZ  +=
kde 1 a 2 jsou neznámé konstanty. Dále dostáváme dvě náhodné chyby 1(x) a
2(x). Základní co-kriging odhaduje hodnotu proměnné Z1(x0) stejně jako základní
krigování, ovšem navíc využívá kovariance s hodnotu Z2(x).
Obr. 8 Princip co-krigingu
Z obrázku je patrné, že data Z1 a Z2 se jeví jako nekorelovaná. Dále pokud Z1 je pod
průměrem 1 , potom Z2 je často nad průměrem 2 a naopak. Tedy Z1 a Z2 vykazují
negativní cross korelaci. Vedle základního co-krigingu jsou dalšími variantami např.
jednoduchý, univerzální, indikátorový či pravděpodobnostní co-kriging.
Blokový odhad při základním krigování (Block kriging)
Lokální (bodový) odhad metodou krigingu lze určitým způsobem vztáhnout k ploše či
objemu v prostoru interpolovaných dat. Mnoho přírodních jevů vykazuje značnou
variabilitu a výsledkem bodového odhadu může být mapa obsahující značný počet
ostrých vrcholů a depresí. Tento efekt lze potlačit tak, že modifikujeme výše uvedené
rovnice a odhadneme průměrnou hodnotu z(B) proměnné z pro jistou plochu či
objem B (viz. obr). Tato modifikace je vhodná, pokud výsledkem interpolacemi být
struktura pravidelných buněk (grid).
51
Obr. 9 Princip blokového krigování
Průměrná hodnota z pro blok B
=
B
Bplocha
dxxz
Bz
_
)(
)(
bude odhadnuta z výrazu:
=
=
n
i
ii xzBz
1
)()(^ 
Kde stejně jako u bodového odhadu je suma všech vah i rovna jedné.
Minimální rozptyl nyní bude:
=
-+=
n
i
ii BBBxB
1
2
),(),()(^ 
a získáme ho, když
=
=+
n
i
jjii Bxxx
1
),(),(  pro všechna j.
Rozptyly odhadů pro blokový kriging jsou daleko menší než pro bodový kriging.
Výsledný interpolovaný povrch je obecně více shlazený a neobsahuje takové
množství lokálních extrémů. Blokové korigování je aproximující metodou.
Hodnocení a verifikace modelů
Krigování jako interpolační metoda umožňuje pro každý interpolovaný bod
odhadnout potenciální velikost chyby odhadu. Vedle map predikovaných hodnot tak
lze především konstruovat mapy hodnot 2
e (rozptyl krigingu), které vypovídají o
spolehlivosti interpolovaných hodnot. Tyto hodnoty se obvykle prezentují v podobě
map druhé mocniny 2
e - tzv. směrodatné chyby (odchylky) krigingu (Standard
error map), protože tyto mají stejné jednotky jako predikované hodnoty. V některých
případech se stanovuje také tzv. přesnost (relativní chyba) odhadu:
z
k
^
100

 =
Vyjdeme-li z výše uvedeného příkladu, kdy rozptyl odhadu je e
2
= 4,008. Potom
směrodatná chyba krigingu bude e = 2,002. Budeme-li předpokládat, že chyby
52
predikce mají normální rozdělení, potom 95% interval spolehlivosti predikovaných
hodnot lze určit z následujícího vztahu:
2
0 96,1)( exZ 
kde Z(x0) je odhad hodnoty proměnné z v bodě x0 a e
2
je rozptyl odhadu. V našem
případě tedy při opakovaném použití stejného modelu padne 95 % odhadovaných
hodnot do intervalu (4,560  1,96*2,002) tj. (0,64;8,48)
Konstrukce dalších dvou typů map, které nabízí např. ArcGIS a kterými lze zhodnotit
kvalitu interpolace vychází následujícího obrázku.
Obr. 10 Princip konstrukce Probability map a Quantile map (vysvětlivky viz. text)
Předpokládáme, že krigováním predikované hodnoty mají ve třech různých bodech
normální rozdělení a nacházejí se ve středu každé křivky rozdělení. Chceme-li určit
pravděpodobnost, že predikovaná hodnota bude větší než prahová hodnota - např.
1, potom na obrázku vlevo tuto pravděpodobnost představuje na jednotlivých
křivkách část plochy vpravo od prahové hodnoty (černé plochy). Při konstantní
prahové hodnotě se její pravděpodobnost výskytu pro jednotlivé body mění ­ tedy lze
z ní vytvořit mapu pravděpodobností (probability map).
Na obrázku vpravo je schematicky znázorněno, jakým způsobem určit kvantil s např.
5 procentní pravděpodobností výskytu. Tuto pravděpodobnost v tomto případě opět
značí černá plocha vpravo od prahové hodnoty a hodnotu kvantitu odečteme na ose
x. Při konstantní pravděpodobnosti se budou měnit hodnoty kvantilů a lze je opět
prezentovat ve formě kvantilové mapy (quantile map).
Validace a křížová validace predikovaných hodnot metodou krigingu
Hodnocení přesnosti interpolace lze provádět také pomocí dále popsaných
grafických nástrojů
Křížová validace modelu - k vytvoření spojitého povrchu jsou použita všechna
vstupní data v měřených bodech. Poté jsou jednotlivé body měření (červené) po
jednom postupně vynechány ze vstupní množiny dat a ze zbývajících (modrých) je
vypočtena hodnota v místě vynechaného bodu.
53
Obr. 11Princip křížové validace modelu
Statistické zhodnocení
Procesem křížové validace obdržíme veličiny, které mají následující význam:
)(^
ixZ je predikovaná hodnota pro daný bod xi, kterou obdržíme v procesu křížové
validace
)(^ ix je směrodatná chyba predikce, tedy druhá odmocnina z výrazu pro rozptyl
krigování:
=
+=
n
i
iie xx
1
0
2
),(^ 
Pozorované a vypočtené hodnoty jsou následně porovnány dále uvedenými měrami:
MPE ­ mean prediction error - průměr rozdílů měřených a předikovaných hodnot hodnoty
chyb odhadů by měly být nestranné ­ tedy jejich průměr by se měl rovnat
nule.
n
xzxZ
MPE
n
i
ii=
=
1
))()(^(
RMSPE (root mean square prediction error) ­ druhá odmocnina průměrného
čtverce vzdálenosti vypočtených hodnot (červené body) od teoretických (zelená
přímka v grafech). Tato hodnota slouží k porovnání několika různých modelů. Čím
menší je RMSPE, tím vhodnější je model (tím bližší jsou vypočtené hodnoty
hodnotám měřeným).
n
xzxZ
RMSPE
n
i
ii=
=
1
2
))()(^(
n
xzxZ
RMSE
n
i
ii=
=
1
2
))()(^(
ASE (average standard error) - průměrná směrodatná chyba
n
x
ASE
n
i
i=
= 1
)(^
Výše uvedené nástroje umožňují posoudit vhodnost modelu a také porovnat více
modelů vzájemně mezi sebou.
54
MSPE (mean standardized prediction error) - průměrná standardizovaná chyba
predikce
( )
n
xxzxZ
MSPE
n
i
iii=
=
1
)(^/)()(^ 
RMSSPE (root mean square standardized prediction error)
( )[ ]
n
xxzxZ
RMSSPE
n
i
iii=
=
1
2
)(^/)()(^ 
Validace modelu - vstupní soubor měřených hodnot rozdělí na dvě části ­ data
trénovací a testovací. Trénovací množina dat se použije pro odhad trendu a
autokorelačního modelu. Pokud sestavený model vyhovuje trénovacím datům, je
ověřen na datech testovacích.
Pro oba zmíněné způsoby ověření vhodnosti modelu se využívá sady grafických
nástrojů. Nejběžnějším je graf korelačního pole měřených a predikovaných hodnot.
Obecnou vlastností krigingu jako interpolační metody je podhodnocení vysokých
hodnot a naopak nadhodnocení hodnot nízkých. Tato vlastnost se projeví menší
hodnotou směrnice přímky proložené korelačním polem.
Obr. 12 Korelační pole měřených a predikovaných hodnot
Chybový graf (Error plot) ­ stejný jako předchozí, jsou však vynášeny hodnoty
rozdílů mezi měřenými a predikovanými hodnotami
Standardizovaný chybový graf (Standardized Error) ­ hodnoty rozdílů mezi
měřenými a predikovanými hodnotami jsou děleny odhadnutou směrodatnou chybou
krigování.
V případě nulové autokorelace budou všechny predikované hodnoty stejné ­ budou
odpovídat průměru a proložená přímka bude mít horizontální průběh. V případě
prostorové autokorelace a vhodného modelu krigingu bude proložená přímka totožná
s diagonálou a navíc body korelačního pole budou vykazovat malé odchylky od
diagonálního směru.
Q-Q graf ­znázorňuje graf kvantilů rozdílů mezi měřenými a predikovanými
hodnotami dělenými odhadnutou směrodatnou chybou krigování a odpovídajících
kvantilů normovaného normálního rozdělení. V případě, že odchylky měřených a
odhadnutých hodnot mají normální rozdělení, potom se body v korelačním poli
přimykají k přímce (viz. obr.)
55
Obr. 13 Příklad Q-Q grafu
Interpretace statistických charakteristik k hodnocení vhodnosti modelu:
* Požadavek nestrannosti odhadu ­ unbiased - průměrná chyba odhadu a
standardizovaná průměrná chyba odhadu by se měly blížit k nule:
MPE  0
MSPE  0
* Požadavek minimálních chyb ­ aby predikované hodnoty byly co nejblíže
hodnotám měřeným. Čím menší bude hodnota RMSPE, tím lepší model tedy
tuto podmínku lze použít k porovnání vhodnosti více modelů.
RMSPE  min.
* Požadavek vhodné variability předikovaných dat ­ variabilita
předikovaných hodnot je určována z hodnot měřených. Je tedy důležité, aby i
variabilita interpolací vypočtených hodnot byla vhodná:
ASE  RMSPE ­ vhodný model (vhodná variabilita predikovaných hodnot)
ASE > RMSPE ­ máš model nadhodnocuje variabilitu odhadnutých hodnot
ASE < RMSPE ­ máš model podhodnocuje variabilitu odhadnutých hodnot
V případě značného podílu šumové složky (např. v důsledku chyb v měření) či v
případě značně komplexního povrchu nedává kriging lepší výsledky než jiné
interpolátory. Na rozdíl o jiných metod kriging nabízí objektivní, a priori metodu
odhadu vhodného okolí pro vlastní interpolaci. Řeší tedy otázku počtu bodů v okolí
daného bodu, otázku velikosti a tvaru tohoto okolí. V případě existence bariér
(náhlých skoků v hodnotách interpolovaného povrchu nedává kriging dobré výsledky
a je nutné jej rozdělit na elementární části neobsahující bariéry.