Elektrodynamika 1 Elektrické a magnetické veličiny, jednotky SI Elektricky proud I je v systému SI základní veličina, jednotka je 1 Ampere (1 A). Definice: Stejne proudy ve 2 rovnobežných drátech ve vzdálenosti 1 m mají velikost 1 A, když vzájemna pritahovací síla na 1 m dratu je 2 • 10~7N. Náboj q: Zdroj elektromagnetických sil, pohybuje se ve vodiči, když teče elektrický proud. Jednotka: 1 Coulomb (1 C). Definice: Pri elektrickem proudu o 1 A proteče prurežem vodiče 1 C ža sekundu. 1 C = 1 As ~ 6 • 1018 elementárních naboju. CoulombUv zákon Pritažliva nebo odpudivá síla dvou nýboju q1 a q2 v místech x1 a X2 _ F = k^Y2 (x\ — x2), F = k^Y2, r12 r12 kde r12 = \X1 — X2\ a k je konstanta. Dimenze [k] teto konstanty výplyva ž (1). AT rilAs • As Nm2 N=[k]-— [k] = TY2 ■ m2 A2s2 Použitím rychlosti svetla c platí pro experimentalne urcenou konstantu k = 10-7c2— ■ A2 V SI se píse ž historickych duvodu k =: 1 4neo' kde e0 je tzv. „dielektricka konstanta vakua". (1) Požnamka: Mohli bychom predpoklídat k = 1. Tím bychom urcovali dimenži naboje, vyjídrenou mechanickymi velicinami. V systemu cgs dostavíme ž Coulombova žaíkona , gcm [q]2 i, _1 dyn =—— = —2, [q] = g2 cm2 s ■ s2 cm2 To je jednotka naboje v Gaufiove systemu. Elektrické pole: Síla souboru naboju q1}. ■ ■ ,qN v místech X1, ■ ■ ■, x n na dalsí naboj q v bode X je popsaní pusobením elektrickeho pole v bode X na naboj. Intenzita eletrického pole E(X) je lokílní vlastnost prostoru, v nemž se nachažejí elektickíe naíboje. F (X) = j—Y. q q* t^ts =: q E (X)■ (2) 4neo i=1 \x — Xi\s 1 Intenzita = síla na jednotkový náboj. Dimenze: [E] — N — J c = mc ■ Napětí U. Prýce — zmena potenciální energie při pohybu nýboje v elektrickém poli je daná integrýlem W — j F ds. V prípade pohybu o vzdalenost l podel homogenního elektrickeho pole (např. v deskovem kondensatoru) platí jednoduše W — qEl —: qU. Električke nýpetí je rozdíl potencialní energie jednotkoveho naboje na dvou bodech. Dimenze: [U] — ^ Jednotka: 1 Volt — 1V — 1 ±. Volt se pouzívý pro bezne oznýcení jednotky elektrickeho pole, [E] — 1 m. Magnětickě pole. (Stacionírní) elektricke proudy vyvolavají síly na pohybující se naboje (Lorentzova síla). Analogicky k zavedení intenzity elektrickeho pole uvazujeme sílu souboru eletřických proudu v danem usporadíní vodicu na usek dl jednoho dalsího drítu s konstantním proudem I. Síla je umerní I a dl, dF (x) — I dl x B (x). (3) Magnetická indukce B (x) zahrnuje pusobení vsech elektickych proudu v bode x. Dimenze: Z (3) vyplyva N J Js Vs N — Am[B], [B] — — — — — — — —. Am Am2 Cm2 m2 Jednotka: 1 Tesla — 1T — 1 . Prispevek elektrickeho proudu v íseku drítu dl na míste x2 k magnetickemu poli v bode xi (analogicky Coulombovu zakonu) je dB (xi) — km I df x .f"1 ~ x' . (4) \x1 — x2\3 V SI se píse km — ^, fi0 — -0^? je tzv. „magneticka permeabilita vakua". Síla mezi dvema infinitesimalními íseky vodice, umísteními v bodech s elek- trickími proudy I1 a I2 (analogon Coulombova zakona): 4n \ \xi — x2\3 J 2 Hustota náboje: p(x) = lim ' v / at/" .f Q AV^0 A V kde q je naboj v objemu AV, který obsahuje bod x. Hustota proudu: V (x) = Ä XÄ dl' kde AA je element prurezu vodiče a ^ je jednotkový vektor ve smeru elektrickeho proudu I. 2 Maxwellovy rovnice, statický prípad J. C. Maxwell nasel v 19. století dve vektorove a dve skalýrní parciální diferenciální rovnice 1. radu, které spojují električke a magneticke pole navzajem a s elektrickým nabojem. Z tech rovnic lze odvodit cela elektrodynamika. (5) Vektorove operítorý div a rot lze výjadrit pomoci operatoru Nabla, V ío_ d 1\ \dx' ôy ôzj div v = V • v, rot v = V x v. (6) (7) V prípade statickích polí, kdýž casove derivace jsou nulove, odpojují se elektricke a magnetickíe pole. Elektrostatika Zakladní rovnice divV = P, rotE = 0. (8) eo Elektrostaticke pole je bezvírove pole se zrídlem p. Pro takove pole existuje skalarní potenciíl 0 tak ze E = -grad 0 = -V(. (9) Dosazením do Maxwellový rovnice dostaneme —div grad 0 = —V20 = P. 3 Definujeme Laplaceův operátor A- V2 = — — — (10) ' dx2 dy2 d z2' nabýva rovnice pro potenciál následující tvar, P I (11) A0 = — P en Tato rovnice se nazáva Poissonova rovnice. Oproti Maxwellove rovnici divE = —p ma výhodu, ze jejím rešením je jedna skalární funkce 0(x) místo vektoroveho pole E (x). Magnetostatika rotB = tm?, divB = 0. (12) Magnetostaticke pole je bezzrídlove, silocarý jsou uzavrene; existuje vektorový potenciál A, tak Ze B = rot?, (13) protože div rot A = 0. Dosazená do Maxwellový rovnice vede k rotB = rot rotA = grad divA — AA = ttnj, nebo AA — V (VA) = —tm?. (14) Potencialý nejsou jednoznacne urcený svámi rovnicemi (11) a (14), 0 je jednoznacne až na libovolnou konstantu, A? az na gradient libovolne funkce, ponevadz rot grad/ = 0. Potenciálý lze kalibrovat, jsou kalibracná, nikoliv fýzikalná veliciný. 3 Greenova funkce Poissonovy rovnice, ô -distribuce Poissonova rovnice (11) je eliptickaá lineáarná parciáalná diferenciáalná rovnice druháeho radu. Pro takove rovnice existuje rozsahlá teorie, mý budeme ale zkonstruovat resem na záakláad e znáamýách fýzikáalnáích skute cnostáí. Elektricke pole bodoveho naboje v pocatku je E = 7^4., (15) 4nen \x\- K ' p ráíslu snýá potenciáal je 0 =T^-- (16) 4nen r 4 Pro hustotu bodového náboje platí p{x) = 0 y x = 0 a J d3xp(x) = q. Přestože taková funkce v klasickém smyslu neexistuje, existuje matematický objekt, který popisuje idealižaci bodoveho naboje a pomoci toho můžeme skladat električke pole a potencial libovolneho rozložení naboje ž výražu (15) a (16). Hustota bodoveho nýboje je žkonstruovana pomocí „Diracovy 5-funkce", který lže definovat jako limita funkci' s integrýlem od minus do plus nekonecna rovným jedne, ktere jsou „vľce a vľce soustredene na jeden bod", napr. 1 1 _*2 5(x) := limge(c) = —^= lim-e e . (17) Takove limity majý vlastnost, že /OO ŕ'CO f (x) 5(x)dx = hm/ f (x) gĚ (x) dx = f (0), (18) -OO e >0 J — OO nebo obecneji, /OO f (x') 5 (x - x')dx' = f (x) (19) O pro libovolnou spojitou funkci f. Integral s 5-funkcľ tedy vybŕra hodnotu funkce v urcitem bode. „Výber urcite funkcný hodnoty" je exaktný výžnam 5 v rýmci distribucý t.j. jako žo-bražený vhodneho prostoru funkcý jako nekonecne diferencovatelne funkce s omeženmi nosicem, do realných nebo komplexných ďseL V jažyce distribucý se pýse ekvivalent rovnice (19) 5x[f] = f (x). (20) Distribuce 5x priražuje funkci f funkcní hodnotu f (x); pro její definici stací, že f je spojitýa funkce. Hustota bodoveho naboje v pocýtku souradne soustavy se vyjýdruje trojrožmernou 5-funkcý p(x) = q53(x) = q5(x) 5(y) 5(z). (21) Dosadýme potenciýl a hustotu nýboje v bode x' do Poissonovy rovnice, A0(x) = -S- A—^— = -q 53(x - x'), (22) 47re0 \x — x '\ e0 odvodýme ž toho A = 53(x - x'). (23) 4n \x - x'\ G(x,x '):=—-^— (24) se nažýva Greenova funkce Laplaceova operatoru (=potenciýl jednoho bodoveho naboje.) 5 Poněvadž Poissonova rovnice je lineární, můžeme zkonstruovat potenciál rozložení náboje p(x) jako superpozici potenciálů bodových nábojů, tedy ((x) = -L /d3x'p(x')—^, (25) poprípáde ((x) = — íd3x' G(x, x') P^. (26) J eo To je resení Poissonovy rovnice pro rozložení náboje p(x). Důkáz: —Ax0(x) = /d3x AxG(x, x') ^ = /d3x 53(x — x') ^ = p(X). Index x ždůrážnuje působení Lápláciánu ná necárkováne sourádnice. Greenová fůnkce není jednožnácná. G(x,x') plůs libovolne resení homogenne diferenciální rovnice A( = 0 je táke Greenovoů fůnkcí stejneho operátorů. Greenova věta, Greenův vzorec Odectením dvoů identit, V (uVv) = u Av + Vu V v á V(vVu) = v Au + Vv Vu, dostáneme V (u Vv — vVu) = u Av — v Au. Integrováním á áplikácí Gáůfiovy vety odvodíme Greenovů vetů: / (u Av — v Au) dV = (u V v — v Vu)n dS, Jy Jav (27) kde V je objem á n je normálni vektor ná okráj dV. Podle okrájovích podmínek má Greenová vetá dve stándárdní áplikáce. Dirichletův problem: Zníme p(x) ůvnitr nejákeho objemů V á potenciíl ( ná okráji dV. Dosádíme u = ( á v = G do Greenová vžorce. / [((x') Ax>G(x, x') — G(x, x') Ax>((x')] d3x' = Jv = I \(f>(x') V x' G(x, x') — G(x, x') Vx> ((x')] n dS'. av Podle predpokládů je první clen ná práve stráne žnámí, drůhy, kterí obsáhůje grádi-ent potenciálů, nikoliv. Ták vyůžíme možnost volby Greenovy fůnkce á žkonstrůůjeme 6 takovou, která se rovná nule na okraji dV. Greenově funkci s tou vlastností říkáme Dirichletovu Greenovu funkci, GD. Potenciál ve V je pak dán vzorcem 0(f) = - f G d (x, x') dV + / VGD (x, x') <(x') n dS'. (28) JV t0 JdV Neumannův problém: Známe gradient potenciálu na dV. Vybereme Neumannovu Greenovu funkci GN, jejíž gradient se rovná nule na okraji. <(x) = -f GN (x,x') p(x^ d3x' -f GN (x,x') V(x). Energie dvou naboju = energie naboje qi v bode x1 v potencialu vyvolanem nabojem q2 v bode x2 plus váraž s prehoženámi naboji lomeno dvema, aby se energie nepočítala dvakrat. 1 U = 2(q1 <2(x1) + q2 01(x2)), kde 1 4>i(x) q 4nt0 \x — x, Energie spojiteho rozložení náboje: 1 U =2| p< dV. (30) Pro rozložení bodovách naboju je potencial 1 v- qb 9((xa) = ^ a energie 0(x«) = ~.- V]-, rab = \Xa — £b\ (31) 4vreo rab U = — T, —. (32) 5 MultipOlový rozklad pole V nasledujícím budeme hledat rožvoj elektrickeho potenciálu ve velke vždalenosti od ždroje. 7 5.1 Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích Ve sférických souřadnicích mí Laplacián následující tvar: aó = - d (r2 dó) + 1 d (sin ůdó) + 1 cľ± (33) r2 dr \ dr J r2 sin ů dů \ dů J r2 sin2 ůdp2 Separace proménných: Pokousíme se přeménit parciální diferencialní rovnici do tří obýcejnách diferencialních rovnic pro funkce jednotlivách promenných, R(r), 0(9) a $(p). K tomu predpokladame resení ve tvaru soucinu Ó(r, ů, p) = R(r) • O(ů) • $(p) (34) a dosadíme do Laplaceový rovnice 1 d ( 2 dR ^ \ 1 ô ( n „de \ 1 „ ^ d2$ AÓ = r2 — • O • $+-—— — sinů • R • — • $ + 2 . O — = 0. r2 y dr y r2 sin ů dů \ dů J r2 sin2 ů dp2 2.2..... (35) Nísobíme rRQ1^ 9 a píseme cast, zívisející na p, na pravou stranu sin2ů_d (2 dRA sinů á_ (. ? d0) = 1 d2$ Leví strana ted' zavisí na r a ů, prava strana na p. Z toho výplíva, Ze se obe straný musí rovnat konstante, kterou nazveme m2. Z prave straný dostaneme obýcejnou difer-enciíalni rovnici, d2 $ — + m2$ = 0. (36) dp2 Rovnici výplývající z leve straný muZeme upravit podobním zpusobem, IA (r2 dR A = Jll___LI A (sin ů d0 A = A2, R dr V dr y sin2 ů sin ů O dů y dů y ' kde se opet obe straný musí rovnat konstante, oznacene A2. Z toho dostaneme dve dalsí obýcejne diferencialní rovnice, dr(r2 f) - a2r=o (37) " sinů dů (sin ů S) + (A2 - sŘ) e = 0' (38) tak ze místo parciílní diferencialní rovnice mame rovnice (36), (37) a (38). Resení: Rovnice (36) ma resení $m(p) = Cm cos mp + Sm sin mp (39) 8 příslušné k parametru m, který musí být celočíselný, aby $ bylo periodické ve p. Radiální rovnice (37) nm řešení Ri(r) = Al rl + A, (40) kde A2 = l(l + 1). V rovnici (38) píšeme cosů = x. Resení, ktere obsahuje obe integrační konstanty m a l, oznacíme Pm. Takovou Úpravou dostaneme Legendreovu rovnici (1 - x2>d!pmrÍ - 2x ^ + + 1) - j^} Pľ'(x) = 0. (41) 5.2 Legendreovy polynomy Ortogonalní bazí resení pro m = 0 jsou Legendreovy polynomy Pl(x), vyhovující jednodussí rovnici dx - x2)dpjxx^]+ Id + 1) Pi(x) = 0 (42) s nezaporním celocíselnym parametrem l. Legendreovy polynomy jsou ortogonalní v intervalu (-1,1) J Pk(x) Pi(x)dx = 0 V k = l. (43) Legendreovy polynomy se objevují jako koeficienty v rozvoji tzv. vytvarející funkce (1 - 2xt + t2)./2 = g Pl(x) ^ (44) Použitím Leibnizova pravidla dm[/(x) g(x)] = m m! dm-k / (x) dkg(x) dxm k=o k!(m - k)! dxm-k dxk ( ) dostaneme m-nasobnym derivovíním rovnice (42) (1 - x2)f"(x) - 2x(m + 1)/'(x) + (l - m)(l + m + 1)/(x) = 0, (46) kde /(x) = dľPl(x)/dxľ. Substituce /(x) = (1 - x2)-m/2g(x) vede k tomu, ze funkce g(x) musí splnovat rovnici (41), je tedy konecne Piľ(x) = (1 - x2)m/2 dľPľx). (47) Legendreovy polynomy lze vyjadrít pomocí Rodriguesova vzorce Pl(x) = ííV dx(x2 -1)1■ (48) Vyuzitím tothoto vztahu muzeme rozsírit (47) na oblast zaporních m, tedy Pm(x) = Ti^r(1 - x2)m/2dxmn(1 - x2)l, -l < m < l. (49) Polynomy PJn se nazívají pridruzene Legendreovy polynomy. Nami definovane Pm(x) nebo Pl(x) nejsou na intervalu (-1,1) normovane na jednicku. Ostatne ruzne drobne i vetsí odchylky v definicích specialních funkcí jsou díky historickemu vívoji bohuzel zcela bezne. 9 5.3 Kulove funkce Pomocí přidružených Legendreových polynomů definujeme úplný ortonormální soubor kulových funkcí (t.j. káždou funkci úhlových promenných ve sferických sourádnicích můžeme nápsát pomocí (nekonecne) rády techto funkcí) 77X^7 P™(cos ů) exp(rn^). (50) Plátí tedy Jo dV Jo dů sinůY^^ů, R (55) 10 (57) Potencial mimo koule je dan vzorcem (25) *(x) — -.- / d3x' i,. —-- / d3x' . K ' - 4ntoJ \x — x \ 4nt0J 2 + x'2 — 2 \x\-\x' \ cos y — íd3x' ; P(x'] . (56) 4n£0 \ľ\ 1 ^ — 2 X cos y + (f)2 Y je uhel mezi x a x'. V integrílu se objeví vytvarející funkce Legendřeových polynomu, tak *(x) — — -\ d3x' p(x') £ fl (cos 7J (psali jsme \x\ — r a \x'\ — r'). Pouzítím (54) dostaneme rozvoj 1 r 4n r'1 *(x) — —J d3x'p(x'^2ľ-Trr+iYrWrfmO,*). (58) Pomocí multipílovích momentu qim :— / d3x' p(x') / >T*(ůV) (59) muzeme konecne psat potencial jako superpozici kulovích funkcí fc0 1=0 m=-l 2l + 1 ' V prípade bodoveho naboje víme, ze pole je díno Coulombovym potencialem. Je-li naboj q umísten mimo pocatek souradnic, napr. na ose z (v bode z — R), je potencial dan vztahem *—4n^^Pi(cos^Kr)'' r ž R l (61) q 0 R * — 4^§Pl(cosů)(r ž R Pro r R prevazuje rotacne soumerna (vzhledem k pocatku souradnic, nikoli poloze naboje) slozka l — 0. Umístíme-li vsak na ose z jeste naboj opacne velikosti do z — — R, vyrusí se identicke príspevky clenu s l — 0 a pro r >> R prevazuje pak dipóloví slozka (l—1) 2qRPi(cos ů) D cos ů *dip — -.--2-— -.--y~ , (62) kde D — 2qR oznacuje dipíloví moment. Podobne, umístíme-li na ose z v z — ±R naboje q a v pocatku naboj — 2q, vyrusí se identicke príspevky clenu s l — 0 a l — 1 a pro r R prevazuje pak kvadrupolova slozka (l — 2) . _ 2qR2 P2(cosů) Q 1 — 3 cos2 ů *quad — — --3- — "j--3-, (63) kde Q — qR2 je kvadrupolovy moment. Obecne jsou multipolove momenty zívisle na umístení v souradnem systemu, s víjimkou nejnízsího nenuloveho momentu. 11 6 Magnetostatika 6.1 Analogie mezi elektrostatikou a magnetostatikou Integrální tvar infinitesimální rovnice (4), vyjádřený pomocí hustoty proudu, je B (x) = -° í dV j(x') x ,! ~ t' 3 = - -° í d3x' j(x') x V— = -0V x í d3x' j(xl, =: rot j(x). (64) 4n J \x - x \ Zavedli jsme vektorový potenciál A(x) = I dV-P^. (65) Vektorový potenciál není jednoznaCný, protože mUžeme priCíst gradient libovolne funkce, jehož rotace je identicky nulová. Taková transformace, A(x) —> A(x) + grad A(x) se nazívá kalibracní transformace. (Stejne je skalární potenciál jednoznacní jenom až na konstantu.) Volba A = 0 (Coulombova kalibrace) vede k vlastnosti div A = 0, protože V\x - x= -V '\x - xa z toho dostaneme integrací per partes V 'j(x'), což se rovná nule podle staticke rovnice kontinuity. Dosazením do Maxwellovy rovnice dostaneme tak rot B (x) = rotrotA (x) = graddivA (x) - AA (x) = -AA (x) = --0 í d3x' j(x') A—^ = —oj (x), (66) tedy vektorovou Poissonovu rovnici pro A. Následující tabulka ukazuje analogie mezi elektrostatikou a magnetostatikou. Elektrostatika Velicina, vztah Magnetostatika dF = dq E definice pole dF = I df x B dq hustota zrídel I dl = j d3x F = qE síla na níaboj F = qv x B div E = p/e0 rot Ej = 0 rovnice pole rot B = —0j div B = 0 E = -grad 0 potenciíaly B = rot A = - P- rovnice potenciaílu AA = -—oj 0(x) = 4^ /d3x' p(x') potenciál zrídel Aj(x) = -0/ d3x' 3(x') 12 Analogicke magneticke pole k elektrickemu Coulombovu poli je pole linearního vodice. Uvažujme nekonecne dlouhý, rovní drat ve smeru osý z s elektrickím proudem I j (X) = Iô(x) ó(y) e3. (67) Podle (64) je magneticke pole 4n J-oo \x — (0, 0, z')\3 Zavedeme polírní souradnice p = \Jx2 + y2, p = arctan ^, z a uvedomíme se, ze pole musíí býít konstantníí ve sm eru z, tak ze sta cíí po cíítat BV v rovin e (x, y). Víýpo cet vede k Biotovu-Savartovu zakonu B (P) = ^. (69) 6.2 Magnetické pole kruhové smyCky. Do vztahu pro vektoroví potencial (65) dosadíme hustotu proudu J(x') d3x' = 15(p' — a) ô(z') ev> p' dp' dz' dtp', kde ěy = — sin(p' — p) ep + cos(p' — p)ev, a dostaneme .4 (p,z) = ^ (p'z)ěV' Av(p,z) = — —-2-2—ň-^. (70) 2n jo (a2 + p2 + z2 — 2ap cos p) 2 Integral lze výjadrit uplními eliptickými integralý E a K, A,(p, z) = Q* [ (l — K (k) — E (k)] , (71) Aip(p,z) = kde k2 = ( +7 + 2 , K (k) = í * d4 2 , E (k) = / V1 — k2 sin2 e de. (a+p)2 +z2 j° ^1 — k2 sin2 e Jo (72) Pri výpoctu indukce potrebujeme identitý dE (k) = E (k) — K (k) dK (k) = E (k) K (k) dk = k , dk = k(1 — k2) k~. ( ) Potom mame pro slozký indukce (B^ = 0) BP(p,z) = —^ = ^ , z —K(k) + a2 + p22 + z22 E(k)l , (74) ^ ' ôz 2vr (a + p)2 + z2 L (a — p)2 + z2 ^J' 1 ' Bz (p, z) =--tt^- = t;--/ = K (k) +-- 2 E(k) . (75) p ôp 2n ^(a + p)2 + z2 L (a — p)2 + z2 13 7 Maxwellovy rovnice v materiálovém prostředí 7.1 Polarizace, magnetizace Když se materiálové prostředí nachází pod vlivem vnějšího elektromagnetického pole, např. mezi deskami kondensátoru nebo v magnetickem poli cívky, rozlišujeme vnejší náboje a proudy, pext a pxt, a naboje p a proudy jindukovane vnejsím polem v materiálu. Naboje a proudy uvnitr atomu, molekul, nebo elementarních buňek krystalu, ktere vyvolavají mnohem vetsí pole než jsou makroskopicka, mužeme zanedbat, když stňredujeme pňres prostorovíe oblasti podstatnňe vňetňsí neňz vzdalenost elementíarních jednotek materialu. Stredovane Maxwellovy rovnice jsou divE = {P) + "ext rotE = - d4- C\ (76) 1 d E —rot B = eg — + {j) + Jext divB = 0. p,0 dt E a B jsou stredovaní pole, {) oznacuje stredovaní zdroju. Celkový níboj vazaní na prostredí, ktere je plne uzavreno uvnitr oblasti V, je roven nule 0 = {p) = -divp, (77) / {p) dV pricemz P = 0 vne materialu. Potom je totiz / {p) dV = - í divP dV = í P • n dS = 0, Jy Jy Js kde S = dV. Uvazujme dipolovy moment J x{p) dV = - J x divP dV = - J x {n • P) dS + J (P -V)x dV = J P dV. (78) Uvaňzujme nyníí uzavňrenou plochu S uvnitňr materiíalu. Celkovyí proud touto plochou vazaní na prostredí je dín celkovou hodnotou casove zmeny prumetu vektoru polarizace P f {])■ n ds = -f d^ dV = / d divP dV = f dPJ • n dS J s J v dt J v dt J s dt dPP = =rot M + —, (79) pricemz M = 0 vne materialu. /rot M • n dS = 0 protoze dS = ®. s V statickem prípade je dP/dt = 0. Uvazujme magneticky moment 1 í x x {j) dV = 2 ľ x x rot M dV = (80) 2 J V 2 J V 2 ľ x x (n x M) dS - 1 í (M x V) x x dV = í M dV. 2 J S 2 J V J V 14 Definice vektoru polarižace P a magnetižace M pomoc! momentu je duležita pro jed-nožnacnost, jinak by vyhovovaly take P + rot/ a M + grad f. Jako vedlejsý výsledek dostaneme že spojený rovnic (77) a (79) diferenciýalný (= mikroskopickou) rovnici kontinuity ^ + div(J) = 0. (81) 7.2 Makroskopické Maxwellovy rovnice Zavedeme vektory indukce elektrickeho pole a intenžity magnetickeho pole jako D = t0Ě + Ě, H =— B - M. (82) Použitým polarižace (77) a magnetižace (79) dostaneme makroskopicke Maxwellovy rovnice, , á á dB divD = pext, rotĚ = - — , dt (83) á dD _ á rot H = — + /ext, div B = 0. dt Jak Maxwellovy rovnice ve vseobecne forme, tyto rovnice jsou konsistentný s rovnicľ kontinuity ^ + div áext = 0. (84) V homogenným isotropným linearnmi prostredý bež disperse jsou vžtahy meži D a Ě a meži H a B obžvlast jednoduche, pole jsou ýmerna, D = tr e0Ě, H =^— B, (85) kde tr je dielektrický konstanta a konstanta fir je magnetický permeabilita materiýlu. („Lineýrm prostredý" žnamený, že tyto veliciny jsou konstantný.) 7.3 Energie a impuls elektromagnetického pole Mejme spojite rožložení naboje p. e ožnacuje energii nýboje obsaženeho v objemu A V, Ae žmena energie pri pohybu v elektromagnetickem poli. p a / ožnacují ted' externí veliciny. - - 1 Ae Ae = F ■ Ax, F = pĚ AV + j x B AV = — — = j ■ Ě. (86) AV At S využitým vžtahu ĚĚ ■ (ý x H) - H -ý x Ě) = V ■ [H x Ě) (87) odvodýme ž Maxwellovyých rovnic vyýraž H ■ ddB+ě ■ddD=-j-ě - V ■ (ě x h) . (88) dt dt 15 Ná práve stráne vystůpůje vykonáná príce á divergence toků, víráž ná leve stráne můžeme tedy interpretovát jáko cásovoů žmenů hůstoty energie. Po žávedení velicin hůstoty energie W á Poyntingová vektorů S W = 1 (Ě - Ď + B - H), S = E x H (89) můžeme (88) psát jáko d í W dV + / j-E dV + / S - n dS = 0. (90) dt J v J v Jav S mí tedy vížnám hůstoty toků energie. Obdobnoů ůváhů můžeme provest pro impůls. P ri p rechodů ke spojitíemů rožlo ženíí níáboje je Ap = FAt, F = pE AV + j x B AV = ^ = pE + j x B. (91) Z Máxwellovych rovnic odvodíme víráž D x — + -d^ x B = E (V - D) — B x (V x H) +H (V - B) — D x (V x E) —jx B — pE. dt dt (92) Poslední dvá cleny ná práve stráne popisůjí Lorentžovů sílů, můžeme tedy cásovoů deriváci ná levíe strán e interpretovát jáko cásovoů žm enů hůstoty impůlsů G = Ď x B = erHreoHo E x H = ^ S, (93) c2 pokůd prvníí cty ri cleny ná právíe strán e lže psáít jáko divergence toků impůlsů. Závedli jsme c2 :=-, n2 := er fir. (94) c je rychlost sírení elektromágnetickych vln ve vákůů, tedy rychlost svetlá, ják bůdeme bržo videt, á n je index lomů, jehož vyžnám bůde táke žrejmí v soůvislosti s sírení elektromágnetickych vln. Po ůpráve, kdy predpokládíme, že permitivitá á permeábilitá nežávisí ná prostorových soůrádnicích, můžeme psát 'E(V - Ď) — Ď x (ý x E)]. = £ — (Et d j— 2 5l3 E - Ď) j—1 j 3 _d „ 1 d 3 d 1 (95) H (V - B) — B x (v x H)}i = £ — fa Bj — 2 H - b) j—1 j á žíákon žáchovíáníí míá tvár d f Gi dV + / \pEt + (j x É)] dV + / ]T nj dS = 0. (96) dt J v Jvv v 7 iJ Jav j—1 16 Definovali jsme Maxwellův tensor napětí Tý jako Ta = -(Ei D, + Hi B,) + - ótJ(E • D + H • B). 2 (97) Takto definovaný Maxwellův tensor určuje tok impulsu z uvažovaného objemu. Jeho stopa je rovna hustote energie w -E Ta = 0. (98) i=1 8 Integrální formy Maxwellových rovnic, indukce 8.1 Integrovane rovnice Uvažujeme prostorovou oblast V s okrajem dV a pločhu S s okrajem dS. n označuje normainí jednotkový vektor na pločhu dV, popr. S, t tečný vektor na dS. Integru- jeme rovnici diví? elektrostatiký. pres objem V, dostaneme podle Gaufiový vetý Gaufiuv zakon Jav E-n dS Q (99) Když integrujeme rotaci elektrického pole přes plochu S, můžeme uplatňovat Stokes-ovu vetu (t je teCny vektor okraje dS): é E] •t ds = rot E] •n dS = Jas Js d _ B ■ n dS. ôtjs (100) Integra^ B-n dS definuje magnetičký tok $TO pločhou S. Odvodili jsme tedý Faradaýuv indukční zakon: Električke nýpetí v uzavrene dratene smýčče se rovna minus časove derivači magnetičkeho toku, - - d E] •t ds = -— $m. as dt (101) Analogičký dostaneme v statičkem prípade E = 0 é B - t ds = rot B - n dS = [io j - n dS. Jas Js Js (102) Integral na prave strane predstavuje čelkový električky proud I, z toho výplýva Ampereuv zýkon as as IB •t ds = hq I. (103) 17 8.2 Aplikace — vzajemna indukce a vlastní indukce Uvazujeme dve geometrický pevne smýcký s promennám proudem ve smýcce 2. In-dukovane napetá ve smýcce 1 vývolane zmenou pole buzeneho smýckou 2 je Ui = —d! B2 - ni dSi, í B2 - ni dSi =1 A?2 - dl, A?2 = —. (104) atJ (i) J (i) J (i) 4n J (2) ri2 Po dosazená dostaáváame Ui = Mi2 , Mľ2 = — f í í . (105) dt 4n J (i) J (2) \xi — x2\ Pokud bý tekl promenná proud smýckou 1, býlo bý indukovane napetá ve smýcce 2 U2 = M2i -±, Mi2 = M2i = M. (106) dt Ale take zmena magnetickeho toku smýckou 1 výtvorá indukovane nápetá v teto smýcce, stejne platá pro smýcku 2. Obecne tedý muzeme psat Ui =—Li dt+M §, U=M §—L2 §• (107) Casova zmena energie magnetickeho pole je rovna zaporne vzate práci f = 'i — U2'2 = 'i + ^ — M(l^ + , (108) takze pro energii magnetickeho pole je W =2 Li T22 + 1 Ľ2 T22 — M'i '2, Li L2 > M2. (109) Energii magnetickeho pole mame ovsem take výjádrenou jako W = U B ■H dV = i U-VdV (110) Pri odvození obou várazu v teto rovnici je postupne výuzito vztahu B = rot a?, H - rot AA — AA - rot H = div [Ä x H) , rot H = ? (111) Vztahu pro energii výuzijeme pro vápocet vlastní indukcnosti 1 L B2 dV. (112) Jy tin'2 J y Uvazujme dve solenoidalní cívký, kazdou o N zavitech, tesne na sobe. Prurez cívek je S a jejich delka í. Pole prvná a druhe cávký jsou tedý priblizne (Ampereuv zakon) Bl « ^, B2 « ^ (113) a pro indukcnosti mame Li « L2 « M « tnN S. (114) Pro energii magnetickáeho pole pak W = ttnNSS ('i + h)2- (115) 18 9 Casove promenna elektromagneticka pole 9.1 Dynamicke potencialy, kalibrace Predpokladame dynamicke potenciýly $(x, t) a A(x,t) a B = rotA. Pak vyplývý ž Maxwellovy rovnice rotĚ = -B, že i casova derivace vektoroveho potencialu prispíva k elektrickýemu poli Dosaženýí do dal sýích Maxwellovyých rovnic vede k d A B = rotA, E = -gradó - —■ (116) d , r P Aó + — div A = - — dt t0 AAA - toß0dp - grad I divA + toßo) = -ßoj- (117) S vyu žitýím kalibra cnýí transformace A — A + grad ý, j — j - ^ (118) mužeme mít Lorenžovu kalibraci (Ludwig Valentin Lorenž = Hendrik Antoon Lorentž) divĚ + to f o dj = 0 (119) dt a dostaývaýme tak pro potenciýaly nehomogennýí rovnice d2 A I (120) Označili jsme rychlost světla ve vakuu c = 1 \/t0ß0 Rovnice (120) jsou Maxwellovy rovnice pro potencialy, spolu s kalibrací (119) jsou ekvivalentní (5). 9.2 Rovinná a kulová vlna V prípade volneho elektromagnetickeho pole popisují homogenní rovnice odpovídající (120) sírení vln. Vlnova rovnice v jednorozmernem prípade popisuje rovinnou vlnu (ve smeru x) d 2ij(x,t) 1 d2 #r, t) =0 (121) dx2 c2 dt2 Obecne resení je #r,t) = f(t - X) + g(t - (122) 19 Vezmeme jako príklad Gaufiovu funkci / = exp[-(t - x)2]. Maximum se nachazí pri t - x = 0, pohybuje se tedy rychlostí c ve smeru rostoucího x. Dalsím jednorozmernem príkladem je sfericky sýmetřická vlnoví rovnice v troj-rozmernem prípade, 1 d 2(r//(r,t)) 1 <92V(r, t) =0 (123) r dr2 c2 dt2 s obecnym resením /(r,t) = l/(t - "i) + 1 g^ + "i)- (124) Na toto resení se muzeme divat jako na rozbíhavou nebo sbíhavou kulovou vlnu. Tvar resení take ukazuje, ze rychlost sírení je c. V (lineírním) materiílovem prostredí se nahrazuje e0 —► ere0 a n0 —► firfi0. Pak dostaneme z rovnice (120) rychlost sírení c/n, kdyz zavedeme index lomu 9.3 Obecne řešení nehomogenní rovnice pro potenciály. Pro obecne resení rovnice (120) jeste chybí partikularní resení nehomogenne rovnice. Zavedeme Fourierovu transformaci casove zavislosti potencialu a hustoty níboje 1 r°° \ p(x,u) \ + c^j *(x,u) = (127) (128) Hledame Greenovu funkci diferencialního operatoru na leve strane, definovanou vztahem (A + k2) G(x,x',k) = -ó3(x - x'). (129) Resení teto rovnice zavisí jen na absolutní hodnotu r = \x - x '\: e±ikr G(x, xk) = G(r, k) = -—. (130) 4nr Dukaz: 1) (A + k2) — = 1 °- r + k2 — = 0 (131) r \r or2 J r 20 platí pro r = 0. 2) Nasobíme levou stranu testovací funkcí f (x) a integrujeme pres celí prostor. Díky (131) staď integral pres infinitesimalní kouli o polomeru e kolem pocatku, /d3xf (x) (A + k2) --=/ d3xf (x) (A + k2) --. (132) J r Jr<€ r Rozvíjeme exponencialní funkci a vyuzijeme A 1/r = -4nó3(x - x') / d3xf (x) (A + k2)(- ± ik - - k2r ± =/ d3xf (x) (a ^ + k21 ± Jr/ j- \X—x '\ \ 4>(x,t) = ^- ícŕx'f°°dup(x^ ^) = J- íd3x' p4xx^4, (136) 8n2e0 J J-oo x — x 4ne0 J x — x 0ret(x,t) = í d3x' p (x,Lt „.C ) , (138) 47re0 J lx - x | ,4ret(x,t) = £-[ d3x' P((x';t . (139) 47T J x — x 21 9.4 Pole časově proměnného dipólu Uvažujme bodové náboje, soustředěné všechny kolem počátku souřadnic. Pak můžeme pro vektorový potenciál psát A(x,t) - JnrM-- 0d3x'=£ ?ea Va (ť - 0 (140) neboli pomocí dipoílovíeho momentu A (x,t) —o 4nr (141) Skalární potenciál spocteme integrací vztahu (Lorenzova kalibrace) ~3t -c2divA. Jednoduchími upravami dostaneme div A rot A -7-°3 x ' A (t - I + r "r - I , 4nr3 L V cj c \ cj. —a—3 x x j t-- +-j[t--) Skalaírní potenciíal je tedy (j)(x,t) Pro intenzity dostaneme 1 x 4ne0 r3 "\t - c) + cj V - cl E (x, t) B (x, t) 1 (142) (143) (144) 4ne0r3 l r2 j— " ^t--^ • x x - " ^t--^ H—2 P --^ x x x x| 0- 0 x x, 4nr3 \ c, Dostatecne daleko od dipílu máme " t k - i) = "V- c) + c" V- c) E (x, t) 11 4ne0c2 r d {x,t - d x n, A (x,t) = 1 D) {x,t - d kde jsme označili D(x,t - o="(t- o x n, n (145) (146) (147) Pro hustotu energie a Poyntinguv vektor platí W L E2 + - B A 11 16n2c4eo r2 D2, S Ex B 11 —o 16n2c3eo r2 D2n. (148) 22 1 Je prirozene W — cn. (149) Příklad: Vezmeme rozlození proudu ve tvaru j(x,t) — I5(x) S(y)sini—j cos(ut) ez, 0 < z < L. (150) Podle (140) a (141) spocteme snadno 2LI Š (t) —- sin(ut) ez (151) nu a podle (147) D (x,t--J —--sin ů sin u [t--)ev. (152) Příklad: Rotující níboj v rovine (x, y) v dipílove aproximaci: Š — qr0(cos ut, sinut, 0), (153) 2 D — — qrou (z sin ut, —z cos ut,y cos ut — x sin ut). (154) r Casove sledovaní Poyntinguv vektor popisuje vykon zírení do elementu prostoroveho uíhlu, ,ľ\- q^2^_ 1 + cos2ů (x,y,z) /1f-c\ (S I — 1G 2 3 2 Ô . (155) 16n2c3e0r2 2 r Celkova vyzarovana energie za sekundu je pak P — / (S)- n dS — 6^ — , (156) kde a oznacuje zrychlení r0u2 na kruhove dríze. Tato ztrata energie by vedla k rychlemu kolapsu atomu v klasicke elektrodynamice. 9.5 Lienarduv - Wiechertuv potencial At' se nabita Cýstice pohybuje po zadane trajektorii x — x0(t). Hustota naboje je pak p(x,t) — eS(3) (x — x0 (t)). (157) Vzorec pro skalaírníí potenciíal p repíí seme jako *(x,t) — -1— f^Ž^l sít' — t + \—Š-^) dt' d3x' — 4nt0 J \ x — x \ \ c J -T- í l^6(ť — t + ——) dt', (158) 23 kde jsme ožnácili R (t') = x — xo(t'), R(t') = \R (t')\. S pomocí vžtáhů ,{< -1+m) 5 (ť - tr) R (tr )-v(tr ) cR(tr ) R(tr) (159) nápíseme víráž pro skálární potenciál jáko (160) Víráž pro vektoroví potenciál je pák obdobne (161) Vežmeme ted' jednodůchí prípád pohybů s konstántní rychlostí podel osy x. Pod-mínků pro náležení cásoveho žpoždení prepíseme ná c2(t - tr)2 = (x - vtr)2 + y2 + z2, odkud (1- f) v2 vx (x - vt)2 + (l - ^ (y2 + z2)j 2 Jmenovátel vírážů (160) á (161) pro potenciály můžeme psát jáko c(t - tr) - v( x - vtr) vx v2 Po male úpravě pak dostáváme pro skálíárníí potenciíál á Ä(x,t) = (Ax (x,t), 0,0), pro vektorovy potenciíl, kde jsme ožnácili 11 (162) (163) (164) (165) e/j0 4n - v2 r* (166) (x - vt)2 2 2 r = v2 + y + Z - c2 Vektor intenzity elektrického pole je E(Xi t) = -A--/ 2 (x - vti yi z) (167) (168) c2 24 1 1 C 1 v a vektor indukce magnetického pole je B(x,t) = 1° ^j=r v (0, -z,y). (169) Pro vektor hustoty impulsů pole G = eQE x B dostáváme G(X,t) = in —L^ _ľ_ (y2 + z2, - vt), -z(x - vt)^ (170) c2 a pro hůstotů energie W = (eQE2 + B2/fJ>Q) /2 váraz W(x, t) = —2--—---V 6 cCjyU--. (171) c2 10 Základy teorie relativity 10.1 Principy Princip relativity: vsechny prírodní zakony jsoů stejne ve vsech inerciálních soůrad-nách soůstavach. Inercialní soůstavy jsoů takove, kde se pohyb deje s konstantní rychlostí. Interakce castic se v obycejne mechanice popisuje pomocí interakcní potencialní energie, ktera je fůnkcí polohy interagůjících castic. Tento způsob popisů v sobe obsahůje predpoklad o okamzitem působení. Princip koneCne rychlosti šírení signálu: Rychlost Sírení interakce je konecna. Z principů relativity je tato rychlost ve vsech inercialních soůstavách stejna. Z Maxwell-ovych rovnic je videt, ze jde o rychlost svetla ve vakůů c = 299 792 458 ms-1. (172) Toto je exaktná hodnota, ůrcůjácá tak delkovoů jednotků jednotkoů casů. Sjednocení principů relativity s principem konecne rychlosti sírení signalů je nazá-vano Einsteinovým principem relativity. 10.2 Interval, vlastní cas. Uvazůjme dve ůdalosti: emisi a absorpci fotonů. V soůstave K je (x2 - xi)2 + (y2 - yi)2 + (z2 - zi)2 - c2(t2 - ti)2 = 0, (173) v soůstave K pak (x2 - xi)2 + (y2 - yi)2 + (z2 - zi)2 - c2(t2 - ti)2 = 0. (174) Zavedeme obecne kvadrat intervalů mezi dvema ůdalostmi (dvema body ctyrrozmer-neho prostorocasů) jako S22 = C2(t2 - ti)2 - (x2 - xi)2 - (y2 - yi)2 - (Z2 - Zi)2, (175) 25 popřípadě pro infinitesimálně blízké události ds2 = c2dt2 — dx2 — dy2 — dz2. (176) Je-li interval roven nule v nějakě inerciální souřadně soustavě K, je roven nule i v libovolně jině soustavě K'. Potom tedy musí bát ds2 = k(v)ds'2. (177) Vzhledem k homogenitě prostoru a casu nemůže faktor úměrnosti zaviset na sourad-nicích, vzhledem k isotropii prostoru muže pak tento faktor zaviset pouze na velikosti relativní rychlosti uvazovanách inercialních soustav. Uvazujeme-li tri soustavy K, K a K2 , dostaávaáme ds2 = k(vi) ds?, ds2 = k(v2) ds2,, ds? = k(vi2) ds2 = .( 2) = k(vi2), k(vi) (178) a protoze leva strana poslední rovnice nezávisí na áhlu mezi vektory rychlostí v? a v2, zatímco prava strana muze, musí byt k(v) = 1. (179) Kvadrat intervalu mezi dvěma udalostmi (175) nebo mezi dvěma infinitesimalně blízkými udalostmi (176) je stejná ve vsech inercialních soustavach. V predeslych uvahách se pripojuje cas prározenym zpusobem k prostoru, proto je vyhodně definovat ctyrrozměrná prostoročas ci Minkowskiho prostor, v němz se poďtá kvadrat prostorověho intervalu záporně a kvadrat casověho intervalu kladně (nebo opacně). Oznamení událost má vyznam bodu v ctyrrozměrněm prostorucase. Oznacme si v soustavě K tl2 = Í2 —ti, 4 = (X2 — Xl)2 + (y2 — yi)2 + (Z2 — Z?)2 = s?2 = C2r?2 —t\2. (180) Zkoumejme, existuje-li takova soustava K', kde by se obě udalosti odehraly v jednom bodě prostoru, tedy ze platí íi2 = 0. Máme tak podmínku = c2t22 —1\2 = c2t'22 > 0,; takovy interval se nazyva časupodobný. Naopak pozadavek na to, aby existovala soustava, ve kteráe ob e udaálosti nastanou sou casn e (t'i2 = 0), vede k podmáínce si22 = c2ti2 — £"^2 = — í'2i2 < 0,; interval se pak nazává prostorupodobný. V soustavě, ktera se pohybuje s danám hmotnym bodem (í'i2 = 0), muzeme tedy definovat vlastní čas jako 1 ľS2 ľÍ2 í v2\ 2 t2 — ti = - ds = 1 — — dt. (181) C Js1 Jt1 \ C2 J V p ráípad e konstantnáí rychlosti v dostaneme jednoducháy vztah mezi parametrem s trajektorie t elesa a casovou sou radnicáí t, s2 — s? = ^/1--- (t2 — ť), popr. infinitesimalně ds = ^/1--- dt. (182) 26 10.3 Lorentzova transformace Soustava K se pohybuje vůči inerciální soustavě K' rychlostí v podel osy x. Z elementárních úvah je zrejme, ze čtverec intervalu s2 = c2t2 — x2 se nezmení pri transformaci ct = x' sinh f + ct' cosh ff, x = x' cosh f + ct' sinh f, (183) podobne jako se nezmení ctverec vzdalenosti l2 = x2 + y2 pri transformaci x = x' cos p + y' sin p, y = —x' sin p + y' cos p. (184) Pro pocatek soustavy K' (bod x' = 0) mame v soustave K z definice x/t = v, jednak z (183) x/t = ctanhý, mame tedy tanh f = v/c a vztah (183) muzeme zapsat jako Lorentzovu transformaci (185) Vzdy jsou uvadeny dva klasicke príklady na pouzití vztahu (185). (a) V soustave K je podel osy x v klidu merítko, jehoz dve rysky mají v teto soustave souradnice xi, x2. Vzdalenost (klidova) rysek je tedy Axo = x2 — x\. Vzdalenost v soustave K' (souradnice jsou urcovány ve stejnem case ti = ť2) je Ax = x'2 — x'i = Ax0\J 1 — ^2. Mluvíme o kontrakci delky. (b) V soustave K' se v casech ti a t'2 odehrají dve udalosti v jedinem míste xi = x'2, yi = y2, z'i = z22 (interval mezi udalostmi je tedy At0 = t'2 —t[). V soustave K je interval mezi temito udílostmi At = t2 —11 = At0 j\J1 — ^. Mluvíme pak o dilataci Casu. Vztah (185) muzeme zapsat i v diferencialním tvaru . c dt' + - dx' n dx' + v dť . . . . . , , , c dt =-, , dx = —, , dy = dy , dz = dz . (186) Pro transformaci slozek vektoru rychlosti (w = dx/dt, w' = dx'/dt') dostaneme z (186) vztah wx = —x——, wy = ——-r^-, wz = ---r^-. (187) Sledujeme-li sírení svetelneho paprsku v rovine (wx = c cos ů, wy = c sin ů, wz = 0 resp. w'x = c cos ů', wy = c sin ů', w'z = 0), dostaneme vztah (aberace svetla) /1_ sin ů = —^—sin ů'. (188) 1 + - cos ů' v 1 c Pro v/c 1 polozíme ů = ů' — Aů a porovníním nejnizsího clenu Taylorova rozvoje dostaneme obvykle uvíadenyí vztah Aů = v sin ů'. (189) c 27 10.4 Ctyrvektory, Ctyrtenzory Nejprve definůjeme podstátne tenžory. Metricky tenžor v Minkowskiho prostorů á jed-notkovíy tenžor jsoů 9ik = gik 1 0 0 0 0 —10 0 0 0 —1 0 0 0 0 —1 1000 0100 0010 0001 (190) gik se nážyívíá kováriántníí metriká, inversníí metriká gik se nážyíváí kontráváriántníí. Díále definůjeme kontráváriántní á kováriántní ůplne ántisymetrickí tenžor 4. radů je definován pomocí vžtáhů eiklm (eo123 = 1), 6ikim (eoi23 = — 1). (191) Ctyrvektor soůrádnic ůdálosti (kontráváriántní á kováriántní) žápisůjeme jáko xi = (xo, x1, x2, x3) = (ct, jx), xi = (xo, x1, x2, x3) = (ct, —jx). (192) Metriká ním ůdívá inváriántní prostorocásovoů „delků" vektorů x1 s xx xx g xxi xxk xx xxi c t (xx I I z ). (193) Pritom plátí Xi = gik xk, xi = gik xk (194) (zvednutí a spuštění indexů = transformace mezi kontravariantními a kovariantními indexy). V čtyrrozmernem zapisu můZeme Lorentzovu transformaci (ve smeru x) (185) psat ve tvaru s Lorentžovoů máticíí ( 1 v 1 0 0 \ v 11 0 0 0 0 10 V 0 001/ kde i je bežne žkracení 1 1:= 1 v2 c2 (195) (196) (197) 10.5 Ctyrrychlost a Ctyřzrychlení Definůjeme ctyrvektor rychlosti príroženym žpůsobem jáko deriváci ctyrvektorů ůdálostí, že kterích se skládá svetocára (Ctyrrožmerný trájektorie) telesá, podle párámetrů s (= c krát vlástní cás) ui dxi ds ui 1 1 — VÍ cJ1—í ui ui = 1 . (198) 28 u_ je tedy tecním vektorem svetocáry. Obdobne ctyrvektor zrychlení ď =duU_ = dV, u at = 0. (199) ds ds2 Podivejme se na relativistickí popis pohybu s konstantním zrychlením. V souradne soustave, kde rychlost cástice je momentílne nulová (v = 0), máme u_K = (1, 0, 0,0), a_K ={0,ca2, 0, 0) , (200) kde a je obycejne zrychlení. V souradne soustave pohybující se rychlostí v ve smeru x je rychlost a zrychlení 1 V \ f — d— dv u_ = I ,-T, ,-T, 0, 0| , a_ ' c3 dt dt , 0,0l . (201) y7-?' cvr-?";' 1(1 - ff c2 (1 - s)2 Po male íprave (z rovnosti a_ a_ = a_K aK_) dostíváme d ( , V ) = (202) S pocítecními podmínkami vo = 0, xo = 0 dostáváme resení pro konstantní zrychlení at c2 at 2 v = , „, x = - h 1 + - - 11 . (203) /7 + (at\- a \ V V c 10.6 Relativistický impuls Jak v klasicke mechanice, tak existuje i ve speciální teorii relativity princip nejmensího ícinku. Jako invariantní a jednoduchí ucinek bodove cástice se nabízí integrál vlastního casu podel svetocáry. Abychom v nerelativisticke limite dostali pro ícinek znímí nerel-ativistickí vyraz, musíme konstantu umernost zvolit rovnu -mc, tedy S = -mc jb ds = -mc2 £*^ 1 - V— dt. (204) Lagrangeova funkce a impuls jsou 2 / v2 _ d L m v , = -mcÍ1 - ?' " = iä = f ■ (205) S volbou faktoru —mc dostaneme v priblížení v ^ c (v2 \ m%vv^ 1 - 2?) = ~~2--mc2, (206) a 29 tedy nerelativistickou Lagrangovu funkci volne castice minus konstantu mc2, ktera je bez víyznamu pro pohybovíe rovnice klasickíe mechaniky. Hamiltonova funkce je pak 2 m c i- H — Š - v — L — . — Jp2c2 + m2c4; (207) V/ľ—? v v prípade v ^ c dostaneme 2 mv H « mc2 + ^2i_, (208) t. j. klidovía energie hmoty + nerelativistickía kinetickaí energie. Z hamiltoniaínu a impulsu sklíadíame cty rimpuls p — (—>fij — mciŕ, pipi — m2 c2 (209) a zavedeme cty rvektor sily fi — ^ — ŕ—fc^ ) , fi Pl — 0. (210) 11 Naboj v elektromagnetickém poli 11.1 Pohyb ove rovnice Uí cinek nabitíe cíastice v elektromagnetickíem poli je dían vzorcem S — —mc íb ds — e f * Ai dxi, (211) Ja Ja kde jsme zavedli ctyrpotenciál Ai 04 Lagrangeova funkce a zobecn enyí impuls jsou (212) L — —mc2\ 1 — — + eA - v — e*, P — — — —=--+ eA — p + eA, (213) V c2 dv J1 — nl hamiltonova funkce je m c2 -* m c2 l -* -* H — Š - v — L — , + e* — \/m2c4 + c2(P — eA)2 + e*. (214) Z vektorovíe analyízy budeme pot rebovat identitu V (a - ď) — (a -Wjb + (b -W)a + b x (ý x aj +a x (ý xbj . (215) 30 Je pak V L = eV [Ä ■ v) - eV (( = e (v ■ V) A + e v x (V x Ä) - eV ( dt dt t Lagrangeova rovnice je tedy dĚ = e ĚĚ+ Ěv x BĚ kde jsme ožnacili Ě = - V ( Ve ctyrrožmerne notaci je dA BĚ= Ě AĚ. ľ b f b ôS = - mc ôds - e ô Ai dxi. aa Variace elementu díelky je I-•- gik dxi ôdxk ôds = ô\ gikdxidxk = —---= uk ôdxk, ds variace vektorovíeho potenciíalu ÔAi = deôxk. Pou žíítíím toho a integracíí per partes dostaneme ôS Z toho vyplyívajíí pohybovíe rovnice dui k mc— = etik u ds s definicí tenžoru Fik tik dAk dAi dxi dxk Prostorove složky pohybovích rovnic popisují Lorentžovu sílu (21T). (2l6) (2lT) (2lS) (2l9) (220) (22l) ŕ í ■ dAi ■ dAi A ■ b mcôxi dui + ôxi dxk - e^-^- ôxk dxM - (mcui + eAi) ôxi . (222) a dxk dxk a (223) (224) 3l 11.2 Tenzor elektromagnetického pole V minulem podkapitoli jsme zavedli tenzor elektromagnetického pole 0 c Ex c Ex Ey -BZ By \ - Bz 0 -Bx Ez -By Bx 0 J F ik --- — \ cc 0 Ex 0 c E- Bz 0 -Bx \ECr -By Bx 0 J (225) Pri Lorentzove transformaci se tenzor elektromagnetickeho pole transformuje podle vztahu Fik = Am A* F'mn. (226) Pri Lorentzove transformaci ve smeru x s maticí A* (196) dostaneme nasledující trans-formacní vztah tenzoru elektromagnetickeho pole F ik 0 f '01 f '10 0 y f f '2o + - f '2i\ y(f '21 + - f '2o' y (f'3o + c f'3i) y [f'3i + - f^ y f f + - f y (f + - f '13) \ y (f'12 + - f'02) y [f'13 + - f'03^ 0 f'23 f 32 0 Prevedeno do vektoru intenzity a indukce platí Ex = EX, Ey = y(ey + vBZ), Ez = y (eZ - vB'y), V nerelativistickem priblízení (v/c — 0) prechazí (228) na EE = E' - v x BBBB = b'. (227) (228) (229) Invarianty pole muzeme zkonstruovat z tenzoru pole. Ponevadz je antisýmetřický, zuzení nedava nic a mame az kvadraticke vyrazy gim gkn Fik Fmn = Fik Fik = inv, 1 ékľn Fik Fmn = Fik *Fik = inv. ik (230) Dualní tenzor vyjadrení pomocí intenzity elektrickeho pole a indukce magnetickeho pole ma tvar 0 - Bx - By - Bz Bx By Bz 0 c e c y c 0 Ex c c Ex c 0 (231) c c 0 32 Invarianty mají pak vyjadrení Fik Fk = -2 (EE2 - B2) , Fik *Fik = 4—. (232) 12 Synchrotronove zaření 12.1 Lienardův-Wiechertův potencial Poňcíítíame potenciíal pole, vytvaňreníeho jedníím naíbojem, kteryí se pohybuje po trajektorii x = x0(t), v case t v bode P (x, y, z). Potenciíl je dan stavem pohybu castice v case t', pro kteryí platíí (doba pot rebnía pro síí reníí sv etelníeho signalu) c(t - t') = R(t') = x - x0(t')l (233) V souradne soustave, ve ktere je cístice v case t' v klidu, mame prave Coulombuv zíakon *(x,t) = 4^ w) • A(x-t) = 0- (234) Podmínku (233) zapíseme ve ctyrrozmernem (kovariantním) tvaru jako podmínku toho, ze interval mezi udílostmi „emise fotonu" (ct', x0(t')) a „absorpce fotonu" (ct,x) lezí na svetelnem kuzelu, tedy pro rozdíl ctyrvektoru udalostí Rk = (c(t - t'),x - x0(t')) platíí Rk Rk = 0. (235) Pomocíí tohoto nulovíeho ňctyňrvektoru a jednotkovíeho ňctyňrvektoru rychlosti ňcíastice ui = (~rl=) , V = v(t') = dPdp-, uiUi = 1 (236) se pokusííme zapsat ňctyňrvektor potenciaílu pole tak, aby pro P = P0 (tj. pro ňctyňrvektor U = (1,0)) presel do tvaru (234). Z mozních kombinací snadno nalezeme vísledek A = í 4~a =T-JRř (237) \c j 4ne0cuk Rk Pokud nevypisujeme explicitnňe argumenty, musííme míít na pamňetíí, ňze levíe strany vztahu jsou uvazovíny v case t, prave strany v case t'. V trojrozmernem znacení pak ma (237) tvar * = 7~--TÍ-^V, A = ^ ( V ., . (238) Víysledek (238) je p rirozen e stejnyí jako (160) a (161). P ri vyípo ctu políí dAP E = -V* - —, B = v x A (239) 33 budeme potrebovat nasledující triky pro výpocet parcialních derivací: Derivovýním vžtahu (233) podle t dostýavýame dR = dRdť_ ~dt = dť dt R • v dť ~R~~ďt •(1 - s) dť\ dť_ dt ^ dt v-R cR (240) Obdobne derivováním vztahu (233) podle x dostáváme R -cVť = V R(ť) = dRVť + R Vť =---.-^ {) dť R cR (1 - (241) Vyraž pro potencialy ve (239) pak budeme chýpat jako funkce f (x,t'), a budeme pocítat parcialní derivace podle x pri konstantním t' a podle t' pri konstantním x. Porovnavaním diferencialu dl dt dl df = Vf • dx + dť dt = Vf • dX + dL dť = V + 1 Vťj • dX + dť d- dt (242) prepíšeme (239) jako dfdt[ dt1 dt E = - V (X,ť) d(j)(X, ť) f , d A (X, ť) dť t dť dť dt B = V x A(X,ť) + Vť x dA(X'ť) Pro intenžitu elektrickýeho pole dostaývýame pak Ef 4neo i _ v2 1_c!. R2 1 v-n c + dť n x n "t x w c2 R (1 - vCn zatímco pro indukci magnetickeho pole pole B = - n x E =- c 4n -r _ v2 c2 (v x n) R2 1 1 n x n x ((n -cR Í1 - X W 3 (243) (244) (245) Ožnacili jsme jednotkový vektor n = R/R a žrychlení w = dv/dt'. Limitný prípady pro v/c — 0 jsou Ef en 4nto R2 Bf e/i0(v x n) 4nR2 (246) 12.2 Intenzita zaření Poyntinguv vektor (energie, prochažející jednotkovou plochou ža jednotku casu, di-menže [Jm—2s—*]) je Ě = — ĚĚ x B = tocĚ2n (247) f0 1 1 e c c 34 a intenzitu záření (tj. energie, vyzarovanou za sekundu do elementu prostoroveho uhlu, [Watt]) spočteme tedy jako dl = lim Š • nR2 díl (248) Po dosazení z (247) a (244) 2(n • w)(v • w) w2 _ (1 - (u ■ w)2 e2 dl 16n2eoc3 C2 díl (249) I Pro v/c — 0 dostáváme s ožnácením n - w = w cos £ pro celkovoů vyžárovánoů intenžitů e2w2 ľ 2n r n e2 w2 T6r^ dW d£ sin £(1 — cos2 £) = 6-3. (250) 16n2eoc3 Jo Jo 6neoc3 V klidove soůstáve cástice je tedy (s ožnácením I = dE/dt) dE = -e2w2- dt, dp = 0, ui = dxi = (1,0), w/ = dui =(0,^ . (251) 6neoc3 ds ds \ c2 J Relátivisticky inváriántní vyráž (tj. diferenciál ctyrvektorů impůlžů) vytvoreny ž ctyr-vektorů rychlosti á žrychlení, kterí v klidove soůstáve prejde ná vírážy že vžtáhů (251), je pák p = —,P|, dp = —a--1--^dx = —a--ä--a~u ds. (252) V c J 6neoc ds ds 6neoc ds ds V láborátorníí soůstáv e tedy míáme pro celkovoů vyžá rovánoů intenžitů vyíráž e2 w2— (w xv)2 6neoc3 (1_ vi)3 1 =«.. .3 , V 2 )3 . (253) v2 . c2, Zde jsme pot rebováli vyjíád reníí cty rvektorů rychlosti i žrychleníí v láborátorníí soůstáv e. Abychom nemůseli pri vípoctů ctyrvektorů žrychlení ůžit obecne Lorentžovy tránsfor- máce, vypocteme wi derivovíním žnámeho tvárů ui = (^1/\J 1 — ,v/ [c^j 1 — ^ potom V homogenním mágnetickem poli se nábitá cástice pohybůje rychlostí v po krůžnici polomerů R, její žrychlení w = v2/R je kolme k rychlosti. Dosážením do vžtáhů (253) I = e2 v4 = e2c (JL)4 « 4. (255) 6neoc3 R2 ^1 — v2.\2 6neoR2 \mc) 6neoR2 Vmc2/ V posledním vírážů ve (255) jsme poůžili áproximáce vysokích energií, kde pro kinet-ickoů energii plátí T = \Jp2c2 + m2c4 — mc2 ~ pc. Z tohoto vyrážů je táke žrejme, že 35 synchrotronové záření je omezujícím faktorem při urychlování lehkých částic (elektronů a positronů). Pro normovací hodnotu R0 ~ 0, 5 km můZeme psát I « (Ro/R)2(T/mc2)4 eVs-1. Jsou-li rychlost a zrychlení v urcitem okamZiku rovnobeZne, dostáváme (n -v = v cos ů, rychlost podel osy z) pro uhlove rozloZená zárem vyraz dI e2w2 167r2e0c3 sin2 ů (l - v cos ů)6 díl (256) Pro hodnoty v/c — 1 ma uhlove rozlozená velmi uzke, ale „dvouhrbe" maximum kolem ů = 0. Jsou-li rychlost a zrychlená v urcitem okamziku navzajem kolme, dostaváme (n -v = v cos ů, n - w = w cos ip sin ů, rychlost podel osy z a zrychlená podel osy x) pro áhlove rozlozená dI e2w2 16n2e0c3 1 1 - v cos ů c (1 - g) sin2 ů cos2 p - f cos ů)6 díl (257) 13 Maxwellovy rovnice v čtyřrozměrné formulaci 13.1 Čtyrrozměrný vektor proudu, rovnice kontinuity Definujeme ctyrvektor proudu (pro castici: naboj krát ctyrrychlost) j1 = P (cp,pv) = (cp,J). Naboj, ktery ubude v nejakem objemu, muzeme zapsat dvojím zpusobem _3_ - dt J p dV = j> j - n dS. S pomocí Gaufiovy vety pak z (259) plyne dV = 0, tedy (objem je libovolnyá) rovnice kontinuity (258) (259) (260) ^ _ dp dj V - j + — = — = 0. dt 3x% (261) 13.2 Homogenní Maxwellovy rovnice Z vyjádření tensoru elektromagnetického pole pomocí potenciálu snadno odvodíme platnost vztahu dxl dx% dxk 0. (262) 36 Na levé straně je úplně antisymetrický tensor třetího řádu, představuje pouze čtyři různé rovnice. Zřetelneji je to videt, uZijeme-li zápis duálního (pseudo)vektoru 1 eiklm dFlm = d*F ik = o 2 dxk dxk (26B) Nultaí komponenta díavaí tvrzeníí o nez ríídlovíem charakteru magnetickíeho pole, dal síí t ri komponenty Faradayuv indukcní zakon V ■ B = 0, V x E] dB "dt' (264) 13.3 Nehomogenní Maxwellovy rovnice Ctyřrozmerný zápis nehomogenních Maxwellových rovnic, obsahujících hustotu náboje a proudu, je dF ik dxk -ßoj%. (265) Nultí komponenta je rovnice pro divergenci intenzity elektrickeho pole (Gaufiova veta elektrostatiky), zbívající tri pro rotaci magnetickeho pole (Ampereuv zíkon) v - E = í v x B = +«■ (266) l3.4 Tensor energie-impulsu Z hustoty energie W = 1 ítoE2 + — B2 ) 2 z Poyntingova vektoru 1 a z Maxwellova tensoru nípetí Š = — E x B ßo 1 &aß = i0EaEß +--BaBß - W$aß ßo (26T) (26S) (269) elektromagnetickeho pole (ve vakuu) muzeme sestavit Ctyřřozmeřný tensor energie-impulsu, iS " ) . (270) T k = Pomocí tensoru elektromagnetického pole dostáváme jednoduchý výraz T k 1 ßo ( -glmFilFkm + 4 gik FlmF lm^j (2T1) BT Tensor energie-impulsu soustavy častic žapíseme pomocí analogie s tensorem energie-impulsu elektromagnetickeho pole. Hustotu impulsu soustavy cástic napíseme jako na = —cua, — = J2 maS{3) (x - xa). (272) a Hustota impulsu je u elektromagnetickeho pole rovna hustote toku energie delene c2. Vyraz (272) bude tedy analogicky roven T0a/c. Velicina —c je nultou komponentou (stejne jako hustota náboje u ctyrvektoru proudu) ctyrvektoru toku hmoty — dx_/dt. Tensor energie-impulsu tak mužeme konecne psít jako T_k = —c d-_dXk = —cu_uk -S, T_k = Tk_. (273) ds dt dt Pro tensor energie-impulsu elektromagnetickíeho pole dostaneme s vyu zitíím Maxwell-ovíych rovnic = -—o j e_klm -dX^ = 0 (274) d víyraz qX^f = -Fkjk. (275) Pro tensor energie-impulsu soustavy cíastic dostaneme s vyu zitíím pohybovyích rovnic —c du_ = p F_k uk <* —c dut_ = F_k jk (276) ds dt a rovnice zachovíaníí hmotnosti (rovnice kontinuity pro cty rvektor toku hmotnosti, podobn e jako pro cty rvektor proudu) -xk dt víyraz -(— d-r) = 0 (277) q Tpk = f_k jk. (278) -xk Spojeníím (275) a (278) dostíavaíme zíakon zachovaíníí 0^ ((TF + TPk) = 0. (279) Pro tensor energie-impulsu platíí (rovnost príav e pro elektromagnetickíe pole) T_ > 0. (280) 38 14 Elektromagnetické vlny 14.1 Vlnová rovnice Vezmeme nehomogenní Maxwellovy rovnic ve vakuu (p = 0, j = 0) a dosadíme vyjádření pole pomocí potenciálů dF'k -o, r» = ^'aAl aAj axk ' v axj axl)' %1 a2 Ak ki a2 a 9 —:--g -= 0. Lorenzova kalibrační podmínka (119) nabývá formu čtyřdivergenci aAk (281) axk a zjednoduší (281) na vlnovu rovnici 0 (282) ki a 2 Ai 9 axk axl ( ) Pomocí d'Alembertova operátoru máme pak ve trírozmernem zapisu + V • AA =0, U = 0, BA = 0. (285) c2 at Vlnove rovnice, spolu s Lorenzovou kalibrační podmínkou, jsou ekvivalentní Maxwell-ovým rovnicím pro volne elektromagneticke pole. Konsistence kalibracních podmínek s rovnicemi pole se dokaze takto: 1) Zvolíme Lorenzovu kalibraci akAk = 0 na pocatecní nadplose t = 0. 2) Resíme rovnice D Ak = 0. 3) Protoze Ak je resení vlnove rovnice, platí ak Ak = Ao + V A = AAq + V A = V (VAo + A^) = -VE = 0. ak Ak = 0 a a ak Ak = 0 k at k pro t = 0. 4) Kdyz Ak je resení vlnove rovnice, pak je akAk take resení: nak Ak = Ak = 0. 5) Z toho vyplíyvaí, ze akAk = 0 v sude. 39 14.2 Rovinná monochromatická vlna Resení hledame ve tvaru rovinne vlny, tedy konstantní ctyrvektor nasobení komplexní jednotkou Ai = Re{ai exp(ikjxj)}, ki ki = 0, ki ai = 0. (286) Poslední vztah ve (286) je dín Lorenzovou kalibracní podmínkou. Ctyrvektor impulsu zapisujeme jako ki = (c,k), k = n2 = 1. (287) Velmi jednoduse popíseme pomocí charakteristik rovinne monochromaticke vlny Dop-pleruv jev. Mejme zdroj svetla, ktery je v klidu v soustave K0. Soustava K0 se pohybuje vzhledem k laboratorní soustave K rychlostí v. At' je uhel mezi smerem pohybu zdroje a smerem sírení svetla a. Potom platí = k° — - k k0 = ^0) k0 = u k(0) = r,—-2 , k(0) = ~ , c k(o) = / v-í, k(o) = ~cr c°s a(0), k1 = c°s a. V 1 c_ (288) a odtud '1 _ v_ u = u(0) / - c_ . (289) ^ - cos a Pro rychlosti male ve srovnaní s rychlostí svetla mame v 1 v2 u ~ u(0) 11+— cos a + - — cos 2^ . (290) \ c 2 c / Tensor energie-impulsu je c2 1 — Wkikk, W = — u2 2^0 Tik = — W kikk, W = — [aia* + Re {aiai exp f2ikj x^l . (291) Ve strední hodnote podle casu je druhy clen ve vírazu pro hustotu energie roven nule. Oba invarianty (232) jsou rovny nule. Se specialní volbou kalibrace (spojene ovsem s jednou urcitou inerciílní souradnou soustavou) míame Ai = (0, A), A = ay cos(ut — kx + a)ey + az sin(ut — kx + a)ě*z, E = uay sin(ut — kx + a)ey — uaz cos(ut — kx + a)ě*z, (292) B = kaz cos(ut — kx + a)ey + kay sin(ut — kx + a)ez. Elipticka polarizace takove vlny je videt ze vztahu Ey2 E2 By2 B2 u2a2y u2az2 k2az2 k2a2y 40 14.3 Rozklad elektrostátickeho pole bodoveho náboje Potencial bodoveho níboje (Coulombuv potencial) vyhovuje rovnici Af(x) = - q5(3) (x). (294) Uvazujme Fourierovu transformaci (f)*exp(ik • x) (2 )3 , (f)* = J f(x)exp(-ik • x) d3x. (295) Mame dve vyjadrení pro Fourierovu transformaci pusobení Laplaceova operatoru d3 k -k2(fkexp(ik ^ x)(2n)3 = (A(f)k = -k2ff)k, Aff(x) = - q Í exp(ik ^ x)-—k3 = (A(f)k = - q. eo J (2n)3 k eo (296) Porovnaním obou vyjadrení dostavame ' fk = eor (297) 14.4 Vláštní kmity pole Uvazujme objem V uzavreny v hranole o hranach delky A, B, C a kalibraci f = 0, V • A = 0. Míme A = EÄ*exp(ik • x), k • A* = 0, Ä-k = A*, (298) k pritom 2nnx 2nny 2nnz kx = a , ky = b , kz = c , (299) kde nx, ny, nz jsou cela císla. Fourierovy slozky vyhovují rovnici d— + u— = 0- (300) Jsou-li rozmery A, B, C zvoleneho objemu dostatecne velke, jsou sousední hodnoty kx, ky, kz velmi blízke a muzeme uvazovat o poctu mozních stavu v intervalu hodnot vlnovíeho vektoru Anx = — Akx, Any = — Aky, Anz = C Akz, (301) Akx Aky Akz An = Anx Any Anz = V-(2^)3-• 41 Pro pole dostaneme s potenciáalem (298) d A ^ dAr E = - — = -J2 ~df exp(ik • x), B = V x A = z]Tfc x Ak exp(ik • f). (302) k Celková energie pole je 1 ľ í -2 1 V^í dAr dA*r 1 -+\ /-> (303) Jednoduchou ápravou (vyuzitá kalibracná podmánky) prepárseme váraz (303) na E = Vf E (% - + -2 Äk - Ä"k) • -k = c (304) Rozklad potencialu (298) obsahuje jak stojate, tak postupne vlny. Vhodnejsá pro interpretaci je rozklad potenciáalu, kteryá obsahuje jen postupnáe vlny A = [äkexp (i (k - x - ukŕ)) + exp (-i (k - x - ukŕ)) . (305) k Porovnáanám (305) a (298) dostaáváame Ak = äk exp(-iu)k t) + a-k exp(i-k ŕ). (306) Dosazená (306) do (304) umoznuje ted' napsat energii pole jako E = E Ek, Ek = 2 Veo -2 äk - %. (307) k Obdobne dostaneme pro impuls j=£ KĚ x B)dV=E k !■ (308) Nakonec zavedeme kanonicke promenne Q k = v/ěčV (äk exp(-i-k ŕ) + äk exp(i-k t)) , -> dQ Pk = -iuk^/tôV (ak exp(-iu)kt) - ä~ exp(i-kt)) (309) dt V techto promennách mame energii vyjádrenou jako energii souboru harmonických oscilátoru E = E , =i (p2 + ^Qf) . (310) 42 15 Rozptyl zaření volnámi naboji 15.1 ThomsonUv vzorec Zavedeme pojem ícinneho pruřezu. At' dI znací intenzitu zaření, tj. střední hodnotu energie vyzařovane soustavou za jednotku casu do elementu prostoroveho uhlu díl a S je střední hodnota Poyntingova vektoru (střední hodnota toku energie) dopadajícího zuření. Potom je diferenciílní Učinný pruřez (UCinný pruřez rozptylu do elementu prostoroveho uhlu díl) velicina rozmeru elementu plochy dI da — S. (311) Uvazujme ted' rozptyl elektromagneticke vlny jedním jednotkovým volnym nabojem. Budeme předpokladat, ze rychlost získana níbojem bude mala a ze vlnoví delka je mnohem vetsí nez amplituda vyvolanúch kmitu níboje okolo puvodní polohy (kam umístíme pocatek souřadnic), tedy muzeme psít m"dt^ — eEE0 cos (k - x — ut + aj ~ eE0 cos(ut — a). (312) Pro intenzitu dipoloveho zaření kmitajícího naboje mame podle (148) ve smeru n e4 e4 dI =r 2e 2 3 \E0 x n\2 cos2(ut — a) dl — 2e E02 sin2ů dl (313) 16n2 e0m2c3 32n2e0m2c3 a pro střední hodnotu Poyntingova vektoru dopadající vlny 1 S — ce0 E0 cos2(ut — a) — 2 ce0 (314) takze pro diferencialní ucinní pruřez je e2 2 da —-e-2 sin2ůdl. (315) \4ne0 mc2 J ^4ne0 mc2 Celkovy ucinní pruřez je pak dan Thomsonovým vzorcem 8n / e2 \2 8 \4nt0mc2 ) a — ^\^-—2 — ô nr2, (316) 3 \ 4nt0mc2 J 3 kde re je klasicky polomer elektronu. 15.2 Modifikace Thomsonova vzorce Uvazujme nyní nikoliv volny níboj, ale tlumení oscMter, tedy d2Šx dŠx 2 e ia2 + Y-rr + uo x — — E0 cos ut. (317) dt2 dt m 43 Pro dipýlový moment Ě = ex odsud dostavame _ e2 - u2)cos ujt + yu sin ut Ě p =--T~2-ř\2~i—2~~2-Ěo. (318) Celkový ucinný prurež je v tomto prípade 8n 2 u4 ° = ~3~ Te (uo2 - u2)2 + Y2u2. (319) 16 Index lomu Definujeme polarižovatelnost a(u) jako konstantu umernosti ve vžtahu meži (lokalním) elektrickým polem Ěloc a dipólovým momentem p. Vyjdeme ž komplexního žýpisu (317) — + Y dt + uo x = m-Ěloc exp(-zut). (320) Potom Ě e2 1 Ě = eo a(u) Ěioc, a(u) =--2-:-2. (321) eom uo - «7u - u2 Polarižace je pak P = N/. Musíme ovsem uvížit, jake pole pusobí na naboj. Pripomen-me ž elektrostatiky, že je-li v dielektriku s homogenním polem dutina, je lokýlní pole rovno Ěoc = Ě, -Ěioc = Ě + - P>, Ěioc = Ě + -L P>, (322) podle toho, jde-li o sterbinu podel nebo napríc pole nebo o kulovou dutinu. (V prípade sterbiny napríc pole mýme Ěloc = ^D.) Pro uplnost požnamenejme, že pro magneticke pole mýme v podobne situaci Bloc = B - M, Bloc = B, Bloc = B - 22 M. (323) Pro dielektrika uvažujeme o važaných nabojích uvnitr kulove dutiny, mužeme tedy psat P = T-NrNaeo Ě (324) a pro index lomu (ža velmi casteho predpokladu fi(u) = fio) 2 Na n =1 + r^TNa- (325) 3 Obvykla forma tohoto vžtahu je (Clausius - Mosotti) n2 1 3—-= Na. (326) n2 + 2 v ; 44 Ve vodici uvažujeme o temer volních elektronech (nevázáních k atomu, tedy uo = 0) a dále máme pro konstantu 7 (ze dvou ruzních vyjadrení proudu a zápisu zmeny impulsu za dobu mezi srážkami) Ne2 j = a E, j = N evd, mvd 7 = eE = 7 =-. (327) ma (vd je zprumerovaní rychlost elektronu - drift.) Take lokílní pole je rovno vnejsímu, opet díky neustálemu pohybu temer volnych elektronu. Odtud máme pro index lomu 2 ul 2 Ne2 , , n =1--0-—^t- , ul =-. (328) u2 + iuu2 p meo up je tzv. plasmoví frekvence. 45