4. cvičení Atom „Atoms are completely impossible from the classical point of view.” Richard Feynman * Elektronová struktura atomů * Kvantování momentu hybnosti * Spin * Atomy a magnetismus * Pauliho vylučovací princip * Periodická soustava prvků * Charakteristické rtg záření * Lasery Prostudujte: HRW- kap. 41 Vše o atomech a zodpovězte otázky k této kapitole Z historie Þ 1860–1885 spektroskopická měření (G. R. Kirchhoff, R. W. von Bunsen) Þ 1862 A. J. Ångström: přesné měření spektrálních čar H[a],[ ]H[b], H[g], H[d] Þ 1885 J. J. Balmer odvodil empirickou formuli, která přesně dávala vlnové délky čtyř čar H[a],[ ]H[b], H[g], H[d] (Balmerova formule), a předpověděl, že mohou existovat další serie Þ 1896 P. Zeeman: štěpení spektrálních čar v magnetickém poli (Zeemanův jev) Þ 1897 J. J. Thomson: objev elektronu Þ 1911 E. Rutherford: objev jádra Þ 1913 N. Bohr: model atomu vodíku Þ 1913 H. G. J. Moseley: zařazení prvků podle charakteristického rtg záření Þ 1913 Franckův-Hertzův experiment Þ 1922 O. Stern, W. Gerlach: prostorové kvantování Þ 1925 G. Uhlenbeck, S. Gouldsmit: spin Þ 1925 W. Pauli: vylučovací princip Þ 1926 výpočet energiového spektra atomu vodíku pomocí maticové (W. Pauli) a vlnové (E. Schrödinger) mechaniky Þ 1926 W. Heisenberg: energiové spektrum atomu helia Þ 1929 vysvětlení jemné struktury – výsledek Diracovy rovnice Þ 1928–1930 Hartreeho-Fockova metoda autokonzistentního pole – nástroj pro mnohaelektronové atomy Þ 1947 Lambův posuv ve spektru atomu vodíku – důsledek interakce s elektromagnetickým vakuem (vysvětlení v rámci kvantové elektrodynamiky) Þ po roce 1959 iontové a atomové pasti Þ po roce 1975 laserové chlazení atomů (Nobelova cena za fyziku za rok 1997: http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1997/) Þ 1995 dosažení Boseho-Einsteinovy kondenzace v plynech atomů (Nobelova cena za fyziku za rok 2001: (http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2001/) Problém č. 1 Atom a magnetické pole a) Sternův-Gerlachův experiment: HRW - kap. 41: 18 Ú b) Hyperjemná struktura základního stavu atomu vodíku: HRW - kap. 41: 20 C c) Spin-orbitální interakce: HRW - kap. 41: 22 Ú d) Paramagnetismus: HRW - kap. 32: 27 Ú (použijete zde Boltzmannův faktor jako v dodatku ke 2. cvičení) Problém č. 2 Jemná struktura (*) Konstanta jemné struktury je definována vztahem . Tato konstanta se poprvé objevila v teorii Arnolda Sommerfelda[1] (1916), který se snažil vysvětlit jemnou strukturu spektrálních čar (několik blízkých čar místo jedné čáry) na základě předpokladu, že v Bohrově modelu jsou možné nejen kruhové, ale i eliptické orbity. Sommerfeldův přístup založený na klasické představě dráhy elektronu se nepotvrdil, ale konstanta se stala užitečnou konstantou v atomové fyzice (vybudované později na základě kvantové elektrodynamiky). (a) Ukažte, že , kde je rychlost elektronu v základním stavu v Bohrově modelu atomu vodíku, a že hodnota konstanty a je přibližně rovna 1/137. V roce 1928 nalezl Dirac relativistickou vlnovou rovnici pro elektron. Její řešení pro atom vodíku dává energiové hladiny, které závisejí nejen na hlavním kvantovém čísle n, ale i na kvantovém čísle vyjadřujícím celkový moment hybnosti elektronu J = L + S: . Zde E[n ] jsou energie, které plynou z řešení (nerelativistické) Schrödingerovy rovnice, a druhý člen vyjadřuje korekce jemné struktury, dané relativistickou změnou hmotnosti a spin-orbitální interakcí. (b) Určete rozdíl energií hladin 2p[3/2] a 2p[1/2] v atomu vodíku. Srovnejte toto rozštěpení s rozdílem energií mezi hladinami 3p[3/2] a 3p[1/2] v atomu sodíku (viz bod c v problému 1). Problém č. 3 Zeemanův jev (*) Říká se, že paní Bohrová potkala viditelně smutného mladého Wolfganga Pauliho v zahradě Bohrova institutu v Kodani, kde v akademickém roce 1922/1923 na pozvání N. Bohra působil. Na její starostlivou otázku, zda je opravdu nešťastný, Pauli odpověděl: „Samozřejmě, že jsem nešťastný. Nerozumím anomálnímu Zeemanovu jevu.“ My už nešťastní být nemusíme, víme z kvantové teorie už dost, abychom Zeemanovu jevu porozuměli. M. Faraday (1791–1867) známý svou obdivuhodnou intuicí vyslovil myšlénku, že spektrum zářícího atomu by se mělo změnit, když jej umístíme do silného magnetického pole. Potvrzení této myšlénky vyžadovalo zdokonalení experimentálního zařízení, takže až na sklonku 19. století mohl holandský fyzik P. Zeeman[2] (1865–1943) experimentálně zjistit změnu spektrálních čar vyzařovaných zdrojem umístěným v magnetickém poli. Přesná měření ukazují, že spektrální čáry se vlivem magnetického pole štěpí do několika komponent. Tento jev, nazvaný po P. Zeemanovi, snadno vysvětlíme, uvážíme-li, že moment hybnosti, a tedy i magnetický dipólový moment jsou kvantovány. Vložíme-li atom do vnějšího magnetického pole ( ), jeho energie se změní, protože , kde je magnetický dipólový moment atomu ( je Bohrův magneton). Zdůrazněme, že gyromagnetický poměr charakterizující spin elektronu je roven dvojnásobku gyromagnetického poměru pro jeho orbitální moment hybnosti . Vzhledem ke spin-orbitální interakci je prostorově kvantován celkový moment hybnosti a nikoli odděleně orbitální moment hybnosti a spin . To znamená, že magnetický dipólový moment atomu musíme vyjádřit pomocí celkového momentu hybnosti . Tato úloha se řeší v kvantové mechanice s tímto výsledkem[3]: , (*) kde a je Landého faktor. Víme-li, jak se štěpí energiové hladiny atomu vloženého do magnetického pole, můžeme již snadno nalézt frekvence jednotlivých komponent spektrální čáry s frekvencí : , přičemž pro optické dipólové přechody[4] musí být splněno výběrové pravidlo pro magnetické kvantové číslo . Dále budeme uvažovat atom s jedním valenčním elektronem, takže . Připomeňme, že potom také kvantová čísla j a jsou poločíselná. V tomto případě se Zeemanův jev nazývá anomální[5]. Úkol 1: Vysvětlete anomální Zeemanův jev pro atom sodíku (tj. nalezněte, jak se štěpí energiové hladiny atomu ve slabém[6] magnetickém poli, a poté zdůvodněte štěpení spektrální čáry D[1] a D[2]). Energiové hladiny atomu sodíku bez magnetického pole a ve slabém magnetickém poli (anomální Zeemanův jev). Úkol 2: Magnetické pole Slunce. Magnetické pole Slunce a jiných hvězd lze určit ze zeemanovského rozštěpení spektrálních čar. Sodíková spektrální čára D[1 ]se štěpí na čtyři komponenty. Jaká je velikost indukce magnetického pole ve Slunci, pokud rozdíl vlnových délek krajních čar je 0.022 nm? (Vlnová délka čáry D[1 ]je 589.8 nm.) Problém č. 4 Pasti s více elektrony a) HRW - kap. 41: 27 Ú b) HRW - kap. 41: 28 Ú Problém č. 5 Periodická struktura prvků a) HRW - kap. 41: 29 Ú b) HRW - kap. 41: 35 Ú Problém č. 6 Alkalické kovy Valenční elektron v atomu alkalického kovu se nachází v poli, které vytváří jádro atomu se Z protony a Z – 1 elektronů z vnitřních slupek atomu, které stíní jádro. Působení jádra a elektronů z vnitřních slupek na valenční elektron lze popsat efektivním potenciálem , kde 1 < Z[ef] < Z. Z[ef] = Z by znamenalo žádné stínění, naproti tomu dokonalé stínění Z – 1 elektrony z vnitřních slupek atomu by dalo Z[ef] = Z – (Z – 1) = 1. Hodnotu Z[ef] lze určit z měření ionizační energie atomu. Určete Z[ef] pro 3s elektron v atomu sodíku, je-li ionizační energie tohoto elektronu 5,14 eV. Problém č. 7 Zpomalování atomů fotony a) Vypočtěte střední kvadratickou rychlost atomů argonového plynu při pokojové teplotě. b) Atom argonu se pohybuje proti laserovému paprsku o vlnové délce 105 nm. Jak se změní rychlost atomu, jestliže absorbuje foton z tohoto paprsku. Problém č. 8 Dopplerův jev Atom sodíku může emitovat foton o vlnové délce 589 nm (D čára sodíku, která vzniká přechodem elektronu z excitovaného stavu 3p do základního stavu 3s). Určete vlnovou délku, kterou naměří detektor, pokud se atom pohybuje proti němu rychlostí 500 m/s. Problém č. 9 Profil spektrální čáry – „přirozené rozšíření“ (*) Atomy mohou samovolně přecházet z excitovaného stavu do základního (jedná se o tzv. spontánní emisi). To znamená, že tyto excitované stavy mají konečnou dobu života, s níž je (podle Heisenbergova principu neurčitosti) spojena „neostrost“ jejich energie. Konečná šířka energiové hladiny způsobuje, že také příslušná spektrální čára má konečnou šířku (nazývá se přirozená šířka čáry). Její profil můžeme nalézt nejen kvantověmechanickým výpočtem, ale také pomocí názorného klasického modelu vycházejícího z představy, že zářící atom je kmitající elektrický dipól. Vzhledem ke konečné době života jde o tlumené kmity, takže časová závislost elektrického dipólového momentu zní[7]: , pro t > 0, (9.1) kde je doba života excitovaného stavu a frekvence je dána rozdílem energie počátečního (excitovaného) a koncového stavu: . Tlumené kmity dipólu lze vyjádřit jako superpozici monochromatických složek : , (9.2a) kde (9.2b) je Fourierova integrální transformace funkce [8]. Úkol 1: Výpočtem posledního integrálu se přesvědčte, že[9] . (9.3) Kmitající elektrický dipól vyzařuje elektromagnetické záření, jehož intenzita je dána kvadrátem druhé derivace jeho dipólového momentu[10]. Spektrální hustota intenzity je potom dána amplitudami : . (9.4) Úkol 2: Provedete-li normování intenzity k jedničce, tj. , přesvědčte se, že emisní čára má lorentzovký profil, . (9.5) Načrtněte závislost a diskutujte případ (který vede k delta „funkci“[11]). Získanou závislost srovnejte s rezonanční křivkou pro nucené kmity[12]. Úkol 3: Určete pološířku[13] lorentzovského profilu. Problém č. 10 Dopplerovo rozšíření spektrální čáry (*) K rozšíření spektrální čáry atomu dochází také vlivem vnějších podnětů, jakými jsou srážky nebo tepelný pohyb atomu. Vlivu tepelného pohybu atomu na jeho záření se budeme věnovat. K tomu je potřeba znát (i) rozdělení rychlostí atomů v plynu (HRW čl. 20.7), (ii) vliv pohybu atomu na detekovanou frekvenci (Dopplerův jev pro světlo, HRW čl. 38.10). (i) Počet atomů , které mají při teplotě T rychlost v intervalu je určen Boltzmannovým faktorem[14] , kde k je Boltzmannova konstanta. V případě pohybu atomů (o hmotnosti M) v 1D platí[15] . (10.1) Úkol 1: Z podmínky , kde N je celkový počet atomů plynu, určete . (ii) (Úhlová) frekvence záření emitovaného atomem, který se pohybuje vůči pozorovateli rychlostí v, se liší od frekvence záření emitovaného atomem v klidu. Je-li , platí . (10.2) Frekvence záření se zvyšuje/snižuje, pokud se atom a pozorovatel přibližují/vzdalují. Úkol 2: S užitím (10.1) a (10.2) zdůvodněte, že spektrální hustota intenzity záření emitovaného tepelně se pohybujícím atomem je dána vztahem . (10.3) Zatímco přirozeně rozšířená čára má loretzovský profil (9.5), dopplerovky rozšířená čára má gaussovský profil (10.3). Úkol 3: Určete pološířku[16] gaussovského profilu. Úkol 4: Srovnejte pološířky pro přirozené a dopplerovské rozšíření spektrální D čáry sodíku (vznikající přechodem elektronu z excitovaného stavu 3p do základního stavu 3s, excitovaný stav není stabilní, jeho doba života je 16.2 ns) pro teplotu 500 K . Problém č. 11 Laserové chlazení atomů[17]^,[18] (*) Laserová manipulace s atomy umožňuje výrazně zpomalit jejich pohyb, snížit jejich rychlost na několik centimetrů za sekundu, což odpovídá teplotě několika desetin mikrokelvinů. Aby nedošlo ke kondenzaci, atomový obláček musí mít nízkou hustotu a být zachycen v atomové pasti (tvořené elektrickým a magnetickým polem). Chytání a chlazení atomů jdou tedy ruku v ruce. Zde pojednáme o procesu chlazení. Použijeme přitom znalosti z kmitání a vlnění (buzené kmity harmonického oscilátoru, Dopplerův jev /HRW čl. 38.10/) a něco základních poznatků o atomech a fotonech (foton má energii a hybnost). Ozáříme-li atom laserovým světlem o frekvenci blízké frekvenci optického přechodu v atomu, dojde k absorpci fotonu, který předá atomu nejen energii (atom přejde do vyššího energiového stavu), ale i hybnost (tlak záření). Například rychlost atomu sodíku, který absorbuje foton žlutého světla 589 nm, změní svou rychlost o (srov. Problém 7). Ačkoli typická rychlost atomů je řádově , laserové záření namířené proti svazku letících atomů lze efektivně užít pro jejich chlazení, protože může způsobit absorpci fotonů za sekundu. Nejprve se budeme zabývat tlakem záření. Přitom pro atom použijeme Lorentzův model. Atom budeme reprezentovat klasickým tlumeným harmonickým oscilátorem, který je buzen elektrickým polem (zde a v dalším se omezíme na 1D): . (11.1) Zde q a m jsou pořadě náboj a hmotnost elektronu, popisuje tlumení[19] a je vlastní (rezonanční) frekvence oscilátoru. Úkol 1: Ukažte, že střední výkon absorbovaný oscilátorem při frekvenci blízké rezonanční je[20] , (11.2) kde je rozladění. Vezmeme-li v úvahu kvantový charakter světla, můžeme nalézt rychlost absorpce fotonů, tj. počet fotonů absorbovaných za jednu sekundu: [21], (11.3) kde je energie fotonu. Síla, kterou působí záření na atom v důsledku absorpce, je pak dána součinem rychlosti absorpce fotonů R a hybnosti fotonu . Atom pohybující se proti laserovému svazku bude touto silou zpomalován. Po jistě době tlak záření atom zastaví a následně jej začne urychlovat v opačném směru. Aby se atom nezačal urychlovat, ozáříme jej současně dvěma stejnými laserovými svazky (o téže intenzitě a frekvenci ), které se šíří v opačných směrech. Pro další výpočty je klíčový Dopplerův posuv frekvence záření způsobený vzájemným pohybem zdroje záření a atomu. Úkol 2: (a) Za předpokladu, že oba svazky (šířící se v opačných směrech) působí nezávisle, zdůvodněte, že výsledná síla působící na atom pohybující se rychlostí , je (11.4) (b) Pokud platí ukažte, že , kde . (11.5) Vztah (11.5) vyjadřuje tlumicí sílu, pokud , tj. pokud laser je naladěn pod frekvenci atomového přechodu (s užitím obrázku 11.1[22] fyzikálně interpretujte tento výsledek!). Obr. 11.1. Dopplerovské chlazení atomů Protože působí tlumicí síla, snižuje se kinetická energie atomu (vzhledem k podstatné roli Dopplerova posuvu se tento proces nazývá dopplerovské chlazení). Úkol 4: Ukažte, že pro rychlost poklesu (kinetické) energie atomu v důsledku působení tlumicí síly (11.5) platí , (11.6) kde M je hmotnost atomu. (11.6) vypovídá o tom, že energie klesá exponenciálně s časem. Vypočtěte časovou konstantu, tj. dobu, za níž energie klesne na hodnotu , pro sodík (uvažujte přechod mezi základním stavem 3s a excitovaným stavem 3p) pro a rozladění . Při absorpci záření atom přechází ze základního do excitovaného stavu. Atom v excitovaném stavu má krátkou dobu života , a proto vzápětí po absorpci záření atomem následuje spontánní emise fotonu, který je vysílán náhodně do kteréhokoli směru [v 1D ve směru osy x (+) nebo proti směru osy x (-)]. Při emisi fotonu dochází ke zpětnému rázu, při němž se hybnost atomu změní o . Vzhledem k tomu, že při spontánní emisi se foton vyzáří náhodně do kteréhokoli směru, je střední hodnota změny hybnosti souboru atomů (v důsledku spontánní emise) nulová. Střední hodnota čtverce změny hybnosti je však nenulová: , (11.7) kde je dáno vztahem (11.3). Zdůvodněte vztah (11.7)! Úkol 5: S užitím (11.7) ukažte, že rychlost růstu (kinetické) energie atomu v důsledku zahřívaní zpětným rozptylem, k němuž dochází při emisi fotonu, je . (11.8) Při ozáření souboru atomů dvěma laserovými svazky v něm dochází k ochlazení vlivem tlumicí síly (11.5), která je důsledkem absorpce fotonů, a současně k zahřívání v důsledku zpětného rázu atomů vyvolaného spontánní emisí fotonu, která následuje vzápětí po absorpci záření. V ustáleném stavu je rychlost poklesu energie v důsledku ochlazování rovna rychlosti nárůstu energie v důsledku zahřívání, tedy . (11.9) Úkol 6: S užitím (11.9) najděte energii atomu v ustáleném stavu a potom s užitím ekvipartičního teorému (HRW čl. 20.5) určete teplotu atomů o energii. Úkol 7: Určete minimální teplotu, kterou lze dosáhnout dopplerovským chlazením. Vypočtěte tuto teplotu a odpovídající střední kvadratickou rychlost pro atomy sodíku (uvažujte přechod mezi základním stavem 3s a excitovaným stavem 3p). Tip: Teplota nalezená v úkolu 6 závisí pro daný atom na rozladění . Existují další způsoby laserového chlazení, které umožňují získat teploty nižší než je dopplerovská mez. Například teplota rubidiových pár byla snížena na 0,17 mK, kdy se systém „zhroutí“ do jediného ostře definovaného stavu, kdy vlnové funkce atomů se významně překrývají a celý soubor atomů je možné považovat za jediný kvantový systém, nazývaný Boseho-Einsteinův kondenzát (často označovaný jako Svatý Grál atomové fyziky)[23]. Za vývoj metod pro ochlazování a záchyt atomů laserovým světlem byla udělena třem fyzikům, S. Chu, C. Cohen-Tanoudji[24] a W. D. Philips, Nobelova cena za fyziku za rok 1997 (viz http://www.vesmir.cz/clanek/laserove-chlazeni-atomu). Problém č. 12 Rentgenové záření a) Brzdné rtg záření: HRW - kap. 41: 39 Ú b) Záření volného elektronu: HRW - kap. 41: 41 Ú c) Moseleyho zákon: HRW - kap. 41: 47 Ú d) Rentgenová difrakce: HRW - kap. 41: 50 Ú Problém č. 13 Lasery a) Záporná absolutní teplota: HRW – kap. 41: 58 C b) Energie laserového pulsu: HRW – kap. 41: 66 Ú c) CO[2] laser na Marsu: HRW – kap. 41: 69 ª Dodatek k 4. cvičení Více o spinu ________________________________ [1] A. Sommerfeld je autorem proslulé knihy Atombau und Spektrallinien (Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig) z roku 1919. [2] Za výzkum vlivu magnetismu na záření P. Zeeman a H. A. Lorentz (oba Holanďané) obdrželi roku 1902 Nobelovu cenu. [3] v rovnici (*) je rovno z-ové složce na obr. 41.7 v HRW. [4] Krásná diskuse dipólového záření je v 18. kapitole (resp. v 16. kapitole českého vydání) 3. dílu Feynmanových přednášek o fyzice. [5] Normální Zeemanův jev, kdy se čára štěpí v triplet (), nastává v případě, že (výsledný) spin je roven nule. To je možné u atomů se dvěma valenčními elektrony jako je např. Zn(). Názvy normální a anomální, které jsou poněkud zavádějící, vznikly historicky. Nejprve (na konci 19. století H. A. Lorenzem pomocí klasické fyziky, před vznikem kvantové teorie) bylo objasněno štěpení v triplet. Složitější štěpení spektrální čáry, které se objevuje např. u sodíku, se dlouho nedařilo objasnit. Tento jev, který byl proto označen jako anomální (i když je zcela normální), se stal jedním z podnětů pro zavedení spinu. [6] Vnější pole musí být výrazně slabší než vnitřní magnetické pole, které je zodpovědné za spin-orbitální štěpení (viz bod c Problému 1). Například pole o velikosti 3T je „slabé“ pro sodík, ale „silné“ pro lithium. V silném poli je zeemanovské rozštěpení podstatně větší než rozštěpení vlivem spin-orbitální interakce. To vede ke vzniku tripletu. Tento limitní případ se nazývá Paschenův-Backův jev. [7] Jde o řešení pro tlumený harmonický oscilátor s malým útlumem, kdy , kde (srov. (11.1)). [8] Rovnice (9.2a) je „zobecněním“ Fourierovy řady na případ neperiodické funkce definované na nekonečném intervalu . S Fourierovou transformací se nejen ve fyzice setkáte často. [9] Dosadíme-li (9.3) do (9.2a), musíme integrací dostat opět (9.1). Integrál v (9.2a) spočítáte snadno a rychle pomocí užitečné a krásné reziduové věty, se kterou se seznámíte v kursu Funkce komplexní proměnné. [10] Srovnejte se vztahem pro výkon vyzařování elektromagnetické energie v problému 5 v 1. cvičení. Ze (9.4) je vidět, že za dobu života klesne energie vyzařovaná kmitajícím dipólem na 1/e. [11] Používáme označení delta funkce, i když víme, že o funkci se nejedná. [12] Srov. Problém č. 11, vztah (11.2). [13] V angličtině se označuje FWHM (Full Width at Half Maximum). [14] Viz dodatek k 2. cvičení. S Boltzmannovým faktorem se setkáme ještě mnohokrát: prostupuje celou fyzikou, a proto si jej dobře zapamatujte. [15] V HRW čl. 20.7 je uvedeno (Maxwellovo) rozdělení rychlostí atomů/molekul pro 3D. [16] Viz poznámka pod čarou 13. [17] P. Gould: „Laser cooling of atoms to the Doppler limit“. Am. J. Phys. 65 (1997), 1120-1123. [18] Pokročilý výklad např. v C. J. Foot: Atomic Physics, (Oxford Master Series in Physics). Oxford University Press, 2005. [19] , kde je doba života (srov. Problém č. 9). [20] Jde o rezonanční křivku, srov. (9.5). [21] Výraz pro R získaný s užitím (11.2) neomezeně roste se zvyšující se intenzitou záření. Náš model však platí pro malé intenzity záření. Při intenzitách vyšších je nutné vzít v úvahu i stimulovanou emisi, což omezuje velikost R na hodnotu . Zavádí se tzv. saturační intenzita , která je pro sodík rovna 6 mW/cm^2 , a se pak začasté vyjadřuje pomocí podílu . [22] Obrázek je převzat z knihy v poznámce 18. [23] Viz HRW str. 1176 a obr. 45.2. [24] C. Cohen-Tanoudji je znám také jako autor známé a inspirativní učebnice kvantové mechaniky, C. Cohen-Tanoudji, B. Diu, F. Laloö: Quantum Mechanics, Part One and Two. J. Wiley, 1977 (překlad z francouzštiny).