F4110 Kvantová fyzika atomárních soustav

Teorie grup a molekuly
Kateřina Zuzaňáková, 29.6.2011

Teorie grup a molekuly
Motivace
skleníkový efekt:
Země vyzařuje tepelné záření → → pohlcováno skleníkovými plyny → část vyzářena zpět k Zemi

Teorie grup a molekuly
Motivace
skleníkový efekt:
Země vyzařuje tepelné záření → → pohlcováno skleníkovými plyny ― vibrace molekul ― kmity souvisí se symetrií molekuly ― symetrie popisujeme pomocí grup → část vyzářena zpět k Zemi

Teorie grup a molekuly
Motivace
skleníkový efekt:
Země vyzařuje tepelné záření → → pohlcováno skleníkovými plyny ― vibrace molekul ― kmity souvisí se symetrií molekuly ― symetrie popisujeme pomocí grup → část vyzářena zpět k Zemi

Co dnes uvidíme
● ● ●

grupa symetrií molekuly jaké prvky může obsahovat taková grupa jejich reprezentace

asi všichni víme, ale pro jistotu... Grupa nosná množina G s binární operací ○
a , b∈G a °b=c

c ∈G

a , b , c∈G
a∈G ∃e∈G

a °b°c=a °b°c a °e=e °a=a

a∈G

∃b∈G

a °b=b °a=e

asi všichni víme, ale pro jistotu... Grupa nosná množina G s binární operací ○
a , b∈G a °b=c

c ∈G

a , b , c∈G
a∈G ∃e∈G

a °b°c=a °b°c a °e=e °a=a

a∈G

∃b∈G

a °b=b °a=e

Grupa symetrií molekuly je tvořena operacemi, které transformují molekulu do stavu nerozlišitelného od původního

Jaké prvky mohou tvořit grupu symetrií
●

identita

e

Jaké prvky mohou tvořit grupu symetrií
●

identita

e Cn

●

rotace kolem osy o úhel 2π/n

Jaké prvky mohou tvořit grupu symetrií
●

identita

e Cn

●

rotace kolem osy o úhel 2π/n př. voda C2 π

amoniak C3

2π/3

Jaké prvky mohou tvořit grupu symetrií
●

identita

e Cn

●

rotace kolem osy o úhel 2π/n zrcadlení σ

●

Jaké prvky mohou tvořit grupu symetrií
●

identita

e Cn

●

rotace kolem osy o úhel 2π/n zrcadlení př. benzen σ i

●

●

středová inverze

Jaké prvky mohou tvořit grupu symetrií
●

identita

e Cn

●

rotace kolem osy o úhel 2π/n zrcadlení σ i Sn

●

●

středová inverze nevlastní rotace

●

rotace o 2π/n následovaná zrcadlením př. ethan S6 SiF4 S4

H2O
e C2 σxz σyz ....... C2v

z

y

x

H2O
e C2 σxz σyz ....... C2v

z e C2 σxz y σyz

e

C2

σxz

σyz

x

H2O
e C2 σxz σyz ....... C2v

z e C2 y σxz σyz

e e C2 σxz σyz

C2 C2

σxz σxz

σyz σyz

x

H2O
e C2 σxz σyz ....... C2v

z e C2 y σxz σyz

e e C2 σxz σyz

C2 C2 e

σxz σxz e

σyz σyz

e

x

Jak zaplníme zbývající políčka?

e e C2 σxz σyz e C2 σxz σyz

C2 C2 e

σxz σxz e

σyz σyz

e

Jak zaplníme zbývající políčka?
využijeme maticové reprezentace

C2 ○ σxz =

e

C2 C2 e

σxz σxz e

σyz σyz



−1 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 −1 0 =¿ 0 0 1 0 0 1





e C2 σxz σyz

e C2 σxz σyz

e

Jak zaplníme zbývající políčka?
využijeme maticové reprezentace

C2 ○ σxz = σyz

e

C2 C2 e

σxz σxz σyz e

σyz σyz



−1 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 −1 0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1







e C2 σxz σyz

e C2 σxz σyz

e

Jak zaplníme zbývající políčka?
využijeme maticové reprezentace

C2 ○ σxz = σyz

e

C2 C2 e

σxz σxz σyz e

σyz σyz σxz C2 e

 

−1 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 −1 0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1





 

e C2 σxz σyz

e C2 σxz σyz

C2 ○ σyz = σxz
−1 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 1 0 = 0 −1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1





Jak zaplníme zbývající políčka?
využijeme maticové reprezentace

C2 ○ σxz = σyz

e

C2 C2 e σyz σxz

σxz σxz σyz e C2

σyz σyz σxz C2 e

 

−1 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 −1 0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1







e C2 σxz σyz

e C2 σxz σyz

C2 ○ σyz = σxz
−1 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 1 0 = 0 −1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1







někdy je výhodné zavést 3N rozměrný prostor, N = počet atomů př. z 2 1 x 3 y 3 x C2 2 1 y z

někdy je výhodné zavést 3N rozměrný prostor, N = počet atomů př. 2 1 x 3 y 3 x
-1 -1 1

z

C2 2

z

1

y

C2
-1 -1 1

-1 -1 1

Některé další skleníkové molekuly

●

CO2

grupa D∞h e, 2C∞, ∞σ, i, 2S∞, ∞C2

●

CH4

grupa Td e, 8C3, 6S4, 6σd

Tabulka charakterů
(pro H2O)
T  g a= χ  g  a T  h a= χ  h a
 T  gh a= χ  g  χ h a= χ  gha χ  g =±1

C2v
A1 A2 B1 B2

e 1 1 1 1

C2 1 1 -1 -1

σxz 1 -1 1 -1

σyz 1 -1 -1 1 z Rz x Ry y Rx