1
Relativistická kvantová mechanika
Michal Lenc
Poznámky k přednášce v jarním semestru 2010
1 Obrazy................................................................................................................................2
1.1 Postulát o kvantové kausalitě.....................................................................................2
1.2 Evoluční operátor.......................................................................................................2
1.3 Schrödingerův a Heisenbergův obraz ........................................................................3
1.4 Interakční obraz..........................................................................................................4
2 Relativita a antičástice podle Feynmana............................................................................4
3 Komplexní proměnná.........................................................................................................5
4 Antičástice podle Feynmana II...........................................................................................7
5 Relativistická kvantová mechanika – historický přístup....................................................8
6 Spinory v trojrozměrném prostoru.....................................................................................9
7 Spinory ve čtyřrozměrném časoprostoru..........................................................................11
7.1 Vlastnosti spinorů ....................................................................................................11
7.2 Lorentzova transformace spinorů.............................................................................14
8 Vlnová rovnice pro částice se spinem 1/2 - Diracova rovnice.........................................16
8.1 Diracova rovnice pro volnou částici ........................................................................16
8.2 Diracova rovnice v elektromagnetickém poli ..........................................................17
8.3 Heisenbergův obraz..................................................................................................17
8.4 Rovnice kontinuity...................................................................................................18
8.5 Standardní representace ...........................................................................................19
9 Rovinné vlny....................................................................................................................20
10 Transformace Diracovy rovnice.......................................................................................21
10.1 Rovnice volné částice (Foldyova - Wouthuysenova transformace).........................21
10.2 Rovnice částice v elektromagnetickém poli.............................................................22
11 Rozptyl elektronu na jádře...............................................................................................25
12 Invariantní účinný průřez .................................................................................................27
13 Spinová matice hustoty....................................................................................................29
14 Spinové středování...........................................................................................................31
2
1 Obrazy
1.1 Postulát o kvantové kausalitě
Postulát o kvantové kausalitě říká, že:
(a) Stav systému v čase 0t jednoznačně určuje stav systému v libovolném okamžiku 0t t>
i v okamžiku 0t t< .
(b) Platí princip superposice: Jsou-li stavy ( )1 tψ a ( )2 tψ časové evoluce stavů
( )1 0tψ a ( )2 0tψ , pak také stav ( ) ( )1 1 0 2 2 0c t c tψ ψ+ má časovou evoluci
( ) ( )1 1 2 2c t c tψ ψ+ .
(c) Norma stavového vektoru se běhen časové evoluce nemění.
1.2 Evoluční operátor
Podle postulátu o kvantové kausalitě existuje jednoznačný vztah mezi vektory ( )tψ
a ( )0tψ a lze tedy definovat evoluční operátor ( )0
ˆ ,T t t
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0
ˆˆ ˆ, , , 1 .t T t t t T t tψ ψ= = (1.1)
Ze zachování normy dostáváme
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0
ˆ ˆ, ,t t T t t t T t t t t tψ ψ ψ ψ ψ ψ= = (1.2)
a platí tak
( ) ( )0 0
ˆˆ ˆ, , 1 .T t t T t t+
= (1.3)
Dále porovnáním
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 1 1 2 1 1 0 0
2 2 0 0
ˆ ˆ ˆ, , , ,
ˆ ,
t T t t t T t t T t t t
t T t t t
ψ ψ ψ
ψ ψ
= =
=
(1.4)
dostáváme
( ) ( ) ( )2 0 2 1 1 0
ˆ ˆ ˆ, , , .T t t T t t T t t= (1.5)
Evoluční operátor je unitární, neboť také
( ) ( )0 0
ˆˆ ˆ, , 1T t t T t t+
= (1.6)
3
a dále máme
( ) ( )0 0
ˆ ˆ, , .T t t T t t+
= (1.7)
Pro Taylorův rozvoj ( )ˆ ,T t t t+ ∆ dostáváme
( )ˆ ˆ, 1 ,
i
T t t t H t+ ∆ = − ∆ + …
"
(1.8)
kde ˆH je nějaký hermiteovský operátor. Evoluční operátor splňuje rovnici
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0
ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , , 1 .
d
i T t t H t T t t T t t
d t
= =" (1.9)
1.3 Schrödingerův a Heisenbergův obraz
Ve Schrödingerově obraze předpokládáme, že se v čase mění stavový vektor. Pro
stavový vektor platí přirozeně ta samá rovnice, jako pro evoluční operátor (Schrödingerova
rovnice)
( ) ( ) ( )ˆ
S S S
d
i t H t t
d t
ψ ψ=" (1.10)
a pokud operátory závisí na čase, tak pouze explicitně. V Heisenbergově obraze naopak
předpokládáme, že se stavový vektor v čase nemění. Požadavek rovnosti vyjádření střední
hodnoty libovolné fyzikální veličiny v obou obrazech vede ke vztahu mezi operátory
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0 0
ˆ , ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,
H S S
S S S H H H H H H
t T t t t
t F t F t T t t F t T t t
ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
+
+
≡ =
= =
(1.11)
tedy
( ) ( ) ( )0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ, , .H SF t T t t F T t t+
= (1.12)
Rovnici pro časovou změnu operátoru v Heisenbergově obraze získáme derivováním
předchozího vztahu
( )
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ .
S
H S S
S
S S S S
d d T d T F
F F T T F T T
d t d t d t t
F
T H F T T F H T T T
i t
+
+ +
+ + +
∂
= + + =
∂
∂
− + +
∂"
(1.13)
S uvážením (1.6) máme
ˆ1ˆ ˆ ˆ, .H
H H H
d F
F F H
d t i t
∂
 = +  ∂"
(1.14)
4
1.4 Interakční obraz
Velmi důležitým pro aplikace je interakční obraz. Předpokládáme, že hamiltonián je
složen ze dvou částí, ( )0
ˆ ˆ ˆH H V t= + , kde 0
ˆH je na čase nezávislá základní část a ( )ˆV t je
interakční část, která může explicitně záviset na čase. Zvolíme
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
ˆ ˆ, exp
ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,I S I S
i
T t t H t t ,
F T t t F T t t t T t t tψ ψ+ +
 
= − − 
 
= =
" (1.15)
a dostáváme pak
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
0 0 0 0
0 0 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , .
I I I I
I I
d
i t H t t , H t T t t V t T t t
d t
V td
F T t t T t t H F
d t t
ψ ψ +
+
= =
∂
 = +  ∂
"
(1.16)
2 Relativita a antičástice podle Feynmana
Amplituda pravděpodobnosti přechodu
( ) ( ) ( ) ( )3 *
0 0 0
ˆ .A i d x x U x x i Uφ χ χ φ χ φ→ = − = −∫
# # # #
(2.1)
Předpokládáme (první předpoklad je splněn normováním 0φ , druhý vhodnou volbou
počátku odečítání energie)
0 0 0 0
ˆ1 , 0 .Uφ φ φ φ= = (2.2)
Působení v čase 1t označme 1
ˆU , působení v čase 2t jako 2
ˆU atd. Máme pak
( ) ( ){ }0 0 0 2 2 1 1 0
ˆ ˆ1 exp .m m m
m
A U i E t t Uφ φ φ ψ ψ φ→ = − − −∑ (2.3)
Za mψ vezmeme rovinné vlny. S označeními
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 0 1 2 2 2 0 22 , , 2 , ,p pa x E U x t x b x E U x t xφ φ= =
# # # # # #
(2.4)
kde 2 2
pE p m= + (ne nutně kladná větev odmocniny), můžeme psát
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ){ }
0 0
3
3 * 3
2 2 1 1 2 1 2 13
1
exp .
2 2
p
p
A
d p
d x b x d x a x i E t t p x x
E
φ φ
π
→ = −
 − − − ⋅ − 
⌠ ⌠
 
⌡⌡
#
# # # # # # # (2.5)
5
Proč jsme vydělili člen s energií, je vidět z úpravy relativisticky invariantního výrazu
( ) ( )
( ) ( )
2 0 1 2 3 2 2 2 3
3
31
inv .
2 2
i
i
p p
p p
p p m d p d p d p d p E p m d E d p
d p
E E E E d E d p
E E
δ δ
δ δ
− = − − =
 + + − ⇒ = 
#
#
# (2.6)
Označme 2 1t t t= − a 2 1r r r= −
# # #
a všimněme si chování funkce
( )
( )
{ }
3
3
, exp .
22
p
p
i d p
G r t i p r E t
Eπ
 = ⋅ − 
⌠

⌡
#
# # #
(2.7)
Předpokládejme 0pE > a prostorupodobný interval 2 2 2
s r tλ = − = − . Integrací přes
úhlové proměnné dostaneme
( ) { }
{ }
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
1
, exp
8
1 1
exp .
8
p
G r t d p i p r p m t
r p m
d p i p r p m t
i r r p m
π
π
∞
−∞
∞
−∞
 = − + =
 +
∂  − +
 ∂ +
⌠

⌡
⌠

⌡
(2.8)
Substituce sinhp m ϕ= a označení 0 0cosh , sinhr tλ ϕ λ ϕ= = převedou integrál na
( ) ( ){ } ( )0 02 2
1 1
, exp sinh ,
8 8
G r t d i m K m
i r r i r r
ϕ λ ϕ ϕ λ
π π
∞
−∞
∂ ∂
= − =
∂ ∂∫ (2.9)
kde ( ) ( )0
0
cos sinhK x d y x y
∞
=∫ je Besselova funkce. Pomocí vztahu ( ) ( )0 1K x K x′ =−
přepíšeme (2.9) na
( ) ( )12
.
8
i m
G K mλ λ
π λ
= (2.10)
3 Komplexní proměnná
Místo úpravy integrálu podle (2.8) napišme
( ) ( ) { }
( ) { }
2 2
2 2 2
0
2 2
2
, sin exp
4
sin exp .
4 m
i p
G r t d p p r i p m t
r p m
i
d m r i t
r
π
ω ω ω
π
∞
∞
= − + =
+
− −
⌠

⌡
⌠
⌡
(3.1)
6
Nemusíme provádět detailní výpočet (3.1), ale pro prostorupodobný interval r t r− < < využít
následující věty
Věta: Nechť
(1) ( )F ω je komplexní funkce reálné proměnné definovaná na intervalu [ )0,ω ∈ ∞ skoro
všude.
(2) Pro všechna ( ),t ∈ −∞ ∞ konverguje absolutně integrál
( ) ( ) ( )
0 0
, tj.i t
f t F e d F dω
ω ω ω ω
∞ ∞
−
= < ∞∫ ∫ (3.2)
(funkce ( )F ω je absolutně integrabilní na[ )0,∞ ).
(3) Existuje interval [ ] ( ), ,a b ⊂ −∞ ∞ tak, že ( ) 0f t = na [ ],a b .
Pak ( )f t je identicky nulová na [ ],−∞ ∞ .
Důkaz: Definujme funkci ( )G z komplexní proměnné z t i y= + vztahem
( ) ( )
0
.i z
G z F e dω
ω ω
∞
−
= ∫ (3.3)
Funkce ( )f t je restrikcí ( )G z na reálnou osu, tj. ( ) ( )G z f t=$ . Uvažujme ( )G z pouze na
množině { },Im 0d z z∈ ≤% % , tj. v dolní polorovině komplexní roviny. Pak platí
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
.i z i t y y
F e d F e e d F e d F dω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω ω ω
∞ ∞ ∞ ∞
− −
≤ ≤ ≤∫ ∫ ∫ ∫ (3.4)
Integrál definující funkci ( )G z tedy konverguje (dokonce absolutně) v dolní polorovině.
Označme dále
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
0
0
, Re Re cos Im sin ,
, Im Re sin Im cos .
y
y
u t y G z F t F t e d
v t y G z F t F t e d
ω
ω
ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω
∞
∞
= = −
= = +
∫
∫
(3.5)
Přímým výpočtem (derivování podle parametru je zajištěno absolutní konvergencí integrálů)
se snadno prověří platnost Cauchyových - Riemannových podmínek
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,
, .
u t y v t y u t y v t y
t y y t
∂ ∂ ∂ ∂
= = −
∂ ∂ ∂ ∂
(3.6)
7
Diferencovatelnost funkcí ( ),u t y a ( ),v t y je rovněž zřejmá ze vztahů, jimiž jsou
definovány a s použitím absolutní konvergence integrálů. Funkce ( )G z je tedy holomorfním
rozšířením funkce ( )f t z reálné osy do dolní poloroviny komplexní roviny. Vzhledem k
tomu, že reálná osa má v této polorovině hromadné body, je toto rozšíření určeno
jednoznačně.
Věta o jednoznačnosti: Nechť ( )G z je holomorfní v otevřené souvislé oblasti D .
Označme ( ){ }0GN z G z= ∈ =D . Pak nastane právě jedna ze dvou možností
(1) GN je tvořena izolovanými body.
(2) GN = D (tedy ( ) 0G z ≡ ) ⇔ GN má v D alespoň jeden hromadný bod.
4 Antičástice podle Feynmana II
Podle uvedené věty nemůže být amplituda pravděpodobnosti přechodu rovna nule pro
konečný interval času, specielně nemůže být rovna nula vně světelného kužele bodu ( ),A At x
#
.
Proto, je-li (levá část obrázku) A Bt t< dostáváme příspěvek k amplitudě od částic putujících
nadsvětelnou rychlostí, pro které je interval prostorupodobný, tj. pro které platí
( ) ( )
2 22
0B A B Ac t t x x− − − <
# #
. Časová následnost událostí je pro události oddělené
prostorupodobným intervalem závislá na zvolené inerciální soustavě. To snadno ukážeme:
vztah pro Lorentzovu transformaci je (soustava *
K se pohybuje vzhledem k soustavě K
podél osy x rychlostí V )
* *
* *
2 2
2 2
, .
1 1
V
ct x
x V tcct x
V V
c c
+
+
= =
− −
(4.1)
Pro 0V > platí
( )
2
* *
.B A B A B A
c
x x t t t t
V
− > − ⇒ < (4.2)
8
V souřadné soustavě K (levý obrázek) se pohybuje částice volně do bodu ( ),A At x
#
, kde je
rozptýlena, pak opět volně do bodu ( ),B Bt x
#
, kde se opět rozptylem dostane do původního
stavu a pohybuje se jako volná částice. V souřadné soustavě *
K (pravý obrázek) vypadá
však věc úplně jinak. Částice se pohybuje volně, ale v čase *
Bt vznikne v bodě ( )* *
,B Bt x
#
dvojice částic, z nichž jedna se pohybuje proti směru času a druhá je ve stavu původní částice.
Právě tato částice se pak v bodě ( )* *
,A At x
#
setká s původní částicí a obě zmizí. Zbylá částice
pokračuje volným pohybem.
5 Relativistická kvantová mechanika – historický přístup
V nerelativistické teorii máme
2
ˆ ˆˆ ˆ, ,
2
p
H H i p
m t i
∂
= → → ∇
∂
## "
" (5.1)
a Schrödingerovu rovnici
( )
( )
2
,
, .
2
r t
i r t
t m
ψ
ψ
∂
= − ∆
∂
#
" #
" (5.2)
V relativistické teorii
9
( )
( )
0 1 2 3
0 1 2 3
, , , , ,
, , , , .
E
p p p p p p
c
E
p p p p p p
c
µ
µ
 
= =  
 
 
= = − 
 
#
#
(5.3)
Invariantní délka čtyřvektoru impulzu je
2
2 2 2
2
.i
i
E
p p p m c
c
= − =
#
(5.4)
Hamiltonián je tedy
2 2 2 4
H p c m c= +
#
(5.5)
a analogie ke kvantování v souřadnicové representaci
ˆ .i i
p i
x
∂
→
∂
" (5.6)
Analogie ke Schrödingerově rovnici je ovšem
( )
( )2 2 2 2 4,
, .
r t
i c m c r t
t
ψ
ψ
∂
= − ∇ +
∂
# # #
" " (5.7)
6 Spinory v trojrozměrném prostoru
Spinor je dvoukomponentový objekt, jehož komponenty odpovídají dvěma možným
hodnotám projekce spinu do osy z
( )
( )
( ) ( )
1
2
1 1
2 2
1 2
,
1 2
0 01 0 1 0, .
0 1 0 10 02 2 2 2
ψψψ
ψψ
ψ ψ
ψ ψ
  
= =   −   
      = = −       − −       
" " " "
(6.1)
Připomeňme Pauliho matice (pro úplnost dodejme jednotkovou matici)
0
1 0 0 1 0 1 0
,
0 1 1 0 0 0 1
x y z
i
, , .
i
σ σ σ σ
−       
= = = =       −       
(6.2)
Pro zavedení kovariantních složek spinorů je užitečné zavést matici, která umožňuje snižovat
a zvedat indexy a tak využívat součtové konvence
( ) ( )
0 1
,
1 0
AB
ABg g g
 
= = =  
− 
(6.3)
takže
12
1 2, , .B A B A
BA AB
gg ψ ψ ψψ ψ ψ ψ ψ= = ⇒ = = − (6.4)
10
Při rotaci souřadné soustavy se spinor transformuje jako
/ ˆ ,Uψ ψ= (6.5)
kde
ˆ .
a b
U
c d
 
=  
 
(6.6)
Matice ˆU je zadána čtyřmi komplexními čísly, může však záviset jen na třech nezávislých
parametrech (representuje nějaký prvek z grupy rotací v trojrozměrném prostoru). Omezující
podmínky dostaneme takto: bilineární kombinace
1 2 2 1 A A
A Aψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ− = = − (6.7)
se transformuje jako
( ) ( ) ( )/ / E C DA A E B DC T B T E A
A E AB C D AB C D AA
U g U g U g U g a d bcψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ= = = − (6.8)
Máme-li jedinou funkci, která se transformuje sama na sebe, musí to být skalár, tj. platí
1 .a d bc− = (6.9)
Další invariantem je hustota pravděpodobnosti nalezení částice v nějakém bodě
/ / 1ˆ ˆ ˆ ˆU U U Uψ ψ ψ ψ ψ ψ+ + + + + −
= = ⇒ = (6.10)
neboli
* *
* *
1
.
d ba c
c aa d bcb d
−   
=   −−   
(6.11)
Ze vztahů (6.9) a (6.11) dostáváme pět podmínek pro čtyři komplexní čísla
2 2* *
, , 1 .d a c b a b= = − + = (6.12)
V trojrozměrném případě je operace inverse provedená dvakrát návratem k původní souřadné
soustavě, proto u tensorových veličin je 2 ˆˆ 1P = . U trojrozměrných spinorů mohou nastat
(rotace o 0 a 2π nejsou ekvivalentní) dvě možnosti
2 2ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 , 1 .P P P P i= ⇒ = ± = − ⇒ = ± (6.13)
Bilineární kombinace (6.7) representovala skalární veličinu. K representaci vektoru se
dostaneme nejjednodušeji tak, že vyjdeme z representace grupy rotací – tj. ( )3SO pomocí
kulových funkcí l mY . Pro 1l = máme
11
( )
1 2 1 2
10 1 1
3 3
, ,
4 8
z x yY i n Y i n i n
π π±
   
= = ±   
   
∓ (6.14)
kde složky jednotkového vektoru jsou
( ) ( ), , sin cos ,sin sin ,cos .x y zn n n n θ ϕ θ ϕ θ= =
#
(6.15)
Vezměme teď symetrický spinor řádu 2j. Obecný výraz je
( )
( ) ( ) ' '
1 2
11 22
2 !
,
! ! j m j m
j m
j
j m j m
ψ
+ −
 
Ψ =   + − 
… … (6.16)
V našem případě ( 1j = ) tedy máme buď srovnáním s výrazy (6.14)
( ) ( )1 1 10 111 2 1 2
, ,
2 2
x y z x y
i i
a i a i a a i a−Ψ = − Ψ = Ψ = − + (6.17)
nebo
1 2
1 1 22 10 12 11 11, 2 , .ψ ψ ψ−Ψ = Ψ = Ψ = (6.18)
Srovnáním (6.18) a (6.17) pak dostaneme vztah mezi komponentami trojrozměrného vektoru
a symetrického spinoru druhého řádu
( ) ( )11 12 221 2 1 2 1 2
, , .
2 2 2
x y z x y
i i i
a i a a a i aψ ψ ψ= − + = = − (6.19)
7 Spinory ve čtyřrozměrném časoprostoru
7.1 Vlastnosti spinorů
Stejně jako v nerelativistickém případě bude i teď spinor dvoukomponentový objekt
( )
( )
( ) ( )
1
2
1 1
2 2
1 2
,
1 2
0 01 0 1 0, .
0 1 0 10 02 2 2 2
ξξξ
ξξ
ξ ξ
ξ ξ
  
= =   −   
      = = −       − −       
" " " "
(7.1)
Ve čtyřrozměrném prostoru prostorová inverse mění znaménko pouze tří ( ), ,x y z ze čtyř
( ), , ,ct x y z časoprostorových souřadnic a nekomutuje tedy s rotacemi souřadnic, které
obsahují časovou osu. Speciálně pro Lorentzovu transformaci platí
( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ .P L V L V P= −
# #
(7.2)
Při transformaci z vlastní Lorentzovy grupy transformuje se spinor jako
12
/1 1 2 / 2 1 2
, 1 ,,ξ α ξ β ξ ξ γ ξ δ ξ α δ β γ= + = + − = (7.3)
nebo v maticovém zápisu
/
, , det 1 .L L L
α β
ξ ξ
γ δ
 
= = = 
 
(7.4)
Koeficienty α, β, γ a δ jsou funkcemi úhlů rotace čtyřrozměrné souřadné soustavy. Podmínka
det 1L= říká, že matice L je z representace grupy ( )2,SL C , která má stejně jako Lorentzova
grupa šest parametrů. Bilineární forma
1 22 1
ξ ξ−Ξ Ξ (7.5)
je invariantem (částice se spinem nula, složená ze dvou částic se spinem 1/2).
Potom můžeme psát místo (7.5)
.A A
A A invξ ξ= − =Ξ Ξ (7.6)
V nerelativistické teorii určuje 1 1* 2 2*
ψ ψ ψ ψ+ hustotu pravděpodobnosti, a je tedy skalární
veličinou, proto musí být spinorová transformace (7.3) unitární ( * *
,α δ β γ= = − ). V
relativistické teorii je hustota pravděpodobnosti časupodobnou složkou čtyřvektoru a
podmínka unitarity nevzniká. Proto musíme uvažovat ne jeden spinor, ale dvojici spinorů ξ a
η, transformujících se podle komplexně sdružených representací Lorentzovy grupy, ξ podle
(7.3) a η podle
/1 1 2 / 2 1 2* * * * * * * *
, 1 .,α β γ δ α δ β γη η η η η η= + = + − =
( ( ( ( ( (
(7.7)
Komponenty spinoru, který se transformuje podle komplexně sdružené representace
Lorentzovy grupy značíme tečkou nad velkým písmenem. Pro zvedání a snižování indexů
platí i tady vztah (6.4). Vidíme, že transformace (7.7) odpovídá úměrnosti
*
.A A
η ξ
(
∼ (7.8)
Při prostorových rotacích se kovariantní složky trojrozměrného spinoru transformují jako
komplexně sdružené složky kontranariantního spinoru *A
Aψ ψ∼ . Tuto vlastnost si musí
zachovat i složky čtyřrozměrného spinoru. S uvážením (7.8) je tedy
*
.A A
A
η η ξ
(
( ∼ ∼ (7.9)
Budem tedy podobně jako v (7.1) psát
( ) ( )1 1 1
2 22
0 01 0 1 0, , .
0 1 0 10 02 2 2 2
η η η
η η ηη
         = = = −         − −        
( ( (
( ((
" " " "
(7.10)
13
Působení operátoru prostorové inverse nemůže být násobkem jednotkové matice, jako tomu
bylo u trojrozměrných spinorů. Bude proto operátor prostorové převádět ξ na η a naopak.
Zapsáno ve složkách je (volíme representaci, kde 2ˆ 1P =− )
ˆ ˆA A
A AP i , P iξ η η ξ= =( ( (7.11)
neboli
ˆ ˆ .AA
AAP i , P iη ξξ η= − = −
((
(7.12)
Zápis některých vztahů výrazně zjednodušíme maticovým značením
( ) ( ) ( )
1
1 21
2 1 2
2
, , , , .L
ηξ α βξ η ξ ξ ξ η η η γ δηξ
   
= = = = =  
  
( ((
(
* * (7.13)
Transformační vztahy můžeme zapsat jako
( )
/ / 1
1/ /
ˆ ˆ, , , ,
ˆ ˆ, , , .
L L P i P i
L L P i P i
ξ ξ ξ ξ ξ η η ξ
η η η η ξ η η ξ
−
−+ +
= = = =
= = = − = −
* *
* ** * * *
(7.14)
Dvojice bispinorů ( ),ξ η a ( ),Ξ Η* * representují mimo jiné skalární a vektorové veličiny. Pro
skalární veličiny (skalár a pseudoskalár) je
ˆ
ˆ .
A A
A A
A A
A A
, P ,
, P
ω ξ η ω ωξ η
ω ξ η ω ωξ η
= Ξ + Η = + =ΗΞ
= Ξ − Η = − = −Ξ Η
(
(
(
(
* *
* *
(7.15)
Máme totiž
( )( ) ( )( )ˆ ˆ ˆ ˆ, .P P i i P P i iξ η η η ξ ξΞ = − Η = Η Η = − Ξ = Ξ* * * * * * (7.16)
Pro vektorové veličiny
( )
( ) .
B BAA
B BAA
,ζ ξ η ηξ
ζ ξ η ηξ
= Η + Ξ = +Η Ξ
= Η − Ξ = −Η Ξ
(( (
( (
* *
* *
(7.17)
Vzhledem k relacím
( ) ( )
( ) .
B BAA
B BA A
B BAA
B BA A
P P ,
P
ξ η η ξ η ξηξ
ζ ξ η η ξ η ξηξ
Η + Ξ = + = Ξ + Η = Ξ + ΗΗ Ξ
= Η − Ξ = − = Ξ − Η = Ξ + ΗΗ Ξ
(( (
( (
( (
( (
* ** * **
* ** * **
(7.18)
a spojení složek čtyřvektoru se složkami spinoru druhého řádu se smíšenými indexy (pro
trojrozměrný vektor platí stejná úvaha jako v nerelativistickém případě, nultá (časupodobná)
složka vektoru je úměrná hustotě pravděpodobnosti
14
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 11 22 1 12 21
11 22 12 21
2 12 21 3 11 22
12 21 11 22
1 1 1 1
, ,
2 2 2 2
1 1
,
2 2 2 2
a a
i i
a a
ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ
ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ
= + = + = + = − +
= − = − − = − = − −
( ( ( (
( ( ( (
( ( ( (
( ( ( (
(7.19)
odpovídá první případ čtyřrozměrnému vektoru (s trojrozměrným polárním vektorem) a
druhý případ čtyřrozměrnému pseudovektoru (s trojrozměrným axiálním vektorem)
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0ˆ ˆ, , , , .P a a a a , P a a a a= − = −
# # # #
(7.20)
Vztahy (7.19) je možno zapsat zkráceně jako
( ) { } { }0
0 0
1 1
Tr Tr .
2 2
A B
a a , a , aζ σ σ ζ σ ζζ= = ⋅ + = =
( # # # #
(7.21)
7.2 Lorentzova transformace spinorů
Vztahů mezi spinorem ζ a čtyřvektorem i
a využijeme pro nalezení konkrétního tvaru
koeficientů transformace. Zopakujme potřebné značení
( )
1 11 12
1 2
2 21 22
/ / /
,
.
L , , ,
L , L , L L
α β ξ ζ ζ
ξ η ξη ζη η
γ δ ξ ζ ζ
ξ ξ η η ζ ζ+ +
   
 = = = =           
= = =
( (
( (
( (
* * ∼
* *
(7.22)
Pro infinitesimální Lorentzovu transformaci píšeme
1 0
, , .
0 1
L I Iδ λ ζ ζ λζ ζ λ+  
′= + = + + =  
 
(7.23)
Při infinitesimální Lorentzově transformaci čtyřvektoru máme jednak
{ }
{ }
0
0 0 0
Tr ,
2
Tr
2
V
a a a n V a n
V
a a a n V a n
δ
δ ζ
δ
δ σ ζ
′ = − = −
′ = − ⋅ = − ⋅
# # # # #
# # # #
(7.24)
a také
{ } ( ){ }
{ } ( ){ }0 0
1 1
Tr Tr ,
2 2
1 1
Tr Tr .
2 2
a a
a a
ζ σ ζ σ λ λ σ
ζ ζ λ λ
+
+
′ ′= = + +
′ ′= = + +
# # # # #
(7.25)
Porovnáním obou zápisů dostaneme
.
2
V
n
δ
λ λ σ+
= = − ⋅
# #
(7.26)
15
Konečná Lorentzova transformace (pro jednoduchat zápisu v rovině t-x) je
/
2
/
2
cosh sinh ,
1
cosh sinh .
1
x V t
x x t
V
t V x
t t x
V
φ φ
φ φ
−
= = −
−
−
= = −
−
(7.27)
Infinitezimální transformace je pak
/ /
, .x x V t x t t t V x t xδ δφ δ δφ= − = − = − = − (7.28)
Pro výpočet konečné Lorentzovy transformace budeme infinitezimální transformaci aplikovat
násobně
, lim exp .
2 2
n
n
L I n n
n n
φ φ φ
δφ σ σ
→∞
   
= = − ⋅ = − ⋅  
  
# # # #
(7.29)
Infinitesimální transformaci jsme charakterizovali parametrem δφ a nikoliv Vδ , protože
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, ,L L L L V L V L V Vφ φ φ φ= + ≠ + (7.30)
jak se můžeme přesvědčit z (7.27). S využitím vztahů
( ) ( )
2 2 1
,
n n
n I n nσ σ σ
+
⋅ = ⋅ = ⋅
# # # # # #
(7.31)
můžeme psát pro konečné velikosti rychlosti
( )exp cosh sinh tanh .
2 2 2
L n I n , V
φ φ φ
σ σ φ
 
= − ⋅ = − ⋅ = 
 
# # # #
(7.32)
Při infinitesimální rotaci souřadnic v geometrickém prostoru máme pak
( ) ( ){ } 0 0
Tr , ,
2
a a n a a n a a
δ θ
δ θ ζ σ′ ′= − × = − × =
# # # # # # #
(7.33)
odkud
.
2
i
n
δ θ
λ λ σ+
= − = ⋅
# #
(7.34)
Pro konečné rotace potom
( )exp cos sin .
2 2 2
i
L n I i n
θ θ θ
σ σ
 
= ⋅ = + ⋅ 
 
# # # #
(7.35)
16
8 Vlnová rovnice pro částice se spinem 1/2 - Diracova rovnice
8.1 Diracova rovnice pro volnou částici
Při známém vztahu mezi čtyřvektory a spinory můžeme operátoru čtyřimpulsu ˆi
p
přiřadit operátorový spinor ˆ AB
p
(
resp. ˆAB
p ( . Jediné vhodné relativisticky invariantní výrazy
jsou pak
ˆ ˆ, ,AB A A
B B A B
p m p mη ξ ξ η= =
(
( ( ( (8.1)
které se značením
1
1
2
2
,
ηξ
ξ η
ηξ
   
= =   
  
(
(
(8.2)
můžeme přepsat na
( ) ( )0 0 0 0
ˆ ˆˆ ˆ, .p p m p p mσ σ η ξ σ σ ξ η+ ⋅ = − ⋅ =
# # # #
(8.3)
Zavedení bispinorů a γ matic je posledním krokem při odvození obvyklého tvaru Diracovy
rovnice. Se značením
0 0 0
, , ,
0 0
I
I
ξ σ
ψ γ γ
η σ
−     
= = =     
     
#
#
# (8.4)
přejde (8.3) na
( )0
0
ˆˆ .p p mγ γ ψ ψ− ⋅ =
# #
(8.5)
Zcela kompaktní zápis dostaneme po zavedení matic
( )ˆ ˆˆ 0 .i
i
p , p mp ψγ≡ − = (8.6)
V souřadnicové representaci (na chvíli v SI jednotkách)
( ) 0
2
ˆ ˆ0
ˆ ˆ
i
i
p mc , p i i i ,
x c t
i H , H c mc ,
t i
ψ γ γγ
ψ ψ α β
 ∂ ∂
− = → ∇ = = + ⋅∇ ∂ ∂ 
∂
= = ⋅∇ +
∂
##
" " "
##"
"
(8.7)
kde matice α a β jsou dány vztahy
0 0
2
0 0
,
0 0
2 0 1i k k i ik i i
I
,
I
, , .
σ
α γ βγ γ
σ
α α α α δ β α α β β
   
= = = =   
−   
+ = + = =
#
# #
#
(8.8)
17
8.2 Diracova rovnice v elektromagnetickém poli
Se čtyřpotenciálem
, , ,i
iA A A A
c c
Φ Φ   
= = −   
   
# #
(8.9)
a záměnou (v komutačních relacích vystupuje zobecněný impulz) oproti volné částici
i i ip p e A→ − (8.10)
dostáváme Diracovu rovnici ve vnějším elektromagnetickém poli
( )ˆˆ ,i
i ip e A mcγ ψ ψ− = (8.11)
kde i
γ je čtyřvektor matic, které mají ve spinorové representaci tvar (jsou možné i jiné
representace, získané unitárními transformacemi)
( )0 0
0 1 0
, , ,
1 0 0
i
σ
γ γ γ γ γ
σ
−   
= = =   
   
#
# #
# (8.12)
a ψ je čtyřkomponentový bispinor. V souřadnicové representaci je
ˆ ˆ, , ,i
i i
p i i i p i i
x c t c t
   ∂ ∂ ∂
= = ∇ = − ∇   ∂ ∂ ∂   
# #
" " " " " (8.13)
a Diracova rovnice má tvar
( )01
0 .i e i e A mc
c t
γ γ ψ
  ∂
− Φ + ⋅ ∇ + − =  
∂  
# ##
" " (8.14)
nebo po přepsání
( )( )2ˆˆ ˆ ,i c p e A mc e
t
ψ
α β ψ
∂
= ⋅ − + + Φ
∂
## #
" (8.15)
kde jsme označili
0
, .γ β α β γ= =
# #
(8.16)
8.3 Heisenbergův obraz.
Připomeňme si vztah pro časovou změnu operátoru v Heisenbergově obraze
ˆ
ˆ ˆ ˆ, .
d i F
F H F
d t t
∂
 = +  ∂"
(8.17)
Zavedeme operátor mechanického impulzu
( )ˆ ˆ ˆ .p e A rπ = −
## # #
(8.18)
18
Výpočet komutátorů
ˆˆ , ,H r c
i
α  = 
## "
(8.19)
a trochu komplikovaněji
( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ , .
e ec ec
H p e A r A A
i i i
α α − = − ∇Φ + ∇ ⋅ − ⋅∇
 
# # # # # ## ## # " " "
(8.20)
S využitím vztahu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A A A A A Bα α α α α α α∇ ⋅ = ⋅∇ + ⋅∇ + × ∇× + × ∇× = ⋅∇ + ×
# # # # # # # # # # # # ## # # # # # #
(8.21)
dostaneme
( )ˆ ˆˆ , .
e ec
H p e A r B
i i
α − = − ∇Φ + ×
 
# # ### # " "
(8.22)
Tedy
ˆ ˆ
, .
d r d
c e ec B
d t d t
π
α α= = − ∇Φ + ×
# # # ## #
(8.23)
Charakter operátoru rychlosti dal vznik názvu Zitterbewegung.
8.4 Rovnice kontinuity.
Diracovu rovnici
0
0i i mc
c t
γ γ ψ
 ∂
+ ⋅∇ − = 
∂ 
##
" " (8.24)
komplexně sdružíme a s využitím vztahů ( ) 0 0i i
γ γ γ γ
+
= , tedy
( ) ( )0 0
,γ γ γ γ
+ +
= = −
# #
(8.25)
napíšeme jako
( ) ( )0 *
0 .
T T
i i mc
c t
γ γ ψ
 ∂
− + ⋅∇ − = 
∂ 
##
" " (8.26)
Rovnici (8.26) transponujeme na (diferenciální operátory působí doleva)
0
0i i mc
c t
ψ γ γ+  ∂
− + ⋅∇ − = ∂ 
##
" " (8.27)
a po zavedení Diracova sdružení 0
ψ ψ γ+
= s využitím antikomutačních relací γ matic máme
19
0
0 .i i mc
c t
ψ γ γ
 ∂
+ ⋅∇ + = ∂ 
##
" " (8.28)
S použitím symbolů i
ia aγ= můžeme (8.24) a (8.28) zapsat jako
( ) ( )ˆ ˆ0 , 0 .p mc p mcψ ψ− = + = (8.29)
Vynásobení první rovnice v (8.29) zleva ψ a druhé rovnice zprava ψ dává výrazy, jejichž
sečtením dostáváme rovnici kontinuity
0 , .
k
k k
k
j
j
x
ψ γ ψ
∂
= =
∂
(8.30)
Časupodobná komponenta je 0 0
0j ψ γ ψ ψ ψ+
= = > .
8.5 Standardní representace
Od spinorové representace přejdeme ke standardní representaci unitární transformací
( ) ( )
1 11 1 1ˆ , , .
1 12 2 2
U
ϕ ξ ξ
ψ ϕ ξ η χ ξ η
χ η η
      
= = = = + = −      
−      
(8.31)
Vzhledem k chování ξ a η při působení operátoru parity máme
ˆ ˆ, .P i P iϕ ϕ χ χ= = − (8.32)
Rovnice pro tyto nové spinory získáme sečtením a odečtením rovnic v (8.3)
0 0 0 0
ˆ ˆˆ ˆ, .p p m p p mσ ϕ σ χ ϕ σ χ σ ϕ χ− ⋅ = − + ⋅ =
# # # #
(8.33)
Rovnice (8.5) a (8.7) mají ve standardní representaci stejný tvar, matice v nich jsou po
transformaci
ˆ ˆU Uγ γ +
→ (8.34)
vyjádřeny jako
0 0 0 0
, , .
0 0 0
I
I
σ σ
γ β γ α
σ σ
     
= = = =     
− −     
# #
# #
# # (8.35)
Matice operátoru spinu je ve všech representacích stejná
1 1
2 2
3 3
4 4
0 0
0 0 0
, , , .
0 0 02 2 2
0 0
z zS S S
ψ ψ
σ ψ ψ
σ ψ ψ
ψ ψ
       
       
         = Σ Σ = = = −          
             
      
## #" " "
# (8.36)
20
9 Rovinné vlny
Dosadíme-li do (8.29) rovinné vlny (volba normovací konstanty
2 2 2 4
0c p p c m cε = =+ +
#
se ozřejmí později)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
exp , exp ,
2 2
i i
i ip u p i p x p u p i p xψ ψ
ε ε
= − − = − (9.1)
dostáváme
( ) ( ) ( ) ( )0 , 0p mc u p p mc u p− = + − = (9.2)
a
( )( ) ( )( )0 , 0 .u p p mc u p p mc− = − + = (9.3)
podmínkou řešitelnosti je 2 2i
ip p m c= . Bispinory normujeme tak, že
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 , 2 .u p u p mc u p u p mc= − − = − (9.4)
Násobení zleva první rovnice v (9.2) ( )u p a druhé rovnice ( )u p− vede na
( ) ( ) ( ) ( )2 3
2 2 2 .i i i i
i iu p p u p m c c p p u p u p c pγ γ± ± = = ⇒ ± ± = (9.5)
Pro čtyřvektor toku pak
( ) ( ) 1, .
i
i i c p v
j p p
c
ψ γ ψ
ε
 
= ± ± = =  
 
#
(9.6)
Ve standardní representaci, kde píšeme
,
φ
ψ
χ
 
=  
 
(9.7)
se Diracova rovnice rozpadá na dvě vázané rovnice
( )
( )
2
2
0 ,
0 .
mc c p
mc c p
ε φ σ χ
ε χ σ φ
− − ⋅ =
+ − ⋅ =
# #
# # (9.8)
Máme pak
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
, ,
mc w mc n w
u p u p
mc n w mc w
ε ε σ
ε σ ε
   + + − ⋅ −
   = − =
   − ⋅ + + −   
# #
# # (9.9)
kde n p p=
# # #
a ( )w ± jsou libovolné dvoukomponentové veličiny, splňující ( ) ( ) 1w w+
± ± = .
Pro relativisticky sdružené bispinory máme z (9.9)
21
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
2 2
2 2
,
.
u p mc w mc w n
u p mc w n mc w
ε ε σ
ε σ ε
+ +
+
= + + − − + ⋅
− = − − ⋅ − + −
# #
# #
(9.10)
10 Transformace Diracovy rovnice
10.1 Rovnice volné částice (Foldyova - Wouthuysenova transformace)
Hamiltonián je
2ˆˆ .H c p mcα β= ⋅ +
# #
(10.1)
Ve standardní reprezentaci jsou matice α
#
a β dány vztahy
1 0 0
, .
0 1 0
σ
β α
σ
   
= =   −   
#
#
# (10.2)
Uvažujme o takové unitární (a na čase explicitně nezávislé) transformaci, která by odstranila
operátory, které vážou velké komponenty s malými
( )ˆ ˆ ˆ ˆˆ exp , , 0 .U i S S S S
t
+ ∂
= = =
∂
(10.3)
Platí
( )
( ) ( ) ( )
ˆexp ,
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆexp exp exp .
i S
i i S H i S H i S H
t
ψ ψ
ψ ψ ψ ψ
′ =
∂
′ ′ ′ ′= = − =
∂
"
(10.4)
Velké a malé komponenty spojuje operátor ˆc pα ⋅
# #
. Uhádneme tedy poměrně snadno potřebný
tvar ˆS
( ) ( ) ( )
( ) ( )
ˆsin
ˆ ˆ ˆ ˆˆexp exp cos , .
ˆ
p
i S p p p p
p
θ
β α θ θ β α θ θ= ⋅ = + ⋅ =
#
# ## # # #
# (10.5)
Pro transformovaný hamiltonián dostáváme
22
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
ˆ ˆˆ ˆexp exp
ˆ ˆsin sin
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcos cos
ˆ ˆ
ˆsin
ˆ ˆ ˆcos
ˆ
ˆ ˆexp 2
sin 2
ˆ ˆcos 2
H i S H i S
p p
p p c p mc p p
p p
p
c p mc p p
p
c p mc p
c p p mc
θ θ
θ β α α β θ β α
θ
α β θ β α
α β β α θ
α θ
′ = − =
   
   + ⋅ ⋅ + − ⋅ =
      
   
 
 ⋅ + − ⋅ =
  
 
⋅ + − ⋅ =
⋅ −
# #
# # ## # # # #
# #
#
# ## # #
#
# ## #
# # # ( )
( )
( )2
ˆ ˆsin 2
ˆ ˆcos 2 .
ˆ
p p
mc p p
mcp
θ θ
β θ
   
   + +
   
      
# #
# #
#
(10.6)
Položíme-li teď
( )
ˆ
ˆtan 2 ,
p
p
mc
θ =
#
#
(10.7)
dostáváme výsledný hamiltonián
2 4 2 2ˆˆ .H m c p cβ′ = +
#
(10.8)
10.2 Rovnice částice v elektromagnetickém poli
Hamiltonián v tomto případě je
( ) 2 2 ˆ ˆˆˆ ,H c p e A mc e mcα β β= ⋅ − + + Φ = + +
## #
E O (10.9)
kde
( )ˆ ˆ ˆ, .e c p e Aα= Φ = ⋅ −
## #
E O (10.10)
Platí
ˆ ˆˆ ˆ , .β β β β= − =O O E E (10.11)
Uvažujme opět o takové unitární (ale teď už možná na čase závislé) transformaci, která by
odstranila liché operátory, které vážou velké komponenty s malými a ponechala jen operátory
sudé
ˆ ˆ ˆˆ exp( ) , .U i S S S+
= = (10.12)
23
Pro ( )ˆexp i Sψ ψ′ = dostáváme
( ) ( ) ( )
( )
ˆ ˆ ˆexp exp exp
ˆˆ ˆ exp .
i i S i S i i i S
t t t
H H i S
ψ ψ ψ
ψ ψ
 ∂ ∂ ∂
′ ′ ′− = − + − = ∂ ∂ ∂ 
′= −
" " "
(10.13)
odkud pak
( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ, exp exp .i H H i S H i i S
t t
ψ ψ
 ∂ ∂
′ ′ ′ ′= = − − ∂ ∂ 
" " (10.14)
Mějme výraz (chápaný jako funkce parametru λ, který pak položíme roven jedné)
( ) ( ) ( ) 0 0
ˆˆ ˆexp exp .
!
n n
n
n
F
F i B A i B
n λ
λ
λ λ λ
λ
∞
= =
 ∂
= − =  ∂ 
∑ (10.15)
Derivováním (10.15) dostáváme
0
0
ˆˆ , ,
,
ˆˆ ˆ ˆ, , , ,
n
n
n
F
i B A
F
i B B B A
λ
λ
λ
λ
=
=
∂
 =  ∂
∂     =      ∂
+
+ +
(10.16)
takže ponecháme-li v rozvoji pouze členy do třetího řádu (nebo čtvrtého, násobí-li člen
klidovou energii) v ˆS , dostáváme
2
1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , , ,
2 6
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , , , , .
24 2 6
i
H H i S H S S H S S S H
mc i
S S S S S S S S S Sβ
         ′ = + − − +         
          − − +                 
" "( (("
(10.17)
Ponecháme-li v (10.17) jen členy nejnižšího řádu, máme
2 2ˆ ˆ ˆˆ , .H mc i mc Sβ β ′ = + + +  E O (10.18)
Tento tvar vede k tomu, že zkusíme zvolit
2
ˆˆ .
2
i
S
mc
β= − O (10.19)
S označením matice spinu (ta je stejná ve spinorové i standardní representaci)
24
0
0
σ
σ
 
Σ =  
 
#
#
# (10.20)
máme po delších výpočtech výsledný hamiltonián ve tvaru
( )
( ) ( )
2
2 4
3 2
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1ˆ ˆˆ
2 8
ˆ .
2 4 8 8
H mc p e A p e
m m c
e e ie e
B E p E E
m m c m c m c
β
 
′ = + − − + Φ − 
 
Σ⋅ − Σ⋅ × − Σ⋅ ∇× − ∇⋅
## #
# # # # # ## # #" " " "#
(10.21)
Pro rotačně souměrné pole máme
( )
( )d
d
V r r
E r
r r
= −
##
(10.22)
a příslušný člen nabude tvaru
( ) ( )
2 2 2 2
d1ˆ ˆ, ,
4 4 d
V re e
E p L L r p
m c m c r r
− Σ⋅ × = Σ⋅ = ×
# # ## #" "# # #
(10.23)
kterým popisujeme spin - orbitální interakci. Poslední člen se nazývá Darwinův, jeho vznik se
dá se chápat jako rozmazání energie Coulombova působení
( ) ( )
22
1 1
.
2 6
i i j
i i j
V V
V r r V r x x x V
x x x mc
δ δ δ δ
 ∂ ∂
+ − + ∆  
∂ ∂ ∂  
# # # "
, , (10.24)
Schéma nejnižších hladin je na obrázku:
2S1/2
1S1/2
2P3/2
2P1/2
Hyperjemné=
spinová interakce
s jádrem
Jemné= spin -
orbitální
interakce
Lambův posuv
25
11 Rozptyl elektronu na jádře
Budeme počítat rozptyl elektronu na (nekonečně) těžkém jádře náboje Ze. Volba
souřadné soustavy je velmi důležitá pro zjednodušení výpočtu. Impuls elektronu před
rozptylem ať je ve směru osy x, impuls elektronu po rozptylu ať leží v rovině x-y (značíme
( )i t
ip p E c pγ γ γ≡ = −
# #
)
1 2
1 1 2 2 2, .t x t x y
x x y
E E
p p p p p
c c
γ γ γ γ γ= − = − − (11.1)
Čtyřvektor potenciálu je
0 0
1 1
, 0 .
4 4
i tZ e Z e
A A A
c c r c r
φ
γ
π ε π ε
 
= = = ⇒ = 
 
#
(11.2)
Připomeňme Diracovu rovnici
( ) 0 ,p e A mc p iψ− − = = ∇" (11.3)
a vyjádření matic ve standardní representaci
0 0 0
, , .
0 0 0
t I
I
σ σ
γ γ
σ σ
     
= = Σ =     
− −     
# #
##
# # (11.4)
Počáteční a koncový stav je, pokud píšeme i obvykle vynechávaný normovací faktor
1 2
1 1 2 2
1 2
1 1
, .
2 2
i i
i i
i i
p x p x
x u e x u e
E V E V
ψ ψ
− −
= =" "
(11.5)
Amplituda pravděpodobnosti přechodu je
2 1 2 2
2
32 1
2 int 1
0 01 2
1
.
42
Ti i i it
p r p r E t E ti u u Z e
H e e d r e e d t
rE E V
γ
ψ ψ
π ε
− −
= − ⌠

⌡ ∫
# # # #
" " " "
#
"
(11.6)
Pro integrály máme vyjádření
1 2
2 1 2 2
1 2
2
3 2
2
1 201 2
sin
21 4
, e .
2
E ETi i i i i Tp r p r E t E t
E E
T
e e d r e e d t
E Er p p
π
−
− −
 −
 
 = =
−−
⌠

⌡ ∫
# # # #
"" " " "
""#
# #
"
(11.7)
První integrál počítáme jako
26
( )
2
cos
0 0
0 0
0
2 2 20
4
lim sin lim sin
4 4
lim .
iqr r r
d d d r r e d r q r e
q
q q
π
π
ϑ λ λ
λ λ
π
λ
π
ϕ ϑ ϑ
π π
λ
∞ ∞
− −
→ →
−
→
= =
=
+
⌠

⌡
∫ ∫ ∫
(11.8)
Pro pravděpodobnost přechodu za jednotku času
( )
2
2 int 1
2 1 222
2 2
2 1
2 22 2
1 2 0 1 2 1 2
1
1 2 lim
sin
21
lim .
4
2
T
t
T
w H
T
E E
T
u u Z e
E E V Tp p E E
T
ψ ψ
γ
ε
→∞
→∞
→ = =
 −
     
 −  − 
 
 
""
# #"
"
(11.9)
Jedním z vyjádření Diracovy delta funkce je
( )
( )2
2
sin
lim .
T
xT
x
x T
δ
π→∞
= (11.10)
Využitím (11.10) upravíme vztah (11.9) na
( ) ( )
22
2 2
2 1
2 122
1 2 0 1 2
2
1 2 .
4
t
u u Z e
w E E
E E V p p
γπ
δ
ε
 
→ =   −
 − 
"
# #"
(11.11)
Hustota stavů v okolí koncového stavu (stav 2) je ( 2 2 2 4
E p c m c= + )
( ) ( )
3
2 2 2
23 3 2
2 2
V d p V E p
d d d E
c
ρ
π π
= = Ω
#
" "
(11.12)
a tak můžeme psát (platí 1 2p p=
# #
)
( )
( )
2
2
2
1
2 2 2 2 13 22
1 0 1 2
1 2 .
2 4
tV d p Z e
d w w E p d E u u d
E Vc p p
γ
π π ε
 Ω
= → =   Ω
 − 
∫ # #
"
(11.13)
Poněvadž v E p=∂ ∂
# #
, máme pro hustotu toku částic výraz
2
1 1
1
v p c
j
V E V
= = (11.14)
a pro diferenciální účinný průřez pak
2
2
2 22 2 2
2 1 1 2 12
0
, 4 sin .
4 2
t Z e
d u u d q p p p
q
θ
σ γ
π ε
 
= Ω = − = 
 
# #
(11.15)
27
Nyní zvolme bispinory jako
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
1 2 1 2
2 2
0
01 1
, ,
0
0
x y
x y
E mc
E mc
u p u p
c p i pE mc E mc
c p i p
−
 +  
   
+   = =   ++ +   
   −  
(11.16)
které získáme z (9.9) volbou
( ) ( )
1 0
, .
0 1
w w
   
+ = − =   
   
(11.17)
Pro složky hybnosti máme
{ }1 1 1 2 2 1, exp .x y x yp i p p p i p p iθ+ = + = (11.18)
Platí
( ) ( )
( )
( )
222 2 2
2
1 12
1 2 1 2 2 21
2 1 122
1
4 1 sin ,
2
i
t
E mc p c e v
u u E
cE mc
θ
θ
γ
−
+ +   
= = −    +  
(11.19)
kde výpočet zjednodušuje
2 1 2 1 2 1.t t t
u u u u u uγ γ γ+ +
= = (11.20)
Obdobně spočteme další výrazy, takže máme
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 22 21
2 1 1 2 1
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 21
2 1 2 1 1
4 1 sin , 0 ,
2
0 , 4 1 sin .
2
t t
t t
v
u u E u u
c
v
u u u u E
c
θ
γ γ
θ
γ γ
−
− − −
  
= − =     
  
= = −     
(11.21)
Pro diferenciální účinný průřez rozptylu je tedy konečný výraz
22 22 2
21
2
41 0 1
1 sin , .
2 4 sin
2
rel Ruth Ruth
vmc Z e d
d d d
E c mv
θ
σ σ σ
θπ ε
     Ω 
= − =            
(11.22)
12 Invariantní účinný průřez
Mějme dva svazky částic, které se srážejí. Počítejme v klidové soustavě částice 2
počet srážek v objemu dV za čas d t
1 2 1 2= , = ,reld n v d t n dV d An n d t dVν σ ν (12.1)
28
kde relv je velikost rychlosti částice 1 v klidové soustavě částice 2, 1n a 2n jsou hustoty částic
a konečně σ je účinný průřez. Veličiny dν a d t dV jsou invarianty, musí tedy být
invariantem také veličina 1 2An n , přičemž A musí v klidové soustavě jedné z částic přejít na
relv σ . Máme
0
0 0 0 22 2
= = =
1
n
ndV n dV n n
mcv c
ε
⇒
−
(12.2)
a tedy
1 2
1 2 1 2
1 2
,
p p
An n inv A inv A invε ε
ε ε
⋅
′′ ′= ⇒ = ⇒ = (12.3)
kde skalární součin označujeme jako 1 2 1 2
i
ip p p p⋅ = . V klidové soustavě částice 2 je
22 1 2
2 2 2 1 2 2
, , 0i
rel relA v p m c p p p inv v c
c c
ε ε ε
σ σ
 
= = = = ⇒ ⋅ = ⇒ = 
 
#
(12.4)
a dále
2
2
1 1 2
1 2 22 2
1 2
1 .
1
rel
rel
m c v m m c
p p m c
c p pv c
 
⋅ = ⇒ = −  
⋅−  
(12.5)
Spojením vztahů (12.1), (12.3) a (12.4) dostáváme
( ) ( )
2
22 2
1 2 1 2 1 2
1 2
.
d c
d w c n n p p m m c dV
d t
ν
σ
ε ε
= = ⋅ − (12.6)
Účinný průřez dostaneme tedy z pravděpodobnosti přechodu za jednotku času
( ) ( )
22 2
1 2 1 23
1
2 1 2
= , = .
p p m m cd w
J c n
J n dV
σ
ε ε
⋅ −
(12.7)
V těžišťové soustavě je 1 2p p p=− =
# # #
, takže
( ) ( ) ( )
22 2 2
22 1 22 2 2 2 21 2 1 2
1 2 1 2 2 2 2 2
p p m m c p p p p
c c c c
ε εε ε ε ε +   
⋅ − = + − − − =   
    
# # # #
(12.8)
a tedy
( )2
1 1
1 2
1 1
1 2J c p n n ,v v
ε ε
 
= + = + 
 
#
(12.9)
v souladu s obvyklou definicí hustoty toku. V laboratorní soustavě pak
29
( )
2
1 2 1 2 1 .J v v v v n= − − ×
# # # #
(12.10)
13 Spinová matice hustoty
Shrneme nejprve vyjádření γ matic a Σ matice ve spinorové a standardní representaci.
Matice 5
γ a Σ
#
jsou definovány jako
5 0 1 2 3 0 5
, .iγ γ γ γ γ γ γ γ= − Σ =
# #
(13.1)
Ve spinorové representaci je
( ) ( ) ( ) ( )0 50 0 0 0, , ,
0 0 0 0
I I
I I
σ σγ γ γσ σ
− −= = = Σ =
# ###
# # (13.2)
a ve standardní representaci
( ) ( ) ( ) ( )0 50 0 0 0, , , .
0 0 0 0
I I
I I
σ σγ γ γσ σ
−= = = Σ =
− − −
# ###
# # (13.3)
Spinory vyhovují řešitelným (determinant je roven nule) soustavám algebraických rovnic
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
0 , 0 ,
0 , 0 .
p m u p p m u p
u p p m u p p m
− = + − =
− = − + =
(13.4)
Normujeme je tak, aby platilo
( ) ( ) ( ) ( )2 , 2 .u p u p m u p u p m= − − = − (13.5)
Ve standardní representaci máme
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
,
1 .
m w p m n w p
u p u p = ,
m n w p m w p
p
n = , w p w p w p w p =
p
ε ε σ
ε σ ε
+ +
   + − −
   = −
   − + −   
= − −
# #
# #
#
#
#
(13.6)
Pro relativisticky sdružené výrazy pak
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
,
.
u p m w p m w p n
u p m w p n m w p
ε ε σ
ε σ ε
+ +
+ +
= + − −
= − − +
# #
# # (13.7)
V těchto výrazech jsou ( )w p a ( )w p− libovolné normované dvoukomponentové veličiny.
Uvedené volnosti můžeme užít pro vhodnou volbu vlnové funkce. Možnou volbou je
například
30
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 2 1 2 1 2*
1 2 1 2 1 2*
1
, ,
0 0
0 0
, .
1
y
y
i
w p w p w p
w p w p w p
i
σ σ σ
σ σ σ
σ
σ
= = =−
=− =− =
   
= − = − =   
   
   
= − = − =   
−   
(13.8)
Platí
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) 1 0
.
0 1
w p w p w p w p
σ σ σ σ
σ σ
+ +  
= − − =  
 
∑ ∑ (13.9)
Pro bispinory pak máme
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
, .u p u p p m u p u p p m
σ σ σ σ
σ σ
+ +
= + − − = −∑ ∑ (13.10)
Prvky spinové matice hustoty jsou v čistém stavu triviální výrazy
( ) ( ) ( ) .AB A Bp u p u pρ = (13.11)
Poněkud odlišně oproti běžné matici hustoty zde stopa není rovna 1
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )Tr 2 .A A
A
p u p u p u p u p mρ = = =∑ (13.12)
Ze (13.11) je zřejmé, že matice hustoty v čistém i smíšeném stavu bude splňovat Diracovu
rovnici
( ) ( ) ( )( )0 , 0 .p m p p p mρ ρ− = − = (13.13)
V čistém stavu spočteme střední hodnotu spinu podle vztahu
( ) ( ) ( ) ( )0* 3 *1 1 1ˆ
2 4 4
s d r u p u p u p u pψ ψ γ
ε ε
= Σ = Σ = Σ∫
# # ## #
(13.14)
a odpovídající výraz pro stav částečné polarizace je pak
( )( ) ( )
( ){ } ( ){ }
0
0 5
1ˆ
4
1 1
Tr Tr .
4 4
A BAB
A B
s u p u p
p p
γ
ε
ρ γ ρ γ γ
ε ε
= Σ =
Σ =
∑∑
##
# #
(13.15)
Polarizační vektor v klidové soustavě označme ˆ2 sζ =
# #
, platí tedy pro čistý stav 1ζ =
#
, pro
smíšený stav 1ζ <
#
. Čtyřvektory impulsu a spinu v klidové soustavě jsou ( ),0i
p m=
#
a
( )0,i
a ζ=
#
a v libovolné inerciální souřadné soustavě tedy musí platit
2 2
, , 0 .p p m a a p aζ⋅ = ⋅ = − ⋅ = (13.16)
31
Lorentzova transformace do laboratorní soustavy dává
( )
( )
0
, .
p pp
a a
m m m
ζζ
ζ
ε
= = +
+
# # ## # ##
(13.17)
Matice hustoty pro nepolarizovaný svazek bude mít tvar (musí obsahovat pouze impuls jako
jedinou charakteristiku a splňovat dané rovnice)
( ) ( )1
.
2
n p p mρ = + (13.18)
Pro obecný smíšený stav bude mít tvar
( ) ( ) ( )( ) ( )
1
, 0 1 .
4
p p m a p m a
m
ρ ρ ρ= + + = =* * (13.19)
Připomeňme si, že platí ( ) ( )
2
2p m m p m+ = + . Matice ( )aρ* má na čtyřvektoru a záviset
lineárně. Napišme tedy ( ) 5
1a A aρ γ= −* . Konstantní matici A určíme výpočtem střední
hodnoty spinu v klidové soustavě
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
( ){ } ( ){ }
0 5 0 0 5
5
1 1 1 1 1 ,
4 2
1 1ˆ2 Tr Tr
2 4
m m
p A A
s p A A
m
ρ γ γ γ ζ γ γ γ γ ζ
ζ ρ γ γ γ ζ γ ζ
= + + + = + +
= = = − =
# ## #
# # ## # # #
(13.20)
a musí být tedy 1A = . Protože je 0a p⋅ = , p antikomutuje s a a komutuje s 5
aγ . Výraz pro
spinovou matici hustoty lze přepsat do konečného tvaru
( ) ( )( )51
1 .
2
p p m aρ γ= + − (13.21)
Vektor spinové polarizace lze naopak z matice hustoty spočítat pomocí vztahu
( ){ }51
Tr .
2
i i
a p
m
ρ γ γ= (13.22)
Obdobně by bylo možné odvodit obecný vztah pro spinovou matici hustoty positronů
( ) ( )( )51
1 .
2
p p m aρ γ− = − − (13.23)
14 Spinové středování
Máme-li ve Feynmanově diagramu jen jednu fermionovou čáru (rozptyl na vnějším
poli, Comptonův rozptyl, anihilace nebo kreace páru), můžeme použít následujícího způsobu
32
spinového středování (středování přes počáteční spinové stavy a součtu přes koncové spinové
stavy pro rozptyl, středování přes spinové stavy elektronu a positronu při anihilaci nebo
kreaci). Maticový element f iM je ve zmíněných případech možno zapsat jako
,
.f i f A AB i B f i
A B
M u Q u u Qu= =∑ (14.1)
Potom máme
*
* 0* * *
, , ,
* 0 0 0
, , , ,
,
f i i B
i B
f A AB i B f C C A AB
A B A B C
B D D E B A AC f C i f
A B C D E
M u Q u u Q u
u Q u u Qu
γ
γ γ γ+
 
= = = 
 
=
∑ ∑
∑
(14.2)
kde jsme využili vlastností 0 0 0 0
1,γ γ γ γ+
= = a označili 0 0
Q Qγ γ+
= . Můžeme teď psát
{ }
2
Tr .f i f i i f f f i iM u Qu u Qu u u Qu u Q= = (14.3)
Takže máme
( ) ( ){ }
( ) ( ){ }
( ) ( ){ }
( ) ( ){ }
2Tr rozptyl elektronů na vnějším potenciále
2Tr Comptonův rozptyl
Tr anihilace páru
Tr kreace páru
f i
f i
f i
f i
p Q p Q
p Q p Q
p Q p Q
p Q p Q
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
−
−
(14.4)