Michal Lenc: Teorie rozptylu - 1 Poznámky
k teorii rozptylu
Michal Lenc
Tento text obsahuje spíše než výklad soubor užívaných vzorečků. Není proto ani řazení kapitol nijak
systematické. Text vznikl pro část přednášky Pokročilá kvantová mechanika v jarním semestru 2005 a byl
mírně upraven na jaře 2008.
1 Difrakční integrál .............................................................................................................................. 2
2 Huygensův princip ............................................................................................................................ 3
3 Výpočet Fresnelova integrálu............................................................................................................ 4
4 Změna fáze při doteku kaustiky (Guyův fázový posuv) ................................................................... 5
5 Účinný průřez a optický teorém........................................................................................................ 6
6 Rozptyl v potenciálovém poli ........................................................................................................... 7
7 Operátor Greenovy funkce.............................................................................................................. 10
8 Užitečné zobecněné funkce............................................................................................................. 13
9 Užitečné ortonormální soustavy funkcí .......................................................................................... 15
9.1 Legendreovy polynomy................................................................................................................... 15
9.2 Sférické Besselovy funkce .............................................................................................................. 17
10 Exaktní teorie rozptylu.................................................................................................................... 18
11 Lippmanova – Schwingerova rovnice............................................................................................. 20
12 Parciální vlny .................................................................................................................................. 24
13 Rozptyl při vysokých energiích....................................................................................................... 27
14 Více o parciálních vlnách................................................................................................................ 28
14.1 Bornova aproximace ....................................................................................................................... 29
14.2 Kvasiklasická aproximace............................................................................................................... 29
14.3 Rozptyl při vysokých energiích....................................................................................................... 31
14.4 Rozptyl při nízkých energiích ......................................................................................................... 32
15 Nepružný rozptyl............................................................................................................................. 33
15.1 Parciální vlny .................................................................................................................................. 33
15.2 Komplexní index lomu prostředí .................................................................................................... 34
16 Příklady........................................................................................................................................... 35
16.1 Rozptyl nukleonů............................................................................................................................ 35
16.2 Rozptyl rychlých neutronů na jádře ................................................................................................ 36
16.3 Rozptyl rychlých elektronů na atomu ............................................................................................. 36
17 Rozptyl identických částic .............................................................................................................. 38
18 Excitace atomu při srážce s částicí.................................................................................................. 39
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 2 -
1 Difrakční integrál
Hledáme řešení Helmholtzovy rovnice
( ) ( )2
0r k rψ ψ∆ + = (1.1)
se zadanou hodnotou v rovině 0z z= pro poloprostor 0z z≥ . Greenova funkce je
( )
( )0
0
0
exp
, ,
i k r r
G r r
r r
−
=
−
(1.2)
neboť pro 0r r≠ je (1.2) řešením (1.1) a při integraci po kouli se středem v r dostáváme
( ) { } 2
20
1
lim exp 4 ,r r
S
i k
e e i k d
ρ
ρ
ρ ρ π
ρ ρ→
 
− ⋅ − Ω = 
 
⌠

⌡
(1.3)
takže můžeme psát Greenovu větu ve tvaru
( ) ( )
0
0
0 0 0
0 0
0
1
4
1
, .
4
z z
z
r G G d x d y d z
G
G d x d y
n n n z
ψ ψ ψ
π
ψ
ψ
π
≥
= ∆ − ∆ =
 ∂ ∂ ∂ ∂
− = 
∂ ∂ ∂ ∂ 
⌠

⌡
∫
(1.4)
Ve vztahu (1.4) jsme užili nikoliv vnější normálu (míří proti směru osy z), ale “normálu k vlnoploše” (ve
směru osy z). Sommerfeld využil volnosti ve volbě Greenovy funkce:
{ } { }
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
1 2
1 2
1 2 1 22 2 2 2 2 2
1 0 0 1 0 0 0
exp exp
lim ,
, 2 .
z
i k r i k r
G
r r
r x x y y z r x x y y z z
ζ
ζ ζ
→
 
= − 
 
   = − + − + − = − + − + + −
   
(1.5)
{ } { }
( ) ( ) ( )
( )
0 0
0 0
1 21 2
1 1 2 2
01 2
01 22 2 2
0 0 0
exp exp
lim 0 , lim ,
lim lim cos , ,
z z
z z
i k r i k rr rG d d
G
n d r r d r r
z zr r
n r r
x x y y z z
ζ ζ
ζ ζ
ζ ζ
ζ ζ
→ →
→ →
    ∂ ∂∂
= = −    
∂ ∂ ∂     
    −∂ ∂
= − = = − −   
∂ ∂      − + − + −
 
(1.6)
Výsledek je tedy
( )
{ }
( ) ( )
0
0 0 0
exp1
1 cos , ,
2
z
i k Rk
r r n R d x d y
i i k R R
ψ ψ
π
 
= − 
 
⌠

⌡
(1.7)
kde 0R r r= − . Toto je exaktní výsledek. Druhý člen v první závorce integrandu je vždy zanedbáván.
V dalším si ukážeme odvození difrakčního integrálu z Huygensova principu (podle Landaua a Lifšice).
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 3 -
2 Huygensův princip
Mějme element vlnoplochy df. Příspěvek tohoto elementu k poli v nějakém bodě P bude úměrný
• amplitudě pole u na uvažovaném elementu
• průmětu plochy elementu do normály ve směru paprsku, vedoucího k bodu P (paprsky, které budou
přispívat nezávisí na tvaru plochy)
• přírůstku fáze a poklesu intensity
Celkem tedy máme
( )
{ }exp
.n
i k R
u P a u d f
R
= ⌠

⌡
(2.1)
Konstantu a určíme například pro rovinnou vlnu postupující podél osy z. Potom pro bod P(x,y,z) dostatečně
vzdálený od roviny (ξ,η,0) máme
{ } ( ) ( )
{ }
2 2
exp
exp exp
2 2
2
exp .
2
i k z k x k y
u a i d i d
z z z
i k
a i k z a
k i
ξ η
ξ η
π
π
∞ ∞
−∞ −∞
   − −   
≈ =   
      
⇒ =
⌠ ⌠
  
⌡ ⌡ (2.2)
Máme tak výsledek v souladu s (1.7)
( ) ( )
{ }
( )
exp
cos , .
2
Q Q
i k Rk
u P u Q n R d f
i Rπ
= ⌠

⌡
(2.3)
Podívejme se, jak vypadá výpočet pro rovinnou vlnu podle (1.7). Pro bod na ose P(0,0,z) máme
( )
( )
( ){ }
( ) ( )
( ){ }
( )
{ }
( ){ }
( )
1 22 2
2
1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2
0
0
1 2 1 22 2 2 2
1 2 1 22 2 2 2
0
exp1
1
2
exp exp
exp .
R
R
i k zk z
u P d d
i i k z z z
i k z z i k R zd
z d i k z
d z R z
π ρ
ϕ ρ ρ
π ρ ρ ρ
ρ
ρ
ρ ρ
  +
 = − =
 + + + 
 + +
 
− = − 
+ + 
 
⌠


⌡
⌠

⌡
∫
(2.4)
Pro R→∞ máme opět rovinnou vlnu. Pozoruhodné chování, které bylo historicky velmi důležité pro
uznání vlnové povahy světla vykazuje nenulová intenzita za neprostupným terčíkem, kterou z (2.4)
dostaneme jako
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 4 (
){ }
( )
1 22 2
1 22 2
0 0
exp
.
R
R
z i k R z
R z
∞ ∞ +
= − =
+
∫ ∫ ∫ (2.5)
3 Výpočet Fresnelova integrálu
Potřebujeme vypočítat integrál
{ }2
0
exp .F i x d x
∞
= ∫ (3.1)
Cauchyova věta pro vhodnou křivku v komplexní rovině dává
{ } ( ){ } { }
4 0
2 2 2
0 0
exp exp cos 2 sin 2 exp exp 0 .
4
R
R
i d R i d i d
π
π
ρ ρ θ θ θ ρ ρ
 
+ − + − = 
 
∫ ∫ ∫ (3.2)
V limitě R→∞ je
{ } { }2 2
0 0
exp exp exp
4
i d i d
π
ρ ρ ρ ρ
∞ ∞
 
= − 
 
∫ ∫ (3.3)
Poissonův integrál se počítá například jako
{ } { } { }
{ }
1 2
2 2 2
0 0 0
1 2
1 2
2
0
exp exp exp
exp .
2 2
x d x x d x y d y
r r d r
π π
∞ ∞ ∞
∞
 
− = − − = 
 
 
− = 
 
∫ ∫ ∫
∫
(3.4)
Konečný výsledek je
{ } ( )
1 2
2
0
1
exp 1 .
2 2
F i x d x i
π∞
 
= = + 
 
∫ (3.5)
Komplexně sdružený výraz k (3.5) je
{ } ( )
1 2
* 2
0
1
exp 1 .
2 2
F i x d x i
π∞
 
= − = − 
 
∫ (3.6)
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 5 -
4 Změna fáze při doteku kaustiky (Guyův fázový posuv)
Uvažujme body Q vlnoplochy z (2.3)
2 2
1 22 2R R
ξ η
ζ = + (4.1)
a bod P(0,0,z) na ose. Máme tak
1
2 22 2 2 2
2 2
1 2 1 2
1 1 1 1
.
2 2 2 2
R z z
R R z R z R
ξ η ξ η
ξ η
      
 = + + − − ≈ + − + −     
       
(4.2)
Po dosazení do (2.3)
( )
( )
{ } 2 2
1 2
1 1 1 1
exp exp exp .
2 2 2
k u O k k
u P i k z i d i d
i z z R z R
ξ ξ η η
π
∞ ∞
−∞ −∞
         
≈ − −      
         
⌠ ⌠
 
⌡ ⌡
(4.3)
Podle obrázku dostáváme
Vlnoplocha s kružnicemi hlavních křivostí a paprsky.
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) { }
2
2 1
1
1
0 1 1 1 0 ,
2
1 1
1 1 0 exp ,
2 2
1
1 1 1 0 exp .
2
z R i i u P u
i
R z R i i u P u i
i i
R z i i u P u i
i
π
π
< < ⇒ + + = ⇒ ≈
 
< < ⇒ + − = ⇒ ≈ − 
 
< <∞ ⇒ − − = − ⇒ ≈ −
(4.4)
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 6 -
5 Účinný průřez a optický teorém
Rovinná vlna dopadající ve směru osy z je rozptýlena sféricky symetrickým potenciálem, takže se
pak skládá z dopadající a rozptýlené vlny
( ) ( ) ( )
( )
0
exp
, exp exp .
i k r E
r t i k z f i t
r
ψ ψ θ
   
= + −   
  
(5.1)
Tok počítáme jako
( )* *
.
2
j
mi
ψ ψ ψ ψ= ∇ − ∇ (5.2)
Tok v dopadající vlně je
2
0 .in z
k
j e
m
ψ= (5.3)
Tok v rozptýlené vlně je (gradient ve sférických souřadnicích ( )sinre r e r e rθ ϕθ θ ϕ∇= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ )
( )
2
2 3
1
.sc
fk
j O
m r r
θ  
= +  
 
(5.4)
Účinný průřez je definován pomocí vztahu
2
lim .sc in
r
j r d j dσ
→∞
Ω = (5.5)
Na levé straně definice je tok v rozptýlené vlně do elementu prostorového úhlu dΩ ve velké vzdálenosti od
rozptylového centra. Na pravé straně pak odpovídající element plochy, který přinutí tok v dopadající vlně
přejít do toku v rozptýlené vlně. Dosazením (5.3) a (5.4) do (5.5) dostáváme
( )
2
.d f dσ θ= Ω (5.6)
Celkový účinný průřez je pak
( )
2
.d f dσ σ θ= = Ω∫ ∫ (5.7)
Pozoruhodný vztah, který spojuje celkový učinný průřez a imaginární část amplitudy rozptylu ve
směru dopadající vlny se nazývá optický teorém:
( ){ }0 ,
4
k
f σ
π
ℑ = (5.8)
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 7 Jednoduché
odvození optického teorému pochází od van Hulsta. V dostatečné vzdálenosti za rozptylovým
centrem je
( ) { } ( )
{ }exp
exp .
i k r
r i k z f
r
ψ θ= + (5.9)
Budeme počítat tok ploškou poloměru R, kdy jsou splněny nerovnosti
2
1 , 2 ,
R k R
z z
π (5.10)
což znamená, že úhlová velikost plošky (viděno z rozptylového centra) je malá, ale ploška obsahuje mnoho
Fesnelových zón. Potom (polární souřadnice)
( ) ( )
2
2 1
, 1 2 0 exp
2
z f i k
z z
ρ
ψ ρ
   
≈ + ℜ  
   
(5.11)
a tok procházející ploškou je
( ){ }2 2
0
4
2 0 .
R
d R f
k
π
π ψ ρ ρ π≈ − ℑ∫ (5.12)
Plocha je zmenšena o účinný průřez rozptylu.
6 Rozptyl v potenciálovém poli
Uvažujme o pohybu částice v potenciálovém poli. Pohyb volné částice je popsán Helmholtzovou
rovnicí
( )
( ) ( )
( )
( )
1 2
0 02 2
0 , .
m Ep
r k r k∆ Ψ + Ψ = = = (6.1)
Pohyb v potenciálovém poli potom stacionární Schrödingerovou rovnicí
( ) ( ) ( ) ( )2
2
2
.
m
r k r U r r∆ Ψ + Ψ = Ψ (6.2)
Řešení této rovnice můžeme napsat ve tvaru
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )0
1 1 1 12
2
,sm
r r G r r U r r d rΨ = Ψ − − Ψ∫ (6.3)
kde G je Greenova funkce Helmholtzovy rovnice
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 8 (
) ( ) ( )
( )
( )
{ }
( ) ( )
{ }
( ) { }
2
1 1 1
1
1
1 0
1
,
exp1
, 3 ,
4
H , 2 ,
4
exp , 1 .
2
s
G r r k G r r r r
i k r r
G r r s
r r
i
G r r k r r s
i
G r r i k r r s
k
δ
π
∆ − + − = − −
−
− = =
−
− = − =
− = − =
(6.4)
Schrödingerovu rovnici (6.3) můžeme řešit iteračním postupem, tedy
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )1 0
1 1 1 12
2
, 0,1, .
n n sm
r r G r r U r r d r n
+
Ψ = Ψ − − Ψ =∫ … (6.5)
Zůstaneme-li pouze u základní iterace ( 0n= ), nazývá se toto přibližné řešení pohybu v potenciálovém poli
Bornova aproximace.
Při studiu rozptylu předpokládáme ( )
( )0
rΨ ve tvaru rovinné vlny a zajímáme se o vlnovou funkci
daleko od oblasti působení potenciálu, tedy pro Greenovu funkci klademe
( )
{ }
{ }
( )
( ) { }
{ }
( )
{ }
{ }
1 1
1 1
1 1
exp
, exp , 3 ,
4
1 exp
, exp , 2 ,
4
exp
, exp , 1 .
2
f
f
f
i k r
G r r i k r n s
r
i i k r
G r r i k r n s
k r
i i k r
G r r i k r n s
k
π
π
= − ⋅ =
+
= − ⋅ =
= − ⋅ =
(6.6)
V exponentu jsme aproximovali
1 22
1 1
1 12
1 2 ,f f
r r
r r r n r n r
r r
 
− = − ⋅ + ≈ − ⋅ 
 
(6.7)
přičemž jsem označili jako fn r r= jednotkový vektor ve směru pozorování. Dopadající rovinná vlna je
pak
( )
( ) { } { }0
exp exp ,i fr i k r i k r n nΨ = ⋅ = ⋅ (6.8)
s označením jednotkového vektoru ve směru dopadu in k k= . Vlnová funkce pak je
( ) { }
( )
( ) { }
1 2
2
exp , exp ,
2
s
i f i f
k
r i k r n n f n n i k r
k r
π
π
−
 
Ψ = ⋅ +  
 
(6.9)
kde ( ),i ff n n je amplituda rozptylu
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 9 (
) ( )
{ } ( ) ( )1 1 1 12
1
, exp exp .
2 4
s
i f f
i sm
f n n i k r n U r r d r
π
π
+ 
= − − ⋅ Ψ 
 
∫ (6.10)
Amplituda rozptylu v Bornově aproximaci je
( ) ( )
( ){ } ( )1 1 12
1
, exp exp .
2 4
s
B i f i f
i sm
f n n i k r n n U r d r
π
π
+ 
= − ⋅ − 
 
∫ (6.11)
V trojrozměrném případě dostáváme pro amplitudu rozptylu dopředu ( i fn n= ) výraz
( ) ( ) 3
1 12
0 .
2
B
m
f U r d rθ
π
= = − ∫ (6.12)
To je reálná veličina, což je v rozporu s optickým teorémem a omezuje to platnost jinak velmi užitečné
aproximace na případ velmi slabého rozptylu. Také v dalším se omezíme na trojrozměrný případ. Podíl
pravděpodobnosti toho, že rozptýlená částice projde za jednotku času plošným elementem 2
dS r d= Ω a
hustoty toku částic v dopadajícím svazku nazveme diferenciálním účinným průřezem dσ
( )
2
, .i f fd f n n dσ = Ω (6.13)
Vytvořme lineární kombinaci (klubko) dopadajících rovinných vln. Metoda asymptotického rozvoje
vede pak k přibližnému vyjádření člene s rychle oscilujícím integrandem
( ) ( ) { } { }
( ) ( )
( ) { }
( ) { } { }
( ) ( )
exp
exp ,
exp exp exp
2 2 , .
f f
f f f
i k r
r F n i k r n n d F n f n n d
r
i k r i k r i k r
i F n i F n F n f n n d
k r k r r
π π
Ψ = ⋅ Ω + Ω =
−
− − + Ω
∫ ∫
∫
(6.14)
Výraz přepíšeme na
( )
{ }
( ) { }
( )
( ) ( ) ( )
exp exp ˆ ,
1ˆ ˆˆ ˆ1 2 , , .
4
f f
f f
i k r i k r
r F n S F n
k r k r
S i k f f F n F n f n n d
π
−
Ψ = − −
= + = Ω∫
(6.15)
Poněvadž tok ve sbíhavé vlně musí být roven toku v rozbíhavé vlně, dostáváme pro operátory ˆS a ˆf
podmínky
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ1 , 2 .S S f f i k f f+ + +
= − = (6.16)
Rozepsáno v maticovém zápisu
( ) ( ) ( ) ( )* *
1 1 1, , , , .
2
i f f i i f
i k
f n n f n n f n n f n n d
π
− = Ω∫ (6.17)
Ve vztahu (6.17) jsme použili vyjádření
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 10 *
1ˆ ˆ ˆ, 1 .
4
a b b an f n n f n n d n
π
+
= Ω =∫ (6.18)
Pro imaginární část amplitudy rozptylu ve směru dopadajícího svazku dostáváme optický teorém
( ){ } ( )
2
, , , .
4
i i i
k
f n n f n n dσ σ
π
ℑ = = Ω∫ (6.19)
Vzhledem k symetrii Schrödingerovyrovnice vůči časové inverzi musí být řešením také komplexně
sdružená funkce
( )
{ }
( ) { }
( )
{ }
( ) { }
( )
* * * *exp exp ˆ
exp exp ˆˆ ˆ ,
f f
T
f f
i k r i k r
r F n S F n
k r k r
i k r i k r
n P S P n
k r k r
−
Ψ = − − =
−
Φ − − Φ
(6.20)
kde
( ) ( ) ( ) ( )* *ˆ ˆ, .n S F n F n P F nΦ − = − − = − (6.21)
Porovnáním (6.15) a (6.20) dostáváme relaci
( ) ( )ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , , .T T
i f f iP S P S P f P f f n n f n n= = = − − (6.22)
7 Operátor Greenovy funkce
Operátor Greenovy funkce definujeme jako inversní operátor k operátoru vlastní hodnoty
hamiltoniánu
( )0 0
1ˆ ˆ ˆˆlim 1 , lim .
ˆ
E H i G G
E H iε ε
ε
ε→ →
− + = =
− +
(7.1)
Často budeme potřebovat větu: Buď ( )f z funkce analytická pro { } 0zℑ ≥ s vyjímkou konečného
počtu pólů, ( ) 0f z → pro z →∞ rovnoměrně. Potom pro hlavní hodnotu ℘ nevlastního integrálu
dostáváme
( ) 02 ,f x d x i R i Rπ π
∞
−∞
  
℘ = + 
  
∑ ∑∫ (7.2)
kde R jsou residua v pólech v horní polorovině, R0 residua v pólech na reálné ose (např. Whittaker a
Watson, A Course of Modern Analysis). Důsledkem je, že pro funkci analytickou v horní polorovině
(včetně reálné osy) nebo dolní polorovině (včetně reálné osy) můžeme psát (integrál vlevo můžeme
doplněním křivky polokružnicí se středem v počátku a s poloměrem jdoucím k nekonečnu převést na sumu
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 11 residuí
funkce f v horní nebo dolní polorovině, druhý výraz vpravo je záporně vzaté residuum (pro funkci
analytickou v horní polorovině) nebo residuum (pro funkci analytickou v dolní polorovině) v pólu na reálné
ose
( ) ( )
( )
( )
0
0
0 0
0
0
0 0
lim ,
1 1
lim .
f x f x
d x d x i f x
x x i x x
i x x
x x i x x
ε
ε
π
ε
π δ
ε
∞ ∞
→
−∞ −∞
→
 
 
=℘ 
− ± − 
 
 
=℘ − 
− ± − 
⌠ ⌠
 
⌡ ⌡
∓
∓
(7.3)
Specielně pro exponenciální funkci máme
{ }
{ }
{ }
{ }
0
0
0
0
exp
exp , 0 ,
exp
exp , 0 .
i xt
d x i i x t t
x x
i xt
d x i i x t t
x x
π
π
∞
−∞
∞
−∞
 
 
℘ = > 
− 
 
 
 
℘ = − < 
− 
 
⌠

⌡
⌠

⌡
(7.4)
Pro hamiltonián složený ze dvou částí 0
ˆ ˆ ˆH H V= + , 0
ˆH je základní část (neporušený hamiltonián), ˆV je
interakční část (porucha), můžeme hledat řešení rovnice pro Greenovu funkci (7.1) pomocí vztahů
( )
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0
0 0 0
0 0
0
0
1 1 1ˆlim lim lim
ˆ ˆ ˆ ˆ
1 1ˆ ˆlim 1 lim
ˆ ˆ ˆ
1 1ˆ ˆ ˆlim lim lim
ˆ ˆ ˆ
1
lim ,
ˆ ˆ
V
E H i E H i E H V i
V
E H i E H V i
E H V i V
E H i E H V i
E H V i
ε ε ε
ε ε
ε ε ε
ε
ε ε ε
ε ε
ε
ε ε
ε
→ → →
→ →
→ → →
→
+ =
− + − + − − +
 
+ = 
− + − − + 
 − − + + =
  − + − − +
− − +
(7.5)
a tedy
0 0 0 0 0 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ,G G G V G G G G V G G V G V G= + = + + +… (7.6)
Pro vlnovou funkci dostáváme
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0 0 0
0
0 0
0 0 0
1 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ1
ˆ ˆ ˆ1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ1 1 .
G V G V G V
G V
G G V G V GV
 Ψ = Ψ = + + + Ψ = −
   + + + Ψ = + Ψ  
…
…
(7.7)
Zapíšeme-li Hamiltonův operátor ˆH pomocí vlastních vektorů mΨ a Hamiltonův operátor 0
ˆH pomocí
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 12 vlastních
vektorů mΦ
( )0
0
ˆ ˆ, ,m m m m m m
m m
H E H E= Ψ Ψ = Φ Φ∑ ∑ (7.8)
můžeme pro operátory Greenovy funkce psát
( )0 00 0
ˆ ˆlim , lim .m m m m
m mm m
G G
E E i E E iε εε ε→ →
Ψ Ψ Φ Φ
= =
− + − +
∑ ∑ (7.9)
Pro stopu operátoru Greenovy funkce máme
{ } 0
1ˆTr lim .
m m
G
E E iε ε→
=
− +
∑ (7.10)
Greenova funkce v souřadnicové representaci je
( )
( ) ( )
( )
*
0
0
ˆ , lim ,
1
, lim .
m m
m m
s
m m
r r
r G r G r r E
E E i
G r r E d r
E E i
ε
ε
ε
ε
→
→
′Ψ Ψ
′ ′≡ =
− +
=
− +
∑
∑∫
(7.11)
Pro kvasikontinuální energiové spektrum přejdeme od sumace k integraci
( ) ( ) ( ) ,m
m
f E f x x d xρ→∑ ∫ (7.12)
takže můžeme psát
( )
( )
( ) ( ){ }
0
, lim
1
, .
s
s
x
G r r E d r d x ,
E x i
E G r r E d r
ε
ρ
ε
ρ
π
→
=
− +
= − ℑ
⌠

⌡
∫
∫
(7.13)
Pro volné částice platí
( ) { } ( )
( )
( )
( )
( ){ }
2 2
2 20
1
, exp , ,
2 2
exp2
, lim .
22
s
sk k k k
s
s
k
E r i k r E d E d k
m
i k r rm
G r r E d k
m E k iε
ρ
π
επ →
Ω
= Ψ = ⋅ =
Ω
′⋅ −
′ =
− +
⌠

⌡
(7.14)
Greenova funkce pro časově závislou Schrödingerovu rovnici (přitom ˆH explicitně nezávisí na
čase) je
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 13 (
) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
*
0
*
, , exp lim ,
2
exp
, , .
0
m m
m m
m m m
m
r rd E i
G r t r t E t t
E E i
i i
r r E t t t t
G r t r t
t t
επ ε
∞
→
−∞
′Ψ Ψ ′ ′ ′= − − 
− + 
  ′ ′ ′Ψ Ψ − − ≥  
′ ′ =  
 ′<
⌠

⌡
∑
∑
(7.15)
Pro volné částice je
( ) ( )
( )
( )
2 2
exp
, , .2 2
0
s
m r rm
i t t
G r t r t i t t t t
t t
π
    ′−  ′≥   ′ ′ = ′ ′− −     

′<
(7.16)
8 Užitečné zobecněné funkce
Působení zobecněných funkcí na prostoru „hodných“ funkcí jedné proměnné Φ je zobrazení těchto
funkcí do prostoru komplexních (reálných) čísel
: , .F Fϕ ϕΦ → ∈ (8.1)
Jedna ze zobecněných funkcí má původ ve výpočtu Cauchyho vlastní hodnoty integrálu funkce
s jednoduchým pólem na reálné ose. Obecně je Cauchyho vlastní hodnota definována jako
( ) ( ) ( )0
Vp lim .d x f x d x f x d x f x
ε
ε
ε
−∞ ∞
→
−∞ −∞
  
= + 
  
∫ ∫ ∫ (8.2)
Definujeme zobecněnou funkci ( )1 xP jako
( ) ( )
( )1 1
: , Vp .
x
x x d x
x x x
ϕ
ϕ ϕ
∞
−∞
Φ → ≡
⌠

⌡
P P (8.3)
Dále definujeme Diracovu delta (zobecněnou) funkci
( ) ( ) ( ) ( ) ( ): , 0 .x x x xδ ϕ δ ϕ ϕΦ → ≡ (8.4)
Poslední vztah (8.4) je zapisován také jako
( ) ( ) ( )0 .d x x xδ ϕ ϕ
∞
−∞
=∫ (8.5)
Pomocí zobecněných funkcí (8.3) a (8.4) můžeme vyjádřit jiné důležité zobecněné funkce, tj.
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 14 (
) ( )
( )
0
1 1
: , lim
x
x x d x
x i x i x iε
ϕ
ϕ ϕ
ε ε ε
∞
→
−∞
Φ → ≡
+ + +
⌠

⌡
(8.6)
a
( ) ( )
( )
0
1 1
: , lim .
x
x x d x
x i x i x iε
ϕ
ϕ ϕ
ε ε ε
∞
→
−∞
Φ → ≡
− − −
⌠

⌡
(8.7)
Platí (Sochockého vztahy)
( )
1 1
,i x
x i x
π δ
ε
= −
+
P (8.8)
a
( )
1 1
.i x
x i x
π δ
ε
= +
−
P (8.9)
Důkaz není obtížný. Vezměme nejprve
( )
( ) ( ) ( )
( )
/
2 2 2 20 0
1 1 1
,
2
0 0
lim lim 0 .
x
x i x i
x x
i d x i d x i
x xε ε
ϕ
ε ε
ϕ ϕ ϕ
ε ε π ϕ
ε ε
∞∞
→ →
−∞ −∞
 
− = 
− + 
+ +
= =
+ +
⌠⌠
 
⌡ ⌡
(8.10)
Dále pak
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 20
/
2 20
1 1 1
, lim
2
0 0
Pv lim Pv .
x x
x d x
x i x i x
x x x
d x d x x d x
x x x
ε
ε
ε
ε
ϕ
ϕ
ε ε ε
ϕ ϕ ϕ ϕ
ε
∞
→
−∞
∞ ∞
→
−∞ −∞−
 
+ = = 
− + + 
+ +
+ =
+
⌠

⌡
⌠⌠ ⌠
 
⌡ ⌡⌡
(8.11)
Odečtením a přičtením (8.10) k (8.11) dostáváme Sochockého vztahy. Podívejme se teď na integrál
( )
0
x
I d x
x x i
ϕ
ε
∞
+
−∞
=
− +
⌠

⌡
(8.12)
z pohledu teorie funkce komplexní proměnné. Je-li funkce ( )xϕ analytická v horní (dolní) polorovině,
můžeme doplněním integrálu po reálné ose integrálem po polokružnici v horní (dolní) polorovině se
středem v počátku a s poloměrem jdoucím do nekonečna použít Cauchyovyvěty. Dostáváme pak (v prvním
případě má křivkový integrál souhlasnou orientaci s reálnou osou, v druhém opačnou)
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 15 (
)
( )00
0
.
2
x
I d x
i xx x i
ϕ
π ϕε
∞
+
−∞

= = 
−− + 
⌠

⌡
(8.13)
Obdobně dostaneme
( ) ( )0
0
2
.
0
x i x
I d x
x x i
ϕ π ϕ
ε
∞
−
−∞

= = 
− − 
⌠

⌡
(8.14)
9 Užitečné ortonormální soustavy funkcí
9.1 Legendreovy polynomy
Legendreovy polynomy ( )coslP θ , 0,1,l = … jsou definovány jako
( )
( )
( )21
cos cos 1 .
2 ! cos
l
l
l ll
d
P
l d
θ θ
θ
= − (9.1)
Jsou řešením diferenciální rovnice
( )
( ) ( )
cos1
sin 1 cos 0 .
sin
l
l
d Pd
l l P
d d
θ
θ θ
θ θ θ
 
+ + = 
 
(9.2)
Na intervalu ( )1,1− tvoří polynomy ( )lP x ortogonální systém, tj.
( ) ( )/ /
1
1
2
.
2 1
l l ll
P x P x d x
l
δ
−
=
+∫ (9.3)
Přidružené Legendreovy polynomy ( )cosm
lP θ , 0,1, ,m l= … jsou definovány jako
( )
( )
( ) ( )
( )2cos 1
cos sin sin cos 1
2 !cos cos
m l m
llm m m
l m l ml
d P d
P
ld d
θ
θ θ θ θ
θ θ
+
+
= = − (9.4)
a jsou řešením diferenciální rovnice
( )
( ) ( )
2
2
cos1
sin 1 cos 0 .
sin sin
m
l m
l
d Pd m
l l P
d d
θ
θ θ
θ θ θ θ
   
+ + − =   
  
(9.5)
Platí
( ) ( )
( )
( )
/ /
1
1
!2
.
2 1 !
m m
l l ll
l m
P x P x d x
l l m
δ
−
+
=
+ −∫ (9.6)
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 16 Normované
funkce jsou (a zde se mohou lišit různí autoři ve fázovém faktoru, zde zvolený je podle
Landaua a Lifšice)
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
!2 1
cos 1 cos , 0,1, ,
2 !
!2 1
cos cos , , 1, , 1
2 !
mm l m
l l
mm l
l l
l ml
i P m l
l m
l ml
i P m l l
l m
θ θ
θ θ
 −+
Θ = − = 
+ 
 −+
Θ = = − − + − 
+  
…
…
(9.7)
Přidáme-li ještě ortonormální soustavu na intervalu ( )0,2π
( )
( )
{ }1 2
1
exp ,
2
m i mϕ ϕ
π
Φ = (9.8)
dostáváme ortonormální systém sférických funkcí
( ) ( )
( )
( )
( ) { }
!2 1
, 1 cos exp ,
4 !
m m ml
l m l
l ml
Y i P i m
l m
θ ϕ θ ϕ
π
+  −+
= −  
+  
(9.9)
relace ortonormality jsou
( )( ) ( )/ / / /
2
*
0
0
, , sin .l ml m l l m m
Y Y d d
π
π
θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ δ δ=
⌠
⌠ ⌡
⌡
(9.10)
Zjevně platí
( )( ) ( ) ( )
*
,, 1 , .
l m
l m l mY Yθ ϕ θ ϕ
−
−= − (9.11)
Sférické funkce nejnižších řádů jsou
( )
{ }
( )
{ } { }
1 2 1 2
0 0 1
0 1 11 2
1 2
0 2
2
1 2 1 2
1 2 2
2 2
1 3 3
, cos , sin exp ,
4 84
5
1 3cos ,
16
15 15
cos sin exp , sin exp 2 .
8 32
Y Y i Y i i
Y
Y i Y i
θ θ ϕ
π ππ
θ
π
θ θ ϕ θ ϕ
π π
±
± ±
   
= = = ±   
   
 
= − 
 
   
= ± ± = − ±   
   
∓
(9.12)
Označíme-li n jednotkový vektor charakterizovaný azimutálním úhlem θ a polárním úhlem φ, můžeme
značit ( ) ( ),l m l mY Y nθ ϕ ≡ . Řada vztahů vypadá jednodušeji, užijeme-li identity
( ) ( )( ) ( )
*4
cos , , ,
2 1
l
l l m l m
m l
P Y Y
l
π
ω θ ϕ
=−
= Θ Φ
+
∑ (9.13)
kde ( )cos cos cos sin sin cosω θ θ ϕ= Θ + Θ Φ − , nebo ve značení pomocí jednotkových vektorů
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 17 (
) ( )( ) ( )
*
/ /4
.
2 1
l
l l m l m
m l
P n n Y n Y n
l
π
=−
⋅ =
+
∑ (9.14)
9.2 Sférické Besselovy funkce
Sférické Besselovy funkce ( )lj z a ( )ln z nebo ( )
( )lh z+
a ( )
( )lh z−
jsou řešením rovnice
( ) ( )
( )
( )// /
2
12
1 0 .
l l
f z f z f z
z z
+ 
+ + − = 
 
(9.15)
Máme
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1
1 2
1 2
2
1 2
, ,
2 2
,
2
.
2
l l l l
l l l l
l l l l
j z J z n z N z
z z
h z n z i j z i H z
z
h z n z i j z i H z
z
π π
π
π
+ +
+
+
−
+
   
= =   
   
 
= − + =  
 
 
= − − = −  
 
(9.16)
Kromě obvyklého vyjádření pomocí řad je možné zapsat sférické Besselovy funkce jako
( ) ( ) ( ) ( )
11 sin 1 cos
1 , 1 .
l l
l ll l
l l
d z d z
j z z n z z
z d z z z d z z
+   
= − = −   
   
(9.17)
Sférické Besselovy funkce řádu 0, 1 a 2 jsou
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 1 22 3 2
0 1 22 3 2
sin sin cos 3 1 3cos
, , sin ,
cos cos sin 3 1 3sin
, , cos .
z z z z
j z j z j z z
z z z z z z
z z z z
n z n z n z z
z z z z z z
 
= = − = − − 
 
 
= − = − − = − − − 
 
(9.18)
Asymptotické vyjádření je
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 1
sin , cos ,
2 2
1 1
exp , exp .
2 2
l l
z z
l l
z z
j z z l n z z l
z z
h z i z l h z i z l
z z
π π
π π
→∞ →∞
+ −
→∞ →∞
   
→ − → − −   
   
      
→ − → − −      
      
(9.19)
Pro hodnoty argumentu blízké nule je
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
1
0 0
2 1 !!
, 0,1,2, ,
2 1 !!
2 1 !! 2 1 2 1 3 1 .
l
l l l
z z
lz
j z n z l
l z
l l l
+
→ →
−
− =
+
+ = + ⋅ − ⋅
→ → …
…
(9.20)
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 18 -
Specielně
( ) ( )0 0
0 0
1
1 , .
z z
j z n z
z→ →
−→ → (9.21)
Pro sférické Besselovy funkce platí relace ortogonality
( ) ( ) ( ) ( )/ 2 / /
2
0
.
2 2
l lj p r j p r r dr p p E E
p m p
π π
δ δ
∞
= − = −∫ (9.22)
10 Exaktní teorie rozptylu
Hamiltonián je na čase nezávislý a skládá se z hamiltoniánu volné částice a interakčního potenciálu
0
ˆ ˆ ˆ .H H V= + (10.1)
Přesto má rozptylová úloha charakter časově závislé úlohy. Je to dáno předpokladem, že pro t →−∞ je stav
částice takový, že lze působení interakčního potenciálu zanedbat. Totéž předpokládáme o situaci v časech,
kdy t →∞ . Stav částice v 0t = označíme ψ , stav volné částice v 0t = označíme φ , takže máme
( ) { }ˆexpt i H tψ ψ= − (10.2)
a
( ) { }0
ˆexp .t i H tφ φ= − (10.3)
Hledáme takové řešení rozptylové úlohy, které se bude asymptoticky blížit nějakým řešením pro volnou
částici, tj.
{ } { }0
ˆ ˆlim exp exp 0
t
i H t i H tψ φ−
→−∞
− − − = (10.4)
pro t →−∞ a
{ } { }0
ˆ ˆlim exp exp 0
t
i H t i H tψ φ+
→∞
− − − = (10.5)
t →∞ . To uděláme ve dvou krocích: 1) pro nějaký zadaný stav φ− ∈H sestrojíme ψ tak, aby byl
splněn vztah (10.4) a 2) pro takto získané ψ sestrojíme φ+ ∈H tak, že bude splněn vztah (10.5). Pro
experiment je podstatný vztah φ+ k φ− . Zajímá nás tedy existence unitárního operátoru
ˆ .Sφ φ+ −= (10.6)
Začněme se zobecněním (10.4) a (10.5). Je možné k libovolným stavům φ ∈∓ H najít stav ψ takový, aby
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 19 (10.4)
a (10.5) byly splněny? Přepišme tyto vztahy (operátor { }ˆexp i H t− je unitární) na
{ } { }0
ˆ ˆlim exp exp 0 .
t
i H t i H tψ φ
→ ∞
− − =∓
∓
(10.7)
Jde tedy o podmínku existence operátorů
{ } { }0
ˆ ˆ ˆlim exp exp .
t
U i H t i H t±
→±∞
= − (10.8)
Uvažujme operátor
( ) { } { }0
ˆ ˆ ˆexp exp .U t i H t i H t= − (10.9)
Platí pro něj rovnice
( )
{ }( ) { } { } { }0 0 0
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp exp exp exp
dU t
i i H t H H i H t i i H t V i H t
dt
= − − = − (10.10)
s počáteční podmínkou ( ) ˆˆ 0 1U = . Řešením je
( ) { } { }0
0
ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 exp exp .
t
U t i i H t V i H t dt= + −∫ (10.11)
Hledané operátory pak jsou
{ } { }0
0
ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 exp exp .U i i H t V i H t dt
±∞
± = + −∫ (10.12)
Postačující podmínkou existence ˆU± je existence integrálů (opět využíváme toho, že operátor
{ }ˆexp i H t− je unitární)
{ }0
0
ˆ ˆexp , .V i H t φ φ
±∞
− ∈∫ H (10.13)
V souřadnicové representaci máme pro ( ) { } ( )0
ˆ, expx t i H t xφ φ= −
( )
( )
( ) 2 3
3 2
1 1
, exp .
22
x t k i k x k t d kφ φ
π
  
= ⋅ −  
  
⌠

⌡
(10.14)
Pro odhad budeme potřebovat oba případy přibližného výpočtu integrálu metodou stacionární fáze. Mějme
( ) ( ){ }exp ,
b
a
I g x i f x d xλ= ∫ (10.15)
přitom λ bude velké číslo. Pokud je na integračním intervalu ( )/
0f x ≠ , počítáme
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 20 (
)
( )
( ){ }( )
( ) ( ){ }
( )
( ) ( ){ }
( )
/
/ /
1
exp
exp exp
.
b
a
g x d
I i f x d x
i f x d x
i g a i f a i g b i f b
f a f b
λ
λ
λ λ
λ λ
= ≈
−
⌠

⌡
(10.16)
Pokud je na integračním intervalu ( )/
0 0f x = , počítáme
( ) ( ){ } ( )( )
( )
( ) ( ){ }
2//
0 0 0 0
1 2
0 0//
0
exp exp
2
2
exp .
b
a
I g x i f x i f x x x d x
i
g x i f x
f x
λ
λ
π
λ
 
≈ − = 
 
 
 
 
 
⌠

⌡
(10.17)
11 Lippmanova – Schwingerova rovnice
Moellerovy operátory (znaménko u limity pro t je opačné než označení operátoru!)
{ } { }0
ˆ ˆ ˆlim exp exp .
t
i H t i H t±
→ ∞
Ω = −
∓
(11.1)
Označíme
ˆ ˆ, .φ φ χ χ+ −Ω ≡ + Ω ≡ − (11.2)
Vektor φ + je skutečný stav v 0t = , byl-li počátečním (in) stavem volné částice vektor φ , vektor χ −
je skutečný stav v 0t = , bude-li koncovým (out) stavem volné částice vektor χ . Mějme teď
ˆ ˆ .in outψ ψ ψ+ −= Ω = Ω (11.3)
Poněvadž pro unitární operátory ˆˆ ˆ 1+
Ω Ω = , můžeme z (11.3) získat vztah
ˆˆ ˆ ,out in inSψ ψ ψ+
− += Ω Ω ≡ (11.4)
kde jsme zavedli operátor rozptylu
ˆ ˆ ˆ .S +
− += Ω Ω (11.5)
Bez důkazu zde uvedeme tvrzení, že Hilbertův prostor můžeme rozdělit na podprostor rozptylových stavů
(tj. stavů, které mají asymptotický vztah k in a out stavům) a podprostor vázaných stavů. Jen část důkazu:
vezměme vázaný stav ˆ
n n nH Eξ ξ= . Potom
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 21 {
} { }
{ } { }
0
0
ˆ ˆlim exp exp
ˆ ˆlimexp exp 0 .
n n in n n in
t
n out n n out
t
i E t iH t
i E t iH t
ξ ψ ξ ψ ξ ψ
ξ ψ ξ ψ
+
→−∞
−
→∞
= Ω = − =
Ω = − =
(11.6)
Vztahy pro Moellerivy operátory jsme odvodili v předchozí části. Tady je trochu upravíme na
{ } { } { }
{ } { } { }
0
0
0
0
0
0
ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 lim exp exp exp ,
ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 lim exp exp exp .
i t i H t V i H t dt
i t i H t V i H t dt
ε
ε
ε
ε
+
+
∞
−
→
+
→
−∞
Ω = + − −
Ω = − −
∫
∫
(11.7)
Dostáváme tak
{ } { } { }
{ } { } { }
0
0
0
0
0
0
ˆ ˆ ˆ ˆlim exp exp exp ,
ˆ ˆ ˆ ˆlim exp exp exp .
i t i H t V i H t dt
i t i H t V i H t dt
ε
ε
φ φ φ ε φ
φ φ φ ε φ
+
+
∞
−
→
+
→
−∞
− = Ω = + − −
+ = Ω = − −
∫
∫
(11.8)
Nejprve rozložíme stav φ podle vlastních stavů hamiltoniánu volné částice p , tj. 0
ˆ
pH p E p= , takže
{ } { } { }3 3
0 0
ˆ ˆexp exp exp pi H t i H t p p d p i E t p p d pφ φ φ− = − = −∫ ∫ (11.9)
a potom provedeme integraci podle času
( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( ) ( )
1
0 0 0
0
0
1
0 0 0
ˆˆ ˆlim exp lim lim ,
ˆˆ ˆlim exp lim lim .
p p p
p p p
i E i H t dt i E i H i G E i
i E i H t dt i E i H i G E i
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
+ + +
+ + +
∞
−
→ → →
−
→ → →
−∞
− − − = − − − = − −
− + − = + − = +
∫
∫
(11.10)
Máme tak upraven vztah (11.8) na
( ) 3
0
ˆ ˆlim .pG E i V p p d p
ε
φ φ ε φ+
→
± = + ±∫ (11.11)
Ve složkách p pak máme
( )0
ˆ ˆlim .pp p G E i V p
ε
ε+
→
± = + ± (11.12)
V dalším budeme symbol
0
lim
ε +
→
už vynechávat. Rovnici (11.12) přepíšeme do tvaru s 0
ˆG . Připomeňme si, že
operátor Greenovy funkce definujeme jako inversní operátor k operátoru vlastní hodnoty hamiltoniánu
( ) ( )
( ) ( )0 0 0
1ˆ ˆ ˆˆ ( ) 1 , ,
ˆ
1ˆ ˆ ˆˆ ( ) 1 , .
ˆ
z H G z G z
z H
z H G z G z
z H
− = =
−
− = =
−
(11.13)
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 22 Pro
hamiltonián složený ze dvou částí 0
ˆ ˆ ˆH H V= + , 0
ˆH je základní část (volná částice v teorii rozptylu), ˆV
je porucha (interakční potenciál v teorii rozptylu), můžeme hledat řešení rovnice pro Greenovu funkci
pomocí vztahů
( )0
0 0 0
0 0 0 0 0
1 1 1ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ1 ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
z H V V
z H V z H z H V
V V
z H z H V z H z H z H V
 = − − + =
 − − − − −
 
+ = + 
− − − − − − − 
(11.14)
a tedy
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0 0 0 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
G z G z G z V G z
G z G z G z V G z G z V G z V G z
= +
= + + +…
(11.15)
Pro stavový vektor dostáváme
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ1 1
1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ1
ˆ ˆ ˆ1
ˆ ˆ .
G z V G z G z V G z V
G z V G z V G z V
G z V
G z V
ψ ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ ψ
  = + = + + + =   
 + + + = ⇒  −
= +
…
… (11.16)
Místo (11.12) máme tedy
( )0
ˆ ˆ .pp p G E i V pε± = + ± ± (11.17)
V souřadnicové reprezentaci je
( ) ( )/ / / 3 /
0
ˆ .px p x p x G E i x V x x p d xε± = + ± ±∫ (11.18)
Pro maticové prvky Greenovy funkce napíšeme
( ) ( )
( )
( )
( ){ }
/ / 3
0 0
/ /
0 2 3
ˆ ˆ ,
1 1ˆ , exp ,
2
2
x G z x x G z p p x d p
G z p p x p p x i p x x
p
z
m
π
=
= = −
−
∫
(11.19)
takže
( )
( )
( ){ }/
/ 3
0 3 2
exp2ˆ .
22
i p x xm
x G z x d p
m z pπ
−
=
−
⌠

⌡
(11.20)
Při výpočtu postupujeme obvyklým způsobem
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 23 (
)
( ){ }
( )
{ }
{ }
/
3
3 2
22
/
3 2
0
0
0
/
22 /
exp2
22
2
sin exp cos
22
exp
.
22
i p x xm
d p
m z p
m p
i p x x d d d p
m z p
p i p x xi m
d p
p m zx x
π
π
π
θ θ ϕ θ
π
π
∞
∞
−∞
−
=
−
− =
−
−
−−
⌠

⌡
⌠
⌠
 ⌡
⌡
⌠

⌡
∫ (11.21)
Integrační křivku v rovině komplexního p můžeme uzavřít polokružnicí v horní polorovině. V této
polorovině bude mít integrand pól v případě, že
2 2 ,
2 2
p p
p p
p m E i m E i p i
p m E i m E i p i
ε ε ε
ε ε ε
+
−
= + = + = +
= − − = − + = − +
(11.22)
a hodnota integrálu bude
( ) { }
( ) { }
/
/
2 Res exp ,
2 Res exp .
i p p i i p x x
i p p i i p x x
π π
π π
+
−
= = −
= = − −
(11.23)
Maticové elementy Greenovy funkce tedy jsou
( )
{ }/
/
0 /
exp
ˆ
2
p
i p x xm
x G E i x
x x
ε
π
± −
± = −
−
(11.24)
a rovnice (11.18) má tvar
{ } ( )
/
/ / 3 /
/
exp
.
2
i p x xm
x p x p V x x p d x
x xπ
± −
± = − ±
−
⌠


⌡
(11.25)
S přiblížením
( )
1 2/ 2 / /2 / /
2 ,x x x x x x r n x x x r− = − ⋅ + ≈ − ⋅ − ≈ (11.26)
v exponentu resp. čitateli máme
{ }
{ } ( )/ / / 3 /exp
exp .
2
m i p r
x p x p i p n x V x x p d x
rπ
±
± ≈ − ⋅ ±∫ ∓ (11.27)
Protože máme
( )
{ }
( )
{ }/ /
3 2 3 2
1 1
exp , exp ,
2 2
x p i p x p n x i p n x
π π
= ⋅ ± = ⋅∓ (11.28)
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 24 můžeme
(11.27) zapsat také jako
( )
{ } ( )
{ }2
3 2
exp1 ˆexp 2 .
2
i p r
x p i p x m p n V p
r
π
π
± 
± = ⋅ − ± ± 
 
(11.29)
S označením
( ) ( )
2
ˆ2f p n p m p n V pπ← = − + (11.30)
máme konečně
( )
{ }
{ }
( )3 2
exp1
exp .
2
i p r
x p i p x f p n p
rπ
 
+ = ⋅ + ← 
 
(11.31)
V souřadnicové reprezentaci je
( ) ( ) { } ( )1 2 / / / 3 /
2 exp .f pn p m i p n x V x x p d xπ← = − − ⋅ +∫ (11.32)
V Bornově aproximaci dosadíme v integrandu (11.32) x p x p+ = . S označením ( )
1
q p n p= − a
cosn p p θ⋅ = máme (píšeme Planckovu konstantu)
( ) { } ( ) 3
2
exp .
2
m
f q i q x V x d x
π
= − − ⋅∫ (11.33)
12 Parciální vlny
Místo báze tvořené vektory p zvolíme bázi , ,E l m , kterou získáme z transformačních vztahů
( ) ( )
1 2
2
, , , ,l
l l m
m p
x E l m i j p r Y θ ϕ
π
 
=  
 
(12.1)
kde sin cos sin sin cosx y zx r e r e r eθ ϕ θ ϕ θ= + + a ( )
1 2
2p m E= .
Užitím (12.1), (9.22) a (9.10) dostáváme relace ortonormality pro bázi , ,E l m
( ) / /
/ / / / / / 3
/
, , , , , , , ,
.l l m m
E l m E l m E l m x x E l m d x
E Eδ δ δ
= =
−
∫ (12.2)
Jak vypočteme , ,p E l m ? Platí
( )
{ }3 3
3 2
1
, , , , exp , , .
2
p E l m p x x E l m d x i p x x E l m d x
π
= = − ⋅∫ ∫ (12.3)
Vyjádření rovinné vlny je
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 25 {
} ( ) ( )( ) ( )
/
/
/ / / / /
/ / /
*
0
exp 4 , , ,
l
l
l l m l m
l m l
i p x i j p r Y Yπ θ ϕ
∞
= =−
⋅ = Θ Φ∑ ∑ (12.4)
kde sin cos sin sin cosx y zp p e p e p e= Θ Φ + Θ Φ + Θ . Dosazením (12.4) do (12.3) dostaneme
( )
( ) ( )1 2
1
, , , .p l mp E l m E E Y
m p
δ= − Θ Φ (12.5)
Rozklad vektoru p je tedy
( )
( )( )
*
1 2
0 0
0
1
, , , , , , , .
l l
l m
l m l l m l
p E l m E l m p d E Y E l m
m p
∞
∞ ∞
= =− = =−
= = Θ Φ
⌠

⌡
∑ ∑ ∑ ∑ (12.6)
Přirozeně stejný rozklad dostáváme pro
( )
( )( )
( )
( )( )
*
1 2
0
*
1 2
0
1ˆ ˆ, , ,
1
, , , .
l
l m
l m l
l
l m
l m l
p p Y E l m
m p
Y E l m
m p
∞
+ +
= =−
∞
= =−
+ = Ω = Θ Φ Ω =
Θ Φ +
∑ ∑
∑ ∑
(12.7)
V analogii k rozkladu (12.1) budeme psát
( )
( )
1 2
,2
, , , ,
l pl
l m
rm p
x E l m i Y
pr
ψ
θ ϕ
π
 
+ =  
 
(12.8)
odkud dostaneme pro (12.7)
( )
( ) ( )( )
1 2
*,
0
2
, , .
l
l pl
l m l m
l m l
r
x p i Y Y
pr
ψ
θ ϕ
π
∞
= =−
 
+ = Θ Φ 
 
∑ ∑ (12.9)
Ještě jednou zapíšeme
( ) ( )( ) ( )
1 2
*
0
2
, , .
l
l
l l m l m
l m l
x p i j p r Y Y θ ϕ
π
∞
= =−
 
= Θ Φ 
 
∑ ∑ (12.10)
Vyjádřeme teď amplitudu rozptylu (11.32)
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
/
/
/ / / /
/ / /
/
/
2 / / / 3 /
** / / / / /
0 0
/ / / / /
,
0
8
2
, , , ,
.
l l
ll
l m l ml m l m
l m ll m l
l pl
m
f p n p m pn x V r x p d x
p
i i Y Y Y Y d
j p r V r r r dr
ω
π
π
θ ϕ θ ϕ θ ϕ ω
ψ
∞ ∞
= =−= =−
∞
← = − + = −
− Θ Φ ⌠
⌡
∫
∑ ∑ ∑ ∑
∫
(12.11)
Relace ortogonality pro sférické funkce zjednoduší výraz (12.11) na tvar
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 26 (
)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
*
/ / / / /
,
0 0
8
, , .
l
l m l m l l p
l m l
f p n p
m
Y Y j p r V r r r dr
p
π
θ ϕ ψ
∞∞
= =−
← =
− Θ Φ∑ ∑ ∫
(12.12)
Rovnici (11.31) napíšeme s pomocí (12.9), (12.10) a (12.12) jako
( )
( ) { } ( ) ( ) ( ), / / / / /
,
0
2
exp .
l pl l
l l l p
r m
i i j pr i pr j pr V r r r dr
pr p r
ψ
ψ
∞
= − ∫ (12.13)
Odtud
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )/ / / / /
, ,
0
2 .l p l l l l pr p r j p r m p r h p r j p r V r r r drψ ψ
∞
+
= − ∫ (12.14)
Exaktní výraz, platný pro všechna r
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
/ / / / /
, ,
/ / / / /
,
0
2
.
l p l l l l p
r
r
l l l p
r pr j p r m pr j pr h p r V r r r dr
h pr j p r V r r r dr
ψ ψ
ψ
∞
+
+

= − +




∫
∫
(12.15)
V předchozím vztahu je využito asymptotického chování ( )
( )lh z+
→∞ . Označíme-li jako parciální
amplitudu rozptylu
( ) ( ) ( ) ( )/ / / / /
,
0
2
l l l p
m
f p j p r V r r r dr
p
ψ
∞
= − ∫ (12.16)
můžeme výraz (12.14) zapsat jako
( ) ( ) ( ) ( )
( ), .l p l l lr pr j pr p f p h prψ +
 = +  (12.17)
Protože
( ) ( )
( ) ( )
( )( )1
,
2
l l lj z h z h z
i
+ −
= − (12.18)
můžeme (12.17) zapsat jako
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ), ,
2
l p l l l
i
r p r h p r S p h p rψ − +
 = −  (12.19)
kde
( ) ( )1 2 .l lS p i p f p= + (12.20)
Výraz (12.12) je teď
( ) ( )( ) ( ) ( )
*
0
4 , , .
l
l m l m l
l m l
f pn p Y Y f pπ θ ϕ
∞
= =−
← = Θ Φ∑ ∑ (12.21)
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 27 Označíme-li
jako úhel θ nikoliv azimutální úhel, ale úhel rozptylu cosn p p θ⋅ = , můžeme s využitím
(9.13) zapsat poslední vztah jako
( ) ( ) ( ) ( )
0
2 1 cos .l l
l
f pn p l f p P θ
∞
=
← = +∑ (12.22)
Přirozeně, pokud dopadá vlna ve směru osy z, oba úhly jsou stejné. Vlnová funkce je pak
( ) ( ) ( ) { } { }
0
2 1 cos 1 exp exp .
2
l
l l
l
i
l P i p r S i pr
pr
ψ θ
∞
=
 = + − − −
 ∑ (12.23)
13 Rozptyl při vysokých energiích
Schrödingerovu rovnici
( ) ( ) ( ) ( )2
2r p r mV r rψ ψ ψ∆ + = (13.1)
budeme řešit substitucí
( ) { } ( )exp .r i p z F rψ = (13.2)
Dostáváme tak rovnici
( )
( )
( ) ( )2 2 .
F r
F r i p mV r F r
z
∂
∆ + =
∂
(13.3)
Předpokládáme, že 0F∆ ≈ , takže můžeme napsat explicitní tvar řešení rovnice (13.3), řešení
Schrödingerovy rovnice
( ) ( )exp , ,
z
m
r C i p z V z d z
p
ψ ρ
−∞
   
= −  
    
∫ (13.4)
kde jsme označili x yxe y eρ = + . Všimněme si, že (13.4) je možno psát jako
( ) ( )
1 22
exp 2 , .
z
r C i p mV z d zψ ρ
 
 = −  
 
∫ (13.5)
Dosadíme-li do výrazu pro amplitudu rozptylu
( ) { } ( ) ( ) 3
exp
2
m
f p n p i p n r V r r d rψ
π
← = − − ⋅∫ (13.6)
ze (13.3)
( ) ( ) { }
( )exp ,
F r
mV r r i p i p z
z
ψ
∂
=
∂
(13.7)
dostaneme
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 28 (
) { } ( ){ }
( ) 2
exp exp 1 .
2
z
F rp
f pn p i p n i p n z d
i z
ρ ρ
π
∂
← = − ⋅ −
∂
⌠

⌡
(13.8)
Pro 1zn ≈ můžeme amplitudu rozptylu zapsat jako
( ) { } ( ) ( ) 2
exp , ,
2
p
f p n p i p n F F d
i
ρ ρ ρ ρ
π
← = − ⋅ ∞ − −∞  ∫ (13.9)
a po dosazení z (13.4)
( ) ( ) { }
( ) ( ){ } ( ) ( )
2
1 exp ,
2
exp 2 , , .
2
p
f pn p S i pn d
i
m
S i V z d z
p
ρ ρ ρ
π
ρ δ ρ δ ρ ρ
∞
−∞
← = − − ⋅  
= = −
∫
∫
(13.10)
14 Více o parciálních vlnách
Vyjdeme z unitarity S-matice. Napíšeme proto
( ) ( ){ }exp 2 .l lS p i pδ= (14.1)
Vztah mezi fázovým posuvem a amplitudou rozptylu dostaneme z (12.20)
( ) ( ){ } ( )
1
exp sin .l l lf p i p p
p
δ δ= (14.2)
Celkový účinný průřez je
( ) ( ) ( )
2 2
2
0 0 0
4
4 2 1 2 1 sin .l l l
l l l
l f l p
p
π
σ σ π δ
∞ ∞ ∞
= = =
= = + = +∑ ∑ ∑ (14.3)
Ze vztahu (14.2) dostáváme vyjádření optického teorému
( ){ } ( )
2
,l lf p p f pℑ = (14.4)
což můžeme přepsat jako
( )
1
.
l
p
f p
  
ℑ = − 
  
(14.5)
Musí tedy amplituda rozptylu mít tvar
( )
( )
1
,l
l
f p
g p i p
=
−
(14.6)
kde reálná funkce ( )lg p je z (14.2)
( ) ( )cot .l lg p p pδ= (14.7)
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 29 -
14.1 Bornova aproximace
Funkce ( ),l p rψ a ( )lpr j p r jsou řešením rovnic
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
, 2
,2 2
2
2
2 2
1
2 0 ,
1
0 .
l p
l p
l
l
d r l l
p mV r r
dr r
d r j pr l l
p r j pr
dr r
ψ
ψ
+ 
+ − − = 
 
+ 
+ − = 
 
(14.8)
S okrajovou podmínkou ( ), 0 0l pψ = dostaneme úpravou (14.8)
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ),
, ,
0
2 .
r
l p l
l l p l p l
d r d pr j pr
pr j pr r m p V r r j p r r dr
dr dr
ψ
ψ ψ− = ∫ (14.9)
Pro r →∞ máme ze (12.19)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
,
, 2
,
2
1
.
2
l p l l l
l p
l l l
i
r p r h p r S p h p r
d r
p r h p r S p h p r
dr
ψ
ψ
− +
− +
 = − 
 = + 
(14.10)
Levá strana (14.9) je tedy
( )( ) ( )2
1 .
2
l l
i
p S p p f p− = − (14.11)
V integrandu integrálu na pravé straně položíme ( ) ( ), 0l p lpr j prψ ≈ , takže máme
( ) ( ) ( )( )
2 2
0
2 .l lf p m V r j p r r dr
∞
= − ∫ (14.12)
Srovnáním se vztahem (14.2) vidíme nekonsistenci této aproximace. Ta se “ztratí” v přiblížení malých
fázových posuvů, kdy
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
2 2
0
2 .l
l l l
p
f p p m p V r j p r r dr
p
δ
δ
∞
≈ ⇒ ≈ − ∫ (14.13)
14.2 Kvasiklasická aproximace
Rovnice pro volnou částici a částici v potenciálovém poli (14.8) zapíšeme trochu odlišně, když
zaměníme značení, tj. ( ) ( ),l p lr rψ ψ→ a ( ) ( )l lr j pr rχ→ a píšeme místo ( )1l l + obecněji ( )2 2
lλ λ=
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 30 (
)
( )
2 2
2
2 2
0l
l
d r
p r
dr r
χ λ
χ
 
+ − = 
 
(14.14)
( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
2 0 .l
l
d r
p mV r r
dr r
ψ λ
ψ
 
+ − − = 
 
(14.15)
Asymptotický tvar sférické Besselovy funkce vede k asymptotice řešení (14.14)
( ) sin .
2
l
z
r p r l
π
χ
→∞
 
→ − 
 
(14.16)
Ve stacionárním jednorozměrném případě je kvasiklasickým řešením rovnice (14.15)
( ) ( )
1 22
2
2
exp , 2
2
a
l
r
A
r P dr P mV r p
rP
λ
ψ
   
= − = + −   
  
∫ (14.17)
v intervalu 0 r a≤ < , kde ( )2 2 2
2 0p mV r rλ− − < a
( ) ( )
1 22
21 2
2
exp exp , 2
r r
l
a a
B B
r i P dr i P dr P p mV r
rP P
λ
ψ
     
= + − = − −     
    
∫ ∫ (14.18)
v intervalu a r< <∞ , kde ( )2 2 2
2 0p mV r rλ− − > .
V okolí bodu obratu je
( ) ( )
2
2 2
2
2 .p mV r r a
r
λ
α− − ≈ − (14.19)
V tomto okolí (ale stále dostatečně daleko od bodů obratu) můžeme psát
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
3 2
1 4
3 2 3 21 2
1 4 1 4
2
exp ,
32
2 2
exp exp .
3 3
l l
A
r a r r
a r
B B
i r a i r a
r a r a
α
ψ ψ
α
α α
α α
 
= − − = 
 −
   
− + − −   
   − −
(14.20)
Při analytickém prodloužení odmocnin do komplexní rovinypoužijeme zápisu takového zápisu, abyv horní
polorovině převažoval (exponencielně) jeden člen, v dolní polorovině člen druhý. V našem případě je
vhodný zápis
( ){ }exp .a r iρ ϕ π− = − (14.21)
Obchodem bodů obratu v horní (spodní) polorovině, tj. pro ( )0,ϕ π∈ ( ( ),2ϕ π π∈ ) dostáváme podmínky
spojitosti
2 1exp , exp ,
2 4 2 4
A A
B i B i
π π   
= = −   
   
(14.22)
takže máme v klasicky dostupné oblasti kvasiklasické řešení rovnice (14.15)
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 31 (
)
( )
( ) ( ) ( )
1 22
2
1 2 2
cos , 2 .
4
r
l
a
C
r P r dr P r p mV r
rP r
π λ
ψ
   
= − = − −   
     
∫ (14.23)
Budeme-li tedy rovnici (14.14) řešit standardním postupem kvasiklasické aproximace, dostaneme výraz
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1 2
2
1 2 2
1
sin , , 0 .
4
r
l
a
l lC
r P r dr P r p P a
rP r
π
χ
  + 
= + = − =   
  
∫ (14.24)
Integrál můžeme spočítat analyticky, takže argument sinu je
( )
1 22
1 arcsin
4 2 4
1
.
2 2
r
r
a
P r dr p r
p r p r
p r
π λ λ π π
λ
π
λ
→∞
    
+ = − + − + →    
     
 
− − 
 
∫
(14.25)
Srovnáním (14.25) a (14.16) docházíme k tomu, že v kvasiklasické aproximaci musíme jako velikost
momentu impulzu vzít veličinu 1 2lλ = + . Fázový posuv už spočteme snadno když od skutečné fáze
odečteme fázi odpovídající volné částici
( ) ( )
( )
1 22
2
2
1 2 1
2 .
2 2
l
a
l
p p mV r p dr l
r
π
δ
∞
  +   
= − − − + +    
     
⌠


⌡
(14.26)
Pro velké hodnoty l je také velká hodnota a, takže můžeme interakční potenciál považovat za poruchu. Ze
(14.26) dostaneme
( )
( )
( )
0
01 22
2
2
1 2
, .
1 2
l
a
V r l
p m dr a
pl
p
r
δ
∞
+
= − =
 +
− 
  
⌠



⌡
(14.27)
14.3 Rozptyl při vysokých energiích
Pro sféricky symetrický potenciál můžeme (13.10) upravit na
( ) ( ){ } ( )
( ) ( ) ( )
0
0
1 22 2
exp 2 1 sin ,
sin , , .
2
x y
f p n p i p i J p d
m
n n V z d z
p
δ ρ θ ρ ρ ρ
θ δ ρ ρ
∞
∞
−∞
 ← = − − 
= + = −
∫
∫
(14.28)
Porovnejme to s výrazem (12.22)
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 32 (
) ( ) ( ){ } ( )
0
1
2 1 exp 2 1 cos .
2
l l
l
f pn p l i p P
i p
δ θ
∞
=
 ← = + − ∑ (14.29)
Pro malé úhly platí
( ) 0
1
cos sin ,
2
lP J lθ θ
  
≈ +  
  
(14.30)
takže
( ) ( ){ } 0
0
1 1 1
exp 2 1 sin ,
2 2
l
l
f p n p l i p J l
i p
δ θ
∞
=
     ← ≈ + − +         
∑ (14.31)
což po nahrazení ( )1 2l p ρ+ → a ( ) ( )1 1 2 1 2l l l p d ρ∆ = + + − + → vede skutečně k (14.28).
14.4 Rozptyl při nízkých energiích
Při nízkých energiích budeme při řešení rovnice (14.15) rozlišovat tři oblasti. Označíme jako a
poloměr oblasti, kde je interakce výrazná. V první oblasti můžeme zanedbat kinetickou energii částice, tj.
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
1
2 0 , 0 .l
l
d r l l
mV r r r a
dr r
ψ
ψ
+ 
− + ≈ ≤ ≤ 
 
(14.32)
V další oblasti můžeme zanedbat i potenciální energii
( ) ( )
( )
2
2 2
1 1
0 , .l
l
d r l l
r a r
dr r p
ψ
ψ
+
− ≈ ≤ ≤ (14.33)
Konečně ve vnější oblasti už poklesne efektivní potenciál natolik, že musíme uvažovat i kinetickou energii
( ) ( )
( )
2
2
2 2
1 1
0 , .l
l
d r l l
p r r
dr r p
ψ
ψ
+ 
+ − ≈ ≤ ≤ ∞ 
 
(14.34)
Řešením rovnice (14.33) je
( ) 1
1 2 .l l
l r c r c rψ + −
= + (14.35)
Řešením rovnice (14.34) je
( ) ( ) ( )1 2 .l l lr d r j p r d r n p rψ = + (14.36)
Asymptotický tvar (14.36) pro velké hodnoty argumentu je podle (9.19)
( )
( )
( ) ( )
1 22 2
1 2 2
1
sin , tan ,
2
l l l
d d d
r p r l p p
p d
π
ψ δ δ
+  
≈ − + = − 
 
(14.37)
zatímco pro malé hodnoty argumentu podle (9.20)
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 33 (
)
( )
( )1
1 2 1
2 1 !!
.
2 1 !!
l
l l
l l
lp
r d r d r
l p
ψ + −
+
−
≈ −
+
(14.38)
Porovnáním (14.38) a (14.35) získáme vyjádření koeficientů d pomocí koeficientů c, a dosazení do (14.37)
dává výraz pro fázový posuv
( ) ( )
( )( ) ( )
2 1
1
2
2
tan .
2 12 1 !!
l
l l
c p
p p
lc l
δ δ
+
≈ =
+−
(14.39)
Pro amplitudu rozptylu dostáváme
( )
( ){ } ( ) 2
exp 2 1
.
2
l l l
l
i p p
f p p
i p p
δ δ−
= ≈ ∼ (14.40)
Je proto většinou možné považovat rozptyl při malých energiích za s-rozptyl.
15 Nepružný rozptyl
15.1 Parciální vlny
Budeme se snažit o co největší podobnost s popisem při pružném rozptylu. Tak vlnovou funkci
napíšeme ve stejném tvaru, tj. jako (12.23)
( ) ( ) ( ) { } { }
0
2 1 cos 1 exp exp ,
2
l
l l
l
i
l P i p r S i p r
pr
ψ θ
∞
=
 = + − − −
 ∑ (15.1)
ale nebude již platit 1lS = . Amplituda rozptylu bude mít také stejný tvar
( ) ( )( ) ( )
0
1
2 1 1 cos .
2
l l
l
f l S P
i p
θ θ
∞
=
= + −∑ (15.2)
Rozdíl musíme brát v úvahu při výpočtu účinných průřezů. Máme
( ) ( ) ( ) ( )
0
, .l l l l
t t t e r
l
σ σ σ σ σ
∞
=
= = +∑ (15.3)
(Indexy total, elastic a reaction). Pro pružný rozptyl
( )
( )
2
2
2 1 1 ,l
e ll S
p
π
σ = + − (15.4)
pro nepružný rozptyl
( )
( )( )2
2
2 1 1l
r ll S
p
π
σ = + − (15.5)
a pro celkový účinný průřez
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 34 (
)
( )( )2
2
2 1 1 .l
t ll S
p
π
σ = + −ℜ (15.6)
Významnými hodnotami jsou 1lS = - žádný rozptyl, 1lS =− - maximální pružný rozptyl a 0lS = - úplná
absorpce. Celkový účinný průřez je tedy
( )( )2
0
2
2 1 1 .t l
l
l S
p
π
σ
∞
=
= + −ℜ∑ (15.7)
Dosazení 0θ = do imaginární části (15.2) a porovnání s (15.7) dává zobecnění optického teorému
( )0 .
4
t
p
f σ
π
ℑ = (15.8)
Pro parciální amplitudy
( )
( )
.
4 2 1
l
t
l
p
f p
l
σ
π
ℑ =
+
(15.9)
Při záměně rozbíhavé vlny za sbíhavou nebudeme moci využít komplexního sdružení, ale záměny p p→−
a 1l lS S→ . Je pak
( ) ( )
1
1
1
, ,
2 2
l l
l l
S S
f p f p
i p i p
−
−
= − =
−
(15.10)
odkud po vyloučení lS dostaneme vztah mezi ( )lf p a ( )lf p− , který lze upravit na tvar
( ) ( ) ( )
( )21 1 1
0 ,l
l l l
i p i p i p g p
f p f p f p
 
+ − − = ⇒ + =  − 
(15.11)
takže
( )
( )2
1
.l
l
f p
g p i p
=
−
(15.12)
15.2 Komplexní index lomu prostředí
Mějme prostředí, skládající z mnoho rozptylových center. Bude-li velikost amplitudy rozptylu malá
ve srovnání se střední vzdáleností částic ( )
1 3
d V N≈ , můžeme výslednou amplitudu rozptylu v prostředí
považovat za prostý součet jednotlivých amplitud. Dále si zavedeme efektivní potenciál, kterýbude takový,
že vyjádření amplitudy v Bornově aproximaci budeme dávat správnou hodnotu amplitudyrozptylu dopředu
(tzn efektivní potenciál bude komplexní). Podle (6.12) (budeme teď psát i Planckovu konstantu)
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 35 (
)
2
2
0, .eff
N
U f E
V m
π
= − (15.13)
Rovinnou vlnu procházející prostředím zapíšeme s komplexním vlnovým vektorem
{ } ( )
1 21
exp , 2 .effi k z k m E Uψ  = = −  (15.14)
Index lomu je pak
( )
1 2 1 22
2
1 1 0, .
effU N
n f E
E V m E
π   
= − = +   
  
(15.15)
Není-li index lomu příliš odlišný od jedničky, můžeme psát
( )2
2
0, .
2
tN N
n f E
V k V k
σπ
ℑ ≈ ℑ = (15.16)
16 Příklady
16.1 Rozptyl nukleonů
Při malých energiích můžeme psát pro amplitudu rozptylu protonu na neutronu (uvažujeme pouze srozptyl,
tj. 0l = )
( )2
2
0 0
1 1
.
1
2
f
g k i k r k i kκ
= ≈
− − + −
(16.1)
Amplituda má singularitu (v komplexní rovině impulsů k) pro
2
0 0
1
, .
2
k i rκ κ κ κ= = + (16.2)
Účinný průřez je pak
2
2
2 2
0 0
4
4 .
1
2
f
r k k
π
σ π
κ
= =
 
− + 
 
(16.3)
Malou úpravou dostaneme
( ) ( ) ( )
( )
2
0 0
2 2 2 2 2
0 0
4 4
1 ,
1
1
4
r
m E
k r r k
π π
σ κ
ε
κ κ κ
= ≈ +
+ 
+ − + +  
(16.4)
kde ( )p n p nm m m m m= + a ε− je energie vázaného stavu částic (deuteronu).
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 36 -
16.2 Rozptyl rychlých neutronů na jádře
Efektivní poloměr jádra označme a. Předpokládáme splnění podmínky kvasiklasické aproximace
2 1k a aπ λ= . Dále předpokládáme, že všechny neutrony s momentem impulsu 0l l k a< = , tj.
s impaktním parametrem l mv l k aρ = = < jsou absorbovány. Jako model můžeme pak vzít
Fraunhoferovu difrakci na nepropustném terčíku poloměru a. Pro diferenciální účinný průřez dostáváme
hned
( )2
12
2
.e
J k a
d a d
θ
σ π
π θ
= Ω (16.5)
Z obecného vztahu pro rozptyl je
( ) ( ) ( )
0
0
00
0 1
2 1 cos .
1 2
l
l l
l
l l
S f l P
l l i k
θ θ
=
 <
= ⇒ = +
>
∑ (16.6)
V sumě budou nejdůležitější úlohu hrát velké hodnoty l, takže ve známé aproximaci
( ) ( )
( )1
0
0
.
k a
J k ai
f J d i a
k
θ
θ ξ θ ξ ξ
θ
= =∫ (16.7)
Celkový účinný průřez pružného rozptylu je
( )2
12 2
2
0
2 .e
J k a
a d a
θ
σ π π θ θ π
π θ
∞
= =
⌠

⌡
(16.8)
16.3 Rozptyl rychlých elektronů na atomu
Označme hustotu rozložení náboje v atomu
( ) ( ) ( ) ,r en r Z e rρ δ= − (16.9)
kde e je náboj elektronu a ( )n r hustota pravděpodobnosti výskytu elektronu. Poissonovu rovnici
( ) ( )
0
1
r rρ
ε
∆Φ = − (16.10)
řešíme pomocí Fourierovy transformace, tj.
( )
( )
( ) { } ( ) ( ) { }3 3
3
1
exp , exp .
2
g r G q i q r d q G q g r i q r d r
π
= ⋅ = − ⋅∫ ∫ (16.11)
Z rovnic (16.10) a (16.9) máme
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 37 (
) ( )( ) ( ) ( ) { } 3
2
0
, exp .
e
q F q Z F q n r i q r d r
qε
Φ = − = − ⋅∫ (16.12)
Integrace vzhledem k úhlovým proměnným dává
( ) ( ) ( )
0
4
sin .F q n r q r r dr
q
π ∞
= ∫ (16.13)
Do vztahu (11.33) dosadíme ( ) ( )V q e q= Φ , takže máme
( ) ( )( )
2
2 2
02
me
f q Z F q
qπ ε
= − (16.14)
a konečně pro účinný průřez
( )( )
2
2
2
2 2
0
4 .
4
me
d Z F q d
q
σ
π ε
 
= − Ω 
 
(16.15)
Máme
( ) ( )
2 2
22
2
1
2 1 cos 2 sin .
2
p p
q p n p
θ
θ
   
= − = − =   
   
(16.16)
Je vidět, že pro velmi malé úhly rozptylu lze považovat q za malé (označíme-li a poloměr koule, kde je
( )n r významně různé od nuly, znamená “malé q” podmínku 2q a π ) a máme přibližně
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
2 3 3
2
23 3 2 3
2 2 3
1
1 , ,
2
0 , ,
3
1
.
6
F q n r i q r q r d r n r d r Z
q
n r q r d r n r q r d r n r r d r
Z F q q n r r d r
 
− ⋅ − ⋅ =  
⋅ = ⋅ =
−
⌠

⌡
∫
∫ ∫ ∫
∫
(16.17)
Dosazením do (16.15) dostáváme pro rozptyl pod malými úhly
( )
2
2
4
2
0 0
.
3
me
d n r r dr dσ
ε
∞
 
= Ω 
 
∫ (16.18)
Účinný průřez je pro velmi malé rozptylové úhly konstantní. Naopak pro 2q a π můžeme ( )F q oproti Z
zanedbat a dostáváme
2
2
2
40
,
8 sin
2
Z e d
d
mv
σ
θπ ε
  Ω
=  
 
(16.19)
tedy klasický Rutherfordův vztah.
Dosadíme-li do (16.13) Thomasovu – Fermiho hustotu pravděpodobnosti
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 38 (
)
2
1 3
3
,
Z r
n r Z
b b
ρ
 
=  
 
(16.20)
dostaneme
( ) ( )
2
1 3
3 1 3
0
4
sin .
Z r qb
F q Z q r r dr Z
qb b Z
π
ρ φ
∞
   
= =   
   
⌠

⌡
(16.21)
Derivováním (16.16) dostáváme vyjádření elementu prostorového úhlu jako
2
.d qdqd
p
ϕ
 
Ω =  
 
(16.22)
Diferenciální účinný průřez (16.15) bude po dosazení ze (16.21) a (16.22)
2 22
1 3 3
0
2
2
4 3
1 3 1 3
0
1
2
.
2
me Z qb dq
d d
p Z q
me b qb qb
Z d d
p Z Z
σ φ ϕ
π ε
ϕ
π ε
    
= − =    
   
     
Φ     
    
(16.23)
Integrací (16.23) dostáváme velmi obecný výraz pro účinný průřez rozptylu rychlého elektronu na atomu
4 3
.
Z
E
σ ∼ (16.24)
17 Rozptyl identických částic
Zvolíme těžišťový souřadný systém. Výměna částic znamená změnu orientace vektoru spojujícího
částice. Ve sférických souřadnicích to znamená záměnu azimutálního úhlu θ π θ→ − . Máme tedy pro
vlnovou funkci
{ } { }
{ }
( ) ( )
exp
exp exp .
i k r
i k z i k z f f
r
ψ θ π θ= ± − + ± −   (17.1)
Je-li celkový spin částic sudý, je účinný průřez
( ) ( )
2
,sd f f dσ θ π θ= + − Ω (17.2)
zatímco pro celkový spin lichý je
( ) ( )
2
.ad f f dσ θ π θ= − − Ω (17.3)
V experimentech se jen málo využívá polarizovaných svazků. Je tedy vhodné mít střední hodnoty.
Z celkového počtu ( )
2
2 1s + stavů je pro částice s poločíselným spinem ( )2 1s s + stavů se sudým spinem a
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 39 (
)( )1 2 1s s+ + stavů s lichým spinem. Máme tedy pro částice s poločíselným spinem
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 **
1
2 1 2 1
1
.
2 1
s a
s s
d d d
s s
f f f f f f d
s
σ σ σ
θ π θ θ π θ θ π θ
+
= + =
+ +
 
+ − − − + − Ω + 
(17.4)
Pro částice s celočíselným spinem je naopak ( )2 1s s + stavů s lichým spinem a ( )( )1 2 1s s+ + stavů
se sudým spinem. Máme tedy
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 **
1
2 1 2 1
1
.
2 1
s a
s s
d d d
s s
f f f f f f d
s
σ σ σ
θ π θ θ π θ θ π θ
+
= + =
+ +
 
+ − + − + − Ω + 
(17.5)
18 Excitace atomu při srážce s částicí
Předpokládejme, že můžeme využít Fermiho pravidla. Počáteční stav obsahuje atom hmotnosti M a
nábojem jádra Z e− v základním stavu a volnou částici hmotnosti m a nábojem z e s hybností p ; konečný
stav obsahuje atom v n-tém excitovaném stavu (n je multiindex) a opět volnou částici s hybností /
p .
Interakční potenciál je ˆV . Zákon zachování energie v soustavě, ve které se atom v počátečním stavu jako
celek nepohybuje, zapíšeme jako
( )
2// 2 2
0 0 .
2 2 2
n
p pp p
E E
m m M
−
− + + − = (18.1)
Velké zjednodušení přinese předpoklad, že bude možné pohyb atomu v konečném stavu zanedbat. Máme
pak pro pravděpodobnost přechodu za jednotku času
( )
/ 2 2 3 /2
/
0 3
2 ˆ, 0, .
2 2 2
n n
p p d p
d w n p V p E E
m m
π
δ
π
 
= − + − 
 
(18.2)
Integrací vzhledem k /
p (píšeme 3 / / 2 /
d p p d p d= Ω ) odstraníme delta funkci
( )2
20 /
2 4
2
ˆ, 0, .
4
n
n
m p m E E
d w n p V p d
π
− −
= Ω (18.3)
Přejdeme teď k souřadnicové representaci. Normování vlnové funkce částice v konečném stavu musí
odpovídat námi vybrané hustotě koncových stavů v (18.2), tj.
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 40 (
)/
1 2
1 2 exp .
2 p
p p i
p p r p rδ ψ
π
 −  
= ⇒ = ⋅  
  
(18.4)
Zvolíme-li normování dopadající vlny na jednotkový tok
( )
1 2
exp ,p
m i
r p r
p
ψ
   
= ⋅  
  
(18.5)
spočteme pak přímo účinný průřez. Interakční potenciál je
2
0
1
.
4 a a
z e Z
V
r r rπ ε
 
= − +  − 
∑ (18.6)
Dostáváme tak po dosazení do vztahu (18.3) výraz pro diferenciální účinný průřez při excitaci atomu
( )
{ }
22 22
0 3
2 2
0
2 1
exp 0 ,
4 4
n
n
a a
d
p m E Ez e m Z
n i q r d r d
p r r r
σ
π ε π
=
− −   
− + − ⋅ Ω    −   
⌠

⌡
∑
(18.7)
kde jsme označili ( )/
q p p= − . Fourierův obraz potenciálu vyjádříme pomocí vztahu
{ }
{ }
{ }
{ }3 3
2
exp exp 4
exp exp .a a
a
i q r i q r
d r i q r d r i q r
r r r q
π− ⋅ − ⋅
= − ⋅ = − ⋅
−
⌠ ⌠

⌡⌡
(18.8)
Další úprava spočívá ve vyjádření elementu prostorového úhlu za vztahu
( )2 2 / 2 /
2
/ /
2 2
1
2 cos
sin .
2
q p p p p
p p p p
q dq d d
θ
θ θ
π
= + − ⇒
= = Ω
(18.9)
Výraz pro diferenciální účinný průřez (18.7) přepíšeme tedy na
{ }
2 2
2
3
0
8 exp 0 .
4
n
a
a
d
z e dq
n Z i q r
v q
σ
π
π ε
=
   
− + − ⋅   
  
∑
(18.10)
Pro pružný rozptyl ( 0n= ) máme tedy známý vztah
( )
2
2
2
3
0
8 .
4
e
z e dq
d Z F q
v q
σ π
π ε
 
= −    
 
(18.11)
Zde jsme využili definice rozptylového faktoru
( ) ( ) { } ( ) { }
{ }
3 3
exp 0 0 exp
0 exp 0 .
a
a
a
a
F q n r i q r d r r r i q r d r
i q r
δ= − ⋅ = − − ⋅ =
− ⋅
⌠
⌡ ∑∫
∑
(18.12)
Michal Lenc: Teorie rozptylu - 41 Pro
nepružný rozptyl máme s uvážením ortogonality stavů (tj. 0 0 0n≠ = )
{ }
0
2 22
3
00
8 exp 0 .
4
r n
n
a
n a
d d
z e dq
n i q r
v q
σ σ
π
π ε
≠
≠
= =
 
− ⋅ 
 
∑
∑ ∑
(18.13)
Obecně platí
( ) ( )
( )
2 *
0 0 0 0 0 00
2 2 2 2
0 0 00 0000
0
.
n n n n n
n n n
n n
n n
f f f f f f f
f f f f f f
+ +
+
≠
= = = ⇒
= − = −
∑ ∑ ∑
∑ ∑
(18.14)
Aplikujeme-li teď obecný výsledek na matici v (18.13), máme s využitím (18.12)
{ }
( ){ } { }
( ) ( ){ }
2
0
2
2
exp 0
0 exp 0 0 exp 0
0 exp 0 .
a
n a
a b a
a b a
a b
a b
n i q r
i q r r i q r
Z F q i q r r
≠
≠
− ⋅ =
⋅ − − − ⋅
− + ⋅ −
∑ ∑
∑∑ ∑
∑
(18.15)
Dosazení do (18.13)
( ) ( ){ }
2
2
2
3
0
8 0 exp 0 .
4
r
a b
a b
d
z e dq
Z F q i q r r
v q
σ
π
π ε ≠
=
  
− + ⋅ −   
   
∑
(18.16)