Drsná matematika Martin Panák, Jan Slovák a „autorský kolektiv" evropský . 1 sociálni 1 I fond v ČR EVROPSKÁ UNIE £_I OPVzdilávánl l4 investice do rozvoje vzděláváni Projekt netradiční základní učebnice matematiky pro studenty přírodních věd, informatiky, ekonomie apod., přibližující podstatnou část matematiky v rozsahu čtyř semestrálních přednášek. Text by měl být dokončen a vydán v roce 2013. Práce na učebnici jsou podpořeny projektem Univerzitní výuka matematiky v měnícím se světě (CZ. 1.07/2.2.00/15.0203) Obsah Kapitola 1. Rozcvička 5 1. Čísla a funkce 5 2. Kombinatorické veličiny 11 3. Diferenční rovnice 15 4. Pravděpodobnost 19 5. Geometrie v rovině 28 6. Relace a zobrazení 42 Kapitola 2. Elementární lineárni algebra 71 1. Vektory a matice 71 2. Determinanty 83 3. Vektorové prostory a lineárni zobrazení 93 4. Vlastnosti lineárních zobrazení 111 Kapitola 3. Linární modely a maticový počet 131 1. Lineárni procesy 131 2. Diferenční rovnice 138 3. Iterované lineární procesy 146 4. Více maticového počtu 155 5. Rozklady matic a pseudoinverze 176 Kapitola 4. Analytická geometrie 199 1. Afinní a euklideovská geometrie 199 2. Geometrie kvadratických forem 221 3. Projektivní geometrie 229 Kapitola 5. Zřízení ZOO 239 1. Interpolace polynomy 239 2. Reálná čísla a limitní procesy 248 3. Derivace 267 4. Mocninné řady 278 Kapitola 6. Diferenciální a integrální počet 321 1. Derivování 321 2. Integrování 338 3. Nekonečné řady 357 Kapitola 7. Spojité modely 381 1. Fourierovy řady 381 2. Metrické prostory 394 3. Integrální operátory 401 iii Předmluva Příprava této učebnice byla motivována přednáškami pro informatické obory na Masarykově univerzitě, kde je celý program založen na precizním matematickém přístupu. Chtěli jsme proto rychle, ale zároveň pořádně, pokrýt zhruba tolik matematických metod, jako je obvyklé u větších kurzů v klasických technických oborech opřených o matematické metody. Zároveň jsme ale nechtěli rezignovat na úplný a matematicky korektní výklad. Chtěli jsme vedle sebe vyložit i obtížnější partie matematiky a spoustu elementárních i obtížnějších konkrétních příkladů, jak s uvedenými postupy ve skutečnosti pracovat. Nechtěli jsme přitom za čtenáře řešit, v jakém pořadí a kolik „teorie" či „praxe" pročítat. Z těchto podnětů vznikl dvousloupcový formát s oddělenými teoretickými úvahami a praktickými postupy, který kopíruje i skutečné rozdělení výkladu na přednáškách na „teoretické přednášky" a „demonstrovaná cvičení". Snažíme se tím vyjít vstříc jak čtenářům, kteří si napřed chtějí procvičit postupy při řešení úloh a teprve pak přemýšlet, proč a jak algoritmy fungují, tak těm druhým, kteří si napřed chtějí dělat jasno o tom proč a jak věci fungují a pak případně zkouší počítat příklady. Zároveň tím snad zbavujeme čtenáře stresu, že by měl přečíst úplně vše. Naopak, měl by mít radost z brouzdání textem a prožitku objevování vlastní cestičky. Text se přitom v obou svých částech snaží prezentovat standardní výklad matematiky s akcentem na smysl a obsah představovaných matematických metod. Řešené úlohy procvičují základní pojmy, ale zároveň se snažíme dávat co nej lepší příklady užití matematických modelů. Teoretický text je prezentován dosti kompaktním způsobem, mnoho prostoru je ponecháno pro dořešení podrobností čtenáři. Uváděné příklady se snaží pokrýt celou škálu složitosti, od banálních až po perličky ke skutečnému přemýšlení. Studenti navíc řešili a odevzdávali každý týden zadávané příklady. Čtenářům bychom rádi pomohli: • přesně formulovat definice základních pojmů a dokazovat jednoduchá matematická tvrzení, • vnímat obsah i přibližně formulovaných závislostí, vlastností a výhledů použití matematických nástrojů, • vstřebat návody na užívání matematických modelů a osvojit si jejich využití. K těmto ambiciózním cílům nelze dojít lehce a pro většinu lidí to znamená hledat si vlastní cestu s tápáním různými směry (s potřebným překonáváním odporu či nechutě). I proto je celý výklad strukturován tak, aby se pojmy a postupy vždy několikrát vracely s postupně rostoucí složitostí a šíří diskuse. Jsme si vědomi, že se tento postup může jevit jako chaotický. Domníváme se ale, že dává mnohem lepší šanci na pochopení u těch, kteří vytrvají. Vstup do matematiky je skoro pro každého obtížný — pokud už „víme", nechce se nám přemýšlet, pokud „nevíme", je to ještě horší. Jediný spolehlivý postup pro orientaci v matematice je hledat porozumnění v mnoha pokusech a to, pokud možno, při četbě v různých zdrojích. Určitě nepovažujeme tento text za dostatečný jediný zdroj pro každého. Doufáme, že může být dobrým začátkem a případně i dlouhodobým pomocníkem, zvláště pro ty, kdo se k jednotlivým částem budou znovu a znovu vracet. Pro ulehčení vícekolového přístupu ke čtení je text doprovázen emotivně laděnými ikonkami, které snad nejen oživí obvyklou strohou strukturu matematického textu, ale naznačí čtenáři, kde by složitější text měl být čten pozorněji, ale určitě ne přeskakován, případně kde by bylo možná lépe náročné pasáže přinejmenším napoprvé vůbec nečíst. 1 Volba jednotlivých ikonek samozřejmě odráží hlavně pocity autorů. Přesto by postupně mohly být dobrým vodítkem pro čtenáře. Sloupec zaměřený na výklad teorie (užší sloupec) a sloupec zaměřující se na příkadovou část jsou přitom značeny odlišnými sadami ikonek. Co se týče sloupce teorie používáme ikonky varující před pracností/složitostí/náročností, např. Další označují ne úplně pohodovou zdlouhavost práce a potřebu trpělivosti či nadhledu, jako jsou tyto A konečně máme také ikonky vyjadřující pohodu nebo radost ze hry, třeba následující Co se týče příkladového sloupce, tak používáme ikonky pro základní příklady, které by čtenář rozhodně měl být schopen zvládnout a pokračovat ve čtení až po jejich vyřešení, ikonky pro obtížnější příklady se zajímavým obratem, či praktickou aplikací, ikonka značí velmi obtížný příklad a konečně ikonka indikuje, že při řešení příkladu je vhodné použít výpočetní software. Snažili jsme se sloupce s příklady sepsat tak, aby byly čitelné prakticky víceméně samostatně. Bez ambicí pohrát si s hlubšími důvody, proč uváděné postupy fungují (nebo s prostým cílem „projít s písemkou"), by mělo skoro stačit probírat se jen příklady. Definice pojmů či popisy jejich vlastností používaných při řešení příkladů jsou v teoretickém sloupci zpravidla vyznačeny, aby o ně bylo možno snadno pohledem zavadit. Souvislost řešených příkladů s paralelně studovanou teorií je přitom spíše volná, snažili jsme ale ulehčit přeskakování „z teorie do praxe a zpět" co nejvíce. Obsahově je celá učebnice ovlivněna představou, že pro praktické využití jsou velmi podstatné metody tzv. diskrétní matematiky, zatímco tzv. spojité modely jsou matematicky dobře uchopitelná přiblížení veskrze diskrétního světa kolem nás. Počítat koneckonců stejně umíme vždy jen s konečně 2 mnoha racionálními čísly naráz. Bez spojité matematiky si lze ale těžko dobře představit koncepty jako konvergence procesu k limitnímu stavu nebo robustnost výpočtu. Bylo by bez ní také obtížné pracovat s odhady chyb při numerických procesech. Všechna témata a velmi podstatnou část textu jsme v létech 2005 - 2012 ověřovali při výuce studentů informatiky a později i matematiky na Masarykově univerzitě. Paralelně jsme přitom vytvořili také podklady pro praktické semináře matematického modelování a numerických metod. V nich se studenti věnují skutečnému využití výpočtových nástrojů a modelů. Závěrem stručně shrneme obsah celé učebnice. Samozřejmě předpokládáme, že si každý čtenář, případně přednášející, vybere témata a jejich pořadí. Pokusíme se proto zároveň vymezit bloky, se kterými lze takto nezávisle zacházet. Úvodní motivační kapitola se snaží ilustrovat několik přístupů k matematickému popisu problémů. Začínáme nejjednoduššími funkcemi (základní kombinatorické vzorce). Pak naznačujeme, jak pracovat se závislostmi zadanými pomocí okamžitých změn (jednoduché diferenční rovnice), užití kombinatoriky a množinové algebry diskutujeme prostřednictvím konečné klasické pravděpodobnosti. Předvádíme maticový počet pro jednoduché úlohy rovinné geometrie (práce s pojmem pozice a transformace) a závěrem vše trochu zformalizujeme {relace, uspořádní, ekvivalence). Nenechte se zde uvrhnout do chaotického zmatku rychlým střídáním témat — cílem je nashromáždit něco málo netriviálních námětů k přemýšlení a hledání jejich souvislostí i použití, ještě než zabředneme do úrovně problémů a teorií složitějších. Ke všem tématům této úvodní kapitoly se časem vrátíme. Další dvě kapitoly jsou věnovány základům počtu, který umožňuje práci s vícerozměrnými daty i grafikou. Jde o postupy tzv. lineární algebry, které jsou základem a konečným výpočetním nástrojem pro většinu matematických modelů. Nejprve probíráme jednoduché postupy pro práci s vektory a maticemi, třetí kapitola je pak věnována aplikacím maticového počtu v různých lineárních modelech (systémy lineárních rovnic, lineární procesy, lineární diferenční rovnice, Markovovy procesy, lineární regrese). Čtvrtá kapitola pak ilustruje použití maticového počtu v geometrických úlohách. Dozvíme se něco málo o afinní, euklidovské a projektivní geometrii. V tomto okamžiku přerušíme diskusi diskrétních modelů a přejdeme ke spojitým. Chceme co nejnázorněji ukázat, že základní ideje, jak s funkcemi pracovat, bývají jednoduché. Stručně řečeno, velmi jednoduché úvahy spojené s popisem okamžitých změn sledovaných veličin umožňují dělat závěry pro jejich celkové chování. Složitosti se pojí skoro výhradně se zvládnutím rozumně velké třídy funkcí, pro které mají naše postupy být použitelné. Začínáme proto kapitolou, kde diskutujeme jaké funkce potřebujeme pro nelineární modely. Po polynomech a splajnech postupně diskutujeme pojmy spojitosti, limity posloupností a funkcí a derivace funkcí, připomeneme všechny základní elementární funkce a závěrem se seznámíme s mocninnými řadami. Tím je připravena půda pro klasický diferenciální a integrální počet. Ten prezentujeme v kapitole šesté s důrazem na co nejpřímočařejší pochopení souvislostí limitních procesů, integračních procesů a aproximací. Sedmá kapitola se věnuje náznakům aplikací a snaží se co nejvíce připomínat analogie k postupům jednoduché lineární algebry. Místo lineárních zobrazení mezi konečně rozměrnými vektorovými prostory tak pracujeme s lineárními operacemi mezi vektorovými prostory funkcí, definovanými buď integrálními nebo diferenciálními operátory. Zatímco diskusi diferenciální rovnic necháváme na později, zde studujeme nejprve aproximace funkcí s pomocí vzdálenosti definované integrálem (tzv. Fourierovy řady). Pak se věnujeme souvislostem s některými integrálními operátory (např. konvoluce) a integrálními transformacemi (zejména Fourirerova transformace). Po cestě si neodpustíme ilustraci obecného principu, že spojité modely jsou zpravidla ideovým podkladem a zároveň dobrou aproximací pro modely diskrétní. Poslouží nám k tomu stručné nahlédnutí na problematiky tzv. waveletů a diskrétní Fourierovy transformace. V osmé kapitole pokračujeme v našem stručném nastínění analytických spojitých metod, tentokrát pro modely s mnoha proměnnými. Nejprve rozšime základní postupy a výsledky týkající se derivací nafunkce více proměnných, včetně funkcí zadaných implicitně a tzv. vázaných extrémů. Hned poté rozšíříme teorii integrování o tzv. násobné integrály. Poté se věnujeme stručně modelům opřeným o známou změnu našich objektů, tj. diferenciálním rovnicím a malinko naznačíme obdobné problémy variační. Závěrem této kapitoly se pak stručně věnujeme numerickým přiblížením a odhadům. 3 Devátá kapitola je věnována popisné statistice, matematické pravděpododobnosti a matematické statistice. Seznámíme se s pojmy pravděpodobnostní prostor, hustota pravděpodobnosti, normální rozdělení, střední hodnota, medián, kvantil, rozptyl, příklady diskrétních a spojitých rozdělení a budeme se náznakem věnovat statistickému zpracování dat, tj. výběrovým statistikým a jejich spolehlivosti. V další kapitole zamíříme zpět do světa diskrétních metod. Zabýváme se v ní základními pojmy a poznatky teorie grafů a jejich využitím v praktických problémech (např. prohledávání do šířky a hloubky, minimální pokrývající kostry, toky v sítích, hry popisované stromy). Závěrem se budeme zajímat o vytvořující funkce. Poslední kapitola se zabývá nejprve obecnými algebraickými strukturami s důrazem na elementární poznatky z teorie grup, okruhů polynomů. Zmíníme i něco málo aplikací v kódování. Dále se věnujeme úvodu do teorie čísel a vybrané aplikace, včetně šifrování informace. Pořádné poděkování všem zúčastněným, kteří nebudou přímo v autorském kolektivu, studentům apod. ??. ??. 2013, kolektiv autorů 4 KAPITOLA 1 Rozcvička „ hodnota, změna, poloha " — co to je a jak to uchopit? Cílem první kapitoly je uvést čtenáře do fascinujícího světa matematického myšlení. Vybíráme si k tomu co nej-konkrétnější příklady modelování reálných situací pomocí abstraktních objektů a souvislostí. Zároveň projdeme několik témat a postupů, ke kterým se postupně budeme vracet a v závěru kapitoly se budeme chvíli věnovat samotnému jazyku matematiky (se kterým budeme jinak zacházet spíše intuitivně). O co jednodušší jsou východiska a objekty, se kterými zde budeme pracovat, o to složitější je pochopit do důsledku jemnosti použitých nástrojů a postupů. Většinou je možné proniknout k podstatě věcí teprve v jejich souvislostech. Proto je také představujeme hned z několika pohledů zároveň. Přecházení od tématu k tématu se možná bude zdát jako zmatečné, ale to se jistě postupně spraví při našich návratech k jednotlivým úvahám a pojmům v pozdějších kapitolách. Název kapitoly lze chápat i jako nabádání k trpělivosti. I nejjednodušší úlohy a úvahy budou snadné jen pro ty, kteří už podobné řešili. K postupnému poznání a ovládnutí matematického myšlení vede jen pozvolná a spletitá cesta. Začneme s tím nejjednodušším: obyčejnými čísly. 1. Čísla a funkce Lidé odjakživa chtějí mít jasno „kolik" něčeho je, případně „za kolik" to je, „jak dlouho" něco trvá apod. Výsledkem takových úvah je většinou nějaké „číslo". Za číslo přitom W/f1^ považujeme něco, co umíme sčítat a násobit a splňuje to obvyklé zákonitosti, ať už všechny nebo jen některé. Například výsledek sčítání nezávisí na pořadí, v jakém čísla sčítáme, máme k dispozici číslo nula, které přičtením výsledek nezmění, číslo jedna, kterým můžeme násobit, aniž bychom změnili výsledek, apod. Nejjednodušším příkladem jsou tzv. čísla přirozerJá^iůi. deme je značit N = {0, 1, 2, 3, ...}. Všimněme si, že jsme mezi přirozená čísla vzali i nulu, jak je obvyklé zvláště v informatice. Počítat „jedna, dvě, tři, ..." se učí děti už ve školce. O něco později se setkáváme s čísly celými Z = {..., —2, — 1, 0, 1, 2, ...} a nakonec si zvykneme na A. Čísla a funkce S přirozenými, celými, racionálními a reálnými čísly již počítat umíme. Zamyslíme se, proč racionální čísla nestačí (byť v počítači s jinými doopravdy počítat neumíme) a připomeneme si tzv. čísla komplexní (protože ani s reálnými čísly si při výpočtech nevystačíme). 1.1. Najděte nějaké reálné číslo, které není racionální. Řešení. Jedna z mnoha možných odpovědí je *Jl. Již staří Řekové věděli, že předepíšeme-li plochu čtverce a2 = 2, pak nelze najít racionální a, které by předpisu vyhovovalo. Proč? Víme, že každé přirozené číslo n lze jednoznačným způsobem vyjádřit jako součin n = p^1 ■ pr^ ... prkk, až na pořadí v součinu, kde p\, ..., Pk jsou po dvou různá prvočísla. Pokud by tedy platilo (p/q)2 = 2 pro přirozená čísla p a q, pak tedy p2 = 2q2. Na levé straně máme v rozkladu na prvočísla 2r se sudým r (případně r = 0), na pravé straně ale bude vždy mocnina dvojky lichá. To je spor s naším tvrzením a tedy předpoklad nemůže platit a žádné racionální číslo nemůže mít za svoji druhou mocninu dvojku. □ 1.2. Najděte řešení rovnice x2 = b pro libovolné reálné číslo b. Řešení. Víme, že tato rovnice má vždy řešení x v oboru reálných čísel, pokud je b nezáporné. Jestliže je b = —1, pak ale zjevně takové reálné x existovat nemůže. Musíme proto najít větší obor čísel, ve kterém už řešení existovat bude. 5 A. ČÍSLA A FUNKCE 1. ČÍSLA A FUNKCE K reálným číslům nejprve přidáme nové číslo i, tzv. imaginární jednotku a zkusíme dodefinovat sčítání a násobení tak, abychom i nadále zajistili obvyklé chování čísel, jak jsou shrnuty v odstavci 1.:^ Jistě musíme umět nové číslo i násobit reálnými čísly a výsledky sčítat s jakýmikoliv reálnými čísly. Nutně proto musíme v novém číselném oboru komplexních čísel C pracovat s formálními výrazy z = a + i b. Aby byly splněny vlatnosti asociativity a distributivity, zavedeme sčítání tak, že se nezávisle sčítají reálné složky a imaginární složky. Stejně tak chceme násobení tak, jak by se násobily dvojčleny reálných čísel s jediným dodatečným pravidlem i2 = — 1, tj. (a + i b) + (c + i d) = {a + c) + i (b + d), (a + i b) ■ (c + i d) = (ac — bd) + i (bc + ad). □ Reálnému číslu a říkáme reálná složka komplexního čila z, reálnému číslu b pak imaginární složka, píšeme re(z) = a, im(z) = b. 1.3. Ověřte, že skutečně platí všechny vlastnosti (KG1-4), (01-4) a (P) skalárů z 1.1. Řešení. Nulou je číslo 0+/ 0, jedničkou číslo 1+i 0, které opět píšeme jako 0 a 1.Všechny vlastnosti se ověří přímočarým výpočtem. □ pl. 3 | 1.4. Komplexní číslo je dáno dvojicí reálných čísel, jde tedy o bod v reálné rovině M2. Ukažte, že vzdálenost komplexního čísla z = a + ib od počátku je dána výrazem zž, kdež komplexně sdružené číslo a —i b. Řešení. Součin zl = (a2 + b2) + i (-ab + ba) = a2 + b2 je vždy reálné číslo a dává nám skutečně kvadrát vzdálenosti čísla z od počátku 0. Platí tedy \z\2 = zž- □ 1.5. Interpretujte násobení imaginární jednotkou a vzetí komplexně sdruženého čísla jako geometrickou transformaci v rovině. Řešení. Imaginární jednotka i odpovídá bodu (0, 1) a všimněme si, že vynásobení jakéhokoliv čísla z = a + i b imaginární jednotkou dává výsledek i ■ (a + i b) = —b + i a což je v interpertaci v rovině otočení bodu z o pravý úhel v kladném smyslu, tj. proti směru hodinových ručiček. Přiřazení komplexně sdruženého čísla je symetrie podle osy reálných čísel: z = (a + i b) h-> (a — i b) = ž- □ desetinná čísla a víme, co znamená 1.19-násobek ceny díky 19% dani z přidané hodnoty. 1.1. Vlastnosti čísel. Abychom mohli s čísly pracovat opravdu, musíme se jejich definici a vlastnostem věnovat pořádněji. V matematice se těm základním tvrzením o vlastnostech objektů, jejichž platnost předpokládáme, aniž bychom se zabývali jejich dokazovaním, říká axiomy. Vhodná volba axiomů předurčuje jak dosah z nich vycházející teorie, tak její použitelnost v matematických modelech skutečnosti. Uveďme si teď základní vlastnosti operací sčítání a násobení pro naše počty s čísly, která píšeme jako písmena a, b, c, .... Obě tyto operace fungují tak, že vezmeme dvě čísla a, b a. aplikací sčítání nebo násobení dostaneme výsledné hodnoty a + b a a ■ b. _ j Vlastnosti skalárů Vlastnosti sčítání: (KG1) (a + b) + c = a + (b + c), pro všechna a, b, c (KG2) a + b = b + a, pro všechna a, b (KG3) existuje 0 taková, že pro všechna a platí a + 0 = a (KG4) pro všechna a existuje b takové, že a + b = 0 Vlastnostem (KG1) - (KG4) říkáme vlastnosti komutativní grupy. Jsou to po řadě asociativita, komutativita, existence neutrálního prvku (říkáme u sčítání také nulového prvku), existence inverzního prvku (říkáme u sčítání také opačného prvku k a a značíme ho —a). Vlastnosti násobení: (01) (a ■ b) ■ c = a ■ (b ■ c), pro všechny a, b, c (02) a ■ b = b ■ a, pro všechny a, b (03) existuje prvek 1 takový, že pro všechny a platí 1 • a = a (04) a ■ (b + c) = a ■ b + a ■ c, pro všechny a, b, c. Vlastnosti (01)-(04) se postupně nazývají asociativita, komutativita, existence jednotkového prvku a distributivita sčítání vůči násobení. Množiny s operacemi +, • a vlastnostmi (KG1)-(KG4), (01)-(04) se nazývají komutativní okruhy. Další vlastnosti násobení: (P) pro každé a ^ 0 existuje b takové, že a ■ b = 1. (01) je-li a ■ b = 0, potom buď a = 0 nebo b = 0. Vlastnost (P) se nazývá existence inverzního prvku vzhledem k násobení (tento prvek se pak značí a-1) a vlastnost (01) říká, že neexistují „dělitelé nuly". 6 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Vlastnosti těchto operací sčítání a násobení budeme soustavně využívat, aniž bychom museli přesně vědět, s jakými objekty skutečně pracujeme. Tak se dostaneme k obecným matematickým ná-strojům, je však vždy dobré mít představu o typických příkladech. Celá čísla Z jsou dobrým příkladem komutativní grupy, přirozená čísla nikoliv, protože nesplňují (KG4) (a případně neobsahují neutrální prvek, pokud někdo nulu do N nezahrnuje). Když komutativní okruh navíc splňuje i vlastnost (P), hovoříme o poli (často také o komutativním tělese). Poslední uvedená vlastnost (Ol) je automaticky splněna, pokud platí (P). Opačně to ovšem neplatí a tak říkáme, že vlastnost (Ol) je slabší než (P). Např. okruh celých čísel Z nesplňuje (P), ale splňuje (Ol). Hovoříme v takovém případě o oboru integrity. Všimněme si, že množina všech nenulových prvků v poli společně s operací násobení splňuje (Ol), (02), (03), (P), a je proto také komutativní grupa. Jen se místo sčítání mluví o násobení. Jako příklad můžeme vzít všechna nenulová reálná čísla. Prvky nějaké množiny s operacemi + a • splňujícími (ne nutně všechny) výše uvedené vlastnosti (tj. komutativní okruh, obor integrity, pole) budeme nazývat skaláry. Budeme pro ně vesměs užívat malá latinská písmena ze začátku nebo konce abecedy. Všechny vlastnosti (KG1)-(KG4), (01)-(04), (P), (01) z našich úvah je třeba brát jako axiomatickou definici příslušných matematických pojmů. Pro naše potřeby bude stačit si průběžně uvědomovat, že při dalších diskusích budeme důsledně používat pouze tyto vlastnosti skalárů a že i naše výsledky proto budou platné pro všechny objekty s těmito vlastnostmi. V tomto je pravá síla matematických teorií - nejsou platné jen pro konkrétní řešený příklad. Naopak, při rozumné výstavbě mají vždy univerzální použití. Budeme se snažit tento aspekt zdůrazňovat, přestože naše ambice mohou být v rámci daného rozsahu učebnice jen velice skromné. 1.2. Existence skalárů. K tomu, aby ale skutečně bylo možné budovat matematickou teorii, je třeba ověřit, že takové objekty mohou existovat. Pro pořádek si proto budeme postupně ukazovat, jak je možné zkonstruovat základní číselné obory. Pro konstrukci přirozených čísel začneme s předpokladem, že víme, co jsou to množiny. Prázdnou množinu si označíme 0 a definujeme (1.1) neboli O := 0, n + í:=nU{n} 1.6. Využijte k popisu komplexních čísel úhel průvodiče a vzdálenost od počátku (tzv. gonimetrický tvar). Řešení. Komplexní čísla tvaru z = coscp + i sin/l3- Z pravoúhlého trojúhelníka v obrázku pak snadno spočteme sin( n. 1.7. Tvrzení. Pro všechna přirozená čísla k a n platí w (1) = L-k) (2) g:í) = o+li) (3) ELo 0 = 2" Důkaz. První tvrzení je zjevné přímo z formule (1.3). Jestliže vyčíslíme pravou stranu z tvrzení (2), dostáváme + n k + 1 + ni k\(n - k)\ ' (k + l)!(n (k + l)n\ + (n- k)n\ 1)! (* + l)!(n (72 + 1)! k)\ (k + \)\(n-k)\ což je ale levá strana tohoto tvrzení. 12 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Tvrzení (3) dokážeme tzv. matematickou indukcí. Tento typ důkazu je vhodný právě pro tvrzení, která ^L?, říkají, že něco má platit pro všechna přirozená čísla n. Matematická indukce se skládá ze dvou kroků. V prvním se tvrzení dokáže pro n = 0 (popřípadě n = 1 nebo další hodnoty n). V druhém, tzv. indukčním, kroku předpokládáme, že tvrzení platí pro nějaké n (a všechny předešlé hodnoty), a za pomoci tohoto předpokladu dokážeme, že tvrzení platí i pro n + 1. Dohromady z toho pak vyvodíme, že tvrzení platí pro všechna přirozená n. Tvrzení (3) zjevně platí pro n = 0, protože Q = 1 = 2°. (Stejně tak je přímo vidět i pro n = 1.) Předpokládejme, že platí pro nějaké n a spočtěme příslušnou sumu pro n + 1 s využitím tvrzení (2) i (3). Dostaneme n + l e k=0 n + 1 n \ In k - 1 j + U n + l e k=0 n /x n + l , 2" +2" = 2"+1. Všimněme si, že vzorec (3) udává počet všech podmnožin rc-prvkové množiny, neboť (^) je počet všech jejích ^-prvkových podmnožin. Všimněme si také, že tvrzení (3) plyne přímo z (1.5) volbou a = b = 1. Tvrzení (4) dokážeme opět matematickou indukcí, podobně jako (3). Zjevně platí pro n = 0, čímž je hotov první krok. Indukční předoklad říká, že (4) platí pro nějaké n. Spočtěme nyní příslušnou sumu pro n + 1 s využitím tvrzení (2) a indukčního předpokladu. Dostaneme n + l e* k=0 n + 1 n + l n \ In k - lj + \k e* k=0 n , x n+l , x e: +e<: +e<: k=0 v 7 k=0 v 7 k=0 v 2" + n2n~l + n2n~l = (n + 1)2" Tím je proveden indukční krok, a tvrzení je dokázáno pro všechna přirozená n. □ Druhá vlastnost z našeho tvrzení umožňuje sestavit všechna kombinační čísla do tzv. Pascalova trojúhelníku, kde každé číslo obdržíme jako součet dvou bezprostředně nad ním ležících sousedů: n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 1 1 1 1 2 1 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 počet sudých čtyřciferných čísel složených ze sudé a liché cifry). Opět musíme odečíst čísla začínající nulou, těch je (23 — 1)4 + (22 — 1)5. Hledaný počet cifer tak je (24 - 2) + 5 • 5(23 - 1) - (23 - 1)4 - (22 - 1)5 = 272. □ 1.26. Na koncertě je 730 lidí. Mají někteří z nich stejné iniciály? (Neuvažujeme háčky ani čárky) Řešení. Písmen v abecedě (včetně CH) je 27. Počet všech možných iniciálu je tedy 272 = 729. Proto aspoň 2 lidé budou mít stejné iniciály. □ 1.27. Noví hráči se sejdou v jednom volejbalovém týmu (6 lidí). Kolikrát si při seznamování (každý s každým) podají ruce? Kolikrát si hráči podají ruce se soupeřem po odehrání zápasu? Řešení. Seznamuje se každá dvojice z šesti hráčů. Počet podání rukou je teda roven kombinaci C(2, 6) = (^) = 15. Po zápase si každý z šesti hráčů podá ruku šestkrát (s každým z šesti soupeřů). Počet je teda dohromady 62 = 36. □ 1.28. Jak se může rozesadit pět osob v pětimístném autě, když jen dva z nich mají řidičský průkaz? Jak se může rozesadit 20 cestujících a dva řidiči v 25-místném minibuse? Řešení. Na místě řidiče máme dvě možnosti a na zbylých místech už je pořadí libovolné, tzn. pro spolujezdce 4 možnosti, pro další místo 3, pak 2 a 1. Celkově 2.4! = 48 možností. Podobně v minibuse máme dvě možnosti na místě řidiče a druhý řidič plus cestující mohou na zbylých 24 místech sedět libovolně. Nejprve vybereme místa, která budou obsazená, tj. (^J) a na těchto místech může být 21! různých pořadí. Dohromady máme 2.(2 0 a n > 1 C(n,k) n+k-1 1 Důkaz. Důkaz je opřen o trik (jednoduchý, jakmile ho pochopíme). Uvedeme dva různé postupy. KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Představme si nejprve, že taháme postupně karty z balíku n různých karet a abychom mohli případně některou z nich vytáhnout vícekrát, přidáme si k balíku ještě k — 1 různých žolíků (alespoň jednou určitě chceme jednu z původních karet). Řekněme, že postupně vytáhneme r původních karet a s žolíků, tj. r + s = k. Zdá se, že bychom měli vymyslet postup, jak z těch s žolíků poznat, které karty nám zastupují. Ve skutečnosti nám ale stačí diskuse počtů možností takových voleb. K tomu můžeme použít matematickou indukci a předpokládat, že dokazovaná věta platí pro menší argumenty než jsou nuk. Skutečně, potřebujeme obsáhnout kombinace s-té třídy s opakováním z pouze r původních karet, což dává (r+k~r~1) = C71)' c°ž Je právě počet kombinací 5-tého stupně (bez opakování) ze všech žolíků. Tím je věta dokázána. Druhý přístup (bez matematické indukce): Na množině S = {ai, ..., a„}, ze které vybíráme kombinace, si zafixujeme uvedené pořadí prvků a pro naše volby prvků z 5 si připravíme n přihrádek, do kterých si již předem dáme v námi zvoleném pořadí po právě jednom prvku z S. Jednotlivé volby xt e S přidáváme do přihrádky, která již tento prvek obsahuje. Nyní si uvědomme, že pro rozpoznání původní kombinace nám stačí vědět, kolik je prvků v jednotlivých přihrádkách. Například, a I bbb I cc I d ******* vypovídá o volbě b, b, c z množiny S = {a, b, c, d}. V obecném případě výběru k prvků z n možných tedy máme řetězec n + k znaků a počet C(n, k) je roven počtu možných umístění přihrádek | mezi jednotlivé znaky. To odpovídá výběru n — 1 pozic z n + k — 1 možných. Protože je fn+k-l\ í n+k-í \ (n+k-ť k )~\n+k-l-k)~ \ n-1 je věta dokázána i podruhé. □ 3. Diferenční rovnice V předchozích odstavcích jsme viděli vzorce, které zadávaly hodnotu skalární funkce definované na přirozených číslech (faktoriál) nebo dvojicích čísel (binomická čísla) pomocí předcházejících hodnot. Zatímco v odstavci 1.5 jsou kombinační čísla definována přímo spočítatelným výrazem, lze rozumět vztahům v 1.8 také tak, že místo hodnoty naší funkce zadáváme její změnu při odpovídající změně nezávislé proměnné. Takto se skutečně velice často postupuje při matematické formulaci modelů, které popisují reálné sys-i-^-ľ//, témy v ekonomice, biologii apod. My si tu povšimneme jen několika jednoduchých případů a budeme se k této tématice postupně vracet. množin pak má n! prvků (místa pro věže vybíráme postupně od prvního řádku - tam máme n možností, ve druhém pak již pouze n — 1 možností - jeden sloupec je již obsazen, ...). Podle principu inkluze a exkluze je počet hledaných rozestavení: 2n" - n\. □ 1.34. Kolika způsoby mohla skončit tabulka první fotbalové ligy, víme-li o ní, že žádné dva z trojice týmů Zbrojovka Brno, Baník Ostrava a Sigma Olomouc spolu v tabulce „nesousedí"?(Ligu hraje 16 mužstev.) Řešení. První způsob. Hledaný počet spočítáme podle principu inkluze a exkluze tak, že od počtu všech možných tabulek odečteme počet tabulek, ve kterých sousedí některá dvojice z uvedených tří týmů a přičteme počet těch tabulek, ve kterých sousedí všechny tři týmy. Hledaný počet tedy je '3N 16! 2! • 15! + 3! • 14! = 13599813427200. Jiné řešení. Zmíněné tři týmy budeme považovat za „oddělovače". Zbylých třináct týmů musíme rozdělit tak, aby mezi libovolnými dvěma oddělovači byl alespoň jeden tým. Navíc zbylé týmy můžeme mezi sebou nezávisle permutovat a rovněžtak oddělovače. Celkem tedy dostáváme '14^ • 13! • 3! = 13599813427200 možnosti. □ 1.35. Pro libovolné pevné n e N určete počet všech řešení rovnice x\ + x2 H-----h xk = n v množině a) nezáporných b) kladných celých čísel. Řešení, a) Každé řešení {r\, ..., rk), ri = n můžeme jednoznačně zašifrovat jako posloupnost jedniček a nul, ve které napíšeme nejprve r\ jedniček, pak nulu, pak r2 jedniček, nulu a tak dále. Posloupnost bude celkem obsahovat n jedniček a k — 1 nul. Každá taková posloupnost navíc zřejmě určuje nějaké řešení dané rovnice. Je tedy řešení tolik, kolik je posloupností, tedy b) Hledáme-li řešení v oboru kladných celých čísel, tak si všimněme, že přirozená čísla x\, .. .xk jsou řešením dané rovnice, právě 15 C. DIFERENČNÍ ROVNICE 3. DIFERENČNÍ ROVNICE 1, z = rešŕriírríľ □ když jsou celá nezáporná čísla y; = ji rovnice yi + yi H-----\-yk=n-k. Těch je podle první části řešení ("kZ\)- C. Diferenční rovnice Diferenční rovnice (jinak řečeno též rekurentní vztahy) jsou vztahy mezi členy nějaké posloupnosti, přičemž následující člen je dán pomocí členů předchozích. Vyřešit diferenční rovnici pak znamená najít explicitní vzorec pro n-tý (libovolný) člen dané posloupnosti. Rekurentní vztah nám totiž po zadání několika prvních členů posloupnosti zadává n-tý člen přímo pouze pomocí postupného vyčíslení všech předchozích členů. Pokud je následující člen posloupnosti určen pouze předchozím členem, hovoříme o diferenčních rovnicích prvního řádu. S nimi se můžeme v životě opravdu setkat, například, pokud si chceme zjistit dobu splácení nějaké půjčky při pevné měsíční splátce, nebo na el. 4 opak chceme zjistit výši měsíční splátky, zadáme-li si dobu, za kterou chceme půjčku splatit. 1.36. Mirek si chce koupit nové auto. Auto stojí 300 000 Kč. Mirek by chtěl auto koupit na měsíční splátky. Prodávající společnost mu nabízí půjčku na koupi auta s ročním úrokem 6%. Mirek bych chtěl auto splatit za tři roky. Jak vysoká bude měsíční splátka? Řešení. Označme Mirkovu měsíční splátku S. Po prvním měsíci splatí Mirek S korun, z nichž část půjde na vlastní splátku, část na splacení úroku. Částku, kterou bude Mirek dlužit po uplynutí k měsíců označme dk. Po prvním měsíci bude Mirek dlužit di = 300000 Obecně po uplynutí /c-tého měsíce (1.1) dk = 4_! 0, 06 S + -^r- ■ 300000. 12 0,06 el. 5 Podle vztahu (1.9) je dk dáno následovně 1 + 0, 06 12 300000 1 + 0,06 12 1 125 0706 Splacení po třech letech se rovná podmínce d36 = 0, odkud dostáváme (1.2) 300000 0,06 12 (l + ^f )"36 9127. 1.9. Lineární diferenční rovnice prvního řádu. Obecnou diferenční rovnicí prvního řádu rozumíme výraz f(n + 1) = F(n, /(«)), kde F je známá skalární funkce závislá na dvojicích přirozených čísel. Známe-li „počáteční" hodnotu /(0), můžeme spočítat /(l) = F(0, /(0)), poté f (2) = F(l, /(l)) atd. Tímto postupným způsobem můžeme tedy nakonec spočítat hodnotu f (jí) pro libovolné n e N. Všimněme si, že tato úvaha je podobná konstrukci přirozených čísel z prázdné množiny nebo principu matematické indukce. Jako příklad může sloužit definiční formule pro faktoriál, tj- (n + 1)! = (n + 1) -n\ Vidíme, že skutečně vztah pro f(n + \) závisí na n i na hodnotě f(n). Dalším obzvlášť jednoduchým příkladem je f(n) = C pro nějaký pevný skalár C a všechna n a tzv. lineární difere- nční rovnice (1.6) f in + 1) f(n)+b, kde a ^ 0, a b jsou známé skaláry. Takovou diferenční rovnici umíme snadno řešit, je-li b = 0. Pak se totiž jedná o dobře známou rekurentní definici geometrické posloupnosti a platí /(l) = a/(0), f(2)=af(\) = a2f(0) atd. Máme tedy pro všechna n f(n)=anf(0). To je např. vztah pro tzv. Malthusiánský model populačního růstu, který vychází z představy, že za zvolený časový interval vzroste populace s konstantní úměrou a vůči předchozímu stavu. Dokážeme si obecný výsledek pro rovnice prvního řádu, které se podobají lineárním, ale připouští proměnné koeficienty a a b, (1.7) f(n + í) = a„- f(n) + b„. Nejdříve se ale zamysleme, co mohou takové rovnice popisovat. Lineární diferenční rovnici (1.6) můžeme pěkně interpretovat jako matematický model pro spoření nebo splácení úvěru s pevnou úrokovou mírou a a pevnou splátkou b (tyto dva případy se liší pouze znaménkem u parametru b). S proměnnými parametry dostáváme obdobný model, ovšem s proměnlivými jak úroky, tak splátkami. □ Můžeme si představit třeba n jako počet měsíců, an bude vyjadřovat úrokovou míru v měsíci n, bn příslušnou splátku v měsíci n. 16 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Neděste se zdánlivě složitého sčítání a násobení v následujícím výsledku. Jde o typický příklad technického matematického tvrzení, kdy těžké je „uhodnout", jak zní. Naopak důkaz je už pak jen docela snadné cvičení na základní vlastnosti skalárů a matematickou indukci. Skutečně zajímavé jsou teprve důsledky, viz 1.11 níže. Ve formulaci používáme vedle obvyklých znaků pro součet také obdobné znaky pro součin rj. V dalším budeme vždy používat také konvenci, že pokud u součtu je množina uvedených indexů prázdná, pak je součet nula, zatímco u součinu je ve stejném případě výsledek jedna. 1.10. Tvrzení. Obecné řešení diferenční rovnice (1.7) prvního řádu s počáteční podmínkou /(O) = y o je dáno vztahem /n-l n—2 / n — l (1.8) f(n) \i=0 / j=0 \i=j+l Důkaz. Tvrzení dokážeme matematickou indukcí. Zjevně tvrzení platí pro n = 1, kdy se jedná právě o definiční vztah /(l) = a0y0 +b0. Předpokládáme-li, že tvrzení platí pro nějaké pevně zvolené n, můžeme snadno spočíst: f(n + 1) n-l n-l n-l Y\ai)yo+^i \ n ai\ bj+bn~i i=0 I j=0 \i=j+l n-l = FhU + E n ai\bJ + bn, v=0 / j=0 \i=j+l jak se přímo vidí roznásobením výrazů. □ Opět si všimněme, že jsme pro důkaz nepotřebovali o použitých skalárech nic víc než vlastnosti komutativního okruhu. Iprimkydelirovinu 1.11. Důsledek. Obecné řešení lineární diferenční rovnice (1.6) s a ^ 1 a počáteční podmínkou f(0) = y$je 1 - a" (1.9) f(n) = a"y0 + 1 Důkaz. Dosazením konstantních hodnot za at a bt do obecného vzorce (1.8) dostáváme f(n)=any{) + b(l+Yjan-j-l\ Pro vyčíslení součtu součinů v druhém sčítanci si je třeba všimnout, že se jedná o výrazy (1 + a + • • • + a"~l)b. Součet této geometrické řady spočteme ze vztahu 1 — a" = (1 — a)(\ +« + •••+ a"~l) a dostaneme právě požadovaný výsledek. □ Všimněme si, že rekurentní vztah (1.1) můžeme použít na náš příklad pouze tak dlouho, dokud budou všechna y(n) kladná, tj. dokud bude Mirek skutečně něco dlužit. 1.37. Uvažujme situaci z předchozího příkladu. Jak dlouho by Mirek auto splácel, kdyby chtěl měsíčně splácet 5000 Kč? Řešení. Při označení q = 1, 005, c = 300000 nám podmínka dk = 0 dává vztah 2005 2005 - c jehož logaritmováním obdržíme , ln2005-ln(2005-c) k = -, ln q což pro 5 = 5000 dává přibližně k = 71, 5, tedy splácení půjčky by trvalo šest let (poslední splátka by nebyla plných 5 000 Kč). □ 1.38. Určete posloupnost {yn }™=1, která vyhovuje následujícímu rekurentnímu vztahu V„+i = — + 1, n > 1, vi = 1. Lineární rekurentní vtahy se mohou vyskytnout například v geometrických problémech: 1.39. Na kolik nejvýše oblastí může dělit rovinu n přímek? Řešení. Označme hledaný počet oblastí pn. Pokud v rovině nemáme dánu žádnou přímku, je celá rovina jedinou oblastí, je tedy p0 = 1. Pokud je v rovině dáno n přímek, tak přidáním n + 1 přibude nejvýše (n + 1) oblastí: oblastí přibude právě tolik, kolika (původními) oblastmi bude přímka procházet (každou takovou oblast rozdělí na dvě části, jedna oblast tedy přibude). Přidaná přímka může mít nejvýše n různých průsečíků s n přímkami, které už v rovnině byly. Část přímky mezi libovolnými dvěma sousedními průsečíky prochází právě jednou oblastí, celkem může přidaná přímka procházet nejvýše n+1 oblastmi, tedy může přibýt maximálně n + 1 oblastí, navíc v rovině bylo před přidáním (n + l)-ní přímky nejvýše pn oblastí (tak jsme číslo pn totiž definovali). 17 C. DIFERENČNÍ ROVNICE 3. DIFERENČNÍ ROVNICE Celkem dostávame rekurentní vztah pn+1 = pn+(n + 1), 1.11 ze kterého získáme explicitní formuli pro pn buď pomocí vzorce 1.10 nebo přímo: po + 1 i = l Pn = Pn-1 + n = Pn-2 + (n - \) + U = = pn-3 + (n - 2) + (n - 1) + n = ■ ■ n(n + 1) n2 + n + 2 = 1 + —-- = - 2 2 □ Rekurentní vztahy mohou mít i složitější podobu než je rekurze prvního řádu. Uveďme si příklady kombinatorických úloh, při jejichž řešení se můžeme rekurze s výhodou využít. 1.40. Kolik existuje slov délky 12 složených pouze z písmen A a B, které neobsahují skupinu BBB7 Řešení. Nechť an značí počet slov délky n složených pouze z písmen A, B, neobsahujících skupinu BBB. Pak pro a„ (n > 3) platí rekurentní vztah dn — dn — \ -\- Cln—2 ~\~ dn—3> neboť slova délky n splňující danou podmínku musí končit buď na A, nebo na AB, nebo na ABB. Slov končících na A je právě a„_i (před posledním A může být libovolné slovo délky n — 1 splňující danou podmínku. Obdobně pro zbylé dvě skupiny. Dále snadno vyčíslíme d\ = 2, a2 = 4, a3 = 7. Postupným dopočítáním Všimněme si, že pro výpočet součtu geometrické řady jsme potřebovali existenci inverze pro nenulové skaláry. To bychom nad celými čísly neuměli. Poslední výsledek tedy platí pro pole skalárů a můžeme jej bez problému použít pro lineární diferenční rovnice, kde koeficienty a, b a počáteční podmínka /(O) = y0 jsou racionální, reálné nebo komplexní, ale také nad okruhem zbytkových tříd 1,k s prvočíselným k (zbytkové třídy budeme definovat v odstavci 1.41). Pozoruhodné je, že ve skutečnosti vzorec (1.9) platí i s celočíselnými koeficienty a počáteční podmínkou. Pak totiž předem víme, že všechny f (ji) budou také celočíselné, a celá čísla jsou podmnožinou v číslech racionálních. Musí proto nutně náš vzorec dávat ta správná celočíselná řešení. Při pozornějším pohledu na důkaz je zřejmé, že 1 -vždy dělitelné 1 — a, takže nás poslední pozorování nemělo snadbudouv tady to asi není šikovné — příklady J e na zbytkové třídy překvapit, třeba a = lem nuly. 1.12. druhém sloupci už Nicméně je vidět, že třeba nad skaláry ze Z4 a dříve, nejlépe by o „ ~. . „ , ,-, . byloiztohoto 3 uz neuspějeme, protože pak 1 — a = 2 je dehte- uděiat příklad a odtud to přesunout (nebo úplně vypustit) Nelineární příklad. Vraťme se na chvíli k rovnici prv-A nŕho řádu (1.6), kterou jsme použili na velice primitivní model populačního růstu závisející přímo úměrně na okamžité velikosti populace p. Na první pohled je zřejmé, že takový model vede při úměře a > 1 k příliš rychlému a hlavně neomezenému růstu. Realističtější model bude mít takto úměrnou změnu populace Ap(n) = p(n + 1) — p(n) jen při malých hodnotách p, tj. Ap/p ~ r > 0. Pokud tedy budeme chtít nechat růst populaci o 5% za období při malém p, budeme r volit 0, 05. Při určité limitní hodnotě p = K > 0 ale naopak už populace neroste a při ještě větších už klesá (třeba protože zdroje pro její obživu jsou omezené, jedinci ve veliké populaci si navzájem překáží apod.). Předpokládejme, že právě hodnoty yn = Ap(n)/p(n) se v závislosti na p (n) mění lineárně. Graficky si tedy tuto závislost můžeme představit jako přímku v rovině proměnných p a y, která prochází body [0, r] (tj. při p = 0 máme y = r) a [K, 0] (což dává druhou podmínku, že při p = K se populace nemění). Položíme proto y — p + r. Dosazením yn za y a p(n) za p dostáváme p(n + 1) - p in) P in) K P in) + r, an = 1705. el. 7a tj. roznásobením dostáváme diferenční rovnici prvního řádu (kde hodnota p(n) vystupuje v první i v druhé mocnině) (1.10) p(n + l)=p(n)(\-^p(n)+r). K 18 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Zkuste si promyslet nebo vyzkoušet chovaní tohoto modelu pro různé hodnoty r a K. Na obrázku je průběh hodnot pro parametry r = 0, 05 (tj. pětiprocentní nárůst v ideálním stavu), K = 100 (tj. zdroje limitují hodnotu na 100 jedinců) a p(0) jsou dva jedinci. Iv 6° So po 156 2ce Všimněme si, že počáteční přibližně exponenciální růst se skutečně později zlomí a hodnota se postupně blíží kýženému limitu 100 jedinců. Pro p blízké jedné a K daleko větší než r bude pravá strana rovnice (1.10) přibližně p(n)(\ +r), tzn. chování je obdobné Malthusiánskému modelu. Naopak při p přibližně K bude pravá strana přibližně p(n). Pro větší počáteční hodnoty p než K budou hodnoty klesat, pro menší než K růst, takže systém bude zpravidla postupně oscilovat kolem hodnoty K. 4. Pravděpodobnost Teď se podíváme na jiný obvyklý případ skalárních tt> _ hodnot funkcí - sledované hodnoty často nejsou známy ani explicitně vzorcem, ani implicitně nějakým popisem. Jsou Wz" ' výsledkem nějaké nahodilosti a my se snažíme popsat s jakou pravděpodobností nastane ta či ona možnost. 1.13. Co je pravděpodobnost? Jako jednoduchý příklad může sloužit obvyklé házení kostkou se šesti stěnami s označeními 1, 2, 3, 4, 5, 6. Pokud popisujeme matematický model takového házení „poctivou" kostkou, budeme očekávat a tudíž i předepisovat, že každá ze stran padá stejně často. Slovy to vyjadřujeme „každá předem vybraná stěna padne s pravděpodobností i". Pokud ale si třeba sami nožíkem vyrobíme takovou kostku z kusu dřeva, je jisté, že skutečné relativní četnosti výsledků nebudou stejné. Pak můžeme z velikého počtu pokusů usoudit na relativní četnosti jednotlivých výsledků hodů a tyto ustanovit jako pravděpodobnosti v našem matematickém popisu. Nicméně při sebevětším počtu pokusů nemůžeme vyloučit možnost, že se náhodou povedla velice nepravděpodobná kombinace výsledků a že jsme proto náš matematický model skutečnosti pro naši kostku nevybrali dobře. Též bychom mohli odvodit explicitní vzorec pro n-tý člen takto zadané posloupnosti, dle uvedené teorie. Charakteristický polynom dané rekurentní rovnice je x3 —x2 — x — 1 s jedním reálným a dalšími dvěma komplexními kořeny, které můžeme vyjádřit pomocí vztahů (1.15). □ 1.41. Skóre basketbalového utkání mezi týmy Česka a Ruska vyznělo po první čtvtině 12:9 pro ruský tým. Kolika způsoby se mohlo vyvíjet skóre? K výpočtu můžete použít výpočetní techniky. Řešení. Označíme-li P(k,i) počet způsobů, kterými se mohlo vyvíjet skóre basketbalového utkání, které skončilo k : l, tak pro k,l > 3 platí rekurentní vztah: P(k,l) = P(k-3,l) + P(k-2,l) + P(k-l,l) + P(k,l-l) + P(k,l-2) + P(k,l-3)- (Způsoby, kterými se mohlo vyvíjet utkání s výsledným skóre k : l rozdělíme na šest po dvou disjunktních podmnožin podle toho, které družstvo vstřelilo koš a za kolik bodů (1, 2, či 3).) Ze symetrie úlohy zřejmě platí P(k,i) = P(i,k)- Dále pro k > 3 platí: P(k,2) = P(k-3,2) + P(k-2,2) + P(k-l,2) + P(k,l) + P(k,0), P(k,l) = P(k-3,1) + P(k-2,1) + P(k-l,l) + P(k,0), P(k,0) = P(k-3,0) + P(k-2,0) + P(k-1,0), což spolu s počátečními podmínkami P(o,o) = L P(i,o) = L ^(2,0) = 2, ^(3,0) = 4, P(l,l) = 2, P(2,l) = P(l,l) + P(0,l) + ^(2,0) = 5, P(2,2) = ^(0,2) + ^(1,2) + P(2,i) + P(2,o) = 14, dává (12,9) 497178513. □ Poznámka. Vidíme, že rekurentní vztah v tomto příkladu má složitější formu, než kterou jsme se zabývali v teorii a tudíž neumíme vyčíslit libovolné číslo P(k,i) explicitně, nýbrž pouze postupným výpočtem od počátečních členů. Takové rovnice nazýváme parciální diferenční rovnice, protože členy posloupnosti jsou značeny dvěma nezávislými proměnnými (k,l). O lineárních rekurentních formulích (diferenčních rovnicích) vyšších řádů s konstantími koeficienty si povíme více v kapitole 3. D. Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost Uveďme si několik jednoduchých příkladů na klasickou pravděpodobnost, kdy zkoumáme nějaký pokus, který má konečně mnoho 19 D. PRAVDĚPODOBNOST 4. PRAVDĚPODOBNOST možných výsledků („všechny případy") a nás zajímá, kdy výsledek pokusu bude náležet nějaké podmnožině možných výsledků („příznivé případy"). Hledaná pravděpodobnost je pak rovna poměru počtu příznivých případů ku počtu všech případů. Klasickou pravděpodobnost můžeme použít tam, kde předpokládáme (víme), že každý z možných výsledků má stejnou pravděpodobnost toho, že nastane (například při hodech kostkou). 1.42. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu šestibokou kostkou padne číslo větší než 4? Řešení. Všech možných výsledků je šest (tvoří množinu {1,2,3,4,5,6}), příznivé možnosti jsou dvě ({5,6}). Hledaná pravděpodobnost je tedy 2/6 = 1/3. □ 1.43. Ze skupiny osmi mužů a čtyř žen náhodně vybereme skupinu pěti lidí. Jaká je pravděpodobnost, že v ní budou alespoň tři ženy? Řešení. Pravděpodobnost spočítáme jako podíl počtu příznivých případů ku počtu všech případů. Příznivé případy rozdělíme podle toho, kolik je v náhodně vybrané skupině mužů: mohou v ní být buď dva, nebo jeden muž. Skupinek o pěti lidech s jedním mužem je osm (záleží pouze na výběru muže, ženy v ní musí být všechny), skupinek se dvěma muži je potom c(8, 2) • c(4, 3) = (!|) • (3) (vybereme dva muže z osmi a nezávisle na tom tři ženy ze čtyř, tyto dva výběry můžeme nezávisle kombinovat a podle pravidla součinu dostáváme uvedený počet skupin). Všech možných skupin o pěti lidech pak můžeme sestavit c(12, 5) = (j2). Hledaná pravděpodobnost je tedy 8 + g)© (5) □ Uveďme si příklad, při jehož řešení není vhodné používat klasické pravděpodobnosti: 1.13 1.44. Jaká je pravděpodobnost toho, že čtenář této úlohy vyhraje příští týden alespoň milión dolarů v loterii? Řešení. Takováto formulace úlohy je neúplná, neposkytuje dostatek údajů. Předveďme „chybné" řešení Základní prostor všech možný jevů je dvouprvkový: buď vyhraje nebo nevyhraje. Příznivý jev je jeden (vyhraje), hledaná pravděpodobnost je tedy 1 /2 (a to je zjevně špatná odpověď). □ Poznámka. V předchozím příkladě je porušena základní podmínka použití klasické pravděpodobnosti, totiž to, že každý z elementárních jevů má stejnou pravděpodobnost toho, že nastane. V dalším budeme pracovat s abstraktním matematickým popisem pravděpodobnosti v nejjednoduším přiblížení. To, do jaké míry je takový popis adekvátní pro konkrétní pokusy či jiný problém, je záležitostí mimo samotnou matematiku. To ale neznamená, že by se takovým přemýšlením neměli zabývat matematikové (nejspíše ve spolupráci s jinými experty). Později se vrátíme k pravděpodobnosti coby teorii popisující chování nahodilých procesů nebo i plně determinovaných dějů, kde ovšem neznáme přesně všechny určující parametry. Matematická statistika pak umožňuje posuzovat, do jaké míry lze očekávat, že vybraný model je ve shodě s realitou, resp. umožňuje určit parametry modelu tak, aby docházelo k co nejlepší shodě s pozorováním a zároveň umí odhadnout míru spolehlivosti zvoleného modelu. K matematické pravděpodobnosti i statistice ovšem budeme potřebovat dosti rozsáhlý matematický aparát, který budeme mezitím několik semestrů budovat. Na příkladu naší neumělé kostky si to můžeme představit tak, že v teorii pravděpodobnosti budeme pracovat s parametry pí pro pravděpodobnost jednotlivých hodnot stran a budeme požadovat pouze aby všechny tyto pravděpodobnosti byly nezáporné a jejich součet byl Pl + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1. Při volbě konkrétních hodnot pí pro konkrétní kostku pak v matematické statistice budeme schopni odhadnout s jakou spolehlivostí tento model naší kostce odpovídá. Naším skromným cílem je teď pouze naznačit, jak abstraktně zachytit pravděpodobnostní úvahy ve formalizovaných matematických objektech. Následující odstavce tak budou ve své podstatě ^^^s*-^— pouhými cvičeními v jednoduchých operacích nad množinami a jednoduché kombinatorice (tj. výpočtech počtu možností, jak mohou být splněny dané podmínky kladené na konečné množiny prvků). 1.14. Náhodné jevy. Budeme pracovat s neprázdnou pevně zvolenou množinou Q všech možných výsledků, kterou nazýváme základní prostor. Pro jednoduchost bude pro nás Q konečná množina s prvky a>\, ... ,a>„, představujícími jednotlivé možné výsledky. Každá podmnožina Acíí představuje možný jev. Systém podmnožin A základního prostoru se nazývá jevové pole, jestliže • Q e A (tj. základní prostor, je jevem), • je-li A, B e A, pak A \ B e A (tj. pro každé dva jevy je jevem i jejich množinový rozdíl), • jsou-li A, B e A, pak AU B e A (tj. pro každé dva jevy je jevem i jejich sjednocení). 20 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Zjevně je i komplement Ac = Q\A jevu A jevem, který nazývame opačný jev k jevu A. Průnik dvou jevů je opět jevem, protože pro každé dvě podmnožiny A.BcSÍ platí A \ (£2 \ B) = A n B. Slovy se tak dá jevové pole charakterizovat jako systém podmnožin (konečného) základního prostoru uzavřený na průniky, sjednocení a rozdíly. Jednotlivé množiny A e A nazýváme náhodné jevy (vzhledem k .4). Pro naše házení kostkou je Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a jevové poleje tvořeno všemi podmnožinami množiny Q. Např. náhodný jev {1, 3, 5} pak interpretujeme jako „padne liché číslo". Něco málo terminologie, která by měla dále připomínat souvislosti s popisem skutečných modelů: • celý základní prostor Q se nazývá jistý jev, prázdná podmnožina 0 e A se nazývá nemožný jev, • jednoprvkové podmnožiny {&>} c £2 se nazývají elementární jevy, • společné nastoupení jevů A;, i e /, odpovídá jevu n;e/A;-, nastoupení alespoň jednoho zjevů A;-, i e /, odpovídá jevu U;e/A;, • A, B e A jsou neslučitelné jevy, je-li A n S = 0, • jev A má za důsledek jev 5, když A c B, Přestavte si příklady všech uvedených pojmů pro jevový prostor popisující házení kostkou nebo obdobně pro házení mincí! 1.45. Do řady v kině o 2n místech je náhodně rozmístěno n mužů a n žen. Jaká je pravděpodobnost, že žádné dvě osoby stejného pohlaví nebudou sedět vedle sebe? Řešení. Všech možných rozmístění lidí v řadě je (2n)\, rozmístění splňujících podmínky je 2(n\)2: máme dvě možnosti výběru pozice mužů, tedy i žen - buď všichni muži budou sedět na lichých místech (a tedy ženy na sudých), nebo všchni muži na sudých (a tedy ženy na lichých místech); na nich jsou pak muži i ženy rozmístěny libovolně. Výsledná pravděpodobnost je tedy 2(n\)2 p(n) = ——, p{2) = 0, 33, p(5) = 0, 0079, p(8) = 0, 00016. (2n)\ □ 1.46. Do výtahu osmipatrové budovy nastoupilo 5 osob. Každá z nich vystoupí se stejnou pravděpodobností v libovolném poschodí. Jaká je pravděpodobnost, že vystoupí i) všichni v šestém poschodí, ii) všichni ve stejném poschodí, iii) každý v jiném poschodí? Řešení. Základní prostor všech možných jevů je prostor všech možných způsobů vystoupení 5 osob z výtahu. Těch je 85. V prvním případě je jediná příznivá možnost vystoupení, hledaná pravděpodobnost je tedy ^, ve druhém případě máme osm možností, hledaná pravděpodobnost je tedy ^ a konečně ve třetím je počet příznivých případů dán pětiprvkovou variací z osmi prvků (z osmi pater vybíráme pět, ve kterých se vystoupí a dále kteří lidé vystoupí ve vybraných poschodích), celkem je hledaná pravděpodobnost ve třetím případě rovna (viz 1.6 a 1.8) v(5, 8) V(5,8) = 0, 2050781250. □ 1.47. Náhodně vybereme celé kladné číslo menší než 105. Jaká je pravděpodobnost, že bude složeno pouze z cifer 0,1,5a zároveň bude dělitelné číslem 5? Řešení. Čísel spňujích danou podmínku je 2 • 34 — 1 (kromě poslední cifry máme na každý řád na výběr ze tří cifer, případné číslice 0 na začátku slova nepíšeme. Všech celých kladných čísel menších než 105 je 105 — 1, podle klasické pravděpodobnosti dostáváme, že hledaná n o 4_1 pravděpodobnost je ^q5_1 ■ □ 21 D. PRAVDĚPODOBNOST 4. PRAVDĚPODOBNOST 1.48. Princip inkluze a exkluze. Sekretářka má rozeslat šest dopisů šesti různým lidem. Dopisy pro různé adresáty vkládá do obálek s adresami náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden člověk dostane dopis určený pro něj? Řešení. Spočítejme pravděpodobnost jevu opačného, tedy toho, že ani jeden člověk neobdrží správný dopis. Stavový prostor všech možných jevů odpovídá všem možným pořadím pěti prvků (obálek). Označíme-li jak obálky tak dopisy čísly od jedné do šesti, tak všechny příznivé jevy (tedy žádný dopis nepřijde do obálky se stejným číslem) odpovídají takovým pořadím šesti prvků, kdy i-tý prvek není na /-tém místě (/ = 1, ..., 6), tzv. pořadím bez pevného bodu. Jejich počet spočítáme pomocí principu inkluze a exkluze. Označíme-li Mt množinu permutací s pevným bodem / (permutace v Mt ale mohou mít i jiné pevné body), tak výsledný počet d permutací bez pevného bodu je roven d = 6! - |Mi U •• • UM6| 1.15. Definice. Pravděpodobnostní prostor je trojice (Q, A, P), kde A je jevové pole podmnožin (konečného) základního prostoru Q, na kterém je definována skalární funkce P : A -» M s následujícími vlastnostmi: • P je nezáporná, tj. P(A) > 0 pro všechny jevy A, • P je aditivní, tj. P (A U B) = P (A) + P (B), kdykoliv je A, B e A a A n B = 0, • pravděpodobnost jistého jevu je 1, tj. P (Q) = 1. Funkci P nazýváme pravděpodobností na jevovém poli A. Zjevně je okamžitým důsledkem našich definic řada prostých ale užitečných tvrzení. Např. pro všechny jevy platí P(AC) = 1 - P(A). Dále můžeme matematickou indukcí snadno rozšířit aditiv-nost na jakýkoliv konečný počet vzájemně neslučitelných jevů Ai c fi, / e /, tj. P(Ui6/A/) = iel Počet prvků průniku \Mh n- • -r\Mik\,k = 1, ..., 6, je (6-*)! (pořadí kdykoliv A. n Aj = 0, pro všechna i £ j, i, j e /. prvků/i, ..., ik je pevně dáno, ostatních 6—k prvků řadíme libovolně). Podle principu inkluze a exkluze je 6 \Mi U • • • U M6 E(-dí+1(Í (6-*)! 1.16. Definice. Nechť Q je konečný základní prostor a nechť jevové pole A je právě systém všech podmnožin v £2. Klasická pravděpodobnost je pravděpodobnostní prostor (Q, A, P) s pravděpodobnostní funkcí a tedy pro hledaný počet d dostáváme vztah d = 6!-£(-l)*+1(%- 6 k)\ P :A^M kde \A\ značí počet prvků množiny A e A \A\ P (A) = —, £<-lW (6-*)! = 6!£ (-1)* k\ k=0 x ' k=0 Pravděpodobnost toho, že žádný člověk neobdrží „svůj" dopis je tedy k=0 k\ a hledaná pravděpodobnost pak 6 1 E (-1)* k\ 53 144' □ Poznámka. Všimněme si, že odpověď na stejnou otázku, se s rostou- Zjevně takto zadaná funkce skutečně definuje pravděpodobnost, ověřte si samostatně všechny požadované axiomy. Sčítání pravděpodobností. U neslučitelných jevů je sčítání pravděpodobností pro výskyt alespoň jednoho z nich přímo požadováno v základní definici pravdě-|x podobnosti. Obecně je sčítání pravděpodobností pro výskyty jevů složité. Problém totiž je, že pokud jsou jevy slučitelné, částečně máme v součtu pravděpodobností započteny příznivé výskyty vícekrát. Nejjednodušší je si nejprve představit situci se dvěma slučitelnými jevy A, B. Uvažme nejprve klasickou pravděpodobnost, kde jde vlastně o počítání prvků v podmnožinách. Pravděpodobnost výskytu alespoň jednoho z nich, tj. pravděpodobnost jejich sjednocení, je dána vztahem cím počtem dopisů příliš nemění. Pro n dopisů je pravděpodol )aQs.tižjea sekretářka nedá žádný do správné obálky (1.11) P (A UB) = P(A) + P(B) - P(A n B) 1 E k=0 (-1)* k\ 1 1 - -, e jak totiž uvidíme později, uvedená suma konverguje (blíží se) k hodnotě 1/e. protože ty prvky, které patří do množiny A i B, jsme nejprve započetli dvakrát a tak je musíme jednou odečíst. Tentýž výsledek dostaneme i pro obecnou pravděpodobnost P na nějakém jevovém poli. Protože A n B a A \ B jsou nezávislé jevy, P (A) = P(A \B) + P(A n B), 22 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA podobně pro B, ale také máme P (A U B) = P(A \B) + P(B \A) + P(A n B). Dosazením za pravděpodobnosti množinových rozdílů dostáváme opět vztah (1.11). Následující věta je přímým promítnutím tzv. kombinato-\. rického principu inkluze a exkluze do naší ko-% nečné pravděpodobnosti a říká, jakým způsobem vícenásobné započítávání výsledků kompenzovat v obecném případě. Jde patrně o dobrý příklad matematického tvrzení, kde nejtěžší je najít dobrou formulaci a pak se dá říci, že (intuitivně) je tvrzení zřejmé. -muttf mKLMZE- ň ?XK.UAl£_ Na obrázku je situace znázorněna pro tři množiny A, B, C a pro klasickou pravděpodobnost. Jednoduše šrafované oblasti v prostém součtu máme dvakrát, dvojitě šrafované třikrát. Pak ty jednoduše šrafované jednou odečteme, přitom ty dvojitě šrafované opět třikrát odečteme, proto je tam nakonec ještě jednou započteme. Obecně, díky aditivní vlastnosti pravděpodobnosti, si můžeme představit, že každý jev rozložíme na elementární (tj. jednobodové) jevy, jakkoliv ve skutečnosti nemusí jednoprvkové podmnožiny do uvažovaného jevového pole patřit. Pak je pravděpodobnost každého jevu dána součtem pravděpodobností jednotlivých elementárních jevů do něj patřících a můžeme při vyjádření pravděpodobnosti nastoupení alespoň jednoho zjevů takto: sečteme všechny pravděpodobnosti výsledků pro všechna A;- zvlášť, pak ovšem musíme odečíst ty, které tam jsou započteny dvakrát (tj. prvky v průnicích dvou). Teď si ovšem dovolujeme odečíst příliš mnoho tam, kde ve skutečnosti byly prvky třikrát, tj. korigujeme přičtením pravděpodobností ze třetího členu, atd. Věta. Buďte A\, ..., Ak e A libovolné jevy na základním prostoru £2 s jevovým polem A Pak platí k k-l k P(uf=1Ať) = P(At) " E E P(Ai n AJ> i — l i — l j—i-\-l k-2 k-l k + E E E PiADAjDA,) í'=1 j=i + l t=j+\ + (-i)l-1P(A1nA2n.-n4). 1.49. Volejbalový tým (s liberem, tj. celkem sedm osob) sedí po zápase v hospodě a popíjí zasloužené pivo. Je ale málo kríglů a proto hospodský používá pořád těch sedm samých. Jaká je pravděpodobnost, že příště i) právě jeden nedostane ten svůj, ze kterého pil ii) nikdo nedostane ten svůj iii) právě tři dostanou ten svůj. 1.50. Další principy počítání s pravděpodobnostmi. Vraťme se k házení kostkou a zkusme popsat jevy ze základního prostoru Q vznikající při házení tak dlouho, dokud nepadne šestka, ne však více než stokrát. Pro jeden hod samostatně je základním prostorem šest čísel od jedné do šesti a jde o klasickou pravděpodobnost. Pro celé série našich hodů bude základní prostor daleko větší - bude to množina konečných posloupností čísel od jedné do šestky, které buď končí šestkou, mají nejvýše 100 členů a všechna předchozí čísla jsou menší než šest, nebo jde o 100 čísel od jedné do pěti. Jevem A může být např. podmnožina „házení končí druhým pokusem". Všechny příznivé elementární jevy pak jsou [1,6], [2,6], [3,6], [4,6], [5,6]. Ze známé klasické pravděpodobnosti pro jednotlivé hody umíme odvodit pravděpodobnosti našich jevů v Q. Není to ale jistě klasická pravděpodobnost. Tak pro diskutovaný jev chceme popsat, s jakou pravděpodobností nepadne šestka při prvém hodu a zároveň padne při druhém. Vnucuje se řešení P (A) 5 1 _ 5 6 ' 6 ~ 36' protože v prvém hodu padne s pravděpodobností 1 — ^ jiné číslo než šest a druhý hod, ve kterém naopak požadujeme šestku, je zcela nezávislý na prvním. Samozřejmě toto není poměr počtu příznivých výsledků k velikosti celého stavového prostoru! Obecněji můžeme říci, že po právě 1 < k < 100 hodech pokus skončí s pravděpodobností (f)*-1 • \- Ze všech možností je tedy nej-pravděpodobnější, že skončí již napoprvé. Jiný příklad, j ak z házení kostkou dostat různě pravděpodobné jevy je pozorovat součty při hodu více kostkami. Uvažujme takto: při hodu jednou kostkou je každý výsledek stejně pravděpodobný s pravděpodobností i. Při hodu dvěmi kostkami je každý předem zvolený výsledek (a, b), tj. dvojice přirozených čísel od jedné do šesti (včetně pořadí), stejně pravděpodobný s pravděpodobností Pokud se budeme ptát po dvou pětkách, je tedy pravděpodobnost poloviční než u dvou různých hodnot bez uvedení pořadí. Pro jednotlivé možné součty 23 D. PRAVDĚPODOBNOST 4. PRAVDĚPODOBNOST uvedené v horním řádku nám vychází počet možností v řádku dolním: I Součet I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 7 I 8 I 9 I 10 I 11 I 12 I Počet 1 2 3 4 5 5 4 3 1 Podobně vyjde pravděpodobnost ^ jednotlivých výsledků hodu třemi kostkami, včetně určeného pořadí. Pokud se budeme ptát na pravděpodobnost výsledného součtu při hodu více kostkami, musíme pouze určit, kolik je možností, jak daného součtu dosáhnout a příslušné pravděpodobnosti sečíst. 1.51. Ze sáčku s pěti bílými a pěti červenými koulemi náhodně vytáhneme tři (koule do sáčku nevracíme). Jaká je pravděpodobnost, že dvě budou bílé a jedna červená? Řešení. Rozdělme uvažovaný jev na sjednocení tří disjunktních jevů: podle toho, kolikátou vytáhneme červenou kouli. Pravděpodobnosti, že vytáhneme koule přesně ve zvoleném pořadí jsou: - - - - - - - - - - 2 9 8' 2 9 2' \. f • \. Celkem^. Jiné řešení. Uvažme počet všech možných trojic vytažených koulí (koule jsou mezi sebou rozlišitelné), tedy (g0). Trojic, které obsahují právě dvě bílé koule je potom (^) • (j) (dvě bílé koule můžeme vytáhnout (j) způsoby, k nim pak červenou pěti způsoby). □ 1.52. Z klobouku, ve kterém je pět bílých, pět červených a šest černých koulí, náhodně vytahujeme koule (bez vracení). Jaká je pravděpodobnost, že pátá vytažená koule bude černá? Řešení. Spočítáme dokonce obecnější úlohu. Totiž pravděpodobnost toho, že z-tá vytažená koule bude černá, je stejná pro všechna z, 1 < i < 16. Můžeme si totiž představit, že vytáhneme postupně všechny koule. Každá taková posloupnost vytažených koulí (od první vytHŽuijéy" koule po poslední), složená z pěti bílých, pěti červených a šesti černých koulí, má stejnou pravděpodobnost vytažení a pro výpočet hledané pravděpodobnosti můžeme opět použít model klasické pravděpodobnosti. Zmíněných posloupností je P(5, 5, 6) = 5]^l5] ■ Počet posloupností, kde na z-tém místě je černá koule, zbytek libovolný, je tolik, kolik je libovolých posloupností pěti bílých, pěti červených a pěti černých koulí, tedy P (5, 5, 5) = Celkem tedy je hledaná pravděpodobnost P(5,5,5) P(5,5, 6) 15! 5!5!5! 16! 6!5!5! □ 1.53. V jisté zemi mají parlament, ve kterém zasedá 200 poslanců. Dvě hlavní politické strany, které v zemi existují, si při „volbách" házejí o každý poslanecký mandát zvlášť mincí. Každá z těchto stran má Důkaz. Aby se výše naznačený postup stal důkazem, je zapotřebí si ujasnit, že skutečně všechny korekce, tak jak jsou popsány, jsou skutečně s koeficienty jedna. Místo toho můžeme snáze dát dohromady formálnější důkaz matematickou indukcí přes počet k jevů, jejichž pravděpodobnosti sčítáme. Zkuste si průběžně porovnávat oba postupy, mělo by to vést k vyjasnění, co to znamená „dokázat" a co „porozumět". Pro k = 1 tvrzení zjevně platí, vztah pro k = 2 je totožný s rovností (1.11) a tu jsme pro obecné pravděpodobnostní funkce již dokázali také. Předpokládejme tedy, že věta platí pro všechny počty množin až do pevně zvoleného k > 1. Nyní můžeme pracovat v indukčním kroku se vztahem pro k + 1 jevů, když sjednocení prvních k jevů bereme jako A ve vzorci (1.11) výše, zatímco zbývající jev hraje roli B: P(uf+1Ai) = JP((ut1Ai)UA,+1) = É((-di+1 E w/.n.-.nv) j=l l 0, potom P(A1 n A2) = P(A2)P(A1\A2) = P(Ai)P(A2|Ai). Všechna tato čísla vyjadřují pravděpodobnost toho, že nastanou oba jevy A\ i A2, jenom jinými způsoby. Například v posledním případě nejprve sledujeme, zda nastane první jev. Potom za předpokladu, že ten první nastal, sledujeme zda nastane i ten druhý. Podobně, pro tři jevy A\, A2, A3 splňující P(Ai n A2 n A3) > 0, dostaneme P(Al n A2 n A3) = /5(A1)JP(A2|A1)JP(A3|A1 n A2). Slovy to lze opět popsat tak, že pravděpodobnost výskytu všech tří jevů zároveň můžeme spočítat tak, že se nejprve zabýváme výskytem pouze prvního z nich, potom druhého za předpokladu, že první už nastal a naposledy třetího za předpokladu, že oba předešlé jevy již nastaly. Máme-li obecný počet k jevů A\, ..., Ak splňujících P(A\ n • • • n Ak) > 0, pak věta říká následující: P(Alf). ■ .f)Ak) = P(Al)P(A2\Al). ■ -PiA^f). ■ -nA,_!). 26 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Skutečně, dle předpokladu jsou i pravděpodobnosti všech průniků, které jsou brány ve výrazu za hypotézy, nenulové. Pokrácením čitatelů a jmenovatelů získáme i napravo právě pravděpodobnost jevu odpovídajícího průniku všech uvažovaných jevů. 1.21. Geometrická pravděpodobnost. V praktických problémech se často setkáváme s daleko složitějšími modely, kde základní prostor není konečnou množinou. Nemáme momentálně k dispozici ani základní nástroje pro dostatečné zobecnění pojmu pravděpodobnosti, nicméně můžeme uvést alespoň jednoduchou ilustraci. Uvažme rovinu M2 dvojic reálných čísel a v ní podmnožinu Q se známým obsahem vol Q (symbol „vol" je od anglického „volume", tj. obsah/objem). Příkladem může sloužit třeba jednotkový čtverec. Náhodné jevy budou reprezentovány podmnožinami A c fiaza jevové pole A bereme nějaký vhodný systém podmnožin, u kterých umíme určit jejich obsah. Nastoupení nebo nenastoupení jevu je dáno výběrem bodu v Q, kterým se trefíme nebo netrefíme do množiny reprezentující jev A. Uvažme jako příklad problém, kdy náhodně vybereme dvě hodnoty a < b v intervalu [0, 1] C M. Všechny hodnoty a i b jsou stejně pravděpodobné a otázka zní „jaká je pravděpodobnost, že interval (a, b) bude mít velikost alespoň jedna polovina?". Volba čísel a, b\e volbou libovolného bodu [a, b] ve vnitřku trojúhelníku Q s hraničními vrcholy [0, 0], [0, 1], [1, 1] (viz obrázek). Úlohu si můžeme představit jako popis problému, kdy se hodně unavený účastník večírku nad ránem pokouší dvěma řezy rozdělit párek na tři díly pro sebe a své dva kamarády. Jaká je pravděpodobnost, že se na někoho dostane aspoň půlka? Odpověď je docela jednoduchá: Podobně jako u klasické pravděpodobnosti definujeme pravděpodobnostní funkci P : A -» M vztahem vol A P(A) =-, vol £2 1.57. Podmíněná pravděpodobnost. Nyní si procvičme tzv. „podmíněnou" pravděpodobnost (viz (??)). 1.58. Jaká je pravděpodobnost toho, že při hodu dvěma kostkami padne součet 7, víme-li, že ani na jedné z kostek nepadlo číslo 2? Řešení. Označme jako B jev, že ani na jedné kostce nepadne dvojka, jev „padne součet 7" označme jako A. Množinu všech možných výsledků budeme značit opět jako Q. Pak \ac\b\ P(A\B) P(A n B) P (B) \b\ m |A n b\ \B\ Číslo 7 může padnout čtyřmi různými způsoby, pokud nepadne dvojka, tedy |A n B\ = 4, \B\ = 5 ■ 5 = 25, tedy P(A\B) = —. V 1 ' 25 Všimněme si, že P(A) = ^, tedy jevy A a S jsou závislé. □ 1.59. Michal má dvě poštovní schránky, jednu na gmail.com a jednu na seznam.cz. Uživatelské jméno má stejné na obou serverech, hesla různá (ale nepamatuje si, které heslo má na kterém serveru). Při zadávání hesla při přístupu do schránky se splete s pravděpodobností 5% (tj. jestliže chce napsat zadat jemu známé slovo jako heslo, tak jej s pravděpodobností 95% skutečně správně na klávesnici zadá). Michal zadal na serveru seznam.cz jméno a heslo a server mu oznámil, že něco není vpořádku. Jaká je pravděpodobnost, že chtěl zadat správné heslo, ale pouze se „překlepnul" při zadávání? (Předpokládáme, že uživatelské jméno zadá vždy bez chyby.) Řešení. Označme A jev, že Michal fyzicky zadal na serveru seznam.cz špatné heslo. Tento jev je sjednocením dvou disjunktních jevů: A i : chtěl zadat správné heslo a přepsal se, A2 : chtěl zadat špatné heslo (to z gmail.com) a buď se přepsal nebo ne. Hledáme tedy podmíněnou pravděpodobnost P(Ai\A), ta je podle vztahu pro podmíněnou pravděpodobnost rovna: P(AiHA) PiAO P(Ai) P(Ai|A) = ——-- =-—— =-—-, P(A) P(AlVJA2) P(Al) + P(A2y potřebujeme tedy určit pravděpodobnosti P(A\) a P(A2). Jev A\ je konjunkcí (průnikem) dvou nezávislých jevů: Michal chtěl zadat správné heslo a Michal se při zadávání přepsal. Dle zadání je pravděpodobnost prvního z nich 1/2, druhého 1/20, celkem P{A\) = \ ■ = ^ (pravděpodobnosti násobíme, protože se jedná o nezávislé jevy). Dále je ze zadání P(A2) = \. Celkem P (A) = P(Ai) + P(A2) = 27 D. PRAVDĚPODOBNOST 5. GEOMETRIE V ROVINE _L _i_ I — 21 40 2 ~ 40 , a můžeme vyčíslit: P(Ai\A) P(Ai) P (A) -L i 40 _ 1 21 ~ 21' 40 □ Geometrická pravděpodobnost. Metodu geometrické pravděpodobnosti můžeme použít v případě, že daný základní prostor sestává z nekonečně mnoha elemenitáTn|c| jevů, které dohromady vyplňují nějakou oblast na přímce, rovnině, prostoru (u které umíme určit její délku, obsah, objem, ...). Předpokládáme, že pravděpodobnost toho, že nastane elementární jev z určité podoblasti je rovna poměru její velikosti (délce, obsahu, ...) k velikosti celého základního prostoru. kde A jsou podmnožiny v rovině, které odpovídají námi vybraným jevům. Potřebujeme tedy znát plochu podmnožiny, která odpovídá bodům s b > a + j, tj. vnitřku trojúhelníku A ohraničeného vrcholy [0, j], [0, 1], [j, 1]. Evidentně dostáváme P(A) = \. Zkuste si samostatně odpovědět na otázku „pro jakou požadovanou minimální délku intervalu (a, b) dostaneme pravděpodobnost jedna polovina?". 1.22. Metody Monte Carlo. Jednou z účinných výpočetních metod přibližných hodnot je naopak simulace známé takovéto pravděpodobnosti pomocí relativní četnosti nastoupení vhodně zvoleného jevu. Např. ^ známá formule pro obsah kruhu o daném poloměru říká, že obsah jednotkového kruhu je roven právě konstantě 1.60. Z Těšína vyjíždí vlaky co půl hodinu (směrem na Bohumín) a z tohoto směru přijíždějí také každé půl hodiny. Předpokládejme, že vlaky se mezi těmito dvěma stanicemi pohybují rovnoměrnou rychostí 72 km/h a jsou dlouhé 100 metrů, cesta trvá 30 minut, vlaky se míjejí někde na trase. Nevyspalý hazardér Jarek si vybere jeden z těchto vlaků a během cesty z Těšína do Bohumína náhodně vystrčí hlavu z okna na pět vteřin nad kolejiště pro protější směr. Jaká je pravděpodobnost, že mu bude uražena? (Předpokládáme, že jiné než zmíněné vlaky na trati nejezdí.) Řešení. Vzájemná rychlost protijedoucích vlaků je 40 m/s, protijedoucí vlak mine Jardovo okno za dvě a půl sekundy. Prostor všech možností je tedy interval (0, 1800 s), prostor „příznivých" možností je potom interval délky 7, 5 s ležící někde uvnitř předchozí úsečky. Pravděpodobnost uražení hlavy je tedy 7, 5/1800 = 0, 004. □ 1.61. Jednou denně někdy mezi osmou hodinou ranní a osmou hodin-nou večerní vyjíždí náhodně autobus z Koločavy do Užhorodu. Jednou denně ve stejném časovém rozmezí jezdí jiný autobus náhodně opačným směrem. Cesta tam trvá pět hodin, zpět též pět hodin. Jaká je pravděpodobnost, že se autobusy potkají, jezdí-li po stejné trase? Řešení. Prostor všech možných jevů je čtverec 12 x 12, Označíme-li doby odjezdu obou autobusů x, resp. y, pak se tyto na trase potkají právě když \x — y\ < 5. Tato nerovnost vymezuje v daném čtverci oblast „příznivých jevů". Obsah zbylé části spočítáme přímo jednodušeji, neboť je sjednocením dvou pravoúhlých rovnoramenných troljúhěP níků o odvěsnách délky 7, tedy je roven 49, obsah části odpovídající „příznivým jevům" je tedy 144 — 49 = 95, celkem je hledaná pravděpodobnost p = = 0, 66. jt = 3, 1415..., která vyjadřuje poměr obsahu kruhu a druhé mocniny jeho poloměru. (Tady si také povšimněme východiska, které jsme nedokázali - proč by měl být obsah kruhu roven konstantnímu násobku druhé mocniny poloměru? Matematicky to budeme umět ukázat, až zvládneme tzv. integrování. Experimentálně si to ale můžeme ověřit níže uvedeným postupem s různými velikostmi strany čtverce.) Pokud zvolíme za Q jednotkový čtverec a za A průnik Q a jednotkového kruhu se středem v počátku, pak vol A = ^n. Máme-li tedy spolehlivý generátor náhodných čísel mezi nulou a jedničkou a počítáme relativní četnosti, jak často bude vzdálenost bodu [a, b] (určeného vygenerovanou dvojicí a, b) od počátku menší než jedna, tj. a1 + b2 < 1, pak výsledek bude při velkém počtu pokusů s velikou jistotou dobře aproximovat číslo \it. Numerickým postupům založeným na tomto principu se říká metody Monte Carlo. 5. Geometrie v rovině V posledních odstavcích jsme intuitivně používali elementární pojmy z geometrie reálné roviny. Teď budeme podrobněji zkoumat, jak se vypořádávat s potřebou popisovat „polohu v rovině", resp. dávat do souvislostí polohy různých bodů roviny. Nástrojem k tomu budou opět zobrazení, tentokrát to ale budou velice speciální pravidla přiřazující dvojicím hodnot (x, v) dvojice (w,z) = F(x, y). Zároveň půjde o předzvěst úvah z oblasti matematiky, které se říká lineární algebra a kterou se budeme podrobně zabývat v dalších třech kapitolách. 1.23. Vektorový prostor M2. Podívejme se na „rovinu" jakožto na množinu dvojic reálných čísel (x, y) e M2. Budeme jim říkat vektory v M2. Pro takové vektory umíme definovat sčítání „po složkách", tj. pro vektory u = (x, y) a 28 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA v = (x', y1) klademe u +v = (x + x',y + ý). Protože pro jednotlivé složky platí všechny vlastnosti komutativní grupy, evidentně budou tyto vlastnosti platit i pro naše nové sčítání vektorů. Zejména tedy máme tzv. nulový vektor 0 = (0, 0), jehož přičtením k jakémukoliv vektoru v dostaneme opět vektor v. Záměrně teďpoužíváme tentýž symbol 0 pro vektor i jeho skalární složky — z kontextu je vždy jasné, jakou „nulu" máme kdy na mysli. Dále definujeme násobení vektorů a skalárů tak, že pro aelat) = (i,)i)el2 klademe a ■ v = (ax, ay). Zpravidla budeme znak • vynechávat a pouhé zřetězení znaků a v bude označovat skalární násobek vektoru. Přímo se ověří další vlastnosti pro násobení skaláry a, b a sčítání vektorů u, v, např. a (u + v) = a u+a v, (a+b)u = a u+bu, a(b u) = (ab)u, kde opět používáme stejný znak plus pro sčítání vektorů i skalárů. Tyto operace si můžeme dobře představit, jestliže uvažujeme vektory v jako šipky začínající v počátku 0 = [0, 0] a končící v bodě [x, y] v rovině. Takové šipky pak můžeme přikládat jednu za druhou a to přesně odpovídá sčítání vektorů. Násobení skalárem a pak odpovídá natažení dané šipky na út-násobek. / LINEÁRNI Nyní můžeme udělat podstatný krok: jestliže si zapama-íf< ,. tujeme dva významné vektory e\ = (1, 0) a e2 = (0, 1), pak každý jiný vektor dostaneme jako u = (x, y) = x ei + y e2. Výrazu napravo říkáme lineární kombinace vektorů e\ a e2. Dvojici vektorů e = (e\, e2) říkáme báze vektorového prostoru M2. Jestliže si ale vybereme jiné dva vektory u, v, které nejsou jeden násobek druhého, tj. jinou bázi v M2, budeme moci udělat totéž. Lineární kombinace w = x u + y v nám □ 1.62. Dvoumetrová tyč je náhodně rozdělena na tři díly. Určete pravděpodobnost, že alespoň jeden díl bude nejvýše 20 cm dlouhý. Řešení. Náhodné rozdělení tyče na tři díly je dáno dvěma body řezu, čísly x a v (nejprve tyč rozřízneme ve vzdálenosti x od počátku, nehýbeme s ní a dále ji rozřízneme ve vzdálenosti y od počátku). Pravděpodobnostní prostor je tedy čtverec C o straně 2 m. Umístíme-li čtverec C tak, aby dvě jeho strany ležely na kartézských osách v rovině, tak podmínka, že alespoň jeden díl má být nejvýše 20 cm dlouhý, nám vymezuje ve čtverci následující oblast O: O = {(x, y) e C| (x < 20) v (x > 180) v (y < 20) v (y > 180) V (\x - y\) < 20}. Jak snadno nahlédneme, zaujímá takto vymezená oblast ^ obsahu čtverce. ľ | / -%- 2. Xi- // I ¥1* 1Í5 □ 29 E. GEOMETRIE V ROVINE 5. GEOMETRIE V ROVINE E. Geometrie v rovině 1.63. Napište obecnou rovnici přímky p : x = 2 — t, y = 1 + 3t, t e R. Řešení. Vektor (—1, 3) je směrovým vektorem přímky p. Proto vektor (3, 1) je jejím normálovým vektorem a obecná rovnice přímky p má tvar 3x + y + c = 0 pro jisté c e M. Tuto konstantu c určíme dosazením x = 2, y = 1 (přímka p prochází bodem [2, 1] daným volbou t = 0). Získáváme tak c = — 7 a následně výsledek 3x + y — 7 = 0. □ 1.64. Je dána přímka p : [2,0] + f (3, 2), t € R. Určete její obecnou rovnici a nalezněte průnik s přímkou q : [-l,2] + i(l,3), s e R. pro všechny různé dvojice (x, y) dá právě všechny vektory w v rovině. Nakonec můžeme nahlížet vektory jako naše šipky v abstraktní poloze, tj. zapomeneme na ztotožnění bodů v rovině s dvojicemi čísel. Jenom budou naše šipky všechny „upoutány" v bodě 0, který ^— je zároveň nulovým vektorem. Zůstanou nám operace sčítání a násobení skaláry a teprve volbou báze e\, e2 ztotožníme naši rovinu šipek s R2. 1.24. Afinní rovina. Když si pevně vyvolíme nějaký vektor u e R2, můžeme jej přičítat (tj. coby šipku přikládat) k libovolnému bodu P = [x, y]. Máme tak tedy s pevným vektorem definované posunutí, které každý bod roviny P zobrazí na P + u. Řešení. Souřadnice bodů na přímce jsou dány dle daného parametrického zadání jako x = 2 + 3t a y = 0 + 2t. Vyloučením parametru t ze soustavy těchto dvou rovnic dostáváme obecnou rovnici přímky p: 2x - 3y - 4 = 0. Průnik s přímkou q získáme dosazením parametrického vyjádření bodů přímky q, tedy x = —1+say = 2 + 3s, do obecné rovnice přímky p: 2(-l +s) -3(2 + 3^) -4 = 0, odkud s = —12/7 a dosazením do parametrického vyjádření přímky q dostáváme souřadnice průsečíku P: 19 22 P = [--,--]. 7 7 □ 1.65. Stanovte průsečík přímek p : x + y - 4 = 0, q : x = -1 + 2t, y = 2 + t, íei Řešení. Nejdříve poznamenejme, že směrovým vektorem přímky p je u p = (1,-1) (libovolný nenulový vektor kolmý k vektoru (1,1) z obecné rovnice přímky) a směrovým vektorem přímky q je uq = (2, 1). To, že vektor up není násobkem vektoru uq, pak zaručuje, že se přímky protínají (přímky nejsou rovnoběžné). Bod [x, y] je hledaným průsečíkem, právě když jeho souřadnice vyhovují rovnici přímky p a současně existuje reálné číslo t, pro které x = -1 + 2t, y = 2 + t. Dosadíme-li odsud do obecné rovnice p, obdržíme Zkusme teď úplně zapomenout na souřadnice a vnímat celou rovinu jako množinu, na které fungují naše '4.ááL posunutí. Takovou množinu A = R2 si můžeme i představit z pohledu pozorovatele, který sedí v některém pevně zvoleném místě (můžeme mu říkat třeba bod O = [x0, yo] e R2). Předpokládejme, že ji vnímá jako nekonečnou desku bez jakýchkoliv zvolených měřítek a popisů a jenom ví, co to znamená posunout se o libovolný násobek nějakého vektoru u e R2. Takové rovině budeme říkat „afinní rovina". Aby mohl vidět kolem sebe „dvojice reálných čísel", musí si vybrat nějaký bod E\, kterému řekne „bod [1, 0]" a jiný bod E2, kterému začne říkat „bod [0, 1]". Jinými slovy, zvolí si bázi e\ = (1, 0), e2 = (0, 1) mezi vektory posunutí. Do všech ostatních se pak dostane tak, že poskočí „a-krát ve směru e\" a pak ,,^-krát ve směru e2 " a takovému bodu bude říkat „bod [a, b]". Pokud to bude dělat obvyklým způsobem, 30 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.24 nebude výsledek záviset na pořadí, tzn. může také napřed jít b-kiát ve směru e2 a pak teprve ve směru e\. To, co jsme popsali, se nazývá volba (afinního) souřadného systému v rovině, bod O je jeho počátkem, a obecně každý bod P roviny je ztotožněn s dvojicí čísel [a, b], kterou také budeme psát jako posunutí P — O. Budeme dále pracovat v pevně zvolených souřadnicích, tj. s dvojicemi reálných čísel, ale pro lepší orientaci budeme vektory zapisovat s kulatými závorkami místo hranatých u souřadnic bodů v afinní rovině. 1.25. Přímky v rovině. Když se náš pozorovatel umí posou-tJi „ vat o libovolný násobek pevného vektoru, pak také ví, "y*jh co je to přímka. MyM' Je to podmnožina p c A v rovině taková, že exis-ifí1 tují bod O a nenulový vektor v takové, že p = {P € A; P — O = t ■ v, t € R}. Popišme si P = P (t) e p ve zvolených souřadnicích s volbou v = (a, P): x(t) = x0 + a ■ t, y(t) = y0+ f} ■ t. Protože vektor v = (a, P) je nenulový, musí být aspoň jedno z čísel a, ji různé od nuly. Když pro určitost předpokládáme, že třeba a / O, pak vyloučíme t z parametrického vyjádření pro x a y a jednoduchým výpočtem dostaneme -fix + ay = -fix0 + ay0. To je obecná rovnice přímky el.12 (1.13) ax + by = c, se známým vztahem dvojice čísel (a, b) = (—a) a směrového vektoru přímky v = (a, P) (-l+2ř)+ (2 + ř)-4 = 0. Této rovnici vyhovuje právě t = 1, což dává průsečík se souřadnicemi x = 1, y = 3. □ 1.66. Najděte obecnou rovnici přímky p, jež prochází bodem [2, 3] a je rovnoběžná s přímkou x — 3y + 2 = 0, a parametrickou rovnici přímky q procházející body [1, 3] a [—2, 1]. Řešení. Každá přímka rovnoběžná s přímkou x— 3 y +2 = Oje zadána rovnicí x - 3y + c = 0 pro nějaké ceM. Přímka p prochází bodem [2, 3]. Musí tedy platit 2-3-3 + c = 0, tj. c = 1. Pro přímku q lze ihned uvést její parametrické vyjádření q : [1, 3] + ř (1 - (-2), 3 - 1) = [1, 3] + ř (3, 2), ř e R. □ 1.67. Zjistěte, zda některé z přímek pi : 2x + 3y — 4 = 0, p2 '■ x — y + 3 = 0, pj, : — 2x + 2y = —6, p4 : -x - | y + 2 = 0, p5 : x = 2 + ř, y = -2 - t, t e R (ne)jsou totožné. Řešení. Je vidět, že -2 • {-x - l y + 2) = 2x + 3y - 4. Obecné rovnice p\ a p4 tudíž zadávají stejnou přímku. Normálový vektor přímky p\ je (2, 3), pro přímku p2 je (1, —1), pro p3 je (—2, 2) a pro p5 je (1, 1) (kolmý vektor k vektoru (1, —1)). Přímky p2 a p3 jsou rovnoběžné (normálový vektor jedné je násobkem normálového vektoru druhé). Další dvojice rovnoběžných přímek neexistují. Neboť soustava x - y + 3 = 0, -2x + 2y + 6 = 0 zjevně nemá řešení, přímky p\ a p4 tvoří jedinou dvojici totožných přímek. □ 1.68. Určete přímku p,která je kolmá k přímce q : 6x— 7y+13 = 0 a která prochází bodem [—6,7]. Řešení. Protože normálový vektor přímky q je směrový vektor přímky p, můžeme bezprostředně napsat výsledek p : x = -6 + 6ř, y = 7 - It, t e R. el. 13 (1.14) aa +, 0. □ 31 E. GEOMETRIE V ROVINE 5. GEOMETRIE V ROVINE 1.69. Udejte příklad čísel a, b e M, pro něž je vektor u normálovým vektorem přímky AS, je-li A = [1, 2], B = [2b, b], u = (a — b, 3). Řešení. Směrovým vektorem přímky AS je (2b — \,b — 2) (tento vektor je vždy nenulový), a proto jejím normálovým vektorem je (2 — b, 2b — 1). Položíme-li 2-b = a-b, 2b -1=3, dostáváme a = b = 2. □ 1.70. Určete vzájemnou polohu přímek p, q v rovině, jestliže je p : 2x — y — 5 = 0, q : x + 2y — 5 = 0. Pokud se jedná o různoběžky, nalezněte souřadnice jejich průsečíku. Řešení. Z obecných rovnic přímek p, q známe jejich normálové vektory (2, — 1), (1, 2). Přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, je-li normálový vektor jedné násobkem normálového vektoru druhé, což zřejmě pro přímky p, q splněno není. Jde tedy o různoběžky. Průsečík nalezneme vyřešením soustavy 2x - y - 5 = 0, x + 2y - 5 = 0. Když z první rovnice vyjádříme y = 2x — 5 a dosadíme za y do druhé, získáme x + 2(2x - 5) - 5 = 0, tj. x = 3. Poté snadno určíme y = 2 • 3 — 5 = 1. Přímky se tak protínají v bodě [3, 1]. □ 2 se standardní soustavou souřadnic.' "Z4 1.71. Uvažujme rovinu počátku [0, 0] je vyslán laserový paprsek ve směru (3, 1). Dopadne na zrcadlovou přímku p danou parametricky jako p: [4,3]+ř(-2, 1) a poté se odrazí (úhel dopadu je shodný s úhlem odrazu). V jakém bodě dopadne odražený paprsek na přímku q, danou parametricky jako q : [7,-10] +f (-1,6)? 1.25 Řešení. Směr paprsku svírá s přímkou p úhel 45°, odražený paprsek tedy bude kolmý na dopadající, jeho směrový vektor bude (1, —3) (Pozor na orientaci! Daný směrový vektor můžeme též získat například zrcadlením (osovou symetrií) podle kolmého vektoru k přímce p.) Paprsek dopadne v bodě [6,2], odražený paprsek tedy bude mít rovnici [6,2] + ř(l, -3), t > 0. Průnik přímky dané odraženým paprskem s přímkou q je bod [4, 8], což je mimo polopřímku, která je daná odraženým paprskem (t = —2). Odražený paprsek tedy přímku q neprotne. □ Výraz nalevo v rovnici přímky (1.13) můžeme vidět jako skalární funkci F závislou na bodech v rovině a s hodnotami v M, samu rovnici pak jako požadavek na její hodnotu. Časem uvidíme, že vektor (a, b) je v tomto případě právě směrem, ve kterém F nejrychleji roste. Proto bude směr kolmý na (a, b) právě tím směrem, ve kterém zůstává naše funkce F konstantní. Konstanta c pak určuje, kterou ze všech rovnoběžných přímek rovnice určuje. Mějme nyní dvě přímky p a q a ptejme se po jejich průniku pC\q. Ten bude popsán jako bod, splňující obě rovnice přímek současně. Pišme je takto ax + by = r (1-15) ^, cx + a y = s. Opět můžeme levou stranu vnímat jako přiřazení, které každé dvojici souřadnic [x, y] bodů P v rovině přiřadí vektor hodnot dvou skalárních funkcí F\ a F2 daných levými stranami jednotlivých rovnic (1.15). Můžeme tedy naše rovnice napsat jako jediný vztah F (v) = w, kde F je přiřazení, které vektor v popisující polohu obecného bodu v rovině (v našich souřadnicích) zobrazí na vektor zadaný levou stranou rovnic, a požadujeme, aby se toto zobrazení strefilo do předem zadané hodnoty w = (r, s). 1.26. Lineární zobrazení a matice. Přiřazení F, se kterými jsme pracovali při popisu průniku přímek, mají jednu velice podstatnou společnou vlastnost: respektují operace sčítání a násobení s vektory a skaláry, tj. respektují lineární kombinace: F (a ■ v + b ■ w) = a ■ F (v) + b ■ F(w) pro všechny a, b e M, v, w e M2. Říkáme, že F je lineárni zobrazení z M2 do M2, a píšeme F : M2 -> M2. Slovy lze podmínku také vyjádřit tak, že lineární kombinace vektorů se zobrazuje na tutéž lineární kombinaci jejich obrazů, tj. lineární zobrazení jsou ta zobrazení, která zachovávají lineární kombinace. 32 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Se stejným chovaním jsme se setkali i v rovnici (1.13) pro přímku, kde šlo o lineární zobrazení F : ť -> R a jeho předepsanou hodnotu c. To je také důvodem, proč jsou hodnoty zobrazení z = F(x, y) na obrázku vyobrazeny jako rovina v M3. Stručně budeme zapisovat taková zobrazení pomocí tzv. matic a jejich násobení. Maticí rozumíme obdélníkové schéma skalárů, např. a b c d nebo v hovoříme o (čtvercové) matici A a (sloupcovém) vektoru v. Jejich násobení definujeme takto: 'a b\ íx\ íax + by^ ,c d) Vyj ~ \cx +dy A ■ v Podobně, můžeme místo vektoru v zprava násobit jinou maticí B stejného rozměru jako je A. Prostě aplikujeme předchozí formule po jednotlivých sloupcích matice B a obr-držíme jako výsledek opět čtvercovou matici. Neumíme násobit vektor v zprava maticí A protože nám nevychází počty skalárů na řádcích v s počty skalárů ve sloupcích A. Umíme však napsat vektor y s w do řádku skalárů (tzv. transponovaný vektor) w T = (a b) a ten zprava našimi maticemi A nebo vektory v již násobit umíme. Snadno ověříme tzv. asociativitu násobení (propočítejte pro obecné matice A, B a. vektor v detailně): (A ■ B) ■ v = A ■ (B ■ v). Místo vektoru v můžeme samozřejmě psát i libovolnou matici C správného rozměru. Stejně snadno je vidět i distributi-vita A-(B + C) = A-B + A-C, neplatí však komutativita a existují „dělitelé nuly". Např. 0 o)'[p l)~\0 OJ' \0 l)'[p o)~\0 Oj Zejména vidíme, že násobení vektorů pevnou maticí zadává linerání zobrazení, a naopak, pomocí hodnot lineárního zobrazení F na dvou pevných vektorech báze už dostaneme celé příslušné zobrazení. Body v rovině jsou tedy obecně vzory hodnot lineárních zobrazení F roviny do roviny, přímky jsou obecně vzory hodnot lineárních zobrazení z roviny do reálné přímky M. S maticemi a vektory umíme rovnice pro přímky a body psát w (a b) Samozřejmě, ve zvláštních situacích tomu tak být nemusí. Tak třeba průnikem dvou stejných přímek je opět sama přímka (a vzorem vhodné hodnoty pro takové lineární zobrazení bude celá přímka), nulové zobrazení má za vzor nuly Poznámka.Odraz paprsku v třírozměrném prostoru je studován v příkladu 3.47. 1.72. Z bodu [—2, 0] vyrazila v pravé poledne konstantní rychlostí 1 ms"1 ve směru (3, 2) úsečka délky 1. Rovněž v poledne vyrazila z bodu [5, —2] druhá úsečka délky 1 ve směru (—1, 1), ovšem dvojnásobnou rychlostí. Srazí se? Řešení. Přímky, po kterých se pohybují dané úsečky, můžeme popsat parametrickým vyjádřením: p : [-2,0] + r(3,2), q : [5,-2]+5(-l, 1). Obecná rovnice přímky p je 2x - 3y + 4 = 0. Dosazením parametrického vyjádření přímky q získáme průsečík P = [1,2]. Nyní se snažme zvolit jediný parametr t pro obě úsečky tak, aby nám odpovídající bod na přímkách p, resp. q, popisoval polohu počátku první, resp. druhé, úsečky v čase t. V čase 0 je první úsečka v bodě [—2, 0], druhá v bodě [5, —2]. Za čas t sekund urazí první úsečka t jednotek délky ve směru (3, 2) druhá pak 2t jednotek délky ve směru (—1, 1). Odpovídající parametrizace jsou tedy p : [-2,0] + -J=(3,2), V13 q : [5,-2]+ řV2(-l, 1). Počátek první úsečky dorazí do bodu [1, 2] v čase t\ = V13 s, počátek druhé úsečky v čase ř = 2a/2 s, tedy více než o půl vteřiny dříve. Tedy v době, kdy dorazí do průsečíku P počátek první úsečky, bude již konec druhé úsečky pryč a úsečky se tak nesrazí. □ 1.73. Rovinný fotbalista vystřelí míč z bodu F = [1, 0] ve směru (3, 4) na bránu (úsečku) ohraničenou body A = [23, 36] a B = [26, 30]. Směřuje míč do brány? Řešení. Vzhledem k tomu, že se situace odehrává v prvním kvadrantu, stačí uvažovat směrnice vektorů FA, (3,4), FB. Tvoří-li (v tomto pořadí) buďrostoucí nebo klesající posloupnost, míč směřuje na bránu. Tato posloupnost je 36/22, 4/3, 30/25, což je klesající posloupnost, míč tedy směřuje do brány. □ 1.74. Upravte (A - B)T ■ 2C ■ u, přičemž -°2 % » = (-2i ?)• c-(l 1 Řešení. Dosazením 33 E. GEOMETRIE V ROVINE 5. GEOMETRIE V ROVINE A-B (a-By -2 5N a násobením matic dostáváme (A - B)T ■ 2C ■ u -2 -1 5 1 4 -4 8 10 2C 4 -4 8 10 -52 64 □ el. 15 1.25a 1.75. Uvedte příklad matic A a S, pro něž (a) (A + B) ■ (A - B) ^ A ■ A - B ■ B; (b) (A + B) ■ (A + B) ^ A ■ A + 2A ■ B + B ■ B. Řešení. Připomeňme, že uvažujeme dvojrozměrné (čtvercové) matice A a S. Pro libovolné matice A a. B ovšem platí (A + B) ■ (A - B) = A ■ A - A ■ B + B ■ A - B ■ B. Identitu (A + B) ■ (A - B) = A ■ A - B ■ B tak dostaneme, právě když je —A ■ B + B ■ A nulovou maticí, tj. právě když matice A a. B komutují. Příkladem hledaných matic jsou tedy právě ty dvojice matic, které nekomutují (matice součinu se při záměně pořadí násobených matic změní). Můžeme např. zvolit 1 2 3 4 B 2 1 neboť při této volbě je A - B - 1.25b 5\ . _ /13 20N v20 13J' V5 * Analogicky pro každou dvojici matic A, B platí (A + 5) • (A + 5) = A- A + A-B + B- A + B-B. To znamená, že (A + B) ■ (A + B) = A- A + A- B + A- B + B ■ B je splněno tehdy a jenom tehdy, když AB = B-A. Ve druhém případě jsou tak hledané dvojice matic A, B zcela totožné s případem prvním. 1.76. Rozhodněte, zda jsou zobrazení F, G : zeními x\ i Ix — 3y □ l2 zadaná prirá- ta G : 2x + 5y 2x + 2y - 4 ^ 1 4x - 9y + 3 x,y € x, y e lineární. Řešení. Pro libovolný vektor (x, y)T F 7 -2 2 2 4 -9 e M můžeme vyjádřit (x\ ^ ( (x^ y J \\y; X ' + celou rovinu. V prvém případě to poznáme tak, že jsou nalevo v rovnicích (1.15) stejné výrazy až na skalární násobek (nebo jinak řečeno, řádky matice A jsou stejné až na skalární násobek). V takovém případě buď nebude v průniku příslušných přímek žádný bod (rovnoběžné různé přímky) nebo tam budou všechny body přímky (stejné přímky). Tuto podmínku může vyjádřit tak, že poměry a/c ab/d musí být stejné, neboli (1.16) ad — bc 0. Všimněme si, že toto vyjádření už zahrnuje i případy, kdy c nebo d je nulové. 1.27. Determinant matice. Výrazu nalevo v (1.16) říkáme determinant matice A a píšeme pro něj det A ad — bc. Naši diskusi teď můžeme vyjádřit takto: Tvrzení. Determinant je skalární funkce det A definovaná na všech maticích A a rovnice A-v = u je jednoznačně řešitelná, právě když je det A / O. Zkuste promyslet, že pro tuto úvahu bylo podstatné, že pracujeme s polem skalárů. Například nad celými čísly obecně neplatí. Když prostě spočteme řešení rovnic s celočíselnými koeficienty (tj. matice A má pouze celočíselné vstupy), tak toto řešení celočíselné být nemusí. 1.28. Afinní zobrazení. Podíváme se, jak maticová symbolika umožňuje pracovat s jednoduchými zobrazeními v afinní rovině. Viděli jsme, že násobe-ľi. ním maticí je dáno linerání zobrazení. Posunutí v afinní rovině M2 o pevný vektor t maticové formě také snadno zapsat: (r, s) e M umíme v Jestliže k výsledku lineárního zobrazení ještě dovolíme přičíst pevný vektor t = (r, s), pak naše zobrazení bude mít tvar 'x\ (ax + by + rN vy) \cx +dy + sy Takto jsou popsána právě všechna tzv. afinní zobrazení roviny do sebe. Taková zobrazení nám umožní přepočítávání souřadnic vzniklých různými volbami počátků a bází \>, směrů pro posunutí. Co se stane, když náš pozorovatel z odstavce 1.23 bude tutéž rovinu shlížet z jiného bodu nebo si aspoň vybere jiné 2?2? Zkuste si promyslet, že na úrovni souřadnic to skutečně bude právě změna realizovaná pomocí afinního zobrazení. Časem budeme vidět obecné důvody, proč tomu tak je ve všech dimenzích. body E\ 34 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.26 1.26a 1.29. Euklidovská rovina. Přidejme nyní schopnost našeho pozorovatele vidět vzdálenosti. Např. může věřit obvyklému vzorci pro velikost vektoru v = (a, b) \\v\\ = V'a2 + b2 v jím zvolených afinních souřadnicích. Okamžitě pak můžeme definovat pojmy jako jsou úhel a otočení v rovině. Jednoduše si to můžeme představit takto: náš člověk se rozhodne o nějakých bodech E\ a E2, že jsou l^-lf/, od něj ve vzdálenosti jedna, a zároveň si řekne, že jsou na sebe kolmé. Vzdálenosti ve směrech souřadných os pak jsou dány příslušným poměrem, obecně používá Euklidovu (nebo Pythagorovu) větu. Odtud vyjde právě výše uvedený vzorec. ^lAKLIDOI/SK// MI = IIT-QII = l/čTF Náš pozorovatel roviny může samozřejmě postupovat i jinak. Může použít nějaký standard pro skutečné měření vzdálenosti bodů P a Q v rovině a říci, že to je právě velikost vektoru Q — P, který potřebujeme na posunutí z P do Q. Pak si vybere nějaký z vektorů, které skutečně mají velikost 1 a třeba pomocí trojúhelníku o stranách s velikostmi 3, 4 a 5 zkonstruuje kolmý vektor o velikosti jedna a dále pokračuje jako výše. Euklidovská rovina je afinní rovina s výše zavedeným pojmem vzdálenosti. 1.30. Uhel vektorů. Jak jsme již používali při diskusi komplexních čísel coby bodů v rovině, tzv. gonio- ___metrická funkce cos

M2 lze vcelku snadno uhádnout: Je-li totiž výsledkem matice se sloupci (a, c) a (b, d), pak první sloupec dostaneme násobením této matice s prvním vektorem báze (1,0) a druhý je vyčíslením na druhém vektoru báze (0, 1). 36 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Z obrázku je proto vidět, že pro rotaci o úhel ý proti směru hodinových ruček jsou v matici sloupce a b c d cos ý sin ý - sin ý cos ý Směr proti směru hodinových ruček označujeme jako kladný směr rotace, opačný je pak záporný. Proto dostáváme tvrzení: _J Matice rotace | Rotace o předem daný úhel ý v kladném směru kolem počátku souřadnic je dána maticí R^,: cos ý — sin ý sin ý cos ý Nyní, když už víme, jak vypadá matice otočení v rovině, můžeme ověřit, že otočení zachovává vzdálenosti a úhly (definované předešlým vzorcem). Označíme-li obraz vek- toru v jako v = vx cos ý — vy sm ý , sin ý + vy cos ý a podobně w' opravdu platí R f ■ w, pak lze snadno přepočítat, že II "I = NI v' w' 4- v' w' x^x 1 y y VXWX + VyWy. Předchozí výraz lze pomocí vektorů a matic napsat následovně (Rý ■ w)T(Rf ■ v) = wTv. Transponovaný vektor (R^ ■ w)T je roven wT ■ R^, kde R^ je tzv. transponovaná matice k matici R^,. To je matice, jejíž řádky tvoří sloupce původní matice a sloupce naopak tvoří řádky původní matice. Vidíme tedy, že matice otočení splňují vztah Rý ■ Rý = I, matice / (někdy píšeme prostě 1 a máme tím na mysli jednotku v okruhu matic), je tzv. jednotková matice 'l & Tím jsme odvodili pozoruhodné tvrzení — matice F s vlastností, že F ■ Rý = I (budeme takové říkat inverzní matice k matici rotace R^) je maticí transponovanou k původní. To je logické, neboť inverzní zobrazení k rotaci o úhel ý je opět rotace, ale o úhel — ý, tj. inverzní matice R^ je rovna matici R. cos( sin(- -VO -VO — sin(—ý) cos(-ý) cos ý - sin ý sin ý cos ý Pokud bychom chtěli zapsat rotaci kolem jiného bodu P = O + w, P = [wx, wy], opět pomocí matice, snadno napíšeme potřebný vzorec pomocí posunutí: smcp x ) ^ ( cos V y I \ sin cp cos

Rf ■ (v — w) + w cos ý(x — wx) — sin \js(y sin ý(x — wx) + cos \js(y - - Wy) + WX Wy)) + Wy 1.32. Zrcadlení. Dalším dobře známým příkladem zobrazení, která zachovávají velikosti, je tzv. zrca-■ff1'-'' dlení vzhledem kpřímce. Opět nám bude stačit popsat zrcadlení vzhledem k přímkám procházejícím počátkem O a ostatní se z nich odvodí pomocí posunutí, resp. rotací. Hledejme tedy matici zrcadlení vzhledem k přímce s jednotkovým směrovým vektorem v svírajícím úhel ý s vektorem (1,0). Nejprve si uvědomme, že Z0 1 0 0 -1 i o Obecně můžeme každou přímku otočit do směru vektoru (1, 0) a tedy zapsat obecnou matici zrcadlení jako Z,i, = R,i, ■ Z(\ ■ /?_,;,, 38 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA kdy nejprve otočíme maticí přímku do „nulové" polohy, odzrcadlíme maticí Z0 a vrátíme zpět otočením R^,. Můžeme proto (díky asociativitě násobení matic) spočíst: 1 0 \ / cosý sin ^0 — ly sini/^ cosi/r, cos ý sinÝ — sini/^ cosý/ 2 sin ý cos ý - (cos2 ý — sm2 VO COS l/f sin COS l/f sin cos2 ý — sin i/r cos ý sin i/r — cos ý — sin2 i/f 2 sin i/f cos i/f cos2i/f sin2i/f sin 21/f — cos2i/f/ Použili jsme přitom obvyklé součtové vzorce pro goniometrické funkce. Povšimněme si také, že • Z0 je dáno: cos2i/f sin 21/f \ (\ 0 \ _ /cos 21/f — sin2i/fN sin 21/f — cos2i/fy ^0 — 1/ ^^2^ cos2i/f Toto pozorování lze zakreslit a zformulovat následovně Tvrzení. Otočení o úhel ý obdržíme následným provedením dvou zrcadlení vzhledem ke směrům, které spolu svírají úhel Pokud umíme odůvodnit předchozí tvrzení ryze geometrickou úvahou (zkuste si zahrát na ; „syntetického geometra"), dokázali jsme právě standardní vzorce pro goniometrické funkce dvojnásobného úhlu. Hlubší je následující rekapitulace předchozích úvah (skoro si můžeme říci, že už umíme dokázat skutečně zajímavý matematický výsledek): Zobrazení zachovávající velikosti 1.33. Věta. Lineární zobrazení euklidovské roviny je složeno z jednoho nebo více zrcadlení, právě když je dáno maticí R splňující 61 2 ■ středové symetrii. Další vrcholy A2, ..., A2n+i získáme zobrazováním bodu A\ ve středových souměrnostech podle S\, ..., S2n+\. □ 1.90. Určete obsah trojúhelníku ABC, je-li A = [-8, 1], B = [-2,0], C = [5,9]. Řešení. Víme, že obsah je roven polovině determinantu matice, jejíž první sloupec je dán vektorem S — A a druhý sloupec vektorem C —A, tj. determinantu matice -2-(-8) 5-(-8)N 0-1 9-1 Jednoduchý výpočet tak dává výsledek I ((_2 - (-8)) . (9 - 1) - (5 - (-8)) • (0 - 1)) Dodejme, že při záměně pořadí vektorů by hodnota determinantu měla opačné znaménko (její absolutní hodnota by tedy zůstala stejná) a že by se vůbec nezměnila, kdybychom vektory (při zachování pořadí) napsali do řádků. □ 1.91. Spočtěte obsah S čtyřúhelníku vymezeného jeho vrcholy [1, 1], [6, 1], [11, 4], [2,4]. Řešení. Nejprve si označme vrcholy (proti směru pohybu hodinových ručiček) A = [1,1], S = [6,1], C = [11, 4], D = [2, 4]. Pokud rozdělíme čtyřúhelník ABC D na trojúhelníky ABC a ACD, můžeme získat jeho obsah jako součet obsahů těchto trojúhelníků, a to vyčíslením determinantů 6-1 11-1 1-1 4-1 d\ d2 11 4 - - 1 1 5 10 0 3 10 1 3 3 kde ve sloupcích jsou postupně vektory B —A, C —A (pro d\) a C — A, D — A (pro d2). Potom 21. c _ Zachování velikosti tedy znamená, že pro všechna x a y je (ax + by)2 + (cx + dy)2 (a2 + c2)x2 + (b2 + d2) y2 + 2(ab + cd)xy. Protože má tato rovnost platit pro všechna x a y, musí si být rovny koeficienty u jednotlivých mocnin x2, y2 a x y na pravé i levé straně. Tím jsme spočetli, že rovnosti kladené na matici R v prvním tvrzení dokazované věty jsou ekvivalentní vlastnosti, že příslušné zobrazení zachovává velikosti. Díky vztahu a2 + c2 = 1 můžeme předpokládat, že a = coscp a c = sin

, w), kde si pro určitost za P volíme počátek a posunutím se obsah stejně nemění. Ze zadání je vidět, že hledaná hodnota je polovinou plochy rovnoběžníku nataženého na vektory v a w a snadno se 40 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA spočte (pomocí známého vzorečku: základna krát příslušná výška) nebo prostě vidí z obrázku, že nutně platí vol A(i> + v', w) = vol A(i>, w) + vol A(i/, w) vol A(av, w) = a vol A(v, w). -1 0 3 — Tt 5 — 7T »- >> Nakonec ještě přidáme k našemu zadání požadavek vol A(v, w) = — vol A(w, v), který odpovídá představě, že opatříme plochu znaménkem podle toho, v jakém pořadí bereme vektory (tj. jestli se na ni díváme shora nebo zespodu). Pokud vektory v a w napíšeme do sloupců matice A, pak A = (v, w) i—> det A splňuje všechny tři naše požadavky. Kolik takových zobrazení ale může být? Každý vektor umíme vyjádřit pomocí dvou bázových vektorů e\ = (1,0) a e2 = (0,1) a díky linearitě je tedy každá možnost pro vol A jednoznačně určena už vyčíslením na těchto vektorech. Protože ale pro obsah, stejně jako pro determinant, je zjevně vol A(ei, e\) = vol A(e2, e2) = 0 (kvůli požadované antisymetrii), je nutně každá taková skalární funkce jednoznačně zadána hodnotou na jediné dvojici argumentů (e\, e2). Jsou si tedy všechny možnosti rovny až na skalární násobek. Ten umíme určit požadavkem vol A( 0, 1-3 -2-3 4 - (n - 2) -2 - (Tt - 2) -2 ■ (-Tt) - (-5) ■ (6 - Tt) >0. Z bodu X jsou tedy vidět právě strany určené dvojicemi vrcholů [-2,-2], [2, 1] a [2, 1], [3, 3]. □ 1.95. Uvedte strany pětiúhelníku s vrcholy v bodech [—2, —2], [-2,2], [1,4], [3,1] a [2,-11/6], které je možné vidět z bodu [300, 1]. Řešení. Pro zjednodušení zápisů „tradičně" položme A = [—2, —2], B = [2, —11/6], C = [3,1], D = [1,4], £" = [-2,2]. Strany BC a CD jsou zjevně z pozice bodu [300, 1] viditelné; naopak strany DE a E A být vidět nemohou. Pro stranu AB raději určeme -2-300 2^300 =_302.(_¥)_(_298).(_3)<0. z 1 6 1 Odsud plyne, že tato strana je z bodu [300, 1] vidět. □ 1.96. Viditelnost stran trojúhelníka. Je dán trojúhelník s vrcholy A = [5, 6], B = [7, 8], C = [5, 8]. Určete, které jeho strany je vidět z bodu P = [0, 1]. Řešení. Uspořádáme vrcholy v kladném smyslu, tedy proti směru hodinových ručiček: [5, 6], [7, 8], [5, 8]. Pomocí příslušných determinantů určíme, je-li bod [0, 1] „nalevo" či „napravo" od jednotlivých stran trojúhelníka uvažovaných jako orientované úsečky, > 0, B - P 1 7 C - P 5 7 A - P 5 5 B - P 7 7 C - P 5 7 A - P — 5 5 < 0. Z nulovosti posledního determinantu vidíme, že body [0, 1], [5, 6] a [7, 8] leží na přímce, stranu A B tedy nevidíme. Stranu BC rovněž tak nevidíme, na rozdíl od strany A C, pro kterou je příslušný determinant záporný. □ 1.97. Určete, které strany čtyřúhelníka s vrcholy A = [95, 99], B = [130, 106], C = [40, 60], D = [130, 120]. jsou viditelné z bodu [2, 0]. 41 F. ZOBRAZENÍ A RELACE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ Řešení. Nejprve je třeba určit strany čtyřúhelnfka („správné" pořadí vrcholů): ACBD. Po spočítání příslušných determinantů jako v před- obraázekje naopak! chozích příkladech zjistíme, že je vidět pouze strana CB. □ F. Zobrazení a relace 1.98. Rozhodněte, zda následující relace na množině M jsou relace ekvivalence: i) M = {f : R -> R}, kde (/ ~ g), pokud /(O) = g(0). ii) M = {f : R -> R}, kde (/ ~ g), pokud /(O) = g(l). iii) M je množina přímek v rovině, přičemž dvě přímky jsou v relaci, jestliže se neprotínají. iv) M je množina přímek v rovině, přičemž dvě přímky jsou v relaci, jestliže jsou rovnoběžné. v) M = N, kde (m ~ n), pokud S(m) + S(n) = 20, přičemž S(n) značí ciferný součet čísla n. vi) M = N, kde (m ~ n), pokud C(m) = C(n), kde C(n) = S(n), pokud je ciferný součet S(n) menší než 10, jinak definujeme C(n) = C(S(n)) (je tedy vždy C(n) < 10). Řešení. i) Ano. Ověříme tři vlastnosti ekvivalence: i) Reflexivita: pro libovolnou reálnou funkci / je /(O) = /(O). ii) Symetrie: jestliže platí /(O) = g(0), pak i g(0) = f(0). iii) Tranzitivita: jestliže platí /(O) = g(0) a g(0) = h(0), pak platí i /(O) = A(0). ii) Ne. Definovaná relace není reflexivní, např pro funkci sin máme sin 0 ^ sin 1 a není ani tranzitivní. těch nalevo (což odpovídá představě, že objekt ohraničený orientovanými hranami proti směru hodinových ručiček má nalevo od nich svůj vnitřek, přes který tedy není hranu vidět). iii) Ne. Relace opět není reflexivní (každá přímka protínálskn^P sebe) ani tranzitivní. iv) Ano. Třídy ekvivalence pak tvoří množinu neorientovaných směrů v rovině. v) Ne. Relace není reflexivní. 5(1) + 5(1) = 2. vi) Ano. □ 1.99. Máme množinu {3, 4, 5, 6, 7}. Napište explicitně relaci i) a dělí b ii) a dělí b nebo b dělí a iii) a a b jsou soudělná 1.100. Nechť je na R2 definována relace R tak, že ((a, b), (c, d)) e R pro libovolná a, b, c, d e R, právě když b = d. Zjistěte, zda se Máme-li dán nějaký bod C, spočtěme orientovanou plochu příslušného trojúhelníku zadaného vektory A — C a B — C. Pokud jsme s bodem C nalevo od úsečky, pak při obvyklé kladné orientaci proti směru hodinových ruček bude vektor A — C dříve než ten druhý a proto výsledná plocha (tj. hodnota determinantu matice jejímiž sloupci jsou tyto dva vektory) bude kladná. Naopak, při opačné poloze bude výsledkem záporná hodnota determinantu a podle záporné hodnoty determinantu zjistíme, že je náš bod od úsečky napravo. Uvedený jednoduchý postup je skutečně často využíván pro testování polohy při standardních úlohách v 2D grafice. 6. Relace a zobrazení V této závěrečné části úvodní motivační kapitoly se vrátíme k formálnímu popisu matematických struktur, budeme se je ale průběžně snažit ilustrovat y k na již známých příkladech. Zároveň můžeme tuto část brát jako cvičení ve formálním přístupu k objektům a konceptům matematiky. 1.36. Relace mezi množinami. Nejprve potřebujeme definovat kartézský součin A x B dvou množin A a B. Je to množina všech uspořádaných dvojic (a, b) takových, že a e A a b e B. Binární relací mezi množinami A a. B pak rozumíme libovolnou podmnožinu R kartézského součinu Ax B. Často píšeme a ~R b pro vyjádření skutečnosti, že (a, b) e R, tj. že body a e A a b e B jsou v relaci R. Definičním oborem relace je podmnožina Z) c A, D = {a e A; 3b e B, (a, b) e R}. Slovy vyjádřené, je to množina prvků a z množiny A takových, že existuje prvek b z množiny B tak, že (a, b) patří do relace R. Stručnej i, j sou to takové prvky z A, které maj í obraz v B. Podobně oborem hodnot relace je podmnožina / c S, / = {b e B; 3a e A, (a, b) e R], to znamená takové prvky v B, které mají vzor v A. 42 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Speciálním případem relace mezi množinami je zobrazení z množiny A do množiny B. Je to případ, kdy pro každý prvek definičního oboru re-.• lace existuje právě jeden prvek z oboru hodnot, který je s ním v relaci. Nám známým případem zobrazení jsou všechny skalární funkce, kde oborem hodnot zobrazení je množina skalárů, třeba celých nebo reálných čísel. Pro zobrazení zpravidla používáme značení, které jsme také u skalárních f uncí zavedli. Píšeme /:DCA^/CS, f (a) = b pro vyjádření skutečnosti, že (a, b) patří do relace, a říkáme, že b je hodnotou zobrazení / v bodě a. Dále říkáme, že / je • zobrazení množiny A do množiny B, jestliže je D = A, • zobrazení množiny A na množinu B, jestliže je D = A a I = B, často také surjektivní zobrazení • prosté (často také injektivní zobrazení), jestliže je D = A a pro každé bel existuje právě jeden vzor a e A, f (a) = b. Vyjádření zobrazení / : A -» B jakožto relace /cAxS, f = {(a, f (a)); a e A} známe také pod názvem graf zobrazení f. \ 1.37. Skládání relací a funkcí. U zobrazení je jasná koncepce, jak se skládají. Máme-li dvě zobrazení / :A^8a g : B -» C, pak jejich složení g o f : A -» C je definováno (g o f)(a) = g(f(a)). Ve značení používaném pro relace totéž můžeme zapsat jako /cAxS, f = {(a,f(a)); a e A} #c£xC, 8 = {(b,g(b));beB} gof^AxC, gof = {(a,g(f(a)));aeA}. jedná o relaci ekvivalence. Pokud jde o relaci ekvivalence, popište geometricky rozklad, který určuje. Řešení. Z ((a, b), (a, b)) e R pro všechna a, b e M plyne, že relace je reflexivní. Stejně snadno vidíme, že relace je symetrická, neboť v rovnosti (druhých složek) můžeme zaměnit levou a pravou stranu. Je-li ((a, b), (c, d)) e R a ((c, d), (e, f)) e R, tj. platí-li b = d ad = f, lehce dostáváme splnění tranzitivní podmínky ((a, b), (e, f)) e R, tj. b = f. Relace R je relací ekvivalence, kdy body roviny jsou spolu v relaci, právě když mají stejnou druhou souřadnici (přímka jimi zadaná je kolmá na osu y). Příslušný rozklad proto rozdělí rovinu na přímky rovnoběžné s osou x. □ 1.101. Určete, kolik různých binárních relací lze zavést mezi množinou X a množinou všech jejích podmnožin, má-li množina X právě 3 prvky. Řešení. Nejprve si uvědomme, že množina všech podmnožin X má 23 = 8 prvků, a tudíž její kartézský součin s množinou X má 8 • 3 = 24 prvků. Uvažovanými binárními relacemi jsou právě podmnožiny tohoto kartézského součinu, kterých je celkem 224. □ 1.102. Uvedlte definiční obor D a obor hodnot / relace R = {(a, v), (b, x), (c, x), (c, u), (d, v), (/, y)} mezi množinami A = {a, b, c, d, e, f) a B = {x, y, u, v, w}. Je relace R zobrazení? Řešení. Přímo z definice definičního oboru a oboru hodnot relace dostáváme D = {a, b, c, d, f} C A, / = {x, y, u, v} C B. Nejedná se o zobrazení, protože (c, x), (c, u) e R, t), c e D má dva obrazy. □ 1.103. O každé z následujících relací na množině {a, b, c, d} rozhodněte, zda se jedná o relaci uspořádání (příp. zda se jedná o úplné uspořádání): Ra ={ Rh = { Rc ={ (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (b, a), (b, c), (b, d)}, (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (d, a), (a, d)}, (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, c), (b, d)}, Rd = { (a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)}, Re = { (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c,d)}. Řešení. Ra je uspořádání, které není úplné (např. (a, c) <£ Ra ani (c, a) £ Ra). Relace Rh není antisymetrická (je totiž (a, d) e Rh i 43 F. ZOBRAZENÍ A RELACE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ (d, a) e Rh), a tudíž se nejedná o uspořádání (jde o ekvivalenci). Relace Rc a Rd rovněž nejsou uspořádáními, protože nejsou tranzitivní (např. (a,b),(b,c) e Rc, Rd, (a, c) £ Rc, Rd) a dokonce ani reflexivní {{d, d) <£ Rc, (d, d) £ Rd). Relace Re je úplné uspořádání (pokud budeme (a, b) e R interpretovat jako a < b, pak a < b < c < d). □ 1.105. Stanovte počet zobrazení množiny {1, 2} do množiny {a,b,c}. Kolik z nich je surjektivních a kolik injektivních? Řešení. Prvku 1 můžeme v rámci zobrazení přiřadit libovolně jeden ze tří prvků a,b, c. Podobně také pro prvek 2 máme tři možnosti. Podle (kombinatorického) pravidla součinu tak existuje celkem 32 zobrazení množiny {1,2} do množiny {a, b, c}. Surjektivní žádné z nich být nemůže, neboť konečná množina {a, b, c} má více prvků než množina {1, 2}. Při libovolném zobrazení prvku 1 (tři možnosti) obdržíme injektivní zobrazení, právě když prvek 2 zobrazíme na jiný prvek (dvě možnosti). Vidíme tedy, že injektivních zobrazení množiny {1,2} do množiny {a, b, c} je 6. □ 1.106. Určete počet injektivních zobrazení množiny {1,2,3} do množiny {1, 2, 3, 4}. Řešení. Libovolné injektivní zobrazení mezi uvažovanými množinami je dáno výběrem (uspořádané) trojice z množiny {1,2,3,4} (prvky ve vybrané trojici budou po řadě obrazy čísel 1, 2, 3) a obráceně každé injektivní zobrazení nám zadává takovou trojici. Je tedy hledaných injektivních zobrazení stejně jako možností výběru uspořádaných trojic ze čtyř prvků, tedy v(3, 4) = 4 • 3 • 2 = 24. □ | 1 32 1.107. Určete počet surjektivních zobrazení množiny {1,2, 3, 4} na množinu {1, 2, 3}. Řešení. Hledaný počet určíme tak, že od počtu všech zobrazení odečteme ta, která nejsou surjektivní, to jest ta, jejichž obor hodnot je buď jednoprvkovou nebo dvouprvkovou množinou. Všech zobrazení Zcela obdobně definujeme skládání relací, v předcho- zích vztazích jen doplníme existenční kvantifikátory, tj. musíme uvažovat všechny „vzory" a . všechny „obrazy". Uvažme relace R c A x B, í- K í x C. Potom S o Ä c A x C, S o R = {(a, c); 3b e B, (a, b) e R, (b, c) e 5}. s každou C ________ ^ Pro každou relaci R __\ Ax B definujeme inverzní relaci R-1 = {(b, a); (a, b) e R] c B x A. Pozor, u zobrazení, je stejný pojem užíván ve specifičtější situaci. Samozřejmě, že existuje pro každé zobrazení jeho in-vezní relace, ta však nemusí být zobrazením. Zcela logicky proto hovoříme o existenci inverzního zobrazení, pokud každý prvek b e B je obrazem pro právě jeden vzor v A. V takovém případě je samozřejmě inverzní zobrazení právě inverzní relací. Všimněme si, že složením zobrazení a jeho inverzního zobrazení (pokud obě existují) vždy vznikne identické obražení, u obecných relací tomu tak být nemusí. 1.38. Relace na množině. V případě A = B hovoříme o relaci na množině A. Říkáme, že relace i? je: • reflexivní, pokud iáA c R, tj. (a, a) e R pro všechny a e A, • symetrická, pokud R~l = i?, tj. pokud (a,b) e R, pak i (b, a) e R, 1.104. Rozhodněte, zda je zobrazení / injektivní, resp. surjektivní, jestliže (a) / : Z x Z Z, f((x, y)) = x + y - 10x2; (b) / : N N x N, f (x) = (2x, x2 + 10) . Řešení. Ve variantě (a) je uvedeno surjektivní zobrazení (postačuje položit x = 0), které není injektivní (stačí zvolit (x, y) = (0, —9) a (x, y) = (1, 0)). Ve variantě (b) se naopak jedná o injektivní zobrazení (obě jeho složky, tj. funkce y = 2x a y = x2 + 10, jsou evidentně rostoucí na N), které není surjektivní (např. dvojice (1, 1) nemá vzor). □ Zvláštním případem relace je identické zobrazení íÚa = {(a, a) e A x A; a e A} na množině A. Je neutrální vzhledem ke skládání relací s definičním oborem nebo oborem hodnot A. 1. 32 44 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA antisymetrická, pokud R~lľ\R c idA, tj. pokud (a, b) e R a zároveň (b, a) e i?, pak a = b, tranzitivní, pokud R o R c i?, tj. pokud z (a, b) e i? a (ŕ, c) e i? vyplývá i (a, c) e i?. Relace se nazývá ekvivalence, pokud je současně reflexivní, symetrická i tranzitivní. Relace se nazývá uspořádání jestliže je reflexivní, tranzitivní a antisymetrická. Relaci uspořádání obvykle značíme symbolem <, tj. skutečnost, že prvek a je v relaci s prvkem b, značíme a < b. Zde je dobré si uvědomit, že relace <, tj. „býti ostře menší než", mezi reálnými (racionálními, celými, přirozenými) čísly není relace uspořádání, protože není reflexivní. Dobrým příkladem uspořádání je inkluze. Uvažme množinu 2A všech podmnožin konečné množiny A (značení je speciálním případem obvyklé notace BA pro množinu všech zobrazení z A do B; prvky množiny 2A jsou tedy zobrazení A -» {0, 1}, které "říkají", zda určitý prvek je či není v dané podmnožině). Na množině 2A máme relaci c danou vlastností „být podmnožinou". Je tedy X c Z právě, když je X podmnožinou v Z. Evidentně jsou přitom splněny všechny tři vlastnosti pro uspořádání: skutečně, je-li X c Y a zároveň Y c X musí být nutně množiny X a Y stejné. Je-li XcfcZje také X c Z a také reflexivita je zřejmá. Říkáme, že uspořádání < na množině A je úplné, když pro každé dva prvky a, b e A platí, že jsou srovnatelné, tj. buď a < b nebo b < a. Všimněme si, že ne všechny dvojice (X, Y) podmnožin v A jsou srovnatelné v tomto smyslu. Přesněji, pokud je v A více než jeden prvek, existují podmnožiny X a Y, kdy není ani X c Y ani ľcl Připomeňme rekurentní definici přirozených čísel N = {0,1,2, 3,...}, kde 0 = 0, n + 1 = {0, 1,2, ...,«}. Na této množině N definujeme relaci < následovně: m < n, právě když m e n nebo m = n. Evidentně jde o úplné uspořádání. Např. 2 < 4, protože 2 = {0, {0}} s {0, {0}, {0, {0}}, {0, {0}, {0, {0}}}} = 4. Jinak řečeno, samotná rekurentní definice zadává vztah n < n + la tranzitivně pak n < k pro všechna k, která jsou tímto postupem definována později. 1.39. Rozklad podle ekvivalence. Každá ekvivalence R na množině A zadává zároveň rozklad množiny % A na podmnožiny vzájemně ekvivalentních prvků, tzv. třídy ekvivalence. Pro libovolné a e A uvažujeme třídu (množinu) prvků, které jsou ekvivalentní s prvkem a, tj. Ra = {b e A; (a,b) e R}. Často budeme psát pro Ra prostě [a], je-li z kontextu zřejmé, o kterou ekvivalenci jde. je V (3, 4) = 34, zobrazení, jejichž oborem hodnot je jednoprvková množina, jsou tři. Počet zobrazení, jejichž oborem hodnot je dvouprvková množina, je (3) (24 — 2) ((3) způsoby můžeme vybrat obor hodnot a máme-li již dva prvky fixovány, máme 24 — 2 možností, jak na ně zobrazit čtyři prvky). Celkem je tedy počet hledaných surjektivních zobrazení (1.3) 34- í^)(24 - 2)- 3 = 36. □ 1.108. Určete počet surjektivních zobrazení / množiny {1,2,3,4,5} na množinu {1,2,3} takových, že /(l) = f (2). Řešení. Každé takové zobrazení je jednoznačně dáno obrazem prvků {1, 3, 4, 5}, těchto zobrazení je tedy přesně tolik, kolik je zobrazení surjektivních zobrazení množiny {1, 3, 4, 5} na množinu {1, 2, 3}, tedy 36, jak víme z předchozího příkladu. □ 1.109. Hasseův diagram uspořádání. Hasseův diagram daného uspořádání < na n -prvkové množině M je diagram s n vrcholy (každý vrchol odpovídá právě jednomu prvku množiny), přičemž dva vrcholy (prvky) a, b jsou spojeny (víceméně svislou) čarou (tak, že a je „dole" a b „nahoře"), právě když b pokrývá a,t\. a < ba. neexistuje c e M tak, že a < c & c < b. 1.110. Určete počet relací uspořádání na čtyřprvkové množině. Řešení. Postupně projdeme všechny možné Hasseovy diagramy uspořádání na nějaké čtyřprvkové množině M a spočítáme, kolik různých uspořádání (tj. podmnožin množiny M x M) má daný Hasseův diagram, viz obr.: f j \ •A < . \ f v • í ÍL Ĺ I 2 \« p v r, 1 T i 1 n j v v. Y 4' t é h 4i Z v í' Celkem tedy je 219 uspořádání na čtyřprvkové množině. □ 1.111. Určete počet relací uspořádání množiny {1, 2, 3, 4, 5} takových, že právě dvě dvojice prvků jsou nesrovnatelné. 1.112. Vypište všechny relace na dvouprvkové množině {1, 2}, jež současně nejsou reflexivní, jsou symetrické a nejsou tranzitivní. Řešení. Reflexní relace jsou právě ty, které obsahují obě dvojice (1, 1), (2, 2). Tím jsme vyloučili relace 45 F. ZOBRAZENÍ A RELACE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ {(1,1), (2, 2)}, {(1,1), (2, 2), (1,2)}, {(1,1), (2, 2), (2,1)}, {(1,1), (2, 2), (1,2), (2, 1)}. Zbývající relace, které jsou symetrické a nejsou tranzitivní, musejí obsahovat (1, 2), (2, 1). Pokud taková relace obsahuje jednu z těchto dvou uspořádaných dvojic, musí obsahovat rovněž druhou (podmínka symetrie). Kdyby neobsahovala ani jednu z těchto dvou uspořádaných dvojic, pak by očividně byla tranzitivní. Z celkového počtu 16 ^la^ na dvouprvkové množině jsme tak vybrali {(1,2), (2,1)}, {(1,2), (2,1), (1,1)}, {(1,2), (2,1), (2, 2)}. Je vidět, že každá z těchto 3 relací není reflexivní, je symetrická a není tranzitivní. □ 1.113. Určete počet relací ekvivalence na množině {1, 2, 3, 4}. Řešení. Ekvivalence můžeme počítat podle toho, kolik prvků mají jejich třídy rozkladu. Pro počty prvků tříd rozkladu ekvivalencí na čtyř-prvkové množině jsou tyto možnosti: Počty prvků ve třídách rozkladu počet ekvivalencí daného typu 1,1,1,1 1 2,1,1 0 2,2 \0 3,1 0 4 1 Celkem tedy máme 15 různých ekvivalencí. □ Poznámka. Obecně počet tříd rozkladu n -prvkové množiny udává Bellovo číslo Bn+k, pro které lze odvodit rekurentní formuli n Bn + 1 = J2 ("k)Bk- 1.114. Kolik existuje relací na rc-prvkové množině? Řešení. Relace je libovolná podmnožina kartézského součinu množiny se sebou samou. Tento kartézský součin má n2 prvků, a je 2 tedy počet všech relací na n -prvkové množině 2" . □ 1.115. Kolik existuje reflexivních relací na rc-prvkové množině? Řešení. Relace na množině M je reflexivní, právě když je diagonální relace AM = {(a, a), kde a e M} j ej í podmnožinou. U zbylých n2—n uspořádaných dvojic v kartézském součinu M x M máme nezávislou volbu, jestli daná dvojice v dané relaci bude či ne. Celkem tedy máme 2 2" ~" různých reflexivních relací na n -prvkové množině. □ 1.116. Kolik existuje symetrických relací na rc-prvkové množině? Řešení. Relace na množině M je symetrická, právě když je její průnik s každou množinou {(a, b), (b, a), kde a ^ b, a, b e M} buď Zjevně Ra = Rh, právě když (a, b) € R a každá taková třída ekvivalence je tedy reprezentována kterýmkoli v svým prvkem, tzv. reprezentantem. Zároveň Ra n Rh ^ 0, právě když Ra = Rh, tj. třídy ekvivalence jsou po dvou disjunktní. Konečně, A = UaeARa, tj. celá množina A se skutečně rozloží na jednotlivé třídy. Můžeme také třídám rozkladu rozumět tak, že třídu [a] vnímáme jako prvek a „až na ekvivalenci". Konstrukce celých a racionálních čísel. Na přirozených číslech umíme sice sčítat a víme, že přičtením nuly se číslo nezmění. Umíme i definovat odečítání, při něm ale jen někdy existuje výsledek v množině 1 N. Základní ideou konstrukce celých čísel z přirozených je tedy přidat k nim chybějící rozdíly. To můžeme udělat tak, že místo výsledku odečítání budeme pracovat s uspořádanými dvojicemi čísel, které nám samozřejmě vždy výsledek dobře reprezentují. Zbývá jen dobře definovat, kdy jsou (z hlediska výsledku odečítání) takové dvojice ekvivalentní. Potřebný vztah tedy je: (a, b) ~ (a', b') a—b = a' — b' a+b' = a'+b. Všimněme si, že zatímco výrazy v prostřední rovnosti v přirozených číslech neumíme, výrazy vpravo už ano. Snadno ověříme, že skutečně jde o ekvivalenci a její třídy označíme jako celá čísla Z. Na nich definujeme operaci sčítání (a s ní i odečítání) pomocí reprezentantů. Např. [(a,b)] + [(c,d)] = [(a+c,b+d)], což zjevně nezávisí na výběru reprezentantů. Lze si přitom vždy volit reprezentanty (a, 0) pro kladná čísla a reprezentanty (0, a) pro čísla záporná, se kterými se nám bude patrně počítat nejlépe. Tento jednoduchý příklad ukazuje, jak důležité je umět nahlížet na třídy ekvivalence jako na celistvý objekt a soustředit se na vlastnosti těchto objektů, nikoliv formální popisy jejich konstrukcí. Ty jsou však důležité k ověření, že takové objekty vůbec existují. U celých čísel nám už platí všechny vlastnosti skalárů (KG1)-(KG4) a (01)-(04), viz odstavce 1.1 a 1.3. Pro násobení je neutrálním prvkem jednička, ale pro všechna čísla a různá od nuly a jedničky neumíme najít číslo a~l s vlastností a ■ a~l = 1, tzn. chybí nám inverzní prvky pro násobení. Zároveň si povšimněme, že platí vlastnost oboru integrity (Ol), viz 1.3, tzn. je-li součin dvou čísel nulový, musí být alespoň jedno z nich nula. Díky poslední jmenované vlastnosti můžeme zkonstruovat racionální čísla Q přidáním všech chybějících inverzí zcela obdobným způsobem, jak jsme konstruovali Z z množiny N. Na množině uspořádaných dvojic (p, q), q ^ 0, celých čísel definujeme relaci ~ tak, jak očekáváme, že se 46 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA mají chovat podíly p/q: (/>>q) ~ (/>',q') p/q = p' 14 p-q' = p' -q- Opět neumíme očekávané chování v prostřední rovnosti v množině Z formulovat, nicméně rovnost na pravé straně ano. Zjevně jde o dobře definovanou relaci ekvivalence (ověřte podrobnosti!) a racionální čísla jsou pak její třídy ekvivalence. Když budeme formálně psát p/q místo dvojic (p, q), budeme definovat operace násobení a sčítání právě pomocí formulí, které nám jsou jistě dobře známy. 1.41. Zbytkové třídy. Jiným dobrým a jednoduchým pří-^jPa^ kladem jsou tzv. zbytkové třídy celých čísel. /■^^T"^"' Pro pevně zvolené přirozené číslo k definujeme ^ ekvivalenci ~k tak, že dvě čísla a, b e Z jsou x:'/i—• ekvivalentní, jestliže jejich zbytek po dělení číslem k je stejný. Výslednou množinu tříd ekvivalence označujeme Zj-. Nejjednodušší je tato procedura pro k = 2. To dostáváme Z2 = {0, 1}, kde nula reprezentuje sudá čísla, zatímco jednička čísla lichá. Opět lze snadno zjistit, že pomocí reprezentantů můžeme koerektně definovat násobení a sčítání na každém Z«-. Věta. Zbytkové třídy Z* jsou komutativním tělesem skalárů (tj. splňují i vlastnost (P) z odstavce 1.3), právě když je k prvočíslo. Pokud k prvočíslem není, obsahuje Z vždy dělitele nuly, není proto ani obor integrity. Důkaz. Okamžitě je vidět druhé tvrzení — jestliže x ■ y = k pro přirozená čísla x, y, pak samozřejmě je výsledek násobení příslušných tříd [x] ■ [y] nulový. Naopak, jsou-li x a k nesoudělná, existují podle tzv. Bez-outovy rovnosti, kterou dovodíme později (viz ??) přirozená čísla a a b splňující a x + b k = 1, což pro odpovídající třídy ekvivalence dává [a] ■ [x] + [0] = [a] ■ [x] = [1] a proto je [a] inverzním prvkem k [x]. □ celá daná dvouprvková množina, nebo je tento průnik prázdný. Dvouprvkových podmnožin množiny M je Q) a pokud kromě průniků s těmito množinami ještě určíme průnik dané relace s diagonální relací AM = {(a, a), kde a e M}, je tímto daná relace jednoznačně určena. Celkem můžeme provést ("2) + n nezávislých voleb mezi dvěma alternativami: každá množina typu {(a, b), (b, á)\kde a, b e M, a ^ b} je buď podmnožinou dané relace, nebo ani jeden z jejich prvků v dané relaci neleží a každá dvojice (a, a), a e M, potom také buď v relaci leží nebo ne. Celkem tedy máme 2®+" symetrických relací na n -prvkové množině. □ 1.117. Kolik existuje antisymetrických relací na rc-prvkové množině? Řešení. Relace na množině M je antisymetrická, právě když její průnik s každou množinou {(a, b), (b, a)} a ^ b, a, b e M není dvoj-prvkový (jsou tedy tři možnosti jak průnik vypadá, buďje to množina {(a,b)}, nebo {(b,a)}, nebo je průnik prázdný). Průnik s diagonální relací pak může být libovolný. Určením těchto všech průniků je relace jednoznačně určena. Celkem máme 3(2)2" antisymetrických relací na n -prvkové množině. □ 1.118. Určete počet relací na množině {1,2,3,4}, které jsou současně symetrické i tranzitivní. 1.119. Určete počet relací uspořádání na tříprvkové množině. 1.120. Určete počet relací uspořádání na množině {1, 2, 3, 4} takových, že prvky 1 a 2 jsou nesrovnatelné (tedy neplatí 1 -< 2 ani 2 < 1, kde < je označení uvažované relace uspořádání). 1.121. Nechť pro libovolná celá čísla k, l platí (k,l) e R právě tehdy, když je číslo 4k — 41 celočíselným násobkem 7. Je takto zavedená relace R ekvivalence, uspořádání? Řešení. Uvědomme si, že dvě celá čísla jsou spolu v relaci R, právě když dávají stejný zbytek po dělení 7. Jde tedy o příklad tzv. zbytkové třídy celých čísel. Proto víme, že relace R je relací ekvivalence. Její symetrie (např. (3, 10), (10, 3) e Ä, 3 / 10) pak implikuje, že se nejedná o uspořádání. □ 1.122. Nechť je na množině = {3, 4, 5, ... ,n,n + 1, ...} definována relace R tak, že dvě čísla jsou v relaci, právě když jsou nesoudělná (tedy neobsahuje-li prvočíselný rozklad uvažovaných dvou čísel ani jedno stejné prvočíslo). Zjistěte, zdaje tato relace reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní. Řešení. Pro dvojici stejných čísel platí, že (n, n) ^ R. Nejedná se tedy o reflexivní relaci. Být „soudělný" nebo „nesoudělný" pro dvojici čísel 47 F. ZOBRAZENÍ A RELACE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ z N je zřejmě vlastnost neuspořádané dvojice - nezávisí na uvedeném pořadí uvažovaných čísel, a proto je relace R symetrická. Ze symetrie relace R plyne, že není antisymetrická (např. (3,5) e R, 3 ^ 5). Neboť je i? symetrická a (n, n) £ R pro libovolné číslo n e N, volba dvou různých čísel, která jsou spolu v této relaci, dává, že R není tranzitivní. □ 48 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA G. Doplňující příklady k celé kapitole Vidíme tedy, že již hledání odmocnin nás nutí k rozšíření racionálních čísel na reálná. Jako cvičení si dokažte 1.123. Nechť t a m jsou kladná celá čísla. Ukažte, že číslo ^ft je buďpřirozené, nebo není racionální. 1.124. Setkání se zúčastnilo šest mužů. Pokud si všichni navzájem potřásli rukama, vyčíslete počet potřesení. Řešení. Počet potřesení rukou zřejmě odpovídá počtu způsobů, jak lze vybrat neuspořádanou dvojici ze 6 prvků, tj. výsledek je c (6, 2) = (^) = 15. □ 1.125. Určete, kolika způsoby lze z 15 poslanců vybrat čtyřčlennou komisi, není-li možné, aby jistí 2 poslanci pracovali spolu. Řešení. Výsledek je = 1287. Obdržíme ho tak, že nejprve určíme počet všech možných výběrů čtyřčlenné komise, potom od něj odečteme počet těch výběrů, kdy oba zmínění poslanci budou vybráni (v takovém případě vybíráme pouze 2 další členy komise ze 13 poslanců). □ 1.126. Kolika způsoby můžeme rozdělit 8 žen a 4 muže do 2 šestičlenných skupin (v nichž nerozlišujeme pořadí - jsou neuspořádané) tak, aby v obou skupinách byl alespoň 1 muž? Řešení. Rozdělení 12 osob do 2 šestičlenných skupin bez jakýchkoli podmínek je dáno libovolným 6 j způsoby. Skupiny ale nejsou rozlišitelné (nevíme, která z nich je první), a proto je počet všech možných rozdělení ^ • (g2). V (^j případech pak budou všichni muži v jedné skupině (volíme 2 ženy z 8, které skupinu doplní). Správná odpověď j e tudíž \ ■ O - 0 = 434- □ 1.127. Jaký je počet čtyřciferných čísel složených z číslic 1, 3, 5, 6, 7 a 9, ve kterých se žádná z cifer neopakuje? Řešení. K dispozici máme šest různých číslic. Ptáme se: Kolik různých uspořádaných čtveřic z nich můžeme vybrat? Výsledek je proto v (6, 4) = 6 • 5 • 4 • 3 = 360. □ 1.128. Řecká abeceda se skládá z 24 písmen. Kolik různých slov majících právě pět písmen z ní lze utvořit? (Bez ohledu na to, zda tato slova mají nějaký jazykový význam.) Řešení. Pro každou z pěti pozic ve slově máme 24 možností, neboť písmena se mohou opakovat. Výsledek je tedy V (24, 5) = 245. □ 49 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.129. K vytrvalostnímu závodu, v němž běžci vybíhají jeden po druhém s danými časovými odstupy, se přihlásilo k závodníků, mezi nimi také tři kamarádi. Stanovte počet startovních listin, v rámci kterých žádní dva z trojice kamarádů nestartují těsně po sobě. Pro jednoduchost uvažujte k > 5. Řešení. Ostatních k — 3 závodníků můžeme seřadit (k — 3)! způsoby. Pro uvažované tři kamarády pak máme k — 2 míst (začátek, konec a k — 4 mezer), na které je můžeme rozmístit v (k — 2, 3) způsoby. Podle (kombinatorického) pravidla součinu je tak výsledek (k - 3)! • (k - 2) ■ (k - 3) • (k - 4) = (k - 2)! ■ (k - 3) ■ (k - 4). □ 1.130. Turnaje se zúčastní 32 lidí. Podle požadavků organizátorů se musí libovolným způsobem rozdělit do čtyř skupin tak, aby první skupina měla 10 účastníků, druhá 8, třetí také 8 a poslední čtvrtá potom 6. Kolika způsoby se mohou takto rozdělit? Řešení. Můžeme si představit, že z 32 účastníků vytvoříme řadu, kdy prvních 10 utvoří první skupinu, dalších 8 druhou atd. Celkem můžeme účastníky seřadit 32! způsoby. Uvědomme si ovšem, že na rozdělení do skupin nemá vliv, když zaměníme pořadí osob, které patří do stejné skupiny. Proto je počet navzájem různých rozdělení roven P(10,8,8,6) = Mf^. □ 1.131. Je potřeba ubytovat 9 osob v jednom čtyřlůžkovém, jednom třílůžkovém a jednom dvoulůžkovém pokoji. Zjistěte, kolika způsoby to lze provést. Řešení. Jestliže např. hostům ve čtyřlůžkovém pokoji, přiřadíme číslici 1, v třílůžkovém pokoji číslici 2 a v dvoulůžkovém číslici 3, pak vytváříme permutace s opakováním ze tří prvků 1, 2, 3, v nichž jednička se vyskytuje čtyřikrát, dvojka třikrát a trojka dvakrát. Příslušný počet permutací je /> (4, 3, 2) = db = 1260. □ 1.132. Určete počet způsobů, jak lze rozdělit mezi tři osoby A, S a C 33 různých mincí tak, aby osoby A a S měly dohromady právě dvakrát více mincí, než má osoba C. Řešení. Ze zadání vyplývá, že osoba C má obdržet 11 mincí. To lze provést ^) způsoby. Každou ze zbývajících 22 mincí může získat osoba A nebo B, což dává 222 možností. Z (kombinatorického) pravidla součinu plyne výsledek (") • 222. □ 1.133. Kolika způsoby můžete mezi 4 chlapce rozdělit 40 stejných kuliček? Řešení. Přidejme ke 40 kuličkám troje zápalky. Poskládáme-li kuličky a zápalky do řady, rozdělí zápalky kuličky na 4 úseky. Náhodně seřaďme chlapce. Dáme-li prvnímu chlapci všechny kuličky z prvního úseku, druhému chlapci všechny kuličky z druhého úseku atd., je již vidět, že všech rozdělení je právě (433) = 12 341. □ 50 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.134. Podle kvality dělíme výrobky do skupin I, 77, 7/7, IV. Zjistěte počet všech možných rozdělení 9 výrobku do těchto skupin, která se liší počtem výrobků v jednotlivých skupinách. Řešení. Zapisujeme-li přímo uvažované devítičlenné skupiny z prvků I, II, III, IV, vytváříme kombinace s opakováním deváté třídy ze čtyř prvků. Počet takových kombinací je (12) = 220. □ 1.135. Kolika způsoby mohla skončit tabulka první fotbalové ligy, víme-li o ní pouze, že alespoň jeden z týmů z dvojice Ostrava, Olomouc je v tabulce za týmem Brna (ligu hraje 16 mužstev). Řešení. Nejprve určíme tři místa, na kterých se umístily celky Brna, Olomouce a Ostravy. Ty lze vybrat c(3, 16) = (g6) způsoby. Z šesti možných pořadí zmíněných tří týmů na vybraných třech místech vyhovují podmínce ze zadání čtyři. Pro libovolné pořadí těchto týmů na libovolně vybraných třech místech pak můžeme nezávisle volit pořadí zbylých 13 týmů na ostatních místech tabulky. Podle pravidla součinu je tedy hledaný počet tabulek roven ,\ 1 - 4- 13! = 13948526592000. □ 1.136. Kolik je možných uspořádání (v řadě) na fotce volejbalového týmu (6 hráčů), když i) Gouald a Bamba chtějí stát vedle sebe ii) Gouald a Bamba chtějí stát vedle sebe a uprostřed iii) Gouald a Kamil nechtějí stát vedle sebe Řešení. i) Goualda a Bambu můžeme v tomto případě počítat za jednoho, rozlišíme jen jak stojí vzájemně. Máme 2.5! = 240 pořadí. ii) Tady je to podobnéjen pozice Goualda a Bamby je pevně daná. Dostáváme 2.4! = 48 možností. iii) Nejjednodušší je asi odečíst případy, kdy stojí vedle sebe (viz (i)) od všech pořadí. Dostaneme 6! - 2.5! = 720 - 240 = 480. □ 1.137. Házení mincí. Šestkrát hodíme mincí. i) Kolik je všech různých posloupností panna, orel ii) Kolik je takových, že padnou právě čtyři panny. iii) Kolik je takových, že padnou aspoň dvě panny. 1.138. Kolik existuje přesmyček slova BAZILIKA takových, že se v nich střídají souhlásky a samohlásky? Řešení. Protože souhlásky i samohlásky jsou v daném slově čtyři, tak se v každé takové pře-smyčce střídají pravidelně souhlásky a samohlásky. Slovo tedy může být typu BABABABA nebo ABABABAB. Na daných čtyřech místech můžeme pak samohlásky permutovat mezi sebou (P0(2, 2) = způsoby) a nezávisle na tom i souhlásky (4! způsoby). Hledaný počet je pak dle pravidla součinu 2 • 4! • ^rr = 288. □ 51 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.139. Kolika způsoby lze rozdělit 9 děvčat a 6 chlapců do dvou skupin tak, aby každá skupina obsahovala alespoň dva chlapce? Řešení. Rozdělíme zvlášť děvčata a chlapce: 29(25 — 7) = 12800. □ 1.140. Materiál je tvořen pěti vrstvami, každá z nich má vlákna v jednom z daných šesti směrů. Kolik takových materiálů existuje? Kolik je jich takových, že dvě sousední vrstvy nemají vlákna ve stejném směru? Řešení. 65 a 6 -55. □ 1.141. Na kružnici stojí n pevností (n > 3), očíslovaných po řadě čísly 1,..., n. V jeden okamžik f., každá vystřelí na jednu ze dvou sousedních (pevnost 1 sousedí s pevností n). Označme P(n) počet možných výsledků střelby (za výsledek střelby považujeme množinu čísel právě těch x pevností, které byly při střelbě zasaženy, nerozlišujeme přitom mezi jedním a dvěma zásahy). Dokažte, že P(n) & P(n + 1) jsou nesoudělná. Řešení. Označíme-li zasažené pevnosti černým kolečkem a nezasažené bílým, úloha je ekvivalentní úloze určit počet všech možných obarvení n koleček, umístěných na kružnici, černou a bílou barvou tak, aby nebyla žádná dvě bílá kolečka „objedno". Pro lichá n je tento počet roven počtu K(n) obarvení černou a bílou barvou tak, aby žádná dvě bílá kolečka nestála vedle sebe (přečíslujeme pevnosti tak, že začneme u kolečka 1 a číslujeme popořadě vzestupně po lichých číslech a poté vzestupně po sudých). V případě sudého n je tento počet roven K(n/2)2, kvadrátu počtu obarvení n/2 koleček na obvodu kruhu tak, aby žádná dvě bílá nestála vedle sebe (barvíme nezávisle kolečka na lichých a na sudých pozicích). Pro K(n) snadno odvodíme rekurentní formuli K(n) = K(n — 1) + K(n — 2). Navíc snadno spočteme, že K(2) = 3, K(3) = 4, K(4) = 7, tedy K(2) = F(4) - F(0), K(3) = F(5) - F(l), K(4) = F(6) — F(2) a indukcí snadno dokážeme K(n) = F(n +2) — F(n — 2), kde F(n) značí n-tý člen Fibonacciho posloupnosti (F(0) = 0, F(l) = F(2) = 1). Navíc protože (K(2), K(3)) = 1, máme pro n > 3 obdobně jako u Fibonacciho posloupnosti (K(n), K(n - 1)) = (K(n) - K(n - 1), K(n - 1)) = = (K(n-2), K(n-!)) = ■■■ = 1. Ukážeme nyní, že pro každé sudé n = 2a je P(n) = K(a)2 nesoudělné jak s P (n + 1) = K(2a + 1), tak s P(n — 1) = K(2a — 1). K tomu stačí následující: pro a > 2 je totiž (K(a), K(2a + 1)) = (K(a), F(2)K(2a) + F(l)K(2a - 1)) = = (K(a), F(3)K(2a - 1) + F(2)K(2a -2) = ... = (K(a), F(a + l)K(a + 1) + F(a)K(a)) = = (K(a), F(a + 1)) = (F(a + 2) - F(a - 2), F(a + 1)) = = (F(a +2) - F(a + 1) - F(a - 2), F(a + 1)) = = (F(a) - F(a -2), F(a + 1)) = = (F(a - 1), F(a + 1)) = (F(a - 1), F (a)) = 1 (K(a), K(2a - 1)) = (K(a), F(2)K(2a - 2) + F(l)K(2a - 3)) = = (K(a), F(3)K(2a - 3) + F(2)K(2a - 4)) = 52 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA = • • • = (K(a), F(a)K(a) + F (a - l)K(a - 1)) = = (K(a), F (a - 1)) = (F(a + 2) - F (a - 2), F (a - 1)) = = (F (a + 2) - F (a), F (a - 1)) = = (F (a + 2) - F (a + 1), F (a - 1)) = (F (a), F (a - 1)) = 1. Tím je tvrzení dokázáno. □ 1.142. Kolik peněz naspořím na stavebním spoření za pět let, vkládám-li 3000 Kč měsíčně (vždy k 1. v měsíci), vklad je úročen roční úrokovou mírou 3% (úročení probíhá jednou za rok) a od státu obdržím ročně příspěvek 1500 Kč (státní příspěvek se připisuje vždy až 1. května následujícího roku)? Řešení. Označme množství naspořených peněz po n-tém roce jako xn. Potom dostáváme (pro n > 2) následující rekurentní formuli (navíc předpokládáme, že každý měsíc je přesně dvanáctina roku) xn+i = 1, 03(x„) + 36000 + 1500+ 0, 03 • 3000 (\ + li + ... + Jľj + V 12 12/ •-v-' úroky z vkladů za aktuální rok + 0,03• 1 •1500 úrok ze státního příspěvku připsaného v aktuálním roce = l,03(x„) + 38115. Tedy n-2 x„ = 38115 J](l, 03)'' + (1, 03)"-1jci + 1500, i=0 přičemž xx = 36000 + 0, 03 • 3000 (l + n + • • • + n) = 36585, celkem /(1,03)4-1\ , x5 = 38115 í Q3-j +(1,03)4-36585 + 1500 = 202136. □ 1.143. Poznámka. Ve skutečnosti úročení probíhá podle počtu dní, které jsou peníze na účtu. Obstarejte si skutečný výpis ze stavebního spoření, zjistěte si jeho úročení a zkuste si spočítat připsané úroky za rok. Porovnejte je se skutečně připsanou sumou. Počítejte tak dlouho, dokud sumy nebudou souhlasit... 1.144. Na kolik maximálně částí dělí rovinu n kružnic? Řešení. Pro maximální počet pn oblastí, na které dělí rovinu kružnice odvodíme rekurentní vzorec pn+1 = pn + 2n. Všimněme si totiž, že (n + l)-ní kružnice protíná n předchozích maximálně v 2n průsečících (a tato situace skutečně může nastat). 53 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ Navíc zřejmě pi = 2. Pro počet pn tedy dostáváme p„ = pn-i + 2(n - 1) = p„-2 + 2(n - 2) + 2(n - 1) = ... n-l = pi + 2i = n2 — n + 2. □ 1.145. Na kolik nejvýše částí dělí třírozměrný prostor n rovin? Řešení. Označme hledaný počet r„. Vidíme, že r0 = 1. Podobně jako příkladu (1.39) uvažujme, že máme v prostoru n rovin, přidejme jednu další a ptejme se, kolik nejvýše částí prostoru přibude. Opět to bude přesně tolik, kolika původními částmi prostoru přidaná rovina prochází. Kolik to může být? Počet částí prostoru, kterými (n + l)-ní rovina prochází je roven počtu částí, na které je přidaná (n + l)-ní rovina rozdělena průsečnicemi s n rovinami, které v prostoru již byly rozmístěny. Těchto částí však může být podle předchozího příkladu nejvýše 1/2 • (n2 + n + 2), dostáváme tak rekurentní formuli n2 +n +2 fn + l = f n H--^-' Danou rovnici opět můžeme vyřešit přímo: (n - l)2 + (n - 1) + 2 n2 - n + 2 rn = r„_i H---- = r„_i H---- = (n - l)2 - (n - 1) + 2 n2 -n+2 = r„_2 +---+ ^- = n2 (n — l)2 n (n — 1) = r„_2 + — +---------- + 1 + 1 = 2 2 2 2 , n2 (n - l)2 (n - 3)2 n (n-l) (n - 2) " r""3 + 2+2 + 2 2 2 2 + + 1 + 1 + 1 = j h Y n n / — 1 i — l i — l n (n + l)(2n + 1) n (n + 1) = 1 H-----h n = 12 4 54 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA n3 + 6n + 5 6 ' kde jsme použili známého vztahu n (n + í)(2n + 1) ,-2 i = l který lze snadno dokázat matematickou indukcí. □ 1.146. Na kolik maximálně částí dělí trojrozměrný prostor n koulí? 1.147. Na kolik částí dělí prostor n navzájem různých rovin, které všechny prochází jedním daným bodem? Řešení. Pro hledaný počet xn odvodíme rekurentní formuli x„ = x„_! + 2(n - 1), dále x\ = 2, tedy x„ = n(n — 1) + 2. □ 1.148. Z balíčku 52 karet náhodně vybereme 16 karet. Vyjádřete pravděpodobnost, že vybereme právě 10 červených a 6 černých karet. Řešení. Nejdříve si uvědomme, že nemusíme zohledňovat pořadí výběru karet. (Ve výsledném zlomku bychom uspořádané výběry získali tak, že bychom číslem 16! vynásobili čitatele i jméno- 16j. Podobně je počet všech možných výběrů 10 karet z 26 roven (2^) a 6 karet z 26 pak (26). Neboť vybíráme nezávisle na sobě 10 karet z 26 červených a 6 karet z 26 černých, užití (kombinatorického) pravidla součinu dává výsledek =o, 118. □ 1.149. V urně je 7 bílých, 6 žlutých a 5 modrých koulí. Vylosujeme (bez vracení) 3 koule. Určete pravděpodobnost, že právě 2 jsou bílé. Řešení. Celkem máme (7+3+5) způsobů, jak lze vybrat 3 koule. Vylosovat právě 2 bílé umožňuje Q výběrů bílých a současně výběrů zbylé (třetí) koule. Podle pravidla součinu je tak počet způsobů, jak lze vylosovat právě 2 bílé, roven Q • Odsud již plyne výsledek ^ = 0, 283. □ 55 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.150. Z karetní hry o 108 kartách (2 x 52 + 4 žolíci) bez vracení vybereme 4 karty. Jaká je pravděpodobnost, že aspoň jedna z nich je eso nebo žolík? Řešení. Lehce můžeme určit pravděpodobnost opačného (komplementárního) jevu znamenajícího, že ve vybrané čtveřici není žádná z 12 uvažovaných karet (8 es a 4 žolíků). Tato pravděpodobnost je dána poměrem počtu výběrů 4 karet z 96 a počtu výběrů 4 karet ze 108, tj. je rovna Opačný jev má tudíž pravděpodobnost (96) 1-^= 0, 380. □ 1.151. Při házení kostkou padla jedenáctkrát po sobě čtyřka. Uvedte pravděpodobnost, že padne podvanácté. Řešení. Předchozí výsledky (podle našich předpokladů) nijak neovlivňují, co padne na kostce při dalších hodech. Proto je hledaná pravděpodobnost 1 /6. □ 1.152. Z balíčku 32 karet náhodně vypadne 6 karet. Jaká je pravděpodobnost, že jsou všechny téže barvy? Řešení. K tomu, abychom získali výsledek = 1,234- 10"4, stačí nejprve zvolit jednu ze 4 barev a uvědomit si, že existuje (j!) způsobů, jak vybrat 6 karet z 8 této barvy. □ 1.153. Tři hráči dostanou po 10 kartách a 2 zbudou (z balíčku připraveného na mariáš nebo prší -32 karet, z toho 4 esa). Je pravděpodobnější, že někdo dostane listovou sedmu, osmu a devítku, nebo to, že zbyla dvě esa? Řešení. Protože pravděpodobnost, že nějaký z hráčů dostane uvedené tři karty, je rovna hodnotě zatímco pravděpodobnost, že zbudou dvě esa, je rovna číslu (?)' je pravděpodobnější, že nějaký z hráčů dostal zmíněné tři karty. Poznamenejme, že dokázat nerovnost Q (?) lze úpravou obou jejích stran, kdy opakovaným krácením (po vyjádření kombinačních čísel dle definice) lehce dostaneme 6 > 1. □ 1.154. Hodíme n kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že mezi čísly, která padnou, nebudou hodnoty 1, 3 a 6? Řešení. Úlohu můžeme přeformulovat tak, že n-krát po sobě hodíme 1 kostkou. Pravděpodobnost, že při prvním hodu nepadne 1, 3 nebo 6, je 1/2. Pravděpodobnost, že při prvním a druhém hodu nepadne 1, 3 ani 6, je zjevně 1 /4 (výsledek prvního hodu neovlivňuje výsledek druhého). Vzhledem k tomu, že jev určený výsledkem jistého hodu a jakýkoli jev určený výsledkem jiného hodu jsou vždy (stochasticky) nezávislé, hledaná pravděpodobnost je 1 /2". □ 56 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.155. Dva přátelé střílejí nezávisle na sobě do jednoho terče, každý po jednom výstřelu. Pravděpodobnost zásahu terče pro prvního je 0, 4, pro druhého je 0, 3. Nalezněte pravděpodobnost P jevu, že po střelbě bude v terči právě jeden zásah. Řešení. Výsledek stanovíme tak, že sečteme pravděpodobnosti těchto dvou neslučitelných jevů: trefil se první střelec a druhý nikoli; první střelec minul, zatímco druhý terč zasáhl. Při nezávislosti jevů (která se zachovává také tehdy, když uvažujeme komplementy některých zjevů) je pravděpodobnost společného nastoupení dána součinem pravděpodobností jednotlivých jevů. Užitím toho dostáváme p = 0, 4 • (1 - 0, 3) + (1 - 0, 4) • 0, 3 = 0, 46. □ 1.156. Dvanáctkrát po sobě házíme třemi mincemi. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň v jednom hodu padnou tři líce? Řešení. Uvážíme-li, že při opakovaní téhož pokusu jsou jednotlivé výsledky nezávislé, a označíme-li pro i e {1, ..., 12} jako A;- jev „při /-tém hodu padly tři líce", určujeme P (Ů Ať) = 1 - (1 - P(A0) • (1 - P(A2)) ••• (1 - P(A12)). Pro každé / e {1, ..., 12} je však P (A;) = 1/8, neboť na každé ze tří mincí padne líc s pravděpodobností 1/2 nezávisle na tom, zda na ostatním mincích padl líc, příp. rub. Nyní již můžeme napsat výsledek □ 1.157. Z deseti karet, z nichž právě jedna je eso, namátkou vybereme kartu a vrátíme ji zpět. Kolikrát takový výběr musíme provést, aby pravděpodobnost, že aspoň jednou vybereme eso, byla větší než 0, 9? Řešení. Označme A; jev „při /-tém výběru bylo vytaženo eso". Neboť jednotlivé jevy A; jsou (stochasticky) nezávislé, víme, že P yU Aij = 1 - (1 - PiAO) ■ (1 - P(A2))... (1 - P(An)) pro každé n e N. Připomeňme, že hledáme n e N takové, aby platilo P (Ů Ať) = 1 - (1 - P(A0) • (1 - P(A2)) ••• (1 - P(An)) > 0, 9. Zřejmě je P (A;) = 1/10 pro libovolné / e N. Proto stačí vyřešit nerovnici !-(&)"> 0,9, ze které lze vyjádřit n > !oga n „, kde a > 1. loga 0,9 Vyčíslením potom zjistíme, že daný pokus musíme provést alespoň dvaadvacetkrát. □ 57 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.158. Texas holďem. Nyní spočítejme několik jednoduchých úloh týkajících se populární karetní hry Texas hold' em, jejíž pravidla zde nebudeme uvádět (pokud je čtenář nezná, snadno je dohledá na internetu). Jaká je pravděpodobnost, že i) jako startovní kominaci dostanu dvojici stejných symbolů? ii) ve své startovní dvojici karet budu mít eso? iii) na konci budu mít jednu z šesti nejlepších kombinací karet? iv) vyhraji, pokud držím v ruce eso a trojku (libovolné barvy), na flopu je eso a dve dvojky a na turnu je třetí trojka a všechny tyto čtyři karty mají různou barvu? (poslední karta river ještě není otočena) Řešení. i) Počet různých symbolů je 13 a jsou vždy čtyři (pro každou barvu jeden). Proto je počet dvojic se stejnými symboly 13(2) = 78. Počet všech možných dvojic je (1324) = 1326. Pravděpodobnost stejných symbolů je tedy jj = 0, 06. ii) Jedna karta je eso, to jsou čtyři možnosti a druhá je libovolná, to je 51 možností. Dvojice s oběma esama, kterých je (4) = 6 jsme ale takto započítali dvakrát. Dostáváme tedy 4.51 — 6 = 198 dvojic a pravděpodobnost je = 0, 15. iii) Spočítáme pravděpodobnosti jednotlivých nejlepších kombinací: ROYAL FLUSH: Takové kobinace jsou zřejmě jen čtyři - pro každou barvu jedna. Všech kombinací pěti karet je (552) = 2598960. Pravděpodobnost je tak rovna asi 1, 5.10-6. Hodně malá :) STRAIGHT FLUSH: Postupka, která končí nej vyšší kartou v rozmezí 6 až K, tj. 8 možností pro každou barvu. Dostáváme 259382%0 = 1, 2.10-5. POKER: Čtyři stejné symboly -13 možností (pro každý symbol jedna). Pátá karta může být libovolná, to znamená 48 možností. Odtud: = 2, 4.10-4. FULL HOUSE: Tři stejné symboly 13(4) = 52 možností a k tomu dva stejné symboly je 12(4) = 72 možností. Pravděpodobnost je 2598960 = 1, 4.10-3. FLUSH: Všech pět karet stejné barvy znamená 4(1J3) = 5148 možností a pravděpodobnost STRAIGHT: Nejvyšší katrta postupky je v rozmezí 6 až A, tj. 9 možností. Barva každé karty je pak libovolná, tj. dohromady 9.45 = 9216 možností. Zde jsme ale započítali jak straight flush, tak i royal flush. Ty je potřeba odečíst. Pro zjištění pravděpodobnosti nějaké z šesti nejlepších kombinací to ale ani nemusíme dělat, jen první dvě kombinace nezapočteme. Celkově tedy dostáváme pravděpodobnost zhruba 3, 5.10-3 + 2.10-3 + 1, 4.10-3 + 2, 4.10-4 = 7, 14.10"3. iv) Evidentně je situace hodně dobrá a proto bude lepší spočítat nepříznivé situace, tj. kdy bude mít soupeř lepší kombinaci. Já mám v tuto chvíli full house ze dvou es a tří dvojek. Jediná kombinace, která by mmě mohla porazit v tuto chvíli je buď full house ze tří es a dvou dvojek nebo dvojkový poker. To znamená, že soupeř by určitě musel držet eso nebo poslední dvojku. Pokud drží dvojku a libovolnou jinou kartu, pak určitě vyhraje bez ohledu na kartu na riveru. Kolik je možností pro tuto kartu ke dvojce? 3 + 4 + -- -+ 4 + 2 = 45 (jednu trojku a dvě esa už mít v ruce nemůže). Včech zbylých kombinací je (46) = 1035 a pravděpodobnost takové prohry je tak 0,043. Pokud drží v ruce eso, pak se může stát následující. Pokud drží 58 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA (zbylá) dvě esa, tak opět vyhraje, pokud na riveru nepřijde dvojka - pak by byl split poker. Pravděpodobnost (podmíněná) mé prohry je tedy -|f = 10~3. pokud drží soupeř v ruce eso a nějakou jinou kartu, než 2 a A, tak následuje remíza bez ohledu na river. Celková pravděpodobnost výhry je tak skoro 96 %. □ 1.159. Zjistěte pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padla alespoň na jedné kostce čtyřka, jestliže padl součet 7. Řešení. Příklad řešíme pomocí klasické pravděpodobnosti, kdy podmínku interpretujeme jako zúžení pravděpodobnostního prostoru. Ten má vzhledem k podmínce tedy 6 prvků, z čehož právě 2 jsou příznivé vyšetřovanému jevu. Správná odpověďje 2/6 = 1/3. □ 1.160. Hodíme dvěma kostkami. Určete podmíněnou pravděpodobnost, že na první kostce padla pětka za podmínky, že padl součet 9. Na základě tohoto výsledku rozhodněte o nezávislosti jevů „na první kostce padla pětka" a „padl součet 9". Řešení. Označíme-li jev „na první kostce padla pětka" jako A a jev „padl součet 9" jako H, pak platí P(A\H) = ^ = f = I. Uvědomme si, že součet 9 můžeme získat tak, že na první kostce padne 3 a na druhé 6, na první 4 a na druhé 5, na první 5 a na druhé 4 nebo na první 6 a na druhé 3. Z těchto čtyř (stejně pravděpodobných) výsledků jevu A vyhovuje právě jeden. Protože pravděpodobnost jevu A je očividně 1/6 / 1/4, nejsou uvedené jevy nezávislé. □ 1.161. Mějme balíček 32 karet. Vytáhneme-li dvakrát po jedné kartě, nalezněte pravděpodobnost, že druhá tažená karta bude eso, když první kartu vrátíme, a také tehdy, když ji do balíčku nevrátíme (druhou kartu potom vybíráme z balíčku 31 karet). Řešení. Pokud kartu do balíčku vrátíme, zjevně opakujeme pokus, který má 32 možných (stejně pravděpodobných) výsledků, přičemž právě 4 z nich vyhovují námi uvažovanému jevu. Vidíme, že tomto případě je hledaná pravděpodobnost 1/8. Ve druhém případě, kdy první kartu do balíčku nevrátíme, je ovšem hledaná pravděpodobnost stejná. Postačuje např. uvážit, že při vytažení postupně všech karet je pravděpodobnost vytažení esa jako první karty totožná s pravděpodobností, že druhá vytažená karta bude eso. Pochopitelně bylo možné využít toho, že máme zavedenu podmíněnou pravděpodobnost. Tak bychom mohli obdržet _± Ä. _1_ 28 _4_ _ 1 32 ' 31 32 ' 31 ~~ 8- □ 1.162. Uvažujme rodiny se dvěma dětmi a pro jednoduchost předpokládejme, že všechny možnosti v množině Q = {kk, kh, hk, hh}, kde k značí „kluk" a h znamená „holka" při zohlednění stáří dětí, jsou stejně pravděpodobné. Zaveďme náhodné jevy H\ - rodina má kluka, A\ - rodina má 2 kluky. Vypočtěte P (Ai\Hx). Podobně uvažujme rodiny se třemi dětmi, kdy je 59 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ £2 = {kkk, kkh, khk, hkk, khh, hkh, hhk, hhh}. Jestliže H2 - rodina má kluka i holku, A2 - rodina má nejvýše jednu holku, rozhodněte o nezávislosti náhodných jevů A2 a H2. Řešení. Uvážením, které ze čtyř prvků množiny Q (ne)vyhovují jevu A\, resp. H\, lehce získáváme p (a \h \ — P(MnHi) _ P(M) _ i _ i r yAi\ni) — p(Hi) — p(Hi) — j — _ Dále máme zjistit, zda platí P (A2 DH2) = P (A2) ■ P (H2). Opět si stačí pouze uvědomit, že jevu A2 vyhovují právě prvky kkk, kkh, khk, hkk množiny Q, jevu H2 prvky kkh, khk, hkk, khh, hkh, hhk a jevu A2 n H2 prvky kkh, khk, hkk. Odtud plyne P (A2 n H2) = f = i ■ i = P (A2) ■ P (H2), což znamená, že jevy A2 a H2 jsou nezávislé. □ 1.163. Pětkrát jsme hodili mincí. Pokud padl líc, dali jsme do klobouku bílou kuličku. Když padl rub, dali jsme do téhož klobouku kuličku černou. Vyjádřete pravděpodobnost, že v klobouku je více černých kuliček než bílých, je-li v klobouku alespoň jedna černá kulička. Řešení. Zaveďme jevy A - v klobouku je víc černých kuliček než bílých, H - v klobouku je aspoň jedna černá kulička. Chceme stanovit P(A\H). Uvědomme si, že pravděpodobnost P (ířc) opačného jevu k jevu //je 2~5 a že pravděpodobnost jevu A je stejná jako pravděpodobnost P (Ac) jevu opačného (v klobouku je víc bílých kuliček). Nutně tedy P(H) = 1 - 2"5, P (A) = 1/2. Dále je P (A n H) = P (A), neboť jev H obsahuje jev A (jev A má za důsledek jev H). Celkem jsme obdrželi P(A\ff\ - P(Anm _ \ _ 16 r\ft\ri) - p(H) _ 5_31. □ 1.164. V osudí je 9 červených a 7 bílých koulí. Postupně vytáhneme 3 koule (bez vracení). Určete pravděpodobnost, že první dvě budou červené a třetí bílá. Řešení. Příklad budeme řešit pomocí věty o násobení pravděpodobností. Nejprve požadujeme vytažení červené koule, což se podaří s pravděpodobností 9/16. Pokud byla poprvé vytažena červená koule, při druhém tahu vytáhneme znovu červenou kouli s pravděpodobností 8/15 (v osudí je 15 koulí, z toho 8 červených). Konečně, pokud byla dvakrát vytažena červená koule, pravděpodobnost, že potom bude vytažena bílá, je 7/14 (v osudí je 7 bílých koulí a 7 červených koulí). Celkem dostáváme 16 15 14 u' j- □ 60 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.165. V osudí je 10 koulí, a to 5 černých a 5 bílých. Postupně budeme losovat po jedné kouli, přičemž vytaženou kouli nevrátíme zpět. Stanovte pravděpodobnost, že nejprve vytáhneme bílou, poté černou, pak bílou a v posledním čtvrtém tahu opět bílou kouli. Řešení. Použijeme větu o násobení pravděpodobností. V prvním tahu vytáhneme bílou kouli s pravděpodobností 5/10, poté černou s pravděpodobností 5/9, následně bílou s pravděpodobností 4/8 a na závěr bílou s pravděpodobností 3/7. Dohromady to dává _5_ 5 4 3 _ _5_ 10 ' 9 ' 8 ' 7 ~~ 84- □ 1.166. Z balíčku 32 karet náhodně vybereme šestkrát po sobě po jedné kartě, a to bez vracení. Spočtěte pravděpodobnost, že první král bude vybrán až při šestém výběru. Řešení. Podle věty o násobení pravděpodobností je výsledek 32 ' 31 ' 30 ' 29 ' 28 ' 27 ~~ U' u/z->- □ 1.167. Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou náhodně zvolených kladných čísel menších než 1 bude menší než 3/7? Řešení. Je vidět, že jde o jednoduchý příklad na geometrickou pravděpodobnost, kdy jako základní prostor Q se nabízí čtverec s vrcholy [0, 0], [1, 0], [1, 1], [0, 1] (volíme dvě čísla mezi 0 a 1). Zajímá nás pravděpodobnost jevu udávajícího, že pro náhodně zvolený bod [x, y] v tomto čtverci bude platit x + y < 3/7; tj. pravděpodobnost toho, že zvolený bod se bude nacházet uvnitř trojúhelníku A s vrcholy [0, 0], [3/7, 0], [0, 3/7]. Nyní již snadno vyčíslíme PíA\ — ^2lá — /2 — JL ^ ' vol Q 1 98 • □ 1.168. Nechť je náhodně rozlomena tyč na tři části. Stanovte pravděpodobnost, že délka druhé (prostřední) části bude větší než dvě třetiny délky tyče před jejím rozlomením. Řešení. Nejprve si označme délku uvažované tyče jako d. Rozlomení tyče ve dvou místech je dáno volbou bodů, kde ji zlomíme. Označme jako x bod, ve kterém je první (např. blíže nějakému předmětu) zlom, a jako x + y bod, ve kterém je druhý zlom. To nám říká, že za základní prostor lze považovat množinu {[jc, y]; x e (0, d), y e (0, d — x)}, tj. trojúhelník s vrcholy v bodech [0, 0], [d, 0], [0, d]. Délka prostřední části je dána hodnotou y. Požadavek ze zadaní lze nyní zapsat v jednoduchém tvaru y > 2d/3, což odpovídá trojúhelníku s vrcholy [0, 2d/3], [d/3, 2d/3], [0, d]. Obsahy uvažovaných pravoúhlých rovnoramenných trojúhelníků jsou d2/2 a (d/3)2/2, a proto je hledaná pravděpodobnost 3^-2 _ 1 ffl ~ 9' 2 □ 61 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.169. Tyč o délce 2 m je náhodně rozřezána na tři části. Nalezněte pravděpodobnost jevu, že třetí část měří méně než 1, 5 m. Řešení. Tento příklad je na užití geometrické pravděpodobnosti, kdy hledáme pravděpodobnost toho, že součet délek prvních dvou částí je větší než čtvrtina délky tyče. Určeme pravděpodobnost opačného jevu, tj. pravděpodobnost, když budou náhodně (a nezávisle na sobě) zvolena dvě místa, ve kterých bude tyč rozřezána, že budou obě v první čtvrtině tyče. Pravděpodobnost tohoto jevu je 1/42, neboť pravděpodobnost výběru místa v první čtvrtině tyče je zřejmě 1/4 a tento výběr se (nezávisle) jednou opakuje. Pravděpodobnost hledaného (opačného) jevu je tak 15/16. □ 1.170. Mirek a Marek chodí na obědy do univerzitní menzy. Menza má otevřeno od llh do 14h. Každý z nich stráví na obědě půl hodiny a dobu příchodu (mezi llh a 14h) si vybírá náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že se na obědě v daný den potkají, sedávají-li oba u stejného stolu? Řešení. Prostor všech možných jevů je čtverec 3x3. Označíme-li x dobu příchodu Mirka a y dobu příchodu Marka, tak tito se potkají, právě když \x — y\ < 1/2. Tato nerovnost vymezuje ve čtverci možných událostí oblast, jejíž obsah je roven 11 /36 obsahu čtverce. Tomuto zlomku je tedy rovna i hledaná pravděpodobnost. □ 1.171. Z Brna vyrazí náhodně někdy mezi polednem a čtvrtou hodinou odpolední Honza autem do Prahy a opačným směrem někdy ve stejném intervalu autem Martin. Oba si dávají půl hodiny pauzu v motorestu v polovině cesty (přístupném pro oba směry). Jaká je pravděpodobnost, že se tam potkají, jezdí-li Honza rychlostí 150 km/h a Martin 100 km/h? (Vzdálenost Brno-Praha je 200 km) Řešení. Označíme-li dobu odjezdu Martina x a dobu odjezdu Honzy y a pro menší výskyt zlomků v následujících výpočtech zvolíme za jednotku deset minut, tak stavovým prostorem bude čtverec 24 x 24. Doba příjezdu Martina do motorestu je x + 6, do příjezdu Honzy x + 4. Stejně jako v předchozím příkladu to, že se v motorestu potkají, je ekvivalentní tomu, že doby jejich příjezdu se neliší o více než o půl hodiny, tedy \(x + 6) — (y + 4)| < 3. Tato podmínka nám pak ve stavovém čtverci vymezuje oblast o obsahu 242 — j(232 + 192) (viz obr.) a hledaná pravděpodobnost je 4 i ! Z y ml ;< 1 ■: > % x r* y *fS 242 - i 232 + 192) 131 -^-- =-= 0,227. 242 576 □ 1.172. Mirek vyjede náhodně mezi desátou hodinou dopolední a osmou hodinou večerní z Brna do Prahy. Marek vyjede náhodně ve stejném intervalu z Prahy do Brna. Oběma trvá cesta 2 hodiny. Jaká je pravděpodobnost, že se po cestě potkají (jezdí po stejné trase)? 62 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA Řešení. Řešíme naprosto analogicky jako v předchozím příkladě. Prostor všech možných jevů je čtverec lOx 10, Mirek, vyjíždějící v čase x, potká Marka, vyjíždějícího v čase y právě když \x—y\ < 2. Hledaná pravděpodobnost je p = = ^ = 0,36. 1.173. Dvoumetrová tyč je náhodně rozdělena na tři díly. Určete pravděpodobnost, že ze vzniklých dílů půjde sestavit trojúhelník. Řešení. Rozdělení tyče je dáno stejně jako v předchozím příkladě body řezu x a y a jevovým prostorem je opět čtverec 2x2. Aby z částí bylo možno sestavit trojúhelník, musejí jejich délky splňovat tzv. trojúhelníkové nerovnosti, tedy součet délek libovolných dvou částí musí být větší než délka třetí části. Vzhledem k tomu, že součet délek je roven 2 m, je tato podmínka ekvivalentní podmínce, že každá s částí musí být menší než 1 m. To pomocí řezů x a y vyjádříme tak, že nesmí platit současně x < 1 ay < 1 nebo současně x > la. y > 1 (odpovídá podmínkám, že krajní díly tyče jsou menší než 1), navíc \x — y\ < 1 (prostřední díl musí být menší nezjedná). Tyto podmínky splňuje vyšrafovaná oblast na obrázku a jak snadno nahlédneme, její obsah je 1 /4. □ □ 1.174. Je rovnice (b) 3, -2; 16, -7; (c) Ax\ + 2x2 = —2.X i — X2 = 7, -3 63 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ jednoznačně řešitelná (má právě 1 řešení)? Řešení. Soustava lineárních rovnic je jednoznačně řešitelná právě tehdy, když je nenulový determinant matice určené koeficienty na levé straně soustavy Zvláště řečeno, absolutní členy (čísla na pravé straně) neovlivňují jednoznačnost řešení soustavy. Musíme tedy ve variantách (a) a (b) dostat stejnou odpověď. Protože 4 -73 1 -277 4- (-2v7) - (-73-l) ^0, = 4-(-l)-(2-(-2))=0, -2 -1 mají soustavy ve variantách (a) a (b) právě 1 řešení a poslední soustava nikoliv. Vynásobíme-li druhou rovnici v (c) číslem —2, vidíme, že tato soustava nemá řešení. □ 1.175. Vypočítejte obsah S čtyřúhelníku zadaného vrcholy [0,-2], [-1,1], [1,5], [1,-1]. Řešení. Při obvyklém označení vrcholů A = [0,-2], S = [1,-1], C = [1,5], D = [-1,1] a neméně obvyklém rozdělení čtyřúhelníku na trojúhelníky ABC nACD s obsahy S\ a S2, dostáváme S = St + S2 1-0 1-0 -1+2 5 + 2 + 1-0 5 + 2 -1-0 1+2 (7 - 1) + i (3 + 7) 1 1 5 1 1 5 2 10 13 + 2 -3 -5 □ 1.176. Určete obsah čtyřúhelníka ABCD s vrcholy A = [1, 0], B = [11, 13], C = [2, 5] a D = [-2, -5]. Řešení. Čtyřúhelník rozdělíme na dva trojúhelníky ABC a ACD. Jejich obsahy pak spočítáme pomocí patřičných determinantů, viz 1.34, 47 T" □ 1.177. Spočítejte obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech [5, 5], [6, 8] a [6, 9]. Řešení. Přestože takový rovnoběžník není zadán jednoznačně (není uveden čtvrtý vrchol), trojúhelník s vrcholy [5, 5], [6, 8] a [6, 9] musí být nutně polovinou každého rovnoběžníku s těmito třemi vrcholy (jedna ze stran trojúhelníku se stane úhlopříčkou rovnoběžníku). Proto je hledaný obsah vždy roven determinantu ň _ _ 1 1 1.4-1-3 = 1. 6-5 6-5 1 1 8-5 9-5 3 4 □ 64 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA 1.178. Výčtem prvků zadejte S o i?, je-li R = {(2, 4), (4, 4), (4, 5)} C N x N, S = {(3, 1), (3, 2), (3, 5), (4, 1), (4, 4)} c N x N. Řešení. Uvážením všech výběrů dvou uspořádaných dvojic (2, 4), (4,1); (2, 4), (4, 4); (4, 4), (4,1); (4, 4), (4, 4) splňujících, že druhá složka první uspořádané dvojice, která je prvkem i?, je rovna první složce druhé uspořádané dvojice, která je prvkem 5, dostáváme SoR = {(2, 1), (2,4), (4, 1), (4,4)}. □ 1.179. Nechť je dána binární relace R = {(0,4), (-3,0), (5,tt), (5, 2), (0,2)} mezi množinami A = Z a B = M.. Vyjádřete i?-1 a R o R~x. Řešení. Ihned vidíme, že R-1 = {(4, 0), (0, -3), (tt, 5), (2, 5), (2, 0)}. Odtud pak dále RoR-1 = {(4, 4), (0, 0), (tt, tt), (2, 2), (4, 2), (tt, 2), (2, tt), (2, 4)}. □ 1.180. Rozhodněte, zdaje relace R určená podmínkou (a) (a,b) e i? \a\ < |i|; (b) (a,i) e i? M = |2i| na množině celých čísel Z tranzitivní. Řešení. V prvním případě relace R tranzitivní je, protože platí \a\< \b\, \b\< \c\ => \a\ < Ve druhém případě relace R tranzitivní není. Stačí např. uvážit, že (4,2), (2, 1) e/?, (4, 1) g/?. □ 1.181. Najděte všechny relace na M = {1, 2}, které nejsou antisymetrické. Které z nich jsou tranzitivní? Řešení. Hledané relace, jež nejsou antisymetrické, jsou čtyři. Jsou to právě ty podmnožiny {1,2} x {1, 2}, které obsahují prvky (1, 2), (2, 1) (jinak nemůže být podmínka antisymetrie porušena). Z těchto čtyř je tranzitivní pouze jediná relace {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} = M x M, protože nezahrnutí dvojic (1, 1) a (2, 2) do tranzitivní relace by znamenalo, že nemůže obsahovat zároveň (1, 2) a (2, 1). □ 65 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 1.182. Existuje relace ekvivalence, která je současně relací uspořádání, na množině všech přímek v rovině? Řešení. Relace ekvivalence (příp. relace uspořádání) musí být reflexivní, a proto každá přímka musí být v relaci sama se sebou. Dále požadujeme, aby hledaná relace byla symetrická (ekvivalence) a zároveň antisymetrická (uspořádání). To dává, že přímka může být v relaci pouze sama se sebou. Zavedeme-li ovšem relaci tak, že dvě přímky jsou v relaci právě tehdy, když jsou totožné, dostaneme „velmi přirozenou" relaci ekvivalence i relaci uspořádání. Stačí si uvědomit, že je triviálně tranzitivní. Hledanou relací je právě identické zobrazení množiny všech přímek v rovině. □ 1.183. Určete, zda je relace R = {(k,l) e Z x Z; \ k\ > \ l\] na množině Z ekvivalence, uspořádání. Řešení. Relace R není ekvivalencí: není symetrická (kupř. (6, 2) e R, (2, 6) <£ i?); není uspořádáním: není antisymetrická (mj. (2, —2) e R, (—2, 2) e R). □ 1.184. Ukažte, že průnik libovolných relací ekvivalence na libovolně dané množině X je rovněž relace ekvivalence a že sjednocení dvou relací uspořádání na X nemusí být relace uspořádání. Řešení. Postupně uvidíme, že průnik relací ekvivalence je reflexivní, symetrický a tranzitivní. Všechny relace ekvivalence na X musí obsahovat dvojici (x, x) pro každé x e X, a proto ji musí obsahovat také daný průnik. Pokud v průniku ekvivalencí je prvek (x, y), musí v něm být rovněž prvek (y, x) (stačí využít toho, že každá ekvivalence je symetrická). To, že do průniku ekvivalencí náleží prvky (x, y) a (y, z), znamená, že se jedná o prvky každé z ekvivalencí. Z tranzitivnosti všech jednotlivých ekvivalencí již vyplývá, že do průniku náleží také prvek (x, z). Zvolíme-li X = {1, 2} a relace uspořádání /?i = {(1, 1), (2, 2), (1, 2)}, R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 1)} na X, dostáváme relaci /ř1U/ř2 = {(l,l),(2,2),(l,2),(2, 1)}, která zřejmě není antisymetrická, a tedy ani uspořádáním. □ 1.185. Na množině M = {1, 2, ..., 19, 20} je zavedena relace ekvivalence ~ tak, že a ~ b pro libovolná a, b e M právě tehdy, když první cifry čísel a, b jsou stejné. Sestrojte rozklad daný touto ekvivalencí. Řešení. Dvě čísla z množiny M jsou ve stejné třídě ekvivalence, právě když jsou spolu v relaci (první cifra je stejná). Rozklad jí určený se tedy skládá z množin {1, 10, 11,..., 18, 19}, {2, 20}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}. □ 1.186. Je dán rozklad se dvěma třídami {b, c}, {a, d, e} množiny X = {a, b, c, d, e}. Napište relaci ekvivalence R na množině X příslušnou tomuto rozkladu. Řešení. Ekvivalence R je určena tím, že v relaci jsou spolu ty prvky, které jsou ve stejné třídě rozkladu, a to v obou pořadích (R musí být symetrická) a každý sám se sebou (R musí být reflexivní). Proto R obsahuje právě 66 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (b, c), (c, b), (a, d), (a, e), (d, a), (d, e), (e, a), (e, d). □ 1.187. Na následujících třech obrázkách jsou ikony spojeny čarami tak, jak by je možná přiřadili lidé v různých částech světa. Určete, zda jde o zobrazení, zdaje injektivní, surjektivní nebo bijektivní. Řešení. V prvním případě jde o zobrazení, které je surjektivní, ale není injektivní, protože had i pavouk jsou označeni jako jedovatí. Druhý případ není zobrazení ale jen relace, protože pes je určen jako domácí zvíře i na jídlo. V třetím případě máme opět zobrazení. Tentokrát není ani injektivní, ani surjektivní. □ 1.188. Mějme množinu {a,b, c,d} a na ní relaci {(a, a), (b,b), (a,b), (b,c), (c,b)}. Jaké členy je potřeba minimálně doplnit do této relace, aby to byla ekvivalence? Řešení. Postupně projdeme všechny tři vlastnosti, které definují ekvivalenci. Za prvé je to reflexivita. Musíme tedy doplnit dvojice {(c, c), (d,d)}. Za druhé symetrie -musíme doplnit (b, a) a za třetí musíme udělat tzv. tranzitivní obal. Protože je a v relaci s b a b v relaci s c, musí být i a v relaci s c. Nakonec tedy potřebujeme přidat (a, c) a (c, a). □ 1.189. Uvažme množinu čísel, které mají pět cifer ve dvojkovém zápisu a relaci takovou, že dvě čísla jsou v relaci, právě když jejich ciferný součet má stejnou paritu. Napište příslušné třídy ekvivalence. Řešení. Dostáváme dvě třídy ekvivalence (o osmi členech): [10000] = {10000, 10011, 10101, 10110, 11001, 11010, 11100, 11111} 67 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ odpovídá množině {16, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 31} a [10001] = {10001, 10010, 10100, 11000, 10111, 11011, 11101, 11110} odpovídá množině {17, 18, 20, 24, 23, 27, 29, 30}. □ 1.190. Uvažme množinu čísel, které mají tři cifry ve trojkové soustavě a relaci takovou, že dvě čísla jsou v relaci, právě když v této soustavě i) začínají stejným dvojčíslím. ii) končí stejným dvojčíslím. Napište příslušné třídy ekvivalence. Řešení. i) Dostáváme šest tříprvkových tříd [100] = {100, 101, 102} odpovídá {9, 10, 11} [110] = {110, 111, 112} odpovídá {12, 13, 14} [120] = {120, 121, 122} odpovídá {15, 16, 17} [200] = {200, 201, 202} odpovídá {18, 19, 20} [210] = {210, 211, 212} odpovídá {21, 22, 23} [220] = {220, 221, 222} odpovídá {24, 25, 26} ii) V tomto případě máme devět dvouprvkových tříd [100] = {100, 200} odpovídá {9, 18} [101] = {101, 201} odpovídá {10, 19} [102] = {102, 202} odpovídá {11, 20} [110] = {110, 210} odpovídá {12, 21} [111] = {111, 211} odpovídá {13, 22} [112] = {112, 212} odpovídá {14, 23} [120] = {120, 220} odpovídá {15, 24} [121] = {121, 221} odpovídá {16, 25} 68 KAPITOLA 1. ROZCVIČKA [122] = {122, 222} odpovídá {17, 26} □ 1.191. Pro jaký maximální definiční obor D a obor hodnot H je zobrazení bijektivní a jaká je v tom případě inverzní funkce? i) i ^ i4 ii) X H» x3 iii) x H» —r-r Řešení. i) D = [0, oo) a H = [0, oo) nebo také D = (—oo, 0] a íŕ = [0, oo). Inverzní funkce je ii) D = í/ = la inverze je x ^/x. iii) D = M \ {-1} a Íř = M \ {0}. Inverzní funkce je □ 1.192. Uvažme relaci na M x M. Bod je v relaci, pokud pro něj platí (x - l)2 + (y + l)2 = 1 Můžeme body popsat pomocí funkce y = f (x)? Nakreslete obrázek bodů v relaci. Řešení. Nemůžeme, protože např. y = — 1 má dva vzory: x = 0 a x = 2. Body leží na kružnici se středem v bodě (1, —1) s poloměrem 1. □ 69 G. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 6. RELACE A ZOBRAZENÍ Řešení cvičení 7.74. i) 1 - 3 - 2i + Ai = -2 + 2i, 1 • (-3) - 8;2 + 6i + Ai = 5 + 10«, 1 + 2i, JA2 + (-3)2 = 5, = fi% = 1 . (-3) + 8i2 + 6i - 4/25 = -ii + Ä/. z2 z2i 25 25 ii) 2 + /, 2; 2, 1, ? = -2/. 7.38. y„ = 2(|)" - 2. 7.49. Jedná se o známý problém permutací s pevnými body. i) Pokud šest lidí dostne ten svůj, tak zákonitě i ten šestý, pravděpodobnost je tedy nulová. ii) Nechť M je množina všech uspořádání a jev A/ je uspořádání, kdy i-tý hráč dostane svůj krígl. Chceme spočítat \M — U/A/|. Dostáváme 7! J2Í=o TT = 1854. A pravděpodobnost je — 103 = Q 37 280 iii) Vybereme, kteří tři dostanou ten svůj - Q) — 35 možností. Zbylí čtyři musí dostat jiné než svoje. To je opět vzorec z minulého bodu, konkrétně jde o 4! 2ľyt=o k\ ~ ^ možností. Máme tedy dohromady 9 • 35 — 315 možností a pravděpodobnost je — 1.99. i) (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (3, 6) ověřte, že jde o relaci uspořádání ii) opět (i, i) pro i — 1, ..., 7 a k tomu (3, 6), (6, 3) ověřte, že jde o relaci ekvivalence iii) (i, i) pro i — 1, ..., 7 a k tomu (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4) ověřte, že nejde o relaci ekvivalence, protože není splněna tranzitivita. 7.777. Tři různé Hasseovy diagramy vyhovujících uspořádání. Celkem 5! + 5! + 5!/4 — 270. 1.118. Relace uvedených vlastností je relací ekvivalence na nějaké podmnožině množiny {1, 2, 3, 4}. Celkem l+4-l + (4)-2+(4)-5 + 15 = 52. 7.779. 19. 7.720. 87. 1.123. Ukažte, že pokud uvažovaná odmocnina není přirozená, pak není ani racionální. Pokud ^fi není přirozená, tak existuje prvočíslo r a přirozené s taková, že ŕ dělí t, r+1 nedělí tam nedělí s (zápis ordr t — s) Předpokládejte, že ^/F — p, q e Z, neboli t ■ pm — qm. Uvažte ordr L a ordr R a jejich dělitelnost číslem m. (L značí levou stranu rovnice, ...) 7.737. i) 26 = 64 ii) (j) = 15 iii) Žádná panna je jedna možnost (q) — 1, jedna panna (j) — 6 možností. Posloupností s nejvýše jednou pannou je teda jen 7 a proto posloupností, kdejsou aspoň dvě panny je 64 — 7 — 57. 1.146. Maximální počet yn částí, na které rozdělí n kružnic rovinu, je yn — y„-\ + 2(n — 1), yi = 2, tedy y„ — n2 - n + 2. Pro maximální počet pn částí, na které potom rozdělí n koulí prostor, pak dostáváme rekurentní vztah pn+i — pn + y„, pi = 2, tedy celkem pn = |(n2 - 3n + 8). 70 KAPITOLA 2 Elementární lineární algebra neumíte ještě počítat se skaláry? — zkusme to rovnou s maticemi... Ha V minulé kapitole jsme se snad rozehřáli s relativně jednoduchými úlohami, k jejichž řešení nebylo potřeba složitých nástrojů. Vystačili jsme si přitom se sčítáním a násobením skalárů. V této a dalších kapitolách se postupně budeme věnovat jednotlivým tématům souvisleji. Hned tři kapitoly budou věnovány nástrojům pro práci s daty, kdy operace spočívají v obzvlášť jednoduchých úkonech se skaláry, jen je těch skalárů povíce naráz. Hovoříme o „lineárních objektech" a „lineární algebře". Jakkoliv to teď může vypadat jako hodně speciální nástroj, uvidíme později, že složitější objekty a závislosti stejně studujeme hlavně pomocí jejich „lineárních přiblížení". V této kapitole budeme pracovat přímo s konečnými po-j?^ sloupnostmi skalárů. Takové se objevují v praktických úlohách všude, kde máme objekty popisovány pomocí několika parametrů. Nedělejme si přitom problémy s představou, jak vypadá prostor s více než třemi „souřadnicemi". Smiřme se se skutečností, že malovat si budeme umět jednu, dvě nebo tři dimenze, ale představovat ty obrázky mohou jakýkoliv jiný počet. A když budeme sledovat jakýkoliv parametr u třeba 500 studentů (např. jejich studijní výsledky), budou naše data mít hned zrovna několikrát 500 položek a budeme s nimi chtít pracovat. Naším cílem bude vytvořit nástroje, které budou dobře fungovat nezávisle na skutečném počtu těchto položek. Také se neděsme slovních spojení jako pole či okruh skalárů K. Prostě si můžeme představit jakýkoliv konkrétní číselný obor. Okruhy skalárů pak za-hrnují i celá čísla Z a všechny zbytkové třídy, zatímco mezi poli jsou pouze I, Q, C a zbytkové třídy Z«-s prvočíselným k. Zvláštní je mezi nimi Z2, kde ze vztahu x = —x nemůžeme usoudit, že x = 0, zatímco u všech ostatních číselných oborů tomu tak je. 1. Vektory a matice Většinou se o vektorech hovoří pouze ve spojení s poli skalárů, protože obecná teorie je při existenci neivertibilních nenulových skalárů nesrovnatelně složitější. Jen v prvních dvou částech této kapitoly budeme pracovat s vektory a maticemi v kontextu konečných posloupností skalárů a tam bude A. Soustavy lineárních rovnic Na vektorové prostory půjdeme od lesa. Začneme s něčím známým, totiž soustavami lineárních rovnic. I za nimi jsou totiž skryty vektorové prostory. 2.1. A teď vám to pěkně natřeme. Firma zabývající se velkoplošnými nátěry si objednala 810 litrů barvy, která má obsahovat stejné množství červené, zelené a modré barvy (tj. 810 litrů černé barvy). Obchod může splnit tuto zakázku smícháním běžně prodávaných barev (má skladem jejich dostatečné zásoby), a to • načervenalé barvy - obsahuje 50 % červené, 25 % zelené a 25 % modré barvy; • nazelenalé barvy - obsahuje 12,5 % červené, 75 % zelené a 12,5 % modré barvy; • namodralé barvy - obsahuje 20 % červené, 20 % zelené a 60 % modré barvy. Kolik litrů od každé z uskladněných barev se musí smíchat, aby byly splněny požadavky zákazníka? Řešení. Označme jako • x - množství (v litrech) načervenalé barvy, které se použije; • y - množství (v litrech) nazelenalé barvy, které se použije; • z - množství (v litrech) namodralé barvy, které se použije. 71 A. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 1. VEKTORY A MATICE Smícháním barev chceme získat barvu, která bude obsahovat 270 litrů červené barvy. Uvědomme si, že načervenalá barva obsahuje 50 % červené, nazelenalá obsahuje 12,5 % červené a namodralá 20 % červené barvy. Musí tudíž platit ,—— 0,5x + 0, 125v + 0,2z = 270. Analogicky požadujeme (pro zelenou a modrou barvu) 0, 25x + 0, 75y + 0,2z = 270, 0,25x + 0, 125v + 0,6z = 270. Nyní můžeme postupovat dvěma způsoby. Buď budeme postupně vyjadřovat proměnné pomocí ostatních (z první rovnice je x = 540 — 0, 25v — 0, 4z, dosadíme za x do druhé a třetí rovnice a dostaneme dvě lineární rovnice o dvou neznámých 2, 75 v + 0, 4z, = 540 a 0, 25v + 2z, = 540. Ze druhé rovnice vyjádříme z = 270 — 0, 125 y a dosazením do první dostáváme 2, 7 v = 432, neboli y = 160, odkud z = 270-0, 125-160 = 250 a x = 540-0, 25-160+0, 4-250 = 400. Druhým způsobem je zapsat si soustavu do matice, jejíž první řádek bude tvořen koeficienty u neznámých v první rovnici, druhý koeficienty ve druhé rovnici a třetí ve třetí. Je tedy matice soustavy 0,5 0,125 0,2 0, 25 0, 75 0, 2 0,25 0,125 0,6 rozšířenou matici soustavy potom získáme z matice soustavy připsá ním sloupce pravých stran jednotlivých rovnic v systému: 0, 5 0, 125 0, 2 0, 25 0, 75 0, 2 0,25 0, 125 0, 6 Jejím postupným upravováním pomocí tzv. elementárních řádkových úprav (odpovídají ekvivalentním úpravám rovnic, více viz 2.7) pak dostáváme: 0,5 0,125 0,2 0,25 0,75 0,2 0, 25 0, 125 0, 6 1 0,25 0,4 0 2,75 0,4 0 0,25 2 1 0,25 0,4 0 1 8 0 11 1,6 A opět zpětně vypočítáme -21600 y = 2 160 — 8 • 250 = 160, x = 540 - 0, 4 • 250 - 0, 25 • 160 = 400. Je tedy potřeba smísit po řadě 400 1, 160 1, 250 1 uvedených barev. □ zajímavé si i třeba případu celých čísel povšimnout. Bude přitom snad pěkně vidět, jak silné výsledky lze důsledným formálním uvažováním odvodit. 2.1. Vektory nad skaláry. Prozatím budeme vektorem rozumět uspořádanou n-tici skalárů z K, kde pevně zvolené n e N budeme nazývat dimenzí. Skaláry umíme sčítat a násobit. Vektory budeme také sčítat, násobit však vektor budeme umět jen skalárem. To odpovídá představě, kterou jsme již viděli v rovině M2, kde sčítání odpovídalo skládání vektorů coby šipek vycházejících z počátku a násobení skalárem pak jejich patřičnému natahování. Násobení vektoru u = («!,...,«„) skalárem c tedy definujeme tak, že každý prvek rc-tice u vynásobíme stejným skalárem c a také sčítání vektorů definujeme po složkách. To znamená | základní operace s vektory |_ u + v = (ai, ..., a„) + (bi, ..., b„) = (ai + bu ..., a„ + b„) c ■ u = c • (a\, ..., a„) = (c ■ d\, ... ,c ■ a„). Pro sčítání vektorů a násobení vektorů skaláry budeme používat stále stejné symboly jako u skalárů samotných, tj. symboly plus a buď tečku nebo prosté zřetězení znaků. Konvence zápisu vektorů. Nebudeme, na rozdíl od mnoha jiných učebnic, v textu používat pro vektory žádné speciální značení a ponecháváme na čtenáři, aby udržoval svoji pozornost přemýšlením o kontextu. Pro skaláry ale spíše budeme používat písmena ze začátku abecedy a pro vektory od konce (prostředek nám zůstane na indexy proměných či komponent a také pro sčítací indexy v součtech). Často budeme požadovat, aby skaláry byly z nějakého pole, viz 1.1, ale v této kapitole budeme vesměs pracovat s operacemi, které tento přepoklad nepotřebují. V literatuře se pak většinou místo o vektorových prostorech hovoří o modulech nad okruhy. U obecné teorie se ale v příští kapitole již zcela omezíme na pole skalárů. Pro sčítání vektorů v w zjevně platí (KG1)-(KG4) s nulovým prvkem 0=(0.....0)eK". Schválně zde používáme i pro nulový prvek stejný symbol jako pro nulový prvek skalárů. 72 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Vlastnosti vektorů Pro všechny vektory v, w e K" a skaláry a, b e K platí (VI) (V2) (V3) (V4) a ■ (v + w) = a ■ v + a ■ w (a + b) ■ v = a ■ v + b ■ v a ■ (b ■ v) = (a ■ b) ■ v 1 • v = v Vlastnosti (V1)-(V4) našich vektorů, coby n-tic skalárů v K", se snadno ověří pro kterýkoliv okruh skalárů K, protože při ověřování vždy používáme pro jednotlivé souřadnice vektorů pouze vlastnosti skalárů uvedené v 1.1 a 1.3. Budeme takto pracovat např. sl",Q",C", ale také Z", (Zk)",n = 1,2,3, .... 2.2. Matice nad skaláry. O něco složitějším objektem, který budeme při práci s vektory používat, jsou matice. ___________,___,_Matice typu m/n [ Maticí typu m /n nad skaláry schéma Asm řádky a n sloupci / all a12 &21 ^22 rozumíme obdélníkové &2n \Clm\ dm2 nn J kde a,i pro všechny 1 < i < m, 1 < j < n. Pro matici A s prvky útý používáme také zápis A = (flý). Vektory (au, au, ..., ain) e w nazýváme (/-té) řádky matice A, i = 1, ..., m, vektory (a\j, cl_\j, ■ ■ ■, amj) e w" nazýváme (7—té) sloupce matice A, j = Matici můžeme také chápat jako zobrazení A : {1, ...,m} x {1, ...,n} K, kde A(i, j) = ciij. Matice typu 1/n nebo n/1 jsou vlastně právě vektory v K". I obecné matice lze chápat jako vektory v Km'n, prostě zapomeneme na řádkování. Zejména tedy je definováno sčítání matic a násobení matic skaláry: A + B = {ciij + bij), a ■ A = (a ■ a^) kde A = (flij), B = (bij), aéI. Matice — A = (—^7) se nazývá matice opačná k matici A a matice /O ... 0^ 0 = : v0 ... Oj se nazývá nulová matice. Zapomenutím řádkování tak získáme následující tvrzení, že matice jsou jen specificky zapsané vektory: Poznámka. Druhý způsob je vhodný pro teoretické úvahy (například o počtu řešení daného systému) a také je vhodnější pro počítačové zpracování problému. V následujícím dvou kapitolách se naučíme „přemýšlet v maticích" a uvidíme, že nám to pomůže při řešení celé řady úloh. 2.2. Vypočtěte Xi 1x\ -3*1 + 2x2 + 3x3 = 2, — 3x2 — x3 = —3, + x2 + 2x3 = —3. Řešení. Zadanou soustavu lineárních rovnic zapíšeme ve tvaru rozšířené matice 1 2 ■1 -3 1 2 kterou pomocí elementárních řádkových transformací postupně převedeme na schodovitý tvar 1 2 ■1 1 -7 7 3 -7 11 -7 2 \ / 1 2 3 2 1 -011 1 -4 / \ 0 0 1 -1 Nejdříve jsme přitom dvojnásobek prvního řádku odečetli od druhého a jeho trojnásobek přičetli ke třetímu. Poté jsme sečetli druhý a třetí řádek (součet napsali do třetího řádku) a druhý řádek vynásobili číslem —1/7. Přejdeme nyní zpět k soustavě rovnic x\ + 2x2 + 3x3 = 2, x2 + x3 = 1, x3 = — 1. Ihned vidíme, že x3 = — 1. Dosadíme-li x3 = — 1 do rovnice x2 +x3 = 1, dostaneme x2 = 2. Podobně dosazení získaných hodnot x3 = — 1, x2 = 2 do první rovnice dává x\ = 1. □ Systémy lineárních rovnic tedy lze zapisovat v maticovém tvaru. Ale je to nějaká výhoda, když je stejně umíme řešit, aniž bychom hovořili o maticích? Ano je, o řešení můžeme hovořit koncepčněji a jazyk matic pak daleko lépe navádí k počítačovému zpracování problému. Zkusme si tedy osvojit lépe různé operace, které můžeme s maticemi provádět. Jak jsme viděli v předchozích příkladech, tak ekvivalentní úpravy lineárních rovnic odpovídají v řeči matic elementárním řádkovým (sloupcovým) úpravám. Dále jsme viděli, že převedeme-li těmito úpravami matici soustavy do schodovitého tvaru (tomuto procesu říkáme Gaussova eliminace, viz 2.7), tak je již vyřešení soustavy velmi jednoduché. Ukažme si to ještě na dalších příkladech, na kterých 73 A. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 1. VEKTORY A MATICE uvidíme, že soustava lineárních rovnic může mít nekonečně mnoho řešení. 2.3. Vyřešte soustavu lineárních rovnic 2 . 3 2x\ 3*i 3xi -7xi + + x2 16x2 5x2 7x2 + 3x3 + 7x3 + 4x3 + -10X3 o, 0, 0, 0. Řešení. Vzhledem k nulovosti pravých stran všech rovnic (jedná se tedy o homogenní systém) budeme upravovat pouze matici systému. Řešení nalezneme převodem na schodovitý tvar pomocí elementárních řádkových transformací, které odpovídají záměně pořadí rovnic, vynásobení rovnice nenulovým číslem a přičítání násobků rovnic. Navíc můžeme kdykoli od maticového zápisu přejít zpět k zápisu rovnic s neznámými x;. Nejprve docílíme toho, aby se proměnná x\ vyskytovala pouze v první rovnici. Zřejmě postačuje (—3/2)násobek prvního řádku přičíst ke druhému a ke třetímu řádku a jeho (7/2)násobek k poslednímu řádku, což v maticovém zápisu dává / 2 -1 3 \ / 2 -1 0 35/2 V -7 16 -5 7 7 4 -10/ 0 -7/2 7/2 3 5/2 -1/2 1/2 ) Odtud je vidět, že druhá, třetí a čtvrtá rovnice jsou násobky rovnice 7x2 + x3 = 0. Při maticovém zápisu můžeme např. (l/5)násobek druhého řádku přičíst ke třetímu a jeho (—1 /5)násobek k poslednímu řádku, čímž obdržíme schodovitý tvar / 2 -1 3 \ / 2 -1 3\ 0 35/2 0 -7/2 V 0 7/2 5/2 -1/2 1/2 / / 2 0 0 V 0 ■ 1 7 0 o 3 \ 1 0 o/ 0 35/2 5/2 0 0 0 V o o o / který jsme v posledním kroku zjednodušili tak, že jsme druhý řádek (druhou rovnici) vynásobili číslem 2/5. Přestože byly zadány čtyři rovnice pro tři neznámé, má celá soustava nekonečně mnoho řešení, neboť pro libovolné x3 e M mají zbylé rovnice 2xi x2 7x2 + + 3x3 x3 0, 0 řešení. Nahradíme tak proměnnou X3 parametrem ř e 1 2 . 4 x2 -- X3 7 1 -- ř 7 a x\ 1 2 V 3x3) a vyjádříme 11 --1. 1 Pokud ještě nahradíme t tvaru -Is, obdržíme výsledek v jednoduchém (xi, x2, x3) = (lis, s, —ls) , s e Tvrzení. Předpisy pro A + B, a ■ A, —A, 0 zadávají na množině všech matic typu m/n operace sčítání a násobení skaláry splňující axiomy (VI )—(V4). 2.3. Matice a rovnice. Velmi častý nástroj pro popis nějakých matematických modelů jsou systémy lineárních rovnic. Právě matice lze vhodně využít pro jejich zápis. Zavedeme si k tomu účelu pojem skalární součin dvou vektorů, který vektorům (a\, ..., an) a (xi, ..., x„) přiřadí jejich součin (ai a„) ■ (xi, xn) — a\X\ -(-••• -\- anxn tj. postupně násobíme po dvou souřadnice vektorů a výsledky sčítáme. Každý systém m lineárních rovnic v n proměnných Cl\\X\ + útl2X2 + «21*1 + <222X2 + -|- a\nxn ^m\x\ "i- ^m2x2 "i- ' ' ' "i- ^mnxn — bm lze tedy vidět jako požadavek na hodnoty m skalárních součinů neznámého vektoru (xi, ..., x„) s vektory souřadnic (an, ..., ain). Vektor proměnných můžeme také vidět jako sloupec v matici typu n /1, a podobně hodnoty b\, ... ,bn můžeme vnímat jako vektor m a to opět jako jediný sloupec v matici typu n/1. Náš systém rovnic lze pak formálně psát ve tvaru A ■ x = u takto: din ( *\ \bn □ kde levou stranu interpretujeme jako m skalárních součinů jednotlivých řádků matice vytvářejících sloupcový vektor, jehož hodnotu rovnice určují. To znamená, že skutečně rovnost /-tých souřadnic zadává podmínku původní rovnice ailxl + • • • + Ginxn = b i a zápis A-x = u tak dává skutečně původní systém lineárních rovnic. 2.4. Součin matic. V rovině, tj. pro vektory dimenze 2, _^7*j jsme už zavedli počet s maticemi a viděli jsme, %'---'■} že s ním lze pracovat velice efektivně (viz 1.26). /Kh^fy' Nyní budeme postupovat obecněji a zavedeme í^jr^ť^-J— všechny nástroje již známé z roviny pro všechny dimenze n. Násobení matic je možné definovat pouze, když to rozměry sloupců a řádků v maticích dovolí, tj. když je pro ně definován skalární součin jako výše: 74 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Součin matic Pro libovolnou matici A = (útý) typu m/n a libovolnou matici B = (bjk) typu n/q nad okruhem skalárů K definujeme jejich součin C = A ■ B = (cik) jako matici typu m/q s prvky 2.4. Nalezněte všechna řešení soustavy lineárních rovnic 3xi xx —2x\ 2x\ + 3x3 — X2 + x3 — X2 + 4x3 + x2 — x3 5x4 X4 2x4 X4 -2, 0, -3. y flý^yj-, pro libovolné l < i < m,l < k < q Řešení. Soustavě rovnic odpovídá rozšířená matice 7=1 Je tedy prvek C[ik] součinu právě skalárním součinem z-tého řádku matice nalevo a /c-tého sloupce matice napravo. Například máme 2 1 1 -1 0 1 3 2 3 3 1 0 2.5. Čtvercové matice. Je-li v matici stejný počet řádků a sloupců, hovoříme o čtvercové matici. Počet řádků a sloupců pak nazýváme také dimenzí matice. Matici (\ ... E = (Su) = 1, se vkk jednotková matice. Takto definovaným číslům <5;J se říkává Kroneckerovo delta. Na množině čtvercových matic nad K dimenze n je součin matic definován pro každé dvě matice, je tam tedy definována operace násobení, jejíž vlastnosti jsou velice podobné jako u skalárů: Tvrzení. Na množině všech čtvercových matic dimenze n nad libovolným okruhem skalárů K je definována operace násobení s následujícími vlast-feéi^ nosti okruhů (viz 1-3): (1) Platí asociativita násobení (Ol). (2) Jednotková matice E = (Si j) je jednotkovým prvkem pro násobení dle (03). (3) Platí distributivita sčítání a násobení (04). Obecně však neplatí axiomy (02) ani (Ol). Čtvercové matice pro n > 1 proto netvoří obor integrity, zejména tedy nejsou ani (nekomutativním) tělesem. Důkaz. Asociativita násobení - (Ol): Protože skaláry jsou asociativní, distributivní i komutativní, můžeme pro tři matice A = (aij) typu m/n, B = (bjk) typu n/p a C = (cu) typu p Iq spočíst A ■ B = (X>/./>Ä). B ■ C = (j^bjk.ck)j, (A ■ B) ■ C = ( J2( aiihik)Xkl ) = ( J2 aiihik -Ckl )' A-(B-C) = ľž2aij.(J2bjk-Cki)j = (J2aiihik -Ckl j■ j k S ^j,k S V 1 3 1 4 -1 "3 / Záměnou pořadí řádků (rovnic) potom obdržíme matici / 1 1 V -2 \ -3 0 1 2 1 -1 -2 -1 4 3 0 3 kterou převedeme na schodovitý tvar. Nejprve přičteme (—2)násobek, 2násobek a (—3)násobek prvního řádku po řadě ke druhému, třetímu a čtvrtému řádku, čímž získáme 0 pod prvním nenulovým číslem v prvním řádku. Analogicky poté získáme 0 pod prvním nenulovým číslem ve druhém řádku tak, že tento řádek a jeho (—l)násobek přičteme po řadě ke třetímu a čtvrtému řádku. Takto dostaneme / 1 -1 1 -1 -2 ^ / 1 -1 1 -1 -2 \ 2 1 -1 -1 -3 0 3 -3 1 1 -2 -1 4 -2 0 0 -3 6 -4 -4 v 3 0 3 -5 -8 ) \o 3 0 -2 "2 / / 1 -1 1 -1 -2 \ (1 -1 1 -1 -2 \ 0 3 -3 1 1 0 3 -3 1 1 0 0 3 -3 -3 0 0 3 -3 -3 \0 0 3 -3 "3 y/ \° 0 0 0 0 / Odtud vyplývá (čtvrtý řádek je pouhou kopií třetího - lze jej tedy „vynulovat"), že soustava bude mít nekonečně mnoho řešení, neboť dostáváme tři rovnice pro čtyři neznámé, které očividně budou mít právě jedno řešení pro každou volbu proměnné x4 e M. Neznámou x4 proto nahradíme parametrem t e M a od maticového zápisu přejdeme zpět k rovnicím X\ — x2 ~\~ x3 — t = —2, 3x2 — 3x3 + t = 1, 3x3 - 3ř = -3. Z poslední rovnice máme x3 = t — 1. Dosazení za x3 do druhé rovnice potom dává 1 3x2 - 3ř + 3 + t = 1, tj. x2 (2t - 2) Konečně podle první rovnice je 1 (2t - 2) + t - 1 - t = -2, tj. 1 (2t - 5). 75 A. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 1. VEKTORY A MATICE (xi, x2, x3, x4) Množinu řešení můžeme tudíž zapsat (pro t = 3s) ve tvaru 5 2 \ 2s--, 2s--, 3s — 1, 3s , se. 3 3 ) Nyní se vraťme k rozšířené matici naší soustavy a upravujme ji dále užitím řádkových transformací tak, aby (při schodovitém tvaru) první nenulové číslo každého řádku (tzv. pivot) bylo právě číslo 1 a aby všechna ostatní čísla v jeho sloupci byla 0. Platí /1 -1 1 -1 -2 \ ( 1 -1 1 -1 -2 \ 0 3 -3 1 1 0 1 -1 1/3 1/3 0 0 3 -3 -3 0 0 1 -1 -1 \o 0 0 0 o ) V 0 0 0 0 o ) /1 -1 0 0 -1 /1 0 0 -2/3 -5/3 \ 0 1 0 - -2/3 -2/3 0 1 0 -2/3 -2/3 0 0 1 -1 -1 0 0 1 -1 -1 \0 0 0 0 0 ) \0 0 0 0 0 přičemž nejdříve jsme vynásobili druhý a třetí řádek číslem 1/3, pak přičetli třetí řádek ke druhému a jeho (—1)násobek k prvnímu a na závěr přičetli druhý řádek k prvnímu. Z poslední matice snadno dostáváme výsledek /2/3\ + t X3 \x4J /-5/3\ 2/3 -1 0 V o / 2/3 1 V 1 / t e Volné proměnné jsou totiž ty, jejichž sloupce neobsahují žádného pi-vota (v našem případě neobsahuje pivota čtvrtý sloupec, je tedy volná čtvrtá proměnná, tj. používáme ji jako parametr). □ 2.5. Určete řešení systému rovnic 3x\ + 3x3 x\ — x2 -\- x 3 —2x\ — x2 + 4x3 2x\ -\- x2 — X3 Řešení. Uvědomme si, že soustava rovnic v tomto příkladu se od soustavy z předešlého příkladu liší pouze v hodnotě 8 (místo — 8) na pravé straně první rovnice. Provedeme-li totožné řádkové úpravy jako v minulém příkladu, obdržíme 5xa\ = 8, X4 = -2, 2^4 = 0, X4 = -3. / 3 0 3 -5 8 \ / 1 -1 1 -1 -2 \ 1 -1 1 -1 -2 2 1 -1 -1 -3 — 2 -1 4 -2 0 -2 -1 4 -2 0 V 2 1 -1 -1 "3 ) V 3 0 3 -5 8 / ( 1 _1 1 1 "2 \ / 1 -1 1 -1 -2 \ 0 3 -3 1 1 0 3 -3 1 1 0 0 3 3 -3 0 0 3 -3 -3 ^ 0 0 3 3 13 / \0 0 0 0 16; kde poslední úpravou bylo odečtení třetího řádku od čtvrtého. Ze čtvrté rovnice 0=16 vyplývá, že soustava nemá řešení. Vyzdvihněme, že Všimněme si, že jsme při výpočtu vycházeli z toho, že je jedno v jakém pořadí uvedené součty a součiny provádíme, tj. využívali jsme podstatně našich vlastností skalárů. Velmi snadno vidíme, že násobení jednotkovou maticí má skutečně vlastnost jednotkového prvku: /l 0 ••• 0\ 0 1 ••• 0 (c A ■ E \o o V a stejně pro násobení E zleva. Zbývá ukázat distributivitu násobení a sčítání. Opět díky distributivitě skalárů snadno spočteme pro matice A = (a^-) typu m/n, B = (bjk) typu n/p, C = (cjk) typu n/p, D = (dkl) typu p/q A-(B + C) + cjk) [J2aij(bj (J2a'JbJk) + (E W) I = A ■ B + A ■ C v j j (B + C)D = \ Y^(bjk +cjk)dk ^ k (J^bjkdu) + (J2cJkdu) I = B ■ D + C ■ D. Jak jsme již viděli v 1.26, dvě matice dimenze 2 nemusí komutovat: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Tím jsme získali zároveň protipříklad na platnost (02) i (Ol). Pro matice typu 1/1 ovšem oba axiomy samozřejmě platí, protože je mají samy skaláry. Pro větší matice získáme protipříklady snadno tak, že právě uvedené matice umístíme do levého horního rohu příslušných čtvercových schémat a doplníme nulami. (Ověřte si sami!) □ V důkazu jsme vlastně pracovali s maticemi obecnějšího typu, dokázali jsme tedy příslušné vlastnosti obecněji: ^ Asociativita a distributivita násobení matic Důsledek. Násobení matic je asociativní a distributivní, tj. A ■ (B ■ C) = (A ■ B) ■ C A ■ (B + C) = A ■ B + A ■ C, kdykoliv jsou všechny uvedené operace definovány. Jednotková matice je neutrálním prvkem pro násobení zleva i zprava. 76 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.6 e2 . 0 2.7 2.6. Inverzní matice. Se skaláry umíme počítat tak, že z rovnosti a-x = b umíme vyjádřit x = a~l - b, kdykoliv inverze k a existuje. Podobně bychom to chtěli umět i s maticemi, máme ale problém, jak poznat, zda taková existuje, a jak ji spočítat. Říkáme, že B je matice inverzní k matici A, když A ■ B = B ■ A = E. Píšeme pak B = A~l a z definice je samozřejmé, že obě matice musí mít být čtvercové se stejnou dimenzi n. Matici, k níž existuje matice inverzní, říkáme invertibilní matice nebo také regulární čtvercová matice. V následujících odstavcích mimo jiné odvodíme, že B je inverzní k A, jakmile platí jedna z požadovaných identit (tj. druhá je pak důsledkem). Pokud A-1 aB"1 existují, pak existuje i inverze k součinu A • B (2.1) (A • B)- B~ Je totiž, díky právě dokázané asociativitě násobení, (B~l ■ A"1) • (A • B) = B~l ■ (A-1 ■ A) ■ B = E (A • B) ■ (7T1 ■ A"1) = A ■ (B ■ B~l) ■ A"1 = E. Protože s maticemi umíme počítat podobně jako se ska-láry, jen mají složitější chování, může nám existence inverzní matice skutečně hodně pomoci s řešením systémů lineárních rovnic: Jestliže vyjádříme soustavu n rovnic pro n neznámých součinem matic A • x an \Clfn\ íb, \bn a jestliže existuje matice inverzní k matici A, pak lze násobit zleva A-1 a dostaneme A-1 • u = A-1 ■ A ■ x = E ■ x = x, tj. A-1 • u je hledané řešení. Naopak rozepsáním podmínky A • A ~1 = E pro neznámé skaláry v hledané matici A-1 dostaneme n systémů lineárních rovnic se stejnou maticí na levé straně a různými vektory napravo. 2.7. Ekvivalentní úpravy matic. Zkusme se praktičtěji zorientovat v předchozí úvaze o systémech rovnic a jejich maticích. Samozřejmě nás nalezení inverzní matice stojí jisté úsilí - větší než přímé vyřešení rovnice. Podstatné však je, že pokud máme mnohokrát za sebou řešit systémy se stejnou maticí A ale různými pravými stranami u, pak se nám nalezení A-1 opravdu hodně vyplatí. při úpravě na schodovitý tvar obdržíme rovnici 0 = a pro nějaké a ^ 0 (tj. nulový řádek na levé straně a nenulové číslo za svislou čarou) právě tehdy, když soustava nemá řešení. □ B. Manipulace s maticemi V této podkapitole budeme pracovat pouze s maticemi, abychom si osvojili jejich vlastnosti. 2.6. Násobení matic. Provedlte násobení matic a zkontrolujte si výsledek. Všimněte si, že proto, abychom mohli dvě matice násobit je nutná a postačující podmínka, aby měla první matice stejně sloupců, jako druhá řádků. Počet řádků výsledné matice je pak dán počtem řádků první matice, počet sloupců je roven počtu sloupců druhé matice. 12 7 12), Poznámka.Body i) a ii) v předchozím příkladu ukazují, že násobení čtvercových matic není komutativní, v bodě iii) vidíme, že pokud můžeme násobit obdélníkové matice, tak pouze v jednom ze dvou možných pořadí. V bodech iv) a v) si pak všimněme, že (A-B)T = AT BT. 2.7. Nechť j e ľ 0 -5\ / 2 7 15 , B=\ U 7 13/ \ Lze matici A převést na matici B pomocí elementárních řádkových transformací (pak říkáme, že jsou řádkově ekvivalentní)? Řešení. Obě matice jsou zřejmě řádkově ekvivalentní s trojrozměrnou jednotkovou maticí. Snadno se vidí, že řádková ekvivalence na množině všech matic daných rozměrů je relací ekvivalence. Matice A a B jsou tudíž řádkově ekvivalentní. □ 77 B. MANIPULACE S MATICEMI 1. VEKTORY A MATICE 2.8. Řešte maticovou rovnici ŕ2 5 1 3 X ■ 1 2.9. Nalezněte libovolnou matici B, pro kterou je matice C = B ■ A ve schodovitém tvaru, jestliže -1 -3 -3 -5 /3 5 1 V7 2\ 3 0 1 Řešení. Budeme-li matici A postupně násobit zleva elementárními maticemi (uvažte, jakým řádkovým úpravám toto násobení matic odpovídá) /O 0 1 0\ / ' 1 0 0 0\ Ei = 0 1 1 0 0 0 0 0 , E2 = -5 0 1 0 0 1 0 0 V> 0 0 v \ v 0 0 0 v (i 0 0 /1 0 0 0\ E3 = 0 -3 1 0 0 1 0 0 , E4 = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 !y V-7 0 0 v <\ 0 0 (l 0 0 0\ E5 = 0 0 1/3 0 0 1 0 0 , E6 = 0 0 1 -2 0 1 0 0 vo 0 0 \ 0 0 v <\ 0 0 0\ /l 0 0 0\ E1 = 0 0 1 0 0 1 0 0 , E, = 0 0 1/4 0 0 1 0 0 vo -4 0 v 0 0 v obdržíme S = E%E-iE(>EsE4Ej,E2E\ /O 0 0 1/12 1 0\ 1 -2/3 -4/3 -5/12 0 1/3 0 -1/3 V c /i o o 1 o o -5 0 \ 9/4 1/4 0 0 0 0 / □ Z hlediska řešení systémů rovnic A ■ x = m je jistě přirozené považovat za ekvivalentní matice A a vektory u, které zadávají systémy rovnic se stejným řešením. Zkusme se teď zamyslet nad možnostmi, jak zjednodušovat matici A tak, abychom se k řešení blížili. Začneme jednoduchými manipulacemi s řádky rovnic, které řešení ovlivňovat nebudou, a stejným způsobem pak můžeme upravovat i vektor napravo. Když se nám u čtvercové matice podaří vlevo dostat systém s jednotkovou maticí, bude napravo řešení původního systému. Pokud při našem postupu nějaké řádky úplně vypadnou (při úpravách se vynulují), bude to také dávat další přímé informace o řešení. Naše jednoduché úpravy jsou: -[ Elementární řádkové transformace j, • záměna dvou řádků, • vynásobení vybraného řádku nenulovým skalárem, • přičtení řádku k jinému řádku. Těmto operacím říkáme elementární řádkové transformace. Je zjevné, že odpovídající operace na úrovni rovnic v systému skutečně nemohou změnit množinu všech jeho řešení, pokud je náš okruh oborem integrity. Analogicky, elementární sloupcové transformace matic jsou • záměna dvou sloupců, • vynásobení vybraného sloupce nenulovým skalárem, • přičtení sloupce k jinému sloupci, ty však nezachovávají řešení příslušných rovnic, protože mezi sebou míchají samotné proměnné. Systematicky můžeme použít elementární řádkové úpravy k postupné eliminaci proměnných. Postup je algoritmický a většinou se mu říká Gaussova eliminace proměnných. Gaussova eliminace proměnných |m Tvrzení. Nenulovou matici nad libovolným okruhem skalárů K lze konečně mnoha elementárními řádkovými transformacemi převést na tzv. (řádkově) schodovitý tvar: • Je-li cift = 0 pro všechna k = 1, ..., j, potom a^ = 0 pro všechna k > /, • je-li ci(i-\)j první nenulový prvek na (i — \)-ním řádku, pak cii j = 0. důkaz. takto ŕ 0 0 o o aXj 0 &2k a\m\ ^2m 0 aip 1 Matice v řádkově schodovitém tvaru vypadá 78 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA a matice může, ale nemusí, končit několika nulovými řádky. K převodu libovolné matice můžeme použít jednoduchý algoritmus, kterým se postupně, řádek za řádkem, blížíme k výslednému schodovitému tvaru: Algoritmus Gaussovy eliminace (1) Případnou záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to 7-tý sloupec. (2) Pro / = 2, ..., vynásobením prvního řádku prvkem atj, /-tého řádku prvkem a\} a odečtením vynulujeme prvek ciij na /-tém řádku. (3) Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro dosud neupravený zbytek řádků a sloupců v získané matici dospějeme po konečném počtu kroků k požadovanému tvaru. Tím je tvrzení dokázáno Uvedený postup je skutečně právě obvyklá eliminace proměnných v systémech lineárních rovnic. Zcela analogickým postupem definujeme sloupcově schodovitý tvar matic a záměnou řádkových na sloupcové transformace obdržíme algoritmus převádějící matici na takový tvar. Poznámka. Gaussovu eliminaci jsme zformulovali pro J' ,. obecné skaláry z nějakého okruhu. Zdá se být přirozené, že ve schodovitém tvaru ještě vynáso - 1 bením vhodnými skaláry dosáhneme jednotkových 5 koeficientů na výsledné nenulové „diagonále" nad nulami v matici a dopočítáme řešení. To ale pro obecné skaláry nepůjde, představte si třeba celá čísla Z. Pro řešení systémů rovnic nemá ale vůbec uvedený postup rozumný smysl, když jsou mezi skaláry dělitelé nuly. Promyslete si pečlivě rozdíl mezi K = Z, K = M a případně Z2 nebo Z4. 2.8. Matice elementárních transformací. V dalším budeme už pracovat jen s polem skalárů K, každý nenulový skalár tedy má inverzní prvek. Všimněme si, že elementární řádkové (resp. sloupcové) transformace odpovídají vynásobením zleva (resp. zprava) následujícími maticemi: (1) Přehození /-tého a 7-tého řádku (resp. sloupce) /l 0 o '•. \ 1/ 2.10. Komplexní čísla jako matice. Uvažme množinu matic a, b e M}. Všimněte si, že C je uzavřená na C h^a + bi splňuje f (M + N) f(M) + f(N) i iM™ a násobení matic a dále ukažte, že přiřazení / \-b aý f(M ■ N) = f(M) ■ f(N) (na levých stranác rovností se jedná o sčítání a násobení matic, na pravých o sčítání a násobení komplexních čísel). Na množinu C spolu s násobením a sčítáním matic lze tedy nahlížet jako na těleso C komplexních čísel. Zobrazení / se pak nazývá izomorfismem (těles). Je tedy například 3 5\ /8 -9\ _ / 69 13' -5 3J ' \9 8 ) ~ V-13 69y což odpovídá tomu, že (3 + 5/) • (8 — 9i) = 69 — 13/. □ 2.11. Vyřešte maticové rovnice 1 3 3 8 ■X, 1 2 3 4 X 2 • 1 3 3 8 Řešení. Zjevně neznámé X\ a X2 musejí být matice 2x2 (aby uvažované součiny matic existovaly a výsledkem byla matice 2x2). Položme X, X, ,c\ cli) ' \c2 d2/ a roznásobme matice v první zadané rovnici. Má platit cii + 3c 1 3ai + 8ci bi + 3di 3bi + Mi 1 2 3 4 tj. má být Cli 3ai + + 3ci ici 3b i + 3di + Sdi 1, 2, 3, 4, Xi Sečtením (—3)násobku první rovnice se třetí dostáváme ci = 0 a následně ai = l. Podobně sečtením (—3)násobku druhé rovnice se čtvrtou dostáváme d\ = 2 a poté b\ = —4. Je tedy '\ v0 2 Hodnoty a2,b2, c2, d2 najdeme odlišným způsobem. Např. použitím vzorce 'a b\~ľ 1 (d -b vc d J ad - bc \-c a který platí pro libovolná čísla a, b, c, d e M (přičemž inverzní matice existuje právě tehdy, když ad — bc 7^ 0), spočtěme 3 8/ V 3 -1. Vynásobení zadané rovnice touto maticí zprava dává '\ 2\ {-% 3 X, 3 4 ■1 79 B. MANIPULACE S MATICEMI 1. VEKTORY A MATICE a tudíž -2 1 ■12 5 □ 2.12. Které z matic 1/2 0 1/3N 0 1 1/2 1/2 0 1/6> /1/3 1/2 0 0 \ 1/2 1/3 0 0 0 1/6 1/6 1/3 \l/6 0 5/6 2/3/ jsou regulární? / 0 1 0 C = 1/4 0 1/2 \3/4 0 1/2 /o 1 0 0\ 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 v Řešení. Neboť 1/7 6/49 \ 6/7 43/49/ '3/8 C" 1/4 3/8 ,3/8 3/8 1/4 l/4> 1/4 1/2, matice A a C jsou regulární; a neboť '1/2 0 1/3 0 1 1/2 vl/2 0 1/6 bude prostřední sloupec matice B" vždy (pro n e rem (0, 1, 0)T, tj. matice B nemůže být regulární. Součin N) vekto- /1/3 1/2 0 0 \ 1/2 1/3 0 0 0 1/6 1/6 1/3 \l/6 0 5/6 2/3/ 0 0 a/6 + b/3 \5a/6 + 2b/3/ a, b e M o a \bj implikuje, že matice D2 bude mít v pravém horním rohu nulovou dvourozměrnou (čtvercovou) submatici. Opakováním této implikace dostáváme, že stejnou vlastnost mají matice D3 = D ■ D2, D4 = D ■ D3, D" = D ■ Dn~\ tudíž matice D není regulární. Matice E je permutační (v každém řádku a sloupci má právě jeden nenulový prvek, a to 1). Není obtížné si uvědomit, že mocniny permutační matice jsou opět permutační matice. Matice E proto ífkej není regulární. To lze rovněž ověřit výpočtem mocnin E2, É3, E4. Matice E4 je totiž jednotková. □ 2.13. Výpočet inverzní matice. Spočtěte inverzní matice k maticím B Poté určete matici (Ar • B) (2) Vynásobení z-tého řádku (resp. sloupce) skalárem a: 1 1 V i/ (3) Sečtení /-tého řádku (resp. sloupce) s 7-tým /l 0 \ o '•. 1/ Toto prostinké pozorování je ve skutečnosti velice pod-\^ statné, protože součin invertibilních matic je in-vertibilní (viz rovnost (2.1)) a všechny elementární transformace jsou nad polem skalárů in-vertibilní (sama definice elementárních transformací zajišťuje, že inverzní transformace je stejného typu a je také snadné určit její matici). Pro libovolnou matici A tedy dostaneme násobením vhodnou invertibilní maticí P = Pk ■ ■ ■ P\ zleva (postupné násobení k maticemi zleva) její ekvivalentní řádkový schodovitý tvar A' = P ■ A. Jestliže obecně aplikujeme tentýž eliminační postup na sloupce, dostaneme z každé matice B její sloucový schodovitý tvar B! vynásobením zprava vhodnou invertibilní maticí Q = ô 1 • • • Qi- Pokud ale začneme s maticí B = A' v řádkově schodovitém tvaru, eliminuje takový postup pouze všechny dosud nenulové prvky mimo diagonálu matice a závěrem lze ještě i tyto elementárními operacemi změnit na jedničky. Celkem jsme tedy ověřili důležitý výsledek, ke kterému se budeme mnohokrát vracet: 2.9. Věta. Pro každou matici A typu m/n nad polem skalárů K existují čtvercové invertibilní matice P dimenze m a Q dimenze n takové, že matice P -Ajev řádkově schodovitém tvaru a PA-Q r ■ . 0 .. 0\ 0. . 1 0 ... . .. 0 0. . 0 1 0 . .. 0 0. . 0 0 0 . .. 0 v / 80 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.10 2 .10a 2.10. Algoritmus pro výpočet inverzní matice. V předchozích úvahách jsme se dostali prakticky k úplnému algoritmu pro výpočet inverzní matice. Během jednoduchého níže uvedeného postupu buďzjistíme, že inverze neexistuje, nebo bude inverze spočtena. I nadále pracujeme nad polem skalárů. Ekvivalentní řádkové transformace se čtvercovou maticí A dimenze n vedou k matici P' takové, že matice P'-A bude v řádkově schodovitém tvaru. Přitom může (ale nemusí) být jeden nebo více posledních řádků nulových. Jestliže má existovat inverzní matice k A, pak existuje i inverzní matice k P'-A. Jestliže však je poslední řádek v P' ■ A nulový, bude nulový i poslední řádek v P' ■ A ■ B pro jakoukoliv matici B dimenze n. Existence takového nulového řádku ve výsledku (řádkové) Gaussovy eliminace tedy vylučuje existenci A-1. Předpokládejme nyní, že A-1 existuje. Podle předchozího, nalezneme řádkově schodovitý tvar bez nulového řádku, tzn. že všechny diagonální prvky v P' ■ A jsou nenulové. Pak ovšem pokračováním eliminace pomocí řádkových elementárních transformací od pravého dolního rohu zpět a vynor-mováním diagonálních prvků na jedničky získáme jednotkovou matici E. Jinými slovy, najdeme další invertibilní matici P" takovou, že pro P = P" ■ P' platí P ■ A = E. Výměnou řádkových a sloupcových transformací lze za předpokladu existence A-1 stejným postupem najít Q takovou, že A ■ Q = E. Odtud P = p . E = P ■ (A • Q) = (P ■ A) • Q = Q. To ale znamená, že jsme nalezli hledanou inverzní matici A~1 = P = Q k matici A. Zejména se tedy v okamžiku nalezení matice P s vlastností P ■ A = E už nemusíme s žádnými dalšími výpočty namáhat, protože víme, že již jistě jde o inverzní matici. Prakticky tedy můžeme postupovat takto: ' výpočet inverzní matice Vedle sebe napíšeme původní matici A a jednotkovou matici E, matici A upravujeme řádkovými elementárními úpravami nejprve na schodovitý tvar, potom tzv. zpětnou eliminací na diagonální matici a v té násobíme řádky inverzními prvky z K. Tytéž úpravy postupně prováděné s E vedou právě k hledané matici A-1. Pokud tento algoritmus narazí na vynulování celého řádku v původní matici, znamená to, že matice inverzní neexistuje. 2.11. Lineární závislost a hodnost. V předchozích úvahách a počtech s maticemi jsme stále pracovali / se sčítáním řádků nebo sloupců coby vektorů, spolu s jejich násobením skaláry. Takové operaci říkáme lineární kombinace. V abstraktním pojetí se k Řešení. Inverzní matici nalezneme tak, že vedle sebe napíšeme matici A a matici jednotkovou. Pomocí řádkových transformací pak převedeme matici A na jednotkovou. Tímto matice jednotková přejde na matici A-1. Postupnými úpravami dostáváme -1 0 1 0 -1 1 1 0 4 -4 11 --2 přičemž v prvním kroku jsme odečetli od prvního řádku třetí, ve druhém jsme (—5)násobek prvního přičetli ke druhému a současně jeho (—3)násobek ke třetímu, ve třetím kroku jsme odečetli od druhého řádku třetí, ve čtvrtém jsme (—2)násobek druhého přičetli ke třetímu, v pátém kroku jsme (—5)násobek třetího řádku přičetli ke druhému a jeho 2násobek k prvnímu, v posledním kroku jsme pak zaměnili druhý a třetí řádek. Zdůrazněme výsledek / 3 -4 3 A"1 = 1 -2 2 \-7 11 -9y Upozorněme, že při určování matice A-1 jsme díky vhodným řádkovým úpravám nemuseli počítat se zlomky. Přestože bychom si mohli obdobně počínat při určování matice B~l, budeme raději provádět více názorné (nabízející se) řádkové úpravy. Platí 0 0 1 0 1 \ 3 0 0 1 1 0 0 1 2 -3 \ / 1 0 0 1 2 -3 0 1 0 -1 1 -1 l A o 1 0 -1 1 -1 0 0 1 3 o -f i / 0 1 0 -2 3 tj- B~ Využitím identity (ť.B)- B-1 ■ (AT)~l = B-1 ■ (A"1)2 81 C. DETERMINANTY 1. VEKTORY A MATICE a znalosti výše vypočítaných inverzních matic lze obdržet 1 2 -1 1 -14 -9 42 -10 -5 27 17 10 -491 1 2.14. Vypočítejte inverzní matici k matici 2.15. Nalezněte inverzní matici k matici /8 3 5 2 0 0 0 o \o o o o 0\ 0 0 0 -10 0 0 1 2 0 3 5/ 2.16. Zjistěte, zda existuje inverzní matice k matici /ll 1 1 \ 1 1 -1 1 1-1 1 -1 v -1 -1 lJ Pokud ano, určete tuto matici C-1. , přičemž i je imaginární jednotka; 2.Í& Napište inverzní matici k n x n matici (n > 1) /2-n 1 ••• 1 1 \ 1 2-n 1 V 1 1 2-n 1 1 2-n) □ 2 .10b C. Determinanty Ověřte si nejprve na následujícím příkladu, že umíte počítat determinanty matic 2 x 2 a 3 x 3 (pomoci Saarusova pravidla): operacím s vektory vrátime za chvíli v 2.24, bude ale užitečné pochopit podstatu už nyní. Lineární kombinací řádků (nebo sloupců) matice A = (a^-) typu m/n rozumíme výraz c\uh H-----h ckui kde c i jsou skaláry, u j = (a n- a m) jsou řádky (nebo (a amj) jsou sloupce) matice A. Jestliže existuje lineární kombinace daných řádků s alespoň jedním nenulovým skalárním koeficientem, jejímž výsledkem je nulový řádek, říkáme, že jsou tyto řádky lineárně závislé. V opačném případě, tj. když jedinou možností jak získat nulový řádek je vynásobení výhradně nulovými skaláry, jsou tyto řádky lineárně nezávislé. Obdobně definujeme lineárně závislé a nezávislé sloupce matice. Předchozí výsledky o Gausově eliminaci můžeme teď J' „ intepretovat tak, že počet výsledných nenulových „schodů" v řádkově nebo sloupcově schodovitém tvaru je vždy roven počtu lineárně nezávislých řádků matice, resp. počtu lineárně nezávislých sloupců matice. Označme Eh matici z věty 2.9 s h jedničkami na diagonále a předpokládejme, že dvěma různými postupy dostaneme různá h' < h. Pak ovšem podle našeho postupu budou existovat také invertibilní matice P a. Q takové, že P-Eh,-Q = Eh. V součinu Ehi ■ Q bude více nulových řádků ve spodní části matice, než kolik má být jedniček v Eh a přitom se k nim máme dostat už jen řádkovými transformacemi. Zvýšit počet lineárně nezávislých řádků ale pomocí elementárních řdáko-vých transformací nelze. Proto je počet jedniček v matici P ■ A ■ Q ve větě 2.9 nezávislý na volbě našeho postupu eliminace a je roven jak počtu lineárně nezávislých řádků v A, tak počtu lineárně nezávislých sloupců v A. Tomuto číslu říkáme hodnost matice a značíme je h (A). Zapamatujme si výsledné tvrzení: Věta. Nechť A je matice typum/n nadpolem skalárů K. Matice A má stejný počet h( A) Unárně nezávislých řádků a lineárně nezávislých sloupců. Zejména je hodnost vždy nejvýše rovna menšímu z rozměrů matice A. Algoristmus pro výpočet inverzních matic také říká, že čtvercová matice A dimenze m má inverzi, právě když je její hodnost rovna počtu řádků m. 2.12. Matice jako zobrazení. Zcela stejně, jak jsme s maticemi pracovali v geometrii roviny, viz 1.29, můžeme každou čtvercovou matici A interpretovat jako zobrazení A : x A ■ x. Díky distributivitě násobení matic je zřejmé, jak jsou zobrazovány lineární kombinace vektorů takovými zobrazeními: A ■ (a x + b y) = a (A ■ x) + b (A ■ y). 82 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2 .10c tady byla ještě ukázka matic rotací - patrně budou v příkladech, tak jsou tady vyprocentované Přímo z definice je také vidět (díky asociativitě násobení matic), že skládání zobrazení odpovídá násobení matic v daném pořadí. Invertibilní matice tedy odpovídají bijektivním zobrazením. Z tohoto pohledu je velice zajímavá věta 2.9. Můžeme ji číst tak, že hodnost matice určuje, jak velký je obraz celého w v tomto zobrazení. Skutečně, je-li A = P ■ Ek ■ Q s maticí Ek s k jedničkami jako v 2.9, pak invertibilní Q napřed jen bijektivně „zamíchá" n-rozměrné vektory v w, matice Ek pak „zkopíruje" prvních k souřadnic a vynuluje n — k zbývajících. Tento „^-rozměrný" obraz už pak následně násobení invertibilní P nemůže zvětšit. 2.13. Řešení systémů lineárních rovnic. K pojmům dimenze, lineární nezávislost apod. se vrátíme ve třetí části této kapitoly. Již teď si ale můžeme povšimnout, co právě dovozené výsledky říkají o řešení systému lineárních rovnic. Jestliže budeme uvažovat matici systému rovnic a přidáme k ní ještě sloupec požadovaných hodnot, hovoříme o rozšířené matici systému. Postup, který jsme předvedli odpovídá postupné eliminaci proměnných v rovnicích a vyškrtání lineárně závislých rovnic (ty jsou prostě důsledkem ostatních). Dovodili jsme tedy kompletní informaci o velikosti množiny řešení systému lineárních rovnic v závislosti na hodnosti matice systému. Pokud nám při přechodu na řádkově schodovitý tvar zůstane v rozšířené matici více nenulových řádků než v matici systému, pak žádné řešení nemůže existovat (prostě se daným lineárním zobrazením do požadované hodnoty vůbec netrefíme). Pokud je hodnost obou matic stejná, pak nám při zpětném dopočtu řešení zůstane právě tolik volných parametrů, kolik je rozdíl mezi počtem proměnných n a hodností h (A). 2. Determinanty V páté části první kapitoly jsme viděli (viz 1.27), že pro čtvercové matice dimenze 2 nad reálnými čísly existuje skalární funkce det, která matici přiřadí nenulové číslo, právě když existuje její inverze. Neříkali jsme to sice stejnými slovy, ale snadno si to ověříte (viz odstavce počínaje 1.26 a vzorec (1.16)). Determinant byl užitečný i jinak, viz odstavce 1.33 a 1.34, kde jsme si volnou úvahou odvodili, že obsah rovnoběžníka by měl být lineárně závislý na každém ze dvou vektorů definujících rovnoběžník a že je užitečné zároveň požadovat změnu znaménka při změně pořadí těchto vektorů. Protože tyto vlastnosti měl, až na pevný skalární násobek, jedině determinant, odvodili jsme, že je obsah dán právě takto. Nyní uvidíme, že podobně lze postupovat v každé konečné dimenzi. V této části budeme pracovat s libovolnými skaláry K a maticemi nad těmito skaláry. Naše výsledky o determinantech tedy budou vesměs platit pro všechny komutativní okruhy, zejména tedy třeba pro celočíslené matice. 2.19. Určete determinanty matic: 1 2 2 1 2.20. Spočítejte determinant matice /l 3 5 6\ 12 2 2 1112 \0 1 2 1/ Řešení. Začneme rozvíjet podle prvního sloupce, kde máme nejvíce (jednu) nul. Postupně dostáváme 13 5 6 12 2 2 1112 0 12 1 Podle Saarusova pravidla □ 2.21. Nalezněte všechny hodnoty argumentu a takové, že 2 2 2 3 5 6 3 5 6 1 • 1 1 2 - 1 • 1 1 2 + 1 • 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 -2 _ 2 + 6 = 2. a 1 0 a 0 1 0 0 1 1 a 0 1. Pro komplexní a uvedte buď jeho algebraický nebo goniometrický tvar. Řešení. Spočítáme determinant rozvinutím podle prvního sloupce ma- tice: D a 1 0 a 0 1 0 0 1 1 a 0 a 1 1 a ■ 1 a 1 0 0 —a dále rozvíjíme podle posledního řádku: D = a ■ (—a) a 1 1 a 2/ 2 -a (a 1)- a- + 1 = 0. 2 Celkem dostáváme následující podmínku pro a: a4 — ~2 Substitucí t = a2, pak máme t2 — t + 1 s kořeny t\ cos(7r/3) + i sin(7r/3), t\ = l~'2^ = cos(7r/3) — i sin(7r/3) = cos(—jt/3) + i sin(—7T/3), odkud snadno určíme čtyři možné hodnoty parametru a: a\ = cos(7r/6) + / sin(7r/6) = V3/2 + i/2, a2 = cos(77r/6) + i sin(77r/6) = — V3/2 — i/2, aj, = cos(—it/6) + i sin(—jt/6) = V3/2 — i/2, a4 = cos(57r/6) + i sin(57r/6) = -V3/2 + //2. □ 83 C. DETERMINANTY 2. DETERMINANTY /andermond 2 .10c 2.22. Vandermonduv determinant. Dokažte vzorec pro tzv. Vander-mondův determinant, tj. determinant Vandermondovy matice: 1 1 . 1 «1 «2 . V n = a\ a2 . a2 "n = n (aJ ~ l i. Řešení. Ukážeme opravdu nádherný důkaz indukcí, nad nímž srdce mate- §., matika zaplesá. Pro n = 2 vztah triviálně platí. Nechť tedy platí pro determinant matice určené čísly «i, ..., ak a dokážeme, v že platí i pro výpočet determinantu Vandermondovy matice určenou čísly a\, ..., ak+i. Uvažme determinant Vk+\ jako polynom P v proměnné ak+i. Z definice determinantu vyplývá, že tento polynom bude stupně k v této proměnné a navíc čísla a\,...,ak budou jeho kořeny: nahradíme-li totiž ve Vandermondově matici Vk+i poslední sloupec tvořený mocninami čísla ak+i libovolným z předchozích sloupců tvořeným mocninami čísla «;-, tak hodnota tohoto pozměněného determinantu je vlastně hodnotou Vandermondova determinantu (jakožto polynomu v proměnné ak+\) v bodě «,. Tato je ovšem nulová, neboť determinant z matice se dvěma shodnými, tedy lineárně závislými, sloupci je nulový. To znamená, že «;- je kořenem P. Nalezli jsme tedy k kořenů polynomu stupně k, tudíž všechny jeho kořeny a P musí být tvaru P = C(ak+\ — a\)(ak+\ — a2) ■ ■ ■ (ak+\ — ak), kde C je nějaká konstanta, resp. vedoucí koeficient polynomu P. Uvážíme-li však výpočet determinantu Vk+\ pomocí rozvoje podle posledního sloupce, tak vidíme, že C = Vk, což už dokazuje vzorec pro Vk+\. □ Jiné řešení, (viz Návody a řešení cvičení) 2.23. Nenulovost determinantu čtvercové matice charakterizuje všechny invertibilní čtvercové matice: zjistěte, zdaje matice / 3 2-1 4 1 2 -2 2 4 V 2 3-4 2 \ -4 1 8/ 2.14. Definice determinantu. Připomeňme, že bijektivní zobrazení množiny X na sebe se nazývá permutace množiny X, viz 1.7. Je-li X = {1, 2, ...,«}, lze permutace zapsat pomocí výsledného pořadí ve formě tabulky: 1 2 ... n vct(1) o (2) ... a (ji), Prvek x e X se nazývá samodružným bodem permutace a, je-li a(x) = x. Permutace a taková, že existují právě dva různé prvky x,y e X s a(x) = y, zatímco všechna ostatní z e X jsou samodružná, se nazývá transpozice, značíme ji (x, y). Samozřejmě pro takovou transpozici platí také a (y) = x, odtud název. V dimenzi 2 byl vzorec pro determinant jednoduchý -vezmeme všechny možné součiny dvou prvků, po jednom z každého sloupce a řádku matice, opatříme je znaménkem tak, aby při přehození dvou sloupců došlo ke změně celkového znaménka, a výrazy všechny (tj. oba) sečteme: det A = ad — bc 'a \c d j Obecně, uvažujme čtvercové matice A = (a^) dimenze n nad K. Vzorec pro determinant matice A bude také poskládaný ze všech možných součinů prvků z jednotlivých řádků a sloupců: _ j Definice determinantu |_ Determinant matice A je skalár det A vztahem \A\ definovaný sgn(er)útiCT(i) • a2a(2) ■ ■ ■ ana(n) kde £„ je množina všech možných permutací na {1, ...,«} a znaménko sgn pro každou permutaci a ještě musíme popsat. Každý z výrazů sgn(°r)fll a(b). Permutace a se nazývá i— sudá (resp. lichá), obsahuje-li sudý (resp. lichý) počet inverzí. Parita permutace a je (_i)P°cetinverzi a značíme ji sgn(er). Tolik tedy definice znamének našich členů determintu. Chceme ale vědět, jak s paritou počítat. Z následujícího tvrzení o permutacích už je jasně vidět, že Saarusovo pravidlo skutečně počítá determinant v dimenzi 3. Věta. Na množině X = {1,2, ... ,n} je právě n\ různých permutací. Tyto lze seřadit do posloupnosti tak, že každé dvě po sobě jdoucí se liší právě jednou transpozicí. Lze při tom začít libovolnou permutací. Každá transpozice mění paritu. Důkaz. Pro jednoprvkové a dvouprvkové X tvrzení samozřejmě platí. Budeme postupovat indukcí přes dimenzi. Předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny množiny s n — 1 prvky a uvažme permutaci er(l) = a\, ..., a(n) = an. Podle indukčního předpokladu všechny permutace, které mají na posledním místě an, dostaneme z tohoto pořadí postupným prováděním transpozic. Přitom jich bude (n — 1)!. V posledním z nich prohodíme a (n) — &n zä některý z prvků, který dosud nebyl na posledním místě, a znovu uspořádáme všechny permutace s tímto vybraným prvkem na posledním místě do posloupnosti s požadovanými vlastnostmi. Po n-násobné aplikaci tohoto postupu získáme n(n — 1) = n \ zaručeně různých permutací, tzn. všechny, právě předepsaným způsobem. Všimněme si, že poslední věta dokazovaného tvrzení se nezdá příliš důležitá pro jeho využití. Je však velice důležitou částí postupu v našem důkazu indukcí přes počet prvků v X. Zbývá tvrzení věty o paritách. Uvažme pořadí («1, ai+\, ..., a„), ve kterém je r inverzí. Pak zjevně je v pořadí («1, ..., ai+\, a.i, ..., a„) buď r — 1 nebo r + 1 inverzí. Každou transpozici (a;, o,-) lze přitom získat postupným provedením (j — i) + (j — i — \) = 20 — 0 — 1 transpozic sousedních prvků. Proto se provedením libovolné transpozice parita permutace změní. Navíc již víme, že všechny permutace lze získat prováděním transpozic. □ Zjistili jsme, že provedení libovolné transpozice změní paritu permutace a že každé pořadí čísel {1,2, ...,«} lze získat postupnými transpozicemi sousedních prvků. Dokázali jsme proto: Důsledek. Na každé konečné množině X = {1, ...,«} s « prvky, n > 1, je právě jn \ sudých a ^n \ lichých permutací. Řešení. Matice je invertibilní (existuje k ní inverzní matice) právě tehdy, když ji lze pomocí řádkových transformací převést na jednotkovou matici. To je ekvivalentní např. s tím, že má nenulový determinant. Ten spočítáme pomocí Laplaceovy věty (2.32) například rozvojem podle prvního řádku: ■1 2 4 1 2 -4 4 2 -4 4 1 -4 4 1 3 • 2 4 1 -2- -2 4 1 + (-!)• -2 2 1 -2- -2 2 3 -4 8 2 -4 8 2 3 8 2 3 = 3 • 90 - 2 • 180 + (-1) • 110 - 2 • (-100) = 0, tedy daná matice není invertibilní. □ 2.24. Nalezněte matici algebraicky adjungovanou a matici inverzní k matici /l 0 2 0\ 0 3 0 4 5 0 6 0 7 0 V Řešení. Adjungovaná matice je /A, A* = Al3 A23 A33 A43 A24 A34 A44 Lil A u A21 A22 a31 A32 \A41 A42 kde Aij je algebraický doplněk prvku atj matice A, tedy součin čísla (—l)í+J a determinantu trojrozměrné matice vzniklé z A vynecháním /-tého řádku a 7-tého sloupce. Platí 3 0 4 0 0 4 Au = 0 6 0 = -24, a12 = - 5 6 0 = 0, .. 7 0 8 0 0 8 1 0 0 1 0 2 A43 = 0 3 4 = 0, Au = 0 3 0 = -12 5 0 0 5 0 6 Dosazením získáme /-24 0 20 0 \ t (-24 0 8 0 \ A* = 0 -32 0 28 0 -32 0 16 8 0 -4 0 20 0 -4 0 ^ 0 16 0 -12) 28 0 -12) Inverzní matici A 1 určíme ze vztahu A 1 = |A|- 1 • A*. Determi- nant matice A je (rozvojem podle prvního řádku) roven |A| 10 2 0 0 3 0 4 5 0 6 0 0 7 0 8 3 0 4 0 3 4 0 6 0 + 2 5 0 0 7 0 8 0 7 8 16. 85 D. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC PODRUHÉ 2. DETERMINANTY Dostáváme tedy / -3/2 0 1/2 0 \ 0 -2 0 1 5/4 0 -1/4 0 v 0 7/4 0 -3/4/ □ 2.25. Najděte algebraicky adjungovanou matici F*, je-li 'a p 0\ y S 0 , a,p, y, S e M. ,0 o i; 2.26. Vypočítejte algebraicky adjungované matice k maticím /3 -2 0 -l\ 2 .13b (a) (b) 1 + i 2i 3-2/ 6 0 2 2 1 1 -2 -3 -2 \0 1 2 1 / přičemž i označuje imaginární jednotku. D. Soustavy lineárních rovnic podruhé Se soustavami lineárních rovnic jsme se již setkali na začátku kapitoly. Nyní se budeme věnovat této problematice podrobněji. Zkusme nejprve využít výpočtu inverzní matice k řešení systému lineárních soustav rovnic. 2.27. Účastníci zájezdu. Dvoudenního autobusového zájezdu se zúčastnilo 45 osob. První den se platilo vstupné na rozhlednu 30 Kč za dospělého, 16 Kč za dítě a 24 Kč za seniora, celkem 1116 Kč. Druhý den se platilo vstupné do botanické zahrady 40 Kč za dospělého, 24 Kč za dítě a 34 Kč za seniora, celkem 1 542 Kč. Kolik bylo mezi výletníky dospělých, dětí a seniorů? Řešení. Zaveďme proměnné x udávající „počet dospělých"; y udávající „počet dětí"; z udávající „počet seniorů". Zájezdu se zúčastnilo 45 osob, a proto x + y + z 2 . 12 45. Celkové vstupné na rozhlednu a do botanické zahrady při zavedení našich proměnných a při zachování pořadí činí 30x+16y+24z a 40x+ 24y + 34z. My je ovšem známe (1 116 Kč a 1 542 Kč). Máme tak 30x + 16y + 24z = 1 116, 40x + 24y + 34z = 1542. Soustavu tří lineárních rovnic zapíšeme maticově jako 1 1 l\ M / 45 30 16 24 y = 1 116 ,40 24 34/ \z \1542; Jestliže složíme dvě permutace za sebou, znamená to provést napřed všechny transpozice tvořící první a pak druhou. Proto pro libovolné permutace a, r] : X -» X platí a proto také sgn(er o rj) = sgn(er) • sgn(/j) sgn(or ) = sgn(o-). 2.16. Rozklad permutace na cykly. Dobrým nástrojem pro praktickou práci s permutacemi je jejich rozklad na tzv. cykly. __j Cykly | 1 Permutace a na množině X = {\, ...,«} se nazývá cyklus délky k, jestliže je možné najít prvky ai, ..., ak e X, 2 < k < n, takové, že er(a;) = ai+\, i = 1, — 1, za- tímco a (ak) = a\ a ostatní prvky v X jsou pro a samodružné. Cykly délky dva jsou právě transpozice. Každá permutace je složením cyklů. Cykly sudé délky mají paritu — 1, cykly liché délky mají j^^^^^^^^^J Poslední tvrzení musíme ještě dokázat. Jestliže definujeme pro danou permutaci a relaci R tak, že dva prvky x, y e X jsou v relaci právě když or(x) = y pro nějakou iteraci permutace a, pak zjevně jde o relaci ekvivalence (ověřte si podrobně!). Protože je X konečná množina, musí pro nějaké i být al(x) = x. Jestliže zvolíme jednu třídu ekvivalence {x, a(x), ..., al~1(x)} c X a ostatní prvky definujeme jako samodružné, dostáváme cyklus. Evidentně je pak celá původní permutace X složením všech těchto cyklů pro jednotlivé třídy naší ekvivalence a je jedno v jakém pořadí cykly skládáme. Pro určení parity si nyní stačí povšimnout, že cykly sudé délky lze napsat jako lichý počet transpozic, proto mají paritu — 1. Obdobně cyklus liché délky dostaneme ze sudého počtu transpozic a proto mají paritu 1. 2.17. Jednoduché vlastnosti determinantu. Poznání vlast- ností permutací a jejich parit z předchozích odstavců nám teď umožní rychle odvodit základní vlastnosti determinantů. Pro každou matici A = (a^-) typu m/n nad definujeme matici transponovanou k A. Jde o = (a -■) s prvky a[- = a p , která je typu n/m. Čtvercová matice A s vlastností A = AT se nazývá symetrická. Jestliže platí A = —AT, pak se A nazývá antisy-metrická. Jednoduché vlastnosti determinantů skaláry z I matici AT Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a^) platí následu-jícíc tvrzení: (1) \AT\ = \A\ (2) Je-li jeden řádek v A tvořen nulovými prvky z K, pak \A\=0. 86 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA (3) Jestliže matice B vznikla z A výměnou dvou řádků, pak \A\ = -\B\. (4) Jestliže matice B vznikla z A vynásobením řádku skalárem íieK, pak \B\ = a \A\. (5) Jsou-li prvky k-tého řádku v A tvaru a^ = c^j + by a všechny ostatní řádky v maticích A, B = (bij), C = (c i j) jsou stejné, pak \A\ = \B\ + \C\. (6) Determinant \A\ se nezmění, přičteme-li k libovolnému řádku A lineární kombinaci ostatních řádků. Řešením je Důkaz. (1) Členy determinantů \A\ a \A | jsou v bijektivní korespondenci. Členu sgn(or)útMi) • a2a(2) ■ ■ ■ ana(n) přitom v AT odpovídá člen (na pořadí skalárů v součinu totiž nezáleží) Sgn((?)aa(l)l ■ ^a(2)2 • • • ^a(n)n — = Sgn(or)útlfr-l(1) •fl2fr-1(2) ' ' ' ana^ («) , přičemž musíme ověřit, že je tento člen opatřen správným znaménkem. Parita a a er-1 je ale stejná, jde tedy opravdu o člen v determinantu | AT | a první tvrzení je dokázáno. (2) Plyne přímo z definice determinantu, protože všechny jeho členy obsahují z každého řádku právě jeden člen. Je-li jeden z řádků nulový, budou tedy všechny členy determinantu nulové. (3) Ve všech členech \B\ dojde ve srovnání s determinantem \A\ u permutací k přidání jedné transpozice, znaménko všech členů determinantu tedy bude opačné. (4) Vyplývá přímo z definice, protože členy determinantu \B\ jsou členy \A\ vynásobené skalárem a. (5) V každém členu \A\ je právě jeden součinitel z k-tého řádku matice A. Protože platí distributivní zákon pro násobení a sčítání v K, vyplývá tvrzení přímo z definičního vztahu pro determinanty. (6) Jsou-li v A dva stejné řádky, jsou mezi členy determinantu vždy dva sčítance stejné až na znaménko. Proto je v takovém případě \A\ = 0. Je tedy podle tvrzení (5) možné přičíst k vybranému řádku libovolný jiný řádek, aniž by se změnila hodnota determinantu. Vzhledem k tvrzení (4) lze ale přičíst i skalární násobek libovolného jiného řádku. □ 2.18. Výpočetní důsledky. Podle předchozí věty umíme _ převést elementárními řádkovými transformacemi každou čtvercovou matici A na řádkově schodovitý tvar, aniž bychom v změnili hodnotu jejího determinantu. Jen musíme dávat pozor, abychom vždy k upravovanému řádku pouze přičítali lineární kombinace řádků ostatních. neboť 1 1 1 30 16 24 ,40 24 34, '22^ 12 11, Slovně vyjádřeno, zájezdu se zúčastnilo 22 dospělých, 12 dětí, 11 seniorů. □ 2.28. Za pomoci výpočtu inverzní matice určete řešení soustavy X\ + %2 + x3 + x4 = 2, X\ -\- X2 — Xj — x4 = 3, X\ — X2 ~\~ Xj — x4 = 3, X\ — X2 — X3 + X4 = 5. Co když však matice soustavy není invertibilní? Potom nemůžeme k jejímu řešení inverzní matice využít. Taková soustava pak má jiný počet než jedno řešení. Jak možná čtenář již ví, tak systém lineárních rovnic buď nemá řešení, nebo má jedno řešení, nebo jich má nekonečně mnoho (například nemůže mít právě dvě řešení). Prostor řešení je buď vektorový prostor (v případě, že pravá strana všech rovnic v systému je nulová, hovoříme o homogenním systému lineárních rovnic) nebo afinní prostor, viz 4.1, (v případě, ze pravá strana alespoň jedné z rovnic je nenulová, hovoříme o nehomogenním systému lineárních rovnic). Ukažme si tedy různé možné typy řešení soustavy lineárních rovnic na příkladech. 2.29. Pro jaké hodnoty parametrů a, b e M má lineární systém X\ — ax2 — 2^3 = b, x\ + (1 — d)X2 = b — 3, x\ + (1 — a)x2 + axj, = 2b — 1 (a) právě 1 řešení; (b) žádné řešení; (c) alespoň 2 řešení? Řešení. Soustavu „tradičně" přepíšeme do rozšířené matice a upravíme 2b - 1 87 D. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC PODRUHÉ 2. DETERMINANTY výpočet determinantů eliminací 1 —a —2 b 0 1 2 -3 0 0 a b + 2 Dodejme, že v prvním kroku jsme první řádek odečetli od druhého a od třetího a ve druhém kroku pak druhý od třetího. Vidíme, že soustava bude mít právě jedno řešení (které lze určit zpětnou eliminací) tehdy a jenom tehdy, když a ^ 0. Pro a = 0 totiž ve třetím sloupci není první nenulové číslo nějakého řádku. Je-li a = 0 a b = —2, dostáváme nulový řádek, kdy volba x3 e M jako parametru dává nekonečně mnoho různých řešení. Pro a = 0a.b ^ —2 poslední rovnice a = b+2 nemůže být splněna - soustava nemá řešení. Poznamenejme, že pro a = 0, b = — 2 jsou řešeními (jci, x2, x3) = (-2 + 2t, —3 — 2ř, ř) , t e R a pro a ^ 0 je jediným řešením trojice -3a2 - ab - 4a +2b + 4 2b + 3a+4 b + 2 2.30. Zjistěte počet řešení soustav (a) □ 12*1 Xi Xi + 75. (b) (c) 4xi 5xi -2xi 4xi 5xi -2xi + + + + x2 + 2x2 2x2 2x2 2x2 *2 + + + 11X3 5x3 2X3 12X3 x3 6x3 12X3 x3 6x3 -9, -9, -7: 0, 0, 4; 0, 1, 0. Řešení. Vektory (1,0, —5), (1,0, 2) jsou očividně lineárně nezávislé (jeden není násobkem druhého) a vektor (12, v5, 11) nemůže být jejich lineární kombinací (jeho druhá složka je nenulová), a proto matice, jejímiž řádky jsou tyto tři lineárně nezávislé vektory, je invertibilní. Soustava ve variantě (a) má tedy právě jedno řešení. U soustav ve variantách (b), (c) si stačí povšimnout, že je (4,2, -12) = -2(-2, -1, 6). V případě (b) tak sečtení první rovnice s dvojnásobkem třetí dává 0 = 8 - soustava nemá řešení; v případě (c) je třetí rovnice násobkem první - soustava má zřejmě nekonečně mnoho řešení. Je-li matice A v řádkovém schodovitém tvaru, pak v každém členu IAI je alespoň jeden součinitel prvkem pod diagonálou s výjimkou případu, kdy jsou všechny jen na diagonále. Pak je ale jediným nenulovým členem determinantu ten, který odpovídá identické permutaci. Vidíme tedy, že determinant takové matice ve schodovitém tvaru je útn • a22 ■ Předchozí věta tedy poskytuje velice efektivní metodu výpočtu determinantů pomocí Gaussovy eliminační metody, viz odstavec 2.7. Všimněme si také hezkého důsledku prvního tvrzení předchozí věty o rovnosti determinantů matice a matice transponované. Zaručuje totiž, že kdy-^ .Cc. koliv se nám podaří dokázat nějaké tvrzení o v>\í—» - determinantech formulované s využitím řádků příslušné matice, pak analogické tvrzení platí i pro sloupce. Např. tedy můžeme okamžitě všechna tvrzení (2)-(6) této věty přeformulovat i pro přičítání lineárních kombinací ostatních sloupců k vybranému. To můžeme hned použít pro odvození následujícího vzorce pro přímý výpočet řešení systémů lineárních rovnic: J Crammerovo pravidlo I Uvažme systém n linárních rovnic pro n proměnných s maticí sytému A = (a;i) a sloupcem hodnot b = (b\, ..., b„), tj. v maticovém zápisu řešíme rovnici A ■ x = b. Jestliže existuje inverze A komponenty jediného řešení x = (xi, 1, pak jsou jednotlivé ..., x„) dány vztahem |A/||A|- kde matice A;- vznikne z matice systému A výměnou /-tého sloupce za sloupec hodnot b. mmm^mmmmmmJi Skutečně, jak jsme viděli, inverze k matici systému existuje právě tehdy, když má systém jediné řešení. Jestliže tedy takové řešení x máme, můžeme za sloupec b dosadit do matice Ai příslušnou kombinaci sloupců matice A, tj. hodnoty bi = a.i\X\+- ■ ■+ainxn. Pak ale odečtenímx,<--násobků všech ostatních sloupců zůstane v /-tém sloupci pouze x;-násobek původního sloupce z A. Číslo x; tedy můžeme vytknout před determinant a získáme rovnost | A, \ \ A \ ~1 = x, \ A \ \ A \ ~1 = x,■, což je požadované tvrzení. Dále si všimněme, že vlastnosti (3)-(5) z předchozí věty říkají, že determinant jakožto zobrazení, které n vektorům dimenze n (řádkům nebo sloupcům matice) přiřadí skalár, je antisymetrické zobrazení lineární v každém svém argumentu, přesně jako jsme podle analogie z dimenze 2 požadovali. 88 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.19. Další vlastnosti determinantu. Časem uvidíme, že skutečně stejně jako v dimenzi dva je determinant matice roven orientovanému objemu rovnoběžnostěnu určeného jejími sloupci. Uvidíme také, že když uvážíme zobrazení x h-» A ■ x zadané čtvercovou maticí A na 1", pak můžeme determinant této matice vidět jako vyjádření poměru mezi objemem rovnoběžnostěnů daných vektory x\, ... xn a jejich obrazy A ■ x\, ..., A ■ xn. Protože skládání zobrazení x A • x h-» B ■ (A- x) odpovídá násobení matic, je snad docela pochopitelná tzv. Cauchyova věta: _J Cauchyova věta | Věta. Nechť A = (flý), B = (bij) jsou čtvercové matice dimenze n nad okruhem skalárů K. Pak \A ■ B\ = \A\ ■ \B\. 1. 14a Všimněme si, že z Cauchyovy věty a z reprezentace elementárních rakových transformací pomocí násobení vhodnými maticemi (viz 2.8), okamžitě vyplývají tvrzení (2), (3) a (6) z Věty 2.17. My teď tuto větu odvodíme ryze algebraicky už proto, že \A předchozí odvolávka na geometrický argument těžko může fungovat pro libovolné skaláry. Základním nástrojem je tzv. rozvoj determinantu podle jednoho nebo více řádků či sloupců. Budeme proto potřebovat něco málo technické přípravy. Čtenář, který by snad tolik abstrakce nestrávil může tyto pasáže přeskočit a vstřebat pouze znění Laplaceovy věty a jejich důsledků. 2.20. Minory matice. Při úvahách o maticích a jejich vlastnostech budeme často pracovat jen s jejich WL JLY/ částmi. Budeme si proto muset zavést několik pojmů. J submatice a minory | Nechť A = (aij) je matice typu m/n a 1 < i\ < ... < h < rn, 1 < ji < ... < ji < n jsou pevně zvolená přirozená čísla. Pak matici / «/, M = "■liji \aik.h ahh ■ ■ ■ aikji / typu k/l nazýváme submaticí matice A určenou řádky í'i, ..., /t a sloupci ji, ..., ji. Zbývajícími (m — k) řádky a (n — 1) sloupci je určena matice M* typu (m — k)/(n — i), která se nazývá doplňková submatice k M v A. Při k = l je definován \M\, který nazýváme subdeterminant nebo minor řádu k matice A. Je-li m = n, pak při k = i je i M* čtvercová a \M*\ se nazývá doplněk minoru \M\, nebo doplňkový minor k submatici M v matici A. Skalár -----Nt+j'H-----. |^*| se nazývá algebraický doplněk k minoru \M\. 2.31. Najděte (libovolný) lineární systém, jehož množina řešení je právě {(ř + 1, 2ř, 3ř, 4ř); t e R}. Řešení. Takovým systémem je např. 1.X\ — X2 = 2, 2jC2 — XiX = 0, 4xq — 3x4 0. Těmto rovnicím totiž uvedené řešení vyhovuje pro každé t e M a vektory (2,-1,0,0), (0,2,0,-1), (0,0,4,-3) zadávající levé strany rovnic jsou zřejmě lineárně nezávislé (množina řešení obsahuje jeden parametr). □ 2.32. Stanovte hodnost matice /1 -3 0 1 \ 1 -2 2 -4 1 -1 0 1 V"2 -1 1 -v Poté stanovte počet řešení systému lineárních rovnic = xl + x2 + x3 ~ —3x\ — — x?, — + 2x2 + Xi — 4X2 + X3 — a také všechna řešení systému xl + x2 + x3 ~ —3xi — 2x2 — x3 — + 2x2 + X\ — 4x2 + x3 — X<\ X4 2,x^ 2,x^ X4 X4 2,x^ o, o, o, o a systému Xl Xl Xl -2xi 3x2 2X2 + 2x3 X2 X2 + X3 1, -4, 1, -2. Řešení. Protože je det A = —10, tedy nenulový, jsou sloupce matice A lineárně nezávislé, a tudíž se její hodnost rovná jejímu rozměru. První z uvedených třech systémů je zadán rozšířenou maticí / 1 1 1 -2 4 \ -3 -2 -1 -1 5 0 2 0 1 1 v 1 -4 1 -2 3 ) Ovšem levá strana je právě AT s determinantem \AT\ = \A\ 7^ 0. Existuje tedy matice (AT) 1 a soustava má právě 1 řešení (xi, x2, x3, x4)T = (AT)~l ■ (4, 5, 1, 3)T . Druhý ze systémů má totožnou levou stranu (určenou maticí AT) s prvním. Protože absolutní členy na pravé straně lineárních systémů 89 D. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC PODRUHÉ 2. DETERMINANTY neovlivňují počet řešení a protože každý homogenní systém má nulové řešení, dostáváme jako jediné řešení druhého systému uspořádanou čtveřici (jci, x2, x3, x4) = (0,0, 0, 0). Třetí systém má rozšířenou matici / 1 -3 0 1 \ 1 -2 2 -4 1 -1 0 1 v -2 -1 1 "2/ 2 . 14b což je matice A (pouze poslední sloupec je uveden za svislou čarou). Pokud budeme tuto matici upravovat na schodovitý tvar, musíme obdržet řádek ( 0 0 0 | a ) , kde a ^ 0. Víme totiž, že sloupec na pravé straně není lineární kombinací sloupců na levé straně (hodnost matice je 4). Tento systém nemá řešení. □ 2.33. Vyřešte systém homogenních lineárních rovnic zadaný maticí /0 V2 V3 V6 0 \ 2 2 V3 -2 -75 0 2 VŠ 273 -73 \3 3 V3 -3 0 / 2.34. Určete všechna řešení systému 3xi xx xx + X2 2x2 x2 + x4 3x3 + 4x4 x3 -\- x4 x3 1, -2, 2, 1. 2.35. Vyřešte 3x - 5y + 2u + 4z = 2, 5x + ly - Au - 6z = 3, Ix - 4y + u + 3z, = 5. 2.36. Rozhodněte o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic 3xi + 3x2 + x3 = 1, 2x\ -\- 3x2 — x3 = 8, 2x\ — 3x2 + xj, = 4, 3x\ — 2x2 + xj, = 6 Submatice tvořené prvními k řádky a sloupci se nazývají vedoucí hlavní submatice, jejich determinanty vedoucí hlavní minory matice A. Zvolíme-li k po sobě jdoucích řádků a sloupců, počínaje /-tým řádkem, hovoříme o hlavních sub-maticích, resp. hlavních minorech. Při speciální volbě k = i = \, m=n říkáme příslušnému doplňkovému minoru algebraický doplněk Aij prvku aij matice A. 2.21. Laplaceův rozvoj determinantu. Pokud je \m\ \^ hlavní minor matice A řádu k, pak přímo z % definice determinantu je vidět, že každý z jednotlivých k\(n — k)\ sčítanců v součinu \m\ s jeho algebraickým doplňkem je členem determinantu \A\. Obecně, uvažme submatici m, tj. čtvercovou matici, určenou řádky i\ < i2 <••• Uvažme nejprve následující matici H di- menze 2n (používáme tzv. blokovou symboliku, tj. píšeme matici jakoby složenou ze (sub)matic A, B atd.) H A 0 -E B Mi an\ -1 \0 o b 0 \ -1 o n 'In Jnn/ Laplaceovým rozvojem podle prvních n řádků obdržíme právě \H\ = \A\ ■ \B\. Nyní budeme k posledním n sloupcům postupně přičítat lineární kombinace prvních n sloupců tak, abychom obdrželi matici s nulami v pravém dolním rohu. Dostaneme K Mi an\ -1 a\n C\\ 0 o Cln\ 0 V o -1 o ... o / Prvky submatice nahoře vpravo přitom musí splňovat anb]_j +ai2b2j H-----Y aini neboli jde právě o prvky součinu A • B a \K\ = \H\. Přitom rozvojem podle posledních n sloupců dostáváme \K\ = (-1)"+1+-+2"|A-£| = (-l)2n(n+1)-|A-S| = \A-B\. Tím je Cauchyova věta bezezbytku dokázána. třech proměnných x\, x2, x3. 2.37. Stanovte počet řešení 2 soustav 5 lineárních rovnic AT -x = (l,2,3,4,5)r, AT -x = (1, 1, 1, 1, 1)T, kde /3 1 7 5 x = (xux2,x3)T a A = 0 0 0 0 1 \2 1 4 3 0; 2.38. Nechť je dáno Najděte taková reálná čísla b\, b2, b3, aby systém lineárních rovnic A x = b měl: (a) nekonečně mnoho řešení; (b) právě jedno řešení; (c) žádné řešení; (d) právě 4 řešení. 2.39. Určete řešení soustavy lineárních rovnic ax\ + 4x2 +2x3 = 0, 2xi + 3x2 v závislosti na parametru a e M. x3 0, 2.40. V závislosti na hodnotě parametru a e M rozhodněte o počtu řešení soustavy /4 1 \ 2 3 6 8 3 2 5 4 \^6 -1 2 -8/ x2 x3 w í 2\ 5 3 v-v 2.41. Rozhodněte, zda existuje homogenní soustava lineárních rovnic tří proměnných, jejíž množinou řešení je (a) {(0, 0, 0)}; (b) {(0,1,0), (0,0,0), (1,1,0)}; (c) {(x, 1,0); x e M}; (d) {(x, y, 2y); x, y e R}. 91 E. VEKTOROVÉ PROSTORY 2. DETERMINANTY 2.42. Řešte soustavu lineárních rovnic v závislosti na reálných|"gar&6 metrech a, b. x +2y + bz x - y + 2z 3x — y a 1 1. E. Vektorové prostory Vlastnosti vektorového prostoru, kterých jsme si všimli u roviny či třírozměrného prostoru, ve kterém žijeme, má celá řada jiných množin. Ukažme si to na příkladech. 2.43. Vektorový prostor ano či ne? Rozhodněte o následujících množinách, jestli jsou vektorovými prostory nad tělesem reálnýcji^cJĚ" sel: i) Množina řešení soustavy x\ + x2 + ' ' ' + X9S + x99 + ^100 = 100*1, xi+x2-\-----\-x9S+x99 = 99*1, xi + x2 H-----\-x9S = 98*1, *i -\- x2 = 2*1. ii) Množina řešení rovnice x\ + x2 + - - - + *100 = 0 iii) Množina řešení rovnice x\ + 2x2 + 3*3 + • • • + lOOxioo = 1- iv) Množina všech reálných, resp. komplexních, posloupností. (Reálnou, resp. komplexní posloupností rozumíme zobrazení / : N -» R, resp. / : N -» C. O obrazu čísla n pak hovoříme jako o n-tém členu posloupnosti, většinou jej označujeme dolním indexem, např. an.) v) Množina řešení homogenní diferenční rovnice. vi) Množina řešení nehomogenní diferenční rovnice. vii) {/ : R -> R\f(\) = f (2) = c, c e R} Řešení. i) Ano. Jsou to všechny reálné násobky vektoru (1,1,1...,1), 1-,-' 100 jedniček tedy vektorový prostor dimenze 1 (viz dále (2.29)). 2.23. Determinant a inverzní matice. Předpokládejme nejprve, že existuje matice inverzní k matici A, tj. A ■ A~l = E. Protože pro jednotkovou matici platí vždy \E\ = 1, je pro každou invertibilní matici vždy \A\ invertibilní skalár a díky Cauchyově větě platí |A_11 = |A|_1. My však nyní kombinací Laplaceovy věty a Cauchyho věty umíme říci víc. | Vzorec pro inverzní matici |_ (ciij) dimenze A u jsou alge- Pro libovolnou čtvercovou matici A n definujeme matici A* = («*), kde a*-braické doplňky k prvkům a jí v A. Matici A* nazýváme algebraicky adjungovaná matice k matici A. Věta. Pro každou čtvercovou matici A nad okruhem skalárů K platí (2.2) Zejména tedy AA* = A*A = \A\ ■ E. (1) A-1 existuje jako matice nad okruhem skalárů K, právě když |A|_1 existuje v K. (2) Pokud existuje A-1, pak platí A-1 A*. i Důkaz. Jak jsme již zmínili, Cauchyova věta ukazuje, že z existence A-1 vyplývá invertibilita |A| e K. Pro libovolnou čtvercovou matici A spočteme přímým výpočtem A • A* = (o,), kde ^2aikakj = ^2aikA k=l Pokud i = j je to právě Laplaceův rozvoj |A| podle /-tého řádku. Pokud i ^ j jde o rozvoj determinantu matice v níž je z-tý a y-tý řádek stejný a proto je q7 = 0. Odtud plyne A • A* = |A| • E a dokázali jsme rovnost (2.2). Předpokládejme navíc, že |A| je invertibilní skalár. Jestliže zopakujeme předešlý výpočet pro A* • A, obdržíme \A\~lA* ■ A = E. Proto náš výpočet skutečně dává inverzní matici A, jak je tvrzeno ve větě. □ Jako přímý důsledek této věty můžeme znovu ověřit Cra-mmerovo pravidlo pro řešení systémů lineárních rovnic, viz 2.18. Skutečně, pro řešení systému A ■ x = b stačí důsledně přečíst v rovnosti x = A-1 • b = \A\~lA* -b poslední výraz jako Laplaceův rozvoj determinantu matice Ai vzniklé výměnou /-tého sloupce v A za sloupec hodnot 92 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 3. Vektorové prostory a lineární zobrazení 2.24. Abstraktní vektorové prostory. Vraťme se teď na chvilku k systémům m lineárních rovnic pro n proměnných z 2.3 a předpokládejme navíc, že jde o homogenní systém rovnic A ■ x = 0, tj. an Xi /0> \Clm\ . . . dynnJ \xn J Díky vlastnosti distributivity pro násobení matic je zřejmé, že součet dvou řešení x = (x\, ..., x„) a y = (yi, ..., y„) splňuje A-(x+y) = A- x+ A- y = 0 a je tedy také řešením. Stejně tak zůstává řešením i skalární násobek a-x. Množina všech řešení pevně zvoleného systému rovnic je proto uzavřená na sčítání vektorů a násobení vektorů skaláry. To byly základní vlastnosti vektorů dimenze n v W, viz 2.1. Teď ale máme vektory v prostoru řešení s n souřadnicemi a ,rozměr" tohoto prostoru je dán rozdílem počtu proměnných a hodností matice A. Můžeme tedy snadno mít při řešení 1000 souřadnic a jen jeden nebo dva volné parametry. Celý prostor řešení se pak bude chovat jako rovina nebo přímka, jak jsme je poznali již v 1.25 na straně 31. Už v odstavci 1.9 jsme ale potkali ještě zajímavější příklad prostoru všech řešení homogenní lineární diferenční rovnice (prvního řádu). Všechna řešení jsme dostali z jednoho pomocí násobení skaláry a jsou tedy také uzavřená na součty a skalární násobky. Tyto „vektory" řešení ovšem jsou nekonečné posloupnosti čísel, přestože intuitivně očekáváme, že „rozměr" celého prostoru řešení by měl být jedna. Potřebujeme proto obecnější definici vektorového prostoru a jeho dimenze: «„„■—■..J Definice vektorového prostoru | Vektorovým prostorem V nad polem skalárů K rozumíme množinu, na které jsou definovány • operace sčítání splňující axiomy (KG1)-(KG4) z odstavce 1.1 na straně 6, • násobení skaláry, pro které platí axiomy (V1)-(V4) z odstavce 2.1 na straně 72. Připomeňme také naši jednoduchou konvenci ohledně značení: skaláry budou zpravidla označovány znaky z počátku abecedy, tj. a, b, c, ..., zatímco pro vektory budeme užívat znaky z konce, u, v, w, x, y, z. Přitom ještě navíc většinou x, y, z budou opravdu n-tice skalárů. Pro úplnost výčtu, písmena z prostředka, např. i, j, k, i budou nejčastěji označovat indexy výrazů. Abychom se trochu pocvičili ve formálním postupu, ověříme jednoduché vlastnosti vektorů, které pro rc-tice skalárů byly samozřejmé, nicméně teďje musíme odvodit z axiomů. ii) Ano. Jedná se o prostor dimenze 99 (odpovídá počtu volných parametrů řešení). Obecně je tvoří množina řešení libovolné homogenní soustavy lineárních rovnic vektorový prostor. iii) Ne. Např. dvojnásobek řešení x\ = 1, x; = 0, i = 2, ... 100 není řešením dané rovnice. Množina řešení však tvoří tzv. afinní prostor (viz (??)). iv) Ano. Množina všech reálných, resp. komplexních, posloupností tvoří zřejmě reálný, resp. komplexní, vektorový prostor. Sčítání posloupností a násobení posloupnosti skalárem je totiž definováno člen po členu, kde se jedná o vektorový prostor reálných, resp. komplexních, čísel. v) Ano. Abychom ukázali, že množina posloupností vyhovujících dané diferenční homogenní rovnici tvoří vektorový prostor, stačí ukázat, že je uzavřená vzhledem ke sčítání i násobení reálným číslem (neboť se jedná o podmnožinu vektorového prostoru) mějme posloupnosti (x7)°^0 a Cy/)^o vyhovující stejné homogenní diferenční rovnici, tedy anxn+k + an-\xn+k-\ + • • • + a$xk = 0 anyn+k + a„-iyn+k-i + ■ ■ ■ + a0yk = 0. Sečtením těchto rovnic dostaneme a„(xn+k + yn+k) + an-i(xn+k-i + y„+k-i) H-----h a0(xk + yk) = 0, tedy i posloupnost (xj + yj)^, vyhovuje stejné diferenční rovnici. Rovněž tak pokud posloupnost (xj)^0 vyhovuje dané rovnici, tak i posloupnost (iíij)"0, kde ueK. vi) Ne. Součet dvou řešení nehomogenní rovnice anxn+k + an-\xn+k-\ + ' ' ' + a0xk = c a„y„+k + a„_i)>„-Hfc_i H-----h a0yk = c, c e R - {0} vyhovuje rovnici an(xn+k + yn+k) + an-i(xn+k-i + yn+k-i) + • • • + a0(xk + yk) = 2c, zejména pak nevyhovuje původní nehomogenní rovnici. Množina řešení však tvoří afinní prostor, viz 4.1. vii) Je to vektorový prostor právě, když c = 0. Vezme-li dvě funkce / ag zdané množiny, pak (f+g)(l) = (f+g)(2) = f (1) + g(l) = 2c. Má-li funkce f + g být prvkem dané množiny, musí být (/ + g)(l) = c, tedy 2c = c, tedy c = 0. □ 93 F. LINEÁRNI ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST, BAZE 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNI ZOBRAZENI 2.44. Zjistěte, zda je množina | 2 .17a U1 = {(x1,x2,x3) sR3; | jci | = \x2\ = \x3\] podprostorem vektorového prostoru R3 a množina U2 = {ax2 + c; a, c e R} podprostorem prostoru polynomů stupně nejvýše 2. Řešení. Množina U\ není vektorovým (pod)prostorem. Vidíme např., že je (1,1,1) + (-1,1,1) = (0,2,2) £ ř/i. Množina U2 ovšem podprostor tvoří (nabízí se přirozené ztotožnění s R2), protože {a\x2 + ci) + (a2x2 + c2) = (ax + a2) x2 + (c\ + c2), k ■ (ax2 + c) = (ka) x2 + kc pro všechna čísla a\,c\, a2, c2, a, c, k e R. □ 2.45. Je množina ľ = {(l,i);iel)s operacemi © : V x V -» V7, (1, v) © (1, z) = (1, z + v) pravšechna O : R x V7 -» V, z O (1, v) = (1, y ■ z) pro všechna vektorovým prostorem? F. Lineární závislost a nezávislost, báze 2.46. Výpočtem determinantu vhodné matice rozhodněte o lineární nezávislosti vektorů (1,2,3,1), (1,0,-1,1), (2,1,-1,3) a (0, 0, 3, 2). Řešení. Protože 2 . 17a 12 3 1 10-11 2 1-13 0 0 3 2 uvedené vektory jsou lineárně nezávislé 10 ^0, □ 2.47. Nechťjsou dány libovolné lineárně nezávislé vektory u, v, w, z ve vektorovém prostoru V. Rozhodněte, zda jsou ve V lineárně závislé, či nezávislé, vektory u — 2v, 3u + w — z, u — 4v + w + 2z, 4v + 8u> + 4z. Řešení. Uvažované vektory jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když jsou lineárně nezávislé vektory (1,-2,0,0), (3,0,1,-1), (1, -4, 1, 2), (0, 4, 8, 4) v R4. Je však 1-200 3 0 1-1 1-412 0 4 8 4 2.25. Tvrzení. Nechť V je vektorový prostor nad polem skalárů K, dále uvažme a, b, at e K, vektory u, v, u j e V. Potom (1) a ■ u = 0, právě když a = 0 nebo u = 0, (2) (— 1) - u = —u, (3) a ■ (u — v) = a ■ u — a ■ v, (4) (a — b) ■ u = a ■ u — b ■ u, (5) (ELi ai) ■ (E7=i ui) = Eľ=i £7=iai' u>- Důkaz. Můžeme rozepsat (a + 0) • u a ■ u + 0 • u = a ■ u což podle axiomu (KG4) zaručuje 0 • u = 0. Nyní u + (-1) • u (V= (1 + (-1)) • u = 0 • u = 0 a odtud —u = (—1) • u. Dále (V2, V3) a ■ (u + (— 1) • v) = a ■ u + (—a) ■ v = a ■ u — a ■ v, což dokazuje (3). Platí (V2.V3) (a — b) ■ u = a ■ u + (—o) ■ u = a ■ u — b ■ u a tím je ověřeno (4). Vztah (5) plyne indukcí z (V2) a (VI). Zbývá(1): a-0 = a-(u—u) = a -u—a -u = 0, což spolu s prvním tvrzením tohoto důkazu ukazuje jednu implikaci. K opačné implikaci poprvé potřebujeme axiom pole pro skaláry a axiom (V4) pro vektorové prostory: je-li p-u=0a.p^0, pak u = 1 • u = (p~l ■ p) ■ u = p~l -0 = 0. □ 2.26. Lineární (ne)závislost. V odstavci 2.11 jsme pracovali s tzv. lineárními kombinacemi řádků matice. S obecnými vektory budeme zacházet zcela analogicky: j Lineární kombinace a nezávislost j» Výrazy tvaru a\ ■ v\ + • • • + ak ■ vk nazýváme lineární kombinace vektorů v\, ..., e V. Konečnou posloupnost vektorů v\, ..., vk nazveme lineárně nezávislou, jestliže jediná jejich nulová lineární kombinace je ta s nulovými koeficienty, tj. jestliže pro skaláry e K platí at ■ vi H-----h ak ■ vk = 0 a2 ak = 0. -36 ^0, Je zjevné, že v nezávislé posloupnosti vektorů jsou všechny po dvou různé a nenulové. Množina vektorů M c V ve vektorovém prostoru V nad K se nazývá lineárně nezávislá, jestliže každá konečná &-tice vektorů v\, ..., vk e M je lineárně nezávislá. Množina M vektorů je lineárně závislá, jestliže není lineárně nezávislá. 94 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Přímo z definice vyplývá, že neprázdná podmnožina M vektorů ve vektorovém prostoru nad polem skalárů K je závislá právě, když je jeden z jejích vektorů vyjádřitelný jako konečná lineární kombinace pomocí ostatních vektorů v M. Skutečně, alespoň jeden koeficient v příslušné nulové lineární kombinaci musí být nenulový a protože jsme nad polem skalárů, můžeme jím podělit a vyjádřit tak u něj stojící vektor pomocí ostatních. Každá podmnožina lineárně nezávislé množiny M je samozřejmě také lineárně nezávislá (požadujeme stejné podmínky na méně vektorů). Stejně snadno vidíme, že M c V je lineárně nezávislá právě tehdy, když každá konečná podmnožina v M je lineárně nezávislá. 2.27. Generátory a podprostory. Podmnožina M c V se nazývá vektorovým podprostorem jestliže spolu se zúženými operacemi sčítání a náso-__i§ bení skaláry je sama vektorovým prostorem. Tzn. požadujeme Va, b € K, Vi;, w € M, a ■ v + b ■ w € M. Rozeberme si hned několik příkladů: Prostor m-tic skalárů W" se sčítáním a násobením po složkách je vektorový prostor nad M, ale také vektorový prostor nad Q. Např. pro m = 2, jsou vektory (1, 0), (0, 1) e M2 lineárně nezávislé, protože z a ■ (1,0) + b ■ (0, 1) = (0,0) plyne a = b = 0. Dále, vektory (1,0), (V2, 0) e R2 jsou lineárně závislé nad M, protože \[2 ■ (1,0) = (V2, 0), ovšem nad Q jsou lineárně nezávislé! Nad M tedy tyto dva vektory „generují" jednorozměrný podprostor, zatímco nad Q je „větší". Polynomy stupně nejvýše m tvoří vektorový prostor Mm[x]. Polynomy můžeme chápat jako zobrazení / : M -» M a sčítání a násobení skaláry definujeme takto: (/ + g)(x) = f(x) + g(x), (a ■ f)(x) = a ■ f(x). Polynomy všech stupňů také tvoří vektorový prostor Mqo [x] a Mm[x] c M„[x] je vektorový podprostor pro všechna m < n < oo. Podprostory jsou také např. všechny sudé polynomy nebo liché polynomy, tj. polynomy splňující f(-x) = ±f(x). Úplně analogicky jako u polynomů můžeme definovat strukturu vektorového prostoru na množině všech zobrazení M -» M nebo všech zobrazení M -» V libovolné pevně zvolené množiny M do vektorového prostoru V. Protože podmínka v definici podprostoru obsahuje jjři pouze univerzální kvantifikátory, je jistě průnik podprostoru opět podprostor. Snadno to ověříme i přímo: Nechť W{, i e /, jsou vektorové podprostory ve V, Í'J 1 a, b e K, u, v e níe/W;-. Pak pro všechny i e /, a ■ u + b ■ v e W,■, to ale znamená, že a ■ u + b ■ v e níe/ W,■. tudíž jsou uvažované vektory lineárně nezávislé. □ 2.48. Určete všechny konstanty a e M takové, aby polynomy ax2 + x +2, —2x2 + ax + 3 a x2 + 2x + a byly lineárně závislé (ve vektorovém prostoru p3ixi, polynomů jedné proměnné stupně nejvýše 3 nad reálnými čísly). Řešení. V bázi 1, x, x2 jsou souřadnice zadaných vektorů (polynomů) následující: (a, 1, 2), (—2, a, 3), (1, 2, a). Polynomy budou lineárně závislé, právě když bude mít matice, jejíž řádky jsou tvořeny souřadnicemi zadaných vektorů menší hodnost, než je počet vektorů, v tomto případě tedy hodnost dvě a menší. V případě čtvercové matice nižší hodnost než je počet řádkuje ekvivalentní nulovosti determinantu dané matice. Podmíka na a tedy zní a 1 2 —2 a 3 1 2 a 0, tj. a bude kořenem polynomu a3 — 6a — 5 = (a + l)(a2 — a — 5), tj. úloha má tři řešení a\ = — 1, a2 3 = . □ 2.49. Vektory (1,2,1), (-1,1,0), (0,1,1) jsou lineárně nezávislé, a proto z nich lze sestavit bázi M3. Každý trojrozměrný vektor je tak nějakou jejich lineární kombinací. Jakou jejich lineární kombinací je vektor (1, 1, 1)? 2.50. Vyjádřete vektor (5, 1, 11) jako lineární kombinaci vektorů (3, 2, 2), (2, 3, 1), (1,1, 3), tj. nalezněte čísla p, q,r e M, pro která je (5, 1, 11) = p (3, 2, 2) + q (2, 3, 1) + r (1, 1, 3). 2.51. Pro jaké hodnoty parametrů a, b, c e M jsou vektory (1, 1, a, 1), (1, b, 1, 1), (c, 1,1,1) lineárně závislé? 2.52. Nechť je dán vektorový prostor V a nějaká jeho báze složená z vektorů u, v, w, z. Zjistěte, zda jsou vektory u — 3v + z, v — 5w — z, 3w — lz, u — w + z lineárně (ne)závislé. 2.53. Doplňte vektory 1 — x2 + x3, 1 + x2 + x3, 1 — x — x3 na bázi prostoru polynomů stupně nejvýše 3. 95 F. LINEÁRNI ZÁVISLOST A NEZÁVISLOST, BAZE 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNI ZOBRAZENI 2.54. Tvoří matice 'l 0 \ (1 4 \ (-5 0\ íl -2N 1 -2)' \0 -1J' \ 3 OJ' {O 3 bázi vektorového prostoru čtvercových dvourozměrných matic? Řešení. Uvedené čtyři matice jsou jako vektory v prostoru 2x2 matic lineárně nezávislé. Vyplývá to z toho, že matice / 1 1 —5 1 \ 0 4 0 -2 10 3 0 \-2 -10 3 / je tzv. regulární, což je mimochodem ekvivalentní livovolnému z ná-sledujích tvrzení: její hodnost je rovna rozměru;ze z ní pomocí řádkových elementárních transformací obdržet jednotkovou matici; existuje k ní matice inverzní; má nenulový determinant, roven 116; jí zadaná homogenní soustava lineárních rovnic má pouze nulové řešení; každý nehomogenní lineární systém s levou stranou určenou touto maticí má právě jedno řešení; obor hodnot lineárního zobrazení, jež zadává, je vektorový prostor dimenze 4; toto zobrazení je injektivní). □ 2.55. Uvažme komplexní čísla C jako reálný vektorový prostor. Určete souřadnice čísla 2 + i v bázi dané kořeny polynomu x2+x + l. 2.56. Uvažme komplexní čísla C jako reálný vektorový prostor. Určete souřadnice čísla 2 + i v bázi dané kořeny polynomu x2 — x +1. 2.57. V M3 jsou dány podprostory U a V generované po řadě vektory (1, 1, -3), (1, 2, 2) a (1,1,-1), (1, 2, 1), (1, 3, 3) I2'19 Nalezněte průnik těchto podprostorů. Řešení. Podprostor V má dimenzi pouze 2 (nejedná se tedy o celý prostor M3), neboť 1 1 -1 1 1 1 1 2 1 = 1 2 3 1 3 3 -1 1 3 0 a neboť libovolná dvojice z uvažovaných třech vektorů je očividně lineárně nezávislá. Stejně snadno vidíme, že také podprostor U má dimenzi 2. Současně je 111 1 2 1=2^0, -3 2 -1 a proto vektor (1, 1, — 1) nemůže náležet do podprostorů U. Průnikem rovin procházejících počátkem (dvojrozměrných podprostorů) v trojrozměrném prostoru musí být alespoň přímka. V našem případu je jím právě přímka (podprostory nejsou totožné). Určili jsme dimenzi průniku - je jednodimenzionální. Všimneme-li si, že 1 •(!, 1, -3)+2- (1,2,2) = (3,5, 1) = 1 • (1, 1, -1)+2-(1,2, 1), Zejména je tedy podprostorem průnik (M) všech podprostorů W C V, které obsahují předem danou množinu vektorů M c V. Říkáme, že množina M generuje podprostor (M), nebo že prvky M jsou generátory podprostorů (M). Zformulujme opět několik jednoduchých tvrzení o generování podprostorů: Tvrzení. Pro každou neprázdnou podmnožinu M C V platí (1) (M) = {«i •«!+••• + ak ■ uk; k e N, at e K, u j e M, j = 1,...,*}; (2) M = (M), právě když M je vektorový podprostor; (3) jestliže N C M, pak (N) C (M) je vektorový podprostor. Podprostor (0) generovaný prázdnou podmnožinou je triviálni podprostor {0} C V. Důkaz. (1) Množina všech lineárních kombinací ci\U\ + • • • + akuk na pravé straně (1) je jistě vektorový podprostor a samozřejmě obsahuje M. Naopak, každá z jednotlivých lineárních kombinací nutně musí být v (M) a první tvrzení je dokázáno. Tvrzení (2) vyplývá okamžitě z (1) a z definice vektorového podprostorů a obdobně je z prvního tvrzení zřejmé i tvrzení třetí. Konečně, nejmenší vektorový podprostor je {0}, protože prázdnou množinu obsahují všechny podprostory a každý z nich obsahuje vektor 0. □ 2.28. Součty podprostorů. Když už máme představu o generátorech a jimi vytvářených podprostorech, měli bychom rozumět i možnostem, jak několik podprostorů může vytvářet celý vektorový prostor V. j Součty podprostorů | Nechť Vi, i e /, jsou podprostory ve V. Pak podprostor generovaný jejich sjednocením, tj. (U;e/V,), nazýváme součtem podprostorů V,. Značíme ^i e/ V,. Zejména pro konečný počet podprostorů V\, ..., Vk C V píšeme Vl + ... + vk = (VlUV2U---UVk). 1 Vidíme, že každý prvek v uvažovaném součtu podprostorů můžeme vyjádřitjako lineární kombinaci vektorů zpod-prostorů V i. Protože však je sčítání vektorů komutativní, lze k sobě poskládat členy patřící do stejného podprostorů a pro konečný součet k podprostorů tak dostáváme Vi + V2 + ■ ■ ■ + Vk = {vi + ■ ■ ■ + vk; ví s Ví, i = 1, Součet W = V\ + • • • + Vk C V se nazývá přímý součet podprostorů, jsou-li průniky všech dvojic triviální, tj. V, D Vj = {0} pro všechny i ^ j. Ukážeme, že v takovém případě 96 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA lze každý vektor w e W napsat právě jedním způsobem jako součet w = vi -\-----\-vk, kde V{ e V,. Skutečně, pokud by tento vektor šlo zároveň vyjádřit, jako w = v[ + ■ ■ ■ + v'k, potom 0 = w - w = (vi - v[) H-----\-(vk- v'k). Pokud bude vt — v[ první nenulový člen na pravé straně, pak tento vektor z Vt umíme vyjádřit pomocí vektorů z ostatních podprostorů. To je ale ve sporu s předpokladem, že Vt má se všemi ostatními nulový průnik. Jedinou možností tedy je, že všechny vektory na pravé straně jsou nulové a tedy je rozklad wjednoznačný. Pro přímé součty podprostorů píšeme w = v. Vt. 2 .19a 2.29. Báze. Nyní máme vše připravené pro pochopení minimálních množin generátorů tak, jak j sme se s nimi vypořádali v rovině M2. báze vektorových prostorů [ Podmnožina M c V se nazývá báze vektorového prostoru V, jestliže (M) = V a M je lineárně nezávislá. Vektorový prostor, který má konečnou bázi nazýváme konečněrozměrný, počet prvků báze nazýváme dimenzí V. Nemá-li V konečnou bázi, říkáme, že V je nekonečněroz-měrný. Píšeme dim V = k, k e N, případně k = oo. Abychom s takovou definicí dimenze mohli být spoko- jeni, potřebujeme \ěděi,mň^S^tházĚi^^m± storu budou mít vždy stejný počet prvků. 1b sku-tečně brzy dokážeme. Všimněme si hned, že triviální podprostor je generován prázdnou množinou, která je „prázdnou" bazí. Má tedy triviální podprostor dimenzi nulovou. Bázi k -rozměrného prostoru budeme obvykle zapisovat jako /c-tici v_ = (vi ... ,vk) bázových vektorů. Jde tu především o zavedení konvence: U konečněrozměrných podprostorů budeme totiž vždy uvažovat bázi včetně zadaného pořadí prvků i když jsme to takto, striktně vzato, nedefinovali. Zjevně, je-li (vi, ..., vn) bazí V, je celý prostor V přímým součtem jednorozměrných podprostorů V = (Vl) (Vn)- Okamžitým důsledkem výše odvozené jednoznačnosti rozkladu jakéhokoliv vektoru ve V do komponent v přímém součtu dává jednoznačné vyjádření w X\V\ + ■ ■ ■ + xnvn a dovoluje nám tedy po volbě báze opět vidět vektory jako n-tice skalárů. K tomuto pohledu se vrátíme v zápětí v odstavci 2.33, jak jen dokončíme diskusi existence bazí a součtů podprostorů v obecné poloze. dostáváme vyjádření hledaného průniku ve tvaru množiny všech skalárních násobků vektoru (3, 5, 1) (jedná se o přímku procházející počátkem s tímto směrovým vektorem). □ 2.58. Stanovte vektorový podprostor (prostoru M4) generovaný vektory m = (-1, 3, -2, 1), u2 = (2, -1,-1, 2), u3 = (-4, 7, -3, 0), u4 = (1, 5, —5, 4). vybráním nějaké maximální množiny lineárně nezávislých vektorů w; (tj. vybráním báze). Řešení. Sepíšeme vektory w; do sloupců matice a obdrženou matici upravíme pomocí řádkových elementárních transformací. Takto získáme (-1 2 -4 !\ 2 0 4\ n 2 0 3 -1 7 5 -1 2 -4 1 0 4 - 4 5 -2 -1 -3 - -5 3 -1 7 5 0 -7 7 -7 V i 2 0 4/ -1 -3 -v \o 3 - 3 3 / /l 2 0 4\ 2 0 4 \ n 0 2 0 1 -1 5/4 0 1 -1 5/4 0 1 -1 0 0 1 -1 1 0 0 0 -1/4 0 0 0 1 \o 0 0 0 ) \o 0 0 0 ) \o 0 0 (V Odtud vyplývá, že lineárně nezávislejšou právě vektory u i, ř/2, u4, tj. právě ty vektory odpovídající sloupcům, které obsahují první nenulové číslo nějakého řádku. Navíc odsud plyne (viz třetí sloupec) 2 • (-1, 3, -2, 1) - (2, -1,-1,2) = (-4, 7, -3, 0). □ G. Lineární zobrazení Jak popsat analyticky shodná zobrazení v rovině či prostoru jako je rotace, osová symetrie či zrcadlení, nebo projekci třírozměrného prostoru na dvojrozměrné plátno? Jak popsat zvětšení obrázku? Co mají společného? Jsou to všechno lineární zobrazení. Znamená to, že zachovávají jistou strukturu roviny či prostoru. Jakou strukturu? Strukturu vektorového prostoru. Každý bod v rovině je popsán dvěma v prostoru pak třema souřadnicemi. Pokud zvolíme počátek souřadnic, tak má smysl mluvit o tom, že nějaký bod je dvakrát dál od počátku stejným směrem než jiný bod. Také víme, kam se dostaneme, posuneme-li se o nějaký úsek v jistém směru a pak o jiný úsek v jiném směru. Tyto vlastnosti můžeme zformalizovat, hovoříme-li o vektorech v rovině, či prostoru a o jejich násobcích, či součtech. Lineární zobrazení má pak tu vlastnost, že obraz součtu vektorů je součet obrazů sčítaných vektorů a obraz násobku vektoru je ten stejný násobek obrazu násobeného vektoru. Tyto vlastnosti právě mají zobrazení zmíněná v úvodu tohoto odstavce. Takové zobrazení je pak jednoznačně určeno tím, jak se chová na vektrorech nějaké báze (to je v rovině obrazem dvou vektorů neležících na přímce, v prostoru obrazem tří vektorů neležích v rovině). 97 G. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ A jak tedy zapsat nějaké lineární zobrazení / na vektorovéi)i2pr2)9 storu V? Začněme pro jednoduchost s rovinou M2: předpokládejme, že obraz bodu (vektoru) (1, 0) je (a, b) a obraz bodu (0, 1) je (c, d). Tím už je jednoznačně určený obraz libovolného bodu o souřadnicích (u, v): f((u, v)) = f(u(\, 0) + i,(0, 1)) = uf(\, 0) + vf(\, 0) = (ua, ub) + (vc, vd) = (au + cv, bu + dv), což můžeme výhodně zapsat následujícím způsobem: a c\ í u b d j [v au + cv bu + dv Lineární je tedy zobrazení jednoznačně dané maticí. Navíc pokud (e f\ máme další lineární zobrazení g, dané maticí . , tak snadno \8 hj spočítáme (čtenář si jistě ze zájmu sám ověří), že jejich složení g o f , fae + fc be + df i e dáno maticí . , , „ y ag + ch bg + dh To nás vede k tomu, abychom násobení matic definovali tímto způsobem, tedy aby aby aplikace zobrazení na vektor byla dána maticovým násobením matice zobrazení se zobrazovaným vektorem a aby složení zobrazení bylo dáno součinem matic jednotlivých zobrazení. Obdobně to funguje v prostorech vyšší dimenze. Zároveň tato úvaha znovu ukazuje to, co již bylo dokázáno v (2.5), totiž že násobení matic je asociativní, ale není komutativní, neboť tomu tak je u skládání zobrazení. To je tedy další z motivací, proč se zabývat vektorovými prostory a proč je s pojmem vektorového 2.59. Popišme si nejprve některá lineární zobrazení. Začneme několika příklady v prostorech malých dimenzí. Ve standardní bázi M2 uvažujme následující matice zobrazení / : M2 -» M2: 1 0 0 0 B 0 1 0 0 c a 0 0 b D 0 -1 1 0 Matice A zadává kolmou projekci podél podprostoru W C {(0,a); fl e Kj c l2 na podprostor V c {(a, 0); íiel)c M2. Evidentně pro toto zobrazení / : M2 -» M2 platí / o / = / a tedy /lim / je identické zobrazení. Jádrem / je právě podprostor W. Matice B má vlastnost B2 = 0, platí tedy totéž o příslušném zobrazení /. Můžeme si jej představit jako matici derivování polynomů Mi[jc] stupně nejvýše jedna v bázi (1, x). Matice C zadává zobrazení /, které první vektor báze zvětší a-krát, druhý Ŕ-krát. Tady se nám tedy celá rovina rozpadá na dva pod-prostory, které jsou zobrazením / zachovány a ve kterých jde o pouhou homotetii, tj. roztažení skalárním násobkem. Např. volba a = 1, 2.30. Věta. Z libovolné konečné množiny generátorů vektorového prostoru V lze vybrat bázi. Každá báze koenčněroz-měrného prostoru V má přitom stejný počet prvků. Důkaz. První tvrzení ukážeme snadno indukcí přes počet generátorů k. Jedině nulový podprostor nepotřebuje žádný generátor a tedy umíme vybrat prázdnou bázi. Naopak, ^ nulový vektor vybrat nesmíme (generátory by byly lineárně závislé) a nic jiného už v podprostoru není. Abychom měli indukční krok přirozenější, probereme ještě přímo případ k = 1. Máme V = ({v}) au 7^ 0, protože {v} je lineárně nezávislá množina vektorů. Pak je ovšem {v} zároveň báze vektorového prostoru V. Předpokládejme, že tvrzení platí pro k = n, a uvažme V = (i>i, ..., vn+i). Jsou-li v\, ..., vn+i lineárně nezávislé, pak tvoří bázi. V opačném případě existuje index i takový, že a\V\ + • • • + cii- + lvi + l H-----h an +if«+i- Pak ovšem V = (v\, ..., u;_i, vi+\, ..., vn+\) a již umíme vybrat bázi (podle indukčního předpokladu). Zbývá ověřit, že báze mají vždy stejný počet prvků. Uvažujme bázi (v\, ..., vn) prostoru V a libovolný nenulový vektor u = a\V\ + s at 7^ 0 pro jisté i. Pak + a„v„ e V 1 / — (u ai (a\V\ H-----\-cii-1Vi-1 +ai+ivi+i -\-----\-a„vn)) a proto také (u,v\, ..., vi-\, vi+\, ..., v„) = V. Ověříme, že je to opět báze: Kdyby přidáním u k lineárně nezávislým vektorům v\, ..., t>;_i, vi+\, ..., v„ vznikly lineárně závislé vektory, pak by u bylo jejich lineární kombinací. To by znamenalo V = (vu ..., Ui-i, vi+1, ...,vn), což není možné. Takže jsme dokázali, že pro libovolný nenulový vektor u e V existuje i, 1 < i < n, takové, že (u, v\, ..., Vi-i, vi+\, ..., v„) je opět báze V. Dále budeme místo jednoho vektoru u uvažovat lineárně nezávislou množinu u\, ..., uk a budeme postupně přidávat u 1, u2, ..., vždy výměnou za vhodné vt podle předchozího postupu. Musíme přitom ověřit, že takové vt vždy bude existovat (tj. že se nebudou vektory u vyměňovat vzájemně). Předpokládejme tedy, že již máme umístěné u\, ...,U(_. Pak se ui+i jistě vyjádří jako lineární kombinace těchto vektorů a zbylých Vj. Pokud by pouze koeficienty u«i,...,«ť byly nenulové, znamenalo by to, že již samy vektory u 1, ..., uí+i byly lineárně závislé, což je ve sporu s našimi předpoklady. Pro každé k < n tak po k krocích získáme bázi ve které z původní báze došlo k výměně k vektorů za nové. Pokud by k > n, pak již v n-tém kroku obdržíme bázi vybranou z 98 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.20a nových vektorů ut, což znamená, že tyto nemohou být lineárně nezávislé. Zejména tedy není možné, aby dvě báze měly různý počet prvků. □ Ve skutečnosti jsme dokázali silnější tvrzení, tzv. Steinit-zovu větu o výměně, která říká, že pro každou konečnou bázi v a každý systém lineárně nezávislých vektorů ve V umíme najít podmnožinu bázových vektorů t>;, po jejichž záměně za zadané nové vektory opět dostaneme bázi. 2.31. Důsledky Steinitzovy věty o výměně. Díky možnosti volně volit a vyměňovat bázové vektory můžeme okamžitě dovodit pěkné (a intuitivně snad také očekávané) vlastnosti bazí vektorových prostorů: Tvrzení. (1) Každé dvě báze konečněrozměrného vektorového prostoru mají stejný počet vektorů, tzn. že naše definice dimenze nezávisí na volbě báze. (2) Má-li V konečnou bázi, lze každou lineárně nezávislou množinu doplnit do báze. (3) Báze konečněrozměrných vektorových prostorů jsou právě maximální lineárně nezávislé množiny. (4) Báze prostoru s konečnou dimenzí jsou právě minimální množiny generátorů. Malinko složitější, ale nyní snadno zvládnutelná, je situace kolem dimenzí podprostorů a jejich součtů: Důsledek. Nechť W,Wi,W2 C V jsou podprostory v prostoru V konečné dimenze. Pak platí (1) dim W < dim V, (2) V = W, právě když dim V = dim W, (3) dim Wi + dim W2 = dim(Wi + W2) + dim(Wi n W2). Důkaz. Zbývá dokázat pouze poslední tvrzení. To je zřejmé, pokud je dimenze jednoho z prostorů nulová. Předpokládejme tedy dim W\ = r > 1, dim W2 = s > 1 a nechť (wi ..., wt) je báze Wi n W2 (nebo prázdná množina, pokud je průnik triviální). Podle Steinitzovy věty o výměně lze tuto bázi průniku doplnit na bázi (wi, ... ,wt, ut+i ..., ur) pro W\ a na bázi (wi ..., wt, vt+i, ..., vs) pro W2. Vektory W\, Wt, Ut+1 . ur, vt+\ ...,vs jistě generují W\ + W2. Ukážeme, že jsou přitom lineárně nezávislé. Nechť tedy a\Wi + Pak nutně + atwt + bt+iUt+i + ... ----\-brur +ct+ivt+i + + csvs (ct+i ■ vt+i H-----h cs ■ vs) = = at ■ wi H-----h at ■ wt + bt+i ■ ut+i + b = — 1 odpovídá komplexní konjugaci x + iy \-> x — iy na dvourozměrném reálném prostoru M2 ~ C v bázi (1,0- Toto je lineární zobrazení reálného vektorového prostoru, nikoliv však jednorozměrného komplexního prostoru C. V geometrii roviny jde o zrcadlení podle osy x. Matice D je maticí rotace o pravý úhel ve standardní bázi. Jako pro každé lineární zobrazení, které je bijekcí, umíme najít báze na definičním oboru a oboru hodnot, ve kterých bude jeho maticí jednotková matice E (prostě vezmeme jakoukoliv bázi na definičním oboru a její obraz na oboru hodnot). Neumíme ale v tomto případě totéž s jednou bází na začátku i konci. Zkusme však uvažovat matici C jako matici zobrazení g : C2 -> C2. Pak umíme najít vektory u = (i, 1), v = pro které bude platit s(M) = (í "o1)'(0=r'M' *(w) = (i "o1) ' 0) = ' To ale znamená, že v bázi (u, v) na C2 má g matici i 0 v0 -i a povšimněme si, že tato komplexní analogie k případu matice C má na diagonále prvky ±a, a = cos(^7r)+/ sin(j7r). Jinými slovy, argument v goniometrickém tvaru tohoto komplexního čísla udává úhel otočení. Navíc, můžeme si označit reálnou a imaginární část vektoru u takto K u = xu + iyu = Re u + / Im u + i + br ■ ur a zúžení komplexního zobrazení g na reálný vektorový podprostor generovaný vektory xu az'y„ (tj. násobení komplexní jednotkou z')jeprávě otočení o úhel _x. Nyní zkusme přejít do lineárních zobrazení z M3 do M3. Jedním z nich je například rotace. 2.60. Nalezněte matici rotace v kladném smyslu o úhel it/3 kolem přímky procházející počátkem s orientovaným směrovým vektorem (1, 1, 0) ve standardní bázi M3. Řešení. Uvedené otočení lze získat složením po řadě těchto tří zobrazení: • rotace o jt/4 v záporném smyslu podle osy z (osa rotace přejde na osu x); • rotace o jt/3 v kladném smyslu podle osy x; • rotace o jt/4 v kladném smyslu podle osy z (osa x přejde na osu rotace). Matice výsledné rotace bude součinem matic odpovídajících uvedeným třem zobrazením, přičemž pořadí matic je dáno pořadím provádění jednotlivých zobrazení - prvnímu zobrazení odpovídá v součinu 99 G. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ matice nejvíce napravo. Takto dostaneme hledanou matici /VI V V2 2 2 vJ vJ 2 2 0 o o V /i o o o \ V5 / vi v VJ 0\ 2 2 U " VJ 2 0 VJ 2 o / 3 4 J_ 4 v- Vě 4 4 3 4 Vň 4 VŠ \ 4 _ Vě 4 Í / Uvědomme si, že výslednou rotaci bylo možné získat např také 2.21 složením následujících tří zobrazení: - • rotace o jt/4 v kladném smyslu podle osy z (osa rotace přejde na osu y); • rotace o jt/3 v kladném smyslu podle osy y; • rotace o jt/4 v záporném smyslu podle osy z (osa y přejde na osu rotace). Analogicky tak dostáváme /V2 _V2 2 V2 2 V2 2 2 \0 0 2.22 □ 2.61. Matice obecné rotace v M3. Ve vedlejším sloupci umí kolega v M3 popsat pouze matice rotace kolem souřadnicových os. V tomto sloupci umíme odvodit i matici obecné rotace v M3. Úvahu z předchozího příkladu totiž můžeme provést i s obecnými hodnotami. Uvažme libovolný jednotkový vektor (x, y, z). Rotace v kladném smyslu o úhel cp kolem tohoto vektoru pak můžeme zapsat jako složení následujících rotací, jejichž matice již známe: i) rotace 1Z\ v záporném smyslu kolem osy z o úhel s kosinem x/^Jx2 + y2 = x/Vl — z2, tedy sinem y/Vl — z2, ve které přejde přímka se směrovým vektorem (x, y, z) na přímku se směrovým vektorem (0, y, z). Matice této rotace je ii) rotace TI2 v kladném smyslu podle osy y o úhel s kosinem Vl — z2, tedy sinem z, ve které přejde přímka se směrovým vektorem (0, y, z) na přímku se směrovým vektorem musí patřit do W2 n W\. To ale má za následek, že bt+1 = ■■■ = br = 0, protože tak jsem doplňovali naše báze. Pak ovšem i cii ■ wi H-----h at ■ wt + ct+í ■ vt+í H-----\-cs ■ v 0 a, protože příslušné vektory tvoří bázi W2, jsou všechny koeficienty nulové. Tvrzení (3) nyní vyplývá z přímého přepočítání generátorů. □ 2.32. Příklady. (1) K" má (jako vektorový prostor nad K) dimenzi n. Bazí je např. n-tice vektorů ((1,0, ...,0), (0, 1, ...,0)...,(0, ...,0, 1)). Tuto bázi nazýváme standardní báze v W. Všimněme si, že případě konečného pole skalárů, např. Z^, má celý vektorový prostor W jen konečný počet k" prvků. (2) C jako vektorový prostor nad M má dimenzi 2, bázi tvoří např. čísla 1 a i. (3) Km[jc], tj. prostor polynomů stupně nejvýše m, má dimenzi m + 1, bazí je např. posloupnost 1, x, x2, ..., x™. Vektorový prostor všech polynomů K[x] má dimenzi 00, umíme však ještě stále najít bázi (i když s nekonečně mnoha prvky): 1, x, x2, .... (4) Vektorový prostor M nad Q má dimenzi 00 a nemá spočetnou bázi. (5) Vektorový prostor všech zobrazení / : M -> M má také dimenzi 00 a nemá spočetnou bázi. 2.33. Souřadnice vektorů. Jestliže pevně zvolíme bázi (t>i, ..., vn) konečněrozměrného prostoru V, pak můžeme každý vektor w e V vyjádřit jako |KtO% lineární kombinaci v = a\Vi + ■ ■ ■ + anvn. 'ftir*~t~^~ Předpokládejme, že to uděláme dvěma způsoby: w = a\V\ + ■ ■ ■ + anvn = b\V\ + ■ ■ ■ + bnvn. Potom ale 0 = (ai - bi) ■ vi H-----h (a„ - b„) ■ v„ a proto a{ = b{ pro všechna i = 1. Dospěli jsme proto k závěru: V konečněrozměrném vektorovém prostoru lze každý vektor zadat právě jediným způsobem jako lineární kombinaci bázových vektorů. Koeficienty této jediné lineární kombinace vyjadřující daný vektor w e V ve zvolené bázi v = (v\, ..., v„) se nazývají souřadnice vektoru w v této bázi. Kdykoliv budeme mluvit o souřadnicích (a\, ..., an) vektoru w, které vyjadřujeme jako posloupnost, musíme mít pevně zvolenu i posloupnost bázových vektorů y_ = (v\, ..., vn). Jakkoliv jsme tedy báze zavedli jako minimální množiny generátorů, ve skutečnosti s nimi budeme pracovat 100 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA jako s posloupnostmi (tedy s uspořádanými množinami, kde je pevně zadáno pořadí bázových prvků). přiřazení souřadnic vektorům (1, 0, 0). Matice této rotace je Přiřazení, které vektoru u = a\Vi + ■ ■ ■ + a„v„ přiřadí jeho souřadnice v bázi y_, budeme značit stejným symbolem v : V -» K". Má tyto vlastnosti: (1) v(u + w) = v(u) + v(w); Vw, w e V, (2) v(a ■ u) = a ■ v(u); Va eK,V« e V. 2.23 M- Všimněme si, že operace na levých a pravých stranách těchto rovnic nejsou totožné, naopak, jde o operace na různých vektorových prostorech! Při této příležitosti se také můžeme zamyslet nad obecným případem báze M (možná nekonečněrozměrného) prostoru V. Báze pak nemusí být spočetná, pořád ale ještě můžeme definovat zobrazení M : V -vektoru jsou zobrazení z M do K). Uvedené vlastnosti přiřazení souřadnic jsme viděli už dříve u zobrazení, kterým jsme v geometrii roviny říkali lineární (zachovávaly naši lineární strukturu v rovině). Než se budeme věnovat podrobněji závislosti souřadnic na volbě báze, podíváme se obecněji na pojem linearity zobrazení. 2.34. Lineární zobrazení. Pro jakékoliv vektorové prostory (konečné i nekonečné dimenze), definujeme „linearitu" zobrazení mezi prostory z. obdobně, jako jsme to viděli již v rovině M2: Definice lineárních zobrazení Nechť V a W jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů K. Zahrazení f : V -» W se nazývá lineární zobrazení (homomorfismus) jestliže platí: (1) f(u + v) = f(u) + f(v), Vu,veV (2) f(a ■ u) = a ■ f(u), Va ěK,¥uě V. Samozřejmě, že jsme taková zobrazení již viděli ve formě násobení matic: s maticí typu m /n nad K. Obraz Im/ := f (V) C W je vždy vektorový podpro-stor, protože lineární kombinace obrazů /(«/) je obrazem lineární kombinace vektorů u{ se stejnými koeficienty. Stejně tak je vektorovým podprostorem množina všech vektorů Ker/ := /_1({0}) C V, protože lineární kombinace nulových obrazů bude vždy zase nulovým vektorem. Podprostor Ker / se nazývá jádro lineárního zobrazení f. Lineární zobrazení, které je bijekcí nazýváme izomorfis-mus. Podobně jako u abstraktní definice vektorových prostorů, opět je třeba ověřit zdánlivě samozřejmá tvrzení vyplývající z axiomů: Tvrzení. Nechť f : V —> W je lineární zobrazení mezi libovolnými vektorovými prostory nad týmž polem skalárů K. Pro iii) rotace 1Z3 v kladném smyslu kolem osy x o úhel

0 1 1 v2 0 0> Napište matici tohoto zobrazení v bázi (/i,/2,/3) = ((1,1,0), (-1,1,1), (2,0, 1)). Řešení. Matice přechodu T od báze / = (/i, f2, f3) k standardní bázi, tj. bázi danou vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), získáme podle Tvrzení 2.25 zapsáním souřadnic vektorů f\, f2, j3 ve standardní bázi do sloupců matice přechodu T. Máme tedy Matice přechodu od standardní báze k bázi / je potom Matice zobrazení v bázi / je potom T~lAT 2 0 □ 101 G. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 2.63. Uvažme vektorový prostor mnohočlenů jedné neznámé stupně nejvýše 2 s reálnými koeficienty. V tomto prostoru uvažme bázi 1, x, x2. Napište matici zobrazení derivace v této bázi a také v bázi 1 + x2, x, x + x2. /O 1 0\ /O 1 1 Řešení. 0 0 2,2 1 3|. □ \0 0 0/ \0 -1 -1 2.64. Ve standardní bázi v M3 určete matici rotace o 90° v kladném smyslu kolem přímky (ŕ, t, t), t e M, orientované ve směru vektoru (1, 1, 1). Dále určete matici této rotace v bázi £=((1,1,0), (1,0,-1), (0,1,1)). Řešení. Snadno určíme matici uvažované rotace a to ve vhodné bázi, totiž v bázi dané směrovým vektorem přímky a dále dvěma navzájem kolmými vektory v rovině x + y + z = 0, tedy v rovině vektorů kolmých k vektoru (1, 1, 1). Uvědomme si, že matice rotace v kladném smyslu o 90° v nějaké ortonormální bázi v M2 je 0 -1 1 0 , v orto- gonální s velikostmi vekorů k, l potom 0 -k/l 2.24 . Zvolíme-li v Kl/k 0 rovině x + y + z = 0 kolmé vektory (1, — 1, 0) a (1, 1, —2) o velikostech V2 a y/6, tak v bázi / = ((1, 1, 1), (1, -1, 0), (1, 1, -2)) má /l 0 0 \ uvažovaná rotace matici I 0 0 — -v/3 I. Abychom získali ma- \0 1/V3 0 / tici uvažované rotace ve standardní bázi, stačí nám transformovat matici již známým způsobem. Matici přechodu t od báze / ke standardní dostaneme zapsáním souřadnic (ve standardní bázi) vektorů báze / do /i i i sloupců matice t: t = I 1 —1 1 \1 0 -2, matici R máme . Celkem tedy pro hledanou '1 0 (2.3) (2.4) R r-|o o -Vš\ t-1 vo 1/V3 o / 1/3 1/3 - V3/3 1/3 + V3/3\ 1/3 + V3/3 1/3 1/3 - V3/3 ,1/3-73/3 1/3 + V3/3 1/3 / Tento výsledek můžeme ověřit dosazením do matice obecné rotace (2.1), normováním vektoru (1, 1, 1) dostáváme vektor (x, y, z) = (1/V3, 1/V3, 1/V3), cos( Z dvou lineárních zobrazení / : V^Wag: W^Z)e opět lineární zobrazení. (2) Lineární zobrazení / : V -> W je izomorfismus, právě když Im / = W a Ker / = {0} C V. Inverzní zobrazení k izomorfismu je opět izomorfismus. (3) Pro libovolné podprostory V\, V2 C V a lineární zobrazení / : V -> W platí /(Vi + V2) = /(V0 + f(V2), /(Vi n v2) c f (vo n f(v2). (4) Zobrazení „přiřazení souřadnic" u : V -> K" dané libovolně zvolenou bází u = (u\, ..., un) vektorového prostom V je izomorfismus. (5) Dva konečněrozměrné vektorové prostory jsou izomorfní právě když mají stejnou dimenzi. (6) Složení dvou izomorfismu je izomorfismus. Důkaz. Ověření prvního tvrzení je velmi snadné cvičení. Pro důkaz druhého si uvědomme, že je-li / Y^- lineární bijekce, pak je vektor w vzorem line-rání kombinace au +bv, tj. w = f~1(au+bv), právě když f(w) =au+bv = f (a ■ f-\u) + b ■ f~\v)). Je tedy také w = af~l(u) + bf~l(v) a tedy je inverze k lineární bijekci opět lineární zobrazení. Dále, / je surjektivní, právě když Im / = W a pokud Ker / = {0}, pak f(u) = f (v) zaručuje f(u — v) = 0, tj. u = v. Je tedy v tom případě / injektivní. 102 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Další tvrzení se dokáže snadno přímo z definic. Najděte si protipříklad, že v dokazované inkluzi opravdu nemusí nastat rovnost! Zbý vaj ící body j sou j iž zřej mé. □ 2.36. Opět souřadnice. Uvažujme libovolné vektorové prostory V a W nad K s dim V = n, dim W = m a mějme lineární zobrazení / : V -» W. Pro každou u„) na V, v = (vi, v„) volbu bází u = (u\ V1 na W, máme k dispozici příslušná přiřazení souřad nic a celou situaci několika právě zmíněných zobrazení za chycuje následující diagram: Spodní šipka /„je definována zbylými třemi, tj. jako zobrazení jde o složení fu,v =vo f o u~l. Matice lineárního zobrazení Každé lineární zobrazení je jednoznačně určeno svými hodnotami na libovolné množině generátorů, zejména tedy na vektorech báze u. Označme f(ux) = a\\ ■ v\ + a2\ • V2 H-----h amivm f(u2) = a12-v1+a22-v2-\-----h am2vm f(u„) — ai„ ■ vi + a2n ■ v2 + ■ ■ ■ + amnvm tj. skaláry tvoří matici A, kde sloupce jsou souřadnice hodnot f(uj) zobrazení / na bázových vektorech vyjádření v bázi v na cílovém prostoru W. Matici A = (ciij) nazýváme maticí zobrazení f v bázích u, v. Pro obecný vektor u = x\U\ + • • • + xnun e V spočteme (vzpomeňme, že sčítání vektorů je komutativní a distributivní vůči násobení skaláry) f(u) = xxfiux) H-----\-xnf(un) = x\{a\\V\-\- • ■+amivm) + ■ ■ ■ + x„(ai„vi+- ■ ■+amnvm) = (xiútn+- • ■+x„ai„)vi + ■ ■ ■ + (x\ami+- ■ ■+xnamn)vm. Pomocí násobení matic lze nyní velice snadno a přehledně zapsat hodnoty zobrazení /„„(w) definovaného jednoznačně předchozím diagramem. Připomeňme si, že vektory v Kr chápeme jako sloupce, tj. matice typu r/1 fu,v(u(w)) = v(f(w)) = A ■ u(w). Naopak, máme-li pevně zvoleny báze na V i W, pak každá volba matice A typu m/n zadává jednoznačně lineární zobrazení K" -> Km a tedy i zobrazení / : V -> W. Máme-li tedy zvoleny báze prostorů V a.W, odpovídá každé volbě matice typu m/n právě jedno lineární zobrazení V -> W a / = ((x, y, z), (-y, x, 0), (zx, zy, z2 - 1)), tedy v ortogonální bázi tvořené směrovým vektorem osy rotace a dvěma navzájem kolmými vektory o shodných velikostech Vl — z2 ležícími v rovině kolmé na osu, má uvažovaná rotace matici / 1 0 0 \ A = I 0 cos( 1 — 2nn 1 i i r o i o -2 - i i i .001/ 3 li i i, □ Nyní jeden známý, ale velmi pěkný příklad. 2.67. Určete součet úhlů, které v rovině M2 svírají s osou x postupně vektory (1, 1), (2, 1) a (3, 1) (obrázek). Řešení. Uvážíme-li rovinu M2 jakožto Gaussovu rovinu komplexních čísel, tak uvedené vektory odpovídají komplexním číslům 1 + i, 2 + i a 3 + i a máme najít součet jejich argumentů, tedy podle Moivrovy věty argument jejich součinu. Jejich součin je (1 + i) (2 + i) (3 + i) = (1 + 3/)(3 + 0 = 10i, tedy ryze imaginární číslo s argumentem jt/2 a tedy hledaný součet je roven právě jt/2. □ 103 G. LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 2.68. Uvažme komplexní čísla jako reálny vektorový prostor a za jj^p ' jeho bázi zvolme 1 a i. V této bázi určete matici násl^dují^ cích lineárních zobrazení: a) konjugace, b) násobení číslem (2 + i). Určete matici těchto zobrazení v bázi (1 — z), (1 + i). Řešení. a) 0 1 b) V obou bazích je matice stejná a to Zamyslete se, proč tomu tak je. 1 □ 2.69. Určete matici A, která ve standardní bázi prostoru M3 zadává kolmou projekci do vektorového podprostoru generovaného vektory u_ = (-1, 1,0) au2 = (-1,0, 1). Řešení. Nejprve poznamenejme, že uvedený podprostor je rovinou procházející počátkem s normálovým vektorem w3 = (1,1,1). Uspořádaná trojice (1, 1, 1) je totiž očividným řešením soustavy — X\ + x2 ~X\ + x3 tj. vektor w3 je kolmý na vektory u\, u2. Podotkněme rovněž, že jsme tento příklad již vyřešili (matici A známe z dřívějšího příkladu). Při dané projekci se vektory ui a. u2 musejí zobrazit na sebe a vektor m 3 potom na nulový vektor. V bázi složené po řadě z vektorů u\, u2, w3 je proto matice této projekce 0, 0, 0 0 0 1 0 0 0 0 Pomocí matic přechodu 1 -1 0 1 od báze (u\, u2,113) ke standardní bázi a od standardní báze («i, u2, «3) získáme 2.26 bázi 1 -1 l 0 ) 1 ukázali jsme bijekci mezi maticemi příslušného rozměru a lineárními zobrazeními V -» W. 2.37. Matice přechodu mezi souřadnicemi. Jestliže za V i W zvolíme tentýž prostor, ale s různými bázemi, a za / identické zobrazení, vyjadřuje postup z předchozího odstavce vektory báze u v souřadnicích vzhledem k v. Označme výslednou matici T. Když pak zadáme vektor u U = X\U\ ~\~ ' ' ' -\~ Xnlln v souřadnicích vzhledem ku a dosadíme za u{ jejich vyjádření pomocí vektorů z y_, obdržíme souřadné vyjádření x = (x\, ..., xn) téhož vektoru v bázi v. Stačí k tomu přesklá-dat pořadí sčítanců a vyjádřit skaláry u jednotlivých vektorů báze. Ve skutečnosti teď děláme totéž, co v předchozím odstavci pro speciální případ identického zobrazení idy na vektorovém prostoru V. Matice tohoto identického zobrazení je T a tedy nutně musí naznačený přímý výpočet dát x = T ■ x. Situace se zobrazena na diagramu: Výslednou matici T nazýváme matice přechodu od báze u vektorového prostoru V k bázi v téhož prostoru. Přímo z definice vyplývá: I výpočet matice přechodu |_ Tvrzení. Matici T přechodu od báze u k bázi v získáme tak, ze souřadnice vektorů báze u v bázi v napíšeme do sloupců matice T. 1 Funkce matice přechodu je taková, že známe-li souřadnice x vektoru v bázi u, pak jeho souřadnice v bázi v se obdrží vynásobením sloupce x maticí přechodu (zleva). Protože inverzní zobrazení k identickému je opět totéž identické zobrazení, je matice přechodu vždy invertibilní a její inverze je právě matice přechodu opačným směrem, tj. od báze v k bázi u. 2.38. Více souřadnic. Nyní si ukážeme, jak se skládají souřadná vyjádření lineárních zobrazení. Uvažme ještě další vektorový prostor Z nad K dimenze k s bází w, lineární zobrazení g : W -> Z a označme příslušnou matici g^__. V W □ fu,v 8v_,w 104 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Složení go f na horním řádku odpovídá matici zobrazení W -» Kk dole a přímo spočteme (píšeme A pro matici / a B pro matici g ve zvolených bazích): 8v,w o fu,Áx) = w o g o v'1 o v o f o u~l = B ■ (A ■ x) = (B ■ A) ■ x = (g o /)„,„,(*) pro všechny x e W. Skládání obražení tedy odpovídá násobení příslušných matic. Všimněte si také, že isomorfismy odpovídají právě invertibilním maticím. Stejný postup nám dává odpověďna otázku, jak se změní matice zobrazení, změníme-li báze na definičním oboru i oboru hodnot: V V f W fu,v W kde T je matice přechodu od w' k u a S je matice přechodu od 1/ k v. Je-li tedy A původní matice zobrazení, bude nová dána jako A' = S^AT. Ve speciálním případě lineárního zobrazení / : V -» V, tj. zobrazení má stejný prostor V jako definiční obor i obor hodnot, vyjadřujeme zpravidla / pomocí jediné báze u prostoru V. Pak tedy přechod k nové bázi w' s maticí před-chodu T od u/ k u bude znamenat změnu matice zobrazení na A' = T~1AT. 2.39. Lineární formy. Obzvlášť jednoduchým a zárevej^ důležitým případem lineárních zobrazeni jsou tzv. lineární formy. Jde o lineární zobrazení z vektorového prostoru V nad polem skalárů K 'JLJJ=— do skalárů K. Jsou-li dány souřadnice na V, je přiřazení jednotlivé /-té souřadnice vektorům právě takovou lineární formou. Přesněji řečeno, pro každou volbu báze v = (i>i, ..., vn) máme k dispozici lineární formy v* : V -> K takové, že v*{vj) = tj. nula pro různé indexy i a. j a. jednička pro stejné. Vektorový prostor všech lineárních forem na V značíme V* a říkáme mu duální prostor vektorovému prostoru V. Předpokládejme nyní, že prostor V má konečnou dimenzi n. Bázi V* sestavenou z přiřazování jednotlivých souřadnic jako výše nazýváme duální báze. Skutečně se jedná o bázi prostoru V*, protože jsou tyto formy zjevně lineárně nezávislé (prověřte si!) a je-li a libovolná forma, pak platí pro každý vektor u = x\V\ + ■ ■ ■ + x„v„ a(u) = x\a(v\) + • • • + x„a(v„) = íx(i;i)i;*(h) H-----h a(vn)v*(u) a je tedy a lineární kombinací forem v*. Při pevně zvolené bázi {1} na jednorozměrném prostoru skalárů K jsou s každou volbou báze v na V lineární formy a ztotožněny s maticemi typu l/n, tj. s řádky y. Právě komponenty těchto řádků jsou souřadnicemi obecných lineárních forem v duální bázi v*. Vyčíslení takové formy na vektoru je 2.70. Napište matici zobrazení kolmé projekce do roviny procházející počátkem a kolmé na vektor (1, 1, 1). Řešení. Obraz libovolného bodu (vektoru) x = (jc1.jc2.JC3) e M3 v uvažovaném zobrazení získáme tak, že od daného bodu odečteme jeho kolmou projekci do normálového směru dané roviny, tedy do směru (1, 1, 1). Tato projekce p je dána (viz přednáška) jako (X, (1, 1, 1)) JCi +JC2 +JC3 Xi+X2+X3 Xi+X2+X3 1(1, 1, 1)|2 ~ 3 ' 3 ' 3 Výsledné zobrazení je tedy 2jCi jc2 -\~ x3 2*2 *i -\~ x3 2*3 *i -\- x2 x — p = (---,---,---) = ť 3 3 3 3 3 3 2 _ j_ _ 1 3 3 3 i 2 _ 1 "33 3 1 1 2 □ 2.71. Ve vektorovém prostoru M3 určete matici kolmé projekce na rovinu x + y — 2z = 0. 2.72. Ve vektorovém prostoru M3 určete matici kolmé projekce na rovinu 2x — y + 2z = 0. H. Vlastní čísla a vlastní vektory 2 a M3. (1) Uvažme zobrazení 2.73. Vlastní čísla a vlastní vektory mohou sloužit k názornému popisu lineárních zobrazení, zejména v s maticí ve standardní bázi Pak dostáváme —k 0 1 \A-XE\ = 0 1 — X 0 = -ŕ + x2 + x - 1, 1 0 —X s kořeny k\t2 se spočtou: 1, k3 = — 1. Vlastní vektory s vlastní hodnotou k = 1 1N -10 1 \ l 0 0 0 0 - 0 0 o 10-1/ \o o o s bází prostoru řešení, tj. všech vlastních vektorů s touto vlastní hod notou Ml = (0,1,0), lť2 = (1,0,1). Podobně pro k = — 1 dostáváme třetí nezávislý vlastní vektor '1 0 1\ /l 0 1 0 2 0 - 0 2 0 10 1/ \0 0 0 u3 = (-1,0, 1). 105 H. VLASTNI CISLA A VLASTNI VEKTORY 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNI ZOBRAZENI V bázi u\,ii2, «3 (všimněte si, že w3 musí být lineárně nezávislý na zbylých dvou díky předchozí větě a u i, u2 vyšly jako dvě nezávislá řešení) má / diagonální matici Celý prostor R3 je přímým součtem vlastních podprostorů, R3 = V\ © V2, dim V\ = 2, dim V2 = 1. Tento rozklad je dán jednoznačně a vypovídá mnoho o geometrických vlastnostech zobrazení /. Vlastní podprostor V\ je navíc přímým součtem jednorozměrných vlastních podprostorů, které lze však zvolit mnoha různými způsoby (takový další rozklad nemá tedy již žádný geometrický význam). (2) Uvažme lineární zobrazení / : M2M —> definované derivováním polynomů, tj. /(I) = 0, f(x) = 1, f(x2) = 2x. Zobrazení / má tedy v obvyklé bázi (1, x, x2) matici Charakteristický polynom je \A — k ■ E\ = —A3, existuje tedy pouze jediná vlastní hodnota, k = 0. Spočtěme vlastní vektory: 2.28 Prostor vlastních vektorů je tedy jednorozměrný, generovaný konstantním polynomem 1. 2.74. Příklad i se změnou báze. Určete vlastní čísla a vlastní vektory matice /l 1 A = 1 2 1 V 2 h Popište toto zobrazení a napište jeho matici v bázi: e_ = [1,-1,1] e2 = [1,2,0] £3 = [0, 1, 1] Řešení. Charakteristický polynom dané matice je 1 - k 1 0 1 2 — k 1 1 2 1 - k -k3 + Ak2 -2k = -k(k2 -4k + 2). Kořeny tohoto polynomu, vlastní čísla, udávají, kdy nebude mít matice pak dáno vynásobením příslušného řádkového vektoru y se sloupcem souřadnic x vektoru w e V v bázi _r. ot(u) = y - x = yxxx -\-----h ynxn. Zejména tedy vidíme, že pro každý konečněrozměrný prostor V je V* izomorfní prostoru V. Realizace takového izo-morfismu je dána např. naší volbou duální báze ke zvolené bázi na prostoru V. V tomto kontextu tedy znovu potkáváme skalární součin řádku n skalárů se sloupcem n skalárů, j ak j sme s ním pracovali již v odstavci 2.3 na straně 74. U nekonečně rozměrného prostoru se věci mají jinak. A Např. už nejjednodušší příklad prostoru všech polynomů K[x] v jedné proměnné je vektorovým prostorem se spočetnou bazí s prvky vt = x1 a stejně jako výše můžeme definovat lineárně nezávislé formy v*. Jakýkoliv formální nekonečný součet YlT=o ai vľ Je nyní dobře definovanou lineární formou na K[x], protože bude vyčíslován vždy pouze na konečné lineární kombinaci bázových polynomů xl, i = 0, 1, 2, .... Spočetná množina všech v* tedy není bazí. Ve skutečnosti lze ukázat, že tento duální prostor ani spočetnou bázi mít nemůže. 2.40. Velikost vektorů a skalární součin. V úvahách o geometrii roviny M2 jsme již v první kapitole v od-rf stavci 1.29 pracovali nejen s bázemi a lineár-sz. nimi zobrazeními, ale také s velikostí vektorů a jejich úhly. Pro zavedení těchto pojmů jsme také použili skalárního součinu dvou vektorů v = (x, y) a v' = (x', ý) ve tvaru u ■ v = xx' + yyf. Skutečně, souřadné vyjádření pro velikost v = (x, y) je dáno IMI = V x2 + y2 = V11 • v, zatímco (orientovaný) úhel

0 a ||u||2 = (v, v) = 0 pouze při v = 0. Číslu ||u|| = s/(v, v) říkáme velikost vektoru v. Vektory v a w e V se nazývají ortogonální nebo kolmé, jestliže (v, w) = 0. Píšeme také v _L w. Vektor v se nazývá normovaný, jestliže ||t>|| = 1. Báze prostoru V složená z ortogonálních vektorů se nazývá ortogonální báze. Jsou-li bázové vektory navíc i normované, je to ortonormální báze. Skalární součin se také často zapisuje pomocí obvyklé tečky, tj. (u, v) = u ■ v. Z kontextu je pak třeba poznat, zda jde o součin dvou vektorů (tedy výsledkem je skalár) nebo něco jiného (stejně jsme značili součin matic a také někdy součin skalárů). Protože je skalární součin lineární v každém ze svých argumentů, bude jistě úplně určen již svými hodnotami na dvojicích bázových vektorů. Skutečně, zvolme si bázi u = (ui, ..., un) prostoru V a označme (Ui,Uj). s jí a Pak ze symetričnosti skalárního součinu plyne Síj z linearity součinu v každém z argumentů dostáváme: X].V/"./) = Y, V,•. • 2 — a/2: Řešíme soustavu '(V2- 1) 1 0 \ /xA 1 V2 1 \\x2 \= 0. 1 2 (72 - l)J \x3J Řešením je prostor vlastních vektorů ((1, 1 — a/2, 1 — V2))-Daná matice má vlastní čísla 0,2+a/2 a 2—a/2, kterým přísluší po řadě jednorozměrné prostory vlastních vektorů ((1, —1, 1)), ((1, 1 + a/2, 1 + a/2)) a ((1, 1 - a/2, 1 - a/2)). Zobrazení tedy můžeme interpretovat jako projekci podél vektoru (1, -1, 1) do roviny dané vektory (1, 1 + a/2, 1 + a/2) a (1, 1 -a/2, 1 — a/2) složenou s lineárním zobrazením daným „natažením" daným vlastními čísly ve směru uvedených vlastních vektorů. Nyní jej vyjádřeme v uvedené bázi. K tomu budeme potřebovat matici přechodu T od standardní báze k dané nové bázi. Tu získáme tak, že souřadnice vektorů staré báze v bázi nové napíšeme do sloupců matice T. My však snadněji zapíšeme matici přechodu od dané báze k bázi standardní, tedy matici T~l. Souřadnice vektorů nové báze pouze zapíšeme do sloupců: 1 1 0^ -1 2 1 , 1 0 L Potom 0 0 1 T = T~l 1 = | 1 0-1 -2 1 3 107 H. VLASTNI CISLA A VLASTNI VEKTORY 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNI ZOBRAZENI a pro matici B zobrazení v nové bázi pak máme (viz 2.38) /O 5 2 B = TAT'1 = ( 0 -2 -1 \0 14 l □ 2.75. Naleznete vlastní čísla a jim příslušné vektorové prostory vlastních vektorů matice: -1 0 0 5 5 " 6 3 2.76. Určete charakteristický polynom \A—kE\, vlastní čísla a vlastní vektory matice fA -1 6^ 2 1 6 v2 -1 2.77. Stanovte vlastní hodnoty matice /-13 5 4 2\ 0 -10 0 -30 12 9 5 \-12 6 4 1/ 2.78. Udejte příklad čtyřrozměrné matice s vlastními čísly i2 73: a k2 = 1 takové, aby násobnost k2 jako kořene charakteristického polynomu byla 3 a aby (a) dimenze podprostoru vlastních vektorů k2 byla 3; (b) dimenze podprostoru vlastních vektorů k2 byla 2; (c) dimenze podprostoru vlastních vektorů k2 byla 1. 2.79. Víte-li, že čísla 1,-1 jsou vlastní hodnoty matice /-ll 5 4 l\ -3010 -21 11 8 2 \-9 5 3 1/ uvedte v echna ře ení charakteristické rovnice | A — k E | =0. Nápověda: Označíme-li kořeny polynomu | A — k E | jako k\, k2, k3, k4, je | A | = ki ■ k2 ■ k3 ■ k4, tr A = ki + k2 + k3 + k4. 2.80. Pro libovolnou n x n matici A je její charakteristický polynom | A — k E I stupně n, je tedy tvaru | A - k E I = cn kn + c„_i k"-1 + ■ ■ ■ + a k + c0, cn^0, přičem platí cn = (-!)", c„_i = (-l)"-1trA, c0 = |A|. Jestliže je matice A trojrozměrná, obdržíme | A - k E I = -k3 + (tr A) k2 + ci k + I A |. znamená (u, u) = 0 a tedy i u = 0 podle definice skalárního součinu. Zřejmě je tedy vždy celý prostor V přímým součtem v = wew±. Lineární zobrazení / : V -> V na libovolném vektorovém prostoru se nazývá projekce, jestliže platí / o f = f. V takovém případě je pro každý vektor v e V v = f (v) + (v- f (v)) e Im(/) + Ker(/) = V a je-li v e Im(/) a f (v) = 0, pak je i v = 0. Je tedy předloží součet podprostoru přímý. Říkáme, že / je projekce na podprostor W = Im(/) podél podprostoru U = Ker(f). Slovy se dá projekce popsat přirozeně takto: rozložíme daný vektor na komponentu ve W a v U a tu druhou zapomeneme. Je-li na V navíc skalární součin, říkáme že jde o kolmou projekci, když je jádro kolmé na obraz. Každý podprostor W V tedy definuje kolmou projekci na W. Je to projekce na W podél W^, která je dána pomocí jednoznačného rozkladu každého vektoru u na komponenty uw e W ä U iy± e W-1, tj. lineární zobrazení, které uw +uw± zobrazí na uw- 2.42. Existence ortonormální báze. Povšimněme si, že na každém konečněrozměrném reálném vektorovém prostoru jistě existují skalární součiny. Prostě si stačí vybrat libovolnou bázi, prohlásit ji za ortonormální a hned jeden dobře definovaný skalární součin máme. V této bázi pak skalární součiny počítáme podle vzorce v Tvrzení 2.40. Umíme to ale i naopak. Máme-li zadán skalární součin na vektorovém prostoru V, můžeme vcelku jednoduše početně využít vhodných kolmých projekcí a jakoukoliv zvolenou bázi upravit na ortonormální. Jde o tzv. Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces. Cílem této procedury bude z dané posloupnosti nenulových generátorů v\, ..., vk konečněrozměrného prostoru V vytvořit ortogonální množinu nenulových generátorů pro V. | Grammova-Schmidtova ortogonalizace Tvrzení. Nechť (ui, ..., uk) je lineárně nezávislá k-tice vektorů prostoru V se skalárním součinem. Pak existuje ortogonální systém vektorů (y\, ..., vk) takový, že Vi e (u\, ..., Ui), i = 1, ..., k. Získáme je následující procedurou: • Nezávislost vektorů Ui zaručuje, že ui ^ 0; zvolíme v\ = U\. • Máme-li již vektory v\, ..., vi potřebných vlastností, zvo-límevi+i = ui+i -\-a\V\ +• • • -\-aiVi, kde at = — ^j^r~. 108 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Důkaz. Začneme prvním (nenulovým) vektorem vi a spočteme kolmou projekci v2 do {viŕ C {{vuv2}). Výsledek bude nenulový právě, když je v2 nezávislé na v\. Ve všech dalších krocích budeme postupovat obdobně. V £-tém kroku tedy chceme, aby pro ví+i = uí+i + a\V\ + ■ ■ ■ + aivi platilo (vi+i, v i) = 0, pro všechny i = !,...,£. Odtud plyne 0 = (Ui+i + atvi H-----h aivi, vt) = {uí+]_, vt) + ^(i;,, vt) a je vidět, že vektory s požadovanými vlastnostmi jsou určeny jednoznačně až na násobek. □ Kdykoliv máme ortogonální bázi vektorového prostoru V, stačí vektory vynormovat a získáme bázi ortonormální. Dokázali jsme proto: Důsledek. Na každém konečněrozměrném reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem existuje ortonormální báze. V ortonormální bázi se obzvlášť snadno spočtou souřadnice a kolmé projekce. Skutečně, mějme ortonormální bázi (e\, ..., en) prostoru V. Pak každý vektor v = x\e\ + • • • + xnen splňuje ( ( M3 zadaného přiřazením (jci, x2, x3) (jci + x3, x2, x\ + x3). 2.83. Pauliho matice. Ve fyzice se stav částice se spinem ^ popisuje Pauliho maticemi. Jsou to následující matice 2x2 nad komplexními čísly /O 1\ /O -i\ (\ 0 ai = {i o)>a2={i oJ'CT3 = lvo -1. Ukažte, že pro komutátor matic (značený hranatými závorkami) platí [cti, a2] := o\o2— 4 0 V 2.85. Lze vyjádřit matici B 5 6 6 5 109 I. BÁZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ ve tvaru součinu B = P~l DP pro nějakou diagonální matici Q ažfi-a vertibilní matici P? Pokud je to mo ně, udejte příklad takové dvojice matic D, P a zjistěte, kolik takových dvojic existuje. 2.86. Určete, jaké lineární zobrazení ] zadává matice Řešení. Dvojnásobná vlastní hodnota -1, příslušné vlastní vektory (2,0, 1), (1, 1,0), jednonásobná vlastní hodnota 0, vlastní vektor (1,4, —3). Osová souměrnost podle přímky dané posledním vektorem složená s projekcí na rovinu kolmou k poslednímu vektoru, tedy danou obecnou rovnicí x + 4 y — 3z, = 0. □ I. Báze a skalární součiny 2.87. Pomocí Gramova-Schmidtova ortogonalizačního procégu. zífe kejte ortogonální bázi podprostoru U = {(Xi, X2, X3, Xa)J € M4; X\ + X2 + X3 + X4 = O} prostoru M4. Řešení. Množina řešení uvedené homogenní lineární rovnice je zřejmě vektorovým prostorem s bází /-1\ /-1\ /-1\ 1 0 0 U\ = 0 U2 = 1 «3 = 0 \°) \°) v1/ Vektory ortogonální báze získané užitím Gramova-Schmidtova ortogonalizačního procesu budeme značit v\, v2, v3. Nejprve položme v\ = u\. Dále t «5 • ui i /ii i v2 = u2 u\ ■ V\ 1 -W vi=u2--vl \Vl\ 1 1 —, —, 1,0 2 2 resp. zvolme násobek v2 = (—1, —1, 2, 0)T. Následně je t>3 = «3 «3 • V\ MWlII 1 1 3' ~3' Máme tedy celkem 1 3' u\ ■ v2 ~\\v7\ 1 1 v2 = u3 Vi v2 /-1\ /-1\ /-1\ 1 -1 -1 0 2 -1 \°) \°) \3/ 2.43. Úhel dvou vektorů. Jak jsme již zmínili, úhel dvou lineárně nezávislých vektorů musí být stejný, když je budeme uvažovat v dvourozměrném podprostoru, který generují, nebo v okolním prostoru větším. Ve své podstatě je proto pojem úhlu dvou vektorů nezávislý na dimenzi okolního prostoru a pokud si zvolíme ortonormální bázi, jejíž první dva vektory budou generovat tentýž podprostor jako dané vektory u a. v, můžeme doslova převzít definici z rovinné geometrie. I bez volby báze tedy musí platit: - j Úhel dvou vektorů |> Úhel

K, kde pro jakékoliv vektory u, v, w, z a skaláry a,b, c & d platí, stejně jako u skalárního součinu a(au + bv, cw + dz) = aca(u, w) + ada(u, z) + bc a(v, w) + bd a(v, z)- Pokud navíc platí a(u, w) = a(w, u), hovoříme o symetrické bilineární formě. Jestliže záměna argumentů vede k obrácení znaménka výsledku, hovoříme o antisymetrické bilineární formě. Již v rovinné geometrii jsme zavedli determinant jako bilineární antisymetrickou formu a, tj. a(u, w) = —a(w, u). Obecně víme z věty 2.17, že je determinant v dimenzi n možno nahlížet jako «-lineární antisymetrickou formu. Jako u lineárních zobrazení je zřejmé, že každá k-lineární forma je úplně určena svými hodnotami na všech ^-ticích bázových prvků v pevné bázi. V analogii k lineárním zobrazením tyto hodnoty můžeme vnímat jako ^-rozměrné analogie matic. Ukážeme si to v případě k = 2, kde půjde doopravdy o matice, jak jsme je zavedli. 110 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Matice bilineární formy Jestliže zvolíme bázi u na ľ a definujeme pro danou bilineární formu a skaláry atj = Uj), pak zjevně dostaneme pro vektory v, w se souřadnicemi x a y (jakožto sloupce souřadnic) a (v, w) = ^2 atjXtyj = yT ■ A ■ x, ij=l (au). Přímo z definice matice bilinerání formy je vidět, že forma je symetrická nebo antisymetrická, právě když má tutéž vlastnost její matice. Každá bilineární forma a na vektorovém prostoru V definuje zobrazení V -» V*, v h-» a( , u), tj. dosazením pevného vektoru v za druhý argument dostáváme lineární formu, která je obrazem tohoto vektoru. Zvolíme-li pevně bázi na ko-nečněrozměrném prostoru V a duální bázi na V*, pak jde o zobrazení y h-» (x h-» yT ■ A ■ x). 4. Vlastnosti lineárních zobrazení Podrobnějším rozborem vlastností různých typů lineárních zobrazení se nyní dostaneme k lepšímu pochopení nástrojů, které nám vektorové prostory pro lineární modelování procesů a systémů nabízejí. 2.45. Začneme čtyřmi příklady v nejnižší zajímavé di-ins> _ menzi. Ve standardní bázi roviny R2 se standardním skalárním součinem uvažujme následující matice zobrazení / : R2 -» R2: 1 0 0 0 B 0 1 0 0 c a 0 0 b D 0 -1 1 0 Matice A zadává kolmou projekci podél podprostoru W c {(0,íi); a e R} c R2 na podprostor V C {(a, 0); a e R} C R2, tj. projekce na osu x podél osy y. Evidentně pro toto zobrazení / : R2 -» R2 platí / o / = / a tedy zúžení /1 v daného zobrazení na obor hodnot je identické zobrazení. Jádrem / je právě podprostor W. Matice B má vlastnost B2 = 0, platí tedy totéž o příslušném zobrazení /. Můžeme si jej představit jako matici derivování polynomů Ri[x] stupně nejvýše jedna v bázi (1, jc) (derivacemi se budeme podrobně zabývat v kapitole páté, viz ??). Matice C zadává zobrazení /, které první vektor báze zvětší út-krát, druhý b-kiát. Tady se nám tedy celá rovina Dodejme, že pro jednoduchost příkladu lze bezprostředně uvést ortogonální bázi z vektorů (1,-1,0, 0)T , (0,0, l,-l)r, (1, 1,-1,-l)r nebo (-1, 1, 1,-l)T , (1,-1, 1,-l)T , (-1,-1,1, l)7 □ 2.88. Ve vektorovém prostoru R4 jsou dány trojrozměrné podpro-story U = {uuu2,u3), V = (vi, v2, v3), přičemž (\\ (\\ /1\ (1 ^ (1 \ 1 1 0 1 -1 1 , u2 = 0 1 -1 , v2 = 1 w v) v) V3 = (1, u n v. -1, —1, l)T. Určete dimenzi a libovolnou bázi podprostoru Řešení. Do podprostoru U n V náleží právě ty vektory, které je možné obdržet jako lineární kombinaci vektorů u{ a také jako lineární kombinaci vektorů t>;. Hledáme tedy čísla x\, x2, x3, yi, y2, y3 e M taková, aby platilo /1\ 1 1 w tj. hledáme řešení soustavy Xi + x2 (1\ (1\ ( 1 ^ ( 1 ^ ( 1 ^ 1 + x3 0 i + y2 -i -1 0 1 = yi -i i -1 v) v) K1) Xi xx xx + x2 + x3 + x2 + *3 X2 + x3 yi yi -yi -yi + yi + - yi -+ yi - ys, ys, ys, yi + ys- Při maticovém zápisu této homogenní soustavy (a při zachování pořadí proměnných) je /l 1 1 -1 -1 -i\ /i 1 1 -1 -1 - -i\ 1 1 0 -1 1 1 0 0 -1 0 2 2 1 0 1 1 -1 1 0 -1 0 2 0 2 v> 1 1 1 1 -v 1 1 1 1 - -v /l 1 1 -1 -1 -\\ /i 1 1 -1 -1 - -1\ 0 1 1 1 1 -1 0 1 1 1 1 - -1 0 0 - -1 0 2 2 0 0 1 0 -2 - -2 0 1 3 1 !y ^0 0 0 1 1 1 / /i 1 1 0 0 0 \ /i 0 0 0 0 2 \ 0 1 1 0 0 - 2 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 - -2 - 2 0 0 1 0 -2 -2 [0 0 0 1 1 1/ [0 0 0 1 1 l) 111 I. BÁZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ Dostáváme tak řešení x\ = —2t, X2 = —2s, xj, = 2s + 2t, yi = — s — t, y2 = s, y3 t, s e M. Odtud dosazením získáváme obecný vektor průniku (x\ + x2 + x3\ X\ + x2 X\ + x3 \ X2 + X3 Vidíme, že / 0 \ -2t - 2s 2s v 2t ) dim U n V u n v /0\ /0\ -1 -1 1 ' 0 w w □ 2.89. Uvedte nějakou bázi podprostoru U vektorového prostoru reálných matic 3x2. Tuto bázi doplňte na bázi celého prostoru. Řešení. Připomeňme, že bázi podprostoru tvoří množina lineárně nezávislých vektorů, které generují uvažovaný podprostor. Protože celý podprostor U je generován pouze prvními dvěma maticemi. Ty jsou potom lineárně nezávislé (jedna není násobkem druhé), a tak zadávají bázi. Chceme-li ji doplnit na bázi celého prostoru reálných matic 3x2, musíme najít další čtyři matice (dimenze celého prostoru je zjevně 6) takové, aby výsledná šestice byla lineárně nezávislá. Můžeme využít toho, že známe např. standardní bázi prostoru reálných matic 3x2, který lze přímo ztotožnit s M6. Sepíšeme-li dva vektory báze U a vektory standardní báze celého prostoru v tomto pořadí, výběrem prvních 6 lineárně nezávislých rozpadá na dva podprostory, které jsou zobrazením / zachovány a ve kterých jde o pouhou homotetii, tj. roztažení skalárním násobkem (první příklad byl speciální případem s a = 1, b = 0). Např. volba a = 1, b = — 1 odpovídá osové symetrii (zrcadlení) podle osy x, což je totéž jako komplexní konjugace x + iy 1-» x — iy na dvourozměrném reálném prostoru E2~Cv bázi (1,0- Toto je lineární zobrazení dvourozměrného reálného vektorového prostoru C, nikoliv však jednorozměrného komplexního prostoru C. Matice D je maticí rotace o pravý úhel ve standardní bázi a na první pohled je vidět, že žádný jednorozměrný podprostor není zobrazením zachováván. Taková rotace je bijekcí roviny na sebe, proto jistě umíme najít (různé) báze na definičním oboru a oboru hodnot, ve kterých bude jeho maticí jednotková matice E (prostě vezmeme jakoukoliv bázi na definičním oboru a její obraz na oboru hodnot). Neumíme ale v tomto případě totéž s jednou bází na definičním oboru i oboru hodnot. Zkusme však uvažovat matici D jako matici zobrazení g : C2 -> C2 ve standardní bázi komplexního vektorového prostoru C2. Pak umíme najít vektory u = (i, 1), v = (—i, 1), pro které bude platit g(v) 0 -1 1 0 0 -1 1 o ■1 1 ■ u, -1 ■ v. To ale znamená, že v bázi (u, v) na C2 má zobrazení g matici K i 0 0 -i a povšimněme si, že tato komplexní analogie k případu matice C má na diagonále prvky a = cos(^jt) + i sin(jjr) a kmoplexně sdružené ä. Jinými slovy, argument v goniometrickém tvaru tohoto komplexního čísla udává úhel otočení. Tomu lze snadno porozumět, když si označíme reálnou a imaginární část vektoru u takto xu + iyu = Re u -\- i Im u + i Vektor v je komplexně sdružený k u. Zajímá nás zúžení zobrazení g na reálný vektorový podprostor V = M2 n (u, v) c C2. Evidentně je V = {u + ú, i(u - ú)) = {xu, -yu) celá reálná rovina M2. Zúžení zobrazení g na tuto rovinu je právě původní zobrazení dané maticí A a z definice násobení komplexní jednotkou jde o otočení o úhel \it v kladném smyslu ve vztahu ke zvolené bázi xu, —yu (ověřte si přímým výpočtem a uvědomte si také, proč případné prohození pořadí vektorů u a. v povede k témuž výsledku, byť v jiné reálné bázi!). 112 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.30 2.46. Vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení. Klíčem k popisu zobrazení v předchozích příkladech byly odpovědi na otázku „jaké jsou vektory "^tzz^ splňující rovnici f(u) = a-m pro nějaké vhodné skaláry a?". Zvolme tedy pevně lineární zobrazní / : V -» V na vektorovém prostoru dimenze n nad skaláry K. Jestliže si představíme takovou rovnost zapsanou v souřadnicích, tj. s využitím matice zobrazení A v nějakých bázích, jde o výraz A ■ x — a ■ x = (A — a ■ E) ■ x = 0. Z předchozího víme, že taková soustava rovnic má jediné řešení x = 0, pokud je matice A — a E invertibilní. My tedy chceme najít takové hodnoty aéI, pro které naopak A—a E invertibilní není, a nutnou a dostatečnou podmínkou je (viz Věta 2.23) e2.1 (2.4) det(A - a ■ E) = 0. Jestliže považujeme k = a za proměnnou v předchozí skalární rovnici, hledáme ve skutečnosti kořeny polynomu stupně n. Jak jsme viděli v případě matice D výše, kořeny mohou, ale nemusí existovat podle volby pole skalárů '. Vlastní čísla a vlastní vektory Skaláry k vyhovující rovnici f(u) = k ■ u pro nenulový vektor u e V nazýváme vlastní čísla zobrazení f, příslušné nenulové vektory u pak vlastní vektory zobrazení f. Jsou-li u, v vlastní vektory příslušné k témuž vlastnímu číslu k, pak i pro jejich jakoukoliv lineární kombinaci platí f (au + bv) = af(u) + bf(v) = k(au + bv). Proto tvoří vlastní vektory příslušné k vlastnímu číslu k, společně s nulovým vektorem, netriviální vektorový podprostor Vx, tzv. vlastní podprostor příslušný k. Např., je-li k = 0 vlastním číslem, je jádro Ker / vlastním podprostorem V0- Z definice vlastních čísel je zřejmé, že jejich výpočet nemůže záviset na volbě báze a tedy matice zobrazení /. Skutečně, jako přímý důsledek trasformačních vlastností z odstavce 2.38 a Cauchyovy věty 2.19 pro výpočet determinantu součinu dostáváme jinou volbou souřadnic matici A' = P~lAP s invertibilní maticí P a \P~lAP - kE\ = \P~lAP - P~lkEP\ = \P~HA - kE)P\ = \p-l\\(A-kE\\P\ = \A- kE\, protože násobení skalárů je komutativní a = li5!-1. Z těchto důvodů používáme pro matice a zobrazení společnou terminologii: ir-j Charakteristický polynom matice a obražení _^ Pro matici A dimenze n nad K nazýváme polynom \A — kE\ e K„[A] charakteristický polynom matice A. 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 4 3 0 1 0 0 5 4 0 0 1 0 6 5 0 0 0 1 vektorů dostaneme hledanou bázi. Pokud však uvážíme, že kupř. 1, můžeme ihned bázového vektory 3 4 | , ,5 6) podprostoru U doplnit maticemi (vektory prostoru matic) ^0 0\ /O 0\ /O 0\ /O 0^ 10, 0 1, 0 0, 0 0 vo o) \o o) \i o) \o 1, na bázi. Upozorněme, že výše uvedený determinant lze vyčíslit velmi snadno - je roven součinu prvků na diagonále, neboť matice je v dolním trojúhelníkovém tvaru (nad diagonálou jsou všechny prvky nulové). □ 2.90. Napište něj akou bázi reálného vektorového prostoru matic 3x3 nad M s nulovou stopou (součet prvků na diagonále) a napište souřadnice matice '12 0 0 2 0 1 -2 -3y v této bázi. 2.91. Zavedlte nějaký skalární součin na vektorovém prostoru matic z předchozího příkladu. Spočítejte normu matice z předchozího příkladu, která je indukovaná Vámi zavedeným součinem. 2.92. Určete nějakou bázi vektorového prostoru antisymetrických reálných čtvercových matic typu 4x4. Uvažte standardní skalární součin v této bázi a pomocí tohoto součinu vyjádřete velikost matice /0 3 1 0\ -3012 -1-1 0 2 \0 -2-2 0/ 2.93. Najděte ortogonální doplněk U1- podprostoru U = {(x\, X2, xs, X4); x\ = x3, X2 = x3 + 6x4} c M4. Řešení. Ortogonální doplněk U1- tvoří právě ty vektory, které jsou kolmé na každé řešení soustavy X\ — x3 X2 — Xj, 6x4 0, 0. 113 I. BÁZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ Vektor je ovšem řešením této soustavy tehdy a jenom tehdy, když je kolmý na oba vektory (1,0, —1,0), (0, 1, — 1, —6). Je tedy U1- = {a ■ (1, 0, -1, 0) + b ■ (0, 1, -1, -6); a, b e R}. □ 2.94. Určete, zda jsou podprostory U = ((2, 1, 2, 2)) a V = ((-1, 0, -1, 2), (-1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, -1)) prostoru R4 na sebe kolmé. Pokud ano, je R4 = U © V, tj. je U1- = VI Řešení. Vektor, který zadává podprostor U, je kolmý na každý ze tří vektorů, které generují V. Podprostory jsou tak na sebe kolmé. Avšak není pravda, že R4 = U © V. Podprostor V je totiž pouze dvojdimenzionální, protože (-1, 0, -1,2) = (-1, 0, 1, 0) - 2 (0, 0, 1, -1). □ 2.95. V závislosti na parametru t e R stanovte dimenzi podprostoru U vektorového prostoru R3, je-li U generován vektory (a) ui = (1, 1, 1), u2 = (\,t,\), u3 = (2, 2, ř); (b) ui = (t,t,t), u2 = (-4ř,-4ř, 4ř), u3 = (-2, -2, -2). Řešení. V prvním případu je dim U = 2 pro t e {1,2}, jinak je dim U = 3. Ve druhém případu je dim U = 2 pro t ^ 0 a dim U = 1 pro t = 0. □ 2.96. Sestrojte ortogonální bázi podprostoru I 2.30a ((1,1,1,1), (1,1,1,-1), (-1,1,1,1)) prostoru R4. Řešení. Gramovým-Schmidtovým ortogonalizačním procesem lze obdržet výsledek ((1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, -3), (-2, 1, 1,0)). □ 2.97. V prostoru R4 nalezněte nějakou ortogonální bázi podprostoru všech lineárních kombinací vektorů (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, —7), (4, —2, 4, 14) a podprostoru generovaného vektory (1, 2, 2, —1), (1, 1, -5,3), (3,2, 8, -7). Řešení. Při zachování pořadí podprostoru ze zadání jsou ortogonálními bázemi např. ((1,0, 1,0), (0, 1,0, -7)) a ((1, 2, 2, -1), (2, 3, -3, 2), (2, -1, -1, -2)). Kořeny tohoto polynomu jsou vlastní čísla matice A. Jeli A matice zobrazení / : V -» V v jisté bázi, pak \A — XE\ nazýváme také charakteristický polynom zobrazení f. Protože je charakteristický polynom lineárního zobrazení / : V -» V nezávislý na volbě báze V, jsou i jeho koeficienty u jednotlivých mocnin proměnné k skaláry vyjadřující vlastnosti zobrazení /, tj. nemohou záviset na naší volbě báze. Zejména jako jednoduché cvičení na počítání determinantů vyjádříme koeficienty u nejvyšších a nejnižších mocnin (předpokládáme dim V = n a matici zobrazení A = (útý) v nějaké bázi): \A — X ■ E\ = (-1)"A" + (-I)"" Vl + • • • + Onn) ■ i"'' + --- + \A\-k°. Koeficient u nejvyšší mocniny říká jen, zda je dimenze prostoru V sudá nebo lichá. O determinantu matice zobrazení jsme už zmiňovali, že vyjadřuje, kolikrát dané lineární zobrazení zvětšuje objemy. Zajímavé je, že i součet diagonálních členů matice zobrazení nezávisí na volbě báze. Nazýváme jej stopa matice a značíme TrA. Stopa zobrazení je definována jako stopa jeho matice v libovolné bázi. Ve skutečnosti to natolik překvapivé není, protože v kapitole osmé si jako příklad na metody diferenciálního počtu ukážeme, že stopa je ve skutečnosti lineárním přiblížením determinantu v okolí jednotkové matice, viz ??. V dalším si uvedeme několik podstatných vlastností vlastních podprostoru. 2.47. Věta. Vlastní vektory lineárního zobrazení f : V —> V příslušné různým vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé. Důkaz. Nechť ai, ..., ak jsou různé vlastní hodnoty fzobrazení / a u\, ..., uk vlastní vektory s těmito vlastními hodnotami. Důkaz provedeme indukcí přes x počet lineárně nezávislých vektorů mezi zvolenými. Předpokládejme, že u\, ..., ui jsou lineárně nezávislé a ul+i = CíUí je jejich lineární kombinací. Alespoň l = 1 lze zvolit, protože vlastní vektory jsou nenulové. Pak ovšem f(ul+1) = al+1 ■ ul+1 = J2li=l al+1 ■ q • ut, tj. 1 1 1 f(ul+1) = ^al+1 ■ Ct ■ ut = • /("/) = XIQ ' ai ' Ui' i — l i — l i — l Odečtením druhého a čtvrtého výrazu v rovnostech dostáváme 0 = $ľ/=i(ai+i ~ ai)' ci' ■ uiVšechny rozdíly vlastních hodnot jsou však nenulové a alespoň jeden koeficient q je nenulový. To je spor s předpokládanou nezávislostí U\, . . . , Ui, takže i vektor ul+i musí být lineárně nezávislý na předchozích. □ 2 . 30a 114 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Na právě dokázané tvrzení se můžeme podívat jako na rozklad lineárního zobrazení / na součet jednoduchých zobrazení. Pro vesměs různé vlastní hodnoty kt charakteristického polynomu budeme dostávat jednorozměrné vlastní pod-postory Vii. Každý z nich pak zadává projekci na tento invariantní jednorozměrný podprostor, na němž je zobrazení dáno jako násobení vlastním číslem A;. Celý prostor V je tak rozložen na přímý součet jednotlivých vlastních podpro-storů. Navíc lze tento rozklad na vlastní podprostory snadno spočíst: ' báze z vlastních vektorů □ Důsledek. Jestliže existuje n navzájem různých kořenů charakteristického polynomu zobrazení f : V -» V, na n— rozměrném prostoru V, pak existuje rozklad V na přímý součet vlastních podprostorů dimenze 1. To znamená, že existuje báze V složená výhradně z vlastních vektorů a v této bázi má f diagonální matici. Tato báze je určená jednoznačně až na pořadí prvků. Příslušnou bázi (vyjádřenou v souřadnicích vzhledem k libovolně zvolené bázi V) obdržíme řešením n systémů homogenních lineárních rovnic o n neznámých s maticemi (A — Xi ■ E), kde A je matice f ve zvolené bázi. 2 . 44 2.48. Invariantní podprostory. Viděli jsme, že každý vlastní vektor v zobrazení / : V -» V generuje podprostor (v) C V, který je zobrazením / zachováván. Obecněji říkáme, že vektorový podprostor W C V je invariantní podprostor pro lineární zobrazení /, jestliže platí f(W) C W. Jestliže je V konečněrozměrný vektorový prostor a vybereme nějakou bázi (u\, ..., uk) podprostorů W, můžeme ji vždy doplnit na bázi (u\, ..., uk, uk+\, ..., un) celého V a v každé takové bázi má naše zobrazení matici A tvaru 3a (2.5) C D kde S je čtvercová matice dimenze k, D je čtvercová matice dimenze n — k a C je matice typu n/(n — k). Naopak, jestliže je v nějaké bázi (u\, ..., un) matice zobrazení / tvaru (2.5), je W = ..., uk) invariantní podprostor zobrazení /. Pochopitelně bude v naší matici zobrazení (2.5) sub-matice C nulová právě tehdy, když bude i podprostor (uk+i, ..., un) generovaný doplněnými vektory báze invariantní. Z tohoto pohledu jsou vlastní podprostory lineárního zobrazení extrémní případy invariantních podprostorů a zejména v případě existence n = dim V různých vlastních čísel zobrazení / dostáváme rozklad V na přímý součet n vlastních podprostorů. V příslušné bázi z vlastních vektorů má pak naše zobrazení diagonální tvar s vlastními čísly na diagonále. 2.98. Pro jaké hodnoty parametrů a, b e M jsou vektory (1,1,2,0,0), (1,-1,0,1, a), (1,0,2,3,-2) v prostoru M5 po dvou ortogonální? Řešení. Výsledek je a = 9/2, b = —5, neboť musí mj. platit 1+6 + 4 + 0 + 0 = 0, 1-6 + 0 + 3-2a =0. □ 2.99. V prostoru M5 uvažujte podprostor generovaný vektory (1,1,-1,-1,0), (1,-1,-1,0,-1), (1,1,0,1,1), (—1, 0, —1, 1, 1). Najděte nějakou bázi jeho ortogonálního doplňku. Řešení. Hledaná báze obsahuje jediný vektor. Jejím nějaký nenulový skalární násobek vektoru (3, -7, 1, -5,9). □ 2.100. Popište ortogonální doplněk podprostorů V prostoru M4, jeli V generován vektory (-1,2, 0, 1), (3, 1, -2, 4), (-4, 1, 2, -4), (2,3, -2,5). Řešení. Ortogonální doplněk (komplement) V1- je množina všech skalárních násobků vektoru (4, 2, 7, 0). □ 2.101. V prostoru M5 určete ortogonální doplněk W1- podprostorů W, jestliže (a) W = {(r + s + t, -r + t, r + s, -t, s + t); r, s, t e R}; (b) W je množina řešení soustavy rovnic x\ — x3 = 0, x\ — x2 + X3 — X4 + X5 = 0. Řešení. (a) W1- = ((1,0, —1, 1, 0), (1, 3, 2, 1, -3)); (b) W1- = {(1, 0, -1, 0, 0), (1, -1, 1, -1, 1)). □ 2.102. Nechť jsou v prostoru R4 dány vektory (1,-2,2,1), (1,3,2,1). Doplňte tyto dva vektory libovolným způsobem na ortogonální bázi celého R4. (Můžete k tomu využít Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.) Řešení. Hledaných doplnění je pochopitelně nekonečně mnoho. Jedním (skutečně jednoduchým) je např. (1,-2,2,1), (1,3,2,1), (1,0,0,-1), (1,0,-1,1). 115 I. BÁZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ 2.a 2.103. Nalezněte nějakou ortonormální bází podprostoru V C M, kde V = {(jci, x2, x3, x4) e M4 | jci + 2x2 + x3 = 0}. Řešení. Vidíme, že čtvrtá souřadnice se v omezení na podprostor nevyskytuje, bude tedy vhodné volit jeden z vektorů hledané ortonormální báze vektor (0, 0, 0, 1) a redukovat problém do prostoru M3. I dále se zkusíme vyhnout počítání: vidíme, že položíme-li druhou souřadnici rovnu nule, tak ve vyšetřovaném prostoru leží vektory s opačnou první a třetí souřadnicí, zejména jednotkový vektor (-^, 0, — 0). Na tento vektor je kolmý libovolný vektor, který má stejnou první a třetí souřadnici. Abychom se dostali do uvažovaného podprostoru, volíme druhou souřadnici rovnu záporné hodnotě součtu první a třetí souřadnice a normujeme, tedy volíme vektor (-^, — -^=, 0) a jsme hotovi. □ 2.104. Věta (2.50) nám dává do ruky nástroje, jak poznat matici rotace v M3: má tři různá vlastní čísla s absolutní hodnotou 1, jedno z nich je přímo číslo 1 (jemu příslušný vlastní vektor je osa rotace). Argument zbylých dvou, tedy nutně komplexně sdružených, vlastních čísel potom udává úhel rotace v kladném smyslu v rovině určené bazí ux + ui~, i[ux - 2.105. Určete, jaké lineární zobrazení zadává matice -1 3 -1^ 5 5 5 Řešení. Již známým postupem zjistíme, že matice má následující vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory: 1, (1,2,0); | + fz, 1, (1, 1 + i, -1 - Z); | - fi, (1, 1 - i, -1 + 0- Jde tedy o matici rotace (všechna vlastní čísla mají absolutní hodnotu 1 a jedna z vlastních hodnot je přímo 1), navíc víme, že se jedná o rotaci o arccos(|) = 0, 2957T, což je argument vlastního čísla | + ji. Zbývá určit smysl otáčení. Nejprve je dobré si připomenout, že smysl otáčení se mění s orientací osy (nemá tedy smyslu hovořit o smyslu otáčení, pokud nemáme orientovánu jeho osu. Dle úvah v důkazu věty 2.50, působí daná matice otáčením o arccos(|)) v kladném smyslu v rovině dané bazí ((0, 1, —1), (1, 1, —1)). První vektor báze je imaginární částí vlastního vektoru příslušného vlastní hodnotě | + ji, druhý pak je (společnou) reálnou částí vlastních vektorů příslušných komlexním vlastním hodnotám. Tady je důležité pořadí vektorů v bázi (prohozením vektorů se změní smysl otáčení). Osa otáčení je kolmá na uvažovanou rovinu. Pokud ji orientujeme podle pravidla pravé ruky (daný kolmý směr také dostaneme vektorovým součinem vektorů v bázi) tak bude smysl otáčení v prostoru souhlasit 2.49. Ortogonální zobrazení. Podívejme se teď na speciální případ zobrazení / : V -» W mezi prostory se skalárními součiny, která zachovávají velikosti pro všechny vektory u e V. Definice ortogonálních zobrazení j,. Lineární zobrazení / : V -» W mezi prostory se skalárním součinem se nazývá ortogonální zobrazení, jesltiže pro všechny u e V (f (u), f (u)) = (u, u). Z linearity / a ze symetrie skalárního součinu vyplývá pro všechny dvojice vektorů rovnost {f(u + v),f(u + v)) ■ {f(u),f(u)) + {f(v),f(v)) + 2(f(u),f(v)). Proto všechny ortogonální zobrazení splňují i zdánlivě silnější požadavek, aby platilo pro všechny vektory u, v e V (f(u),f(v)) = (u, v). V úvodní diskusi o geometrii v rovině jsme ve Větě 1.33 dokázali, že lineární zobrazení M2 -» M2 zachovává velikosti vektorů, právě když jeho matice ve standardní bázi (a taje ortonormální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu) splňuje AT ■ A = E, tj. A-1 = AT. Obecně, ortogonální zobrazení / : V -» W musí být vždy injektivní, protože podmínka (f(u), /(«)) = 0 znamená i (u, u) = 0 a tedy u = 0. Je tedy vždy v takovém případě dimenze oboru hodnot alespoň taková, jako je dimenze definičního oboru /. Pak ovšem je dimenze obrazu rovna dimenzi oboru hodnot a víme, že / : V -» Im / je bijekce. Pokud Im/ 7^ W, doplníme ortonormální bázi na obrazu / na ortonormální bázi cílového prostoru a matice zobrazení bude obsahovat čtvercovou regulární matici A doplněnou nulovými řádky na potřebnou velikost. Bez újmy na obecnosti tedy předpokládejme W = V. Naše podmínka pro matici ortogonálního zobrazení v ortonormální bázi pak říká pro všechny vektory x a y v prostoru K" toto: (A • x)T ■ (A • y) = xT ■ (AT ■ A) • y = xT ■ y. Speciálními volbami vektorů standardní báze za x a y dostaneme přímo, že AT ■ A = E, tedy tentýž výsledek jako v dimenzi dvě. Dokázali jsme tak následující tvrzení: -| Matice ortogonálních zobrazení j. Věta. Nechť V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem a f : V —> V je lineární zobrazení. Pak f je ortogonální, právě když v některé ortonormální bázi (a pak už ve všech) má matici A splňující AT = A-1. 116 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2 . 45 Důkaz. Skutečně, jestliže zachovává / velikosti, musí mít uvedenou vlastnost v každé ortonormální bázi. Naopak, předchozí výpočet ukazuje, že vlastnost matice v jedné bázi už zaručuje zachovávání velikostí. □ Čtvercovým maticím, které splňují rovnost AT = A~l říkáme ortogonální matice. Důsledkem předchozí věty je také popis všech matic přechodu S mezi ortonormálními bázemi. Každá totiž musí zadávat zobrazení W -» W zachovávající velikosti a splňují tady také právě podmínku 5_1 = ST. Při přechodu od jedné ortonormální báze ke druhé se tedy matice (libovolných) lineárních zobrazení mění podle vztahu A' = STAS. 2.50. Rozklad ortogonálního zobrazení. Podívejme se nyní podrobněji na vlastní vektory a vlastní čísla ortogonálních zobrazení na reálném vektorovém prostoru V se skalárním součinem. Uvažujme pevně zvolené ortogonální zobrazení V s maticí A v nějaké ortonormální bázi a zkusme postupovat obdobně jako s maticí rotace D v příkladu 2.59. Nejprve se ale podívejme obecně na invariantní podpro-story ortogonálních zobrazení a jejich ortogonální doplňky. Jestliže pro libovolný podprostor W C V a ortogonální zobrazení / : V -» V platí f(W) C W, pak také platí pro všechny v e W^, w e W (f(v), w) = (f(v), f o f~\w)) = (v, f~\w)) = 0 protože i f~l(w) e W. To ale znamená, že také f (W^) C W-1. Dokázali jsme tedy jednoduché, ale velice důležité tvrzení: Tvrzení. Ortogonální doplněk k invariantnímu podprostoru je také invariantní. Kdyby byla vlastní čísla ortogonálního zobrazení reálná, zaručovalo by už toto tvrzení, že bude vždy existovat báze V z vlastních vektorů. Skutečně, zúžení / na ortogonální doplněk invariantního podprostoru je opět ortogonální zobrazení, takže můžeme do báze přibírat jeden vlastní vektor za druhým, až dostaneme celý rozklad V. Nicméně většinou nejsou vlastní čísla ortogonálních zobrazení reálná. Musíme si proto pomoci opět výletem do komplexních vektorových prostorů. Zformulujeme rovnou výsledek: ' Rozklad ortogonálních zobrazení Věta. Nechť f : V —> V je ortogonální zobrazení na prostoru se skalárním součinem. Pak všechny kořeny charakteristického polynomu f mají velikost jedna a existuje rozklad V na jednorozměrné vlastní podprostory odpovídající vlastním číslům X = ± 1 a dvourozměrné podprostory P^l, na kterých působí f rotací o úhel rovný argumentu komplexního čísla X v kladném směru. Všechny tyto různé podprostory jsou po dvou ortogonální. se smyslem otáčení v rovině s uvedenou bazí. V našem případě dostaneme vektorovým součinem (0, 1, —1) x (1, 1, —1) = (0, —1, —1). Jedná se tedy o rotaci o arccos(|) v kladném smyslu kolem vektoru (0, —1, —1), neboli o rotaci o arccos(|) v záporném smyslu kolem vektoru (0, 1, 1). a to v kladném smyslu. □ 117 I. BÁZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ Důkaz. Bez újmy na obecnosti můžeme pracovat s pro-c\Lg^, storem V = W" se standardním skalárním sou--*ár " činem. Zobrazení tedy bude dáno ortogonální ^g^jPs matici A, kterou můžeme stejně považovat za matici lineárního zobrazení na komplexním prostoru Cm (která je jen shodou okolností reálná). Zaručeně bude existovat právě m (komplexních) kořenů charakteristického polynomu, včetně jejich algebraické násobnosti (viz tzv. základní věta algebry, ??). Navíc, protože charakteristický polynom zobrazení bude mít výhradně reálné koeficienty, budou tyto kořeny buď reálné, nebo půjde o dvojice komplexně sdružených kořenů k a k. Příslušné vlastní vektory v Cm k takové dvojici komplexně sdružených vlastních čísel budou řešením dvou komplexně sdružených systémů homogenních lineárních rovnic, neboť příslušné matice systémů rovnic jsou celé reálné, až na samotná dosazená vlastní čísla. Evidentně proto budou také řešení těchto systémů komplexně sdružené vektory. Nyní využijeme skutečnost, že ke každému invariantnímu podprostoru je i jeho ortogonální doplněk invariantní. Nejprve si najdeme všechny vlastní podprostory V±1 příslušné k reálným vlastním hodnotám a zúžíme naše zobrazení na ortogonální doplněk k jejich součtu. Bez újmy na obecnosti tedy můžeme předpokládat, že naše ortogonální zobrazení nemá žádná reálná vlastní čísla a že je dim V = 2n > 0. Zvolme nyní nějaké vlastní číslo k a označme ux vlastní vektor příslušný k vlastnímu číslu k = a + i/3, /3 7^ 0. Zcela stejně jako v případě rotace v rovině zadané v odstavci 2.59 maticí D nás zajímá reálná část součtu dvou jednorozměrných podprostoru (ux) ®{úx), kde úx je vlastní vektor příslušný k vlastnímu číslu k. Jde o průnik uvedeného součtu komplexních podprostoru s M2", který je generovaný vektory ux + úx a i(ux — úx), tj. reálný vektorový podprostor Px c M2" generovaný bazí danou reálnou a imaginární částí ux xx=ľeux, -yx = -imux. Protože A ■ (ux + úx) = kux +kúx a. podobně s druhým bázovým vektorem, jde zjevně o invariantní podprostor vůči násobení maticí A a dostáváme A ■ xx = otxx + fíyx, A-yx = -ayx + fixx. Protože naše zobrazení zachovává velikosti, musí být navíc velikost vlastní hodnoty k rovna jedné. To ale neznamená nic jiného, než že zúžení našeho zobrazení na Px je rotací o argument vlastní hodnoty k. Všimněme si, že volba vlastního čísla k místo k vede na stejný podprostor se stejnou rotací, pouze ji dostaneme vyjádřenou v bázi xx, yx, tj. musíme v souřadnicích rotovat o úhel s opačným znaménkem. Důkaz celé věty tím dokončen, protože zúžením našeho zobrazení na ortogonální doplněk a opakováním předchozí úvahy dostaneme celý rozklad po n krocích. □ 118 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNI LINEÁRNI ALGEBRA K myšlenkám tohoto důkazu se ještě vrátíme v kapitole třetí, když budeme studovat komplexní rozšíření euklidovských vektorových prostorů, viz 3.26. Poznámka. Specielně v dimenzi tři musí být alespoň jedno vlastní číslo ±1, protože je trojka liché číslo. '"^"T^"'*1 ovšem příslušný vlastní podprostor je osou Ctr rotace trojrozměrného prostoru o úhel daný ar-v'/lr-r- gumentem dalších vlastních čísel. Zkuste si rozmyslet, jak poznat, kterým směrem jde rotace a také, že vlastní číslo — 1 znamená ještě dodatečné zrcadlení podle roviny kolmé na osu rotace. K diskusi vlastností matic a lineárních zobrazení se budeme vracet. Před pokračováním obecné teorie si napřed ukážeme v následující kapitole několik aplikací, ještě ale uzavřeme naši diskusi obecnou definicí: * Spektrum lineárního zobrazení _ 32 2.51. Definice. Spektrum lineárního zobrazení f : V -» V (resp. matice) je posloupnost kořenů charakteristického polynomu zobrazení /, včetně násobností. Algebraickou násobností vlastní hodnoty rozumíme její násobnost jakožto kořenu charakteristického polynomu, geometrická násobnost vlastní hodnoty je dimenze příslušného podprostoru vlastních vektorů. Spektrálním poloměrem lineárního zobrazení (matice) je , největší z absolutní hodnot vlastních čísel. V této terminologii můžeme naše výsledky o ortogonálních zobrazeních zformulovat tak, že jejich spektra jsou vždy celá podmnožinou jednotkové kružnice v komplexní rovině. To znamená, že v reálné části spektra mohou být pouze hodnoty ±1, jejichž algebraické a geometrické násobnosti jsou stejné. Komplexní hodnoty spektra pak odpovídají rotacím ve vhodných dvourozměrných podprostorech, které jsou na sebe po dvou kolmé. I. BAZE A SKALÁRNÍ SOUČINY 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENI 120 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 121 j. doplňující príklady k cele kapitole 4. vlastnosti lineárních zobrazeni ves0016 J. Doplňující příklady k celé kapitole 2.106. Řešte soustavu x\ -\- X2 ~\~ X3 -\- X4 — 2X5 2X2 + 2x3 + 2x4 — 4X5 — x\ — X2 — X3 -\- X4 -\- 2x5 —2xi + 3x2 + 3x3 — 6x5 Řešení. Rozšířená matice soustavy je 3, 5, 0, 2. / 1 1 1 1 -2 3 \ 0 2 2 2 -4 5 -1 -1 -1 1 2 0 V "2 3 3 0 -6 2/ Přičtením prvního řádku ke třetímu a jeho dvojnásobku ke čtvrtému a poté přičtením (—5/2)násobku druhého řádku ke čtvrtému obdržíme /1 1 1 1 -2 3 \ / 1 1 1 1 -2 3 \ 0 2 2 2 -4 5 0 2 2 2 -4 5 0 0 0 2 0 3 0 0 0 2 0 3 5 5 2 -10 8 / 0 0 -3 0 -9/2 / Poslední řádek je zřejmě násobkem předposledního, a tak jej můžeme vynechat. Pivoti se nacházejí v 1., 2. a 4. sloupci, proto jsou volné proměnné X3 a X5, které nahradíme reálnými parametry t, s. Uvažujeme tak soustavu Xi + x2 2x2 + + t 2t + + Xa 2,xa 2,xa 2s 4s 3, 5, 3. Víme tedy, že x4 = 3/2. Druhá rovnice dává 2x2 + 2t + 3 - 4s = 5, tj. x2 = 1 - t + 2s. z první potom plyne xi + 1 - t + 2s + t + 3/2 - 2s = 3, tj. Xi = 1/2. Celkem máme (2.5) (Xi, X2, X3, X4, x5) (1/2, \ -t + 2s,t, 3/2, s), t,s € Také v tomto příkladu znovu uvažujme rozšířenou matici a převeďme ji pomocí řádkových úprav do schodovitého tvaru, kde první nenulové číslo v každém řádku je 1 a kde ve sloupci, ve kterém tato 1 je, jsou ostatní čísla 0. Ještě připomeňme, že čtvrtou rovnici, jež je kombinací prvních třech rovnic, budeme vynechávat. Po řadě vynásobením druhého a třetího řádku číslem 1 /2, odečtením třetího řádku od druhého a od prvního a odečtením druhého řádku od prvního získáme 0 1 1 1 1 -2 3^ 0 2 2 2 -4 5 0 0 0 2 0 3^ 1 1 1 0 -2 3/2 0 1 1 0 -2 1 0 0 0 1 0 3/2 1 0 0 0 0 0 110-2 0 0 0 1 0 122 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Pokud opět zvolíme s (t, s € M), dostaneme odsud obecné řešení (2.5) ve stejném tvaru, a to bezprostředně. Uvažte příslušné rovnice Xi x2 + 2s 1/2, 1, 3/2. □ 2.107. Najděte řešení soustavy lineárních rovnic zadané rozšířenou maticí / 3 3 2 1 3 \ 2 1 1 0 4 0 5 -4 3 1 \5 3 3 -3 5/ Řešení. Uvedenou rozšířenou matici upravíme na schodovitý tvar. Nejprve první a třetí řádek opíšeme a do druhého řádku napíšeme součet (—2)násobku prvního a 3násobku druhého řádku a do čtvrtého řádku součet 5násobku prvního a (—3)násobku posledního řádku. Takto získáme / 3 3 2 1 3 \ / 3 3 2 1 3 \ 2 1 1 0 4 0 -3 -1 -2 6 0 5 -4 3 1 0 5 -4 3 1 \5 3 3 -3 5/1 ^ 0 6 1 14 0/ Opsání prvních dvou řádků a přičtení 5násobku druhého řádku k 3násobku třetího a jeho 2násobku ke čtvrtému řádku dává 2 -1 -17 -1 / 3 0 0 -1 -4 1 1 -2 3 14 3 \ 1 0/ / 3 0 0 V 0 o o 1 -2 -1 10 3 \ 33 12/ Pokud první, druhý a čtvrtý řádek opíšeme a ke třetímu přičteme čtvrtý, dostaneme / 3 3 2 1 3 ( 3 3 2 1 3 \ 0 -3 -1 -2 6 0 -3 -1 -2 6 0 0 -17 -1 33 0 0 -18 9 45 0 -1 10 12 ) \0 0 -1 10 12 / Dále je (řádkové úpravy jsou již „obvyklé") / 3 3 2 1 3 \ / 3 3 2 1 3 \ 0 -3 -1 -2 6 0 -3 -1 -2 6 0 0 -18 9 45 0 0 2 -1 -5 \o 0 -1 10 12) V 0 0 1 -10 -12 J / 3 3 2 1 3 / 3 3 2 1 3 \ 0 -3 -1 -2 6 0 -3 -1 -2 6 0 0 1 -10 -12 0 0 1 -10 -12 0 2 -1 -5 J \0 0 0 19 19 / Vidíme, že soustava má právě 1 řešení. Určeme ho zpětnou eliminací / 3 0 0 o o 1 o 1 -2 -10 3 \ -12 / 3 0 0 0 o 1 o o o 0 1 2 \ 8 -2 1 / 123 J. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ / 3 3 0 0 6 \ /1 1 0 0 2 \ 0 -3 0 0 6 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 1 1 ) v 0 0 0 1 1 / /1 0 0 0 4 \ 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 v 0 0 0 1 1 ) Výsledek je tak X\ = 4, x2 = —2, x_* = —2, x_\ — 1. 2.108. Uvedlte všechna řešení homogenního systému x + y = 2z + v, z + 4w + v = 0, — 3« =0, z, = —v 4 lineárních rovnic 5 proměnných x, y, z, u, v. Řešení. Systém přepíšeme do matice tak, že v prvním sloupci budou koeficienty u x, ve druhém sloupci koeficienty u y, až v pátém sloupci koeficienty u v, přičemž všechny členy v každé rovnici převedeme na levou stranu. Tímto způsobem přísluší systému matice /l 1 -2 0 -l\ 0 0 14 1 0 0 0-30 \0 0 1 0 1 / Přičteme-li (4/3)násobek třetího řádku ke druhému a odečteme-li poté druhý řádek od čtvrtého, obdržíme /l 1 -2 0 -l\ /l 1 -2 0 -l\ 0 0 1 4 1 0 0 1 0 1 000 -3 0 ~000 -3 0 \0 0 1 0 1/ \0 00 0 OJ Dále vynásobíme třetí řádek číslem —1/3 a přičteme 2násobek druhého řádku k prvnímu, což dává /l 1 -2 0 -l\ /l 1 0 0 l\ 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 00 0 -3 0 ~00010 \0 0 0 0 0 / \0 0 0 0 0/ Z poslední matice můžeme přímo vypsat všechna řešení ř, s e neboť máme matici ve schodovitém tvaru, přičemž první nenulové číslo v každém řádku je 1 a ve sloupci, kde se taková 1 nachází, jsou na ostatních pozicích 0. Výše uvedené řešení ve tvaru lineární kombinace dvou vektorů je určeno právě sloupci bez prvního nenulového čísla nějakého řádku, tj. druhým a pátým sloupcem, kdy volíme 1 jako druhou složku pro druhý sloupec a jako pátou složku pro pátý sloupec a kdy čísla v příslušném sloupci bereme s opačným znaménkem a umisťujeme je na /x\ /-1\ /-1\ y 1 0 z = t 0 + s -1 u 0 0 \v) \°) V 1 / 124 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA pozici danou sloupcem, ve kterém je první 1 v jejich řádku. Dodejme, že výsledek je ihned možné přepsat do tvaru (x, y, z, u, v) = (—t — s, t, —s, 0, s) , t,s € M. □ 125 J. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENI Řešení cvičení 2.8. Taková matice X existuje právě jedna, a to 18 -32^ 5 - l 10 -4\ 2.14. A-1 = 1 12 -5 V> 5 -v (2 -3 0 0 o\ -5 8 0 0 0 2.15. 0 0 -1 0 0 0 0 0 -5 2 0 0 3 -v (0 1 1 o\ 2.16. C"1 = 1 2 0 1 1 -1 0 0 -i 0 V -1 -1 1 2.77. V prvním případě dostáváme ve druhém potom 1 2 \i 1 '14 8 5> 2 1 1 1 1 0) 2.18. Platí A~ = /o i 1 ... 1\ 1 0 1 ... 1 1 1 0 '•• 1 v 1 1 0/ n - 1 2.79. -3,17,-1 2.22. Odečtením prvního řádku od všech ostatních řádků a následným rozvojem podle prvního sloupce obdržíme V„(xi,x2, ...,*„) — xi n ~> 2 0 X2 — X\ XJ — Xj 0 Xfi xi x^ x2 j^ X^ • Xn Xl x^ Xj — Xj -1 „«-1 xl „n-1 _ „"-I vji —1 _ vn-l A. -"íl ~~ Vytkneme-li z ř-tého řádku x;+i — xi pro / e {1, 2, ..., n — 1}, dostaneme V„(xi,x2, x„) i x2 + xi ... Y!}Zo*2~j~24 (x2 - Xl) ■ ■ ■ (x„ - Xl) , . v-^«-2 « ■n-2 Ji-j-2 J Xy 126 KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Odečtením od každého sloupce (počínaje posledním a konče druhým) x\-násobku předcházejícího lze docílit úpravy ->n-2 n—j—2 i X2 + XI ... j2"=oA 3 A 1 x2 xl 1 x„ + xi ... YľjJ) xn 2 A 1 X" • • • 2 Proto V„(xi,x2, ..., x„) = (x2 -xi) • • • (x„ -xi) V„-i(x2, ... ,x„). Neboť je zřejmě V2{xn—\, xw) = xn xn—\, platí (uvažme matematickou indukci) V„(xi, x2,..., x„) - Y\ (xj ~ xi)- \ 1, vyhovují danému vztahu. Vztah také splňuje jejich libovolná tzv. lineární kombinace, tedy posloupnost cn = san + tbn, s, t e M. Čísla s a t můžeme zvolit tak, aby výsledná kombinace splňovala dané počáteční podmínky, v našem případě c\ = 1, C2 = 1. Pro jednoduchost je vhodné navíc ještě dodefinovat nultý člen posloupnosti jako c0 = 0 a spočítat s a t z rovnic pro c0 a c\. Zjistíme, že* = -7i'ř = 7iatedy r--1 (i + Všr - (i - 75)" Bmet (3.2) pn = -—-. - 2"(v5) Takto zadaná posloupnost splňuje danou rekurentní formuli a navíc počáteční podmínky c0 = 0, c\ = 1, jedná se tedy o tu jedinou posloupnost, která je těmito požadavky zadána. Všimněte si, že hodnota vzorce (3.2) je celočíselná pro libolné přirozené n (zadává totiž celočíselnou Fibonacciho posloupnost), i když to tak na první pohled nevypadá. □ IniProdukt 3.2. Zjednodušený model chování hrubého národního produktu. Uvažujme diferenční rovnici (3.3) yk+2 - a(l + b)yk+1 + abyk = 1, kde yk je národní produkt v roce k. Konstanta a je takzvaný mezní sklon ke spotřebě, což je makroekonomický ukazatel, který udává jaký zlomek peněz, které mají obyvatelé k dispozici, utratí, a konstanta b popisuje, jak závisí míra investic soukromého sektoru na mezním sklonu ke spotřebě. Předpokládáme dále, že velikost národního produktu je normována tak, aby na pravé straně rovnice vyšlo číslo 1. Spočítejte konkrétní hodnoty pro a = |,6 = i,yo = l,yi = l. Řešení. Nejprve budeme hledat řešení homogenní rovnice (pravá strana nulová) ve tvaru r*. Číslo r musí být řešením charakteristické pro neznámý vektor x a známý vektor b. V pevně zvolených souřadnicích pak máme matici A zobrazení

„+*_! H-----h akyn = Pm(n), kde P (m) je polynom stupně n a příslušná charakteristická rovnice má reálné kořeny má (skoro vždy) partikulární řešení tvaru Qm (n), Qm (n) je polynom stupně m. Další možnou způsobem řešení je tzv. medota variace konstant, kdy nejprve najdeme řešení k y(n) = ^Cifiin) i=\ zhomogenizované rovnice a poté uvažujeme konstanty q jako funkce ci (n) proměnné n a hledáme partikulární řešení dané rovnice ve tvaru k y(n) = ^2ci(n)f(n). i = \ 133 A. REKURENTNÍ ROVNICE 1. LINEÁRNÍ PROCESY Ukažme si na obrázku hodnoty ft pro i < 35 a rovnicí 9 f(n) = -f(n - 1) 3 1 -f(n -2) + -, 4J ' 2 /(O) = /(l) = 1. 0 5 10 15 20 25 30 35 Dále si procvičme, jak řešit lineární diferenční rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Posloupnost vyhovující dané rekurentní rovnici druhého řádu je dána jednoznačně, pokud zadáme navíc nějaké dva její sousední členy. Znovu si povšimněme dalšího využití komplexních čísel: pro určení explicitního vzorce pro n-tý člen posloupnosti reálných čísel můžeme potřebovat výpočty s čísly komplexními (to nastává tehdy, pokud má charakteristický polynom dané diferenční rovnice komplexní kořeny). 3.3. Nalezněte explicitní vzorec pro posloupnost vyhovující následující lineární diferenční rovnici s počátečními podmínkami: 2x„ + n, x\ = 2, X2 = 2. xn+2 3.2b Řešení. Zhomogenizovaná rovnice je xn+2 = 2xn. Její charakteristický polynom je x2 — 2, jeho kořeny jsou ±V2- Řešení zhomogenizované rovnice je tedy tvaru a(V2)n + b(-V2)n, pro libovolné a, b e R. Partikulární řešení budeme hledat metodou neurčitých koeficientů. Nehomogenní část dané rovnice je lineární polynom n, partikulární řešení proto budeme nejprve hledat ve tvaru lineárního polynomu v proměnné n, tedy kn + l, kde k, l e R. Dosazením do původní rovnice dostáváme k(n +2) +1 = 2(kn +l)+n. Porovnáním koeficientů u proměnné n na obou stranách rovnice dostáváme vztah k = 2k + 1, tedy k = — 1, porovnáním absolutních členů pak vztah 2k + l = 21, tedy l = —2. Celkem je tedy partikulárním řešením je posloupnost —n — 2. funkce při omezujících podmínkách s nerovnostmi >, přičemž opět uvažujeme nezáporné proměnné. Je snadné nahlédnout, že každý obecný problém lineárního programování lze převést na kterýkoliv ze standardních. Kromě změn znamének můžeme ještě pracovat s rozdělením případných proměnných bez omezení znaménka na rozdíl dvou kladných. Bez újmy na obecnosti se tedy budeme dále věnovat jen standardnímu maximalizačnímu problému. Jak takový problém řešit? Hledáme maximum lineární formy h na podmnožinách M vektorového prostoru, které jsou zadány lineárními nerovnostmi, tj. v rovině pomocí průniku polorovin, obecně budeme v další kapitole hovořit o poloprostorech. Všimněme si, že každá lineární forma na reálném vektorovém prostoru h : V -» R (tj. libovolná lineární skalární funkce) v každém vybraném směru buď stále roste nebo stále klesá. Přesněji řečeno, jestliže vybereme pevný počáteční vektor w e V a „směrový" vektor v € V, pak složením naší formy h s parametrizací dostaneme t h-» h(u + t v) = h(u) + t h(v). Tento výraz je skutečně s rostoucím parametrem t vždy buď rostoucí nebo klesající, případně konstantní (podle toho, zda je h(v) kladné nebo záporné, případně nulové). Jistě tedy musíme očekávat, že problémy podobné tomu s natěračem budou buď nesplnitelné (když je množina zadaná omezením prázdná) nebo bude výnos neohraničený (když omezení zadají neomezenou část celého prostoru a forma h v některém z neomezených směrů bude nenulová) nebo budou mít maximální řešení v alespoň jednom z „vrcholů" množiny M (přičemž zpravidla půjde o jediný vrchol, může ale jít o ^ecdľo™' konstatní maximální honotu na části horanice oblasti M). Dantzigovi, algoritmech, odkaz apod. 3.5. Formulace pomocí lineárních rovnic. Ne vždy je nalezení optima tak snadné jako v předchozím případě. Problém může zahrnovat velmi mnoho proměnných a velmi mnoho omezení a jen rozhodnout, zda je množina M splnitelných bodů neprázdná je problematické. Nemáme tu prostor na úplnou teorii, zmíníme ale alespoň dva směry úvah, které ukazují, že ve skutečnosti bude řešení naleznutelné vždy podobně, jako tomu bylo v dvojrozměrném problému v předchozím odstavci. Začneme srovnáním se systémy lineárních rovnic - těm už totiž rozumíme dobře. Zapišme si rovnice (3.1)—(3.3) vektorově v obecném tvaru: A - x < b, kde x je nyní rc-rozměrný vektor, b je m-rozměrný vektor a A odpovídající matice a nerovností myslíme jednotlivé nerovnosti po řádcích. Maximalizovat chceme součin c ■ x pro daný řádkový vektor koeficientů lineární formy h. Jestliže si pro každou z rovnic přidáme jednu pomocnou proměnnou a ještě si primyslíme proměnnou z jako hodnotu Unární formy 134 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET h, můžeme celý problém přepsat jako systém lineárních rovnic x 0. Minimalizační problém: Minimalizuj yT ■ b za podmínky yT ■ A > cT a zároveň y > 0. Říkáme, že tyto problémy jsou vzájemně duální. K odvození dalších vlastností problémů lineárního programování zavedeme trochu terminologie. Řekneme, že jde o idxřešitelný problém, jestliže existuje nějaký přípustný vektor x, který vyhoví všem omezujícícm podmínkám. Řešitelný maximalizační, resp. minimalizační problém je ohraničený, jestliže je účelová funkce na množině vyhovující omezením ohraničená shora, resp. zdola. Lemma. Je-li x e Rn přípustný vektor pro standarní maximalizační problém a y e Rm je přípustný vektor pro duální minimalizační problém, pak pro účelové fuknce platí c ■ x < yT ■ b Důkaz. Jde vlastně jen o snadné pozorování: x > 0 a cT < yT ■ A, ale také y >Q & A ■ x < b, proto musí platit i c ■ x < yT ■ A ■ x < yT Řešení dané nehomogenní diferenční rovnice druhého řádu bez počátečních podmínek jsou tedy tvaru a(*Jl)n + b{—~Jl)n — n — 2, a, b e R. Nyní dosazením do počátečních podmínek určíme neznámé a, b e R. Pro početní jednoduchost použijeme malého triku: z počátečních podmínek a daného rekurentního vztahu vypočteme člen x0 : x0 = \ (x2 — 0) = 1. Daný rekurentní vztah spolu s podmínkami x0 = 1 a x\ = 1 pak zřejmě splňuje tatáž posloupnost, která splňuje původní počáteční podmínky. Máme tedy následující vztahy pro a, b: x0: fl(v/2)° + Ŕ(-v/2)°-2= 1, tedy a+ b = 3, x\ : VŤ,a — V2b = 5, jejichž řešením dostáváme a = 6+54"^, b = ^—|^. Řešením je posloupnost .l,, = ^«-,,-2. □ 3.4. Určete reálnou bázi prostoru řešení homogenní diferenční rovnice -"-«+4 = -"-«+3 -"-«+1 -*•«> Řešení. Charakteristický polynom dané rovnice je x4 — x3 — x + 1. Hledáme-li jeho kořeny, řešíme reciprokou rovnici x4 - x3 - x + 1 = 0 Standardním postupem nejprve vydělíme rovnici výrazem x2 a poté zavedeme substituci t = x + tedy t2 = x2 + + 2. Obdržíme rovnici t2 - t - 2 = 0, s kořeny t\ = — 1, t2 = 2. Pro obě tyto hodnoty neznámé t pak řešíme zvlášť rovnici danou substitučním vztahem: 1 x + - X -1. -I + i& = cos(2tt/3) + což jsme měli dokázat. □ Ta má dva komplexní kořeny x\ — 2 1 ' 2 i sin(27r/3) a x2 = — \ — i& = cos(27r/3) — i sin(27r/3). Pro druhou hodnotu neznámé t dostáváme rovnici x + - = 2 x s dvojnásobným kořenem 1. Celkem je tedy bazí hledaného vektorového prostoru posloupností, které jsou řešením dané diferenční rovnice, následující čtveřice posloupností: {—\ + iV3}^=l, {—\ — 135 A. REKURENTNÍ ROVNICE 1. LINEÁRNÍ PROCESY ř'V3}^i>{l}^i (konstantní posloupnost) a {n}™=1. Hledáme-li však reálnou bázi, musíme nahradit dva generátory (posloupnosti) z této báze s komplexními hodnotami generátory reálnými. Protože tyto generátory jsou geometrické řady, jejichž libovolné členy jsou komplexně sdružená čísla, můžeme vzít jako vhodné generátory posloupnosti dané polovinou součtu, resp. polovinou /-násobku rozdílu, daných komplexních generátorů. Takto dostaneme následující reálnoiripájtj-řešení: {1}^ (konstantní posloupnost), {n}^=v {cos(« • 27r/3)j^1, {sm(n-27t/3)}Zi- □ 3.5. Najděte posloupnost, která vyhovuje nehomogenní diferenční rovnici s počátečními podmínkami: Xn+2 = xn + l + 2x„ + 1, X\ = 2, X2 = 2. Řešení. Obecné řešení zhomogenizované rovnice je tvaru a(— 1)" + b2". Partikulárním řešením je konstanta —1/2. Obecné řešení dané nehomogenní rovnice bez počátečních podmínek je tedy a(-l)n+b2n Dosazením do počátečních podmínek zjistíme konstanty a = —5/6, b = 5/6. Dané rovnici s počátečními podmínkami tedy vyhovuje posloupnost --(-1)" + -2""1 - -. 6V ' 3 2 □ 3.6. Určete posloupnost reálných čísel, která vyhovuje následující nehomogenní diferenční rovnici s počátečními podmínkami: 2xn +2 ~xn + \ + xn + 2, X\ — 2, X2 — 3. Řešení. Obecné řešení zhomogenizované rovnice je tvaru a(— 1)" + b(1/2)". Partikulárním řešením je konstanta 1. Obecné řešení dané nehomogenní rovnice bez počátečních podmínek je tedy a(-l)n+b(^j +1. Dosazením do počátečních podmínek zjistíme konstanty a = l,b = 4. Dané rovnici s počátečními podmínkami tedy vyhovuje posloupnost (_iy+ 4 +1. □ Odtud okamžitě vidíme, že jestliže jsou oba duální problémy řešitelné, pak musí být i ohraničené. Ještě zajímavější je následující postřeh přímo vycházející z nerovnosti v předchozí větě. Důsledek. Jestliže existují přípustné vektory x a y duálních lineárních problémů takové, že pro účelové funkce platí c ■ x = yT ■ b, pak jde o optimální řešení obou problémů. 3.7. Věta (O dualitě). Je-li standardní problém lineárního programování řešitelný a ohraničený, pak je takový i jeho duální problém, optimální hodnoty jejich účelových funkcí splývají a optimální řešení vždy existuje. Důkaz. Jeden směr tvrzení jsme již dokázali v předchozím důsledku. Zbývá důkaz existence optimálního řešení. Ten se nejsnadněji dokáže konstrukcí funkčního algoritmu, tomu se však teď nebudeme v podrobnostech věnovat. K chybějící části důkazu se vrátíme na straně 208 v afinní geometrii. □ Povšimněme si ještě pěkného přímého důsledku právě zformulované věty o dualitě: Důsledek (Věta o ekvilibriu). Uvažme příspustné vektory x a y pro standarní maximalizační problém a jeho duální problém z definice 3.6. Pak jsou oba tyto vektory optimální, právě tehdy když yt = 0 pro všechny souřadnice s indexem i, pro které 2~2"j=i aUxJ < h a zároveň x j = 0 pro všechny souřadnice s indexem j, pro které YlT=i y'a'j > c'- Důkaz. Předpokládejme, že platí oba vztahy z předpko-ladu impliace ve větě. Pak tedy můžeme v ná-sledujím výpočtu počítat s rovnosti, protože sčítance s ostrou nerovností mají stejně u sebe nu-^r^fc-i- lové koeficienty: m m n m n i — l i — l j—l i — l j—l a z stejného důvodu také m n n Y, Y, ^"'/V/ = Y2cJxj- Tím máme dokázánu jednu implikaci z tvrzení díky větě o dualitě. Předpokládejme nyní, že x a y jsou skutečně optimální vektory. Víme tedy, že platí m m n n Y>'ihi ~ Vŕí/ŕ/.V; > ^<;.V;. i = \ i = \ j=l j=l ale zároveň jsou si levé a pravé strany rovny. Nastává tedy všude rovnost. Přepíšeme-li prvou rovnost jako m / n \ YÁhi ~ J2avxj) =0 136 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET vidíme, že může být naplněna jen za podmínek ve větě, protože jde o nulový součet samých nezáporných čísel. Z druhé rovnosti stejně plyne i druhé zbylé tvrzení a důkaz je ukončen. □ Věty o dualitě a ekvilibriu jsou užitečné při řešení problémů lineárního programování, protože nám ukazují souvislosti mezi nulovostí jednotlivých dodatečných proměnných a naplňování omezujících podmínek. 3.8. Poznámky o lineárních modelech v ekonomii. Náš velice schematický problém černobílého natěrače z odstavce 3.4 můžeme použít jako ilustraci jednoho z typických ekonomických modelů, tzv. model plánování výroby. Jde přitom o zachycení problému jako celku, tj. se zahrnutím vnitřních i vnějších vztahů. Levé strany rovnic (3.1), (3.2), (3.3) i účelové funkce h(x\,x2) jsou vyjádřením různých výrobních vztahů. Podle povahy problému pak jsou požadovány na pravé straně buď přesné hodnoty (pak řešíme systém rovnic) nebo požadujeme kapacitní omezení a optimalizaci účelu (a pak dostáváme právě problémy lineárního programování). Můžeme tak tedy obecně řešit problém alokace zdrojů při dodavatelských omezeních a přitom buď minimalizovat náklady nebo maximalizovat zisk. Z tohoto pohledu lze také nahlížet dualizaci problémů. Jestliže by náš natěrač chtěl hypoteticky nastavit svoje náklady spojené se svojí prací yL, bílou barvou yw a černou barvou yB, pak bude chtít minimalizovat účelovou funkci L ■ y l + Wyw + By b při omezujících podmínkách Vl + wiyw + bxyB > cx yL + w2yw + b2yB > c2. To je právě duální problém k původnímu a hlavní věta 3.7 říká, že optimální stav je takový, kdy účelové funkce mají stejnou hodnotu. V ekonomických modelech najdeme mnoho modifikací. Jednou z nich jsou úlohy finančního plánování, související s optimalizací portfolia. Určujeme přitom objemy investic do jednotlivých investičních variant s cílem držet se daných omezení na rizika a optimalizovat přitom zisk, resp. při očekávaném objemu minimalizovat rizika. Dalším obvyklým modelem jsou marketingové aplikace, např. alokace nákladů na reklamy v různých médiích nebo umísťování reklam do časových termínů. Omezujícími podmínkami bude disponibilní rozpočet, rozložení cílových skupin apod. Velmi obvyklé jsou modely výživových problémů, tj. návrh návek různých komponent výživy s daným složením a omezujícími požadavky na celkové objemy výživových látek. 3.7. Řešte následující diferenční rovnici: -"-«+4 = -"-«+3 -"-«+2 "f- -*"« + ! -*-«• Řešení. Z teorie víme, že prostor řešení této diferenční rovnice bude čtyřdimenzionální vektorový prostor, jehož generátory zjistíme z kořenů charakteristického polynomu dané rovnice. Charakteristická rovnice je x4 - x3 + x2 - x + 1 = 0. Jedná se o reciprokou rovnici (to znamená, že koeficienty u (n—k)-té a k-té mocniny x, k = 1, ..., n, jsou shodné). Zavedeme tedy substituci u = x + i. Po vydělení rovnice x2 (nula nemůže být kořenem) a substituci (všimněte si, že x2 + X_ = u2 — 2) dostáváme 2 1 1 2 x — x + 1---1—- = u — u — 1=0. x x1 Dostáváme tedy neznámé m i 2 = l±2^ ■ Odtud pak z rovnice x2 —ux + 1=0 určíme čtyři kořeny xl,2,3,4 1 ±VŠ± V-10±2>/5 Nyní si všimněme, že kořeny charakteristické rovnice jsme mohli „uhodnout" rovnou. Je totiž x5 + 1 = (x + l)(x4 - x3 + x2 - X + 1), a tedy jsou kořeny polynomu x4 — x3 + x2 — x + 1 i kořeny polynomu x5 + 1, což jsou páté odmocniny z —1. Takto dostáváme, že řešením charakteristikého polynomu jsou čísla xi 2 = cos^isin^) ax34 = cos^) ± sin^). Tedy reálnou bází prostoru řešení dané diferenční rovnice je například báze posloupností cos^), sin^), cosi3^) a siní^j1), což jsou siny a kosiny argumentů příslušných mocnin kořenů charakteristického polynomu. Všimněme si, že jsme mimochodem odvodili algebraické výrazy pro cos(fO = 1±^-, sin(fO = ^10~2^, cos(^) = a sin(^) = •J10+2VŠ (vzhledem k tomu, že všechny kořeny rovnice mají absolutní hodnotu 1, tak jsou to reálné, resp. imaginární, části příslušných kořenů). □ 3.8. Určete explicitní vyjádření posloupnosti vyhovující diferenční rovnici x„+2 = 2x„+i — 2x„ se členy xi = 2, x2 = 2. Řešení. Kořeny charakteristického polynomu x2 — 2x + 2 jsou 1 + i a 1 — i. Báze (komplexního) vektorového prostoru řešení je tedy tvořena posloupnostmi y„ = (1 + ;')" a z„ = (1 — /)"■ Hledanou posloupnost můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci těchto poslopností (s komplexními koeficienty). Je tedy x„ = a ■ yn + b ■ z„, kde a = a\ + ia2, 137 A. REKURENTNÍ ROVNICE 2. DIFERENČNÍ ROVNICE b = b\ + ib2. Z rekurentního vztahu dopočteme x0 = \ (2xi — x2) = 0 a dosazením «=0a« = ldo uvažovaného vyjádření xn dostáváme 1 = xq = ci\ + + b\ + ib2 2 = xi = («i + /fl2)(l + 0 + (bi + 1*2)(1 - 0. a porovnáním reálné a komplexní složky obou rovnic dostáváme lineární soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých CL\ + b\ = 1 a2 + b2 = 0 a\ - a2 + b\ + b2 = 2 ai + a2 — b\ + b2 = 0 3.10 s resenim a\ = b\ = b2 = | a a2 posloupnost vyjádřit jako 1 -112. Celkem můžeme hledanou <2 -\m + i)n+ (\ + \i)d-i)n. Posloupnost můžeme však vyjádřit i pomocí reálné báze (komplexního) vektorového prostoru řešení, totiž posloupností un = \(y„ + zn) = (V2)"cos(f) a vn = \i(Zn - y„) = (72)" sin(f). Matice přechodu od komplexní báze k reálné je 2l 1 1 inverzní matice je T 1 = ~. ), pro vyjádření posloupnosti xn pomocí reálné báze, tj. souřadnice (c, d) posloupnosti xn v bázi {«„, vn}, pak máme máme tedy alternativní vyjádření posloupnosti x„, ve kterém se nevyskytují komplexní čísla (ale zase jsou v něm odmocniny): x„ = (V2rcos(^) + (V2rsin(^), které jsme samozřejmě mohli získat též řešením dvou lineárních rovnic o dvou neznámých c, d, totiž 1 = xq = c ■ uq + d ■ vq = c a 2 = x\ = c • u\ + d • v\ = c + d. □ 3.9. Určete explicitní vyjádření posloupnosti vyhovující diferenční rovnici xn+2 = 3xn+\ + 3x„ se členy x\ = 1 a x 2 = 3. 3.10. Určete explicitní vzorec pro n-tý člen jediné posloupnosti {xn}^Li vyhovující následujícím podmínkám: xn-^-2 — xn + l , , x\ — 1, X2 — 5. Problémy lineárního programování se objevují při personálních úlohách, kdy jsou pracovníci s různými kvalifikacemi a dalšími předpoklady rozdělováni do směn. Obvyklé jsou také problémy směšování, problémy dělení a problémy distribuce zboží- 2. Diferenční rovnice Diferenčními rovnicemi jsme se stručně zabývali již v první kapitole, byť pouze těmi prvního řádu.Nyní si ukážeme obecnou teorii pro lineární rovnice s konstantními koeficien-■íijwf ty, která poskytuje nejen velmi praktické nástroje, ale je také pěknou ilustrací pro koncepty vektorových podprostorů a lineárních zobrazení. Homogenní lineární diferenční rovnice řádu k \— 3.9. Definice. Homogenní lineární diferenční rovnice řádu k je dána výrazem aoxn + a\xn-\ + • • • + akxn-k =0, «o ^ 0 flt 0, kde koeficienty at jsou skaláry, které mohou případně i záviset na n. Říkáme také, že taková rovnost zadává homogenní lineární rekurenci řádu k a často zapisujeme hledanou posloupnost jako funkci f(n) = --f(n-l) a0 ak -f(n-k). a0 Řešením této rovnice nazýváme posloupnost skalárů x,, pro všechna i e N, případně i e Z, které vyhovují rovnici s libovolným pevným n. 1 Libovolným zadáním k po sobě jdoucích hodnot x;- jsou určeny i všechny ostatní hodnoty jednoznačně. Skutečně, pracujeme nad polem skalárů, takže í?Z3 hodnoty ao i ak jsou invertibilní a proto z definičního vztahu lze vždy spočíst hodnotu xn ze známých ostatních hodnot a stejně tak pro xn-k. Indukcí tedy okamžitě dokážeme, že lze jednoznačně dopočíst všechny hodnoty jak pro kladná tak pro záporná celá n. Prostor všech nekonečných posloupností x;- je vektorový prostor, kde sčítání i násobení skaláry je dáno po složkách. Přímo z definice je zjevné, že součet dvou řešení homogenní lineární rovnice nebo skalární násobek řešení je opět řešení. Stejně jako u homogenních systémů lineárních tedy vidíme, že množina všech řešení je vektorový podprostor. Počáteční podmínka na hodnoty řešení je dána jako k-rozměrný vektor v Kk. Součtu počátečních podmínek odpovídá součet příslušných řešení a obdobně se skalárními násobky. Dále si všimněme, že dosazením nul a jedniček do zadávaných počástečních k hodnot snadno získáme k lineárně nezávislých řešení naší rovnice. Jakkoliv jsou tedy zkoumané vektory nekonečné posloupnosti skalárů, samotný prostor všech řešení je konečněrozměrný, předem víme, že jeho 138 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET dimenze bude rovna řádu rovnice k, a umíme snadno určit bázi všech těchto řešení. Opět hovoříme o fundamentálním systému řešení a všechna ostatní řešení jsou právě jejich lineární kombinace. Jak jsme si již ověřili, vybereme-li k po sobě jdoucích indexů i, i + 1, ..., i + k — 1, zadává homogenní lineární diferenční rovnice lineární zobrazení Kk -» K°° k-rozměrných vektorů počástečních hodnot do nekonečně rozměrných poslouností týchž skalárů. Nezávislost různých takových řešení je ekvivalentní nezávislosti počátečních hodnot, ale tu umíme snadno rozpoznat pomocí determinantu. Máme-li /c-tici řešení (x^1], ..., xnk^), pak jde o nezávislá řešení právě, když následující determinant, tzv. Casoratián je nenulový pro jedno (a pak už všechna) n [i] r[i] xn xíl] \+k-\ xn [k] Xn + l [k] Xn+k-l 3.10. Řešení homogenních rekurencí s konstantními koeficienty. Těžko bychom hledali univerzální postup, jak hledat řešení obecných homogenních lineárních diferenčních rovnic, tj. přímo spočítatelný výraz pro obecné řešení xn. V praktických modelech ale velice často vystupují rovnice, kde jsou koeficienty konstantní. V tomto přípdě se daří uhodnout vhodnou formu řešení a skutečně se nám podaří najít k lineárně nezá-vislých možností. Tím budeme mít problém vyřešený, protože všechny ostatní budou jejich lineární kombinací. Pro jednoduchost začneme rovnicemi druhého řádu. Takové potkáváme obzvlášť často v praktických problémech, kde se vyskytují vztahy závisející na dvou předchozích hodnotách. Lineární diferenční rovnicí druhého řádu s konstantními koeficienty (resp. lineární rekurencí druhého řádu s konstantními koeficienty) tedy rozumíme předpis (3.4) f(n + 2) = a-f(n + l) + b- f(n) + c, kde a,b, c jsou známé skalární koeficienty. Např. v populačních modelech můžeme zohlednit, že jedinci v populaci dospívají a pořádně se rozmnožují až o dvě období později (tj. přispívají k hodnotě f (n + 2) násobkem b ■ f (jí) s kladným b > 1), zatímco nedospělí jedinci vysílí a zničí část dospělé populace (tj. koeficient a pak bude záporný). Navíc si je třeba někdo pěstuje a průběžně si ujídá konstantní počet c < 0 v každém jednotlivém období. Speciálním takovým příkladem s c = 0 je např. Fibo-nacciho posloupnost čísel y0, yi, ..., kde yn+2 = y„+i + y„. Jestliže při řešení matematického problému nemáme žádný nový nápad, vždy můžeme zkusit, do jaké míry funguje známé řešení podobných úloh. Zkusme proto dosadit do rovnice (3.4) s koeficientem c = 0 podobné řešení jako u 3.11. Určete explicitní vzorec pro n-tý člen jediné posloupnosti {xn}^Li vyhovující následujícím podmínkám: ~xn+3 = 2xn+2 + 2x„ + l + x„, X\ = 1, X2 = 1, X3 = 1. 3.12. Určete explicitní vzorec pro n-tý člen jediné posloupnosti {xn}^Li vyhovující následujícím podmínkám: — xn+3 = 3x„+2 + 3xn + \ + x„, X\ = 1, X2 = 1, X3 = 1- B. Populační modely Populační modely, kterými se budeme zabývat, budou rekurentní vztahy ve vektorových prostorech. Neznámou veličinou tedy nebude posloupnost čísel nýbrž posloupnost vektorů. Roli koeficientů pak budou hrát matice. Začneme s jednoduchým (dvourozměrným) příkladem. 3.13. Spoření. S kamarádem spoříme na společnou dovolenou následujícím způsobem. Na začátku dám 10 EUR a on 20 EUR. Každý další měsíc pak dá každý z nás tolik, co minulý měsíc plus polovinu toho, co dal ten druhý z nás předchozí měsíc. Kolik budeme mít za rok dohromady naspořeno? Kolik peněz budu platit dvanáctý měsíc? Řešení. Obnos peněz, který budu platit n-tý měsíc já označím xn a to, co bude platit kamarád označím y„. První měsíc tedy dáme x\ = 10, yi = 20. Pro další platby můžeme psát rekurentní rovnice: xn + l yn+i xn ~\~ 2^n yn 2Xn Pokud označíme společný vklad zn = xn+yn, pak sečtením uvedených rovnic dostaneme vztah zn +i \zn- To je geometrická řada a dostáváme tedy z„ = 3.(|)" 1. Za rok budeme mít celkem naspořeno z i +Z2+- ■ -+Z\2- Tento částečný součet umíme lehce spočítat 3(l + - + --- + (-)n) .(I)12 1 1 772, 5. Za rok tedy dohromady naspoříme přes 772 euro. Rekurentní soustavu rovnic popisující systém spoření můžeme napsat pomocí matice následovně xn + l \ _ I 2l| Xn Kyn+i) ~ \\ i) \yn/ Jde tedy opět o geometrickou řadu. Jejími prvky jsou teď ovšem vektory a kvocient není skalár, ale matice. Řešení lze nicméně najít obdobně 139 B. POPULAČNÍ MODELY 2. DIFERENČNÍ ROVNICE Mocninu matice působící na vektor (jci , yi) můžeme nalézt, když vyjádříme tento vektor v bázi vlastních vektorů. Charakteristický polynom matice je (1 — k)2 - | - Oa vlastní čísla jsou tedy Ai 2 = §, \. Příslušné vlastní vektory jsou po řadě (1, 1) a (1, —1). Pro počáteční vektor (x\, yi) = (1,2) spočítáme a proto 3 " 2 n-l 1 2 1 ' 2 «-i To znamená, že já zaplatím 12. měsíc Xl2 12 12 130 □ eur a můj kamarád v podstatě stejně. Poznámka. Předchozí příklad lze řešit i bez matice následujícím přepsáním rekuretní rovnice: Xn = Xn + jyn = jXn + jZn- Předcházející příklad byl vlastně modelem růstu (v daném případě růstu množství naspořených peněz). Nyní přejděme k modelům růstu popisujícím primárně růst nějaké populace. Leslieho model růstu, který jsme detailně rozebrali v teorii, velmi dobře popisuje nejen populace ovcí (podle kterých byl sestaven), ale uplatňuje se například i při modelování následujích populací: 3.14. Zajíci podruhé. Ukažme si, jak můžeme Leslieho modelem popsat populaci zajíců na louce, kterou jsme se zaobírali v příkladu I el. 9 (3.1). Uvažujme, že zajíci umírají po dovršení devátého měsíce1 věku (v původním modelu byl věk zajíců neomezen). Označme počty zajíců (resp. zaječic) podle stáří v měsících v čase t (měsíců) jako x\(ŕ), x2(t),..., x9(t), tak počty zajíců v jednotlivých věkových skupinách budou po jednom měsíci x\(t + 1) = x2(t) + x3(ř) + • • • + x9(t), Xi(t + 1) = Xi-\(t), pro i = 2, 3, ..., 10, neboli /*l(í +1)\ ŕ 1 1 1 1 1 1 1 x2(ř+ 1) i 0 0 0 0 0 0 0 0 x2(ř) x3(ř+ 1) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 x3(ř) x4(ř+ 1) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 x4(ř) x5(ř+ 1) = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 x5(ř) x6(ř+ 1) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x7(ř+ 1) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 x7(ř) xx(t+ 1) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 n(t) \x9(ř+ 1)/ Vo 0 0 0 0 0 0 1 0/ \x9(ř)/ Charakteristický polynom uvedené matice je k9 — k1 — k6 — k5 — k4 — k3 —k2 —k—1. Kořeny této rovnice nejsme schopni explicitně vyjádřit, jeden z nich však velmi dobře odhadnout, k\ = 1, 608 (proč musí být menší než (a/5 + l)/2)?). Populace bude tedy podle tohoto modelu růst přibližně s geometrickou řadou 1, 608ř. rovnic lineárních, tj. f(n) zením dostáváme k" pro nějaké skalární k. Dosa- k n+2 ak n + l bk" = kn(k2 -ak-b) =0. Tento vztah bude platit buď pro k = 0 nebo při volbě hodnot kt = ^(a + V'a2 + 4b), k2 = ^(a - y'a2 + 4b). Zjistili jsme tedy, že skutečně opět taková řešení fungují, jen musíme vhodně zvolit skalár k. To nám ale nestačí, protože my chceme naj ít řešení pro j akékoliv počáteční hodnoty / (0) a /(l), a zatím jsme našli jen dvě konkrétní posloupnosti splňující danou rovnici (a nebo dokonce jen jednu, pokud je k2 = ^l)- Jak jsem již dovodili i u zcela obecných lineárních reku-rencí, součet dvou řešení fi(n) a /2(n) naší rovnice f(n + 2) — a ■ f (n + 1) — b ■ f (n) = 0 je zjevně opět řešením téže rovnice a totéž platí pro konstatní násobky řešení. Naše dvě konkrétní řešení proto poskytují daleko obecnější řešení f(n) = Clk"l+ C2k"2 pro libovolné skaláry C\ a C2 a pro jednoznačné vyřešení konkrétní úlohy se zadanými počátečními hodnotami /(0) a /(l) nám zbývá jen najít příslušné konstanty C\ a C2. (A také si musíme ujasnit, zda to pro všechny počáteční hodnoty půjde). 3.11. Volba skalárů. Ukažme si, jak to může fungovat alespoň na jednom příkladě. Soustředíme se přitom na problém, že kořeny charakteristického polynomu nevychází obecně ve stejném oboru skalárů, jako jsou koeficienty v rovnici. Řešme tedy problém: 1 (3.5) yn+i + -jyn yn+2 = y0 = 2, yi = 0. V našem případě je tedy Ai_2 = ^(1 ± V3) a zjevně y0 = Ci + C2 = 2 yi ^Ci(l + V3) + ^C2(l-V3) je splněno pro právě jednu volbu těchto konstant. Přímým výpočtem C\ = 1 — \a/3, C2 = 1 + \ V3 a naše úloha má jediné řešení f in) = (1 - i v3)^(l + 73)" + (1 + ^/3)^(1 - 73)". Všimněme si, že i když nalezená řešení pro rovnice s celočíselnými koeficienty vypadají složitě a jsou vyjádřena pomocí iracionálních (případně komplexních) čísel, o samotném řešení dopředu víme, že je celočíselné též. Bez tohoto „úkroku" do většího oboru skalárů bychom ovšem obecné řešení napsat neuměli. S podobnými jevy se budeme potkávat velice často. Obecné řešení nám také umožňuje bez přímého vyčíslování konstant diskutovat kvalitativní chování posloupnosti čísel 140 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3.11a f (n), tj. zda se budou s rostoucím n blížit k nějaké pevné hodnotě nebo budou oscilovat v nějakém rozsahu nebo utečou do neomezených kladných nebo záporných hodnot. 3.12. Obecný případ homogenních rekurencí. Zkusme nyní stejně jako v případě druhého řádu dosadit volbu xn = k" pro nějaký ( zatím neznámý) skalár k do obecné homogenní rovnice z definice 3.9. Dostáváme pro každé n podmínku k"~k(a0kk + aik k-l + ak)=0 což znamená, že buď k = 0 nebo je A kořenem tzv. charakteristického polynomu v závorce. Charakteristický polynom ale už není závislý na n. Předpokládejme, že má charakteristický polynom k různých kořenů k\, ..., kk. Můžeme za tímto účelem i rozšířit uvažované pole skalárů, např. Q na M nebo M na C, protože výsledkem výpočtu pak stejně budou řešení, která opět zůstanou v původním poli díky samotné rovnici. Každý z kořenů nám dává jedno možné řešení xn = C^ž)"- Abychom byli uspokojeni, potřebujeme k lineárně nezávislých řešení. K tomu nám postačí ověřit nezávislost dosazením k hodnot pro n = 0, ..., k— 1 pro k možností k{ do Casoratiánu viz 3.9. Dostaneme tak tzv. Vandermondovu matici a je pěkným (ale ne úplně snadným) cvičením spočíst, že pro všechna k a jakékoliv /c-tice různých k{ je determinant takovéto matice nenulový, viz příklad 2.22 na straně 84. To ale znamená, že zvolená řešení jsou lineárně nezávislá. Nalezli jsme tedy fundamentální systém řešení homogenní diferenční rovnice v případě, že všechny kořeny jejího charakteristického polynomu jsou po dvou různé. Uvažme nyní násobný kořen k a dosaďme do definiční rovnice předpokládané řešení xn = nk". Dostáváme podmínku a0nkn + ■ ■ ■ + ak(n — k)kn 0. Tuto podmínku je možné přepsat pomocí tzv. derivace polynomu (viz ?? na straně ??), kterou značíme apostrofem: k(a0k" + + akkn-ky 0 a hned na začátku kapitoly páté uvidíme, že kořen polynomu / je vícenásobný právě, když je kořenem i jeho derivace /'. Naše podmínka je tedy splněna. Při vyšší násobnosti i kořenu charakteristického polynomu můžeme postupovat obdobně a využijeme skutečnosti, že £-násobný kořen je kořenem všech derivací polynomu až do i — 1 včetně. Derivace přitom postupně vypadají takto: 3.15. Jezírko. Mějme jednoduchý model jezírka, ve kterém žije populace bílé ryby (plotice, ouklej, podoustev, ostroretka atd.). Předpokládáme, že druhého roku se dožije 20 % rybího plůdku a od tohoto stáří už jsou ryby schopny se reprodukovat. Z mladých ryb přežije z druhého do třetího roku přibližně 60 % a v dalších letech je už úmrtnost zanedbatelná. Dále předpokládáme, že roční přírůstek nových plůdků je třikrát větší než počet ryb (schopných reprodukce). Tato populace by evidentně jezírko brzy přeplnila. Rovnováhu chceme dosáhnout nasazením dravé ryby, např. štiky. Předpokládejme, že jedna štika sní ročně asi 500 dospělých bílých ryb. Kolik štik pak musíme do jezírka nasadit, aby populace stagnovala? Řešení. Pokud označíme p počet plůdku, m počet mladých ryb a r počet dospělých ryb, pak je stav populace v dalším roce popsán následovně: 'p\ ( 3m + 3r m I I 0, 2p r J \0, 6m + rr/ kde 1 — r je relativní úmrtnost dospělé ryby způsobená štikou. Příslušná matice popisující tento model je tedy Pokud má populace stagnovat, pak musí mít tato matice vlastní hodnotu 1. Jinými slovy, jednička musí být kořenem charakteristického polynomu této matice. Ten je tvaru k2(r — k)+0, 36—0, 6.(r —k) = 0. To znamená, že r musí splňovat r - 1 + 0,36-0, 6(r - 1) = 0 0, 4r - 0, 04 = 0 Do dalšího roku tedy může přežít jen 10 % z dospělých ryb a zbytek by měla sníst štika. Označíme-li hledaný počet štik x, pak dohromady sní 500x ryb, což by mělo odpovídat podle předchozího výpočtu 0, 9r. Poměr počtu bílé ryby ku počtu štik by tedy měl být r- = ^j. To je přibližně jedna štika na 556 kusů bílé ryby. □ Obecněji můžeme zpracovat předcházející model takto: 3.16. Nechť je v populačním modelu dravec-kořist určen vztah mezi počtem dravců Dk a kořisti Kk v daném a následujícím měsíci (k e N U {0}) lineárním systémem (a) Djt+i = 0,6Dk + 0,5*:*, Kk+l = -0.16D* + 1,2 Kk\ (b) Djt+i = 0,6Djt + 0,5*:*, Kk+l = -0, 175 D* + 1,2*:*; 141 B. POPULAČNÍ MODELY 2. DIFERENČNÍ ROVNICE (c) Dk+i Kk+i 0,6Dk + 0,5**, -0, 135 D* + l,2Kk. Analyzujte chovaní tohoto modelu po velmi dlouhé době. Řešení. Všimněme si, že jednotlivé varianty se od sebe navzájem liší pouze v hodnotě koeficientu u Dk ve druhé rovnici. Můžeme proto všechny tři případy vyjádřit jako Dk Kk 0,6 0,5 a 1,2 Dk-i Kk-l keN, kde budeme postupně klást a = 0, 16, a = 0, 175, a = 0, 135. Hodnota koeficientu a zde reprezentuje průměrný počet kusů kořisti zahubených jedním (očividně „nenáročným") dravcem za měsíc. Při označení bezprostředně dostáváme 0,6 0,5 a 1,2 D0 K0 keN. Pomocí mocnin matice T tak můžeme určit vývoj populací dravce a kořisti po velmi dlouhé době. Snadno stanovíme vlastní čísla (a) Xi (b) Xi (c) ki 1, A2 = 0,8; 0, 95, X2 = 0, 85; 1,05, A2 = 0,75 matice T a jim (při zachování pořadí) příslušné vlastní vektory (a) (5,4)r, (5,2)r; (b) (10,7)r, (2, l)T; (c) (10,9)r , (10, 3)T. Pro ieff tudíž platí (a) 5 5 4 2 1 0 0 0, 8 (b) (c) 10 2 7 1 10 10 9 3 0,95 0 1,05 0 0 0, 85 0 0,75 10 2 7 1 10 10 9 3 Odtud dále pro velká k e N plyne /(*) /'(*) /"(*) a0X" + i n—k + akX" ■ ■ ■ + ak(n - k)Xn-k~l a0n(n-l)Xn-2+- ■ ■+ak(n-k)(n-k-l)Xn-k-2 a0nX" 1 + a0n...(n- í)Xn~1-1 + ... + ak(n — k)... (n — k — Í)X n-k-l-l Podívejme se na případ trojnásobného kořenu X a hledejme řešení ve tvaru n2X". Dosazením do definiční podmínky dostaneme rovnost a0n2X" + + ak(n — k) X 21 n—k Zjevně je levá strana rovna výrazu X2 f"(X) + Xf'(X) a protože je X kořenem obou derivací, je podmínka splněna. Indukcí snadno dokážeme, že i obecnou podmínku pro hledané řešení ve tvaru xn nlXn, aonlXn + .. .ak(n k)lX> £ -\ n—k o, dostaneme jako vhodnou lineární kombinaci derivací charakteristického polynomu začínající výrazem 1 Xl+lf(l+l> + -XH(£ + l)fw + ... a dostali jsme se tedy blízko k úplnému důkazu následující: Věta. Každá homogenní lineární diferenční rovnice řádu k nad libovolným číselným oborem K obsaženým v komplexních číslech K má za množinu všech řešení k—rozměrný vektorový prostor generovaný posloupnostmi x„ = nlXn, kde X jsou (komplexní) kořeny charakteristického polynomu a mocniny l probíhají všechna přirozená čísla od nuly až do násobnosti příslušného kořenu X. Důkaz. Výše použité vztahy násobnosti kořenů a derivací uvidíme později, a nebudeme tu dokazovat tvrzení, že každý komplexní polynom má právě tolik kořenů, včetně násobnosti, jaký má stupeň. Zbývá tedy ještě dokázat, že nalezená /c-tice řešení je lineárně nezávislá. I v tomto případě lze induktivně dokázat nenulovost příslušného Casora-tiánu, jako jsme odkazovali u případu Vandermondova determinantu výše. Pro ilustraci postupu ukážeme, jak výpočet vypadá pro případ jednonásobného kořenu X\ a dvojnásobného kořenu 142 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET A2 charakteristického polynomu: (a) C(A", A" nXn2) i n+2 2 l n+2 nX"2 (n + l)Xn2+1 (n + 2)Xn2+1 -1n-12n K\K2 ^n -í2n K\K2 1 xx 1 A2 x\ 1 1 n -\ 2n -AlA2 Al " Xi(X\ - Al (n + 1)X2 (n + 2)X\ 1 n 0 X2 0 Aj A, A2 -A2) -A2 Ai (Ai — A2) Xi xnx22n+\xx -i2f/o. V obecném případě vedeme podobně důkaz nenulovosti příslušného Casoratiánu indukcí. □ 3.13. Reálné báze řešení. Pro rovnice s reálnými koeficienty povedou reálné počáteční podmínky vždy na reálná řešení. Přesto ale budou příslušná fundamentální řešení z právě odvozené věty často existovat pouze v oboru komplexním. Zkusme proto najít jiné generátory, se kterými se nám bude pracovat lépe. Potože jsou koeficienty charakteristického polynomu reálné, každý jeho kořen bude buď také reálný nebo musí kořeny vystupovat po dvou komplexně združených. Jestliže si řešení popíšeme v goniometrickém tvaru jako X" = \X|" (cos n

yKk) ~ \0 0)' \K0) \0) ' (c) 'Dk\ _ 1,05* /-30 100 .Kj™ 60 V -27 90 D0 K0 60 1,05* /10(-3A) + lOKo) 60 \9(-3D0 + í0K0) Tyto výsledky lze interpretovat následovně: (a) Pokud 2Dq < 5Kq, velikosti obou populací se ustálí na nenulových hodnotách (říkáme, že jsou stabilní); jestliže 2Z)0 > 5K0, °bě populace vymřou. 143 B. POPULAČNÍ MODELY 2. DIFERENČNÍ ROVNICE (b) Obě populace vymřou. (c) Pro3D0 < 10K0 nastáva populační exploze obou druhů; pro 3 A) > 10^o °bě populace vymřou. To, že extrémně malá změna velikosti a může vést ke zcela odlišnému výsledku, je zapříčiněno neměnností hodnoty a v závislosti na velikosti obou populací. Poznamenejme, že toto omezení, kdy a v našich modelech považujeme za konstantní, nemá oporu ve skutečnosti. Přesto získáváme odhad velikosti a pro stabilní populace. □ 3.17. Poznámka. Jiný model soužití populací dravce a kořisti poskytuje model pánů Lotky a Volterra, který popisuje vztah mezi populacemi soustavou dvou obyčejných diferenciálních rovnic. Podle tohoto modelu obě populace oscilují, což je i v souladu s pozorováními. Nyní uveďme poněkud obsáhlejší model. 3.18. Model šíření jednoletých bylin. Budeme uvažovat rostliny, které na začátku léta vykvetou, na jeho vrcholu vyprodukují semena a samy uhynou. Některá ze semen vyklíčí ještě na konci podzimu (ozimé rostliny), jiná přečkají zimu v zemi a vyklíčí na začátku jara (jarní rostliny). Ozimé rostlinky (sazenice), které přes zimu nezmrznou, jsou na jaře větší než jarní a většinou z nich vyrostou větší rostliny než z jarních sazenic. Větší rostlina vyprodukuje více semen. Pak se celý vegetační cyklus opakuje. Rok je tedy rozdělen na čtyři vegetační období a v každém z těchto období můžeme rozlišit několik „forem" rostliny: Období stadia rostliny 3 . 14 začátek jara začátek léta vrcholné léto podzim malé a velké sazenice malé, střední a velké kvetoucí rostliny semena sazenice a přezimující semena Označme x\(t), resp. x2(ŕ), počet malých, resp. velkých, sazenic na začátku jara roku t a y\(t), resp. y2(t), resp. ys(ť), počet malých, resp. středních, resp. velkých rostlin v létě téhož roku. Z malých sazenic mohou vyrůst malé nebo střední rostliny, z velkých sazenic mohou vyrůst střední nebo velké rostliny. Kterákoliv ze sazenic samozřejmě může uhynout (uschnout, být spasena krávou a podobně) a nevyroste z ní nic. Označme bij pravděpodobnost, že ze sazenice j-té velikosti, j = 1,2, vyroste rostlina i-té velikosti, / = 1,2,3. Pak je 0 < bn < 1, bn = 0, 0 < 0 < b hi < 1, 0 < b22 < 0, '32 < 1, bn + h\ < 1, hi = 0, , h2 + hi < 1 (promyslete si, co každá z těchto nerovností vyjadřuje). Pokud pravděpodobnost považujeme za klasickou, můžeme bn vypočítat jako podíl Postupujeme tak, že najdeme jedno řešení a přičteme celý vektorový prostor dimenze k řešení odpovídajících systémů homogenních. Skutečně takto dostáváme řešení a protože je rozdíl dvou řešení nehomogenní rovnice zjevně řešením homogenní, dostáváme takto řešení všechna. U systému lineárních rovnic se mohlo stát, že nemusel vůbec mít řešení. To u našich diferenčních rovnic možné není. Zato ale bývá nesnadné nalézt to jedno potřebné partikulární řešení nehomogenního systému, pokud je chování skalárních koeficientů v rovnici složité. U lineárních rekurencí je to podobné. Omezíme se tu na jediný případ, kdy příslušný homogenní systém má koeficienty konstantní a b(n) je polynom stupně s. Řešení pak lze hledat ve tvaru polynomu x„ = q?o + oi\n + • • • + oisns s neznámými koeficienty a,■, i = 1, ..., s. Dosazením do diferenční rovnice a porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin n dostaneme systém s + 1 rovnic pro s + 1 proměnných a i. Pokud má tento systém řešení, našli jsme řešení našeho původního problému. Pokud řešení nemá, může stačit zvětšit stupeň s hledaného polynomu. Např. rovnice xn — x„_2 = 2 nemůže mít konstantní řešení, ale dosazením xn = a0+ain dostáváme řešení a i = 1 (a koeficient a0 může být libovolný) a proto je obecné řešení naší rovnice x„ = Ci +C2(-1)" +n. Všimněme si, že skutečně matice příslušného systému rovnic d°Plnit odkaz na pro polynom nižšího stupně nula je nulová a rovnice 0-a0 = 2 vedlejším sloupci, snad tam je i diskuse řešitelnosti pomocí variace nema resem. 3.15. Lineární filtry. Uvažujme nyní nekonečné posloupnosti konstant. (. . . , X—n, X—n + 1. X — i, Xq, X\, a budeme, podobně jako u systémů lineárních rovnic, pracovat s operací T, která zobrazí celou posloupnost x na posloupnost z = Tx se členy z„ ci{)Xn + a\xn-\ + ■ ■ ■ + akxn- S posloupnostmi x můžeme opět pracovat jako s vektory J' „ vzhledem ke sčítání i násobení skaláry po složkách. Pouze bude tento velký vektorový prostor nekoneč-něrozměrný. Naše zobrazení T je zjevně lineárním ffi 1 zobrazením na takovém vektorovém prostoru. Posloupnosti si představme jako diskrétní hodnoty nějakého signálu, odečítané zpravidla ve velmi krátkých časových jednotkách, operace T pak může být filtrem, který signál zpracovává. Bude nás zajímat, jak odhadnout vlastnosti, které takový „filtr" bude mít. Signály jsou velice často ze své podstaty dány součtem několika částí, které jsou samy o sobě víceméně periodické. Z naší definice je ale zřejmé, že periodické posloupnosti xn, 144 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3.15 raději spravit obrázky - černobílé sinusovkami a pondne :-) tj. posloupnosti splňující pro nějaké pevné přirozené číslo p xn+p — xn budou mít i periodické obrazy z = T x Zn+p = aOxn+p + a\xn-\+p + ' ' ' + akxn-k+p = a^xn + a\x„-i + • • • + a^Xn-k = z,n se stejnou periodou p. Pro pevně zvolenou operaci T nás bude zajímat, které vstupní periodické posloupnosti zůstanou přibližně stejné (případně až na násobek) a které budou utlumeny na nulové hodnoty. Ve druhém případě tedy hledáme jádro našeho lineárního zobrazení T. To je ale dáno právě homogenní diferenční rovnicí aoxn + a\xn-\ + • • • + a^Xn-i =0, «o ^ 0 ak ^ 0, kterou jsme se už naučili řešit. 3.16. Spatný equalizer. Jako příklad uvažujme velmi jednoduchý lineární filtr zadaný rovnicí Zn — (TX)n = Xn^-2 ~\~ xn- Výsledky takového zpracování signálu jsou naznačeny ifgfc. na následujících čtyřech obrázcích pro po-'J,3^\/f^"'' stupně se zvyšující frekvenci periodického ''Wjh^-*' signálu x„ = cos(cpn). Červený je původní jNiás^-- signál, zelený je výsledek po zpracování filtrem. Nerovnoměrnosti křivek jsou důsledkem nepřesného kreslení, oba signály jsou samozřejmě rovnoměrnými Všimněme si, že v oblastech, kde je výsledný signál přibližně stejně silný jako původní, dochází k dramatickému příznivých výsledků (z malé vyrostla malá rostlina) a všech možných výsledků (počet malých sazenic), tj. b\\ = y\(t)/x\(t). Odtud yi(t) = *i 1*1(0. Analogicky dostaneme rovnost y3(t) = b32x2(t). Označíme-li na chvíli y2ti(t), resp. V2,2(0 počet středních rostlin vyrostlých z malých, resp. velkých sazenic, je y2(t) = V2,i(0 + J2,2(0 a *2i = y2,i(0M(0, *22 = yi,2Ít)/x2{t) a tedy y2(t) = b2lxx(t) + b22x2(t). x(t) xi(0 x2(t) y(t) a předchozí rovnosti zapíšeme v maticovém tvaru y(t) = Bx(t). Označíme-li po řadě cii, c\2 a c\3 počty semen, které vyprodukuje jedna malá, střední a velká rostlina, a z(t) celkový počet vyprodukovaných semen v létě roku ř, platí z(t) = cnvi(0 +c12y2(t) + c13y3(t), nebo v maticovém tvaru z(t) = Cy(t) při označení C = (en Ci2 C13) . Aby matice C popisovala modelovanou realitu, budeme předpokládat, že platí nerovnosti 0 < en < cl2 < cl3. Označme nakonec w\(ť) a w2(t) počet semen, které vyklíčí ještě na podzim a počet semen, která přezimují, v tomto pořadí, &d\\, resp. d2i pravděpodobnost, že semeno vyklíčí na podzim, resp. nevyklíči (prezimuje), a /n, resp. f22 pravděpodobnost, že ozimá sazenice, resp. že přezimující semeno během zimy nezmrzne. Pravděpodobnosti vyklíčení d\\, d2\ zřejmě musí splňovat nerovnosti 0 < d\\, 0 < d2\, d\i + d2\ = 1, a poněvadž rostlinka snáze zmrzne, než semeno ukryté v zemi, budeme o pravděpodobnostech f\ \, f22 přežití zimy předpokládat 0 < fn < /22 < 1- Při označení 'dn\ j, _ ífn 0\ _ ^ _ (wi(ty D '21 o h 22 W(t) w2(t) 145 B. POPULAČNÍ MODELY 3. ITEROVANÉ LINEÁRNI PROCESY RelPrirPop doplnit podrobný výpočet pomoci uvedených nástroju, asi ve druhém sloupci - pak bychom zde dali odkaz! Poněvadž násobení matic je asociativní, můžeme pro počty jtpejnc^. dostaneme podobnými úvahami jako výše rovnosti w(t) = Dz(t), x(t + 1) = Fw(t) livých stadií rostlin v následujícím roce z předchozích rovností sestavit rekurentní formule: x(t + 1) =Fw(t) = F{Dz(t)) = (FD)z(t) = (FD){Cy(t)) = =(FDC)y(t) = (FDC)(Bx(t)) = (FDCB)x(t), y(t + 1) =Bx(t + 1) = B{Fw(t)) = (BF)w(t) = (BF){Dz(t)) = =(BFD)z(t) = (BFD)(Cy(t)) = (BFDC)y(t), z(t + 1) =Cy(t + 1) = C(Bx(t + 1)) = (CB)x(t + 1) = (CB){Fw(t)) =(CBF)w(t) = (CBF)(Dz(t)) = (CBFD)z(t), W(t + 1) =Dz(t + 1) = D(Cy(t + 1)) = (DC)y(t + 1) = =(DC)(Bx(t + 1)) = (DCB)x(t + 1) = (DCB)(Fw(t)) = ==(DCBF)w(t). Při označení Ax = FDCB, Ay = BFDC, Az = CBFD, Aw = DCBF, je zjednodušíme na formule x(ř+l) = Axx(t), y(ř+l) = Ayy(t), z(ř+l) = Azz(t), w(t+\) = Aw(t) Z těchto formulí již můžeme vypočítat složení populace rostlin v libovolném období libovolného roku, pokud známe složení populace v nějakém období počátečního (nultého) roku. Nechť je například známo složení populace v létě, tj. počet z(0) vysetých semen. Pak složení populace na začátku jara ř-tého roku je posuvu fáze signálu. Levné equalizery skutečně podobně špatně fungují. 3. Iterované lineární procesy 3.17. Iterované procesy. V praktických modelech se často setkáváme se situací, kdy je vývoj systému v jednom časovém období dán lineárním procesem, zajímáme se ale o chování systému po mnoha iteracích. Často přitom samotný lineární proces zůstává pořád stejný, z pohledu našeho matematického modelu tedy nejde o nic jiného než opakované násobení stavového vektoru stále stejnou maticí. Zatímco pro řešení systémů lineárních rovnic jsme potřebovali jen minumum znalostí o vlastnostech lineárních zobrazení, k pochopení chování iterovaného systému budeme účelně používat znalosti vlastních čísel, vlastností vlastních vektorů a další strukturní výsledky. ~~ V jistém smyslu se pohybujeme v podobném prostředí jako u lineárních rekurencí a skutečně můžeme náš popis filtrů v minulých odstavcích takto také popsat. Představme si, že pracujeme se zvukem a uchováváme si stavový vektor Yn — (xn, ) všech hodnot od aktuální až po poslední, kterou ještě v našem lineárních filtru zpracováváme. V jednom časovém intervalu (ve vzorkovací frekveci audio signálu mimořádně krátkém) pak přejdeme ke stavovému vektoru Yn +1 (xn +1, -k+l), kde první hodnota xn+\ = a\xn + ■ ■ ■ + akxn-k+\ je spočtena jako u homogenních diferenčních rovnic, ostatní si jen posunujeme o jednu pozici a poslední zapomeneme. Příslušná čtvercová matice řádu k, splňující Yn+i = A ■ Yn, bude vypadat takto: x(t) = Axx(t - 1) A2xx(t 2) A'_1jc(1) = A'_1F«;(0) ř-l (a\ a-2 ■ Clk-l 1 0 . 0 0 A = 0 1 ' 0 0 U 0 . 1 oj --A'-1 FDz,(0). Povšimněme si, že matice Az = CBFD je typu lxl; není to tedy matice, ale skalár. Můžeme tedy označit k = Az, vypočítat (3.5) X = CBFD = (en cn c13) b2i \o = (cubn + cnb2i cnb22 + ci3b32) (y^ífei) = = bncndnfn + b2icndufu + ^22^12^21/22 + ^32^13^21/22 Pro takovou jednoduchou matici jsme si odvodili explicitní postup pro úplné řešení otázky, jak vypadá formule pro řešení. Obecně to tak snadno nepůjde ani pro velice podobné systémy. Jedním z typických případů je studium dynamiky populací v různých biologických systémech. Všimněme si také, že vcelku pochopitelně má matice A za charakteristický polynom právě p(X) = X — aiX' k-l jak snadno dovodíme pomocí rozvoje podle posledního sloupce a rekurencí. To je vysvětlitelné i přímo, protože řešení xn = X", X 7^ 0, vlastně znamená, že matice A vynásobením převede vlastní vektor (Xk, ..., X)T na jeho 146 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET A-násobek. Musí být tedy takové A vlastním číslem matice A. 3.18. Leslieho model růstu populací. Představme si, že zkoumáme nějaký systém jednotlivců (pěstovaná zvířata, hmyz, buněčné kultury apod.) rozdělený do m skupin, třeba podle stáří, fází vývoje hmyzu apod. Stav Xn je tedy dán vektorem X„ = (u\, ..., um)T závisejícím na okamžiku ř„, ve kterém systém pozorujeme. Lineární model vývoje takového systému je dán maticí A dimenze n, která zadává změnu vektoru Xn na Xn+i = A ■ Xn při přírůstku času z ř„ na ř„+1. Uvažujme jako příklad tzv. Leslieho model růstu, ve kterém vystupuje matice (fi h h ■ f m — 1 f m ^ 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 A = 0 0 0 0 Vo 0 0 . rm_i 0 / jejíž parametry jsou svázány s vývojem populace rozdělené do m věkových skupin tak, že ft označuje relativní plodnost příslušné věkové skupiny (ve sledovaném časovém skoku vznikne z N jedinců v /-té skupině ftN jedinců nových, tj. ve skupině první), zatímco r; je relativní úmrtnost /-té skupiny během jednoho období. Pochopitelně lze použít takový model s libovolným počtem věkových skupin. Všechny koeficienty jsou tedy nezáporná reálná čísla a čísla ti jsou mezi nulou a jedničkou. Všimněme si, že pokud jsou všechna r rovna jedné, jde vlastně o lineární reku-renci s konstantními koeficienty a tedy buď exponenciálním růstem/poklesem (pro reálné kořeny A charakteristického polynomu) nebo oscilováním spojeným s případným růstem či poklesem (pro komplexní kořeny). Než se pustíme do obecnější teorie, trochu si pohrajeme s tímto konkrétním modelem. Přímým výpočtem pomocí Laplaceova rozvoje podle posledního sloupce spočteme charakteristický polynom pm (k) matice A pro model s m skupinami: pm(k) = \A- kE\ = -kpm-i(X) + (-l)m_1/mri ... rm_i. Vcelku snadno dovodíme indukcí, že tento charakteristický polynom má tvar Pm(k) = (-ínr úh A' m — l ^m—\k &m) s vesměs nezápornými koeficienty a\, ... ,am, pokud jsou všechny prametry r; a /) kladné. Např. je vždy a předchozí výpočet uspořádat do výhodného tvaru x(t) = (FDCB)'-1 FDz(0) = FD(CBFDY~2 CBFDz(0) = FD(CBFD) z(0) = FDA~z(0) = A FDz(0); tímto způsobem zůstanou pouze dvě násobení matic. Uvedeme konkrétní hodnoty matic B,C, D, F; jedná se o parametry hypotetické rostliny, které ale byly inspirovanou skutečnou trávou Vulpia ciliata: B /0,3 0\ f 0,1 0,6 , C = (1 10 100), D = [ \0 0,2/ ^ 0,5 5 , F 0,05 0 f m Tl - - - Tj m — l- Nyní můžeme vypočítat jednotlivé matice, které zobrazují vektor popisující složení populace v nějakém vegetačním období na vektor složení populace v temže období následujícího roku: 0.0325 O,650O\ . 0.7M0\ n rv^n 1 wnn Ay = \ 0>0325 0,3250 3,2500 , 0,0650 1,30007 ^,0100 0,1000 1,0000/ 4 _ i «9c 4 _ /0,0325 1,3000\ z ~ 'JJ ^ w ~ ^0,0325 1,3000/ " Hodnota A = Az = 1,3325 vyjadřuje meziroční relativní přírůstek populace. Přesvědčete se, že každá z matic Ax, Ay, Aw má jedinou nenulovou vlastní hodnotu k = 1,3325; ostatní vlastní hodnoty jsou rovny 0. Ukážeme ještě jedno využití uvedeného modelu. Může nás zajímat, jak „pružně" reaguje meziroční relativní přírůstek k na na změnu jednotlivých „demografických parametrů", jak např. změna pravděpodobnosti přežití semene přes zimu ovlivní meziroční přírůstek. Tuto otázku poněkud upřesníme. Za pružnost reakce charakteristiky k na parametr s, označenou e (k, s) prohlásíme relativní změnu hodnoty k vztaženou k relativní změně parametru s. Ještě přesněji: označíme k (s) meziroční přírůstek závislý na parametru s. Potom A k (s) = k(s + As) — k(s) vyjadřuje absolutní změnu relativního přírůstku k při absolutní změně parametru s o As. Relativní změna k tedy je Ak(s)/k(s). Relativní změna přírůstku parametru s je As/s. Hledaná pružnost je tedy podíl těchto relativních změn, tj. Ak(s)/k(s) s k(s + As) — k(s) e(k, s) =- =--. As/s k(s) As Konkrétně, meziroční relativní přírůstek populace závislý na přežití semen přes zimu je podle (3.5) M/22) = d2i(b22Cu + 632^13) /22 + dn(bn ci 1/11 +b2ic12fn) a pro konkrétní zvolené hodnoty ostatních parametrů M/22) = 13/22 + 0,0325. 147 B. POPULAČNÍ MODELY 3. ITEROVANÉ LINEÁRNÍ PROCESY Poněvadž f22 = 0,1, můžeme počítat A(0,1) = 1,3325, A(0,l+As) = l,3325+13As, AA(0,1) = 13A*, takže 0,1 ľiAs e(k, 0,1) = , — = 0,976. 1,3325 As Analogicky můžeme spočítat pružnost reakce relativního přírůstku k populace na ostatních „demografických parametrech". Výsledky jsou shrnuty v tabulce parametr pružnost reakce parametr pružnost reakce bu 0,006 Cil 0,006 b2i 0,019 C12 0,244 b22 0,225 Cl3 0,751 b23 0,750 fn 0,024 dn 0,024 fn 0,976 d2i 0,976 Z ní můžeme vidět, že přírůstek k je nejvíce ovlivňován množstvím přezimujících semen (parametr d2i) a jejich přežíváním (parametr /22)-Toto zjištění není nijak překvapivé, zemědělcům je tento fakt dobře známý již od neolitu. Výsledek však ukazuje, že matematický model skutečně nějak adekvátně realitu popisuje. Další zajímavé a detailně popsané modely růstu nalezne čtenář v souboru příkladů za touto kapitolou. 3.19. Uvažujte následující Leslieho model: farmář chová ovce. Porodnost ovcí je dána pouze věkem a je průměrně 2 ovce na jednu ovci mezi jedním a dvěma lety věku, pět ovcí na ovci mezi dvěma a třemi lety věku a dvě ovce na ovci mezi třemi a čtyřmi roky věku. Ovce do jednoho roku nerodí. Z roku na rok umře vždy polovina ovcí a to rovnoměrně ve všech věkových skupinách. Po čtyřech letech posílá farmář ovce na jatka. Farmář by rád ještě prodával (živá) jehňátka do jednoho roku na kožešinu. Jakou část jehňátek může každý rok prodat, aby mu velikost stáda zůstávala z roku na rok stejná? V jakém poměru budou potom rozděleny počty ovcí v jednotlivých věkových skupinách? Řešení. Matice daného modelu (bez zásahu farmáře) je /0 2 5 2\ 0 0 0 0 \0 0 \ Oj Farmář může ovlivnit kolik ovcí do jednoho roku mu ve stádu zůstane do dalšího roku, může tedy ovlivnit prvek l\2 matice L. Zkoumáme tedy model /0 2 5 2\ a 0 0 0 0 2 o 0 o 1 2 Zkusme kvalitativně odhadnout rozložení kořenů poryli „ nomu pm. Bohužel, detaily budeme umět přesně vysvětlit a ověřit až po absolvování příslušných partií i tzv. matematické analýzy v kapitole páté a později, 1$ přesto by ale postup měl být intuitivně jasný. Vyjádříme si charakteristický polynom ve tvaru pm(k) = ±km(l-q(k)) kde q(k) = a\k~l + ■ ■ ■ + amk~m je ostře klesající a nezáporná funkce pro k > 0. Evidentně bude proto existovat právě jedno kladné k, pro které bude q(k) = 1 a tedy také pm(k) = 0. Jinými slovy, pro každou Leslieho matici existuje právě jedno kladné reálné vlastní číslo. Pro skutečné Leslieho modely populací bývají všechny koeficienty r; i /_,■ mezi nulou a jedničkou a typicky nastává situace, kdy jediné reálné vlastní číslo k\ je větší nebo rovno jedné, zatímco absolutní hodnoty ostatních vlastních čísel jsou ostře menší nezjedná. Jestliže začneme s libovolnýmn stavovým vektorem X, který bude dán jako součet vlastních vektorů X = X\ + • • • + Xm s vlastními hodnotami k{, pak při iteracích dostáváme A ■ X k\X\ + ... kkmX„ takže za předpokladu, že \kt\ < 1 pro všechna / > 2, budou všechny komponenty ve vlastních podprostorech velmi rychle mizet, kromě kompomenty kiX\. Rozložení populace do věkových skupin se tak budou rychle blížit poměrům komponent vlastního vektoru k dominantnímu vlastnímu číslu k\. Například pro matici (uvědomme si význam jednotlivých koeficientů, jsou převzaty z modelu pro chov ovcí, tj. hodnoty r zahrnují jak přirozený úhyn tak případné aktivity chovatelů na jatkách) 0.2 0 0.8 0 0 / 0 0.95 0 0 0 0.8 0 0 0.7 0 0.6 0 0 0 0.6 0\ 0 0 0 0/ 0/ vyjdou vlastní hodnoty přibližně 1.03, 0, -0.5, -0,27 + 0.74/, -0.27 -0.74/ s velikostmi 1.03, 0, 0.5, 0.78, 0.78 a vlastní vektor příslušný dominantnímu vlastnímu číslu je přibližně XT = (30 27 21 14 8). Zvolili jsme rovnou jediný vlastní vektor se součtem souřadnic rovným stu, zadává nám proto přímo výsledné procentní rozložení populace. Pokud bychom chtěli místo tříprocentního celkového růstu populace setrvalý stav a předsevzali si ujídat více ovce třeba z druhé věkové skupiny, řešili bychom úlohu, o kolik 148 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3.1í máme zmenšit r2, aby bylo dominantní vlastní číslo rovno jedné. 3.19. Matice s nezápornými prvky. Reálné matice, které nemají žádné záporné prvky mají velmi speciální vlastnosti. Zároveň jsou skutečně časté v praktických modelech. Naznačíme proto teď proto tzv. Perronovu-Frobeniovu teorii, která se výsledků Perrona, k právě takovým maticím věnuje. obecnější situaci se Začneme definicí několika pojmů, abychom mohli naše vůlfc úvahy vůbec formulovat. nedopracujeme. ^ . f «| Kladné a primitivní matice [ tady by se hodilo trochu historie, vlastně jen naznačíme část Definice. Za kladnou matici budeme považovat takovou čtvercovou matici A, jejíž všechny prvky jsou reálné a ostře kladné. Primitivní matice je pak taková čtvercová matice A, jejíž nějaká mocnina Ak je kladná. inspirováno materiálem na webu, viz http://www-users.math.umd.edu/ ~mmb/475/spec.pdf Připomeňme, že spektrálním poloměrem matice A nazýváme maximum absolutních hodnot všech jejích (komplexních) vlastních čísel. Spektrálním poloměrem lineárního zobrazení na (konečněrozměrném) vektorovém prostoru rozumíme spektrální poloměr jeho matice v některé bázi. Normou 2 matice AeP nebo vektoru x e W1 rozumíme součet absolutních hodnot všech jejich prvků. U vektorů x píšeme pro jejich normu \x\. Následující výsledek je mimořádně užitečný a snad i dobře srozumitelný. Jeho důkaz se svou náročností dosti vymyká této učebnici, uvádíme ale alespoň jeho stručný nástin. Pokud by čtenář měl problém s plynulým čtení nástinu důkazu, doporučujeme jej přeskočit. Věta (Perronova). Jestliže je A primitivní matice se spektrálním poloměrem ÄeK, pak je X jednoduchým kořenem charakteristického polynomu matice A, který je ostře větší než absolutní hodnota kteréhokoliv jiného vlastního čísla matice A. K vlastnímu číslu X navíc existuje vlastní vektor x s výhradně kladnými prvky x;-. Náznak důkazu. V důkazu se budeme opírat o intuici - r^gró elementární geometrie. Částečně budeme pou-^ " "' žité koncepty upřesňovat už v analytické geometrii ve čtvrté kapitole, některé analytické aspekty budeme studovat podrobněji v kapitolách páté a později, přesné důkazy některých analytických kroků v této učebnici nepodáme vůbec. Snad budou následující úvahy nejen osvětlovat dokazovaný teorém, ale budou také samy o sobě motivací pro naše další studium geometrie i matematické analýzy. Začneme docela srozumitelně znějícím pomocným lemmatem: Lemma. Uvažme libovolný mnohostěn P obsahující počátek 0 e W1. Jestliže nějaká iterace lineárního zobrazení Ý : M" -» W1 zobrazuje P do jeho vnitřku, pak je spektrální poloměr zobrazení Ý ostře menší než jedna. a hledáme a tak, aby daná matice měla vlastní hodnotu 1 (víme, že má pouze jednu reálnou kladnou). Charakteristický polynom této matice je X - 2aX2 5 1 -X - -, 2 2 j (dosadíme za X číslo To OVC1' požadujeme-li, aby měl kořen 1, musí být a 1 a položíme rovno nule). Farmář tedy může prodat ^ které se mu v daný rok narodí. Odpovídající vlastní vektor k vlastnímu číslu 1 dané matice je (20, 4, 2, 1) a v těchto poměrech se taky ustálí populace ovcí. □ 3.20. Uvažujme Leslieho model růstu pro populaci krys, které máme rozděleny do tří věkových skupin: do jednoho roku, od jednoho do dvou let a od dvou let do tří. Předpokládáme, že se žádná krysa ne-dožívá více než tří let. Průměrná porodnost v jednotlivých věkových skupinách připadajících na jednu krysu je následující: v 1.skupině je to nula a ve druhé i třetí 2 krysy. Krysy, které se dožijí jednoho roku umírají až po druhém roce života (úmrtnost ve druhé skupině je nulová). Určete úmrtnost v první skupině víte-li, že daná populace krys stagnuje (počet jedinců v ní se nemění). C. Markovovy procesy 3.21. Mlsný hazardér. Hazardní hráč sází na to, která strana mince padne. Na začátku hry má tři kremrole. Na každý hod vsadí jednu kremroli a když jeho tip vyjde, tak k ní získá jednu navíc, pokud ne, tak kremroli prohrává. Hra končí, pokud všechny kremrole prohraje, nebo jich získá pět. Jaká je pravděpodobnost, že hra neskončí po čtyřech sázkách? Řešení. Před 7-tým kolem (sázkou) můžeme popsat stav, ve kterém se hráč nachází náhodným vektorem Xj = (Mí), PiU), Pid), PsU), P4(j), PsU)), kde pi je pravděpodobnost, že hráč má i kremroli. Pokud má hráč před 7-tou sázkou i kremroli (i=2,3,4), tak po sázce má s poloviční pravděpodobností (i — 1) kremroli a s poloviční pravděpodobností (z + 1) kremroli. Pokud dosáhne pěti kremroli nebo všechny prohraje už se počet kremroli nemění. Vektor Xj+\ tak získáme podle podmínek v přiklání z Xj vynásobením maticí (\ 0 0,5 0 0 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0,5 0 0,5 0 0 0 0 0,5 0 0,5 0 0 0 0 0,5 0 0,5 0\ 0 0 0 o 149 C. MARKOVOVY PROCESY 3. ITEROVANÉ LINEÁRNÍ PROCESY X, Na začátku máme M o x - 0 o w po čtyřech sázkách bude situaci popisovat náhodný vektor 3_ 16 0 _5_ 16 0 \V tedy pravděpodobnost, že hra skončí do čtvté sázky (včetně) je polovina. Všimněme si ještě, že matice A popisující vývoj pravděpodobnostního vektoru X je pravděpodobnostní, tedy má součet prvků v každém sloupci 1. Nemá ale vlastnost vyžadovanou v Perronově-Frobeniově větě a snadným výpočtem zjistíte (nebo přímo uvidíte bez počítání), že existují dva lineárně nezávislé vlastní vektory příslušné k vlastnímu číslu 1 - případ, kdy hráči nezůstane žádná krémrole, tj. x = (1, 0, 0, 0, 0, 0)T, nebo případ kdy získá 5 krémrolí a hra tím pádem končí a všechny mu už zůstávají, tj. x = (0, 0, 0, 0, 0, 1)T. Všechna ostatní vlastní čísla (přibližně 0, 8, 0, 3, —0, 8, —0, 3) jsou v absolutní hodnotě ostře menší nezjedná. Proto komponenty v příslušných vlastních podprostorech při iteraci procesu s libovolnou počáteční hodnotou vymizí a proces se blíží k limitní hodnotě pravděpodobnostího vektoru tvaru (a, 0, 0, 0, 0, l—a), kde hodnota a závisí na počtu krémrolí, se kterými hráč začíná. V našem případě je to a = 0, 4, kdyby začal se 4 krémrolemi, bylo by to a = 0, 2 atd. □ 3.22. Půjčovna aut. Firma půjčující každý týden auta má dvě pobočky -jednu v Brně a jednu v Praze. Auto zapůjčené v Brně lze vrátit i v Praze a naopak. Po čase se zjistilo, že na konci týdne je vždy v Praze vráceno zhruba 80 % z aut vypůjčených v Praze a 90 % z aut vypůjčených v Brně. Jak je potřeba rozdělit auta mezi pobočky, aby na obou byl na začátku týdne vždy stejný počet aut jako předchozí týden? Jak bude vypadat situace po jisté dlouhé době, pokud jsou auta mezi pobočky na začátečátku náhodně rozdělena? Řešení. Hledaný začáteční počet aut v Brně označme xB a v Praze xP. Stav rozmístění aut mezi pobočkami je tedy popsán vektorem x = ( Xb ). Uvážíme-li takový násobek vektoru x, že součet jeho \xpj složek je 1, pak dávají jeho složky procentuální rozmístění aut. Uvažme matici A zobrazení ý ve standardní bázi. Protože vlastní čísla Ak jsou k-té mocniny vlastních čísel matice A, můžeme rovnou bez újmy na obecnosti předpokládat, že samotné zobrazení ý již zobrazuje P do vnitřku P. Zjevně tedy nemůže mít ý žádnout vlastní hodnotu s absolutní hodnotou větší než jedna. Důkaz dále povedeme sporem. Předpokládejme, že existuje vlastní hodnota k s |A| = 1. Máme tedy dvě možnosti. Buď je kk = 1 pro vhodné k nebo takové k neexistuje. Obrazem f je uzavřená množina (to znamená, že pokud se body v obrazu budou hromadit k nějakému bodu jvK", bude y opět v obrazu) a hranici P tento obraz vůbec nepro-tíná. Nemůže tedy mít ý pevný bod na hranici P ani nemůže existovat žádný bod na hranici, ke kterému by se mohly libovolně blížit body v obrazu. První argument vylučuje, že by nějaká mocnina k byla jedničkou, protože to by takový pevný bod na hranici P jistě existoval. Ve zbývajícím případě jistě existuje dvourozměrný podprostor WcR",na nějž se ý zužuje coby rotace o iracionální argument a jistě existuje bod y v průniku W s hranicí P. Pak by ale byl bod y libovolně přesně přiblížen body z množiny \/r (y) při průchodu přes všechny iterace a tedy by musel sám být také v obrazu. Došli jsme tedy ke sporu a lemma je ověřeno. Nyní se dáme do důkazu Perronovy věty. Naším prvním krokem bude ověření existence vlastního vektoru, který má všechny prvky kladné. Uvažme za tím účelem tzv. standardní simplex S = {x = (x\, ..., xn)T, \x\ = l,Xi > 0, i = 1, ... ,n}. Protože všechny prvky v matici A jsou nezáporné, obraz A ■ x bude mít samé nezáporné souřadnice stejně jako x a alespoň jedna z nich bude vždy nenulová. Zobrazení x h-» \A ■ x\~l(A ■ x) proto zobrazuje S do sebe, Toto zobrazení S ^ S splňuje všechny předpoklady tzv. Browerovy věty Určitě budeme chtít o pevném bodě a proto existuje vektor y e S takový, že je mít později v , . , u t> i ' ~ analýze něco víc o tímto zobrazením zobrazen sam na sebe. To ale znamená, ze větách o pevném bodě. Tady dplníme A ■ y = k y, k = \A ■ y\ a našli jsme vlastní vektor, který leží v S. Protože ale má nějaká mocnina Ak podle našeho předpokladu samé kladné prvky a samozřejmě je také Ak ■ y = kky, všechny souřadnice vektoru y jsou ostře kladné (tj. leží ve vnitřku S) a k > 0. Abychom dokázali zbytek věty, budeme uvažovat zobrazení zadané maticí A ve výhodnější bázi a navíc ho vynásobíme konstantou k~l: B = k'HY'1 ■ A-Y), kde Y je diagonální matice se souřadnicemi yt právě nalezeného vlastního vektoru y na diagonále. Evidentně je B také primitivní matice a navíc je vektor z = (1, ..., l)r jejím vlastním vektorem, protože zjevně Y ■ z = y. Jestliže nyní dokážeme, že \i = 1 je jednoduchým kořenem charakteristického polynomu matice B a všechny ostatní odkaz!! 150 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET kořeny mají absolutní hodnotu ostře menší než jedna, bude Perronova věta dokázána. K tomu se nám teď bude hodit dříve dokázané pomocné lemma. Uvažujme matici B jako matici lineárního zobrazení, které zobrazuje řádkové vektory (Ui Un) \—> U • B tj. pomocí násobení zprava. Díky tomu, že je z = (1, ..., 1)T vlastním vektorem matice B, je součet souřadnic řádkového vektoru v Uibi> =J2Ui = 1> kdykoliv je u e S. Proto toto zobrazení zobrazuje simplex S na sebe a má také jistě v S vlastní (řádkový) vektor w s vlastní hodnotou jedna (pevný bod, opět dle Browerovy věty). Protože nějaká mocnina Bk obsahuje samé ostře pozitivní prvky, je nutně obraz simplexu S v k-té iteraci zobrazení daného B uvnitř S. To už jsme blízko použití našeho lematu, které jsme si pro důkaz připravili. Budeme i nadále pracovat s řádkovými vektory a označme si P posunutí simplexu S do počátku pomocí vlastního vektoru w, který j sme právě našli, tj. P = —w+S. Evidentně je P mnohostěn obsahující počátek a vektorový podprostor V C M" generovaný f je invariantní vůči působení matice B pomocí násobení řádkových vektorů zprava. Zúžení našeho zobrazení na P tedy splňuje předpoklady pomocného lemmatu a proto nutně musí být všechny jeho vlastní hodnoty v absolutní hodnotě menší nezjedná. Ještě se musíme vypořádat se skutečností, že právě uvažované zobrazení je dáno násobením řádkových vektorů zprava maticí B (zatímco nás původně zajímalo chování zobrazení, zadaného maticí B pomocí násobení sloupcových vektorů zleva). To je ale ekvivalentní násobení transponovaných sloupcových vektorů transponovanou maticí B obvyklým způsobem zleva. Dokázali jsem tedy vlastně potřebné tvrzení o vlastních číslech pro matici transponovanou k naší matici B. Transponování ale vlastní čísla nemění. Dimenze prostoru V je přitom n — 1, takže důkaz věty je ukončen. □ 3.20. Jednoduché důsledky. Následující velice užitečné tvrzení má při znalosti Perronovy věty až překvapivě jednoduchý důkaz a ukazuje, fažb^ jak silná je vlastnost primitívnosti matice zobrazení. Důsledek. Jestliže A = (útý) je primitivní matice a x e W její vlastní vektor se všemi souřadnicemi nezápornými a vlastní hodnotou k, pak k > Oje spektrální poloměr A. Navíc platí n n min/g {i, ...,„} ^2clíj 00 blíží nule a proto se stav ustálí na a ^j' , tedy složce počátečního vektoru ve směru prvního vlastního vektoru. Koeficient a lze jednoduše vyjádřit pomocí počátečních počtů aut: a = ^±f^. □ 3.23. Sledovanost televizí. V jisté zemi vysílají jisté dvě televizní stanice. Z veřejného výzkumu vyplynulo, že po jednom roce přejde 1 /6 diváků první stanice ke druhé stanici, 1 /5 diváků druhé stanice přejde k první stanici. Popište časový vývoj počtu diváků sledujících dané stanice jako Markovův proces, napište jeho matici, nalezněte její vlastní čísla a vlastní vektory. 3.24. Studenti na přednášce. Studenty můžeme rozdělit řekněme do tří skupin - na ty, co jsou přítomni na přednášce a vnímají, na ty, co jsou rovněž přítomni, ale nevnímají a na ty, co sedí místo přednášky v hospodě. Nyní budeme hodinu po hodině sledovat, jak se mění počty studentů v těchto skupinách. Základem je vypozorovat, jaké jsou jednotlivé pravděpodobnosti změn stavu studenta. Dejme tomu, že by to mohlo být následovně: 151 C. MARKOVOVY PROCESY 3. ITEROVANÉ LINEÁRNÍ PROCESY Ruleta Student, který vnímá: s pravděpodobností 50% zůstane vnímat, 40% přestane vnímat a 10% odejde do hospody. Student, který je na přednášce a nevnímá: začne vnímat s pravděpodobností 10%, zůstane ve stejném stavu 50%, odejde do hospody 40%. Student, který sedí v hospodě má nulovou pravděpodobnost, že se vrátí na přednášku. Jak se bude tento model vyvíjet v čase? Jak se situace změní, pokud budeme předpokládat aspoň desetiprocentní pravděpodobnost toho, že se student vrátí z hospody na přednášku (tu ovšem samozřejmě nevnímá)? Řešení. Ze zadání se jedná o Markovovův proces s ma-/0,5 0,1 0\ ticí I 0,4 0,5 0 I. Její charakteristický polynom je b, \0, 1 0,4 1/ (0,5 - k)2(l - k) - 0, 4(1 — k) = 0. Evidentně je tedy 1 vlastní číslo této matice (další kořeny jsou pak 0,3 a 0,7). Postupem času se tedy studenti rozdělí do skupin tak, že stav bude popsán příslušným vlastním vektorem. Ten je řešením rovnice -0,5 0,1 0\ /x\ 0, 4 —0, 5 0 I j y I = 0, což jsou právě násobky vektoru 0, 1 0,4 0/ \z) (0.0.1). Jinými slovy, všichni studenti po čase skončí v hospodě. Tento výsledek je zřejmý i bez počítání - tím, že je nulová pravděpodopnost odchodu studenta do školy, se budou studenti postupně hromadit v hospodě. Přidáním desetiprocentní možnosti odchodu studenta do školy se toto změní. Příslušná matice bude '0, 5 0, 1 0 \ 0, 4 0, 5 0, 1 I. Opět platí, že se stav usáli na vlastním vektoru v0, 1 0,4 0,9/ příslušnému vlastnímu číslu 1. Ten je v tomto případě řešením rovnice | 3.20 -0,5 0, 1 0 \ íx 0,4 -0,5 0, 1 y | = 0 0, 1 0, 4 -0, 1 / \z Řešením je například vektor (1, 5, 21). Poměrné rozložení studentů v jednotlivých skupinách pak dá násobek tohoto vektoru, který má součet složek roven 1, tj. vektor J=, |^). Opět tedy většina studentů ^27' 27' 27^ skončí v hospodě, někteří ale ve škole budou. □ 3.25. Ruleta. Hráč rulety má následující strategii: přišel hrát se 100 Kč. Vždy všechno, co aktuálně má. Sází vždy na černou (v ruletě je 37 čísel, z toho je 18 černých, 18 červených a nula). Hráč skončí, pokud nic nemá, nebo pokud získá 800 Uvažte tuto úlohu jako Markovův proces a napište jeho matici. Řešení. V průběhu a na konci hry může mít hráč pouze následující peněžní obnosy (v Kč): 0,100,200,400, 800. Budeme-li nadanou situaci nahlížet jako na Markovův proces, toto budou jeho stavy a snadno také Důkaz. Uvažme vlastní vektor x z dokazovaného tvrzení. Protože je A primitivní, můžeme zvolit pevně k tak, aby Ak už měla samé pozitivní prvky, a pak je samozřejmě i Ak -x = kkx vektor se samými ostře kladnými souřadnicemi. Nutně proto je k > 0. Z Perronovy věty víme, že spektrální poloměr \i je vlastním číslem a zvolme takový vlastní vektor y k \i, že rozdíl x — y má samé kladné souřadnice. Potom nutně pro všechny mocniny n 0 < A" • (x - y) = k"x - n"y, ale zároveň platí k < \i. Odtud již vyplývá k = \i. Zbývá odhad spektrálního poloměru pomocí minima a maxima součtů jednotlivých sloupců matice. Označme je min a bmax, zvolme za x vektor se součtem souřadnic jedna a počítejme: n n i,j=l i = l n / n \ n k = / ' I / ' d i j J x j < ^ ' bmaxXj = bmax 7=1 \' = 1 ' 7=1 n / n \ n i— 1 V' — 1 ' 1 7=1 xí = l 7=1 □ Všimněme si, že např. všechny Leslieho matice z 3.18, kde jsou všechny uvažované koeficienty /) a r j ostře kladné, jsou primitivní a tedy na ně můžeme plně použít právě odvozené výsledky. Perronova-Frobeniova věta je zobecněním Perronovy věty na obecnější matice, které tu nebudeme uvádět. Další informace lze najít např. 99 odkaz do literatury i na dalsi využiti... 3.21. Markovovy řetězce. Velice častý a zajímavý případ lineárních procesů se samými nezápornými prvky v matici je matematický model systému, který se může nacházet v m různých stavech s různou pravděpodobností. V jistém okamžiku je systém ve stavu i s pravděpodobností x; a k přechodu z možného stavu i do stavu j dojde s pravděpodobností ř;j. Můžeme tedy proces zapsat takto: V čase n je systém popsán pravděpodobnostním vektorem (ui(n), um(n)) To znamená, že všechny komponenty vektoru x jsou reálná nezáporná čísla a jejich součet je roven jedné. Komponenty udávají rozdělení pravděpodobnosti jednotlivých možností stavů systému. Rozdělení pravděpodobností pro čas n + 1 bude dáno vynásobením pravděpodobnostní maticí přechodu T = (tu), tj. -"-«+1 = T • xn. Protože předpokládáme, že vektor x zachycuje všechny možné stavy a proto s celkovou pravděpodobností jedna 152 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET přejde opět do některého z nich, budou všechny sloupce matice T tvořeny také pravděpodobnostními vektory. Takovému procesu říkáme (diskrétní) Markovův proces a výsledné posloupnosti vektorů x0, x\, ... říkáme Markovův řetězec x„. Všimněme si, že každý pravděpodobnostní vektor x je skutečně Markovovým procesem zobrazen na vektor se součtem souřadnic jedna: sestavíme jeho matici: 1. Nyní můžeme v plné síle použít Perronovu-Frobeniovu teorii. Protože je součet řádků matice T vždy roven vektoru (1, ..., 1), je zcela elementárně vidět, že matice T — E je singulární a jednička proto bude zaručeně vlastním číslem matice T. Pokud je navíc T primitivní matice (tj. např. když jsou všechny prvky nenulové), z Důsledku 3.20 víme, že je jednička jednoduchým kořenem charakteristického polynomu a všechny ostatní mají absolutní hodnotu ostře menší než jedna. Věta. Markovovy procesy s maticí, která nemá žádné nulové prvky nebo jejíž některá mocnina má tuto vlastnost, splňují: • existuje jediný vlastní vektor x ^ pro vlastní číslo 1, který je pravděpodobnostní, • iterace Tkxq se blíží k vektoru xm pro jakýkoliv počáteční pravděpodobnostní vektor xq. Důkaz. První tvrzení vyplývá přímo z kladnosti souřadní „ nic vlastního vektoru dovozené v Perronově větě. Předpokládejme nejprve, že jsou algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel matice T stejné. Pak každý pravděpodobnostní vektor x0 můžeme (v komplexním rzšíření C") napsat jako lineární kombinaci X0 = CiXoo + c2u2 H-----h cnun, kde u2 ... ,un doplňují x^ na bázi z vlastních vektorů. Pak ovšem /c-násobná iterace dává opět pravděpodobnostní vektor Xk T ■ x0 = CiXoo + X2c2u2 H-----\-Xnc„u„. Protože jsou všechna vlastní čísla X2, ■ ■ ■ X„ v absolutní hodnotě ostře menší nezjedná, všechny komponenty vektoru xk, kromě té první, se velmi rychle blíží v normě k nule. Přitom ale je stále xk pravděpodobnostní, takže musí být ci = 1 a druhé tvrzení máme ověřeno. Ve skutečnosti ale i při různé algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel dojdeme ke stejnému závěru pomocí podrobnějšího studia tzv. kořenových podprostorů pro matici T, ke kterým se dostaneme v souvislosti s tzv. Jordánovým rozkladem matic ještě v této kapitole, viz poznámka 3.33. (\ 0 0 0 a 0 b 0 0 a 0 0 a 0\ 0 0 o o o o yO 0 0 b 1/ kde a = || a b = || .Všimněme si, že matice je pravděpodobnostní a singulární. Vlastní hodnota 1 je dvojnásobná. Hra nebude konvergovat k jedinému vektoru Xoo, nýbrž skončí na jednom z vlastních vektorů příslušných vlastní hodnotě 1, totiž (1, 0, 0, 0, 0) (hráč prohraje vše), nebo (0, 0, 0, 0, 1) (hráč vyhraje 800 Kč). Navíc snadno nahlédneme, že hra skončí po třech sázkách, tedy posloupnost {A" }™=1, je konstantní pro n > 3: a + ab + ab2 a + ab a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A" (\ 0 o o o\ o o o b 1/ a snadno zjistíme, že hra skončí s pravděpodobností a + ab + ab2 = 0, 885 prohrou a s pravděpodobností cca 0, 115 výhrou 800 Kč. (Maticí A°° vynásobíme počáteční vektor (0, 1, 0, 0, 0) a dostáváme vektor (a + ab + ab2, 0, 0, 0, b3).) □ 3.26. Uvažujme situaci z předchozího případu a předpokládejme, že pravděpodobnost výhry i prohry je 1/2. Označme matici procesu A. Bez použití výpočetního software určete A100. 3.27. Roztržitý profesor. Uvažujme následující situaci: Roztržitý profesor s sebou nosí deštník, ale s pravděpodobností 1 /2 jej zapomene tam, odkud odchází. Ráno odchází do práce. V práci chodí na oběd do restaurace a zpět. Po skončení práce odchází domů. Uvažujme pro jednoduchost, že nikam jinam po dostatečně dlouhou dobu profesor nechodí a že v restauraci zůstává deštník na profesorově oblíbeném místě, odkud si ho může následující den vzít (pokud nezapomene). Uvažte tuto situaci jako Markovův proces a napište jeho matici. Jaká je pravděpodobnost, že se po mnoha dnech po ránu deštník bude nalézat v restauraci? (Je vhodné za časovou jednotku vzít jeden den - od rána do rána.) Řešení. '11/16 3/8 l/4> 3/16 3/8 1/4 1/8 1/4 1/2, Spočítejme třeba prvek a\, tedy pravděpodobnost, že deštník začne den doma a skončí doma (bude tam i druhý den ráno): deštník může putovat třemi disjunktními cestami: D Profesor ho hned ráno zapomene doma: pľ = ^. 153 C. MARKOVOVY PROCESY 3. ITEROVANÉ LINEÁRNÍ PROCESY DPD Profesor si ho vezme do práce, pak ho zapomene vzít na oběd a poté ho večer odnese domů: P2 = _■_■_ = DPRPD Profesor bere deštník všude a nikde ho nezapomene: p3 = III 2 ' 2 ' 2 j_ 16" 16" 3.21 Celkem a\ = p\ + p2 + p3 Vlastní vektor této matice příslušný dominantní vlastní hodnotě 1 je (2, 1, 1), je tedy hledaná pravděpodobnost 1/(2 + 1 + 1) = 4. □ 3.28. Algoritmus na určování důležitosti stránek. Internetové vyhledávače umí na internetu vyhledat (skoro) všechny stránky obsahující dané slovo či frázi. Jak ale setřídit vyhledané stránky tak, aby uživatel dostal pokud možno seznam seřazený podle relevance daných stránek? Jednou z možností je následující algortitmus: soubor všech nalezených stránek považujme za systém a každou z nalezených stránek za jeden z jeho možných stavů. Popíšeme náhodné procházení těchto stránek jako Markovův proces. Pravděpodobnosti přechodu mezi jednotlivými stránkami jsou dány odkazy: každý odkaz, řekněme ze stránky A na stránku B určuje pravděpodobnost (l/(celkový počet odkazů ze stránky A)), se kterou se dostaneme ze stránky A na stránku B. Pokud z některé stránky nevedou žádné odkazy, tak ji uvažujeme jako stránku, ze které vedou odkazy na všechny ostatní. Tímto dostaneme pravděpodobnostní matici M (prvek m;i odpovídá pravděpodobnosti, se kterou se dostaneme z i-té stránky na j-tou). Bude-li tedy člověk náhodně klikat na odkazy v nalezených stránkách (pokud se dostane na stránku, ze které nevede odkaz, vybere si náhodně další), tak pravděpodobnost toho, že se v daný okamžik (dostatečně vzdálený od počátku klikání) bude nalézat na i-té stránce odpovídá i-té složce jednotkového vlastního vektoru matice M, odpovídajícího vlastnímu číslu 1. Podle velikosti těchto pravděpodobností pak určíme důležitost jednotlivých stránek. Tento algoritmus lze modifikovat tím, že budeme předpokládat, že uživatel po nějaké době přestane klikat z odkazu na odkaz a opět začne náhodně na nějaké nové stránce. Řekněme, že s pravděpodobností d vybere náhodně novou stránku a s pravděpodobností (1-d). V takovéto situaci je nyní pravděpodobnost přechodu mezi libovolnými dvěma stránkami 5; a S j nenulová, je to totiž d/n+(l-d)/(celkový počet odkazů ze stránky Si), pokud ze stránky 5; vede odkaz na Sj, pokud ne, tak je tato pravděpodobnost d/n (1/n, pokud z 5; nevedou žádné odkazy), podle Frobeniovy-Perronovy věty je vlastní hodnota 1 jednonásobná a dominantní, takže jí odpovídající vlastní vektor je jediný (pokud bychom volili pravděpodobnosti přechodu pouze způsobem z předchozího odstavce, tak by tomu tak nemuselo být). I v obecném případě totiž dostaneme k vlastnímu podpro-storu (jcqo) jednoznačně určený invariantní (n—l)-rozměrný komplement, na kterém už všechna vlastní čísla jsou v absolutní hodnotě menší než jedna a proto se příslušná komponenta v xk také bude neomezeně blížit k nule jako výše. □ 3.22. Iterace stochastických matic. Matice Markovových procesů, tj. matice jejichž všechny sloupce mají součet svých komponent roven jedné se nazývají stochastické matice. Standardní úlohy spojené s Markovovými procesy zahrnují odpovědi na otázky po očekávané střední době přechodu mezi předem určenými stavy systému apod. Momentálně nejsme na řešení vymazat příslib, 4.^ 1 4. 'i 1 v • '.' 1 1 pokud to nenastane, těchto uloh pripravení, vrátíme se ale k teto tematice později. _ nahradit odkazem Přeformulujeme předchozí větu do jednoduchého, ale asi do literatury docela překvapivého důsledku. Konvergencí k limitní matici v následujcím tvrzení myslíme skutečnost, že když si předem určíme možnou chybu e > 0, tak najdeme hranici na počet iterací k po níž už všechny komponenty uvedené matice se od té limitní budou lišit o méně než e. Důsledek. Nechť T je primitivní stochastická matice z Mar-kovova procesu a xm je stochastický vlastní vektor k dominantnímu číslu 1 jako ve větě výše. Pak iterace Tk konvergují k limitní matici T^, jejíž všechny sloupce jsou rovny im. Důkaz. Sloupce v matici Tk jsou obrazy vektorů standardní báze v příslušném iterovaném lineárním zobrazení. To ale jsou obrazy pravděpodobnostních vektorů a proto všechny konvergují k x^. □ Nyní se ještě na rozlučku s Markovovými procesy zamyslíme nad problémem, zda existují pro daný systém stavy, do kterých se má systém tendenci dostat a setrvat v nich. O stavu systému řekneme, že je přechodový, jestliže v něm systém setrvává s pravděpodobností ostře menší než jedna. Za absorbční označíme stav, ve kterém systém setrvává s pravděpodobností 1, a do kterého se lze dostat s nenulovou pravděpodobností z kteréhokoliv z přechodových stavů. Konečně, Markovův řetězec xn je absorpční, jestliže jsou jeho všechny jeho stavy buď absorpční nebo přechodové. Je-li v absorpčním Markovově řetězci prvních r stavů systému absorpčních, pro stochastickou matici T systému to znamené, že se rozpadá na „blokově" horní trojúhelníkový tvar 'E Rs ,0 ô, kde E je jednotková matice, jejíž rozměr je dán počtem absorpčních stavů, zatímco R je kladná matice a Q nezáporná. V každém případě iteracemi této matice budeme pořád dostávat stejný blok nulových hodnot v levém dolním bloku a tedy zcela jistě nebude primitivní, např. R + R Q2 Q 154 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3.30 I o takových maticích lze získat hodně informací pomocí plné Perronovy-Frobeniovy teorie a se znalostí pravděpodobnosti a statistiky také odhadovat střední doby, po kterých se systém dostane do jednodo z abosrpčních stavů apod. 4. Více maticového počtu Na vcelku praktických příkladech jsme viděli, že porozumění vnitřní struktuře matic a jejim vlastnostem je silným nástrojem pro konkrétní výpočty nebo analýzy. Ještě více to platí pro efektivitu numerického počítání s maticemi. Proto se budeme zase chvíli věnovat abstraktní teorii. Budeme přitom zkoumat další speciální typy lineárních zobrazení na vektorových prostorech ale také obecný případ, kdy je struktura zobrazení popsána tzv. Jordánovou větou. 3.23. Unitární prostory a zobrazení. Už jsme si zvykli, že je užitečné pracovat rovnou v číselném oboru komplexních čísel a to i v případě, kdy nás zajímají jen reálné objekty. Navíc v mnohých oblastech jsou komplexní vektorové prostory nutnou součástí úvah. Jasným příkladem je například tzv. kvantové počítání, které se stalo velmi akční oblastí teoretické informatiky, přestože kvantové počítače zatím zkonstruovány ve funkční podobě nebyly. Proto navážeme na ortogonální zobrazení a matice z konce druhé kapitoly následující definicí: Unitární prostory | ^ Definice. Unitární prostor je komplexní vektorový prostor V spolu se zobrazením V x V -» C, (u, v) h» u ■ v, které splňuje pro všechny vektory u,v,w e V a skaláry a e C (1) u ■ v = v ■ u (zde pruh značí komplexní konjugaci), (2) (au) ■ v = a(u ■ v), (3) (u + v) ■ w = u ■ w + v ■ w, (4) je-li íí / O, pak u ■ u > 0 (zejména je výraz reálný). Toto zobrazení nazýváme skalární součin na V. Reálné číslo y/v ■ v nazýváme velikostí vektoru v a vektor je normovaný, jestliže má velikost jedna. Vektory u a. v nazýváme ortogonální, jestliže je jejich skalární součin nulový, bázi sestavenou z po dvou ortogonálních a normovaných vektorů nazýváme ortonormální báze V. Na první pohled jde o rozšíření definice euklidovských vektorových prostorů do komplexního oboru. Nadále budeme také používat alternativní značení (u,v) pro sklární součin vektorů u a. v. Zcela stejně jako v reálném oboru také okamžitě z definice vyplývají následující jednoduché vlastnosti skalárního součinu pro všechny vektory ve y a skaláry M Pro názornost uvažme stránky A, B, C a D. Odkazy vedou z A na B a na C, z B na C a z C na A, z D pak nikam. Uvažujme, že pravděpodobnst toho, že uživatel náhodně zvolí novou stránku je 1/5. Potom by matice M vypadala následovně: /1/20 1/20 17/20 l/4\ 9/20 1/20 1/20 1/4 9/20 17/20 1/20 1/4 \l/20 1/20 1/20 1/4/ Vlastní vektor příslušný vlastní hodnotě 1 je (305/53, 175/53, 315/53, 1), důležitost stránek tedy bude stanovena v pořadí podle velikosti jeho odpovídajících složek, tedy C > A > B > D. 3.29. Na základě teploty ve 14.00 se rozdělují dny na teplé, průměrné a chladné. Dle celoročních statistik následuje po teplém dni teplý v polovině případů a průměrný ve 30 % případů, po průměrném dnu průměrný ve 40 % případů a chladný ve 30 % případů, po chladném dnu chladný v polovině případů a ve 30 % případů průměrný. Bez dalších informací zjistěte, kolik lze během roku očekávat teplých, průměrných a chladných dnů. Řešení. Pro každý den musí nastav právě jeden ze stavů „teplý den", „průměrný den", „chladný den". Pokud vektor xn má za složky pravděpodobnosti toho, že jistý (označený jako n-tý) den bude teplý, průměrný, chladný (při zachování pořadí), potom složky vektoru /0,5 0,3 0,2\ xn+l = 0, 3 0, 4 0, 3 • x„ \0,2 0,3 0,5/ udávají postupně pravděpodobnosti, že následující den bude teplý, průměrný, chladný. Pro ověření stačí dosadit /i\ M x„ = 0 , x„ = 1 , x„ = 0 W W vi. přičemž např. pro třetí volbu musíme dostat pravděpodobnosti, že po chladném dnu bude následovat teplý, průměrný, chladný (v tomto pořadí). Vidíme tak, že úloha je Markovovým řetězcem s pravděpodobnostní maticí přechodu ^0,5 0,3 0,2> 0,3 0,4 0,3 v0,2 0,3 0,5, Neboť jsou všechny prvky této matice kladné, existuje pravděpodobnostní vektor Xqo = {Xqo , * W mezi unitárními prostory se nazývá unitární zobrazení, jestliže pro všechny vektory u, v e V platí u ■ v = cp(u) ■ cp(v). Unitární isomorfismus je bijektivní unitární zobrazení. 3.24. Vlastnosti prostorů se skalárním součinem. Ve stručné diskusi euklidovských prostorů v předchozí kapitole jsme už některé jednoduché vlastnosti prostorů se skalárním součinem odvodili, důkazy v komplexním oboru jsou velmi podobné. V dalším budeme pracovat s reálnými i komplexními prostory zároveň a budeme psát K pro M nebo C, v reálném případě je konjugace prostě identické zobrazení (tak jak skutečně zúžení konjugace na reálnou přímku v komplexní rovině je). Stejně jako u reálných prostorů definujeme obecně pro libovolný vektorový podprostor U C V v prostoru se skalárním součinem jeho ortogonální doplněk U~L = {v € V; u ■ v = 0 pro všechny u e U}, což je zjevně také vektorový podprostor ve V. Budeme v dalších odstavcích pracovat výhradně s ko-nečněrozměrnými unitárními nebo euklidovskými prostory. Řada našich výsledků ale má přirozené rozšíření pro tzv. Hil-bertovy prostory, což jsou jisté nekonečněrozměrné prostory 156 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET se skalárním součinem, ke kterým se aspoň stručně vrátíme později. Tvrzení. Pro každý konečněrozměrný prostor V dimenze n se skalárním součinem platí: (1) Ve V existuje ortonormální báze. (2) Každý systém nenulových ortogonálních vektorů ve V je lineárně nezávislý a lze jej doplnit do ortogonální báze. (3) Pro každý systém lineárně nezávislých vektorů (iii, ..., iik) existuje ortonormální báze (vi,...,v„) taková, že její vektory postupně generují stejné podpro-story jako vektory uj, tzn. (v\, ..., v i) = (u\ ..., Uj), 1 < i < k. (4) Je-li (u\, ..., u„) ortonormální báze V, pak souřadnice každého vektoru u e V jsou vyjádřeny vztahem u = (u ■ +••• + («• un)un. (5) V libovolné ortonormální bázi má skalární součin souřadný tvar u ■ v y = xxyx H-----\-xnyn kde x a y jsou sloupce souřadnic vektorů u a v ve zvolené bázi. Zejména je tedy každý n—rozměrný prostor se skalárním součinem izomorfní standardnímu euklidovskému M." nebo unitárnímu C". (6) Ortogonální součet unitárních podprostorů V\ +■ ■ ■ + V* ve V je vždy přímý součet. (7) Je-li A C V libovolná podmnožina, pak A1- C V je vektorový (tedy i unitární) podprostor a (A-1)1- C V je právě podprostor generovaný A. Navíc platí V = (A) © A\ (8) V je ortogonálním součtem n jednorozměrných unitárních podprostorů. Důkaz. (1), (2), (3): Daný systém vektorů nejprve doplníme do libovolné báze (u\, ..., un) prostoru V a spustíme na ni Grammovu-Schmidtovu ortogo-*ft nalizaci z 2.42. Tak získáme ortogonální bázi s vlastnostmi požadovanými v (3). Přitom ale z algoritmu Grammovy-Schmidtovy ortogonalizace vyplývá, že pokud již původních k vektorů tvořilo ortogonální systém vektorů, pak v průběhu ortogonalizace zůstanou nezměněny. Dokázali jsme tedy zároveň i (2) a (1). (4): Je-li u = cl\U\ + • • • + a„u„, pak |2 u-Ui = úti(wi • u i) H-----\-an(un ■ u i) = a, || u, (5): Podobně spočteme pro libovolné vektory u ----h x„u„, v = yi«i H-----h y„u„ X\U\ + u ■ v = (x\Ui + ■ ■ ■ + x„u„) ■ (yi«i + = xiýi H-----Yxnýn. + ynu„) (6): Potřebujeme ukázat, že pro libovolnou dvojici V{, V) ze zadaných podprostorů je jejich průnik triviální. Je-li však u e Ví a zároveň u e V), pak je m _L u, tj. u ■ u =0. To je ale možné pouze pro nulový vektor u e V. zvolena střední trasa (druhý řádek) a s pravděpodobností 1 /2 bude zvolena dlouhá trasa (třetí řádek). Neboť je 1/6 1/6 1/9^ 5/12 5/12 4/9 v5/12 5/12 4/9y můžeme využít důsledků Perronovy-Frobeniovy věty pro Markovovy procesy. Není obtížné vypočítat, že vlastním vektorem, který přísluší vlastnímu číslu 1 a který je pravděpodobnostní, je právě 1 3 rT Hodnoty 1/7,3/7,3/7 pak udávají po řadě pravděpodobnosti, že v náhodně určeném dnu volí trasu krátkou, střední, dlouhou. Nechť si Jirka v jistý den (v čase n e N) vybere dlouhou trasu. Tomuto rozhodnutí odpovídá pravděpodobnostní vektor xn = (0, 0, 1)T . Pro následující den tedy platí /O 0 1/3S xn+l = 1/2 1/2 1/3 \l/2 1/2 1/3, až po sedmi dnech je xn+i = T1 ■ 0 = T6 ■ |y3 Vyčíslením dostáváme jako složky xn+1 hodnoty 0,142 861225...; 0,428 569 387...; 0,428 569 387... Tedy pravděpodobnost, že zvolí dlouhou trasu za podmínky, že si ji zvolil před sedmi dny, činí přibližně 0, 428 569 ~ 3/7 = 0, 428 571. □ 3.31. Výrobní linka nefunguje spolehlivě: jednotlivé výrobky se od sebe co do kvality nezanedbatelně liší. Navíc jistý pracovník ve snaze zvýšit kvalitu neustále zasahuje do výrobního procesu. Při rozdělení výrobků do tříd I, II, III podle kvality se zjistilo, že po výrobku třídy I následuje výrobek stejné kvality v 80 % případů a třídy II v 10 % případů, po výrobku třídy II se nezmění kvalita v 60 % případů a změní se na třídu I ve 20 % případů a že po výrobku třídy III následuje výrobek stejné kvality v polovině případů a se stejnou četností pak výrobky tříd I, II. Spočtěte pravděpodobnost, že 18. výrobek je třídy I, pokud 16. výrobek v pořadí náležel do třídy III. Řešení. Nejprve úlohu vyřešme bez uvážení Markovova řetězce. Sledovanému jevu vyhovují případy (16. výrobek je třídy III) • 17. výrobek byl zařazen do třídy I a 18. do třídy I; • 17. výrobek byl zařazen do třídy II a 18. do třídy I; 157 C. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU 3.32 • 17. výrobek byl zařazen do třídy III a 18. do třídy I po řadě s pravděpodobnostmi • 0, 25 • 0, 8 = 0, 2; • 0, 25 • 0, 2 = 0, 05; • 0, 5 • 0, 25 = 0, 125. Lehce tak získáváme výsledek 0, 375 = 0, 2 + 0, 05 + 0, 125. Nyní na úlohu nahlížejme jako na Markovův proces. Ze zadání plyne, že pořadí možných stavů „výrobek je třídy I", „výrobek je třídy II", „výrobek je třídy III" odpovídá pravděpodobnostní matice přechodu '0,8 0,2 0,25' 0, 1 0, 6 0, 25 v0, 1 0, 2 0, 5 Situaci, kdy výrobek patří do třídy III, zadává pravděpodobnostní vektor (0, 0, 1)T. Pro následující výrobek dostáváme pravděpodobnostní vektor '0,25\ /0,8 0,2 0,25^ 0,25 = 0, 1 0,6 0,25 0, 5 / \0, 1 0, 2 0, 5 a pro další výrobek v pořadí potom vektor '0,8 0,2 0, 1 0, 6 v0, 1 0, 2 jehož první složka je hledanou pravděpodobností. Doplňme, že první metoda řešení (bez zavedení Markovova procesu) vedla k výsledku zřejmě rychleji. Uvědomme si, jak výrazně by se však první metoda znepřehlednila, kdybychom např. místo 18. výrobku uvažovali 20., 22. nebo až 30. výrobek v pořadí. Ve druhé metodě se lze omezit na do jisté míry „bezmyšlenkovité" násobení (umocňování) matic. Při zavedení Markovova procesu jsme také současně vyšetřovali situace, kdy 18. výrobek náleží do tříd II a III. □ 3.32. Opakovaně házíme hrací kostkou. Napište pravděpodobnostní matici přechodu T pro Markovův řetězec „maximální počet ok dosažených do n-tého hodu včetně" pro pořadí stavů 1, ..., 6. Poté určete T" pro každé n e N. Řešení. Ihned můžeme uvést /l/6 0 0 0 0 0\ 1/6 2/6 0 0 0 0 1/6 1/6 3/6 0 0 0 1/6 1/6 1/6 4/6 0 0 1/6 1/6 1/6 1/6 5/6 0 \l/6 1/6 1/6 1/6 1/6 V (7) : Nechť u,v e A^. Pak (au + bv) ■ w = 0 pro všechny w e A, a, b e K (z distributivity skalárního součinu). Tím jsme ověřili, že A1- je unitární podprostor ve V. Nechť (vi, ..., vk) je nějaká báze (A), vybraná z prvků A, («1,..., uk) ortonormální báze vzniklá z Grammovy-Schmidtovy ortogonalizace vektorů (v\, ..., vk). Doplňme ji na ortonormální bázi celého V (obojí existuje podle již dokázaných částí věty). Protože se jedná o ortogonální bázi, je nutně (uk+i, ..., un) = (u\, ..., w^)1" = a A c (uk+i, ..., u,,)1- (jak plyne z vyjádření souřadnic v ortonormální bázi). Je-li m _L (uk+i, un), pak u je nutně lineární kombinací vektorů u\, ... ,uk, to je ale právě tehdy, když je lineární kombinací vektorů v\, ..., vk, což je ekvivalentní příslušnosti u do (A). (8) : Je pouze ekvivalentní formulaci existence ortonormální báze. □ 3.25. Důležité vlastnosti velikosti. Nyní máme vše připraveno pro základní vlastnosti spojené s naší definicí velikostí vektorů. Hovoříme také o normě definované skalárním součinem. Všimněme si také, že všechna tvrzení se týkají vždy konečných množin vektorů a jejich platnost proto nezávisí na dimenzi prostoru V, ve kterém se vše odehrává. Věta. Pro libovolné vektory u, v v prostoru V se skalárním součinem platí (1) ||w + v\\ < ||u|| + ||v||, přitom rovnost nastane, právě když jsou u a v lineárně závislé. (trojúhelníková nerovnost) (2) \u ■ v\ < ||m|| ||f ||, přitom rovnost nastane, právě když jsou u a v lineárně závislé. (Cauchyova nerovnost) (3) Pro každý ortonormální systém vektorů (e\, ..., ek) platí \\u\\2> \u-ei\2 + ■■■+ \u-ek\2 (Besselova nerovnost). (4) Pro ortonormální systém vektorů (e\, ..., ek) patří vektor u do podprostoru e {e\, ..., ek) právě když ||w||2 = \u - ei|2 + --- + \u -ek\2. (Parsevalova rovnost) (5) Pro ortonormální systém vektorů (e\, ..., ek) a vektor u e V je vektor w = (u ■ \u ■ v\2 a rovnost nastane právě tehdy, když w = 0, tj. když jsou u a v lineárně závislé. (1): Opět stačí počítat ||w + i;||2 = \\u\\2 + \\v\\2 + u ■ v + v ■ u = IN|2 + IM|2 + 2Re(M-i;) < ||M||2 + ||i,||2+2|M.i;| < ||M||2 + ||u||2 + 2||M||||i; = (II"II + NI)2 Protože se přitom jedná o kladná reálná čísla, je opravdu || u + v || < || m || + || ľ ||. Navíc, při rovnosti musí nastat rovnost ve všech předchozích nerovnostech, to však je ekvivalentní podmínce, že u a v jsou lineárně závislé (podle předchozí části důkazu). (3), (4): Nechť (e\, ..., ek) je ortonormální systém vektorů. Doplníme jej do ortonormální báze (e\, ..., e„) (to vždy jde podle předchozí věty). Pak, opět podle předchozí věty, je pro každý vektor u e V n n k II"II2 = J^(u ■ e^-u—Ti) = J^\u -ei\2 > J^\u-ei\2 i — l i — l i — l To je ale právě dokazovaná Besselova nerovnost. Přitom rovnost může nastat právě tehdy, když u ■ et =0 pro všechny i > k, a to dokazuje Parsevalovu rovnost. (5): Zvolme libovolný v e (e\, ..., ek) a doplňme daný ortonormální systém na ortonormální bázi (e\, ..., en). Nechť («i, ..., u„) a (x\, ..., xk, 0, ..., 0) jsou souřadnice u av v této bázi. Pak ||M-i;||2 = \Ul-Xl\2-\-----\-\uk-Xk\2 + \llk+1\2-\-----hKI2 a tento výraz je zjevně minimalizován při volbě jednotlivých vektorů x\ = u\, ..., xk = uk. □ 3.26. Vlastnosti unitárních zobrazení. Vlastnosti ortogonálních zobrazení mají přímočarou obdobu v komplexním oboru. Můžeme je snadno zformulovat a dokázat společně: Tvrzení. Uvažme lineární zobrazení (endomorfismus) cp : V —> V na prostoru se skalárním součinem. Pak jsou následující podmínky ekvivalentní: (1) cp je unitární nebo ortogonální transformace (2) cp je lineární isomorfismus a pro každé u, v e V platí cp(u) ■ v = u ■ (p~l(v) (3) matice A zobrazení cp v libovolné ortonormální bázi splňuje A~l = AT (pro euklidovské prostory to znamená A~l = AT) (4) matice A zobrazení cp v některé ortonormální bázi splňuje A~l = AT (5) řádky matice A zobrazení cp v ortonormální bázi tvoří ortonormální bázi prostoru W se standardním skalárním součinem kde první sloupec je určen stavem 1 a pravděpodobností 1/6 pro jeho zachování (v dalším hodu padne 1) a pravděpodobností 1/6 jeho přechodu do libovolného ze stavů 2, ..., 6 (po řadě padne 2, ..., 6), druhý sloupec je zadán stavem 2 a pravděpodobností 2/6 pro jeho zachování (v dalším hodu padne 1 nebo 2) a pravděpodobností 1 /6 pro přechod do jakéhokoli ze stavů 3, ..., 6 (padne 3, ..., 6), až poslední I sloupce získáme ze skutečnosti, že stav 6 je trvalý (pokud již padla šestka, nemůže padnout vyšší počet ok). Rovněž pro n e N lze přímo určit ( ar (§)"-(*)" (§)" (í)"-®" 00"-(t)n (*)"-(*) ©"-(*)" (§)"-©" (§r-oo V '"(Í)" MŠ)" '"(Í)" (i)" 0\ 0 o o o 1/ Hodnoty v prvním sloupci totiž odpovídají postupně pravděpodobnostem, že n-krát po sobě padne 1, ři-krát po sobě padne 1 nebo 2 a alespoň jednou 2 (odečítáme proto pravděpodobnost uvedenou v prvním řádku), n-krát po sobě padne 1, 2 nebo 3 a alespoň jednou padne 3, až v posledním řádku je pravděpodobnost, že aspoň jednou během n hodů padne 6 (tu lze snadno určit z pravděpodobnosti opačného jevu). Podobně např. ve čtvrtém sloupci jsou postupně nenulové pravděpodobnosti jevů „ř2-krát po sobě padne 1, 2, 3 nebo 4", „rc-krát po sobě padne 1, 2, 3, 4 nebo 5 a alespoň jednou 5" a „alespoň jednou během n hodů padne 6". Interpretace matice T jako matice přechodu jistého Markovova procesu tak umožňuje rychlé vyjádření mocnin T", íieN. □ 3.33. Sledujte určitou vlastnost daného živočišného druhu, která je podmíněna nezávisle na pohlaví jistým genem - dvojicí alel. Každý jedinec získává po jedné alele od obou rodičů zcela náhodně a nezávisle na sobě. Existují formy genu dané různými alelami a, A. Ty určují tři možné stavy aa, a A = Aa, AA vyšetřované vlastnosti. (a) Předpokládejte, že každý jedinec jisté populace se bude rozmnožovat výhradně s jedincem jiné populace, ve které se vyskytuje pouze vlastnost podmíněná dvojicí a A. Právě jeden jejich (náhodně zvolený) potomek bude ponechán na stanovišti a také on se bude rozmnožovat výhradně s jedincem té jiné populace atd. Stanovte výskyt kombinací aa, aA, AA v uvažované populaci po dostatečně dlouhé době. (b) Řešte úlohu uvedenou ve variantě (a), pokud je jiná populace tvořena pouze jedinci s dvojicí alel A A. 159 C. MARKOVOVY PROCESY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU (c) Náhodně zvolené dva jedince opačného pohlaví zkřížíte. Z jejich potomstva opět náhodně vyberete dva jedince opačného pohlaví, které zkřížíte. Pokud takto budete pokračovat velmi dlouho dobu, vypočtěte pravděpodobnost, že oba křížení jedinci budou mít dvojici alel AA, příp. aa (proces křížení skončí). (d) Řešte úlohu uvedenou ve variantě (c) bez kladení podmínky, že křížení jedinci mají stejné rodiče. Pouze tedy křížíte jedince jisté velké populace mezi sebou, potom křížíte potomky mezi sebou atd. Řešení. Případ (a). Jedná se o Markovův proces zadaný maticí /1/2 1/4 0 \ 7=1/2 1/2 1/2 , V 0 1/4 1/2/ přičemž pořadí stavů odpovídá pořadí dvojic alel aa, a A, AA. Hodnoty v prvním sloupci plynou z toho, že potomek jedince s dvojicí alel aa a jedince s dvojicí alel a A má s pravděpodobností 1 /2 dvojici aa a s pravděpodobností 1 /2 dvojici a A. Analogicky postupujeme pro třetí sloupec. Hodnoty ve druhém sloupci potom vyplývají z toho, že každý ze čtyř případů dvojic alel aa, a A, Aa, AA je stejně pravděpodobný u jedince, jehož oba rodiče mají dvojici alel a A. Uvědomme si, že na rozdíl od počítání pravděpodobností, kdy musíme rozlišovat dvojici a A od Aa (která z alel pochází od kterého z rodičů), vlastnosti podmíněné dvojicemi a A a Aa jsou samozřejmě stejné. Pro určení výsledného stavu stačí nalézt pravděpodobnostní vektor, který přísluší vlastnímu číslu 1 matice T, protože matice /3/8 1/4 l/8\ T2 = 1/2 1/2 1/2 \l/8 1/4 3/8/ splňuje podmínku Perronovy-Frobeniovy věty (všechny její prvky jsou kladné). Hledaný pravděpodobnostní vektor je (-■ -Y- \4 2 4/ což již dává pravděpodobnosti 1/4, 1/2, 1/4 výskytu po řadě kombinací aa, a A, AA po velmi dlouhé (teoreticky nekonečné) době. Případ (b). Pro pořadí dvojic alel A A, aA,aa nyní dostáváme pravděpodobnostní matici přechodu /l 1/2 0\ 7=0 1/2 1 . \0 0 0/ Ihned vidíme všechna vlastní čísla 1, 1/2 a 0 (odečteme-li je od diagonály, hodnost obdržené matice nebude 3, tj. touto maticí zadaná homogenní soustava bude mít netriviální řešení). Těmto vlastním číslům (6) sloupce matice A zobrazení cp v ortonormální bázi tvoří ortonormální bázi prostoru W se standardním skalárním součinem Důkaz. (1) =>■ (2): Zobrazení

■ (3): Standardní skalární součin je v K" vždy dán pro sloupce x, y skalárů výrazem x ■ y = xT Eý, kde E je jednotková matice. Vlastnost (2) tedy znamená, že matice A zobrazení

- (4): Je-li A1 = A~l v některé ortonormální bázi, pak to zaručuje platnost podmínky (2) (cp(u) ■ v = (Ax)TEý = x1EA~ly = u ■ cp~l(v)) a tedy i (3). (4) =>■ (5) Dokazované tvrzení je vyjádřeno prostřednictvím matice A zobrazení

■ (6): Protože pro determinant platí \AT A\ = \E\ = |AAr| = |A||A| = 1, existuje inverzní matice A-1. Přitom je AAT A = A, proto i AT A = E což vyjadřuje právě (6). (6) =>■ (1): Ve vybrané ortonormální bázi je y jsou vždy také invariatní. Skutečně, je-li (piU) cU,ueUave U1-libovolné, pak (piv) -(pi(p~\u)) = v -(p~liu). 160 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3. 34 .zobrazení Protože je zúžení V říkáme, že je kolmý, je-li ImP 1 Ker P. Dva kolmé projektory P, Q jsou vzájemně kolmé, je-li Im P J_ Im Q. Věta (O spektrálním rozkladu). Pro každé samoadjungované zobrazení \js : V ^ V na vektorovém prostoru se skalárním součinem existuje ortonormální báze z vlastních vektorů. Jsou-li k\, ..., kk všechna různá vlastní čísla Ý a P i, ..., Pt příslušné kolmé a navzájem kolmé projektory na vlastní podprostory k odpovídajícím vlastním číslům, pak Ý = klPl + ■■■ + kkPk. Dimenze obrazů těchto projektorů je přitom vždy rovna algebraické násobnosti vlastních čísel 164 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3.30. Ortogonální diagonalizace. Zobrazení, pro která lze najít ortonormální bázi jako v předchozí větě o % spektrálním rozkladu se nazývají ortogonálně diagonalizovatelná. Jsou to samozřejmě právě ta zobrazení, pro která umíme najít ortonormální bázi tak, aby v ní jejich matice zobrazení byla diagonální. Zamysleme se, jak mohou vypadat. Pro euklidovský případ je to snadné: diagonální matice jsou zejména symetrické, jedná se tedy právě o samoadjun-govaná zobrazení. Jako důsledek získáváme tvrzení, že ortogonální zobrazení euklidovského prostoru do sebe je ortogonálně diagonalizovatelné, právě když je zároveň samoadjun-gované (jsou to právě ta samoadjungovaná zobrazení s vlastními hodnotami ±1). U komplexních unitárních prostorů je situace složitější. Uvažme libovolné lineární zobrazení cp : V -» V unitárního prostoru a nechť cp = + iř? Je (jednoznačně daný) rozklad cp na hermiteovskou a antihermiteovskou část. Máli cp ve vhodné ortonormální bázi diagonální matici D, pak D = reD+ňmD, kde reálná a imaginární část jsou právě matice ý a f\ (plyne z jednoznačnosti rozkladu). Zejména tedy platí ýor) = r)oý ucpocp* = ■ (2) jsme již diskuto- vali. (2) •<=>- (3): Stačí provést přímý výpočet cpcp* = (ý + ir])(Ý — ít}) cp cp ý2 + rj2 + i(r)Ý (Ý — it))(ý + irj) = "ií2 + rj2 + i(if/rj Ýtj) r]ý) Odečtením dostaneme 2i(r]ý — \jrr)). (2) =>■ (1): Nechť u e V je vlastní vektor normálního zobrazení cp. Pak cp(u) ■ cp(u) = (cp*cp(u), u) = {cpcp*(u), u) = cp*(u) ■ cp*(u) zejména tedy \cp(u)\ = \cp*(u)\. Je-li cp normální, je (cp — XidV)* = (cp* —X id V) a je proto i (cp — X id V) normální zobrazení. Z předešlé rovnosti tedy plyne, že je-li^g)1^^,^,6 pak cp*(u) =Xu. Tzn., že cp a cp* mají stejné vlastní vektory a konjugované vlastní hodnoty. Stejně jako u samoadjungovaných teď snadno dokážeme ortogonální diagonalizovatelnost. K tomu je nutné a stačí, aby ortogonální doplněk každého vlastního podprostoru pro í° T = 2- 1(« - 1) 0 (n - l)2 0 0 Vo o o o 22 2 • 2(« - 2) 0 0 0 2 • (n - 2)2 22 0 0 0 0 (n - l)2 2- (n - 1)1 1 pro pořadí stavů 0,1, ... ,n. Při užití tohoto modelu ve fyzice nás samozřejmě zajímá složení uren po uplynutí určité doby (po daném počtu výměn v závislosti na předešlém složení uren). Bude-li počáteční stav např. 0, můžeme pomocí mocnin matice T sledovat, s jakou pravděpodobností přibývají ve zvolené urně bílé koule. Také lze potvrdit očekávaný výsledek, že počáteční rozdělení koulí bude ovlivňovat jejich rozdělení po delší době zanedbatelným způsobem. Kdybychom jednotlivé koule očíslovali, místo výběru po jedné kouli z uren vylosovali nějaké z čísel 1, 2, ..., 2n a kouli, jejíž číslo bylo vytaženo, přemístili do druhé urny, obdrželi bychom Markovu v proces se stavy 0, 1, ..., 2n (počet koulí ve zvolené urně), kdy se tak už nerozlišuje barva koulí. Tento Markovův řetězec je rovněž ve fyzice důležitý. (P. a T. Ehrenfestovi jej zavedli v roce 1907.) Používá se jako model výměny tepla mezi dvěma izolovanými tělesy (teplota je reprezentována počtem koulí, tělesa urnami). □ 3.35. Dva hráči A, B hrají o peníze opakovaně jistou hru, která může skončit pouze vítězstvím jednoho z hráčů. Pravděpodobnost výhry hráče A je v každé jednotlivé hře p e [0, 1 /2) a oba sází vždy (v libovolné hře) jen 1 Kč, tj. po každé hře s pravděpodobností p dá 1 Kč hráč B hráči A a s pravděpodobností 1 — p naopak 1 Kč dá hráč A hráči B. Hrají ovšem tak dlouho, dokud jeden z nich nepřijde o všechny peníze. Jestliže má hráč A na začátku x Kč a hráč B má y Kč, určete pravděpodobnost, že hráč A vše prohraje. Řešení. Tato úloha se nazývá Ruinovaní hráče. Jedná se o speciální Markovův řetězec (viz také příklad Mlsný hazardér) s mnoha důležitými aplikacemi. Hledaná pravděpodobnost činí 1 (3.6) 1 (^) x+y ' Povšimněme si, jakáje tato hodnota pro konkrétní volby p, x, y. Kdyby hráč B chtěl mít téměř jistotu a požadoval, aby pravděpodobnost, že hráč A s ním prohraje 1 000 000 Kč, byla alespoň 0,999, potom stačí, 165 D. UNITÁRNÍ PROSTORY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU .zobrazeni aby měl 346 Kč, je-li p = 0, 495 (či 1 727 Kč, je-li p = 0, 499). Proto je ve velkých kasinech možné, aby „vášniví" hráči mohli hrát téměř spravedlivé hry. □ 3.36. V rámci jisté společnosti fungují dvě navzájem si konkurující oddělení. Vedení společnosti se rozhodlo, že každý týden bude poměřovat relativní (vzhledem k počtu zaměstnanců) zisky dosažené těmito dvěma odděleními. Do oddělení, které bude úspěšnější, pak budou přeřazeni dva pracovníci z druhého oddělení. Tento proces má probíhat tak dlouho, až jedno z oddělení zanikne. Získali jste zaměstnání v této společnosti a můžete si vybrat jedno z těchto dvou oddělení, kde budete pracovat. Chcete si zvolit to, které nebude v důsledku vnitropodnikové konkurence zrušeno. Jaká bude Vaše volba, když jedno oddělení má nyní 40 zaměstnanců, druhé 10 a když odhadujete, že to v současnosti menší z nich bude mít větší relativní zisky v 54 % případů? Další využití Markovových řetězců viz příloha za kapitolou. D. Unitární prostory Již v minulé kapitole jsme definovali skalární součin v reálných vektorových prostorech (2.40), v této kapitole rozšiřujeme jeho definici i na komplexní vektorové prostory (3.23). 3.37. Grupy O(n) a U(n). Uvážíme-li všechna lineární zobrazení z M3 do M3, která zachovávají daný skalární součin, tedy vzhledem k definicím délky vektorů a odchylky dvou vektorů lineární zobrazení zachovávající délky a úhly, tak tato tvoří zřejmě vzhledem ke skládání zobrazení grupu (viz 1.1; složení dvou takových zobrazení je z definice zobrazení zachovávající délky a úhly, jednotkovým prvkem je identické zobrazení, inverzním prvkem k danému zobrazení je zobrazení k němu inverzní - díky podmínce na zachvávání velikostí existuje). Matice těchto zobrazení tedy tvoří vzhledem k násobení matic grupu (viz ), říkáme jí ortogonální grupa, značíme 0(n). Je to podgrupa FfěQhy invertibilních zobrazení z W do W. Požaduj eme-li navíc po maticích zobrazení, aby měly determinant roven jedné, hovoříme o speciální ortogonální grupě SO(n) (obecně může být determinantem matice z 0(n) číslo 1 či —1). Obdobně definujeme unitární grupu U(n) jakožto grupu všech (komplexních) matic, které odpovídají komplexně lineárním zobrazením z C" do C", která zachovávají daný skalární součin v unitárním prostoru. Stejně pak SU(n) značí podgrupu matic v U(n) s jednotkovým determinantem (obecně může být determinantem libovolná komplexní jednodnotka). normální cp byl invariantní (je totiž zúžení normálního zobrazení na invariantní podprostor opět normální). Uvažme vlastní vektor u e V s vlastní hodnotou k, v e (u)-1. Platí cp(v) ■ u = v ■ cp*(u) = {v,ku) = ku ■ v = 0 a tedy opět cp(v) e (w)-1. (1) •<=>. (4): Výraz ^i . \atj|2 je právě stopa matice AA*, to je matice zobrazení cp o cp*. Proto nezávisí na volbě ortonormální báze. Je-li tedy cp diagonalizovatelné, je tento výraz roven právě ^i |A;|2. Opačná implikace je přímým důsledkem Schurovy věty o unitární triangulovatelnosti libovolného lineárního zobrazení V -» V, kterou dokážeme později v 3.37. Podle ní totiž existuje pro každé lineární zobrazení cp : V -» V ortonormální báze, ve které má cp horní trojúhelníkovou matici. Na její diagonále pak musí být právě všechny vlastní hodnoty cp. Jak jsme již ukázali, výraz ^i . |aí7|2 nezávisí na volbě ortonormální báze, proto z předpokládané rovnosti vyplývá, že všechny prvky mimo diagonálu musí být v této matici nulové. □ V termínech matic zobrazení dostáváme: zobrazení je normální právě, když jeho matice v některé ortonormální bázi (a ekvivalentně v každé) splňuje AA* = A*A. Takové matice nazýváme normální matice. Poznámka. Všimněme si, že pro počet s lineárními zobrazeními na komplexním unitárním prostoru lze poslední větu chápat také jako zobecnění běžných počtů s komplexními čísly v goniometrickém tvaru (roli reálných čísel zde hrají sa-moadjungovaná zobrazení). Roli komplexních jednotek pak hrají unitární zobrazení. Zejména si všimněme analogie k vyjádření komplexních jednotek ve tvaru cos t + i sin t s vlastností cos2 t + sin2 t = 1: Důsledek. Unitární zobrazení na unitárním prostoru V jsou právě ta normální zobrazení, pro která výše užívaný jednoznačný rozklad cp = \js + in splňuje ý2 + rj1 = id V. Důkaz. Pro unitární zobrazení cp je cpcp* = id V = cp*cp a tedy cpcp* = (ý + ir])(Ý — in) = + 0 + rj2 = id V. Naopak, pro normální zobrazení již poslední výpočet ukazuje, že opačná implikace platí také. □ 3.31. Nezáporná zobrazení a odmocniny. Nezáporná reálná čísla jsou právě ta, která umíme psát jako druhé mocniny. Zobecnění takového chování pro matice a zobrazení lze vidět u součinů ma-tic B = A* ■ A (tj. složení zobrazení ý* o ý): {B ■ x, x) = {A* ■ A ■ x, x) = (A • x, A ■ x) > 0 pro všechny vektory x. Navíc zjevně B* = (A* ■ A)* = A* ■ A = B. Hermiteovských maticím B s takovou vlastností říkáme pozitivně semidefinitní a pokud nastane nulová hodnota pouze 166 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET pro x = 0, pak jim říkáme pozitivně definitní. Obdobně hovoříme o pozitive definitních a a positivně semidefinitních zobrazeních ý '■ v ~* v- Pro každé pozitivně semidefinitní zobrazení ý '■ v ~* V umíme najít jeho odmocninu, tj. zobrazení r] takové, že r) o r) = ý. Nejjednodušeji to uvidíme v ortonormální bázi, ve které bude mít ý diagonální matici. Taková podle našich předchozích úvah vždy existuje a matice A zobrazení ^ v ní bude mít na diagonále nezáporná reálná vlastní čísla zobrazení ý. Kdyby totiž bylo některé z nich záporné, nebyla by splněna podmínka nezápornosti již pro některý z bázových vektorů. Pak ovšem stačí definovat zobrazení r\ pomocí matice B s odmocninami příslušných vlastních čísel na diagonále. 3.32. Spektra a nilpotentní zobrazení. Na závěr této části se vrátíme k otázce, jak se mohou chovat lineární zobrazení v úplné obecnosti. Budeme i :^ nadále pracovat s reálnými nebo komplexními vektorovými prostory. Připomeňme, že spektrum lineárního zobrazení f : V -» V je posloupnost kořenů charakteristického polynomu zobrazení /, včetně násobností. Algebraickou násobností vlastní hodnoty rozumíme její násobnost jako kořenu charakteristického polynomu, geometrická násobnost vlastní hodnoty je dimenze příslušného podprostoru vlastních vektorů. Lineární zobrazení / : V -» V se nazývá nilpotentní, jestliže existuje celé číslo k > 1 takové, že iterované zobrazení /* je identicky nulové. Nejmenší číslo k s touto vlastností se nazývá stupněm nilpotentnosti zobrazení /. Zobrazení / : V -» V se nazývá cyklické, jestliže existuje báze ..., un) prostoru V taková, že f(u\) = 0 a /(«/) = M/_i pro všechna i = 2, ..., n. Jinými slovy, matice / v této bázi je tvaru /O 1 0 . 0 0 1. v; ; Je-li f (v) = a ■ v, pak pro každé přirozené k je fk(v) = ak ■ v. Zejména tedy může spektrum nilpotentního zobrazení obsahovat pouze nulový skalár (a ten tam vždy je). Přímo z definice plyne, že každé cyklické zobrazení je nilpotentní, navíc je jeho stupeň nilpotentnosti roven dimenzi prostoru V. Operátor derivování na polynomech, D(xk) = kxk~l, je příkladem cyklického zobrazení na prostorech Kn[x] všech polynomů stupně nejvýše n nad skaláry K. Kupodivu to platí i naopak a každé nilpotentní zobrazení je přímým součtem cyklických. Důkaz tohoto tvrzení nám dá hodně práce, proto napřed zformulujeme výsledky, ke kterým směrujeme, a pak se teprve dáme do technické práce. Ve výsledné větě o Jordánově rozkladu vvystupují vektorové (pod)prostory a lineární zobrazení na nich s jediným vlastním 3.38. Uvažujme vektorový prostor V funkcí M -» C. Určete, zdaje zobrazení ip z unitárního prostoru V lineární. i) cp(u) = ku, kde A e C ii) cp(u) = u* iii) 1. Řešení. Budeme dokazovat sporem. Předpokládáme tedy, že všechny vlastní podprostory operátoru C mají dim = 1. Pak můžeme pro libovolný vektor u psát u = Et ckUk, kde uk jsou lineárně nezávislé vlastní vektory operátoru C vlastním číslem kk (ack = u.uk) Pro tyto vlastní vektory pak zjevně platí 0 = [A, C]uk = ACuk — CAuk = kkAuk — C(Auk) Odtud vidíme, že Auk je vlastním vektorem matice C s vlastní hodnotou kk. To ovšm znamená, že Auk = k£uk pro nějaké číslo k£. Stejně tak odvodíme Buk = k^uk pro nějaké číslo kf. Pro komutátor matic A a S pak dostáváme [A, B]uk = ABuk - BAuk = k^k?uk - k?k^uk = 0 167 D. UNITÁRNÍ PROSTORY 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU To ovšem znamená [A, B]u = [A, B]J2ckUk - J]cjt[A, B]uk = 0 a protože m bylo libovolné, znamená to, že [A, 5] = 0, což je spor. □ 3.41. Použití v kvantové fyzice. V kvantové fyzice se fyzikální veličině nepřiřazuje číselná hodnota, tak jak tomu je v klasické fyzice, nýbrž hermiteovský operátor. To není nic jiného, než hermiteovsé zobrazení, které ovšem může vést, a často taky vede, mezi unitárními prostory nekonečné dimenze (Můžeme si to představit třeba jako matici nekonečného rozměru). Vektory v tomto unitárním prostoru potom reprezentují stavy daného fyzikálního systému. Při měření dané fyzikální veličiny můžeme dostat jen hodnoty, které jsou vlastními hodnotami příslušného operátoru. Například místo souřadnice x máme operátor souřadnice x. Jeli stav systému popsán vektorem v, pak platí x (v) = xv, tzn. je to násobení vektoru reálným číslem x. Na první pohled je tento hermiteovský operátor jiný než naše příklady z konečné dimenze. Evidentně je totiž každé reálné číslo vlastním číslem (x má tzv. spojité spektrum). Podobně, místo rychlosti (přesněji hybnosti) máme operátor p = —i-^r- 2 . 32a tomto číslem k a maticí Vlastní vektory jsou řešení diferenciální rovnice —i^r = kv. I případě je spektrum spojité. To je vyjádřením faktu, že příslušná fyzikální veličina je spojitá (může nabývat libovolné reálné hodnoty). Naproti tomu máme fyzikální veličiny, např. energie, které mohou nabývat jen diskrétní hodnoty (energie je kvantována). Příslušné operátory jsou pak opracdu podobné hermiteovským maticím, jen mají nekonečný počet vlastních čísel. 3.42. Ukažte, že x a p jsou hermiteovské a že [i, p] = i Řešení. Pro libovolný vektor v platí „ „ „ „ dv d(xv) [x, p]v = xpv — pxv = x(—i—) + i- dx dx a odtud už přímo vyplývá naše tvrzení. iv □ 3.43. Ukažte [x — p, x + p] = 2i Řešení. Evidentně platí [x, x] — 0 a.[p, p] = 0a zbytek vyplývá z linearity komutátoru a z minulého příkladu. □ / k 0 0 1 \0 0 0 0\ 0 Takovýmto maticím (a odpovídajícím invariantním podpro-storům) se říká Jordánův blok. Věta (Jordánova věta o kanonickém tvaru). Nechť V je vektorový prostor dimenze n a f : V -» V je lineární zobrazení s n vlastními čísly včetně algebraických násobností. Pak existuje jednoznačný rozklad prostoru V na přímý součet pod-prostorů V = Vi takových, že f (Ví) C Ví, zúžení f na každé Ví má jediné vlastní číslo A;- a zúžení f — A, • id na Ví je buď cyklické nebo nulové zobrazení. Věta tedy říká, že ve vhodné bázi má každé lineární zobrazení blokově diagonální tvar s Jordánovými bloky podél diagonály. Celkový počet jedniček nad diagonálou v takovém tvaru je roven rozdílu mezi celkovou algebraickou a geometrickou násobností vlastních čísel. 3.33. Poznámky. Všimněme si, že jsme Jordánovu větu již dříve plně dokázali v případech, kdy jsou všechna vlastní čísla různá nebo když jsou geometrické a algebraické násobnosti vlastních čísel stejné. Zejména jsme ji plně dokázali pro unitární, normální a samoadjungovaná zobrazení. Další užitečné pozorování je, že pro každé linerání zobrazení přísluší ke každému vlastnímu čislu jednoznačně určený invariantní podprostor, který odpovídá Jordánovým blokům s příslušnou vlastní hodnotou. Také si všimněme jednoho velice užitečného důsledku Jordánovy věty (který jsme už použili u diskuse chování Markovových řetězců). Předpokládejme, že jsou vlastní hodnoty našeho zobrazení / všechny v abso-1S lutní hodnotě menší než jedna. Potom opakované působení lineárního zobrazení na jakémkoliv vektoru v e V vede k rychlému zmenšování všech souřadnic fk(v) nad všechny meze. Skutečně, předpokládejme pro jednoduchost, že na celém V má zobrazení / jediné vlastní číslo k a / — k id v je cyklické (tj. omezujeme se na jediný Jordánův blok), a nechť v\, ..., vi je příslušná báze. Pak podmínka z věty říká, že f(v2) = kv2 + vi, f2(v2) = k2v2 + kvi +kv\, a podobně pro ostatní vt a vyšší mocniny. V každém případě při iterování dostáváme stále vyšší a vyšší mocniny k u všech nenulových komponent, přičemž nejnižší z nich může být nejvýše o stupeň nilpotentnosti nižžší než násobnost iterace. Tím je tvrzení dokázáno (a stejný argumet s aboslutní hodnotou vlastních čísel ostře větší nezjedná vede k neomezenému růstu všech souřadnic iterací fk(v)). 168 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3. 37 3.37a Zbytek této části třetí kapitoly je věnován důkazu Jor-danovy věty a několika k tomu potřebným po-jmům. Je výrazně obtížnější než dosavadní text a čtenář jej může případně přeskočit až do začátku 5. části této kapitoly. 3.34. Kořenové prostory. Na příkladech jsme viděli, že vlastní podprostory popisují dostatečně geometrické vlastnosti jen některých lineárních zobrazení. Zavedeme nyní jemnější nástroj, tzv. kořenové podprostory. Definice. Nenulový vektor m e V se nazývá kořenovým vektorem lineárního zobrazení cp : V -» V, jestliže existuje a e K a celé číslo k > 0 takové, že (cp—a-idv)k(u) = 0, tj./c-tá iterace uvedeného zobrazení zobrazuje u na nulu. Množinu všech kořenových vektorů příslušných k pevnému skaláru k doplněnou o nulový vektor nazýváme kořenovým prostorem příslušným ke skaláru k e K, značíme TZx ■ Je-li u kořenový vektor ah definice je vybráno nejme-nší možné, pak (cp — a ■ idy)*-1 (u) je vlastní vektor s vlastní hodnotou a. Je tedy TZx = {0} pro všechny skaláry k, které neleží ve spektru zobrazení cp. Tvrzení. Pro lineární zobrazení cp : V -» V platí (1) Pro každé k e Kj'e 1ZX C V vektorový podprostor. (2) Pro každé k, fi e K je 1ZX invariantní vzhledem k lineárnímu zobrazení (cp — fi ■ idy), zejména tedy je 1ZX invariantní vzhledem k cp. (3) Je-li fi ^ k, pak (cp — fi ■ idy)|^ je invertibilní._ (4) Zobrazení (cp — k ■ idy)!^ je nilpotentnjRay^tracín<3 Důkaz. (1) Ověření vlastností vektorového podprostoru je jednoduché a ponecháváme jej čtenáři. (2) Předpokládejme, že (cp — k ■ idv)k(u) = 0 a uvažme v = (cp — \jl ■ idv)(u). Pak (Cp-k-idy)k(v) = = (cp — k ■ idv)k((cp - k ■ idy) + (k - n) ■ idv)(u) = (cp — k ■ idy)*+1(w) + (k - fi) ■ (cp - k ■ idv)k(u) = o (3) Je-li u € Ker(

2 1 0 0 2 2 v3 "I 1/ \0 0 1, Nejprve vynásobíme matice odpovídající Gaussově eliminaci, dostáváme tak pro původní matici A, XA = U, kde X je dolní trojúhelníková daná zmíněným součinem, U horní trojúhelníková. Z této rovnosti máme A = X~lU, což je hledaný rozklad (musíme tedy spočítat inverzi k X). □ 1 1 0 3.46. Nalezněte L [/-rozklad matice | 1 —1 2 1 -l/ 3.47. Ray-tracing. V počítačové 3D-grafice se obraz zobrazuje pomocí algoritmu Ray-tracing. Základem tohoto algoritmu je aproximace světelných vln paprskem (přímka) a aproximace zobrazovaných objektů mnohostěny. Ty jsou tedy ohraničeny rovinami a je potřeba spočítat, kam se na těchto rovinách odráží světelné paprsky. Z fyziky přitom víme, jak se paprsky odráží - úhel odrazu je roven úhlu dopadu. Z touto problematikou v rovině jsme se již potkali v příkladu 1.71. Paprsek světla ve směru v = (1, 2, 3) dopadá na rovinu určenou rovnicí x + y + z = 1- V jakém směru se paprsek odrazí? Řešení. Jednotkový normálový vektor k rovině je« = -^(1,1,1). Vektor určující směr odraženého paprsku vR bude ležet v rovině určené vektory v,n. Můžeme jej tedy vyjádřit jako lineární kombinaci těchto vektorů. Zároveň nám pravidlo úhel odrazu je roven úhlu dopadu jinými slovy říká, že (v, n) = — (vR, n). Odtud dostaneme kvadratickou rovnici pro koeficienty lineární kombinace. Příklad můžeme vyřešit i jednoduším, geometrickým způsobem. Z obrázku můžeme přímo odvodit,že Vr = v — 2{v, n)n a v našem případě dostáváme vR = (—3, —2, —1). □ 169 E. ROZKLADY MATIC 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU 3.48. Najděte Jordánův tvar matice A a napište příslušný rozklad. Jaká je geometrická interpretace rozkladu této matice? -1 ť -6 4, -1 ť -4 3. i) A ii) A Řešení. i)Nejprve spočítáme charakteristický polynom matice A -1 \A - XE\ X 1 4-X X -31+ 2 Vlastní čísla matice A jsou kořeny tohoto polynomu, to znamená Xi_2 = 1,2. Prtotože matice je řádu dva a máme dvě různé vlastní hodnoty, je Jordánův tvar diagonálni matice J = ^ ^ ■ Vlastní vektor (x, y) příslušný vlastní hodnotě 1 splňuje 0 = (A — £)x = 6 3) i^yj' ^' _^X = ^' ^° Jsou Právě násobky vektoru (1,2). Podobně zjistíme, že vlastním vektorem k vlastní hodnotě 2 je (1, 3). Matici P pak dostaneme napsáním těchto vlastních vektorů do sloupců, tj. P = ^ Pro matici A pak máme A = P ■ J ■ P~l. Inverzní matice k P má tvar P~l = a dohromady pak dostáváme ■1 1 ■6 4 1 1 2 3 1 0 0 2 1 Tento rozklad nám říká, že matice A určuje takové lineární zobrazení, které má v bázi vlastních vektorů (1,2), (1,3) výše uvedený diagonální tvar. To znamená, že ve směru (1,2) se nic neděje a ve směru (1, 3) se každý vektor protáhne na svůj dvojnásobek. ii) Charakteristický polynom matice A je v tomto případě |A - XE\ ■1 - X 1 -4 3 — X X2 - 2X + 1 = 0 3.37b Dostáváme tedy dvojnásobný kořen X (x, y) splňuje 1 a příslušný vlastní vektor 0 = (A - E)x -2 1 -4 2 To jsou, opět jako v minulém příkladu, násobky vektoru (1, 2). To, že řešením této rovnice nejsou dva lineárně nezávislé vektory, říká, že Jordánův tvar v tomto případě nebude diagonální, ale bude to matice Definice. Nechť U C V je vektorový podprostor. Na množině všech vektorů ve V definujeme ekvivalenci takto: v\ ~ v2 právě tehdy, když v\ — v2 e U. Axiomy ekvivalence jdou ověřit snadno. Množina V/U tříd této ekvivalence, spolu s operacemi definovanými pomocí reprezentantů, tj. [v] + [w] = [v + w], a-[u] = [a-u], tvoří vektorový prostor, který nazýváme faktorový vektorový prostor prostoru V podle podprostoru U. Ověřte si korektnost definice operací a platnost všech axiomů vektorového prostoru! Třídy (vektory) ve faktorovém prostoru V/U budeme často označovat jako formální součet jednoho reprezentanta se všemi vektory podprostoru U, např. u+U e V/U, u e V. Nulový vektor ve V/U je právě třída 0 + U, tj. vektor u e V reprezentuje nulový vektor ve V/U, právě když je u e U. Jako jednoduché příklady si rozmyslete V/{O} = V, V/V = {0} a faktorový prostor roviny M2 podle libovolného jednorozměrného podprostoru (zde je každý jednorozměrný podprostor U C M2 přímkou procházející počátkem), kde třídy ekvivalence jsou rovnoběžky s touto přímkou. Tvrzení. Nechť U C V je vektorový podprostor a (u\, ..., u„) je taková báze V, ze (u\, ..., uk) je báze U. Pak dim V/U = n — k a vektory uk+i + U,...,u„ + U tvoří bázi V/U. Důkaz. Protože V = {u\, ..., un), je i V/U = {u\ + U, ... ,un + U). Přitom ale je prvních k generátorů nulových, takže je V/U = (uk+i + U, ... ,un + U). Předpokládejme, že ak+\ ■ (uk+i + U) + ■ ■ ■ + a„ ■ (u„ + U) = (ak+i - uk+i + ■ ■ - + an - un) + f/ = 0e V/U. To je ale ekvivalentní příslušnosti lineární kombinace vektorů uk+\, ... ,un do podprostoru U. Protože U je generováno zbylými vektory, je nutně tato kombinace nulová, tj. všechny koeficienty a; jsou nulové. □ 3.36. Indukovaná zobrazení na faktorových prostorech. Předpokládejme, že U C V je invariantní podprostor vzhledem k lineárnímu zobrazení cp : V -> V a zvolme takovou bázi u\, ... ,un prostoru V, že prvních k vektorů této báze je bazí efô bázi má cp blokovou matici A = ^ ^ ^ |. Pak budeme umět dokázat následující tvrzení: Lemma. (1) Zobrazení cp indukuje lineární zobrazení cpv/u : V/U -+ V/U, cpv/u (v + U) = cp(v) + U s A. Bázi, ve které má matice A tento tvar, tvoří vlastní vektor maticí D v indukované bázi uk+l + U, ...,u„ + U na U / V/U. (1,2) a vektor, který se na tento vektor zobrazí zobrazením A — E. Je tedy řešením soustavy rovnic -2 1 -4 2 0 V/U. (2) Charakteristický polynom cpv/u dělí charakteristický polynom 0 0 0 ,0 o 3.37c 2 " "/ \ " " " / \" " 4/ a dostáváme diagonální matici. Potřebujeme ale najít takovou ortonormální bázi, ve které je matice diagonální a nulový řádek je až poslední. Toho zjevně docílíme otočením o pravý úhel kolem osy x (souřadnice y přejde na z a z přejde na -y). Toto otočení je ortogonální transformace /l 0 0\ daná maticí V = I 0 0 II. Tím jsme bez počítání našli rozklad \0 -1 0) AT A = VBVT, kde B je diagonální s vlastními čísly (1, |, 0) na diagonále. Protože teď máme B = (A V)T (AV), tvoří sloupce matice 0 0 -A /l 0 0\ / 0 i 0> AV= I -1 0 0 0 0 1 I = I -1 0 0 0 0 0 / \0 -1 0/ I 0 0 0; 171 E. ROZKLADY MATIC 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU ortogonální systém vektoru, který znormalizujeme a doplníme do báze. Tamá pak tvar (0, -1,0), (1,0,0), (0, 0, 1). Matice přechodu od této 0 1 0^ báze ke standardní je pak [7=1—1 0 01. Dohromady tak dostá- 0 0 1, váme rozklad A 0 uVbvt -1 0 0 0 0 0 1 -10 0 0 0 0 0 0 0-1 1 0 Geometricky lze rozklad zobrazení interpretovat tak, že nejprve se vše otočí o pravý úhel kolem osy x, pak následuje projekce do roviny xy taková, že jednotková koule se zobrazí do elipsy s hlavními poloosami 1 a j a výsledek se otočí o pravý úhel kolem osy z. Polárni rozklad A P := uVb~Ut a W : 0 P ■ W dostaneme ze singulárního jednoduše: »tj. -1 uvt a z toho plyne vs'ut, kde s Pseudoinverzní matice je dána výrazem A( l) 'l 0 0\ 0 2 0. Máme tedy k0 0 0/ 10 0 A(-l) = | 0 0 1 i0 -1 o 3.51. QR rozklad. QR rozklad matice A se dobře hodí v případě, když je dán systém lineárních rovnic Ax = b, který sice nemá řešení, ale my potřebujeme najít jeho co nejlepší přiblížení. Chceme tedy minimalizovat II Ax — b\\. Podle Pythagorovy věty máme ||Ax — b\\2 = || Ax — b\\ ||2 + ||&_i_||2, kde b jsme rozložili na b\\, které patří do obrazu matice A a na ii, které je k tomuto obrazu kolmé. Projekci na obraz matice A můžeme psát ve tvaru QQT pro vhodnou ortogonální matici Q. Konkrétně tuto matici získáme Gram-Schmidtovou or-tonormalizací sloupců matice A. Potom máme b\\ = QQTb a proto Ax — b\\ = Q(QT Ax — QTb). Soustava v závorce už má řešení, pro které potom dostáváme ||Ax — b\\ = \\b±\\, což je minimální hodnota. 3.37. Poznámky. Pokud existuje rozklad celého prostoru v na přímý součet vlastních podprostorů, existuje báze z vlastních podprostorů a předchozí věta vlastně neříká vůbec nic zajímavého. Její síla ovšem spočívá v tom, že jediným jejím předpokladem je existence dim v kořenů charakteristického polynomu (včetně násobností). To je ovšem zaručeno, je-li pole K algebraicky uzavřené, např. pro komplexní čísla C. Přímým důsledkem pak jsou zajímavá tvrzení o determinantu a stopě zobrazení: jsou vždy součinem, resp. součtem prvků ve spektru. Tuto skutečnost můžeme použít i pro všechny reálné matice. Můžeme je totiž vždy považovat za komplexní, spočítat potřebné, a protože determinant i stopa jsou algebraické výrazy v prvcích matice, výsledkem budou právě hledané reálné hodnoty. Když je na vektorovém prostoru v zadán skalární součin, můžeme v každém induktivním kroku důkazu předchozího tvrzení využít skutečnosti, že vždy v/ vk ~ a v, B u h-» (u + vk) e v/vk. To znamená, že v každé třídě rozkladu v/vk existuje právě jeden vektor z vk . Skutečně, tuto vlastnost má faktorový prostor podle libovolného podprostorů v unitárním prostoru - pokud u, v e jsou v jedné třídě, pak jejich rozdíl patří do vk n v^, tedy jsou stejné. Můžeme tedy jako reprezentanta uk+i nalezené třídy, tedy vlastního vektoru cpv/Vk > zvolit právě vektor z v^. Touto modifikací dojdeme k ortogonální bázi s vlastnostmi požadovanými v tvrzení o triangulovatelnosti. Proto existuje i taková ortonormální báze: Důsledek (Schurova věta o ortogonální triangulovatelnosti). Nechť cp : v —> v je libovolné lineární zobrazení (reálného nebo komplexního) unitárního prostoru s m = dim v vlastními hodnotami (včetně násobonosti). Pak existuje ortonormální báze prostoru v taková, že cp v ní má horní trojúhelníkovou matici s vlastními čísly X\, ... ,Xm na diagonále. 3.38. Věta. Nechť cp v —> v je lineární zobrazení. Součet kořenových prostorů nXx,...,nXk příslušných různým vlastním hodnotám X\ ..., Xk je přímý. Navíc je pro každou vlastní hodnotu X dimenze podprostorů IZi rovna její algebraické násobnosti. Důkaz. Důkaz provedeme indukcí přes počet k kořeno-\\ vých prostorů. Předpokládejme, že tvrzení vždy platí pro méně než k prostorů a že pro vektory u\ e TZXl, ..., uk e lZik platí «i + ••• + «* = 0. Pro vhodné j pak (cp — kk ■ iávy (uk) = 0 a zároveň jsou y i = (cp — kk ■ iávy (uí) nenulové vektory v TZXi, i = 1, — 1, pokud Ui jsou nenulové, viz. předchozí věta. Přitom ale k yi H-----1- yk-i = ^(

0 je dimenze Pu-\ - Z definice plyne, že Pk_\ c Ker cp, tj. vždy cp(ek- l) Předpokládejme, Pk-i = j = 1, dejme 0. ze cp(Pk_2), nutně existují v ., pk-i, takové, že cp(ek~2) Pk- V. Protože vektory e- k-2 ek: l. Předpoklá- axe\ 1 + '' + aPk-iePk_i + ' „k-2 >\ex + ••• + . ) ek~2 0. Aplikací zobrazení cp na tuto lineární kombinaci získáme 0, proto jsou všechny bj = 0. + ek~l Navíc matice R := QT A je horní trojúhelníková a proto požadované přibližné řešení najdeme velmi lehce. Najděte přibližné řešení soustavy rovnic x + 2y = 1 2x + 4y = 4 Řešení. Máme tedy soustavu Ax = b s A = ^la^ (která evidentně nemá řešení). Uděláme tedy ortonormalizaci sloupců matice A. Vezmeme první z nich a vydělíme ho jeho velikostí. Tím dostaneme první vektor ortonormální báze . Druhý dostaneme tak, že od druhého sloupce odečteme jeho komponentu ve směru už nalezeného prvního vektoru ortonormální báze. Druhý vektor je ovšem dvojnásobek prvního a proto v ortonormalizaci nulový. Máme proto Q = -1= ■ Projektor na obraz matice A je pak QQT = \ , dále spočítáme a "-TS 2)0 2) = 7I<5 9) Přibližné řešení pak splňuje Rx = Q Tb a to v našem případě znamená 5x + 9y = 9 (přibližné řešení tedy není jednoznačné). QR rozklad matice A je '\ 2^ □ 3.52. Minimalizujte \\Ax — b\\ pro A '•\ 0 I a napište QR rozklad matice A. Řešení. Normalizovaný první sloupec matice A je 000 e\ = ( — 1 |. Z druhého sloupce odečteme jeho složku ve ■1, směru e\. Máme a proto dostaneme l\ /-V 1 / 2 \ 1 / 2 \ 1 '0> Pak ale i a, = 0, protože se jedná o kombinaci bázových 1, "J ' Vě V —1/ ^ 173 E. ROZKLADY MATIC 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU Tím jsme vyrobili ortogonální vektor, který normujeme a dostaneme e2 = I 1 I ■ Třetí sloupec matice A je už lineárně závislý (můžeme ověřit spočítáním determinantu). Hledaná sloupcově-ortogonální matice je tedy 1 /2 ° V6 \_j Dále spočítáme j_ (6 -3 -3 \ Vě 10 373 -3V3/ er" = 7š(o ^ -^)(í)=^(o Řešením rovnice Rx = QTb)ex = y = z. Násobky vektoru (1, 1, 1) tedy minimalizuji \\Ax — b\\. Zahrazení určené maticí A je projekce na rovinu s normálovým vektorem (1, 1, 1). □ 3.53. Lineární regrese. Znalosti, které jsme se v této kapitole naučili lze s výhodou použít v praxi při řešení problémů pomocí lineární regrese. Jde o to nalézt nejlepší přiblížení nějaké funkční závislosti pomocí lineární funkce. Máme tedy zadánu funkční závislost v několika bodech (například zkoumáme hodnotu majetku lidí v závislosti na jejich inteligenci, na majetku rodičů, počtu společných známých s panem Kalouskem,...), tj. f(a\, ..., a*) = yi,..., f(a\, ak, ..., ak) = yk,k > n (mámetedy více rovnic než neznámých) a chceme tuto závislost „co nejlépe" odhadnout pomocí lineární funkce, tj. vyjádřit hodnotu majetku jakožto lineární funkci f(xi, ..., xn) = b\X\ + b2x2 + • • • + bnxn + c. Pokud navíc definujeme „co nejlépe" tím, že chceme minimalizovat 2 i=\ v závislosti na reálných konstantách b\, ...,*„, c. Našim cílem je najít takovou lineární kombinanci sloupců matice A = (ap (s koeficienty b\, ...,*„), která bude mít co nejmenší vzdálenost od vektoru (yi, ..., yk) v M.k, tedy vlastně najít kolmou projekci vektoru vektorů. Celkem jsme tedy ověřili lineární nezávislost všech 2pk-i zvolených vektorů. Doplňme je do báze -1 ' „k-2 ek~l Pk-i ek~2 ek~2 Pk-l ' »-! + !' ^"2 "Pk-2 prostoru Pk-2- Navíc jsou obrazy přidaných bázových prvků v Pk-i, nutně tedy musejí být lineárními kombinacemi bázo- vých prvků e1 , ..., e _^. Můžeme proto zaměnit zvolené vektory ek~2i+l, ek~22 vektory ek~2 - (p(ek~2). Tím docílíme, že doplněné vektory do báze Pk-2 patří do jádra zobrazení cp. Předpokládejme to přímo o zvolené bázi (1). Předpokládejme dále, že již máme sestrojenu bázi pod-prostoru Pk-i takovou, že ji můžeme poskládat do schématu ek-\...,ek~l -i ' -l ' „*-3 Pk-l k-2 k-2 „k-2 e~ - ek-3 ek~3 ei ' ■ ■ ■' e«-r e«-i+ľ k-1 „k-l „k-l ek~3 ek~3 Pk-2' »-2 + 1' „k-l „k-l "Pk-3 .. - .v „ .. ,v „ .. k l k l 1 '- - ■' Pk-l' ept-l+ľ- • •' e»-2' pt-2 + ľ- • •' Cpt-3' • • Pk-l kde hodnota zobrazení cp na libovolném bázovém vektoru se nachází nad ním, nebo je nulová, pokud nad zvoleným vektorem báze již nic není. Pokud je Pk-i 7^ V, opět musí existovat vektory e\~l~l, ..., ekp~^~l, které se zobrazují na k-l vektory , epk_t a můžeme je doplnit do báze Pk-{-i, řekněme "»-<+!' • • • ' "pk-e-i' Přitom postupným odečítáním hodnot iterací zobrazení cp na těchto vektorech dosáhneme opět toho, že doplněné vektory do báze Pk-i-\ budou ležet v jádru cp a analogicky jako výše ověříme, že skutečně dostaneme bázi Pk-i-\. Po k krocích získáme bázi celého V, která má vlastnosti uvedené pro bázi prostoru Pk-i- Jednotlivé sloupce výsledného schématu pak generují hledané podprostory V7,- a navíc jsme přímo našli báze těchto podprostorů ukazující, že příslušná zazení cp jsou cyklická zobrazení. □ 3.40. Důkaz Jordánovy věty. Nechť ki,...,kk jsou J.<.- všechny různé vlastní hodnoty zobrazení cp. Z předpokladů Jordánovy věty plyne, že V = TZ^l © • • • ®1Zxk. Zobrazení cpi = (cp\fix. — • id^.) jsou nilpotentní a proto je každý z kořenových prostorů přímým součtem prostorů na nichž je zazení zobrazení cp — k,■ ■ idy cyklické. Matice těchto zúžených zobrazení na Prs jsou Jordánovy bloky příslušné k nulové vlastní hodnotě, zúžené zobrazení cp\prs má proto za matici Jordánův blok s vlastní hodnotou v" Pro důkaz Jordánovy věty zbývá dokázat tvrzení o jednoznačnosti. Protože diagonální hodnoty k{ jsou dány jako 174 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET kořeny charakteristického polynomu, je jejich jednoznačnost zřejmá. Vyjádříme rozměry jednotlivých Jordánových bloků prostřednictvím hodností rk(ki) zobrazení (cp — k{ • idy)*. Tím bude jasné, že až na pořadí jsou bloky jednoznačně určeny. Naopak, přehození bloků odpovídá přečíslování vektorů báze, lze je tedy získat v libovolném pořadí. Je-li ý cyklický operátor na n-rozměrném prostoru, pak defekt iterovaného zobrazení xjŕ je k pro 0 < k < n a je « pro všechna k > n. Odtud plyne, že pokud matice J zobrazení cp obsahuje dk (k) Jordánových bloků řádu k s vlastní hodnotou k, pak defekt matice (J — k ■ E)1 je dx(k) + 2d2(k) + . ..ldt(k) + ídl+l(k) + ... Odtud spočítáme n - n(k) = dx(X) + 2d2(k) + --- + £dl(k) + £dl+1(k) + .. dk(k) = rk-i(k) - 2rk(k) + rk+l(k) (kde poslední řádek vznikne kombinací předchozího pro hodnoty l = k - 1, k, k + 1). 3.41. Poznámka. Důkaz věty o existenci Jordánova kano-pjj^ nického tvaru byl sice konstruktivní, nedává nám ale dokonale efektivní algoritmický postup (yi, ..., yk) na podprostor generovaný sloupci matice A. Podle věty ^ yL- pro jejich hledání. Nyní shrneme již odvozený N> i*-^* - postup explicitního výpočtu báze, v níž má dané zobrazení ip : V -> V matici v kanonickém Jordánově tvaru. (1) Najdeme kořeny charakteristického polynomu. (2) Jestliže jich je méně než n = dim V, včetně násobností, kanonický tvar neexistuje. (3) Je-li n lineárně nezávislých vlastních vektorů, získáme bázi V z vlastních vektorů a v ní má cp diagonální matici. (4) Nechť k je vlastní hodnota s geometrickou násobností menší než algebraickou a v\, ..., vk nechť jsou příslušné vlastní vektory. To by měly být vektory na horním okraji schématu z důkazu věty 3.39, je ovšem nutné najít vhodnou bázi aplikacemi iterací cp — k ■ idy. Zároveň přitom zjistíme, ve kterém řádku se vektory nacházejí, a najdeme lineárně nezávislá řešení u>; rovnic (cp — k id) (x) = Ví z řádků pod nimi. Postup opakujeme iterativně (tj. pro u>; atd.). Najdeme tak „řetízky" bázových vektorů zadávajících podprostory, kde cp — k id je cyklické. Postup je praktický pro matice, kde násobnosti vlastních hodnot jsou malé, nebo aspoň diskutované stupně nilpotentnosti jsou malé. Např. pro matici (2 0 ŕ A = 0 2 1 \0 0 2> dostaneme dvourozměrný podprostor vlastních vektorů ((1,0,0), (0,1,0)). Potřebujeme proto najít řešení rovnic (A—2E)x = (a, b, 0)T pro vhodné konstanty a, b. Tento systém je ovšem řešitelný pouze pro a = b a jedno z možných řešení je v = (0, 0, 1), 3.49 je touto projekcí vektor (b\, ..., bn)T = A( l\yi, 3.54. Metodou nejmenších čverců řešte soustavu 2x + 3y + 4z = 1 x + y + z =2 3x+y + 2z = 0 2y-z = -\ Řešení. □ 175 E. ROZKLADY MATIC 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE a = b = 1. Celá hledaná báze pak je (1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0). Všimněme si, že jsme měli spoustu voleb a bazí s požadovanými vlastnostmi je tedy mnoho. 5. Rozklady matic a pseudoinverze V minulé části jsme s soustředili na geometrický popis struktury zobrazení. Teď naše výsledky přeložíme do jazyku tzv. rozkladů matic, což je obzvlášť důležité téma pro numerické postupy a maticový počet obecně. I při počítání s reálnými čísly užíváme pro zjednodušení rozklady na součiny. Nejjednodušším je vyjádření každého reálného čísla jednoznačně ve tvaru a = sgn(út) • \a\, tj. jako součin znaménka a abolutní hodnoty. V dalším textu si uvedeme stručně přehled několika takových rozkladů pro různé typy matic, které bývají nesmírně užitečné při numerických výpočtech s maticemi. Například jsme vhodný rozklad pro pozitivně semidefmitní symetrické matice využili v odstavci 3.31 pro konstrukci odmocniny z matice. 3.40 | 3.42. LU-rozklad. Začneme přeformulováním několika výsledků, které jsme už dávno odvodili. V '■} odstavcích 2.7 a 2.8 jsme upravovali matice nad skaláry z libovolného pole na řádkový 'fidf^t^J^— schodovitý tvar. K tomu jsme používali elementární úpravy, které spočívaly v postupném násobení naší matice invertibilními dolními trojúhelníkovými maticemi Pí, které postihovaly přičítání násobků řádků pod právě zpracovávaným. Předpokládejme pro jednoduchost, že naše matice A je čtvercová a že při Gausově eliminaci nejsme nuceni přehazovat řádky, a proto všechny naše matice Pt mohou být dolní trojúhelníkové s jedničkami na diagonálách. Konečně, stačí si povšimnout, že inverzní matice k takovýmto Pt jsou opět dolní trojúhelníkové s jedničkami na diagonálách a dostáváme U = P ■ A = Pk ■ ■ ■ Pi ■ A kde U je horní trojúhelníková matice a tedy A = L-U kde L je dolní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále a U je horní trojúhelníková. Tomuto rozkladu se říká LU-rozklad matice A. V případě obecné matice můžeme při Gausově eliminaci na řádkově schodovitý tvar potřebovat navíc permutace řádků, někdy i sloupců matice. Pak dostáváme obecněji A = P • L • U • Q, kde P a. Q jsou nějaké permutační matice. 176 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3.43. Poznámky. Přímým důsledkem Gausovy eliminace bylo také zjištění, že až na volbu vhodných bází na definičním oboru a oboru hodnot je každé ~_ zobrazení / : V -» W zadáno maticí v blokově diagonálním tvaru s jednotkovou maticí, s rozměrem daným dimenzí obrazu /, a s nulovými bloky všude kolem. To lze přeformulovat takto: Každou matici A typu m/n nad polem skalárů K lze rozložit na součin 0 OJ U' kde P a. Q jsou vhodné invertibilní matice. Pro čtvercové matice jsme v 3.32 ukázali při diskusi vlastností lineárních zobrazení / : V -» V na komplexních vektorových prostorech, že každou čtvercovou matici A dimenze m umíme rozložit na součin A = P ■ B ■ P~\ kde B je blokově diagonální s Jordánovými bloky příslušnými k vlastním číslům na diagonále. Skutečně jde o pouhé přepsání Jordánovy věty, protože násobení maticí P a její inverzí z opačných stran odpovídá v tomto přípaě právě změně báze na vektorovém prostoru V a citovaná věta říká, že ve vhodné bázi má každé zobrazení Jordánův kanonický tvar. Obdobně jsme také při diskusi samoadjungovaných zobrazení dokázali, že pro reálné symetrické nebo komplexní Hermiteovské matice existuje vždy rozklad na součin A = P ■ B ■ P*, kde B je diagonální matice se všemi (vždy reálnými) vlastními čísly na diagonále, včetně násobností. Skutečně, jde opět o součin s maticemi vystihující změnu báze, nicméně připouštíme nyní pouze změny mezi mezi ortonormálními bázemi a proto i matice přechodu P musí být ortogonální. Odtud P'1 = P*. Pro reálná ortogonální zobrazení jsme odvodili obdobné vyjádření jako u symetrických, pouze naše B bude blokově diagonální s bloky rozměru dva nebo jedna vyjadřujícími buď rotaci nebo zrcadlení nebo identitu vzhledem k příslušným podprostorům. 3.44. Věta o singulárním rozkladu. Nyní se vrátíme k obecným lineárním zobrazením mezi (obecně různými) vektorovými prostory. Jestliže na nich je definován skalární součin a omezíme se přitom na ortonormální báze, musíme postupovat o hodně rafinovaněji, než v případě bazí libovolných: Věta. Nechť A je libovolná matice typu m/n nad reálnými nebo komplexními skaláry. Pak existují čtvercové unitární matice U a V dimenzí m a n, a reálná diagonální matice s nezápornými prvky D dimenze r, r < min{m, n}, takové, Že A = USV*, S = í q q 177 E. ROZKLADY MATIC 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE a r je hodnost matice A A*. Přitom je S určena jednoznačně až na pořadí prvků a prvky diagonálni matice D jsou druhé odmocniny vlastních čísel , komplexními prostory se standardními skalárními součiny, zadané maticí A ve standardních bazích. Tvrzení věty můžeme přeformulovat tak, že existují ortonormální báze na W a W" ve kterých bude mít cp matici S z tvrzení věty. Jak jsme viděli dříve, matice A* A je pozitivně semidefi-nitní. Proto má samá reálná nezáporná vlastní čísla a existuje ortonormální báze w v W, ve které má příslušné zobrazení qfoip diagonální matici s vlastními čísly na diagonále. Jinými slovy, existuje unitární matice V taková, že A*A = VBV* pro reálnou diagonální matici s nezápornými vlastními čísly (d\, di, ■ ■ ■, dr, 0, ..., 0) na diagonále, d{ ^ 0 pro všechny i = l,...,r. Odtud B = V*A*AV = (AVT(AV). To je aleje ekvivalentní tvrzení, že prvních r sloupců matice A V je ortogonálních a zbývající jsou nulové, protože mají nulovou velikost. Označme nyní prvních r sloupců v\, ... ,vr e W". Platí tedy (ví,Ví) = dh i = \,...,r, a normované vektory u i = -jjVi tvoří ortonormální systém nenulových vektorů. Doplňme je na ortonormální bázi u_ = u\, ... ,un celého Km. Vyjádříme-li naše původní zobrazení cp v bazích w na K" a u na W", dostáváme matici ~J~B. Přechody od standardních bází k nově vybraným odpovídají násobení zleva ortogonálními maticemi U a zprava V~l = V*. Pokud je m > n, můžeme aplikovat předchozí část důkazu na matici A*. Odtud pak přímo plyne požadované tvrzení. Pokud pracujeme nad reálnými skaláry, jsou všechny naše kroky v důkazu výše také realizovány v reálném oboru. □ Tento důkaz věty o singulárním rozkladu je konstruktivní a můžeme jej opravdu použít pro výpočet unitárních, resp. ortogonálních, matic U, V a diagonálních nenulových prvků matice S. 3.45. Geometrická interpretace. Diagonálním hodnotám matice D z předchozí věty se říká singulární hodnoty matice A. Přeformulujme si tuto větu v reálném případě geometrietěji. 178 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET Pro příslušné lineární zobrazení cp : M." -» W" mají singulární hodnoty skutečně jednoduchý geometrický význam: Nechť K c W je jednotková sféra pro standardní skalární součin. Obrazem cp(K) pak vždy bude (případně degenerovaný) m-rozměrný elipsoid. Singulární čísla matice A jsou přitom velikosti hlavních poloos a věta navíc říká, že původní sféra vždy připouští ortogonální sdružené průměry, jejichž obrazem budou právě všechny poloosy tohoto elipsoidu. Pro čtvercové matice je vidět, že A je invertibilní právě, když všechna singulární čísla jsou nenulová. Poměr nej-většrho a nejmenšího singulárního čísla je důležitým parametrem pro robustnost řady numerických výpočtů s maticemi, např. pro výpočet inverzní matice. Poznamejme také, že existují rychlé metody výpočtů, resp. odhadů, vlastních čísel, proto lze se singulárním rozkladem velmi efektivně pracovat. 3.46. Věta o polárním rozkladu. Věta o singulárním rozkladu je východiskem pro mnoho mimořádně užitečných nástrojů. Uvažujme nyní nad několika přímými důsledky (které samy o sobě jsou dosti netriviální). Tvrzení věty říká pro libovolnou matici A, ať už reálnou nebo komplexní, A = U SW* s diagonální S s nezápornými reálnými čísly na diagonále a unitárními U, W. Pak ovšem také A = USU*UW* a pojmenujme si matice P = USU*, V = UW*. První z nich, P je hermiteov-ská (v reálném případě symetrická) a pozitivně semidefinitní, protože jde jen o zápis zobrazení s reálnou diagonální maticí S v jiné ortonormální bázi, zatímco V je coby součin dvou unitárních opět unitární (v reálném případě ortogonální). Navíc A* = WSU* a tedy A A* = USSU* = P2 a naše matice P je vlastně odmocninou ze snadno spočítatelné hermiteov-ské matice A A*. Předpokládejme, že A = PV = QU jsou dva takové rozklady matice A na součin positivně semidefinitní hermi-teovské a unitární matice a předpokládejme, že A je invertibilní. Pak ovšem je AA* = PVV*P = P2 = QUU*Q = Q2 pozitivně definitní a proto jsou matice Q = P = V AA* jednoznačně určené a invertibilní. Pak ovšem také U = V = P~lA. Beze zbytku jsme tedy odvodili velice užitečnou analogii rozkladu reálného čísla na znaménko (ortogonální matice v případě dimenze jedna jsou právě ±1) a absolutní hodnotu (matice P, ke které umíme odmocninu). Věta (Věta o polárním rozkladu). Každou čtvercovou komplexní matici A dimenze n lze vždy vyjádřit ve tvaru A = P ■ V, kde P je hermiteovská a positivně definitní čtvercová matice téže dimenze a V je unitární. Přitom P = V AA*. Jeli A invertibilní, je rozklad jednoznačný a V = (V AA*)-1 A. Pokud pracujeme nad reálnými skaláry, je P symetrická a V ortogonální. 179 E. ROZKLADY MATIC 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE Když budeme tutéž větu aplikovat na A* místo A, dostaneme tentýž výsledek, ovšem s obráceným pořadím hermite-ovských a unitárních matic. Matice v příslušných pravých a levých rozkladech budou samozřejmě obecně různé. V komplexním případě je analogie s rozkladem čísel ještě zábavnější — pozitivně semidefmitní P L_ hraje opět roli absolutní hodnoty komplexního čísla, unitární matice V pak má jednoznačné vyjádření jako součet V = re V + i im V s hermiteovkými reálnými a imaginárními částmi a s vlastností (re V7)2 + (im V7)2 = E, tj. dostáváme plnou analogii goniometrického tvaru komplexních čísel (viz závěrečná poznámka v 3.30). Všimněme si ale, že ve vícerozměrném případě je podstané, v jakém pořadí tento „goniometrický tvar" matice píšeme. Jde to oběma způsoby, výsledky jsou ale obecně různé. Pro řadu praktických aplikací bývá rychlejší použití tzv. QR rozkladu matic, který je obdobou Schurovy věty o ortogonální triangulaci: 3.45 3.47. Věta. Pro každou komplexní matici A typu m/n existuje unitární matice Q a horní trojúhelníková matice R takové, že A = QTR. Pokud pracujeme nad reálnými skaláry, jsou Q i R reálné. Důkaz. V geometrické formulaci potřebujeme dokázat, „ že pro každé zobrazení

n. Např. máme experimentem dáno mnoho naměřených reálných hodnot b j a chceme najít lineární kombinaci několika funkcí f i, která bude co nejlépe aproximovat hodnoty b j. Skutečné hodnoty zvolených funkcí v bodech y j e M zadají matici clí j = fj(yi), jejíž sloupce jsou dány hodnotami jednotlivých funkcí /} v uvažovaných bodech, a naším úkolem je tedy určit koeficienty x j e M tak, aby součet kvadrátů odchylek od skutečných hodnot m n m n J> - C^xjfjiyi)))2 = £(*.■ - (£ w))2 i=l j=l i=l j=l byl minimální. Jinými slovy, hledáme lineární kombinaci funkcí fi takovou, abychom „dobře" proložili zadané hodnoty bi. Díky předchozí větě jsou hledané optimální koeficienty A{~l)b. Abychom měli konkrétnější představu, uvažujme pouze dvě funkce f\(x) = x, faix) = x2 a předpokládejme, že „naměřené hodnoty" jejich neznámé kombinace g(x) = y\x + y2x2 v celočíselných hodnotách pro x mezi 1 a 10 jsou bT = (1.4410.644.4814.5631.1239.2054.8871.28 85.92104.16) Tento vektor vzniknul výpočtem hodnot x + x2 v daných bodech posunutých o náhodné hodnoty v rozmezí ±8. Matice A = (bij) je tedy v našem případě rovna r_/l 234 5 6 7 8 9 10 \ VI 4 9 16 25 36 49 64 81 100/ a hledané koeficienty v kombinaci jsou Výsledné proložení je možné dobře vidět na obrázku, kde zeleně jsou proloženy zadané hodnoty b lomenou čarou, zatímco červený je graf příslušné kombinace g. Výpočty byly provedeny v systému Maple pomocí příkazu leastsqrs(B,b). Pokud jste s Maplem (nebo jiným podobným softwarem) spřáteleni, zkuste si zaexperimentovat s podobnými úlohami. E. ROZKLADY MATIC 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE 184 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET F. Doplňující příklady k celé kapitole 3.55. Model vývoje populace velryb. Pro vývoj populace jsou podstatné samice a u nich není důležitý věk, ale plodnost. Z tohoto hlediska můžeme samice rozdělit na novorozené neboli juve-nilní, tj. dosud neplodné samice, mladé plodné samice, dospělé samice s nej větší plodností a samice postmenopauzní, které již plodné nejsou, ale mají velký význam při ochraně mláďat nebo vyhledávání zdrojů potravy. Budeme modelovat vývoj takové populace v čase. Za časovou jednotku zvolíme dobu dosažení dospělosti. Novorozená samice, která tuto dobu přežije, dospěje k plodnosti. Vývoj mladé samice do plné plodnosti a vývoj dospělé samice k menopauze závisí na podmínkách prostředí. Přechod do další plodnostní kategorie je tedy náhodný jev. Stejně je náhodným jevem i úmrtí samice. Mladá plodná samice má za jednotku času průměrně méně mláďat, než samice plodná. Tyto poznatky vyjádříme formalizovane. Označme xi(t), resp. x2(t), resp. x3(ŕ), resp. x4(ř), množství juvenilních, resp. mladých, resp. plně plodných, resp. postmenopauzních, samic v čase t. Množství může vyjadřovat počet jedinců, ale také počet jedinců vztažených na jednotkový areál (tzv. populační hustotu), případně také celkovou biomasu a podobně. Dále označme p\ pravděpodobnost, že juvenilní samice přežije jednotkový časový interval a tedy během něho dospěje, a p2, resp. p3, pravděpodobnost, že během jednotkové doby mladá, resp. plně plodná, samice, která neuhyne, dospěje do následující kategorie, tj. mladá do plné plodnosti a plně plodná k menopauze. Dalším náhodným jevem je umírání (pozitivně řečeno: přežívání) samic, které nedospějí do další kategorie; označme pravděpodobnosti přežití po řadě q2, q3 a q4 pro mladé, plně plodné a postmenopauzní samice. Každé z čísel p\, p2, p3, q2, q3, q4 jakožto pravděpodobnost je z intervalu [0, 1]. Mladá samice může přežít, dospět do plné plodnosti nebo uhynout; tyto jevy jsou neslučitelné, společně tvoří jev jistý a možnost úmrtí nelze vyloučit. Platí tedy P2 +12 < 1- Z podobných důvodů platí p3 + q3 < 1. Nakonec ještě označíme f2, resp. /3 průměrný počet dcer mladé, resp. plně plodné, samice. Tyto parametry splňují nerovnost 0 < /2 < /3. Očekávaný počet novorozených samic v následujícím časovém období je součtem dcer mladých a plně plodných samic, tj. XX(t + 1) = f2X2(t) + fiX3(t). Označme na okamžik x2,i(ř + 1) množství mladých samic v čase t + 1, které byly v předchozím období, tj. v čase t juvenilními, a x2_2(r + 1) množství mladých samic, které již v čase t byly plodné, jednotkový časový interval přežily, ale nedosáhly plné plodnosti. Pravděpodobnost p\, že juvenilní samice přežije jednotkový časový interval, můžeme vyjádřit jako klasickou, tj. jako poměr x2,i(ř + l)/xi(ř), a podobně můžeme vyjádřit pravděpodobnost q2 jako poměr x22(ř + l)/x2(ř). Poněvadž mladé samice v čase ř + 1 jsou právě ty, které dospěly z juvenilnŕho stádia, a ty, které již plodné byly, přežily a nedospěly k plné plodnosti, platí x2(t + 1) = x2,i(ř + 1) +x2,2(ř + 1) = pixi(ť) +q2x2(t). Analogicky odvodíme očekávaný počet plně plodných samic jako x3(ř + 1) = p2x2(t) + /0\ f0,0043\ 0,9775 0,9111 0 0 1 0,9111 0 0,0736 0,9534 0 0 0,0736 V 0 0 0,0452 0,9804y W v. 0 ) / 0 0,0043 0,1132 0 \ //0,0043> /0,01224925\ 0,9775 0,9111 0 0 0,9111 0,83430646 0 0,0736 0,9534 0 0,0736 0,13722720 V 0 0 0,0452 0,9804/ v0,00332672y x(2) a tak můžeme pokračovat dále. Výsledky výpočtu můžeme také znázornit graficky; to je provedeno na obrázku 1. Vyzkoušejte si výpočet a grafické znázornění jeho výsledků i pro jiné počáteční složení 186 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET populace. Výsledkem by mělo být pozorovaní, že celková velikost populace roste jako exponenciální funkce, poměry velikostí jednotlivých plodnostních tříd se postupně ustálí na konstantních hodnotách. Matice A má vlastní hodnoty ki = 1,025441326, k2 = 0,980400000, k3 = 0,834222976, k4 = 0,004835698, vlastní vektor příslušný k největší vlastní hodnotě k\ je w = (0,03697187, 0,31607121, 0,32290968, 0,32404724); tento vektor je normován tak, aby součet jednotlivých složek byl roven 1. Porovnejte vývoj velikosti populace s exponenciální funkcí F(t) = k[x0, kde x0 je celková velikost počáteční populace. Vypočítejte také relativní zastoupení jednotlivých plodnostních kategorií v populaci po jisté době vývoje a porovnejte ho se složkami vlastního vektoru w. Shoda je způsobena pouze tím, že matice A má jednu vlastní hodnotu, která má absolutní hodnotu největší z absolutních hodnot všech vlastních hodnot matice A, a tím, že vektorový podprostor generovaný vlastními vektory příslušnými k vlastním hodnotám k2, k3, k4 má s nezáporným orthantem jednoprvkový průnik (pouze nulový vektor). Struktura matice A však sama nezaručuje takto jednoduše předvídatelný vývoj, je totiž tzv. reducibilní (viz ??). 3.56. Model růstu populace bodláků Dipsacus sylvestris. Tuto rostlinu můžeme vidět ve čtyřech podobách. Buď jako kvetoucí rostlinu nebo jako růžici listů, přičemž u růžic můžeme rozlišit trojí velikost - malé, střední a velké. Životní cyklus této jednodomé víceleté byliny můžeme popsat následovně. Kvetoucí rostlina vyprodukuje v pozdním létě větší množství semen a uhyne. Ze semen některá vyklíčí ještě v temže roce a vyroste z nich růžice listů, nejčastěji střední velikosti. Jiná semena zůstanou v zemi a přezimují. Některá z přezimujících semen na jaře vyklíčí a vyroste z nich růžice listů; poněvadž jsou ale prezimovaním oslabena, bude tato růžice s nejvyšší pravděpodobností malá. Většina z přezimujících semen zůstane v zemi, a ta z nich, která přežijí, na jaře vyklíčí a vyrostou z nich malé růžice. Po třech nebo více zimách „spící" (odborně řečeno dormantní) semena hynou, ztrácí schopnost vyklíčit. Podle podmínek prostředí, kde rostlina roste, může malá nebo střední růžice listů do dalšího roku vyrůst, kterákoliv z růžic může zůstat ve své velikostní kategorii nebo uhynout - uschnout, být sežrána nějakým hmyzem a podobně. Střední nebo velká růžice může v následujícím roce vykvést. Kvetoucí rostlina produkuje semena a celý cyklus se opakuje. Abychom mohli předpovídat, jak rychle se bude populace uvažovaných bodláků v krajině šířit, potřebujeme popsané procesy nějak kvantifikovat. Botanici zjistili, že kvetoucí rostlina vyprodukuje průměrně 431 semen. Pravděpodobnosti klíčení různých semen, růstu růžic listů a vykvetení jsou shrnuty v tabulce: 187 F. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE jev pravděpodobnost semeno vyprodukované rostlinou uhyne ze semene vyroste malá růžice v temže roce ze semene vyroste střední růžice v temže roce ze semene vyroste velká růžice v temže roce ze semene přezimujícího rok vyroste malá růžice ze semene přezimujícího rok vyroste střední růžice ze semene přezimujícího rok vyroste velká růžice ze semene přezimujícího dva roky vyroste malá růžice semeno po prvním prezimovaní uhyne malá růžice přežije a nevyroste střední růžice přežije a nevyroste velká růžice přežije a nevyroste z malé růžice vyroste střední z malé růžice vyroste velká ze střední růžice vyroste velká střední růžice vykvete velká růžice vykvete 0,172 0,008 0,070 0,002 0,013 0,007 0,001 0,001 0,013 0,125 0,238 0,167 0,125 0,036 0,245 0,023 0,750 Povšimněme si, že všechny relevantní jevy v životním cyklu rostliny mají pravděpodobnost přiřazenu a že se jedná o jevy neslučitelné. Budeme si představovat, že populaci pozorujeme vždycky na začátku vegetačního roku, řekněme v březnu, a že ke všem uvažovaným jevům dochází ve zbytku času, dejme tomu od dubna do února. V populaci se vyskytují kvetoucí rostliny, růžice tří velikostí, vyprodukovaná semena a semena dor-mantní jeden nebo dva roky. Toto pozorování by mohlo svádět k tomu, že populaci rozdělíme do sedmi tříd - semena čerstvá, dormantní první rok a dormantní druhý rok, růžice malé střední a velké, kvetoucí rostliny. Avšak z vyprodukovaných semen se v temže roce vyvinou buď růžice nebo semena přezimují. Čerstvá semena tedy netvoří samostatnou třídu, jejíž velikost bychom na začátku roku mohli určit. Označme tedy: %\ (ŕ) — počet semen dormantních první rok na jaře roku ř *2(0 — počet semen dormantních druhý rok na jaře roku ř x3(t) — počet malých růžic na jaře roku t x4(t) — počet středních růžic na jaře roku t x5(t) — počet velkých růžic na jaře roku t x6(t) — počet kvetoucích rostlin na jaře roku t Počet vyprodukovaných semen v roce t je 431x6(ř). Pravděpodobnost, že semeno zůstane jako dormantní první rok, je rovna pravděpodobnosti, že ze semena nevyroste žádná růžice a že neuhyne, tedy 1 - (0,008 + 0,070 + 0,002 + 0,172) = 0,748. Očekávaný počet semen dormantních jednu zimu v následujícím roce tedy je Pravděpodobnost, že semeno, které již jeden rok bylo dormantní, zůstane dormantním i druhý rok je rovna pravděpodobnosti, že ze semena dormantnŕho jeden rok nevyroste žádná růžice a že neuhyne, tedy 1 — 0,013 — 0,007 — 0,001 — 0,013 = 0,966. Očekávaný počet semen dormantních dvě zimy v následujícím roce tedy bude Malá růžice může vyrůst ze semena bezprostředně, ze semena dormantního jeden rok nebo dormantního dva roky. Očekávaný počet malých růžic vyrostlých bezprostředně v roce t je roven xi(t + 1) = 0,748 • 431x6(ř) = 322,388x6(ř). x2(t + 1) = 0,966x!(ř). 188 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 0,008 • 431x6(ŕ) = 3,448x6(ŕ). Očekávaný počet malých růžic vyrostlých ze semen dormantních jeden a dva roky je 0,013xi (ř) a 0,010x2(ŕ). S těmito nově vyrostlými malými růžicemi jsou v populaci rostlin také malé růžice starší, které nevyrostly; těch je 0,125x3(r). Celkový očekávaný počet malých růžic tedy je x3(t + 1) = 0,013x!(ř) + 0,010x2(r) + 0,125x3(r) + 3,448x6(r). Analogicky určíme očekávaný počet středních a velkých růžic x4(t + 1) =0,007x!(ř) + 0,125x3(ř) + 0,238x4(ř) + 0,070 • 431x6(ř) = =0,007xi (ř) + 0,125x3 (ř) +0,238x4(ř) + 30,170x6, x5(ř + 1) =0,245x4(ř) +0,167x5(ř) +0,002 • 431x6(ř) = =0,245x4 (ř) +0,167x5 (ř) +0,862x6(ř). Kvetoucí rostlina může vyrůst ze střední nebo velké růžice. Očekávaný počet kvetoucích rostlin tedy bude x6(ř + 1) = 0,023x4(ř) + 0,750x5 (ř). Dospěli jsme tedy k šesti rekurentním formulím pro jednotlivé složky populace studované rostliny. Označíme nyní / 0 0 0 0 0 322,388\ (xi(t)\ 0,966 0 0 0 0 0 x2(t) 0,013 0,010 0,125 0 0 3,448 , x(ř) = x3(ř) 0,007 0 0,125 0,238 0 30,170 x4(ř) 0,008 0 0,038 0,245 0,167 0,862 x5(t) V 0 0 0 0,023 0,750 o ) \X6Ít) / a předchozí rovnosti zapíšeme v maticovém tvaru vhodném pro výpočet x(t + 1) = Ax(t). Pokud známe počty jednotlivých složek populace v nějakém počátečním roce t = 0, můžeme vypočítat očekávané počty rostlin a semen v letech následujících. Můžeme také počítat celkový počet jedinců 6 n(t) v čase t, n(t) = ^ Xi(ť), relativní zastoupení jednotlivých složek Xi(t)/n(t), i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 i=\ a meziroční relativní změnu populace n(t + \)/n(t). Výsledky takového výpočtu pro patnáct let a případ, že na nějakou lokalitu jsme přesadili jednu kvetoucí rostlinu, jsou uvedeny v tabulce 1. Na rozdíl od populace velryb by nyní obrázek nebyl příliš přehledný, počty rostlin jsou oproti počtům semen zanedbatelné, v obrázku by splynuly. Matice A má vlastní hodnoty kx = 2,3339 k2 = -0,9569 + 1,4942i k3 = -0,9569 - 1,4942i Vlastní vektor příslušný k vlastní hodnotě k\ je A-4 A6 0,1187 + 0,1953i 0,1187 -0,1953i -0,1274 w (0,6377, 0,2640, 0,0122, 0,0693, 0,0122, 0,0046); tento vektor je normován tak, aby součet jeho složek byl roven jedné. Vidíme, že s rostoucím časem t se relativní změna velikosti populace přibližuje vlastní hodnotě k\, relativní zastoupení jednotlivých složek populace se přibližují složkám normovaného vlastního vektoru příslušného k vlastní hodnotě 189 F. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE t XI x2 x3 X4 x5 Xg n{t) 1 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1 322,39 0,00 3,45 30,17 0,86 0,00 356,87 2 0,00 311,43 4,62 9,87 10,25 1,34 337,50 3 432,13 0,00 8,31 43,37 5,46 7,91 497,18 4 2550,50 417,44 33,93 253,07 22,13 5,09 3 282,16 5 1 641,69 2463,78 59,13 235,96 91,78 22,42 4514,76 6 7 227,10 1585,88 130,67 751,37 107,84 74,26 9 877,12 7 23 941,29 6981,37 382,20 2486,25 328,89 98,16 34 218,17 8 31646,56 23 127,29 767,29 3 768,67 954,73 303,85 60 568,39 9 97 958,56 30570,58 1 786,27 10381,63 1 627,01 802,72 143 126,78 10 258 788,42 94627,97 4570,24 27 597,99 4358,70 1 459,04 391 402,36 11 470376,19 249 989,61 9 912,57 52970,28 10991,08 3 903,78 798 143,52 12 1258 532,41 454383,40 23 314,10 134915,73 22317,98 9 461,62 1 902 925,24 13 3 050314,29 1215 742,31 56442,70 329 291,15 55 891,57 19 841,54 4727 523,56 14 6396675,73 2946603,60 127 280,49 705 398,22 133 660,97 49 492,37 10359 111,38 15 15 955 747,76 6179188,75 299182,59 1 721 756,52 293 816,44 116469,89 24566161,94 *2(0 x3(ř) x4(ř) *s(0 x6(t) n(t + 1) ř n(t) n(t) n(t) n(t) n(t) n(t) n(t) 0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 356,868 1 0,903 0,000 0,010 0,085 0,002 0,000 0,946 2 0,000 0,923 0,014 0,029 0,030 0,004 1,473 3 0,869 0,000 0,017 0,087 0,011 0,016 6,602 4 0,777 0,127 0,010 0,077 0,007 0,002 1,376 5 0,364 0,546 0,013 0,052 0,020 0,005 2,188 6 0,732 0,161 0,013 0,076 0,011 0,008 3,464 7 0,700 0,204 0,011 0,073 0,010 0,003 1,770 8 0,522 0,382 0,013 0,062 0,016 0,005 2,363 9 0,684 0,214 0,012 0,073 0,011 0,006 2,735 10 0,661 0,242 0,012 0,071 0,011 0,004 2,039 11 0,589 0,313 0,012 0,066 0,014 0,005 2,384 12 0,661 0,239 0,012 0,071 0,012 0,005 2,484 13 0,645 0,257 0,012 0,070 0,012 0,004 2,191 14 0,617 0,284 0,012 0,068 0,013 0,005 2,371 15 0,650 0,252 0,012 0,070 0,012 0,005 Tabulka 1. Modelovaný vývoj populace bodláku Dipsacus sylvestris. Velikosti jednotlivých složek populace, celková velikost populace, relativní zastoupení jednotlivých složek a relativní přírůstky velikosti. X\. Každá nezáporná matice, která má nenulové prvky na stejných pozicích jako matice A je primitivní. Vývoj populace tedy zákonitě spěje ke stabilizované struktuře. 3.57. Nelineární model populace. Prozkoumejte podrobně vývoj populace pro nelineární model z učebnice (1.12) a hodnoty K = 1 a i) míru růstu r = 1 a počáteční stav p(l) = 0,2 Ü) míru růstu r = 1 a počáteční stav p(\) = 2 iii) míru růstu r = 1 a počáteční stav p(\) = 3 iv) míru růstu r = 2, 2 a počáteční stav p(\) = 0,2 v) míru růstu r = 3 a počáteční stav p(\) = 0,2 Spočítejte několik prvních členů a odhadněte, jak bude populace dále růst. Řešení. 190 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET i) Prvních deset členů posloupnosti p(n) je v následující tabulce. Odtud je vidět, že velikost populace konverguje k hodnotě 1. n P(n) 1 0,2 2 0,36 3 0,5904 4 0,83222784 5 0,971852502 6 0,999207718 7 0,999999372 Graf vývoje populace pro r = 1 a p(\) = 0, 2: ii) Pro počáteční hodnotu p(\) =2 dostaneme p(2) = 0 a dál už se populace měnit nebude. iii) Pro p(\) = 3 dostáváme n P(n) 1 3 2 -15 3 -255 4 -65535 a odtud je vidět, že populace bude klesat pode všechny meze. iv) Pro míru růstu r = 2, 2 a počáteční stav p(\) = 0, 2 dostáváme n P(n) 1 0,2 2 0,552 3 1,0960512 4 0,864441727 5 1,122242628 6 0,820433675 7 1,144542647 8 0,780585155 9 1,157383491 10 0,756646772 11 1,161738128 12 0,748363958 !3 1,162657716 14 0,74660417 Vidíme, že místo konvergence dostáváme v tomto případě oscilaci-po nějaké době bude populace přeskakovat mezi hodnotami 1,16 a 0,74. Graf vývoje populace pro r = 2, 2 a p(\) = 0, 2 pak vypadá následovně: v) Pro míru růstu r = 3 a počáteční stav p(\) = 0, 2 dostáváme 191 F. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE n P(n) 1 0,2 2 0,68 3 1,3328 4 0,00213248 5 0,008516278 6 0,033847529 7 0,131953152 8 0,475577705 9 1,223788359 10 0,402179593 11 1,123473097 12 0,707316989 13 1,328375987 14 0,019755658 15 0,077851775 16 0,293224403 17 0,91495596 18 1,148390614 19 0,63715945 20 1,330721306 21 0,010427642 22 0,041384361 23 0,160399447 V tomto případě je už situace složitější-populace začne oscilovat mezi více hodnotami. Abychom lépe viděli mezi kterými, bylo by potřeba spočítat ještě víc členů. Pro členy z tabulky máme následující graf □ 3.58. V laboratoři je prováděn pokus se stejnou pravděpodobností úspěchu i neúspěchu. Pokud se pokus podaří, bude pravděpodobnost úspěchu druhého pokusu 0, 7. Jestliže skončí první pokus neúspěchem, bude pravděpodobnost úspěchu druhého pokusu pouze 0, 6. Dále se bude pokračovat v provádění pokusů, kdy úspěšnost předešlého znamená, že pravděpodobnost úspěchu následujícího bude 0, 7, a jeho neúspěšnost způsobí, že pravděpodobnost úspěchu následujícího bude 0, 6. Pro libovolné n e N stanovte pravděpodobnost, že n-tý pokus se podaří. Řešení. Zaveďme pravděpodobnostní vektor kde x\ je pravděpodobnost úspěchu n-tého pokusu a x2 = \ —x\ je pravděpodobnost jeho neúspěchu. Podle zadání je a zřejmě také _ /0, 7 0, 6\ /l/2\ _ /l3/20\ Xl ~ {O, 3 0,4)' \l/2 )-\ 7/20 ) ■ Při označení /7/10 3/5\ V3/10 2/5J 192 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET platí ves013666 (3.7) *-« + ! T-x„, n e N, ves013665 neboť pravděpodobnostní vektor xn+\ závisí pouze na xn a tato závislost je totožná jako pro x2 a.x\. Ze vztahu (3.7) bezprostředně plyne (3.8) T T x n-l Tn-xu n > 2, n e N. Proto vyjádříme T", n e N. Jedná se o Markovův proces, a tudíž je 1 vlastní číslo matice T. Druhé vlastní číslo 0, 1 vyplývá kupř. z toho, že stopa (součet prvků na diagonále) je rovna součtu všech vlastních čísel (každé vlastní číslo bereme tolikrát, jaká je jeho algebraická násobnost). Těmto vlastním číslům pak přísluší vlastní vektory Dostáváme tak T = tj. pro n e N je 1 1 o 0 1/10 1 o 0 1/10 1" o 0 10"" Dosazení a roznásobení dává 1 (2 +10-3 V1 " 10~ Odtud, z (3.7) a (3.8) plyne 1 -i' 3 U 2 - 2 • 10"" 1 + 2 • 10"" 1 1 3 + 6-10" n e N. n e N. 6-10" Zvláště vidíme, že pro velká n je pravděpodobnost úspěchu n-tého pokusu blízká 2/3. □ 3.59. Student na koleji je značně společensky unaven (v důsledku toho není schopen plně vnímat smyslové podněty a koordinovat své pohyby). V tomto stavu se přesto rozhodne, že na právě probíhající večírek pozve známou, která má pokoj na jednom konci chodby. Na opačném konci chodby však bydlí někdo, koho pozvat rozhodně nehodlá. Je ovšem natolik „unaven", že rozhodnutí udělat krok zvoleným směrem se mu podaří realizovat pouze v 53 ze 100 pokusů (ve zbylých 47 jde přesně na opačnou stranu). Za předpokladů, že vyjde v polovině chodby a že vzdálenost k oběma dveřím na koncích chodby odpovídá jeho 20 krokům, stanovte pravděpodobnost, že nejdříve dorazí ke správným dveřím. 193 F. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE 3.60. Nechť n e N osob hraje tzv. tichou poštu. Pro jednoduchost předpokládejte, že první osoba zašeptá druhé právě jedno (libovolně zvolené) ze slov „ano", „ne". Druhá osoba pak potichu řekne třetí osobě to ze slov „ano", „ne", o kterém si myslí, že ho řekla první osoba. Takto to pokračuje až k n-té osobě. Jestliže pravděpodobnost toho, že při libovolném předání se zamění (nechtě, úmyslně) šířené slovo na to druhé, je p e (0, 1), stanovte pro velká n e N pravděpodobnost, že n-tá osoba určí správně slovo zvolené první osobou. Řešení. Na tuto úlohu lze nahlížet jako na Markovův řetězec se dvěma stavy nazvanými Ano a Ne, kdy řekneme, že proces je ve stavu Ano v čase m e N, pokud si m-tá osoba bude myslet, že předávané slovo je „ano". Pro pořadí stavů Ano, Neje pravděpodobnostní matice přechodu Součin matice Tm~ a pravděpodobnostního vektoru počáteční volby první osoby potom udává pravděpodobnosti toho, co si bude myslet m-tá osoba. Mocniny této matice ovšem počítat nemusíme, neboť všechny prvky matice T jsou kladná čísla. Navíc tato matice je dvojnásobně stochastická. Víme tudíž, že pro velká n e N bude pravděpodobnostní vektor blízký vektoru (1/2, 1 /2)T. Pravděpodobnost, že n-tá osoba řekne „ano", je proto přibližně stejná jako pravděpodobnost, že řekne „ne", a to nezávisle na tom, pro které slovo se rozhodla první osoba. Pro velký počet zúčastněných tak platí, že zhruba polovina z nich uslyší „ano" (zopakujme, že nezávisle na tom, které slovo bylo na začátku vybráno). Pro úplnost zjistěme, jak by úloha dopadla, kdybychom předpokládali, že pravděpodobnost záměny „ano" na „ne" je u libovolné osoby p e (0, 1) a pravděpodobnost záměny „ne" na „ano" je obecně odlišné q e (0, 1). V tomto případě pro stejné pořadí stavů dostáváme pravděpodobnostní matici přechodu Rovněž tentokrát při dostatečném počtu lidí nezáleželo na volbě slova, kterou učinila první osoba. Stručně řečeno, v tomto modelu platí, že nezáleží na původním rozhodnutí, protože o tom, jakou informaci si lidé předávají, rozhodují oni sami; přesněji řečeno, lidé sami rozhodují o četnosti výskytu „ano" a „ne", pokud je jich dostatečný počet (a chybí-li jakékoli ověřování). Doplňme ještě, že výše uvedený závěr byl experimentálně ověřen. V psychologických pokusech byl mj. jedinec opakovaně vystaven vjemu, který šlo vnímat dvěma různými způsoby, a to v časových intervalech zaručujících, aby si subjekt pamatoval předešlý vjem. Viz např. „T. Havránek a kol.: Matematika pro biologické a lékařské vědy, Praha, Academia 1981", kde je uveden experiment, v němž je zábleskem osvětlován v pevných časových odstupech nejednoznačný obraz (třeba náčrt krychle vnímatelný jako nadhled i podhled). Takový proces je totiž Markovovým řetězcem s maticí přechodu která vede (pro velká n e N) k pravděpodobnostnímu vektoru blízkému vektoru \p + q p + q což kupř. plyne z vyjádření matice kde p,q e (0, 1). □ 194 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET 3.61. V jisté hře si můžete vybrat jednoho ze dvou soupeřů. Pravděpodobnost, že porazíte lepšího, je 1/4, zatímco horšího ze soupeřů porazíte s pravděpodobností 1/2. Soupeři ale nejsou rozlišeni, a tak nevíte, který z nich je ten lepší. Čeká Vás velké množství her (pro každou můžete zvolit jiného soupeře) a samozřejmě chcete dosáhnout celkově co největšího podílu vítězných her. Uvažte tyto dvě strategie: 1. Pro první hru si vyberete soupeře náhodně. Pokud nějakou hru vyhrajete, pokračujete se stejným soupeřem; jestliže ji prohrajete, změníte pro další hru soupeře. 2. Pro první dvě hry si vyberete (jednoho) soupeře náhodně. Dále se řídíte výsledkem předchozích dvou her, kdy na další dvě hry změníte soupeře, právě když obě předchozí prohrajete. Kterou ze strategií (moudře) zvolíte? Řešení. Obě strategie jsou vlastně Markovovým řetězcem. Pro jednoduchost horšího ze soupeřů označujme jako osobu A a lepšího ze soupeřů jako osobu B. V prvním případě pro stavy „hra s osobou A", „hra s osobou 5" (a toto jejich pořadí) dostáváme pravděpodobnostní matici přechodu '1/2 3/4^ ,1/2 1/4, Tato matice má všechny prvky kladné, a proto stačí najít pravděpodobnostní vektor x^, který přísluší vlastnímu číslu 1. Platí 3 2X T .5 5, Jeho složky odpovídají pravděpodobnostem, že po dlouhé řadě her bude soupeřem osoba A, resp. B. Lze tedy očekávat, že 60 % her bude hráno proti horšímu ze soupeřů. Neboť 2 _ 3 1 2 1 5 = 5 ' 2 + 5 ' 4' vítězných her bude kolem 40 %. Pro druhou strategii zaveďme stavy „dvě hry po sobě s osobou A" a „dvě hry po sobě s osobou 5", které vedou na pravděpodobnostní matici přechodu '3/4 9/16N 1/4 1/16, Snadno určíme, že nyní je 9 4 13' 13, Proti horšímu ze soupeřů by se tak hrálo (9/4)krát častěji než proti lepšímu z nich. Připomeňme, že pro první strategii to bylo (3/2)krát častěji. Druhá strategie je proto výhodnější. Ještě poznamenejme, že při druhé strategii bude přibližně 42,3 % her vítězných. Stačí totiž vyčíslit 11 9 1 4 1 0, 423 = — =---+---. 26 13 2 13 4 □ 3.62. Petr se pravidelně setkává se svým kamarádem. Je ovšem „proslulý" svou nedochvilností. Snaží se ale změnit, a proto platí, že v polovině případů přijde včas a v jedné desetině případů dokonce ještě dříve, pokud na minulé setkání přišel pozdě. Jestliže minule přišel včas nebo dříve, než měl přijít, vrátí se ke své „bezstarostnosti" a s pravděpodobností 0,8 dorazí pozdě a pouze s pravděpodobností 0,2 včas. Jaké je pravděpodobnost, že na dvacáté setkání přijde pozdě, když na jedenácté přišel včas? 195 F. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE Řešení. Zřejmě se jedná o Markovův proces se stavy „Petr přijde pozdě", „Petr přijde včas", „Petr přijde dříve" a s pravděpodobnostní maticí přechodu (pro uvedené pořadí stavů) /0,4 0,8 0, 8\ T = 0,5 0,2 0,2 . \0, 1 0 0/ Jedenácté setkání je určeno pravděpodobnostním vektorem (0, 1, 0)T (s jistotou víme, že Petr přišel včas). Dvacátému setkání pak odpovídá pravděpodobnostní vektor /0\ /0,571578 368\ T9 1 = 0,371316 224 . \0/ \0, 057 105 408/ Hledaná pravděpodobnost je tudíž 0, 571 578 368 (přesně). Dodejme, že je /0, 571 316224 0,571578 368 0,571578 368\ T9 = 0,371512832 0,371316224 0,371316224 . \0,057170944 0,057105 408 0,057105 408/ Odtud vidíme, jak málo záleží na tom, zda přišel na jedenácté setkáni pozdě (první sloupec), včas nebo dříve (druhý a současně třetí sloupec). □ 3.63. Dva studenti A a S tráví každé pondělní odpoledne hraním jisté počítačové hry o to, kdo z nich večer zaplatí společnou útratu v restauraci. Hra může rovněž skončit remízou, kdy večer oba platí právě polovinu útraty. Výsledek předešlé hry částečně ovlivňuje hru následující. Pokud tedy před týdnem vyhrál student A, potom s pravděpodobností 3/4 vyhraje opět a s pravděpodobností 1 /4 skončí hra remízou. Remíza se opakuje s pravděpodobností 2/3 a s pravděpodobností 1 /3 vyhraje ve hře následující po remíze student B. Pokud před týdnem vyhrál student B, pak s pravděpodobností 1 /2 své vítězství zopakuje a s pravděpodobností 1/4 vyhraje student A. Nalezněte pravděpodobnost, že dnes bude každý platit polovinu útraty, jestliže první hru před velmi dlouhou dobou vyhrál student A. Řešení. Vlastně je zadán Markovův proces se stavy „vyhraje student A", „hra skončí remízou", „vyhraje student 5" (v tomto pořadí) pravděpodobnostní maticí přechodu /3/4 0 l/4\ T = ( 1/4 2/3 1/4 . V 0 1/3 1/2/ Chceme najít pravděpodobnost přechodu z prvního stavu do druhého po velkém počtu n e N kroků (týdnů). Matice T je regulární, protože / 9/16 1/12 5/16 \ T2 = 17/48 19/36 17/48 . \ 1/12 7/18 1/3 / Stačí tak najít vlastní pravděpodobnostní vektor x^ matice T příslušný vlastnímu číslu 1. Snadno lze spočítat, že _ /2 3 2 x°° ~ Vř 7' 7 Víme, že vektor x^ se jen velmi málo liší od pravděpodobnostního vektoru pro velká n a téměř nezávisí na počátečním stavu, tj. pro velká n e N můžeme klást /2/7 2/7 2/7\ T" « 3/7 3/7 3/7 . \2/7 2/7 2/7/ 196 KAPITOLA 3. LINÁRNÍ MODELY A MATICOVÝ POČET_ Hledaná pravděpodobnost je prvkem této matice na druhé pozici v prvním sloupci (je druhou složkou vektoru jc^). Poměrně rychle jsme nalezli výsledek 3/7. □ 197 f. doplňující príklady k cele kapitole 5. rozklady matic a pseudoinverze 3.9. 2\/3 sin(n • (tt/6)) — 4cos(n • (jr/6)). -3(-l)" - 2cos(« • (2tt/3)) - 2v/3sin(n • ((2tt/3)). (-l)"(-2«2 + 8n -7). 2aX — 2a 3.10. xn 3.11. x„ 3.12. x„ 3.20. Leslieho matice daného modeluje (úmrtnost v první skupině označíme a) '0 2 2\ a 0 0 ^0 1 0) Podmínka stagnace populace odpovídá tomu, že matice má vlastní hodnotu 1, neboli polynom X3 má mít kořen 1, t.j a — 1/4. 3.23. 1 5 4 5 Matice má dominantní vlastní hodnotu 1, příslušný vlastní vektor je (|, 1). Protože je vlastní hodnota dominantní, tak se poměr diváků se ustálí na poměru 6:5. 3.26. Stejně jako v (3.25) skončí hra po třech sázkách. Jsou tedy opět všechny mocniny A, počínaje A3 shodné. > 100 3.36. Můžeme využít výsledku úlohy označované jako Ruinovaní hráče. Pravděpodobnost, že zanikne to oddělení, které má nyní 40 zaměstnanců, je podle tohoto příkladu rovna 1 _ f 0.46 f 1 \ 1-0,46,/ /l 7/8 3/4 1/2 o\ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \o 1/8 1/4 1/2 1/ ,25 = 0, 56. 1 _ / 0.46 \ 1 \ 1-0,46,/ Stačilo dosadit p — 1 — 0, 54, y — 10/2 a x — 40/2 do (3.6). Prozíravější je tedy zvolit v tuto chvíli menší oddělení. 3.44. • Tvrzení je pravdivé. (B := A A, bij — (i-tý řádek A ) • (j-tý sloupec A)= bji — (j-tý řádek AT) ■ (i-tý sloupec A)=(j-tý sloupec A) ■ (i-tý řádek AT) Tvrzení zřejmě neplatí. Uvažte např. A n 1 .0 1 3.46. 1 / \0 0 0 3.59. Znovu se jedná o speciální případ Ruinovaní hráče. Stačí zadání vhodně přeformulovat. Pro p — 0, 47, y — 20 a x — 20 z (3.6) plyne výsledek .20 1 0,917 = - 1 V 1-0,47) v 1-0,47 J 198 KAPITOLA 4 Analytická geometrie poloha, incidence, projekce ? — a zase skončíme u matic... Vrátíme se teď k našemu pohledu na geometrii, když jsme zkoumali polohy bodů v rovině v 5. části první kapitoly, viz 1.23. Budeme se nejprve zajímat o vlastnosti prostorových objektů vymezených pomocí bodů, přímek, rovin apod. Podstatné přitom bude vyjasnění, jak jejich vlastnosti souvisí s pojmem vektorů a zda závisí na pojmu velikosti vektorů. V další části pak použijeme lineární algebru pro studium objektů, které už lineárně definované nejsou. Opět přitom budeme potřebovat trochu více maticového počtu. Výsledky budou důležité později při diskusi technik pro optimalizace, tj. hledání extrémů funčkních hodnot. Projektivní rozšíření afinních prostorů nám v závěru kapitoly ukáže, jak lze překvapivě snadno dosáhnout zjednodušení i stability algoritmických postupů typických pro práci s počítačovou grafikou. 1. Afinní a euklideovská geometrie Když jsme si ujasňovali strukturu řešení systémů lineárních rovnic v první části předchozí kapitoly, zjistili jsme v ostavci 3.1, že všechna řešení ne-'s^zzz homogenních systémů rovnic sice netvoří vektorové podprostory, vždy ale vznikají tak, že k jednomu jedinému řešení přičteme celý vektorový prostor řešení příslušné homogenní soustavy. Naopak, rozdíl dvou řešení nehomogenní soustavy je vždy řešením soustavy homogenní. Obdobně se chovají lineární diferenční rovnice, jak jsme již viděli v odstavci 3.14. 4.1. Afinní prostory. Návod na teoretické uchopení takové situace dává již diskuse geometrie roviny, viz odstavec 1.25 a dále. Tam jsme totiž popisovali přímky a body jako množiny řešení systémů lineárních rovnic. Přímka pro nás pak byla „jednorozměrným" prostorem, přestože její body byly popisovány dvěmi souřadnicemi. Parametricky jsme ji zadávali tak, že k jednomu bodu (tj. dvojici souřadnic) jsme přičítali násobky pevně zvoleného směrového vektoru. Stejně budeme postupovat i teď v libovolné dimenzi. Standardní afinní prostor Standarní afinní prostor A„ je množina všech bodů v W = A„ spolu s operací, kterou k bodu A = («1, ..., an) e A„ a vektoru v = (v\, ..., vn) e W = V A. Afinní geometrie 4.1. Napište parametrické vyjádření přímky určené rovnicemi x - 2y + z = 2, 2x + y - z = 5 vKl Řešení. Zřejmě postačuje vyřešit uvedenou soustavu rovnic. Můžeme ale postupovat také odlišně. Potřebujeme totiž najít nenulový (směrový) vektor, který bude kolmý na (normálové) vektory (1, —2, 1), (2, 1, —1). Vektorový součin (1, -2, 1) x (2, 1, -1) = (1,3,5) ovšem takový vektor dává. Všimneme-li si, že např. uspořádaná trojice (x, y, Z) = (2,-1,-2) vyhovuje dané soustavě, dostaneme výsledek [2,-1,-2]+ t (1,3, 5), íel. □ 4.2. Rovinu q : [0, 3, 2, 5] + t (1, 0, 1, 0) + s (2, -1, -2, 2), í,sel ve čtyřrozměrném eukleidovském prostoru zadejte implicitně. 199 A. AFINNÍ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVSKÁ GEOMETRIE 4.3. Parametricky vyjádřete průnik následujících rovin v M3: a : 2x + 3y — z + 1 = 0 a p : x — 2y + 5 = 0. Řešení. Úkolem je najít soustavu lineárních rovnic čtyř proměnných x, y, z, u (čtyři proměnné jsou dány dimenzí prostoru), jíž budou vyhovovat právě souřadnice bodů uvedené roviny. Poznamenejme, že hledaná soustava bude obsahovat 2 = 4—2 lineárně nezávislé rovnice. Příklad vyřešíme tzv. eliminací parametrů. Body [x, y, z, u] e q splňují x = t + 2s, y = 3 — s, z = 2 + t - 2s, u = 5 + 2s, přičemž í,s é1. Odtud můžeme ihned přejít k maticovému zápisu /1 2 -1 0 0 0 0 \ 0 -1 0 -1 0 0 3 1 -2 0 0 -1 0 2 2 0 0 0 -1 5/ kde první dva sloupce jsou směrové vektory roviny, za svislou čarou následuje záporně vzatá jednotková matice a za druhou svislou čarou jsou souřadnice bodu [0, 3, 2, 5]. Tento přepis vzniká tak, že na výše uvedenou soustavu rovnic nahlížíme jako na soustavu rovnic pro neznámé t, s, x, y, z, u a všechny členy přitom převádíme na jednu stranu rovnic. Získanou matici převedeme pomocí elementárních řádkových transformací do tvaru, kdy před první svislou čarou bude maximální možný počet nulových řádků. Přičtením (—1)násobku prvního a současně (—4)násobku druhého řádku ke třetímu řádku a dvojnásobku druhého ke čtvrtému řádku dostáváme /1 2 -1 0 0 0 0 \ 0 -1 0 -1 0 0 3 1 -2 0 0 -1 0 2 \0 2 0 0 0 -1 5 ) /1 2 -1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 3 0 0 1 4 -1 0 -10 \0 0 0 -2 0 -1 11 ) Odkud plyne výsledek x + 4y - z - 10= 0, -2y - u + 11 = 0. Koeficienty za první svislou čarou v řádcích, které jsou před touto svislou čarou nulové, určují totiž koeficienty obecných rovnic roviny. přiřadíme bod A + v = (a\ + v\, ... ,a„ + v„) ě8" = A„. Tyto operace splňují následující tři vlastnosti: (1) A + 0 = A pro všechny body A e A„ a nulový vektor Oeľ, (2) A + (v+w) = (A+v)+w pro všechny vektory v, w e V a body A e A„, (3) pro každé dva body A, B e A„ existuje právě jeden vektor v e V takový, že A + v = B. Značíme jej v = B — A, někdy také AB. Vektorový prostor W nazýváme zaměření standardního afinního prostoru A„. Všimněme si několika formálních nebezpečí. Používáme ^ stejný symbol „+" pro dvě různé operace: ''SCLÄI' přičtení vektoru ze zaměření k bodu v afinním ^sSIIiStí prostoru, ale také sčítání vektorů v zaměření V = W. Také nezavádíme zvláštní písmena pro samotnou množinu bodů afinního prostoru, tj. A„ pro nás představuje jak samotnou množinu bodů, tak i celou strukturu definující afinní prostor. Proč vlastně chceme rozlišovat množinu bodů prostoru A„ od jeho zaměření V, když se jedná jakoby o stejné W? Jde o velice podstatný formální krok k pochopení geometrie v W: Geometrické objekty jako přímky, body, roviny apod. nejsou totiž přímo závislé na vektorové struktuře na množině W a už vůbec ne na tom, že pracujeme s «-ticemi skalárů. Potřebujeme jen umět říci, co to znamená pohybovat se „rovně v daném směru". K tomu právě potřebujeme na jedné straně vnímat třeba rovinu jako neohraničenou desku bez zvolených souřadnic, ale s možností posunout se o zadaný vektor. Když přejdeme navíc k takovému abstraktnímu pohledu, budeme umět diskutovat „rovinnou geometrii" pro dvourozměrné podprostory, tj. roviny ve vícerozměrných prostorech, „prostorovou" pro třírozměrné atd., aniž bychom museli přímo manipulovat /c-ticemi souřadnic. Tento pohled je zachycen v následující definici: kde V je vektorový prostor a naše zobrazení splňuje vlastnosti (l)-(3) z definice standardního afinního prostoru. Pro libovolný pevně zvolený vektor v € V je tak definováno posunutí rv : A —> .A jako zúžené zobrazení rv : V ~ V x {v} V, Ah> A + u. Dimenzí afinního prostoru A rozumíme dimenzi jeho zaměření. Nadále nebudeme rozlišovat ve značení důsledně množinu bodů A a množinu vektorů V, budeme místo toho hovořit o bodech a vektorech affmího prostoru A. 4 . la 4.2. Definice. Afinním prostorem A se zaměřením V rozumíme množinu bodů V, spolu se zobrazením V x V V, (A,v) ^ A + v, 200 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE e4 . 1 e4 . 2 2.59 Z axiomů okamžitě plyne pro libovolné body A, B,C v afinním prostoru A (4.1) Upozorněme, že kdybychom např. přepsali soustavu rovnic do ma- tice = (4-2) e4.31 (4.3) A — A = 0 e V / 1 0 0 0 1 2 0 \ 0 1 0 0 0 -1 3 B - A = -(A - B) 0 0 1 0 1 -2 2 (C - B) + (B - A) = C - A. 0 0 1 0 2 5/ Skutečně, (4.1) vyplývá z toho, že A + 0 = 0 a takový vektor musí být jednoznačný (první a třetí definiční vlastnost). Postupným přičtením B — A a. A — B k A (v uvedeném pořadí), zjevně dostaneme podle druhé definiční vlastnosti opět A, tedy jsme přičetli nulový vektor a to dokazuje (4.2). Obdobně z definiční vlastnosti 4.1 (2) a jednoznačnosti vyplývá (4.3). Všimněme si, že volba jednoho pevného bodu A0 e A nám určuje bijekci mezi V a A. Při volbě pevné báze w ve V tak dostáváme pro každý bod A e A jednoznačné vyjádření A = Aq + x\u\ + • • • + x„u„. Hovoříme o afinní soustavě souřadnic (Aq, u\, ..., u„) zadané počátkem afinní souřadné soustavy Aq a bazí zaměření u nebo také o afinním repéru (Aq, u). Slovy můžeme shrnout situaci takto: Afinní souřadnice bodu A v soustavě (Aq, u) jsou souřadnicemi vektoru A—Aq v bázi u zaměření V. Volba afinního souřadného systému ztotožňuje jakýkoliv n -rozměrný afinní prostor A se standardním afinním prostorem A„. 4.3. Afinní podprostory. Jestliže si vybereme v A jen body, které budou mít některé předem vybrané souřadnice nulové (třeba poslední jednu). Dostaneme opět množinu, která se bude chovat jako afinní prostor. Takto budeme skutečně parametricky popisovat tzv. afinní podprostory ve smyslu následující definice. Podprostory afinního prostoru Definice. Neprázdná podmnožina Q C A afinního prostoru A se zaměřením V se nazývá afinní podprostor v A, je-li podmnožina W = {B — A; A, B e Q} c V vektorovým podprostorem a pro libovolné A e Q,u e f je A + u e Q. Je podstatné mít obě podmínky zahrnuty v definici, protože je snadné najít příklady podmnožin, které budou splňovat první, ale nikoliv druhou podmínku. Přemýšlejte např. o přímce v rovině s vyjmutým jedním bodem. Pro libovolnou množinu bodů M c A v afinním prostoru se zaměřením V definujeme vektorový podprostor Z(M) = {{B - A; B, A e M}) c V všech vektorů generovaných rozdíly bodů z M. Zejména je V = Z (A) a každý afinní podprostor Q C A splňuje sám axiomy afinního prostoru se zaměřením Z(Q). která odpovídá situaci, kdy proměnné x, y, z, u zůstávají na levé straně rovnic, totožná úprava /1 0 0 0 1 2 0 \ / 1 0 0 0 1 2 0 \ 0 1 0 0 0 -1 3 0 1 0 0 0 -1 3 0 0 1 0 1 -2 2 -i -4 1 0 0 0 -10 0 0 1 0 2 5 ) V 0 2 0 1 0 0 11 / dává výsledek ve tvaru 4y 2y + + 10, 11. Jinak řečeno, při přepisování soustavy do matice je nutné zohledňovat, zda svislá čára odděluje levou stranu rovnic od pravé (či nikoliv). Nabízí se, že metoda eliminace parametrů může být zdlouhavá a že se při jejím použití lze snadno dopustit chyb(y). V tomto příkladu jsme přitom hledali pouze dva lineárně nezávislé normálové vektory, tj. vektory kolmé na vektory (1, 0, 1, 0), (2, —1, —2, 2). Pokud bychom si uvědomili, že takovými vektory jsou např. (0, 2, 0, 1), (—1, 0, 1, 2), dosazením x = 0, y = 3, z = 2, u = 5 do rovnic 2y + u = a, —x + z + 2u = b 12, následně hledané implicitní vyjá- bychom obdrželi a dření 11, b 2y + + + u 2u 11, 12. □ 4.4. Nalezněte parametrické vyjádření roviny procházející body A = [2, 1,1], S = [3,4,5], C = [4,-2,3]. Poté parametricky vyjádřete otevřenou polorovinu obsahující bod C a vymezenou přímkou zadanou body A, B. Řešení. K parametrickému vyjádření roviny potřebujeme jeden bod ležící v této rovině a dva směrové (lineárně nezávislé) vektory. Stačí zvolit bod A a vektory B - A = (1, 3, 4) a C - A = (2, -3, 2), které jsou očividně lineárně nezávislé. Bod [x, y, z] náleží do dané roviny právě tehdy, když existují čísla í, s ě R, pro která je x =2 + \-t +2-s, y = \ +3 ■ t - 3 ■ s, z = l + 4-r + 2-s; tj. hledané parametrické vyjádření roviny je [2, 1, 1] + t (1, 3, 4) + s (2, -3, 2), (,seK. 201 A. AFINNÍ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVSKÁ GEOMETRIE Volba s = 0 zjevně dává přímku, která prochází body A, B. Pro t = 0, s > 0 dostáváme polopřímku začínající v bodě A a procházející bodem C. Libovolně pevně zvolené t e M. a měnné s > 0 pak zadávají polopřímku s počátkem na hraniční přímce a s body v polorovině, ve které se nachází bod C. To znamená, že hledanou otevřenou polorovinu můžeme vyjádřit parametricky takto □ [2, 1, 1] + t (1, 3, 4) + s (2, -3, 2), í e 1, s > 0. 4.5. Určete vzájemnou polohu přímek p : [1,0, 3] + t (2,-1,-3), řeK, q : [1, 1, 3] + s (1,-1, -2), sel Řešení. Hledejme společné body zadaných přímek (průnik podpro-storů). Dostáváme soustavu 1 + 2t 0 - t 3 - 3ř 1 + s, 1 - s, 3 - 2*. Z prvních dvou rovnic vyplývá, že t = 1, s = 2. To ovšem nevyhovuje třetí rovnici. Soustava tak nemá řešení. Neboť směrový vektor (2, —1, —3) přímky p není násobkem směrového vektoru (1, —1, —2) přímky q, přímky nejsou rovnoběžné. Jedná se proto o mimoběžky. □ 4.6. Pro jaká čísla a e M jsou přímky p : [4, -4, 8] + ř(2, 1, -4), t e R, q : [a, 6, -5] + s (1,-3, 3), sel různoběžné? Řešení. Přímky jsou různoběžné tehdy a jenom tehdy, když má soustava 4 + 2ř = a + s, -4 + t = 6 - 3s, 8 - 4t = -5 + 3s právě 1 řešení. V maticovém zápisu řešíme (první sloupec odpovíefa proměnné t, druhý pak s) 2 1 1 2 -4 1 0 0 Vidíme, že soustava má právě 1 řešení tehdy a jenom tehdy, když je druhý řádek násobkem třetího. To je splněno pouze pro a = 3. Dodejme, že průsečíkem je v tomto případě bod [6, —3, 4]. □ Přímo z definic je také zřejmé, že průnik libovolné množiny afinních podprostorů je buď opět afinní podprostor nebo prázdná množina. Afinní podprostor (M) v A generovaný neprázdnou podmnožinou M c i je průnikem všech afinních podprostorů, které obsahují všechny body podmnožiny M. J Afinní obal a parametrický popis podprostorů Afinní podprostory si můžeme pěkně popsat pomocí jejich zaměření, jakmile si zvolíme jeden jejich bod Ao e M v generující množině bodů M. Skutečně, dostáváme (M) = {Ao + v; v e Z (M) c Z (A)}, tj. pro generování afinního podprostorů vezmeme vektorový podprostor Z(M) v zaměření generovaný všemi rozdíly bodů z M a ten pak přičteme k libovolnému z nich. Hovoříme také o afinním obalu množiny bodů M y A. Naopak, kdykoliv zvolíme podprostor U v zaměření Z (A) a jeden pevný bod A e A, pak podmnožina A + U vzniklá všemi možnými součty jediného bodu A se všemi vektory v U je afinní podprostor. Takový postup vede k pojmu parametrizace podprostorů: Nechť Q = A + Z(Q) je afinní podprostor v A„ a (u\, ..., uk) je báze Z(Q) c M". Pak vyjádření podprostorů Q = {A + tlUl + ■■■ + tkuk; t\, ...,tk el) nazýváme parametrický popis podprostorů Q. 1 Již jsme viděli jinou možnost zadávání afinních podprostorů: Jestliže máme zvoleny afinní souřadnice, pak lze zaměření podprostorů popsat pomocí homogenního systému lineárních rovnic v těchto souřadnicích. Dosazením souřadnic jednoho bodu našeho podprostorů Q do získaného systému rovnic dostaneme pravou stranu nehomogenního systému se stejnou maticí a celý podprostor Q je pak právě množinou řešení tohoto systému. Zadání podprostorů Q systémem rovnic v daných souřadnicích nazýváme implicitní popis podprostorů Q. Následující obecná věta říká, že takto umíme ve skutečnosti zadat všechny afinní podprostory a tím také ukazuje geometrickou podstatu vlastností množiny všech řešení systémů lineárních rovnic. 4.4. Věta. Nechť (Aq; u) je afinní souřadný systém v n-rozměrném afinním prostoru A. Afinní podprostory dimenze k v A, vyjádřené v daných souřadnicích, jsou právě množiny řešení řešitelných systémů n — k lineárně nezávislých lineárních rovnic v n proměnných. Důkaz. Uvažujme libovolný řešitelný systém n — k lineárně nezávislých rovnic a{ (x) =ŕi,ŕi el,i = 1,..., n—k. Je-li A = (íii,...,íi„)ľel" libovolné pevně zvolené řešení tohoto (nehomogenního) systému rovnic a je-li U C M" vektorový podprostor všech řešení zhomogenizovaného systému cti (x) = 0, pak dimenze U je k a podmnožina všech řešení daného systému je tvaru {B; B = A + (yi, ..., y„)T, y = 202 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE (yi ..., yn)T e U} C M", viz. 3.1. Příslušný afinní podpro-stor je tím popsán parametricky ve výchozích souřadnicích (A0; u). Naopak, uvažme libovolný afinní podprostor Q C A„ a zvolme nějaký jeho bod B za počátek afinního souřadného systému (B, v) pro afinní prostor A. Protože Q = B +Z(Q), potřebujeme popsat zaměření podprostoru Q jako podprostor řešení homogenního systému rovnic. Zvolme tedy bázi v na Z (A) tak, aby prvních k vektorů tvořilo bázi Z(Q). Pak v těchto souřadnicích jsou vektory v e Z(Q) dány rovnostmi a j (v) = 0, j = k + 1, ..., n, kde cti jsou lineární formy z tzv. duální báze ku, tj. funkce přiřazení jednotlivých souřadnic v naší bázi v. Náš vektorový podprostor Z(Q) dimenze k v n-rozměrném prostoru W je tedy skutečně dán jako řešení homogenního systému n — k nezávislých rovnic. Popis zvoleného afinního podprostoru v námi nově vybraném souřadném systému (B; v) je proto dán systémem homogenních lineárních rovnic. Zbývá nám se vypořádat důsledky přechodu z původního zadaného souřadného systému (A; u) do našeho přizpůsobeného (B; v). Z obecné úvahy o transformacích souřadnic v následujícím odstavci vyplyne, že výsledný popis podprostoru bude opět pomocí systému rovnic, tentokrát ale už obecně nehomogenních. □ 4.5. Transformace souřadnic. Dvě libovolně zvolené afinní soustavy souřadnic (A0,w), (B0,v) se obecně liší posunutím počátku o vektor (#o — A0) a jinou bazí zaměření. Transformační rovnice mezi příslušnými souřadnicemi tedy vyčteme ze vztahu pro obecný bod X e A X = B0 + x[ vi H-----\-x'nv„ = B0 + (A0 - B0) +xtui H-----\-x„u„. Označme y = (yi, ..., yn)T sloupec souřadnic vektoru (A0 — B0) v bázi v a M = (útý) buď matice vyjadřující bázi u prostřednictvím báze v. Potom x'l = yi + aUxl + • • • + tt\nxn 4.7. V M3 stanovte vzájemnou polohu přímky p zadané implicitně rovnicemi x + y - z = 4, x - 2y + z = -3 a roviny q : y = 2x — 1. Řešení. Normálový vektor q je (2, — 1, 0) (uvažte zápis q :2x — y + 0z = 1). Lze postřehnout, že platí (1,1,-1)+ (1,-2, 1) = (2,-1,0), tj. že normálový vektor roviny q je lineární kombinací normálových vektorů p. Zaměření přímky (zadané nenulovým směrovým vektorem kolmým na uvedené dva normálové vektory) je proto podprostorem zaměření roviny q (směrový vektor přímky je nutně kolmý na vektor (2, — 1, 0)). Lehce jsme zjistili, že přímka p je rovnoběžná s rovinou q. Zajímá nás, zda se protínají (zda p leží v q). Soustava rovnic x + y - z = 4, x - 2y + z = -3, 2x — y =1 má nekonečně mnoho řešení, neboť sečtením prvních dvou rovnic dostaneme právě třetí z rovnic. Přímka p tak musí ležet v rovině q. □ 4.8. Nalezněte průnik podprostoru Q\ a Q2, je-li Qi : [4, -5, 1, -2] + h (3, 5, 4, 2) + t2 (2, 4, 5, 1) + ř3 (0, 3, 1, 2), Q2 : [4, 4, 4, 4] + Sl (0, -6, -2, -4) + s2 (-1, -5, -3, -3), kde ři, Í2, Í3, s\, s2 e M. Řešení. Bod X = [x\, x2, x3, x4] e M4 náleží do <2i n <22 právě tehdy, když je xx ~ 4 " /3\ (2\ /0\ x2 X3 = -5 1 + ři 5 4 + t2 4 5 + Í3 3 1 x4 -2 \V V) pro nějaká čísla ři, t2, ř3 e M a současně když je tj. maticově x' = y + Jako příklad si můžeme vujádřit dopad takové změny jji ,. báze na souřadné vyjádření podmnožin pomocí systémů lineárních rovnic. Nechi" t (A0; u) náš systém rovnic tvar S ■ x + &nnxn XX "4" /0\ /-1\ x2 4 + *i -6 + S2 -5 X3 - 4 -2 -3 X. 4 pro nějaká s\, s2 e M. Porovnáním získáváme má v souřadnicích (3\ (2\ /0\ /4-4\ (0\ í- -i\ 5 4 3 4 + 5 -6 -5 h 4 + h 5 + Í3 1 — 4 - 1 + Sl -2 + s2 -3 w {4 + 2) V -v 203 A. AFINNÍ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVSKÁ GEOMETRIE Při maticovém zápisu (pro pořadí proměnných t\, t2, h, s i, s2 a po převodu vektorů u si a s2 na levou stranu) řešme pomocí řádkových ope- raci / 3 5 4 V 2 i 2 0 0 1 4 3 6 5 5 12 3 2 4 3 0 \ 9 3 6/ / 3 2 0 0 1 0 2 9 18 10 0 7 3 6 5 \ 0 -1 6 12 7 0 \ 27 9 18/ 4 . 3 /3 00000\ 0 2 0 0 0 0 0 0 1 2 0 3 \ 0 0 0 0 1 0 / t2 = s2 = 0 a pro si = t e M je ř3 Podotkněme, že k určení QiC\ Q2 stačilo znát buďři, t2, ř3 nebo si, «2 Vraťme se nyní k vyjádření Odtud vidíme, že t\ 2t. x\ "4" /0\ /- -1\ "4" /0\ x2 4 -6 -5 4 -6 x3 — 4 + *i -2 + s2 -3 — 4 + ř -2 X4 4 V -v 4 Průnikem zadaných podprostorů je tedy přímka (s [4,4,4,41 + ^(0,3,1,2), sel Pro kontrolu rovněž dosaďme -2ř) *1 " 4 " /3\ (2\ /0\ X3 = -5 1 + ři 5 4 + h 4 5 + 0 3 1 x4 -2 V) w + (3 - 2ř) M 3 1 V2/ + ř /0\ -6 -2 V-4/ □ 4.9. Zjistěte, zda leží body [0, 2, 1], [-1,2, 0], [-2, 5, 2] a [0, $£4E zťv jedné rovině. Řešení. Libovolná dvojice zadaných bodů z afinního prostoru M3 určuje vektor (viz definice afinního prostoru; jeho souřadnice jsou dány po složkách rozdíly souřadnic daných dvou bodů). To, že dané čtyři body leží v rovině je ekvivalentní tomu, že jsou tři vektory dané jedním vybraným bodem a vždy jedním ze tří zbylých lineárně závislé. Vybereme např. bod [0, 2, 1] (na výběru nezáleží), pak uvažujeme vektory [0,2, 1] — [—1, 2, 0] = (1,0, 1),[0,2, l]-[-2, 5,2] = (2, -3, -1) a [0, 2, 1] - [0, 5, 4] = (0, -3, -3). Vidíme, že součet dvojnásobku prvního vektoru a třetího vektoru je roven druhému vektoru, vektory jsou tedy lineárně závislé (jinak má taky matice, jejíž s maticí systému S. Potom S ■ x = S ■ AT1 • (y + M ■ x) - S ■ AT1 • y = b. Proto v nových výše uvažovaných souřadnicích (S0; v) bude mít náš systém rovnic tvar (5 • AT1) • x' + (5 • m ) ■ y. Pokud tedy máme nějakou podmnožinu popsánu systémem lineárních rovnic v jednom afinním repéru, pak tomu tak bude i ve všech ostatních afinních souřadných systémech. To plně dokončuje důkaz předchozí věty. 4.6. Příklady afinních podprostorů. (1) Jednorozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů reálné přímky A\. Její zaměření je jednorozměrný vektorový prostor M (a nosná množina také W). Afinní souřadnice dostaneme volbou počátku a měřítka (tj. báze ve vektorovém prostoru W). Všechny vlastní afinní podprostory jsou 0-rozměrné, jsou to právě všechny body reálné přímky M. (2) Dvourozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů prostoru A2 se zaměřením M2. (Nosnou množinou je M2.) Afinní souřadnice dostaneme volbou počátku a dvou nezávislých vektorů (směrů a měřítek). Vlastní afinní podprostory jsou pak všechny body a přímky v rovině (0-rozměrné a 1-rozměrné). Přímky přitom jednoznačně zadáme jejich jedním bodem a jedním generátorem zaměření (tzv. parametrický popis přímky). (3) Trojrozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů prostoru A3 se zaměřením M3. Afinní souřadnice dostaneme volbou počátku a tří nezávislých vektorů (směrů a měřítek). Vlastní afinní podprostory jsou pak všechny body, přímky a roviny (0-rozměrné, 1-rozměrné a 2-rozměrné). (4) Podprostor všech řešení jedné lineární rovnice a ■ x = b pro neznámý bod [xi, ..., xn] e A„, známý nenulový vektor koeficientů (a\, ..., an) a skalár b e M je afinní podprostor dimenze n — 1 (říkáme také, že je jeho kodimenze 1), tj. tzv. nadrovina v A„. 4.7. Afinní kombinace bodů. Zavedeme nyní obdobu lineárních kombinací vektorů. Nechť A0, ..., Ak jsou body v afinním prostoru A. Jejich afinní obal ({A0 ..., Ak}) můžeme zapsat jako {A0 + 0(Ai - A0) + • • • + tk(Ak - A0); h, t k e a v libovolných afinních souřadnicích (tj. každý bod A, je vyjádřen sloupcem skalárů) můžeme tutéž množinu zapsat jako k =(o!)(::;)+(: v souřadné soustavě dané bází m = {(1, 1), (—1, 1)} a počátkem [2, 0]. Řešení. Matice přechodu od dané báze u ke standardní bázi k je 1 -1 1 1 Matici zobrazení v bázi ([2, 0], u) získáme tak, že nejprve transformujeme souřadnice v bázi ([2, 0], u) na souřadnice ve standardní bázi, tedy v bázi ([0, 0], (1, 0), (0, 1)), poté aplikujeme matici zobrazení / ve standardní bázi a na závěr výsledek transformujeme zpět do souřadnic v bázi ([2, 0], u). Transformační rovnice přechodu od suouřadnic Vi, y2 v bázi ([2, 0], u) k souřadnicím x\, x2 v standardní bázi jsou Odtud máme, že 1 -1 1 1 1 -1 1 1 ::: + o 2 2 Mt 205 A. AFINNÍ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVSKÁ GEOMETRIE Pro předpis zobrazení pak dostáváme /(Ji, y2) 1 i ~\ \ 2 2 2 0 -1 1 2 1 0 1 + + + + □ 4.13. Mějme dánu standardní souřadnou soustavu v prostoru M3. Agent K sídlí v bodě S o souřadnicích [0,1,2] a ústředí mu přidělilo pro používání souřadnou soustavu s počátkem S a bází {(1, 1,0), (-1,0, 1), (0, 1,2)}. Agent Sokol bydlí domě D na kótě [1, 1, 1] a používá souřadnou soustavu s bází {(0, 0, 1), (-1,1, 2), (1, 0, 1)}. Agent K žádá Sokola o schůzku v cihelně, která leží podle jeho souřadné soustavy v bodě [1, 1, 0]. Kam má přijít Sokol (podle jeho souřadnic)? Řešení. Matice přechodu od báze agenta K k Sokolově bázi (při stejných počátcích) je /-4 2 -V 7=1 0 1 \2 -1 1 / Vektor (0, 1, 2) má tedy souřadnice T ■ (0,1, 2)T = (0, 2, 1)T, posunutím počátku (přičteme vektor (—1,0, 1)) dostáváme výsledek (-1,2,2). □ 4.14. Najděte příčku přímek (úsečku, jejíž jeden koncový bod leží na jedné z přímek, druhý pak na druhé z nich) p : [1,1,1]+ t(2, 1, 0), q : [2, 2, 0] + f(1, 1, 1), takovou, že přímka jí určená prochází bodem [1, 0, 0]. Řešení. Nalezneme průsečík hledané příčky s přímkou q (nazveme jej Q). Hledaná příčka obsahuje nějaký bod na přímce p a bod [1,0,0], nutně tedy leží v rovině p určené tímto bodem a přímkou p, tedy v rovině [1, 1, 1] + t(2, 1,0) + ^(0, 1, 1). Bod Q je pak průnikem této roviny s přímkou q. Ten nalezneme vyřešením soustavy 1 + 2t = 2 +u 1 + t + s = 2 +u 1 + s = u Levé strany rovnic reprezentují postupně všechny tři souřadnice libovolného bodu roviny p, pravé pak souřadnice libovolného bodu na q (3) úsečky, polopřímky p = {P + t ■ v; ŕ > 0}, (4) obecněji k- rozměrné poloprostory a tksR,tk>0}, (5) úhly v dvojrozměrných podprostorech j6 = {P + h ■ vi + h ■ v2; h >0,t2> 0}. Přímo z definice také plyne, že průnik libovolného systému konvexních množin je opět konvexní. Průnik všech konvexních množin obsahujících danou množinu M nazýváme konvexní obal K(M) množiny M. Věta. Konvexní obal libovolné podmnožiny M C A je s K(M) = {Mi + • • • + UAs; J2 ti = 1, ti> 0, A, e M] i = \ Důkaz. Označme S množinu všech afinních kombinací na pravé straně dokazované rovnosti. Nejprve ověříme, že je S konvexní. Zvolme tedy dvě sady parametrů ti, i = 1, .., s\, ťj■, j = 1, ..., s2 s požadovanými vlastnosti. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že s\ = s2 a že v obou kombinacích vystupují stejné body z M (jinak prostě přidáme sčítance s nulovými koeficienty). Uvažme libovolný bod úsečky zadané takto získanými body: e(tlAl + --- + tsAs) + (l-e)(t[Al + --- + ťsAs), 0 < e < 1. Zřejmě jsou opět všechny v S. Zbývá ukázat, že konvexní obal bodů A i, ..., As nemůže být menší než S. Samotné body A; odpovídají volbě parametrů t j = 0 pro všechny j ^ i a ř; = 1. Předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny množiny s nejvýše s — 1 body. To znamená, že konvexní obal bodů A\, ..., As_i je (podle předpokladu) tvořen právě těmi kombinacemi z pravé strany dokazované rovnosti, kde ts = 0. Uvažme nyní libovolný bod A = t\A\ + • • • + tsAs e 5, ts < 1, a afinní kombinace €(Mi + "- + íJ-iVi) + (l-f(l-řs))Aí- 0) takové, že pro všechny A e A, v e Z(A) platí f(A + v) = f(A) + cp(v). Zobrazení / a cp jsou jednoznačně zadána touto vlastnostní a libovolně zvolenými obrazy (dim.A +1) bodů v obecné poloze. Pro libovolnou afinní kombinaci bodů r0A0 + - • -+ts As e A pak dostaneme f(t0A0 + ■■■ + tsAs) = = f(A0 + t_(A_ - A0) + ■ ■ ■ + ts(As - A0)) = f(A0) + t_cp{A_ - A0) + • • • + tscp(A ~ A0) = t0f(A0) + t_f(A_) + ... + tsf(As). Naopak, pokud pro nějaké zobrazení platí, že zachovává afinní kombinace, můžeme použít speciální případ kombinace n + 1 pevně zovlených vektorů zadávajících afinní re-pér. Postupně pak volbou koeficientů ř0 = 0 a t,■ = 1 definujeme hodnotu zobrazení cp mezi zaměřeními vztahem (p(Ai — A0) = f(Ai). Pak lze číst předchozí výpočet v opačném pořadí a ověřit korektnost i linearitu cp. Skutečně, z předpokladu, že se první a poslední řádek rovnají dovodíme, že jsou si rovny také řádky druhý a třetí. Tím jsme zjistili, že se skutečně jedná o afinní zobrazení s lineárním zobrazením cp na zaměření, které jsme uvedeným postupem popsali ve zvoleném afinním repéru. Platí proto: Věta. Afinní zobrazení jsou právě ta zobrazení, která zachovávají afinní kombinace bodů. Ve skutečnosti stačí ověřit zachovávání afinní kombinace pro všechny dvojice bodů, protože z nich už vytvoříme i libovolnou konečnou afinní kombinaci. Skutečně, afinní kombinaci k + 2 bodů A0, Ak+i vždycky můžeme vyjádřit takto: r(ř0A0 H----+ tkAk) +sAk+l, kde 2~2ki=0 tk = 1 ar + j = 1. Prostě napřed si vybereme něj aký bod, který je afinní kombinací k+1 bodů a pak děláme jeho kombinace s posledním. Takto můžeme postupně skutečně jakoukoliv konečnou afinní kombinaci vyrobit z kombinací dvojic. 4.19. V eukleidovském prostoru R4 stanovte vzdálenost bodu A = [2, —5, 1, 4] od podprostoru U : 4x\ — 2x2 — 3x3 — 2x4 + 12 = 0, 2xi — x2 — 2x3 — 2x4 + 9 = 0. Řešení. Nejdříve nalezneme libovolný bod podprostoru U (řešení soustavy). Např. je B = [0, 3, 0, 3] e U. Víme, že vzdálenost A od U se rovná velikosti kolmého průmětu vektoru A — B do ortogonálního doplňku zaměření podprostoru U. Ortogonální doplněk zaměření U ovšem známe (zadává tento podprostor) -jako množinu (lineárních kombinací normálových vektorů) V := {t (4, -2, -3, -2) + s(2,-l, -2, -2); t, s e R}. Potřebujeme najít kolmý průmět Pa-b vektoru A — B do V, který náleží do V, a proto je PA-B = a (4, -2, -3, -2) + b (2, -1, -2, -2) pro jisté hodnoty a, b e R. Zjevně musí platit (A — B — Pa-b) -L V, tedy ((A _ S) _ Pa_b) ± (4; _2, -3, -2), ((A - B) - PA-b) +(2,-1,-2, Dosazením za A — B a Pa-b odsud vyplývá -2). ((2, -8, 1, 1) - a(4, -2, -3, -2) - b(2, -1, -2, -2)) •(4, -2,-3,-2) =0, ((2, -8, 1, 1) - a(4, -2, -3, -2) - b(2, -1, -2, -2)) •(2, -1, -2, -2)) = 0; tj- (2, -8, 1, l)-(4, -2, -3, -2) -a(4, -2, -3, -2)-(4, -2, -3, -2) -i(2, -1, -2, -2)-(4, -2, -3, -2) = 0, ((2, -8, 1, l)-(2, -1, -2, -2)) -a(4, -2, -3, -2)-(2, -1, -2, -2) -i(2, -1, -2, -2)-(2, -1, -2, -2 = 0. Vyčíslíme-li tyto skalární součiny, obdržíme soustavu 19 - 33a - 206 = 0, 20a 13b 0, 209 B. EUKLEIDOVSKÁ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVS KÁ GEOMETRIE 4 . 9b která má jediné řešení a = 3, b = — 4. Je tudíž | 4 . 9a PA-b = 3 (4, -2, -3, -2) - 4 (2, -1, -2, -2) = (4, -2, -1,2), přičemž \\Pa-b\\= v/42 + (-2)2 + (-1)2 + 22 = 5. Připomeňme, že vzdálenost A od U je rovna 11 Pa-b 11=5. □ 4.20. Ve vektorovém prostoru R4 spočtěte vzdálenost v bodu [0, 0, 6, 0] od vektorového podprostoru U : [0, 0, 0, 0] + h (1, 0, 1, 1) + h (2, 1, 1, 0) + ŕ3 (1, -1, 2, 3), íi, t2, t3 e R Řešení. Úlohu budeme řešit postupem založeným na tzv. problému nejmenších čtverců. Vektory generující U napíšeme do sloupců matice (12 1 \ 0 1 -1 A~ 1 1 2 V 0 3/ a bod [0,0,6,0] nahradíme jemu odpovídajícím vektorem b = (0, 0, 6, 0)r. Budeme řešit soustavu A ■ x = b, tj. soustavu lineárních rovnic JCi -(- 2jC2 -\~ x3 x2 — x3 x\ + x2 + 2x3 = 6, xi + 3x3 = 0, právě metodou nejmenších čtverců. (Upozorněme, že tato soustava nemá řešení-jinak by vzdálenost byla rovna 0.) Systém A-x = b vynásobíme zleva maticí AT. Rozšířená matice soustavy A7' • A-x = AT - b pak je 3 3 6 3 6 3 6 3 15 Pomocí elementárních řádkových transformací ji postupně převedeme na schodovitý tvar 3 3 6 3 6 3 6 3 15 Provedeme-li ještě zpětnou eliminaci 0, 0, 12 ■1 0 0 0 můžeme ihned napsat řešení x = (2 - 3ř, t, i) T t e 4.13. Poměr bodů na přímce. Afinní kombinace dvojice bodů můžeme také dobře vyjádřit pomocí tzv. poměru bodů na přímce. Jeli bod C afinní kom-binací bodů A a S ^ C, C = r A + sB, pak řekneme že číslo k = (C; A, B) = --r je poměrem bodu C vzhledem k daným bodům A a S. Protože bod C můžeme vyjádřit jako C = A + s(B - A) = B+r(A- B), je poměr k ve skutečnosti poměrem velikostí orientovaných vektorů C — A a C — B. Zejména je k = — 1 právě, když je C středem úsečky dané body A a S (tj. v naší afinní kombinaci bude r = s = j). Naše charakterizace afinních zobrazení prostřednictvím afinních kombinací tedy má velice srozumitelně znějící důsledek: Důsledek. Afinní zobrazení jsou právě ta zobrazení, která zachovávají poměry. 4.14. Změny souřadnic. Volbou afinních souřadnic (A0, ií)naia (S0, v) na B dostáváme souřadné vyjádření afinního zobrazení / : A -> B. Přímo z definice je zřejmé, že stačí vyjádřit obraz /(A0) počátku souřadnic v A v souřadnicích na B, tj. vyjádřit vektor /(A0) — B0 v bázi v jako sloupec souřadnic y0 a vše ostatní je pak určeno násobením maticí zobrazení

yo + Y • x, kde y0 je jak° výše a F je matice zobrazení P(A,C) (4) V každé kartézké souřadné soustavě (Aq, e) mají body A = A0 + aiei -\-----\-anen, B = A0 + *i£i H-----Ybnen vzdálenost ^jY™=l(ai — *,)2- (5) Je—li dán bod A a podprostor Q v £„, pak existuje bod P e Q minimalizující vzdálenosti bodů Q od A. Vzdálenost bodů A a P je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A — B do Z(Q)1- pro libovolný B e Q. (6) Obecněji, pro podprostory Q a 1Z v £„ existují body P £ Qa Q e 1Z minimalizující vzdálenosti bodů B e Q Dodejme, že existence nekonečně mnoha řešení je zapříčiněna nadbytečností třetího ze zadávajících vektorů podprostoru U, neboť je 3 (1, 0, 1, 1) - (2, 1, 1, 0) = (1, -1, 2, 3). Libovolná (ř e M) lineární kombinace (2 - 3ř) (1, 0, 1, 1) + t (2, 1, 1, 0) + t (1, -1, 2, 3) = (2, 0, 2, 2) však odpovídá bodu [2, 0, 2, 2] podprostoru U, který je nejblíže bodu [0, 0, 6, 0]. Pro hledanou vzdálenost proto platí [2, 0, 2, 2] - [0, 0, 6, 0] H = V22 + 0 + (-4)2 + 22 = 2^6. □ 4.21. Spočtěte objem rovnoběžnostěnu v M3 s podstavou v rovině z, = 0 a s hranami zadanými dvojicemi vrcholů [0, 0, 0], [—2, 3, 0]; [0, 0, 0], [4, 1,0] a [0, 0, 0], [5,7,3]. Řešení. Rovnoběžnostěn je zadán vektory (4,1,0), (—2,3,0), (5, 7, 3). Víme, že jeho objem je roven determinantu 4-2 5 1 3 7 0 0 3 3 • 14 = 42. Doplňme, že při změnách pořadí vektorů bychom obdrželi výsledek ±42, neboť determinant udává orientovaný objem rovnoběžnostěnu. Ještě poznamenejme, že objem rovnoběžnostěnu by se dle výpočtu determinantu nezměnil, pokud by třetí vektor byl [a, b,3] pro libovolná čísla a, b e M. Jeho objem pochopitelně závisí pouze na kolmé vzdálenosti rovin dolní a horní podstavy a jejich obsahu 4 -2 1 3 14. □ 4.22. Je dán rovnoběžník [0, 0, 1], [2, 1, 1], [3, 3, 1], [1, 2, 1]. Určete bod X na přímce p : [0, 0, 1] + (1, 1, l)ř tak, aby rovnoběžnostěn určený daným rovnoběžníkem a bodem X měl objem 1. Řešení. Sestavíme determinant udávající objem rovnoběžnostěnu při pohyblivém bodu X: ' t t t 2 1 0 1 2 0 Podmínka, že má být roven jedné dává t = 1/3. □ 211 B. EUKLEIDOVSKÁ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVS KÁ GEOMETRIE 4.23. Nechťje dána krychle ABCDEFGH (při obvyklém významu zápisu, tedy vektory E —A, F —B, G—C, H—D jsou kolmé na rovinu určenou vrcholy A, B, C, D) v eukleidovském prostoru M3. Vypočtěte odchýlku cp vektoru F — A a H — A. Řešení. Tento příklad jsme již jednou řešili pomocí vzorce z definice odchylky. Nyní se zkusme zamyslet. Uvažované body A, F, H jsou vrcholy trojúhelníku, jehož všechny strany jsou úhlopříčkami stěn krychle. Jedná se tudíž o rovnostranný trojúhelník. Odtud plyne, že

\\u2\\2 = \\A-P\\. Odtud již vyplývá, že nejmenší možné vzdálenosti je skutečně dosaženo, a to právě pro náš bod P. Vypočtená vzdálenost je skutečně ||«2ll- Obdobně ukážeme obecný výsledek. Pro volbu libovolných bodů a ě Kai e Q je jejich rozdíl dán jako součet vektorů ux e Z{11) + Z{Q) a u2 e {Z{11) + Z(Q))X, přičemž komponenta u2 nezávisí na volbě bodů. Přičtením vhodných vektorů ze zaměření 1Za.Q zjevně obdržíme body a' a B', jejichž vzdálenost je právě ||«2ll- D Rozšíříme nyní náš stručný přehled elementárních úloh v analytické geometrii. 4.17. Příklady standardních úloh. (1) Najděte vzdálenost bodu A e £„ odpodprostoru Q c £„: Postup při řešení je dán ve větě 4.16. (2) V £2 veďte bodem A přímku q svírající s danou přímkou p daný úhel: Připomeňme, že na úrovni rovinné geometrie jsme s odchylkami vektorů již pracovali (viz např. 2.43). Najdeme vektor u e M2 ležící v zaměření přímky q a zvolíme vektor v mající od u zadanou odchylku. Hledaná přímka je dána bodem a a zaměřením (v). Úloha má dvě nebo jedno řešení. (3) Spočtěte patu kolmice vedené bodem na danou přímku: Postup je uveden v důkazu předposledního bodu věty 4.16. (4) V £3 určete vzdálenost dvou přímek p, q: Zvolíme libovolně jeden bod z každé přímky, a e p, B e q. Komponenta vektoru a — B v ortogonálním doplňku (Z(p) + Z(q))J- má velikost rovnu vzdálenosti p a q. (5) V £3 najděte osu dvou mimobězek p a q: Osou zde rozumíme příčku, která realizuje nejmenší možnou vzdálenost daných mimobězek pomocí bodů průniku. Opět lze postup dovodit z důkazu věty 4.16 (poslední bod). Nechť r] je podprostor generovaný jedním bodem a e p a součtem Z(p) + (Z(p) + Z(g))1■. Pokud nejsou přímky p a q rovnoběžné, půjde o rovinu. Pak průnik r] n q spolu se zaměřením (Z(p) + Z(q))1- dávají parametrický popis hledané osy. Pokud jsou přímky rovnoběžné, bude mít úloha nekonečně mnoho řešení. 212 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 4 . 15 4.16 4.18. Odchylky. Stejně jako vzdálenost, i řada dalších geometrických pojmů jako odchylky, orientace, objem apod. je v bodových prostorech £„ zaváděna prostřednictvím vhodných pojmů vektorových euklidovských prostorech. Připomeňme, že odchylku dvou vektorů jsme definovali na konci třetí části druhé kapitoly, viz 2.43. - ve Skutečně, z Cauchyovy nerovnosti plyne 0 MINI < 1, má tedy smysl definice odchylky cp(u, v) vektorů u,veV v reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem vztahem cos cp(u, v) u ■ v u v 0 < cp(u, v) < 2jt. To je zcela v souladu s praxí v dvourozměrném euklidovském prostoru M2 a naší filozofií, že pojem týkající se dvou vektorů je ve své podstatě záležitostí dvourozměrné geometrie. V euklidovské rovině jsme také již používali goniometrické funkce cos a sin, které jsme definovali pouze geometrickou úvahou, ke které se vrátíme na začátku kapitoly páté, kdy také budeme moci precizně ověřit geometrický názor, že je funkce cos in intervalu [0, 7t] klesající. Ve vícerozměrných prostorech je proto odchylka dvou vektorů vždy měřena v rovině, kterou tyto vektory generují (neboje nula) a náš definiční vztah odpovídá zvyklostem ve všech dimenzích. V libovolném reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem přímo z definic plyne |2- IN|2 + NI2-2(wt;) 2||w|| ||u|| coscp(u, v). u — v\ INI2 + NI2 To je patrně dobře známá kosinová věta z rovinné geometrie. Dále platí pro každou ortonormální bázi e zaměření V a nenulový vektor u e V vztah E u ■ ei Podělením této rovnice číslem II u II dostáváme vztah 1 = ^(cos u\ má tedy symetrickou pozitivně semidefmitní matici AT A a ý je zobrazení adjungované k cp. Viděli jsme, že každé takové zobrazení má pouze nezáporná reálná vlastní čísla a že má ve vhodné ortonormální bázi diagonální matici s těmito vlastními čísly na diagonále, viz 3.29 a 3.31. Nyní můžeme odvodit obecný postup pro výpočet odchylky a = (p(Ui, U2). Věta. V předchozím označení nechť je k nejvetší vlastní hodnota matice AT A. Pak (cos a)2 = X. Důkaz. Nechť u e U\ je vlastní vektor zobrazení ý o

(2, 0, 0, - Snadno získáme / 2 1 0 0 1 \ / 1 0 0 0 3/2 \ -2 0 1 1 0 0 1 0 0 -2 2 2 4 0 3 0 0 1 0 1 ^ 2 0 0 -2 -1 ) ^ 0 0 0 i 2 ; odkud dostáváme ortogonální doplněk ((—3/2, 2, —1, —2, 1)), příp. jej raději zapišme jako ((3, —4, 2, 4, —2)). Připomeňme, e vzdálenost cti vůči ct2 se rovná velikosti kolmého průmětu vektoru (rozdílu libovolného bodu cti a libovolného bodu ct2) u = (3, -2, 5, 7, 3) = [3, -1, 7, 7, 3] - [0, 1, 2, 0, 0] do tohoto ortogonálního doplňku. Označme zmíněný kolmý průmět u symbolem pu a polo me v = (3, —4, 2, 4, —2). Zřejmě je pu = a ■ v pro nějaké a e M a má platit (u — pu, v ) = 0, tj. (u, v) — a (v, v) = 0. Vyčíslení dává 49 — a ■ 49 = 0. Je tudí pu = 1 • v = v a vzdálenost rovin cti , ct2 je rovna \\Pu\\ = V32 + (-4)2 + 22 + 42 + (-2)2 = 7. Ukázalo se, že výpočet vzdálenosti pomocí ortogonálního doplňku součtu zaměření byl v předešlém příkladu „rýchlej ší cestou k výsledku". Pro roviny q\ a q2 tomu bude nepochybně stejně. Druhá metoda ovšem dává body, ve kterých se vzdálenost realizuje (body, kde si jsou roviny nejblíže). Nalezněme proto s její pomocí takové body v případě rovin q\, q2. Označme Ul = (1, 0, -1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0, 0, -1), Vl = (1, 1, 1,0, 1), v2 = (0, -2, 0, 0, 3). Body Xi e Qi, X2 e q2, ve kterých se vzdálenost rovin realizuje, můžeme vyjádřit jako Xi = [7, 2, 7, -1,1] + ri«i + siu2, X2 = [2, 4, 7, -4, 2] + t2vi + s2v2, a tedy Xl-X2= [7, 2,7,-1, 1] - [2,4, 7,-4, 2] +hui + SiU2 - t2vt - s2v2 = (5, —2, 0, 3, —1) + ri«i + s\u2 — t2v\ — s2v2. 217 B. EUKLEIDOVSKÁ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVS KÁ GEOMETRIE Skalární součiny (X1-X2,u1)=0, (X1-X2,v1)=0, X2,u2) = 0, X2,v2) =0 pak vedou na soustavu lineárních rovnic 2ři = -5, 2s\ + 5s2 = 1, -4f2 - s2 = -2, -5si - t2 - ľis2 = -1 s jediným řešením t\ jsem tak -5/2, Sl = 41/2, t2 = 5/2, s2 -8. Získali 5 41 X1 = [7,2,7,-l,l]--Ml + yM2 9 45 19 2' T' T' -1, 39 ~2 X2 = [2,4,7, -4,2] + -u! 8u2 '9 45 19 39 2' T' T' ~ ' ~T Nyní ji snadno ověříme, že vzdálenost bodů X\, X2 (a současně vzdálenost rovin qu q2) je || Xx - X2\\ = || (0, 0, 0, 3, 0) || =3. □ 4.34. Najděte průnik kolmé roviny spuštěné z bodu A = [1,2,3,4] e R4 na rovinu q : [1, 0, 1, 0] + (1, 2, -1, -2)5 + (1, 0, 0, l)ř, s.íel. Řešení. Nalezněme nejprve kolmou rovinu k q. Její zaměření bude kolmé na zaměření q, pro vektory (a, b, c, d) patřící do jejího zaměření dostáváme tedy soustavu rovnic (a,b, c,d) ■ (1,2,-1, -2) = 0 = a+2b-c-2d = 0 (a,b,c,d) ■ (1,0, 0, 1) =0 = a+d = 0. Jejím řešením je dvojdimenzionální vektorový prostor ((0, 1, 2, 0), (—1, 0, —3, 1)). Rovina r kolmá k rovině q procházející bodem A má tedy parametrické vyjádření r : [1, 2, 3, 4] + (0, 1, 2, 0)« + (-1,0, -3, l)u, w,u e M. Průnik rovin potom můžeme získat pomocí obou parametrických vyjádření. Pro parametry popisující průnik tedy dostáváme soustavu rovnic: 1 +s + t 2s 1 -s -2s + t 1 - v 2 + u 3 + 2u 4 + v, 3v která má jediné řešení (musí tomu tak být, protože sloupce matice soustavy jsou dány lineárně nezávislými vektory zaměření obou rovin) s = -8/19, t = 34/19, u = -54/19, v = -26/19. Dosazením hodnot parametrů s a t do parametrického vyjádření roviny q pak dostaneme souřadnice průniku [45/19, —16/19, 11/19, 18/19] (stejný (1) VólVk(A;uu...,uk) (2) (VolVk(A;Ul,...,uk))2 Důkaz. Matice uk ■ 2 a vektory u\, ... ,un-\ e V. Dosadíme-li těchto n — 1 vektorů jako prvních n — 1 argumentů n-lineárníhho zobrazení definovaného pomocí determinantu při výpočtu objemu výše, pak nám zbude jeden volný argument, tj. lineární forma na V. Protože však máme k dispozici skalární součin, odpovídá každá lineární forma právě jednomu vektoru. Tento vektor v e V nazveme vektorový součin vektorů u\, ..., w„_i, tj. pro každý vektor w e V platí (V, W) =[«!,..., M„_i, W]. Značíme v = u\ x ... x u„-\. Jsou-li v nějaké ortonormální bázi souřadnice našich vektorů v (Ji,..., y„Y w (xi , x„) a u j (u ... u ) , naše definice má vyjádření yixi H-----h ynxn un tni Ul(n-l) X\ Xfi. výsledek pochopitelně obdržíme, dosadíme-li hodnoty parametrů u a v do parametrického vyjádření roviny r). □ 4.35. Bodem [1,2] e M2 vedlte přímku, která má odchylku 30° od přímky p : [0,1] +f (1,1). Řešení. Odchylka dvou přímek je dána úhlem, který svírají jejich směrové vektory. Stačí tedy najít směrový vektor v hledané přímky. Ten získáme například rotací směrového vektoru přímky p o 30°. Matice rotace o 30° je cos 30° -sin30c sin 30° cos 30° Hledaný vektor v_ je tedy £=(f ~M)=\$+v Rotovat jsme mohli i v opačném smyslu. Hledaná přímka (jedna ze dvou možných) má tedy parametrické vyjádření í Vš i 73 A [1'21 + (--2-+2J'- □ 4.36. Určete cos a, kde a je odchylka dvou sousedních stěn pravidelného osmistěnu (těleso, jehož stěny tvoří osm rovnostranných trojúhelníků). Řešení. Odchylky libovolných dvou sousedních stěn jsou ze symetrie osmistěnu shodné. Rovněž tak nezáleží na jeho velikosti. Uvažujme osmistěn s délkou hrany 1, který je umístěn do standardní kartézské souřadné soustavy v M3 tak, že jeho těžiště je v bodě [0, 0, 0]. Jeho vrcholy jsou pak v bodech A = 0, 0], B = [0, ^, 0], C = [-^, 0, 0], D = [0,0], £ = [0,0,-|]aF = [0, 0, ^]. Určeme odchylku stěn CD F a BCF. Taje dána odchylkou vektorů kolmých na jejich průnik a ležících v daných stěnách, tedy vekorů kolmých na CF. Těmi jsou vektory dané výškami z bodů D, resp. F na stranu C F v trojúhelnících CDF, resp. BCF. Výšky v rovostranném trojúhelníku splývají s těžnicemi, jedná se tedy o úsečky SD a SB, kde 5 j e střed strany C F. Protože známe souřadnice bodů CaF,mábod5 souřadnice [-^, 0, ^] apro vektory máme SD = (^, -^) a SB = (^,Celkem cos a / síl _V2 _\/2\ fV2 V2 _\/2\ Je tedy a = 132°. □ 219 B. EUKLEIDOVSKÁ GEOMETRIE 1. AFINNÍ A EUKLIDEOVS KÁ GEOMETRIE 4.37. V bodovém eukleidovském prostoru M5 vypočtěte odchylku cp podprostorů U, V, jestli e je (a) U V (b) U V (c) U V (d) u v [3, 5, 1, 7, 2] + t (1, 0, 2, -2, 1), t e R, [0, 1, 0, 0, 0] + s (2, 0, -2, 1, -1), s e R; [4,1,1,0,1] +í (2, 0,0, 2,1), t e R, X\ + X 2 + X 3 + X 5 = 1 \ 1.X \ — X2 + 2*3 + X5 =3, Xi + 2X2 + 2X3 + x5 = — 1 í [0, 1, 1,0, 0] + t (0,0,0, 1, -1), t e R, [1,0, 1, 1, 1] +r (1, -1,2, 1,0) +5(0, 1,3,2,0) +p (1, 0, 0, 1, 0)+q (1, 3, 1, 0, 0) , r, s, p, q (e) U : [0, 2, 5, 0, 0] + t (2, 1, 3, 5, 3) + s (0, 3, 1, 4, -2) + r(l,2, 4,0, 3), t,s,r el, V : [0, 0, 0, 0, 0] + p (-1, 1, 1, -5, 0) + q (1,5, 1, 13, -4), eK; (f) £/ : [1, 1, 1, 1, l] + ř(l,0, 1, 1, 1) + s (1,0,0, 1, 1), t,s e M, V : [1, 1, 1, 1, 1] +p(l, 1, 1, 1, 1) +q (1, 1,0, 1, 1) + r (1, 1,0, 1,0), p,q,r € R. Řešení. Nejdříve připomeňme, že odchylka afinních podprostorů je definována jako odchylka jejich zaměření, a proto při počítání cp ne-zohledňujeme posunutí vyjádřená přičtením bodu (příp. pravé strany soustav rovnic). Varianta (a). Neboť oba podprostory U a V jsou jednodimenzionální, odchylka cp e [0, 7t/2] je dána vzorcem rns „ = (1,0,2,-2,l)-(2,0,-2,1,-1) 5 ||(1,0,2,-2,1)|M|(2,0,-2,1,-1)|| TTO-VTO' Je tedy cos

_ lšínejjednodušší křivky na řadě tzv. kuželosečky. Jsou v kartézkých souřadnicích zadány kvadratickými rovnicemi a podle ■(U/- ' koeficientů poznáme, zda jde o kružnici, elipsu, parabolu nebo hyperbolu, případně ještě může jít o dvě přímky nebo bod (degenerované případy). Uvidíme, že naše nástroje umožní vcelku účinnou klasifikaci takovýchto objektů v libovolných konečných dimenzích i práci s nimi. Je přitom zřejmé, že v afmní geometrii nemůžeme odlišit kružnici od elipsy, proto začneme v geometrii euklidovské. 4.26. Kvadriky v £„. V analogii k rovnicím kuželoseček v rovině začneme poznámkami o objektech v euklidovských bodových prostorech, které jsou v dané ortnonormální bázi zadány kvadratickými rovnicemi, hovoříme o kvadrikách. u = (0, 0,0, 1,-1), ui = (1,-1,2, 1,0), u2 = (0, 1,3,2,0), u3 = (1,0, 0,1,0), u4 = (1,3, 1,0,0) a jako pu označme ortogonální projekci (kolmý průmět) vektoru u do zaměření podprostorů V (do vektorového podprostorů generovaného vektory v\, v2, v3, v4). Určíme-li pu, ze vzorce " Pu I I (4.2) co&cp pak totiž obdržíme

(-!, 1, 1, -5, 0) + q (1, 5, 1, 13, -4). Jedná se o homogenní soustavu rovnic, kterou mů eme ře it v maticovém zápisu její levé strany (při pořadí proměnných t, s,r, p,q) í2 0 1 1 -1 / 1 3 2 -1 -5 \ 1 3 2 -1 -5 0 2 1 -1 -3 3 1 4 -1 -1 ~ ... ~ 0 0 1 -1 1 5 4 0 5 -13 0 0 0 0 0 \3 -2 3 0 4 ) \0 0 0 0 221 B. EUKLEIDOVSKÁ GEOMETRIE 2. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM Ukázalo se, e vektory zadávající podprostor V jsou lineární kombinací vektorů ze zaměření podprostoru U. To ov em znamená, e V je podmno inou zaměření U, a tudíž je

„ - M, (1, 1, 0, 1, 1)) = 0, < Pu ~ u, (1, 1, 0, 1, 0)) = 0, což vede na soustavu rovnic 4a + 3b = 3, 3a + 3b = 2 s jediným řešením a = 1, b = —1/3. Tímto jsme určili pu = (l,|,0,|,l) (4.4) aijXiXj + 2a;x;- + a = 0, 7=1 kde bez újmy na obecnosti můžeme rovnou předpokládat symetrii dij = a ý . Tuto rovnici můžeme zapsat jako f(u) + g(u) + a = 0 pro kvadratickou formu / (tj. zúžení symetrické bilineární formy F na dvojice stejných argumentů), lineární formu g a skalár a e M a předpokládáme že alespoň jeden z koeficientů ciij je nenulový (jinak by se jednalo o lineární rovnici popisující euklidovský podprostor). Všimněme si také, že jakákoliv euklidovská (nebo i afinní) transformace souřadnic převede rovnici (4.4) opět na stejný tvar s kvadratickou, lineární a konstantní částí. 4.27. Kvadratické formy. Začněme naši diksusi rovnice (4.4) její kvadratickou částí, tj. bilineární symetrickou formou F : W x W -> M.. Stejně dobře můžeme přemýšlet o obecné symetrické bilineární formě na libovolném vektorovém prostoru. Pro libovolnou bázi na tomto vektorovém prostoru bude hodnota f(x) na vektoru x = x\e\ +• • • +xnen dána vztahem f(x) = F(x, x) = ^^XiXjF(ei, ej) = xT ■ A ■ x 'J kde A = {ciij) je symetrická matice s prvky aij = F(ei, ej). Takovýmto zobrazením / říkáme kvadratické formy a výše uvedený vzorec pro hodnotu formy s použitím zvolených souřadnic se nazývá analytický tvar formy. Obecně rozumíme kvadratickou formou zúžení f(x) jakékoliv symetrické bilineární formy F(x, y) na argumenty tvaru (x,x). Evidentně umíme z hodnot f(x) zrekonstruovat celou bilineární formu F, protože f(x + y) = F(x+y,x+y) = f(x) + f(y) + 2F(x, y). Jestliže změníme bázi e{ na jinou bázi e[, ..., e'n, dostaneme pro stejný vektor jiné souřadnice x = S ■ x' (zde 5 je příslušná matice přechodu) a tedy f(x) = (S ■ x')T ■ A ■ (S ■ x') = {x'f ■ (ST ■ A ■ S) ■ x'. Předpokládejme opět, že je na našem vektorovém prostoru zadán skalární součin. Předchozí výpočet pak můžeme shrnout slovy, že matice bilineární formy F a tedy i kvadratické formy / se transformuje při změně souřadnic způsobem, který pro ortogonální změny souřadnic splývá s transformací matic zobrazení (skutečně, pak je 5_1 = ST). Tento výsledek můžeme intepretovat také jako následující pozorování: 222 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Tvrzení. Nechť V je reálny vektorový prostor se skalárním součinem. Pak vztah (p \-> F, F(u, u) = (cp(u), u) zadává bijekci mezi symetrickými lineárními zobrazeními a kvadratickými formami na V. Důkaz. Skutečně, bilineární forma s pevně zadaným ji ,. druhým argumentem je lineární formou au( ) = F( , u) a v přítomnosti skalárního součinu je nutně dána vztahem a(u)(v) = v ■ w pro vhodný vektor w. ifí1 ' Klademe cp(u) = w. Přímo ze vztahu v souřadnicích výše pak vyplývá, že cp je lineární zobrazení s maticí A. Je tedy samoadjungované. Naopak, každé symetrické zobrazení cp zadává vztahem F(u,v) = (cp(u),v) = (u,cp(v)) symetrickou bilineární formu a jejím zúžením kvadratickou formu. □ Z tohoto tvrzení vyplývá okamžitý důsledek, že pro každou kvadratickou formu / existuje ortonormální báze zaměření, ve které má / diagonální matici (a diagonální hodnoty jsou jednoznačně určeny až na pořadí). Díky ztotožnění kvadratických forem se zobrazeními můžeme také korektně zavést hodnost kvadratické formy jakožto hodnost její matice v kterékoliv bázi (tj. hodnost je rovna dimenzi obrazu příslušného zobrazení cp). 4.28. Klasifikace kvadrik. Vraťme se k naší rovnici (4.4). Naše výsledky o kvadratických formách nám umožňují dosáhnout rovnice ve tvaru J2kix? + J2biXi+b = 0- Můžeme tedy přímo předpokládat, že ji v takovém tvaru máme a v dalším kroku pro souřadnice x;- s kt ^ 0 provedeme doplnění do čtverců, které „pohltí" kvadráty i lineární členy týchž neznámých (tzv. Lagrangeův algoritmus, kterému se budeme obecněji věnovat níže) . Tak nám zůstanou nejvýše ty neznámé, pro které byl jejich koeficient u kvadrátu nulový, a získáme tvar i=\ Pif + bixi +c j splňující k j = 0 To odpovídá posunutí počátku souřadnic o vektor se souřadnicemi pi a zároveň volbě báze zaměření tak, abychom dostali požadovaný diagonální tvar v kvadratické části. Ve výše odvozeném ztotožnění forem se symetrickými zobrazeními to znamená, že cp je diagonální na ortogonálním doplňku svého jádra. Pokud nám opravdu zůstaly nějaké lineární členy, můžeme upravit ortonormální bázi zaměření na jádru zobrazení cp tak, aby odpovídající lineární forma byla a z (4.2) již plyne (2/3,2/3,0,2/3,1) co&cp (1,0,0,1,1) JI 3 ' tj. cp = 0, 49 (^28°) □ C. Geometrie kvadratických forem 4.38. Určete polární bázi formy / : M3 -2x\x2 + x| + 4x2X3 + 6x|. Řešení. Její matice je , f(xu x2,x3) = 3x2 + Podle bodu (1) Lagrangeova algoritmu provedeme úpravy 1 2 f(xi,x2, x3) = -(3*1 + x2)2 + -xf + 4x2x3 + 6x| 1,32 , 1 3 ,2 1 J 2 = 3*1 + ~2z2 a vidíme, že forma má hodnost 2 a matice přechodu do příslušné polární báze w se získá posbíráním provedených transformací: 2 2 Z3 = y3 = x3, z2 = -y2 + 2y3 = -x2 + 2x3, Z\ = y\ = 3x: + x2 Pokud by ale např. f(x\, x2, x3) = 2xix3 + x|, tj. matice je pak hned v prvním kroku můžeme přehodit proměnné: yi = x2, y2 = %\, y3 = x3. Aplikace kroku (1) je pak triviální (nejsou tu žádné společné členy), pro další krok ale nastane situace z bodu (4). Zavedeme tedy transformaci z\ = yi, z2 = y2, z3 = y3 — y2. Pak f(xu x2, x3) = z\ + 2z2(z3 + z2) =z\ + ^(2z2 + z3)2 - ^z3- Matici přechodu do příslušné polární báze opět dostaneme posbíráním jednotlivých transformací (tj. vynásobením jednotlivých dílčích matic přechodu). □ 4.39. Nalezněte polární bázi kvadratické formy / : je ve standardní bázi dána předpisem f(X\, X2, X3) = X1X2 + XiX3. i, která 223 C. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM 2. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM Řešení. Aplikací uvedeného Lagrangeova algoritmu dostávame: f(X\, X2, X-}) = 2X\X2 + x2x3 provedeme substituci podle bodu (4) algoritmu y2 — X2 — x\, yi — x\, v3 — x3 násobkem prvního prvku duální báze. Umíme tedy již dosáhnout výsledného tvaru ^hy2 +hk+i +> o, = 2*1 (*i + y2) + (xi + y2)x3 1 1,1, = -(2xi +y2 + -x3)2- -yf substituce yi — 2x\ + y2 + \x3 2xx + 2xiy2 + x1x3 + y2x3 1 -x3 + y2x3 1 1 1 21 2 substituce y3 1 2 = 0^1 ö>f ~ ö-*3 + ^3 = -J2 - 2(-y2 - -x?,)2 + -xj ±X3 4 .27 2yf + -xf. V souřadnicích yi, y3, x3 má tedy daná kvadratická forma diagonální tvar, to znamená že báze příslušná těmto souřadnicím je polární bází dané kvadratické formy. Pokud ji máme vyjádřit musíme získat matici přechodu od této polární báze ke standardní bázi. Z definice matice přechodu jsou pak její sloupce bázovými vektory polární bázi. Matici přechodu získáme tak, že buď vyjádříme staré proměnné (xi, x2, x3) pomocí nových proměnných (yi, y3, x3), nebo ekvivalentně vyjádříme nové proměnné pomocí starých (což jde jednodušeji), pak ale musíme spočítat inverzní matici. Máme yi = 2xi + y2 + 5x3 = 2xi + (x2 - x\) + \x3 a y3 5x3 *Xi + \x3 2 1 1 2 ke zvolené polární je tedy jx3. Matice přechodu od standardní báze Pro inverzní matici pak máme _2 3 4 3 0 Jedna z polárních bazí dané kvadratické formy je tedy například báze {(1/3, 1/3, 0), (-2/3, 4/3, 0), (-1/2, 1/2, 1)}. □ 4.40. Určete typ kuželosečky dané rovnicí: 3x2 — 3xix2 + x2 — 1 = 0. Řešení. Pomocí algoritmu úpravy na čtverec postupně dostáváme: 1 3,3 4.28 3xf 3x\X2 ~\~ X2 — 1 -(3xi - -x2)2 - -xf + x2 - 1 1 43 i2i -(-x2 - -)2 + - - 1 3 4 T 3 1 , 4 , 2 Podle seznamu kuželoseček 4.25 se tedy jedná o hyperbolu. kde k je hodnost matice kvadratické formy /. Pokud je b 7^ 0, můžeme ještě další změnou počátku dosáhnout vynulování konstanty c v rovnici. Celkem si tedy shrňme, že lineární člen se může (ale nemusí) objevit jen pokud je hodnost / menší než n, c e M může být nenulové pouze když je b = 0. Výsledné rovnice nazýváme kanonickými analytickými tvary kvadrik. 4.29. Případ £2. Pro ilustraci předchozího postupu projděme celou diskusi ještě jednou pro nejjed- 0 an ai2 an a 12 a22 «23 13 «32 «33 jsou tzv. invariantami kuželosečky, což znamená, že se nemění při eukleidovské transformaci souřadnic (rotace a posunutí) navíc různé typy kuželoseček mají různá znaménka těchto determinantů. • A / O vlastní kuželosečky: elipsa pro 8 > 0, hyperbola pro 8 < 0 a parabola pro 8 = 0 Aby šlo o reálnou elipsu, nikoliv imaginární, musí být navíc (au + «22) A < 0. • A = 0 nevlastní kuželosečky (degenerované), přímky Důkaz invariance vzhledem k transformaci souřadnic: Označme X = I y I a A je matice kvadratické formy. Pak příslušná kuželosečka má tvar XT AX = 0. Kuželosečku ve středovém základním tvaru dostaneme otočením a posunutím, tedy transformací do nových souřadnicx', /, pro které platí x = x' cos a — y7 siná + c\ y = x' siná + y' cos a + c2, tedy maticově pro nové souřadnice X' = I y | platí V1 (x\ I cos a — sin a cx\ I x' y = siná coso- c2 y | = MX'. V V 0 0 1/ \i. Dosazením vztahu X = MX' do rovnice kuželosečky, pak dostáváme rovnici kuželosečky v nových souřadnicích, tj. XTAX = 0 (MX')TA(MX') = 0 X'T MT AMX' = 0. Označme A' matici kvadratické formy kuželosečky v nových souřadni- (cosa —siná c\ sin a cos a c2 0 0 1 má jednotkový determinant, tedy det A' = det MT det A det M = det A = A. Nutně také deteminant A33, který je algebraickým doplňkem prvku «33 je nezávislý na změně souřadnic, protože pro nulové posunutí 225 C. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM 2. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM - tedy pouze otočení - je vztah det A' = det MT det A det M také (cos a — sin a 0^ sin a cos a 0 0 detA33 = 8. Pro samotné posunutí je matice M -tento subdeterminant neovlivňuje. 4.42. Určete typ kuželosečky 2x2 — 2xy + 3y2 — x + y — 1=0. 2 -1 -1 3 Řešení. Determinant i2" 2 -1 5 > 0 jde tedy o elipsu, která je reálná, protože (au + a22) A = (2 + 3) • (—2j) < 0. □ 4.43. Určete typ kuželosečky x2 — 4xy — 5y2 + 2x + 4y + 3 = 0. 1 -2 1 -2 -5 2 1 2 3 9 < 0, □ Řešení. Determinant A jde tedy o hyperbolu. 4.44. Určete rovnici kuželosečky (a poté její typ), která prochází body [-2, -4], [8, -4], [0, -2], [0, -6], [6, -2]. Řešení. Do obecné rovnice kuželosečky i- J 14.2 g aux2 + a^y2 + 2a\2xy + axx + a2y + a = 0 postupně dosadíme souřadnice zadaných bodů. Takto obdržíme sou- stavu 4an + 16fl22 + 16fli2 — 2a\ - 4a2 + a = o, 64a n + 16fl22 - 64fl12 + 8fli - 4a2 + a = o, 4fl22 - 2a2 + a = o, 36fl22 - 6a2 + a = o, 36fln + 4fl22 - 24fl12 + 6fli - 2a2 + a = 0. V maticovém zápisu provedeme úpravy (4 16 64 16 4 36 4 0 0 \36 (4 16 16 0 4 0 0 0 0 VO 0 /48 0 0 0 V° 16 -64 0 0 -24 0 64 0 0 0 12 0 0 0 -2 -4 l\ 8 -4 1 0 -2 1 0 -6 1 6 -2 V -2 -4 1 \ 0 -2 1 -8 12 -9 24 -36 27 0 3 -v 0 0 0 1\ 0 0 0 1 64 0 0 0 0 24 0 3 0 0 3 v (přepočtěte!). Má tedy / v nových souřadnicích analytický tvar an1x[2 + h, kde h je kvadratická forma nezávislá na proměnné X\. Z technických důvodů bývá lepší zvolit v nové bázi v\ = u\, opět dostaneme výraz f = f\ + h, kde f\ závisí pouze na x[, zatímco v h se x[ nevyskytuje. Přitom pak g(vx ,v\) = an. (2) Předpokládejme, že po provedení kroku (1) dostaneme pro h matici (řádu o jedničku menšího) s koeficientem u x'2 2 různým od nuly. Pak můžeme zopakovat přesně stejný postup a získáme vyjádření / = f\+f2+h, kde v h vystupují pouze proměnné s indexem větším než dvě. Tak můžeme postupovat tak dlouho, až buďprovedeme n—1 kroků a získáme diagonální tvar, nebo v řekněme /-tém kroku bude prvek právě získané matice nulový. (3) Nastane-li poslední možnost, ale přitom existuje jiný prvek ajj ^ 0 s j > i, pak stačí přehodit i-tý prvek báze s 7-tým a pokračovat podle předešlého postupu. (4) Předpokládejme, že jsme narazili na situaci a^ = 0 pro všechny j > /. Pokud přitom neexistuje ani žádný jiný prvek ajk ^ Os j > /, k > /, pak jsme již úplně hotovi, neboť jsme již dosáhli diagonální matici. Předpokládejme, že ^ 0. Použijeme pak transformaci v j = u j + uk, ostatní vektory báze ponecháme (tj. x'k = xk — Xj, ostatní zůstávají). Pak h(vj, Vj) = h(uj, Uj) + h(uk, uk) + 2h(uk, u_ = 2ajk ^ 0 a můžeme pokračovat podle postupu v (1). □ 4.31. Afinní klasifikace kvadratických forem. Po výpočtu polární báze Lagrangeovým algoritmem můžeme ještě vylepšit bázové vektory pomocí násobení skalárem tak, aby v příslušném analytickém vyjádření naší formy vystupovaly v roli koeficientů u kvadrátů jednotlivých souřadnic pouze skaláry 1, —1 a 0. Následující věta o setrvačnosti říká navíc, že počet jedniček a mínus jedniček nezávisí na našich volbách v průběhu algoritmu. Tyto počty nyzýváme signaturou kvadratické formy. Opět tedy dostáváme úplný popis kvadratických forem ve smyslu, že dvě takové formy jsou převoditelná jedna na druhou pomocí afinní transformace tehdy a jen tehdy, když mají stejnou signaturu. Věta. Pro každou nenulovou kvadratickou formu hodnosti r na reálném vektorovém prostoru V existuje celé číslo 0 < p < r a r nezávislých lineárních forem yn) = y\ + • • • + i - yL a označme podprostor generovaný prvními p vektory prvé báze P = («1,..., Up), a obdobně Q , vn). Pak pro každý u e P]ef(u) > 0 zatímco pro v e Q je f (v) < 0. Nutně tedy platí P f) Q = {0}, a proto dim P + dim Q < n. Odtud plyne p + (n — q) 0 pro všechny vektory (2) positivně semidefinitní, je-li f(u) > 0 pro všechny vektory u e V, (3) negativně definitní, je-li f(u) < 0 pro všechny vektory (4) negativně semidefinitní, je-li f(u) < Opro všechny vektory u e V, (5) indefinitní, je-li f(u) > 0 a /(u) < 0 pro vhodné vektory u, v e V. Stejné názvy používáme i pro symetrické reálné matice, jsou-li maticemi patřičných kvadratických forem. Signaturou symetrické matice pak rozumíme signaturu příslušné kvadratické formy. 4.32. Věta (Sylvestrovo kritérium). Symetrická reálná matice A je positivně definitní, právě když jsou všechny její hlavní minory kladné. Symetrická reálná matice A je negativně definitní právě, když (— 1)' | Ai | > 0pro všechny hlavní submatice Ai. Hodnotu a můžeme zvolit. Zvolíme-li a = 48, dostaneme «11 = 1, «22 = 4, «12 = 0, «1 = —6, «2 = 32. Kuželosečka má tudíž rovnici x2 + 4y2 - 6x + 32y + 48 = 0. V této rovnici doplníme výrazy x2 — 6x, 4y2 + 32y na druhé mocniny dvojčlenů, což dává resp. (x - 3)2 + 4(y + 4)2 - 25 = 0, (x - 3)2 + (y+4)2 _i=Q □ 52 ' (§r Vidíme, že se jedná o elipsu se středem v bodě [3, —4]. 4.45. Pomocí doplnění na čtverce vyjádřete kvadriku -x2 + 3y2 + z2 + 6xy - 4z = 0 ve tvaru, ze kterého lze vyčíst její typ. Řešení. Všechny členy obsahující x připojíme k —x2 a provedeme doplnění na čtverec. Tím získáme -(x - 3y)2 + 9y2 + 3y2 + z2 - 4z = 0. Žádné „nežádoucí" členy obsahující y nemáme, a proto postup opakujeme pro proměnnou z, což dává -(x - 3y)2 + 12/ + (z - 2)2 - 4 = 0. Odtud plyne, že existuje transformace proměnných, při které obdržíme (rovnici můžeme nejdříve vydělit 4) rovnici + f +ž2 - 1 =0. □ 227 C. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM 2. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM Důkaz. Budeme si muset podrobněji rozebrat, jak vy-padají transformace použité v Lagrangeově algoritmu pro konsturkci polární báze. Transformace použité v prvním kroku tohoto algoritmu mají vždy horní trojúhelníkovou matici T a navíc, při použití technické modifikace zmíněné v důkazu věty 4.30, má tato matice jedničky na diagonále: íl £12 au Taková matice přechodu od báze u k bázi v má několik pěkných vlastností. Zejména její hlavní submatice Tk tvořené prvními k řádky a sloupci jsou matice přechodu podprostorů Pk = (m, ..., uk) od báze (u\, ..., uk) k bázi (v\ ..., vk). Hlavní submatice Ak matice A formy / jsou maticemi zúžení formy / na Pk. Při přechodu od h k k daném maticí přechodu T jsou tedy matice Ak a A'k zúžení na podprostory Pk ve vztahu Ak = TkTA'k(Tk)~l. Inverzní matice k horní trojúhelníkové matici s jedničkami na diagonále je přitom opět horní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále, můžeme tedy podobně vyjádřit i A' pomocí A. Podle Cauchy-ovy věty jsou tedy determinanty matic Ak a A'k stejné. Celkem jsme tak dokázali velice užitečné pomocné tvrzení: Nechť je f kvadratická forma na V, dim V = n, a nechť je u báze V taková, ze při hledání polární báze Lagrangeo-vým algoritmem není nikdy potřebné použít body (3) a (4). Pak je výsledkem analytické vyjádření f (x\, ..., xn) = X\x2 + X2X2 + • • • + Xrx2 kde r je hodnost formy f,X\,...,Xr 7^ 0 a pro hlavní submatice (původní) matice A kvadratické formy f platí \Ak\ = A1A2 ... Xk, k < r. V námi uvažovaném postupu se při každé postupné transformaci vždy další sloupec pod diagonálou v matici A vynuluje. Odtud je již jasné, že případná nenulovost hlavních minorů v matici A zaručí nenulovost dalšího diagonálního členu v A. Touto úvahou jsme dokázali tzv. Jacobiho větu: Důsledek. Nechť f je kvadratická forma hodnosti r na vektorovém prostoru V s maticí A v bázi u. V Lagrangeově algoritmu není zapotřebí jiného kroku než doplnění čtverců právě, když pro hlavní submatice v A platí \A\\ 7^ 0, ..., \Ar\ 7^ 0. Pak existuje polární báze (a obdržíme ji výše odvozeným algoritmem), ve které má f analytické vyjádření \Ar\ 7 f(x\, ..., x„) \Ar\x\2 + 144^ + + |Ai| L |A,_!| r Jsou-li tedy všechny hlavní minory kladné, pak podle právě dokázané Jacobiho věty je jistě / positivně definitní. Předpokládejme naopak, že forma / je positivně definitní. Pak pro vhodnou regulární matici P platí A = PTEP = PTP. Je tedy \A\ = \P\2 > 0. Nechť m je zvolená báze, ve které má forma / matici A. Zúžení / na podprostory Vk = (u\, ..., uk) je opět positivně definitní forma fk, 228 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE jejíž maticí v bázi u\, ..., uk je hlavní submatice Ak. Proto je podle předchozí části důkazu také \Ak\ > 0. Tvrzení o negativně defmitních vyplývá z předchozího a skutečnosti, že A je positivně defmimí právě, když — A je negativně defmimí. □ 3. Projektivní geometrie V mnoha elementárních textech o analytické geometrii autoři končí afinními a euklidovskými objekty popsanými výše. Na spoustu praktických úloh euklidovská nebo afinní geometrie stačí, na jiné bohužel ale nikoliv. Tak třeba při zpracovávání obrazu z kamery nejsou zachovávány úhly a rovnoběžné přímky se mohou (ale nemusí) protínat. Dalším dobrým důvodem pro hledání širšího rámce geometrických úloh a úvah je požadovaná robustnost a jednoduchost numerických operací. Daleko jednodušší jsou totiž operace prováděné prostým násobením matic a velice těžko se totiž od sebe odlišují malinké úhly od nulových, proto je lepší mít nástroje, které takové odlišení nevyžadují. Základní ideou projektivní geometrie je rozšíření afinních prostorů o body v nekonečnu způsobem, který bude dobře umožňovat manipulace s lineárními objekty typu bodů, přímek, rovin, projekcí, apod. 4.33. Projektivní rozšíření afinní roviny. Začneme tím nejjednodušším zajímavým případem, geometrií v rovině. Jestliže si body roviny A2 představíme jako rovinu z = 1 v Ti?, pak každý bod P naší afinní roviny představuje vektor u = (x, y, 1) e M3 a tím i jednorozměrný podpro-stor (u) c M3. Naopak, skoro každý jednorozměrný pod-prostor v M3 protíná naši rovinu v právě jednom bodě P a jednotlivé vektory takového podprostoru jsou dány souřadnicemi (x, y, z) jednoznačně, až na společný skalární násobek. Žádný průnik s naší rovinou nebudou mít pouze podprostory s body o souřadnicích (x, y, 0). Projektivní rovina J Definice. Projektivní rovina V2 je množina všech jednorozměrných podprostorů v M3. Homogenní souřadnice bodu P = (x : y : z) v projektivní rovině jsou trojice reálných čísel určené až na společný skalární násobek, přičemž alespoň jedno z nich musí být nenulové. Přímka v projektivní rovině je definována jako množina jednorozměrných podprostorů (tj. bodů v V2), které vyplní dvourozměrný podprostor (tj. rovinu) v M3. Abychom měli před očima konkrétní příklad, podívejme se v afinní rovině M2 na dvě rovnoběžné přímky Li : y -x- 1=0, L2 : y - x + 1 = 0. C. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM 3. PROJEKTIVNÍ GEOMETRIE Jestliže budeme body přímek L\ a L2 chápat jako konečné body v projektivním prostoru "P2, budou zjevně jejich homogenní souřadnice (x : y : z) splňovat rovnice Li : y - x - z = 0, L2 : y - x + z = 0. Je vidět, že průnikem L\ n L2 bude v tomto kontextu bod (—1 : 1 : 0) e "P2, tj. nevlastní bod odpovídající společnému zaměření obou přímek. 4 . 31 4.34. Afinní souřadnice v projektivní rovině. Pokud zač- fneme naopak projektivní rovinou "P2 a budeme v ní chtít uvidět afinní rovinu jako její „konečnou" část, x pak můžeme místo roviny z, = 1 vzít v M3 jakoukoliv jinou rovinu er neprocházející počátkem OeK3. Konečné body pak budou ty jednorozměrné podprostory, které mají neprázdný průnik s rovinou er. Pokračujme v našem příkladu rovnoběžných přímek z předchozího odstavce a podívejme se, jak budou jejich rovnice vypadat v souřadnicích v afinní rovině, která bude dána jako y = 1. Za tím účelem stačí dosadit y = 1 do předchozích rovnic: L[:l-x-z = 0, L'2:\-x+z = 0 Nyní jsou „nekonečné" body naší původní afinní roviny dány vztahem z = 0 a vidíme, že naše přímky L[ a L'2 se protínají v bodě (1, 1, 0). To odpovídá geometrické představě, že rovnoběžné přímky L\, L2 v afinní rovině se protínají v nekonečnu a to v bodě (1:1: 0). 4 . 32 4.35. Projektivní prostory a transformace. Náš postup v afinní rovině se přirozeným způsobem zobecňuje na každou konečnou dimenzi. Volbou libovolné afinní nadroviny A„ ve vektorovém prostoru W+1, která neprochází počátkem, můžeme ztotožnit body P e A„ s jednorozměrnými podprostory, které tyto body generují. Zbylé jednorozměrné podprostory vyplní nadrovinu rovnoběžnou s A„ a říkáme jim nekonečné body nebo také nevlastní body v projektivním rozšíření V„ afinní roviny A„. Zjevně je vždy množina nevlastních bodů v V„ projektivním prostorem dimenze o jedničku nižším. Afinní přímka má ve svém projektivním rozšíření pouze jediný nevlastní bod (oba konce přímky se „potkají" v nekonečnu a projektivní přímka proto vypadá jako kružnice), projektivní rovina má projektivní přímku nevlastních bodů, trojrozměrný projektivní prostor má projektivní rovinu nevlastních bodů atd. Ještě obecněji zavádíme projektivizaci vektorového prostoru: pro libovolný vektorový prostor V dimenze n + 1 definujeme V(V) = {P C V; P C V, dim V = 1}. Volbou libovolné báze w ve V dostáváme tzv. homogenní souřadnice na V(V) tak, že pro P sV(V) použijeme jeho libovolný nenulový vektor w e V a souřadnice tohoto vektoru 230 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE v bázi u. Bodům projektivního prostoru V(V) říkáme geometrické body, zatímco jejich nenulové generátory ve V nazýváme říkáme aritmetické reprezentanty. Při zvolených homogenních souřadnicích je možné jednu z jejich hodnot zafixovat na jedničku (tj. vyloučíme všechny body projektivního prostoru s touto souřadnicí nulovou) a získáme tak vložení n-rozměrného afinního prostoru A„ C V(V). To je přesně konstrukce, kterou jsme použili v našem příkladu projektivní roviny. 4.36. Perspektivní projekce. Velmi dobře jsou výhody j:^ projektivní geometrie vidět na perspektivní ^'^e^y^^ projekci R3 > R2. Přestavme si, že pozorova-^3'' y."- tel sedící v počátku pozoruje „polovinu světa", tj. body (X, Y, Z) e R3 se Z > 0 a obraz vidí „promítnutý" na plátně daném rovinou Z = / > 0. Bod (X, Y, Z) „reálného světa" se mu tedy promítá na bod (x, y) na průmětně takto: X Y * = /-> y = f-- Z Z To je nejen nelineární formule, ale navíc při Z malém bude velice problematická přesnost výpočtů. Při rozšíření této transformace na zobrazení Vj, -» V2 dostáváme zobrazení (X : Y : Z : W) h» (x : y : z) = (—fX : — fY : Z), tj. popsané prostým lineárním vztahem '/ o 0 0> 0/00 0 0 10; (x\ Y Z W Tento jednoduchý výraz zadává perspektivní projekci pro konečné body vM3 C V3, které dosazujeme jako výrazy s W = 1. Přitom jsem elgantně odstranili problémy s body, jejichž obraz utíká do nekonečna. Skutečně, je-li Z-ová souřadnice skutečného bodu scény blízká nule, bude hodnota třetí homogenní souřadnice obrazu mít souřadnici blízkou nule, tj. bude představovat bod blízký nekonečnu. 4.37. Afinní a projektivní transformace. Každé prosté li-.j < ,. neární zobrazení

V2 mezi vektorovými prostory samozřejmě zobrazuje jednorozměrné pod-prostory na jednorozměrné podprostory. Tím vzniká ifí1 ' zobrazení na projektivizacích T : V{V\) —> V(V2). Takovým zobrazením říkáme projektivní zobrazení, v literatuře je používán také pojem kolineace. Pokud je toto zobrazení invertibilní. Jinak řečeno, projektivní zobrazení je takové zobrazení mezi projektivními prostory, že v každé soustavě homogenních souřadnic na definičním oboru i obrazuje toto zobrazení zadáno násobením vhodnou maticí. Obecněji, pokud naše pomocné lineární zobrazení není prosté, definuje projektivní zobrazení pouze mimo svoje jádro, tj. na bodech, jejichž homogenní souřadnice se nezobrazují na nulu. C. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM 3. PROJEKTIVNÍ GEOMETRIE Prostá zobrazení V -» V vektorového prostoru na sebe jsou invertibilní, všechna projektivní zobrazení projektivního prostoru V„ na sebe jsou tedy invertibilní též. Říká se jim také regulární kolineace nebo projektivní transformace. Odpovídají v homogenních souřadnicích invertibilním maticím dimenze n + 1. Dvě takové matice zadávají stejnou projektivní transformaci, právě když se liší o konstantní násobek. Jestliže si zvolíme první souřadnici jako tu, jejíž nulovost určuje nevlastní body, budou transformace, které zachovávají nevlastní body, dány maticemi, jejichž první řádek musí být až na první člen nulový. Jestliže budeme chtít přejít do afinních souřadnic konečných bodů, tj. zafixujeme si hodnotu první souřadnice na jedničku, musí být první prvek na prvním řádku být také rovný jedné. Matice kolineací zachovávajících konečné body našeho afinního prostoru tedy mají tvar: /l 0 ••• 0 \ b\ au • • • a\n \bn an\ ''' annJ kde b = (bi, ..., b„)T e M" a A = (útý) je invertibilní matice dimenze n. Působení takové matice na vektoru (1, %\, ..., xn) je právě obecná afinní transformace, kde b zadává posunutí a A její lineární část. Jsou tedy afinní zobrazení právě ty kolineace, které zachovávají nadrovinu nevlastních bodů. 4.38. Určení kolineací. K zadání afinního zobrazení je \^ nutné a stačí libovolně zadat obraz afinního Sjf repéru. V právě uvedeném popisu afinních r£/n^' transformací jako speciálního případu projek-tivních zobrazení to odpovídá vhodné volbě obrazu vhodné aritmetické báze vektorového prostoru V. Obecně ale neplatí, že obraz aritmetické báze V jednoznačně určí kolineací. Ukažme si podstatu problému na jednoduchém příkladu afinní roviny. Jestliže si zvolíme v rovině čtyři body A, B, C, D tak, aby každá z nich utvořená trojice byla v obecné poloze (tj. žádné tři z nich neleží na jedné přímce), můžeme si libovolně zvolit jejich obraz v kolineací následujícím způsobem: Zvolme jakkoliv jejich čtyři obrazy A', B', C, D' se stejnou vlastností a zvolme si jejich homogenní souřadnice u, v, w, z, u', v', w', z' vl3. Vektory z a z'pak můžeme jistě zapsat pomocí lineárních kombinací z = c\u + C2V + c3w, z' = c\u' + c'2v' + c'3w', přičemž všech šest koeficientů musí být nenulových, neboť jinak by některá trojice z našich bodů nebyla v obecné poloze. Nyní si zvolíme nové aritmetické reprezentanty bodů A, S a C poradě jako ú = c\u,v = c^v a u> = c3w a stejně ú' = c\W', v' = c2v' a w' = c3w' pro body A', B' a C. Tato volba zadává jediné lineární zobrazení cp zobrazující postupně (p(ú) = ú', (p(v') = v', (p(w) = w'. 232 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Zároveň však platí (p{z) = de naJíl, L J L J nejaký elementární proj ekti Vní přímky. klasický důkaz jako T , ji', jíl m ~'~' . ' ~ u ' ilustraci pro dif. Lze ale dokázat daleko simejsi tvrzeni, ze zobrazeni počet p^ dodat jakkoliv malé otevřené oblasti v afinním prostoru W (např. odkaz, jinak tady jen říci, že se tomu koule bez hranice), do téhož afinního prostoru, které zobra- nebudeme věnovat zuje přímky na přímky, je ve skutečnosti zúžením jednoznačně určené projektivní transformace projektivního rozšíření VW+1 původního afinního prostoru W. A tyto transformace tedy nutně zachovávají i dvojpoměry. Dualita. Projektivní nadroviny jsou definovány v n-rozměrném projektivním prosotu V(V) jako projek-tivizace ^-rozměrných vektorových podprostorů ve vektorovém prostoru V. Jsou tedy v homogenních souřadnicích definovány jako jádra lineárních forem a e V*, které jsou opět určeny až na skalární násobek. Ve zvolené aritmetické bázi jsou tedy projektivní nadroviny dány řádkovým vektorem a = (a0, ..., an). Přitom ale jsou formy a dány jednoznačně, až na skalární násobek. Každá nadrovina ve V tedy je identifikována s právě jedním geometrickým bodem v projektivizaci duálního prostoru V{V*). Hovoříme o duálním projektivním prostoru a dualitě mezi body a nadrovinami. Na formách působí lineární zobrazení zadávající danou kolineací pomocí násobení řádkových vektorů zprava toutéž maticí a = («0, ■ ■ ■, oin) h-» a ■ A, tj. matice duálních zobrazení je AT. Duální zobrazení ovšem zobrazuje formy opačným směrem z „cílového prostoru" ne „počáteční", proto potřebujeme pro současné studium vlivu regulární kolineace na body a jejich duální nadroviny zobrazení inverzní ke kolineaci /. To je dáno maticí A~l. Matice příslušného působení kolineace na formách je proto (Ar)_1. Protože je přitom inverzní matice rovna algebraicky adjun-gované matici A*lg, až na násobek inverzí determinantu, viz vztah (2.2) na str. 92, můžeme rovnou pracovat s projektivní transformací prostoru V(V*) zadanou maticí (A*lg)r (nebo bez transoponování, pokud násobíme řádkové vektory zprava). Okamžitě z definic je vidět, že projektivní bod X patří nadrovině a, když pro jejich aritmetické souřadnice platí a ■ x = 0. To samozřejmě zůstává v platnosti i po působení libovolnou kolineací, protože opět (a ■ A"1) • (A • x) = a ■ x = 0. 4 . 3ř 234 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 4.41. Samodružné body, středy a osy. Uvažujme regulárni kolineaci / zadanou v nějaké aritmetické bázi projektivního prostoru V(V) pomocí matice A. Samodružným bodem kolineace / rozumíme bod A, který je zobrazen na sebe, tj. f (A) = A, samodruznou nadrovinou kolineace f rozumíme nadrovinu a, která je zobrazována na sebe, tj. f (a) c a. Přímo z dennice tedy vidíme, že samozdružné body mají za aritmetické reprezentanty právě vlastní vektory matice A. V geometrii roviny jsme se s mnoha typy kolineaci již jistě setkali: symetrie podle středu, zrcadlení podle přímky, posunutí, stejnolehlost atd. Možná vzpomeneme i na různé typy promítání, např. promítání jedné roviny v M3 na druhou z nějakého středu S e M3. Všimněme si, že kromě samodružných bodů se u všech takových afinních zobrazení objevovaly také samodružné přímky. Např. u symetrie podle středu se zachovávají také všechny přímky tímto středem procházející, u posunutí se (obdobně) zachovávají nevlastní body roviny. Zastavíme se u tohoto jevu v obecné dimenzi. Nejprve zavedeme potřebné velmi klasických pojem související s incidencí bodů a nadrovin. Trs nadrovin procházejí bodem A e V(V) je množina všech nadrovin, které obsahují bod A. Z definice je zřejmé, že pro každý bod A je příslušný trs nadrovin sám nadrovinou v duálním prostoru V(V*) (je zadán jednou homogenní lineární rovnicí v aritmetických souřadnicích). Pro kolineaci / : V(V) -» V(V) řekneme, že bod S e V(V) je středem kolineace f jestliže všechny nadro-viny v trsu nadrovin určeném bodem S jsou samodružné. Řekneme, že ňadro vina a je osou kolineace f, jestliže jsou všechny její body samodružné. Přímo z definice je zřejmé, že osa kolineace je středem kolineace duální, zatímco trs nadrovin zadávajících střed kolineace je sám osou kolineace duální. Protože matice kolineace na původním a duálním prostoru se liší pouze transpozicí, jejich vlastní čísla splývají (vlastní vektory jsou sloupcové, resp. řádkové, k týmž vlastním číslům). Např. v projektivní rovině (a ze stejného důvodu v každém reálném projektivním prostoru sudé dimenze) má každá kolineace alespoň jeden samodružný bod, protože charakteristické polynomy příslušných lineárních zobrazení jsou lichého stupně a tedy mají alespoň jeden reálný kořen. Nebudeme se již zde dále věnovat obecné teorii, ale budeme aspoň krátce ilustrovat její užitečnost na několika výsledcích pro projektivní roviny. Tvrzení. Projektivní transformace roviny různá od identity má buď právě jeden střed a právě jednu osu, nebo nemá ani střed ani osu. Důkaz. Uvažme kolineaci / na VM? a uvažme, že by měla dva různé středy A a B. Označme i přímku zadanou těmito středy a zvolme bod X v projektivní rovině mimo i. 235 C. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM 3. PROJEKTIVNÍ GEOMETRIE Jsou-li p a q po řadě přímky procházející dvojicemi bodů (A, X) a (B, X), pak také f(p) = p a f(q) = q a tedy zejména je i bod X samodružný. To ale znamená, že všechny body roviny mimo L jsou samodružné. Každá přímka různá od i má tedy všechny body mimo i samodružné a proto je i její průnik s i samodružný. Je tedy / identické zobrazení a dokázali jsme, že neidentická projektivní transformace může mít nejvýše jeden střed. Tatáž úvaha pro duální projektivní rovinu nám dává výsledek o nejvýše jediné ose. Jestliže má / střed A, pak všechny přímky procházející A j sou samodružné a odpovídaj í proto dvourozměrnému pod-prostoru vlastních řádkových vektorů příslušné matice pro transformaci /. Proto bude existovat dvourozměrný prostor sloupcových vlastních vektorů ke stejnému vlastnímu číslu a ten bude reprezentovat právě přímku samodružných bodů, tedy osu. Tatéž úvaha v obráceném pořadí dokazuje i opačné tvrzení — jestliže má projektivní transformace roviny osu, má i střed. □ Pro praktické problémy je užitečné i pro reálnou rovinu pracovat v jejích komplexním projektivním rozšíření a geometrické chování transformací je pak velmi dobře čitelné z případné existence reálných či imaginárních středů a os. 4.42. Projektivní klasifikace kvadrik. Závěrem se ještě vrátíme ke kuželosečkám a kvadrikám. V n-rozměrném afinním prostoru W zadáváme kvadriku Q v afinních souřadnicích pomocí obecné kvadratické rovnice (4.4), viz str. 222. Pohlížíme-li na afinní prostor W jako na afinní souřadnice v projektivním prostoru VM"+l, můžeme chtít tutéž množinu Q popsat pomocí homogenních souřadnic v projektivním prostoru. V nich by mělo jít o výraz, jehož všechny členy jsou druhého řádu, protože pouze vynulování takového homogenního výrazu bude mít pro homogenní souřadnice bodu smysl nezávisle na zvoleném konstantním násobku souřadnic (jco, jci, ..., jc„). Hledáme tedy takový výraz, jehož zúžením na afinní souřadnice, tj. dosazením x0 = 1, získáme původní výraz z (4.4). To je ale mimořádně jednoduché, prostě dopíšeme dostatek x0 ke všem výrazům - žádný ke kvadratickým členům, jedno k lineárním a x\ ke konstantnímu členu v původní afinní rovnici pro Q. Získáme tak dobře definovanou kvadratickou formu / na vektorovém prostoru W+1, jejíž nulové body korektně definují tzv. projektivní kvadriku Q. Průnik „kužele" Q c nulových bodů této formy s afinní rovinou x0 = 1 je původní kvadrika Q, jejíž body označujeme jako vlastní body kvadriky, zatímco další body Q \ Q v projektivním rozšíření jsou body nevlastní. Klasifikace reálných či komplexních projektivních kvadrik, až na projektivní transformace, je úlohou, kterou jsme již zvládli — jde prostě o nalezení kanonické polární báze, viz odstavec 4.29. Z této klasifikace dané v reálném případě signaturou formy, v komplexním pouze hodností, vcelku snadno 236 KAPITOLA 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE můžeme dovodit i klasifikace kvadrik afinních. Stačí si všímat množiny nekonečných bodů v projektivním rozšíření naší afinní kvadriky. Ukážeme si podstatu postupu na případu kuželoseček v afinní a projektivní rovině. Projektivní klasifikace dává následující možnosti, popsané v homogenních souřadnicích (x : y : z) v projektivní rovině VM3: • imaginární regulární kuželosečka zadaná x2 + y2 + z2 = 0 • reálná regulární kuželosečka s rovnicí x2 + y2 — z2 = 0 • dvojice imaginárních přímek s rovnicí x2 + y2 = 0 • dvojice reálných přímek s rovnicí x2 — y2 = 0 • dvojnásobná přímka x2 = 0. Klasifikaci uvažujeme jako reálnou, tj. klasfikace kvadratických forem je dána nejen hodností, ale i signaturou, nicméně body kvadrik pak uvažujeme i v komplexním rozšíření. Tak je třeba chápat uvedené názvy, např. imaginární kuželosečka nemá žádné reálné body. 4.43. Afinní klasifikace kvadrik. Pro afinní klasifikaci musíme omezit projektivní transformace na ty, které zachovávají přímku nevlastních bodů. To ale můžeme také realizovat opačným postupem — pro zvolený projektivní typ kuželosečky Q, tj. její kužel gc83 budeme postupně různě volit afinní rovinu a c M3 neprocháející počátkem a sledovat, jak se mění množina bodů Q ľ\ a, které jsou v afinních souřadnicích realizovaných pomocí roviny a vlastními body Q. V případě reálné regulární kuželosečky tedy máme k dispozici skutečný kužel Q zadaný rovnicí z2 = x2 + y2 a za rovinu a berme třebas tečné roviny jednotkové sféry. Začneme-li s rovinou z = 1, dostaneme jako průnik samé konečné body v ní ležící jednotkové kružnice Q. Postupnýnm nakláněním a budeme dostávat protaženější a protaženější elipsy, až dosáhneme náklonu a rovnoběžného s jednou z přímek kužele. V tom okamžiku se již objeví jeden (dvojnásobný) nekonečný bod naší kuželosečky, jejíž konečné body ale stále tvoří jednu souvislou komponentu, a dostáváme parabolu parabola. Pokračováním naklánění vzniknou nekonečné body dva a množina konečných bodů přestane být souvislá a tak dostáváme poslední regulární kvadriku v afinní klasifikaci, hyperbolu. Z uvedeného postupu si můžeme vzít poučení, které nám snadno umožní pokračovat do vyšších dimenzí. Předně, si všimněme, že průnikem naší kuželosečky s projektivní přímkou nevlastních bodů je vždy opět kvadrika v dimenzi o jedničku nižší, tj. v našem případě šlo o prázdnou množinu nebo dvojnásobný bod nebo dva body jakožto typy kvadrik na projektivní přímce. Dále jsme zjistili, že afinní transformaci převádějící jednu z možných realizací zvoleného projektivního typu na druhou jsme našli jen tehdy, když příslušné kvadriky v nevlastní přímce byly projektivně ekvivalentní. Takovýmto způsobem lze pokračovat v klasifikaci kvadrik v dimenzi tři a dále. 237 C. GEOMETRIE KVADRATICKÝCH FOREM 3. PROJEKTIVNÍ GEOMETRIE Řešení cvičení 4.3. Přímka (2ř, t, lt) + [-5, 0, -9]. 4.3. [3,2, l][8/3, 8/3,2/3]. 4.70. 2, 3, 4, 6, 7, 8. Polohy rovin, které realizují dané počty si rozmyslete samostatně. 4.27. Pro normálový vektor (a, b, c) hledaných rovin máme rovnice a + b — 0 (kolmost na p) a volbou a — —b — 1 (vektor (0, 0, 1) nevyhovuje podmínkám, takže vhodným pronásobením můžeme dosáhnout — j, celkem pak hledané rovnice přímek jsou x — y ± Vó —1=0. 4.32. (-1,3,2). podmínky a — —b — 1) pak dostáváme z podmínky pro odchylku V3v/2+e2 238 KAPITOLA 5 Zřízení ZOO jaké funkce potřebujeme pro naše modely? — pořádný zvěřinec... V této kapitole začneme budovat nástroje umožňujících modelování závislostí, které nejsou ani lineární ani diskrétní. S takovou potřebou se často setkáme, když popisujeme systém vyvíjející se v čase a to nejen v několika vybraných okamžicích, ale „souvisle", tj. pro všechny možné okamžiky. Někdy je to přímo záměr či potřeba (třeba ve fyzikálních modelech klasické mechaniky), jindy je to vhodné přiblížení diskrétního modelu (třeba u ekonomických, chemických nebo biologických modelů). Klíčovým pojmem budou stále funkce. Čím větší třídu funkcí připustíme, tím obtížnější bude vybudovat nástroje pro naši práci. Když ale bude různých typů funkcí málo, nebudeme patrně umět budovat dobré modely pro reálné situace vůbec. Cílem následujících dvou kapitol bude proto explicitně zavést několik typů elementárních funkcí, implicitně popsat daleko více funkcí a vybudovat standardní nástroje pro práci s nimi. Souhrnně se tomu říká diferenciální a integrální počet jedné proměnné. Zatímco dosud jsme se spíše pohybovali v oblasti matematiky nazývané algebra, nyní se pouštíme do tzv. matematické analýzy. 1. Interpolace polynomy V předchozích kapitolách jsme pracovali často s posloupnostmi hodnot reálných nebo komplexních čísel, tj. se skalárními funkcemi N -» K nebo Z -» K, kde K byl zvolený číselný obor. Případně jsme pracovali s posloupnostmi vektorů nad reálnými nebo komplexními čísly. Připomeňme si diskusi z odstavce 1.4, kde jsme přemýšleli nad způsoby, jak pracovat se skalárními funkcemi. Na této diskusi není třeba nic doplňovat a rádi bychom (pro začátek) uměli pracovat s funkcemi M -» M (reálné funkce reálné proměnné) nebo M -» C (komplexní funkce reálné proměnné), případně funkcemi Q -» Q (funkce jedné racionální proměnné s racionálními hodnotami) apod. Většinou půjdou naše závěry snadno rozšířit na případy s vektorovými hodnotami nad stejnými skaláry, ve výkladu se ale zpravidla omezíme jen na případ reálných a komplexních čísel. Začneme od nejednodušších funkcí, které umíme zadat explicitně pomocí konečně mnoha algebraických operací se skaláry. A. Interpolace polynomy Na úvod této kapitoly se budeme snažit odhadnout funkce pomocí polynomů. Předpokládejme, že o neznámé funkci máme pouze kusé informace, totiž její hodnoty v několika bodech, popřípadě i hodnoty její první či druhé derivace v těchto bodech. Budeme se snažit najít polynom (co nejmenšího stupně) splňující tyto závislosti. 5.1. Nalezněte polynom P splňující následující podmínky: P(2) = 1, P(3) = 0, P(4) = -1, P(5) Řešení. Řešíme buď přímo, t.j. sestavením soustavy čtyř lineárních rovnic o čtyřech neznámých. Předpokládáme polynom ve tvaru a3x3 + a2x2 + a\X\ + a0. Víme, že polynom stupně nejvýše tři splňující podmínky v zadání je dán jednoznačně. «0 + 2a\ + 4a2 + Sa3 = 1 «0 + 3fli + 9a2 + 21 a3 = 0 a$ + 4a\ + 16a2 + 64a3 = —1 «0 + $ai + 25a2 + 125^3 = 6. Každá rovnice vznikla z jedné z podmínek v zadání. 239 A. INTERPOLACE POLYNOMY 1. INTERPOLACE POLYNOMY Druhou možností je vytvořit hledaný polynom pomocí fundamentálních Lagrangeových polynomů: (jc-3)(jc-4)(jc-5) P(x) = 1-------- + 0 •(...) + (2-3)(2-4)(2-5) (x-2)(x-3)(x-5) (x-2)(x-3)(x-4) ' (4 - 2)(4 - 3)(4 - 5) ' (5 - 2)(5 - 3)(5 - 4) 4 , ,101 = -z3 - I2z2 + — z - 29. Koeficienty tohoto polynomu jsou samozřejmě jediným řešením výše sestavené soustavy lineárních rovnic. □ 5.2. Nalezněte polynom P splňující následující podmínky: P(l + i) = i, P(2) = 1, P(3) = -i. 5.3. Nalezněte polynom P splňující následující podmínky: _P(1) = 0, P'(l) = 1, P(2) = 3, P'(2) = 3. Řešení. Opět ukážeme dvě možnosti řešení. Dané podmínky určují čtyři lineární rovnice pro koeficienty hledaného polynomu. Budeme-li hledat polynom třetího stupně, dostáváme tedy přesně tolik rovnic, kolik je neznámých koeficientů polynomu (nechť např. P(x) = a3x3 + a2x2 + a\x + a0): 5. la P(l) = (fl3+fl2 + ^l+^0 =0, P'(\) = 3a3 + 2a2 + a_ = 1, P(2) = Sa3 + 4a2 + 2a i + ao = 3, P'(2) = \2a3 + 4a2 + ax = 3. Vyřešením tohoto systému obdžíme polynom P(x) = —2x3 + 10x2 — 13* +5. Jiné řešení. Použijeme fundamentální Hermiteovy polynomy: 2 (x - 1) } (2-x)2 = (2x - l)(x -2)2, h\(x) = h\(x) = (5 h\{x) = (x h\{x) = (x Celkem 0 + (-l) (x -2)(x- \y P(x) = 0-ä!(x)+3-^(x)+1-ä2(x)+3-^(x) -2x3+10x2-13x+5. 5.1. Polynomy. Skaláry umíme sčítat a násobit a tyto ope-Mféz race splňují řadu vlastností, které jsme vyjme-■^nh novali už v odstavcích 1.1 a 1.3. Když připustíme konečný počet těchto operací, přičemž jednu proměnnou ponecháme jako neznámou a další vstupující skaláry budou pevně zvolené, dostáváme tzv. polynomy: j Polynomy Polynomem nad okruhem skalárů ] / : K -> K dané výrazem .«-i [ rozumíme zobrazení 1 f(x) = a„x" + a„-ix" + • • • + cl\x + ao, kde cii, i = 0, ..., n, jsou pevně zadané skaláry, násobení je znázorněno prostým zřetězením symbolů a „+" označuje sčítání. Pokud je a„ ^ 0, říkáme, že polynom / je stupně n. Stupeň nulového polynomu není definován. Skaláry a; označujeme jako koeficienty polynomu f. ^^^^^^^^^^^^^J Polynomy stupně nula jsou právě konstantní nenulová zobrazení x \-> a0. V algebře jsou častěji polynomy definovány jako formální výrazy uvedeného tvaru f(x), tj. jako posloupnosti koeficientů ao, a i, ... s konečně mnoha nenulovými prvky. V zápětí si ale ukážeme, že v analýze budou oba přístupy ekvivalentní. Je snadné ověřit, že polynomy nad okruhem skalárů tvoří opět okruh, kde násobení a sčítání je dáno operacemi v původním okruhu K pomocí hodnot polynomů, tzn. (f -g)(x) = f(x).g(x), (f +g)(x) = f(x)+g(x), kde nalevo a napravo musíme správně interpretovat příslušné operace v okruhu polynomů a v samotném okruhu skalárů. 5.2. Dělení polynomů se zbytkem. Jak jsme již zmínili, budeme v dalším pracovat výhradně s poli skalárů Q, M nebo C. Pro všechna pole skalárů však platí Tvrzení (O dělení polynomů se zbytkem). Pro libovolné polynomy f stupně n a g stupně m, existují jednoznačně určené polynomy q ar takové, že f = q ■ g + r a přitom je stupeň r menší než m neboje r = 0. Důkaz. Začněme jednoznačností. Předpokládejme, že IJ' „ máme dvě požadovaná vyjádření polynomu / s polynomy g,g', r a r1, tj. platí □ / = q■g+r=q ■g + r . Pak také odečtením dostaneme 0 = (q — q') ■ g + (r — r'). Jestliže q = q', pak také r = r1. Je-li q ^ q', pak člen s nej vyšším stupněm v (q —q')-g nemůže být vykompenzován r — r", což vede na spor. Dokázali jsme tedy jednoznačnost výsledku dělení, pokud existuje. Zbývá dokázat, že umíme polynom / vždy napsat požadovaným způsobem. Pokud by stupeň g byl větší než stupeň /, pak můžeme rovnou psát / = 0 • g + /. Předpokládejme proto n > m a dokažme tvrzení indukcí přes stupeň /. 240 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Pokud je / polynom stupně nula, je tvrzení zřejmé. Přepokládejme tedy, že tvrzení platí pro stupně menší než n > 0 a uvažme výraz h(x) = f(x) — j-x"~m g(x). Buď je h(x) přímo nulový polynom a pak máme, co jsme hledali, nebo jde o polynom nižšího stupně a tedy jej již umíme napsat potřebným způsobem h(x) = q ■ g + r a tedy také f(x) =h(x) + -^x" a tvrzení je dokázáno. (q + —x" □ Je-li pro nějaký prvek b e K hodnota f (b) = 0, pak to znamená, že v podílu f (x) = q(x)(x —b)+r musí být r = 0. Jinak by totiž nebylo možné dosáhnout f (b) = q(b) ■ 0 + r, kde stupeň r je nulový. Říkáme, že b je kořen polynomu f. Stupeň q je pak právě n—l. Pokud má q opět kořen, můžeme pokračovat a po nejvýše n krocích dojdeme ke konstatnímu polynomu. Dokázali jsme tedy, že každý nenulový polynom nad polem K má nejvýše tolik kořenů, kolik je jeho stupeň. Odtud již snadno dovodíme i následující pozorování: Důsledek. Je-li K pole s nekonečně mnoha prvky, pak dva polynomy f a g jsou si rovny jako zobrazení, právě když mají shodné koeficienty. Důkaz. Předpokládejme / = g, tj. / — g = 0, jako zobrazení. Polynom (/ — g)(x) tedy má nekonečně mnoho kořenů, což je možné pouze tehdy, je-li nulovým polynomem. □ Uvědomme si, že u konečných polí samozřejmě takové tvrzení neplatí. Jednoduchým příkladem je např. polynom x2 + x nad Z2, který představuje nulové zobrazení. 5.3. Interpolační polynom. Častá praktická úloha vyža-duje stanovení počítatelné formule pro funkci, '■*?řr<**J pro kterou máme zadány hodnoty v předem da-.V"" ných bodech xq, ... ,xn. Pokud by šlo o nulové \s hodnoty, umíme přímo zadat polynom stupně n + 1 f (x) = (x - x0)(x - xi)... (x - x„), který bude mít nulové hodnoty právě v těchto bodech a nikde jinde. To ale není jediná odpověď, protože požadovanou vlastnost má i nulový polynom. Ten je přitom jediný s touto vlastností ve vektorovém prostoru polynomů stupně nejvýše n. Obdobně to dopadne i v obecném případě: ' Interpolační polynomy Nechť K je nekonečné pole skalárů. Interpolační polynom f pro množinu po dvou různých bodů xq, ... ,x„ e K a předepsaných hodnot yo, ..., yn e K je polynom stupně nejvýše n nebo nulový polynom, který splňuje f (xC) = y t pro všechna i = 0, 1, ..., n. Věta. Pro každou množinu n + 1 po dvou různých bodů xq, ..., xn g IK a předepsaných hodnot yo, ■ ■ ■, yn € K existuje právě jeden interpolační polynom f. 5.4. Pomocí Lagrangovy interpolace spočítejte přibližnou hodnotu cos2 1. Použijte k tomu hodnoty funkce v bodech f, j a j. Řešení. Nejprve určíme funkční hodnoty v zadaných bodech: cos2(f) = 1/2, cos2(f) = 1/4, cos2(f) = 0. Dále určíme elementární Larangeovy polynomy, přitom můžeme spočítat hodnoty přímo v zadaném bodě: ,m d - m - r> 0fr-3)(;r-2) (4-3X4-2) n j m _ d ~ 4-)d ~ f) _ Ax-Wx-2) l = {l - - ^ = 2fr-4)fr-3) (f-f)(.T-f) Celkem tedy 1 (77--3)(77--2) 1 (7r-4)(7r-2) P(l) = - . S---- - - ■ 9---- + 0 = 2 7T2 4 7T2 (5tt - 12) (it - 2) =--J-i-- = 0.288913. 47T2 Vidíme, že při výpočtu třetí elementrání polynom nebyl potřeba. Skutečná hodnota je cos2 1 = 0.291927. □ 5.5. Franta potřebuje počítat hodnoty funkce sin, ale má k dispozici jen mobilní telefon s jednoduchou kalkulačkou, která umí základní operace. Protože si pamatuje hodnoty funkce sin v bodech 0, f, f f a j a ví, že přibližné hodnoty it, ~Jl a V3 jsou 3.1416, 1.4142 a 1.7321, rozhodl se, že použije k přibližnému výpočtu interpolaci. Pomozte mu sestrojit přibližný vztah s využitím všech hodnot. Řešení. Sestrojíme elementární Larangeovy polynomy: z = (x - f)(x - f)(x - f)(x - f) = °W (0-i)(0-20(0-f0(0-f) = 1.4783x4 - 5.8052x3 + 8.1057x2 - 4.7746x + 1 h(x) (x-0)(x-f)(x-f)(x-f) (I " 0)(£ - £)(£ - f)(f - f) 13.3046x4 + 45.2808x3 - 49.2419x2 + 17.1887x (x-0)(x-f)(x-^)(x-f) 6 ^4 3 ^4 23.6526x4 - 74.3070x3 + 71.3298x2 - 20.3718x h(x) (x-0)(x-f)(x-f)(x-f) (|-0)(| 241 A. INTERPOLACE POLYNOMY 1. INTERPOLACE POLYNOMY -13.304ÓX4 + 38.3146x3 - 32.8279x2 + 8.5943x U(x) (x-Q)(x-f)(x-f)(x-*;) (f - 0)( JT JT \ / JT 9 fi/VŤ" JT \ / JT JT \ T)\7 T) = 1.4783x4 - 3.4831x3 + 2.6343x2 - 0.6366x Hodnota interpolačního polynomou je pak 1 V2 73 P(x) = 0 • h(x) + -h(x) + — h(x) + — Z3(*) + h(x) = = 0.0288x4 - 0.2043x3 + 0.0214x2 + 0.9956x. □ Doplňující otázky: Může Franta tento přibližný výsledek použít i pro výpočet funkce sin na intervalu [ j, jt]? A pokud ne, jak by měl postupovat? Jak by vypadaly přibližné vztahy, pokud by Franta ne použil všechny uzly, ale pro každý bod jen tři uzly nejbližší? 5.6. Další den potřeboval Franta spočítat dvojkový logaritmus 25. (Ve skutečnosti potřeboval přirozený logaritmus, ale protože ví, že ln 2 je zhruba 0.6931, vystačí s i s dvojkovým.) Nejprve tedy vzal uzly 16 a 32 s funkčními hodnotami 4i ^ 5^ a sestrojil interpolační polynom (přímku) P(x) = + 3, takže f (25) = j| = 4.5625. Kvůli zpřesnění výsledku přidal další uzel 8 s funkční hodnotou 3. V tomto případě vyšel interpolační polynom roven P(x) = — j^x2 + j^x + |, což dává P (25) = 4.7266. Franta chtěl výsledek ještě zpřesnit, přidal tedy rovnou dva uzly, a to 2 a 4 s funkčními hodnotami 1 a 2. Jaké však bylo jeho překvapení, když mu vyšla hodnota P (25) = 5.892, která je určitě nesprávná vzhledem k tomu, že logaritmus je rostoucí funkce. Dokážete vysvětlit, kde se vzala taková chyba? Řešení. Franta trochu pátral na internetu a zjistil, že chyba při interpolaci se dá vyjádřit ve tvaru f(x)-Pn(x) (X — X0)(X — X\) . . . (X — Xn) + (« + l)! kde bod § není znám, ale leží v intervalu daném nejmenším a největším uzlem. Člen v čitateli zlomku způsobuje, že přidávání dalších vzdálených uzlů přesnost spiše zhoršuje. □ Důkaz. Začněme jednodušší částí, tj. jednoznačností. Jsou-li / a g dva interpolační polynomy SKLJLY/ se stejnými definičními hodnotami, pak je jejich rozdíl polynomem stupně n, který má n + 1 kořenů, a proto je / — g = 0. Zbývá existence. Označme si prozatím neznámé koeficienty polynomu / stupně n f = a„x" + • • • + ci\x + flo- Dosazením požadovaných hodnot dostaneme systém n + 1 rovnic pro stejný počet neznámých koeficientů a{ a0 + x0fli H-----h (x0)"a„ = y0 a0 + xna\ + • • • + (xn)"an — yn. Existenci řešení tohoto systému rovnic můžeme snadno ukázat přímou konstrukcí patřičného polynomu pomocí tzv. Lagrangeových polynomů pro dané body x0, ..., xn, viz. další odstavec textu níže. Nyní ale důkaz dokončíme pomocí jednoduchých znalostí z lineární algebry. Tento systém lineárních rovnic má totiž právě jedno řešení pokud je determinant jeho matice in-vertibilní skalár, tj. pokud je nenulový (viz 3.1 a 2.23). Jde o tzv. Vandermondův determinant, který jsme již diskutovali v příkladu 2.22 na straně 84. Protože jsme ale už ověřili, že pro nulové pravé strany existuje řešení právě jedno, víme, že tento determinant nenulový být musí. Protože polynomy jsou jako zobrazení stejné, právě když mají stejné koeficienty, věta je dokázána. □ 5.4. Užití interpolací. Na první pohled se může zdát, že reálné nebo případně racionální polynomy, tj. polynomiálně zadané funkce M -> M nebo Q -> Q, tvoří hezkou velikou třídu funkcí jedné proměnné. Můžeme jimi proložit jakékoliv sady předem zadaných hodnot. Navíc se zdají být snadno vyjádřitelné, takže by s jejich pomocí mělo být dobře možné počítat i hodnoty těchto funkcí pro jakoukoliv hodnotu proměnné. Při pokusu o praktické využití v tomto směru ovšem narazíme hned na několik problémů. Prvním z nich je potřeba rychle vyjádřit polynom, kterým zadaná data proložíme. Pro řešení výše diskutovaného systému rovnic totiž budeme obecně potřebovat čas úměrný třetí mocnině počtu bodů, což při objemnějších datech je jistě těžko přijatelné. Podobným problémem je pomalé vyčíslení hodnoty polynomu vysokého stupně v zadaném bodě. Obojí lze částečně obejít tak, že zvolíme vhodné vyjádření intepo-lačního polynomu (tj. vybereme lepší bázi příslušného vektorového prostoru všech polynomů stupně nejvýše k, než je ta nejobvyklejší 1, x, x2, ..., x"). Ukážeme si pouze jediný příklad takového postupu: 242 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Lagrangeovy interpolační polynomy Lagrangeův interpolační polynom snadno zapíšeme pomocí tzv. elemntárních Lagrangeových polynomů lt stupně n s vlastnostmi ti(Xj) Zřejmě musí být tyto polynomy až na konstantu rovny výrazům (x — xq) ... (x — Xí-i)(x — xi+\)... (x — x„) a proto Uj^i (x - Xj) Uj^i (xí -xj)' Hledaný Lagrangeův interpolační polynom je pak dán vztahem f(x) = y0lo{x) + yili(x) -\-----h y„t„(x). Použití Lagrangeových polynomů je obzvlášť efektivní, když opakovaně prokládáme zadané hodnoty závislé proměnné y i pro stále stejné hodnoty nezávislé proměnné xt. Pak totiž máme elementární polynomy lt předem připraveny. Toto vyjádření má nevýhodu ve velké citlivosti na nepřesnosti výpočtu při malých rozdílech zadaných hodnot xt, protože se v něm těmito rozdíly dělí. Další nepříjemností je velice špatná stabilita hodnot reál-ných nebo racionálních polynomů přil žv-ěTs^řc^^^-lfižrnpiě" proměnné. Brzy budeme mít nástroje na přesný popis kvalitativního chování funkcí, nicméně i bez nich je zřejmé, že podle znaménka koeficientu u nejvyšší mocniny polynomu se hodnoty velice rychle při rostoucím x vydají buď do plus nebo mínus nekonečna. Ani toto znaménko koeficientu u nej-vyššího stupně se ale u interpolačního polynomu při malých změnách prokládaných hodnot nechová stabilně. Názorně to vidíme na dvou obrázcích, kde je proloženo jedenáct hodnot funkce sin(x) s různými malými náhodnými změnami hodnot. Zelenou barvou je vynesena aproximovaná funkce, kolečka jsou malinko posunuté hodnoty a červeně je vynesen jednoznačně zadaný interpolační polynom. Zatímco uvnitř intervalu je aproximace vcelku dobrá, stabilita na okrajích je otřesná. 5.7. O týden později potřeboval Franta určit ~Jl. Napdlo ho problém otočit a použít tzv. inverzní interpolaci, tedy zaměnit roli uzlů a funkčních hodnot a určit přibližnou hodnotu vhodné funkce v nule. Jak postupoval? Řešení. *Jl je nulový bod funkce x2 — 1. Franta vzal uzly x0 = 2, x\ = 2.5, x2 = 3, příslušné funkční hodnoty jsou -3, -0.75 a 2. Pak prohodil úlohu uzlů a funkčních hodnot a získal elementární Lagrangeovy polynomy k)(x) h(x) h(x) (x + 0.75)(x - 2) 4 , 1 2 — -x--x (-3 + 0.75)(-3 - 2) 45 9 15 16 2 16 32 --x--x -\-- 99 99 33 —xL H--x H-- 55 11 55 Pro V7 tak dostal přibližnou hodnotu 2 • Z0(0) + 2.5 • h (0) + 3 • Z2(0) = 1 = 2-6485. Doplňující otázky: Frantovy se do výpočtu jednoho elementráního polynomu vloudila chyba, pokuste se ji vypátrat. Má tato chyba vliv na výslednou hodnotou? Jak bychom mohli využít také hodnotu derivace v bodě 2.5? □ 5.8. Nalezněte přirozený splajn 5, který splňuje podmínky 5(-l) = 0, 5(0) = 1, 5(1) = 0. Řešení. Hledaný přirozený splajn bude složen ze dvou kubických polynomů, jednoho, řekněme 5i, pro interval (—1,0), druhého, řekněme 52 pro interval (0, 1). Slůvko „přirozený" navíc určuje, že hodnoty druhých derivací polynomů 5i, resp. 52, budou nulové v bodě — 1, resp. 1. Díky předepsané společné hodnotě v bodě 0 víme že absolutní člen obou polynomů je 1, ze symetrie úlohy plyne, že společná hodnota první derivace v bodě 0 je nulová. Můžeme tedy psát 5i(x) = ax3 + bx2 + 1 a 52(x) = cx3 + dx2 + 1, pro neznámé reálné parametry a, b, c ad. Dosazením těchto tvarů do čtyř podmínek Si(-l) = 0, 5i"(-l) = 0, 52(1) = 0a 52"(1) = 0 dostáváme čtyři lineární rovnice pro tyto parametry: dát nějaké další odkazy Kolem interpolačních polynomů existuje bohatá teorie. -a+b + 1 —6a + 2b c + d + 1 6c + 2d 0, 0, 0, 0. 243 B. TOPOLOGIE KOMPLEXNÍCH ČÍSEL A JEJICH PODMNOŽIN 1. INTERPOLACE POLYNOMY Jejich vyřešením pak 5i (x) Ix3 3.2 x1 + 1, 52(x) = ±e5.-4a \x2 + 1. Celkem tedy 5(x) -±x3-§x2 + l prox e (-1,0) \x3 - \x2 + 1 prox e (0, 1) □ 5.9. Nalezněte splajn 5, který splňuje podmínky 5(-l) = 0, 5(0) = 1, 5(1) = 0, 5(-l) = 1, 5(1) = 1. Řešení. Hledaný splajn se od splajnu z předchozí úlohy liší pouze hodnotami derivací v bodech -1 a 1. Obdobně jako v předchozí úloze tak dostáváme části 5i a 52 splajnu ve tvaru 5i (x) = ax3 + bx2 + 1 a 52(x) = cx3 + dx2 + 1, pro neznámé reálné parametry a, b, c a d. Dosazením do podmínek 5i(-l) = 0, 5^-1) = 1, 52(1) = 0a 5j(l) = 1 dostáváme nyní soustavu -a+b+1 3a — 2b c +d + 1 3c + 2d 0, 1, 0, 1 e5.1 s řešením a = — 1, b = —2, c = 3 a d = —4, tedy hledaný splajn je funkce '-x3-2x2 + l prox e (-1,0) v-3 _ A -v-2 5(x) 3x3 - 4x2 + 1 prox e (0, 1) □ Více příkladů k interpolačním polynomům najdete na straně 303. B. Topologie komplexních čísel a jejich podmnožin 5.10. Vyznačte v komplexní rovině následující množiny: ii) {z e iii) {z e iv) {z, e \z-l\ 1 < Iz-Re(z2) = k + i|} i\ < 2} = 1} Re(i) < \\ 5.4 Řešení. • imaginární osa • mezikruží okolo i ,2 1,2 • hyperbola a — b = 1. • vnějšek jednotkového kruhu se středem v 1. 5.5. Poznámka. Numerická nestabilita způsobená případnou blízkostí (některých) z bodů x; je dobře viditelná i na systému rovnic z důkazu Věty 5.3. Při řešení systémů lineárních rovnic totiž nestabilita do značné míry souvisí s velikostí determinantu matice systému, tj. v našem případě Van-dermondova determinantu. Ten umíme vcelku snadno přímo spočíst: Lemma. Pro posloupnost po dvou různých skalárů xq, ..., x„ e K platí V(x0, ... ,x„) = y\ >k=0 xH-1 Důkaz. Vztah dokážeme indukcí přes počet bodů x;. Evidentně je správný pro n = 1 (a pro n = 0 je úloha nezajímavá). Předpokládejme, že výsledek je správný pro n — 1, tj- n-l V(X0, X„_0 = Y[ (Xi - Xk)- i>k=0 Nyní považujme hodnoty x0, ..., x„_i za pevné a hodnotu x„ ponechme jako volnou proměnnou. Rozvojem determinantu podle posledního řádku (viz ??) obdržíme hledaný determinant jako polynom (5-1) V(x0, ..., x„) = (x„) V(x0, ..., x„_i) — (x„) Toto je polynom stupně n, protože víme, že jeho koeficient u (x„)" je nenulový dle indukčního předpokladu. Přitom bude zjevně nulový při dosazení kterékoliv hodnoty x„ = x; pro i < n, protože bude v takovém případě obsahovat původní determinant dva stejné řádky. Náš polynom tedy bude dělitelný výrazem (xn X§){xn Xi) • • • {xn Xft — i), který má sám již stupeň n. Odtud vyplývá, že celý Vander-mondův determinant coby polynom v proměnné x„ musí být tomuto výrazu roven až na konstantní násobek, tj. V(x0, ..., x„) = c ■ (x„ - x0)(x„ - Xi) • • • (x„ - X„_i). Porovnáním koeficientů u nej vyšší mocniny v (5.1) a tomto výrazu dostáváme c = V(x0, ... ,x„_i) a tím je důkaz lemmatu ukončen. □ Opět tedy vidíme, že determinant bude velmi malý, pokud jsou malé vzdálenosti bodů x;. 5.6. Derivace polynomů. Zjistili jsme, že hodnoty polynomů s rostoucí proměnnou rychle míří k nekonečným hodnotám (viz také obrázky). Proto je zřejmé, že polynomy nemohou nikdy - vhodně popisovat jakékoliv periodicky se opakující děje (jako jsou např. hodnoty goniometrických funkcí). Mohlo by se ale zdát, že podstatně lepší výsledky 244 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO budeme alespoň mezi body xt dosahovat, když si budeme kromě hodnot funkce hlídat, jak rychle naše funkce v daných bodech rostou. Za tímto účelem zavedeme (prozatím spíše intuitivně) pojem derivace pro polynomy. Můžeme přitom pracovat opět s reálnými, komplexními nebo racionálními polynomy. Rychlost růstu v bodě x e M pro reálný polynom f(x) dobře vyjadřují podíly (5.2) f(x + Ax) - f(x) Ax a protože umíme spočíst (nad libovolným okruhem) (x+Ax)* = xk+kxk~l Ax+- • ■+(k)xl(Ax)k-'+- ■ -+(Ax)k, dostaneme pro polynom f(x) = anxn +■ ■ ■ +a0 výše vedený podíl ve tvaru □ 5.11. Nalezněte hromadné, izolované, hraniční a vnitřní body množin N, , X = |x e R; 0 < x < 1} v R. f(x + Ax) - f(x) nxn~lAx H----+ (Ax)* a„----1-----Mi Ax Ax = nanxn~l + (n — \)an-\xn~2 + ■ ■ ■ + a\ + Ax(...) kde výraz v závorce je polynomiálně závislý na Ax. Evidentně pro hodnoty Ax velice blízké nule dostaneme hodnotu libovolně blízkou následujícícmu výrazu: ^^mm^ Derivace polynomů [ Derivací polynomu f(x) = anxn + ■ ■ ■ + a0 podle proměnné x rozumíme polynom f'(x) = nanx"~l + (n — l)an-ix"~2 + ■ ■ ■ + a\. Z definice je jasné, že právě hodnota /'(x0) derivace polynomu nám dává dobré přiblížení jeho chování v okolí bodu x0. Přesněji řečeno, přímky y f(x0 + Ax) - /(x0) Ax (x - x0) + /(x0), tj. sečny grafu polynomu procházející body [xo, /(xo)] a [xo + Ax, f(xo + Ax)] se, se zmenšujícím se Ax, přibližují přímce y = f'(x0)(x - x0) + /(x0), což tedy musí být tečna grafu polynomu /. Hovoříme o lineárním přiblížení polynomu / jeho tečnou. Derivace polynomů je lineární zobrazení, které přiřazuje polynomům stupně nejvýše n polynomy stupně nejvýše n—1. Iterací této operace dostáváme druhé derivace /", třetí derivace /(3) a obecně po ^-násobném opakování polynom f(k) stupně n — k. Po n + 1 derivacích je výsledkem nulový polynom. Toto lineárním zobrazení je příkladem tzv. cyklického nilpotentního zobrazení, která jsou podrobněji rozebírána v odstavci 3.32 o nilpotentních zobrazeních. Řešení. Množina N. Pro libovolné n e N očividně platí Ax — Oi(n)nN = (n-l,n + l)nN = {n}. Ax Existuje tedy okolí bodu neNvI, které obsahuje pouze jeden prvek množiny N (pochopitelně právě uvažované n), tj. každý bod n e N je izolovaný. Množina vnitřních bodů je proto prázdná (je-li bod izolovaný, nemůže být vnitřní). Bod a e M je pak hromadným bodem A právě tehdy, když každé jeho okolí obsahuje nekonečně mnoho bodů A. Ovšem množina Oi (a) n N = (a - 1, a + 1) n N, přičemž a sR, je konečná, z čehož plyne, že N hromadné body nemá. To, že tato množina je konečná, dále implikuje 8b := inf \b-n\ = inf \b-n\>0 pro b e R \ N. neN neOi(b)nN Odsud máme Oh (b) n N = 0, tj. žádné b e R \ N není hraničním bodem N. Současně víme, že každý bod dané množiny, který není vnitřním bodem, je nutně jejím hraničním bodem. Množina hraničních bodů tak obsahuje N. Shrneme-li to, množina hraničních bodů N je N. Množina Q. Racionální čísla tvoří tzv. hustou podmnožinu množiny všech reálných čísel. To znamená, že ke každému reálnému číslu konverguje posloupnost racionálních čísel (představme si např. nekonečný desetinný rozvoj reálného čísla a jemu odpovídající posloupnost, kdy v následujícím členu přidáváme další cifru rozvoje). O této posloupnosti lze navíc předpokládat, že všechny její členy jsou navzájem různé (na poslední pozici konečného desetinného rozvoje se můžeme záměrně dopouštět chyby nebo kupř. číslu 1 přiřadíme desetinný rozvoj 0, 999 ... apod.). Množina hromadných bodů Q v M je proto celé R a každý bod x e R \ Q je hraniční. Zvláště dostáváme, 245 B. TOPOLOGIE KOMPLEXNÍCH ČÍSEL A JEJICH PODMNOŽIN 1. INTERPOLACE POLYNOMY že libovolné á-okolí 5.5 Os ( - ) = ( - - 8, - + 8 ) , kde p, q e Z, q ^ 0, \qj \q q J racionálního čísla p/q musí obsahovat nekonečně mnoho racionálních čísel, což dává neexistenci izolovaných bodů. Číslo a/2/ 10" není racionální pro žádné n e N. Předpokladem opaku (opět p, q e Z, q ^ 0) 10" q q totiž okamžitě obdržíme spor - o číslu a/2 víme, že není racionální. Libovolné okolí racionálního čísla p/q tak zároveň obsahuje nekonečně mnoho reálných čísel p/q + a/2/10" (n e N), která nejsou racionální (množina Q jako těleso je uzavřená vzhledem k odečítání). Všechny body p/q e Q jsou tudíž rovněž hraniční a vnitřní body množina Q nemá. Množina X = [0, 1). Nechť a e [0, 1) je zvoleno libovolně. Posloupnosti se členy (pro dostatečně velká n e N) 1 1 a + -, 1 - - C [0, 1) n n zjevně konvergují po řadě k hodnotám a, 1. Snadno jsme tak ukázali, že množina hromadných bodů obsahuje interval [0, 1]. Jiné hromadné body neexistují: pro jakékoli b £ [0, 1] existuje 8 > 0 takové, že Os (b) n [0, 1] = 0 (pro b < 0 postačuje položit 8 = — b a pro b > 1 potom 8 = b — 1). Protože každý bod intervalu [0, 1) je hromadným bodem, množina izolovaných bodů je prázdná. Pro a e (0, 1) označme menší z kladných čísel a, 1 — a jako 8a. Uvážíme-li Oha (a) = (a - 8a, a + 8a) c (0, 1), a € (0, 1), vidíme, že libovolný bod intervalu (0, 1) je vnitřním bodem intervalu [0, 1). Pro každé 8 e (0, 1) je Os (0) n [0, i) = (-s, s) n [0, i) = [0, s), Os (i) n [0, i) = (i - s, i + S) n [0, i) = (i - s, i), tj. každé á-okolí bodu 0 obsahuje jisté body intervalu [0, 1) a hodnoty z intervalu (—á, 0) a každé á-okolí bodu 1 má neprázdný průnik s intervaly [0, 1), [1, 1 + 8). Body 0 a 1 jsou tedy hraničními body. Celkem jsme zjistili, že množina všech vnitřních bodů odpovídá intervalu (0, 1) a množina hraničních bodů je {0, 1}. Stačí si uvědomit, že bod nemůže být současně vnitřní a hraniční a že hraniční bod musí být izolovaný, nebo hromadný. □ Více příkladů k danému tématu najdete na straně 303 5.7. Hermiteův interpolační problém. Uvažme opět m+1 po dvou různých reálných hodnot x0, ..., xm, tj. %i Xj pro všechna i ^ j. Budeme chtít zase prokládat pomocí polynomů předem dané hodnoty, tentokrát ale budeme vedle hodnot předepisovat i první derivace. Tj. predpíšeme y; a ý pro všechna i. Hledáme polynom /, který bude nabývat těchto předepsaných hodnot a derivací. Zcela analogicky jako u interpolace pouhých hodnot obdržíme pro neznámé koeficienty polynomu f(x) = anxn + ■ ■ ■ + a0 systém 1(m + l)rovnic a0+x0ai-\-----h (xo)"an = y0 ao + Xmai + • • • + (xm)nan — y„ a\ + 2xo«2 + • • • + n(xo) n-l cl\ + 2xm«2 + • • • + n(xm) n-l y0 ym Opět bychom mohli ověřit, že při volbě n = 2m + 1 bude determinant tohoto systému rovnic nenulový a tudíž bude existovat právě jedno řešení. Nicméně, obdobně ke konstrukci Lagrangeova polynomu lze zkonstruovat takový polynom / přímo. Prostě si vytvoříme jednu sadu polynomů s hodnotami nula nebo jedna jak u derivací tak u hodnot, abychom jejich jednoduchou lineární kombinací uměli dosáhnout potřebné hodnoty. Ověření následující definice a tvrzení necháme na čtenáři: j Hermiteův interpolační polynom J_ Hermiteův interpolační polynom definujeme pomocí fundamentálních Hermitéových polynomů: h](x) h]{x) 1 l'(Xi) (X - Xi) (jc -jcť )(£,■(*))z, kde l(x) = nľ=i(x — x')- Tyto polynomy splňují: h](Xj) 1 pro i = j 0 pro i ŕ j h2(xj) 0 0 a proto je Hermiteův interpolační polynom dán výrazem k f{x) = YJ{yih]{xi) + ihfaij) . i=\ 246 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5. 5a 5.6 5.8. Příklady Hermiteových polynomů. Úplně nejjedno-dušší případ je zadání hodnoty a derivace v jediném bodě. Tím určíme beze zbytku polynom stupně jedna f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) tj. právě rovnici přímky zadané hodnotou a směrnicí v bodě x0. Když zadáme hodnotu a derivaci ve dvou bodech, tj. yo = /(*o), = f'(xo), yi = f(x\), y[ = f'(x\) pro dva různé body Xi, dostaneme ještě pořád snadno počítatelný problém. Ukažme si jej ve zjednodušeném provedení, kdy x0 = 0, x\ = 1. Pak matice systému a její inverze budou /o 0 0 l\ 1111 0 0 10 \3 2 1 0/ / 2 -2 1 1 \ -3 3 -2 -1 0 0 10 y i o o o / C. Limity V následujících příkladech se budeme zabývat výpočtem limit posloupností, tedy tím, jak posloupnosti „vypadají v nekonečnu". Tj. pokud bychom chtěli předepsat n-tý člen posloupnosti pro hodně velké n, tak nám jej limita posloupnosti (pokud existuje) velmi dobře přiblíží. Limitám posloupností a posléze funkcí věnujeme v příkladovém sloupci hodně prostoru, proto s nimi začínáme dříve (a končíme později), než ve sloupci teorie. Začněme s limitami posloupností. Potřebné definice nalezne čtenář na straně 252. 5.12. Spočítejte následující limity posloupností: Přímým vynásobením A ■ (yo, yi, ý0, yj )T pak vyjde vektor koeficientů (a3, a2, a\, a0)T polynomu /, tj. f{x) = (2y0 - 2yx + y0 + y[ )x3 + (-3y0 + 3yi - 2y0 - y[ )x2 + y[)X + y0- 5.9. Interpolace splajny. Obdobně můžeme předepisovat libovolný konečný počet derivací v jednotli-Žfo vých bodech a vhodnou volbou stupně polynomu obdržíme vždy jednoznačné interpolace. Nebudeme zde uvádět podrobnosti. Bohužel, u všech těchto interpolací pořád zůstávají problémy zmíněné už v případě jednoduchých interpolací hodnot - složitost výpočtů a nestabilita. Použití derivací však podbízí jednoduché vylepšení metodiky: Jak jsme viděli na obrázcích demonstrujících nestabilitu interpolace jedním polynomem dostatečně vysokého stupně, malé lokální změny hodnot zapříčiňovaly dramatické celkové změny chování výsledného polynomu. Nabízí se tedy využití malých polynomiálních kousků nízkých stupňů, které ale musíme umět rozumně navazovat. Nejjednodušší je propojení vždy dvou sousedních bodů lineárním polynomem. Tak se nejčastěji zobrazují data. Z pohledu derivací to znamená, že budou na jednotlivých úsecích konstantní a pak se skokem změní. O něco sofistikovanější možností je předepsat v každém bodě hodnotu a derivaci, tj. pro dva body budeme mít 4 hodnoty a jednoznačně tím určíme Hermiteův polynom 3. stupně, viz výše. Tento polynom pak můžeme použít pro všechny hodnoty nezávislé proměnné mezi krajními hodnotami xq < x\. Hovoříme o intervalu [xq, x\\. Takové polynomiální přiblížení po kouskách už bude mít tu vlastnost, že první derivace na sebe budou navazovat. V praxi ale není pouhé navazování první derivace dostatečné a navíc při naměřených datech nemíváme hodnoty derivací k dispozici. Přímo se proto vnucuje pokus využívat pouze zadané hodnoty ve dvou sousedních bodech, ale i) lim 2«2+3« + l n + l ii) lim 2"2+3"+1, iii) lim n + l «^oo 2«2+3« + l ' 2" -2~" iv) lim„ v) lim -oo 2" +2-" ' v/4n2+n vi) lim \/4n2 + n — 2n. Řešení. i) lim 2«2+3« + l n + l lim 2n+3+j 3 , 1 n^oo 3«2+« + l iii) lim —s±i n—^cx. iv) lim 2+i 1 ii) lim 2" +3n+1 2«2+3« + l _ ílííí oo. 1 + i lim n^oo 2«+3+- 2" - 2"" lim - n^-oo 2" + 2~n lim 2- - 1 2-n J- —oo —— -i- 1 2-n T í v) Podle věty o třech limitách (5.20): Vn e N : ^ < iM+L < /4«2+« + A f~A 2 t ,/4«2+« + Tír '--. Dále pak lim ^ = lim ^ = 2, lim *-^ fl ± tj fi fi 11 11_i. f-v-i 11 11_i. f-v-i 11 11_i. f-v-i 11 lim 2Jt±í = 2. Tedy i lim = 2. TJ •* fl vi) lim V4n2 + n — 2n lim (V4«2 + n - 2n){^4n2 +n + 2n) \/4n2 + n+ 2n n lim —-_ n^°° \/4n2 +n+2n 1 lim - _ n^oo J4n2+n + 2 1 4 □ 247 C. LIMITY 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY 5.13. Buď c e M+ (kladné reálné číslo). Ukážeme, že lim ffč = 1. Řešení. Uvažme nejprve c > 1. Vzhledem k tomu, že funkce ffč je vzhledem k n klesající a její hodnoty jsou stále větší než 1, tak musí mít posloupnost ffč limitu a tou je infmium jejich členů. Předpokládejme, že by tato limita byla větší než 1, řekněme 1 + s, kde s > 0. Pak by podle definice limity byly všechny hodnoty dané posloupnosti od 2 2 jistého m menší než 1 + s + t.j. zejména f/č < 1 + s + Potom by však 2f/č = J f/č l,n e N. Můžeme tedy položit ffň = 1 + an pro jistá čísla an > 0, n e N. Užitím binomické věty získáváme n = (1 + anf = 1 + Qo„ + Q«2 + ••• + <, n > 2 (n e N). Odsud plyne odhad (všechna čísla a„ jsou nezáporná) t 72 (řl — 1) t 2-—---a2n, n>2(/i6N), " " ' 2 tj. po úpravě máme 0 < an < n - 1 Podle Věty o třech limitách je , n > 2(n e N). 0 = lim 0 < lim an < lim n^oo V n — 1 ŕ7=>00 ŕ7=>00 0. Obdrželi jsme tak výsledek Mm ffň = lim (1 + a„) = 1 + 0 = 1. Poznamenejme, že další užití Věty o třech limitách mj. dává 1 = lim 1 < lim f/č < lim ffň = 1 pro libovolné reálné číslo c > 1. požadovat zároveň rovnost prvních i druhých derivací u sousedních kousků polynomů třetího stupně. To totiž bude znamenat stejné množství rovnic a neznámých a pravděpodobně tedy i obdobnou praktickou řešitelnost problému: | Kubické splajny j i Nechť x0 < x\ < • • • < xn jsou reálné hodnoty, ve kte- I rých jsou zadány požadované hodnoty yo, ..., y„. Kubickým interpolačním splajnem pro toto zadání je funkce S : M —> M, která splňuje následující podmínky: • zúžení S na interval [x;_i, x;] je polynom 5; nejvýše třetího stupně, i = 1, ..., n • Sí(xí-i) = y;_! a 5;(x;) = y, pro všechny i = 1, ...n, • St (xí) = Si+l (xí) pro všechny i = 1, — 1, • (x;) = S?'+1 (xí) pro všechny z' = 1, — 1. 1 Kubický splajn1 pro n + 1 bodů sestává z « kubických polynomů, tj. máme k dispozici An volných parametrů (první definiční podmínka). Další podmínky přitom zadávají 2n + (n — 1) + (n — 1) rovností, tj. dva parametry zůstávají volné. Při praktickém použití se dodávají předpisy pro derivace v krajních bodech, tzv. úplný splajn, nebojsou tyto zadány jako nula, tzv. přirozený splajn. Výpočet celého splajnu už není bohužel tak jednoduchý jako u nezávislých výpočtů Hermitéových polynomů třetího stupně, protože data se prolínají vždy mezi sousedními intervaly. Při vhodném uspořádání se však dosáhne matice systému, která má nenulové prvky prakticky jen ve třech diagonálách, a pro takové existují vhodné numerické postupy, které umožní splajn počítat také v čase úměrném počtu bodů. Pro srovnání se podívejme na interpolaci stejných dat jako v případě Lagrangeova polynomu, nyní pomocí splajnů: 2. Reálná čísla a limitní procesy Je důležité mít dostatečně velkou zásobu funkcí, se kterými bude možné možné vyjadřovat všechny běžné závislosti, zároveň ale musí být výběr šikovně omezen, abychom uměli vybudovat nějaké univerzální a hlavně účinné nástroje pro práci s nimi. Ve skutečnosti se budeme muset hned z □ Ošklivé české slovo „splajn" vzniklo fonetickým přepisem anglického ekvivalentu „spline", který znamenal tvárné pravítko užívané inženýry pro kreslení křivek. 248 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO kraje soustředit na to, jak vůbec hodnoty funkcí definovat, když pomocí konečně mnoha násobení a sčítání dostáváme jen polynomy a navíc skutečně počítat umíme jen s čísly racionálními. S těmi ale nevystačíme ani při počítání odmocnin, protože už 72 racionální číslo není. Prvním naším krokem tedy musí být pořádné zavedení tzv. limitních procesů, tj. dáme přesný obsah tvrzením, že se nějaké hodnoty blíží jejich hodnotě limitní. Všimněme si také, že výraznou vlastností polynomů je jejich „spojitá" závislost hodnot na nezávislé proměnné. Intuitivně řečeno, když dostatečně málo změníme x, určitě se nám moc nezmění ani hodnota f(x). Takové chování naopak nemáme u po částech konstantních funkcí / : M -» M v okolí „skoků". Např. u tzv. Heavisideovy funkce 5.15. Nyní přejděme k určování limit funkcí. Definice viz strana 258. Určete (a) (b) (c) (d) lim sin x; x^-JT/3 lim X + X 2 x2 - 3x + 2 ' lim arccos- x^+qo V, X + 1 /(*) 0 pro všechny x < 0 1 /2 pro x = 0 1 pro všechny x > 0 taková „nespojitost" nastane pro x = 0. Začneme formalizací takovýchto intuitivních výroků. 5.10. Reálná čísla. Prozatím jsme docela dobře vystačili s i' ,. algebraickými vlastnostmi reálných čísel, které říkaly, že M je pole. Už jsme ale používali i relaci uspořádání reálných čísel, kterou značíme „<" (viz odsta-fí1 vec 1.38). Vlastnosti (axiomy) reálných čísel, včetně souvislostí uspořádání a ostatních relací, jsou srhnuty v následující tabulce. Dělící čáry naznačují, jak axiomy postupně zaručují, že jsou reálná čísla komutativní grupou vůči sčítání, že M \ {0} je komutativní grupa vůči násobení, M je pole, množina M spolu s operacemi +, • a s relací uspořádání je tzv. uspořádané pole a konečně poslednímu axiomu můžeme rozumět tak, že M je „dostatečně husté", tj. nechybí nám tam body, jako např. chybí 72 v číslech racionálních. ' Axiomy reálných čísel lim arctg —, lim arctg x , lim arctg (sin x) . Řešení. Případ (a). Připomeňme, že funkce je spojitá v jistém bodě, když je v tomto bodě její limita rovna funkční hodnotě. O funkci y = sin x však víme, že je spojitá na M. Dostáváme tak 73 2 ' Případ (b). Přímé dosazení x = 2 dává nulový čitatel i jmenovatel. Přesto je příklad velmi snadno řešitelný. Jednoduché krácení lim sin x = sin — x^7l/3 3 x + x — 6 lim —- x^2 x2 - 3x + 2 lim (x - 2) (x + 3) lim x + 3 2 + 3 ►2 (x - 2) (X - 1) x^2 X - 1 1 totiž vedlo ke správnému výsledku (díky spojitosti obdržené funkce v bodě xo = 2). Uvědomme si zde, že limitu můžeme počítat pouze z funkčních hodnot v libovolně malém okolí daného bodu x0 a že přitom limita nezávisí na hodnotě přímo v tomto bodě. Při počítání limit tedy můžeme využívat krácení a rozšiřování výrazů, které nemění hodnoty uvažované funkce v libovolně zvoleném ryzím okolí bodu x0. Případ (c). Dvojnásobná záměna pořadí limity a vnější funkce převádí původní limitu na 3 (arccos ( lim - ^ \*->+oo x + 1 Lehce určíme, že lim 1 0. y+oo x + 1 Neboť je funkce y = arccos x spojitá v bodě 0, ve kterém nabývá hodnoty jt/2, a funkce y = x3 je spojitá v bodě jt/2, platí 3 / / i \ \ 3 lim (arccos- | = (arccos ( lim - | | = (— x^+cx) \ x + 1 / V \x^+ck x + 1 // V 2 r Případ (d). Funkce y = arctg x má vlastnosti „užitečné při počítání limit" - je spojitá a prostá (rostoucí) na celé reálné ose. Tyto vlastnosti 249 C. LIMITY 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY vždy (bez dalších podmínek či omezení) umožňují vnořit vyšetřovanou limitu do argumentu takové reálné funkce. Proto uvažujme 1 arctg ( lim — j , arctg ( lim x arctg I lim sinx t^* — oo x / \x^> — oo / " Zřejmě je 1 , lim — = 0, lim x = +oo x^—oox x^—oo a limita lim^-oo sinx neexistuje, což již implikuje ,4 1 4 TC lim arctg — = arctg 0 = 0, lim arctg x = lim arctg y = — —> —oo x x^—oo y^+oo 2 a neexistenci poslední limity. 5.16. Určete limitu nm (y/i.yi.yi... x/i). Řešení. Ke stanovení limity postačuje její členy vyjádřit ve tvaru 22 -2? - 2s • • • 2^ = lh+\+\+'"+w. Dostáváme tak lim (y/2- l/l-l/l ■■■ X/l) = lim 2*+*+*+-+£ = 2Amoo(j+?+š+-+*) Ze známého vzorce pro součet geometrické řady □ 2«=i j\« OO j oo /\\n /\x ® 2 ) _ ^' ^ 2" ~~ v 2 7 «=1 «=0 v ' plyne výsledek 1 = 1, lim (Vl-l/l-l/l---2l/l)=l1=l. n—>oo \ / □ 5.17. Určete limitu Řešení. 1 — COS X lim 1 — cos x lim >o x2 sin(x2) lim •b x2 sin(x2) 2sin2(f) o x2 sin(x2) 1 sin2 (f) lim -2—- = (|) sin(x2) l/ sin(f)\2 - lim-I • lim 2 U^o 1 1 o sin2(x2) 2 oo = oo. Předchozí výpočet je nutné chápat „odzadu". Protože existují limity na pravé straně (ať už vlastní či nevlastní) a výraz \ ■ oo má smysl (Rl (R2 (R3 (R4 (R5 (R6 (R7 (R8 (R9 (Rio; (Rll (R12 (R13 (a + b) + c = a + (b + c), pro všechny a,b,c e a + b = b + a, pro všechny a, b e M existuje prvek 0 e M takový, že pro všechny a e platí a + 0 = a pro všechny a e M existuje opačný prvek (—a) e takový, že platí a + (—a) = 0 a ■ b) ■ c = a ■ (b ■ c), pro všechny fl.ft.cel a ■ b = b ■ a pro všechny a, b e M existuje prvek 1 e M takový, že pro všechny a e M platí 1 • a = a pro každý a e M, a ^ 0 existuje inverzní prvek a~l e M takový, že platí a ■ a~l = 1 a ■ (b + c) b + a ■ c, pro všechny a, b, c e relace < je úplné uspořádání, tj. reflexivní, antisy-metrická, tranzitivní a úplná relace na M pro všechny a,b, c e M platí, že z a < b vyplývá také a + c < b + c pro všechny a, b e M, a > 0, b > 0, platí také a • ŕ > 0 každá neprázdná ohraničená množina A c supremum. ma i Pojem supremum musíme ale také zavést pořádně. Má smysl pro každou uspořádanou množinu, tj. množinu s pevně zadanou relací uspořádání, a budeme se s ním takto i později setkávat ve více algebraických souvislostech. Připomeňme, že v obecné úrovni je uspořádáním jakákoliv binární relace na množině, která má vlastnosti reflexivity, antisymetrie a tranzitivity, viz odstavec 1.38. | Supremum a infimum [ Definice. Uvažme podmnožinu A c S v uspořádané množině B. Horní závorou množiny A je každý prvek b e B, pro který platí, že b > a pro všechny a e A. Obdobně definujeme dolní závory množiny A jako prvky b e A takové, že b < a pro všechny a e A. Nejmenší horní závora podmnožiny A, pokud existuje, se nazývá supremum této podmnožiny a značíme ji sup A. Obdobně, největší dolní závora, pokud existuje, se nazývá infimum, píšeme inf A. i Posledním axiomem v naší tabulce vlastností reálných čísel tedy předpokládáme, že pro každou množinu reálných čísel A platí, že pokud existuje nějaké číslo a větší nebo rovno než všechna x e A, pak existuje také nejmenší takové číslo a. Např. volbou A = {x e Q, x2 < 2} dosteneme jako supremum sup A právě ~Jl. Okamžitým důsledkem je také existence infim pro každou zdola ohraničenou množinu reálných čísel (stačí si všimnout, že obrácením znaménka všech čísel zaměníme suprema a infmia). 250 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Pro formální výstavbu další teorie ale potřebujeme vědět, zda námi požadované vlastnosti reálných čísel lze realizovat, tj. zda existuje taková množina M s operacemi a relací uspořádání, které všech třináct axiomů skutečně splňují. Zatím jsem zkonstruovali korektně jen čísla racionální, která tvoří uspořádané pole, tj. splňují axiomy (Rl) - (R12), což si čtenář jistě snadno ověří. Ve skutečnosti lze reálná čísla nejen zkonstruovat, ale také lze ukázat, že až na izomorfismus to jde jediným způsobem. Pro naši potřebu vystačíme s intuitivní představou reálné přímky. Jednoznačnost proto nebudeme diskutovat vůbec a existenci jen naznačíme v dalších odstavcích. 5.11. Komplexní rovina. Připomeňme, že komplexní čísla jsou dána jako dvojice reálných čísel, které jsme zvyklí zapisovat jako z = rez + i imz. Dobrou představou o komplexních číslech je proto rovina C = R2. Se sčítáním a násobením splňuje pole komplexních čísel axiomy (R1)-(R9), není na nich ale žádným rozumným způsobem definováno uspořádání, které by naplnilo axiomy (R10)-R(13). Nicméně s nimi budeme také pracovat a již dříve jsme viděli, že rozšíření skalárů na komplexní čísla je často pro výpočty mimořádně užitečné. Důležitou operací na komplexních čísel je tzv. konjugace. Je to zrcadlení podle přímky reálných čísel, tj. obrácení znaménka u imaginární složky. Značíme ji pruhem nad daným číslem z e C, ž = rez - i inu. Protože je pro z = x + iy z- z = (x + iy)(x - iy) = x2 + y2, zadává nám tento výraz právě kvadrát vzdálenosti komplexního čísla od nuly. Odmocnině z tohoto reálného nezáporného čísla říkáme absolutní hodnota komplexního čísla z, píšeme (5.3) z -z Absolutní hodnotu máme definovánu také na každém uspořádaném poli skalárů, prostě definujeme absolutní hodnotu \a\ takto Ia je-li a > 0 —a je-li a < 0. Samozřejmě platí pro každá dvě čísla a, b e K (5.4) \a+b\ < \a\ + \b\. Této vlastnosti říkáme trojúhelníková nerovnost a splňuje ji také absolutní hodnota komplexních čísel definovaná výše. Zejména pro pole racionálních a reálných čísel, která jsou podmonožinami v komplexní rovině zjevně obě definice absolutní hodnoty splývají. (viz Poznámka za větou (5.21)), existuje i původní limita. Kdybychom původní limitu rozdělili na součin limit 1 lim(l - cosx) - lim . x->o x^o xz sin(r) , jednalo by se o součin typu 0 • oo, tedy nedefinovaný výraz, ale tento fakt nevypovídá nic o exitenci původní limity. □ 5.18. Určete následující limity: i) lim x — 2 ii) iii) iv) 2 VxT:rT sin (sin x) lim x^O X lim sin (x) x^O X lim e~* x^O Řešení. i) lim >2 VjÍ ii) lim ►2 V(jc -2)(jc +2) - 2 0 lim -t-= t = 0. Vx + 2 4 ,. 2 (5.26),. siny lim —. = lim- >2 vjí y^O y 1, kde isme využili toho, že lim sin x = 0. *->0 iii) sin2(x) sinx lim -= lim sin(x) • lim-=0-1=0, x^0 X x^0 x^0 X opět původní limita existuje, protože existují obě limity na pravé straně rovnosti a jejich součin je definován. iv) Při výpočtu této limity musíme být obezřetní, protože obě jednostranné limity v bodě nula existují, jejich hodnoty se však liší, zkoumaná limita tedy neexistuje: lim ex = e x^0+ lim. OO, lim ex = e x^0- lim. □ 251 C. LIMITY 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY 5.19. Určete 5.: lim lim x +2 2 (x - 2)6' x +2 (c) (d) 2 (x - 2)5 ' lim I 2 + - x lim x 5.12. Konvergence posloupností. V dalších odstavcích budeme pracovat s některým z číslených oborů K M/ racionálních, reálných nebo komplexních čísel. V tomto kontextu je tedy třeba chápat absolutní hodnotu a skutečnost, že ve všech případech platí trojúhelníková nerovnost. j Cauchyovské posloupnosti [ Uvažme libovolnou posloupnost čísel a0, a\, ... v K takovou, že pro libolné pevně zvolené kladné číslo e > 0 platí pro všechny dvojice prvků at, a j posloupnosti, až na konečně mnoho výjimek (které závisí na volbě e), < e. Jinak řečeno, pro každé pevné e > 0 existuje index N takový, že předcházející nerovnost platí pro všechna i, j > N. Takové posloupnosti prvků se říká Cauchyovská posloupnost. Řešení. V tomto příkladu se budeme věnovat tzv. neurčitým výrazům. Přesněji řečeno, budeme se zabývat situacemi, kdy se o ně nejedná. Čtenáři doporučujeme, aby neurčité výrazy vnímal jako pojem pomocný, který mu má pouze usnadnit orientování se při prvním počítání limit, neboť obdržený neurčitý výraz pouze znamená, že jsme „nic nezjistili". Víme, že limita součtuje součet limit, limita součinu je součin limit a že limita podílu je podíl limit, pokud jednotlivé limity existují a nezískáme-li některý z výrazů oo — oo, 0 • oo, 0/0, oo/oo, o kterých právě hovoříme jako o neurčitých. Pro úplnost dodejme, že tato pravidla můžeme kombinovat (pro limity všech složek určené současně) a že za neurčitý výraz pak považujeme také ten, jenž obsahuje alespoň jeden neurčitý výraz. Např. tedy výrazy 1 Intuitivně jistě cítíme, že buď jsou v takové posloupnosti všechny prvky stejné až na konečně mnoho z nich (pak bude od určitého indexu N počínaje vždy \at — a j 0) nebo -oo+oo = oo—oo, -oo 3 + oo oo oo' 0 (—oo)3 + oo 0-(oo — oo)~ označujeme jako neurčité a o výrazech 0 0 -oo oo, 3 + oo (—oo)3 oo můžeme říci, že jsou „určité" (pro nejsme schopni ihned příslušnou limitu stanovit - výrazy odpovídají po řadě hodnotám —oo, 0, 0). V případě (a) podíl limit čitatele a jmenovatele dává výraz 4/0. Zápis, ve kterém dělíme nulou, je sám o sobě přinejmenším nežádoucí (později bychom se mu měli být schopni vyvarovat). Přesto nám umožní stanovit výsledek: nejedná se o neurčitý výraz. Všimněme si, že jmenovatel se blíží k nule zprava (pro x ^ 2 je (x — 2)6 > 0). To zapisujeme jako 4/ + 0. Čitatel a jmenovatel tak mají stejné znaménko v jistém ryzím okolí bodu x0 = 2 a lze říci, že jmenovatel je v limitě se taková posloupnost „hromadí" k nějaké hodnotě. Dobře je to představitelné v komplexní rovině: ať vybereme jakkoliv malý kruh (o poloměru e), tak se nám jej u Cauchyovské posloupnosti vždy musí podařit položit do komplexní roviny tak, že zakryje všechny body nekonečné posloupnosti at, až na konečně mnoho z nich. Můžeme si pak představit, že postupným zmenšováním se kruh smrští až do jediné hodnoty a. Pokud by taková hodnota a e K pro Cauchyovskou posloupnost skutečně existovala, očekávali bychom od ní patrně následující vlastnost konvergence: | Konvergující posloupnost j. i Jestliže pro posloupnost čísel a0, a\, • • • e K, pevně zvolené číslo a e K a pro libovolné kladné reálné číslo e platí pro všechny i, až na konečně mnoho výjimek (závisejících na volbě e), \cii — a\ < e, říkáme, že posloupnost a,■, i = 0,1,..., konverguje k hodnotě a. Číslu a také říkáme limita posloupnosti at, i 0, 1,.... i Jestliže nějaká posloupnost a,■ e K, i = 0, 1, ..., konverguje k číslu íieK, pak pro každé pevně zvolené kladné e víme, že — a\ < e pro všechna i větší než vhodné N e N. Pak ovšem, díky trojúhelníkové nerovnosti, pro každou dvojici indexů i, j > N dostáváme \ai—aj\ = \a.i —aN +aN —aj\ < — aN\ + \aN — aj\ <2e. Dokázali jsme tedy: Lemma. Každá konvergující posloupnost čísel je Cauchyovská. 252 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO citace nějakého zdroje, případně alternativní možnosti zavedení reálných čísel V poli racionálních čísel se ovšem může snadno stát, že pro Cauchyovské posloupnosti příslušná hodnota a neexistuje. Např. číslo V2 můžeme libovolně přesně přiblížit racionálními čísly cit, dostaneme tedy konvergentní posloupnost s limitou V2, ale samotná limita již není racionální. Uspořádaná pole skalárů, ve kterém všechny Caychyov-ské posloupnosti konvergují, se nazývají úplná. Následující tvrzení říká, že axiom (R13) takové chování reálných čísel zaručuje: Věta. Každá Cauchyovská posloupnost reálných čísel at konverguje k reálné hodnotě ael. Důkaz. Každá Cauchyovská posloupnost je zjevně ohraničená množina, protože pro libovolnou volbu e ohraničíme všechny členy posloupnosti až na •\^ľ~* .: konečně mnoho z nich. Definujme si množinu B všech reálných čísel x, pro které platí x < aj pro všechny prvky a j posloupnosti, až na konečně mnoho z nich. Zřejmě má B horní závoru, tudíž podle axiomu (R13) má i supremum. Definujme a = sup B. Nyní pro nějaké pevně zvolené e > 0 zvolme /V takové, aby \at — cij\ < e pro všechny i, j > N. Zejména tedy a j > aN — e a a j < aN + e pro všechny indexy j > N, takže aN — e patří do B, zatímco aN +e už nikoliv. Souhrnně z toho dostáváme, že \a — aN | < e, a proto také \a — aj\ < \a — aN \ + \aN — aj\ < 2e pro všechny j > N. To ale značí právě, že a je limitou uvažované posloupnosti. □ Důsledek. Každá Cauchyovská posloupnost komplexních čísel Zi konverguje k nějakému komplexnímu číslu z. Důkaz. Pišme zi = a{ + ibi. Protože je \at — aj\2 < \zí — z,j\2 a podobně i pro hodnoty bi, jsou obě posloupnosti reálných čísel at a b{ Cauchyovské. Existují tedy jejich limity a resp. b a snadno ověříme, že z = a + i b je limitou pro posloupnost z,i ■ □ 5.13. Poznámka. Předchozí diskuse nám dává návod na jeden z možných postupů, jak korektně vybudovat reálná čísla. Postupujeme podobně jako při zúplňování přirozených čísel na celá (abychom přidali opačné hodnoty) a celých na racionální (abychom přidali podíly nenulových čísel). Tentokrát k racionálním číslům „přidáme" limity všech Cauchyovských posloupností. Skutečně se podbízí zavést vhodně relaci ekvivalence na množině všech Cauchyovských posloupností racionálních čísel tak, že dvě Cauchyovské posloupnosti jsou ekvivalentní, když jejich sloučením do jediné posloupnosti (např. tak, že první posloupnost bude představovat liché, zatímco druhá sudé členy výsledné posloupnosti) obdržíme opět posloupnost Cauchyovskou. Nebudeme zde podrobně ověřovat, že jde o ekvivalenci, ani zavádět operace násobení a sčítání, ani dokazovat, že všechny požadované axiomy skutečně dojdou „nekonečněkrát menší" než čitatel, tj. x + 2 lim +00, - >2 (x - 2f což odpovídá položení 4/ + 0 = +00 (podobně se klade 4/ — 0 = — 00). Při určování druhé limity lze postupovat analogicky. Protože čísla flEKaa5 mají stejná znaménka, dostáváme x + 2 x + 2 lim +00 7^ —00 lim - >2+ (x - 2)5 ' "~ ->- "~ (x - 2)5 ' tj. oboustranná limita neexistuje. Tomu odpovídá zápis 4/ ± 0 (nebo obecnější a/ ±0, a 7^ 0, a e M*), který je „určitým výrazem". Při důsledném oddělování symbolů +0 a —0 od ±0 vždy a/±0 pro a 7^ 0 znamená, že limita neexistuje. Případy (c), (d). Je-li f(x) > 0 pro všechna uvažovaná x e M, platí f(x)g{x) = eHf(x)s(x)) = es(*Hn/M_ Využijeme-li toho, že exponenciální funkce je spojitá a prostá na reálné přímce, můžeme nahradit limitu za lim f{x) X—>XQ lim (g(x)-\nf(x)) Připomeňme, že jedna z těchto limit existuje právě tehdy, když existuje druhá; a doplňme X—>Xq X—>Xq X—>Xq Můžeme tudíž psát = a € r = =>• lim fix)g(x) X^-Xq = efl, ) = +00 = =>• lim fix)g{x) X^-Xq = +00 ) = —00 = =>• lim fix)g{x) X^-Xq = 0. lim fix)g(x) X^-Xq lim g(x)- lim ln f(x) X—^A'Q X—^A'Q jestliže obě limity vpravo existují a neobdržíme-li neurčitý výraz 0 • 00. Není obtížné si uvědomit, že tento neurčitý výraz lze získat pouze ve třech případech odpovídajících zbylým neurčitým výrazům 0°; oo°; I00, kdy postupně je lim fix) =0 a lim fix) = +00 a X^-XQ lim fix) = 1 a X^-XQ lim gix) = 0; X^XQ lim gix) = 0; X^XQ lim gix) = ±00. X^-XQ V ostatních případech nám tedy znalost (a pochopitelně existence) limit lim fix), X—>XQ lim gix) X—>XQ 253 C. LIMITY 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY umožňuje uvést výsledek (při dodefinování některých zápisů) lim f{x) X—>XQ g(x) lim fix) 5.9 Protože 1\ 1 lim ( 2 H— ) =2, lim — = 0, lim x = +oo, je lim 2 + - x^+qo \ X lim x x^>+oc lim x^+qo \ X 2° = 1; 1 nebo lim x x = lim (xx) = 0. Poslední výsledek pak bychom mohli vyjádřit zápisem 0° 0 či oo°° = oo, oo-1 = 0 (zdůrazněme, že se nejedná o neurčité výrazy). Přestože jsme kladli důraz na to, aby čtenář raději upřednostňoval úvahy o limitním chování funkcí před škatulkováním výrazů na určité a neurčité (a tyto pojmy vnímal jen jako pomocné), je snad dobře patrný důvod, proč se budeme nadále zabývat především neurčitými výrazy. □ 5.20. Vypočítejte lim sinx + Ttx +°° 2 cos x — 1 — x2 ' 3*+i + x5 - 4x lim lim lim x^>+oc Too 3X + 2X + x2 ' 4X - 8x6 - 2X - 167 3X - 45x - Vňjtx+l2' jč — sin3 x + x arctg x Vl + 2x + x2 Řešení. Vydělíme-li v případě první z limit čitatele i jmenovatele polynomem x2, obdržíme lim x^>+oc sinx + Ttx lim + TC 2COSX — 1 — X2 x^+oo 2 cos * 1 _ i xz Ohraničenost výrazů | sin x | < 1, | 2 cos x — 1 | < 3 pro x e I ax2^ +oo pro x -> +oo pak dávají výsledek -~r +x 0 + TC lim x^>+oc 2 cos x — 1 r2 1 0-1 -TC. naplnění. Není to ale složité počínání. Složitější ambicí je dokázat, že axiomy (R1)-(R13) definují reálné čísla v jistém smyslu jednoznačně. 5.14. Otevřené a uzavřené množiny. Pro další práci s reálnými nebo komplexními čísly budeme potřebovat podrobnější pochopení pojmů jako blízkost, omezenost, konvergence apod. J Hromadné body množiny j. Uvažme jakoukoliv množinu A bodů v K a předpokládejme, že posloupnost a0, a\, ... je vybraná z prvků A. Pokud konverguje k hodnotě a e K a navíc je nekonečně mnoho bodů út; e A různých od a, nazýváme a hromadný bod množiny A. Hromadné body podmnožiny A racionálních, reálných nebo komplexních čísel jsou tedy ta čísla, která jsou limitami posloupností čísel z A. Všimněme si, že hromadný bod množiny do ní nemusí patřit. J Uzavřené množiny j. f Uzavřená podmnožina v K je taková, která obsahuje i I všechny své hromadné body. Typickou uzavřenou množinou je tzv. uzavřený interval [a, b] = {x e R, a < x < b} reálných čísel. Zde a je reálné číslo nebo hraniční hodnota chybí a píšeme a = — oo (mínus nekonečno) a podobně b > a je reálné číslo nebo +oo. ^ji Uzavřené množiny jsou tedy ty, které v sobě mají i vše, k čemu umí „dokonvergovat". Uzavřenou množinu bude tvořit např. posloupnost reálných čísel bez hromadného bodu nebo posloupnost s konečným počtem hromadných bodů spolu s těmito body. Uzavřený je také např. jednotkový kruh v rovině komplexních čísel včetně hraniční kružnice. Snadno ověříme, že libovolný průnik a libovolné konečné sjednocení uzavřených množin opět uzavřená množina. Skutečně, pokud všechny body nějaké posloupnosti patří do průniku našeho systému množin, pak jistě patří do každé z nich a proto do každé z nich patří i všechny hromadné body. Pokud bychom ale chtěli totéž říci o obecném sjednocení systému množin A;, pak bychom neuspěli, protože např. jednobodové množiny jsou zjevně uzavřené, ale z nich utvořená posloupnost bodů už uzavřená nebývá. Pokud ale jde o konečné sjednocení množin a hromadný bod nějaké posloupnosti ležící v tomto sjednocení, pak takový hromadný bod musí být hromadným bodem i vybrané podposloupnosti, která ale už bude celá v jedné z našich množin. Každá je ale uzavřená, takže i hromadný bod do ní a tedy i celého sjednocení patří. -| Otevřené množiny a okolí bodů J_ J Otevřená množina v K je taková množina, jejíž doplněk je uzavřenou množinou. 254 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Okolím bodu a e K nazývame libovolnou otevřenou množinu O, která a obsahuje. Je-li okolí definované jako Os(a) = {x e K, \x - a\ < á} pro kladné číslo 8, hovoříme o 8-okolí bodu a. Všimněme si, že pro libovolnou množinu A je a e K hromadným bodem A, právě když v libovolném okolí a leží také alespoň jeden bod b e A, b ^ a. Lemma. Množina čísel A c ¥L je otevřená, právě když každý její bod a e A do ní patří i s nějakým svým okolím. Důkaz. Nechť je A otevřená a a e A. Kdyby neexistovalo žádné okolí bodu a uvnitř A, musela by existovat posloupnost an A, \a — an\ < l/n. Pak je ovšem a e A hromadným bodem množiny K \ A, což není možné, protože doplněk A je uzavřený. Naopak předpokládejme, že každé a e A leží v A i s nějakým svým okolím. To přirozeně zabraňuje, aby nějaký hromadný bod b pro množinu K\ A ležel v A. Je proto K\ A uzavřená a tedy je A otevřená. □ Z právě dokázaného lemmatu okamžitě vyplývá, že je libovolné sjednocení otevřených množin opět otevřenou množinou a že každý konečný průnik otevřených množin je opět otevřená množina. Typickou otevřenou množinou reálných čísel je otevřený interval (a,b) = {x e M, a < x < b}, kde pro hraniční hodnoty máme stejné možnosti jako výše. Jde o ohraničenou množinu právě, když jsou obě meze intervalu konečná čísla. V případě reálných čísel jsou á-okolí právě otevřené intervaly o délce 28 s a uprostřed. V komplexní rovině je 8-okolí kruh o poloměru 8 se středem v a. 5.15. Ohraničené a kompaktní množiny čísel. Uzvřené a otevřené množiny představují základní pojmy tzv. topologie. Aniž bychom zacházeli do hlubších podrobností a souvislostí, seznámili jsme se právě s topologií reálné přímky a topologií komplexní roviny. Velice užitečné budou i následující pojmy: I Ohraničené a kompaktní množiny Množina A racionálních, reálných nebo komplexních čísel se nazývá ohraničená, jestliže exituje kladné reálné číslo r takové, že |z| < r pro všechny čísla z e A. V opačném případě je neohraničená. Ohraničená a uzavřená množina se nazývá kompaktní. Uzavřené konečné intervaly reálných čísel jsou typickým příkladem množin kompaktních. Přidejme ještě několik topologických pojmů, které nám umožní účinné vyjadřování: Vnitřním bodem množiny A reálných nebo komplexních čísel nazveme takový bod, který do A patří i s nějakým svým okolím. V předešlé úvaze jsme vlastně použili Větu o třech limitách a zápis c/oo = 0 platný pro c e M (nebo přímo ohr./oo = 0, kde „ohr." značí ohraničenou funkci). Tento postup lze zobecnit. Pro limitu tvaru /iW + fi(x) + ••• + /„ (x) lim >x0 gl(x) +g2ÍX) H----+gn(x) pncemz platí fiix) lim -=0, i e {2, ..., m] x^x0 fi(x) lim -=0, i € {2, ... ,n}. x^x0 gl (x) /1W + /2W + - + ÄW Mx) lim - = lim >x0 gl (x) +g2(x)-\----+ g„ (X) x^x0 gl (x) pokud limita na pravé straně existuje. Je přitom výhodné si uvědomit (třetí z limit lze určit např. pomocí 1'Hospitalova pravidla, se kterým se seznámíme později), že c x xp lim — =0, lim — = 0, lim — 0, lim x^+qo pro cěR, 0 < a < f3, 1 < a < Odtud ihned plyne lim 3*+i + x3 _ 4x +00 3* + 2X + x2 x^+00 3 4X - 8x6 - 2X - 167 3 • y lim —— = 3; lim ►+00 _ _ 45x _ J\\t_x + \2 Uvědomíme-li si, že je lim x^>+oc llTT12 -OO. 77" lim arctgx = — > 1, x^+00 2 stejně snadno dostaneme — sin x + x arctg x lim --- x^+°° Vl + 2x + x2 x arctg x lim -—— = lim arctgx □ 5.21. Určete limity lim 1 1 1 1 n^oc \1.2 + 2- 3 + 3- 4_l + (n-l)-n lim 1 1 1 .Vra2 + 1 Vra2 +2 Vra2 + n, Řešení. Neboť pro každé přirozené číslo k > 2 je (provádíme tzv. rozklad na parciální zlomky - budeme jej probírat u integrování racionálních lomených funkcí) 1 1 1 (k-l)k k - 1 k 255 C. LIMITY 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY platí 1 / 1 1 1 lim--1---1---1-----h ■ ».-►oo V. 1-2 2-3 3-4 (n-X)-n /1 1 1 1 1 1 1 1\ íl lim----1-----1-----1-----1----j = lim 1-- n^oo \\ 22334 n — \ n J n^oo y n Poznamenejme, že stanovení této limity je důležité: určuje součet jedné z tzv. teleskopických řad (se kterou pracoval již Johann I. Bernoulli). Ke stanovení druhé limity využijeme Větu o třech limitách. Odhady 5.10 1 :+•••+- 1 1 > Vři2 + 1 V?í2 + n V«2 + n 1 1 1 +••• + 1 :+••• + ■ V«2 + 1 V«2 + n -J n2 + 1 pro neN dávají 1 + ••• + V«2 + n Vři2 + n 1 n V«2 +1 Vři2 +1 lim ři < lim n^°° V"2 + ři Wři2 +1 Protože 1 \ ři + " ' + -ťť= - lim -ťť= Vři2 + ři/ Vři2 + i lim n lim ři Vři2 + ři n^°° -/"2 1, lim lim Vři2 +1 n^°° -/"2 1, je rovnez lim 1 1 + Vři2 + 1 Vři2 + 2 + ••• + 1 Vři2 + ři □ 5.22. Spočtěte (a) (b) (c) lim vm7- vr lim cos x — siní yyr/4 cos (2jc) lim (Vx4 (^x2 + 2x + 3 - ^x2 + 2x +2^) . Řešení. Všechny uvedené limity vypočítáme pomocí vhodného rozšíření zadaného výrazu. V případě první limity vynásobíme čitatele i jmenovatele výrazem Vl +x + Vl - x a využijeme známého vztahu (a — b)(a + b) = a2 — b2. Takto obdržíme Vl + x — Vl — x lim (l+x)-(l-x) lim - *->o x (Vi +x + Vi - *) 2 2 lim o Vi + * + Vi - x VT + VT 1. Hraniční bodem množiny A rozumíme takový bod, jehož každé okolí má neprázdný průnik jak s A tak s doplňkem M \ A. Hraniční bod tedy může, ale nemusí patřit do samotné množiny A. = iQtevřené pokrytí množiny A je takový systém otevřených množin ř/í; i e /, že jejich sjednocení obsahuje celé A. Izolovaným bodem množiny A rozumíme bod a e A, který má okolí, jehož průnik s A je právě jednobodová množina {a}. 5.16. Věta. Pro podmnožiny A reálných čísel platí: (1) neprázdná množina A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému otevřených intervalů, (2) každý bod a e A je buď vnitřní nebo hraniční, (3) každý hraniční bod množiny A je buď izolovaným nebo hromadným bodem A, (4) A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A, (5) A je kompaktní, právě když každé její otevřené pokrytí obsahuje konečné pokrytí. Důkaz. (1) Zjevně je každá otevřená množina sjednocením nějakých okolí svých bodů, tj. otevřených intervalů. Jde tedy pouze o to, jestli nám jich vždy stačí spočetně mnoho. Zkusme tedy najít z£~*^^*-~~±^_„co největší" intervaly. Řekneme, že body e A jsou v relaci, jestliže celý otevřený interval (min{a, b}, max{út, b}) je podmnožinou v A. To je zjevně relace ekvivalence (otevřený interval (a, a) je prázdná množina a ta je podmnožinou, symetrie relace i tranzitivita jsou zřejmé). Třídy této ekvivalence budou zjevně intervaly, které budou navíc po dvou disjunktní. Každý z těchto intervalů jistě musí obsahovat nějaké racionální číslo a tyto musí být různé. Všech racionálních čísel je ale spočetně mnoho, proto máme tvrzení dokázané. (2) Přímo z definic vyplývá, že bod nemůže být vnitřní a hraniční zároveň. Nechť tedy a e A není vnitřní. Pak ovšem existuje posloupnost bodů at £ A s hromadným bodem a. Zároveň a patří do každého svého okolí. Proto je a hraniční. (3) Předpokládejme, že a e A je hraniční a není izolovaný. Pak stejně jako v argumentaci předchozího odstavce existují body at, tentokrát uvnitř A, jejichž hromadným bodem je a. (4) Předpokládejme, že je A kompaktní, tj. uzavřená a ohraničená, a uvažme nějakou nekonečnou posloupnost bodů at e A. Tato podmnožina má jistě supremum b i infi-mum a (nebo můžeme zvolit libovolnou horní a dolní závoru množiny A). Rozdělme nyní interval [a, b] přesně na dvě poloviny [a, \(b — a)] a [j(b — a), b]. V alespoň jedné z nich musí být nekonečně mnoho prvků a{. Vyberme takovou polovinu, jeden z prvků v ní obsažených a následně tento interval 256 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO opět rozdělme uvažovaný interval na poloviny. Znovu vybereme tu polovinu, kde je nekonečně mnoho prvků posloupnosti a vybereme si jeden z nich. Tímto způsobem dostaneme posloupnost, která bude Cauchyovská (dokažte si detailně -vyžaduje si jen pozorné hraní s odhady, podobně jako výše). O Cauchyovských posloupnostech ovšem už víme, že mají vždy hromadné body nebo jsou konstantní až na konečně mnoho výjimek. Existuje tedy podposloupnost s námi hledanou limitou. Z uzavřenosti A zase vyplývá, že námi nalezený bod musí opět ležet v A. Opačně, jestliže každá v A obsažená nekonečná podmnožina má hromadný bod v A, znamená to, že všechny hromadné body jsou v A a tedy je A uzavřená. Pokud by nebyla množina A zároveň ohraničená, uměli bychom najít posloupnost stále rostoucí nebo klesající s rozdíly dvou po sobě jdoucích čísel třeba alespoň 1. Taková posloupnost bodů z A ale nemůže mít hromadný bod vůbec. (5) Nejprve se věnujme snadnější implikaci, tj. předpokládejme, že z každého otevřeného pokrytí lze vybrat konečné a dokazujme, že pak A je uzavřená i -( J' ohraničená. Jistě lze A pokrýt spočetným systémem 't intervalů /„ = (n — 2,n + 2),n e Z, a jakýkoliv výběr konečně mnoha z nich říká, že je množina A ohraničená. Předpokládejme nyní, že a e M \ A je hromadným bodem posloupnosti at e A a předpokládejme rovnou, že \a — an\ < i (jinak bychom mohli vybrat takovou podposloupnost). Množiny \[a 1 1 -,a + -] n n pro všechny n e N, n > 0, jsou sjednocení dvou otevřených intervalů a jistě také pokrývají naši množinu A. Protože je možné vybrat konečné pokrytí A, bod a je uvnitř doplňku M \ A včetně nějakého svého okolí a není tedy hromadným bodem. Proto musí být všechny hromadné body A opět v A a tato množina je i uzavřená. Opačný směr důkazu je založený na existenci a vlastnostech suprema. Předpokládejme, že je A kompaktní a že je dáno nějaké její otevřené pokrytí C. Z předchozího je zjevné, že v A existují největší a nejmenší prvek, které jsou zároveň rovny b = sup A a a = inf A. Označme si teď „nejzašší mez", pro kterou ještě půjde konečné pokrytí z C vybrat, tj. definujeme množinu Podobně vypočítáme cosx — sinx lim >jt/4 cos (2x) lim (cos x + sin x) (cos x — sin x) -tt/4 (cosx + sinx) cos (2x) cos2 x — sin2 x lim lim — COSX + Sinx V2 i V2 1 > 7 jt/4 (cos x + sin x) cos (2x) 1 1 V2 2 ' U provedeného krácení připomeňme identitu cos (2x) = cos2 x — sin2 x, x e Abychom mohli při určování poslední limity použít (a - b) (a2 +ab + b2) = a3 - b3, k rozšíření potřebujeme výraz (x2 + 2x + 3) +v/x2 + 2x + 3 • v^x2 + 2x + 2 + J (x2 + 2x + 2) který odpovídá a2 + ab + b2, resp. volíme a xľx2 + 2x + 3, b = xľx2 +2x +2. Tímto rozšířením převedeme limitu ze zadání na 4fr ((x2 + 2x + 3) - (x2 + 2x + 2)) lim tj- (x2 + 2x + 3)2 + ^x2 + 2x + 3 • l/x2 + 2x + 2 + J(x2 + 2x + 2) lim (x2 + 2x + 3) + ^x2 + 2x + 3 • 47x2 + 2x + 2 + ý (x2 + 2x + 2) Poslední limitu umíme snadno vyčíslit. Víme totiž, že je určena pouze jedním členem v čitateli a jedním ve jmenovateli, a to axp pro největší p (v tomto případě je uvažovaný člen ve jmenovateli rozdělen na několik sčítanců). Platí tudíž 3/ lim /x4 B = {xs[a,b], existuje výběr konečného pokrytí [a, x] n A}. ~+°° V(x2 + 2x + 3)2 + ^x2 + 2x + 3 • ^x2 + 2x + 2 + J(x2 + 2x + 2) Evidentně a e S, jde tedy o neprázdnou zhora ohraničenou množinu a existuje proto c = sup B. Jde nám o to dokázat, že ve skutečnosti musí být c = b. Argumentace je trochu nepřehledná, dokud si ji nena-črtneme na obrázku, podstata je ale snadná: Víme, že a < c < b, předpokládejme tedy chvíli, že c < b. Protože je M \ A otevřená, pro c £ A existuje okolí bodu c obsažené v [a, b] a zároveň disjunktní s A. To by ale vylučovalo možnost c = sup B. lim x^+oo 3/ / o\2 , 3 Ir (x2) + y/x2 ■ y/x2 lim w 1 2 x^+ c leží v b, což není možné. Původní volba c < b tedy vedla ke sporu, což dokazuje požadovanou rovnost b = c. Nyní ale s pomocí okolí b, které patří do C umíme najít konečné pokrytí v C pro celé A. □ 5.17. Limity funkcí a posloupností. Pro diskusi limit je vhodné rozšířit množinu reálných čísel R o dvě nekonečné hodnoty ±oo, tak jak jsme to už dělali při označování intervalů. Okolím nekonečna rozumíme interval (a, oo), resp. (—oo,a) je okolí —oo. Pojem hromadného bodu množin rozšiřujeme tak, že oo je hromadným bodem množiny A c M jestliže každé okolí oo s ní má neprázdný průnik, tj. jestliže je A zhora neohraničená. Obdobně pro — oo. Hovoříme o nevlastních hromadných bodech množiny A. J „počítání se nekonečny" |_ Zavádíme i pravidla pro počítání s formálně přidanými hodnotami ±oo a pro libovolná „konečná" čísla a e R: a + oo = oo oo a ■ oo a ■ oo -oo oo, je-li a > 0 —oo, je-li a < 0 i Následující definice pokrývá mnoho případů limitních procesů a bude třeba ji zvládnout dokonale. Jednotlivými případy se budeme podrobně zabývat v zápětí. | Reálné a komplexní limity j_ Odtud máme lim - . — x^ji/4 COSX -f siní V2 i V2 2 T 2 1 ■1. Definice. Uvažme libovolnou podmnožinu A c M a reálnou funkci / : A -> R, případně komplexní funkci / : A -> C, definovanou na A. Uva-§12^8 žme dále hromadný bod x0 množiny A (tj. buď reálné číslo nebo případně ±oo). Říkáme, že / má v x0 limitu a e R (nebo a e C) a píšeme lim f(x) = a, jestliže pro každé okolí O (a) bodu a lze najít okolí O(x0) bodu x0 takové, že pro všechny x e A n (O(x0) \ {x0}) je f(x) e O(a). Limita reálné funkce se nazývá nevlastní, jestliže je a = ±oo, V opačném případě se nazává vlastní. lim (tgx)tg(2x) = -. x^n/4 e Doplňme, že použitý vzorec platí obecněji pro „typ icokoll"? tj. bez kladení jakýchkoli podmínek týkajících se limity lirn^^ g(x), která tak ani nemusí existovat. □ Je důležité si všimnout, že hodnota / v bodě x0 v definici nevystupuje a / v tomto hromadném bodě vůbec nemusí být definována (a v případě nevlastního hromadného bodu ani nemůže)! Také je zřejmé, že nevlastní limity komplexních funkcí nejsou definovány. 258 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5. 12 5. 12a 5.18. Nejčastější varianty definičních oborů. Naše definice limity pokrýva zdánlivě velice rozdílné koncepty: (1) Limity posloupností. Jestliže je A = N, tj. funkce / je definována pouze pro přirozená čísla, hovoříme o limitách posloupností reálných nebo komplexních čísel. Jediným hromadným bodem definičního oboru A je pak oo a zpravidla píšeme hodnoty poslounosti f (jí) = an a limitu ve tvaru lim a„ = a. Podle definice to pak znamená, že pro každé okolí O (a) limitní hodnoty a existuje index N e N takový, že an e O (a) pro všechny n > N. Ve skutečnosti jsme tedy v tomto speciálním případě přeformulovali definici konvergence posloupnosti (viz5.12). Přidalijsme pouze možnost nevlastních limit. Říkáme také, že posloupnost a„ konverguje k a. Přímo z naší definice pro komplexní hodnoty je opět vidět, že komplexní posloupnost má limitu a, právě když reálné části a{ konvergují k re a a zároveň imaginární části konvergují k imút. (2) Limita funkce ve vnitřním bodě intervalu. Jestliže je / definována na intervalu A = (a, b) a x0 je vnitřním bodem intervalu, hovoříme o limitě funkce ve vnitřním bodě jejího definičního oboru. Podívejme se, proč je důležité v definici požadovat f(x) e O (a) pouze pro body x / jqív tomto případě. Vezměme jako příklad funkci / : M -» M f (x) I 0 je-li x ^ 0 1 je-li x = 0. Pak zjevně limita v nule je dobře definována a v souladu s naším očekáváním bude lim^o = 0, přestože f(0) = 1 do malých okolí limitní hodnoty 0 nepatří. (3) Limity zprava a zleva. Je-li A = [a, b] ohraničený interval a x0 = a nebo x0 = b, hovoříme o limitě zprava, resp. zleva, v hraničním bodě definičního oboru funkce /. Jestliže je ale bod x0 vnitřním bodem, můžeme pro účely výpočtu limity definiční obor zúžit na [x0, b] nebo [a, x0]. Výsledným limitám pak říkáme limita zprava, resp. limita zleva pro funkci / v bodě x0. Označujeme ji výrazem Mmx_>,x+ f (x), resp. Mmx_>,x- f (x). Jako příklad nám může sloužit limita zprava a zleva v x0 = 0 pro Heavisideovu funkci h z úvodu této části. Evidentně je lim h(x) 1, lim h(x) 0. Limita liiri^o f(x) přitom neexistuje. Přímo z našich definic je zjevné, že limita ve vnitřním bodu definičního oboru libovolné reálné funkce / existuje, právě když existují limity zprava i zleva a jsou si rovny. 5.19. Další příklady limit. (1) Limita komplexní funkce / : A -» C existuje tehdy a jen tehdy, jestliže existují limity její reálné a imaginární části. V takovém případě je pak lim f(x) X^XQ lim (re f(x)) + i lim (im f(x)). X^-XQ X^-XQ 5.25. Ukažte, že je siní lim-= 1. x^O X Řešení. Uvažujme jednotkovou čtvrtkružnici v prvním kvadrantu a její bod [cosx, sinx], x e (0, Jt/2). Délka kruhového oblouku mezi body [cosx, sinx] a [1, 0] je rovna x. Zřejmě tedy je smx < x, x e Hodnotu tgx potom vyjadřuje délka úsečky s krajními body [1, sinx/cosx] a [1,0]. Vidíme, že je (příp. si nakreslete obrázek) x < tgx, x e Tato nerovnost rovněž vyplývá z toho, že trojúhelník s vrcholy [0, 0], [1, 0], [1, tg x] má očividně větší obsah než uvažovaná kruhová výseč. Dohromady jsme získali smx sinx < x < -, x e cos x V 2 - tj- X 1 1 <- <-, x e sin x cos x Sin X / 7T \ 1 > -> cosx, x e 0, — . x V 2/ Z Věty o třech limitách nyní plynou nerovnosti smx 1 = lim 1 > lim - > lim cos x = cos 0=1. x^0+ x^0+ X x^0+ Dokázali jsme tak, že smx lim - = 1. x^0+ X Funkce y = (sin x)/x definovaná pro x ^ Oje ovšem sudá, a tudíž je sinx sinx lim -= lim -= 1. x^0- X x^0+ X Protože obě jednostranné limity existují a jsou si rovny, existuje oboustranná limita a platí pro ni sin x sin x lim -= lim -= 1. x^0 X x^0± X Poznamenejme ještě, že uvedenou limitu šlo velmi snadno vyčíslit za pomoci 1'Hospitalova pravidla. □ 5.26. Stanovte limity n lim n^oo \n + 1 i y lim ( 1 + — , lim 1 - - nL) n^oo \ n iy sin x lim-, x^0 X •,2 lim lim arcsm x sin x x 3tg2x sin(3x) tg (3x) lim -—, lim -, lim >o 5x ■2 ' >o sin (5x) >o sin (5x) 259 C. LIMITY 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY lim _ lim Sx e — e x->o x x->o sin (2x) Řešení. Při určování těchto limit využijeme znalosti limit (a e M) K) Víme tedy, že je sin x &x — 1 lim(l + -) = efl; lim-= 1; lim-= 1. n^oo \ n / x^O X x^O X i / 1 \ / n — l\ 1 - lim 1 - - = lim Substituce m = n — 1 dává (n — 1\ (m -j = lim - n I rn^oo \m + 1 m + l m m lim - ) • lim m^oo \m + 1 / m^oo m + l Celkem máme -i lim m lim m m^oo \m + 1/ m^oo m + l Druhá z limit je zjevně rovna 1. Když změníme označení (nahradíme r za ni), můžeme napsat výsledek n -i lim n + 1 Dále platí lim 1 + i v lim 1 + lim 1 + lim 1 - - n^oo V n lim 1 - - n^oo V V n e° = l 0. 5. 12b Upozorněme, že první z předešlých vyčíslení vyplývá z limit „2 lim ( 1 + -V\ = lim f 1 + - m e, 1 lim - = 0 n^-oc fi a druhé potom z lim 1 - e , lim n = +oo, přičemž klademe e~°° = 0 (zápis označuje linu^-oo ex = 0 - jedná se o určitý výraz). Snadno lze získat sin2 x sin x lim-= lim sin x • lim-=0-1=0. Zřejmě je a limita x^O x x^O lim x^O x 1 = 1 x^o siní lim Důkaz je přímočarý a vychází přímo z definice vzdáleností a okolí bodů v komplexní rovině. Skutečně, příslušnost do á-okolí komplexní hodnoty z je zajištěna pomocí reálných (l/V2)<5-okolí reálné a imaginární složky z- Odtud již tvrzení bezprostředně vyplývá. (2) Nechť / je reálný nebo komplexní polynom. Pak pro každý bod x e M je lim f (x) = f(x0). X^XQ Skutečně, je-li f(x) = anx" + • • • + a0, pak roznásobením (x0 + 8)k = x^ + k8x^~l + • • • + 8k a dosazením pro k = 0, ..., n vidíme, že volbou dostatečně malého 8 se hodnotou libovolně blízko přiblížíme /(x0). (3) Uvažme nyní docela ošklivou funkci definovanou na celé reálné přímce /(*) | 1 je-li x e Q I 0 jestliže x ^ Přímo z deifnice je zjevné, že tato funkce nemá limitu v žádném bodě (dokonce ani zleva nebo zprava). (4) Následující funkce je ještě záludnější, než jsme viděli v předchozím případě. Funkce / : M -» M je definována takto: /(*) jestliže x = £ e Q, p a. q nesoudělná i Xq a platí g0 = fo = h0. Důkaz. Z definice limity, pro libovolné s > 0 existuje okolí O bodu x0, ve kterém jsou pro x ^ x0 hodnoty f{x), hix) € ig0 - s, g0 + s). Z podmínky fix) < gix) < hix) vyplývá, že i gix) e (g0 - s, g0 + s), tedy linu >x0 gix) = g0. x^o smx Drobnou modifikací předchozího postupu si čtenář doplní i argumentaci pro nevlastní hodnoty limit. □ Všimněme si, že věta dává možnost výpočtu limit pro všechny typy diskutované výše, tj. limity posloupností, limity funkcí ve vnitřních bodech, jednostranné limity atd. 260 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 13 5.21. Věta. Nechť A C M. je definiční obor reálných nebo komplexních funkcí f a g, xq nechť je hromadný bod A a existují limity 5.13a lim f{x) a e lim g(x) X^XQ Potom: (1) limita a je určena jednoznačně, (2) limita součtu f + g existuje a platí lim (f(x)+g(x)) = a + b, X^XQ (3) limita součinu f ■ g existuje a platí lim i fix) ■ gix)) = a-b, X^XQ (4) pokud navíc b ^ 0, pak limita podílu f/g existuje a platí fix) a lim X^-XQ Důkaz. (1) Předpokládejme, že a a a' jsou dvě hodnoty limity lirn^^ fix). Pokud je a ^ a', pak K^ift' existují disjunktní okolí O id) a Oia'). Pro do-^iSšsr statečně malá okolí x0 ale mají hodnoty / ležet v obou naráz, což je spor. Proto je a = a'. (2) Zvolme si nějaké okolí a + b, třeba 02€ia + b). Pro dostatečně malé okolí x0 a x 7^ x0 bude jak fix), tak gix) v e-okolích bodů a a b. Proto jejich součet bude v 2e-okolí kýžené hodnoty a + b. Tím je důkaz ukončen pro konečné limity, případ nevlastních limit je zcela obdobný. (3) Podobně postupujeme u součinu s 0€iiab). Pro malá okolí xq se nám hodnoty / i g trefí do e-okolí hodnot a a b. Proto jejich součin bude v požadovaném e2-okolí. (4) Podobný postup ponechán jako cvičení. □ Poznámka. Podrobnějším sledováním důkazů jednotlivých bodů věty můžeme její tvrzení rozšířit i na některé nekonečné hodnoty limit: V prvém případě je zapotřebí, aby buď alespoň jedna z limit byla konečná nebo aby obě měly stejné znaménko. Pak opět platí že limita součtu je součet limit s konvencemi z 5.17. Případ „oo — oo" ale není zahrnut. V druhém případě může být jedna z limit nekonečná a druhá nenulová. Pak opět platí, že limita součinu je součin limit. Případ „0 • (±oo)" není ale zahrnut. V případě podílu může být a e M a b = ±oo, kdy výsledek limity bude nula, nebo a = ±oo a b e M, kde výsledek bude ±oo podle znamének čitatele a jmenovatele. Případ „—" není zahrnut. Zdůrazněme, že naše věta jako speciální případ pokrývá také odpovídající tvrzení o konvergenci posloupností i o limitách zprava a zleva funkcí definovaných na intervalu. Pro úvahy o limitách bývá technicky užitečný i následující jednoduchý důsledek definic, který uvádí do souvislosti limity posloupností a funkcí obecně. 5.22. Důsledek. Uvažme reálnou nebo komplexní funkci f definovanou na množině A C M a hromadný bod xq množiny neexistuje (zapisujeme 1/ ± 0). Kdybychom tedy k výpočtu limity lim x^o sin x užili pravidla o limitě součinu, obdrželi bychom l-l/±0=l/±0. To znamená, že tato limita neexistuje (opět jde o určitý výraz). Ke stanovení arcsin x lim- x^o x použijeme identitu x = sin (arcsin x) platnou pro x e (—1, l),tj. v jistém okolí bodu 0. Pomocí substituce y = arcsin x dostáváme arcsm x arcsm x lim- = lim x^o x lim y >o sin (arcsinx) y^o siny 1. Poznamenejme, že y -» 0 plyne z dosazení x = 0 do y = arcsin x a ze spojitosti této funkce v počátku (to také zaručuje, že jsme tuto substituci mohli „bez obav" zavést). Ihned vidíme, že je 3 tg2 x / 3 sin x sin x 1 lim-— = lim - • >o 5x2 o \ 5 x x cos2 x 3 3 _____ —— = — -1-1.1 = —. 5 *->o x x^o x jc^ocos2x 5 5 3 sinx sinx 1 lim -• lim-• lim Vhodné rozšíření a substituce dávají sin (3x) / sin (3x) 5x 3 lim-= lim o sin (5x) x->o \ 3x sin (5x) 5 sin (3x) 5x 3 = lim-• lim -• - x^o 3x x^o sin (5x) 5 ,. siny z 3 3 3 = lim-• lim-.- = 1.1.- = -. y^o y z^osinz 5 5 5 Pomocí předešlého výsledku pak lehce spočítáme 1 ,. tg (3x) /sin(3x) lim-= lim o sin (5x) x^o y sin (5x) cos (3x) sin(3x) 1 lim-- lim - 3 1 - 3 b sin (5x) jt->b cos (3x) 5 5 Podobně můžeme stanovit _ lim x^o x J5-2)x 1 (5-2) lim e2*- x^o V (5 - 2)x e3x — 1 lim e2* • lim -• 3 x^o x^o 3x e° • lim .3 = 1-1.3 = 3 y^o y 261 C. LIMITY 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY a rovnez ->5x lim lim >o sin (2x) i5x - 1 lim lim 2x ^5x 1 1 lim 5x 5x _ j 5x e" - 1 sin (2x) 2x sin (2x) 5 e ' 2 ~ ~ sin (2jc) - 1 2x • lim-• - — lim — x^o sin (2x) 2 x^o lim —— •--lim — z=>osinz 2 v^o sin (2x) c - 1 lim 1 ~2 2x 1 • lim- z^o sin z >o sin (2jc) 1 5 1 „ 2 + 2=3- □ 5.27. Bez použití Věty o třech limitách dokažte, že funkce R(x) \x, lej^neN); [O, x e M\ {i; n e N} 5 . 14 je spojitá v bodě 0. Řešení. Funkce i? je spojitá v bodě 0, právě když je lim R(x) = R(0)= 0. x^O Z definice limity ukážeme, že tato limita se skutečně rovná 0. Při „obvyklém" značení je a = 0, xq = 0. Nechť 8 > 0 je nadále libovolné. Pro jakékoli x e (—8, 8) je R (x) =0, nebo R (x) = x, a tudíž (v obou případech) dostáváme R(x) e (—8, 8). Jinými slovy, vezmeme-li libovolné á-okolí (—8, 8) hodnoty a a přiřadíme-li mu (—8, 8) (jako okolí bodu jco), pak pro každé x e (—8, 8) (z uvažovaného okolí x0) platí, že R(x) e (—8, 8) (zde na interval (—8, 8) nahlížíme jako na okolí a). To odpovídá znění definice limity (nemuseli jsme ani požadovat, aby bylo x ^ xq). Uvažovaná funkce R se nazývá Riemannova funkce (proto označení R). V literatuře se ovšem uvádí v různých modifikacích. Např. o funkci /(*) x e 1, K x = p- q q 0, x <£ Q 1 pro nesoudělná p, q eZag > 1; 5. 14a se „často" hovoří jako o Riemannově. □ 5.28. Dodefinujte funkci f(x) = (x2-í) sin- 2x - 1 T' x / ±1 (i e 1) v bodech —1,1 tak, aby byla spojitá na '. A. Funkce f má v bodě xq limitu y právě, když pro každou posloupnost bodů x„ e A konvergující k xq a různých od xq má i posloupnost hodnot f(x„) limitu y. Důkaz. Předpokládejme nejprve, že limita / v bodě x0 jě skutečně y. Pak pro libovolné okolí V bodu y musí existovat jotolí V bodu xo takové, že pro všechny x e V7 n A, xl ť^-xLge f(x) e U. Pro každou posloupnost x„ —> xq bodů různých od xq ale budou pro všechna n větší než vhodné JV i všechny body x„ e V. Budou tedy posloupnosti hodnot f(xn) konvergovat k hodnotě y. Předpokládejme naopak, že funkce / nekonverguje k y při x -> xq. Pak pro nějaké okolí U hodnoty y existuje posloupnost bodů xm /ijvA, které jsou bližší k x0 než 1 /m a přitom hodnota f(xm) nepatří do U. Tím jsme zkonstruovali posloupnost bodů z A různých od x0, pro které hodnoty f(xn) nekonvergují k y a důkaz je ukončen. □ Spojitost funkcí Definice. Nyní máme nachystány nástroje na korektní formulaci vlastnosti spojitosti, se kterou jsme dříve intuitivně nakládali u polynomů. Nechť / je reálná nebo komplexní funkce definovaná na intervalu Acl. Říkáme, že / je spojitá v bodě x0 e A, jestliže je lim f(x) = f(x0). X^XQ Funkce / je spojitá na A, jestliže je spojitá ve ve všech bodech Xq e A. i Všiměme si, že pro hraniční body intervalu A říká naše definice, že / v nich má hodnotu rovnou limitě zleva, resp. zprava. Říkáme, že je v takovém bodě spojitá zprava, resp. zleva. Již jsme také viděli, že každý polynom je spojitou funkcí na celém M, viz 5.19(2). Potkali jsme také funkci, která je spojitá v iracionálních reálných číslech a nemá žádné limity v číslech racionálních, viz 5.19(4). Z předchozí věty 5.21 o vlastnostech limit okamžitě vyplývá většina následujících tvrzení 5.23. Věta. Nechť f a g jsou spojité funkce na intervalu A. Pak (1) součet f + g je spojitá funkce (2) součin f ■ g je spojitá funkce (3) pokud navíc g (xq) ^ 0, pak podíl f /g je dobře definován v nějakém okolí xq a je spojitý v xq. (4) pokud spojitá funkce h je definována na okolí hodnoty f(xo), pak složená funkce h o f je definována na okolí bodu xq a je v bodě xq spojitá. 262 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Důkaz. Tvrzení (1) a (2) jsou zřejmá, doplnit důkaz K> . potřebujeme u tvrzení (3). Jestliže je g(x0) 7^ 0, pak také celé e-okolí čísla g(x0) neobsahuje nulu pro dostatečně t/^//' ■ malé e > 0. Ze spojitosti g pak vyplývá, že na dostatečně malém á-okolí bodu x0 bude g nenulové a podíl f/g tam bude tedy dobře definován. Pak bude ovšem i spojitý v x0 podle předchozí věty. (4) Zvolme nějaké okolí O hodnoty h(f(x0)). Ze spojitosti h k němu existuje okolí O' bodu /(x0), které je celé zobrazeno funkcí h do O. Do tohoto okolí O' spojité zobrazení / zobrazí dostatečně malé okolí bodu xq. To je ale právě definiční vlastnost spojitosti a důkaz je ukončen. □ Nyní si vcelku snadno můžeme odvodit zásadní souvislosti spojitých zobrazení a topologie reálných čísel: 5.15 | 5.24. Věta. Nechť f : R -» R je spojitá funkce. Pak (1) vzor f~l(U) každé otevřené množiny je otevřená množina, (2) vzor f~1(W) každé uzavřené množiny je uzavřená množina, (3) obraz f(K) každé kompaktní množiny je kompaktní množina, (4) na libovolné kompaktní množině K dosahuje spojité zobrazení maxima a minima. Důkaz. (1) Uvažme nějaký bod xo e f~l(U). Nějaké j < ,. okolí O hodnoty /(x0) je celé v U, protože je U otevřená. Pak ovšem existuje okolí O' bodu x0, které se celé zobrazí do O, patří tedy do vzoru. Každý bod \& ' vzoru je tedy vnitřní a tím je důkaz ukončený. (2) Uvažme nějaký hromadný bod x0 vzoru f~l(W) a nějakou posloupnost xt, f (xi) e W, která k němu konverguje. Ze spojitosti / nyní zjevně vyplývá, že /(x;) konverguje k /(x0), a protože je W uzavřená, musí i /(x0) e W. Zřejmě jsou tedy všechny hromadné body vzoru W ve W také obsaženy. (3) Zvolme libovolné otevřené pokrytí f(K). Vzory jednotlivých intervalů budou sjednoceními otevřených intervalů a tedy také vytvoří pokrytí množiny K. Z něho lze vybrat konečné pokrytí a proto nám stačilo konečně mnoho odpovídajících obrazů k pokrytí původní množiny f(K). (4) Protože je obrazem kompaktní množiny opět kompaktní množina, musí být obraz ohraničený a zároveň musí obsahovat svoje supremum i infimum. Odtud ale vyplývá, že tyto musí být zároveň maximem a minimem hodnot. □ 5.16 | 5.25. Důsledek. Nechť f : R -> R je spojitá. Potom (1) obraz každého intervalu je opět interval (2) f na uzavřeném intervalu [a,b] nabývá všech hodnot mezi svou maximální a minimální hodnotou. Důkaz. (1) Uvažme nějaký interval A (a ponechme stranou, jestli je A uzavřený nebo otevřený, ať už zleva nebo zprava) a předpokládejme, že existuje bod y e M takový, Řešení. Daná funkce je spojitá ve všech bodech svého definičního oboru. V bodech —1,1 bude spojitá, právě když položíme /(-l) == /(l) == lim í (x2 — l) si 2x - 1 sin hm (x2 - 1) 2x - 1 sin ■ 1 Pokud by jedna z těchto limit neexistovala (příp. byla nevlastní), funkci by nešlo spojitě dodefinovat. Očividně je 2x - 1 sin < 1, í/í1(íěK), odkud plyne U2 - 1 I < /(*) < \ x2 - 1 I , i/il(ie R). Protože lim I x2 - 1 I = 0, z Věty o třech limitách již dostáváme výsledek /(±1) := 0. □ D. Derivace Ukažme si nejprve, že derivace funkcí uvedené v tabulce v odstavci 5.30 jsou skutečně správně. Určíme je přímo z definice derivace. 5.29. Z definice (viz 5.30) určete hodnoty derivací funkcí x" (x je proměnná, n kladná celá konstanta), y/x, sinx. Řešení. Nejprve podotkněme, že označíme-li v definici derivace výraz x — x0 jako h, pak dostáváme /(x)-/(x0) f(x0 + h)-f(x0) lim -= lim-. x^x0 x — Xq «^0 h V následujících výpočtech budeme pracovat s druhým vyjádřením téže limity. 263 D. DERIVACE 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY derivace (xnY = lim (x + h)n - x" h lim ^)x"-lh + Qxn-2h2 + • • • + h" nx" 1 + lim , , h^O V \2 nXx"-2h+ľ)x"-3h2 + ...+h"-1 nx , ._. y/X + k - yfx (y/x + k - y/x)(y/x + k + yfx) (y/x) = lim-= lim-, - h^o h h^o h(y/x + h + yfx) h lim —_ h^o h(y/x + h + yfx) 1 lim h -» 0- 1 y/x + k + yfx 2y/x (sinx)' = lim = lim sin(x + h) — sinx h sin x cos h + cos x sin h — sin x cosxsm/í srn (x) (cos (Ä) — 1) lim--h lim - h^O h h^O h 5.16a sin h 2(sinf)2 cos x • lim--lim h^O h cosx • 1 + lim sin(ř) t^o t cosx h^O h sin (t) □ 5.30. Zderivujte a výsledek upravte: i) x sinx, jj\ sin x iii) ln(x + Vx2 — a2), a 0, |x| > i^arctan^),^!^!, 5_i7 v) x*. Řešení, (i) Podle pravidla o derivování součinu funkcí, tedy Leibnit-zova pravidla, viz 5.32 dostáváme (x sin x)' = x' ■ sin x + x • (sin x)' = sin x + x cos x. (ii) Podle pravidla o derivování podílu funkcí (5.33) je sinx (sinx)' • x — sin(x) • x' x cosx —sinx x x2 x2 (iii) Použijeme pravidla pro derivování složené funkce (5.32). Označíme-li h(x) = ln(x), f(x) = x + -Jx2 — a2, máme ln(x + Vx2 - a2)' = h(f(x))' = h(f(x)) ■ f'(x) _ _xz—az x + Vx2 — a2 (x + Vx2 - a2)' x + V-ť- — v-2 — n 2 že f (A) obsahuje body menší i větší než y, ale y £ f (A). Znamená to tedy, že pro otevřené množiny Bi = (—oo, y) a B2 = (y, oo) jejich vzory Ax = f~l{Bx) a A2 = f~l{B2) pokrývají A. Tyto množiny jsou přitom opět otevřené, jsou disjunktní a obě mají neprázdný průnik s A. Nutně tedy musí existovat bod x e A, který neleží v B\, je ale jejím hromadným bodem. Musí však ležet v B2 a to u disjunktních otevřených množin není možné. Dokázali jsme tedy, že pokud nějaký bod y nepatří do obrazu intervalu, musí být všechny hodnoty buď zároveň větší nebo zároveň menší. Odtud vyplývá, že obrazem bude opět interval. Všimněme si, že jeho krajní body mohou a nemusí do obrazu patřit. (2) Toto tvrzení je přímým důsledkem předchozího, protože obrazem uzavřeného intervalu musí být opět uzavřený interval. □ Na závěr naší úvodní diskuse spojitosti funkcí uvedeme ještě tvrzení, která jsou užitečným nástrojem při počítání limit. 5.26. Věta (O limitě složené funkce). Nechť f, g : R R jsou funkce, limx^a f(x) = b. (1) Pokud je g je spojitá v b, potom lim * (/(*)) = £ (lim/(x)) =g(b). (2) Jestliže existuje limita liiiiy^ g(y), potom lim g (f(x)) lim g(y). Důkaz. Je podobný jako ve větě 5.23(4). Z existence limity g v bodě b vyplývá, že pro jakékoliv okolí V této limity umíme najít dostatečně malé okolí U bodu b, na kterém jsou už hodnoty g ve V. Pokud ale / má bod b jako limitu v bodě a, pak se do U trefíme všemi hodnotami / pro dostatečně malé okolí a, což ověřuje druhé tvrzení. První pak je přímým důsledkem druhého. □ 5.27. Kdo už je v ZOO. Začali jsme budovat náš zvířetník funkcí s polynomy a s funkcemi, které se z nich L_ dají vyrobit „po částech". Zároveň jsme dovodili spoustu vlastností pro patrně obrovskou třídu spojitých funkcí, nemáme ale zatím moc prakticky zvladatelných příkladů. Jako další si prohlédneme pořádněji podíly polynomů. Nechť / a g jsou dva polynomy, které mohou mít i komplexní hodnoty (tj. připouštíme výrazy a„x" +■ ■ ■ +ao s komplexními cit e C, ale dosazujeme jen reálné hodnoty za x). Funkce h : R \ {x e R, g (x) = 0} C, /(*) h (x) je dobře definována ve všech reálných bodech kromě kořenů polynomu g. Takové funkce nazýváme racionální funkce. Z věty 5.23 vyplývá, že racionální funkce jsou spojité ve všech bodech svého definičního oboru. V bodech, kde definovány nejsou mohou mít 264 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO • konečnou limitu, když jde o společný kořen obou polynomů / a g (v tomto případě rozšířením jejich definice o limitní hodnotu v tomto bodě dostaneme funkci i v tomto bodě spojitou) • nekonečnou limitu, když limity zprava a zleva v tomto bodě jsou stejné • různé nekonečné limity zprava a zleva. Názorně je možné tuto situaci vidět na obrázku, který ukazuje hodnoty funkce (x - 0.05a) (x - 2 - 0.2a) (jc - 5) h(x) =- x(x -2)(x -4) pro hodnoty a = 0 (obrázek vlevo tedy vlastně zobrazuje racionální funkci (x — 5)/(x — 4)) a pro a = 5/3. 5.28. Funkce mocninné a exponenciální. Polynomy jsou ,0. pomocí sčítání a násobení skaláry seskládány z {''^TŤ^''' jednoduchých mocninných funkcí x \—> x" spři- "Wj^jř^-' rozených číslem n = 0, 1,2,.... Samozřejmý 3té£2í^ smysl má také funkce x h-» x~l pro všechny x 7^ 0. Tuto definici teď rozšíříme na obecnou mocninnou funkci xa s libovolným a e M. Budeme vycházet z vlastností mocnin a odmocnin, které patrně považujeme za samozřejmé. Pro záporné celé číslo —a proto definujeme -í-jfl x pro n e N vyplývalo x*. Je třeba ale ověřit, x-a = (xayi = (x Dále jistě chceme, aby ze vztahu b" = že b je n-tou odmocninou z x, tj. b = že taková b skutečně existují. Z bionomického rozkladu mocniny dvojčlenu je vidět, že funkce y h-» y" je pro y > 0 stále rostoucí. Předpokládejme x > 0 a uvažujme množinu B = {y e M, y > 0, y" < x}. To je zřejmě zhora ohraničená množina a zvolíme ŕ = sup B. O mocninné funkci s přirozeným n již víme, že je to funkce spojitá, snadno tedy ověříme, že skutečně platí b" = x. Skutečně, určitě je b" < x a kdyby platila ostrá nerovnost, našli bychom jistě i y s hodnotou b < y" < x, což nutně znamená i b < y a tedy jde o spor s definicí suprema. Konečně, pro hodnoty a e lai > l,si povšimněme, že jde pro racionální a o striktně rostoucí výraz (pro větší a je vždy větší výsledek). Proto klademe xa = supiy, yeQ, y < a}. kde jsme pro derivování výrazu ^/x2 — a2 pou- žili opět pravidlo o derivování složené funkce, (iv) Opět derivujeme složenou funkci: arctan 1 1 + X2 + 1 + \-xl 1 x2 + 1 VT VT (v) Funkci je nejprve převedeme na funkci o konstatním základu (nejlépe o základu é), kterou už umíme derivovat. = ((elnx)x)' = (exlnxy = (xlnx)' -exlnx = (1 +lnx) -ŕ □ Doporučujeme čtenáři si vymyslet funkce, které potom sám zde-rivuje. Výsledek si může ověřit v celé řadě matematických výpočetních programů. V následujícím příkladu si uvědomíme geometrický význam derivace bodě, totiž, že určuje směrnici tečny ke grafu v daném bodě (viz 5.31) In(c-x) sfx 5.31. Určete parametr cel tak, aby tečna ke grafu funkce bodě [1,0] procházela bodem [2, 2]. Řešení. Podle zadání má mít tečna směrnici 2 (fžy). Směrnice je určena derivací funkce v daném bodě, dostáváme tedy podmínku 2 — ln(cx) 2y/x -(1) =2, neboli 2 - ln(c) = 4, tedy c = jz. Pro c = j% je však hodnota fce fa^t) v bodě 1 rovna —2 Tedy žádné takové c neexistuje. E. L'Hospitalovo pravidlo 5.32. Ověřte, že je limita sin (2x) — 2 sin x 0 □ (a) (b) lim >o 2e lim x2 — 2x lnx typu -; oo typu —; o+ cotg x oo (c) (d) lim x^l+ \x - typu oo — oo; lnx lim (ln (x — 1) • lnx) typu 0 • oo; x^l + 265 E. ĽHOSPITALOVO PRAVIDLO 2. REÁLNÁ ČÍSLA A LIMITNÍ PROCESY (e) (f) (g) — n lim (cotg x) 'n * typu oo ; , sin x \ x1 _ lim -» x^O V X typu 1°°; lim ^cos — J typu 0 . Poté ji spočtěte užitím 1'Hospitalova pravidla. Řešení. Bezprostředně můžeme potvrdit, že je (a) lim (sin (2x) — 2 sinx) = 0 — 0 = 0, x^O lim (2e* - x2 - 2x - 2) = 2- 0- 0- 2 = 0; x^O V ' (b) (c) (d) (e) (f) (g) lim lnx = — oo, lim •i+ x - 1 +oo, lim cotgx = +oo; lim -= +oo; x^i+ lnx e5. 3a lim lnx =0, lim ln (x — 1) = — oo; lim cotgx = +oo, x^0+ siní lim -= 1, x^0 X JtX lim cos — = 0, 2 lim - =0; x^o+ lnx lim — x^0 X1 +oo; lim lnx =0. Případ (a). Aplikování 1'Hospitalova pravidla převádí limitu sin (2x) — 2 sin x 5. 17b lim >o 2ex 2x —2 na limitu lim 2 cos(2x) — 2 cos x >o 2ex - 2x - 2 která je ovšem typu 0/0. Dalšími dvěma aplikacemi 1'Hospitalova pravidla dostáváme —4 sin (2x) + 2 sinx lim - x^o 2ex - 2 a (výše uvedená limita je opět typu 0/0) — 8 cos (2x) + 2 cos x —8 + 2 lim -=-= —3. *->o 2ex 2 Celkem tak máme (vrátíme se k původní limitě) sin (2x) — 2 sin x lim Pro 0 < x < 1 buď definujeme analogicky (je třeba si jen pohrát s nerovnítky) nebo klademe přímo xf1 = {\)~a ■ Pro x = 1 je pak \a = 1 pro libovolné a. Obecnou mocninnou funkci x h-» xa máme tedy dobře definovanou pro všechny x e [0, oo) a a e M. Naši konstrukci ale můžeme také číst následujícím způsobem: Pro každé pevné reálné c > 0 existuje dobře definovaná funkce na celém M, y h-» cy. Této funkci říkáme exponenciální funkce o základu c. Vlastnosti, které jsme použili při definici mocninné a exponenciální funkce f(y) = cy, tj. c = /(l), lze shrnout do jediné rovnosti pro libovolné reálné kladné x a y: fix + y) = f{x) ■ ./(v) společně s požadavkem spojitosti. Skutečně, pro y = 0 dostáváme z této rovnosti / (0) = 1, odtud pakl = /(0) = f (x—x) = f (x)-(f (x))~l akonečně pro přirozené n je zjevně f (nx) = (f(x))n. Takto jsme již jednoznačně určili hodnoty x" pro všechny x>0aaeQa požadavkem spojitosti byla již funkce určena všude. Zejména tedy pro exponenciální funkci platí známé vztahy (5.5) a ■ aJ -.x+y (ax) x_y ■.x-y Na obrázcích vidíme funkce x nxi'ai^ xb pro jednu konkrétní hodnotu a a - 2.5167 2.5167 a b 4.5833. b - 4.5833 0,5 1 1,5 2 2,5 3 >o 2e* 2x — 2 5.29. Logaritmické funkce. Viděli j sme právě, že exponenciální funkce f(x) = ax je pro a > 1 stále rostoucí a pro 0 < a < 1 je stále klesající. V obou případech tedy existuje k f (x) funkce inverzní f~l(x) kterou nazýváme logaritmickou funkcí se základem a. Píšeme lnfl(x) a definiční vztah tedy je ln^*) = x. Rovnosti (5.5) jsou proto ekvivalentní vztahům lna (x • y) = lna (x) + lna (y), lna (xy) = y ■ lna (x). Logaritmické funkce jsou definovány jen pro kladné hodnoty argumentu a jsou pro základ a > 1 rostoucí, pro základ 0 < a < 1 klesající na celém definičním oboru. Pro každé a je lnfl(l) =0. Brzy uvidíme, že obzvlášť důležitou hodnotou pro a je tzv. Eulerovo číslo e, viz odstavec 5.41. Funkci lne(x) nazýváme přirozeným logaritmem a základ e v označení vynecháváme, tj. píšeme prostě ln(x). 266 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 3. Derivace U polynomů jsme již v odstavci 5.6 diskutovali, jak popisovat jednoduše velikost růstu hodnot po-r~f-W/, lynomu kolem daného bodu jeho definičního oboru. Tehdy jsme pozorovali podíl (5.2), který vyjadřoval směrnici sečny mezi body [x, f (x)] e M2 a [x + Ax, f (x + Ax)] e M2 pro (malý) přírůstek Ax nezávisle proměnné. Tehdejší úvaha funguje zrovna stejně pro libovolnou reálnou nebo komplexní funkci /, jen musíme místo intuitivního „zmenšování" přírůstku Ax pracovat s pojmem limity. Uvádíme definici pro vlastní i nevlastní derivace, tj. připouštíme i nekonečné hodnoty. Všimněte si, že na rozdíl od limity funkce, u derivace v daném bodě xo je nutné, aby byla sama funkce v tomto bodě definovaná. Derivace funkce jedné reálné proměnné [ 5.30. Definice. Nechť / je reálná nebo komplexní funkce definovaná na intervalu A claioÉ A. Jestliže existuje limita lim f(x) - f(x0) x0 pak řídáme, že / má v bodě x0 derivaci a. Hodnotu derivace zapisujeme jako f'(xo) nebo j^(xo), případně a = ^f(xo). Derivace reálné funkce je vlastní, resp. nevlastní, když je takovou příslušná limita. Jednostranné derivace (tj. derivaci zprava a zleva) definujeme zcela stejně pomocí limity zprava a zleva. S derivacemi se vcelku snadno počítá, dá nám ale dost práce korektně odvodit derivace i některých z funkcí, které už v našem zvěřinci máme. Proto s předstihem vsunujeme do textu souhrnnou tabulku, jak derivace pro několik z nich vychází. V posledním sloupci je odkaz na odstavec, kde se dá údaj skutečně i s úplným výkladem najít. Všimněme si také, že inverzní funkce k řadě z našich funkcí sice neumíme přímo vyjádřit elementárním způsobem, přesto ale budeme umět počítat jejich derivace, viz. 5.34 I některé derivace funkcí Dodejme, že opakované užití 1'Hospitalova pravidla v jednom příkladu je běžné. Nadále budeme klást, že se limity podílů derivací získané 1'Hospi-talovým pravidlem přímo rovnají původním limitám podílů. Takto si můžeme počínat, pokud obdržené limity na pravých stranách budou existovat, tj. o platnosti zápisů se vlastně budeme přesvědčovat dodatečně. Případ (b). Tentokráte derivování čitatele a jmenovatele dává lnx lim -= lim lim sin2 x >0+COtgX *->■()+—J— x^0+ X sin2 x Poslední limitu umíme snadno určit (dokonce ji známe). Z sinx lim — sinx = 0, lim -= 1 x^0+ x^0+ X plyne výsledek 0 = 0-1. Také jsme mohli znovu použít 1'Hospitalovo pravidlo (nyní pro výraz 0/0) se ziskem — sin2x —2-sinx-cosx —2-0-1 lim -= lim -=-= 0. x^0+ X x^0+ 1 1 Případ (c). Pouze převodem na společného jmenovatele lim 1 >i+ \x — 1 lnx jsme obdrželi typ 0/0. Je lim x lnx — (x — 1) >i+ (x — 1) lnx xlnx-(x-l) lnx + f - 1 lnx lim - = lim -;-= lim >i+ (x — 1) lnx x-l + lnx 1 - -+ lrue Máme podíl 0/0, pro který (opět dle 1'Hospitalova pravidla) platí lim lnx i lim 1 1 r+1-i+lnx ^i+Jj + I 1 + 1 2' x x1 x Návratem k původní limitě zapíšeme výsledek ' x 1 \ _ 1 >I+ V x — 1 lnx / 2 lim Případ (d). Uvedený výraz převedeme na typ oo/oo (přesněji řečeno, na typ —oo/oo) vytvořením zlomku ln (x - 1) lim (ln (x — 1) • lnx) = lim jt-»l + Podle 1'Hospitalova pravidla je ln (x - 1) lim -:-= lim x^l + 1 x-l x^l + x^l + 1 1 ln x lim -x ln x -1+ x-l ln x ln1 x x Pro tento neurčitý výraz (typu 0/0) lze pokračovat 1'Hospitalovým pravidlem a stanovit -xln2x -ln2x - 2xlnx • i 0 + 0 lim -= lim-- =--= 0. -1+ X — 1 *->■! + 1 1 267 E. ĽHOSPITALOVO PRAVIDLO 3. DERIVACE Případy (e), (f), (g). Protože lim (cotg x) 'n * / sin x \ í2 lim - x^O \ X lim lim lnťcotg x) ln x lim / JľX\ (cosTj ln x lim (lnjt-ln(cos x->l- \ 2 postačuje vypočítat limity uvedené v argumentu exponenciální funkce. Pomocí ľHospitalova pravidla a jednoduchých úprav získáváme i -i lim ln (cotg x) >o+ lnx —x typ -oo lim x^0+ lim - x^o+ cos x ■ smx lim —- x^O X ty? -Q 0 typ ô typ 5 lim x^O cotg x sin2 x 1 1 1 lim — — *^o+ cos2 x — sin x 1 — 0 x x cos x —sin x sin x x2 lim x cos x - siní lim 2x x^o 2x2sinx cos x — x sin x — cos x o 4x sin x + 2x2 cos x lim smx lim >o 4 sin x + 2x cos x — cos x typ 0 1 >o 4 cos x + 2 cos x — 2x sin x 4 + 2 — 0 a tudíž lim (cotg x) 'n * = e , siní \ x2 lim - V x e s Obdobně lze postupovat při určování poslední limity. Platí lim {\x\x • ln (cos lim lim ln (cos ?y) i ln x typ -oo oo -oo oo (-sinf)f __i_ _ j_ ln2 jt x jt x sin • ln x = — lim---. 2^i- cosíf Neboť je tento výraz typu 0/0, mohli bychom pokračovat 1'Hospitalo-vým pravidlem; místo toho ale přejdeme od lim x sin ^ • ln2 x cos^f k součinu limit / 7tx\ ln x ln x lim x sin — • lim - = 1 • lim -. V 2 / COS ^ Jt^l-COS^f- funkce definiční obor derivace polynomy f(x) celé R fix) je opět polynom 5.6 kubické splajny h(x) celé R h'(x) je opět splajn 5.9 racionální celé R kromě racionální 5.33 funkce f(x)/g(x) kořenů jmenovatele g funkce: f'(x)g(x)-f(x)g'(x) mocninné interval fix) = ax*-1 ?? funkce (0, oo) f(x)=xa exponenciála celé R fix) = ln(fl) • ?? f(x) = oř, ax a > 0, a ^ 1 logaritmus interval fix) ?? fix) = lnfl(x), (0, oo) (In(fl))"1 • \ a > 0, a ^ 1 Z formulace definice lze očekávat, že /'(x0) bude umožňovat dobře aproximovat danou funkci pomocí přímky y = f(xo) + fix0)ix - x0). Takto lze snad vnímat následující lemma, které říká, že nahrazením konstantního koeficientu /'(x0) ve vyjádření přímky spojitou funkcí dostaneme přímo hodnoty /. Odchylka hodnot ý(x) na okolí bodu x0 od hodnoty Ý(xo) pak přímo říká, jak se liší směrnice sečen a tečny v bodě x0. Lemma. Reálná nebo komplexní funkce má v bodě xq vlastní derivaci, právě když existuje na nějakém okolí O (xq) funkce Ý spojitá v xq a taková, že pro všechny x e O(xo) platí fix) = fix0) + Ý(x)ix - x0). Navíc pak vždy Ý(xo) = f(xo) a sama funkce f je v bodě xq spojitá. Důkaz. Nejprve předpokládejme, že /'(x0) je vlastní derivace. Pokud má ý existovat, má jistě pro všechny x e o \ {x0} tvar Ý(x) = ifix) - /(x0))/(x - x0). V bodě x0 naopak definujme hodnotu derivací /'(x0). Pak jistě lim fix) = fix0) = Ý(xo) X^XQ jak je požadováno. Naopak, jestliže taková funkce ý existuje, tentýž postup vypočte její limitu v x0. Proto existuje i /'(x0) a je Ý(xo) rovna. Z vyjádření / pomocí spojitých funkcí je zřejmé, že je sama spojitá v bodě x0. □ 268 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.18a 5.31. Geometrický význam derivace. Předchozí lemma lze názorně vysvětlit geometricky a tím popsat smysl derivace. Říká totiž, že na grafu funkce y = f (x), tj. na příslušné křivce v rovině se souřadnicemi x a y, poznáme, zda existuje derivace podle toho, jestli se spojitě mění hodnota směrnice sečny procházející body [i0, /(io)] a [x, f(x)]. Pokud ano, pak limitní hodnota této směrnice je hodnotou derivace. ' Rostoucí a klesající funkce Teprve nyní aplikujeme 1'Hospitalovo pravidlo pro Důsledek. Má-li reálná funkce f v bodě xq e M derivaci f'(xo) > 0, pak pro nějaké okolí O(xq) platí f(b) > f (a) pro všechny body a, b e O(xq), b > a. Je-li derivace f'(xo) < 0, pak naopak pro nějaké okolí O(xq) platí f(b) < f (a) pro všechny body a, b e O(xq), b > a. Důkaz. Uvažme prvý případ. Pak podle předchozího le-matu platí f(x) = f (i0) + ý(x) (x — x0) a ý(xo) > 0. Protože je ale ý v xo spojitá, musí existovat okolí O(x0), na kterém bude ý(x) > 0. Pak ale s rostoucím x nutně poroste i hodnota f(x). Stejná argumentace ověří i tvrzení se zápornou derivací. □ Funkce, které mají vlastnost f(b) > f (a) kdykoliv b > a pro nějaké okolí bodu iq se nazývají rostoucí v bodě x0. Funkce rostoucí ve všech bodech nějakého intervalu se nazývá rostoucí na intervalu. Podobně je funkce klesající v bodu, resp. klesající na intervalu, jestliže f(b) < f (a) kdykoliv je a < b. Náš důsledek tedy říká, že funkce která má v bodě nenulovou konečnou derivaci je v tomto bodě buď rostoucí nebo klesající podle znaménka této derivace. Jako ilustraci jednoduchého použití vztahu derivace k růstu hodnot funkce se podívejme na existenci inverzí polynomů. Protože polynomy jen zřídka jsou výhradně rostoucí nebo klesající funkce, nemůžeme očekávat, že by k nim existovaly globálně definované inverzní funkce. Naopak ovšem inverzní funkce k polynomu / existují na každém intervalu mezi kořeny derivace /', tj. tam kde derivace polynomu je nenulová a nemění znaménko. Tyto inverzní funkce nebudou nikdy polynomy, až na případ polynomů stupně jedna, kdy z rovnice y = ax + b spočteme přímo 1 x = -(y - b). a U polynomu druhého řádu obdobně vede k formuli y = ax + bx + c -b ± j b2 - 4a(c - y) 2a lim ln2i ■ i- cos typ 0 2 lni • i lim --r-— (-i)sinf Celkem máme lim (lni • ln (cos ^pj) = ^-1-0 = 0, tj- lim / 7tX\ (cos-j ln x □ 5.33. Jak jsme již impicitně zmínili, použití 1'Hospitalova pravidla může vést k limitě, která neexistuje, ačkoliv původní limita existuje: určete limitu x + sin(jc) lim - x^oo x Řešení. Limita je typu ^, použitím ľ Hospitalova pravidla dostáváme x + sin(jc) 1 + cos(x) lim -= lim -, x^-oc x x^-oc 1 a protože neexistuje limita lirn^oo cos(x), neexistuje ani limita lim^oo 1 + cos(jc). Původní limita ovšem existuje, je totiž x — 1 x + sin(x) x + 1 - < -— < -, a podle věty o třech limitách je x + sin(jc) x + sin(jc) x + 1 1 = Hm - < lim - < lim -= 1. x^qo x x^qo x x^qo x □ 5.34. Určete / 1 lim cotgx-- x^0 \ x Řešení. Uvědomíme-li si, že je lim cotgx = +oo, lim — = +oo, x^0+ x^0+ x 1 lim cotgx = — oo, lim — x^0- x^0- x -OO, vidíme, že v případě obou jednostranných limit dostáváme typ oo—oo. Můžeme tedy uvažovat najednou oboustrannou limitu. Funkci kotan-gens zapíšeme jako podíl kosinu a sinu a zlomky převedeme na společného jmenovatele, tj. / 1 \ x cosx — sinx lim cotg x--) = lim -. ^^o y x) x^§ x sinx Obdrželi jsme výraz 0/0, pro který platí (podle 1'Hospitalova pravidla) x cos x - siní lim-= lim ^^o xsinx ^^o cos i - i siní - cos x -x sin x siní + x cosi lim x^o siní +i cosi 269 E. UHOSPITALOVO PRAVIDLO 3. DERIVACE Druhým použitím ľHospitalova pravidla pro typ 0/0 pak již dostaneme -x sin x .. —sin x—x cos x 0 — 0 lim lim x^o sin x + x cos x x^o cos x + cos x — x sin x 1 + 1 — 0 0. 5. O 5.35. Určete lim ln x lim x e *■, x^0- lim -. x^+oo x + lnx • cosx lim x ln —, x^0+ X e *z lim Jt=>0 x 100 ' lim x e^ x^0+ lim (ln x — x) ; hm x^+oo y x + 3 lim V*2 +1 Řešení. Snadno lze zjistit (např. rc-násobným užitím ľHospitalova pravidla), že pro libovolné n e N je x" ex lim — =0, tj. lim — = +oo. jc^+oo Qx jc^+oo xn Z Věty o třech limitách potom pro reálná čísla a > 0 ihned plyne zobecnění x° ex lim — =0, tj. lim — = +oo. jc^+oo Qx jc^+oo xa Uvážíme-li, že grafy funkcí y = ex a y = ln x (inverzní funkce k y = e*) jsou symetrické vzhledem k přímce y = x, víme dále lnx x lim -= 0, tj. lim -= +oo. x^+oo x x^+oo lnx Získali jsme tak první výsledek. Ten přitom dává rovněž l'Hospi-talovo pravidlo, podle kterého je lnx 7 1 lim -= lim — = lim - = 0. x^+qo x x^+qo 1 x^+qo x Upozorněme, že 1'Hospitalovo pravidlo lze použít k vyčíslení každé z dalších pěti uvedených limit. Je ovšem možné určit tyto limity jednoduššími způsoby. Např. substituce y = 1/x vede na 1 lny lim x ln — = lim -= 0; x^0+ x y^+oo y i e? lim x e* = lim — = +oo. x^0+ y^+oo y Samozřejmě x -» 0+ dává y = 1/x -» +oo (píšeme 1/ + 0 = +oo). Pomocí substitucí u = — 1 /x, v = 1 /x2 po řadě dostáváme lim x e x^0- _ J_ e J lim x^0 x 100 = lim--= V50 lim — = 0, -oo; a inverze tedy existuje (a je dána touto formulí) jen pro x na intervalech (—oo, — ^), (—^, oo). Pro práci s inverzními funkcemi k polynomům nevystačíme s dosavadními funkcemi a dostáváme v našem zvířetníku nové přírůstky. 5.32. Pravidla pro počítání derivací. Uveďme si nyní několik základních tvrzení o výpočtech derivací. L_ Říkají nám, jak dobře se snáší operace derivování s algebraickými operacemi sčítání a násobení na reálných nebo komplexních funkcích. Poslední z pravidel pak umožňuje efektivní výpočet derivace složených funkcí a říkává se mu „chain rule". Intuitivně jim můžeme všem velice snadno rozumět, když si derivaci funkce y = f (x) představíme jako podíl přírůstků závislé proměnné y a nezávislé proměnné x: Ay Ax' Samozřejmě pak při y = h(x) = f(x) + g(x) je přírůstek y dán součtem přírůstků fugu přírůstek závislé proměnné zůstává stejný. Je tedy derivace součtu součtem derivací. U součinu musíme být malinko pozornější. Pro y = f (x)g (x) je přírůstek Ay = f (x + Ax)g(x + Ax) - f (x)g (x) = f(x + Ax)(g(x + Ax) - g (x)) + (f (x + Ax) - f (x)) g (x) Nyní ale když budeme zmenšovat přírůstek Ax, jde vlastně o výpočet limity součtu součinů a o tom už víme, že jej lze počítat jako součet součinů limit. Proto z naší formulky lze očká vat pro derivaci součinu f g výraz f g' + f g, kterému se říká Leibnitzovo pravidlo. Ještě zajímavější je to pro derivaci složené funkce g = ho f, kde definiční obor funkce z = h{y) obsahuje obor hodnot funkce y = f (x). Opět vypsáním přírůstků dostáváme , _ Az _ Az Ay S Ax Ay Ax' Můžeme tedy očekávat, že pravidlo pro výpočet bude (h o f)'(x) = h'(f(x))f'(x). Podáme nyní korektní formulace a důkaz: J Pravidla pro derivování j I Věta. Nechť f a g jsou reálné nebo komplexní funkce definované na okolí bodu xq e M a mající v tomto bodě vlastní derivaci. Potom (1) pro každé reálné nebo komplexní číslo c má funkce x h-» c • f(x) derivaci v platí (cfY(x0) = c(f'(x0)), (2) funkce f + g má v xq derivaci a platí (f + 8)'(x0) = f'(x0)+g'(x0), (3) funkce f ■ g má v x$ derivaci a platí (f ■ 8)'(x0) = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0). 270 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO (4) Je-li dále h funkce definovaná na okolí obrazu yo = f(xo), která má derivaci v bodě yo, má také složená funkce h o f derivaci v bodě platí (h o f)'(x0) = h'(f(x0)) ■ f'(x0). přičemž x -» 0— odpovídá u = —l/x -» +oo (píšeme — 1/ — 0 = +oo) a x -» 0 potom v = l/x2 -» +oo (znovu 1/ + 0 = +oo). Již dříve jsme také objasnili, že platí lim (ln x :=>+oo x) lim :=>+oo -OO. Důkaz. (1) a (2) Přímé použití věty o součtech a součinech limit funkcí dává výsledek. (3) Přepíšeme vztah pro podíl přírůstků, který jsme zmínili před formulací věty, takto Případné pochyby snad rozptýlí limita lnx — x lim :=>+oo lnx lim :=>+oo V lnx/ -oo, (/*)(*) - (/s)(*o) /(*) gjx) - g(x0) ^ f{x)- fjx0) x — Xq X — Xq X — Xq Limita tohoto výrazu pro x -» xo dá právě požadovaný výsledek, protože je funkce / spojitá v xo. (4) Podle lematu 5.30 existují funkce ý a 9 spojité v bodech xo a yo = fixo) takové, že hiy) = hiy0)+cpiy)iy-y0), fix) = /(x0)+^W(x-x0) na nějakých okolích xo a yo. Navíc pro ně platí ý(xo) = fixo) a +cx) x + lnx • cosx X lim — 1; lim '^+°° +oo lim :=>+oo +oo; = 1. Viděli jsme, že 1'Hospitalovo pravidlo nemusí být nejlepší metodou výpočtu limity jednoho z typů 0/0, oo/oo. Na předchozích třech příkladech lze ilustrovat, že jej ani nelze vždy (pro neurčité výrazy) aplikovat. Kdybychom jej použili k řešení prvního z nich, obdrželi bychom pro x > 0 podíl 1 x 1 + — ln x • sin x x + cos x — x ln x • sin x x který je složitější než původní. Dokonce pro x -> +oo limitu nemá. Není tedy splněn jeden z předpokladů 1'Hospitalova pravidla. Ve druhém případě pak (libovolný počet opakovaných) použití 1'Hospitalova pravidla vede na neurčité výrazy. Pro poslední limitu nás 1'Hospitalovo pravidlo vrátí do zadání: dává nejdříve zlomek 1 Vx^TT 2x 2Jx2+l a následně 2x 2-Jx2 + l 1 Vx2TT Odsud můžeme odvodit, že limita je rovna 1 (hledáme nezápornou hodnotu a e M takovou, aby platilo a = a~l), pouze když dříve dokážeme, že vůbec existuje. □ Další příklady na výpočet limit užitím LHospitalova pravidla na-lezneet na straně 307. 271 F. EXTREMÁLNÍ ÚLOHY 3. DERIVACE F. Extremální úlohy 5.20 Jednoduché pozorovaní 5.31 o geometrickém významu derivace nám také říká, že extrémy diferencovatelné reálné funkce jedné reálné proměnné mohou nastat pouze v bodech, kde je derivace dané funkce nulová. Tohoto prostého faktu lze využít při řešení množství zajímavých praktických úloh. 5.36. Určete x-ovou souřadnici xA bodu paraboly y = x2, který je nejblíže bodu A = [1,2]. Řešení. Není obtížné uvědomit si, že příklad má právě jedno řešení a že úkolem je vlastně najít absolutní minimum funkce fix) = y/(x - l)2 + (x2 - 2)2, x e R. Funkce / má zjevně nejmenší hodnotu ve stejném bodě jako funkce Neboť g(x) = (x- l)2 + (x2 - 2)2, x e (x) = 4x3 - 6x - 2, x e řešením rovnice 0 = 2x — 3x — 1 dostáváme nejprve stacionární bod 'e5.5 také x = — 1 a po vydělení polynomu 2x3 — 3x — 1 polynomem x + zbývající dva stacionární body ' a 1-V3 2 1+V3 2 • Protože funkce g je polynomem (má derivaci na celé reálné ose), z geometrického významu úlohy již získáváme xA 1+V3 2 • □ 5.37. Do rovnoramenného trojúhelníku o základně z a výšce v (nad základnou) vepište obdélník (jedna jeho strana bude částí základny trojúhelníku) s největším obsahem. Stanovte obsah S tohoto obdélníku. Řešení. Pro vyřešení příkladu postačuje uvažovat úlohu, kdy se snažíme vepsat do pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami délek z/2 a v obdélník s maximálním možným obsahem, přičemž dvě jeho strany musí být částmi odvěsen tohoto trojúhelníku. Úlohu takto převedeme na otázku maximalizace funkce f(X)=X(V-2f) na intervalu / = [0, z/2]. Neboť je f'(x) = v — ^- pro všechna x e / a dále f(0) = /(§)= 0, f(x) > 0, x e /, 5.34. Derivace inverzních funkcí. V odstavci 1.36 jsme při obecné diskusi relací a zobrazení formulovali pojem inverzní funkce. Pokud k dané funkci / : M -» M inverzní funkce f~l existuje (neza-4^vr^^^~~ měňujme značení s funkcí x h-» (/(x))-1), pak je dána jednoznačně kterýmkoliv ze vztahů f~l o f = idM, f o f'1 = idM, a druhý již pak platí také. Pokud je / definováno na podmnožině A c M a f (A) = B, je existence f~l podmíněna stejnými vztahy s identickými zobrazeními iáA resp. idB na pravých stranách. Pokud bychom věděli, že pro diferencovatelnou funkci / je i f~l diferencovatelná, pravidlo pro derivaci složené funkce nám okamžitě říká 1 = (id)'(x) = (f~l o /)'(*) = • /'(*) a tedy pak přímo víme vzorec (zjevně f'(x) v takovém případě nemůže být nulové) -| Derivace inverzní funkce |_ (5-6) (f~l)'(f(x)) 1 To dobře odpovídá intuitivní představě, že pro y = f (x) je přibližně /' if~l)'iy) nich funkcí počítat: Ax Ay Ay Ax zatímco pro x = f (y) je to přibližně . Takto skutečně můžeme derivace inverz- Věta. Je-li f diferencovatelná reálná funkce na okolí bodu xq a v tomto bodě /'(xq) 7^ 0, pak existuje na nějakém okolí bodu yo = f (xq) funkce f~l inverzní k f a platívztah (5.6). Důkaz. Nejprve si povšimněme, že nenulovost derivace znamená, že na nějakém okolí je naše funkce / buď ostře rostoucí nebo klesající, viz důsledek 5.31. Proto na nějakém okolí nutně existuje inverzní funkce. Protože je obrazem ohraničeného uzavřeného intervalu ve spojité funkci opět uzavřený interval, nutně je také pro každou otevřenou množinu U v definičním oboru / i obraz f(U) otevřený. Pak ale přímo z definice spojitosti pomocí okolí je pak tato inverzní funkce také spojitá. Pro odvození našeho tvrzení nyní postačí pozorně znovu pročíst důkaz čtvrtého tvrzení věty 5.32. Jen volíme / místo funkce Aa/"1 místo / a místo předpokladu existence derivací pro obě funkce víme, že funkce složená je diferencovatelná (a víme, že její derivace je identita): Skutečně, podle lematu 5.30 existuje funkce ý spojitá v bodě yo taková, že /(v) - f(yo) = p(y)(y - yo), na nějakém okolí y0. Navíc pro ni platí (p(y$) = f(yo). Pak ovšem po dosazení y = f~l (x) také platí x - x0 = cp(f-1(x))(f-1(x) - f-\x0)), 212 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.22a e5. 6 e5 7 6 1 pro x z nějakého okolí 0(xo) bodu x0. Dále platí /_1(x0) = yo a protože je / buď ostře rostoucí nebo klesající, je cp(f~l(x)) ^ 0 pro všechny x e O(x0) \ {x0}. Můžeme tedy psát -l(x)- f-Hxv) f- 1 ^0, x - x0 (p{f 1 (x)) pro všechny x e O(xo) \ {x0}. Pravá strana tohoto výrazu je spojitá v bodě x0 a limita je rovna (p(yo) = (/'(yo))-1, proto i limita levé strany existuje a je rovna témuž výrazu. □ 5.35. Derivace mocninné, exponenciální a logaritmické funkce. Obecnou mocninou funkci není tak snadné zderivo-vat, i když jsme už prozradili, že vzorec (5.7) (xaY - ax známý pro přirozená a bude platit i pro obecně-tento vzorec však můžeme snadno s pomocí vztahu pro derivaci exponenciální funkce a logaritmické funkce: (x0)' = (eflln*)' = eflln>lnx)' = axa~l. Podívejme se teď na exponenciály f(x) = ax. Pokud existuje derivace ax ve všech bodech x, bude jistě platit x+Kx _ A* _ l f'(x) = lim ■ ax lim ■ Ax Ajc^o Ax Naopak, pokud existuje derivace v nule, pak tento výpočet ověřuje existenci derivace v kterémkoliv bodě a dává její hodnotu. Zároveň jsme ověřili platnost téhož vztahu pro derivace zprava a zleva. Bude nám to ještě dlouho trvat, než ověříme (viz 5.42, 5.47 a 6.43), že derivace exponenciálních funkcí skutečně existují. Již teď si ale všimněme, že jsou to tedy zvláštní případy funkcí, jejichž derivace jsou úměrné hodnotám s konstantním koeficientem úměrnosti. Zároveň uvidíme, že existuje obzvlášť užitečný základ e, tzv. Eulerovo číslo, pro které bude derivace v nule rovna jedné. Zjevně pak (axY = (éDÍa)x)' = ln(a)(én(a)x) = ln(a) • ax. Z definičního vztahu pro přirozený logaritmus énx =x snadno spočteme podle pravidla pro derivaci složené funkce (užíváme již, že ď je rovno své derivaci, a také definiční vztah pro logaritmus): (5.8) (ln)'(y) = (ln)'(e') 1 1 1 /'(ok (exy y 5.36. Věty o střední hodnotě. Než se pustíme do dalšího tématu na naší pouti za různorodými definicemi funkcí, odvodíme ještě několik jednodu-' chých výsledků o derivacích. Všechny jsou velice snadno intuitivně jasné z přiložených obrázků a důkazy vlastně jen rozepisují vizuální představu. v jediném svém stacionárním bodě x0 = z/4 nutně nabývá funkce / maxima na /. Proto jsou strany hledaného obdélníku dlouhé z/2 (dvojnásobek x0: uvažujeme původní úlohu) a v/2 (to lze získat dosazením z/4 za x do výrazu v — 2vx/z)- Odsud dostáváme, že S = vz/4. □ 5.38. Firma hledá obdélníkovou parcelu o rozměrech 5a x b se záměrem ji po obvodu celou oplotit a pak ještě ploty kolmými na první stranu rozdělit na 5 stejně velkých parcel o rozměrech a x b. Pro jaké hodnoty a, b bude rozloha parcely S = 5ab maximální, má-li být celková délka plotů 2 400 m? Řešení. Přeformulujme zadání: Chceme maximalizovat součin 5ab při splnění podmínky (5.1) 66 +10a = 2 400, a,b>0. Lehce lze ukázat, že funkce a h-» 5a 2 400-lOa definovaná pro a e [0, 240] nabývá maximální hodnoty v bodě a = 120. Proto je výsledek a = 120 m, b = 200 m. Doplňme, že uvedená hodnota b bezprostředně plyne z (5.1). □ 5.39. Mezi obdélníky, jejichž dva vrcholy leží na ose x a další dva s kladnými druhými souřadnicemi na parabole y = 8 — 2x2, najděte obdélník s maximálním obsahem. Řešení. Základna obdélníku s maximálním obsahem měří 4/V3,jeho výška pak 16/3. Tento výsledek lze obdržet nalezením absolutního maxima funkce 5(x) = 2x (8 - 2x2) na intervalu / = [0, 2]. Neboť tato funkce je na / nezáporná, v krajních bodech / nulová a má derivaci na celém /, přičemž její derivace je nulová pouze v jednom bodě intervalu /, a to v bodě x = 2/V3, nabývá zde maximální hodnoty. □ 5.40. Do rovnostranného trojúhelníka o straně a je vepsán pravoúhel-ník (jedna jeho strana leží na straně trojúhelníka, zbylé dva vrcholy leží na zbylých stranách trojúhelníka). Jaký může mít maximálně obsah? Řešení. Vepsaný pravoúhelník má strany x, v3/2(a — x), tedy obsah VŠ/2(a — x)x. Maximum pro x = a/2, tedy maximální obsah je (V3/8)a2. □ 5.41. Ve čase t = 0 se začaly pohybovat tři body P, Q, R v rovině a to bod P z bodu [—2, 1] směrem (3, 1), rovnoměrnou rychlostí *J\Qm/s, bod Q z bodu [0, 0] směrem (—1, 1) rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením 2 V2 m/s2 a bod R z bodu [0,1] směrem 273 F. EXTREMÁLNÍ ÚLOHY 3. DERIVACE (1,0) rovnoměrnou rychlostí 2m/s. V jakém čase bude obsah tľtíjúl helníku P Q R minimálni? Řešení. Rovnice bodů P, Q, R v čase jsou P Q R [-2, l] + (3, l)ŕ [0,0] + (-l,l)ŕ2 [0, 1] + (2, 0)ŕ Obsah trojúhelníka PQR]e, určený např. polovinou absolutní hodnoty determinantu, jehož řádky jsou souřadnice vektorů P Q a. Q R (viz Matematika I). Minimalizujeme tedy determinant: -2 + t t2-2t t -l + t2 2ť - t + 2. Derivace je 6r — 1, extrémy tedy nastávají pro t = ±—^, vzhledem k tomu, že uvažujeme pouze nezáporný čas, vyšetřujeme pouze t = jde o minimum, navíc je hodnota determinantu v tomto bodě kladná a menší, než hodnota v bodě 0 (krajní bod intervalu, na kterém hledáme extrém), je tedy o globálni minimum obsahu v čase. □ 5.42. V devět hodin ráno vylezl starý vlk z nory Nav rámci ranní rozcvičky začal běhat proti směru hodinových ručiček po kružnici o poloměru lkm, kolem svého oblíbeného pařezu f a to rovnoměrnou rychlostí 4 km/h. Ve stejnou dobu vyrazila Karkulka z domu D k babičce sídlící v chaloupce C rychlostí 4 km/h (po přímce). Kdy si budou nejblíž a jaká tato vzdálenost bude? Souřadnice (v kilometrech): ./V = [2,3], P = [2, 2], D = [0,0], C = [5,5]. Řešení. Vlk se pohybuje po jednotkové kružnici, jeho úhlová rychlost je tedy stejná jako jeho absolutní rychlost a jeho dráhu můžeme v závislosti na čase popsat následujícími parametrickými rovnicemi: x(t) = 2- cos(4ř), y(t) = 2- sin(4ř), Karkulka se pak pohybuje po dráze x(t) = 2V2ř, y(t) = 2V2ř. Nalezněme extrémy (čtverce) vzdálenosti p jejich drah v čase: | e6 .1 pf) = (2 - cos(4ř) - 2V2ř)2 + (2 - sin(4ř) - 2V2ř)2 p'it) = 16(cos(4ř) - sin(4ř))(V2ř - 1) + 32ř+ + 4V2(cos(4ř) + sin(4ř)) - 16V2 Řešit algebraicky rovnici p'f) = 0 se nám nepodaří (ani to nelze), zbývá pouze najít řešení numericky (pomocí výpočetního softwaru). Je jasné, že extrémů bude nekonečně mnoho: při každém kolečkuje směr pohybu vlka v jistý časový okamžik rovnoběžný se směrem Karkulky, Věta. Nechť funkce f : M -» M je spojitá na konečném uzavřeném intervalu [a,b] a diferencovatelná uvnitř tohoto intervalu. Jestliže platí fia) = fib), pak existuje c e ia, b) takové, že fic) = 0. Důkaz. Protože je funkce / spojitá na uzavřeném intervalu (tj. kompaktní množině), má na něm maximum a minimum. Pokud by maximum i minimum mělo stejnou hodnotu fia) = fib), pak by funkce / byla konstantní a tedy i její derivace by byla nulová ve všech bodech intervalu ia,b). Předpokládejme tedy, že buď maximum nebo mimimum je jiné a nechť nastává jedno z nich ve vnitřním bodě c. Pak ovšem není možné, aby v c bylo fic) ^ 0, protože to by v tomto bodě byla byla funkce / buď rostoucí nebo klesající (viz 5.31) a jistě by tedy v okolí bodu c nabývala větších i menších hodnot, než je fic). □ Právě dokázanému tvrzení se říká Rolleova věta. Z ní snadno vyplývá následující důsledek, známý jako věta o střední hodnotě. 5.37. Věta. Nechť funkce f : M -» M. je spojitá na intervalu [a,b]a diferencovatelná uvnitř tohoto intervalu. Pak existuje c e ia, b) takové, že fib) - fia) fic) = Jy > Jy>_ b — a Důkaz. Důkaz je prostým zápisem geometrického významu tvrzení: k sečně mezi body [a, fia)] a [b, fib)] existuje tečna, která je s ní rovnoběžná (namalujte si obrázek). Rovnice naší sečny je y = g(x) = f (a) + -^—^-ix - a). b — a Rozdíl hix) = fix) — gix) udává vzdálenost grafu od sečny (v hodnotách y). Jistě platí h ia) = hib) a u'( ^ f( ^ f{b) ~ f{a) hix) = f ix)----. b — a Podle předchozí věty existuje bod c, ve kterém je h'ic) = 0. □ Větu o střední hodnotě můžeme také přepsat ve tvaru: (5.9) fib) = fia) + f'ic)ib - a). V případě parametricky zadané křivky v rovině, tj. dvojice funkcí y = ff),x = gf), je stejný výsledek o existenci rovnoběžné tečny k sečně krajními body popsán takto: Důsledek. Nechť funkce y = fit) a x = git) jsou spojité na intervalu [a,b] a diferencovatelné uvnitř tohoto intervalu a g'it) ^ 0 pro všechny t € (a, b). Pak existuje bod c e ia, b) takový, že platí fjb) - fja) _ fjc) g(b) - g (a) g'ic)' 274 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Důkaz. Opět spoléháme na použití Rolleovy věty. Položíme proto h(t) = (f(b) - f(a))g(t) - (g(b) - g(a))f(t). Nyní h(a) = f(b)g(a) - f(a)g(b), h(b) = f(b)g(a) -f(a)g(b), takže existuje c e (a, b) takový, že h'(c) = 0. Protože je g'(c) ^ 0, dostáváme právě požadovaný vztah. □ Podobná úvaha jako v posledním tvrzení vede k mimořádně užitečnému nástroji pro počítání limit podílu funkcí. Tvrzení je znám jako UHospitalovo pravidlo: 5.38. Věta. Předpokládejme, že f a g jsou funkce diferencovatelné v okolí bodu xo e M, ne však nutně v bodě x$ samotném, a nechť existují limity 0, lim g(x) = 0. X^-Xq lim f(x) Jestliže existuje limita pak existuje i limita a jsou si rovny. lim X^-XQ lim X^-XQ fix) g'ix) fjx) gix) Důkaz. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že v x0 mají funkce / a g nulovou hodnotu. Výsledek je opět jednoduše představitelný po-tžt^ mocí obrázku. Uvažujme body [g(x), f(x)] e i2 parametrizované proměnnou x. Podíl hodnot pak odpovídá směrnici sečny mezi body [0, 0] a [f(x), g(x)]. Zároveň víme, že podíl derivací odpovídá směrnici tečny v příslušném bodě. Z existence limity směrnic tečen tedy chceme dovodit existenci limity směrnic sečen. Technicky lze využít věty o střední hodnotě v parametrickém tvaru. Předně si uvědomme, že v tvrzení věty implicitně předpokládáme existenci výrazu f'(x)/g'(x) na nějakém okolí x0 (kromě bodu x0 samotného), zejména tedy pro dostatečně blízké body c k x0 bude g'(c) ^ O.2 Díky větě o střední hodnotě nyní lim /(*) lim f(x) - f(x0) _____ lim ►*o gix) *^*o g(x) - g(x0) *^*o g'(cx) kde cx je číslo mezi xq a x, závislé na x. Z existence limity fix) fiCx) lim X^-XQ >,'ix) vyplývá, že stejnou hodnotu bude mít i limita libovolné posloupnosti vzniklé dosazením hodnot x = xn jdoucích k x0 Pro samu existenci limity v obecném smyslu to vždy nutné není, nicméně pro tvrzení L'Hospitalovy věty je to potřebné. Podrobnou diskusi je možné najít (vygooglovat) v populárním článku 'R. P. Boas, Counterexamples to L'Hôpitaľs Rule, The American Mathematical Monthly, October 1986, Volume 93, Number 8, pp. 644-645.' jejich vzdálenost se tedy po jistou dobu snižuje; Karkulka se však neustále vzdaluje konstantní rychlostí od středu kruhu, kolem kterého obíhá vlk. Zjistíme, že první lokální minimum nastává pro t = 0, 31 a poté pro t = 0, 97, kdy bude vzdálenost vlka a Karkulky asi 5 metrů. Je zřejmé, že půjde i o globální minimum. Situace, kdy neumíme explicitně vyřešit daný problém je v praxi velmi častá a použití numerických metod výpočtu má velký význam. □ 5.43. Pro jaká a e M je kubický polynom P vyhovující vztahům P(0) = 1, p'(0) = 1, P(l) =2a + 2, P'(l) = 5a + 1, monotónní funkcí na celém M? Řešení. Z podmínek P(0) = 1 a P'(0) = 1 plyne, že P(x) = bx3 + cx2 + x + 1, kde i, c e 1, zbylé dvě podmínky určují dvě rovnice pro neznámé b a. c: b + c + 2 = 2a + 2, 3b + 2c + 1 =5a + ls jediným řešeními = c = a, polynom vyhovující zadaným podmínkám j e tedy P (x) = ax3 + ax2 + x +1. Podmínka na to, aby byl monotónní funkcí na celém M, je ekvivalentní tomu, že polynom nemá lokální extrém. Extrémy mohou nastat v kritických bodech, tedy v nulových bodech derivace. Pokud tedy derivace nebude mít nulových bodů, fukce bude monotónní. Derivace je P'(x) = 3ax2 +2ax + 1 a nebude mít nulových bodů, bude-li její diskriminant záporný. Navíc inflexní body P (x) odpovídají bodům, kde je nulová první i druhá derivace (a nenulová třetí, což je v případě kubického polynomu automatické), tedy násobným kořenům P'(x). P'(x) má násobné kořeny, právě když je její diskriminant nulový. Celkem je podmínka monotónnosti P(x) ekvivalentní nekladnosti diskriminantu P'(x), tedy 4a2 -12a < 0 4a(a -3) < 0, což odpovídá a e (0, 3). Pro a = 0 však P sice je monotónní funkcí, nikoliv však kubickým polynomem. Dané podmínky splňují právě a e (0,3). □ 5.44. Regiomontanův problém, 1471. V muzeu na stěně visí obraz. Jeho dolní okraj je a metrů nad zemí ^ a horní okraj pak b metrů nad zemí (tj. výška obrazu je - a). Na obraz se dívá turista, jehož oči jsou ve výšce h < a metrů nad zemí. (Důvodem nerovnosti h < a může např. být, že se tak dá umožnit výhled stejně vysokým návštěvníkům 275 F. EXTREMÁLNÍ ÚLOHY 3. DERIVACE muzea stojícím v několika řadách.) Jak daleko od stěny má turista stát, aby maximalizoval velikost svého úhlu pohledu na obraz? Řešení. Jako x označme vzdálenost (v metrech) turisty od stěny a jako cp jeho úhel pohledu na obraz. Dále zaveďme (viz obrázek) úhly a, (3 e (0,7r/2) vztahy tga = ^, tg/3 = a-^. Naším úkolem je maximalizovat cp = a — (3. Doplňme, že pro h > b lze postupovat analogicky a že pro h e [a, b] se zřejmě úhel cp stále zvětšuje při zmenšujícím se x (cp = n pro x = 0 a h e (a, b)). 6 . 4 Z podmínky h < a plyne, že úhel

0 pro x e (o, y/(b - h)(a - A)) , f(x) < 0 pro x e (a/(/j — h)(a — h), +oo^ . Funkce / má proto globální maximum v bodě xo = *J(b — h)(a — h) (připomeňme nerovnosti h < a < b). Určit bod x0 lze samozřejmě i jinými způsoby. Můžeme např. místo hledání maxima kladné funkce / na intervalu (0, +oo) pomocí diferenciálního počtu hledat globální minimum funkce g(x) = -f- = *2+(b-h)(a-h) (b-h)(a-h) Q ° v y /(jc) jc(o—a) o—a x(b— a) ' v ' ' využitím tzv. A-G nerovnosti (mezi aritmetickým a geometrickým průměrem) ■s/yi yi, vi,y2>0, ve které rovnost nastává právě pro yi = y2. Volba totiž dává g(x) = yi(x) + y2(x) > 2 Jyi(x)y2(x) = J(b-h) (a-h). Pokud tak existuje x > 0, pro které je yi(x) = y2(x), má funkce g v bodě x globální minimum. Rovnice yi(x) = y2(x), tj. ^ (b-h)(a-h) x{b—a) ' do f'(x)/g'(x). Zejména tedy můžeme dosadit jakoukoliv posloupnost cXn pro x„ -» x0 a proto bude existovat i limita lim f'(Cx) x^x0 g'(cx) a poslední dvě limity zjevně budou mít stejnou hodnotu. Dokázali jsme tedy, že naše hledaná limita existuje a má také stejnou hodnotu. □ Z důkazu věty je samozřejmé, že její tvrzení platí i pro jednostranné limity. 5.39. Důsledky. LHospitalovo pravidlo můžeme jednoduše rozšířit i pro limity v nevlastních bodech ±oo a pro případ nevlastních hodnot limit. Je-li, např. lim f(x) = 0, lim g(x) = 0, potom je lmw0+ /(V*) = 0 a limx^0+ g(l/x) = 0. Zároveň z existence limity podílu derivací v nekonečnu dostaneme lim x^+ (g(l/x))> lim /'(l/x)(-l/x2) >0+ £'(1/X)(-1/X2) lim >o+ g'(l/x) lim - x^qo g'(x) Použitím předchozí věty tedy dostáváme, že v tomto případě bude existovat i limita podílu fix) lim - x^oo g(x) x^0+ g(l/x) y /(V*) ,. /'(X) lim -= lim ťix) Ještě jednodušší je postup při výpočtu limity v případě, kdy Stačí totiž psát lim fix) = ±oo, lim g(x) = ±oo. X^-XQ X^-XQ lim fix) lim l/gix) x^x0 g(x) x^x0 \/f(x) což je již případ pro použití LHospitalova pravidla z předchozí věty. Lze ale i dokázat, že LHospitalovo pravidlo platí ve stejné formě pro nevlastní limity: Věta. Nechť f a g jsou funkce diferencovatelné v okolí bodu xo e M, ne však nutně v bodě x$ samotném, a nechť existují limity \imx^Xij f(x) = ±oo a \imx^Xij g(x) = ±oo. Jestliže existuje limita fix) lim x~*xo g'ix) pak existuje i limita a jsou si rovny. lim fix) x^x0 g(x) 276 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Důkaz. Opět lze vyjít z věty o střední hodnotě. Základem je vyjádření podílu tak, abychom dostali do hry derivaci: /(*) _ /(*) /(*) - fiy) - giy) g(x) f(x)-f(y) ' g(x)-g(y) ' g(x) kde y volíme nějaký pevný ze zvoleného okolí x0 a x necháme blížit k x0. Protože jsou limity / i g v x0 nekonečné, můžeme jistě předpokládat, že rozdíly hodnot v x a y jsou u obou funkcí při pevném y nenulové. Pomocí věty o střední hodnotě můžeme nyní nahradit prostřední zlomek podílem derivací ve vhodném bodě c mezi x a y a výraz ve zkoumané limitě dostává tvar 1 /(*) gix) g(y) 1 f(y) f M fic) 8'ic) ' 6. 4a kde c závisí na x i y. Při pevném y a x jdoucím k xo jde první zlomek zjevně k jedničce. Když zároveň budeme y přibližovat k x0, bude se nám druhý zlomek libovolně přesně blížit k limitní hodnotě podílu derivací. □ 5.40. Příklad použití. Vhodnými úpravami sledovaných výrazů lze využít LHospitalova pravidla také na výrazy typu oo — oo, 1°°, 0 • oo apod. Zpravidla jde o prosté hoďjněvdmhéčasu přepsání výrazů nebo o využití nějaké hladké funkce, např. textu, včetně exponenciální. takových jako je ^ /v . . 1 .1^1 .1 zaprocentován Ukážeme si pro ilustraci takového postupu souvislost aritmetického a geometrického průměru z n nezáporných hodnot Xi. Aritmetický průměr 1 X y i * * * i 3Cfi Ml(xi,...,xn) =- n je speciálním případem tzv. mocninného průměru stupně r: Mr(xi, ...,x„) Speciální hodnota M~l se nazývá harmonický průměr. Spočtěme si nyní limitní hodnotu Af pro r jdoucí k nule. Za tímto účelem spočteme limitu pomocí LHospitalova pravidla (jde o výraz 0/0 a derivujeme podle r, zatímco xt jsou při výpočtu konstantní parametry). Následující výpočet, ve kterém užíváme pravidla pro derivování složených funkcí a znalosti hodnot derivace mocninné funkce, musíme číst odzadu. Z existence poslední limity plyne existence předposlední a její hodnota atd. ln(i(*í +•••+<)) lim ln(Af (X! r->0 , x„)) i xrx ln x\H-----Yxrn ln xn lim r->0 lim lnxi + • • • + lnx„ Odtud tedy je přímo vidět, že InJ/xi Xy, . lim Mr(xu x„) = ýx[ . . . Xtj má jediné kladné řešení x0 = y/(b — h)(a — h). Dvěma odlišnými způsoby jsem stanovili ideální vzdálenost turisty od stěny. Hodnotě x0 odpovídá X(j(b-a) _ b—a cpo = arctg ■ arctg xfi + (b-h)(a-h) "° 2-J(b-h)(a-h) ' Při pohledu z úrovně podlahy (kdyby se díval brouk) je h je b—a 0, a tudíž xo cpo = arctg 2 ~J ab Je-li obraz vysoký 1 m a jeho dolní okraj je 2 m nad zemí (a = 2, b = 3), bude brouk vidět obraz pod největším úhlem 0, existuje právě jeden stacionární bod xq. Z nerovností T'(x) < 0 pro x e [0, xo) a T'(x) > 0 pro x e (x0, 1 (např. se klade n = 1, 31 pro led, n = 1, 33 pro vodu, « = 1,5 pro běžné sklo). Index lomu ovšem rovněž závisí na vlnové délce uvažovaného elektromagnetického vlnění (kupř. pro vodu a světlo se jedná o rozsah od n = 1, 331 až po n = 1, 344), kdy index lomu zpravidla klesá s rostoucí vlnovou délkou. Rychlost světla v optickém prostředí s indexem lomu n > 1 totiž závisí na frekvenci světla. Hovoří se o tzv. disperzi světla. Právě disperze světla způsobuje, že se paprsky světla různých barev lámou pod různými úhly. (Nejvíce se láme paprsek fialového světla a nejméně paprsek světla červeného.) To je mj. příčina vzniku duhy. Můžeme dále vzpomenout slavný Newtonův pokus se skleněným jehlanem (optickým hranolem) z roku 1 666. Na závěr ještě doplňme, že naše úloha měla vždy řešení, protože jsme mohli volit bod R libovolně. Pokud by byl s rychlostmi v\ a v2 zadán také úhel cp\ (naším úkolem by třeba bylo vypočítat, kde paprsek vycházející z bodu A protne přímku y = c pro jisté c < 0, když rozhraní optických prostředí je součástí osy x), pak by úhel cp2 e (0, 7t/2) což je hodnota známá pod názvem geometrický průměr. 4. Mocninné řady 5.41. Jak se počítá ď. Kromě sčítání a násobení už umíme ^ také počítat s limitami posloupností. Podbízí % se proto přibližovat nepolynomiální funkce pomocí posloupností spočítatelných hodnot. Když se takto podíváme na funkci ď, hledáme vlastně funkci, jejíž okamžitý přírůstek je v každém bodě roven hodnotě této funkce. To si můžeme dobře představit jako úžasné úročení vkladu se sazbou rovnou okamžité hodnotě. Když budeme roční sazbu úroku realizovat jednou za měsíc, za den, za hodinu atd., budeme pro vklad x dostávat výsledné hodnoty / x \ 8760 V + 8760/ Dalo by se tedy tušit, že bude platit: x\n n lim (1 + - ) n^oo \ n / Zároveň tušíme, že čím jemněji budeme postupovat při úročení, tím vyšší bude výnos, takže by posloupnost čísel na pravé straně měla být rostoucí. Podívejme se tedy podrobně na číselnou posloupnost IV 1 + Z binomického rozvoje je zřejmé, že pro každé kladné číslo b a přirozené n platí (1 + b)n > 1 + nb, dostáváme proto pro dva po sobě jdoucí členy naší posloupnosti podíl (1 + i)" _ (n2 - l)"n _ (x IV n (1 + ^t)"-1 n2"(n-\) 1 n > (1--)- 2 n-l n n — 1 1. Je tedy naše posloupnost skutečně rostoucí. Zároveň stejným výpočtem ověříme, že posloupnost čísel 1 1 + - n n + l l + I)(l + IV ni \ n. je klesající a jistě je bn > an. Posloupnost an je tedy zhora ohraničená a rostoucí a proto je její limita dána jejím supre-mem. Zároveň vidíme, že je tato limita rovna také limitě klesající posloupnosti bn). Tato limita proto zadává jedno z nej důležitějších čísel v matematice (vedle nuly, jedničky a Ludolfova čísla jt), Eule-rovo číslo e. Je tedy e = lim 1 + IV 278 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.24 e5. 11a e5.12 5.42. Mocninná řada pro e*. Exponenciální funkci jsme definovali jako jedinou spojitou funkci splňující /(l) = e a f{x + y) = /(*) • f(y). Základ e ^'/J' máme vyjádřen jako limitu posloupnosti čísel an, 't nutně tedy je ex = lim (an)x. Počítejme nyní pro jednoduchost s kladným x. Jestliže v hodnotách an z minulého odstavce zaměníme n zun/x, opět do-statneme stejnou limitu a proto také lim n lim í x\n (1 + n) Označme si n-tý člen této posloupnosti un(x) x/n)n a vyjádřeme si jej pomocí bionomické věty: (5.10) x n(n — \)x2 n\x" (1 + u„(x) 1 +n- + n 1 +x H-- 2! + 3! 2\n2 1 1 - - n + ••• + n\n xn ( 1 + - 1-- 2 1 - - n 2 1 - - n + 1 Protože jsou všechny závorky v součinech menší než jedna, dostáváme také u„(x) < vn(x) n j=o J Podívejme se nyní na formální nekonečný součet (5.11) 1 7=0 7=0 vesddf4fr5 tj. vn(x) je právě součet prvních n členů v tomto formálním nekonečném výrazu. Podíl dvou po sobě jdoucích členů v řadě je /cj = x/(n + 1). Pro každé pevné x ted^exis tuje /V e N takové, že Cj+\/cj < 1/2 pro všccrfnydj f^fJv^ Pro takto velké j je ovšem < \cj < 2~ —x} H--. 7=0 J xN(l -n+N-1 • splňující (5.2) nemusel existovat. Takové situaci odpovídá úplný odraz světla (k lomu světla vůbec nedojde). □ 5.46. Halleyova úloha, 1686. Hráč stojí před basketbalovým košem ve vzdálenosti l od obrou->f{Épf- čky, která je ve výšce h nad bodem odhodu. Určete minimální fri*K počáteční rychlost v0, kterou musí udělit míči, aby skóroval, ^cjt- a příslušný elevační úhel cp pro toto v0. Viz obrázek. Řešení. Opět vynecháváme fyzikální jednotky: můžeme předpokládat, že údaje o vzdálenostech jsou uváděny v metrech a časové údaje v sekundách (rychlosti pak v metrech za sekundu). Nechť hráč hodí míč v čase t = 0 a nechť míč projde obroučkou v čase ř0 > 0. Pozici míče (během jeho letu) vyjádříme body [x(t), y(t)] pro ŕ e [0, řo], přičemž požadujeme, aby x(0) = 0, y(0) = 0, x(řo) = l, y(řo) = h. Zřejmě je x?(t) = vq cos cp, y (ř) = vq sin

0+ plyne, že c\ = c2 = 0. Dosazení zbývajících podmínek lim x(t) ř=>0+ lim x(t) ř=>ř0- lim y(ř) x(ř0) = o- tak již dává l = VqÍq cos cp, Podle první rovnice je (5.3) ř0 =-, Vq cos (p a tudíž dostáváme jedinou rovnici gl2 h = vqíq sin

t v 2 / rovnici (5.4) můžeme převést do tvaru h-ltgcp + ^(\+tg2cp) =0, tj- 279 F. EXTREMÁLNÍ ÚLOHY 4. MOCNINNÉ ŘADY 2hv2 /esdgq2 91k (5.5) /eswwhnb4x /esddfttb2 tg>-^tg^ + ^ + l 0. Z poslední rovnice (kvadratické rovnice pro neznámou p = tg cp) vyplývá, že g' y «2(2 V gŕ2 +1 tj- tg

0. Také nyní nám substituce (tentokráte q = vfy umožní přejít ke kvadratickému výrazu (na levé straně nerovnice) a následně získat (yl -g[h + VPTř]) (v2 - g [h - VF+p]) > 0. Protože h < -Jh7- + P, musí být v2 > h + V/i2 + P Nejmenší přípustné hodnotě (5.6) v0 = potom odpovídá (viz (5.5)) tj. v0 5.25 h + Jh2 + P h + y/h2 + P (5.7) tg

N pro nějaké pevné /V (hodně velké) a zvolíme si k < N pevné (docela malé). Pak pro dostatečně velká /V umíme součet prvních k členů ve vyjádření uN v (5.10) aproximovat libovolně přesně výrazem vk. Protože je tato část součtu uN ostře menší než uN samotné, musí posloupnost un konvergovat k téže limitě jako poslounost vn. Dokázali jsme tedy: J Mocninná řada pro ex |_ Věta. Exponenciální funkce je pro každé x e jako limita částečných součtů ve výrazu 1 , 1 ex = 1 + x H--xl H-----1--xn + ■ 2! n\ vyjádřena oo 1 ^ n\ n=0 1 5.43. Číselné řady. Při dovození mimořádně důležitého tvrzení o funkci ď jsme mimoděk pracovali s několika užitečnými pojmy a nástroji. Sformulujeme si je nyní obecněji: —J číselné nekonečné řady Definice. Nekonečná řada čísel je výraz oo y a„ = a0 + ai + a2 H-----h ak + ..., «=o kde an jsou reálná nebo komplexní čísla. Posloupnost částečných součtů je dána svými členy sk = 5Z«=o a" a říkáme, že řada konverguje a je rovna s, jestliže existuje konečná limita částečných součtů s = lim sn. £=>oo Jestliže posloupnost částečných součtů řady má nevlastní limitu, říkáme že řada diverguje k oo nebo — oo. 1 K tomu, aby posloupnost částečných součtů sn konvergovala, je nutné a stačí, aby byla Cauchyovská. Tzn. že musí být libovolně malé pro dostatečně velká m > n. Protože je \an+1\ H-----h \am\ > \an+1 -\-----h am\, vyplývá z konvergence řady Jľitlo \an\ i konvergence řady Eoo k=0 a»- \ Absolutně konvergentní řady [, Říkáme, že řada JZitlo an konverguje absolutně, jestliže konverguje řada £~ 0 \an\. 280 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Absolutní konvergenci jsme zavedli, protože se často daleko snadněji ověřuje, zároveň ale následující věta ukazuje, že se v případě aboslutně konver-a. gentních řad i jednoduché algebraické operace chovají všechny velice dobře: 5 . 25a 5.44. Věta. Nechť S = Jľ^Lo an a T = Jľ^Lo b" Jsou absolutně konvergentní řady. Pak (1) jejich součet absolutně konverguje k součtu oo oo oo S + T = ___]an +___]bn = ___](an + bn), n—0 n—0 n—0 (2) jejich rozdíl absolutně konverguje k rozdílu oo oo oo S - T = ___\an -_V_K = ___\(an - bn), n—0 n—0 n—0 (3) jejich součin absolutně konverguje k součinu oo in S ■ T J_]a») ■ \JlbA = Jl\Jla»- \«=0 \«=0 «=0 \k=0 Důkaz. První i druhé tvrzení jsou bezprostředním důsledkem obdobných vlastností limit. Třetí tvrzení vyžaduje větší pozornost. Označme si n C„ — 7 Un-kUk. k=0 Z předpokladů a podle pravidel pro limitu součinu posloupností dostáváme [JlaA \J2bA\ J2an)■ [JlbA- \«=0 \«=0 \«=0 \«=0 Máme tedy dokázat, že ° = ,Um3((Efl») ■ \JlbA -Ec* \«=0 \«=0 «=0 Porovnejme si nyní výrazy V«=0 / \h=0 / 0k 0k 0q sin

k 0oo q. Pak řada S konverguje absolutně při \q\ < la nekonver-guje při \q\ > 1. Při \q\ = 1 může řada konvergovat ale nemusí. (3) Jestliže existuje limita lim r7=>oo pak při q < 1 řada konverguje absolutně, zatímco při q > 1 diverguje. Je-li q = 1, může konvergovat i divergovat. Důkaz. (1) Jestliže lim^co an neexistuje nebo je nenu-JfáJ®r lová, exituje pro dostatečně malé číslo e > 0 ■*-í)h nekonečně mnoho členů ak s \ak\ > e. Zároveň tedy musí mezi nimi existovat nekončené mnoho kladných nebo nekonečně mnoho záporných. Pak ovšem při přidání kteréhokoliv z nich do částečného součtu dostáváme rozdíl dvou po sobě jdoucích s„ a sn+i o velikosti alespoň e. Posloupnost částečných součtů proto nemůže být Cauchyovská a tedy ani konvergentní. (2) Protože chceme dokazovat absolutní konvergenci, můžeme rovnou předpokládat ai > 0. Důkaz jsme pro speciální hodnotu q = 1/2 provedli při dovožení hodnoty cx pomocí řady. Uvažme nyní q < r < 1 pro nějaké reálné r. Z existence limity podílů dovodíme pro všechna j větší než dostatečně veliké N N shora ohraničeny součty n-N 1 - f -N+l 1 2« s„ < ^ aj + aN ^ rJ = ^ o,- + 7=0 j=0 j=0 Protože 0 < r < 1, je množina všech částečných součtů shora ohraničená rostoucí posloupnost a proto je její limitou její supremum. 282 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Při hodnotě q > r > 1 použijeme obdobný postup, ale z existence limity podílu q hned na začátku odvodíme cij+i > r ■ cij > /i~N+l) aN. To ale znamená, že částečné součty prvních sn jsou zdola ohraničeny součty N n-N S„ > Y, Při r > 1 tento výraz poroste s rostoucím n nad všechny meze a proto ani naše řada nemůže konvergovat. (3) Důkaz je zde velmi podobný předchozímu případu. Z existence limity q < 1 vyplývá, že pro ka::dé^ddsíytfe;2 1 existuje TV takové, že pro všechny n > N platí Zj\an | < r. Umocněním pak dostáváme \an\ < r", takže jsme opět v situaci, kdy srovnáváme s geometrickou řadou. Důkaz se proto dokončí stejně jako v případě podílového testu. □ V důkazu druhého i třetího tvrzení jsme využívali slabšího tvrzení, než je existecne limity. Potřebovali jsme pro studované posloupnosti nezáporných výrazů pouze tvrzení, že od určitého indexu už budou větší nebo menší než dané číslo. K takovému odhadu nám ale postačí pro danou posloupnost bn uvažovat s každým indexem n supremum hodnot členů s indexy vyššími. Tato suprema vždy existují a budou tvořit nerostoucí posloupnost. Její infimum pak označujeme jako limes superior dané posloupnosti a značíme lim sup bn. r7=>00 Výhodou je, že limes superior vždy existuje, můžeme proto předchozí výsledek (aniž bychom měnili důkaz) přeformulovat v silnější podobě: Důsledek. Nechť S = YlT=o an Je nekonečná řada reálných nebo komplexních čísel. (1) Je-li ,. an + l q = hm sup - r7=>oo G-n pak řada S konverguje absolutně při q < 1 a nekonver-guje při q > 1. Při q = 1 může řada konvergovat ale nemusí. (2) Je-li q = lim sup ý\an\, r7=>00 pak při q < 1 řada konverguje absolutně, zatímco při q > 1 diverguje. Je-li q = 1, může konvergovat i divergovat. 5.46. Mocninné řady. Jestliže máme místo posloupnosti ír?> _ čísel an k dispozici posloupnost funkcí k^,. f„(x) se stejným definičním oborem A, f můžeme bod po bodu použít definici sou-'f čtu číselné řady a dostáváme pojem součtu řady funkcí což nemůže nastat (výraz na levé straně je záporný, na pravé kladný). Podařilo se nám tedy určit R'(cp) pro všechna cp e (0, Jt/2). Navíc je ihned vidět, že tato derivace je nulová, právě když /isin2

= Jh , . Tím jsme však už jednoznačně určili bod 0, a proto j sme st mxfhlf1 pomoci příslušnou jednostrannou limitou. □ 5.48. Proč má duha kruhový tvar? Řešení. V příkladu nazvaném Snellův zákon jsme si objasnili, co je ^ příčinou vzniku duhy. (Duha vzniká rozkladem slunečního světla na vodních kapkách.) Nyní na tento příklad navážeme. Přesněji, detailně se podíváme, co se děje se světlem při jeho průchodu dešťovou kapkou. Viz obrázek. Paprsek dopadající na povrch kapky v bodě A se „rozdvojí". Část světla se odrazí (pod úhlem cpi od normály) a část se zlomí dovnitř kapky pod vyznačeným úhlem 0, jestliže 5(jc) konverguje pro každé x splňující \x\ < p a diverguje při W > P- | 5.47. Vlastnosti mocninných řad. Ačkoliv na podstatnou část důkazu následující věty si budeme muset počkat až na konec příští kapitoly, zformulujeme si základní vlastnosti mocninných řad hned: , Absolutní konvergence a diferencování člen po členu h-> Věta. NechťS(x) = a„x" je mocninná řada a existuje limita P lim Pak je poloměr konvergece řady S roven r = p~l. Mocninná řada S(x) konverguje na na celém svém intervalu konvergence absolutně a je na něm spojitá (včetně krajních bodů, pokud v nich konverguje také) a existuje její derivace, S>(x) = nanx" n = \ i Důkaz. Pro ověření absolutní konvergence řady můžeme pro každou pevnou hodnotu x použít odmocninový test z věty 5.45(3). Počítáme přitom arcsm sin r. Tvrzení o spojitosti a derivaci dokážeme později v obecnějším kontextu, viz 6.43-6.45. □ Všimněme si také, že můžeme při důkazu konvergence použít silnější variantu odmocninového testu a tedy lze poloměr konvergence r pro každou mocninnou řadu přímo zadat fomulí r-1 = lim sup yf\an\. 284 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.48. Poznámky. Pokud koeficienty řady velmi rychle ros- tou, např. an = n", pak je ves tj. poloměr konvergence je nula. Skutečně taková řada pak konverguje pouze v jediném bodě x = 0. Podíváme se na konvergenci mocninných řad oo oo ^ 5(jc) = x", T(x) = J2 -x" «=0 n = \ ves32ju5bh (5.12) včetně krajních bodů příslušného intervalu. První příklad je geometrická řada, kterou jsme se zabývali již dříve, a její součet je pro všechny x s \x\ < 1 S(x) 1 1 -x zatímco \x\ > 1 zaručuje divergenci. Pro x = 1 dostáváme také zjevně divergentní řadu 1 + 1 + 1 + ... s nekonečným součtem, při x = — 1 jde o řadu 1 —1+1 — ...Jejíž částečné součty nemají limitu vůbec. Věta 5.45(2) ukazuje, že poloměr konvergence druhého příkladu je také jedna, protože existuje lim 4t*"+1 n + l x lim n + 1 1 + 1 + 2 ^ 3 ^ Pro x = 1 tu dostaneme divergentní řadu 1 + protože umíme odhadnout částečné součty tak, že vždy postupně pro k = 1, 2, 3, ..., sečteme 2k~l po sobě jdoucích členů 1/2*-1, ..., 1/(2* — 1) a nahradíme všechny 2~k. Do spodního odhadu tedy každá taková část přispěje 1 /2 a odhad tedy roste nad všechny meze. Naopak, řada T(— 1) ■1 + 5 + konverguje. Vyplývá to z obecnějšího platného tvrzení, které ukážeme až v příští kapitole. 5.49. Komplexní exponenciála a goniometrické funkce. S mocninnými řadami nám do našeho společenství funkcí přibyla spousta nových příkladů hladkých funkcí, tj. funkcí libovolněkrát diferencovatelných na celém svém definičním oboru. Podobně jako polpiómy mají všechny tyto přírůstky do zvěřince navíc vlastnost, že jsou ve skutečnosti zadány vztahem, který definuje funkci C -» C. Skutečně, naše úvahy o absolutní konvergenci jsou bezezbytku platné i pro komplexní číselné řady. Proto mocninné řady budou na celém kruhu v komplexní rovině se středem v počátku a poloměrem r představovat konvergentní číselné řady komplexních čísel. Pohřejme si chvíli s nej významnějším a prvním naším příkladem, exponenciálou 1 9 1 + x + -xl 2 + + Tato mocninnná řada má poloměr konvergence nekonečný a dobře proto definuje hladkou funkci pro všechna z něhož již plyne (5.11) a = 4 arcsin srn cpi 2 0. Má tak smysl analyzovat funkci (viz (5.11) a (5.12)) OL (y) =4 arcsin ^ — 2 arcsin j, y e [0, R]. Volbou vhodné jednotky délky (pro kterou je i? = 1) přejdeme k funkci a(x) = 4 arcsin^ — 2 arcsin x, x e [0, 1]. Po výpočtu derivace a'(x) « JI 'l-x1 x e (0, 1) snadno určíme, že rovnice a'(x) = 0 má jediné řešení X0 = 4-«2 3 e (0, 1), pokud «2e(l,4). Položme n = 4/3 (což je přibližně index lomu pro vodu). Dále je a'(x) > 0, x e (0, x0), a'(x) < 0, x e (x0, 1). Zjistili jsme, že v bodě x0 má funkce a globální maximum a (x0) = 4 arcsin V5 2 arcsin 2VŠ 0, 86 0, 734 rad « 42c 2 V5 3 V5 Přestože je zajímavé, že vrchol duhy nemůže být nad úrovní přibližně 42 ° vůči tomu, kdo ji pozoruje; mnohem důležitější jsou vyčíslení a(0, 74) = 39,4°, a(0, 94) = 39, 2 °, a(0, 8) = 41,2°, a(0,9) =41,5°. Ta totiž implikují (funkce a roste na intervalu [0, x0] a klesá na intervalu [x0, 1]), že více než 20 % hodnot a leží v úzkém pásu zhruba od 39 ° do 42 ° a 10 % v pásu o šířce menší než 1 °. Pokud navíc uvážíme např. a(0, 84) = 41,9°, a(0, 88) = 41, 9°, 285 G. ŘADY 4. MOCNINNÉ ŘADY vidíme, že paprsky, pro které je a blízké hodnotě 42 °, mají nej větší intenzitu. Vyzdvihněme, že se jedná o případ tzv. principu minimální odchylky, kdy platí, že k nej větší koncentraci rozptýleného světla dochází právě u paprsků s minimální odchylkou. Celková úhlová odchylka paprsku se totiž rovná úhlu 8 = jt — a. Kapky, ze kterých směřují paprsky k pozorovateli vidícímu duhu, tak leží na povrchu kuželu s centrálním úhlem 2a (x0). Nadzemní část tohoto kuželu se pak jeví pozorovateli právě jako kruhový oblouk duhy (viz obrázek). Při západu Slunce by tedy měla duha tvar půlkružnice. Uvažte také, že duha se realizuje vzhledem k pozorovateli - není nikde v prostoru. Na závěr poznamenejme, že onen kruhový tvar duhy podrobně zdokumentoval již René Descartes, který duhu vědecky zkoumal v letech 1635-1637. □ Další praktické úlohy na hledání extrémů funkcí jedné proměnné viz 308 G. Řady Řady se přirozeně vyskytují v celé řadě (problémů). 5.49. Sierpiňského koberec. Jednotkový čtverec se rozdělí na devět shodných čtverců a odstraní se prostřední čtverec. Každý ze zbývajících čtverců se znovu rozdělí na devět shodných čtverců a odstraní se prostřední čtverec. Určete obsah zbylého obrazce po prodloužení tohoto postupu do nekonečna. Řešení. V prvním kroku se odstraní 1 čtverec o obsahu 1 /9. Ve druhém kroku se odstraní 8 čtverců o obsahu 9~2, tj. o celkovém obsahu 8 • 9~2. V každé další iteraci se odstraní osminásobek počtu čtverců z předešlého kroku, přičemž obsah každého z nich je devítinou obsahu 1 čtverce z předchozího kroku. Součet obsahů všech odstraněných čtverců je i _1_ JI _1_ £l _1_ 9 t 92 t 93 t E8" q/í+1 * «=0 Obsah zbylého obrazce (tzv. Sierpiňského koberce) tak činí 1 e «=0 8* gn+1 1 8\" e (i) «=o 1 0. □ 5.50. Kochova vločka, 1904. Vytvořte „sněhovou vločku" následujícím postupem. Na začátku uvažujte rovnostranný trojúhelník s jednotkovou délkou strany. Každou z jeho stran rozdělte na třetiny a nad prostředními třetinami sestrojte rovnostranné trojúhelníky, kdy základny (prostřední třetiny stran původního trojúhelníku) odstraníte. komplexní čísla x. Její hodnoty jsou limitami hodnot (komplexních) polynomů s reálnými koeficienty a každý polynom je zcela určený konečně mnoha svými hodnotami. Zejména tedy jsou hodnoty mocninných řad i v komplexním oboru zcela určeny jejich hodnotami na reálných argumentech x. Proto i pro komplexní exponenciálu musí platit i obvyklé vztahy, které jsme pro reálné hodnoty proměnné x již odvodili. Zejména tedy platí &x+y =ex .&y, viz vztah (5.5) a věta 5.44(3). Dosaďme si hodnoty x = i ■ t, kde i e C je imaginární jednotka, t e M libovolné. é' = \ + it - -t2 - i—t3 + —ŕ + i—t5 - ... 2 3! 4! 5! a zjevně tedy je komplexně konjugované číslo k z = &" číslo ž = &~". Proto \z\2 = z-ž =ét-e-it 1 a všechny hodnoty z = &" leží na jednotkové kružnici v komplexní rovině. Reálné a imaginární složky bodů na jednotkové kružnici jsme popisovali pomocí goniometrických funkcí cos 6 a sin 6, kde 6 je patřičný úhel. Derivací parametrického popisu bodů kružnice, t 1-» e" dostáváme vektory „rychlostí", které budou dány výrazem (pokud zatím nevěříme derivování mocninných řad člen po členu, lze také zderivovat zvlášť reálnou a imaginární složku) t h» (e")' = i ■ e" a jejich velikost proto také bude pořád jednotková. Odtud lze tušit, že celou kružnici oběhneme po dosažení hodnoty parametru rovného délce oblouku, tj. 2jt (i když k pořádné definici délky křivky budeme potřebovat integrální počet). Tímto postupem skutečně definujeme Ludolfovo číslo Jt — je to délka poloviny jednotkové kružnice v euklidovském M2. Můžeme se ale nyní aspoň částečně ujistit pohledem na nejmenší kladné kořeny reálné části částečných součtů naší řady, tj. příslušných polynomů. Již při řádu deset nám vyjde číslo jt přesně na 5 desetinných míst. Dostali jsem tedy přímou definici goniometrických funkcí pomocí mocninných řad: 1 cos t = re e 1 1 9 1 a 1 - -ř2 + — ŕ 2 4! + (-1)* 1 (2k) ■t2k + smí íme + (-1)* 1 3 1 j —ť H--ť 3! 5! 1 7! t7+ -ŕk+l + ... (2k + \)\ Ilustraci konvergence řady pro funkci cos je vidět na obrázku. Jde o graf příslušného polynomu stupně 68. Při postupném vykreslení částečných součtuje vidět, že aproximace v okolí nuly je velice dobrá a prakticky beze změn. S rostoucím řádem se pak zlepšuje i dále od počátku. 286 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO e5.13 e5.14 Přímo z definice vyplýva známý vztah sin2 t + cos21 a také z derivace (e")' = i e" vidíme, že (sin t)' = cos ŕ, (cos t)' = 1 sin t. Tento výsledek lze samozřejmě ověřit přímo derivací našich řad člen po členu. Označme ř0 nejmenší kladné číslo, pro které je = — tj. první kladný nulový bod funkce cosi. Podle naší definice Ludolfova čísla je ř0 = \it. Pak kvadrát této hodnoty je eí2t° = e~í2í° = (e~"°)2 a jde tedy o nulový bod funkce sin t. Samozřejmě přitom platí pro libovolné t J(4kt0+t) itQ\4k it (e"°) 1 -e'- Jsou tedy obě goniometrické funkce sin a cos periodické s periodou 2n. Z našich definic je přitom vidět, že je to nejmenší jejich perioda. Nyní můžeme snadno odvodit všechny obvyklé vztahy mezi goniometrickými funkcemi. Uvedeme na ukázku několik z nich. Nejprve si všimněme, že definice vlastně říká (5.12) (5.13) cos t smí I(eií+e-ií) 2 -(eíř-2i Součin těchto funkcí jde tedy vyjádřit jako sin t cos t -(eíř 4i -(eí2ř ■ e~i2t) 1 sin 2t. 4iN '2 Dále můžeme využít naši znalost derivací: cos 2t = (- sin 2t)' = (sin t cos t)' = cos21 — sin21. Vlastnosti dalších goniometrických funkcí siní tg ŕ cos t cotgř = (tgř)" se snadno odvodí z jejich definice a pravidel pro derivování. Grafy funkcí sinus, cosinus, tangens a cotangens jsou na obrázcích (postupně červený a zelený vlevo, červený a zelený vpravo): Takto z původního trojúhelníku dostanete šesticípou hvězdu. Celý postup opakujte tak, že každou úsečku obdrženou v předchozím kroku rozdělíte na třetiny a prostřední třetinu nahradíte za rovnostranný trojúhelník bez základny. Sněhovou vločku pak získáte nekonečným opakováním tohoto postupu. Dokažte, že vzniklý útvar (vločka) má nekonečný obvod. Poté určete jeho obsah. Řešení. Obvod původního trojúhelníku je roven 3. V každém kroku konstrukce se prodlouží obvod útvaru o třetinu, neboť ze tří částí každé úsečky vzniknou čtyři stejné délky. Odsud vyplývá, že obvod vločky lze vyjádřit jako limitu lim 3 • (1 + \Y = +oo. Útvar se zřejmě během konstrukce zvětšuje. Ke stanovení jeho obsahu nám tudíž stačí zachytit, o kolik se jeho obsah zvětší v jednotlivých krocích. Počet jeho stran se v libovolném kroku stává čtyřnásobným (úsečky se rozdělí na třetiny, kdy místo prostřední třetiny máme dvě úsečky), přičemž délka nových stran je třetinová. V následujícím kroku se obsah útvaru zvětší právě o obsahy stejných rovnostranných trojúhelníků, jejichž počet je stejný jako počet úseček v předchozím kroku a jejichž strany mají délku třetin těchto úseček. Když takto přecházíme od rovnostranného trojúhelníku k šesticípé hvězdě při první realizaci uvedeného postupu, obsah se zvětší o 3 rovnostranné trojúhelníky (jejich počet odpovídá počtu stran původního útvaru) s délkou stran 1 /3 (taje třetinová). Označme obsah původního trojúhelníku jako So- Pokud si uvědomíme, že zmenšením strany rovnostranného trojúhelníku na třetinu se jeho obsah zmenší devětkrát, dostaneme obsah šesticípé hvězdy ve tvaru So + 3-f. Podobně v dalším kroku obdržíme obsah útvaru jako 50 + 3-f +4-3-f. Počet přidávaných trojúhelníků je čtyřnásobný a délky jejich stran třetinové. Nyní již není obtížné odvodit, že obsah vločky je roven limitě lim (50 + 3 • f+4 • 3 • | + • • •+4" • 3 • gär) = s0 S0 lim + \ + + ••• + • (tr) So 1 + 5 lim So ( 1 + | + + i + 3-Ed)* k=0 (IT) = S0 So 1 + | Hm E (IT ' k=0 3 1 4 So- Obsah vločky je tedy 8/5 obsahu původního trojúhelníka, tj. 8 o 7 >->0 VI 4 2^3 5 ■ 287 G. ŘADY 4. MOCNINNÉ ŘADY Zopakujme, že tato vločka je příkladem toho, jak nekonečně dlouhá křivka může ohraničovat konečnou plochu. □ 5.51. Sečtěte řadu ,___L_V \ sfň V« + l / ' (a) Eí^s «=i (b) E pr; oo (c) E (42/1-1 + 4>) ! « = 1 00 (d) E £; «=1 (e) E (3« + l)(3«+4) ■ «=0 Řešení. Případ (a). Podle definice je součet řady 00 / 1 1 \ «=1 lim ((vT V2) + (v2 V3)+"' + (v^ vil)) -lim fl + (--L + 1 ) + ... + f—1 + 1 ) - 1 ) = 1. Případ (b). Zjevně se jedná o pětinásobek konvergentní geometrické řady s kvocientem q = 1/3, a tudíž je °° 5 °° 1 n 1 15 E 3» = 5 E (3) = 5 • — = t- «=0 «=0 3 Případ (c). Platí (při substituci m = n — 1) E (42/1-1 + 4>) 4 E^ (42/1-2) + 16 E (42^-2) 1 ř7 —1 ř7 —1 CX) CX) j. r ± - ii r (_L)m — Jd (4 16/ ^ 42m — 16 2^ V16/ ~~ 16 «=1 14 15 • m=0 m=0 * 16 Řadu lineárních kombinací jsme zde vyjádřili jako lineární kombinaci řad (přesněji řečeno, jako součet řad s vytknutím konstant), což je platná úprava, pokud obdržené řady jsou absolutně konvergentní. Případ (d). Z částečného součtu = ! + £ + £ + + n€N bezprostředně získáváme 32 1 33 1 ■ ř? —1 i n 3" 3»+l ' n e N. Je tedy c — i_i__l_i__l_i_ " 3 — 3 32 33 Protože lim = 0, dostáváme + 3" 3«+l ' n e N. E f = Hm f (í„ - f) 77 — 1 CX) , lim E "^°°*=i *=i v' 3 Případ (e). Stačí použít vyjádření (jde o tzv. rozklad na parciálni zlomky) Cyklometrické funkce jsou inverzní ke goniometrickým. Protože jsou goniometrické funkce všechny periodické s periodou 2jt, jsou jejich inverze definované vždy jen v rámci jedné periody a to ještě jen na části, kdy je daná funkce buď rostoucí nebo klesající. Jsou to funkce arcsin = sin-1 s definičním oborem [—1, 1] a oborem hodnot [—jt/2, Jt/2]. Dále arccos = cos-1 s definičním oborem [—1, 1] a oborem hodnot [0, 7t], viz obrázek vlevo. Zbývají ještě funkce (zobrazené na obrázku vpravo) arctg = tg-1 s definičním oborem [—00,00] a oborem hodnot [—7t/2, jt/2] a konečně arccotg = cotg-1 s definičním oborem [—00, 00] a oborem hodnot [0, 7t]. Velice často se také využívají tzv. hyperbolické funkce sinhx = -(ex — e~x), coshx = -(e* + e-*). 2 2 Název naznačuje, že by funkce mohly mít něco společného s hyperbolou. Přímý výpočet dává (druhé mocniny se v roznásobených dvojčlenech všechny odečtou a zůstanou smíšené členy) (coshx)2 - (sinhx)2 = 2^(ex e~x) = 1. Body [cosh ř, sinh ř] e M2 tedy skutečně parametricky popisují hyperbolu v rovině. Pro hyperbolické funkce lze snadno 288 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO i (3« + l)(3«+4) 3 3« + l 3 3«+4 které dává odvodit podobné identity jako pro funkce goniometrické. Mimo jiné je přímo z definice snadno vidět (dosazením do vztahů (5.12) a (5.13)) coshx = cos(zx), i sinhx = sin(zx). 5.50. Poznámky. (1) Jestliže mocninnou řadu S(x) vyjádříme s posunutou hodnotou proměnné x o konstantní posuv x0, dostaneme funkci T(x) = "fx S(x — x0). Jestliže je p poloměr konveregence i* 5, bude T dobře definovaná na intervalu (x0 — p, xq + p). Říkáme, že T je mocninná řada se středem v xq. Mocninné řady proto můžeme přímo definovat takto: oo S(x) = ^a„(x - x0)", «=o kde x0 je libovolné pevně zvolené reálné číslo. Všechny naše předchozí úvahy jsou pořád platné, jen je třeba mít na paměti, že se vztahují k bodu x0. Zejména tedy taková řada konverguje na intervalu (x0 — p, x0 + p), kde p je její poloměr konvergence. Dále platí, že má-li mocninná řada y = T (x) hodnoty v intervalu, kde je dobře definována řada S(y), potom i hodnoty funkce S o T jsou vyjádřeny mocninnou řadou, kterou dostaneme formálním dosazením y = T (x) za y do S(y). (2) Jakmile máme k dispozici mocninné řady s obecným středem, lze docela přímočaře počítat koeficienty mocninných řad zadávajících inverzní funkce. Nebudeme zde uvádět seznam formulí, snadno se k nim dostaneme například v Ma-plu procedurou „series". Pro ilustraci se podívejme alespoň na dva příklady: Viděli jsme, že x 1 1 2 1 3 1 4 e = 1 + x H—x + -x H--x4 +____ 2 6 24 Protože je e° = 1, budeme hledat pro inverzní funkci ln x mocninnou řadu se středem v x = 1, tj. lnx = ao+ai(x—\)+a2(x—\)2+as(x—\Ý+a4(x—\)4+.... Využijeme tedy rovnosti x = énx a přeskupením koeficientů Řada tudíž diverguje k +oo. podle mocnin x dosazením dostaneme: li li y_1_ £-> (3« + l)(3«+4) «=0 □ lim __L,..._|__I___L_) „"oo 3 \ 4 T 4 7 T 7 10 T T 3« + l 3«+4/ = lim Hl - t~ti) = i 5.52. Ověřte, že platí n — 1 n—0 Řešení. Ihned je vidět, že 1<1 ± + ± <7-±-± -1 4- -i- + ± + ± < 4-± - i 1 - 1' 22 ^ 32 < L 22 — 2 ' 42 ^ 52 ^ 62 ^ 72 < ^ 42 — 4' resp. obecný odhad _J__i_ ... _i__I_ <- 9« . 1 — _L „ cfi (2")2 (2"+1 —l)2 (2")2 — 2"' Odsud (porovnáním členů obou řad) dostáváme zadanou nerovnost, z níž mj. plyne absolutní konvergence řady X^li ^5- Ještě upřesněme, že je oo , oo T — — — <2— T — „2 6 - - 2' «—1 n—0 □ 5.53. Vyšetřete konvergenci řady «=i Řešení. Pokusme se uvedenou řadu sečíst. Platí oo ^ln^ = Am.(lnf + lnl + lnf + --- + lníiíi) n = \ lim ln 2'3|49:("+1) = lim ln (n + 1) = +oo. □ — ČZq ~t~ d\ 1 2 1 3 1 4 x + -x1 + -x3 -I--x4 + 2 6 24 1 + a2 \ x -\—x + 1 - + a3 ( x + -x + + «0 + ^1* + 1 —a\ + a2\x +| —ai +«2+^3 + 24 + a2 + + a4 'x' 5.54. Prokažte, že řady OO _ oo y- t "2+2"+3y^+4. y- 3" + l £—i & n + l ' £—i n3+n2—n n—0 n—l nekonvergují. Řešení. Protože lim arctg "2+2"+3/^+4 = lim arctg n- = \ + a Porovnáním koeficientů u stejných mocnin nalevo a napravo 1 1 1 .- a3 = -, a4 = --,... lim — = lim t = +co, a0 = 0, a\ = \, a,2 n—>oon ~^~n n n—>oo není splněna nutná podmínka konvergence lim an =0řady^^ an. □ 289 G. ŘADY 4. MOCNINNÉ ŘADY 5.55. Jaký je součet řady E n=2 Řešení. Z nerovností (uvažte graf přirozeného logaritmu) 1 < mn < n, n > 3, n e N plyne >/l < y\ňn~ < yh~, n > 3, n e N. Podle Věty o třech limitách je 1. Řada tedy není konvergentní. Neboť má nezáporné členy, musí divergovat k +oo. □ lim vln« = 1, tj. lim 5.56. Zjistěte, zda řada (*) Ett i «=o (n + l)-3" (b) E «=i oo (c) E H— v 7 t—1 n —ln « « = 1 konverguje. Řešení. Všechny tři uvedené řady mají nezáporné členy, a tak mohou v jednotlivých variantách nastat jen dvě možnosti - součet je konečný, součet je roven +oo. Platí (a) E uzkyTn < E (I)" = TTT< + -oo; «=o «=o „2 (b) E > E = E H +oo; ř7 —1 ř7 —1 ř7 —1 -oo. (c) E —r- > E 1 = v 7 «—ln« — t—i n n — l n — l Odtud plyne, že řada (a) konverguje; (b) diverguje k +oo; (c) diverguje k +oo. □ což skutečně odpovídá platnému výrazu (ověříme později): °° /_i \n — 1 lnx = V-—--(x - 1)". t—1 n n = l Podobně si můžeme pohrát s řadou 1 3 1 5 1 7 smí = t--ť H--ť--ť + ... 3! 5! 7! a zatím neznámou řadou pro její inverzi (všimněme si, že počítáme opět se středem v nule, protože je sin 0 = 0) arcsin t = a0 + ci\t + a2t1 + a3t3 + a4t4 + .... Opět dosazením dostáváme t = a0 + fli (t - ^t3 + ^t5 + ... j + 1 3 1 J + cio + a\t + ci2t + I--a\ + a?, )ř3+ 1 -a.2 + a4 ci]--a-x + a* Ir5 + 120 6 a proto 1 3 3 5 arcsinř = t + -ť H--r + 6 40 (3) Všimněme si také, že kdybychom hned zpočátku uvěřili, že funkci ex můžeme napsat jako mocninnou řadu se středem v nule a že se mocninné řady derivují člen po členu, pak bychom snadno obrdrželi diferenční rovnici pro koeficienty an. Víme totiž (x"+1)' = (n + l)x" a proto z našeho požadavku, že exponenciála má mít v každém bodě derivaci rovnou své hodnotě, vyplývá ln + l n + l an, ao — 1 a odtud už je jasné, že an = ^ 5.57. Aplikací podílového (tzv. dAlembertova) kritéria (viz 5.45) určete, jestli nekonečná řada (a) E «=1 0» E ff ■ «=1 00 (c) E J^T «=1 konverguje. Řešení. Protože (an > 0 pro všechna ň) (a) Um ífctL = um = lim Irífw «^00 3 + -2 ■(" + !) «^00 3(« + l)3 l 1, „2 n"c» (« + !)2 C+D- - lim 4- lim í1 ' ^" řada (a) konverguje; (b) konverguje; (c) nekonverguje (diverguje k +oo). □ 5.58. Aplikací odmocninového (tzv. Cauchyova) kritéria určete, jestli nekonečná řada oo (a) E ln"(« + l) ; « = 1 oo (n±lY2 (b) E «=i oo (c) E arcsin" ^ «=i konverguje. Řešení. Opět máme řady s nezápornými členy, přičemž je (a) lim ?fan = lim j—^ = 0 < 1; «^0o «^0o "ll"tj| («±±Y lim (l + l)" (b) lim tfa = lim VfT = 7°° {3 = f < 1- «^00 «^00 V«3-3 3/ ,im 2« (c) lim zfčhi = lim arcsin ^ = arcsin 0 = 0 < 1. To znamená, že všechny zadané řady konvergují. □ 5.59. Rozhodněte, zda řada 00 (a) E(-l)" ln(l + £); n = l 00 2 (b) E «=1 00 (C) y (-3)" «=1 konverguje. Řešení. Případ (a). Podle 1'Hospitalova pravidla je lim ^ 11% ^ = lim —v-= lim —^ = 1, a proto platí 0oo «=>oo z níž plyne (absolutní) konvergence řady. □ 5.60. Libovolným způsobem dojděte k rozhodnutí o konvergenci alternující řady n « +3«-l . (3n-2)2 ' n = \ (a) E(-l) /u\ V^/'_1\«-l 3n4-3n3+9n-l W i; (5„3_2).4» «=i Řešení. Případ (a). Z toho, že je lim ř7=>00 ihned vyplývá neexistence limity lim = lim ^ = I ^ 0, , . „ (3«-2)2 „ . „ 9«2 9 ' Řada tudíž nekonverguje (není splněna nutná podmínka konvergence). Případ (b). Viděli jsme, že při použití podílového (nebo odmocni-nového) kritéria polynomy v čitateli ani jmenovateli členů řady neovlivňují hodnotu počítané limity. Uvažujme tedy řadu oo n = l pro kterou je lim To ovšem znamená, že rovněž původní řada je (absolutně) konvergentní. □ 5.61. Konverguje řada 00 £ (-1)"+1 arctg «=i Řešení. Posloupnost J2/\/3h| je zřejmě klesající a funkce 1 J «eN y = arctg x rostoucí (na celé reálné ose), a tudíž posloupnost jarctg ^2/\/3h^J je klesající. Je tedy zadána alternující řada splňující, že posloupnost absolutních hodnot jejích členů je klesající. Taková alternující řada konverguje, právě když posloupnost jejích členů konverguje k 0 (tzv. Leibnizovo kritérium), což je ovšem splněno: lim arctg -P= = arctg 0 = 0, ----- fe -/3n b tj- lim f(-l)"+1arctg -ž.) = 0. □ 292 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.62. Zjistěte, jestli řada oo (a) e ^r; n = l (b) e cos (7777 ) konverguje absolutně, příp. neabsolutně (relativně), nebo nekonver-guje. Řešení. Případ (a). Ukázat, že tato řada konverguje absolutně, je snadné. Např. je n — 1 n — 1 n— 0 přičemž druhou nerovnost jsme dokázali dříve. Případ (b). Je vidět, že cos (jtn) = (—1)", n e N. Máme tedy alternující řadu, jejíž posloupnost členů v absolutní hodnotě je klesající. Proto z limity lim 4= = 0 již plyne, že řada konverguje. Zároveň však je oo oo oo n = \ V" n = \ V" « = 1 Řada tak konverguje neabsolutně. □ 5.63. Sečtěte řadu OO , «=i 3" (b) e f; «=o oo (c) e (42*1-1 + 4>) ' n = l 00 (d) e f; «=1 00 ^ 5ľ (3« + l)(3«+4)-«=0 Řešení. Případ (a). Podle defmice je součet řady OO , s iŕjfe-7f) + (7f-7f) + --- + fe-vfe)) = ^(1 + (-7! + 7!) + --- + (-* + ^)-vtT) = 1-Případ (b). Zjevně se jedná o pětinásobek konvergentní geometrické řady s kvocientem q = 1/3, a tudíž je °° 5 °° 1 n 1 15 e yr = 5 e (3) = 5 • YTT = T- «=0 «=0 3 Případ (c). Platí (při substituci m = n — 1) °° 3 2 3 °° 1 2 °° 1 e (42/1-1 + 4>) 4 e (42^-2) ~i~ je e (42^-2) ř7 —1 ř7 —1 ř7 —1 OO OO (3 1 2_\ \p J_ _ 14 /J_\m _ 14 1 _ 14 U 16/ ^ 42m ~~ 16 ^ V16/ — 16 ' 1__L ~~ 15- m=0 m=0 16 293 G. ŘADY 4. MOCNINNÉ ŘADY Řadu lineárních kombinací jsme zde vyjádřili jako lineární kombinaci řad (přesněji řečeno, jako součet řad s vytknutím konstant), což je platná úprava, pokud obdržené řady jsou absolutně konvergentní. Případ (d). Z částečného součtu = ! + £ + £ + +n€N bezprostředně získáváme i* — _L _i_ 2. _i_____i_ ILlL _i_ _íl_ w <= M Je tedy c I_|_±4_±4_...4_J___!l_ „ cfl " 3 — 3 T 32 T 33 T ' 3" 3"+! ' " cl"' Protože lim = 0, dostáváme E £ = Hm f (í„ - f) = f lim E 3T «=1 "->°°*=i !£©' = !(+->) '*=i v 3 Případ (e). Stačí použít vyjádření (jde o tzv. rozklad na parciální zlomky) ---= - ■ —--- ■ neNUÍOl (3« + l)(3«+4) 3 3« + l 3 3«+4' » c ^ " které dává 5^ (3nH 1 s n + l)(3n+4) «=0 lim __L_|_____1__I___L_) „ifrv, 3 \ 4 T 4 7 T 7 10 T T 3« + l 3«+4/ 1 +47 — 3" □ 5.64. Ověřte, že platí 00 00 « —1 n—0 Řešení. Ihned je vidět, že 1 - -1' 22 ^ 32 < L 22 — 2' 42 ^ 52 ^ 62 ^ 72 < ^ 42 — 4' resp. obecný odhad (2«)2 t -r (2«+i_1)2 ^ ^ (2«)2 — 2«' " *= iXK Odsud (porovnáním členů obou řad) dostáváme zadanou nerovnost, z níž mj. plyne absolutní konvergence řady E^i ^2 ■ Ještě upřesněme, že je V — — — <2— V — ^ n2 ~ 6 ^ ^ — 2" * « —1 77— 0 □ 294 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.65. Vyšetřete konvergenci řady oo r ln5±i. t—1 n ti = \ Řešení. Pokusme se uvedenou řadu sečíst. Platí oo i: 1" ^ = ^ (ln f + ln § + ln f + - - - + ln = n=l " 00 lim ln 2W"+1> = lim ln (n + 1) = +oo. «^►00 i-A-i---n n^-oo Řada tudíž diverguje k +00. □ 5.66. Prokažte, že řady OO r. _ oj «=0 «=1 nekonvergují. Řešení. Protože lim arctg "2+2"+3/^+4 = rim arctg >č = z. «^►00 "+1 n^oo " 2 a 1. 3"-1-1 3" lim 3^ 2_ = nm % = +°°, není splněna nutná podmínka konvergence lim a„ = 0 řady E^L«n a« 5.67. Jaký je součet řady 00 Řešení. Z nerovností (uvažte graf přirozeného logaritmu) 1 < mn < n, n > 3, n e N plyne 7T < ^íň^ < ^ n > 3, n e N. Podle Věty o třech limitách (5.20) je lim ^/m~ň = 1, tj. lim -=== = 1. Řada tedy není konvergentní. Neboť má nezáporné členy, musí divergovat k +00. □ 5.68. Zjistěte, zda řada 00 1 o □ (a) E (n + l).3» ' «=0 00 (b) E ^ n = l 00 (c) E—í— v 7 «— ln n « = 1 konverguje. Řešení. Všechny tři uvedené řady mají nezáporné členy, a tak mohou v jednotlivých variantách nastat jen dvě možnosti - součet je konečný, součet je roven +00. Platí 00 00 (a) E T^TW * £ (5)" = JIT < +°°; «=0 «=0 295 G. ŘADY 4. MOCNINNÉ ŘADY n — 1 n — 1 n — 1 oo oo (c) E —í— > E 1 = +°°- n — \ n — \ Odtud plyne, že řada (a) konverguje; (b) diverguje k +oo; (c) diverguje k +oo. □ 5.69. Aplikací podílového (tzv. d Alembertova) kritéria určete, jestli nekonečná řada (a) £ n = \ oo (b) E ff; «=i oo (c) E J^T «=1 konverguje. Řešení. Protože (an > 0 pro všechna ň) (a) Um £,±1 = Um f^±^ = lim f-^g = lim ^ = w „^oo a« „^0o3"+1-2»-(n+l)3 „^^ 3(« + l)3 „^oo 3"3 i ^ = }™ (S • £) = = o< i; (C) lim Z*± = lim f, i"t2Tt!n, • ^) = lim 7^2 • V J „^oo „^oo V(« + D2-(« + l)! «" / „^oo (« + D2 lim &±P- = lim 4 • lim (l + L)" = 1 • e > 1, řada (a) konverguje; (b) konverguje; (c) nekonverguje (diverguje k +oo). □ 5.70. Aplikací odmocninového (tzv. Cauchyova) kritéria určete, jestli nekonečná řada oo (a) E ln"(« + l) ; « = 1 oo (n±lY2 (b) E «=i oo (c) E arcsin" ^ «=i konverguje. Řešení. Opět máme řady s nezápornými členy, přičemž je (a) lim ýä^ = lim j—^ = 0 < 1; «^0o «^0o "l't1' f-±l)" lim (l + l)" (b) lim ^ = lim = 7°°V "(3 = f < 1; «^oo «^oo v« -3 3/ lim (c) lim ŕ/ä~^ = lim arcsin Ij- = arcsin 0 = 0 < 1. To znamená, že všechny zadané řady konvergují. □ 5.71. Rozhodněte, zda řada 00 (a) E(-l)" ln(l + £); n = l 00 2 (b) E «=1 296 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO (C) v (~3)* Z. (6+(_i)«)» «=1 konverguje. Řešení. Případ (a). Podle 1'Hospitalova pravidla je lim ——- = lim ———-,-= lim —4- = 1, a proto platí 000 lim .,.. 2 = lim t7t = lim érr = +°°- >oo (n + l)!-2» ~~ «->oo " + 1 ~~ «->oo " + 1 Řada tedy nekonverguje. Případ (c). Nyní použijeme obecnou verzi odmocninového kritéria lim sup y\a„ I = lim sup 6+(3_l)n = | < 1, z níž plyne (absolutní) konvergence řady. □ 5.72. Libovolným způsobem dojděte k rozhodnutí o konvergenci alternující řady (a) £(-!)" " +3""1" ^_ (3«-2)2 « = 1 3«4-3«3+9«-l « = 1 /u\ 3« -3« +9«- W Z^ ^ (5«3-2)-4« Řešení. Případ (a). Z toho, že je lim = lim £ = I ^ o, „^oo (3«-2)2 „=.00 9" 9 ihned vyplývá neexistence limity Řada tudíž nekonverguje (není splněna nutná podmínka konvergence). Případ (b). Viděli jsme, že při použití podílového (nebo odmocninového) kritéria polynomy v čitateli ani jmenovateli členů řady neovlivňují hodnotu počítané limity. Uvažujme tedy řadu 00 n = l pro kterou je lim 2»±i To ovšem znamená, že rovněž původní řada je (absolutně) konvergentní. □ 297 G. ŘADY 4. MOCNINNÉ ŘADY 5.73. Konverguje řada 00 £(-l)"+1arctg- n — 1 n — 1 n—0 přičemž druhou nerovnost jsme dokázali dříve. Případ (b). Je vidět, že cos (jtn) = (—1)", n e N. Máme tedy alternující řadu, jejíž posloupnost členů v absolutní hodnotě je klesající. Proto z limity lim 4= = 0 již plyne, že řada konverguje. Zároveň však je oo oo oo „ti „ti ^ " „ti" Řada tak konverguje neabsolutně. □ 5.75. Ukažte, že tzv. harmonická řada oo ^ i i diverguje. 298 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO p5.26 Řešení. Pro libovolné přirozené k je součet prvních 2k členů řady větší než k/2: 1111111 1 + 2+3 + 4+5 + 6 + 7 + 8+---' 1,1_i •4+4-2 I4.i4_i4.i-i ' 8 + 8 + 8 + 8 — 2 součet členů od 2l + 1 do 2l+l je totiž vždy větší než 2'-krát (jejich počet) číslo 1 /2l (nejmenší z nich), což je dohromady 1 /2. □ 5.76. Rozhodněte o následujících řadách, jestli konvergují či divergují: 00 i) £ - « = 1 00 íí) £4= « = 1 "0 E 1 «=1 iv) £ 2100000 1 «=1 (1+0" Řešení. i) Budeme zkoumat konvergenci podílovým kritériem: 2(n + 1) 2n+\ lim an + \ = lim n + 1 2« n lim 2 > 1, řada tedy diverguje. ii) Odhadneme řadu ze spodu: víme, že pro libovolné přirozené n platí i < . Pro posloupnost částečných součtů s„ zkoumané řady a posloupnost částečných součtů harmonické řady s'n tedy platí: n ^ H \ ;=i y ;=i A protože harmonická řada diverguje (viz předchozí příklad), diverguje i její posloupnost částečných součtů {sfn }%Li, tedy diverguje i posloupnost částečných součtů {s„}™=l, tedy diverguje i zadaná posloupnost. iii) Diverguje, jedná se o násobek harmonické řady. iv) Jedná se o geometrickou řadu s koeficientem j^j, ta bude konvergovat, bude-li absolutní hodnota koeficientu menší než 1. Víme, že 1 1 - i 11 íl f V2 i-1 = i-1 = I---i\ =J- + - = '2 2 1 V 4 4 1 + i 2 2 2 V4 4 2 řada tedy konverguje a umíme ji dokonce sečíst: ~ 1 1 1 + i < 1, E «=1 (l + 0" l 1 l+i 1 - i. 299 H. MOCNINNÉ ŘADY 4. MOCNINNÉ ŘADY □ Další příklady k číselným řadám naleznete na straně 311 H. Mocninné řady V předchozí podkapitole jsme zkoumali, jestli lze přiřadit smysl součtu nekonečně mnoha čísel. Nyní se budeme zajímat o to, jaký může mít význam součet nekonečně mnoha funkcí. Pokud se omezíme 5.77. Určete poloměr konvergence následujících mocninných řad: oo i) £ 2-jč « = 1 íí) e 1 x" n = \ (1+0" Řešení. i) 1 an+l 1 2' lim sup viz úloha ??. Daná mocnina řada tedy konverguje pro reálná x € {—\, \), případně pro komplexní \x\ < Všimněme si, že řada je divergentní pro x = j (jde o harmonickou řadu) a naopak konverguje pro x = — j (alternující harmonická řada). Rozhodnout o konvergenci pro libovoné x ležící v komplexní rovině na kružnici o poloměru ^ je těžší otázka a přesahuje rámec našeho kurzu, ii) Opět díky přechozímu příkladu víme, že 1 lim sup 1 (l + 0" lim sup 1 + i V2 2 ' je tedy poloměr konvergence dané mocninné řady r = V2- □ 5.78. Určete poloměr konvergence r mocninné řady (a) E^*"; «=i oo (b) E(-4«)"x"; n = l oo 2 (O EO + í)" «=i (d) E (2+(-i)»)» x"- «=1 Řešení. Platí i _ i. 8 ' (a) lim y\a„ | = lim (b) lim VI an I = lim 4n = +oo; 300 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO (c) lim ý\aT\ = lim (1 + i) = e; (d) lim sup y\a„ \ = lim sup 2+^)„ = lim sup 2^}l)n = 1 • n^-oc n^-oc n^-oc Proto je poloměr konvergence (a) r = 8, (b) r = 0, (c) r = 1 /e, (d) r = 1. □ 5.79. Stanovte poloměr konvergence r mocninné řady JV+n-3* 00 3—-š- ľe" /"3+"'3" (jc-2)". Řešení. Poloměr konvergence libovolné mocninné řady se nezmění, pokud posuneme její střed nebo nahradíme koeficienty členů tak, že se nezmění jejich absolutní hodnota. Určeme tedy poloměr konvergence řady OO - y yV+« -3" x„ Protože lim = f lim ^/ň) =1 pro a > 0, můžeme dále přejít k řadě OO «=1 se stejným poloměrem konvergence r = jt/3. □ 5.80. Nalezněte přibližnou hodnotu čísla sin 1° s chybou ostře menší než lfr10. Řešení. Víme, že je OO sinx = x- ±x3 + ±x5-±x7-\----= T -j^rr-rx2n+\ x eR. 3! 5! 7! t—i (2n + l)! ' «=0 Dosadíme-li x = 7r/180, pak částečné součty řady vpravo budou aproximacemi sinl°. Zbývá určit počet členů, které je třeba sečíst, aby chyba byla prokazatelně menší než 10~10. Číselná řada _k___\_ (JL.Ý i _L (JI_)5__L (JI-)7 J- = V (-1)" ( jt \2n+l 180 3! V180/ 5! V180/ 7! V 180/ — 2^ (2« + l)! V180/ «=0 je alternující s vlastností, že posloupnost absolutních hodnot jejích členů je klesající. Pokud libovolnou takovou konvergentní řadu nahradíme jejím částečným součtem, chyba, jíž se tím dopustíme, bude menší než absolutní hodnota prvního členu uvažované řady nezahrnutého do částečného součtu. (Důkaz tohoto tvrzení uvádět nebudeme.) Chyba aproximace cin 1 ° ss JL___iň_ S1U 1 180 1803-3! je tak menší než < irr10 1805-5! 1U • □ 301 H. MOCNINNÉ ŘADY 4. MOCNINNÉ ŘADY 5.81. Sečtěte: 2 12 12 2 + 1 + 2! + 3! + 4!+5! + 6Í + Řešení. Porovnáme-li tvar součtu s rozvojem funkcí sinh a cosh do mocninných řad, dostáváme výsledek sinh(l) +2cosh(l). □ 302 KAPITOLA 5. ZŘÍZENI ZOO Polynomy Topologie I. Doplňující příklady k celé kapitole 5.82. Určete polynom P(x) co nejmenšího stupně splňující podmínky P(l) = 1,P(2) = 28, P(0) = 2, P'(0) = 1, P'(l) = 9. 5.83. Určete polynom P(x) co nejmenšího stupně splňující podmínky P(0) = 0, P(l) = 4, P(-l) = -2, P'(0) = 1, P'(l) = 1. 5.84. Určete polynom P(x) co nejmenšího stupně splňující podmínky P(0) = —1, P(l) = —1, P'(-l) = 10, P'(0) = -1, P'(l) = 6. 5.85. Určete suprema a infima množin í (-1)" A = (—3, 0]U(1,7r)U{6}; B ■ n e N ; C = (-9, 5.86. Nalezněte sup A a inf A pro ;neN CK Limity 1 ;neN}, J = (0,2]U[3,5]\{4), 5.87. Je-li N = {l,2,...,n, ...}, M = stanovte inf N, sup M., inf J a sup J7" v M. 5.88. Napište příklad množiny M c M, která nemá v M infimum, ale má zde supremum; a udejte příklad množiny JVcK, která nemá v M supremum, ale má zde infimum. 5.89. Uvedte podmnožinu X množiny M, pro kterou je sup X < inf X. 5.90. Udejte příklad množin A, S, C c R takových, aby platilo ADB = 0, AHC = 0, SnC = 0, sup A = inf B = inf C = sup C. 5.91. Vypočtěte limity lim 1 — cos (2jc) x^o xsmx Řešení. Využijeme faktu, že smx lim x^O X lim x^O 1. 1 — COS x Snadno získáváme 1 — cos (2x) lim-;- x^o x sin x lim x^O lim x^O 1 — (cos2 x — sin2 x) x sin x (l — cos2 x) + sin2 x x sin x 2 sin x sin x lim -:- = lim 2- x^o x sinx x^o x 303 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. MOCNINNÉ ŘADY resp. 1 — cos x (1 — cos x 1 + cos x \ 1 — cos2 x lim---= lim---•- = lim 0 \ X2 1 + cos X ) x^O X2 (1 + cos x) sin2 x / sinx\2 1 1 lim —-= lim - • lim >0 X2 (1 + cosx) \*->0 X / 1 + cosx 2 Dodejme, že jsme také mohli hned použít vyjádření 1 — cos (2x) = 2 sin2 x, x € M. 5.92. Z definice limity dokažte, že je lim (x3 - 2) = -2. x^O V ' 5.93. Z definice limity určete (l+x)2-3 lim -, x^-i 2 tj. mj. napište 8(s)-předpis jako v minulém příkladu. 5.94. Ukažte z definice limity, že ,. 3 (x - 2)4 lim -= +oo. X^—QO 2 5.95. Stanovte ,1 2 n — 2 n — 1 J™. [- + - + ■■■ + —T- + —— 5.96. Vypočítejte V«3 - llrc2 +2 + fVn1 - 2n5 - n3 - n + sin2 n lim - 2 - V5«4 + 2«3 + 5 5.97. Určete limitu n! + (n -2)! - (n -4)! lim «^cx) n50 + n\ — (n — 1)! □ 5.9& Udejte příklad posloupností majících nevlastní limity se členy x„, y„, n e N, pro které je lim (x„ + y„) = 1, lim (x„ y2) = +oo. 5.99. Napište všechny hromadné body posloupnosti dané členy (-l)n2n a„ = , n € ÍM. V4«2 + 5n + 3 304 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.100. Spočtěte lim sup an a lim inf an, je-li n -- n2 + 9 4 n2 + 4« — 5 9 «7T a„ =--- sin —, n e N. 5.101. Určete 1 \" říjr lim inf ((-!)«(! + - +sin^j- 5.102. Určete obě jednostranné limity 1 1 lim arctg —, lim arctg —. x^0+ X x^O- X Na základě výsledku rozhodněte o existenci limity 1 lim arctg —. x^O X 5.103. Existuje některá z limit siní 5x + 1 lim ——, lim -? x^O X3 x^O X 5.104. Vypočtěte limitu tg x — sin x lim-t- sin x 5.105. Určete 2 sin3 x + 7 sin2 x + 2 sin x — 3 lim -t---. x^jt/6 2 sin x + 3 sin x — 8 sin x + 3 5.106. Pro libovolné m, n e N určete x™ - 1 lim -. x^l X" - 1 5.107. Určete 5. i OS. Stanovte lim (y x2 + x —x) :=>+oo V / lim (x Vl + x2 - x2 ) 5.i09. Vypočítejte ,. V2-vr + cosx lim- sin2x 305 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. MOCNINNÉ ŘADY 5.770. Určete 5.777. Spočtěte lim sin (4x) >o Vx + 1 - 1 lim x^O- VT + tgx - v/l -tgx sin x 5.772. Stanovte lim 2X + Vl + x2 - x9 - 7x5 + 44x2 3* + V6x6 + x2 - 18x5 - 592X4 5.113. Nechť lim^ funkci g : R -» R? 5.774. V jakých bodech x € M je funkce /(x) = 0. Je pravda, že lim^-cxX/Xx) • g(x)) = 0 pro každou rostoucí v = cos í arctg í I 12x21 + 11 ;,cos(a- + 2)-a-j -11 .12 I +sin (sin (sin (sin x))) s maximálním definičním oborem spojitá? 5.115. Rozhodněte, zdaje funkce /(*) x, 0, x, 0, x, x < 0; 0 < x < 1; x = 1; 1 < x < 2; 2 < x < 3; x > 3 spojitá; spojitá zleva; spojitá zprava v bodech — n, 0, 1, 2, 3, tt. 5.116. Dodefinujte funkci f(x) = arctg ^1 + • sin2x5, ie8\{0) pro x = 0 tak, aby byla v tomto bodě spojitá. 5.117. Uvedte pel, pro které je funkce sin (6x) m fix) = x e R \ {0}; /(0) = p 3x spojitá v počátku. 5.118. Zvolte reálnou hodnotu a tak, aby funkce x4- 1 h (x) =-—, x>l; h (x) = a, x < í x - 1 byla spojitá v 5.119. Libovolným způsobem ověřte, že je ď - 1 lim -= 1. x^0 X 306 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.120. Vypočtěte lim —-—; lim sin8 x sin8 x Derivace L'Hospital 5.121. Určete limitu . 2n-l / n lim - n^oo \n + 5 5.122. Spočítejte sin x — x lim---. x^O- X3 5.123. Nechť je pohyb tělesa (dráha hmotného bodu) popsán(a) funkcí s(ř) = -(ř - 3)2 + 16, f e [0,7] v jednotkách m, s. Stanovte (a) počáteční (tj. v čase t = 0 s) rychlost tělesa; (b) čas a polohu, ve kterých má těleso nulovou rychlost; (c) rychlost a zrychlení tělesa v čase t = 4 s. Doplňme, že rychlost je derivace dráhy a zrychlení je derivace rychlosti. 5.124. Určete limitu ^hm ((!-,) tg T). 5.125. Stanovte tSm-((f-x)tgx)- 5.126. Pomocí 1'Hospitalova pravidla určete xiíľooK3'-2')*) 5.127. Vypočtěte 1 1 lim i \ 2 ln x x2 — 1 5.128. Užitím l'Hospitalova pravidla spočtěte limitu ( 2 2 lim cos — 5.129. Doplňte lim (1 — cosx)s x^O 307 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. MOCNINNÉ ŘADY 5.130. Určete následující dvě limity lim x^> lim x^> Extrémy ves7 8 63k přičemž a e M je libovolné. 5.131. V čase t = 0 vyjelo auto z bodu A = [5, 0] rychlostí 4 jednotky za sekundu směrem (—1, 0). Ve stejném čase vyjelo druhé auto z bodu B = [—2, —1] rychlostí 2 jednotky za sekundu směrem (0, 1). Kdy si budou auta nejblíže a jaká bude tato vzdálenost? Řešení, t = 1, 5s, vzdálenost V5 jednotek. □ 5.132. Vrtulník dálniční hlídky letí 3 km nad rovnou silnicí rychlostí 120 km/h. Pilot zaměří radarem auto jedoucí proti směru letu vrtulníku a naměří, že auto se při vzdušné vzdálenosti 5 km od vrtulníku k němu přibližuje rychlostí 160 km/h. Spočítejte rychlost auta (vůči předmětu pohozenému na vozovce). Řešení. Pro jednoduchost budeme v celém příkladu vynechávat fyzikální jednotky, a to kilometry pro dráhu a hodiny pro čas (rychlost tedy bude v km/h). Pozici vrtulníku v čase t vyjádřeme bodem [y(ř), 3] a auta potom bodem [x(t), 0]; tj. 1 jednotka na osách odpovídá 1 km a současně osy volíme tak, aby „auto jelo po ose x". Jako s(t) označme vzdušnou vzdálenost vrtulníku od auta a jako ř0 ten časový okamžik, ze kterého jsou údaje v zadání. Spočtěme rychlost auta vzhledem k předmětu umístěnému do počátku soustavy souřadnic. Můžeme předpokládat, že x(t) > y(t) > 0. Za tohoto předpokladu je x'(t) < 0, ý (t) > 0 pro uvažovaná t. Auto se totiž blíží k bodu [0, 0] zprava - hodnota x(t) se zmenšuje pro zvětšující se t, a tudíž x'(t) < 0. Podobně dostáváme y'(ř) > 0 a také s'(t) < 0. Ještě dodejme, že např. / (ř) udává, jak rychle se mění funkce y v čase t, tedy rychlost vrtulníku. Víme, že je s (t0) = 5, s' (to) = -160, y (t0) = 120 a že platí (s(t) je přepona pravoúhlého trojúhelníku) (5.13) (x(t) Odtud plyne (x(t) > y(t) > 0) y(ř)) 2 + 32 s2(t). (x (to) - y (to))2 + 32 = 52, tj. x (to) - y (to) = 4. Derivováním identity (5.13) získáváme 2(x(ř)-y(0) (x'(t)-y'(t)) =2s(t)s'(t) a následně pro t = t0 2 ■4(x'(to) - 120) =2-5- (-160), tj. x'(ř0) = -80. Vypočítali jsme, že auto se blíží k předmětu na vozovce rychlostí 80 km/h. Stačí si uvědomit, s jakými jednotkami jsme pracovali. To, že jsme jako výsledek obdrželi zápornou hodnotu, je pak zapříčiněno naší volbou souřadnicového umístění. □ 5.133. Rozlehlý vojenský prostor (nadále zkráceno na VP) s půdorysem čtverce o rozloze 100 km2 je kolem dokola ohraničený úzkou cestou. Z výchozího místa v jednom rohu VP se lze dostat do cílového místa uvnitř VP tak, že se jde 5 km po cestě a poté 2 km kolmo k ní. Ovšem můžete jít libovolnou dobu po cestě rychlostí 5 km za hodinu a potom šikmo přes VP rychlostí 3 km za hodinu. Kolik (kilo)metrů musíte jít po cestě, abyste došli na místo určení co nejdříve? 308 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO Řešení. K tomu, abychom po cestě ušli x km, přičemž x e [0, 5], potřebujeme x/5 hodin. Naše cesta přes VP pak bude měřit V22 + (5 - x)2 = Vx2 - lOx + 29 kilometru a ujdeme ji za Vx2 — lOx + 29 /3 hodin. Celkem bude naše cesta trvat f (x) = \x + |Vx2 - lOx + 29 hodin (připomeňme, že x e [0, 5]). Jediný nulový bod funkce /'(x) = \ + 1 *"5 5 ' 3 v*2-10*+29 je x = 7/2. Protože derivace /' existuje v každém bodě intervalu [0, 5] a protože /(I) = ?|1 l>2 na intervalu [0, /]. Navíc lze předpokládat, že v\ < v2. (Pro v\ > v2 je nepochybně nejrychlejší veslovat přímo k cílovému místu, čemuž odpovídá x = l.) Nejprve vypočítáme první derivaci a poté druhou Dále vyřešíme rovnici Jejím umocněním obdržíme Jednoduchá úprava tak již dává ť'(x)= ,S xe(0,Z). v^(S+x2ý ř'(x) = 0, tj. X2 v-2 _ V "2/ a ^ ,-j v _ "2 a 1- '"•x JS+X2 v2' (s)2(d2+-)- Uvědomme si, že uvažujeme pouze x € (0,1). Zajímá nás proto, zdaje ^ d < l. 309 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. MOCNINNÉ ŘADY vesfrdq3 (5.14) Tuto nerovnici můžeme umocnit a upravovat podobně jako rovnici ť(x) = 0 se ziskem l v2 y/f + d2 ' Pokud je tato nerovnost splněna, je rovněž v\ < v2 a funkce ť mění znaménko pouze v bodě x0 J2_ a to ze záporného na kladné (uvažte limx^0+ ť(x) < 0 a t"(x) > 0, x e (0, /)). To znamená, že v tomto případě je v bodě xq globální minimum funkce t na intervalu [0, /]. Jestliže nerovnost (5.14) splněna není, pak je ť(x) < 0 pro všechna x e (0, Z), odkud plyne, že globální minimum funkce t na [0, Z] je v pravém krajním bodě (funkce t je na svém definičním oboru klesající). Nejrychlejší cesta tedy bude trvat t (x0) Dl ' V2 dv2+lv\ !_fa)2_id V "2/ "2 N dv2 HH V2 ■v~±d "2 HZ) HHH platí-li (5.14), a + — hodin, v2 □ když (5.14) neplatí. 5.135. O dům je opřený žebřík dlouhý 13 stop. Náhle základna žebříku podklouzne a žebřík začne sjíždět k zemi (stále zůstává opřený o dům). Když je základna žebříku 12 stop od domu, klouže od něj rychlostí 5 ft/s. Jak rychle v tomto okamžiku (a) klesá vršek žebříku po zdi; (b) se mění obsah trojúhelníku vymezeného žebříkem, domem a zemí; (c) se mění úhel, který svírá žebřík se zemí? 5.136. Předpokládejte, že vlastníte dostatek finančních prostředků bez možnosti investovat mimo svou továrnu s působností na cenově regulovaném trhu s takřka neomezenou poptávkou a omezeným přístupem k některým klíčovým surovinám, což Vám umožňuje produkovat nejvýše 10000 výrobků denně. Víte, že pro hrubé výnosy v a náklady n jako funkce proměnné x, udávající v tisících průměrný počet výrobků vyrobených za den, platí v(x)=9x, n(x) = ŕ - 6x2 + 15x, x e [0, 10]. Při jakém objemu výroby budete mít z Vaší továrny největší zisky? 5.137. Zvolte rozměry otevřeného bazénu se čtvercovým dnem o objemu 32 m3 tak, aby na natření jeho stěn a dna bylo potřeba nejmenší množství barvy. 5.138. Číslo 28 rozložte na 2 nezáporné sčítance tak, aby součet druhé mocniny prvního sčítance a třetí mocniny druhého sčítance byl minimální. 5.139. Pomocí první derivace nalezněte reálné číslo a > 0, pro které je součet a + l/a minimální. Poté tuto úlohu řešte bez použití diferenciálního počtu. 5.140. Vepište do půlkruhu o poloměru r obdélník s největším možným obvodem. Uvedte jeho obvod. 310 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.141. Existuje-li mezi obdélníky o obvodu 4c obdélník s maximálním obsahem, stanovte délky jeho stran. 5.142. Zjistěte výšku v a poloměr podstavy r nej objemnějšího kužele, který se vejde do koule o poloměru R. 5.143. Ze všech trojúhelníků s konstantním obvodem o > 0 vyberte ten, jenž má největší obsah. 5.144. Na parabole 2x2 — 2y = 9 najděte body s minimální vzdáleností od počátku soustavy souřadnic. 5.145. Vaším úkolem je vyrobit jednolitrovou plechovou konzervu „obvyklého" tvaru rotačního válce tak, aby na její výrobu bylo potřeba co nejméně plechu. Určete správný poměr mezi její výškou v Racjy I a poloměrem podstavy r. 5.146. Do čtverce o délce strany a > 0 je vepsán čtverec, jehož strany jsou spojnicemi středů stran zadaného čtverce. Do vepsaného čtverce je stejným způsobem vepsán další čtverec atd. Stanovte součet obsahů a součet obvodů všech těchto (nekonečně mnoha) čtverců. 5.147. Nechť je dána posloupnost řádků půlkruhů, přičemž v n-tém řádku je 2" půlkruhů o poloměru 2~" pro každé /iěI Jaký bude obsah libovolného obrazce složeného ze všech těchto půlkruhů, když nebudou umístěny přes sebe? 5.148. Vyřešte rovnici 5.149. Určete 5.150. Sečtěte 1 - tgx + tg2x - tg3x + tg4x - tg5x + • • • = oo E (y^T + y^i") «=1 E >frl2 +2/1 + 1. n = l 5.151. Dokažte konvergenci a nalezněte součet řady oo 3"+2" E 6" «=1 5.152. Stanovte součet řady oo (a) E n = \ oo (b) E «=o 5.153. Sečtěte 1,1,1 — + — + — + ••• = V — 1-3 T 3-5 T 5-7 T ^ (2n 1)(2« + 1)- n = l 5.154. Pomocí rozkladu na parciální zlomky vyčíslete oo (*) E ^; «=2 (k) E „3+3„2_|_2„ • n = l 5.155. Sečtěte konvergentní řadu 311 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. MOCNINNÉ ŘADY 5.156. Určete součet řady oo t— 4«2-l ' «=0 T 1 t—i n2+3n ' « = 1 5.157. V závislosti na s — y (-i)""' = i_I+i_i + i_i+I_I + ... A ■— Z-^ n 2^3 4^5 6^7 8 ^ « = 1 vyjádřete součty řad (i-|-i) + (i-6-|) + ---; 0 + + G + + které z výše uvedené řady vznikly přerovnáním (tj. změnou pořadí členů). 5.158. Zjistěte, zda řada oo y- 2"+(-2)" «=0 konverguje. 5. i 59. Dokažte následující tvrzení: Jestliže řada E«*=o a" konverguje, pak je lim sin(3čz„+7r) = 0. řř—> oo 5.160. Pro j aké hodnoty ctel; j6eZ; j/et\{0) řady oo oo oo n ' nn ' y" « = 120 «=240 «=360 konvergují? 5.161. Rozhodněte, zda řada E (-i)" «=21 konverguje absolutně, konverguje neabsolutně (relativně), nebo nekonverguje. 5.162. Zjistěte, jestli je limita lim l\ + \ + • • • + 2^) «=>oo V" " " 7 vlastní. Upozorněme, že k tomu nelze využít součtů co . oo 5.163. Najděte všechna reálná čísla A > 0, pro která řada E(-l)"ln(l + A2") «=i konverguje. 5.164. Zopakujme, že harmonická řada diverguje; tj. platí oo E 1 = +°°- t—i « « = 1 Rozhodněte, zda také řada t + '''+9+tt + ''' + ]7j + 27~'~'''~'~29~'~''' ...-L-L-L...-1--L-1—i—._|—!—i—!— 91 T 99 T 111 T T 119 T 121 ^ 312 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO diverguje. 5.165. Udejte příklad divergentních číselných řad e^li an> e^li ^« s kladnými členy, pro které řada e^li (3a„ — 2bn) absolutně konverguje. 5.166. Zjistěte, zda jednotlivé řady oo Er_1V ZIT- V" ( 1 \n "' —rT+n y ' (2n)!' í> „8+2„6_|_„ \h ("O2. ^ (2n)!' « —1 n — 1 konvergují absolutně, konvergují neabsolutně, či nekonvergují 5.167. Konverguje řada «=1 5.168. Nalezněte hodnoty parametru pel, pro které řada oo £(-D" sin"f «=i konverguje. 5.169. Určete poloměr konvergence r mocninné řady oo 22"-«! « 2^ (2n)! A • «=0 5.170. Stanovte poloměr konvergence pro eí^Li z%/" x" ■ 5.171. Bez počítání uvedte poloměr konvergence mocninné řady y — n.yi- « = 1 5 ^.«-1 5.172. Nalezněte obor konvergence mocninné řady 3V« y ^2±ijc". «=1 5.173. Určete, pro jaká iéM řada e <-3); (x-2)" ^ v/«4+2«3 + lll konverguje. 5.174. Je pro libovolnou posloupnost reálných čísel {fl«}^0 poloměr konvergence mocninných řad oo oo e«„x", e^ir-*" ř7—0 ř7 —1 stejný? 5.175. Rozhodněte o platnosti implikací: (a) Pokud existuje vlastní limita lim 3^/a2, pak mocninná řada ř7^*00 OO e an(x — xd)" « = 1 konverguje absolutně alespoň ve dvou různých bodech x. (b) Z neabsolutní konvergence řad e^Li a«' e^Li ^« plyne> že rovněž řada e^Li(6fl« — 5bn) konverguje. (c) Jestliže pro číselnou řadu e^Lo a» Je lim a\ = 0, pak tato řada konverguje. 313 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. MOCNINNÉ ŘADY E - n=\ (d) Pokud řada E^i al konverguje, potom řada konverguje absolutně. 5.176. Určete cos ^ s chybou menší než 10~5. 5.177. Pro konvergentní řadu oo L V^"+100 n=0 odhadněte chybu aproximace jejího součtu částečným součtem s<_ 999. 5.178. Bez počítání derivací uvedte Taylorův polynom 4. stupně se středem v bodě x0 = 0 funkce f(x) = cosx — 2sinx — ln (1 +x) , x e (—1, 1). Poté rozhodněte, zdaje graf funkce / v okolí bodu [0, 1] nad tečnou, pod tečnou. 5.179. Rozviňte funkci ? = 3=27' *€ K'D v Taylorovu řadu se středem v počátku. 5.180. Funkci y = ex definovanou na celé reálné přímce vyjádřete jako nekonečný polynom se členy tvaru a„(x — 1)" a funkci y = 2X definovanou na IR vyjádřete jako nekonečný polynom se členy anxn. 5.181. Nalezněte funkci /, k níž pro x e M konverguje posloupnost funkcí Je tato konvergence stejnoměrná na M? 5.182. Konverguje řada 00 E-rr-. kde xeR, n = l stejnoměrně na celé reálné ose? 5.183. Z Taylorova rozvoj e se středem v počátku funkce y = sin x získejte pomocí derivace Taylorův rozvoj funkce y = cos x. 5.184. Odhadněte (a) kosinus deseti stupňů s přesností alespoň 10~5; (b) určitý integrál /Q1/2 -^-j- s přesností alespoň 10"3. 5.185. Určete mocninný rozvoj se středem v bodě x$ = 0 funkce x f{x) = j e'2 dt, x e M. o 5.186. Najděte analytickou funkci, jejíž Taylorova řada je JC ^ JC ~~\ ^ .v -j ~~\ přičemž x e [— 1, 1]. 5.187. Ze znalosti součtu geometrické řady odvodíte Taylorovu řadu funkce 1 -V — 5+2x 314 KAPITOLA 5. ZŘÍZENI ZOO se středem v počátku. Poté určete její poloměr konvergence. 5.188. Užitím integrálního kritéria nalezněte hodnoty a > 0, pro které řada oo y - «=i konverguje. 5.189. Pro jaká x e R řada konverguje? 5.190. Rozhodněte, zda řada oo konverguje absolutně, příp. relativně, nebo zda diverguje k +oo, resp. k — oo, či nic z toho (říkáme, že osciluje). Elnu n « = 1 ln(n!) 5.191. Stanovte součet číselné řady oo y -J- « = 1 pomocí součtu vhodné mocninné řady. 5.192. Prox e (-1, 1) sečtěte x - 4x2 + 9x3 - 16x4 + 5.193. Je-li | x | < 1, určete součet řady (a) E 1 J2n-1. 2n-l « = 1 oo (b) Y,n2xn-\ n = l 5.194. Spočtěte pomocí součtu mocninné řady pro jisté x e (—1, 1). 5.195. Pro x e R sečtěte řadu E 2n-l (-2)"-1 n = \ E(-l)" (2n + l) r «=o 2« E 2"-«' X «=0 1 Jin + 1 315 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. MOCNINNÉ ŘADY Řešení cvičení 5.2. P(x) = (-§ - f/)*2 + (2 + 3i)x - | - f i. 5.82. x4 + 2X3 - x2 + x - 2. 5.83. x4 + 2xi -2x2 + x + 2. 5.84. x4 + 3x3-3x2-x- 1. 5.85. sup A — 6, inf A — — 3; supB=i, inf B = —1; sup C = 9, infC = -9. 5.86. Lehce lze ukázat, že 3 sup A — -, inf A = 0. 5.87. Zřejmě je inf N =1, sup M = 0, inf J = 0, sup J" = 5. 5.55. Lze položit kupř. M:=Z\N: TV := N. 5.59. Uvažte jakoukoli jednoprvkovou množinu Xcl. 5.90. Množina C musí být jednoprvková. Nechť je tedy např. C — {0}. Nyní můžeme zvolit A — (—1,0), B = (0, 1). 5.92. Pro každé e > 0 stačí e-okolí bodu —2 přiřadit á-okolí bodu 0 předpisem přičemž bez újmy na obecnosti lze požadovat, aby e < 1. Pokud by totiž bylo e > 1, lze položit 5 = 1. 5.93. Existence limity a rovnost ,. (l+.v)2-3 3 lim -= — x^-\ 2 2 např. opět plyne z volby S := e pro e e (0, 1). 5.94. Neboť — (x — 2)4 < x pro x < 0, dostáváme 3 (x — 2)4/2 > —x pro x < 0. 5.95. Platí /l 2 n-2 n-[\ /1+n-l «-l\ 1 lim — + — + ••• + + —j- = hm----— = -. n^qq \ fi~ n- nL nL ) «^oo \ nL 2)1 5.96. Snadno lze ukázat, že Vn3 - lln2 + 2 + Vn7 - 2n5 - n3 - n + sin2 n lim - -= — oo. 2 - V5n4 + 2«3 + 5 5.97. Limita je rovna 1. 5.95. Kupř. lze položit xn :— n, yn :— —n +1, n € N. 5.99. Správná odpověďje ±1. 316 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.700. Výsledek je lim sup an — 1, lim inf an — 0. 5.707. Platí i „i 1 \ " nit \ V2 lim inf ((-!)"(! + -) + sin — j = -e - -_. 5.702. Neboť 1 71 1 71 lim arctg — — —, lim arctg — —--. Jtr=>0+ X 2 Jtr=>0- X 2 uvažovaná oboustranná limita neexistuje. 5.103. První z limit je rovna +oo, druhá neexistuje. 5.104. Limitu lze spočítat více způsoby. Nabízí se např. tg x — sin x / tg x — sin x cotg x lim---= lim x^o sin3x *->0 V sin3x cotgx 1 — COS X 1 — COS X = lim--— = lim x^O cos x • sin2 x cos x (l — cos2 x) 1 1 = lim >0 cosx (1 + cosx) 2 5.705. Platí 2 sin3 x + 7 sin2 x + 2 sin x — 3 sin x + 1 lim -^-r-= lim -= —3. *->jt/6 2sin3x + 3 sin2 x - 8 sin x + 3 x^n/6 sin x - 1 5.706. Je x™ — 1 m lim - = —. x" — 1 n 5.107. Po rozšíření výrazem Vx2 + x +. Vx2 + x +. lze lehce dostat 5.708. Platí 5.709. Je lim (V x2 + x — x) — —. X^+QO \ / 2 lim I x v 1 + x- (x^l +x2 -x2) = i. \fl — Vl + cos X \fl lim sin x 5.110. Rozšířením zlomku ze zadání je možné obdržet sin (4x) lim >0 Vx + 1 - 1 5.777. Platí VI +tgx -VI -tgx lim -= 1. jc=>0- sinx 317 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. MOCNINNÉ ŘADY 5.112. Zřejmě je 2X + Vl + x2 - x9 - 7x5 + 44X2 7 lim -.. =- - —. x^-oo y + ^/6x6 + x2 _ lgx5 _ 592jf4 18 5.773. Výrok není pravdivý. Uvažte kupř. /(x) := -, x e (-oo, 0); g(x) := x, x e R. 5.774. Uvedená funkce je spojitá na celém M. 5.775. V bodech — ?r, 0. n je spojitá; v bodě 2 je spojitá pouze zprava a v bodě 3 pouze zleva; v bodě 1 není spojitá ani z jedné strany. 5.776. Je nutné položit /(O) := 0. 5.117. Funkce je spojitá právě pro p — 2. 5.118. Správná odpověďje a — A. 5.119. Limitu lze snadno určit např. pomocí 1'Hospitalova pravidla. 5.720. Je sin8 x sin8 x lim —^— = lim —^— = 0. -t=»0+ X* X^-OO XJ 5.727. 2«-l lim | —- | = e"10 «=>co 5.723. (a) v(0) = 6m/s; (b) r = 3 s, s(3) = 16m; (c) u(4) = -2m/s, a(A) = -2m/s2 5.723. Trojnásobné použití ľHospitalova pravidla dává sin x — x 1 lim ► o- x3 6 5.724. 2/tt. 5.725. ((i-= L 5.726. Ä((3'-2')')=lnÍ- 5.727. 1/2. 5.728. Platí / 2V2 -2 lim I cos — I — e . X=>+00 Y x/ 5.129. Dvojnásobnou aplikací ľHospitalova pravidla lze obdržet lim (1 -cosx)sin* =e°= 1. x—> 0 5.730. V obou případech je výsledek ea. 5.135. (a) 12 ft/s; (b) -59. 5 ft2/s; (c) -1 rad/s. 5.736. Při produkci zhruba 3 414 výrobků denně. 5.737. 4mx4mx2m. 5.738. 28 = 24 + 4. 5.739. a = 1. 5.740. 2-v/Šr. 318 KAPITOLA 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.141. Jedná se o čtverec (s délkou strany c). 5.142. v = f ä, r = ä. 5.143. Největší obsah VŠo2/36 má rovnostranný trojúhelník. 5.744. [2, -1/2], [-2, -1/2]. 5.745. j; = 2r. 5.746. 2a2; 4a (2 + Vž). 5.747. jr/2. 5.74S. a- = f + /br, x = ^ + /br, £ e Z. 5.749. 5. 5.750. +oo. 5.757. 3/2. 5.752. (a) 3; (b) 9/4. 5.753. 1/2. 5.754. (a) 3/4; (b) 1/4. 5.755. -1/2. 5.756. 11/18. 5.157. s/2; 3s/2 (s = ln2). 5.158. Konverguje. 5.159. Postačuje uvážit nutnou podmínku konvergence lim,,^,^ a„ = 0. 5.760. a > 0; /? e {-2, -1, 0. 1. 2); y e (-oo, -1) U (1, +oo). 5.161. Konverguje absolutně. 5.162. Limita je rovna 1/2. 5.763. A e [0, 1). 5.164. Součet uvedené řady je konečný - řada konverguje. 5.765. Např. a„ = n/3, b„ — n/2, n e N. 5.166. První řada konverguje absolutně; druhá neabsolutně. 5.767. Ano. 5.168. pel. 5.769. r — +oo. 5.170. 1. 5.777. 3. 5.772. [-1, 1]. 5.773. x e [2- 5,2+5]. 5.774. Ano. 5.775. (a) Platí. (b) Neplatí. (c) Neplatí. (d) Platí. 5 77/5 1__—__I__ J-1/D- 1 102-2 + 104-4ľ 5.777. Chyba náleží do intervalu (0. 1 /200). 5.178. 1 — 3x + 24-x4; nad tečnou. 5 17Q I V°° 21 r" 5-180. E~0á(*-i)^£~^V'. 5.181. f (x) =x, x e M; ano. 5.7S2. Nikoli. 319 I. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 4. MOCNINNÉ ŘADY <- ,0, v^°° v2" 5.1X3. 2^„=0 73^" x ■ 5.184. (a)l-I^í + I^í;(b)I-^. í ís^ ^00 1 v2h + 1 J-IOD. 2^n=0 (2H + l)n! A 5.186. y = arctgx. 5.787. Právě pro x e (-§, f) je 5.188. a > 1. 5.789. x > 2. 5.190. Konverguje absolutně. 5.797. In (3/2). 5 709 *(!-*) X1Vji- (1+^)3- 5.793. (a)Ilni±f;(b)^ 5.794. 2/9. 5.795. ieT. 5+2jc «=0 1 00 / t\" 320 KAPITOLA 6 Diferenciální a integrální počet zvěřinec teďmáme, ale co s ním? — naučíme se s ním zacházet... V minulé kapitole jsme si postupně hráli buď s mimořádně velikými třídami funkcí — všechny spojité, všechny diferencovatelné apod. — nebo jen s konkrétními funkcemi — např. exponenciální, goniometrické, polynomy atd. Měli jsme ale přitom jen minimum nástrojů a vše jsme počítali tak říkajíc na koleně. Z kvalitativního pohledu jsme jen naznačili, jak využívat znalost lineárního přiblížení funkce její derivací k diskusi lokálního chování takové funkce kolem daného bodu. Teď dáme dohromady několik výsledků, které umožní snáze pracovat s funkcemi při modelování reálných problémů. Pomocí derivování jsme se naučili zaznamenávat velkosti okamžitých změn. V této kapitole se vyrovnáme i s úlohou, jak sčítat nekonečně mnoho takových „nekonečně malých" změn, tj. jak „integrovat". Nejdříve si ale uděláme více jasno o derivacích. A. Derivace vyšších řádů Nejprve zaveďme konvenci, jak značit derivace vyšších řádů: druhou derivaci funkce / jedné proměnné budeme značit /" nebo f(2\ derivace od třetího řádu výše pak pouze f(3\ f(4\... f(n\ 1. Derivování 6.1. Derivace vyšších řádů. Říkáme, že reálná nebo kom-^ plexní funkce / má v bodě xo derivaci druhého řádu, jestliže derivace /' existuje na nějakém okolí bodu xo a existuje její derivace v bodě x0. Píšeme /"(*o) = (/')'(*o) nebo také /(2)(xq). Funkce / je dvakrát diferencovatelná na nějakém intervalu A, jestliže má druhou derivaci v každém jeho bodě. Derivace vyšších řádů definujeme induktivně: Hladké a funkce a /í-krát diferencovatelné funkce . Říkáme, že reálná nebo komplexní funkce / je (k + 1)-krát diferencovatelná pro nějaké přirozené číslo k v bodě x0, jestliže je /c-krát diferencovatelná na nějakém okolí bodu x0 a její k-tá derivace má v bodě x0 derivaci. Pro /c-tou derivaci funkce f(x) píšeme f(k\x). Jestliže existují derivace všech řádů na intervalu, říkáme, že je tam funkce / hladká. Většinou se také užívá konvence, že 0-krát diferencovatelná funkce znamená spojitá funkce. Pro funkce se spojitou /c-tou derivací používáme označení třída funkcí Ck(A) na intervalu A, kde k může nabývat hodnot 0, 1, ..., oo. Často píšeme pouze Ck, je-li definiční obor znám z kontextu. 6.1. Určete následující derivace: i) (x2 ■ sin(x))", ii) (xx)", «0 (é)<3>. iv) (x")(n), v) (sinx)(n). Řešení, (a) (x2-sin(x))" = (2x sinx+x2 cosx)' = 2sinx+4x cosx-x2 sin x. (b) (x*)" viz=(v) (lnx + l)x*)' = x*"1 + jc*(ln(jt) + l)2. «0 (ei) (3) 1 x2(ln x)2 x2(\n x)4 " (d) (x")(n) = [(x")'](" 1} = (nx"-1^"-^ = (e) (sinx)(n) = re(z" sinx) + im(z" cosx). nl. □ Taylorovy rozvoje. Derivace vyšších řádů nutně potřebujeme k tomu, abychom určili Taylorův rozvoj dané funkce. 6.2. Určete Taylorovy rozvoje Tk (/c-tého řádu v bodě x) z následujících funkcí: i) 703 z funkce sin x, ii) T? z funkce —. 321 A. DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ 1. DERIVOVÁNÍ Řešení. i) Spočítáme hodnoty první až třetí derivace funkce / = sin v bodě 0: /'(O) = cos(0) = 1, /(2)(0) = - sin(0) = 0, /(3)(0) = -cos(0) = -1, dále /(O) = 0 Taylorův rozvoj 3-tího řádu funkce sin(jc) v bodě Oje tedy rn3(sin(x)) = x--x3. ii) Opět /(l) = e, ex ex , _ /'(d =---2-(1)=° x x*- f (2) e ze - , 2~ +-T 1 (3) ex e*2 6ex 6e■ , . Dostáváme tedy Taylorův rozvoj třetího řádu funkce y v bodě 1: T3(—) = e + -(x - l)2 - -(x - l)3 = e(--+--2x + -). 1 x 2 3 3 2 6 □ 6.3. Určete Taylorův polynom funkce sin a pomocí věty (6.4) odhadněte chybu polynomu v bodě jt/4. Řešení. Podobně jako v předchozím příkladu určíme Tqf (sin(je)) = x 1 x3 + 1 120J Dle věty 6.4 pak odhadneme velikost zbytku (chyby) R. Podle věty 5 22a existuje c e (0, f) takové, že 1—'-- R(jt/4) COS(c)7T7 7!47 < — = 0, 0002. 7! □ 6.4. Rozviňte funkci ln(l + x) do mocninné řady v bodech 0 a 1 a určete všechna x e M, pro která tyto řady konvergují. Řešení. Nejprve určeme rozvoj v bodě 0. Rozvinout funkci do mocninné řady v daném bodě je to stejné, jako určit její Taylorův rovoj v daném bodě. Snadno nahlédneme, že (n-l)\ ln(jc + 1) («) (-1) n + l (x + 1)" takže vyčíslením derivací v nule máme ln(x) = ln(0) + ___ anx", kde n = l (_!)"+!(„_ i)! (_i) n + l nl Můžeme tedy psát Ilustrovat můžeme rychle pojem derivace vyššího řádu na polynomech. Protože výsledkem derivování polynomu je opět polynom, ale derivací se vždy o jedničku snižuje jeho stupeň, dostaneme po konečném počtu derivací nulový polynom. Přesněji řečeno, právě po k + 1 derivacích, kde k je stupeň polynomu, dostaneme nulu. Samozřejmě pak existují derivace všech řádů, tj. / e C°°(M). Při konstrukci splajnů, viz 5.9, jsme pohlídali, aby výsledné funkce byly třídy C2(M). Jejich třetí derivace budou po částech konstantní funkce. Proto nebudou splajny patřit do C3(M), přestože jejich všechny derivace vyšších řádů budou nulové ve všech vnitřních bodech jednotlivých intervalů v interpolaci. Promyslete si podrobně tento příklad! Následující tvrzení je jednoduchým kombinatorickým důsledkem Leibnitzova pravidla pro derivaci součinu funkcí: Lemma. Jsou-li f a g dvě funkce mající derivaci řádu k v bodě xq, pak má derivaci řádu k i jejich součin a platí: (f ■ g)(k)(xo) = (*)/(,'Ws(*-ť)(*o) Důkaz. Pro k = 0 je tvrzení triviální, pro k = 1 je to Leibnitzovo pravidlo pro derivaci součinu. Jestliže pravidlo platí pro nějaké k, derivací pravé strany a použitím Leibnitzova pravidla dostaneme obdobný výraz (k-i+1) (*o) V této nové sumě je součet řádů derivací u součinů v jednotlivých sčítancích k + 1 a koeficienty u f^ (x0)g<*+1~-,-) (x0) jsou součty binomických koeficientů + = (H1). □ 6.2. Násobné kořeny a inverze polynomů. Derivace polynomů jsme spočítali již v odstavci 5.6 a je vidět, '__že jde o hladké funkce. Derivace je v tomto případě vlastně prosté algebraické zobrazení a podívejme se, jak se nám derivace bude hodit pro diskusi násobných kořenů polynomů. Nejprve zformulujme základní větu algebry, kterou však patrně dodám skoro , t ^11 . úplný důkaz o pár nebudeme nyní dokazovat: ^pi;ol pozdě/v algebře Věta. Každý nenulový komplexní polynom f : C —> C stupně alespoň jedna má kořen. Nutně tedy polynom stupně k > 0 má právě k komplexních kořenů včetně násobností a můžeme jej vždy psát jednoznačně ve tvaru /(*) = (x - a_)cx ■ (x - aq)c« kde a\, ..., aq jsou všechny kořeny polynomu / a 1 0 bude f(x) rostoucí, pro sudá n naopak bude nalevo klesající a napravo rostoucí, dosáhne tedy v bodě x0 své minimální hodnoty mezi body z (dostatečně malého) okolí bodu x0 = 0. Tentýž pohled můžeme aplikovat na funkci /'. Jestliže totiž je druhá derivace nenulová, určuje její znaménko chování derivace první. Proto v kritickém bodě x0 bude derivace f'(x) rostoucí při kladné druhé derivaci a klesající při záporné. Jestliže je ale rostoucí, znamenená to, že nutně bude záporná nalevo od kritického bodu a kladná napravo od něj. Funkce / v takovém případě je klesající nalevo od kritického bodu a rostoucí napravo od něj. To znamená, že má funkce / v bodě x0 minimum ze všech hodnot z nějakého malého okolí bodu x0. Naopak, je-li druhá derivace záporná v x0, je první derivace klesající, tedy záporná vlevo od x0 a kladná vpravo. Funkce / bude tedy mít v bodě x0 maximální hodnotu ze všech hodnot na nějakém okolí. Funkce diferencovatelná na (a,b) a spojitá na [a,b] má jistě na tomto intervalu absolutní maximum a minimum. Může ho dosáhnout pouze buď na hranici nebo v bodě s nulovou derivací, tj. v kritickém bodě. Pro diskusi extrémů nám tedy mohou stačit kritické body a druhé derivace pomůžou určit typy extrémů, pokud jsou nenulové. Pro přesnější diskusi ale potřebujeme lepší než lineární aproximace zkoumaných funkcí. Proto se nejprve budeme věnovat úvahám v tomto směru a teprve poté se vrátíme k diskusi průběhu funkcí. 1 9 1 3 1 A ln x = 1 + x--x + -x--x + • • • 2 3 4 ^ n «=i Pro poloměr konvergence potom použijeme limitu podílu následujících koeficientů členů mocninné řady 1 lim„_ "n+\ 1 n^oo i 1. lim. Řada tedy konverguje pro libovolné x e (—1, 1). Pro x = — 1 dostáváme harmonickou řadu (se znaménkem minus), pro x = 1 dostáváme aternující harmonickou řadu, která podle Leibnizova kriteria konverguje. Daná řada proto konverguje právě pro x e (—1, 1). Pro rozvoj v bodě 1 dostáváme podobně vyčíslením výše uvedených derivací z 6.4 ln(x + 1) ln(2) + l-(x - 1) - 1(* - l)2 + ln(2) + ^ \_ (x - 1)", 1 3 -23 (x - 1)J 1 4 -24 (x - l)4 + . «=i n ■ 2" pro poloměr konvergence této řady pak dostáváme lim„ lim„_ 2"+1Qi+l) •OO 1 V n První řada konverguje pro —1 < x < 1, druhá pro — 1 < x < 3. □ 6.5. Rozviňte funkci (a)v=ln|±f, *e(-l,l); l-x (b) y = ď + x e 2a-2x x e do Taylorovy řady se středem v počátku. Řešení. Pokud lze funkci vyjádřit jako součet mocninné řady (s kladným poloměrem konvergence) na jejím oboru konvergence, pak je tato řada nutně Taylorovou řadou uvažované funkce (svého součtu). To nám umožní snadno najít příslušné Taylorovy řady. Případ (a). Víme, že je x e (-1, 1), ln(l+jc) = E^^" tj- 323 A. DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ 1. DERIVOVÁNÍ ln(l-x)= £^-^(-x)" = -£±x", n—1 n—1 Celkem máme lni±f =ln(l+jc)-ln(l-jc) = E 2 ^2n-l « = 1 « = 1 pro x e (—1, 1). Případ (b). Podobně ze známé identity plyne a e* = £ -^x", x e «=0 «=0 «=0 x2 e"2* = x2 E ^ (-2*)" = E ^ x"+2' x e «=0 ' «=0 Platí tudíž e*2+x2e-2* = g ^+(-2)-^ xeR_ «=0 □ Další příklady na Taylorovy polynomy a řady naleznete na straně 372. 6.6. Určete Taylorovu řadu se středem v počátku funkce (a) y x e (-1, 1); (i+*)2' (b) y = arctgx, x e (—1, 1). Řešení. Případ (a). Využijeme vzorec TTi = £(-*)" = E(-l)"*". *e(-l,l) o součtu geometrické řady. Jeho derivováním dostáváme (oo \ ' oo £(-l)"x" ) = Eí-l)""*""1. X6E(-1,1) «=0 / «=1 přičemž (x°)' = 0, a tak je dolní index n = 1. Vidíme, že oo ^(-lf+'íif-1, x e (-1,1). «=i Případ (b). Derivaci funkce y = arctg t umíme vyjádřit jako oo oo (arctgř)' = T^ = EHT = £(-l)"í2", f e(-l,l). «=0 «=0 Protože pro x e (— 1, 1) je / (arctg t)' dt = arctgx — arctg 0 = arctgx x / oo f £ (-1) -ŕ2" A = E (- D" /12" dt) = E 2n+1 o \«=o / «=o V o / «=o máme již výsledek oo arctgx = £ 2~Prx2"+1' (-D" x2n+l «=0 6.4. Taylorův rozvoj. Jako překvapivě jednoduché využití Rolleovy věty teď odvodíme mimořádně důležitý vý-T|> sledek. Říkává se mu Taylorův rozvoj se zbytkem. In-$ tuitivně se k němu můžeme dostat obrácením našich íf^ úvah kolem mocninných řad. Máme-li totiž mocninnou řadu 5(x) = ^2an(x — a)n «=o a derivujeme-li ji opakovaně, dostáváme mocninné řady (víme, že je možné takový výraz derivovat člen po členu, i když jsme to ještě nedokázali) ^(x) = ^n(n - 1)... (n - k + l)an(x - a) n—k n—k V bodě x = a je tedy S{k){a) = k\a\. Můžeme tedy naopak číst poslední tvrzení jako rovnici pro a\ a původní řadu přepsat jako oo ^ 5(x) = J]— S(k)(a)(x - a)". n=0 Jestliže místo mocninné řady máme nějakou dostatečně hladkou funkci f(x), je tedy na místě se ptát, zda ji můžeme vyjádřit jako mocninnou řadu a jak rychle budou konvergovat částečné součty (tj. přiblížení funkce / polynomy). Naše úvaha právě naznačila, že můžeme očekávat v okolí bodu a dobrou aproximaxi polynomy, tzv. Taylorovými polynomy k— tého řádu: Pkf(x) = f (a) + f'(a)(x -a)+ l-f"(a)(x - a)2+ + \f{i)(a)(x -aý + -.. + ±-f(k)(a)(x - af. 6 kl Přesná odpověď vypadá podobně j ako věta o střední hodnotě, jen pracujeme s vyššími stupni plynomů (tzv. Taylorův rozvoj se zbytkem): Věta. Nechť je f (x) funkce k—krát diferencovatelná na intervalu (a, b) a spojitá na [a, b]. Pak pro každé x e (a, b) existuje číslo c e (a, x) takové, že f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + 1 + 1 f(k-1)(a)(x - af'' + — fw(c)(x - af (k - 1)! J ' kV ' ' = Pk.1f(x) + ^f(k)(c)(x-af. Důkaz. Definujme zbytek R (tj. chybu při aproximaci pro pevně zvolené x) takto f(x) = Pk_lf(x) + R 324 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET tj. R = jjr(x — a)k pro vhodné číslo r (závislé na x). Nyní uvažujme funkci F(§) definovanou k-i □ 7=0 6.7. Najděte Taylorovu řadu se středem x0 = 0 funkce Její derivace (přičemž x je pro nás konstantní parametr) je F'(£) = /'(£)+ 1 /(x) = f ucosu2du, x e o Řešení. Z vyjádření cosi = E^ř2", íe (2«)! ' «=0 1 (*- 1) ■r(x - £) yfc—1 1 f(k)(Š)(x-Š) (k-iy. i jt—i i (*- 1)! r(x - £) yfc—1 {x-Š)k-\rk\š)-r), (k-iy. protože výrazy v sumě se postupně vzájemně ruší. Nyní si stačí všimnout, že F (a) = F(x) = f(x) (připomeňme, že x je libovolně zvolená ale pevná hodnota v intervalu (a, b)). Proto podle Rolleovy věty existuje číslo c, a < c < x, takové, že F'(c) = 0. To ale je právě požadovaný vztah. □ 6.5. Odhady pro rozvoje se zbytkem. Obzvlášť jednoduchý je Taylorův rozvoj libovolného polynomu f(x) = anxn + an-ixn~l + • • • + a\x + úq, an ^ 0. Protože je (n + l)-ní derivace / identicky nulová, má Taylorův polynom stupně n nulový zbytek a tedy je pro každé x0 e R f (x) = f(x0) + f'(x0)(x -*„) + ... + 1/(»>(*„)(* - x0)" n\ a všechny derivace snadno vyčíslíme (např. poslední výraz je vždy tvaru a„(x — xq)"). Tento výsledek je velmi speciálním odhadem chyby v Ta-ylorově rozvoju se zbytkem. Víme totiž předem, že zbytek je odhadnutelný pomocí velikosti derivace a ta je u polynomu od určitého řádu identicky nulová. I obecněji vede odhad velikost k-té derivace na nějakém intervalu k odhadu chyby na temže intervalu. Speciálním případem je také věta o střední hodnotě coby aproximace Taylo-rovým rozvojem řádu nula, viz (5.9). Dobrým příkladem pro libovolný řád jsou třeba goniometrické funkce. Iterováním derivace funkce sin x dostaneme vždy buď sinus nebo cosinus s nějakým znaménkem, ale v absolutní hodnotě budou hodnoty vždy nejvýše jedna. Dostáváme tedy přímý odhad rychlosti konvergence mocninné řady \x\k+1 | sinx — (Pk sin)(x)| < (* + l)! Vidíme tedy, že pro x výrazně menší než k bude chyba malá, pro x srovnatelné s k nebo větší ale bude obrovská. plyne wcosw2 = u E T^f ("2)Z" = E ue «=0 «=0 a následně (pro x e R) (-1)" „4« + l )! x x / oo f (x) = j u cos u2 du = j I E u4n+1 ) du o 0 V«=o E ( ((2„)! / "4" + 1 du ) — E (2n)\(4n+2) X «=0 \0 " .4«+2 «=0 □ 6.8. Na intervalu konvergence (—1, 1) stanovte součet řady E « (72 + 1) X". n = l Řešení. Platí oo oo / oo E«(ř2 + l)x" = E«(xn + 1)'= E"*" n = \ oo E n x"'1 x2 n = l oo -1 + £jc" «=o n = \ n + 1 oo X2 E (*")' n = \ .2 n = \ *2(-l + I-l)' x2 ( E *" n = \ 1 2 1 □ provšechnax e (—1, 1). 6.9. Pro x e (—1, 1) sečtěte oo , , y- (-!)"+' „ + 1 ^ «(« + l) « = 1 Řešení. Nejprve upozorněme, že symbolem pro neurčitý integrál budeme označovat jednu konkrétní primitivní funkci (při zachování proměnné), kterou je vhodné chápat jako tzv. funkci horní meze, přičemž dolní mez je nula. Užitím věty o integraci mocninné řady pro x e (—1, 1) obdržíme oo (-!)"+' v„ + l _ v^oo / (zil y^oo (-1, £—n = \ «(« + !) /EB°°=i f ŕ-1 dx)dx 325 A. DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ 1. DERIVOVÁNÍ / (/ E^ií--^)""1 dx)dx = f (f 1 - x + x2 - x3 + ■ ■■ dx)dx pTT I{J^dx)dx / ln(l + jc) + Ci dx Jelikož f £ (!~~^~—x")dx=/in (i+x)+Ci dx' ze spojitosti uvažovaných funkcí víme, že J2^—x" =ln(l+jc) +Ci, jce(-l.l). «=i Volba x = 0 potom dává 0 = ln 1 + Cx, tj. Ci =0. Dále je / ln (1 + x) dx = | per partes | = u = ln (1 + x) «' = — v' = 1 i; = x ■\a.(l+x) - f rfcdx x ln (1 + x) - f 1 - dx = x ln (1 + x) - x + ln (1 + x) + C2 = (x + l)ln(jc + 1) - x + C2. Protože zadaná řada konverguje v bodě x = 0 se součtem 0, analogicky jako pro C\ z 0 = 1 • ln 1 - 0 + C2 vyplývá, že C2 = 0. Celkem tedy získáváme (x + 1) ln(x + 1) - x, x e (-1, 1). y- (-P"+1 T«+i £— «(« + !) «=1 □ 6.10. Napište mocninnou řadu se středem v počátku, jejíž součet je na intervalu (—3,3) funkce x2-x-12 - Řešení. Neboť i í i i ____ I (___ x2-x-l2 (x-4)(x+3) 1 Vjc-4 x+3 _j_ —__á_ _i_£_i_£l_|_..i£f._i_ 1 _ 3 _ 1 / i x , x 1 " I + S + • • • + T + x+3 l-(-f) 3 y-1 3 ^32 dostáváme ■ ■■). i x^___L V (~x)" 4« 21 ^ CX) / (-D" í:2_jc_12 28 ^ 4" 21 ^ 3" ^ V 21-3" 28-4' n— 0 «—0 «—0 □ 6.11. Rozviňte do mocninné řady funkci cos2(x) (tj. určete Taylorův rozvoj funkce) v bodě 0 a určete pro která reálná čísla tato řada konverguje. 6.6. Analytické a hladké funkce. Je-li / v bodě a hladká, pak můžeme napsat formálně mocninnou řadu CX) ^ 5(x) = J]-/W(fl)(x a)n. «=o Taylorova věta nám říká, že pokud tato mocninná řada má nenulový poloměr konvergence, pak je S(x) = f(x) na příslušném intervalu. Takovým funkcím říkáme analytické funkce v bodě a. Funkce je analytická na intervalu, je-li analytická v každém jeho bodě. Ne všechny hladké funkce jsou ale analytické. Ve skutečnosti lze dokázat, že pro každou posloupnost čísel an umíme najít hladkou funkci, jejiž derivace řádů k budou tato čísla ak.1 Abychom si alespoň představili podstatu problému, ukážeme si (jak se později uvidí velice m> užitečnou) funkci, která má v nule všechny derivace nulové, je však všude kromě tohoto bodu nenulová. Uvažme funkci definovanou vztahem /(*) -l/x1 Evidentně jde o dobře definovanou hladkou funkcí ve všech bodech x ^ 0. V bodě x = 0 však existuje limita lirn^o f(x) = 0. Můžeme proto dodefinovat /(0) = 0 a získáváme spojitou funkci. Přímým výpočtem s použitím ĽHospitalova pravidla vyjádříme derivaci e-iA2 _o x-i x /'(0) = lim -= lim-r = 2 lim-T = 0. x^o x x^o e1/* x^o e1/* Derivací / v obecném bodě dostaneme /'(jc) = e~1/x -2x~3 a libovolnou konečněkrát opakovanou derivací funkce f(x) dostaneme součet konečně mnoha členů tvaru C ■ f(x) ■ x~k, kde C je nějaké celé číslo a k je přirozené číslo. Každý výraz x~ke -l/x1 I el/x" je pro x 0 výrazem typu oo/oo, na který můžeme opakovaně použít ĽHospitalovo pravidlo. Zjevně po několika derivacích čitatele i jmenovatele bude ve jmenovateli stále stejný výraz, zatímco v čitateli již bude mocnina nezáporná. Celý výraz tedy nutně má v nule limitu nulovou, stejně jako jsme počítali v případě první derivace výše. Protože totéž bude platit pro konečný součet takových výrazů, bude mít nulovou hodnotu v limitě v nule i každá derivace f(k\x). Jestliže nyní dodefinujeme hodnoty všech derivací naší funkce v nule rovnicí f(k\0) =0, a zkusíme derivovat funkci f(k) v nule, dostaneme opět konečný součet výrazů jako výše a proto ukazuje náš předchozí Jde o speciální případ tzv. Whitneyho věty, viz. doplnit citaci a 326 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET výpočet s pomoci ĽHospitalova pravidla, že skutečně derivace této funkce bude i v nule existovat a bude skutečně rovna opět nule. Získali jsme tedy hladkou funkci na celém M. Je vidět, že skutečně jde o nenulovou funkci všude mimo x = 0, všechny její derivace v tomto bodě jsou ale nulové. Samozřejmě to tedy není analytická funkce v bodě x0 = 0. 6.7. Další příklady neanalytických hladkých funkcí. Snadno můžeme naši funkci f(x) z předchozího odstavce modifikovat takto: g(x) 0 -1/x1 je-li x < 0 je-li x > 0 Opět jde o hladkou funkci na celém M. Další úpravou můžeme získat funkci nenulovou ve všech vnitřních bodech intervalu [—a, a], a > 0 a nulovou jinde: h(x) 0 je-li \x\ > a je-li \x\ < a. vesdwkxccl56 Tato funkce je opět hladká na celém M. Poslední dvě funkce jsou na obrázcích, vpravo je použit parametr a = 1. Nakonec ještě ukážeme, jak lze dostat hladké analogie Heavisideových funkcí. Pro dvě pevně zvolená reálná čísla a < b definujeme funkci f(x) s použitím výše definované funkce g takto: fix) g(x - a) g(x - a) + g(b - x) Zjevně je pro každé x e M jmenovatel zlomku kladný (pro každý z intervalů určených čísly a a b je totiž alespoň jeden ze sčítanců jmenovatele nenulový a tedy je celý jmenovatel kladný). Dostáváme z našeho definičního vztahu proto hladkou funkci f(x) na celém M. Při x < a je přitom jmenovatel zlomku přímo dle definice funkce g nulový, při x > b je čitatel i jmenovatel stejný. Na dalších dvou obrázcích jsou právě funkce f(x) a to s parametry a = í — a,b = í+a, kde nalevo je a = 0.8 a napravo a = 0.4. 6.12. Rozviňte do mocninné řady funkci sin (x) v bodě 0 a určete pro která reálná čísla tato řada konverguje. 6.13. Rozviňte do mocninné řady funkci ln(x3 + 3x2 + 3x + 1) v bodě 0 a určete, pro která x e M. konverguje. Nyní několik „klasických" příkladů, ve kterých budeme vyšetřovat průběh různých funkcí. 6.14. Vyšetřete průběh funkce f(x) = vup + l- Řešení. Definičním oborem i oborem spojitosti je celá reálná osa (/ tedy nemá body nespojitosti). Postačuje např. uvážit, že funkce x je spojitá v každém bodě x e M (na rozdíl od odmocnin y = o sudém základě definovaných pouze na nezáporné poloose). Ihned je také vidět, že / (x) > 1 a/(-x) = /(x) pro všechna x e M, tj. funkce / je kladná a sudá. Bod [0, 1] jako jediný průsečík grafu / s osami proto dostaneme dosazením x = 0. Limitní chování funkce má smysl uvažovat pouze v ±oo (neexistují body nespojitosti), kde lehce určíme lim \f\x x^-íoc lim | x + 00. (6.1) lim $\x |3 + 1 x^íoo Nyní přistoupíme ke zkoumání průběhu funkce pomocí jejích derivací. Pro x > 0 je f(x) = v^TT = (x3 +1)5, a tedy (6.2) /'(x) = ^ (x3 + lp 3x2 > 0, x > 0. Odtud vyplývá, že funkce / je rostoucí na intervalu (0, +oo). Vzhledem ke své spojitosti v počátku je však nutně / rostoucí na [0, +oo). Neboť se jedná o sudou funkci, víme dále, že na intervalu (—oo, 0] klesá. Má tak jediné lokální minimum v bodě x0 = 0, které je současně (ostrým) minimem globálním. Protože nekonstantní spojitá funkce zobrazuje interval na interval, je oborem hodnot / právě [1, +oo) (uvažte f(x0) = 1 a (6.1)). Všimněme si, že díky sudosti funkce jsme nemuseli počítat derivaci /' na záporné poloose, kterou lze však snadno určit náhradou | x |3 = (—x)3 = —x3 se ziskem /'(x) = i (-x3 + lp (-3x2) < 0, x < 0. Při výpočtu /'(0) můžeme vyjít přímo z definice nebo pomocí limit v2 „ v2 lim 0 1U1, ,--^ — lim ,- *^0+ j(x3 + lf x^0- j(-x3 + lf stanovit jednostranné derivace a následně /'(0) = 0. Ve skutečnosti jsme nemuseli počítat první derivaci ani na kladné poloose. K tomu, abychom obdrželi, že / roste na (0, +oo), si stačilo uvědomit, že 327 A. DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ 1. DERIVOVÁNÍ 3sqjygr691 funkce y = šfx a y = x3 + 1 jsou rostoucí na R a že kompozice rostoucích funkcí je funkce rostoucí. Snadno pro x > 0 však z (6.2) vypočítáme druhou derivaci tj. po úpravě máme (6.3) f"(x) vV+i)4 2x Podobně můžeme spočítat > 0, x > 0. 2xj(-xl + l)2-lx2j(-xl + l)-l(-3x2) 2x vV*3+i)4 0, x < 0 > a poté /"(O) = 0 zlimitněním lim 2x 0 lim x^O- 2x (x3+iy J(-x3+iy Podle nerovnosti (6.3) je / ryze konvexní na intervalu (0, +oo). Také dostáváme ryzí konvexnost funkce / na (—oo, 0). K tomuto závěru ovšem opět nebylo potřeba druhou derivaci pro x < 0 počítat: stačilo využít sudosti zadané funkce. Celkem jsme pak obdrželi, že / je konvexní na celém svém definičním oboru (nemá inflexní body). K vykreslení grafu funkce ještě potřebujeme nalézt asymptoty (vyčíslení funkce v jistých bodech přenecháváme čtenáři). Neboť je funkce / spojitá na M, asymptoty bez směrnice mít nemůže. Přímky y = ax + b je pak asymptotou se směrnicí pro x tehdy, když existují (jako vlastní) obě limity lim = a, JC^OO x Analogické tvrzení platí pro x -lim = lim JC^OO x oo tehdy a jenom lim (/ (x) — ax) ■» —oo. Z limit Si = hm ^ - 1, lim h o x^oo N/(jc3 + l)2+jc%?jC3 + 1+Jt:2 x^oo ■ tak již plyne, že přímka y = x je asymptotou v +oo. Když znovu uvážíme, že funkce / je sudá, bezprostředně obdržíme přímku y = —x jako asymptotu v — oo. □ 6.15. Vyšetřete průběh funkce /(*) cos 2x ' Řešení. Do definičního oboru náleží všechna x e M, pro která je cos 2x y= 0. Rovnice cos 2x = 0 je splněna právě pro 2x = f + kjt, k € Z, tj. - - 71 ' te alpha = .40000 /- Snadno nyní také vytvoříme hladkou obdobu charakteristické funkce intervalu [c,d]. Označme si jako f€(x) výše uvedenou funkci f(x) s parametry a = —e, b = +e. Nyní pro interval (c, d), s délkou d — c > 2e definujeme funkci h€(x) = f€(x —c)-f€(d—x). Tato funkce je identicky nulová na intervalech (—oo,c — e) a.(d + e, oo) a je identicky rovna jedné na intervalu (c+e, d —e), přičemž je všude hladká a lokálně je buď konstantní nebo monotóní. Čím menší je e > 0, tím rychleji naše funkce přeskočí z nuly na jedničku kolem začátku intervalu nebo zpět na konci intervalu. Vidíme tedy, že hladké funkce jsou velice „plastické" — z lokálního chování kolem jednoho bodu nemůžeme říci vůbec nic o globálním chování takové funkce. Naopak, analytické funkce jsou zcela určené dokonce jen derivacemi v jediném bodě. Zejména jsou tedy bezezbytku určené svým chováním na libovolně malém okolí jediného bodu ze svého definičního oboru. Jsou tedy v tomto smyslu velice „rigidní". 6.8. Lokální chování funkcí. Viděli jsme, že znaménko . první derivace určuje u každé diferencovatelné funkce, zda roste nebo klesá na yy nějakém okolí daného bodu. Pokud je ale ■((//' *' derivace nulová, sama o sobě mnoho o chování funcke neříká. Už jsme se ale setkali s významem druhé derivace při popisu kritických bodů. Teď zobecníme diskusi kritických bodů pro všechny řády. Začneme diskusí lokálních extrémů funkcí, tj. hodnot, které jsou ostře větší nebo ostře menší než všechny z nějakého okolí daného bodu. Budeme v dalším uvažovat funkce s dostatečným počtem spojitých derivací, aniž bychom tento předpoklad přímo uváděli. Řekneme, že bod a v definičním oboru funkce / je kritický bod řádu k, jestliže platí f'(a) f(k)(a) = 0, f«+í>(a)r0 (k+l). Předpokládejme, že f(k+l\a) > 0. Pak je tato spojitá derivace kladná i na jistém okolí O(a) bodu a. Taylorův rozvoj se zbytkem nám v takovém případě dává pro všechna x z O(a) 1 f(x) = f (a) + f(k+l)(c)(x-a) k+l (* + l)!- Je proto změna hodnot f(x) v okolí bodu a dána chováním funkce (x — a)k+l. Je-li přitom k + l sudé číslo, jsou 328 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 6. 8b nutně hodnoty / (x) v takovém okolí větší než hodnota f (a) a zjevně je proto bod a bodem lokálního minima. Pokud je ale k sudé číslo, pak jsou hodnoty vlevo menší a vpravo větší než než f (a), extrém tedy ani lokálně nenastává. Zato si můžeme všimnout, že graf funkce f (x) protíná svoji tečnu y = f(a) bodem [a, f (a)]. Naopak, je-li f{k+l)(a) < 0, pak ze stejného důvodu jde o lokální maximum při lichém k a extrém opět nenastává pro k sudé. 6.9. Konvexní a konkávni funkce. Říkáme, že funkce / je v bodě a konkávni, jestliže se její graf nachází v jistém okolí celý pod tečnou v bodě [a, f (a)], tj- f(x) < f(a)+ f(a)(x-a). Říkáme, že funkce / je konvexní v bodě a, jetliže naopak je její graf nad tečnou v bodě a, tj. f(x) > f (a) + f(a)(x - a). Funkce je konvexní nebo konkávni na intervalu, jestliže má tuto vlastnost v každém jeho bodě. Z Taylorova rozvoje druhého řádu se zbytkem dostáváme f(x) = f(a) + f(a)(x a) + \f"(c)(x a)2. Proto je zjevně funkce konvexní, kdykoliv je f"(a) > 0, a je konkávni, kdykoliv f "(a) < 0. Pokud je druhá derivace nulová, můžeme použít derivace vyšších řádů. Stejný závěr ovšem umíme učinit pouze, pokud první další nenulová derivace po první derivaci bude sudého řádu. Pokud bude naopak první nenulová řádu lichého, bude zjevně body grafu funkce na různých stranách nějakého malého okolí zkoumaného bodu na opačných stranách tečny v tomto bodě. 6.10. Inflexní body. Bod a nazýváme inflexní bod funkce /, jestliže graf funkce / přechází z jedné strany tečny na druhou. Napišme si Taylorův rozvoj třetího řádu se zbytkem: 1 1 f(x) = f(a)+f'(a)(x-a) + -f''(a)(x-a)2+-r'(c)(x-ay 2 o Je-li a nulový bod druhé derivace takový, že f "(a) ^ 0, pak je třetí derivace nenulová i na nějakém okolí a jde proto zjevně o inflexní bod. Znaménko třetí derivace nám v takovém případě určuje, zda graf funkce přechází tečnu zdola nahoru nebo naopak. Pokud je bod a navíc izolovaným nulovým bodem druhé derivace a zároveň inflexním bodem, pak zjevně je na nějakém malém okolí bodu a funkce na jedné straně konkávni a na druhé konvexní. Inflexní body tedy můžeme také vnímat jako body přechodu mezi konkávním a konvexním chováním grafu funkce. Jako definiční obor tak obdržíme množinu M\ {f + \; k e Z}. Zřejmě je f(-x) = SSSL^L = S£H_= f(x) J ' cos(—2x) cos 2x J • ' pro všechna x z definičního oboru, a tudíž je / s definičním oborem symetrickým kolem počátku sudou funkcí, což vyplynulo ze sudosti funkce y = cos x. Když dále uvážíme, že kosinus je periodický s periodou 2n (tj. y = cos2x má periodu it), dostaneme, že postačuje uvažovat funkci / pro x e V := [0, ir] \ {f + kf; k e Z} = [0, f) U (f, 3f) U (f, n], neboť průběh zadané funkce na celém jejím definičním oboru lze odvodit s použitím toho, že je sudá a periodická s periodou 2it. Zabývejme se proto pouze body nespojitosti x\ = it/4 a X2 = 3jv/4 a stanovme pro ně příslušné jednostranné limity lim cos 2x lim 3jr cos 2x + 00, = +oo, lim cos 2x lim o_ cos 2x -oo, -oo. Přihlédneme-li ke spojitosti / na intervalu (jt/4, 3jt/4), vidíme, že / na tomto intervalu nabývá všech reálných hodnot. Oborem hodnot / je tedy celé M. Rovněž jsme zjistili, že body nespojitosti jsou tzv. druhého druhu, kdy aspoň jedna jednostranná limita je nevlastní (příp. neexistuje). Tím jsme současně dokázali, že přímky x = jt/4 a x = 3n/4 jsou asymptotami bez směrnice. Kdybychom předchozí výsledky formulovali bez omezení se na interval [0, Jt], tak můžeme např. říci, že ve všech bodech *k = f + T> ksZ má / nespojitost druhého druhu a že každá přímka x = f + kf, keZ je asymptotou bez směrnice. Současně z periodičnosti funkce / vyplývá, že jiné asymptoty neexistují. Zvláště nemůže mít žádné asymptoty se směrnicí, ani nemohou existovat (jako nevlastní) limity lim^+oo f(x), lim^-oo f(x). Ještě určíme průsečíky s osami. Průsečík [0, 1] s osou y nalezneme vyčíslením /(0) = 1. Při hledání průsečíků s osou x uvažujeme rovnici cos x = 0, x e V s jediným řešením x = jt/2. Snadno dále získáme intervaly [0, Jt/4), (jt/2,3n/4), kde je funkce / kladná, a intervaly (jt/4,7t/2), (3n/4, jt], kde je záporná. Nyní přistoupíme k výpočtu derivace sin x cos 2x—2 cos x(— sin 2x) cos2 2x fix) = ■ ■ sin x(cos2 x— sin2 x)-\-2 cos x(2 sin x cos x) cos2 2x 329 A. DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ 1. DERIVOVÁNÍ sin3 Jc+3 cos2 x sin x (sin2 x+cos2 x-\-2 cos2 sin x (2 cos2 x+l) sin x cos2 2x cos2 2x cos2 2x Body, ve kterých je f'(x) = 0, jsou očividně řešením rovnice sin x = 0, x e V, tj. derivace je nulová v bodech x3 = 0, x4 = jt. Z nerovností 2cos2x + 1 > cos22x > 0, sinx > 0, x e P n (0, Jt) plyne, že v každém vnitřním bodě množiny V funkce / roste, a tudíž / roste na každém podintervalu V. Sudost / potom implikuje, že klesá v každém bodě x e (—Jt, 0), x ^ —3it/4, x ^ —it/4. Funkce má proto ostré lokálni extrémy právě v bodech xk = lov, k e Z. Vzhledem k periodičnosti / tyto extrémy jednoznačně popíšeme pozorováním, že pro x3 = x0 = 0 dostáváme lokální minimum (zopakujme funkční hodnotu / (0) = 1) a pro x a = x\ = jt lokálni maximum s funkční hodnotou f (n) = —1. Spočítejme druhou derivaci f"(x) = [4 cos x(— sin x) sin x-\-{2 cos2 x + l) cos x] cos2 2x— 4 cos 2x(— sin 2x)(2 cos2 x + l) sin x cos4 2x [—4 cos x sin2 x-\-2 cos3 x+cos x] (cos2 x—sin2 x} — 4(—2 sin x cos x)(2 cos2 x + l) sin x cos3 2x n_ cos3 2x [10 sin2 x cos2 x+2 cos4 x+cos2 x-\-4 sin4 x+7 sin2 x] cos x cos3 2x ' x e v. Poznamenejme, že jednoduchými úpravami lze také vyjádřit nebo Protože f "(x) f" (x) (3+4 cos2 x sin2 x+8 sin2 x) cos x cos3 2x ' (l 1 —4 cos4 x —4 cos2 x) cos x cos3 2x ' x eV x e V. 10 sin2 x cos2 x + 2 cos4 x + cos2 x + 4 sin4 x + 7 sin2 x > 0, x e M, resp. 3 + 4cos2x sin2x + 8sin2x = 11 -4cos4x-4cos2x > 3, x e M, je f "(x) = 0 pro jisté x e V tehdy a jen tehdy, když cos x = 0. Tomu ale vyhovuje pouze x5 = jt/2 e V. Je vidět, že v tomto bodě mění /" znaménko, tj. jedná se o inflexní bod. Jiný inflexní bod neexistuje (druhá derivace /" je spojitá na V). K dalším změnám znaménka /" dochází v nulových bodech jmenovatele, které jsme již dříve určili jako body nespojitosti x\ = jt/4 a x2 = 37T/4. Znaménko se tedy mění právě v bodech x\, x2, x5, a tak z nerovnosti f"(x) > 0 pro x 0+ vyplývá, že / je konvexní na intervalu [0, Jt/4), konkávni na (jt/4, Jt/2], konvexní na [jt/2,3n/4) a konkávni na (3n/4, jt]. 6.11. Asymptoty grafu funkce. Poslední dobrou pomůckou pro náčrtek grafu funkce je zjištění asymptot, tj. přímek, ke kterým se blíží hodnoty funkce /. Asymptotou v nevlastním bodě oo je proto taková přímka y = ax + b, pro kterou je lim (f(x) — ax — b) = 0. Pokud asymptota existuje, platí lim (f(x) — ax) = b a tedy existuje i limita /(*) lim a. Pokud ovšem existují poslední dvě limity, existuje i limita z definice asymptoty, jde proto i o podmínky dostatečné. Obdobně se definuje a počítá asymptota i v nevlastním bodě —oo. Tímto způsobem dohledáme všechny potenciální přímky splňující vlastnosti asymptot s konečnou reálnou směrnicí. Zbývají nám případné přímky kolmé na osu x: Asymptoty v bodech a e M jsou přímky x = a takové, že funkce / má v bodě a alespoň jednu nekonečnou jednostrannou limitu. Např. racionální funkce lomené mají v nulových bodech jmenovatele, které nejsou nulovými body čitatele, asymptotu. Spočtěme aspoň jeden jednoduchý příklad: Funkce f(x) = x + ^ má za asymptoty přímky y = x a x = 0. Skutečně, jednostranné limity zprava a zleva v nule jsou zjevně ±oo, zatímco limita f(x)/x = 1 + 1/x2 je samozřejmě v nevlastních bodech právě ±1, zatímco limita f(x) — x = l/x je v nevlastních bodech nulová. Derivací obdržíme f'(x) = 1 - x"2, f"(x) = 2x- Funkce f'(x) má dva nulové body ±1. V bodě x = 1 má funkce lokální minimum, v bodě x = — 1 lokální maximum. Druhá derivace nemá nulové body v celém definičním oboru (—oo, 0) U (0, oo), / tedy nemá naše funkce žádný inflexní bod. 330 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET n—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—rô- -i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—n 2 4 6.12. Diferenciál funkce. Při praktickém používaní diferenciálního počtu často pracujeme se závislostmi mezi různými veličinami, řekněme y a x, a není dána pevně volba závislé a nezávislé proměnné. Explicitní vztah y = f (x) s nějakou funkcí / je tedy jen jednou z možností. Derivování pak vyjadřuje, že okamžitá změna y = f (x) je úměrná okamžité změně x a to s úměrou f'(x) dx Tento vztah se často píše jako df d f = —(x)dx, dx kde df(x) interpretujeme jako lineární zobrazení přírůstků dané df(x)(Ax) = f'(x) ■ Ax, zatímco 0) iii) Určíme inflexní body: ln(x) - 2 /(2)w 0 x ln (x) Tato rovnice má kořen e2, který musí být inflexním bodem (extrém to již být nemůže vzhledem k předchozímu bodu), iv) Asymptoty. Funkce má asymptotu přímku x = 1. Dále hledejme asymptoty s konečnou směrnicí k: 1 lim. ln(jc) lim x^oo ln(x) 0. Pokud asymptota existuje, má tedy směrnici 0. Pokračujme tedy ve výpočtu x lim x=>°o ln(x) 0 • x = lim ln(x) = oo, a protože limita není konečná, asymptota s konečnou směrnicí neexistuje. Průběh funkce: 331 A. DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ 1. DERIVOVÁNÍ □ Ukažme si ještě některé praktické příklady na užití diferenciálního počtu. Nejpve však zmiňme Jensenovu nerovnost, která hovoří o konvexních, resp. konkávních funkcích a kterou dále využijeme. 6.17. Jensenova nerovnost. Pro ostře konvexní funkci / na intervalu / a pro libovolné body x\, ..., x„ e / a reálná čísla c\, ..., cn > 0 taková, že c\ + • • • + cn = 1, platí \i = l / i = \ přičemž rovnost nastane, právě když je x\ = ■ ■ ■ = xn. Řešení. Důkaz lze nalézt např. v ?? □ Poznámka. Jensenovu nerovnost lze sformulovat i více intuitivně: těžiště hmotných bodů umístěných na grafu ostře konvexní funkce leží nad tímto grafem. 6.18. Dokažte, že mezi všemi (konvexními) n-úhelníky vepsanými do kružnice má největší obsah právě pravidelný n-úhelník (pro libovolné n > 3). Řešení. Očividně stačí uvažovat n-úhelníky, uvnitř kterých leží střed kružnice. Každý takový n-úhelník vepsaný do dané kružnice o poloměru r rozdělíme podle obrázku na n trojúhelníků s obsahy Si, i e {1, ..., n}. Vzhledem k tomu, že sin^ = ^, cos^ = ^, ie{l.....b}, 2 r ' 2 r ' 1 ' platí funkce můžeme okamžitě výpočtem první derivace vidět vektor (1, f'(x)) e M2, který představuje okamžitou rychlost takového pohybu. Tečna bodem [x, f(x)] parametrizovaná pomocí tohoto směrového vektoru pak představuje lineární přiblížení křivky. Viděli jsme už také, že v případě, že f"(x) = 0, přechází graf naší funkce přes svoji tečnu, tzn. že tečna je i nejlepším přiblížením křivky v bodě x i do druhého řádu. To zpravidla popisujeme tvrzením, že má graf funkce / v bodě x nulovou křivost. Tak jak u první derivace nenulové hodnoty vyjadřovaly rychlost růstu (ať už s jakýmkoliv znaménkem), stejně asi intuitivně očekáváme, že druhá derivace bude popisovat míru zakřivení grafu. Zatím jsme jen viděli, že je graf funkce nad svojí tečnou pro kladnou hodnotu a pod tečnou v případě opačném. Tečnu grafu v pevném bodě P = [x, f (x)] jsme dostali pomocí limity sečen, tj. přímek procházejícími body P a Q = [x + Ax, f (x + Ax)]. Chceme-li přiblížit druhou derivaci, budeme body P a Q ^ P prokládat kružnicí C q, jejíž střed je na průsečíku kolmic na tečny, vztyčených v bodech P a. Q. Z obrázku je patrné, že jestliže tečna v pevném bodě P svírá s osou x úhel a a tečna v Q úhel a + Aa, pak i úhel zmíněných kolmic v jejich průsečíku bude Aa. Označíme-li poloměr naší kružnice p, pak délka oblouku kružnice mezi body P a Q bude pAa. Jestliže budeme limitně přibližovat bod Q k pevnému bodu P, bude se zároveň délka oblouku kružnice blížit délce s studované křivky, tj. grafu funkce f(x), a kružnice limitně přejde do kružnice CP. Dostáváme tedy pro limitní poloměr p kružnice CP základní vztah As ds p = lim -= —. Aa^o Aa da Křivost grafu funkce / v bodě P definujeme jako číslo 1/p. Nulová křivost tedy odpovídá nekonečnému poloměru p. Pro výpočet poloměru p potřebujeme umět vyjádřit délku oblouku s pomocí změny úhlu a a derivaci této funkce pak vyjádřit pomocí derivací funkce /. Všimněme si již teď, že při rostoucím úhlu 6 může délka oblouku buď také růst nebo klesat, podle toho, jestli má kružnice C q střed nad nebo pod grafem funkce /. Znaménko p nám tedy odráží, zda je funkce konkávni nebo konvexní. Je třeba také pomyslet na zvláštní případ, kdy střed limitně „uteče" do nekonečna, tj. místo kružnice limitně dostaneme přímku a to opět tečnu. Evidentně nemáme přímý nástroj na vyčíslení derivace Víme však, že tg a = df/dx a derivováním této rovnosti podle x dostaneme (s využitím pravidla pro derivaci složených funkcí) 1 da --= f ■ (cos a)2 dx Na levé straně můžeme dosadit -—1—7 = 1 + (tg a)2 = 1 + (cos a)z ■ \ e> / {f')2 a proto platí také (viz pravidlo pro derivování inverzní 332 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET funkce) dx da i + (tga)z 1 + Cf) i\2 f" f" To už jsme ale skoro hotoví, protože přírůstek délky oblouku s v závislosti na proměnné x je dán vztahem ±- = (1 + (f)2)1'2 dx a tedy můžeme již snadno spočíst podle pravidla pro rfcrfvo-vání složené funkce P ds da ds dx dx da f" Nyní již můžeme vyčíst vztah křivosti a druhé derivace: čitatel našeho zlomku je, nezávisle na hodnotě první derivace, vždy kladný. Je roven třetí mocnině velikosti tečného vektoru ke studované křivce. Znaménko křivosti tedy je dáno jen znaménkem druhé derivace, což jen znovu potvrzuje naši úvahu o konkávních a konvexních bodech funkcí. V případě, že je druhá derivace nulová, dostaneme i křivost nulovou. Kružnici, pomocí které jsme křivost definovali nazýváme oskulační kružnicí. Zkuste si spočíst křivost jednoduchých funkcí sami a využijte oskulační kružnice při náčrtech jejich grafů. Nejjed-nodušší je výpočet v kritických bodech funkce / — v těch dostáváme poloměr oskulační kružnice jako reciprokou hodnotu druhé derivace opatřenou znaménkem. 6.14. Vektorový diferenciální počet v rovině a v prostoru. Jak jsme zmínili hned v úvodu k páté kapitole, sN pro naše úvahy o derivování bylo vesměs pod-% statné, že jsme zkoumali funkce definované na reálných číslech a že jejich hodnoty lze mezi tat a lze je násobit reálnými čísly. Tj., potřebujeme, aby naše funkce / : M -» V měly hodnoty ve vektorovém prostoru V. Budeme jim pro odlišení říkat vektorové funkce. Nyní se budeme podrobněji věnovat zobrazením / : M -» M2 a / : M -» M3. Hovoříme o (parametrizovaných) křivkách v rovině a v prostoru. Obdobně bychom mohli pracovat s hodnotami v W pro jakoukoliv konečnou dimenzi n. Pro zjednodušení budeme pracovat v pevných standardních bazích et vl2al3, takže naše křivky budou dány dvojicemi, resp. trojicemi obyčejných reálných funkcí jedné reálné proměnné. Vektorová funkce r v rovině, resp. v prostoru, je tedy dána r(ř) = x{t)ex + y(t)e2, r(t) = x{t)ex + y(t)e2 + z(t)e3. Derivace takové vektorové funkce je opět vektor, který přibližuje zobrazení r pomocí lineránŕho zobrazení přímky do roviny či prostoru. V rovině je to tedy dr(t) dx dy dt dt dt Si = Xi h i = r2 sin ^ cos ^ = j r2 sin cpi, i e {1, ..., n}. Odsud plyne, že obsah celého n-úhelníku je S = É$ = £ z2 É sin Z = l Z = l Chceme tedy maximalizovat součet Eľ=i s^n(Pi' přičemž pro hodnoty i = l / i = l \i = l / cp„. Když tak ?n sin2--. E \ sin(Pi- i = l Navíc víme, že rovnost nastává právě pro cp\ vyjádříme (s pomocí (6.4)) S = ^±^in 0), obvod se také zvětší a-krát a obsah a2-krát (jde 0 plošnou míru). Takže IP nezávisí na velikosti obrazce, nýbrž pouze na jeho tvaru. Uvažujme proto pravidelný «-úhelník vepsaný do jednotkové kružnice. Podle obrázku je h = cos cp = cos -, £ = sin cp = sin -, což dává vyjádření pro jeho obvod o = n ■ x = 2n sin — 1 obsah 5 = n ■ \ hx = n cos - sin - "2 n n Pro pravidelný n-úhelník tak je 333 A. DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ 1. DERIVOVÁNÍ 4«2 sin2 f- « fe « ' což můžeme ověřit kupř. pro čtverec (n = 4) s délkou strany a, kdy máme IP 4naz (4a)2 —4—4 COt§ 4 • Provedeme-li limitní přechod pro n -» 00 s použitím limity 1, dostaneme izoperimetrický podíl pro kružnici lim ^ x^O x IP = lim ^cotg^ lim cos 0 1 1. Pochopitelně jsme také mohli pro kružnici o poloměru r přímo vypočítat ip _ 4jt£ _ 4jr(ro2) _ o2 (2nr)2 Pro hranici kruhové výseče o poloměru r a středovém úhlu

0, (ri(0, rk(t)) platí dep ,dr\ , , drk - = H—,r2,...,rk) + ... + {r_, ,rk-lt— )■ (3) Předchozí tvrzení zůstává bezezbytku v platnosti i pokud <ř je samo vektorově hodnotové (a také lineární ve všech k argumentech). Důkaz. (1) V lineární algebře se ukazuje, že lineární zobrazení jsou dána konstantní maticí skalárů A = (a^-) tak, že (n n \ J^aynit), ... ,^amin(t)\. ! = 1 '-i ' i=\ 334 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Derivaci nyní provádíme po jednotlivých souřadnicích výsledku. Víme ale, že derivace se chová lineárně vůči skalárním lineárním kombinacím, viz Věta 5.32. Proto skutečně dostaneme derivaci *ľ o r(ř) prostým vyčíslením původního lineárního zobrazení *ľ na derivaci / (ŕ). (2) Zcela obdobně dostatneme i druhé tvrzení. V souřadnicích rozepíšeme vyčíslení /c-lineární formy na vektorech r\,..., rk takto «(r,(0....,/>(()) E Bi, (rl)i,(t)...(rk)iAt), kde skaláry Bix ...íit jsou pro každou volbu indexů dány jako hodnota dané formy ®(eix, ..., eik) na zvolené /c-tici bázových vektorů. Pravidlo pro derivaci součinu skalárních funkcí nám dá právě dokazované tvrzení. (3) Pokud má <ř vektorové hodnoty, je zadáno konečně mnoha komponentami a můžeme použít předchozí úvahu na každou z nich. □ Na euklidovském prostoru M3 máme kromě skalárního součinu, který dvěma vektorům přiřadí skalár, také vektorový součin, který dvěma vektorům u a. v přiřadí vektor u x v e M3, viz 4.24.. Tento vektor h x uje kolmý na oba vektory u a. v, má velikost rovnou obsahu rovnoběžníka určeného vektory u a v (v tomto pořadí) a orientaci takovou, trojice u,v,uxv byla kladně orientovanou bází. Z předchozí věty okamžitě vyplývají užitečná tvrzení: Důsledek. V prostoru M3 uvažme vektory u(t) a v(t). Pro derivace jejich skalárního součin (u(t), v(t)) a vektorový součin u(t) x v(t) platí (6.1) ^-(u(t), i,(0) = (u'(t), i,(0) + (u(t), v'(t)) dt d (6.2) — (k(0 x t>(0) — U (t) X v(t) I ll(í) x D (0 dt 6.16. Křivost křivek. Nyní máme daleko mocnější nástroje pro studium křivek systematičtějším způsobem, než když jsme diskutovali křivost grafů funkcí. Podívejme se obecně na křivky0^03-^ Sptgk storu a předpokládejme, že jsou parametrizovány tak, aby jejich tečný vektor měl stále velikost jedna, tj. (/(0, r'(t)) = 1 pro všechna t. Říkáme, že je křivka r(t) parametrizována délkou. Další derivací tohoto jednotkového vektoru r'(t) dostaneme vektor r"(t), pro který spočteme (využíváme symetrie skalárního součinu) 0 dt a je tedy vektor zrychlení r"(i) vždy kolmý na vektor rychlosti. To odpovídá představě, že volbou parametrizace s konstantní velikostí rychlosti, nemůže být zrychlení ve směru pohybu znatelné, musí tedy celé zrychlení být v rovině kolmé k přičemž 5; je obsah a o; obvod z-tého obrazce. Ještě budeme používat označení n A :=E V i=\ Připomeňme, že izoperimetrický podíl je dán pouze tvarem obrazce a nezávisí na jeho velikosti. Zvláště hodnota A je konstantní (je určena tvarem zadaných obrazců). Naším úkolem je minimalizovat součet Eľ=i S{ při dodržení podmínky Eľ=i Oi = l. Protože je však 2 Si = Ů~> i €{l,...,n], jde nám o minimalizaci výrazu " 2 ? - 1 y i i = l Použijeme-li Jensenovu nerovnost pro ostře konvexní funkci y = x2 (na celé reálné ose), obdržíme E ci xi) < E ci xf 1 / i=\ pro Xi e M a q > 0 s vlastností c\ + ■ ■ ■ + cn = 1. Dále víme, že v této nerovnosti nastane rovnost právě tehdy, když je x\ = ■ ■ ■ = xn. Volbou Q = X' xi = F' i e {l,...,n} pak dostaneme (TI \ ^ TI " Jednoduchými úpravami přejdeme k nerovnici 2 i=l / i=\ a poté (uvažte, že Eľ=i °í = 0 t " 2 A — t— Xi ' i = l přičemž opět rovnost nastává právě pro (6.5) Xi — x tj — — — — Odsud vyplývá, že 5 je nej menší, právě když platí (6.5). Tato nejmenší hodnota S je l2 /(4jtA). Zbývá stanovit délky nastříhaných částí Oi. Pokud je (6.5) splněno, musí zjevně být o; = kk{ pro každé i e {1, ..., n} a jistou konstantu k > 0. Z n n n o,■ = l a současně E °i = & E ^ = /—i /—i /—i ihned plyne, že /c = Z/A, tj. Oi = ^l, ie{l,...,n}. Podívejme se na konkrétní situaci, kdy máme provázek o délce 1 m rozříznout na dva menší a z nich potom vytvořit čtverec a kruh 335 A. DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ 1. DERIVOVÁNÍ tak, aby součet jejich obsahů byl co nejmenší. Pro čtverec a kruh je po řadě (viz příklad nazvaný Izoperimetrický podíl) A1=i, k2 = l, tj. A=Xl+X2 = ^. Délky příslušných částí tak jsou 4_ oi = 4fF-lm=5^7m = 0,56m, o2 = 4--lm=^m = 0, 44 m. Obsah čtverce o obvodu 0, 56 m (s délkou strany a = 0, 14 m) je 0, 019 6 m2 a obsah kruhu s obvodem 0, 44 m (a poloměrem r = 0, 07 m) pak činí přibližně 0, 015 4 m2. Můžeme ověřit, že i ŕ___ 4jtA 4(4+jr) m2 = 0, 035 m2 = 0, 019 6 m2 + 0, 015 4 m2. □ 6.21. ĽHospitalova kladka. Ke stropu je v bobě A uvázáno lano délky r. Na jeho druhém konci je připevněna kladka. Ve vzdálenosti d (v bodě B) od bodu A je ke stropu přivázáno druhé lano délky l > \JS + r2 , které prochází kladkou. Na tomto druhém laně je zavěšeno závaží. V jaké pozici se závaží ustálí (systém přejde do stacionární polohy)? Při řešení úlohy zanedbejte hmotnost i velikost lan a kladky. Viz obrázek. Řešení. Systém bude ve stacionární poloze, pokud bude minimalizována jeho potenciální energie, tj. vzdálenost závaží od stropu f(x) bude maximální. To však znamená, že pro r > d se kladka pouze přesune pod bod B. Nadále proto budeme předpokládat, že r < d. Podle Pythagorovy věty je vzdálenost kladky od stropu ~Jr2 — x2 a vzdálenost kladky a závaží je l — y/(d — x)2 + r2 — x2 , což dává f(x) = Vr2 - x2 + l - y/(d - x)2 + r2 - x2 . Poloha systému je zcela popsána hodnotou x e [0, r] (viz obrázek), a tudíž stačí najít globální maximum funkce / na intervalu [0, r]. Nejprve spočítáme derivaci -(d—x) —x + •Jr2-x2 •J(d-x)2+r2-x2 -Jr2-x2 •J(d-x)2+r2-x2 (0,r). x e Umocnění rovnice f'(x) = 0 pro x e (0, r) vede na X2 = d2 r2—x2 {d—x)2-\-r2—x2 Vynásobením obou stran výrazem (r2 — x2) {{d — x)2 + r2 — x2) pak (po úpravě) dostaneme 2dr - (2d2 + r2) x2 + ér2 = 0, x e (0, r). Všimneme-li si, že jedním z kořenů polynomu na levé straně je zřejmě x = d, snadno převedeme poslední rovnici do tvaru (x - d) (2dx2 - ŕx - dr2) =0, x e (0, r), resp. (pro kvadratickou rovnici máme vzorec) vektoru rychlosti. Pokud je druhá derivace nenulová, normovaný vektor n(t) =-i-r" {t) \\r"(t)\\ nazýváme hlavní normálou křivky r (t). Skalární funkce k(í) splňující (v bodech, kde je r" (ř) ^ 0) r" (t) = k(t)n(t) se nazývá křivost křivky r (t). V nulových bodech druhé derivace definujeme k(í) také nulovou hodnotou. V nenulových bodech křivosti je dobře definován jednotkový vektor b (t) = r1 (t) x n (t), který nazýváme binormála křivky r (t). Přímým výpočtem dostáváme 0 = ^-(b(t), r'(t)) = (b'(t), r'(t)) + (b(t), r"(t)) dt = (b'(t), r'(t)) + K(t)(b(t), n(t)) = (b'(t), r'(ř)), což ukazuje, že je tečný vektor k binormále kolmý j ak na b (í), tak na r'(t). Musí tedy být násobkem vektoru hlavní normály. Píšeme b'(t) = -x(t)n(t) a skalární funkci r (t) nazýváme torze křivky r (t). Ještě jsme nespočetli rychlost změny hlavní normály, kterou můžeme také psát jako n(t) = b(t) x r1 (i). n'(t) = b'(t) x r'(t) + k(t)b(t) x n(t) = -x(t)n(t) x r'(t) + k(t)(-r'(t)) = r(t)b(t) - ic(t)r'(t). Postupně jsme pro všechny body s nenulovou druhou derivací křivky r(ř) parametrizované délkou oblouku odvodili význačnou bázi (/(ŕ), n(t), b(t)), které se v klasické literatuře říká Frenetův reper a zároveň jsme v této bázi vyjádřili derivace jejích komponent formou tzv. Frenetových-Serretových formulí dr1 dt ■(ř) = ic(t)n(t), dn dt db ďF(t) (t) = r(t)b(t) - k(t)r'(t) -x(t)n(t). Všimněme si, že pokud křivka r(ř) leží stále v jedné rovině, pak je její torze identicky nulovou funkcí. Ve skutečnosti platí i obrácené tvrzení, které tu nebudeme dokazovat, vyplývá ale z následujícího klasického výsledku geometrické teorie křivek: Dvě křivky v prostoru parametrizované délkou oblouku lze jednu na druhou zobrazit pomocí euklidovské transformace právě, když jejich funkce křivosti a torze splývají, až na konstatní posuv parametru. Navíc, pro každou volbu hladkých funkcí Kar existuje hladká křivka s těmito prametry. Tento výsledek tu nebudeme dokazovat, zájemce může podrobný výklad nalézt v [?]. Přímým výpočtem můžeme zkontrolovat, že křivost grafu funkce / v rovině a křivost k této křivky zavedené v tomto odstavci splývají. Skutečně, výpočtem 336 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET derivace složené funkce s pomocí diferenciálu délku oblouky pro graf funkce ve tvaru dt = (1 + (f')2)dx, tj. dx = (1 + (f')2)~1/2dt dostaneme pro náš jednotkový tečný vektor grafu křivky vztah r'(t) = ((i + (ffrll\ fa + (f)2y1/2) a poměrně nepřehledným, ale obdobným výpočtem druhé derivace a její velikosti skutečně obdržíme k2 = V f = (/")2(i + (/O2)"3- 6.17. Aproximace derivací a asymptotické odhady. Hned na začátku této učebnice jsme v odstavcích 1.3, 1.9 a dále diskutovali, jak zadávat hodnotu funkce pomocí změn, tj. diferencí. V další části i— textu budeme obdobně rekonstruovat funkci / z jejích derivací, tj. okamžitých změn. Předtím se ale pozastavme u souvislosti derivací a diferencí. Klíčem nám k tomu bude Taylorova věta. Předpokládejme, že z (dostatečně) diferencovatelné funkce f(x), definované na intervalu [a, b], známe hodnoty fi = f(xi) v bodech x0 = a, x\, ..., xn = b, přičemž pro všechny indexy i = 1, ..., n platí x,■ — x;-_i = h > 0 pro nějakou konstantu h. Taylorův rozvoj pro funkci / v bodě Xi pišme ve tvaru f(Xi±h) f ± hf'(Xi) + y /"(*,-) ± ^/(3)fe) + Víme, že když v rozvoji skončíme členem řádu k v h, tj. výrazem obsahujím hk, pak se dopustíme chyby, která je omezená každým odhadem výrazu hk+1 ——řk+1\x) (k + 1)! na intervalu [x;- — h, x{ + h]. Pokud je i (k + l)-vá derivace / spojitá, můžeme ji odhadnout konstantou. Vidíme pak, že se pro malá h chová Taylorův polynom stupně k stejně jako hk+1, až na konstantní násobek. Takovému odhadu se říká asymptotický odhad. Definice. Řekneme, že výraz G(h) je pro h -» 0 asymptoticky stejný s výrazem F(h) a píšeme G(h) = 0{F(h)), jestliže existuje konečná limita G(h) lim , h^O hk a e Označme si hledané odhady hodnot derivací f(x) v bodech Xi jako f^. Pro odhady první derivací můžeme okamžitě použít tři různé diference spočtené z Taylorova rozvoje: (1) fi + l ~ fi-l fi (1) 2h fi + l - p'(3)(xi) fi h h f"(Xi) + (D fi 21 -Jl± + L f"(Xi) + h 2V v ' 2d (x — d) (3 4d (0,r). 4d )=»• x e Odsud vidíme, že rovnice f'(x) = 0 má v intervalu (0, r) nejvýše jedno řešení. (Neboť je r < d a -Jr2 + Sd2 > r, dva kořeny uvažovaného polynomu v proměnné x určitě v intervalu (0, r) neleží.) Zbývá rozhodnout, zda x0 r2+r^r2+Sd2 _ 1 3+V(š) +8 e (0,r). 4d 4 ' Když však uvážíme, že r, d > 0 a r < d, snadno získáme 0 < xq < i +VT^T Vzhledem ke spojistosti funkce /' na intervalu (0, r) může dojít ke změně jejího znaménka pouze v bodě x0. Z limit d lim f'(x) lim f'(x) -- r^— tak již vyplývá, že /'(*)> 0, jce(0,jc0), -oo f'(x)<0, xe(x0,r). Funkce / má proto globální maximum na intervalu [0, r] v bodě xq. □ 6.22. Nejmenovaná poštovní společnost má ve svých podmínkách ,\\NJ//, uvedeno, že délka jí přepravovaného balíku nesmí být větší než 108 palců a že součet jeho délky a maximálního obvodu nesmí přesáhnout hodnotu 165 palců. Nalezněte balík nej-většího objemu, který podle svých podmínek společnost může doručit. Řešení. Nechť M označuje hodnotu 165 in (tj. palců) a x délku balíku (v palcích). Hledaný balík bude mít zřejmě takový tvar, že jeho průřez pro libovolné t e (0, x) bude mít stejný (ten maximální) obvod, který (rovněž vyjádřen v palcích) budeme značit jako o. Chceme, aby balík měl maximální objem, a tudíž aby průřez daného obvodu měl maximální obsah. Není obtížné si uvědomit, že rovinný útvar, který má při daném obvodu maximální obsah, je kruh. Tím jsme dospěli k závěru, že hledaný balík nej většího objemu má tvar válce o výšce x a poloměru podstavy r = o/2jt. Jeho objem je V =jtr2x = přičemž musí být o + x < M a také x < 108 in. Uvažujme proto balík, pro který je právě o + x = M. Ten má objem (M-x)2 x _ x3-2Mx2+M2x V(x) 4n 4ti kde x e (0, 108]. Spočítáme-li derivaci V'(x) 3x2-4Mx+M' 3(x-M) (x-f) 4ti 4ti x e (0, 108), 337 B. INTEGROVÁNÍ 2. INTEGROVÁNÍ snadno zjistíme, že funkce V roste na intervalu (0, 55] = (0, M/3] a klesá na intervalu [55, 108] = [M/3, min{108, M}]. Největší objem tak dostáváme pro x = M/3, přičemž V (f) = m = 0, 011 789 M3 ~ 0, 867 8 m3. Pokud by společnost v přepravních podmínkách požadovala, aby měl balík tvar kvádru, příp. jistého hranolu, můžeme předchozí úvahy zopakovat pro daný průřez o obsahu 5, aniž bychom specifikovali, jak tento průřez vypadá. Stačí si uvědomit, že nutně S = ko2 pro jisté k > 0, které je právě určeno tvarem průřezu. (Když se pouze změní velikost mnohoúhelníku, jenž je průřezem, tak se změní ve stejném poměru také jeho obvod. Obsah se však např. zdevítinásobí při trojnásobné velikosti - trojnásobném obvodu.) Objem balíku je tedy funkcí V(x) = Sx = ko2x =k(M -xfx, x e (0, 108]. Konstanta k neovlivňuje bod, kde je globální maximum funkce V, a proto toto maximum nastává opět pro x = M/3. Např. pro nej objemnější kvádr s podstavou čtverce je o = M — x = 2M/3, tj. délka strany jeho podstavy je a = M/6 a objem potom V 7 a x $3 = 0, 009 259 M3 0, 681 6 m3 6,.„9 Pro balík ve tvaru koule, kdy je x průměrem, podmínku o+x 0; (c) f arctgx dx, x e M; (d) f ex sinx dx, x e R. 339 B. INTEGROVÁNÍ 2. INTEGROVÁNÍ Řešení. Nejdříve vyzdvihněme, že metodou per partes lze vypočítat každý integrál ve tvaru J P(x) ahx dx, f P(x)sin(bx) dx, f P(x)cos(bx) dx, f P(x)\ognax dx, f jŕlog£ (kx) dx, f P (x) arcsin (bx) dx, f P (x) arctg (bx) dx, f ahx sin (cx) dx, kde f je libovolný polynom a a e (0, 1) U (1, +oo), 6,ceM\{0}, n e N, k > 0. f 7J(x)arccos (bx) dx, f 7J(x)arccotg (bx) dx, f ahx cos (cx) dx, Proto víme, že (a) / (x2 + l) e~x dx F(x) = x2 + 1 | F'(x) = 2x G'(x) = e~x I G(x) = -e" (x2 + 1) 2x e - (x2 + 1) e~x +J2x e~x dx F (x) = 2x F'(x) = 2 G'(x) = e~x G (x) = -e~x ~x - 2x e~x + f 2 e~x dx = - (x2 + l) e" - 2e~* + C = -e~x (x2 + 2x + 3) + C; (b) f (2x — 1) ln x dx -(x2 — x) Inx — f F(x)=lnx F'(x) = \/x | G'(x) = 2x - 1 G(x) = x2 - x | — dx = (x2 — x) ln x + J 1 — x dx (x2 - x) lnx + x — y + C; (c) f arctg x dx F (x) = arctg x G'(x) = 1 F'(x) G(X): l+X1 x arctg x — f dx = x arctg x — ^ f x arctgx - \ ln (l + x2) + C; 2jc dx (d) J e* sin x í/x F (x) = e* G'(x) = sin x F'(x) G(x) : cos x -ď cos x + J ď cos x í/x = F'(x) = ď G (x) = sin x 6.13 F (x) = ď G'(x) = cos x —ex cos x + e* sinx — / e* sinx í/x, odkud plyne / ď sinx í/x = j ď (sinx — cosx) + C. □ 6.27. Metoda substituční, (viz 6.21) aeRařieZ,ři^-l: y íz í/x = ízx + C / /• / / / / / / / / / ízx" í/x = -^xn+l + C n + l eax dx = i eax +C a a — dx = a ln x + C x a cos(^x) í/x = | sin(^x) + C a sin(Ŕx) í/x = — I cos(ŕx) + C íz cos(ŕx) sin"(/>x) í/x = fo(nfl+1) sin"+1(/>x) + C íz sin(Ŕx) cos" (ŕx) í/x b(n + l) cosn+í(bx) + C a tg(bx) í/x =--ln(cos(Ŕx)) + c í/x = arctg (i) + C íz2 + x2 -1 Víz2 — x2 í/x = arccos (^) + C í/x = arcsin (t—^ + C íz2 — x2 Ve všech případech je zapotřebí dobře promyslet definiční obor, na kterém je neurčitý integrál dobře definován. K takovýmto tabulkovým pravidlům pro integraci lze relativně snadno dodávat další pravidla jednoduchými pozorováními vhodné struktury integrovaných funkcí. Např. /'(*) / fix) dx = ln/(x) + C pro všechny spojitě diferencovatelné funkce / na intervalech, kde jsou nenulové. Samozřejmé také z pravidel pro derivaci součtu diferencovatelných funkcí a konstantních násobků diferencovatelných funkcí je zřejmé že obdobná pravidla platí neurčitý integrál také. 6.20. Integrace per partes. Výpočet integrálu pomocí an-tiderivace (neurčitého integrálu), spolu s pravidlem (F ■ G)'(t) = F'(t) ■ G(t) + F(t) ■ G'(t) pro derivaci součinu funkcí, dává následující formuli pro neurčitý integrál F(x) ■ G(x) + C j F'(x)G(x)dx + j F(x)G'(x)dx. Tato formule se většinou používá v případě, že jeden z integrálů napravo máme počítat, zatímco druhý umíme počítat lépe. 340 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 6.13a Nejlépe je princip vidět na příkladu. Spočteme V tomto případě pomůže volba F(x) = x, G'(x) = sinx. Odtud G (x) = — cos x a proto také / = —x cos x — j — cos x dx = —x cos x + sin x + C. Obvyklým trikem je také použít tento postup s F'(x) = 1: J lnx dx = J 1-lnx dx = x ln x— f —x dx = x ln x—x+C. 6.21. Integrace pomocí substituce. Další užitečný postup je odvozen z derivování složených funkcí. Jestliže F'(y) = f(y), y = 5 . (a) j \/2x — 5 dx, x (b) / ÍLtíĽSil dx, x > 0; (c) f ■ COS X J~ v -L 0+4k)ji (1+sin x Ý dx, X ^ j k e (d)/ Řešení. Platí (a) dx, x e / V2x — 5 dx t = 2x — 5 dt = 2 dx f yftdt ■n + C V(2x - 5)3 + C; (b) (7+ln x)' dx ř = 7 + lnx ci, .8 „ dt = - dx X (7+ln xf + C; (c) (l+sin x)2 dx t = 1 + sin x dt = cos x dx i 1 +sin x + C; (d) ■■ dx Vl+sin2 u = t + Vl + ř2 > 0 ^ dt t = smx úřř = cos x úřx r dt_ J fi + c 'i+ť- - dt du = ^1 + du _ ř+yi+ř2 'l+ř2 1 =dř '1+ř2 ľ - du = ln m + C ln (^ř + VT+^j + C = ln (sinx + >/l + sin2x^ + C. □ 6.29. Určete integrály áx sin2(x)—cos2(x) ' a) / b) / x2V2x + 1 dx. Řešení. Pro výpočet prvního z integrálů zvolíme substituci t = tg x, kterou lze často s výhodou uplatnit. dx / sin (x) — cos2(x) substituceř = tg x dt = —! cos sin2(x) : cos2(x) ■ dx tg2 M l+tg2M l+tg2M (l+tg2(x))dx = (l + ř2)dx - JL- ' ~ 1+t2 1 1+ř2 l^-« = ll—-l-l — J f-1 2] t-\ 2] t+\ 'tgW -1 ln tg+1 + C 341 B. INTEGROVÁNÍ 2. INTEGROVÁNÍ Nyní určeme druhý integrál: 6.15 / x2V2x + 1 dx = 2 u = 2x U = X v ' - V2x + 1 v = \(2x + \) 1 9 = -x2(2x + 1)' x + ldx - -(2x + 1)2, což můžeme chápat jako rovnici, kde neznámou je hledaný integrál. Převedením na jednu stranu pak / x2V2x + 1 dx x2(2x + 1)5 \ f W2 x + 1 U = X v y/2x + 1 i; = \y/2x + 1 L 32/l ,- 1 /" 3 \ -x2(2x + 1)2 - - I-xV2x + 1 - - / (2x + 1)2 dx 1 -x2(2x + 1)2--xV2x + 1 H--(2x + 1)2 = V 21 105 -x2(2x + 1)2 - — x(2x + 1)2 + — (2jc + 1)2 7 V 7 35 105 6.30. Užitím základních vzorců vypočtěte (a) f dx, x 0; (b) f tg2 x dx, x ^ f + kn, teZ; (c) fŤ*žhdx,xč-í+2kn,ke: (d) / 6 sin 5x + cos | + 2 e~ 0. Měli bychom tedy uvažovat hodnoty C\ a C2- Pro jednoduchost budeme ale používat zápis bez indexů a uvádění příslušných intervalů. Navíc si budeme pomáhat položeními aC = C pro a eM\{0}aC + /3 = C pro b e M, která jsou založena na skutečnosti, že {C; CeR) = {aC; Cel) = {C+/j; C e R) = I. Zcela korektní vyjádření bychom pak obdrželi např. substitucemi C = aC,C = C+b. Tato zjednodušení prokáží svou užitečnost při počítání náročnějších příkladů. Činí totiž postupy a úpravy přehlednějšími. Případ (b). Postupné úpravy integrované funkce vedou na 6.22. Integrace převedením na rekurence. Často vede použití substitucí a metody per partes k rekurentním vztahům, ze kterých teprve lze dopočíst hledané t integrály. Budeme ilustrovat na příkladu. Metodou per partes počítáme Im = I cos"1 x dx = I cosm_1 x cosx dx J cos™ x dx = j < cos m — l COS m — l f x sinx — (m — 1) / cos™ 2 x(— sinx) sin x dx xsinx + (m — 1) / cos™ 2xsinzx 2A+B = 2, A+B = 4. Odtud již přímo vychází náš rozklad. Říká se mu rozklad na parciální zlomky. Tento elementární postup lze snadno zobecnit. Jde o čistě algebraickou úvahu opírající se o vlastnosti polynomů, ke kterým se budeme vracet v kapitole ??. Předpokládejme, že jmenovatel g(x) a čitatel f(x) nesdílí žádné reálné ani komplexní kořeny a že g (x) má právě n různých reálných kořenů a\, ..., an. Pak jsou body a\, ... an právě všechny body nespojitosti funkce f(x)/g(x). Pro zjednodušení úvahy nejprve pišme g(x) jako součin g(x) = p(x)q(x) dvou nesoudělných polynomů. Díky Bezoutově identitě (viz ??), která je důsledkem obyčejného dělení polynomů se zbytkem, existují polynomy a(x) a b(x) se stupni ostře menšími než je stupeň g takové, že a(x)p(x) + b(x)q(x) = 1. f —V- dx — ľ 1 dx = tg x — x + C, •> cosz x •> D kde jsme si pomohli znalostí derivace (tgx)' = ^, x ^ f+kiv, k e Z. Případ (c). Stačí si uvědomit, že se jedná o speciální případ vzorce fíMdx=inl f(x) | + c, jenž můžeme přímo ověřit derivováním (In | f(x) | + C)' = (In [±f(x)])'+(Cy = = ^§ = Platí tudíž f -£2i*— dx = ln (1 + sinx) + C. j l+sinjc v ' Případ (d). Protože integrál součtu je součtem integrálů (pokud mají jednotlivé integrály smysl) a nenulovou konstantu lze z integrálu vytknout kdykoli, je / 6 sin 5x + cos | + 2 e?" úřx = — | cos 5x + 2 sin | + 3 e^" + C. □ 6.31. Určete (a) f-7 x ' J cosz dx, x j + kjt, k e (b) f lnx dx, x > 0; (c) / x2 e~3x dx, x e M; (d) f cos2 x dx, x e M. Řešení. Případ (a). Metodou per partes dostáváme ■ dx x tg x — f tg x dx F (x) = x F'(x) = 1 G'« = d^ G(x) = tgx x tg x + / c™xx dx = x tg x + ln | cos x | + C. Případ (b). Zdá se, že nemáme zadán integrál ze součinu dvou funkcí. Když ovšem položíme F(x) = lnx, G'(x) = 1 (tj. F'(x) = 1 /x, G(x) = x), opět pomocí per partes snadno obdržíme / lnx dx = x ln x — f ^ dx = x lnx — x + C. Případ (c). Tentokráte očividně integrujeme součin dvou funkcí. Aplikováním metody per partes integrál převádíme na jiný integrál tak, že jednu funkci derivujeme a druhou integrujeme. Integrovat umíme obě (derivovat umíme všechny elementární funkce). Musíme se proto rozhodnout, kterou ze dvou variant metody použijeme (zda budeme integrovat funkci y = x2, nebo y = e~3x). Uvědomme si, že per partes můžeme použít opakovaně a že n-tá derivace polynomu stupně n e N je konstantní polynom. To nám dává způsob, jak lze spočítat x e : dx F(x) --G'(x) -3x F'(x) G(X) : 2x 1 „-3x "3 C 3xdx 343 B. INTEGROVÁNÍ 2. INTEGROVÁNÍ a dále x e -3* dx \ x e~3x + 3 — > 3 fe Dohromady tak máme / x2 e~3x dx F(x) = x G'(x) = e~3x \ f e~3x dx F'(x) G(x) - I a-Sx 3 c j_ p—3x _ 1 p-3x + c. i x2 e~3x 2 —3x | x e ix 2l. 21 C + C \t~3x (x2 + \x + f) + C. Poznamenejme, že opakované použití per partes v rámci výpočtu jednoho integrálu je běžné (podobně jako při počítání limit 1'Hospitalo-vým pravidlem). Případ (d). Opět aplikujeme metodu per partes při vyjádření / cos2 x dx = f cos x ■ cos x dx F(x) cosx G'(x) cosx cos x • sin x + / sin2 x dx F'(x) = — sinx G(x) = sinx cos x • sin x + / 1 — cos2 x dx = cos x • sin x + / ldx — f cos2 x dx = cos x • sin x + x — J cos2 x dx. Přestože návrat k zadanému integrálu může vyvolat u čtenáře pochyby, ze vztahu / cos2 x dx = cos x • sin x + x — j cos2 x dx je možné vyvodit 2 f cos2 x dx = cos x • sin x + x + C, tj- (6.6) / ? 1 cos x dx = - (x + sinx • cosx) + C. Stačí si vzpomenout, že klademe C/2 = C a že neurčitý integrál (jako nekonečnou množinou) lze reprezentovat jednou konkrétní funkcí a jejími posunutími. Vyzdvihněme, že většinou vhodné úpravy či substituce vedou k výsledku rychleji než metoda per partes. Např. pomocí identity cos2x = i (1 + cos2x) , x e M jednodušeji dostaneme / cos2 x dx = f \dx + / \ cos 2x dx = f + + C = 2sin|cosx + C = I (x + sinx . cosx) + C + □ 6.32. Integrujte (a) /cos5x • sinx dx, x e M; (b) f cos5 x • sin2 x dx, x € m (c) f-sii. jx x e (_i i). v ' •< cos* jc V 2 2 / (d) i-^±v_ dx, x > 0. Vynásobením této rovnosti podílem / (x) j g (x) dostáváme f (x) a (x) b (x) g (x) q(x) ' p (x) Předpokládejme nyní, že náš polynom g (x) nemá jiné než reálné kořeny, má tedy jednoznačný rozklad na faktory (x — ai)ni, kde n i jsou násobnosti kořenů at, i = 1, ..., k. Postupným použitím předchozího postupu s nesoudělnými polynomy p (x) &q(x) dostaneme vyjádření f (x)/g (x) pomoci součtu zlomků ve tvaru r\(x) rk (x) (x - fll)»i " ' (x - a*)";-' kde stupně polynomů r; (x) jsou ostře menší než stupně v jmenovatelích. Každý z nich ale jde velmi snadno rozepsat jako součet r(x) Ai . A2 . A„ + + ••• + (x — a)" x — a ' (x — a)2 ' (x — a)" když začneme od nejvyšších mocnin v polynomu r(x) a postupně počítáme A\, A2, ... vhodným doplňováním a odebíráním sčítanců v čitateli. Např. 5x - 16 1 + (x - 2)2 (x - 2)2 (x - 2)2 x - 2 (x - 2)2' Zbývá ošetřit ještě případ, kdy reálných kořenů není dostatek. Vždycky ale existuje rozklad g(x) na lineární faktory s případnými komplexními kořeny. Opakování předchozí úvahy pro komplexní polynomy nám dá tentýž výsledek, pokud ale předem víme, že koeficienty polynomů jsou reálné, budou komplexní kořeny v našich výrazech vystupovat vždy po dvojicích komplexně sdružených kořenů. Můžeme proto rovnou pracovat s kvadratickými faktory ve tvaru součtu čtverců (x —a)2 +b2 a jejich mocnin. Naše předchozí úvaha opět dobře funguje a zaručuje, že bude možné hledat příslušné sčítance ve tvaru Bx + C ((x - a)2 + b2)n ' Obdobně jako v případě reálných kořenů se tedy i v případě mocniny ((x — a)2 + b2)" takového kvadratického (nerozložitelného) faktoru vždy podaří najít odpovídající rozklad na parciální zlomky tvaru A\x + Bi A„x + Bn (x - a)2 + b2 + + ((x - a)2 + b2)n ' Konkrétní výsledky lze také snadno ozkoušet v Maplu pomocí volání procedury „convert(h, parfrac, x)", které rozloží výraz h polynomiálně závislý na proměnné x na parciální zlomky. Všechny výše uvedené parciální zlomky už umíme integrovat. Připomeňme, že ty poslední zmíněné vedou mimo jiné na integrály diskutované v Příkladě 6.22. Celkově můžeme shrnout, že racionální funkce f(x)/g(x) lze poměrně snadno integrovat, pokud se podaří najít příslušný rozklad polynomu ve jmenovateli g(x). Při výpočtu Newtonových integrálů jsou ale problematické body 344 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET nespojitosti racionálních funkcí lomených, v jejichž okolí jsou tyto funkce neohraničené. Tomuto problému se budeme obecně ještě věnovat později (viz odstavec 6.30 níže). 6.24. Riemannův integrál. Myšlenku počítat f ntegráí jalco11 vyjádření plochy vymezené grafem funkce a osou x je třeba zpřesnit. To nyní učiníme a v zá-zl. pěti dokážeme, že pro všechny spojité funkce tato definice dává stejné výsledky jako Newtonův integrál. Uvažme reálnou funkci / definovanou na intervalu [a,b] a zvolme dělení tohoto intervalu spolu s výběrem reprezentantů §; jednotlivých částí, tj. a = xq < x\ < ■ ■ ■ < x„ = b a zároveň §; e [x;_i,x;], i = 1, ..., n. Normou dělení nazýváme číslo min;{x; —x;_i}. Riemannův součet odpovídající zvolenému dělení s reprezentanty E = (jco, ..., jc„; §i, ..., §„) definujeme jako Se = X!/&■)•(*/ i)- i=\ Řekneme, že Riemannův integrál funkce / na intervalu [a, b] existuje, jestliže pro každou posloupnost dělení s reprezentanty (Si) s normou dělení jdoucí k nule existuje limita lim SSk = S, k^ca jejíž hodnota navíc nezávisí na volbě posloupnosti dělení a reprezentantů. Píšeme v takovém případě ŕ S = I f(x)dx. J a Tato definice nevypadá příliš prakticky, nicméně nám dovolí snadno sformulovat a dokázat některé jednoduché vlastnosti Riemannova integrálu: Věta. (1) Je-li f omezená reálná funkce definovaná na reálném intervalu [a, b] a c e [a, b] nějaký vnitřní bod, potom integrál f(x)dx existuje tehdy a jen tehdy, když existují oba integrály fc f(x)dx a fh f(x)dx. V takovém případě pak také platí ŕb ŕ c ľb j f (x)dx = j f (x)dx + / f (x)dx. Ja Ja J c (2) Jsou-li f a g dvě reálné funkce definované na intervalu [a, b] a jestliže existují integrály f(x)dx a g(x)dx, pak existuje také integrál jejich součtu a platí ľb pb pb / (f(x) + g(x))dx = / f(x)dx + / g(x)dx. Ja Ja Ja (3) Je-li f reálná funkce definovaná na intervalu [a, b], C € M je konstanta a jestliže existuje integrál f^f(x)dx, pak existuje také integrál C ■ f(x)dx a platí ľb pb j C ■ f (x)dx = C ■ j f (x)dx. Ja Ja Řešení. Případ (a). Jde o jednoduchý příklad na tzv. první substituční metodu, jejíž podstatou je zapsat integrál ve tvaru (6.7) / f((p(x))(p'(x)dx pro jisté funkce / a 0 najdeme vždy k takové, 5stsup, k > N bude k 5sup blíže než o e. Pro ale umíme podle předchozí úvahy najít 8 tak, že pro všechna dělení s normou menší než 8 budememe se součtem blíže než o 2e. Právě jsme proto ukázali, že pro libovolné číslo e > 0 umíme najít takové á > 0, že pro všechna 6.35. Stanovte J e^ dx, x > 0. Řešení. Touto úlohou lze ilustrovat možnosti kombinování substituční metody a metody per partes (v rámci jednoho příkladu). Nejprve použijeme substituci y = y/x, abychom odstranili odmocninu z argumentu exponenciální funkce. Tím přejdeme k integrálu / e^dx y = x 2y dy = dx Nyní pomocí per partes určíme fyeydy F(y)~-G'(y) y yey F'(y) = 1 G(y) = e^ - ey + C. 2fy6> dy. --yď - feydy Celkem tedy je /e^dx = 2yey - 2& + C = 2e^ (y/x - l) + C. □ 6.36. Dokažte, že 1 a 1 1 3 - sin x = — cos(2x) H--cos(4x) H--. 2 4 16 16 Řešení. Snadnější, než porovnávat dané výrazy přímo, je ukázat, že funkce na pravé a levé straně rovnosti mají shodné derivace. Je totiž Ľ = 2 cos x sin3 x = sin(2x) sin2 x, P' = \ sin(2x) + i sin(4x) = sin2x(| + icos(2x)) = sin(2x) sin2 x. Levá a pravá strana se tedy liší o konstantu. Tuto konstantu určíme porovnáním funkčních hodnot v jednom bodě, například bodě 0. Hodnota obou funkcí je v nule nulová, jsou si tedy rovny. □ C. Integrace racionálních lomených funkcí 6.37. Integrujte (a) f-^dx,x^2; dx, x 7^ —4; (x+4)3 (d) / , Wx-77dx, x e (jc2-6jc + 13)' Řešení. Případy (a), (b). Platí y = x —2 dy = dx íxhdx = a podobně f^dy = 61n|y |+C = 61n|x-2|+C (x+4y dx y = x + 4 dy = dx li^dy 6 -2y2 + c + c. y - -ly " (x+4)2 Vidíme, že integrování typů parciálních zlomků, které odpovídají reálným kořenům jmenovatele racionální lomené funkce, je velmi snadné. Navíc zcela obecně lze obdržet 347 C. INTEGRACE RACIONÁLNÍCH LOMENÝCH FUNKCÍ 2. INTEGROVÁNÍ frArdx X—XQ y = x - X0 dy = dx A ln | x — x0 | + C f$dy = Ahi\y\+C (x-x0y dx y = x - X0 dy = dx A ífndy Ay- -n + 1 + c (l-n)(x-x0)' pro každé A, x0 e M, n > 2, n e N. Případ (c). Nyní máme integrovat parciální zlomek odpovídající dvojici komplexně sdružených kořenů. Ve jmenovateli je tedlygpťjlyg nom stupně 2 a v čitateli stupně nejvýše 1. Pokud je stupně 1, zapíšeme parciální zlomek tak, abychom v čitateli měli násobek derivace jmenovatele a k tomu přičítali zlomek, v jehož čitateli je již pouze konstanta. Takto dostaneme IH^dx = \j-^rdx + l3J. - - x2-Ax + \5 2 J x2-4x + l5 |ln(x2-4x + 15) + 13/77Z^ x2-4x + l5 (x-2)2+ll ln(x2 - 4x + 15) + dx 11 f_ +i |ln(x2-4x + 15) + ;lfT/^T | ln (x2 - 4x + 15) + J= arctg y + C = | ln (x2 - 4x + 15) + ^2= arctg *=1 + C. Opět můžeme obecně vyjádřit Ax+B (x-x0)2+a2 a spočítat 2(x-x0) (x-x0)2+a2 dx + (B + Ax0) f i (x-x0)2+a2 dx f , 2(X~X0) 2 dx J (x-xo)2+a2 y = (X - X0)2 + a2 I _ . dy dy = 2 (x — xq) dx | ^ ? ln | y | + C = ln ((x - x0)2 + a2) + C, i (x-x0)2+a2 dx _L r dx a2 J z = dz X—XQ a i = i r ĚL \ a J i r dz z2+l tj- Ax+B - arctg z + C = - arctg + C ■dx = ±]n ((x - x0)2 + a2) + ^ arctg £^o + c (x-x0)2+a2 kde hodnoty A, 5, x0 e M, a > 0 jsou libovolné. Případ (d). Zbývají parciální zlomky pro vícenásobné komplexní kořeny ve tvaru které analogicky upravíme na 2(x-x0) [(x-x0)2+a2l + (B + Ax0) [(x-x0)2+a2T Poté určíme 2(x-x0) [(x-x0)2+a2 y (x — xq)2 + a2 i (l-n)yn dy = 2 (x — xq) dx + C- (l-n)[(x-x0)2+a2 dy y" — + c f Ěl J y" dělení s normou nejvýše 8 bude |Ss,sup — Ss\ < e. To je přesné tvrzení, že číslo Ssup je limitou všech posloupností horních součtů s normami dělení jdoucími k nule. Úplně stejně se dokáže i tvrzení pro součty dolní. Pokud Riemannův integrál neexistuje, existují posloupnosti dělení a reprezentantů s různými limitami Riemanno-vých součtů. Pak ovšem z již dokázaného tvrzení plyne, že budou různé i limity horních součtů a dolních součtů. Naopak, předpokládejme, že Ssup = Smf, pak ovšem i všechny Ri-emannovy součty posloupností dělení musí mít tutéž limitu díky nerovnostem (6.3). □ 6.27. Stejnoměrná spojitost. Prozatím jsme ze spojitosti naší funkce / využili pouze to, že každá ta- ťO, ková funkce je na konečném uzavřeném inter-valu omezená. Zbývá nám ale ukázat, že pro spojité funkce je Ssup = Sm. Z definice spojitosti víme, že pro každý pevně zvolený bod x e [a, b] a každé okolí 0€(f(x)) existuje okolí 0&(x) takové, že f(P&(x)) C 0€(f(x)). Toto tvrzení lze přepsat takto: jsou-li v, z e Os(x), tzn. mimo jiné platí \y-z\ <28, je také f(y), f (z) e 0€(f(x)), tzn. mimo jiné platí \f(y) - f(z)\ < 2e. Budeme potřebovat globální variantu takové vlastnosti, říkáme jí stejnoměrná spojitost funkce /: Věta. Nechť je f spojitá funkce na uzavřeném konečném intervalu [a, b]. Pak pro každé číslo e > 0 existuje takové číslo 8 > 0, že pro všechny z, y € [a, b] splňující \y — z\ < 8 platí \f(y) - f(z)\ < e. Důkaz. Protože je každý konečný uzavřený interval kompaktní, umíme jej celý pokrýt konečně mnoha okolími 0&(x)(x) zmiňovanými v souvislosti se spojitostí výše, přičemž jejich poloměr 8(x) závisí na středu x zatímco čísla e budeme uvažovat pořád stejná. Zvolíme konečně za 8 minimum ze všech (konečně mnoha) 8(x). Naše spojitá funkce / tedy má požadovanou vlastnost (pouze zaměňujeme čísla e a.8 za jejich dvojnásobky). □ 6.28. Dokončení důkazu Věty 6.25. Nyní již snadno do-\^ končíme celý důkaz existence Riemannova in- t, tegrálu. Zvolme si e a á jako v předchozí větě o stejnoměrné spojitosti a uvažujme jakékoliv dělení H s n intervaly a normou nejvýš 8. Pak Y] sup /(£) • (xt - xí-i) - Y\ inf /(£) • (xi ~ xi-i) i=l i = \ 0 číslo á > 0 tak, aby \f(x + Ax)-f(x)\ 0 zprava zjevně existuje a spočítali jsme tedy nevlastní určitý integrál "2 dx 4 CiA 23^4 ^2-^7 3" Stejně budeme postupovat, pokud je zadáno integrování přes neohraničený interval. Hovoříme o nekonečných integrálech. 350 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 6.17a Obecně tedy např. pro a e M 1=1 f(x)dx = lim / Ja b^°° Ja f (x) dx, pokud limita vpravo existuje. Obdobně můžeme mít horní mez integrovaní konečnou a druhou nekonečnou. Pokud jsou nekonečné obě, počítáme integrál jako součet dvou integrálů s libovolně pevně zvolenou pevnou mezí uprostřed, tj. /oo pa /»oo f(x)dx= / f(x)dx+ I f(x)dx. -oo J — oo Ja Existence ani hodnota nezávisí na volbě takové meze, protože její změnou pouze o stejnou konečnou hodnotu měníme oba sčítance, ovšem s opačným znaménkem. Naopak limita při které by stejně rychle šla horní i dolní mez do ±oo může vést k odlišným výsledkům! Např. ľ j —ĺ x dx 1 2 — X 2 0, přestože hodnoty integrálů x dx s jednou pevnou mezí utečou rychle k nekončených hodnotám. Při výpočtu určitého integrálu z racionální funkce lomené musíme pečlivě rozdělit zadaný interval podle bodů ne-spojitosti integrované funkce a spočítat jednotlivé nevlastní integrály každý zvlášť. Navíc je nutné rozdělit celý interval tak, abychom vždy integrovali funkci neohraničenou pouze v okolí jednoho z krajních bodů. 6.31. Přírůstky do ZOO. Z počítaných příkladů se může zdát, že je obvyklé najít neurčitý integrál pomocí výrazů složených ze známých elementárních funkcí. To je úplně mylný dojem. Naopak, drtivá většina spojitých funkcí vede na integrály, které tak vyjádřit neumíme. A to i když integrujeme funkce docela jednoduché. Protože se integrací získané funkce velice často v praxi vyskytují, mnohé mají jména a před nástupem počítačů byly pro potřeby inženýrů vydávány obsáhlé tabulky hodnot takových funkcí. V dalším textu se ještě budeme k metodám, jak numerické aproximace takových funkcí získávat. Uvedeme si nyní aspoň nějaké příklady. Funkce Sinusin-tegrál je definovaná vztahem Sí(jc) ľx siní Jo t dt. Dôležitejšou také Fresnelovy sinové a cosinové integrály )dt )dt FresnelS(x) = / sin(Í7rř2)í Jo FresnelC(x) = / cos(^:7rŕ2)ŕ Jo Na levém obrázku je průběh funkce Si(x), na pravém vidíme obě Fresnelovy funkce. 5 ľ dx 4 J i.. o \ 2 ř dt (¥) +1 x-3 2 + 15/ 2jc-6 (jc2-6jc+13)2 - 6x + 13 j dx | du = (2x — 6) dx dx + 13 / dx [(*-3)2+4]2 5 r dt iic ľ du i 2 J fi+i ÍD J „2-1- dt 1V7-^ = 2arctgř-^ + f/ — 16 +i 2 | arctg ^ ^ r—3 j arctg 15 -6jc + 13 + 13 A 8 \2 2 x-3 arctgř + i^) + C = - + C x-3 2 _ arctg V + I ¥ " § arctg £=2 + 15 + 16 13 +i x-3 x2-6x + l3 13jc —159 8(jc2-6jc+13) 8 (jc-3)2+4 + c. + c □ 6.39. Spočítejte (jc-1)2(jc2+2jc+2) dx, i^l. Řešení. Protože je stupeň polynomu v čitateli nižší než ve jmenovateli, tyto polynomy nemají společný kořen a je zadáno vyjádření jmenovatele ve tvaru součinu kořenových činitelů, známe tvar rozkladu integrované funkce na parciální zlomky A , B , Cx+D + (jc-1)2(jc2+2jc+2) _ x-1 1 (x-ÍÝ + x2+2x+2 pro A, B, C, D e M. Pokud tuto rovnici vynásobíme jmenovatelem levé strany, dostaneme identitu x = A (x - 1) (x2 + 2x + 2) + B (x2 + 2x + 2) + (Cx + D) (x - l)2 , která má platit pro všechna x eM\{l}. Na obou jejích stranách jsou ale polynomy, a tak rovnost musí nastat rovněž pro x = 1. Dosazením této hodnoty ihned obdržíme, žel = 73(1+2 + 2), tj. B = 1/5. Mohli bychom volit další reálná (příp. komplexní) čísla a dosazovat je do uvedené rovnice. Nelze však již očekávat, že bychom tím přímo určili další z neznámých (pokud nedosadíme kořen jmenovatele). Raději proto budeme porovnávat koeficienty u stejných mocnin polynomů x - \ (x2 + 2x + 2) = -ix2 + |x - |, A (x - 1) (x2 + 2x + 2) + (Cx + D) (x - l)2 = (A + C) x3 + (A — 2C + D) x2 + (C - 2D) x -2A + D, čímž získáme systém rovnic 0 = A + c, 1/5 = A - 2C + D, 3/5 = C - 2D, 2/5 = -2A + D. 351 C. INTEGRACE RACIONÁLNÍCH LOMENÝCH FUNKCÍ 2. INTEGROVÁNÍ Podotkněme, že tato soustava musí mít právě jedno řešení (které je jednoznačně určeno libovolnými třemi z uvedených rovnic). Hledané řešení potom je A = 2^' C = ~2T' D Platí tak _8_ " 25 • 1 (x-l)2(x2+2x+2) d* — f 25 (í-1) + / dx x+8 ■ dx ln I x - 1 i i 25 ' 1 5(jc-1) 50 kde jsme využili -iti- dx=f Í(M 5(x-l)1 J 2i(x2+2x+2) ln (x2 + 2x + 2) - 1 arctg (x + 1) + C, x2+2x+2 ■ dx f 2x+2 x2+2x+2 dx + 7/ i (x+l)2 + l dx x2+2x+2 x2+2x+2 2 ln (x2 + 2x + 2) +7 arctg (x + 1) + C. i □ 6.40. Určete ^3 x +2x +T1 dx, x e (b) fj^dx, xr±l. Řešení. Případ (a). Nejdříve musíme provést dělení polynomů (x3 + 2x2 + x - l) : (x2 - x + l) = x + 3 + 3*-4 x2-x+l ' abychom uvažovali ryze lomenou racionální funkci (stupeň čitatele byl nižší než jmenovatele). Nyní už spočítáme x3+2x2+x-l x2-x + l 2 - ~ - 2 2 dx = f x + 3dx + f x- + 3x + lf 2x-\ (2-x + l dx-lf 3x-4 í2-x+l dx dx + 3x + \ ln (x2 - x + 1) - arctg ^ + C. 2 1 1 2 Případ (b). Platí V3 j^-ldx=jldx + \j^l- 1/^-1/-^ + i r dx - 1 f_ 8 ■/ jt2-V2x + l 8 j jc2+V2jc + 1 8 J x+l •J2.x+2 dx x + ^ ln I x ■ ln I x + 1 iarctgx + ^J 1 í 8 i x + I ln I x V2 r 16 i 2jt+V2 jc2+V2jc + 1 úřx 2x—j2 c2-j2x + \ dx dx 1 I - |ln|x + 1 I - ^arctgx + V2 16 (x2 - V2x + l) - x arct§ ~ !) ~ ln (x2 + V2x + 1) - x arct£ + l) + C. 6.18 6.41. Vypočtěte 2jc4+2jc2-5jc + 1 ^x x(x2 — x+l) x ^ 0. Řešení. Platí Nové typy funkcí dostáváme také, když do integrovaného výrazu povolíme volný parametr, na kterém pak výsledek závisí. Příkladem může být jedna z nej důležitějších funkcí v matematice vůbec - tzv. Gamma funkce definovaná vztahem r(z) Jo r~ldt. Lze ukázat, že tato funkce je analytická ve všech bodech z £ Z a pro malá z e N můžeme počítat: r(i) ľ Jo e-'t°dt = [-c~% 1 r(2) = / e-'ŕdt = [-e"řř]~ + / Jo Jo / e'' řdt = R Xa(x) I 1 jestliže je x e A I 0 jestliže je x £ A. Riemannovsky integrovatelná, tj. existuje integrál (ať už s konečnou nebo nekonečnou hodnotou) m (A) f J oo XA(x)dx. Funkci xa říkáme charakteristická funkce množiny A, hodnotě m (A) říkáme Riemanovská míra množiny A. Všimněme si, že pro interval A = [a, b] jde vlastně o hodnotu /•OO /•£ / XA(x)dx = / •J oo J a dx = b přesně jak jsme očekávali. Zároveň má takováto definice „velikosti" očekávanou vlastnost, že míra sjednocení konečně mnoha Riemannovsky měřitelných a po dvou disjunktních množin vyjde jako součet. Zejména každá konečná množina A má Riemannovskou míru nulovou. Pokud ale vezmeme spočetné sjednocení, taková vlastnost již neplatí. Např. stačí vzít množinu Q všech racionálních čísel jakožto sjednocení jednoprvkových podmnožin. Zatímco každá množina o konečně mnoha bodech má podle naší definice míru nulovou, charakteristická funkce xq není Riemannovsky integrovatelná. Pro definici plochy (objemu) ve vícerozměrných prostorech budeme umět použít koncept Riemannova integrálu, až jej zobecníme do vícerozměrného případu. Nicméně je dobré si už teď povšimnout, že skutečně původní představa o ploše rovinného útvaru uzavřeného výše uvedeným způsobem grafem funkce bude bezezbytku naplněna. 6.33. Střední hodnota funkce. U konečné množiny hodnot jsme zvyklí uvažovat o jejich střední hodnotě a definujeme ji zpravidla jako aritmetický průměr. Pro Riemannovsky integrovatelnou funkci f(x) na intervalu (konečném nebo nekonečném) [a, b] je definována její střední hodnota výrazem m(f) 1 J a f(x) dx. vesuuec4h dx= f^- + f dx + f J x J x2-x + l J x—6 ■ dx 2jt4+2jt2-5jt + l x(x2-x + l)2 "" J x • J x^-x + X —■ 1 J (x2_x + ly ln | x | + I / -£=±r dx + U V^tt + \ f , 22x~lU2 dx 11 2 0, x ^ e. Řešení. Případ (a). Výhodou výše popsané metody integrování racionálních lomených funkcí je její univerzálnost (umíme díky ní najít antiderivace každé racionální lomené funkce). Někdy je však výhodnější použití substituční metody nebo per partes. Např. je Jj^dx y = x dy = 2x dx \ arctg y + C dy — i ľ dy 2(l+y2) - 2 J 1+y2 arctg x2 + C. Případ (b). Pomocí substituce získáváme integrál racionální lomené funkce y = ln x I 5 ln x 5 ln x 5y y3+yz ■dy = f i + - dx = X -y+2 y-l y2+2y+2 dy dy = ■ dx f^dy-lf^dy + Sf ln I y - 1 I 1 (J+l)2+l2 dy \ ln (y2 + 2y + 2) + 3 arctg (y + 1) + C = ln | lnx - 1 | - \ ln (ln2x + 2 ln x + 2) + 3 arctg (lnx + 1) + C. □ Pro libovolnou funkci / spojitou a ohraničenou na ohraničeném intervalu (a, b) platí tzv. Newtonův-Leibnizův vzorec b (6.8) / f(x)dx = [F(x)]ba := lim F(x) - lim F(x), J x^b- x^a + 353 C. INTEGRACE RACIONÁLNÍCH LOMENÝCH FUNKCÍ 2. INTEGROVÁNÍ kde F'(x) = f(x), x e (a, b). Zdůrazněme, že za uvedených podmínek vždy existuje antiderivace F a jako vlastní obě limity v (6.8). K výpočtu určitého integrálu nám tedy stačí najít antiderivaci a určit příslušné jednostranné limity (příp. jen funkční hodnoty, je-li antiderivace spojitá v krajních bodech uvažovaného intervalu). 6.43. Určete (a)/ 1 O/; (e)/ ©/ dx, x > 0; x+l ^3x~+T dx, x ^ i. "3' (x+4)^ x2+3x-4 dx, x e R \ [-1, 1]; dx, x e (—oo, —4) U (1, +oo); l+V'-x2+x+2 dx, x e (—1,2); dx, x ^ 1. (jc-1)v/jc2+jc + 1 Řešení. V tomto příkladu budeme ilustrovat použití substituční metody při integrování výrazů s odmocninami. Případ (a). Má-li počítaný integrál tvar //('tyl, p(2yx~, p(Ífx~) dx pro jistá čísla p(l), p(2), ..., p(j) e N a racionální lomenou funkci / (více proměnných), doporučuje se substituce f = x, kde n je (nejmenší) společný násobek čísel p(l), ..., p(j). Touto substitucí lze totiž převést integrand (integrovanou funkci) na racionální lomenou funkci, kterou umíme integrovat vždy. Dostáváme / dx dx 10/ Cr A0 10ř9 dt jc, \J jc — t dx f J 10řy t™(P+ŕ) 10[lnf + i-5jr + 5lr-£-ln(l+0] + C = dt ln (i+ Ifi)10 Případ (b). Pro integrály + -r- - — + 10 2^ + c. f f (x, p 0 a polynom ax2 + bx + c má reálné kořeny x\, x2, vyjádříme \/ax2 +bx +c = y/ä^(x - xx)2 a položíme ř2 la | x — x\ Jí I X-x2 X—X\ jž^. Pokud je a < 0 a polynom ax2 + bx + c má reálné kořeny x\ < x2, vyjádříme V ax2 +bx + c a zavedeme ř2 = a. (x - xi) 2 x2-x -a (x — x{) x2-X X—X] Pokud polynom ax2 + bx + c nemá reálné kořeny (nutně musí být a > 0), volíme substituci V ax2 +bx + c = -h y/ä ■ x ± t při jakékoli volbě znamének. Poznamenejme, že znaménka samozřejmě volíme tak, abychom dostali co nejjednodušší výraz pro následné integrování. Ve všech uvedených případech potom tyto substituce vedou opět na racionální lomené funkce. Platí tedy (d) ľ_dx_ _ r_dx_ _ r J ^_l_/l^./^2_l_^^_/l — J (jc+4)V(jc-1)(jc+4) _ J dx (x+4)Jx2+3x-4 ,2 _ x-l (x+4)\ x+4 x+4 X dx (i-í2)2 lOř dt (í-r2 )l i-í2 ■dt = f 2|l-^l 5 l-ř2 dt (i-t2)2 2-sgn(\-t2)f\dt = 2-sgn(-^)t + C |sgn(x)7f^ + C; 355 C. INTEGRACE RACIONÁLNÍCH LOMENÝCH FUNKCÍ 2. INTEGROVÁNÍ (e) (f) x dx dx l+^-x2+x+2 x + 1 dx l+V-(*-2)(* + l) dx l+(* + l)v ^- í/ř '2+1 -6ř (ř2+l)(ř2+3ř+l) 75___2__4 ř2 + l dt = __ř+l (t2+l)2 ř2+3ř+l -6ř 5 2ř+3+V5 5 -2ř-3+V5 . 2ř + 3 + VŠ -2ř - 3 + VŠ 275 ln 2V^f + 3 + V5 2 arctg t + + C = 2 arctg ^ + C = + ^ 2^+3-75 5 « /2—x +3+VŠ 2arctgy^ + C; (jc-1)v/jc2+jc + 1 -2(>2-H-l) V-*2 + X + 1 = X + t x2 + x + 1 = x2 + 2xŕ + ŕ2 x = úřx ^+2^-2 2ř-l -2(r2-f+l) (2í-l); ,2 + 1 f- f ln 2ř—1 ř + 1- +2t-2 ŕ-H-l í+l-VŠ V3 - >2+2ř-2 1 ^ dt VI_ 3 Í+1+V3 ř + l + V3 f ln + C V3 ln H-1-V3 Í+1+V3 + c /5- \ yx^+x + l-x + l-V^l 4- ln 1 . . -p1 + C. □ 6.44. Pomocí vhodné substituce spočítejte dx :+Jx2+x-\ dx, xe(-oo,^)u(^,+oo) Objem stejného tělesa naroste při změně Ax o násobek tohoto přírůstku a plochy kružnice o poloměru f(x). Proto je dán formulí V(f) 'ľ (f(x))2dx. Jako příklad užití vzorců pro obsah a objem odvodíme známé formule pro plochu sféry a objem koule o poloměru r. Ar = 2it 1 - (x/r)2 1 2itr Vl - (x/r)2 : dt dt = Aitr1 Vr=7t j T x dx Imr2 7t r 3 -7tr . Stejně jako u kružnice i kouleje objektem, který má mezi všemi s daným objemem ten nejmenší povrch. To je důvod, proč jsou mýdlové bubliny vždy prakticky tohoto tvaru. 6.36. Integrální kriterium konvergence řad. Pomocí nevlastního integrálu také umíme rozhodnout o konvegenci širší třídy nekonečných řad než doposud: Věta. Bud'2wn=i f(n) řada taková, že funkce f : M -» M je kladná a nerostoucí na intervalu (1, oo). Pak tato řada konverguje právě tehdy, když konverguje integrál í; f(x)dx. Důkaz. Pokud interpretujeme integrál, jako plochu pod křivkou, je kriterium zřejmé. Pokud daná řada diverguje, pak diverguje i tY~b_J řada 2^=2/^ro libovolné k e N máme pro k-tý částečný součet s£ (řady bez prvního členu) nerovnost k k í =Y.f(n) < í f(x)dx, n—2 Řešení. Přestože kvadratický polynom pod odmocninou má reálné nebof ^ je dolním součtem Riemannova integrálu kořeny x\, x2, nebudeme příklad řešit pomocí substituce ř2 = fžf2"-Sice bychom tak postupovat mohli, ale raději použijeme metodu, kterou jsme zavedli pro případ nereálných kořenů. Tato metoda totiž dává velmi jednoduchý integrál racionální lomené funkce, jak vidíme z výpočtu Jx f(x) dx. Pak ale je dx x+\/x2+x — l •J x2 + x — 1 = x + ř x2 + x - 1 = x2 + 2xř + t2 v — £±± X — l-2ř dx = -2ý+2t+2 dt -2t2+2t+2 (ř+2)(l-2ř) dt /»00 pk I f(x)dx = lim / /(x)dx > lim s'k = 00 Ji k^°°Ji k^°° a uvažovaný integrál diverguje. Předpokládeme nyní, že daný integrál konverguje a označme k-tý částečný součet dané řady jako sk. Potom máme nerovnosti »k f (x) dx = lim ľ I f(x)dx < lim Sk < 00, Ji k^°° /(•-á-ii) dt (l-2t)2 t - 2 ln 11 + 2 I ln ř + C neboť sk je horním součtem Riemannova integrálu f(x) dx a předpokádáme, že daná řada konverguje. □ 356 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 3. Nekonečné řady Již jsme se při budování našeho zvířetníku funkcí setkali s mocninnými řadami, které přirozeným způsobem rozšiřují skupinu všech polynomů, viz 5.43. Zároveň jsme si říkali, že takto získáme třídu analytických funkcí, ale nedokazovali jsme tehdy ani to, že jsou mocninné řady spojitými funkcemi. Snadno nyní ukážeme, že tomu tak je a že skutečně umíme mocninné řady i diferencovat a integrovat po jednotlivých sčítancích. Právě proto ale také uvidíme, že není možné pomocí mocninných řad získat dostatečně širokou třídu funkcí. Např. nikdy tak nedostaneme jen po částech spojisté periodické funkce, které jsou tak důležité pro modelování a zpracování audio a video signálů. 6.37. Jak ochočené máme řady funkcí? Vraťme se nyní k Ji „ diskusi limit posloupností funkcí a součtu řad funkcí r z pohledu uplatnění postupů diferenciálního a inte- -fe grálního počtu. Uvažujme tedy konvergentní řadu funkcí S(x) = Y/fn(x) «=1 na intervalu [a,b]. Přirozené dotazy jsou: • Jsou-li všechny funkce f„(x) spojité v nějakém bodě xq € [a, b], je spojitá i funkce S(x) v bodě io? • Jsou-li všechny funkce /„ (x) diferencovatelné v nějakém bodě a e [a, b], je v něm diferencovatelná i funkce S(x) a platí vztah S'(x) = £~i /„'(*)? • Jsou-li všechny funkce /„ (x) Riemannovsky integrova-telné na intervalu [a, b], je integrovatelná i funkce S(x) a platí vztah f* S{x)dx = Y^=\ fl Ukážeme si nejprve na příkladech, že odpovědi na všechny tři takto kladené otázky jsou „NE!". Poté ale najdeme jednoduché dodatečné podmínky na konvergenci řady, které naopak platnosti všech tří tvrzení zajistí. Řady funkcí tedy obecně moc zvladatelné nejsou, nicméně si umíme vybrat velikou třídu takových, se kterými se už pracuje velmi dobře. Mezi ně naštěstí budou patřit mocninné řady. Pak se ale také zamyslíme nad alternativními koncepcemi integrování, které fungují více uspokojivě i větší třídy funkcí. 6.38. Příklady ošklivých posloupností. (1) Uvažme nejprve funkce f„(x) = (siní)" na intervalu [0, 7t]. Hodnoty těchto funkcí budou ve všech bodech 0 < i < 7t nezáporné a menší než jedna, kromě i = j, kde je hodnota 1. Proto na celém intervalu [0, 7t] budou bod po bodu tyto funkce konvergovat k funkci f{x) = lim f„ix) 0 pro všechna 1 pro i = j. Ví2 +i-l ln 2 ln (Vi2 +1 Ví2 + i-l 1 + C. 1+2) Dodejme, že každou doporučenou substituci (viz dříve uvedené příklady) lze ve většině konkrétních úloh nahradit jinou substitucí, která umožní dospět k výsledku výrazně snazším způsobem. Nespornou výhodou doporučených substitucí však je univerzálnost: jejich zavedením lze vypočítat všechny integrály příslušných typů. □ 6.45. Pro 1 > 0 stanovte (a) fi2^fdx; (b) (C) / dx. Řešení. Všechny tři zadané integrály jsou tzv. binomické, tj. lze je zapsat jako f xmia + bxn)p dx pro jistá čísla a, b e M, m, n, p e Q. Binomické integrály se tradičně řeší aplikací substituční metody. Pokud p e Z (nikoli nutně p < 0), volí se substituce 1 = ť, kde s je společný jmenovatel čísel man; pokud e Z a p £ Z, klade se a + bx" = f, kde s je jmenovatel čísla p; a pokud m + l + p e ip £ Z, ^ Z), zavádí se a + bx" = ťx", kde s je jmenovatel p. V těchto třech případech je potom zaručen přechod k integrování racionální lomené funkce. Snadno tak vypočítáme (a) (2+5x)3 dx = f x 4 (2 + 5i)3 dx dx p N a všechna x e [a, b] platí \Mx)-f(x)\<€. O řadě funkcí řekneme, že konverguje stejnoměrně na intervalu, jestliže stejnoměrně konverguje posloupnost jejích částečných součtů. Graficky si definici můžeme představit tak, že do pásu vzniklého posunutím limitní funkce f (x) na f(x) ± e pro libovolně malé, ale pevně zvolené kladné e, vždy padnou všechny funkce f„(x), až na konečně mnoho z nich. Tuto vlastnost zjevně neměl první a poslední z předchozích příkladů, u druhého ji postrádala posloupnost derivací f'n. Následující tři věty lze stručně shrnout tvrzením, že všechna tři obecně neplatná tvrzení v 6.37 platí pro stejnoměrnou konvergenci (pozor ale na jemnosti u derivování). 6.21 6.40. Věta. Nechť f„ (x) je posloupnost funkcí spojitých na intervalu [a, b], která na tomto intervalu stejnoměrně konverguje k funkci f(x). Pak je také f(x) spojitá funkce na intervalu [a,b]. Důkaz. Chceme ukázat, že pro libovolný pevně zvolený bod xo e [a, b] a jakékoliv pevně zvolené malé e > 0 bude \f(x)-f(x0)\ 0 \fn(x) - f(x)\ < e pro všechna x e [a, b] a všechna dostatečně velká n. Zvolme si tedy nějaké takové n a uvažme 8 > 0 tak, aby také \fn(x) ~ fn(x0)\ < C pro všechna x z á-okolí x0 (to je možné, protože všechny /„ (x) jsou spojité). Pak \f(x) - f(x0)\ <\f(x) - fn (x)| + \fn(x) - f„(x0)\ + \fn(x0) ~ f(x0)\ < 3l-x2 ■■ dx y = 1 - x2 dy = —2x dx 1 J^dy = [^l = l- f z-j- dx J s/X dt = ttt= dx 2s/x -2 ( lim e~' - e"1 2fe-'dt = 2[-e-']\ dx z = x v^-l N platí \fn(x) ~ fm(x)\ < C. Zřejmě je každá stejnoměrně konvergentní posloupnost funkcí na intervalu [a, b] také stejnoměrně Cauchyovská na temže intervalu, stačí si povšimnout obvyklého odhadu \fn(x) - fm(x)\ < \fn(x) - f(x)\ + \f(x) - fm(x)\ založeného na trojúhelníkové nerovnosti. Toto pozorování nám už stačí k důkazu naší věty, zastavíme se ale napřed u užitečného obráceného tvrzení: Tvrzení. Každá stejnoměrně Cauchyovská posloupnost funkcí f„ (x) na intervalu [a, b] stejnoměrně konverguje k nějaké funkci f na tomto intervalu. Důkaz. Z podmínky Cauchyovskosti posloupnosti funkcí vyplývá, že také pro každý bod x e [a, b] je posloupnost hodnot f„(x) Cauchyovskou posloupností reálných (případně komplexních) čísel. Bodově tedy nutně konverguje posloupnost funkcí f„(x) k nějaké funkci f(x). Ukážeme, že ve skutečnosti konverguje posloupnost f„(x) ke své limitě stejnoměrně. Zvolme N tak velké, aby \fn(x) - fm(x)\ < e pro nějaké předem zvolené malé kladné e a všechna n > N, x e [a, b]. Nyní zvolíme pevně jedno takové n a odhadneme \fn(x) - f(x)\ = lim \fn(x) - fm(x)\ < e pro všechna x e [a, b]. □ Důkaz Věty. Připomeňme, že každá stejnoměrně konvergentní posloupnost funkcí je také stejnoměrně Cauchyovská a že Riemannovy součty pro jednotlivé členy naši posloupnosti konvergují k f „(x) dx nezávisle na výběru dělení a reprezentantů. Proto jestliže platí \fn(x) ~ fm(x)\ < C pro všechna x e [a, b], pak také ľb ľb \ fn(x)dx - / fm(x)dx J a J a e\b Je tedy posloupnost čísel fn (x) dx Cauchyovská a proto konvergentní. Současně ale také díky stejnoměrné konvergenci posloupnosti f„(x) platí pro limitní funkci f(x) ze 360 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET stejného důvodu, že její Riemannovy součty jsou libovolně blízké Riemannovým součtům pro funkce /„ s dostatečně velkým n a limitní funkce f(x) bude tedy opět integrovatelná. Zároveň /•b pb / fn(x)dx - / •J a J a f(x) dx e\b a musí proto jít o správnou limitní hodnotu. □ Pro příslušný výsledek o derivacích je třeba zvýšené pozornosti ohledně předpokladů: 6.42. Věta. Nechť f„ (x) je posloupnost funkcí diferencovatelných na intervalu [a, b], která na tomto intervalu stejnoměrně konverguje k limitní funkci f(x). Dále nechť jsou všechny derivace g„(x) = f'n (x) spojité a nechť konvergují na temže intervalu stejnoměrně k funkci g(x). Pak je také funkce f(x) diferencovatelná na intervalu [a, b] a platí zde f'(x) = g(x). Důkaz. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že všechny naše funkce splňují f„(a) = 0 (v opačném případě je pozměníme o konstanty a na výsledku úvah se nic nezmění). Pak ovšem můžeme psát pro všechny x e [a, b] fn(x) / 8n J a (ŕ) dt. Protože ale funkce gn stejnoměrně konvergují k funkci g na celém [a, b], tedy tím spíše na intervalech [a, x], kde a < x < b, platí také /(*) r g(t)dt. Protože je funkce g coby stejnoměrná limita spojitých funkcí opět spojitou funkcí, dokázali jsme vše potřebné, viz Věta 6.24 o Riemannově integrálu a antiderivaci. □ Pro nekonečné řady můžeme předchozí výsledky shrnout takto: 6.43. Důsledek. Uvažme funkce f„(x) na intervalu [a, b]. (1) Jsou-li všechny funkce f„(x) spojité na [a, b] a řada S(x) = YJfn(x) « = 1 konverguje stejnoměrně k funkci S(x), je i funkce S(x) spojitá na [a,b]. (2) Jsou-li všechny funkce f„(x) spojitě diferencovatelné na [a, b], a obě řady oo oo S(x) = /*(*)- T(x) = YJfL(x) n — l n — l konvergují stejnoměrně, pak je také funkce S(x) spojitě diferencovatelná na [a,b] a platí $(x) = T(x), tj. (OO \ ! OO n = l ' n = l (h) dx x ln x r dr lnx - dx ln2 ln2 ln (ln 2) — lim ln r o ln (ln2) + oo = +oo. □ E. Nevlastní integrály Vzorec (6.8) lze použít také tehdy, když je funkce / neohraničená nebo interval (a, b) je neohraničený. Mluvíme o tzv. nevlastních integrálech. Pro nevlastní integrály však limity na pravé straně mohou být nevlastní, příp. nemusejí vůbec existovat. Pokud jedna z limit neexistuje nebo obdržíme výraz oo — oo, znamená to, že integrál neexistuje (oo — oo tedy v tomto případě nemá charakter neurčitého výrazu). Říkáme, že integrál osciluje. V každém jiném případě máme výsledek (připomeňme, že oo + oo = +oo, —oo — oo = —oo, ±oo + a = ±oo pro a e W). 6.49. Určete oo (a) / sin x dx ; (d) / dx v2 ■ Řešení. Případ (a). Ihned stanovíme oo J únxdx =[—cosx]^°= lim — cos x + cosi. j x^-oc Protože limita na pravé straně neexistuje, uvažovaný integrál osciluje. Případy (b), (c). Stejně lehce vypočítáme dx x4+x2 dx 2(x2 + l) f T?- Thdx = [-$-arctgx]\ lim (-i - arctgx) + \ + arctg \ = 0 - f + \ + f = \ - f a ještě snazší pak je /f = [V^ = 4-0 = 4, o kde je antiderivace v počátku spojitá zprava (uvažovaná limita je tak rovna funkční hodnotě). Případ (d). Kdybychom bezmyšlenkovitě vypočítali i r dx_ J X2 -1 i -1 -2, 361 E. NEVLASTNÍ INTEGRÁLY 3. NEKONEČNÉ ŘADY obdrželi bychom zjevně chybný výsledek (zápornou hodnotu při integrování kladné funkce). Důvodem, proč Newtonův-Leibnizův vzorec nejde takto aplikovat, je nespojitost uvažované funkce v počátku. Využijeme-li však tzv. pravidla návaznosti b c b f f(x)dx = f f(x)dx + f f(x)dx, a a c které platí vždy, když mají integrály na pravé straně smysl, nalezneme správný výsledek i o i J x2 -1 -1 0 ľ\ 1 1 r:™ í ľ -1 0 lim (-i) - 1 - 1 - lim (-i) = oo - 2 + oo = +oo 6.25 Podotkněme, že ze sudosti funkce y = x 2 také plyne i r él J x2 -1 2M o 2 • oo = +oo. □ 6.50. Vypočítejte nevlastní integrály 9 - x e dx; r dx J ex+e—x Řešení. Protože je nevlastní integrál speciálním případem určitého integrálu, máme k dispozici základní metody, jak jej můžeme počítat. Metodou per partes získáváme re x dx F(x) -. G'(x) 2 - -x e x e x dx F(x)--G'(x) F'(x) = 2x G(x) = -e~x F'(x) G(x)-- - lim ^ + 2 [-x e~x]™ + 2fe~xdx = 0 - 2 lim 4 + 2 r-e-*l~ = 0 + 2 ( lim -e~x + l) = 2. Substituční metoda potom dává r dx _ r J ex +e~x e2x + l dx y = e dy = ex dx f dy J y2 + l [arctg y] °° = lim arctg y = f, kde nové meze integrálu plynou z limit lim ď = 0, lim ď = +oo. 6.26 □ 6.51. Spočtěte „2n + l a—x dx, n e N. Řešení. Příklad řešme nejprve substituční metodou a následně opakovaně aplikujme per partes se ziskem (3) Jsou-li všechny funkce f„ (x) Riemannovsky integrova-telné na [a, b] a řada S(x) = YJf«(x) «=i konverguje stejnoměrněkfunkci S(x) na [a, b],je tamtéž integrovatelná i funkce S(x) a platí vztah pb / 00 \ 00 pb / WZ fn(X)) dx = ^ \ fn (x) dx. n = \ 6.44. Test stejnoměrné konvergence. Nejjednodušším '€H> _ způsobem pro zjištění stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí je porovnání s absolutní konvergencí vhodné • posloupnosti čísel. Říkává se tomu často Weierstrassův test. Předpokládejme tedy, že máme řadu funkcí /„ (x) na intervalu I = [a, b] aže navíc známe odhad \fn(x)\ < an e R pro vhodné reálné konstanty an a všechna x e [a,b]. Okamžitě můžeme odhadnout rozdíly částečných součtů k Sk(x) = 'Y^fn(x) n = l pro různé indexy k. Pro k > m dostáváme \sk(x)-sm(x)\ = ^ /„(*) < ^ \fn(x)\ < ^ ak. n—m + 1 n—m + 1 n—m + 1 Pokud je řada (nezáporných) konstant YlT=i an konvergentní, pak bude samozřejmě posloupnost jejích částečných součtů Caychyovská. Právě jsme ale spočetli, že v takovém případě bude posloupnost částečných součtů sn(x) stejnoměrně Caychyovská. Díky tvrzení dokázanému před chvílí v 6.41 jsme tedy právě dokázali následující Věta (Weierstrassův test). Nechť f„(x) je posloupnost funkcí definovaných na intervalu [a,b] a platí \f„(x)\ < a„ e R Je-li řada čísel 2w«=i an konvergentní, pak řada S(x) = 2wn=i fn(x) konverguje stejnoměrně. 6.45. Důsledky pro mocninné řady. Weistrassův test je velice užitečný pro diskusi mocninných řad S(x) = ^a„(x - x0)n n=0 se středem v bodě x0. Při našem prvním setkání s mocninnými řadami jsme ukázali v 5.46, že každá taková řada konverguje na (jco—8, x0+8), kde tzv. poloměr konvergence l L. 8 > 0 může být také nula nebo oo. (viz také ^yj^- - 5.50). Zejména jsme v důkazu věty 5.46 pro ověření konvergence řady S(x) používali srovnání s vhodnou 362 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 6.26a geometrickou posloupností. Podle Weistrassova testuje proto řada S(x) stejnoměrně konvergentní na každém kompaktním (tj. konečném) intervalu [a,b] uvnitř intervalu (x0 —8, x0 +8). Dokázali jsme tedy Věta. Každá mocninná řada S(x) je ve všech bodech uvnitř svého intervalu konvergence spojitá a spojitě diferencovatelná. Funkce S(x) je také integrovatelná a derivování i integrování lze provádět člen po členu. Ve skutečnosti platí také tzv. Ábelova věta, která říká, že mocninné řady jsou spojité i v hraničních bodech svého definičního oboru (včetně případných nekonečných limit). Tu zde nedokazujeme. Právě dokázané příjemné vlastnosti mocninných řad zároveň poukazují na hranice jejich použitelnosti při modelování závislostí nějakých praktických jevů nebo procesů. Zejména není možné pomocí mocninných řad dobře modelovat po částech spojité funkce. Jak uvidíme v zápětí, je možné pro konkrétněji vymezené potřeby nacházet lepší sady funkcí /„ (x) než jsou hodnoty /„ (x) = x". Nej známějšími příklady jsou Fourierovy řady a tzv. wawelety, které přibolížíme v další kapitole. 6.46. Laurentovy řady. V kontextu Taylorových rozvojů se ještě podívejme na hladkou funkci f (x) = g-i/AT z 0(jstavce 6.6. Viděli jsme, že není analytická v nule, protože tam má všechny derivace nulové. Takže zatímco ve všech ostatních bodech x0 je tato funkce dán konvergentní Taylorovou řadou s poloměrem konvergence r = |x0|, v počátku řada konverguje jen v jediném bodě. Pokud ale do mocninné řady pro ď dosadíme za x výraz — 1 /x2, dostaneme řadu funkcí S(.v) = Ei.(_irv-= E^.. «=o která bude konvergovat ve všech bodech i / 0a dává nám dobrý popis pro chování kolem výjimečného bodu x = 0. Podbízí se proto uvažovat následující obecnější řady docela podobné mocninným: „—J Laurantovy řady { _ Řadu funkcí tvaru oo S(x) = X a" (x ~ xo)" n——oo nazýváme Laurentova řada se středem v xq. Řadu nazveme konvergentní, jetsliže konvergují samostatně její části s kladnými a zápornými exponenty. Smysl Laurentových řad je dobře viditelný u racionálních funkcí lomených. Uvažme takovou funkci S(x) = f(x)/g(x) s nesoudělnými polynomy fugu uvažme kořen / x2n+1 e~x dx y = x dy = 2x dx F(y) = f | F'(y) = nf~l G'(y) = e-y I G(y) = -e"> \Sft~y dy [-f e~y] ~ + n f f'1 e~y dy) = \f f~l e~y dy o Jo F(y) = f'1 | F'(y) = (n - \)f~2 | _ G'(y) = t~y | G(y) = -e"> | " , oo f [-r'e-^00 + {n-l) fy"-2e-ydy n(n — l) F(y) = y f f-2t~y dy n(n-\)-l 2 fye~ydy G'(y) F'(y) = 1 G(y) = -( ni([-y*-y]7 + f*-ydy «! r „-y!00 _ «i 2 L e Jo _ 2 • □ F. Délky, obsahy, povrchy, objemy 6.52. Určete délku křivky dané parametricky x = sin2 (ŕ), y = cos2 (í), pro í e (0, f). Řešení. Možno počítat i přímo (jedná se o část přímky y = 1 — x). V2. □ 6.53. Určete délku křivky dané parametricky y pro t e (0, V5). Řešení. ^ □ 6.54. Určete plochu ležící napravo od přímky x = 3 a dále ohraničenou grafem funkce y = -^zj a osou x. Řešení. Plocha je dána nevlastním integrálem f/° -^—^ dx. Vypočteme jej metodou rozkladu na parciální zlomky: 1 x3 - 1 1 x = 1 Ax + B C +- 1 v-0 . 1 = C - B x2 : 0 = A + C a můžeme psát x2 + x + 1 (Ax + B)(x - 1) + C(x2 + x + 1) 1 C = -B A 2 3 1 '3 Ji x3-l áX = 3J1 V ô x+ 2 1) x2 + x + 1 dx 363 F. DÉLKY, OBSAHY, POVRCHY, OBJEMY 3. NEKONEČNÉ ŘADY Nyní určíme zvlášť neurčitý integrál f xí^+l dx: x + 2 í í dx x2 + x + 1 x + \ (* + 2-)2 + t dx + 3 ľ 1 2 j (x + i; dx substituce u prvního integrálu t = X2 + X + 1 dt = 2(x + \) dx L)2 , 2 2 J t 2 J (x + i; j *2 + f í_í_ 1 (Ä')2-" substituce u prvního integrálu í =x + i ds = dx ln(x2 + x + 1) + 3 4 - lnííx2 + x + 1) H--- 2 U 7 23 ds substituce u druhého integrálu dw = -ť=s ds V3J ■ ln(x2 + x + 1) + 2 V3 /—-du = u2 + l = ^ ln(x2 + x + 1) + V3 arctan(w) = 1 9 r- /2x + l\ = - lníx2 + x + 1) + V3 arctan -— . 2 V V3 / Celkem pak pro nevlastní integrál můžeme psát: f°° 1 i r 1 9 /- /2x + i\ = - lim ln |x - 11--lníx2 + x + 1) - V3 arctan -— 3^[ 1 2 V V3 / = - lim ( - ln \S - 1| - - ln(<52 + á + 1) - V3 arctan -— 3í^~V3 2 V V3 // 1 1 73 / 7 __ln(2) + _ln(13) + _„ctan(_ 1 1 V3 / 7 -l„(13)-jln(2) + TÍuc«a„(- 6.49 1 -- lim ln 3 <5^oo x - 1 Vx2 + x + 1 - lim V3 arctan 3 S^oc \ 28 + 1 ~7T 1 1 / 7 \ 1 V3 -1*13)+«^ j—top)--* □ 6.55. Určete povrch a objem rotačního paraboloidu, který vznikne rotací části paraboly y = 2x2 pro x e (0, 1) kolem osy y. x0 polynomu g(x). Je-li násobnost tohoto kořenu s, pak vynásobením dostaneme funkci S (x) = 5(x)(x—xo)s, která už bude na nějakém okolí bodu x0 analytická a proto můžeme psát oo = a"(x ~ xo)"- n ——s Uvažujme nyní odděleně části + a0 + ai (x - x0) + ... 5(x) = S- + 5+ = an(x ~ xo)" + ^2a"(x ~ xv)"- n =—oo n=0 Pro řadu S+ víme z Věty 5.46, že její poloměr konvergence R je dán rovností R~l = lim sup ý\a„\. Když však aplikujeme tutéž úvahu na řadu 5_ s dosazenými hodnotami 1 /x za x, zjistíme, že řada 5_(x) konverguje pro |x — xq| > r, kde r~l = lim sup y/|út_„|. Tyto úvahy platí bezezbytku i pro komplexní hodnoty x dosazované do našich výrazů. Věta. Laurentova řada S(x) se středem xq konverguje pro všechna x e C splňující r < |x — xq| < R a diverguje pro všechna x splňující |x — xq| < r nebo |x — xq| > R. Vidíme tedy, že Laurentova řada nemusí konvergovat ve vůbec žádném bodě, protože klidně můžeme dospět k hodnotám R < r. Podíváme-li se ale např. na výše uvedený případ racionálních funkcí lomenných rozvíjených do Laurentovy řady v některém z kořenů jmenovatele, pak zjevně je r = 0 a tedy, dle očekávání, bude konvergovat skutečně na presten-covém okolí tohoto bodu x0, zatímco R bude v tomto případě dáno právě vzdáleností k dalšímu nejbližšímu kořenu jmenovatele. V přápadě našeho prvního příkladu, funkce e~1/x je r = 0 a R = oo. 6.47. Numerická přiblížení integrace. Podobně jako na konci přechozí části textu (viz odstavec 6.17), nyní využijeme Taylorova rozvoje k návrhu co nejlepších a zároveň jednoduchých aproximací integrace. Budeme pracovat s integrálem I = f% f(x)dx analytické funkce f(x) a rovnoměrným dělením intervalu [a, b] pomocí bodů a = x0, x\, ..., x„ = b se vzdálenostmi Xi — x;_i = h > 0. Body uprostřed intervalů v děleních si označíme xi+i/2, hodnoty naší funkce v bodech dělení budeme psát jako /(x;) = /). Příspěvek jednoho dílku dělení k integrálu spočteme pomocí Taylorova rozvoje a předchozí věty. Záměrně přitom integrujeme symetricky kolem středových hodnot, aby se nám 364 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET při procesu integrace vzájemně vyrušily derivace lichých stupňů: -/z/2 /./z/2 /•/z/2 /-/z/2 / ™ l \ / f(xi+l/2 + t)dt = (T -řn)(xi+l/2)ř dt J-h/2 J-h/2^„=0 H- ' 00 / ľh/2 1 =e( / y*\*t+w)r* 00 frlk + l k=0 22k(2k + I)!" Velmi jednoduchým numerickým přiblížením integrace na jednom dílku dělení je tzv. trapézové pravidlo, které pro aproximaci využívá plochu lichoběžníka určeného body [xí,0], [xí, f i], [0, xi+i], [xi+u fi+i]. Tato plocha je Pi = \{fi + fi+úh a celkem tedy integrál / odhadujeme hodnotou n — l /trap = J2Pi = 2 (/° + 2/l + * * * + 2/»-l + /»)■ z=0 Srovnáme nyní 7trap s přesnou hodnotou / spočtenou pomocí příspěvků po jednotlivých dílcích dělení. Hodnoty f i můžeme vyjádřit pomocí prostředních hodnot a derivací y£í/2 takto: h , h2 „ . fi + 1/2+1/2 = f i+ 1/2 ± t// + 1/2 + ^2"/ (' + V2) 2!22' h3 3!23 /(3)(i + 1/2) + takže pro příspěvek Pt do odhadu dostáváme Pí = \{fi+fi+i)h = h(fi+l/2+^-2f"(i+l/2))+0(h5). Odtud dostáváme odhad chyby / — 7trap na jednom dílku dělení A,- = h(fi + l/2 + YAf"+l/2 ~ fi + l/2 - jfľ+l/2 + 0(h4)) = '^fi"+l/2 + 0(h5). Celková chyba tedy je odhadnuta jako trap 1 12 nh3f" + n 0(/i3) = —(b - a)hl f" + 0(/i4) 1 2 rit kde /" vyjadřuje odhad pro druhou derivaci /. Pokud nám lineární aproximace funkce po jednotlivých dílcích nestačí, dalším pokusem může být aproximace kvadratickým polynomem. K tomu ale budeme potřebovat vždy tři body, takže budeme pracovat s dílky dělení po dvou. Předpokládejme tedy zen = 2m a uvažujme x; s lichými indexy. Budeme požadovat ft+i = f(Xi +h) = f] +ah + ph2 ft-! = /(xí -h) = f i -ah + pli2 Řešení. Vzorce uvedené v textech platí pro rotaci křivek kolem osy x\ Je tedy nutno buď integrovat podle danou křivku neznámé y, nebo transformovat. .2 V ľ x i 2áX=7X dx 17717- 1 it-dx. 24 □ 6.56. Vypočtěte obsah S obrazce složeného ze dvou částí roviny vymezených přímkami x = 0, x = 1, x = 4, osou x a grafem funkce y fx-l Řešení. Nejprve si uvědomme, že -J= < 0, x e [0, 1), a ze lim -00, lim >0, x e (1,4] +00. fx-l x^l + V*-l První část obrazce (ležící pod osou x) je proto ohraničena křivkami 0, x=0, x = l, y- 1 y s obsahem daným nevlastním integrálem fx-l fx-l dx; zatímco druhá část (nad osou x) vymezená křivkami y = 0, 1, má obsah Neboť Si = f- dx. dx = \l/(x - 1)2 + C, jako součet S\ + S2 získáváme fx-l lim 1)2 [)+ilim (|^9-§^(ľ3i)2) |(l + 79). Ukázali jsme mj. to, že uvedený obrazec má konečný obsah, přestože není (shora ani zdola) ohraničený. (Blížíme-li se k x = 1 zprava, příp. zleva, jeho výška roste nade všechny meze.) Připomeňme zde neurčitý výraz typu 0 • 00. Obrazec je totiž ohraničený, když se omezíme na x e [0, 1 - 8] U [1 + 8, 4] při libovolně malém 8 > 0. □ 365 F. DÉLKY, OBSAHY, POVRCHY, OBJEMY 3. NEKONEČNÉ ŘADY 6.57. Určete průměrnou rychlost vp tělesa v časovém intervalu [1,2], pokud je jeho rychlost vit) , f e [1,2]. Jednotky neuvažujte. Řešení. K vyřešení příkladu si stačí uvědomit, že hledaná průměrná rychlost je střední hodnota funkce v na intervalu [1,2]. Platí tak 2-1 f -J= dt = f ^ dx = Vš - Vi, 2 sfx přičemž 1 + t2 = x, t dt = dx/2. □ 6.58. Vypočítejte délku s části křivky označované jako traktrix dané parametrickým popisem fit) = r cosi + rln(tg|) , g(t)=rsint, t e [jt/2, a], kde r > 0, a e (tt/2, jt). Řešení. Protože fit) -r smí + -r sin t + -r1— sin t sin t ťit) r cos t na intervalu [jt/2, a], pro délku s dostáváme S = f /iÍ««_I +r2cos2ř dt= } Jr^± dt J V sin2 t ■> V sin21 Ti/2 r f 22Ldt = -r [ln (sin t) fn/2 = -r ln (sin a) TI 12 jt/2 i t/2 6.1 6.59. Spočtěte objem tělesa vzniklého otáčením omezené plochy, jejíž hranicí je křivka x4 — 9x2 + y4 = 0, kolem osy x. Řešení. Pokud je [x, y] bodem křivky x4 — 9x2 + y4 = 0, zřejmě tato křivka prochází rovněž body [—x, y], [x, —y], [—x, —y]. Je tedy souměrná vzhledem k oběma osám x, y. Pro y = 0 dostáváme x2 (x — 3) (x + 3) = 0, tj. osu x protíná hraniční křivka v bodech [—3, 0], [0, 0], [3, 0]. V prvním kvadrantu j i pak můžeme vyjádřit j ako graf funkce fix) = ^/9x2 - x4 , x € [0, 3]. Hledaný objem je proto dvojnásobkem (zde uvažujeme x > 0) integrálu / Ttf2ix) dx = jt f ~j9x2 — x4 dx. o o Pomocí substituce t = \/9 — x2 ixdx = —tát) pak snadno spočítáme 3 _ 3 _ 0 / V9x2 - x4 dx = fx ■ V9 - x2 dx = -ft2dt = 9, 0 0 3 a tak obdržíme výsledek l&it. □ což dává (viz podobnost s diferencí pro aproximaci druhé derivace) I3 = ^if+i + f-i-2f). Plocha přibližného vyjádření integrálu na dvou dílcích dělení mezi x,_i a xí+i je nyní odhadnuta výrazem /h 2 f+at + /3t2 dt = 2b.fi + -fih3 -h 3 = 2hf + ^-if+i + f-i - 2 f d = \i\fi+x + f-i - 2f). o 3 Tomuto postupu se říká Simpsonovo pravidlo. Celý integrál je nyní přiblížen výrazem ^Simp = tM/o + /2*+4 J] fk + 2 J] fk). liché k sudé k Obdobným postupem jako výše odvodíme, že celková chyba je odhadnuta výrazem I — himp 1 Tšô ib-a)h4f4)+Oih5), kde /(4) představuje odhad pro čtvrtou derivaci funkce /. Závěrem této kapitoly se zastavíme u dalších konceptů integrace. Jako první uvedeme modifikaci Riemannova integrálu, která bude později užitečná v úvahách o pravděpodobnosti a statistice. Ve výkladu vesměs už ale zůstaneme spíše v rovině poznámek a postřehů, zájemce o podrobný výklad bude muset vyhledat jiné zdroje. 6.48. Riemann-Stieltjesův integrál. Při naší představě o integraci jakožto sčítání nekonečně mnoha linearizovaných (nekonečně) malých přírůstků do plochy zadané funkcí fix) jsme pominuli možnost, že bychom pro různé hodnoty x brali přírůstky různě vážně. To by jistě mohlo být na infinitesimální úrovni zajištěno záměnou diferenciálu dx za cpix)dx pro nějakou vhodnou funkci cp. Takové chování jsme viděli např. při výpočtu délky parametrizované křivky v prostoru. Jistě si ale také umíme představit, že v některém bodě x0 j e přírůstek do integrované veličiny dán j ako Žl> afixo) nezávisle na na velikosti přírůstku x. Třeba můžeme sledovat pravděpodobnost, že množství promile alkoholu v krvi řidiče při kontrole bude nejvýše x. S docela velkou pravděpodobností získáme hodnotu 0, tedy pro jakýkoliv integrální součet musí dílek obsahující nulu přispět i konstantním nenulovým příspěvkem, nezávisle na normě dělení. Takové chování neumíme namodelovat vynásobením diferenciálu dx nějakou reálnou funkcí. Místo toho můžeme zobecnit Riemannův integrál následovně: Zvolme na konečném intervalu [a, b] reálnou funkci g. Pro každé dělení H s reprezentanty §; a dělícími body a = xq, X\, ..., xn = b 366 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET definujeme Riemann—Stieltjesův integrální součet pro funkci f(x) takto: n SE = J2f(Ši){g(Xi)-g(Xi-i))- i=\ Řekneme pak, že Riemannův-Stieltjesův integrál /= f f(x)dg(x) J a existuje a má hodnotu /, jestliže pro každé reálné e > 0 existuje norma dělení 8 > 0 taková, že pro všechna dělení H s normou menší než 8 platí |5S-/| <€. Např., jestliže zvolíme na intervalu [0, 1] za g(x) po částech konstantní funkci s konečně mnoha body nespojitosti c\, ..., ck a „skoky" cti = lim — lim pak Riemann-Stieltjesův integrál existuje pro každou spojitou / (x) a je roven /•i * / / (x)dg (x) = VV- / (ck) Jo i=\ Stejnou technikou, jako jsme používali u Riemannova integrálu, lze i nyní zavést horní a dolní součty a horní a dolní Riemann-Stieltjesův integrál, které mají tu výhodu, že pro omezné funkce vždy existují a jejich hodnoty splývají právě, když existuje Riemann-Stieltjesův integrál ve výše uvedeném smyslu. Již u Riemannova integrálu jsme měli problém s integro-vatelností funkcí, které byly „příliš rozskákané". Technicky pro funkci g(x) na konečném intervalu [a, b] zavádíme její variaci vztahem supE \g(Xi) - g(xi-i)\ i=\ kde supremum bereme přes všechna dělení H intervalu [a,b]. Pokud je supremum nekonečné, říkáme, že g(x) má neomezenou variaci na [a,b], v opačném případě říkáme, že je g funkce s omezenou variací na intervalu [a, b]. Podobně, jak jsme postupovali u Riemannova integrálu, můžeme docela snadno odvodit následující: Věta. Nechť f(x) a g(x) jsou reálné funkce na konečném intervalu [a, b]. (1) Pokud je g(x) spojitě diferencovatelné, pak Riemannům integrál nalevo a Riemann-Stieltjesův integrál napravo existují současně a jejich hodnoty jsou si rovny I f(x)g'(x)dx = í f(x)dg(x) •J a J a (2) Pokud je f(x) spojitá a g(x) má konečnou variaci, pak integrál f(x)dg(x) existuje. 6.60. Torricelliho trychtýř, 1641. Nechť část větve hyperboly xy = 1 pro x > a, kde a > 0, rotuje kolem osy x. Ukažte, že obdržené rotační těleso má konečný objem V a současně nekonečný povrch S. Řešení. Víme, že platí + 0o + 0o V = 7t f (j)2 dx = jt f jžidx 71 lim ^►+00 H) +00 2n f 1 + {-zhfdx =2jt f +00 ^— +00 ^P- dx>2it f -dx x1 — J X 2n lim ln x '^►+00 lna +00. Skutečnost, že uvažované těleso (tzv. Torricelliho trychtýř) nelze natřít za pomoci konečného množství barvy, ale lze jej naplnit konečným množstvím kapaliny, se nazývá Torricelliho paradox. Uvědomme si však, že reálný nátěr barvou má nenulovou tloušťku, což jsme při výpočtu nijak nezohlednili. Kdybychom jej kupř. natírali zevnitř, jediná kapka barvy by nepochybně trychtýř nekonečné délky „ucpala". □ Další příklady na výpočet délek křivek, obsahů rovinných útvarů a objemů částí prostoru naleznete na straně 373 6.61. Aplikace integrálního kriteria konvergence. Nyní se opět vraťme k (číselným) řadám. Díky intergrálnímu kriteriu konvergence (viz ??) umíme rozhodnout o konvergenci širší třídy řad: Rozhodněte, zda následující sumy konvergují či divergují: 00 a) E^- « = 1 00 b) E^- «=1 Řešení. Všimněme si nejprve, že ani u jedné z uvažovaných řad neumíme o její konvergenci rozhodnout na základě podílového či odmoc-ninového kriteria (všechny limity lim |22±i|i lim ^fa^ jsou rovny 1). Pomocí integrálního kriteria pro konvergenci řad pak dostáváme: a) 1 ■ dx 1 ľ Ji x ln(x) daná řada tedy diverguje. dř = lim [ln(ř)]o = 00, 0 t &^oo b) 1 ľ - I — dx = lim Jl X2 S^oo a daná řada tedy konverguje. □ 367 G. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE 3. NEKONEČNÉ ŘADY 6.62. Pomocí integrálního kritéria rozhodněte o konvergenci ř idy 51 E n = l 1 (« + l)ln> + l) Řešení. Funkce /(*) x e [1, +oo) (jc + l)lnz(jc + l)' je zjevně na svém definičním oboru kladná a nerostoucí, a proto řada v zadání konverguje, právě když konverguje integrál f^00 f(x)dx. Užitím substituce y = ln (x + 1) (kdy je dy = dx/(x + 1)) můžeme vyčíslit +0o + 0o f (x+l)\n2(x + l) dX = -ľ ŕ dy = ta2" 1 ln 2 Řada tedy konverguje. □ G. Stejnoměrná konvergence 6.63. Konverguje posloupnost funkcí x e n e N stejnoměrně na R? Řešení. Posloupnost {y„}nen bodově konverguje ke konstantní funkci y = 1 na R, neboť lim e4«2 = e° = 1, x sR. Z vyčíslení y„ (^/2n^ = e > 2 pro každé neN však vyplývá, že se nejedná o stejnoměrnou konvergenci. (V definici stejnoměrné konvergence postačuje uvážit e e (0, 1).) □ 6.64. Určete, zda řada E n = l ^fx-n Ir+x2 stejnoměrně konverguje na intervalu (0, +oo). Řešení. Při označení fnix) ^fx-n Ir+x1 , x > 0, n e N je fn(x) = "("4 3x2Ĺ, x > 0, n e N. 2VI(«4+*2) Nechť n e N je nadále libovolné. Nerovnosti f'n(x) > 0 pro x e (o, n21'\ft^ a f'n(x) < 0 pro x e {n2/'V3, +oo^ implikují, že maximum funkce /„ nastává právě v bodě x = n2/ V3- Protože f (nL\ - y_Ž a yíŽ_ÍŽyi< ,M vv 7 «=1 «=1 podle Weierstrassova kritéria řada E^i/«(x) konverguje stejnoměrně na intervalu (0, +oo). □ 6.49. Kurzweilův integrál. Posledním zastavením bude modifikace Riemannova integrálu, která napravuje nešťastné chování ve třetím bodu v odstavci 6.37, tj. limity neklesajících posloupností integrovatelných funkcí budou opět integrovatelné. Pak budeme moci i v těchto případech měnit pořadí limitního procesu a integrace, jak tomu bylo u stejnoměrné konvergence. Všimněme si napřed v čem je jádro problému. Intuitivně bychom měli předpokládat, že hodně malé množiny musí mít velikost nulovou, a tudíž by změny hodnot funkcí na takovýchto množinách neměly ovlivnit integraci. Navíc, spočetné sjednocení takových „pro integraci zanedbatelných" množin by mělo mít opět velikost nulovou. Z toho bychom tedy čekali, např. množina racionálních čísel uvnitř konečného intervalu bude mít takovouto vlastnost a tedy její charaktersitická funkce by měla být integrovatelná a hodnota takového integrálu má být nulová. Řekneme, že množina A c M má nulovou míru, když pro každé e > 0 můžeme najít pokrytí množiny A spočetným systémem otevřených intervalů Jt, i = 1,2, ..., takových, že V dalším budeme vždy výrokem „funkce / má na množině B danou vlastnost skoro všude" myslet skutečnost, že má / tuto vlastnost ve všech bodech, až na podmnožinu A c B míry nula. Např. tedy charakteristická funkce racionálních čísel je skoro všude nulová, po částech spojitá funkce je skoro všude spojitá atd. Chtěli bychom nyní modifikovat definici Riemannova integrálu tak, abychom uměli při volbě dělení a příslušných Ri-emannových součtů eliminovat neblahý vliv hodnot integrované funkce na předem známé množině míry nula. Nabízí se zkusit zajistit, aby dílky v uvažovaných děleních s reprezentanty měly tu vlastnost, že kolem bodů takovéto množiny budou kontrolovatelně malé. Kladnou reálnou funkci 8 na konečném intervalu [a, b] nazýváme kalibr. Dělení H intervalu [a, b] s reprezentanty %i nazýváme á-kalibrované, jestliže pro všechna i platí & - m) < x i-l Ŕ 0 existuje kalibr 8 takový, že pro každé á-kalibrované dělení s reprezentanty H platí pro příslušný Riemannův součet Se odhad | Se — 11 < e. 6.50. Vlastnosti Kurzweilova integrálu. Předně si povšim-- rÄtó neme' ze jsme při definici Kurzweilova inte-" "' grálu jen omezili množinu všech dělení, pro které Riemannovy součty bereme v úvahu. Pokud tedy bude naše funkce Riemannovsky inte-grovatelná, musí mít nutně i Kurzweilův integrál a tyto dva integrály jsou si rovny. Ze stejného důvodu můžeme zopakovat argumentaci ve Větě 6.24 o jednoduchých vlastnostech Riemannova integrálu a opět ověřit, že se stejně chová i integrál Kurzweilův. Tj., lineární kombinace integrovatelných funkcí cf(x) + dg(x) je opět integrovatelná a její integrál je c f(x)dx + d f% g (x)dx atd. Při důkazu je potřeba jen promyslet drobné modifikace při diskusi zjemněných dělení, která navíc mají být á-kalibrovaná. Podobně lze rozšířit pro případ monotóních posloupností bodově konvergentních funkcí argumentaci ověřující, že limity stejnoměrně konvergující posloupnosti integrovatelných funkcí /„ jsou opět integrovatelné a integrálem limity je limita hodnot integrálů /„. Věta. Uvažme funkci f na intervalu [a,b], která je skoro všude nulová. Pak Kurzweilův integrál fh f(x)d(x) existuje a je roven nule. Důkaz. Jde o pěknou ilustraci myšlenky, že se můžeme zbavit vlivu hodnot na malé množině pomocí chytré volby kalibru. Označme si M příslušnou množinu míry nula, vně které je f(x) = 0 a pišme Mk c [a, b], k = 1, ..., pro podmnožinu bodů, pro které je k — 1 < \f(x)\ < k. Protože má každá s množin Mk nulovou míru, můžeme ji pokrýt spočetným systémem v součtu libovolně malých a po dvou disjukntních otevřených intervalů Jki. Definujme si nyní kalibr 8(x) pro x e Jki tak, aby celé intervaly (x—8(x), x+8(x)) byly stále obsaženy v Jkj. Mimo množinu M pak 8 dodefinujeme libovolně. Pro á-kalibrované dělení H intervalu [a, b] pak můžeme odhadnout příslušný Riemannův součet n-l 7=0 E f(Šn)(Xi + l ~ Xi) = E f(Šn)(Xi + l ~ Xi) n-l 7=0 oo n — l - E E |/(&)| (*« + ! k=l j=0 6.65. Součet řady. Pomocí věty 6.41 „o záměně limity a integrálu posloupnosti stejnoměrně konvergentních funkcí" nyní sečteme číselnou řadu T — ^ n2n Využijeme toho, že f áx +1 « = 1 1 n 2" ' Řešení. Na intervalu (2, oo) konverguje řada funkcí YlT=i t^tt stejnoměrně. To plyne například z Weierstrasova kriteria: každá z funkcí je klesající na intervalu (2, oo), její hodnota tedy nepřevyšuje 2^-; řada YlT=i Je ovšem konvergentní (jedná se o geometrickou řadu s koeficientem t\. Podle Weierstrasova kriteria tedy řada funkcí E^Li ]^tt tedy konverguje stejnoměrně. Dokonce umíme výslednou funkci explicitně vyjádřit. Její hodnota v libovolném x e (2, oo) je hodnotou geometrické řady s koeficientem £, označíme-li tedy limitu jako /(x),je /<*> = E i 1 1 1 «=i x2 1 x(x — 1) Použitím (6.43) (3) dostáváme áx E ^2« ~ E / n=\ n=\ J1 Yn + l ŕ i i J 2 x ~ 1 x áx lim [(ln(<5 - 1) - ln(<5) - ln(l) + ln(2)] á^OO lim á^OO ln(2) ln + ln(2) = ln ( lim - Vá^OO 8 + ln(2) □ 6.66. Uvažme funkci f(x) = Y^=\ ne "x■ Určete -ln3 /»ln j J\n2 f(x)dx. Řešení. Obdobně jako v předchozím případě z Weierstrasova kriteria pro stejnoměrnou konvergenci vypývá, že řada funkcí YlT=i ne~nx konverguje stejnoměrně na intervalu (ln 2, ln 3), neboť každá z funkcí ne-nx je mengf než jl na (in2, ln3) a řada Y^=\ pV konverguje, což 369 G. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE 3. NEKONEČNÉ ŘADY plyne třeba z podílového kriteria pro konvergenci řad: ,. an+\. ,. (« + 1)2 lim - = lim «=>oo an «=>oo n2" Celkem podle (6.43) (3) platí /•ln 3 /-In 3 00 / f(x)dx = / y\ne~nx J\xí2 J\xí2 , -(« + 1 1 „ + 1 1 -= lim--= -. «=>°o 2 n 2 n = \ 00 /-In 3 ne~nx dx — /•! 00 00 / 1 1 \ D-^ = E(é-^) = 1 1 _ 1 2 ~ 2" 6.67. Určete následující limitu (postup výpočtu zdůvodněte): f°° cc . cos(-) lim /--X-^dx. «=>OC> In (\ _|_ _j Posloupnost těchto funkcí limi- (??) Řešení. Určeme nejprve lim «=>oc tuje bodově a máme cos(-) lim -__L_ = _ »^°° (1 + x-f lim (1 + x-f e* V «/ „=>0ov Předpokládejme, že daná posloupnost, konverguje stejnoměrně. Potom podle (6.41) ľ00 cos(-) ľ lim / TTT^f ^ = / Jo (1 + -j Jo ,00 j io ^ cos(-) lim-- (1 + xň) dx 1 Ověření stejnoměrné konvergence dané posloupnosti necháváme na čtenáři (podotýkáme jenom, že diskuze je složitější než v předchozích příkladech). 00 / n — l \ k=l V ./=0 7 7=0 Pokud tedy pro předem známé e chceme dosáhnout, aby tento odhad byl menší než e, stačí volit pokrytí intervaly Jkj tak, aby 00 7=1 Pak totiž v posledním výrazu v našem odhadu můžeme dosadit za vnitřní sumu, sečíst geometrickou řadu YlkLi 2~k a dostaneme právě prožadované e. □ Důsledek. Kurzweilovskou integrovatelnost dané funkce f(x) ani hodnotu jejího integrálu nezměníme, pozměníme-li hodnoty f(x) na množině míry nula. 6.51. Vztah Kurzweilova, Newtonova a Lebesgueova integrálu. K dokončení.... absolutně spojité funkce, vztah neurčitého integrálu a antiderivace intergrace v absolutní hodnotě Lebesgueův integrál □ 370 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET H. Doplňující příklady k celé kapitole 6.68. Vyšetřete průběh funkce (tj. mimo jiné najít extrémy, inflexní body, asymptoty) a načrtněte její graf. Řešení. Def. obor M+, globálni maximum x = e, infl. bod x = Vě3, rostoucí na int (0, e), klesající na (e, oo), konkávni (0, Ve3, konvexní (Vě3, oo), asymptoty x = 0 a y = 0, lirn^o f (x) = — oo, lim^oo f (x) = 0. □ 6.69. Vyšetřete průběh funkce (mimo jiné najít extrémy, inflexní body, asymptoty). ln(x2 - 3x + 2) + x. Řešení. Def. obor M \ (1, 2). Lokální maximum x = , na celém def. oboru konkávni, asymptoty x = 1, x = 2. □ 6.70. Vyšetřete průběh funkce (mimo jiné najít extrémy, inflexní body, asymptoty). ln(x2 - 3x + 2) + x. Řešení. Def. obor M \ (1, 2). Lokální maximum x = , na celém def. oboru konkávni, asymptoty x = 1, x = 2. □ 6.71. Vyšetřete průběh funkce (mimo jiné nalezněte extrémy, inflexní body a asymptoty): (x2-2)ex2~1. Řešení. Def. obor M. Lokální minima v —1, 1, maximum v 0. Funkce sudá. Inflexní body ±7^» bez asymptot. □ 6.72. Vyšetřete průběh funkce (mimo jiné nalezněte extrémy, inflexní body a asymptoty): ln(2x2 — x — 1). Řešení. Def. obor M \ (—^, 1). Glob. extrémy nemá. Bez inflexních bodů, asymptoty x = — j, x = 1. □ 6.73. Vyšetřete průběh funkce (mimo jiné nalezněte extrémy, inflexní body a asymptoty): x2-2 x - 1 Integrovaní Řešení. Def. obor M \ {1}. Bez extrémů. Bez infl. bodů, na int. (—00, 1) konvexní, (1, 00) konkávni, Asymptota bez směrnice x = 1. Asymptota se směrnicí y = x + 1. □ 6.74. Spočtěte neurčitý integrál / x4 + 3x3 + 5x2 + 4x +2 dX' 371 H. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 3. NEKONEČNÉ ŘADY 6.75. 6.76. Vypočtěte integrál '2 sin(ř) j4 ZL 1 — COS2 ■dř. X 6.77. Vypočtěte integrál *ln<2) dx / Jo e2x _ 6.78. Vypočtěte: ZL i) J02 sin x sin 2x dx ii) f sin2 x sin 2x dx Řešení. O i n) j sin x □ 6.79. Vyčíslete cos ^ s chybou menší než 10~5. 6.80. Pro konvergentní řadu oo £-> Jč+100 n=0 odhadněte chybu aproximace jejího součtu částečným součtem s9 999. 6.81. Bez počítání derivací uvedte Taylorův polynom 4. stupně se středem v bodě x0 = 0 funkce f (x) = cosx — 2sinx — ln (1 +x) , x e (—1, 1). Poté rozhodněte, zdaje graf funkce / v okolí bodu [0, 1] nad tečnou, pod tečnou. 6.82. Rozviňte funkci v Taylorovu řadu se středem v počátku. 6.83. Funkci y = eT definovanou na celé reálné přímce vyjádřete jako nekonečný polynom se členy tvaru a„(x — 1)" a funkci y = 2X definovanou na IR vyjádřete jako nekonečný polynom se členy anx". 6.84. Nalezněte funkci /, k níž pro x e m konverguje posloupnost funkcí /„(*) =-Ŕir, n e N. Je tato konvergence stejnoměrná na m? 6.85. Konverguje řada E tIíS. kde x e m, n = \ stejnoměrně na celé reálné ose? 6.86. Z Taylorova rozvoje se středem v počátku funkce y = sin x získejte pomocí derivace Taylorův rozvoj funkce y = cos x. 6.87. Odhadněte 372 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET (a) kosinus deseti stupňů s přesností alespoň 10 5; (b) určitý integrál J0/2 ^q-j- s přesností alespoň 10~3. 6.88. Určete mocninný rozvoj se středem v bodě x0 = 0 funkce X f(x) = fefi dt, x € R. o 6.89. Najděte analytickou funkci, jejíž Taylorova řada je JC ^ JC i ^ JC -j JC i * * přičemž x e [—1, 1]. 6.90. Ze znalosti součtu geometrické řady odvodíte Taylorovu řadu funkce y = 5+2x DOo I se středem v počátku. Poté určete její poloměr konvergence. 6.91. Nechť je pohyb tělesa (dráha hmotného bodu) popsán(a) funkcí s(ř) = -(ř - 3)2 + 16, f e [0,7] v jednotkách m, s. Stanovte (a) počáteční (tj. v čase t = 0 s) rychlost tělesa; (b) čas a polohu, ve kterých má těleso nulovou rychlost; (c) rychlost a zrychlení tělesa v čase t = 4 s. Doplňme, že rychlost je derivace dráhy a zrychlení je derivace rychlosti. 6.92. Zvolte rozměry otevřeného bazénu se čtvercovým dnem o objemu 32 m3 tak, aby na natření jeho stěn a dna bylo potřeba nejmenší množství barvy. 6.93. Číslo 28 rozložte na 2 nezáporné sčítance tak, aby součet druhé mocniny prvního sčítance a třetí mocniny druhého sčítance byl minimální. 6.94. Pomocí první derivace nalezněte reálné číslo a > 0, pro které je součet a + l/a minimální. Poté tuto úlohu řešte bez použití diferenciálního počtu. 6.95. Vepište do půlkruhu o poloměru r obdélník s největším možným obvodem. Uvedte jeho obvod. 6.96. Existuje-li mezi obdélníky o obvodu 4c obdélník s maximálním obsahem, stanovte délky jeho stran. 6.97. Zjistěte výšku v a poloměr podstavy r nejobjemnějšího kužele, který se vejde do koule o poloměru R. 6.98. Ze všech trojúhelníků s konstantním obvodem o > 0 vyberte ten, jenž má největší obsah. 6.99. Na parabole 2x2—2y = 9 najděte body s minimální vzdáleností od počátku soustavy souřadnic. 6.100. Vaším úkolem je vyrobit j ednolitrovou plechovou konzervu „obvyklého" tvaru rotačního válce tak, aby na její výrobu bylo potřeba co nejméně plechu. Určete správný poměr mezi její výškou v a poloměrem podstavy r. 6.101. Stanovte obsah rovinného obrazce vymezeného grafem funkce f(x) = ei + e~2 a přímkami 373 H. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 3. NEKONEČNÉ ŘADY y = 0, X = —2, X =2. 6.102. Zjistěte, jaký obsah má omezený obrazec s hranicí tvořenou parabolou y = x2 + 2x — 3 a osou x. 6.103. Určete obsah S oblasti ohraničené křivkami y = e~2x — 1, y = e~x + 1, x = 0. 6.104. Vypočtěte obsah ohraničeného rovinného obrazce vymezeného křivkami y2 = x3, y2 = 8(6 -x)3. 6.105. V jakém poměru jsou obsahy 2 částí kruhu x2 + y2 < 8 oddělené parabolou y2 = 2x1 6.106. Hmotný bod se pohybuje po přímce v jednom směru, a to rychlostí v(t) = j±£, t e [-1, 1]. Jakou dráhu urazí mezi časovými okamžiky t\ = — 1, ř2 = 1 ? 6.107. Nechť je dána válcová nádrž na dešťovou vodu s průměrem podstavy 1 m a výškou 2 m, která je naplněna po okraj. Vznikne-li v jejím dně kruhový otvor o průměru 1 cm, přibližně určete, za jak dlouho z ní veškerá voda vyteče. Je znám vztah pro rychlost vytékání v = c^h, kde h je výška hladiny kapaliny a c je konstantní s experimentálně zjištěným rozsahem hodnot 2, 65 < c < 2, 7. 6.108. Stanovte obsah S neomezené oblasti s hranicí tvořenou grafem funkce y = XT^, X € [2, +00) a přímkami x = 2, y = 0. 6.109. Spočítejte délku jedné větve prosté cykloidy při poloměru zadávající kružnice r > 0, tj. délku křivky f(t) = r(t - siní), g(t) = r(l - cosi), t e [0, 2jt]. 6.110. Určete délku grafu funkce f(x) = ln (cosx) na intervalu [0, a], přičemž 0 < a < jt/2. 6.111. Vypočtěte délku grafu funkce coshx = e*+e x na intervalu [—1,2]. 6.112. Spočtěte délku s grafu funkce y = ln (l — x2) pro x e [0, 1/2]. 6.113. Stanovte objem V tělesa vzniklého otáčením plochy ohraničené grafy funkcí f(x) =2x — x2 a g(x) =0 kolem osy x. 6.114. Vypočítejte objem tělesa vymezeného eliptickým paraboloidem r2 v2 7 = — + — <■ 4 T 4 a rovinou z = 1 - 6.115. Určete objem tělesa ohraničeného plochou, která vznikne rotací křivky xy + 1 = x2 + y2 okolo x-ové osy. 6.116. Pomocí určitého integrálu odvodte vzorce pro objem V a obsah pláště S rotačního komolého kužele s podstavami o poloměrech n ar2a výškou v. 374 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 6.117. Vypočtěte obsah pláště rotačního tělesa vzniklého rotací kolem osy x plochy ohraničené gra- 3 fem funkce y = y, osou x a přímkou x =2. 6.118. Stanovte obsah plochy, která vznikne otáčením části křivky y2 = 2x vyťaté přímkou 2x = 3 okolo x-ové osy. 6.119. Stanovte obsah rovinného obrazce vymezeného grafem funkce f(x) = ei + e~2 a přímkami y = 0, x = —2, x =2. 6.120. Zjistěte, jaký obsah má omezený obrazec s hranicí tvořenou parabolou y = x2 + 2x — 3 a osou x. 6.121. Určete obsah S oblasti ohraničené křivkami y = e~2x — 1, y = e~x + 1, x = 0. 6.122. Vypočtěte obsah ohraničeného rovinného obrazce vymezeného křivkami y2 = x3, y2 = 8(6 -x)3. 6.123. V jakém poměru jsou obsahy 2 částí kruhu x2 + y2 < 8 oddělené parabolou y2 = 2x1 6.124. Hmotný bod se pohybuje po přímce v jednom směru, a to rychlostí v(t) = ^, f e [-1,1]. Jakou dráhu urazí mezi časovými okamžiky t\ = — 1, t2 = 1? 6.125. Nechť je dána válcová nádrž na dešťovou vodu s průměrem podstavy 1 m a výškou 2 m, která je naplněna po okraj. Vznikne-li v jejím dně kruhový otvor o průměru 1 cm, přibližně určete, za jak dlouho z ní veškerá voda vyteče. Je znám vztah pro rychlost vytékání v = c^h, kde h je výška hladiny kapaliny a c je konstantní s experimentálně zjištěným rozsahem hodnot 2, 65 < c < 2, 7. 6.126. Stanovte obsah S neomezené oblasti s hranicí tvořenou grafem funkce y = -^2, x e [2, +oo) a přímkami x = 2, y = 0. 6.127. Spočítejte délku jedné větve prosté cykloidy při poloměru zadávající kružnice r > 0, tj. délku křivky f(t) = r(t - siní), g(t) = r(l - cosi), t e [0, 2jt]. 6.128. Určete délku grafu funkce f(x) = ln (cosx) na intervalu [0, a], přičemž 0 < a < jt/2. 6.129. Vypočtěte délku grafu funkce coshx = 6-1+e x na intervalu [—1,2]. 6.130. Spočtěte délku s grafu funkce y = ln (l — x2) pro x e [0, 1/2]. 6.131. Stanovte objem V tělesa vzniklého otáčením plochy ohraničené grafy funkcí f(x) =2x — x2 a g(x) = 0 kolem osy x. 6.132. Vypočítejte objem tělesa vymezeného eliptickým paraboloidem 375 H. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 3. NEKONEČNÉ ŘADY a rovinou z. = 1. 6.133. Určete objem tělesa ohraničeného plochou, která vznikne rotací křivky xy + 1 = x2 + y2 okolo x-ové osy. 6.134. Pomocí určitého integrálu odvoďte vzorce pro objem V a obsah pláště S rotačního komolého kužele s podstavami o poloměrech n ar2a výškou v. 6.135. Vypočtěte obsah pláště rotačního tělesa vzniklého rotací kolem osy x plochy ohraničené gra- 3 fem funkce y = osou x a přímkou x = 2. 6.136. Stanovte obsah plochy, která vznikne otáčením části křivky y2 = 2x vyťaté přímkou 2x = 3 okolo x-ové osy. 6.137. Nechť je pohyb tělesa (dráha hmotného bodu) popsán(a) funkcí s(ř) = -(ř - 3)2 + 16, f e [0,7] v jednotkách m, s. Stanovte (a) počáteční (tj. v čase t = Os) rychlost tělesa; (b) čas a polohu, ve kterých má těleso nulovou rychlost; (c) rychlost a zrychlení tělesa v čase t = 4 s. Doplňme, že rychlost je derivace dráhy a zrychlení je derivace rychlosti. 6.138. Stanovte obsah rovinného obrazce vymezeného grafem funkce f(x) = ei + e~2 a přímkami y = 0, X = —2, X = 2. 6.139. Zjistěte, jaký obsah má omezený obrazec s hranicí tvořenou parabolou y = x2 + 2x — 3 a osou x. 6.140. Určete obsah S oblasti ohraničené křivkami y = e~2x — 1, y = e~x + 1, x = 0. 6.141. Vypočtěte obsah ohraničeného rovinného obrazce vymezeného křivkami y2 = x3, y2 = 8(6 -x)3. 6.142. V jakém poměru jsou obsahy 2 částí kruhu x2 + y2 < 8 oddělené parabolou y2 = 2x? 6.143. Hmotný bod se pohybuje po přímce v jednom směru, a to rychlostí v(t) = j±£, t e [-1, 1]. Jakou dráhu urazí mezi časovými okamžiky t\ = — 1, ř2 = 1 ? 6.144. Nechť je dána válcová nádrž na dešťovou vodu s průměrem podstavy 1 m a výškou 2 m, která je naplněna po okraj. Vznikne-li v jejím dně kruhový otvor o průměru 1 cm, přibližně určete, za jak dlouho z ní veškerá voda vyteče. Je znám vztah pro rychlost vytékání v = c~Jh, kde h je výška hladiny kapaliny a c je konstantní s experimentálně zjištěným rozsahem hodnot 2, 65 < c < 2, 7. 6.145. Stanovte obsah S neomezené oblasti s hranicí tvořenou grafem funkce y = XT^, X € [2, +00) 376 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET a přímkami x = 2, y = 0. 6.146. Spočítejte délku jedné větve prosté cykloidy při poloměru zadávající kružnice r > 0, tj. délku křivky f(t) = r(t - siní), g(t) = r(l - cosi), t e [0, 2jt]. 6.147. Určete délku grafu funkce f(x) = ln (cosx) na intervalu [0, a], přičemž 0 < a < it/2. 6.148. Vypočtěte délku grafu funkce coshx = e*+e x na intervalu [—1,2]. 6.149. Spočtěte délku s grafu funkce y = ln (l — x2) pro x e [0, 1/2]. 6.150. Stanovte objem V tělesa vzniklého otáčením plochy ohraničené grafy funkcí f(x) =2x — x2 a g(x) = 0 kolem osy x. 6.151. Vypočítejte objem tělesa vymezeného eliptickým paraboloidem r2 v2 7 = — + — <■ 4 T 4 a rovinou z = 1. 6.152. Určete objem tělesa ohraničeného plochou, která vznikne rotací křivky xy + 1 = x2 + y2 okolo x-ové osy. 6.153. Pomocí určitého integrálu odvodíte vzorce pro objem V a obsah pláště S rotačního komolého kužele s podstavami o poloměrech r\ a r2 a výškou v. 6.154. Vypočtěte obsah pláště rotačního tělesa vzniklého rotací kolem osy x plochy ohraničené gra- 3 fem funkce y = y, osou x a přímkou x = 2. 6.155. Stanovte obsah plochy, která vznikne otáčením části křivky y2 = 2x vyťaté přímkou 2x = 3 okolo x-ové osy. 377 H. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 3. NEKONEČNÉ ŘADY Řešení cvičení 6.11. ■x~ 00 o2h-1 y (-ir- fť (2n)l 1=0 konverguje pro libovolné reálné x. 6.72. 00 92«-l H (2n)\ konverguje pro libovolné reálné x. 6.13. Á—' n n = l konverguje pro x e (—1, 1). 6.74. \ ln(x2 + 2x + 2) - \ InCx2 + x + 1) + \Jl arctan {^á^h^ + c. 6.76. *ln(š±g). 6.77. -i -|ln(2). „2 „4 6.79. 1 1()22 -r 104 4|. 6.SO. Chyba náleží do intervalu (0, 1/200). 6.87. 1 — 3x + 2i:x4' nad tečnou. 6.82. íi:„|/. 6.84. /(*) = x, x e R; ano. 6.55. Nikoli. 6-86. EZoi^^"- 6 88 V00 1 r2«+l o-"3"3- 2^n=0 (2«+l)«! 6.89. y = arctgx. 6.90. Právě pro x € (—|, |) je 1 _ 1 5+2x — 5 =0 00 / i\" 6.97. (a) v(0) =6m/s; (b) t = 3 s, s(3) = 16 m; (c) v(4) = -2 m/s, a(4) = -2 m/s2. 6.92. 4 m x 4 m x 2 m. 6.93. 28 = 24 + 4. 6.94. o = 1. 6.95. 2 vš r. 6.96. Jedná se o čtverec (s délkou strany c). 6.97. 1; = f Ä, r = ^fl. 6.98. Nejvétší obsah V3 o2/36 má rovnostranný trojúhelník. 6.99. [2,-1/2], [-2,-1/2]. 6.700. u = 2r. 6.707. 4 (e-e"1). 6.702. 32/3. 6.705. S = ln 4- 1/2. 378 KAPITOLA 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 6.104. 192/5. 6.105. (7t + 2/3) ku (3tt - 2/3). 6.106. n/2. 6.107. Přibližně za 3 hodiny. 6.108. S = |ln2. 6.709. 8r. 6.miln^f =In(tg (§ + £)). ó.iii. (e2 + e-e"2-e-1)/2. 6. i 12. s = ln 3 - 1/2. 6.773. V = 1ó7t/15. 6.114. 2n. 6.115. 8tt/3. 6.776. V = 5 Tru (r2 + nr2 + ff): 5 = + ^-A2 + (n - n)2- 6.117. 27r(V53 - l)/9. 6.778. 14tt/3. 6.779. 4 (e-e"1). 6.720. 32/3. 6.727. S = Ui4- 1/2. 6.722. 192/5. 6.723. (n + 2/3) ku (3tt - 2/3). 6.724. n/2. 6.125. Přibližně za 3 hodiny. 6.726. S = |ln2. 6.727. 8r. 6.^.Iln{Ä=l„(tg + 6.729. (e2+e-e"2-e-1)/2. 6.730.5 = ln3 - 1/2. 6.737. V = lÓjr/15. 6.732. 2tt. 6.733. 8tt/3. 6.734. V = 5 Tru (r2 + n>-2 + r2); 5 = 7r(n + r2)^Jv2 + (r2 - ri)2. 6.135. 27r(V53 - l)/9. 6.736. 14tt/3. 6.737. (a) v(0) = 6m/s; (b) t = 3 s, 5(3) = 16m; (c) u(4) = -2m/s, a(4) = -2m/s2. 6.73S.4(e-e"1). 6.739. 32/3. 6.740. S = ln4- 1/2. 6.747. 192/5. 6.742. (tt + 2/3) ku (3?r - 2/3). 6.743. tt/2. 6.144. Přibližně za 3 hodiny. 6.745. S = fln2. 6.746. 8r. 6.«7.^1n^f =In(tg (f + f)). 6.748. (e2 + e-e"2 - e"1) /2. 379 H. DOPLŇUJÍCÍ PŘÍKLADY K CELÉ KAPITOLE 3. NEKONEČNÉ ŘADY 6.749. 5 = ln 3 - 1/2. 6.750. V = 16tt/15. 6.757. 2it. 6.152. 8tt/3. 6.753. V = i Tru (řf + nr2 + řf); 5 = 7r(n + r2)v/i;2 + (r2 - n)2. 6.154. 27r(v/5I- l)/9. 6.755. 14tt/3. 380 KAPITOLA 7 Spojité modely Jak zvládáme nelineární objekty? zase lineárními a kvadratickými nástroji... V této kapitole ukážeme využití nástrojů diferenciálního a integrálního počtu ve vybraných problémech, ve kterých si vystačíme s funkcemi jedné reálné nezávislé proměnné. Půjde o postupy a nástroje docela podobné těm z kapitoly třetí, tj. manipulace s lineárními kombinacemi vybraných generátorů a lineárními transformacemi (např. hledání jejich jader nebo vzorů předepsaných obrazů). Jen místo konečně rozměrných vektorů budeme pracovat s prostory funkcí, tzn. uvažované vektorové prostory často nebudou mít konečnou dimenzi. K těmto i dalším praktickým oblastem se vrátíme v příští kapitole v kontextu funkcí více proměnných, diferenciálních rovnic i variačního počtu. Nejprve budeme aproximovat funkce pomocí lineárních kombinací z předem pevně zvolených sad generátorů. Po cestě si ale budeme muset ujasnit, jak vlastně pracovat s pojmy jako je vzdálenost. Půjde o náznaky teorie tzv. metrických prostorů a tato část je zároveň přípravou na analýzu v euklidovských prostorech W.V zásadě přitom budeme pokračovat v postupech, které již z euklidovských vektorových prostorů dobře známe. Zjistíme, že naše intuice z euklidovských prostorů nízké dimenze se docela dobře hodí i obecně. Pak se budeme stručně zabývat integrálními operátory, tj. lineárními zobrazeními na funkcích, které jsou definovány pomocí integrování. Půjde zejména o tzv. Fourierovu analýzu. Při našich úvahách se přitom budeme jako obvykle zamýšlet i nad diskrétními variantami dříve diskutovaných spojitých operací. V celé kapitole budeme pracovat s funkcemi jedné reálné proměnné, které ale budou mít buď reálné nebo (velmi často) komplexní hodnoty. 1. Fourierovy řady 7.1 Prostory funkcí. Jako obvykle začneme výběrem vhodné množiny funkcí, se kterými chceme pracovat. Chceme přitom mít dost funkcí na praktickou použitelnost našich modelů, ale také musí být dostatečně „pěkné", abychom je uměli integrovat a derivovat tak, jak bude třeba. Budeme vesměs pracovat s funkcemi definovanými na nějakém intervalu I = [a, b] c M, konečném nebo nekonečném (tj. krajní hodnoty a i b mohou také nabývat hodnot ±oo). A. Ortogonální systémy funkcí 7.1. V prostoru reálných funkcí na intervalu (1, 2), je dán vektorový podprostor (x2, 1/x). Doplňte funkci 1/x na jeho ortogonální bázi a určete kolmou projekci funkce x na tento podprostor. Řešení. Nejprve doplníme funkci 1 /x na ortogonální bázi. Jedním z vektorů báze tedy bude funkce 1 /x. Uvažovaný vektorový prostor je generován dvěma lineárně nezávislými funkcemi, bude tedy mít dimenzi 2 (a všechny vektory v něm jsou tvaru a-^ +b-x2, kde a, b e M). Zbývá nám tedy najít pouze ještě jeden vektor báze, který bude kolmý na funkci f\ = 1 /x. Podle Grammova-Schidtova ortogonalizačního procesu (viz 2.42) ho hledáme ve tvaru f2 = x2 + k ■ k e M. Reálnou konstantu k určíme z podmínky kolmosti: tedy 1 , 1 (-,x2 + k ■ -x x ,x2) 1 , 11 <-, x2)+£<-,-), /f± -x2dx J 1 x ^x' x' Hledaná ortogonální báze tedy je (^, x2 — ^). Nyní spočítáme projekci px funkce x na tento podprostor (viz (2.3)): r21. i ' 1 X X ■ 1 JI 3- <*, -)) 1 (X, X 1 X ' X ' 3 i 3-,x2 2 15 —i--(x x 34 )-{x2 2 381 A. ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY FUNKCÍ 1. FOURIEROVY ŘADY □ 7.2. Uvažujme reálný vektorový prostor funkcí na intervalu [1, 2] generovaný funkcemi -, \, \. Doplňte funkci - na ortogonální bázi x x x x tohoto prostoru. Řešení. Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem s daným skalárním součinem: fi(x) = \, f2(x) = 4? - f3(x) = -j - ^ + □ 13 24x' 7.3. Určete projekce funkcí -^aina vektorový prostor z příkladu 3. Určete vzdálenosti od tohoto vektorového prostoru. 15 32- fi + %h + l/s, vzdálenost Projekce x : 2/! + (-§ +ln(2))/2 + (-| ln(2) + ||)/3, vzdálenost cca 0,03496029493. Vidíme, že vzdálenost funkce, která má podobný průběh jako generátory, je menší. □ 7.4. Určete konvoluci f\ * f2 funkcí fi = fi 1 — x pro x e (—2, 1) 0 jinak 1 pro x e (0, 1) 0 jinak 7.5. Nalezněte Fourierovu transformaci T(f) = f funkce /(ř) = sgnř, ře(-l,l); /(0 = 0, íěE\(-1,1), tj. /(O) = 0, f(t) = 1 pro t e (0, 1) a f(t) = -1 pro t e (-1, 0). Řešení. Fourierova transformace uvedené funkce je oo Hf)(fi>) = -k= I f(t)e-imtdt = -4= / sgn t (cos ( 1 budeme také uvažovat množinu všech po částech spojitých funkcí / jejichž všechny derivace až do řádu k včetně patří do 5° (tj. nemusí existovat ve všech bodech, ale existují jejich jednostranné limity ve všech bodech). Budeme pro ni používat značení torovémprostoru S]. 7.6. Popište Fourierovu transformaci F(f) funkce f(t)=e-ař, řel, kde a > 0. Řešení. Naším úkolem je vypočítat f &-at2 e~icút dt. Derivování (podle a>) a poté užití metody per partes (pro F' (.F(/)(ťo))' = -j- f -ite-atl e~icútdt -iteT"? ,G = e~ia)t) dává ±= f lim f Q-^-io* _ ■4= I f lim e~at2 - f ^ „ , , V2jt \2a 2a J 2a lim 4r e i 0-a?-iů)t ľ i j IÍZM Q-"!2 Q-iOJt Jí 2a J 2a OQ -ar2 -znfxo). 2a \ ^/2Ťi •> I 2a \ —oo Hledejme proto funkce y(l; o o / (oo oo \ oo f^du + f^dv) =1-f^du, f e (-1,1); 0 0/0 (oo oo \ -/^^ + /^^ =0, ř<-l. o o / Dokázali jsme tak, že funkce / je nulová pro 11 \ > la konstantní (nutně nenulová) pro 11 | < 1. (Po celou dobu předpokládáme, že inverzní Fourierova transformace existuje.) Určeme funkční hodnotu /(0). Pro funkci g(t) = \, |ř|\ platí ™°» = jzfe-""* = ^fcos(cot) dt = -1 o Odtud plyne, že /(0) = g(0)/2 = 1/2. Ještě vyzdvihněme vyčíslení integrálu fs^du ■j u 0 2 ' Z vlastností skalárního součinu je splněna v operacích na konci předchozího odstavce jak linearita v prvním argumentu, tak symetričnost (tj. v komplexním případě zahrnující komplexní konjugaci). Zároveň je pro spojité funkce splněna i podmínka nenulovosti velikosti pro nenulové funkce, zatímco pro naše po částech spojité funkce znamená nulovost velikosti nulovost funkce až na nejvýše spočetnou množinu bodů. Vrátíme se k této drobné nepříjemnosti později. V konečněrozměrném případě reálných nebo komplexních vektorových prostorů jsme uvažovali skalární součiny a velikost vektorů již ve druhé a třetí kapitole. Všimněme si přitom, že při dovozování vlastností jsme vesměs vždy pracovali s dvojicemi nebo konečnými množinami vektorů. Nyní to ale můžeme dělat s funkcemi naprosto stejně a pokud zúžíme naši definici skalárního součinu na vektorový prostor generovaný (nad reálnými nebo komplexními čísly) jen konečně mnoha funkcemi f\, ..., fk. Dostaneme opět dobře definovaný skalární součin na tomto konečněrozměrném vektorovém podprostoru. Jako přiklad uvažme funkce /) = x1, i = 0, ..., k. Jimi je v \. Aplikujme tuto proceduru rpo ilustraci na tři polynomy 1, x, x2 na intervalu [—1, 1]. Dostaneme g\ = \, g2=X g3 = X -ľ -(' Slil2/-, x ■ \ dx ■ 1 = x — 0 = x x2 • 1 dx ■ 1 II* if i-, x ' x dx ' x x--. 3 které jsme rovněž obdrželi. □ Příslušná ortogonální báze prostoru m2m všech polynomů stupně nejvýše tři na intervalu [—1, 1] je tedy l,x, x2 — 3. Normalizací, tj. vhodným násobením skalárem tak, aby prvky v bázi měly velikost jedna dostaneme ortonormální 384 KAPITOLA 7. SPOJITÉ MODELY bázi h] Takovým ortonormálním generátorům Rk [x] se říká Legen-dreovy polynomy. 7.4. Ortogonální systémy funkcí. Právě jsme si připomněli výhody, které ortonormální báze pod-prostorů mají pro konečněrozměrné vektorové prostory. V předchozím příkladu Legendreo-vých polynomů generujících V = M*[jc] pro libovolné k > 2, bude pro libovolnou funkci h e Vfunkce H = (h, h\)h\ + {h, h2)h2 + (h, h3)h3 jednoznačně určenou funkcí, která minimalizuje naši L2-vzdálenost \\h — H\\ mezi všemi funkcemi v Mí[jc], viz. 3.25. Koeficienty pro nejlepší aproximaci zadané funkce pomocí funkce z vybraného podprostoru je možné tedy získat prostě integrací v definici skalárního součinu. Uvedený příklad podbízí následující zobecnění: Když provedeme proceduru Grammovy-Schmidtovy ortogonali-zace pro všechny monomy 1, x, x2, ..., tj. pro spočetný systém generátorů, co z toho vznikne? „■.■J Ortogonální systémy funkcí | Libovolný konečný nebo spočetný systém lineárně nezávislých funkcí v Sj?[a,b] takový, že každé dvě různé z nich mají nulový skalární součin se nazývá ortogonální systém funkcí. Jestliže jsou všechny funkce /„ v posloupnosti po dvou ortogonální a zároveň je pro všechna n velikost ||/„|| 2 = 1, hovoříme o ortonormálním systému funkcí. Uvažme tedy jakýkoliv ortogonální systém funcí /„ e 0 o pro neznámou funkci /. Řešení. Pokud obě strany rovnice vynásobíme číslem y/2/n, obdržíme na levé straně právě sinovou Fourierovu transformaci. Stačí tedy aplikovat na rovnici inverzní transformaci. Takto dostaneme 00 f(t) = I j e~x sin(xř) dx, t > 0. o Dvojnásobným použitím metody per partes pak lze spočítat / e~x sin (xt) dx = f^i [— sin (xt) — t cos (xt) ] + C, a tudíž je 00 / e~x sin (xt) dx = o lim ([— sin (xt) — t cos (xt) ]) Řešením rovnice je proto funkce (-0 f(t) = lTÍT> ř>°" □ 7.9. Nalezněte řešení tzv. rovnice vedení tepla (rovnice difúze) ut(x, t) = a2uxx(x, t), x e M, t > 0 splňující počáteční podmínku lim u(x,t) = f(x). Poznámky: Symbolem ut = ^- zde rozumíme parciální derivaci funkce u podle t (tj. derivujeme podle t, přičemž x považujeme za ^2 konstantní) a podobně uxx = ^ označuje druhou parciální derivaci podle x (kdy dvakrát derivujeme podle x a na ř nahlížíme při derivování jako na konstantu). Fyzikální interpretací úlohy je, že se snažíme určit teplotu u(x,t) v tepelně izolované a homogenní tyči nekonečné délky (rozsah proměnné x), je-li dána počáteční teplota tyče funkcí /. Tyč má konstantní průřez a teplo se v ní může šířit pouze vedením. Koeficient a2 je pak roven podílu —, kde a je koeficient tepelné vodi- CQ vosti, c je specifické teplo a q je hustota. Zvláště se tedy předpokládá, že a2 > 0. Řešení. Na rovnici vedení tepla aplikujeme Fourierovu transformaci vzhledem k proměnné x. Platí ovšem 00 T (ut) (ú), t) = -j= j ut(x, t) e~ioJX dx = —00 s 00 j u(x, t)e~imxdx K — OO kde je derivováno podle t, tj. je T (u t) (co, t) = (T (u) (co, t))' = (T(u))t (co, t). Současně víme, že 385 A. ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY FUNKCÍ 1. FOURIEROVY ŘADY T (a2 uxx) (co, i) = a2 T (uxx) (a>, t) = —a2a? T (u) (co, i). 7.5 Při označení y(a>, t) = T (u) (a>, ť) tak přecházíme k rovnici yt = -a2(ú2 y. Podobnou diferenciální rovnici jsme již při počítání Fourierových transformací řešili, a tudíž pro nás není obtížné stanovit všechna její řešení y(ců, t) = K(ců) e-fl2íU\ K((ú) e R. Zbývá určit K(a>). Transformace počáteční podmínky dává T(f) (tu) = lim F(u) (tu, t) = lim yico, t) = K(ců)e° = K(ců), a proto je yico, t)=T (/) (tu) e-a2°j2t, K(co) e R. Nyní se pomocí inverzní Fourierovy transformace vraťme k původní diferenciální rovnici s řešením oo u(x, t) = -j= f y(cú, ť) émx dcú = ■j= f T (f) (tu) e'" m ' émx dcú — OO OO / oo zrn I bb / /We""* / f(s) ( -j= / e~"2a)2t e-im(s-x) dco | ds. Vypočítáním Fourierovy transformace F(f) funkce f (t) = e pro a > 0 jsme při přeznačení proměnných obdrželi -a? 2Ťr -cp" ~-irp dp /2c e 4c; o 0. Dle tohoto vztahu (uvažte c = a2t > 0, p = a>, r = s — x) platí 2n j q-a2oj2t q-íoj(s-x) I2a2t a tedy u(x, ť) 2a\[ižt ka.-s, J f(s)e 4 — 1 spočtěte Laplaceovu transformaci £ (g) (s) funkce g(t) = te~t a pro s > 1 Laplaceovu transformaci £ (h) is) funkce h(t) = t sinhf. Řešení. Užitím metody per partes získáváme oo oo , , £ (g) (S) = ft e"ř e~st dt = ft e~(s+1)t dt = lim ) - 0 - ■ dt (lim e0\ u y Derivování Laplaceovy transformace obecné funkce — / (tj. nevlastního integrálu) podle parametru s dává ' oo \ ' oo oo / -/(O e"sř = / -f{t) (e"")' dt = ftfit) e"sř rff. vO / 0 0 To znamená, že derivace Laplaceovy transformace £(—/)(«) je La-placeova transformace funkce tf{f). Laplaceovu transformaci funkce y sinh t jsme ale dříve určili jako funkci y = ^zr- Proto platí (s2-l)2- (í) = (-7231)' Povšimněme si, že tímto způsobem jsme rovněž mohli určit £ig) is). □ 7.13. Najděte funkci y, která vyhovuje diferenciální rovnici fit) = cos (7Tř) - yit), t e (0, +oo) a počátečním podmínkám y(0) = c\, y'(0) = c2. Řešení. Nejdříve podotkněme, že z teorie obyčejných diferenciálních rovnic vyplývá, že úloha má právě jedno řešení. Dále připomeňme £ (/") is) = s2£ if) is) - s lim fit) - lim fit) a £(cos ibt)) is) 2+h2 - Aplikování Laplaceovy transformace na zadanou diferenciální rovnici proto dává tj- (7.3) s2£ iy) is) - sci - c2 £ iy) is) sí+7lí C(y) (s), + CiS + C2 (S2 + 1) (S2 +7t2) S2 + l S2 + ľ Stačí tudíž najít funkci y splňující (7.3). Rozkladem na parciální zlomky získáváme (s2+l)(s2+jr2) = í2-! (?+T ~ T^+í2") • Z výše uvedeného vyjádření £ (cos ibt)) is) a dříve dokázaného £ (sin t) is) s2+l • Není snadné říci, jak vypadá celý prostor konvergentních nebo stejnoměrně konvergentních řad F(x) = ^cnfn. «=i • Pro danou integrovatelnou funkci umíme najít jen „nejlepší možné přiblížení" takovou řadou F{x) ve smyslu L2-vzdálenosti. V případě, že místo ortogonálního systému /„ máme systém ortonormální, jsou formulky ve větě o něco jednodušší, žádné další zlepšení ale nenastane. Výběr ortogonálního systému funkcí musí pro praktické použití sledovat účel, pro který chceme aproximace a další nástroje použít. Samotný název „Fourierovy řady" odkazuje na následující volbu systému reálných funkcí: fourierův ortogonální systém j_ 1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, sinni, cosnx, i Jako elementární cvičení na integraci per partes si můžeme spočíst, že skutečně jde o ortogonální systém funkcí na intervalu [—jt,7t]. Ukážeme si v zápětí i jiné ověření této skutečnosti. Jde o tzv. periodické funkce se společnou periodou 2jt (viz definice níže) a tzv. „Fourierova analýza" opřená o tento ortogonální systém nám umožní mimořádně účinně pracovat se všemi (po částech spojitými) periodickými funkcemi. Vzhledem k tomu, že mnoho fyzikálních, chemických i biologických dat vnímáme, přijímáme nebo měříme ve skutečnosti prostřednictvím frekvencí tzv. signálů (tj. měřených veličin), jde o skutečně základní matematický nástroj. Biologové a inženýři dokonce často používají slovo „signál" v našem smyslu „funkce". j Periodické funkce | Funkce / s reálnými nebo komplexními hodnotami, definovaná na celém M se nazývá periodická funkce s periodou T > 0, jestliže pro každé x e M platí /(x + T) = fix). Je zjevné, že součty a skalární násobeky periodických funkcí se stejnými periodami jsou opět periodické funkce s touž periodou. Integrál f^+T fix) dx periodické funkce / přes interval délky periody T nezávisí na volbě xq e M. 1 Poslední tvrzení se dokáže snadno: Zvolme si dva takové levé hraniční body integrace x0 a y0. Pomocí substice t = x + kT s vhodným k převedeme ■fyo+T f(x^ ^X na PřtPaď kdy yo e [x0, x0 + T]. Nyní rozdělením intervalu integrace na tři části dokončíme důkaz. Ortogonalitu Fourierova systému funkcí si spočteme docela snadno pomocí výletu do komplexních čísel, který se nám bude velice hodit později: 388 KAPITOLA 7. SPOJITÉ MODELY Připomeňme, že e" = cos(x) + i sin(x) a přímým derivováním součinu reálných funkcí ověříme, že pro reálné funkce z(x) a cp(x) s reálnými hodnotami platí tak již dostáváme hledané řešení (z(x) ei(p(x))' = z'(x) e^w +i z(x) cp'(x) e^w . Primitivní funkce ke komplexní funkci / samořejmě dostaneme pomocí primitivních funkcí k reálné a imaginární komponentě funkce /. Můžeme si tedy velmi snadno spočíst integrál (předpokládáme m 7^ ň) /7ľ t*7ľ eimxe-inxdx= / ef(f»-n)x ^ = _l_ri(m-n)xyt I m—n l j—t ' -jt J —n což je vždy nula, protože je jedno jestli o násobky jt obíháme po jednotkové kružnici v jednom nebo druhém směru. Právě spočtený integrál vyjadřuje skalární součin ^imx^inxy Vidíme tedy, že skutečně všechny dvojice našich funkcí tinx (s komplexními hodnotami) jsou na sebe kolmé. Můžeme ale tento skalární součin rozepsat: (eimx, énx) = (cos(mx) + i sin(mx), cos(«x) + i sin(njc)) = ((cos(mx), cos(hjc)) + (sin(mx), sin(njc))) +/((sin(mje), cos(hjc)) — (sin(mx), cos(hjc))). Všimněme si, že v imaginární části tohoto výrazu budeme integrovat liché funkce přes interval [—jt, Jt] a tedy dostaneme zaručeně nulu. Funkce sin(x) a cos(x) se liší jen o fázový posun, tj. cosímx — jt/2) = sin(mx). Proto jsou oba sčítance v reálné části našeho výrazu stejné. Musí tedy být nulové oba dva a tím jsme ověřili ortogonalitu našeho systému funkcí. Zároveň vidíme, že pro m = n je výsledkem reálné číslo dx = lit a přitom zjevně musí opět být velikosti jak sin(«x) tak cos(«x) stejné. Nutně proto pro kladná n dostáváme velikosti || cos(«x)||2 = jt, II sin(«x)||2 = jt, jen pro n = 0 dostáváme || 11|2 = 2jt. fourierovy řady | _ Řadu funkcí F(x) = — + 'y^(an cos(«x) + bn sin(řix)) «=i z Věty 7.5, s koeficienty i r „ = — I g (x) cos(nx) dx, „ = — I g (x) sin(řix) dx, n Jxo nazýváme Fourierova řada funkce g na intervalu [xq, xq + 2jt]. y(0 (cos t — cos (jtť)) + c\ cos t + c2 sin t. □ 7.14. Vyřešte soustavu diferenciálních rovnic x"(ř)+x'(ř) = y(t)-f(t)+é, x'(ř)+2x(ř) = -v(ř)+y(0+e-ř při počátečních podmínkách x(0) = 0, y(0) = 0, x'(0) = 1, /(O) = 0. Řešení. Opět aplikujeme Laplaceovu transformaci. Tím s využitím £ (e±ř) <*) = é převedeme první rovnici na s2L (x) (s) — s lim x(t) — lim x'(t) + sC (x) (s) — lim x(t) = C (y) (s) - (s2Ľ (y) (s) - s lim y(t) - lim y (t)) + 1 s-1 a druhou potom na sC (x) (s) - lim x(t) + 2C (x) (s) = -C (y) (s) + sC (y) (s) - lim y(t) + ^. Vyčíslíme-li limity (dle počátečních podmínek), obdržíme lineární rovnice s2Ĺ (x) (í) - 1 + sC (x) (s) = C (y) (s) - s2Ĺ (y) (s) + ^ a sC (x) (s) + 2C (x) (s) = -C (y) (s) + sC (y) (s) + ^ s právě jedním řešením C (x) (s) 2s-l 3s 2(s-l)(s + l)2' ^' ^ ' 2(s2-l)2' Opět si pomůžeme rozkladem na parciální zlomky se ziskem Ĺ (x) (s) - i -±- + ^ _J__IJ_ - 2 i , i _J_ *~ \X) W — 8 s_i -T 4 (j + 1)2 8 s + 1 — 4 (j + 1)2 ^ 4 s2-l Neboť již dříve jsme vypočítali C (t c-') (s) (s+l)1 £(sinhř) (s) = j^. C (t sinh í) (s) 2s (*2-l)2' dostáváme x(t) = 11 e"ř + \ sinh t, y(t) = 11 sinh t. Čtenář může sám ověřit, že tyto funkce x a y jsou skutečně hledaným řešením. Ověření však důrazně doporučujeme provést (např. z toho důvodu, že Laplaceovy transformace funkcí y = é, y = sinhř a y = t sinh t jsme získali pouze pro s > 1). □ 389 A. ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY FUNKCÍ 1. FOURIEROVY ŘADY 7.15. Diskrétní kosinová transformace. Základem JPEG komprese dat je tzv. diskrétní kosinová transformace. Taje dána ortogonální maticí C definovanou následovně (2k - 1)(Z - l)7r' cu = au cos 2n kdeo^i = -j=au = y-proZ > 1. Vektor reprezentující data pak ortogonálně rozložíme a některé bázové vektory (slopce matice C ) vypustíme. Tím je provedena redukce dat s rozumnou aproximací původních dat. Zpětná transformace je jednoduchá. Protože je C ortogonální, je dána násobením transponovanou maticí. Ukažte, že pro n = 2 je matice C rovna ^^j a že je ortogonální. Spočítejte ortogonální rozklad vektoru (3, 4) vzhledem k bázi tvořené sloupci matice a určete vlastní čísla a vlastní vektory. Počítejme 1/1 1 Wl 1 \ 1 (2 QT 2 U —li " l 1 -lj ~ 2 U 2 ca 1. 7 . 7 Matice C je tedy ortogonální a její sloupce tvoří ortonormální bázi e\ = (-^j, -^), e2 = (^|, — yf)" ^oeíicienty ortogonálního rozkladu vektoru m tice (3, 4) dostaneme jednoduše použitím transponované ma-1 \ /3\ 1/7 C u 72 G -0(4) V2 Ortogonální rozklad má tedy následující tvar ■1 Charakteristický polynom matice Cje(A+-^)(A—-^) —^ = 0a vlastní čísla jsou tedy Ai 2 = ±1 (jiná ani ortogonální matice nemůže mít). Příslušné vlastní vektory jsou určeny po řadě rovnicemi 0 a jsou to tedy například vektory (-^, 1 — -^), (-^, —1 — -^) (které jsou automaticky ortogonální). Pozn. nakreslete si obrázek, jak působí na vektor v rovině zobrazení určené maticí A. 7.16. Diskrétní kosinová transformace 2. Ukažte, že symetrická /o 1 ... o o\ 1 o ... o o matice 0 0 \0 0 0 1 1 0/ má vlastní hodnoty X{ = cos (p{, kde cpt = sl = 2jt/T, kde T je čas jednoho oběhu, dostáváme: émt = cos cůt + i sin cůt. Pro (reálnou nebo komplexní) funkci f(t) budeme potřebovat také její tzv. komplexní Fourierovy koeficienty, které jsou definovány jako komplexní čísla 1 fT/2 Cn = ~ / f(t)t-lamt dt. 1 J-T/2 Přímo z definice jsou přitom jasné vztahy mezi koeficienty an a bn Fourierových řad (po přepočtu formulí pro tyto koeficienty pro funkce s obecnou periodou délky T) a těmito komplexními koeficienty cn Cn — ibn), C—n — jf^n "t- a při výhradně reálných hodnotách funkce / jsou samozřejmě cn a c_„ komplexně konjugované hodnoty. Vyjádřili jsme tedy Fourierovu řadu F (i) pro funkci /(Ove tvaru F(t) = £ cn eť' K tomuto vyjádření se vrátíme, až budeme diskutovat prakticky mimořádně užitečnou Fourierovu transformaci. Všimněme si ještě, že při pevně zvoleném T vyjadřuje výraz 27zyT právě změnu ve frekvenci způsobenou nárůstem n o jedničku. Je to tedy právě diskrétní krok, se kterým při výpočtu koeficientů Fourierovy řady měníme frekvence. V pozdější části této kapitoly ukážeme, že Fourierovy řady pracují s úplným ortogonálním systémem na 0 dvojnásobným využitím metody „per partes" dostáváme: an = - f x2 cos(2^|i) -sm(jrnx). 2 it ^ n n = l Tato řada už evidentně nemůže konvergovat stejnoměrně, protože periodické rozšíření funkce x není spojitou funkcí. Docela snadno lze ale i přímo dovodit, že bodově konvergovat bude (viz. naše úvahy o alternujících řadách v ??), proto jsme skutečně dostali rovnost (viz. Věta ??). Obdobně můžeme člen po členu integrovat a dostaneme 1 3 2 4 ~ (-1)" . 3X =3X + ^l^~n^Sm(7tnx) «=i a výslednou Fourierovu řadu dostaneme dosazením za x z předchozí rovnosti. 7.11 7.11. Obecné Fourierovy řady a wavelety. V případě obecného ortogonálního systému funkcí /„ a z něj vytvářených řad se často hovoří o obecných Fourierových řadách vzhledem k ortogonálnímu systému funkcí /„. Fourierovy řady a další z nich vycházející nástroje jsou využívány ke zpracování různých signálů, obrázků apod. Povaha použitých periodických goniometrických funkcí v klasických Fourierových řadách a jejich prosté škálování pomocí zvětšující se frekvence zároveň omezují jejich použitelnost. V mnoha oblastech aplikací proto vyvstala přirozená potřeba nalézt šikovnější úplné ortogonální systémy funkcí, které budou vycházet z předpokládané povahy dat a které bude možné efektivněji zpracovávat. Obvyklým požadavkem pro rychlá numerická zpracování bývá rychlá škálovatelnost měřítek a možnost snadného posuvu o konstantní hodnoty. V takový systém lze například doufat, jestliže zvolíme vhodnou spojitou funkci ý s kompaktním nosičem, ze které sestrojíme spočetně mnoho funkcí Ýij, j, k e Z, pomocí translací a dilatací: Ýjk(x) = 2j/2Ý(2jx -k). Pokud vyhovíme zároveň dvěma podmínkám: • tvar mateřské funkce ý dobře vystihuje možné chování dat, • její potomci Ýjk tvoří úplný ortogonální systém, pak se nejspíš bude dobře dařit konkrétní zpracovávaný signál aproximovat pomocí jen několika málo funkcí. Hovoříme o tzv. waveletech. 393 A. ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY FUNKCÍ 2. METRICKÉ PROSTORY Nemáme zde prostor pro podrobnosti, jde o mimořádně živý směr výzkumu i základ komerčních aplikací. Zájemce snadno najde spoustu literatury. Poznamenejme však, že ve skutečnosti se velmi často používají pouze diskrétní verze našich objektů, tzn. hodnoty všech funkcí Ýjk jsou pouze tabelovány v diskrétní (hodně velké) množině bodů a jsou v tomto smyslu i ortogonální. Dobrým příkladem jsou standardy JPEG2000, které tuto techniku používají a jsou nástrojem pro profesionální komprimaci obrazových dat ve filmovém průmyslu. Jedny z prvních waveletů sestrojila Ingrid Debauchies. Na obrázku niže je tzv. Daubechies mateřská wavelet D4(x) a její dcera D4(2~3x — 1). Průběh funkce D4 není popsán analytickým způsobem. Je zvolen tak, aby měl ve svých různých částech vlastnosti, které jsou třeba pro grafická data potřebné — pomalý i rychlý růst, ostrý zlom v obou extrémech apod. Složitost konstrukce spočívá samozřejmě v tom, abychom skutečně dostali ortogonální systém! 7 . 12 2. Metrické prostory 7.12. Metriky a normy. Při odvozování techniky Fouriero-vtr\ , vých řad jsme volně hovořili o vzdálenosti na prostoru funkcí. Nyní se u tohoto pojmu zastaly víme pořádněji. Euklidovská vzdálenost ve vektorových prostorech W splňuje, stejně jako naše Li-vzdálenost d(f, g) = \\f — g\\ v následující tři abstraktní požadavky. Mějme v dalších odstavcích pořád na paměti tyto dva příklady. | Axiomy metriky a normy |_ Množina X spolu se zobrazením d : X x X -» M splňující pro všechny x, y, z e X (7.2) d(x, y) > 0 a d(x, y) = 0, právě když x = y , (7.3) d(x,y) = d(y,x), (7.4) d(x,z) 0, přičemž ||x|| = 0, právě když x = 0 , (7.6) ||Ax|| = |A| ||jc||, pro všechny skaláry k , (7.7) \\x+y\\ < \\x\\ + \\y\\, pak funkci || || nazýváme norma na X a prostor X je normovaný vektorový prostor. ^^^Norrrm^dy^zadává metriku d(x, y) = \\x — y\\. Na začátku předchozí části této kapitoly jsme tedy ve skutečnosti definovali vzdálenost funkcí pomocí tzv. L\-normy. V euklidovských vektorových prostorech pak šlo také o normu ||x||, která je indukována z bilineárního skalárního součinu vztahem ||x||2 = (x, x). Úplně stejně jsme obdrželi na po částech spojitých funkcích L2-normu. 7 . 13 7.13. Konvergence. Na zcela abstraktních metrických pro-storech lze zavést pojem (blízkých) okolí jednot-fc^Ž livých prvků, konvergence posloupností prvků /''rllE&vt< a souviseJící „topologické" pojmy prakticky ^r^^fe-i- úplně stejně, jako jsme to udělali pro reálná a komplexní čísla a jejich posloupnosti na začátku páté kapitoly, viz. 5.12-5.16. Můžme tyto odstavce skoro zkopírovat, jen u věty 5.16 narazíme na výrazně složitější důkazy. Začneme konceptem konvergentních posloupností v metrickém prostoru X s metrikou d: I^^r—m—X CaUCHYOVSKÉ POSLOUPNOSTI | Uvažme libovolnou posloupnost prvků x0, x\, ... y X takovou, že pro libolné pevně zvolené kladné reálné číslo e > 0 platí pro všechny dvojice prvků xt, x j posloupnosti, až na konečně mnoho výjimek (které závisí na volbě e), d(xi, Xj) < e. Jinak řečeno, pro každé pevné e > 0 existuje index N takový, že předcházející nerovnost platí pro všechna i, j > N. ^T^ov^posl^upnos^)rvků se říká Cauchyovská posloupnost. Stejně jako u reálných či komplexních čísel bychom rádi, aby každá Cauchyovská posloupnost prvků x; e X konvergovala k nějaké hodnotě x v následujícím smyslu: IKonvergentní posloupnosti [ Jestliže pro posloupnost prvků xq, x\, ■ ■ ■ e X, pevně zvolený prvek x e X a pro libovolné kladné reálné číslo e platí pro všechna i, až na konečně mnoho výjimek (závisejících na volbě e), d(xi, x) < e, říkáme, že posloupnost x,■, i = 0, 1, ..., konverguje k prvku x, kterému říkáme limita posloupnosti xt, i = 0, 1, ... v me-^nckémprostoni^^ 395 A. ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY FUNKCÍ 2. METRICKÉ PROSTORY Díky trojúhelníkové nerovnosti dostáváme pro každou dvojici prvků xt, x j z konvergentní posloupnosti, s dostatečně velikými indexy (značení jako v definici výše) d(xi, Xj) < d(xi, xN) + d(xN, cij) < 2e, a proto je každá konvergentní posloupnost také Cauchyov-ská. Metrické prostory, kde platí i obrácené tvrzení, tj. že každá Cauchyovská poslounost je konvergentní nazýváme úplné metrické prostory. 7.11 7.14. Topologie a konvergence. Stejně jako v případě reálných čísel můžeme zformulovat konvergenci pomocí „otevřených okolí". \ Otevřené a uzavřené množiny |_ Otevřené e-okolí prvku x v metrickém prostoru X je mmnožina Oe(x) = {y eX; d(x, y) < e}. Podmnožina U c X je otevřená, jestliže obsahuje s každým svým bodem i nějaké jeho e-okolí. Pomnožina W C X je uzařená, jestliže je její doplněk X \ W otevřenou množinou. Namísto e-okolí hovoříme také o (otevřené) e-kouli se středem v x. V případě normovaného prostoru si vystačíme s e-koulemi se středem v nule, jejichž přičtením k danému prvku x dostaneme právě jeho e-okolí. Hromadné body podmnožiny A c X opět definujeme jako takové prvky x e X, ke kterým konverguje nějaká posloupnost bodů z A neobsahující samotný bod x. Snadno uvidíme, že množina je uzavřená, právě když obsahuje všechny své hromadné body. Skutečně, přímo z definice platí, že množina A je uzavřená, právě když pro každý bod x ^ A existuje nějaké e > 0 takové, že celé e-okolí Oe (x) má s A prázdný průnik. Pokud by tedy A byla uzavřená a x byl hromadný bod množiny A, pak jistě nekonečně mnoho bodů množiny A leží v libovolném takovém e-okolí, což je spor. Naopak, předpokládejme, že A obsahuje všechny své hromadné body a uvažme x e X \ A. Pokud by v každém e-okolí bodu x existoval bod x€ e A, pak postupně volbami e = 1/n dostaneme posloupnost bodů xn e A konvergující x. Pak by ovšem x musel být hromadným bodem a tedy v A, takže opět máme spor. Snadno jako u reálných čísel ověříme, že libovolný průnik a libovolné konečné sjednocení uzavřených podmnožin metrického prostoru je opět uzavřená množina. U otevřených množin je to opět naopak: libovolné sjednocení oteřených množin je opět otevřená množina, ale jen konečný průnik otevřených je obecně otevřený. Dokažte si obě tvrzení podrobně sami! 7 . 15 396 KAPITOLA 7. SPOJITÉ MODELY 7.15. Lp normy. SNyní máme k dispozici obecné nástroje, fse kterými se můžeme podívat na příklady metrických prostorů tvořených konečněrozměrnými vek-1 tory nebo funkcemi. Omezíme se na obzvlášť užiteč-, - nou třídu norem. Začneme na konečněrozměrných prostorech W nebo C" a definujeme pro pevné reálné číslo p > 1 a libovolný vektor Z = (Zl, - - - , z„) 1/p llzllp = (I>'IP ' Dokážeme, že takto je definována norma. První dvě vlastnosti z definice jsou zřejmé, zbývá dokázat trojúhelníkovou nerovnost. Vyjdeme přitom z tzv. Hôlderovy nerovnosti: Lemma. Pro pevné reálné číslo p > 1 a každé dvě n—tice nezáporných reálných čísel xi a y i platí n \ l/p / n x l/q i — l i — l i — l kde l/q = 1 — l/p. Důkaz. Označme si X a Y výrazy v součinu na pravé straně nerovnosti. Pokud jsou všechna čísla x; nebo všechna y i nulová, pak tvrzení platí. Předpokládejme, tedy X / Oa ľ / O. Hólderova nerovnost je užitečným přímým důsledkem konvexity exponenciální funkce. Definujme čísla vk a wk tak, aby platilo xk = XeVk/p, yk = YeWk/q. Protože 1/p + l/q = 1, můžeme uvažovat afinní kombinaci hodnot ^vk + -^wk a díky konvexitě exponenciály dostáváme Qvk/p+wk/q < L gUjt i I gWit — P 1 Odtud již přímo dopočítáme _LX 1 a všechny «-tice nezáporných reálných | čísel (xi, ..., x„) a (yi, ..., y„) platí (E^ + *H ^(E^) +(Etf) • K ověření této praktické nerovnosti vede následující trik využívající Hôlderovu nerovnost. Jistě platí (všimněme si, že P > 1) E^^+y*)"-1 < (E^) • E^+^(p~1)9 a stejně tak E^+^'-^ÍEtf) •(E^+^(p"1)9) • i=i \-=i ' \-=i ^ Nyní sečtením posledních dvou nerovností (s využitím skutečnosti, že p + q = pq a tedy (/? — l)g = pq — q = p) dostaneme (Eľ=i 1/9 ' í = l 7 x; = l ale 1 — \/q = 1/'p, takže jde právě o dokazovanou Min-kowského nerovnost. Ověřili jsme si tedy, že na každém konečněrozměrném reálném nebo komplexním vektorovém prostoru máme třídu norem || || pro všechna p > 0. Kromě toho ještě klademe Iklloo =max{|z|;-, i = í,...,n}, což je zjevně také norma. 7.16. Lp-normy pro posloupnosti a funkce. Nyní docela snadno zavedeme normy i na vhodných neko-nečněrozměrných vektorových prostorech. Začněme posloupnostmi. Vektorový prostor £p, p > 1, je množina všech posloupností reálných nebo komplexních posloupností x0, x\, ... takových, že oo Ei*'-1" < °°- i=0 Všechny posloupnosti s omezenými absolutními hodnotami členů tvoří prostor l^. Limitním přechodem pro n -» oo okamžitě z Minkowského nerovnosti vidíme, že výraz Ei •z=o je norma na £p. Obdobně klademe na \\x\\p = sup{x;, / = 0, 1, ... a opět dostáváme normu. 398 KAPITOLA 7. SPOJITÉ MODELY Konečně, vraťme se k prostorům funkcí 1 a pro všechny funkce v takovém prostoru funkcí existují Riemannovy integrály / J a b \f{x)\pdx a můžeme tedy definovat -b \ y p 11/11, (jľ \f(x)\pdx^j Riemannův integrál jsme definovali pomocí limitního přechodu vycházejícího z tzv. Riemannových součtů odpovídajícím dělením H s reprezentanty V našem případě tedy jde o konečné součty n =£l/(6)|1/í'(*/-*,■-!)■ i=\ HóTderova nerovnost použitá na Riemannovy součty součinu dvou funkcí f(x) a. g(x) dá n i=\ n = - Xi-iý/p\g(m.Xi -Xi-xÝlq i=\ < í J] " *ť-l)J • í J] lsfe)|9fe " *ť-l)J přičemž napravo máme zjevně právě součin Riemannových součtů pro integrály a \\g\\q. Limitním přechodem tak ověřujeme tzv. Hôlderovu nerovnost pro integrály platnou pro všechny nezáporné reálné funkce f a g y našem prostoru po částech spojitých funkcí s kompaktním nosičem: f(x)g(x)dx < IJ f(xYdx\ IJ g(xfdx\ . Přesně stejným postupem jako v předchozím odstavci odvodíme z Hólderovy nerovnosti nerovnost Minkowského v její integrální formě: \\f + g\\p < \\f\\p + \\8\\p a tedy || || p je skutečně norma na našem vektorovém prostoru funkcí pro všechna p > 1 (a pro p = 1 jsme tuto skutečnost ověřili už dávno). Mezi těmito normami je výjimečný případ p = 2, který jsme již dříve realizovali pomocí skalárního součinu. V tomto případě jsme mohli odvodit trojúhelníkovou nerovnost daleko jednodušeji pomocí Schwarzovy nerovnosti. Pro funkce z 6°[a, b] můžeme defmocat i obdobu L^-normy na ři-roměrných vektorech. Protože jsou naše funkce 399 A. ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY FUNKCÍ 2. METRICKÉ PROSTORY 7 . 17 7 . lř po částech spojité, budou pro ně na konečném uzavřeném intervalu vždy maximum existovat maximum a klademe tedy pro takovou funkci / ll/IU =max{/(x), x e [a,b]}, kde za hodnoty f(x) v bodech nespojitosti považujeme jak jednostranné limity (které podle naší definice vždy existují), tak samotnou hodnotu funkce. Opět je zřejmé, že jde o normu. 7.17. Úplnost vůči Lp-normám. Ve všech případech z předchozího odstavce nám definované normy zadávají metriky. Podívejme se nyní, jak je to s jejich úplností a vzájemnými vztahy. Ohraničené a kompaktní množiny. Uzavřené a otevřené množiny představují základní pojmy tzv. topologie. Aniž bychom zacházeli do hlubších podrobit" ností a souvislostí, seznámili jsme se právě s topologií metrických prostorů. Pro reálná čísla se nám osvědčily ještě následující pojmy, které nám ulehčovaly vyjadřování: Vnitřním bodem podmnožiny A v metrickém prostoru je takový prvek, který do A patří i s nějakým svým e-okolím. Hraniční bod množiny A je takový prvek x e X, jehož každé okolí má neprázdný průnik jak s A tak s doplňkem X \ A. Hraniční bod tedy může, ale nemusí patřit do samotné množiny A. Otevřené pokrytí množiny A je takový systém otevřených množin Ui C X, i e I, že jejich sjednocení obsahuje celé A. Izolovaným bodem množiny A rozumíme prvek a e A, který má v metrickém prostoru X e-okolí, jehož průnik s A je právě jednobodová množina {a}. Množina A prvků metrického prostoru se nazývá ohraničená, jestliže exituje kladné reálné číslo r takové, že d(x, y) < r pro všechny prvky x, y e A. V opačném případě je neohraničená. Metrický prostor X se nazývá kompaktní, jestliže v něm má každá posloupnost xt e X podposloupnost konvergující k nějakému bodu x e M. 7.16 7.19. Věta. Metrický prostor je kompaktní, právě když každé jeho otevřené pokrytí obsahuje konečné pokrytí. Metrický prostor je kompaktní, právě když je úplný a totálně omezený. Domyslet, co vlastně všechno chci říci a jak s důkazy. Docela by se hodila ještě Banachova věta o kontrakci .... Samozřejmě metriky zadané normou mají velmi specifické vlastnosti, protože jejich chování lze na celém prostoru X odvodit z vlastností v libovolně malém okolí nulového prvku x = 0 e X. Nyní se můžeme vrátit k důkazu věty, ve které jsme dali částečný obrázek o bodové i jiné konvergenci Fourierových 400 KAPITOLA 7. SPOJITÉ MODELY řad. Nejde nám přitom o nutné podmínky konvergencí a v literatuře lze najít mnoho jiných formulací. Naše Věta 7.8 ale byla docela jednoduchá a postihla velké množství užitečných případů. Věta. Nechť g je po částech spojitá a po částech monotónní funkce na intervalu [—tt, jt]. Pak její Fourierova řada F(x) konverguje na [—jt, jt] a její součet je • roven hodnotě g(xo) v každém bodě xq e [—jt, jt], ve kterém je funkce g(x) spojitá, • v každém bodě nespojitosti xq funkce g(x) roven • v krajních bodech intervalu [—jt, jt]je roven 1 lim g(x) + lim g(x) Pokud navíc je funkce g (x) spojitá, periodická s periodou 2jt a všude existuje její po částech spojitá derivace, pak konverguje její Fourierova řada stejnoměrně. 3. Integrální operátory 7.20. Integrální operátory. V případě konečněrozměrných vektorových prostorů jsme mohli vnímat vektory jako zobrazení z konečné množiny pevně zvolených generátorů do prostoru souřadnic. Nejjednodušší lineární zobrazení zobrazovala vektory do skalárů (tzv. lineární formy) a byla definována pomocí jednořádkových matic jako součet součinů těchto souřadnic s pevně zvolenými hodnotami na generátorech. Složitější zobrazení s hodnotami opět v tom samém prostoru pak byla obdobně zadána maticemi. Velice podobně umíme přistoupit k lineárním operacím na prostorech funkcí. V případě vektorového prostoru S všech po částech spojitých funkcí na intervalu I = [a, b] se lineární zobrazení S -» M nazývají (reálné) lineární funkcionály. Jednoduše je můžeme zadat dvěma způsoby - pomocí vyčíslení funkce (případně jejích derivací) v jednotlivých bodech nebo pomocí integrování. Příkladem funkcionálu L tedy může být vyčíslení v jediném pevném bodě x0 e I L(f) = f(x0) integrální funkcionál pak je zadán pomocí pevně zvolené funkce g(x) L(f)= ľ f(x)g(x)dx. J a Funkce g(x) zde hraje roli váhy, se kterou při definici Rie-mannova integrálu bereme jednotlivé hodnoty reprezentující funkci f(x). Nejjednodušším příkladem takového funkcionálu je samozřejmě Riemannův integrál samotný, tj. případ s g (x) = 1 pro všechny body x. Dobrou představu dává také volba ÍO je-li |*| > a g(x) = \ _L_ + _L I e-i2-a2 a2 je-li \x\ < a. 401 A. ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY FUNKCÍ 3. INTEGRÁLNÍ OPERÁTORY 7 . 13 7 . 14 To je funkce hladká na celém M s kompaktním nosičem v intervalu (—a, a), viz 6.6. V bodě x = 0 má přitom hodnotu jedna. Integrální funkcionál Ly(f) = / f(x)g(y -x)dx J a je možné vnímat jako „rozmlžené zprůměrování" hodnot funkce / kolem bodu x = y (obrázek funkce g je v 6.6 -ve svém středu má hodnotu jedna a hladkým monotónním způsobem se plynule přimkne k nule ve vzdálenosti a na obě strany). Ještě lepší volbou je z tohoto pohledu libovolná funkce g jejíž integrál přes celou reálnou osu je jednička. 7.21. Konvoluce funkcí. Pohled na integrální funkcionál Ly jako na zprůměrované chování funkce / v okolí daného bodu je názornější pro případ nevlastních mezí integrálu a = —oo, b = oo. Místo prostoru S všech po částech spojitých funkcí na M budeme uvažovat po částech spojité a v absolutní hodnotě integrovatelné funkce / v roli argumentu pro náš funkcionál. Volný parametr y může být vnímán jako nová nezávislá proměnná a naše operace tedy ve skutečnosti zobrazuje funkce opět na funkce / h> /: f(y)=Ly(f)= I f(x)g(y-x)dx. J oo Této operaci se říká konvoluce funkcí fug, značíme ji / * g. Většinou se konvoluce definuje pro reálné nebo komplexní funkce s kompaktním nosičem na celém M. Pomocí transformace t = z — x se snadno spočte /OO p — oo f(x)g(z-x) dx = - f(z-t)g(t) dt = (g*f)(z), -oo Joo je tedy konvoluce coby binární operace na dvojicích funkcí s kompaktními nosiči komutativní. Konvoluce je mimořádně užitečný nástroj pro modelování způsobu, jak můžeme pozorovat experiment nebo jak se projevuje prostředí při přenosu informací (např. analogový audio nebo video signál ovlivňovaný šumy apod.). Argument / je přenášenou informací, funkce g je volena tak, aby co nejlépe vystihovala vlivy prostředí či zvoleného technického postupu. Konvoluce jsou jedním z mnoha případů obecných integrálních operátorů na prostorech funkcí K(f)(y) = í f(x)k(y,x)dx J a s jádrem daným funkcí dvou proměnných k : M2 -> M. Definiční obor takových funkcionálů je nutné vždy volit s ohledem na vlastnosti jádra tak, aby vždy existoval použitý integrál. 7.22. Fourierova transformace. Teorie integrálních operátorů s jádry a rovnic, které je obsahují je velice užitečná a zajímavá zároveň, bohužel pro ni zde teď ale nemáme dost prostoru. Zaměříme teď alespoň na jeden mimořádně důležitý případ, tzv. Fourierovu transformaci T, která úzce 402 KAPITOLA 7. SPOJITÉ MODELY souvisí s Fourierovými řadami. Připomeňme si základní formuli pro parametrizaci jednotkové kružnice v komplexní rovině s rychlostí obíhání co = 2jt/T, kde T je čas jednoho oběhu: émt = coscůt + i sin„ = con, bude tedy původní funkce f(t) s konvergující Fourierovou řadou rovna fit) = c"e lOJtit Při pevně zvoleném T vyjadřuje výraz Aco = 2n/T právě změnu ve frekvenci způsobenou nárůstem n o jedničku. Je to tedy právě diskrétní krok, se kterým při výpočtu koeficientů Fourierovy řady měníme frekvence. Koeficient 1/T u formule pro cn je pak roven Aco/2jt, takže můžeme řadu pro f(t) přepsat jako ~ l / rTi2 = E Acú / fwe~ianX dxé°Mt w=—no ^ J—T/2 Představme si nyní hodnoty a>„ pro všechna neZ jako vybrané reprezentanty pro malé intervaly [a>„ ,a>n+i]o délce Aa>. Pak náš výraz ve vnitřní velké závorce v poslední formuli pro f(t) ve skutečnosti vyjadřuje sčítance Riemanno-vých součtů pro nevlastní integrál -f 2tx J-r g (co) émt dm kde g(cú) je funkce nabývající v bodech ců„ hodnoty pT/2 g(con) = / f(x)t-l(ú"x dx. J-T/2 Předpokládejme, že naše funkce / je integrovatelná v absolutní hodnotě přes celé M. Pak můžeme limitně přejít T -> oo a dojde ke zejmňování normy Aa> našich intervalů. Zároveň se dostaneme v posledním výrazu k integrálu (íu) = / f(x)e-imx dx. Můžeme tedy položit pro (každou v absolutní hodnotě Riemannovsky integrovatelnou) funkci / na m. 1 í00 T(f)(co) = f(co) = —= / f{t) t~iat dt. \/2Tt J-OO 403 A. ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY FUNKCÍ 3. INTEGRÁLNÍ OPERÁTORY Této funkci / říkáme Fourierova trasnformace funkce /. Předloží úvahy pak ukazují, že pro „rozumné" funkce / (ř) bude také platit Tím říkáme, že existuje k právě definované Fourierově transformaci T inverzní operace F~l, které říkáme inverzní Fourierova transformace. Všimněme si, že Fourierova transformace a její inverze jsou integrální operátory se skoro shodným j ádrem k(a>, t) = 7.23. Vlastnosti Fourierovy transformace. Fourierova transformace zajímavým způsobem převrací lokální a globální chování funkcí. Začněme jednoduchým příkladem, ve kterém najdeme funkci f(t), která se ztransformuje na charateristickou funkci intervalu [—Q, Q], tj. f (co) = 0 pro \(ů\ > Q a / = 1 pro \a>\ < Q. Inverzní transformace F~l nám dává = _ sin(S2ř). \f2jtt Přímým výpočtem limity v nule (LHospitalovo pravidlo) spočteme, že /(O) = 2Q(2jt)~l/2, nejbližší nulové body jsou v t = ±7r/ Q a funkce poměrně rychle klesá k nule mimo počátek x = 0. Na obrázku je tato funkce znázorněná zelenou křivkou pro Q = 20. Zároveň je vynesena červenou křivkou oblast, ve které se s rostoucím Q naše funkce f(t) stále rychleji „vlní". 7 . 15 2 Omega = 20.000 20 15 y V dalším příkladu spočtěme Fourierovu transformaci derivace f'(t) pro nějakou funkci /. Pro jednoduchost předpokládejme, že / má kompaktní nosič, tj, zejména F(f') i KAPITOLA 7. SPOJITÉ MODELY F(f) skutečně existují a počítejme metodou per partes: 1 ľ00 F(f)(co) = — f\t)ť-ltůt dt \f2jľ J oo = -3L [e-icot f{t)] ^ + í /(O e"ÍÍUř rff V27T V27T J-oo = i(»F(f)((ů) Vidíme tedy, že Fourierova transformace převádí (infinitesimální) operaci derivování na (algebraickou) operaci prostého násobení proměnnou. Samozřejmě můžeme tento vzorec iterovat, tj. F(f")(co) = -co2F(f), F(fn)) = inco"F(f). Další mimořádně důležitou vlastností je vztah mezi kon-volucemi a Fourierovou transformací. Spočtěme, jak dopadne transformace konvoluce h = f * g, kde opět pro jednoduchost předpokládáme, že funkce mají kompaktní nosiče. Při výpočtu prohodíme pořadí integrovanání, což je krok, který ověříme teprve v diferenciálním a integrálním počtu později, viz ??. V dalším krůčku pak zavedeme substituci t — X = u. -icot F(h)(cú) = -j= / (/ f(x)g(t -x)dx^t dt g(t -x)t~i(út dt)dx r ní lit J-oo \J-c ríHf lit J-oo \J-c = Í f (mí g(u)e-ia)(u+x) du)dx 2lZ J-oo \J-oo ) \=(^j f(x)e-iax dx^j ■ (^j g(u)t-iom) du^j = V2jtF(f) ■ F(g) Podobný výpočet ukazuje i obrácené tvrzení, že Fourierova transformace součinu je, až na konstantu, konvoluce transformací. F(J ■g) = -^=F{f)*F{g). V27T Jak jsme si uváděli výše, konvoluce f * g velice často modeluje proces našeho pozorování nějaké sledované veličiny /. Pomocí Fourierovy transformace a její inverze nyní můžeme snadno rozpoznat původní hodnoty této veličiny, pokud známe konvoluční jádro g. Prostě spočteme F(f * g) a podělíme obrazem F(g). Hovoříme o dekonvoluci. Vraťme se nyní ještě k prvnímu příkladu s inverzní transformací k charakteristické funkci f q intervalu [—Q, Q]. Zkusme provést limitní přechod pro Q jdoucí k nekonečnu a označme *j2ŤŤ8(t) kýženou limitní „funkci" pro F~l{fo)(t). Pro součin s libovolným obrazem F(g) platí 1 í°° J^Hfa ■ Hg))(z) = -f= \ g(t)F-\fQ)(z - t) dt. \f2jt J-oo 405 A. ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY FUNKCÍ 3. INTEGRÁLNÍ OPERÁTORY Při Q -» oo přejde výraz nalevo k T l(T(g))(z) = g(z), zatímco napravo dostáváme Naše hledaná S(t) tedy vypadá na „funkci", která je všude nulová, kromě jediného bodu t = 0, kde je tak „nekonečná", že integrováním jejího součinu s libovolnou integrovatelnou funkcí g dostaneme právě hodnotu g v bodě t = 0. Není to samozřejmě funkce v našem smyslu, nicméně jde o objekt často používaný. Říká se )íDiracova funkce 8 a korektněji lze popsat jako tzv. distribuci. Z nedostatku času nebudeme distribuce podrobněji rozebírat a omezíme se na konstatování, že si lze dobře Diracovo 8 představit jako jednotkový impulz v jediném bodě. Fourierova transformace jej pak pretransformuje na konstantní funkci F(8)(cú) = Naopak mnohé funkce, které nejsou integrovatelné v absolutní hodnotě na M transformuje Fourierova transformace na výrazy s Diraco-vým 8. Např. 7.24. Poznámky o dalších transformacích. Pokud použijeme Fourierovu transformaci na lichou funkci f(t), tj. f(—t) = — f(t), příspěvek integrace součinu f(t) a funkce cosi se pro kladná a záporná t vyruší. Dostaneme proto přímým výpočtem Výsledná funkce je opět lichá, proto ze stejného důvodu i inverzní transformaci lze spočíst obdobně. Vynecháním imaginární jednotky i dostáváme vzájemně inverzní transformace, kterým se říká Fourierova sinusová transformace pro liché funkce: Obdobně se definuje Fourierova cosinová transformace pro sudé funkce. Fourierovu transformaci nelze dobře využít pro funkce, které nejsou integrovatelné v absolutní hodnotě přes celé M. (minimálně nedostáváme opravdové funkce). Laplaceova transformace se chová docela podobně jako Fourierova a tuto vadu nemá: Integrální operátor C má velice rychle se zmenšující jádro, proto bude existovat C(p(t)) například pro každý polynom p a všechna kladná s. Obdobně jako pro Fourierovu transformaci dostaneme prostým výpočtem per partes vztah pro 7.16 f(ť) sin a>t dt. 406 KAPITOLA 7. SPOJITÉ MODELY Laplaceovu transformaci derivované funkce při s > 0: C(f'(t))(s) = / f (t) e"sí dt = [f (t) e-°X + s / f (t) e"sř * Jo ./o = -/(0)+í£(/)(í). Vlastnosti Laplaceovy transformace a řadu dalších zejména v technické praxi používaných transformací je možné snadno dohledat v literatuře. 407 A. ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY FUNKCÍ 3. INTEGRÁLNÍ OPERÁTORY 7.4. fi * flit) Řešení cvičení t - y +4 pro f e (-2, -1) 1 - t + i pro f e (-1, 1) Y - 2t + 2 pro f e (1, 2) 0 jinak 408