Diskrétní deterministické modely
i
Tento text představuje první variantu elektronického učebního materiálu k předmětu
M8230, který byl zaveden v rámci projektu Univerzitní výuka matematiky v měnícím se světě
operačního programu VK. Vznikal v letním semestru 2011, kdy byl předmět poprvé vyučován.
Budu vděčný za všechny připomínky, doplnění a upozornění na chyby, které v textu zů-
staly.
Červenec 2011 Zdeněk Pospíšil
ii
Obsah
Seznam symbolů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
1 Přípravné úvahy 1
1.1 Posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Operátory na prostoru posloupností . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Obecné věty o diferenci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Diferenční a sumační počet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Přehled vzorců pro diferenci a sumaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Diference a sumy některých posloupností . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Diferenční rovnice 25
3 Lineární rovnice 31
3.1 Rovnice prvního řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 Homogenní rovnice a exponenciální posloupnost . . . . . . . . . . . . 31
3.1.2 Nehomogenní rovnice a metoda variace konstanty . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Lineární rovnice k-tého řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.1 Fundamentální systém řešení homogenní rovnice . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2 Nehomogenní rovnice a metoda variace konstant . . . . . . . . . . . . 38
3.2.3 Homogenní rovnice s konstantními koeficienty . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.4 Rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou . . . . . 51
3.3 Systémy lineárních rovnic prvního řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Nelineární rovnice transformovatelné na lineární . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.1 Ricattiho rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.2 Bernoulliova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.3 Rovnice x(t + k)rk(t)x(t + k − 1)rk−1(t) · · · x(t + 1)r1(t)x(t)r0(t) = b(t) . 57
3.4.4 Logistická rovnice x(t + 1) = 4x(t) 1 − x(t) . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.5 Rovnice x(t + 1)2 + a(t)x(t + 1)x(t) + b(t)x(t)2 = 0 . . . . . . . . . . . 59
4 Autonomní rovnice 61
4.1 Autonomní rovnice prvního řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.1 Rovnovážné body a jejich stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.2 Cykly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.3 Autonomní rovnice závislé na parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Grafické řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Autonomní systémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
iii
iv OBSAH
5 Aplikace 75
5.1 Růst populace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.1 Fibonacciovi králíci a jejich modifikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.2 Süßmilchova populace a Leslieho matice . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.1.3 Malthusovské modely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2 Problém extinkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2.1 Vymření potomků jedince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.2 Šíření potomků jedince v populaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
OBSAH v
Seznam symbolů
, konec důkazu, konec příkladu
N = {0, 1, 2, . . . } množina přirozených čísel
Z množina celých čísel
R množina reálných čísel
R∗ = R ∪ {−∞, ∞} rozšířená množina reálných čísel
O(α) okolí α ∈ R∗,
O(α) =



(h, ∞), α = ∞,
(α − ε, α + ε), α ∈ R,
(−∞, h), α = −∞; přitom h, ε ∈ R, ε > 0
sgn α znaménko reálného čísla α
sgn α =



1, α > 0,
0, α = 0
−1, α < 0
f : A → B zobrazení množiny A do množiny B
Dom f definiční obor zobrazení (funkce) f
Im f obor hodnot zobrazení (funkce) f
[f]b
a = f(b) − f(a) rozdíl funkčních hodnot funkce f
f|A zúžení zobrazení f na množinu A
ker f jádro morfismu (lineárního zobrazení) f,
ker f = {x ∈ Dom f : f(x) = 0}
idA identické zobrazení (identita) na množině A,
(∀x ∈ A) idA(x) = x
f′, f′′,. . . , f(j) obyčejná derivace funkce f podle její proměnné,
druhá až j-tá derivace
||x|| norma vektoru x ekvivalentní s normou euklidovskou
det A determinant matice A
tr A stopa matice A = (αij)n
i,j=1, tr A =
n
i=1
aii.
Zt0 množina celých čísel nepřevyšujících celé číslo t0, str. 1
P množina reálných posloupností, str. 1
Pt0 množina reálných posloupností definovaných na množině Zt0 ,
str. 1
P−∞ množina reálných posloupností definovaných na množině Z,
str. 1
a ≡ α posloupnost α je stacionární, (∀t ∈ Dom a)a(t) = α, str. 3
lim a, lim
t→∞
a(t) limita posloupnosti a, str. 4
P•
τ množina konvergentních posloupností z prostoru Pτ ,
P•
τ = a ∈ Pτ : (∃α ∈ R) α = lim
t→∞
a(t) , str. 5
lim sup
t→∞
a(t), lim inf
t→∞
a(t) limes superior a inferior posloupnosti a, str. 7
vi OBSAH
n
t=m
a(t) součet členů posloupnosti a od m do n, str. 8
·σ, aσ operátor posunu, str. 10
∆, ∆a(t) operátor (první) diference (vpřed), str. 10
t0
, t0
a(t) operátor sumace od t0, str. 11
|t0 , a|t0 operátor odečtení členu posloupnosti a(t0), a|t0 (t) = a(t) − a(t0),
str. 12
t(ν) faktoriálová funkce, str. 22
R, Rt0 , R−∞ množina regresivních posloupností, množina regresivních
posloupností definovaných na Zt0 a na Z, str. 31
⊕, ⊖ operace na množině regresivních posloupností, str. 31
ep( · , t0), ep(t, t0) exponenciální posloupnost příslušná k posloupnosti p ∈ R
s počátkem t0 ∈ Dom p, hodnota této posloupnosti v t ∈ Dom p,
str. 32
Kapitola 1
Přípravné úvahy
1.1 Posloupnosti
Pro celé číslo t0 ∈ Z označíme
Zt0 = {t0 + n : n ∈ N} = {t0, t0 + 1, t0 + 2, . . . }
množinu všech celých čísel větších nebo rovných číslu t0.
Definice 1. Reálná posloupnost je zobrazení a z množiny celých čísel Z do množiny reálných
čísel R takové, že jeho definiční obor Dom a je celá množina Z nebo některá z množin Zt0 .
Přívlastek „reálná budeme většinou vynechávat. Hodnotu posloupnosti a(t) budeme nazývat
člen posloupnosti nebo podrobněji t-tý člen posloupnosti. Hodnotu nezávisle proměnné
t budeme někdy nazývat index posloupnosti. Pokud Dom a = Zt0 , řekneme, že t0 je počáteční
index posloupnosti.
Množinu posloupností definovaných na Zt0 , resp. na Z, označíme symbolem Pt0 , resp.
P−∞; množinu všech posloupností označíme symbolem P, tj.
Pt0 = {a : Zt0 → R} , P−∞ = {a : Z → R} , P =
t0∈Z
Pt0 ∪ P−∞.
Tvrzení 1. Buď τ ∈ Z ∪ {−∞}. Množina posloupností Pτ je vektorovým prostorem nad
polem reálných čísel R. Sčítání posloupností je definováno vztahem
(a + b)(t) = a(t) + b(t) pro všechny posloupnosti a, b ∈ Pτ a každé t ∈ Zt0 ,
nulovým prvkem je posloupnost o ∈ Pτ taková, že Im o = {0}, tj.
o(t) = 0 pro všechna t ∈ Dom o,
násobení skalárem je definováno vztahem
(αa)(t) = αa(t) pro všechny posloupnosti a ∈ Pτ a všechna čísla α ∈ R.
1
2 KAPITOLA 1. PŘÍPRAVNÉ ÚVAHY
Tvrzení 2. Buď τ ∈ Z∪{−∞}. Posloupnosti a1, a2, . . . , an ∈ Pτ jsou lineárně nezávislé právě
tehdy, když pro libovolný index t0 ∈ Dom a1 platí
a1(t0) a2(t0) . . . an(t0)
a1(t0 + 1) a2(t0 + 1) . . . an(t0 + 1)
...
...
...
...
a1(t0 + n − 1) a2(t0 + n − 1) . . . an(t0 + n − 1)
= 0. (1.1)
Důkaz: Posloupnosti a1, a2, . . . , an jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když z rovnosti
α1a1 + α2a2 + · · · + αnan = o (1.2)
plyne, že všechny konstanty α1, α2, . . . , αn jsou rovny nule. Buď t0 ∈ Dom a1 libovolný index
a nechť platí (1.2), tedy
α1a1(t0) + α2a2(t0) + · · · + αnan(t0) = 0
α1a1(t0 + 1) + α2a2(t0 + 1) + · · · + αnan(t0 + 1) = 0
...
...
...
...
α1a1(t0 + n − 1) + α2a2(t0 + n − 1) + · · · + αnan(t0 + n − 1) = 0.
Tato homogenní soustava n lineárních rovnic pro n neznámých α1, α2, . . . αn má jediné nulové
řešení právě tehdy, když její determinant je roven nule. Tento determinant je levá strana
nerovnosti v dokazovaném tvrzení.
Poznámka 1. Determinant na levé straně nerovnosti (1.1) se nazývá Casoratián posloupností
a1, a2, . . . , an v indexu t0. Tvrzení 2 lze tedy přeformulovat: Posloupnosti a1, a2, . . . , an ∈ Pτ
jsou lineárně nezávislé právě tehdy, když jejich Casoratián je nenulový v každém indexu
z definičního oboru těchto posloupností.
Definice 2. Posloupnost a ∈ P se nazývá
ohraničená zdola, pokud existuje nějaká hranice h ∈ R taková, že žádný člen posloupnosti a
není menší než tato hranice, tj. (∃h ∈ R)(∀t ∈ Dom a) a(t) ≥ h;
ohraničená shora, pokud existuje nějaká hranice h ∈ R taková, že žádný člen posloupnosti a
není větší než tato hranice, tj. (∃h ∈ R)(∀t ∈ Dom a) a(t) ≤ h;
ohraničená, pokud je ohraničená zdola i shora, tj. (∃h ∈ R)(∀t ∈ Dom a) |a(t)| ≤ h;
ryze rostoucí, pokud pro každou hodnotu argumentu t platí nerovnost a(t) < a(t + 1), tj.
(∀t ∈ Dom a) a(t) < a(t + 1);
rostoucí, pokud pro každou hodnotu argumentu t platí nerovnost a(t) ≤ a(t + 1), tj.
(∀t ∈ Dom a) a(t) ≤ a(t + 1);
ryze klesající, pokud pro každou hodnotu argumentu t platí nerovnost a(t) > a(t + 1), tj.
(∀t ∈ Dom a) a(t) > a(t + 1);
klesající, pokud pro každou hodnotu argumentu t platí nerovnost a(t) ≤ a(t + 1), tj.
(∀t ∈ Dom a) a(t) ≤ a(t + 1);
1.1. POSLOUPNOSTI 3
ryze monotonní, pokud je ryze rostoucí nebo ryze klesající;
monotonní, pokud je rostoucí nebo klesající;
stacionární, pokud je současně rostoucí a klesající, tedy pokud její obor hodnot je jednoprvkový,
tj. (∀t ∈ Dom a) a(t) = a(t + 1), tedy existuje α ∈ R takové, že Im a = {a0}. Je-li
a ∈ P stacionární posloupnost a Im a = {α}, budeme psát a ≡ α.
Terminologická poznámka. Uvedená terminologie monotonních posloupností je méně
obvyklá — posloupnost splňující podmínku
(∀t1 ∈ Zt0 )(∀t2 ∈ Zt0 ) t1 < t2 ⇒ a(t1) ≤ a(t2)
je častěji nazývaná „neklesající a posloupnost splňující podmínku
(∀t1 ∈ Zt0 )(∀t2 ∈ Zt0 ) t1 < t2 ⇒ a(t1) < a(t2)
„rostoucí , podobně pro posloupnosti klesající. V této tradičnější terminologii však posloupnost,
která není „klesající ještě nemusí být „neklesající (např. posloupnost a(t) = sin t).
V terminologii zavedené v Definici 2 je ryze rostoucí posloupnost posloupností rostoucí; pojem
označující zvláštní případ nějakého obecnějšího pojmu se od tohoto obecnějšího pojmu
liší přívlastkem (v aristotelském nebo biologickém pojetí lze slovo „rostoucí považovat za
rodové jméno, slovo „ryze za druhové jméno).
Poznámka 2. Všechny pojmy zavedené v Definici 2 lze relativizovat na interval nezávisle
proměnné. Např. posloupnost a ∈ P se nazývá ohraničená na intervalu [n, ∞), n ∈ Z, pokud
existuje nějaká hranice h ∈ R taková, že každý člen posloupnosti s indexem z tohoto intervalu
v absolutní hodnotě nepřevýší hodnotu h, tj. (∃h ∈ R)(∀t ∈ [n, ∞) ∩ Dom a)|a(t)| ≤ h;
posloupnost a ∈ P se nazývá klesající na intervalu [n, m] takovém, že n, m ∈ Z, n < m
a [n, m] ∩ Dom a je aspoň dvouprvkový, jestliže pro každý index posloupnosti t takový, že
{t, t + 1} ⊆ [n, m] ∩ Dom a platí a(t) ≥ a(t + 1), a každý index posloupnosti t takový, že
{t − 1, t} ⊆ [n, m] ∩ Dom a platí a(t − 1) ≥ a(t), tj.
(∀t ∈ Dom a) {t, t + 1} ⊆ [n, m] ∩ Dom a ⇒ a(t) ≤ a(t + 1).
Relativní ohraničenost na intervalu I dostaneme z Definice 2 tak, že výraz „∀t ∈ Dom a
nahradíme výrazem „∀t ∈ Dom a ∩ I .
Nechť I je takový interval, že I ∩ Dom a je alespoň dvouprvkový. Relativní monotonnost
na intervalu I dostaneme z Definice 2 tak, že místo příslušné nerovnosti R v definici napíšeme
implikaci „{t, t + 1} ⊆ I ∩ Dom a ⇒ R .
Poznámka 3. S použitím symboliky zavedené v Definici 2 můžeme nulovou posloupnost zapsat
jako o ≡ 0.
Definice 3. Buď a ∈ P a t ∈ Dom a. Řekneme, že index t je
uzel posloupnosti a, pokud a(t) = 0 nebo a(t)a(t + 1) < 0;
argument lokálního maxima, pokud a(t) ≥ a(t + 1) a t − 1 ∈ Dom a ⇒ a(t) ≥ a(t − 1);
argument lokálního minima, pokud a(t) ≤ a(t + 1) a t − 1 ∈ Dom a ⇒ a(t) ≤ a(t − 1);
argument ostrého lokálního maxima, pokud a(t) > a(t+1) a t−1 ∈ Dom a ⇒ a(t) > a(t−1);
4 KAPITOLA 1. PŘÍPRAVNÉ ÚVAHY
argument ostrého lokálního minima, pokud a(t) < a(t+1) a t−1 ∈ Dom a ⇒ a(t) < a(t−1);
argument lokálního extrému, pokud je argumentem lokálního maxima nebo minima;
argument ostrého lokálního extrému, pokud je argumentem ostrého lokálního maxima nebo
minima.
Je-li t argumentem lokálního extrému, řekneme že hodnota a(t) je lokálním extrémem posloupnosti
a. Analogickou terminologii používáme pro ostré lokální extrémy, maxima a minima.
Definice 4. Limita posloupnosti lim je zobrazení z množiny posloupností P do rozšířené
množiny reálných čísel R∗ = R ∪ {−∞, ∞}. Obraz posloupnosti a při zobrazení lim značíme
lim
t→∞
a(t). Řekneme, že limita posloupnosti a je rovna hodnotě α ∈ R∗, pokud ke každému
okolí α existuje takový index posloupnosti τ, že všechny členy posloupnosti a s indexy alespoň
τ jsou v tomto okolí, tj.
lim a = lim
t→∞
a(t) = α pokud ∀O(α) ∃τ ∈ Z ∀t ∈ Dom a t ≥ τ ⇒ a(t) ∈ O(α).
Limita se nazývá vlastní, pokud α ∈ R, tj.
lim a = lim
t→∞
a(t) = α ∈ R pokud (∀ε > 0)(∃τ ∈ Z)(∀t ∈ Dom a) t ≥ τ ⇒ |a(t) − α| < ε.
Limita se nazývá nevlastní, pokud α ∈ {−∞, ∞}, tj.
lim a = lim
t→∞
a(t) = ∞ pokud (∀h ∈ R)(∃τ ∈ Z)(∀t ∈ Dom a) t ≥ τ ⇒ a(t) > h,
lim a = lim
t→∞
a(t) = −∞ pokud (∀h ∈ R)(∃τ ∈ Z)(∀t ∈ Dom a) t ≥ τ ⇒ a(t) < h.
Posloupnost a ∈ P se nazývá konvergentní, pokud existuje α ∈ R, α = lim
t→∞
a(t). Posloupnost
a ∈ P se nazývá divergentní, pokud lim
t→∞
a(t) = ∞ nebo lim
t→∞
a(t) = −∞.
Terminologická poznámka. Nevlastní limita posloupnosti obvykle v učebních textech
o posloupnostech nebývá považována za limitu; „nevlastní limita není limita analogicky jako
nevlastní matka není matka . Terminologie zavedená v Definici 4 je však stejná jako terminologie
používaná v textech o funkcích.
Věta 1. Monotonní posloupnost má limitu. Podrobněji:
• je-li a rostoucí neohraničená posloupnost, pak lim
t→∞
a(t) = ∞;
• je-li rostoucí posloupnost a ohraničená shora, pak lim
t→∞
a(t) = sup {a(t) : t ∈ Dom a};
• je-li klesající posloupnost a ohraničená zdola, pak lim
t→∞
a(t) = inf {a(t) : t ∈ Dom a};
• je-li a klesající neohraničená posloupnost, pak lim
t→∞
a(t) = −∞.
Důkaz: V. Novák. Diferenciální počet v R. Brno, MU, 1997. Věta 5.5., str. 127.
Důsledek: Nechť k ∈ P0 je ryze rostoucí posloupnost taková, že Im k ⊆ Z. Pak lim
t→∞
k(t) = ∞.
1.1. POSLOUPNOSTI 5
Důkaz: Poněvadž k je ryze rostoucí a k(t) ∈ Z pro každé t ∈ N, je
k(t + 1) > k(t) + 1 pro každé t ∈ N.
Je-li h ∈ R libovolné číslo, pak pro t ∈ N, t h − k(0) je
k(t) ≥ k(t − 1) + 1 ≥ k(t − 2) + 2 ≥ · · · ≥ k(0) + t > k(0) + h − k(0) = h
a dokazované tvrzení plyne z Tvrzení 1.
Tvrzení 3. Nechť τ ∈ Z ∪ {−∞}. Označme P•
τ množinu konvergentních posloupností z vektorového
prostoru Pτ , tj.
P•
τ = a ∈ Pτ : (∃α ∈ R) α = lim
t→∞
a(t) .
Pak P•
τ je vektorový podprostor prostoru Pτ a zobrazení lim : P•
τ → R je lineární.
Důkaz: lim(αa + βb) = lim
t→∞
(αa + βb)(t) = α lim
t→∞
a(t) + β lim
t→∞
b(t) = α lim a + β lim b ∈ R
Definice 5. Nechť a ∈ Pτ je libovolná posloupnost celých čísel a k ∈ P0 je ryze rostoucí
posloupnost taková, že k(0) ≥ τ, tj. Im k ⊆ Dom a. Pak složené zobrazení a ◦ k se nazývá
posloupnost vybraná z posloupnosti a.
Vzhledem k důsledku Tvrzení 1 je složené zobrazení a ◦ k z předchozí definice skutečně
posloupnost, t-tý člen vybrané posloupnosti je a k(t) .
Tvrzení 4. Nechť a ∈ P je konvergentní nebo divergentní posloupnost. Pak α ∈ R∗ je její
limitou, tj. lim a = lim
s→∞
a(s) = α, právě tehdy, když α je limitou každé posloupnosti vybrané
z posloupnosti a;
lim a = lim
s→∞
a(s) = α ⇔
(∀k ∈ P0) Im k ⊆ Dom a, lim
t→∞
k(t) = ∞ ⇒ lim a ◦ k = lim
t→∞
a k(t) = α .
Důkaz: „⇒ : Buď O(α) libovolné okolí limity α a a ◦ k libovolná posloupnost vybraná z posloupnosti
a. K okolí O(α) existuje s1 ∈ Z takové, že pro všechna s ∈ Dom a, s ≥ s1 je
a(s) ∈ O(α). Množina {t ∈ N : k(t) ≥ s1} je podmnožinou dobře uspořádané množiny přirozených
čísel, a tato množina je neprázdná, neboť lim
t→∞
k(t) = ∞. Existuje tedy
t1 = min {t ∈ N : k(t) ≥ s1} .
Pro libovolné t > t1 je k(t) > k(t1) ≥ s1, a tedy
a ◦ k(t) = a k(t) ∈ O(α).
„⇐ : Nechť s0 ∈ Dom a. Definujme k ∈ P0 vztahem k(t) = s0 +t. Pak a◦k je posloupnost
vybraná z posloupnosti a. Je tedy
lim
s→∞
a(s) = lim
t→∞
a(s0 + t) = lim
t→∞
a k(t)) = α.
6 KAPITOLA 1. PŘÍPRAVNÉ ÚVAHY
Definice 6. Řekneme, že α ∈ R∗ je hromadný bod posloupnosti a, pokud ke každému okolí
α a každému celému číslu τ existuje takový index t posloupnosti a, který není menší než τ a
člen a(t) posloupnosti leží v tomto okolí, tj.
α ∈ R∗
je hromadný bod posloupnosti a pokud
∀O(α) ∀τ ∈ Z ∃t ∈ Dom a t ≥ τ, a(t) ∈ O(α).
Tvrzení 5. Hodnota α ∈ R∗ je hromadným bodem posloupnosti a právě tehdy, když existuje
posloupnost a ◦ k vybraná z posloupnosti a taková, že lim a ◦ k = α.
Důkaz: „⇒ : Nechť α ∈ R∗ je hromadným bodem posloupnosti a. Zkonstruujeme ryze rostoucí
posloupnost k ∈ P0 takovou, že Dom a ⊆ Z a lim a ◦ k = α.
Buď O(α) libovolné okolí bodu α a s0 ∈ Dom a libovolný prvek.
Položíme k(0) = s0. K s0 existuje s1 ∈ Dom a, že s1 ≥ s0 a a(s1) ∈ O(α).
Položíme k(1) = s1. K s1 existuje s2 ∈ Dom a, že s2 ≥ s1 + 1 a a(s2) ∈ O(α).
Položíme k(2) = s2 atd.
Výsledkem této induktivní konstrukce je ryze rostoucí posloupnost k ∈ P0; přitom k(t) =
st a st ∈ O(α) pro každý index t ≥ 0 a tedy a ◦ k(t) = a(st) ∈ O(α). Pro všechny indexy
t ≥ 0 je a ◦ k(t) ∈ O(α), což znamená, že lim a ◦ k = α.
„⇐ : Nechť existuje vybraná posloupnost a ◦ k taková, že lim a ◦ k = α ∈ R∗. Nechť O(α)
je libovolné okolí α a τ ∈ Z je libovolné číslo. Podle Definice 4 existuje číslo τ1 ∈ Z takové, že
pro každé t ≥ τ1 je a ◦ k(t) ∈ O(α). Vezmeme t1 ∈ Dom k takové, že t1 > τ1, k(t1) ∈ Dom a
a k(t1) ≥ τ; takové číslo t1 existuje, neboť posloupnost k je rostoucí a lim k = ∞. Položíme
s1 = k(t1). Pak s1 ≥ τ a a(s1) = a k(t1) = a ◦ k(t1) ∈ O(α), tedy α je hromadným bodem
posloupnosti a.
Tvrzení 6. Nechť existuje limita posloupnosti a. Pak lim a je hromadným bodem posloupnosti
a.
Důkaz plyne bezprostředně z Tvrzení 4 a 5.
Příklady. Uvažujme posloupnosti z množiny P0.
1. a(t) = −1
3
t
, obr. 1.1 a).
Jediný hromadný bod je 0.
2. b(t) = (−1)t, obr. 1.1 b).
Hromadné body jsou 1 a −1.
3. c(t) = (−1)t + −1
3
t
= (−1)t 1 + 3t
3t
,
c = 2, −4
3 , 10
9 , −28
27, 82
81, −244
243 , . . . , obr. 1.1 c). Hromadné body jsou 1 a −1.
4. Definujme posloupnost m ∈ P0 předpisem m(t) = 1
2
√
1 + 8t − 1 , kde [x] označuje
celou část z reálného čísla x.
Položme d(t) = t − 1
2 m(t) + 1 m(t).
d = {0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 1, . . . }, obr. 1.1 d).
Každé přirozené číslo se v této posloupnosti vyskytuje nekonečně mnohokrát, je tedy
jejím hromadným bodem. Vybraná posloupnost
{0, 1, 2, 3, 4, . . . } = a(0), a(2), a(5), a(9), a(14), . . . , a 1
2 t(t + 3) , . . .
diverguje do ∞, je tedy také ∞ hromadným bodem posloupnosti d.
1.1. POSLOUPNOSTI 7
a)
0 1 2 3 4 5
−2012
b)
0 1 2 3 4 5
−2012
c)
0 1 2 3 4 5
−2012
d)
0 10 20 30 40
0246
e)
0 10 20 30 40
0.00.40.8
Obrázek 1.1: Příklady posloupností s různými množinami hromadných bodů.
5. Uvažujme posloupnosti m a d zavedené v předchozím příkladu a položme
e(t) =



1, t = 0,
d(t)
m(t)
, t ≥ 1,
e(t) = 1, 0, 1, 0, 1
2, 1, 0, 1
3, 2
3, 1, 0, 1
4, 2
4, 3
4 , 1, 0, 1
5, 2
5, 3
5, 4
5 , 1, 0, . . . , obr. 1.1 e).
Každé racionální číslo z intervalu [0, 1] se mezi členy této posloupnosti vyskytuje nekonečně
mnohokrát. V každém okolí libovolného reálného čísla z intervalu [0, 1] existuje
nějaké racionální číslo q ∈ [0, 1]. To znamená, že každé reálné číslo z intervalu [0, 1] je
hromadným bodem posloupnosti e, množina všech hromadných bodů vyplní kompaktní
interval [0, 1].
Příklady ukazují, že posloupnost může mít jeden hromadný bod (a), konečně mnoho hromadných
bodů (b, c), spočetně (d) nebo nespočetně (e) mnoho hromadných bodů; hromadný
body mohou být konečné (a, b, c, e) nebo nekonečné (d); konečný hromadný bod může být
členem posloupnosti (b, d, e) ale nemusí (a, c, e).
Tvrzení 7. Množina hromadných bodů libovolné posloupnosti a ∈ P má nejmenší a největší
prvek.
Důkaz: V. Novák. Diferenciální počet v R. Brno, MU, 1997. Věta 5.7., str. 131.
Definice 7. Nejmenší hromadný bod posloupnosti a ∈ P se nazývá limes inferior a označuje
lim inf
t→∞
a(t); největší hromadný bod posloupnosti a ∈ P se nazývá limes superior a označuje
lim sup
t→∞
a(t).
Posloupnost a ∈ P je ohraničená zdola právě tehdy, když
−∞ < lim inf
t→∞
a(t);
8 KAPITOLA 1. PŘÍPRAVNÉ ÚVAHY
je ohraničená shora právě tehdy, když
lim sup
t→∞
a(t) < ∞;
je konvergentní právě tehdy když
lim inf
t→∞
a(t) = lim sup
t→∞
a(t);
nemá (vlastní ani nevlastní) limitu právě tehdy, když
lim inf
t→∞
a(t) < lim sup
t→∞
a(t).
1.2 Operátory na prostoru posloupností
Definice 8. Nechť a ∈ P, m ∈ Dom a, n ∈ Z takové, že n + 1 ∈ Dom a. Součet členů
posloupnosti a od m do n definujeme vztahem
n
t=m
a(t) =



a(m) + a(m + 1) + · · · + a(n), n ≥ m,
0, n = m − 1,
− a(n + 1) + a(n + 2) + · · · + a(m − 1) , n < m − 1.
Součin členů posloupnosti a od m do n definujeme vztahem
n
t=m
a(t) =



a(m)a(m + 1) · · · a(n), n ≥ m,
1, n = m − 1,
1/ a(n + 1)a(n + 2) · · · a(m − 1) , n < m − 1.
Tvrzení 8. Nechť a ∈ P, m, n, l ∈ Dom a. Pak platí
n−1
t=m
a(t) = −
m−1
t=n
a(t),
l
t=m
a(t) +
n
t=l+1
a(t) =
n
t=m
a(t).
n
t=m
a(t) =



n−m
t=0
a(n − t), n ≥ m,
0
t=m−n
a(m − t), n ≤ m − 1,
n−1
t=m
t
τ=m
a(τ) =
n−1
t=m
(n − t)a(t).
Pokud navíc a(t) = 0 pro t ∈ Dom a, pak
n−1
t=m
a(t) =
m−1
t=n
a(t)
−1
,
l
t=m
a(t)
n
t=l+1
a(t) =
n
t=m
a(t).
n
t=m
a(t) =



n−m
t=0
a(n − t), n ≥ m,
0
t=m−n
a(m − t), n ≤ m − 1,
n−1
t=m
t
τ=m
a(τ) =
n−1
t=m
(n − t)a(t).
1.2. OPERÁTORY NA PROSTORU POSLOUPNOSTÍ 9
Důkaz: Nechť m < n. Pak také m − 1 < n − 1 a tedy
m−1
t=n
a(t) = − a(m) + a(m + 1) + · · · + a(n − 1) = −
n−1
t=m
a(t),
což je ekvivalentní s první rovností. Její platnost budeme v dalších částech důkazu využívat.
Je-li m ≤ l < n, pak
l
t=m
a(t)+
n
t=l+1
a(t) = a(m)+a(m+1)+· · ·+a(l) + a(l+1)+a(l+2)+· · ·+a(n) =
n
t=m
a(t);
je-li m < n = l, pak
l
t=m
a(t) +
n
t=l+1
a(t) =
n
t=m
a(t) + 0;
je-li m < n < l, pak
l
t=m
a(t) +
n
t=l+1
a(t) =
l
t=m
a(t) −
l
t=n+1
a(t) =
n
t=m
a(t);
je-li l + 1 = m < n, pak
l
t=m
a(t) +
n
t=l+1
a(t) =
m−1
t=m
a(t) +
n
t=m
a(t) = 0 +
n
t=m
a(t) =
n
t=m
a(t);
je-li l + 1 < m < n, pak
l
t=m
a(t) +
n
t=l+1
a(t) = −
m−1
t=l+1
a(t) +
n
t=l+1
a(t) =
n
t=m
a(t).
V případech m > n a m = n dokážeme platnost druhé rovnosti analogicky.
Při ověřování třetí rovnosti rozlišíme čtyři případy:
je-li n ≥ m pak
n
t=m
a(t) = a(m) + a(m + 1) + · · · + a(n − 1) + a(n) =
= a(n − 0) + a(n − 1) + · · · + a n − (n − m) =
n−m
t=0
a(n − t);
je-li n = m − 1 pak
m−1
t=m
a(t) = 0 =
0
t=1
a(n − t);
je-li n = m − 2 pak
m−2
t=m
a(t) =
m−1
t=m−1
a(t) = −a(m − 1) = −
1
t=1
a(m − t) =
0
t=2
a(m − t);
je-li n < m − 2 pak
n
t=m
a(t) = −
m−1
t=n+1
a(t) = −
m−n−2
t=0
a(m − 1 − t) =
=
1
t=m−n−1
a(m − 1 − t) =
0
t=m−n
a(m − t).
Čtvrtou rovnost dokážeme úplnou indukcí:
pro n = m platí
m−1
t=m
t
τ=m
a(τ) = 0 =
m−1
t=m
(m − t)a(t);
indukční krok „vpřed :
n
t=m
t
τ=m
a(τ) =
n
τ=m
a(τ) +
n−1
t=m
t
τ=m
a(τ) =
=
n
t=m
a(t) +
n−1
t=m
(n − t)a(t) = a(n) +
n−1
t=m
(n − t + 1)a(t) =
= (n + 1 − n)a(n) +
n−1
t=m
(n + 1 − t)a(t) =
n
t=m
(n + 1 − t)a(t);
indukční krok „vzad :
n−2
t=m
t
τ=m
a(τ) =
n−1
t=m
t
τ=m
a(τ) +
n−2
t=n
t
τ=m
a(τ) =
=
n−1
t=m
(n − t)a(t) −
n−1
t=n−1
t
τ=m
a(τ) =
n−1
t=m
(n − t)a(t) −
n−1
τ=m
a(τ) =
10 KAPITOLA 1. PŘÍPRAVNÉ ÚVAHY
=
n−1
t=m
(n − t − 1)a(t) =
n−2
t=m
(n − t − 1)a(t).
Rovnosti pro součin ověříme stejně.
Definice 9. Operátor posunu (shift operator) ·σ : P → P přiřadí posloupnosti a posloupnost
aσ definovanou vztahem
aσ
(t) = a(t + 1).
Obrazem posloupnosti a ∈ Pt0 při zobrazení ·σ je tedy posloupnost aσ ∈ Pt0−1, obrazem
posloupnosti a ∈ P−∞ je posloupnost aσ ∈ P−∞.
Věta 2. Operátor posunu ·σ je bijekce. Zúžení ·σ na množinu Pτ , kde τ ∈ Z ∪ {−∞} je
lineární.
Důkaz: Nechť b ∈ P je libovolná posloupnost. Definujme posloupnost a ∈ P tak, že pro každé
t ∈ Dom b položíme a(t) = b(t − 1). Pak je aσ(t) = a(t + 1) = b(t + 1 − 1) = b(t), tedy b = aσ.
Zobrazení ·σ je tedy surjektivní.
Nechť posloupnosti a, b ∈ P jsou různé. Pokud Dom a = Dom b, existuje nějaká hodnota
t1 ∈ Dom a taková, že a(t1) = b(t1); odtud plyne, že aσ(t1 − 1) = a(t1) = b(t1) = bσ(t1 − 1),
tedy aσ = bσ. Pokud Dom a = Dom b, pak podle Definice 9 je také Dom aσ = Dom bσ a opět
aσ = bσ. Zobrazení ·σ je tedy injektivní (prosté).
Pro všechny posloupnosti a, b ∈ P takové, že Dom a = Dom b, pro všechna reálná čísla
α, β a každé celé číslo t ∈ Dom a platí
(αa + βb)σ
(t) = (αa + βb)(t + 1) = αa(t + 1) + βb(t + 1) = αaσ
(t) + βbσ
(t),
takže zobrazení ·σ je lineární.
Definice 10. Operátor (první) diference (vpřed) ∆ : P → P přiřadí posloupnosti a ∈ P
posloupnost ∆a ∈ P definovanou vztahem
∆a(t) = a(t + 1) − a(t).
Z definice operátorů diference a posunu plyne, že
∆a = aσ
− a, aσ
= a + ∆a, (1.3)
nebo stručněji ∆ = ·σ − idP, ·σ = ∆ + idP.
Věta 3. Operátor diference ∆ je surjektivní zobrazení, které není prosté. Zúžení ∆ na množinu
Pτ , kde τ ∈ Z∪{−∞}, je lineární a jeho jádrem je množina stacionárních posloupností.
Důkaz: Buď a ∈ P, t0 ∈ Dom a. Pro každé t ∈ Dom a položíme
s(t) =
t−1
i=t0
a(i).
Pak podle Tvrzení 8 platí
∆s(t) =
t
i=t0
a(i) −
t−1
i=t0
a(i) = a(t),
1.2. OPERÁTORY NA PROSTORU POSLOUPNOSTÍ 11
což znamená, že posloupnost a je obrazem posloupnosti s při zobrazení ∆.
Nechť c ∈ R, c = 0, a ∈ P je libovolná posloupnost. Pro každé t ∈ Dom a položme
b(t) = a(t) + c. Pak b ∈ P a b = a. Avšak pro libovolné t ∈ Dom a = Dom b platí
∆b(t) = b(t + 1) − b(t) = a(t + 1) + c − a(t) + c = a(t + 1) − a(t) = ∆a(t),
tedy ∆a = ∆b.
Nechť a, b ∈ Pτ , α, β ∈ R. Pak
∆(αa + βb)(t) = (αa + βb)(t + 1) − (αa + βb)(t) =
= α a(t + 1) − a(t) + β b(t + 1) − b(t) = α∆a(t) + β∆b(t).
Nechť a ∈ Pτ , a ≡ α. Pak ∆a(t) = α − α = 0, tedy a ∈ ker ∆|Pτ .
Nechť b ∈ ker ∆|Pτ , tedy ∆b ≡ 0. Pak pro každé t ∈ Dom b platí 0 = ∆b(t) = b(t+1)−b(t),
tedy pro všechna t ∈ Dom b je b(t) = b(t + 1), takže posloupnost b je stacionární.
Poznámka 4. Z důkazu první části Věty 3 plyne
∆
t−1
i=t0
a(i) = a(t) (1.4)
pro libovolnou posloupnost a ∈ P a indexy t, t0 ∈ Dom a.
Definice 11. Buď τ ∈ Z ∪ {−∞} a t0 ∈ Z, t0 ≥ τ libovolný index. Operátor sumace od t0
t0
: Pτ → Pτ přiřadí posloupnosti a ∈ Pτ posloupnost t0
a definovanou vztahem
t0
a(t) =
t−1
i=t0
a(i).
Věta 4. Buď τ ∈ Z ∪ {−∞} a t0 ∈ Z, t0 ≥ τ libovolný index. Pak operátor sumace t0
:
Pτ → Pτ je lineární prosté zobrazení, které není surjektivní.
Důkaz: Buďte a, b ∈ Pτ libovolné posloupnosti a α, β ∈ R libovolná čísla. Pak
t0
(αa + βb)(t) =
t−1
i=t0
αa(i) + βb(i) = α
t−1
i=t0
a(i) + β
t−1
i=t0
b(i) = α
t0
a(t) + β
t0
b(t)
pro libovolný index t ∈ Dom a. To znamená, že zobrazení t0
je lineární.
Nechť a, b ∈ Pτ jsou různé posloupnosti. Pak existuje index t1 ∈ Dom a = Dom b takový,
že a(t1) = b(t1). Je-li t1 = t0, pak
t0
a(t0 + 1) −
t0
b(t0 + 1) =
t0
i=t0
a(i) −
t0
i=t0
b(i) = a(t0) − b(t0) = a(t1) − b(t1) = 0.
Je-li t1 > t0, pak množina A = {t : t > t0, a(t) = b(t)} je neprázdná zdola ohraničená množina
celých čísel. Existuje tedy t2 = min A, pro které platí
a(t0) = b(t0), a(t0 + 1) = b(t0 + 1), . . . , a(t2 − 1) = b(t2 − 1), a(t2) = b(t2),
12 KAPITOLA 1. PŘÍPRAVNÉ ÚVAHY
t0
a(t2 + 1) −
t0
b(t2 + 1) =
t2
i=t0
a(i) −
t2
i=t0
b(i) = a(t2) − b(t2) = 0.
Je-li t1 < t0, pak množina B = {t : t ∈ Dom a, t ≤ t0, a(t) = b(t)} je neprázdná shora ohraničená
množina celých čísel. Existuje tedy t3 = max B, pro které platí
a(t3) = b(t3), a(t3 + 1) = b(t3 + 1), a(t3 + 2) = b(t3 + 2), . . . , a(t0) = b(t0),
t0
a(t3) −
t0
b(t3) =
t3−1
i=t0
a(i) −
t3−1
i=t0
b(i) = −
t0−1
i=t3
a(i) +
t0−1
i=t3
b(i) = −a(t3) + b(t3) = 0.
Pro libovolnou posloupnost a ∈ Pτ platí t0
a(t0) =
t0−1
i=t0
a(i) = 0, takže posloupnost
b ∈ Pτ taková, že b(t0) = 0 není obrazem žádné posloupnosti a ∈ Pτ při zobrazení t0
.
Buď τ ∈ Z ∪ {−∞} a t0 ∈ Z, t0 ≥ τ libovolný index. Pak platí
t−1
i=t0
∆a(i) =
t−1
i=t0
a(i + 1) − a(i) =
t
i=t0+1
a(i) −
t−1
i=t0
a(i) = a(t) − a(t0),
stručně
t−1
i=t0
∆a(i) = a(t) − a(t0), (1.5)
Rovnosti (1.4) a (1.5) můžeme bezprostředně přepsat na tvar
∆
t0
a(t) = a(t),
t0
∆a(t) = [a]t
t0
. (1.6)
Abychom ještě zestručnili zápis, zavedeme operátor |t0 : Pτ → Pτ předpisem
a|t0 (t) = a(t) − a(t0).
Porovnáním rovností (1.4) a (1.5) nyní vidíme, že
idPτ = ∆
t0
=
t0
∆ = |t0 .
To zejména znamená, že operátory diference a sumace nejsou vzájemně inversní.
Operátory ·σ, ∆ a t0
jakožto zobrazení z množiny P do sebe můžeme skládat. Složený
operátor ∆2 = ∆ ◦ ∆, tj. operátor, který posloupnosti a přiřadí posloupnost definovanou
vztahem
∆2
a(t) = ∆ ∆a(t) = ∆a(t + 1) − ∆a(t) = a(t + 2) − a(t + 1) − a(t + 1) − a(t) =
= a(t + 2) − 2a(t + 1) + a(t)
nazýváme druhá diference (vpřed). Obecně pro n ∈ Z, n > 1 klademe ∆n = ∆ ◦ ∆n−1 a
tento operátor nazýváme n-tá diference (vpřed). Pro n = 0 můžeme psát ∆0a(t) = a(t), tj.
∆0 = idP.
Složený operátor ·σ2
= ·σ ◦ ·σ přiřadí posloupnosti a posloupnost definovanou vztahem
aσ2
(t) = a(t + 2). Obecně pro n ∈ Z, n > 1 klademe ·σn
= ·σ ◦ ·σn−1
, tedy aσn
(t) = a(t + n),
a aσ0
(t) = a(t + 0) = a(t), tj. ·σ0
= idP.
1.2. OPERÁTORY NA PROSTORU POSLOUPNOSTÍ 13
Tvrzení 9. Buď a ∈ P libovolná posloupnost, n ∈ N. Pak
∆n
a(t) =
n
i=0
(−1)i n
i
a(t + n − i) =
n
i=0
(−1)i n
i
aσn−i
(t),
aσn
(t) = a(t + n) =
n
i=0
n
i
∆i
a(t).
Důkaz: Úplnou indukcí.
∆0
a(t) = a(t) = (−1)0 0
0
a(t + 0 − 0).
Indukční krok pro první formuli:
∆n
a(t) = ∆ ∆n−1
a(t) = ∆
n−1
i=0
(−1)i n − 1
i
a(t + n − 1 − i) =
=
n−1
i=0
(−1)i n − 1
i
a(t + n − i) −
n−1
i=0
(−1)i n − 1
i
a(t + n − 1 − i) =
=
n−1
i=0
(−1)i n − 1
i
a(t + n − i) −
n
i=1
(−1)i−1 n − 1
i − 1
a(t + n − i) =
= a(t + n) +
n−1
i=1
(−1)i n − 1
i
− (−1)i−1 n − 1
i − 1
a(t + n − i) − (−1)n−1
a(t) =
= a(t + n) +
n−1
i=1
(−1)i n − 1
i
+
n − 1
i − 1
a(t + n − i) + (−1)n
a(t) =
= a(t + n) +
n−1
i=1
(−1)i n
i
a(t + n − i) + (−1)n
a(t).
Indukční krok pro druhou formuli:
a(t + n) = ∆a(t + n − 1) + a(t + n − 1) = ∆
n−1
i=0
n − 1
i
∆i
a(t) +
n−1
i=0
n − 1
i
∆i
a(t) =
= ∆
n−1
i=0
n − 1
i
∆i
a(t) +
n−1
i=1
n − 1
i
∆i
a(t) + a(t) =
= ∆
n−1
i=0
n − 1
i
∆i
a(t) +
n−2
i=0
n − 1
i + 1
∆i+1
a(t) + a(t) =
= ∆ ∆n−1
a(t) +
n−2
i=0
n − 1
i
+
n − 1
i + 1
∆i
a(t) + a(t) =
= ∆n
a(t) +
n−2
i=0
n
i + 1
∆i+1
a(t) + a(t) = ∆n
a(t) +
n−1
i=1
n
i
∆i
a(t) + a(t).
14 KAPITOLA 1. PŘÍPRAVNÉ ÚVAHY
Poznámka 5. Tvrzení Věty 9 můžeme zapsat v operátorovém tvaru
∆n
= ( ·σ
− idP)n
=
n
i=0
(−1)i n
i
·σn−i
, ·σn
= (∆ + idP)n
=
n
i=0
n
i
∆i
.
Poznámka 6. Poněvadž složení lineárních zobrazení dává lineární zobrazení, je n-tá diference
lineární zobrazení množiny posloupností Pτ na sebe pro libovolné τ ∈ Z ∪ {−∞}.
1.3 Obecné věty o diferenci
Následující tři věty plynou přímo z Definic 2, 3 a 10.
Věta 5. Nechť a ∈ P je posloupnost a I ⊆ R je interval. Pak platí
• a je ryze rostoucí na intervalu I právě tehdy, když pro každý index t ∈ Dom a takový,
že t ∈ I a t + 1 ∈ I platí nerovnost ∆a(t) > 0, tj.
(∀t){t, t + 1} ⊆ Dom a ∩ I ⇒ ∆a(t) > 0;
• a je rostoucí na intervalu I právě tehdy, když
(∀t){t, t + 1} ⊆ Dom a ∩ I ⇒ ∆a(t) ≥ 0;
• a je ryze klesající na intervalu I právě tehdy, když
(∀t){t, t + 1} ⊆ Dom a ∩ I ⇒ ∆a(t) < 0;
• a je klesající na intervalu I právě tehdy, když
(∀t){t, t + 1} ⊆ Dom a ∩ I ⇒ ∆a(t) ≤ 0;
• a je ryze monotonní na intervalu I právě tehdy, když mezi indexy t ∈ Dom a takovými,
že t + 2 ∈ I není uzel posloupnosti ∆a, tj.
(∀t){t, t + 2} ∈ Dom a ∩ I ⇒ ∆a(t) = 0 ∧ ∆a(t)∆a(t + 1) ≥ 0 ;
• a je monotonní na intervalu I právě tehdy, když posloupnost ∆a na intervalu I nemění
znaménko, tj.
(∀t){t, t + 2} ⊆ Dom a ∩ I ⇒ ∆a(t)∆a(t + 1) ≥ 0.
Věta 6. Nechť a ∈ P je posloupnost a t ∈ Dom a. Pak platí
• t je argumentem ostrého lokálního maxima právě tehdy, když ∆a(t) < 0 a pokud t není
počáteční index, pak ∆a(t − 1) > 0, tj.
∆a(t) < 0 ∧ t − 1 ∈ Dom a ⇒ ∆a(t − 1) > 0 .
1.3. OBECNÉ VĚTY O DIFERENCI 15
• t je argumentem lokálního maxima právě tehdy, když
∆a(t) ≤ 0 ∧ t − 1 ∈ Dom a ⇒ ∆a(t − 1) ≥ 0 .
• t je argumentem ostrého lokálního minima právě tehdy, když
∆a(t) > 0 ∧ t − 1 ∈ Dom a ⇒ ∆a(t − 1) < 0 .
• t je argumentem lokálního minima právě tehdy, když
∆a(t) ≥ 0 ∧ t − 1 ∈ Dom a ⇒ ∆a(t − 1) ≤ 0 .
Věta 7. Nechť a ∈ P je posloupnost, index t ∈ Dom a není počáteční a t − 1 je uzlem
posloupnosti ∆a. Pak index t je argumentem lokálního extrému. V případě ∆2a(t − 1) ≤ 0
se jedná se o maximum, v případě ∆2a(t − 1) ≥ 0 se jedná se o minimum. Pokud je přitom
∆a(t − 1) = 0, pak je tento extrém ostrý.
Věta 8 (Rolleova). Nechť a ∈ P je posloupnost a t1, t2 ∈ Dom a jsou takové indexy, že t1 < t2
a a(t1) = a(t2). Pak existuje index s ∈ [t1, t2 − 1], který je uzlem posloupnosti ∆a.
Důkaz: Kdyby žádný index z intervalu [t1, t2 − 1] nebyl uzlem, posloupnost a by podle Věty 5
byla ryze monotonní na intervalu [t1, t2 + 1] a proto by nemohlo platit a(t1) = a(t2).
Věta 9 (Lagrangeova o střední hodnotě). Nechť a ∈ P je posloupnost a t1, t2 ∈ Dom a jsou
takové indexy, že t1 < t2 − 1. Pak existuje index s ∈ [t1 + 1, t2 − 1] takový, že platí aspoň
jedna z nerovností
∆a(s) ≤
a(t2) − a(t1)
t2 − t1
≤ ∆a(s − 1), ∆a(s − 1) ≤
a(t2) − a(t1)
t2 − t1
≤ ∆a(s).
Důkaz: Položme
b(t) = a(t) −
a(t2) − a(t1)
t2 − t1
(t − t1).
Pak b(t1) = a(t1), b(t2) = a(t2) − a(t2) − a(t1) = a(t1), což znamená. že posloupnost b
splňuje předpoklady Rolleovy věty. Existuje tedy c ∈ [t1, t2 − 1] takový index, že ∆b(c) = 0
nebo ∆b(c)∆b(c + 1) < 0. Položme s = c + 1. Pak je s ∈ [t1 + 1, t1 − 1] a platí
∆b(s − 1) = 0 nebo ∆b(s − 1)∆b(s) < 0.
Dále podle Věty 3 je
∆b(t) = ∆a(t) −
a(t2) − a(t1)
t2 − t1
pro každý index t ∈ Dom a, takže
∆a(s − 1) − ∆b(s − 1) =
a(t2) − a(t1)
t2 − t1
= ∆a(s) − ∆b(s).
Pokud ∆b(s − 1) = 0, pak
∆a(s − 1) =
a(t2) − a(t1)
t2 − t1
≤ ∆a(s) nebo ∆a(s) ≤
a(t2) − a(t1)
t2 − t1
= ∆a(s − 1).
16 KAPITOLA 1. PŘÍPRAVNÉ ÚVAHY
Pokud ∆b(s − 1)∆b(s) < 0, pak v případě ∆b(s − 1) > 0, ∆b(s) < 0 je
∆a(s) <
a(t2) − a(t1)
t2 − t1
< ∆a(s − 1),
a v případě ∆b(s − 1) < 0, ∆b(s) > 0 je
∆a(s − 1) <
a(t2) − a(t1)
t2 − t1
< ∆a(s).
Věta 10 (de l’Hôpitalovo pravidlo, Stolzova-Cesàrova věta). Buďte a, b ∈ P posloupnosti a
nechť je posloupnost b od jistého indexu ryze monotonní, tj.
(∃τ ∈ Dom b)(∀t ∈ Dom b) t ≥ τ ⇒ sgn ∆b(t) = sgn ∆b(τ) = 0.
Jestliže lim
t→∞
b(t) = ∞ a existuje limita lim
∆a
∆b
, pak existuje také limita lim
a
b
a platí
lim
t→∞
a(t)
b(t)
= lim
t→∞
∆a(t)
∆b(t)
. (1.7)
Jestliže lim
t→∞
a(t) = 0 = lim
t→∞
b(t) pak platí
lim inf
t→∞
∆a(t)
∆b(t)
≤ lim inf
t→∞
a(t)
b(t)
≤ lim sup
t→∞
a(t)
b(t)
≤ lim sup
t→∞
∆a(t)
∆b(t)
. (1.8)
Zejména pokud existuje limita lim
∆a
∆b
, pak existuje také limita lim
a
b
a opět platí rovnost
(1.7).
Důkaz: Nechť pro určitost ∆b(t) < 0 pro t ≥ τ. V případě ryze rostoucí posloupnosti b bychom
postupovali analogicky.
Nechť lim
t→∞
b(t) = ∞. Poněvadž posloupnost b je klesající, musí být lim
t→∞
b(t) = −∞ podle
Věty 1 a tedy od jistého indexu ̺ jsou všechny členy posloupnosti b záporné
b(t) < 0 pro každý index t ≥ ̺.
Nechť lim
t→∞
∆a(t)
∆b(t)
= c ∈ R. Pak pro libovolné ε > 0 existuje index σ takový, že
c − ε <
∆a(t)
∆b(t)
< c + ε
pro všechny indexy t ≥ σ. Pro t ≥ max{σ, τ} tedy platí
(c − ε)∆b(t) > ∆a(t) > (c + ε)∆b(t).
Vememe libovolné indexy t1 ≥ max{τ, σ, ̺}, t2 > t1 a sečteme předchozí rovnosti od t1 do
t2 − 1. Podle (1.5) dostaneme
(c − ε) b(t2) − b(t1) > a(t2) − a(t1) > (c + ε) b(t2) − b(t1) .
1.3. OBECNÉ VĚTY O DIFERENCI 17
Tyto nerovnosti upravíme na tvar
(c − ε) 1 −
b(t1)
b(t2)
+
a(t1)
b(t2)
<
a(t2)
b(t2)
< (c + ε) 1 −
b(t1)
b(t2)
+
a(t1)
b(t2)
.
Limitním přechodem t2 → ∞ nyní dostaneme nerovnosti
c − ε ≤ lim inf
t→∞
a(t)
b(t)
≤ lim sup
t→∞
a(t)
b(t)
≤ c + ε.
Poněvadž kladné číslo ε bylo libovolné, platí
c ≤ lim inf
t→∞
a(t)
b(t)
≤ lim sup
t→∞
a(t)
b(t)
≤ c,
což znamená, že ve všech nerovnostech nastane rovnost a tedy lim
t→∞
a(t)
b(t)
= c.
Pokud lim
t→∞
∆a(t)
∆b(t)
= −∞, pak pro libovolné h ∈ R existuje index σ takový, že
∆a(t)
∆b(t)
< h
pro všechny indexy t ≥ σ. Nyní můžeme zopakovat předchozí úvahy s tím, že budeme používat
pouze „pravou část nerovností, v nichž místo c + ε budeme psát h. Dostaneme
lim inf
t→∞
a(t)
b(t)
≤ lim sup
t→∞
a(t)
b(t)
≤ h,
což vzhledem k tomu, že číslo h bylo libovolné, znamená, že lim
t→∞
a(t)
b(t)
= −∞.
Pokud lim
t→∞
∆a(t)
∆b(t)
= ∞, provedeme důkaz analogicky.
Nechť nyní lim
t→∞
a(t) = 0 = lim
t→∞
b(t). Poněvadž pro t ≥ τ platí ∆b(t) < 0, podle Věty 5 je
posloupnost b na intervalu [τ, ∞) klesající a poněvadž lim
t→∞
b(t) = 0, platí b(t) > 0 pro každý
index t ≥ τ.
Prostřední nerovnost v (1.8) je triviální. Pokud lim inf
t→∞
∆a(t)
∆b(t)
= −∞, je triviální i první
nerovnost. Nechť tedy
lim inf
t→∞
∆a(t)
∆b(t)
= c ∈ R,
tj. existuje index σ takový, že pro libovolné kladné číslo ε a pro všechny indexy t ≥ σ platí
∆a(t)
∆b(t)
≥ c − ε.
Pro všechny indexy t ≥ max{τ, σ} tedy máme nerovnost
∆a(t) ≤ (c − ε)∆b(t).
18 KAPITOLA 1. PŘÍPRAVNÉ ÚVAHY
Nechť t1, t2 jsou libovolné indexy takové, že t2 > t1 ≥ max{τ, σ}. Sečtením předchozích
nerovností od t1 do t2 dostaneme podle (1.5) nerovnost
a(t2) − a(t1) ≤ (c − ε) b(t2) − b(t1)
ze které limitním přechodem t2 → ∞ plyne
a(t1) ≥ (c − ε)b(t1).
Poněvadž index t1 ≥ max{τ, σ} byl libovolný, pro každý index index t ≥ max{τ, σ} platí
a(t)
b(t)
≥ c − ε,
což znamená, že lim inf
t→∞
a(t)
b(t)
≥ c + ε. Poněvadž kladné číslo ε bylo libovolné, platí první
nerovnost v (1.8).
Poslední nerovnost v (1.8) dokážeme analogicky.
Poznámka 7. Předpoklad o ryzí monotonnosti posloupnosti b je podstatný. Uvažujme například
posloupnosti a, b definované na Z1 vztahy
a(t) = t, b(t) = 1 + (−1)t
t2
+ 1 − (−1)t
t =
2t2, t sudé,
2t, t liché.
Pak je lim
t→∞
b(t) = ∞, ∆a(t) = (t + 1) − t = 1 a
∆b(t) = 1 + (−1)t+1
(t + 1)2
+ 1 − (−1)t+1
(t + 1) − 1 + (−1)t
t2
− 1 − (−1)t
t =
= 2 (−1)t+1
t2
+ t ,
takže
lim
t→∞
∆a(t)
∆b(t)
= lim
t→∞
1
2 ((−1)t+1t2 + t)
= 0,
avšak
a(t)
b(t)
=
1
(1 + (−1)t) t + (1 − (−1)t)
=



1
2t
, t sudé,
1
2, t liché,
což znamená, že
lim inf
t→∞
a(t)
b(t)
= 0 <
1
2
= lim sup
t→∞
a(t)
b(t)
a limita podílu posloupností a, b neexistuje.
Pro případ limity typu 0
0 uvažujme posloupnosti a, b definované na Z1 vztahy
a(t) =
1
t
, b(t) =
(−1)t
t
.
Pak
∆a(t) =
1
t + 1
−
1
t
=
t − (t + 1)
t(t + 1)
=
−1
t(t + 1)
,
1.4. DIFERENČNÍ A SUMAČNÍ POČET 19
∆b(t) = (−1)t+1 1
t + 1
− (−1)t 1
t
= (−1)t+1 t + (t + 1)
t(t + 1)
= (−1)t+1 2t + 1
t(t + 1)
,
lim
t→∞
a(t) = lim
t→∞
1
t
= 0, lim
t→∞
b(t) = lim
t→∞
(−1)t
t
= 0, lim
t→∞
∆a(t)
∆b(t)
= lim
t→∞
(−1)t
2t + 1
= 0
avšak limita posloupnosti
a(t)
b(t)
= (−1)t neexistuje.
1.4 Diferenční a sumační počet
Věta 11 (Diference součinu a podílu posloupností). Buď τ ∈ Z ∪ {−∞} a a, b ∈ Pτ . Pak pro
každý index t ∈ Dom a platí
∆ab (t) = b(t)∆a(t) + a(t + 1)∆b(t) = b(t + 1)∆a(t) + a(t)∆b(t) =
=
b(t) + b(t + 1)
2
∆a(t) +
a(t) + a(t + 1)
2
∆b(t) (1.9)
Pro každý index t ∈ Dom b takový, že b(t) = 0 = b(t + 1) platí
∆
1
b
(t) = −
∆b(t)
b(t)b(t + 1)
, (1.10)
∆
a
b
(t) =
b(t)∆a(t) − a(t)∆b(t)
b(t)b(t + 1)
=
b(t + 1)∆a(t) − a(t + 1)∆b(t)
b(t)b(t + 1)
=
=
b(t) + b(t + 1) ∆a(t) − a(t) + a(t + 1) ∆b(t)
2b(t)b(t + 1)
. (1.11)
Důkaz: První rovnost v (1.9) plyne z výpočtu
∆ab (t) = a(t + 1)b(t + 1) − a(t)b(t) =
= a(t + 1)b(t + 1) − a(t + 1)b(t) + a(t + 1)b(t) − a(t)b(t) =
= a(t + 1) b(t + 1) − b(t) + b(t) a(t + 1) − a(t) ,
druhá z výpočtu
∆ab (t) = a(t + 1)b(t + 1) − a(t)b(t) =
= a(t + 1)b(t + 1) − a(t)b(t + 1) + a(t)b(t + 1) − a(t)b(t) =
= a(t + 1) − a(t) b(t + 1) + a(t) b(t + 1) − b(t)
a třetí je důsledkem prvních dvou.
Nechť index t splňuje předpoklad druhé části věty. Pak
∆
1
b
(t) =
1
b(t + 1)
−
1
b(t)
=
b(t) − b(t + 1)
b(t + 1)b(t)
= −
b(t + 1) − b(t)
b(t)b(t + 1)
,
což je rovnost (1.10). Z ní a z rovností (1.9) plynou rovnosti (1.11).
20 KAPITOLA 1. PŘÍPRAVNÉ ÚVAHY
Věta 12 (Sumace „per partes ). Buď τ ∈ Z ∪ {−∞}, a, b ∈ Pτ a t0 ∈ Dom a. Pak pro každý
index t ∈ Dom a platí
t−1
i=t0
a(i)∆b(i) = a(t)b(t) − a(t0)b(t0) −
t−1
i=t0
b(i + 1)∆a(i), (1.12)
t−1
i=t0
a(i + 1)∆b(i) = a(t)b(t) − a(t0)b(t0) −
t−1
i=t0
b(i)∆a(i) (1.13)
Důkaz: Podle (1.5) platí
t−1
i=t0
∆(ab)(i) = a(t)b(t) − a(t0)b(t0)
a podle druhé z rovností (1.9) a Věty 4 platí
t−1
i=t0
∆(ab)(i) =
t−1
i=t0
b(i + 1)∆a(i) + a(i)∆b(i) =
t−1
i=t0
b(i + 1)∆a(i) +
t−1
i=t0
a(i)∆b(i).
Odtud již plyne rovnost (1.12). Rovnost (1.13) odvodíme analogicky s využitím první z rovností
(1.9).
Výsledky Vět 3, 4, 11, 12 a relace (1.4), (1.5) můžeme shrnout:
1.4.1 Přehled vzorců pro diferenci a sumaci
• ∆a = 0 ⇔ (∃γ ∈ R)a ≡ γ
• ∆(a + b) = ∆a + ∆b
• ∆(αa) = α∆a
• ∆(ab) = b∆a + aσ∆b = bσ∆a + a∆b = 1
2 (b + bσ)∆a + (a + aσ)∆b
• ∆
1
b
= −
∆b
bbσ
• ∆
a
b
=
b∆a − a∆b
bbσ
=
bσ∆a − aσ∆b
bbσ
=
(b + bσ)∆a − (a + aσ)∆b
2bbσ
• t0
(a + b) = t0
a + t0
b
• t0
(αa) = α t0
a
• ∆ t0
a = a
• t0
∆a = a|t0
• t0
a∆b = ab|t0 − t0
bσ∆a, t0
aσ∆b = ab|t0 − t0
b∆a
Uvedené vzorce platí pro posloupnosti a, b ∈ Pτ se stejným definičním oborem, jejich index
t0 ∈ Dom a = Dom b a číslo α ∈ R.
1.4. DIFERENČNÍ A SUMAČNÍ POČET 21
1.4.2 Diference a sumy některých posloupností
• ∆αt = (α − 1)αt, t0
αt =
αt0 αt−t0 − 1
α − 1
;
zejména ∆2t = 2t, 0 2t = 2t − 1.
Důkaz: ∆αt = αt+1 − αt = αt (α − 1),
t0
αt =
1
α − 1 t0
(α − 1)αt =
1
α − 1 t0
∆αt =
1
α − 1
αt|t0 =
αt − αt0
α − 1 t0
.
• ∆κt cos tϕ = κt(κ cos ϕ − 1) cos tϕ − κt+1 sin tϕ sin ϕ,
∆κt sin tϕ = κt(κ cos ϕ − 1) sin tϕ + κt+1 cos tϕ cos ϕ,
t0
κt cos tϕ =
κt+1 cos(t − 1)ϕ − κt0+1 cos(t0 − 1)ϕ − κt cos tϕ + κt0 cos t0ϕ
κ2 − 2κ cos ϕ + 1
,
t0
κt sin tϕ =
κt+1 sin(t − 1)ϕ − κt0+1 sin(t0 − 1)ϕ − κt sin tϕ + κt0 sin t0ϕ
κ2 − 2κ cos ϕ + 1
,
Důkaz:
∆κt cos tϕ = κt+1 cos t + 1ϕ − κt cos tϕ = κt+1 (cos tϕ cos ϕ − sin tϕ sin ϕ) − κt cos tϕ,
∆κt sin tϕ = κt+1 sin t + 1ϕ − κt sin tϕ = κt+1 (sin tϕ cos ϕ + cos tϕ sin ϕ) − κt sin tϕ,
t0
κt
(cos tϕ + i sin tϕ) =
t0
κeiϕ t
= κeiϕ t0 κeiϕ t−t0
− 1
κeiϕ − 1
=
= κeiϕ t0
κeiϕ t−t0
− 1 κ−iϕ − 1
(κeiϕ − 1) (κ−iϕ − 1)
=
κeiϕ t
− κeiϕ t0
κ−iϕ − 1
κ2 − κe−iϕ − κeiϕ + 1
=
=
κt(cos tϕ + i sin tϕ) − κt0 (cos t0ϕ + i sin t0ϕ) κ(cos ϕ − i sin ϕ) − 1
κ2 − κ (cos ϕ − i sin ϕ) + (cos ϕ + i sin ϕ) + 1
=
=
κt cos tϕ − κt0 cos t0ϕ + i(κt sin tϕ − κt0 sin t0ϕ) (κ cos ϕ − 1 − iκ sin ϕ)
κ2 − 2κ cos ϕ + 1
=
=
(κt cos tϕ − κt0 cos t0ϕ)(κ cos ϕ − 1) + (κt sin tϕ − κt0 sin t0ϕ)κ sin ϕ
κ2 − 2κ cos ϕ + 1
+
+ i
−(κt sin tϕ − κt0 sin t0ϕ)κ sin ϕ + (κt cos tϕ − κt0 cos t0ϕ)(κ cos ϕ − 1)
κ2 − 2κ cos ϕ + 1
,
a formule pro sumy jsou reálnou a imaginární částí tohoto výrazu.
• ∆t = 1, t0
1 = t − t0, t0
t = 1
2 (t − 1 + t0)(t − t0);
zejména 1 t = 1 + 2 + 3 + · · · + (t − 1) = 1
2t(t − 1).
Důkaz: ∆t = (t + 1) − t = 1.
t0
1 = t0
∆t = t|t0 = t − t0.
22 KAPITOLA 1. PŘÍPRAVNÉ ÚVAHY
V následujícím výpočtu využijeme sumaci „per partes .
t0
t = t0
t∆t = t2|t0 − t0
(t+1)∆t = t2 −t2
0 − t0
t− t0
1 = t2 −t2
0 −(t−t0)− t0
t
a odtud plyne 2 t0
t = t2 − t2
0 − (t − t0) = (t − t0)(t + t0 − 1).
• Pro každé n ∈ N platí:
∆tn =
n
i=1
n
i
tn−i,
t0
tn =
1
n + 1
(t − t0) (t − 1)
n−1
i=0
tn−1−iti
0 + tn
0 −
n−1
i=1
n
i + 1 t0
tn−i ,
zejména 1 t2 = 1 + 4 + 9 + · · · + (t − 1)2 = 1
6t(t − 1)(2t − 1).
Důkaz: ∆tn = (t + 1)n − t =
n
i=0
n
i
tn−i − tn = tn +
n
i=1
n
i
tn−i − tn.
t0
tn
=
t0
tn
∆t = tn+1
|t0 −
t0
(t + 1)∆tn
=
= tn+1
− tn+1
0 −
t0
t∆tn
−
t0
∆tn
=
= tn+1
− tn+1
0 − tn
|t0 −
t0
t
n
i=1
n
i
tn−i
=
= tn+1
− tn+1
0 − tn
− tn
0 −
t0
n
i=1
n
i
tn−i+1
=
= (t − t0)
n
i=0
tn−i
ti
0 − (t − t0)
n−1
i=0
tn−1−i
ti
0 −
t0
ntn
+
n
i=2
n
i
tn−i+1
=
= (t − t0)
n−1
i=0
tn−i−1
(t − 1)ti
0 + tn
0 −
t0
n−1
i=1
n
i + 1
tn−i
−
t0
ntn
=
= (t − t0) (t − 1)
n−1
i=0
tn−i−1
ti
0 + tn
0 −
n−1
i=1
n
i + 1 t0
tn−i
− n
t0
tn
;
z této rovnosti již plyne druhá dokazovaná formule.
1 t2 = 1
3 (t − 1) (t − 1)(t + 1) + 1 −
2
2 t0
t = 1
3 (t − 1)t2 − 1
2 t(t − 1) .
• Buď t ∈ N, ν ∈ R, ν ≤ t. Definujme faktoriálovou funkci rovností
t(ν)
=
Γ(t + 1)
Γ(t − ν + 1)
;
zejména pro ν ∈ Zt je t(ν) =
t!
(t − ν)!
. Pak platí
∆t(ν) = νt(ν−1), t0
t(ν) =
t(ν+1) − t
(ν+1)
0
ν + 1
.
1.4. DIFERENČNÍ A SUMAČNÍ POČET 23
Důkaz: ∆t(ν) = (t + 1)(ν) − tν =
Γ(t + 2)
Γ(t − ν + 2)
−
Γ(t + 1)
Γ(t − ν + 1)
=
=
(t + 1)Γ(t + 1)
(t − ν + 1)Γ(t − ν + 1)
−
Γ(t + 1)
Γ(t − ν + 1)
=
Γ(t + 1)
Γ(t − ν + 1)
t + 1 − (t − ν + 1)
t − ν + 1
=
=
νΓ(t + 1)
(t − ν + 1)Γ(t − ν + 1)
= ν
Γ(t + 1)
Γ(t − ν + 2)
.
t0
t(ν) =
1
ν + 1 t0
(ν + 1)t(ν) =
1
ν + 1 t0
∆t(ν+1) =
1
ν + 1 t0
t(ν+1)|t0 .
24 KAPITOLA 1. PŘÍPRAVNÉ ÚVAHY
Kapitola 2
Diferenční rovnice
Definice 12. Nechť Φ je funkce 2k+2 proměnných, která je nekonstantní ve druhé proměnné a
je nekonstantní v k+1-ní nebo v poslední proměnné. Diferenční rovnice k-tého řádu je rovnice
tvaru
Φ t, x(t), ∆x(t), ∆2
x(t), . . . , ∆k
x(t), x(t + 1), x(t + 2), . . . , x(t + k) = 0.
Diferenční rovnice k-tého řádu prvního typu nerozřešená vzhledem k nejvyšší diferenci (implicitní
diferenční rovnice k-tého řádu) je rovnice tvaru
F t, x, ∆x, ∆2
x, . . . , ∆k
x = 0, (2.1)
kde F je reálná funkce k + 2 proměnných, která není konstantní ve druhé a v poslední pro-
měnné.
Diferenční rovnice k-tého řádu prvního typu rozřešená vzhledem k nejvyšší diferenci (explicitní
diferenční rovnice k-tého řádu) je rovnice tvaru
∆k
x = f t, x, ∆x, ∆2
x, . . . , ∆k−1
x , (2.2)
kde f je reálná funkce k + 1 proměnných, která není konstantní ve druhé proměnné.
Diferenční rovnice k-tého řádu druhého typu je rovnice tvaru
G t, x(t), x(t + 1), . . . , x(t + k) = 0, (2.3)
kde G je reálná funkce k + 2 proměnných, která není konstantní ve druhé a v poslední pro-
měnné.
Rekurentní formule k-tého řádu je rovnice tvaru
x(t + k) = g t, x(t), x(t + 1), . . . , x(t + k − 1) , (2.4)
kde g je reálná funkce k + 1 proměnných, která není konstantní ve druhé proměnné.
Poznámka 8. Každou diferenční rovnici lze převést na diferenční rovnici prvního nebo druhého
typu.
Každou implicitní diferenční rovnici prvního typu lze převést na diferenční rovnici druhého
typu stejného řádu a naopak.
Každou explicitní diferenční rovnici prvního typu lze převést na rekurentní formuli stejného
řádu a naopak.
25
26 KAPITOLA 2. DIFERENČNÍ ROVNICE
Vzhledem k Tvrzení 9 totiž můžeme položit
F t, x(t), ∆x(t), . . . , ∆k
x(t) =
= Φ t, x(t), ∆x(t), . . . , ∆k
x(t), ∆x(t) + x(t), . . . ,
k
i=0
k
i
∆i
x(t) ,
G t, x(t), x(t + 1), . . . , x(t + k) =
= Φ t, x(t), x(t + 1) − x(t), . . . ,
k
i=0
(−1)i k
i
x(t + k − i), x(t + 1), . . . , x(t + k) .
G t, x(t), x(t + 1), . . . , x(t + k) =
= F t, x(t), x(t + 1) − x(t), x(t + 2) − 2x(t + 1) + x(t), . . . ,
k
i=0
(−1)i k
i
x(t + k − i) ,
F t, x, ∆x, ∆2
x, . . . , ∆k
x = G t, x(t), ∆x(t) + x(t), . . . ,
k
i=0
k
i
∆i
x(t) .
g t, x(t), x(t + 1), . . . , x(t + k − 1) =
= f t, x(t), x(t + 1) − x(t), . . . ,
k−1
i=0
(−1)i k − 1
i
x(t + k − i + 1) −
−
k
i=1
(−1)i k
i
x(t + k − i),
f t, x, ∆x, ∆2
x, . . . , ∆k−1
x =
= g t, x(t), ∆x(t) + x(t), . . . ,
k−1
i=0
k − 1
i
∆i
x(t) −
k−1
i=0
k
i
∆i
x(t).
Definice 13. Nechť t0 ∈ Z a ξ0, ξ1, . . . , ξk−1 ∈ R jsou taková čísla, že
(t0, ξ0, ξ1, . . . , ξk−1) ∈ Dom g.
Rovnosti
x(t0) = ξ0, x(t0 + 1) = ξ1, x(t0 + 2) = ξ2, . . . , x(t0 + k − 1) = ξk−1 (2.5)
nazveme počáteční podmínky pro rekurentní formuli (2.4).
Pokud ekvivalentně předpokládáme, že
t0, ξ0, ξ1 − ξ0, . . . ,
k−1
i=0
(−1)i k − 1
i
ξk−1 ∈ Dom f,
nazýváme rovnosti (2.5) počáteční podmínky pro diferenční rovnici (2.2). Rovnici (2.2) s počátečními
podmínkami (2.5) nazýváme počáteční úloha (problém) pro diferenční rovnici (2.2).
27
Definice 14. Libovolná posloupnost x ∈ P taková, že splňuje některou z rovností (2.1), (2.2),
(2.3), (2.4) se nazývá partikulární řešení příslušné diferenční rovnice.
Množina všech posloupností, které jsou partikulárním řešením některé diferenční rovnice
(2.1), (2.2), (2.3) nebo (2.4), se nazývá obecné řešení příslušné diferenční rovnice.
Partikulární řešení, které splňuje počáteční podmínku (2.5) se nazývá řešení počáteční
úlohy.
Příklad. Uvažujme rekurentní formuli pro geometrickou posloupnost s kvocientem 2, tj.
x(t + 1) = 2x(t)
s počáteční podmínkou x(t0) = ξ0. Tuto formuli můžeme ekvivalentně zapsat jako explicitní
nebo implicitní diferenční rovnici prvního typu
∆x = x, nebo x − ∆x = 0,
nebo jako diferenční rovnici druhého typu
x(t + 1) − 2x(t) = 0.
Libovolná posloupnost definovaná vztahem x(t) = a2t, kde a je nějaké reálné číslo, je
partikulárním řešením rovnice.
Množina x ∈ P : x(t) = a2t, a ∈ R je obecným řešením rovnice.
Posloupnost definovaná vztahem x(t) = ξ02t−t0 je řešením počáteční úlohy.
Definice 15. Nechť f1, f2, . . . , fk a g1, g2, . . . , gk jsou funkce k + 1 proměnných se stejným
definičním oborem. Systém k explicitních diferenčních rovnic prvního řádu je systém rovnic
tvaru
∆x1(t) = f1 t, x1(t), x2(t), . . . , xk(t) ,
∆x2(t) = f2 t, x1(t), x2(t), . . . , xk(t) ,
...
∆xk(t) = fk t, x1(t), x2(t), . . . , xk(t) ,
(2.6)
systém k rekurentních formulí prvního řádu je systém rovnic tvaru
x1(t + 1) = g1 t, x1(t), x2(t), . . . , xk(t) ,
x2(t + 1) = g2 t, x1(t), x2(t), . . . , xk(t) ,
...
xk(t + 1) = gk t, x1(t), x2(t), . . . , xk(t) .
(2.7)
Poznámka 9. Systém explicitních diferenčních rovnic prvního řádu lze převést na systém
rekurentních formulí prvního řádu a naopak. Stačí totiž položit
gi t, x1(t), x2(t), . . . , xk(t) = fi t, x1(t), x2(t), . . . , xk(t) + xi(t), i = 1, 2, . . . , k.
Vektorovou posloupnost x a její hodnotu v indexu t definujeme vztahy
x =





x1
x2
...
xk





, x(t) =





x1(t)
x2(t)
...
xk(t)





28 KAPITOLA 2. DIFERENČNÍ ROVNICE
jako vektor (k-tici) posloupností. Označíme dále
f t, x(t) = f t, x1(t), x2(t), . . . , xk(t) =





f1 t, x1(t), x2(t), . . . , xk(t)
f2 t, x1(t), x2(t), . . . , xk(t)
...
fk t, x1(t), x2(t), . . . , xk(t)





=





f1 t, x(t)
f2 t, x(t)
...
fk t, x(t)





a podobně
g t, x(t) =





g1 t, x(t)
g2 t, x(t)
...
gk t, x(t)





.
Diferenci a posun vektorové posloupnosti x v indexu t definujeme vztahy
∆x(t) = x(t + 1) − x(t) =





∆x1(t)
∆x2(t)
...
∆xk(t)





a xσ
(t) = x(t + 1) =





xσ
1 (t)
xσ
2 (t)
...
xσ
k (t)





.
Při tomto označení můžeme systém explicitních diferenčních rovnic zapsat jako rovnici
vektorovou
∆x(t) = f t, x(t)
a systém rekurentních formulí jako formuli vektorovou
x(t + 1) = g t, x(t) nebo xσ
(t) = g t, x(t) .
Počáteční podmínky pro systém (2.6) nebo (2.7) jsou tvaru
x1(t0) = ξ1, x2(t0) = ξ2, . . . , xk(t0) = ξ(k) nebo vektorově x(t0) = ξ (2.8)
Rovnice (2.6), resp. (2.7) s počáteční podmínkou (2.8) se nazývá počáteční úloha pro systém
(2.6), resp. (2.7).
Nechť posloupnost x je řešením počáteční úlohy (2.4), (2.5). Položme
xi(t) = x(t + i − 1), i = 1, 2, . . . , k.
Pak xi(t + 1) = x(t + 1 + i − 1) = x(t + i), pro i = 1, 2, . . . , k, tedy
xi(t + 1) = xi+1(t), i = 1, 2, . . . , k − 1,
a
xk(t + 1) = x(t + k) = g t, x(t), x(t + 1), . . . , x(t + k − 1) = g t, x1(t), x2(t), . . . , xk(t) .
Dále
xi(t0) = x(t0 + i − 1) = ξi−1, i = 1, 2, . . . , k. (2.9)
29
Posloupnost x je tedy první složkou řešení systému
x1(t + 1) = x2(t)
x2(t + 1) = x3(t)
...
xk−1(t + 1) = xk(t)
xk(t + 1) = g t, x1(t), x2(t), . . . , xk(t)
(2.10)
s počáteční podmínkou (2.9). Naopak, je-li posloupnost x1 první složkou řešení počáteční
úlohy (2.10), (2.9), pak je také řešením úlohy (2.4), (2.5), neboť
x1(t + 1) = x2(t),
x1(t + 2) = x2(t + 1) = x3(t),
x1(t + 3) = x2(t + 2) = x3(t + 1) = x4(t),
...
x1(t + k − 1) = xk(t),
x1(t + k) = xk(t + 1) = g t, x1(t), x2(t), . . . , xk−1(t) =
= g t, x1(t), x1(t + 1), . . . , x1(t + k − 1) .
Odvodili jsme tak
Tvrzení 10. Rekurentní formule, resp. explicitní diferenční rovnice, k-tého řádu je ekvivalentní
se systémem k rekurentních formulí, resp. k explicitních rovnic, prvního řádu.
30 KAPITOLA 2. DIFERENČNÍ ROVNICE
Kapitola 3
Lineární rovnice
3.1 Rovnice prvního řádu
Lineární diferenční rovnice je rovnice tvaru
∆x = a(t)x + b(t). (3.1)
Tato rovnice se nazývá homogenní, pokud b ≡ 0, a nehomogenní v opačném případě. Lineární
homogenní rovnice
∆x = a(t)x (3.2)
se nazývá přidružená homogenní rovnice k lineární rovnici (3.1).
Jako rekurentní formuli rovnici (3.1) zapíšeme ve tvaru
x(t + 1) = 1 + a(t) x(t) + b(t). (3.3)
3.1.1 Homogenní rovnice a exponenciální posloupnost
Definice 16. Řekneme, že posloupnost p ∈ P je regresivní, pokud p(t) = −1 pro všechny
indexy t ∈ Dom p. Množinu regresivních posloupností označíme R,
R = {p ∈ P : (∀t ∈ Dom p) 1 + p(t) = 0} .
Podobně jako v případě obecných posloupností můžeme zdůraznit definiční obor posloupnosti
dolním indexem, tj.
Rt0 = R ∩ Pt0 , pro t0 ∈ Z, R−∞ = R ∩ P−∞.
Na množině regresivních posloupností definujeme binární operaci ⊕ a unární operaci ⊖ vztahy
p ⊕ q (t) = p(t) + q(t) + p(t)q(t), ⊖p(t) =
−p(t)
1 + p(t)
.
Snadno ověříme, že množina regresivních posloupností s operací ⊕ tvoří komutativní
grupu, nulová posloupnost o ≡ 0 je neutrálním prvkem této grupy a ⊖p je opačným prvkem
k prvku p.
Tvrzení 11. Nechť p ∈ R je regresivní posloupnost. Pak pro každou hodnotu x0 ∈ R existuje
jediná posloupnost x ∈ P taková, že Dom x = Dom p, x(t0) = x0 a ∆x(t) = p(t)x(t).
31
32 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
Důkaz: Poněvadž x(t+1) = 1+p(t) x(t), je posloupnost x definována pro každé t ≥ t0. Dále
pro každý index t takový, že t − 1 ∈ Dom p platí x(t) = 1 + p(t − 1) x(t − 1) a tedy
x(t − 1) =
x(t)
1 + p(t − 1)
,
což znamená, že posloupnost x je definována také pro t ≤ t0 takové, že t ∈ Dom p.
Definice 17. Nechť p ∈ R je regresivní posloupnost. Exponenciální posloupnost příslušnou
k posloupnosti p s počátkem t0 ∈ Dom p definujeme jako jediné řešení diferenční rovnice
∆x = p(t)x (3.4)
s počáteční podmínkou x(t0) = 1. Její t-tý člen značíme ep(t, t0).
Věta 13 (Vlastnosti exponenciální posloupnosti). Nechť p, q ∈ R takové, že Dom p = Dom q,
t0, t, s ∈ Dom p. Pak platí
1. ep(t, t0) =
t−1
i=t0
1 + p(i) ,
2. e0(t, t0) ≡ 1, e1(t, t0) = 2t−t0 ,
3. ep(t, t0)eq(t, t0) = ep⊕q(t, t0),
4. ep(t, t0)
−1
= e⊖p(t, t0),
5. ep(t, s)ep(s, t0) = ep(t, t0),
6. Je-li p(t) > −1 pro všechny indexy t ∈ Dom p, pak ep( · , t0) = e
P
t0
ln(1+p)
.
Důkaz: Podle Tvrzení 8 platí
t0−1
i=t0
1 + p(i) = 1 a
∆
t−1
i=t0
1 + p(i) =
t
i=t0
1 + p(i) −
t−1
i=t0
1 + p(i) = 1 + p(t) − 1
t−1
i=t0
1 + p(i) =
= p(t)
t−1
i=t0
1 + p(i) .
Odtud plyne platnost první části věty. Nyní
e0(t, t0) =
t−1
i=t0
(1 + 0) = 1, e1(t, t0) =
t−1
i=t0
(1 + 1) = 2(t−1)−(t0−1)
= 2t−t0
,
což je druhé tvrzení věty. Třetí a čtvrté plyne z následujících výpočtů
ep(t, t0)eq(t, t0) =
t−1
i=t0
1 + p(i)
t−1
i=t0
1 + q(i) =
t−1
i=t0
1 + p(i) + q(i) + p(i)q(i) =
= ep+q+pq(t, t0) = ep⊕q(t, t0),
3.1. ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU 33
ep(t, t0)e⊖p(t, t0) =
t−1
i=t0
1 + p(i)
t−1
i=t0
1 −
p(i)
1 + p(i)
=
=
t−1
i=t0
1 + p(i) −
p(i)
1 + p(i)
−
p(i)2
1 + p(i)
=
t−1
i=t0
1 = 1.
Podle Tvrzení 8 platí
ep(t, s)ep(s, t0) =
t−1
i=s
1 + p(i)
s−1
i=t0
1 + p(i) =
t−1
i=t0
1 + p(i)
a to je páté tvrzení věty. Rovnost v posledním tvrzení je ekvivalentní s rovnostmi
ln ep(t, t0) =
t−1
t0
ln 1 + p(i) = ln
t−1
t0
1 + p(i) .
Nechť p ∈ R je regresivní posloupnost. Řešení počáteční úlohy pro homogenní lineární
rovnici
∆x = p(t)x, x(t0) = x0
je dáno rovností
x(t) = x0ep(t, t0) = x0
t−1
i=t0
1 + p(i) , (3.5)
neboť
x(t0) = x0ep(t0, t0) = x01 = x0
a podle Vět 3 a 13 platí
∆x(t) = x0∆ep(t, t0) = x0p(t)ep(t, t0) = p(t) x0ep(t, t0) .
3.1.2 Nehomogenní rovnice a metoda variace konstanty
Nechť p ∈ R je regresivní posloupnost a b ∈ P posloupnost se stejným definičním oborem.
Uvažujme počáteční úlohu pro lineární nehomogení rovnici ve tvaru
∆x = p(t)x + b(t), x(t0) = x0. (3.6)
Řešení této úlohy budeme hledat ve tvaru
x(t) = c(t)ep(t, t0). (3.7)
Jedná se o analogii řešení daného formulí (3.5) s tím rozdílem, že místo konstanty x0 uvažujeme
nestacionární posloupnost c.
Aby byla splněna počáteční podmínka v úloze (3.6), musí platit
x0 = x(t0) = c(t0)ep(t0, t0) = c(t0),
tedy
c(t0) = x0. (3.8)
34 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
Současně musí být splněna rovnice, tedy podle Věty 11 má být
p(t)x(t) + b(t) = ∆x(t) = ∆ cep( · , t0) = c(t)∆ep(t, t0) + eσ
p (t, t0)∆c(t) =
= c(t)p(t)ep(t, t0) + ep(t + 1, t0)∆c(t) = p(t)x(t) + ep(t + 1, t0)∆c(t).
Z této rovnosti vyjádříme b(t) = ep(t + 1, t0)∆c(t). Pro posloupnost c tedy podle Věty 13.4
platí
∆c(t) = b(t)e⊖p(t + 1, t0).
Rovnají-li se dvě posloupnosti, musí se rovnat i jejich sumy od t0, takže podle (1.6) dostaneme
c(t) − c(t0) =
t0
b(t)e⊖p(t + 1, t0).
Z této rovnosti spolu s podmínkou (3.8) vyjádříme
c(t) = x0 +
t−1
i=t0
b(i)e⊖p(i + 1, t0).
Dosazením této posloupnosti do rovnosti (3.7) dostaneme s využitím Věty 13 řešení úlohy
(3.6),
x(t) = x0 +
t−1
i=t0
b(i)e⊖p(i + 1, t0) ep(t, t0) =
= x0ep(t, t0) +
t−1
i=t0
b(i)e⊖p(i + 1, t0)ep(i + 1, t0)ep(t, i + 1) =
= x0ep(t, t0) +
t−1
i=t0
b(i)ep(t, i + 1) = x0ep(t, t0) +
t0
bep( · , i + 1)(t).
Exponenciální posloupnost můžeme přepsat jako součin podle Věty 13.1. Řešení počáteční
úlohy pro nehomogenní lineární rovnici s regresivní posloupností v lineárním členu, tj. řešení
úlohy (3.6) tedy můžeme psát v jednom z tvarů
x(t) = x0ep(t, t0) +
t−1
i=t0
b(i)ep(t, i + 1) = x0
t−1
i=t0
1 + p(i) +
t−1
i=t0
b(i)
t−1
j=i+1
1 + p(j) .
Přímým výpočtem se přesvědčíme, že řešení počáteční úlohy pro obecnou lineární diferenční
rovnici (3.1) s počáteční podmínkou x(t0) = x0 je stejného tvaru. Jediný rozdíl je
v tom, že definiční obor řešení může být menší než definiční obor posloupnosti a.
Věta 14. Nechť Dom a = Dom b, t0 ∈ Dom a a x0 ∈ R. Položme
τ = sup {t ∈ Dom a : t ≤ t0, a(t) = −1} .
Řešení počáteční úlohy pro lineární diferenční rovnici,
∆x = a(t)x + b(t), x(t0) = x0, (3.9)
3.2. LINEÁRNÍ ROVNICE K-TÉHO ŘÁDU 35
je posloupnost x ∈ Pτ definovaná vztahem
x(t) = x0
t−1
i=t0
1 + a(i) +
t−1
i=t0
b(i)
t−1
j=i+1
1 + a(j) .
Podívejme se ještě na druhý sčítanec ve výrazu pro řešení úlohy (3.9), tedy na posloupnost
danou předpisem
˜x(t) =
t−1
i=t0
b(i)
t−1
j=i+1
1 + a(j) .
Platí ˜x(t0) = 0 a
∆˜x(t) = ∆
t−1
i=t0
b(i)
t−1
j=i+1
1 + a(j) =
t
i=t0
b(i)
t
j=i+1
1 + a(j) −
t−1
i=t0
b(i)
t−1
j=i+1
1 + a(j) =
= b(t) + 1 + a(t)
t−1
i=t0
b(i)
t−1
j=i+1
1 + a(j) −
t−1
i=t0
b(i)
t−1
j=i+1
1 + a(j) =
= b(t) + a(t)
t−1
i=t0
b(i)
t−1
j=i+1
1 + a(j) = b(t) + a(t)˜x(t).
To znamená, že posloupnost ˜x je řešením nehomogenní rovnice (3.1) s nulovou počáteční
podmínkou. První sčítanec v řešení úlohy (3.9) je řešením přidružené homogenní rovnice
(3.2). Dostáváme tak závěr:
Důsledek 1. Řešení počáteční úlohy pro lineární diferenční rovnici (3.9) je součtem řešení
počátečního problému pro přidruženou homogenní rovnici (3.2) a řešení nehomogenní rovnice
s nulovou počáteční podmínkou.
Některá z posloupností vystupujících v rovnici (3.1) může být stacionární. Dostáváme tak
speciální případy:
• ∆x = αx + b(t), x(t0) = x0.
Řešení: x(t) = x0(1 + α)t−t0 +
t−1
i=t0
(1 + α)t−i−1b(i).
• ∆x = a(t)x + β, x(t0) = x0.
Řešení: x(t) = x0
t−1
i=t0
1 + a(i) + β
t−1
i=t0
t−1
j=i+1
1 + a(j) .
• ∆x = αx + β, x(t0) = x0.
Řešení: x(t) = x0(1 + α)t−t0 + β
(1 + α)t−t0 − 1
α
= x0 +
β
α
(1 + α)t−t0 −
β
α
.
3.2 Lineární rovnice k-tého řádu
Jedná se o rovnici
∆k
x + ak−1(t)∆k−1
x + ak−2(t)∆k−2
(t)x + · · · + a1(t)∆x + a0(t) = b(t). (3.10)
36 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
O posloupnostech a0, a1, a2, . . . , ak−1, b předpokládáme, že mají stejný definiční obor, označíme
ho D, a pro každé t z tohoto definičního oboru platí
ak−1(t) − αk−2 + ak−3(t) − · · · + (−1)k−1
a0(t) = 1. (3.11)
V případě b ≡ 0 se rovnice (3.10) nazývá homogenní, v opačném případě nehomogenní.
Je-li t0 ∈ D, jsou počáteční podmínky pro rovnici (3.10) tvaru
x(t0) = ξ0, x(t0 + 1) = ξ1, . . . , x(t0 + k − 1) = ξk−1. (3.12)
Rovnici (3.10) přepíšeme na rovnici druhého typu. Podle Tvrzení 8 platí
∆k
x(t) = x(t + k) +
k
j=1
(−1)j k
j
x(t + k − j) = x(t + k) +
k−1
j=0
(−1)k−j k
j
x(t + j),
k−1
j=0
aj(t)∆j
x(t) =
k−1
j=0
aj(t)
j
i=0
(−1)i j
i
x(t+j −i) =
k−1
i=0
k−1
j=i
aj(t)(−1)i j
i
x(t+j −i) =
=
k−1
i=0
k−1−i
j=0
aj+i(t)(−1)i j + i
i
x(t + j) =
k−1
j=0
k−1−i
i=0
ai+j(t)(−1)i j + i
i
x(t + j),
takže levá strana rovnice (3.10) je tvaru
x(t + k) +
k−1
j=0
(−1)k−j k
j
+
k−1−j
i=0
ai+j(t)(−1)i j + i
i
x(t + j).
Označíme
cj(t) = (−1)k−j k
j
+
k−1−j
i=0
ai+j(t)(−1)i j + i
i
pro j = 0, 1, 2, . . . , k − 1
a dostaneme rovnici druhého typu ekvivalentní s rovnicí (3.10) ve tvaru
x(t+k)+ck−1(t)x(t+k−1)+ck−2(t)x(t+k−2)+· · ·+c1(t)x(t+1)+c0(t)x(t) = b(t); (3.13)
podmínka (3.11) zaručí, že c0(t) = 0 pro všechna t ∈ D, takže se skutečně jedná o rovnici ktého
řádu. Z tvaru rovnice (3.13) vidíme, že počáteční úloha (3.13), (3.12), nebo ekvivalentně
úloha (3.10), (3.12), má jediné řešení, které je definováno na množině D.
3.2.1 Fundamentální systém řešení homogenní rovnice
Lineární homogenní diferenční rovnice k-tého řádu
x(t + k) + ck−1(t)x(t + k − 1) + ck−2(t)x(t + k − 2) + · · · + c1(t)x(t + 1) + c0(t)x(t) = 0 (3.14)
splňuje princip superpozice: jsou-li posloupnosti x1 a x2 řešení rovnice (3.26) a p a q jsou
libovolné reálné konstanty, pak také posloupnost x = px1 + qx2 je řešením rovnice (3.26), tj.
libovolná lineární kombinace řešení této rovnice je jejím řešením. Navíc nulová posloupnost
3.2. LINEÁRNÍ ROVNICE K-TÉHO ŘÁDU 37
x ≡ 0 je řešením rovnice (3.26). To znamená, že množina všech řešení lineární homogenní
diferenční rovnice tvoří vektorový prostor.
Pro i ∈ {0, 1, 2, . . . , k − 1} označme yi posloupnost, která je řešením homogenní rovnice
(3.14) s počátečními podmínkami
x(t0 + j) =
1, j = i,
0, j = i,
j = 0, 1, 2, . . . , k − 1.
Pak je zřejmé, že posloupnosti y0, y1, . . . , yk−1 jsou lineárně nezávislé. To znamená, že dimenze
vektorového prostoru řešení je alespoň k.
Nechť y je libovolné řešení homogenní rovnice (3.14). Označme
η0 = y(t0), η1 = y(t0 + 1), . . . , ηk−1 = y(t0 + k − 1).
Lineární kombinace posloupností y0, y1, . . . , yk−1 s koeficienty η0, η1, . . . , ηk−1, tj. posloupnost
η0y0 + η1y1 + · · · + ηk−1yk−1 (3.15)
je podle principu superpozice řešením rovnice (3.14) a splňuje stejné počáteční podmínky,
jako posloupnost y. Z jednoznačnosti řešení počáteční úlohy plyne, že posloupnost y a lineární
kombinace (3.15) jsou shodné. Odtud dále plyne, že prostor řešení lineární homogenní rovnice
(3.14) má dimenzi k a posloupnosti yi, i = 0, 1, 2, . . . , k tvoří bázi tohoto prostoru.
Z provedených úvah plyne, že platí
Věta 15. Množina všech řešení lineární homogenní difereneční rovnice k-tého řádu (3.14)
tvoří vektorový prostor dimenze k.
Definice 18. Báze vektorového prostoru všech řešení lineární homogenní rovnice (3.14) se
nazývá fundamentální systém řešení.
Z Věty 15 a Tvrzení 2 bezprostředně plyne:
Věta 16. Posloupnosti z1, z2, . . . , zk tvoří fundamentální systém řešení lineární homogenní
diferenční rovnice (3.14) právě tehdy, když každá z nich je řešením rovnice (3.14) a platí
nerovnost
z1(t0) z2(t0) . . . zk(t0)
z1(t0 + 1) z2(t0 + 1) . . . zk(t0 + 1)
...
...
...
...
z1(t0 + k − 1) z2(t0 + k − 1) . . . zk(t0 + k − 1)
= 0
pro libovolný index t0 z průniku definičních oborů posloupností c0, c1, . . . , ck−1.
Nechť posloupnost x je řešením počáteční úlohy (3.14), (3.12) a posloupnosti z1, z2, . . . , zk
tvoří fundamentální systém řešení homogenní rovnice (3.14). Pak pro všechna t ∈ D platí, že
x(t) = A1z1(t) + A2z2(t) + · · · + Akzk(t) (3.16)
pro jisté konstanty A1, A2, . . . , Ak. Tyto konstanty by měly být jednoznačně určeny počátečními
podmínkami, proto musí splňovat (algebraické) rovnice
A1z1(t0) + A2z2(t0) + · · · + Akzk(t0) = ξ0
A1z1(t0 + 1) + A2z2(t0 + 1) + · · · + Akzk(t0 + 1) = ξ1
...
...
...
...
A1z1(t0 + k − 1) + A2z2(t0 + k − 1) + · · · + Akzk(t0 + k − 1) = ξk−1.
38 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
Determinant matice této soustavy lineárních rovnic pro neznámé A1, A2, . . . , Ak je však Casoratiánem
báze vektorového prostoru, který je podle Věty 16 nenulový. Uvedený systém
lineárních rovnic je skutečně jednoznačně řešitelný.
3.2.2 Nehomogenní rovnice a metoda variace konstant
Pokud jsou posloupnosti c0, c1, . . . , ck−1 v rovnicích (3.13) a (3.14) stejné, řekneme, že homogenní
lineární diferenční rovnice (3.14) je přidružená k nehomogenní rovnici (3.13).
Je-li posloupnost y řešením nehomogenní rovnice (3.13) a posloupnost z je řešením přidružené
homogenní rovnice (3.14), pak jejich součet x = z + y je opět řešením nehomogenní
rovnice (3.13), neboť
x(t + k) +
k
i=1
ci(t)x(t + i) = z(t + k) + y(t + k) +
k
i=1
ci(t) z(t + i) + y(t + i) =
= z(t + k) +
k
i=1
ci(t)z(t + i) + y(t + k) +
k
i=1
ci(t)y(t + i) = 0 + b(t) = b(t).
Platí tedy
Věta 17. Nechť z1, z2, . . . , zk tvoří fundamentální systém řešení lineární homogenní diferenční
rovnice (3.14) přidružené k nehomogenní rovnici (3.13). Pak každé řešení nehomogenní
rovnice (3.13) je tvaru
x(t) = B1z1(t) + B2z2(t) + · · · + Bkzk(t) + y(t),
kde y je nějaké řešení nehomogenní rovnice a B1, B2, . . . , Bk jsou konstanty.
Nechť posloupnosti z1, z2, . . . , zk tvoří fundamentální systém řešení homogenní rovnice
(3.14) přidružené k nehomogenní rovnici (3.14). Pak je
zi(t + k) = −
k−1
j=0
cj(t)zi(t + j) pro i = 1, 2, . . . , k. (3.17)
Řešení nehomogenní rovnice (3.14) budeme hledat ve tvaru
x(t) =
k
i=1
ui(t)zi(t), (3.18)
kde u1, u2, . . . , uk jsou zatím neurčené posloupnosti. Hledáme ho tedy jako analogii řešení
homogenní rovnice (3.16); místo konstant A1, A2, . . . , Ak však píšeme posloupnosti — varírujeme
konstanty. Z tohoto důvodu se tato metoda řešení nehomogenní rovnice nazývá metoda
variace konstant.
Nyní můžeme vyjádřit
x(t + 1) =
k
i=1
ui(t + 1)zi(t + 1) =
k
i=1
∆ui(t) zi(t + 1) + ui(t)zi(t + 1) .
3.2. LINEÁRNÍ ROVNICE K-TÉHO ŘÁDU 39
Budeme požadovat, aby posloupnosti u1, u2, . . . , uk splňovaly rovnici
k
i=1
∆ui(t) zi(t + 1) = 0.
Pak x(t + 1) =
k
i=1
ui(t)zi(t + 1), takže
x(t + 2) =
k
i=1
ui(t + 1)zi(t + 2) =
k
i=1
∆ui(t) zi(t + 2) + ui(t)zi(t + 2) .
Dále budeme požadovat, aby posloupnosti u1, u2, . . . , uk splňovaly rovnice
k
i=1
∆ui(t) zi(t + 2) = 0,
takže x(t + 2) =
k
i=1
ui(t)zi(t + 2). Takto budeme pokračovat až k požadavku
k
i=1
∆ui(t) zi(t + k − 1) = 0
a vyjádření x(t + k − 1) =
k
i=1
ui(t)zi(t + k − 1).
Celkem tedy požadujeme
k
i=1
∆ui(t) zi(t + j) = 0, j = 1, 2, . . . , k − 1 (3.19)
a dostáváme
x(t + j) =
k
i=1
ui(t)zi(t + j), j = 1, 2, . . . , k − 1. (3.20)
V poslední z rovností (3.20), tj. v té, v níž j = k − 1, budeme psát t + 1 místo t a upravíme
ji s použitím (3.17). Dostaneme
x(t + k) =
k
i=1
ui(t + 1)zi(t + k) =
k
i=1
∆ui(t) zi(t + k) +
k
i=1
ui(t)zi(t + k) =
=
k
i=1
∆ui(t) zi(t + k) −
k
i=1
ui(t)
k−1
j=0
cj(t)zi(t + j). (3.21)
Současně posloupnost x má být řešením rovnice (3.13), takže s využitím vztahů (3.20) dosta-
neme
x(t + k) = b(t) −
k−1
j=0
cj(t)x(t + j) = b(t) −
k−1
j=0
cj(t)
k
i=1
ui(t)zi(t + j) =
= b(t) −
k
i=1
ui(t)
k−1
j=0
cj(t)zi(t + j). (3.22)
40 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
Porovnáním (3.21) a (3.22) vidíme, že
k
i=1
∆ui(t) zi(t + k) = b(t). (3.23)
Diference posloupností u1, u2, . . . , uk tedy splňují systém rovnic (3.19), (3.23). Přepíšeme ho
do tvaru
z1(t + 1) ∆u1(t) + z2(t + 1) ∆u2(t) + · · · + zk(t + 1) ∆uk(t) = 0
z1(t + 2) ∆u1(t) + z2(t + 2) ∆u2(t) + · · · + zk(t + 2) ∆uk(t) = 0
...
...
...
...
z1(t + k − 1) ∆u1(t) + z2(t + k − 1) ∆u2(t) + · · · + zk(t + k − 1) ∆uk(t) = 0
z1(t + k) ∆u1(t) + z2(t + k) ∆u2(t) + · · · + zk(t + k) ∆uk(t) = b(t).
Determinant této soustavy je Casoratiánem fundamentálního systému řešení homogenní rovnice
(3.14) v indexu t + 1. Je tedy nenulový a soustava je jednoznačně řešitelná. Označíme
w(t) =
z1(t) z2(t) . . . zk(t)
z1(t + 1) z2(t + 1) . . . zk(t + 1)
...
...
...
...
z1(t + k − 1) z2(t + k − 1) . . . zk(t + k − 1)
,
mi(t) =
=
z1(t) z2(t) . . . zi−1(t) zi+1(t) . . . zk(t)
z1(t + 1) z2(t + 1) . . . zi−1(t + 1) zi+1(t + 1) . . . zk(t + 1)
...
...
...
...
...
...
...
z1(t + k − 2) z2(t + k − 2) . . . zi−1(t + k − 2) zi+1(t + k − 2) . . . zk(t + k − 2)
;
w(t) je Casoratián fundamentálního řešení homogenní rovnice (3.14). Diference posloupností
u1, u2, . . . uk nyní můžeme vyjádřit ve tvaru
∆ui(t) =
(−1)k+ib(t)mi(t + 1)
w(t + 1)
, i = 1, 2, . . . , k.
Odtud a z rovnosti (1.5) dostaneme
ui(t) = ui(t0) + (−1)k+i
t−1
j=t0
b(j)mi(j + 1)
w(j + 1)
, i = 1, 2, . . . , k.
Při označení Bi = ui(t0) můžeme řešení rovnice (3.13) podle vztahu (3.18) psát ve tvaru
x(t) =
k
i=1
Bizi(t) + (−1)k
t−1
j=t0
b(j)
w(j + 1)
k
i=1
(−1)i
mi(j + 1)zi(t).
3.2. LINEÁRNÍ ROVNICE K-TÉHO ŘÁDU 41
3.2.3 Homogenní rovnice s konstantními koeficienty
Jedná se o rovnici
∆k
x + αk−1∆k−1
x + αk−2∆k−2
x + · · · + α1∆x + α0 = 0, (3.24)
kde reálné koeficienty α0, α1, . . . , αk−1 splňují rovnost
αk−1 − αk−2 + αk−3 − · · · + (−1)k−1
α0 = 1 (3.25)
analogickou k rovnosti (3.11). Rovnice (3.24) má pro libovolné počáteční podmínky tvaru
(3.12) jediné řešení, které je definováno pro každé t ∈ Z.
Stejně jako v případě obecné lineární rovnice k-tého řádu můžeme rovnici (3.24) přepsat
na rovnici druhého typu
x(t + k) + γk−1x(t + k − 1) + γk−2x(t + k − 2) + · · · + γ1x(t + 1) + γ0x(t) = 0, (3.26)
kde jsme označili
γj = (−1)k−j k
j
+
k−1−j
i=0
αi+j(−1)i j + i
i
pro j = 0, 1, 2, . . . , k − 1.
S pomocí operátoru posunu σ můžeme tuto rovnici přepsat do tvaru
xσk
(t) + γk−1xσk−1
x(t) + γk−2xσk−2
x(t) + · · · + γ1xσ
(t) + γ0x(t) = 0.
Položíme-li γk = 1, můžeme operátorovou rovnici zapsat ještě stručněji
k
i=0
γi ·σi
x ≡ 0. (3.27)
Abychom našli řešení rovnice (3.26), provedeme následující heuristickou úvahu. Lineární
homogenní diferenční rovnice prvního řádu druhého typu s konstantními koeficienty je tvaru
x(t + 1) + γx(t) = 0
a podle výsledků odstavce 3.1.2 má řešení
x(t) = x0(−γ)t−t0
= x0(−γ)−t0
(−γ)t
= const · (−γ)t
.
Jako analogii tohoto výsledku budeme hledat řešení rovnice (3.26) ve tvaru x(t) = λt, kde λ
je zatím neurčená nenulová konstanta. Dosadíme tuto posloupnost do rovnice (3.26)
λt+k
+ γk−1λt+k−1
+ γk−2λt+k−2
+ · · · + γ1λt+1
+ γ0λt
= 0
a po vynásobení výrazem λ−t dostaneme charakteristickou rovnici
λk
+ γk−1λk−1
+ γk−2λk−2
+ · · · + γ1λ + γ0 = 0. (3.28)
Řešení této algebraické rovnice se nazývají charakteristické kořeny. Povšimněme si, že žádný
kořen rovnice (3.28) není nulový, neboť γ0 = 0.
42 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
Příklad: Rovnice druhého řádu.
Uvažujme lineární homogenní diferenční rovnici
x(t + 2) + bx(t + 1) + cx(t) = 0 (3.29)
s počátečními podmínkami
x(t0) = ξ0, x(t0 + 1) = ξ1. (3.30)
Aby rovnice (3.29) byla skutečně druhého řádu musí být c = 0. O počátečních hodnotách ξ0
a ξ1 budeme předpokládat, že aspoň jedna z nich je nenulová. V opačném případě by totiž
počáteční úloha (3.29), (3.30) měla jedině triviální řešení x ≡ 0 při libovolných hodnotách
svých parametrů b, c.
Charakteristickou rovnicí je kvadratická rovnice pro neznámou λ
λ2
+ bλ + c = 0. (3.31)
Mohou nastat tři případy.
• (i) b2 > 4c. Charakteristická rovnice (3.31) má dva reálné různé kořeny λ1, λ2. Označení
zvolíme tak, aby |λ1| ≥ |λ2|, charakteristický kořen λ1 nazveme dominatní. Diferenční rovnice
(3.29) má řešení
x(t) = Aλt
1 + Bλt
2, (3.32)
neboť
x(t + 2) + bx(t + 1) + cx(t) =
= Aλt+2
1 + Bλt+2
2 + b Aλt+1
1 + Bλt+1
2 + c Aλt
1 + Bλt
2 =
= Aλt
1 λ2
1 + bλ1 + c + Bλt
2 λ2
2 + bλ2 + c = 0
Konstanty A a B volíme tak, aby byly splňeny počáteční podmínky (3.30), tedy jako řešení
soustavy lineárních (algebraických) rovnic
Aλt0
1 + Bλt0
2 = ξ0
Aλt0+1
1 + Bλt0+1
2 = ξ1.
Determinant této soustavy je
λt0
1 λt0
2
λt0+1
1 λt0+1
2
= (λ1λ2)t0
(λ2 − λ1) = 0,
což znamená, že soustava je jednoznačně řešitelná a že posloupnosti definované vztahy
x1(t) = λt
1, x2(t) = λt
2
tvoří fundamentální systém řešení lineární homogenní diferenční rovnice (3.29).
Posloupnost definovaná vztahem (3.32), kde konstanty A, B jsou dány vztahy
A =
ξ1 − ξ0λ2
λt0
1 (λ1 − λ2)
, B =
ξ1 − ξ0λ1
λt0
2 (λ2 − λ1)
3.2. LINEÁRNÍ ROVNICE K-TÉHO ŘÁDU 43
je řešením počáteční úlohy (3.29), (3.30). Explicitněji můžeme řešení úlohy (3.29), (3.30)
vyjádřit formulí
x(t) =
ξ1 − ξ0λ2
λ1 − λ2
λt−t0
1 −
ξ1 − ξ0λ1
λ1 − λ2
λt−t0
2 .
Pokud jsou počáteční podmínky takové, že ξ1 − ξ0λ2 = 0, můžeme řešení úlohy (3.29),
(3.30) přepsat do tvaru
x(t) =
ξ1 − ξ0λ2
λ1 − λ2
λt−t0
1 1 −
ξ1 − ξ0λ1
ξ1 − ξ0λ2
λ2
λ1
t−t0
.
Nechť nejprve |λ1| > |λ2|. Pak
lim
t→∞
λ2
λ1
t−t0
= 0.
Odtud je vidět, že v případě ξ1 −ξ0λ2 = 0 „se pro velká t řešení úlohy (3.29), (3.30) chová jako
geometrická posloupnost s kvocientem λ1 . Chování řešení je tedy pro velká t určeno dominantním
charakteristickým kořenem λ1. Proto vyšetříme jeho znaménko a velikost v závislosti
na parametrech b a c.
b > 0: λ1 =
−b −
√
b2 − 4c
2
< 0 a |λ1| < 1 právě tehdy, když
−b −
√
b2 − 4c
2
> −1, tj.
2 − b >
√
b2 − 4c. Je-li b ≥ 2, pak nelze tuto nerovnost splnit; je-li b < 2 pak je tato
nerovnost ekvivalentní s nerovností 4 − 4b + b2 > b2 − 4c, tj. c > b − 1.
b < 0: λ1 =
−b +
√
b2 − 4c
2
> 0. Analogicky jako v předchozím případě zjistíme, že λ1 < 1
právě tehdy, když b > −2 a c > −b − 1.
b = 0: λ1 =
√
−c = −λ2, takže neplatí |λ1| > |λ2|.
Celkem dostáváme, že |λ1| < 1 právě tehdy, když |b| < 2 a c > |b|−1. Ještě poznamenejme, že
charakteristické kořeny mají stejné znaménko, pokud c > 0, a mají různá znaménka, pokud
c < 0.
Pokud |λ1| = |λ2|, pak λ2 = −λ1, neboť charakteristické kořeny jsou různé. Tato situace
nastává právě tehdy, když b = 0, c < 0; pro charakteristický kořen platí λ1 =
√
−c. Řešení
úlohy (3.29), (3.30) je v tomto případě tvaru
x(t) =
ξ1 + ξ0
√
−c
2
√
−c
√
−c
t−t0
−
ξ1 − ξ0
√
−c
2
√
−c
−
√
−c
t−t0
=
=
√
−c
t−t0 1 + (−1)t−t0
2
ξ0 +
1 − (−1)t−t0
2
√
−c
ξ1
a řešení úlohy (3.29), (3.30) je součinem geometrické posloupnosti s kvocientem
√
−c a posloupnosti
ohraničené, v níž se pravidelně střídají hodnoty ξ0 a
1
√
−c
ξ1.
• (ii) b2 = 4c. Vzhledem k podmínce (3.11) v tomto případě musí být b = 0. Charakteristická
rovnice (3.31) má dvojnásobný kořen λ = −1
2b a diferenční rovnice (3.29) má řešení
x(t) = −
b
2
t
(A + Bt), (3.33)
44 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
neboť
x(t + 2) + bx(t + 1) + cx(t) =
= −
b
2
t+2
A + B(t + 2) + b −
b
2
t+1
A + B(t + 1) +
b2
4
−
b
2
t
(A + Bt) =
= −
b
2
t
b2
4
(A + 2B + Bt) −
b2
2
(A + B + Bt) +
b2
4
(A + Bt) = 0.
Konstanty A a B volíme tak, aby byly splňeny počáteční podmínky (3.30), tedy jako řešení
soustavy lineárních (algebraických) rovnic
Aλt0 + Bt0λt0 = ξ0
Aλt0+1 + B(t0 + 1)λt0+1 = ξ1.
Determinant této soustavy je
λt0 t0λt0
λt0+1 (t0 + 1)λt0+1 = λ2t0
1 t0
λ (t0 + 1)λ
= λ2t0+1
= −
b
2
2t0+1
= 0,
což znamená, že soustava je jednoznačně řešitelná a že posloupnosti definované vztahy
x1(t) = λt
, x2(t) = tλt
tvoří fundamentální systém řešení lineární homogenní diferenční rovnice (3.29).
Posloupnost definovaná vztahem (3.33), kde konstanty A, B jsou dány vztahy
A = −
b
2
−t0
(t0 + 1)ξ0 +
2t0
b
ξ1 , B = − −
b
2
−t0
ξ0 +
2
b
ξ1
je řešením počáteční úlohy (3.29), (3.30). Explicitněji můžeme řešení úlohy (3.29), (3.30)
v tomto případě vyjádřit formulí
x(t) = −
b
2
t−t0
(t0 − t + 1)ξ0 +
2(t0 − t)
b
ξ1 .
Řešení diferenční rovnice je v tomto případě součinem geometrické posloupnosti s kvocientem
−
b
2
a aritmetické posloupnosti s diferencí − ξ0 +
2
b
ξ1 .
• (iii) b2 < 4c. V tomto případě je c > 0. Charakteristická rovnice (3.31) má v tomto případě
komplexně sdružené kořeny
λ1,2 = −
b
2
± i
√
4c − b2
2
=
√
c −
b
2
√
c
± i 1 −
b2
4c
=
√
c (cos ϕ ± i sin ϕ),
kde ϕ = arctg −
√
4c − b2
b
. Je tedy
cos ϕ = −
b
2
√
c
, sin ϕ = 1 −
b2
4c
,
3.2. LINEÁRNÍ ROVNICE K-TÉHO ŘÁDU 45
cos 2ϕ =
b2
4c
−
4c − b2
4c
=
b2 − 2c
2c
, sin 2ϕ = 2 −
b
2
√
c
1 −
b2
4c
= −
b
√
c
1 −
b2
4c
,
√
c cos 2ϕ + b cos ϕ +
√
c =
b2 − 2c
2
√
c
−
b2
2
√
c
+
√
c = 0,
√
c sin 2ϕ + b sin ϕ = −b 1 −
b2
4c
+ b 1 −
b2
4c
= 0.
Nyní můžeme vyjádřit řešení diferenční rovnice (3.29) jako posloupnost
x(t) =
√
c t
(A cos tϕ + B sin tϕ), (3.34)
neboť
x(t + 2) + bx(t + 1) + cx(t) =
=
√
c t+2
A cos(t + 2)ϕ + B sin(t + 2)ϕ + b
√
c
t+1
A cos(t + 1)ϕ + B sin(t + 1)ϕ +
+
√
c
t+1
c(A cos tϕ + B sin tϕ) =
=
√
c t+1
A
√
c cos(t + 2)ϕ + b cos(t + 1)ϕ +
√
c cos tϕ +
+ B
√
c sin(t + 2)ϕ + b sin(t + 1)ϕ +
√
c sin tϕ =
=
√
c t+1
A(
√
c (cos tϕ cos 2ϕ − sin tϕ sin 2ϕ) + b cos tϕ cos ϕ − b sin tϕ sin ϕ +
√
c cos tϕ)+
+ B(
√
c (sin tϕ cos 2ϕ + cos tϕ sin 2ϕ) + b(sin tϕ sin ϕ + sin tϕ) =
=
√
c t+1
A cos tϕ(
√
c cos 2ϕ + b cos ϕ +
√
c ) − sin tϕ(
√
c sin 2ϕ + b sin ϕ) +
+ B sin tϕ(
√
c cos 2ϕ + b cos ϕ +
√
c ) + costϕ(
√
c sin 2ϕ + b sin ϕ) = 0.
Konstanty A a B volíme tak, aby byly splňeny počáteční podmínky (3.30), tedy jako
řešení soustavy lineárních (algebraických) rovnic
A
√
c t0 cos t0ϕ + B
√
c t0 sin t0ϕ = ξ0
A
√
c t0+1 cos(t0 + 1)ϕ + B
√
c t0+1 sin(t0 + 1)ϕ = ξ1.
Determinant této soustavy je
√
c t0 cos t0ϕ
√
c t0 sin t0ϕ
√
c t0+1 cos(t0 + 1)ϕ
√
c t0+1 sin(t0 + 1)ϕ
=
= ct0
√
c cos t0ϕ sin(t0 + 1)ϕ − sin t0ϕ cos(t0 + 1)ϕ =
= ct0
√
c cos t0ϕ(sin t0ϕ cos ϕ + cos t0ϕ sin ϕ) − sin t0ϕ(cos t0ϕ(cos t0ϕ cos ϕ − sin t0ϕ sin ϕ) =
= ct0
√
c sin ϕ = ct0
√
4c − b2
2
= 0,
což znamená, že soustava je jednoznačně řešitelná a že posloupnosti definované vztahy
x1(t) =
√
c t
cos tϕ, x2(t) =
√
c t
sin tϕ
tvoří fundamentální systém řešení lineární homogenní diferenční rovnice (3.29).
46 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
b
c
10−1
−1
1
|λ1| < 1
λ1,2 komplexní
λ1 < 0, λ2 > 0
λ1 < 0, λ2 < 0
λ1 > 0, λ2 < 0
λ1 > 0, λ2 > 0
Obrázek 3.1: Závislost charakteristických kořenů λ1,2 lineární diferenční rovnice druhého řádu
s konstantními koeficienty x(t + 2) + bx(t + 1) + cx(t) = 0 na koeficientech b, c.
Posloupnost definovaná formulí (3.34), kde konstanty A, B jsou dány vztahy
A =
2
√
c −t0
√
4c − b2
√
c ξ0 sin(t0 + 1)ϕ − ξ1 sin t0ϕ , B =
2
√
c −t0
√
4c − b2
ξ1 cos t0ϕ −
√
c ξ0 cos(t0 + 1)ϕ
je řešením počáteční úlohy (3.29), (3.30). Explicitněji můžeme řešení úlohy (3.29), (3.30)
v tomto případě vyjádřit formulí
x(t) =
√
c t−t0
ξ0 cos(t − t0)ϕ +
2ξ1 + bξ0
√
4c − b2
sin(t − t0)ϕ .
Řešení diferenční rovnice je tedy součinem geometrické posloupnosti s kvocientem
√
c a posloupnosti
ohraničené.
Odtud plyne, že pro c < 1 je
lim
t→∞
x(t) = 0.
Poněvadž podle předpokladu je alespoň jedna z počátečních hodnot ξ0, ξ1 nenulová, tak pro
c > 1 je
−∞ = lim inf
t→∞
x(t) < lim sup
t→∞
x(t) = ∞.
Pro c = 1 platí
−|ξ0| −
|2ξ1 + bξ0|
√
4 − b2
≤ lim inf
t→∞
x(t) < lim sup
t→∞
x(t) ≤ |ξ0| +
|2ξ1 + bξ0|
√
4 − b2
.
Výsledky analýzy charakteristické rovnice (3.31) lineární homogenní diferenční rovnice druhého
řádu (3.29) jsou zobrazeny na obrázku 3.1.
Ještě poznamenejme, že pokud by c = 0, rovnice (3.29) by se redukovala na lineární
diferenční rovnici prvního řádu, která má řešení
x(t) = x(t0)(−b)t−t0
.
3.2. LINEÁRNÍ ROVNICE K-TÉHO ŘÁDU 47
Úloha (3.29), (3.30) by pak měla řešení jedině v případě ξ1 = −bξ0.
Věta 18. Nechť λp je r-násobný kořen charakteristické rovnice (3.28). Pak každá z posloupností
definovaných vztahem
x(t) = tq
λt
p, q = 0, 1, 2, . . . , r − 1
je řešením lineární homogenní diferenční rovnice (3.26).
Důkaz: Položíme γk = 1 a polynom na levé straně rovnice (3.28) označíme P(λ), tj.
P(λ) =
k
i=1
γiλi
.
Nejprve dokážeme pomocné tvrzení: Ke každému přirozenému číslu s a každému přirozenému
číslu j ∈ {0, 1, 2, . . . , s} existuje polynom ps,j stupně nejvýše s ve dvou proměnných t, λ
takový, že
k
i=0
γi(t + i)s
λi
=
s
j=0
ps,j(t, λ)P(j)
(λ).
Tvrzení dokážeme úplnou indukcí vzhledem k proměnné s. Pro s = 0 je
k
i=0
γi(t + i)0
λi
=
k
i=0
γiλi
= P(λ) = 1P(0)
(λ),
tedy p0,0 ≡ 1.
Indukční krok je obsažen ve výpočtu:
k
i=0
γi(t + i)s+1
λi
=
k
i=0
γi(t + i)s
(t + i)λi
= t
k
i=0
γi(t + i)s
λi
+ λ
k
i=1
γi(t + i)s
iλi−1
=
= t
s
j=0
ps,j(t, λ)P(j)
(λ) + λ
k
i=1
γi(t + i)s d
dλ
λi
=
= t
s
j=0
ps,j(t, λ)P(j)
(λ) + λ
d
dλ
k
i=1
γi(t + i)s
λi
=
= t
s
j=0
ps,j(t, λ)P(j)
(λ) + λ
d
dλ
k
i=0
γi(t + i)s
λi
− γ0ts
=
= t
s
j=0
ps,j(t, λ)P(j)
(λ) + λ
d
dλ


s
j=0
ps,j(t, λ)P(j)
(λ) − γ0ts

 =
= t
s
j=0
ps,j(t, λ)P(j)
(λ) + λ
s
j=0
∂ps,j(t, λ)
∂λ
P(j)
(λ) + ps,j(t, λ)P(j+1)
(λ) =
=
s
j=0
tps,j(t, λ) + λ
∂ps,j(t, λ)
∂λ
P(j)
(λ) + λ
s+1
j=1
ps,j−1(t, λ)P(j)
(λ) =
48 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
= tps,0(t, λ) + λ
∂ps,0(t, λ)
∂λ
P(λ)+
+
s
j=1
tps,j(t, λ) + λ
∂ps,j(t, λ)
∂λ
+ λps,j−1(t, λ) P(j)
(λ)+
+ λps,s(t, λ)P(s+1)
(λ).
Stačí tedy položit
ps+1,0(t, λ) = tps,0(t, λ) + λ
∂ps,0(t, λ)
∂λ
,
ps+1,j(t, λ) = tps,j(t, λ) + λ
∂ps,j(t, λ)
∂λ
+ λps,j−1(t, λ) pro j = 1, 2, . . . , s,
ps+1,s+1(t, λ) = λps,s(t, λ)
a pomocné tvrzení je dokázáno.
Nechť nyní λp je r-násobný kořen charakteristické rovnice. Pak je také kořenem derivací
polynomu P až do řádu r − 1, tj.
P(j)
(λp) = 0 pro j = 0, 1, 2, . . . , r − 1.
Nyní pro x(t) = tqλt
p, q ∈ {0, 1, 2, . . . , r − 1}, podle pomocného tvrzení platí
k
i=0
γix(t + i) =
k
i=0
γi(t + i)q
λt+i
p = λt
k
i=0
γi(t + i)q
λi
p = λt
q
j=0
pq,j(t, λ)P(j)
(λ) = 0.
Věta 19. Nechť λc = a(cos ϕ+ i sin ϕ) je r-násobný komplexní kořen charakteristické rovnice
(3.28). Pak každá z posloupností definovaných některým ze vztahů
x1(t) = tq
at
cos tϕ, x2(t) = tq
at
sin tϕ, q = 0, 1, 2, . . . , r − 1
je řešením lineární homogenní diferenční rovnice (3.26).
Důkaz: Poněvadž polynom na levé straně rovnice (3.28) má reálné koeficienty, je také komplexně
sdružené číslo ¯λc = a(cos ϕ − i sin ϕ) kořenem charakteristické rovnice (3.28) a má
stejnou násobnost r. Podle Věty 18 (v níž jsme nepředpokládali, že by kořen charakteristické
rovnice byl reálný), je každá z posloupností definovaných vztahem
˜x1(t) = tq
at
(cos tϕ + i sin tϕ), ˜x2(t) = tq
at
(cos tϕ − i sin tϕ), q = 0, 1, 2, . . . , r − 1
řešením rovnice (3.26). Podle principu superpozice jsou také posloupnosti
x1(t) =
1
2
˜x1(t) + ˜x2(t) , x2(t) =
1
2i
˜x1(t) − ˜x2(t)
řešením této rovnice.
3.2. LINEÁRNÍ ROVNICE K-TÉHO ŘÁDU 49
Důsledek 2. Každému reálnému r-násobnému charakteristickému kořenu λ odpovídá r řešení
lineární homogenní rovnice (3.26)
λt
, tλt
, t2
λt
, . . . , tr−1
λt
a každému komplexnímu r-násobnému charakteristickému kořenu a(cos ϕ + i sin ϕ) odpovídá
2r řešení lineární homogenní rovnice (3.26)
at
cos tϕ, tat
cos tϕ, t2
at
cos tϕ, . . . , tr−1
at
cos tϕ,
at
sin tϕ, tat
sin tϕ, t2
at
sin tϕ, . . . , tr−1
at
sin tϕ.
Důsledek 3. Nechť
λ1, λ2, . . . , λk1
jsou všechny jednoduché reálné různé charakteristické kořeny,
λk1+1, λk1+2, . . . , λk2
jsou všechny reálné různé charakteristické kořeny, které mají násobnosti rk1+1, rk1+2, . . . , rk2
(v tomto pořadí) a
ak2+1(cos ϕk2+1 + i sin ϕk2+1), ak2+2(cos ϕk2+2 + i sin ϕk2+2), . . . , ak3 (cos ϕk3 + i sin ϕk3 )
jsou všechny komplexní charakteristické kořeny takové, že žádné dva z nich nejsou komplexně
sdružené a mají násobnosti rk2+1, rk2+2, . . . , rk3 (v tomto pořadí). Přitom samozřejmě platí
k1 +
k2
i=k1+1
ri + 2
k3
i=k2+1
ri = k.
Pak posloupnost definovaná vztahem
x(t) =
k1
i=1
Aiλt
i +
k2
i=k1+1
ri−1
j=0
Bijtj
λt
i +
k3
i=k2+1
ri−1
j=0
Cijtj
at
i cos tϕi +
k3
i=k2+1
ri−1
j=0
Dijtj
at
i sin tϕi,
(3.35)
kde Ai, Bij, Cij, Dij jsou konstanty, je řešením lineární homogenní rovnice (3.26).
Nechť existuje charakteristický kořen, jehož modul (absolutní hodnota) je větší, než moduly
všech ostatních charakteristických kořenů. Takový charakteristický kořen musí být reálný
a jednoduchý, můžeme ho tedy označit λ1. Platí
|λ1| > |λi| pro i = 2, 3, . . . , k2, |λ1| > ai pro i = k2 + 1, k2 + 2, . . . , k3.
Charakteristický kořen λ1 s těmito vlastnostmi nazveme ryze dominantní. Nyní pro řešení
x(t) rovnice (3.26) definované vztahem (3.35) za předpokladu A1 = 0 platí
lim
t→∞
x(t)
A1λt
1
= lim
t→∞

1 +
k1
i=2
Ai
A1
λi
λ1
t
+
k2
i=k1+1
ri−1
j=0
Bij
A1
tj λi
λ1
t
+
+
k3
i=k2+1
ri−1
j=0
Cij
A1
tj ai
λ1
t
cos tϕi +
k3
i=k2+1
ri−1
j=0
Dij
A1
tj ai
λ1
t
sin tϕi

 = 1.
Dostáváme tak
50 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
Důsledek 4. Pokud existuje ryze dominantní charakteristický kořen λ1 a konstanta A1 v řešení
(3.35) rovnice (3.26) je nenulová, pak toto řešení je asymptoticky ekvivalentní s geometrickou
posloupností s kvocientem λ1.
Řekneme, že charakteristický kořen je dominantní, pokud jeho modul není menší než
modul jakéhokoliv charakteristického kořene, tj. dominantní charakteristický kořen má maximální
modul. Označme tento maximální modul symbolem Λ.
Nechť jsou charakteristické kořeny označeny jako v Důsledku 3 a navíc platí
|λ1| ≥ |λ2| > |λ3| ≥ |λ4| ≥ · · · ≥ |λk1 |,
|λk1+1| ≥ |λk1+2| ≥ · · · ≥ |λk2 |, ak2+1 ≥ ak2+2 ≥ · · · ≥ ak3 .
Položme
l1 =



2, Λ = |λ2|,
1, Λ = |λ1| > |λ2|,
0, Λ > |λ1|,
l2 =
max i ∈ {k2 + 1, k2 + 2, . . . , k3} : ai = Λ , Λ = ak2+1,
k2, Λ > ak2+1.
Nechť dominantní charakteristické kořeny jsou jednoduché, tj. |λk1+1| < Λ a pokud l2 > k2
tak max ri : i ∈ {k2 + 1, k2 + 2, . . . , l2} = 1. Označme
y(t) =
l1
i=1
Ai(sgn λi)t
+
l2
i=k2+1
(Ci0 cos tϕi + Di0 sin tϕi).
Pak
x(t)
Λt
− y(t) =
k1
i=l1+1
Ai
λi
Λ
t
+
k2
i=k1+1
ri−1
j=0
Bijtj λi
Λ
t
+
+
k3
i=l2+1
ri−1
j=0
Cijtj ai
Λ
t
cos tϕi +
k3
i=l2+1
ri−1
j=0
Dijtj ai
Λ
t
sin tϕi.
Limita pro t → ∞ posloupnosti na pravé straně této rovnosti je rovna 0. To — zhruba řečeno
— znamená, že „pro dostatečně velké t se řešení rovnice (3.26) chová jako posloupnost y .
Poněvadž pro libovolné t platí nerovnosti
−∞ < −
l1
i=1
|Ai|−
l2
i=k2+1
|Ci0|+|Di0| ≤ y(t) ≤ ∞ < −
l1
i=1
|Ai|+
l2
i=k2+1
|Ci0|+|Di0| < ∞,
je
−∞ < m = lim inf
t→∞
y(t) ≤ lim sup
t→∞
= M < ∞,
pro řešení x(t) rovnice (3.26) definované rovností (3.35) platí
mΛt
≤ x(t) ≤ MΛt
.
3.2. LINEÁRNÍ ROVNICE K-TÉHO ŘÁDU 51
3.2.4 Rovnice s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou
Uvažujme nehomogenní lineární diferenční rovnici k-tého řádu druhého typu
x(t + k) + γk−1x(t + k − 1) + · · · + γ1x(t + 1) + γ0 = b(t) (3.36)
a k ní přidruženou lineární homogenní rovnici (3.26). Označme polynomiální operátor posunu
z levé strany operátorové rovnice (3.27) symbolem PΣ; homogenní rovnici (3.26) tedy můžeme
zapsat ve tvaru
PΣ
x(t) ≡ 0 nebo PΣ
x = 0,
a nehomogenní rovnici ve tvaru
PΣ
x(t) = b(t) nebo PΣ
x = b.
Definice 19. Nechť p ∈ P je posloupnost, β0, β1, . . . , βl ∈ R jsou konstanty takové, že
β0 = 0 = βl, a nechť RΣ je polynomiální operátor posunu, RΣ =
l
i=0
βi ·σi
. Řekneme, že
operátor RΣ je anihilátor posloupnosti p, pokud
RΣ
p ≡ 0.
Podle této terminologie je PΣ anihilátorem každého řešení homogenní rovnice (3.26).
Nechť existuje anihilátor QΣ =
l
i=0
βi ·σi
posloupnosti b, která je na pravé straně nehomogenní
rovnice (3.36). To znamená, že b je řešením nějaké lineární homogenní rovnice
s konstatntními koeficienty, takže podle Důsledku 2 je posloupnost b lineární kombinací výrazů
κt, tmκt, cos tψ, sin tψ, tn cos tψ, tn sin tψ. Nechť dále y je řešením nehomogenní rovnice
(3.36). Pak platí
QΣ
PΣ
y ≡ 0. (3.37)
To znamená, že řešení nehomogenní lineární rovnice k-tého řádu je současně řešením lineární
rovnice (k + l)-tého řádu.
Nechť λ1, λ2, . . . , λp, p ≤ k, jsou charakteristické kořeny homogenní rovnice
PΣ
x ≡ 0
a µ1, µ2, . . . , µq, q ≤ l, jsou charakteristické kořeny homogenní rovnice
QΣ
x ≡ 0.
Nyní rozlišíme dva případy.
Případ 1: {λ1, λ2, . . . , λp} ∩ {µ1, µ2, . . . , µq} = ∅. V tomto případě můžeme psát řešení
nehomogenní rovnice podle tabulky 3.1. Takové obecně zapsané řešení dosadíme do rovnice
(3.36) a vypočítáme konstanty Cj, Dj.
Případ 2: {λ1, λ2, . . . , λp}∩{µ1, µ2, . . . , µq} = ∅. V tomto případě nejprve najdeme obecné
řešení homogenní rovnice (3.37) a vynecháme v něm všechny členy, které se vyskytují v obecném
řešení přidružené homogenní rovnice (3.26). Tím dostaneme řešení nehomogenní rovnice
(3.36) s neurčitými koeficienty, které určíme dosazením do původní rovnice (3.36).
52 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
b(t) tvar řešení
at C1at
tm C0 + C1t + C2t2 + · · · + Cmtm
tmat at C0 + C1t + C2t2 + · · · + Cmtm
sin ψt, cos ψt C1 sin ψt + C2 cos ψt
at sin ψt, at cos ψt at (C1 sin ψt + C2 cos ψt)
attm sin ψt, attm cos ψt at [(C0 + C1t + · · · + Cmtm) sin ψt+
+ (D0 + D1t + · · · + Dmtm) cos ψt]
Tabulka 3.1: Tvary řešení nehomogenní rovnice (3.36) pro různé pravé strany b.
3.3 Systémy lineárních rovnic prvního řádu
Systém k lineárních diferenčních rovnic druhého typu (rekurentních formulí) je tvaru
x1(t + 1) = a11(t)x1(t) + a12(t)x2(t) + · · · + a1k(t)xk(t) + b1(t),
x2(t + 1) = a21(t)x1(t) + a22(t)x2(t) + · · · + a2k(t)xk(t) + b2(t),
...
xk(t + 1) = ak1(t)x1(t) + ak2(t)x2(t) + · · · + akk(t)xk(t) + bk(t).
(3.38)
O posloupnostech aij, bi, i, j = 11, 2, . . . , k předpokládáme, že mají všechny stejný definiční
obor. Při označení
x(t) =





x1(t)
x2(t)
...
xk(t)





, b(t) =





b1(t)
b2(t)
...
bk(t)





, A(t) =





a11(t) a12(t) . . . a1k(t)
a21(t) a22(t) . . . a2k(t)
...
...
...
...
ak1(t) ak2(t) . . . akk(t)





můžeme systém (3.38) přepsat ve vektorovém tvaru
x(t + 1) = A(t)x(t) + b(t). (3.39)
Pokud je vektor b v každém indexu t nulový, nazývá se systém (3.38) homogenní, v opačném
případě se nazývá nehomogenní. Je-li každá z posloupností aij, i, j = 1, 2, . . . , k, stacionární,
mluvíme o systému s konstantními koeficienty.
Podle Tvrzení 10 je lineární diferenční rovnice k-tého řádu (3.13) ekvivalentní se systémem
k lineárních diferenčních rovnic prvního řádu
x1(t) = x2(t),
x2(t) = x3(t),
...
xk−1(t) = xk(t),
xk(t) = −c0(t)x1(t) − c1(t)x2(t) − · · · − ck−1(t)xk(t) + b(t).
Tento systém můžeme opět zapsat ve vektorovém tvaru (3.39), kde maticová posloupnost A
3.3. SYSTÉMY LINEÁRNÍCH ROVNIC PRVNÍHO ŘÁDU 53
a vektorová posloupnost v jsou dány vztahy
A(t) =







0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . 1
−c0(t) −c1(t) −c2(t) . . . −ck−1(t)







, b(t) =









0
0
0
...
0
b(t)









.
Příklad: Systém dvou lineárních rovnic.
Uvažujme systém rovnic
x1(t + 1) = a11(t)x1(t) + a12(t)x2(t) + b1(t),
x2(t + 1) = a21(t)x1(t) + a22(t)x2(t) + b2(t).
(3.40)
Budeme předpokládat, že první rovnice je skutečně rovnice pro dvě posloupnosti, tj. že posloupnost
a12 je v každém indexu nenulová. Za tohoto předpokladu můžeme provést následující
výpočet.
V první rovnici tohoto systému budeme psát index t+1 místo indexu t, potom za x2(t+1)
dosadíme pravou stranu druhé rovnice a poté dosadíme posloupnost x2(t) vyjádřenou z první.
Dostaneme tak
x1(t + 2) = a11(t + 1)x1(t + 1) + a12(t + 1)x2(t + 1) + b1(t + 1) =
= a11(t + 1)x1(t + 1) + a12(t + 1) a21(t)x1(t) + a22(t)x2(t) + b2(t) + b1(t + 1) =
= a11(t + 1)x1(t + 1) + a12(t + 1)a21(t)x1(t)+
+ a12(t + 1)a22(t)
x1(t + 1) − a11(t)x1(t) − b1(t)
a12(t)
+ a12(t + 1)b2(t) + b1(t + 1) =
= a11(t + 1) +
a12(t + 1)
a12(t)
a22(t) x1(t + 1)+
+
a12(t + 1)
a12(t)
a12(t)a21(t) − a11(t)a22(t) x1(t)+
+ b1(t + 1) −
a12(t + 1)
a12(t)
a22(t)b1(t) + a12(t + 1)b2(t).
To znamená, že první složka řešení systému (3.40) splňuje lineární diferenční rovnici druhého
řádu. Analogicky dostaneme, že i druhá složka řešení systému (3.40) splňuje lineární diferenční
rovnici druhého řádu
x2(t + 2) =
a21(t + 1)
a21(t)
a11(t) + a22(t + 1) x2(t + 1)+
+
a21(t + 1)
a21(t)
a21(t)a12(t) − a11(t)a22(t) x2(t)+
+ b2(t + 1) −
a21(t + 1)
a21(t)
a11b2(t) + a21(t + 1)b1(t)
za předpokladu, že posloupnost a21 je v každém indexu nenulová.
54 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
Všimněme si ještě lineární diferenční rovnice druhého řádu
x(t + 2) + c1x(t + 1) + c0x(t) = b(t). (3.41)
Položíme-li x1(t) = x(t) a x2(t) = x(t+1), můžeme tuto rovnici přepsat jako systém lineárních
diferenčních rovnic
x1(t + 1) = x2(t),
x2(t + 1) = −c0x1(t)−c1x2(t)+b(t).
Toto pozorování ukazuje, že struktura na množině řešení systému (3.40) a struktura na množině
řešení rovnice (3.40) je stejná. Zejména tedy množina řešení lineárního homogenního
systému dvou rovnic
x1(t + 1) = a11(t)x1(t) + a12(t)x2(t),
x2(t + 1) = a21(t)x1(t) + a22(t)x2(t)
takového, že a12(t) = 0 = a21(t) pro všechny indexy t ∈ Dom a12 = Dom a21, tvoří vektorový
prostor dimenze 2.
Uvažujme nyní speciální případ systému (3.40), a to homogenní systém s konstantními
koeficienty
x1(t + 1) = α11x1(t) + α12x2(t),
x2(t + 1) = α21x1(t) + α22x2(t),
(3.42)
nebo ve vektorovém tvaru
x(t + 1) = Ax(t),
kde
x =
x1
x2
, A =
α11 α12
α21 α22
.
Podle předchozích výpočtů obě složky tohoto systému splňují tutéž lineární diferenční rovnici
prvního řádu
x1,2(t + 1) = (α11 + α22) x1,2(t + 1) − (α11α22 − α12α22) x1,2(t),
kterou můžeme stručněji zapsat ve tvaru
x1,2(t + 1) − (tr A) x1,2(t + 1) + (det A) x1,2(t) = 0.
Z řešení příkladu na str. 42–47 nyní zejména plyne:
(i) Je-li | tr A| − 1 < det A < 1, pak pro každé řešení systému (3.42) platí
lim
t→∞
x1(t) = lim
t→∞
x2(t) = 0
(oba charakteristické kořeny jsou v absolutní hodnotě menší než 1).
(ii) Je-li | tr A| − 1 > det A nebo det A > 1, pak existuje řešení systému (3.42) takové, že
lim
t→∞
|x1(t)| = ∞ nebo lim
t→∞
|x2(t)| = ∞
(dominantní charakteristický kořen je v absolutní hodnotě větší než 1).
(iii) Je-li tr A > 0 a 1 < det A < 1
4 (tr A)2
, pak obě složky libovolného řešení systému (3.42)
jsou ryze monotonní (oba charakteristické kořeny jsou reálné a kladné).
3.4. NELINEÁRNÍ ROVNICE TRANSFORMOVATELNÉ NA LINEÁRNÍ 55
3.4 Nelineární rovnice transformovatelné na lineární
3.4.1 Ricattiho rovnice
Riccatiho diferenční rovnice zapsaná jako explicitní rovnice prvního typu nebo rekurentní
formule je tvaru
∆x =
p(t)x2 + q(t)x + r(t)
1 − p(t)x
nebo x(t + 1) =
1 + q(t) x(t) + r(t)
1 − p(t)x(t)
. (3.43)
Rekurentní formuli můžeme také upravit na tvar
−
p(t)
1 + q(t)
x(t + 1)x(t) +
1
1 + q(t)
x(t + 1) − x(t) = 0. (3.44)
Riccatiho rovnici řešíme pomocí substituce
x(t) = −
∆y(t)
p(t)y(t)
=
y(t) − y(t + 1)
p(t)y(t)
.
Dosadíme do rekurentní formule (3.43) a postupně upravujeme:
y(t + 1) − y(t + 2)
p(t + 1)y(t + 1)
=
1 + q(t)
y(t) − y(t + 1)
p(t)y(t)
+ r(t)
1 −
y(t) − y(t + 1)
y(t)
y(t + 1) − y(t + 2)
p(t + 1)y(t)
= 1 + q(t)
y(t) − y(t + 1)
p(t)y(t)
+ r(t)
y(t + 1) − y(t + 2) = −
1 + q(t) p(t + 1)
p(t)
y(t + 1) +
1 + q(t)
p(t)
+ r(t)p(t + 1) y(t).
Odtud vidíme, že posloupnost y je řešením lineární homogenní diferenční rovnice druhého
řádu
y(t + 2) −
p(t) + p(t + 1) + q(t)p(t + 1)
p(t)
y(t + 1) +
1 + q(t)
p(t)
+ r(t)p(t + 1) y(t) = 0.
3.4.2 Bernoulliova rovnice
Jedná se o rovnici
∆x1−α
= a(t) − 1 x1−α
+ b(t),
kterou můžeme přepsat jako rekurentní formuli ve tvaru
x(t + 1)1−α
= a(t)x(t)1−α
+ b(t). (3.45)
Přitom α = 1 je reálné číslo. Substitucí
x(t)1−α
= y(t)
Bernoulliova rovnice přejde na nehomogenní lineární rovnici
y(t + 1) = a(t)y(t) + b(t).
56 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
Případ α = 2 (rovnice Riccatiho typu):
Rovnici (3.45) s α = 2
1
x(t + 1)
=
a(t)
x(t)
+ b(t)
můžeme upravit na tvar
b(t)x(t + 1)x(t) + a(t)x(t + 1) − x(t) = 0. (3.46)
Porovnáním s rovnicí (3.44) vidíme, že Riccatiho rovnice s parametry
r ≡ 0, q(t) =
1
a(t)
− 1, a p(t) = −
b(t)
a(t)
je rovnicí (3.46); Bernoulliova rovnice s α = 2 je vskutku speciálním případem Riccatiho
rovnice. Můžeme ji však vyřešit pomocí jednodušší substituce
x(t) =
1
y(t)
. (3.47)
Rovnici (3.46) můžeme také přepsat jako rekurentní formuli prvního řádu
x(t + 1) =
x(t)
b(t)x(t) + a(t)
nebo diferenční rovnici prvního typu
∆x = x
1 − a(t) − b(t)x
a(t) + b(t)x
.
Rovnici můžeme také zapsat ve tvaru
x(t + 1) − x(t) =
1 − a(t)
a(t)
x(t) 1 −
b(t)
1 − a(t)
x(t + 1) ,
nebo stručněji s využitím operátorů posunu a diference
∆x =
1 − a(t)
a(t)
x 1 −
b(t)
1 − a(t)
xσ
.
Příklad: Logistická rovnice Evelyny C. Pielou.
Jako rekurentní formule je tato rovnice tvaru
x(t + 1) = x(t)
rK
K + (r − 1)x(t)
, (3.48)
kde r, K jsou kladné konstanty, r > 1. Můžeme ji přepsat jako explicitní diferenční rovnici
prvního typu
∆x = (r − 1)x
K − x
K + (r − 1)x
3.4. NELINEÁRNÍ ROVNICE TRANSFORMOVATELNÉ NA LINEÁRNÍ 57
nebo s použitím operátoru posunu σ ve tvaru
∆x = (r − 1)x 1 −
xσ
K
.
Z těchto vyjádření je vidět, že se jedná o rovnici Riccatiho typu (3.46) s a ≡
1
r
a b ≡
r − 1
rK
.
Rovnici (3.48) řešíme substitucí (3.47). Po dosazení dostaneme
1
y(t + 1)
=
rK
y(t)
y(t)
Ky(t) + r − 1
a po úpravě
y(t + 1) =
1
r
y(t) +
r − 1
rK
,
nebo ve tvaru diferenční rovnice prvního typu
∆y = −
r − 1
r
y +
r − 1
rK
.
Tato lineární rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty má podle výsledků odstavce
3.1.2 řešení
y(t) =
1
x0
−
1
K
1
r
t−t0
+
1
K
=
(K − x0)r−(t−t0) + x0
Kx0
,
kde x0 = x(t0). Řešení rovnice (3.48) tedy je
x(t) =
Kx0
x0 + (K − x0)r−(t−t0)
.
Z podmínky r > 1 plyne, že lim
t→∞
r−(t−t0) = 0, takže pro každou počáteční podmínku x0 = 0
řešení x splňuje
lim
t→∞
x(t) = lim
t→∞
Kx0
x0 + (K − x0)r−(t−t0)
= K.
Pro x0 = 0 je řešení x ≡ 0.
3.4.3 Rovnice x(t + k)rk(t)
x(t + k − 1)rk−1(t)
· · · x(t + 1)r1(t)
x(t)r0(t)
= b(t)
Přitom r0, r1, . . . , rk jsou posloupnosti takové, že r0(t) = 0 = rk(t) pro všechna t s definičního
oboru. Substitucí
x(t) = ez(t)
(3.49)
tj. z(t) = ln x(t) převedeme uvažovanou rovnici na tvar
erk(t)z(t+k)+rk−1(t)z(t+k−1)+···+r1(t)z(t+1)+r0(t)z(t)
= b(t),
a dále na lineární rovnici k-tého řádu
z(t + k) +
rk−1(t)
rk(t)
z(t + k − 1) + · · · +
r1(t)
rk(t)
z(t + 1) +
r0(t)
rk(t)
z(t) = ln b(t).
Povšimněme si, že z transformačního vztahu (3.49) plyne, že řešení původní rovnice musí být
kladné. Uvedený postup tedy můžeme použít pouze v případě, že počáteční hodnoty hledané
posloupnosti splňují podmínky
x(t0) = x0 > 0, x(t0 + 1) = x1 > 0. . . . , x(t0 + k − 1) = xk−1 > 0.
58 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
Příklad: Logistická rovnice x(t + 1) = 2x(t) 1 − x(t) .
Uvažujme počáteční úlohu pro rekurentní formuli prvního řádu
x(t + 1) = 2x(t) 1 − x(t) , x(t0) = x0. (3.50)
Tuto úlohu můžeme přepsat jako počáteční úlohu pro explicitní diferenční rovnici prvního
řádu ve tvaru
∆x = x(1 − 2x).
Úlohu vyřešíme pro počáteční podmínku x0 ∈ 0, 1
2 . Nejprve zavedeme substituci
y(t) = 1 − 2x(t), tj. x(t) =
1
2
1 − y(t) .
Po dosazení a úpravách postupně dostaneme
1
2
1 − y(t + 1) = 1 − y(t) 1 −
1
2
1 − y(t)
1
2
1 − y(t + 1) =
1
2
1 − y(t)2
y(t + 1) = y(t)2
y(t + 1)y(t)−2
= 1.
Dostali jsme tedy rovnici typu uvažovaného v tomto odstavci s k = 1, r1 ≡ 1, r0 ≡ −2, b ≡ 1.
Substitucí z(t) = ln y(t) tato rovnice přejde na lineární homogenní rekurentní formuli prvního
řádu
z(t + 1) = 2z(t).
Je tedy z(t) = z(t0)2t−t0 , kde z(t0) = ln y(t0) = ln 1 − 2x(t0) = ln(1 − 2x0), takže
ln y(t) = z(t) = 2t−t0
ln(1 − 2x0).
Odtud dále dostaneme y(t) = (1 − 2x0)2t−t0
a to znamená, že řešení úlohy (3.50) je
x(t) =
1
2
1 − (1 − 2x0)2t−t0
.
Ještě poznamenejme, že z podmínky 0 < x0 < 1
2 plyne 0 < 1 − 2x0 < 1 a odtud dále plyne
lim
t→∞
x(t) =
1
2
−
1
2
lim
t→∞
(1 − 2x0)2t−t0
=
1
2
.
3.4.4 Logistická rovnice x(t + 1) = 4x(t) 1 − x(t)
Uvažujme počáteční úlohu pro rekurentní formuli prvního řádu
x(t) = 4x(t) 1 − x(t) , x(t0) = x0, (3.51)
kterou můžeme přepsat jako počáteční úlohu pro diferenční rovnici prvního typu ve tvaru
∆x = 3x(1 − 4x), x(t0) = x0.
3.4. NELINEÁRNÍ ROVNICE TRANSFORMOVATELNÉ NA LINEÁRNÍ 59
Bude nás zajímat kladné řešení. Proto se musíme omezit na počáteční podmínky x0 ∈ (0, 1);
jinak by hned x(t0 + 1) < 0. Zavedeme substituci
y(t) = arcsin x(t), tj. x(t) = sin y(t)
2
.
Dosazením do pravé strany rovnice (3.51) dostaneme
4 sin y(t)
2
1 − sin(y(t)
2
= 2 sin y(t) cos y(t)
2
= 2 sin 2y(t)
2
.
Posloupnost y tedy má splňovat rovnici
sin y(t + 1)
2
= sin 2y(t)
2
,
neboli sin y(t + 1) = ± sin 2y(t). Tato rovnost je splněna pouze tehdy, když y(t + 1) se liší od
y(t) o nějaký násobek π; o sudý násobek v případě znaménka „+ , o lichý násobek v případě
znaménka „− . Dostáváme tak nekonečně mnoho lineárních nehomogenních rekurentních
formulí prvního řádu
y(t + 1) = 2y(t) + kπ, k ∈ Z.
Podle výsledků odstavce 3.1.2 mají tyto rovnice řešení
y(t) = y(t0) + kπ 2t−t0
− kπ = y(t0)2t−t0
+ 2t−t0
− 1 kπ.
Přitom y(t0) = arcsin
√
x0. Platí tedy
sin y(t) = sin y(t0)2t−t0
+ 2t−t0
− 1 kπ = − sin y(t0)2t−t0
= − sin 2t−t0
arcsin
√
x0 ,
takže řešení úlohy (3.51) je
x(t) = sin 2t−t0
arcsin
√
x0
2
.
3.4.5 Rovnice x(t + 1)2
+ a(t)x(t + 1)x(t) + b(t)x(t)2
= 0
Tato rovnice má řešení x ≡ 0. Budeme hledat také řešení nenulová. Upravíme proto rovnici
na tvar
x(t + 1)
x(t)
2
+ a(t)
x(t + 1)
x(t)
+ b(t) = 0
a dále pravou stranu přepíšeme jako součin dvou výrazů
x(t + 1)
x(t)
− p(t)
x(t + 1)
x(t)
− q(t) = 0,
kde
p(t) =
1
2
−a(t) + a(t)2 − 4b(t) a q(t) =
1
2
−a(t) − a(t)2 − 4b(t) .
Odtud vidíme, že řešení každé z lineárních homogenních diferenčních rovnic prvního řádu
x(t + 1) = p(t)x(t) a x(t + 1) = q(t)x(t)
je také řešením původní rovnice.
60 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
Kapitola 4
Autonomní rovnice
4.1 Autonomní rovnice prvního řádu
Autonomní diferenční rovnice prvního řádu je taková rovnice, v níž se index posloupnosti t
nevyskytuje explicitně. Ve tvaru rekurentní formule ji můžeme zapsat jako
x(t + 1) = f x(t) , (4.1)
kde f : R → R je taková funkce, že Im f ⊆ Dom f. Pomocí operátoru posunu σ můžeme
rovnici (4.1) zapsat ještě stručněji ve tvaru
xσ
= f(x).
Autonomní rovnice tedy mohou modelovat proces, který se odehrává v neměnných podmínkách.
U takových procesů nezáleží na tom jaký čas zvolíme za počátek, podrobněji:
Tvrzení 12. Je-li posloupnost ˜x řešením rovnice (4.1) s počáteční podmínkou ˜x(t0) = ξ0,
pak posloupnost x definovaná vztahem x(t) = ˜x(t + t0) je řešením rovnice (4.1) s počáteční
podmínkou x(0) = ξ0.
Důkaz: Posloupnost x je řešením rovnice (4.1), neboť
x(t + 1) = ˜x(t + 1 + t0) = ˜x (t + t0) + 1 = f ˜x(t + t0) = f x(t) ,
a splňuje počáteční podmínku x(0) = ˜x(0 + t0) = ˜x(t0) = ξ0.
Bez újmy na obecnosti tedy můžeme rovnici (4.1) uvažovat s počáteční podmínkou
x(0) = ξ0; (4.2)
přitom musí být ξ0 ∈ Dom f.
Úlohu (4.1), (4.2) můžeme řešit tak, že postupně počítáme jednotlivé členy posloupnosti
řešení, tj.
x(0) = ξ0,
x(1) = f x(0) = f(ξ0),
x(2) = f x(1) = f f(ξ0) = f2(ξ0),
...
x(t) = ft(ξ0),
...
61
62 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE
Posloupnost x je tedy řešením úlohy (4.1), (4.2) právě tehdy, když x(t) = ft(ξ0) pro každý
index t ∈ N. Z tohoto vyjádření je vidět, že z ohraničenosti funkce f plyne ohraničenost řešení
rovnice (4.1). Podrobněji:
Tvrzení 13. Pokud existuje konstanta h ∈ R, resp. H ∈ R, taková, že h ≤ f(x), resp.
f(x) ≤ H, pro všechna x ∈ Dom f, pak pro každé řešení x rovnice (4.1) a pro všechny indexy
t > 0 platí h ≤ x(t), resp. x(t) ≤ H.
O odhadu řešení úlohy (4.1), (4.2) z jiného pohledu vypovídá následující
Tvrzení 14. Jestliže existuje číslo q > 0 takové, že pro všechna ξ ∈ Dom f platí
f(ξ) ≤ qξ, resp. f(ξ) ≥ qξ,
pak řešení úlohy (4.1), (4.2) splňuje nerovnost
x(t) ≤ ξ0qt
, resp. x(t) ≥ ξ0qt
pro každý index t ∈ N.
Důkaz: Nechť f(ξ) ≤ qξ pro každé ξ ∈ Dom f a x je řešení úlohy (4.1), (4.2). Připusťme, že
existuje index t posloupnosti x takový, že x(t) > ξ0qt. Položme
t1 = min t ∈ N : x(t) > ξ0qt
.
Pak x(t1) > ξ0qt1 a x(t1 − 1) ≤ ξ0qt1−1. Z předpokladu nyní dostaneme
ξ0qt1
< x(t1) = f x(t1 − 1) ≤ qx(t1 − 1) ≤ ξ0qt1
,
což je spor.
4.1.1 Rovnovážné body a jejich stabilita
Definice 20. Množina bodů T (ξ0) = {fn(ξ0) : n ∈ N} se nazývá (pozitivní) trajektorie bodu
ξ0 nebo orbita bodu ξ0.
Trajektorie bodu ξ0 je množinou členů řešení úlohy (4.1), (4.2).
Definice 21. Řekneme, že bod x∗ ∈ Dom f je rovnovážný (stacionární) bod rovnice (4.1),
pokud je pevným bodem funkce f, tj. pokud platí f(x∗) = x∗.
Bod x∗ je rovnovážným bodem rovnice (4.1) právě tehdy, když stacionární posloupnost
x ≡ x∗ je řešením této rovnice. To nastává právě tehdy, když x∗ je první souřadnicí průsečíku
grafu funkce f a osy prvního a třetího kvadrantu, tj. přímky o rovnici y = x.
Trajektorie rovnovážného bodu x∗ je jednoprvková, T (x∗) = {x∗}.
Definice 22. Řekneme, že rovnovážný bod x∗ rovnice (4.1) je dosažitelný z bodu ξ ∈ Dom f,
pokud existuje kladné číslo r ∈ N takové, že fr(ξ) = x∗ a fr−1(ξ) = x∗.
4.1. AUTONOMNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU 63
Je-li rovnovážný bod x∗ dosažitelný z nějakého bodu ξ = x∗, pak funkce f není prostá.
Příklad: Uvažujme rovnici
x(t + 1) = T x(t) ,
kde funkce T je definována vztahem
T(x) =
2x, 0 ≤ x < 1
2,
2 − 2x, 1
2 ≤ x ≤ 1.
Platí T(0) = 0, T(2
3) = 2 − 22
3 = 2
3, takže 0 a 2
3 jsou rovnovážné body uvažované rovnice.
Dále
T(1
3) = 2
3,
T(1
6) = 1
3, T2(1
6) = T(1
3) = 2
3,
T( 1
12) = 1
6, T2( 1
12 ) = 1
3 , T3( 1
12) = 2
3,
. . .
T
1
3 · 2n
=
1
3 · 2n−1
, T2 1
3 · 2n
=
1
3 · 2n−2
, . . . , Tn 1
3 · 2n
=
1
3
, Tn+1 1
2n
=
2
3
.
To znamená, že rovnovážný bod 2
3 je dosažitelný z každého bodu tvaru
1
3 · 2n
.
Definice 23. Nechť x∗ je rovnovážný bod rovnice (4.1) a posloupnost x je řešením úlohy
(4.1), (4.2). Řekneme, že rovnovážný bod x∗ je
stabilní, pokud ke každému ε > 0 existuje δ > 0 tak, že z nerovnosti |ξ0 − x∗| < δ plyne
nerovnost |x(t) − x∗| < ε pro všechna t > 0;
atrahující (přitažlivý), pokud existuje η > 0 takové, že z nerovnosti |ξ0−x∗| < η plyne rovnost
lim
t→∞
x(t) = x∗; je-li navíc η = ∞, řekneme, že x∗ je globálně atrahující;
asymptoticky stabilní, pokud je stabilní a atrahující; je-li x∗ navíc globálně atrahující, řekneme,
že rovnovážný bod x∗ je globálně asymptoticky stabilní;
nestabilní, pokud není stabilní;
repelentní (odpuzující), pokud existuje ε > 0 takové, že z nerovnosti ξ0 = x∗ plyne, že existuje
index posloupnosti t0 takový, že |x(t) − x∗| ≥ ε pro všechny indexy t ≥ t0.
Poznamenejme, že je-li rovnovážný bod x∗ rovnice (4.1) repelentní, pak je nestabilní.
Obrácené tvrzení neplatí. Od nestabilního rovnovážného bodu x∗ se řešení x rovnice (4.1)
v jistém čase (indexu) t1 vzdálí, ale v nějakém dalším čase t2 > t1 se k němu může opět
přiblížit.
Příklad: Lineární rovnice
x(t + 1) = αx(t) + β
s počáteční podmínkou x(0) = ξ0 má podle výsledků uvedených v 3.1.2 řešení
x(t) = ξ0 +
β
α − 1
αt
+
β
1 − α
.
Pro jediný rovnovážný bod x∗ =
β
1 − α
uvažované rovnice platí:
64 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE
• je-li |α| > 1, pak x∗ je repelentní;
• je-li |α| = 1, pak x∗ je stabilní ale nikoliv atrahující;
• je-li |α| < 1, pak x∗ je globálně asymptoticky stabilní; je-li přitom navíc α = 0, pak x∗
je dosažitelný z jakéhokoliv bodu ξ ∈ R, ξ = x∗.
Budeme vyšetřovat chování řešení rovnice (4.1) v okolí rovnovážného bodu x∗. Odchylku
řešení x od rovnovážného stavu x∗ definujeme jako posloupnost y danou vztahem
y(t) = x(t) − x∗
.
Z Taylorovy věty plyne, že ke každému indexu t existuje číslo ϑ(t) z intervalu [0, 1] takové, že
y(t + 1) = x(t + 1) − x∗
= f x(t) − f(x∗
) =
= f′
(x∗
) x(t) − x∗
+
1
2
f′′
x∗
+ ϑ(t) x(t) − x∗
x(t) − x∗ 2
=
= f′
(x∗
)y(t) +
1
2
f′′
x∗
+ ϑ(t)y(t) y(t)2
.
Pokud je odchylka y(t) „malá , „výrazně menší než 1 , pak je její druhá mocnina y(t)2 „ještě
menší , „skoro nulová . Na základě této úvahy zanedbáme v poslední rovnost poslední sčítanec
a dostaneme, že odchylka y(t) od rovnovážného stavu přibližně splňuje lineární homogenní
diferenční rovnici
y(t + 1) = f′
(x∗
)y(t).
Pokud tedy |f′(x∗)| < 1, pak malá odchylka se bude s rostoucím indexem t zmenšovat, až
vymizí. Lze tedy očekávat, že v případě |f′(x∗)| < 1 bude rovnovážný bod x∗ asymptoticky
stabilní. Pokud naopak |f′(x∗)| > 1, malá odchylka se bude s rostoucím t zvětšovat, až
přestane být malou. V tomto případě lze očekávat, že rovnovážný bod x∗ je nestabilní. Z této
úvahy ovšem neplyne, že by v případě |f′(x∗)| > 1 byl rovnovážný bod x∗ repelentní. Odchylka
se může zvětšit a poté znovu zmenšit na hodnotu menší, než předem daná hranice ε.
Uvedené závěry jsou přesně vyjádřeny a rozšířeny i na případ |f′(x∗)| = 1 ve Větě 4.1.1.
Pro její formulaci však potřebujeme zavést ještě jeden pojem.
Poznámka 10. Schwarzova derivace funkce f je definována vztahem
Sf(x) =
f′′′(x)
f′(x)
−
3
2
f′′(x)
f′(x)
2
.
Zejména v případě f′(x) = −1 platí
Sf(x) = −f′′′
(x) −
3
2
f′′
(x)
2
.
Věta 20. Nechť x∗ je rovnovážný bod rovnice (4.1) a funkce f je spojitě diferencovatelná
v bodě x∗. Pak platí:
(i) Je-li |f′(x∗)| > 1, pak x∗ je nestabilní.
4.1. AUTONOMNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU 65
(ii) Je-li |f′(x∗)| < 1, pak x∗ je asymptoticky stabilní.
(iii) Je-li f′(x∗) = 1 a funkce f je v bodě x∗ dvakrát spojitě diferencovatelná, pak:
(a) je-li f′′(x∗) = 0, pak x∗ je nestabilní.
(b) je-li f′′(x∗) = 0 a funkce f je v bodě x∗ třikrát spojitě diferencovatelná, pak
(α) je-li f′′′(x∗) > 0, pak x∗ je nestabilní,
(β) je-li f′′′(x∗) < 0, pak x∗ je asymptoticky stabilní.
(iv) Je-li f′(x∗) = −1 a funkce f je v bodě x∗ třikrát spojitě diferencovatelná, pak
(a) je-li Sf(x∗) > 0, pak x∗ je nestabilní,
(b) je-li Sf(x∗) < 0, pak x∗ je asymptoticky stabilní.
Důkaz: Nechť |f′(x∗)| > 1. Položme γ = 1
2 (|f′(x∗)| − 1) > 0. Poněvadž funkce f′ je spojitá
v bodě x∗, je v tomto bodě spojitá i její absolutní hodnota a tedy existuje ε > 0 takové, že
pro každé ξ ∈ (x∗ − ε, x∗ + ε) je
f′
(ξ) > f′
(x∗
) − γ.
Položme q = inf {|f′(ξ)| : −ε < ξ − x∗ < ε}. Pak
q ≥ f′
(ξ) − γ =
1
2
f′
(x∗
) + 1 > 1.
Nechť nyní 0 < |ξ0 − x∗| < ε a x je řešením úlohy (4.1), (4.2). Označme y(t) = |x(t) − x∗| a
připusťme, že y(t) < ε pro všechna t ∈ N. Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě existuje
ϑ = ϑ(t) ∈ (0, 1) takové, že
y(t + 1) = |x(t + 1) − x∗
| = f x(t) − f(x∗
) = f′
x∗
+ ϑ(x∗
− x(t)) x(t) − x∗
=
= f′
x∗
+ ϑ(x∗
− x(t)) |x(t) − x∗
| ≥ q |x(t) − x∗
| = qy(t).
Podle Tvrzení 14 je y(t) ≥ qty(0) = qt |ξ0 − x∗|, což znamená, že lim
t→∞
y(t) = ∞. Proto nemůže
být y(t) < ε pro všechny indexy t ∈ N. Existuje tedy index t, že |x(t) − x∗| ≥ ε, tj. rovnovážný
bod x∗ je nestabilní. Tvrzení (i) je dokázáno.
Při důkazu tvrzení (ii) postupujeme analogicky. V případě |f′(x∗)| < 1 klademe
γ =
1
2
1 − f′
(x∗
) > 0
a pro ξ z okolí rovnovážného bodu x∗ je
f′
(ξ) < f′
(x∗
) + γ < 1.
Zbývající část důkazu snad dopíšu v dohledné době.
Definice 24. Řekneme, že rovnovážný bod x∗ rovnice (4.1) je hyperbolický, pokud
f′
(x∗
) = 1.
66 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE
4.1.2 Cykly
Definice 25. Nechť b ∈ Dom f, k ∈ N, k > 1.
Řekneme, že b je p-periodický bod rovnice (4.1), pokud fp(b) = b. V takovém případě se
trajektorie T (b) = b, f(b), f2(b), . . . , fp−1(b) nazývá cyklus délky p (p-cyklus).
Řekneme, že p-periodický bod je dosažitelný z bodu b, pokud existuje m ∈ N, m ≥ 1
takové, že fm(b) je p-periodický bod.
Bod b ∈ Dom f je p-periodickým bodem rovnice (4.1) právě tehdy, když je rovnovážným
bodem rovnice
x(t + 1) = fp
x(t) . (4.3)
Definice 26. Řekneme, že p-cyklus T (b) rovnice (4.1) je
stabilní, pokud b je stabilní rovnovážný bod rovnice (4.3);
asymptoticky stabilní, pokud b je asymptoticky stabilní rovnovážný bod rovnice (4.3);
nestabilní, pokud b je nestabilní rovnovážný bod rovnice (4.3).
Věta 21. Nechť T (b) = b, f(b), f f(b) , . . . , fk−1(b) = {x(0), x(1), x(2), . . . , x(k − 1)} je
p-cyklus rovnice (4.1).
Je-li f′ x(0) f′ x(1) f′ x(2) · · · f′ x(p − 1) < 1, pak je T (b) asymptoticky stabilní.
Je-li f′ x(0) f′ x(1) f′ x(2) · · · f′ x(p − 1) > 1, pak je T (b) nestabilní.
Důkaz: Podle věty o derivaci složené funkce platí
(fp
)′
(b) = f′
fp−1
(b) fp−1 ′
(b) = f′
x(p − 1) f′
fp−2
(b) fp−2 ′
(b) =
= f′
x(p − 1) f′
x(p − 2) f′
fp−3
(b) fp−3 ′
(b) = · · ·
· · · = f′
x(p − 1) f′
x(p − 2) f′
x(p − 3) · · · f′
x(1) f′
x(0) .
Tvrzení jsou nyní důsledkem Věty 4.1.1.
4.1.3 Autonomní rovnice závislé na parametru
Nechť nyní f : Ω × A → R, kde Ω ⊆ R, A ⊆ R, je funkce dvou proměnných taková, že pro
každé µ ∈ A a každé x ∈ Ω platí f(x, µ) ∈ Ω. Pro pevně zvolené µ ∈ A můžeme funkci f
chápat jako funkci jedné proměnné x a µ považovat za parametr. Tuto funkci jedné proměnné
budeme značit f( · , µ).
Uvažujme rekurentní formuli
x(t + 1) = f x(t), µ . (4.4)
Řekneme, že při hodnotě parametru µ = µ0 dochází k bifurkaci, pokud existuje ε > 0 takové,
že pro µ ∈ (µ0 − ε) je řešení rovnice (4.4) „kvalitativně odlišné od řešení této rovnice pro
µ ∈ (µ0, µ0 + ε).
Příklad: Rovnice
x(t + 1) = µx(t) 1 − x(t)
4.2. GRAFICKÉ ŘEŠENÍ 67
má rovnovážný bod x∗
1 = 0. Vyšetříme jeho stabilitu:
f(x) = µx(1 − x), f′
(x) = µ(1 − 2x), f′
(0) = µ,
tedy |f′(0)| < 1 pro µ(−1, 1) a |f′(0)| > 1 pro µ(1, 3). Při hodnotě µ = 0 tedy dochází
k bifurkaci: rovnice má stabilní rovnovážný bod 0 pro hodnoty parametru µ v levém okolí µ0
a má nestabilní rovnovážný bod 0 pro hodnoty parametru µ v pravém okolí µ0.
Konstrukce bifurkačního diagramu:
1. Specifikujeme hodnoty µ1, µ2, . . . , µM parametru µ. Zvolíme čas τ, který budeme považovat
za dobu, během níž se „chování řešení ustálí , a maximální čas T.
2. Položíme i = 1.
3. Položíme µ = µi a zvolíme ξ0 ∈ Dom f( · , µ).
4. Najdeme řešení rovnice (4.4) s počáteční podmínkou x(0) = ξ0 pro indexy t ≤ T, tj.
najdeme množinu {ξ0 = x(0), x(1), x(2), . . . , x(T)}.
5. Zakreslíme množinu bodů µi, x(τ + 1) , µi, x(τ + 2) , . . . , µi, x(T) .
6. Pokud i < M, zvětšíme i o jedna a vrátíme se k bodu 3.
4.2 Grafické řešení
Uvažujme nelineární diferenční rovnici (rekurentní formuli) prvního řádu ve tvaru
x(t + 1) = f x(t)
s počáteční podmínkou x(0) = x0. Rovnici lze chápat také jako zápis zobrazení, které reálné
hodnotě x(t) přiřadí hodnotu x(t + 1), tj. jako reálnou funkci jedné reálné proměnné. Toto
zobrazení lze znázornit v souřadné rovině — na vodorovnou osu nanášíme hodnoty x(t), na
svislou hodnoty x(t + 1). Nakreslíme tedy graf funkce f a pro danou hodnotu x0 na něm
najdeme hodnotu x(1).
Stejným způsobem chceme najít hodnotu x(2) pomocí hodnoty x(1). Hodnotu x(1) tedy
přeneseme na vodorovnou osu; to můžeme udělat tak, že sestrojíme vodorovnou úsečku ve
výšce x(1) („výškou rozumím, že přímka incidentní s touto úsečkou prochází bodem 0, x(1)
na svislé ose) a najdeme její průsečík s osou prvního kvadrantu, tedy bod x(1), x(1) . Nyní
průsečík svislé přímky procházející tímto bodem a grafu funkce f má druhou souřadnici rovnu
hledané hodnotě x(2) = f x(1) .
Při hledání hodnoty x(2) řešení uvažované diferenční rovnice tedy sestrojíme vodorovnou
úsečku s krajními body x0, x(1) a x(1), x(1) , poté úsečku s krajními body x(1), x(1) a
x(1), x(2) . Tímto způsobem můžeme pokračovat a postupně nacházet (konstruovat) jednotlivé
členy posloupnosti, která řeší danou diferenční rovnici. V závislosti na tvaru grafu funkce
f, úsečky konstruované popsaným způsobem vytváří „schody , obr. 1, (odtud používaný název
„stair step diagram ) nebo „pavučinu („codweb diagram ), obr. 2–4.
Pokud je funkce f konkávní, má nejvýše dva pevné body. To znamená, že existují nejvýše
dvě hodnoty x∗ takové, že f(x∗) = x∗. Tyto body jsou souřadnicemi průsečíků grafu funkce f
a osy prvního kvadrantu. Na diagramech konstruovaných popsaným způsobem je dobře vidět,
68 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE
za jakých podmínek (tj. při jakém tvaru funkce f) se řešení uvažované diferenční rovnice od
stacionárního bodu vzdaluje nebo se k němu přibližuje.
Obr. 1. Ilustrace řešení diferenční rovnice x(t + 1) = x(t)1,51−x(t). V levé části obrázku
je „schodovitá procedura konstrukce řešení, v pravé části obrázku je výsledné řešení rovnice
zobrazené jako hodnoty závislé na čase.
Procedura řešení diferenční rovnice je na obrázcích ilustrována pro funkci f danou před-
pisem
f(x) = xr1−x
,
což je známý Rickerův model vývoje velikosti populace s nepřekrývajícími se generacemi,
přičemž kapacitu prostředí považujeme za jednotkovou. V závislosti na velikosti růstového
koeficientu r může řešení monotonně konvergovat k pevnému bodu x∗ = 1 (na obr. 1 pro
r = 1,5), konvergovat k němu s tlumenými oscilacemi (na obr. 2 pro r = 6), periodicky kolem
něho kolísat (na obr. 3 pro r = 14 je perioda rovna 4), nebo kolem něho kolísat nepravidelně,
chaoticky (na obr. 4 pro r = 50).
0.0 0.4 0.8 1.2
0.00.40.81.2
Codweb
x(t)
x(t+1)
0 5 10 15 20
0.00.40.81.2
Solution
t
x(t)
4.2. GRAFICKÉ ŘEŠENÍ 69
Obr. 2. Ilustrace řešení diferenční rovnice x(t + 1) = x(t)61−x(t). V levé části obrázku je
„pavučinová procedura konstrukce řešení, v pravé části obrázku je výsledné řešení rovnice
zobrazené jako hodnoty závislé na čase.
0.0 0.4 0.8 1.2
0.00.40.81.2
Codweb
x(t)
x(t+1)
0 5 10 15 20
0.00.40.81.2
Solution
t
x(t)
70 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE
Obr. 3. Ilustrace řešení diferenční rovnice x(t + 1) = x(t)141−x(t). V levé části obrázku je
„pavučinová procedura konstrukce řešení, v pravé části obrázku je výsledné řešení rovnice
zobrazené jako hodnoty závislé na čase.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.00.51.01.52.0
Codweb
x(t)
x(t+1)
0 5 10 15 20
0.00.51.01.52.0
Solution
t
x(t)
4.3. AUTONOMNÍ SYSTÉMY 71
Obr. 4. Ilustrace řešení diferenční rovnice x(t + 1) = x(t)501−x(t). V levé části obrázku je
„pavučinová procedura konstrukce řešení, v pravé části obrázku je výsledné řešení rovnice
zobrazené jako hodnoty závislé na čase.
4.3 Autonomní systémy
Autonomní systém k diferenčních rovnic (rekurentních formulí) prvního řádu je systém, ve
kterém se index posloupnosti t nevyskytuje explicitně. Jako systém rekurentních formulí ho
můžeme zapsat ve tvaru
x1(t + 1) = f1 x1(t), x2(t), . . . , xk(t) ,
x2(t + 1) = f2 x1(t), x2(t), . . . , xk(t) ,
...
xk(t + 1) = fk x1(t), x2(t), . . . , xk(t) .
(4.5)
O funkcích fi : Rk → R, i = 1, 2, . . . , k, předpokládáme, že všechny mají stejný definiční obor
Ω, který zobrazují do sebe, tj. Im fi ⊆ Dom fi = Ω. Společný definiční obor Ω funkcí fi se
nazývá stavový nebo fázový prostor. Při označení
x =





x1
x2
...
xk





, f =





f1
f2
...
fk





,
0 1 2 3 4
01234
Codweb
x(t)
x(t+1)
0 10 20 30 40 50
01234
Solution
t
x(t)
72 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE
můžeme systém (4.5) zapsat ve vektorovém tvaru
x(t + 1) = f x(t) , (4.6)
nebo stručněji
xσ
= f(x).
Z tohoto vyjádření vidíme, že autonomní systém je bezprostředním zobecněním autonomní
rovnice (4.1). Formálně stejně jako Tvrzení 12 můžeme ukázat, že nezáleží na volbě počátečního
času t0. Počáteční podmínku pro systém (4.5), resp. (4.6), budeme uvažovat ve tvaru
x1(0) = ξ01, x2(0) = ξ02, . . . , xk(0) = ξ0k, (4.7)
resp.
x(0) = ξ0. (4.8)
Řešení úlohy (4.6), (4.8) je podobně jako v oddílu 4.1 dáno výrazy
x(t) = ft
ξ0) .
Pro autonomní systémy zavádíme pojmy analogické, jako pro autonomní rovnice:
Definice 27. Množina bodů T (ξ0) = {fn
(ξ0) : n ∈ N} se nazývá (pozitivní) trajektorie bodu
ξ0 nebo orbita bodu ξ0 (vzhledem k rovnici (4.6)).
Nechť S ⊆ Ω. Množina T (S) =
x∈S
T (x) se nazývá trajektorie (orbita) množiny S.
Definice 28. Řekneme, že bod x∗ ∈ Dom f je rovnovážný (stacionární) bod rovnice (4.6),
pokud je pevným bodem zobrazení f, tj. pokud platí f(x∗) = x∗.
Trajektorie rovnovážného bodu x∗ je jednoprvková, T (x∗) = {x∗}.
Definice 29. Řekneme, že rovnovážný bod x∗ rovnice (4.1) je dosažitelný z bodu ξ ∈ Dom f,
pokud existuje kladné číslo r ∈ N takové, že fr
(ξ) = x∗ a fr−1
(ξ) = x∗.
Definice 30. Nechť x∗ je rovnovážný bod rovnice (4.6) a vektorová posloupnost x je řešením
úlohy (4.6), (4.8). Řekneme, že rovnovážný bod x∗ je
stabilní, pokud ke každému ε > 0 existuje δ > 0 tak, že z nerovnosti ||ξ0 − x∗|| < δ plyne
nerovnost ||x(t) − x∗|| < ε pro všechna t > 0;
atrahující (přitažlivý), pokud existuje η > 0 takové, že z nerovnosti ||ξ0 − x∗|| < η plyne
rovnost lim
t→∞
x(t) = x∗; je-li navíc η = ∞, řekneme, že x∗ je globálně atrahující;
asymptoticky stabilní, pokud je stabilní a atrahující; je-li x∗ navíc globálně atrahující, řekneme,
že rovnovážný bod x∗ je globálně asymptoticky stabilní;
nestabilní, pokud není stabilní;
repelentní (odpuzující), pokud existuje ε > 0 takové, že z nerovnosti ξ0 = x∗ plyne existence
indexu t0 posloupnosti x takového, že ||x(t) − x∗|| ≥ ε pro všechny indexy t ≥ t0.
4.3. AUTONOMNÍ SYSTÉMY 73
Nechť x∗ = f(x∗) je rovnovážný bod rovnice (4.6). Jeho stabilitu budeme vyšetřovat
pomocí vývoje odchylky y(t) = x(t)−x∗. Podle Taylorovy věty pro libovolné i ∈ {1, 2, . . . k}
platí
yi(t + 1) = xi(t + 1) − x∗
i = fi x1(t), x2(t), . . . , xk(t) − fi(x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
k) =
= fi x(t) − fi(x∗
) =
k
j=1
∂fi(x∗)
∂xj
xj(t) − x∗
j + O ||x(t) − x∗
||2
=
=
k
j=1
∂fi(x∗)
∂xj
yj(t) + O ||y(t)||2
.
Při označení
J f(x) =














∂f1
∂x1
(x)
∂f1
∂x2
(x) . . .
∂f1
∂xk
(x)
∂f2
∂x1
(x)
∂f2
∂x2
(x) . . .
∂f2
∂xk
(x)
...
...
...
...
∂fk
∂x1
(x)
∂fk
∂x2
(x) . . .
∂fk
∂xk
(x)














přepíšeme předchozí rovnost ve tvaru
y(t + 1) = J f(x∗
) y(t) + O ||y(t)||2
.
Z tohoto vyjádření usuzujeme, že odchylka od rovnovážného stavy x∗ se „přibližně vyvíjí
podle lineární homogenní rovnice
y(t + 1) = J f(x∗
) y(t).
Příklad: Dvojrozměrný autonomní systém Uvažujme systém
x(t + 1) = f x(t), y(t) ,
y(t + 1) = g x(t), y(t) .
(4.9)
Souřadnice rovnovážného bodu (x∗, y∗) jsou řešením soustavy dvou rovnic
x = f(x, y), y = g(x, y).
Nechť (x∗, y∗) je rovnovážným bodem rovnice (4.9) a
J(x∗
, y∗
) =




∂f
∂x
(x∗, y∗)
∂f
∂y
(x∗, y∗)
∂g
∂x
(x∗, y∗)
∂g
∂y
(x∗, y∗)



 .
Ze závěru příkladu na str. 53–54 můžeme nyní usoudit, že platí tvrzení:
74 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ ROVNICE
(i) Je-li | tr J(x∗, y∗)| − 1 < det J(x∗, y∗) < 1, pak rovnovážný bod (x∗, y∗) rovnice (4.9) je
asymptoticky stabilní.
(ii) Je-li | tr J(x∗, y∗)|−1 > det J(x∗, y∗) nebo det J(x∗, y∗) > 1, pak rovnovážný bod (x∗, y∗)
rovnice (4.9) je nestabilní.
(iii) Je-li (x∗, y∗) asymptoticky stabilní, tr J(x∗, y∗) > 0 a 1 < det J(x∗, y∗) < 1
4 (tr J(x∗, y∗))2
,
pak obě složky řešení systému (4.9) konvergujícího k rovnovážnému bodu (x∗, y∗) jsou
od jistého indexu počínaje ryze monotonní.
Rovnovážný bod x∗ systému (4.6) je charakteristický tím, že jeho trajektorie je jednoprvková
a obsahuje právě tento bod, T (x∗) = {x∗}. Této vlastnosti využijeme k zavedení
obecnějších pojmů.
Definice 31. Množina S ⊆ Ω se nazývá invariantní množina rovnice (4.6), pokud T (S) ⊆ S.
Množina S ⊆ Ω se nazývá minimální invariantní množina rovnice (4.6), pokud pro každou
vlastní podmnožinu Q invariantní množiny S platí, že Q není invariantní.
Množina S ⊆ Ω je maximální invariantní množinou rovnice (4.6) právě tehdy, když ke
každé množině Q ⊆ S takové, že Q ⊆ S a S \ Q = ∅, a ke každému bodu x ∈ S existuje
přirozené číslo n, že fn
(x) ∈ S \ Q. To je dále ekvivalentní s tím, že S = T (S).
Definice 32 (Typy invariantních množin). Minimální invariantní množina S ⊆ Ω rovnice
(4.6) se nazývá:
rovnovážný (stacionární) bod, pokud množina S je jednoprvkvá;
cyklus délky p (p-cyklus), pokud množina S je p-prvková (přitom p je kladné celé číslo);
invariantní smyčka, pokud množina S je uzavřená spojitá křivka v Rk;
podivná, pokud není žádného z předchozích typů.
Poznamenejme, že okolím množiny A ve stavovém prostoru Ω rozumíme množinu V , která
je otevřená v relativní topologii prostoru Ω a pro kterou platí S ⊆ V .
Definice 33. Minimální invariantní množina S ⊆ Ω rovnice (4.6) se nazývá:
stabilní, pokud ke každému okolí V množiny S existuje okolí U množiny S tak, že T (U) ⊆ V ;
atraktor, pokud existuje množina U ⊆ Ω taková, že
lim
t→∞
inf ft
(ξ) − x : x ∈ S, ξ ∈ U = 0,
množina U se v takovém případě nazývá obor atraktoru S; pokud vlastnost množiny U
má celý stavový prostor Ω, atraktor S se nazývá globální;
repelor, pokud existuje ε > 0 a okolí U množiny S takové, že
lim
t→∞
inf ft
(ξ) − x : x ∈ S, ξ ∈ U > ε.
Kapitola 5
Aplikace
5.1 Růst populace
5.1.1 Fibonacciovi králíci a jejich modifikace
Leonardo Pisánský, známější jako Fibonacci, se narodil kolem roku 1170 v italské Pise a
zemřel roku 1250. Vzdělání získal v severní Africe, kde jeho otec Guilielmo Bonacci působil
jako diplomat. Svoje vědomosti sepsal do knihy Liber abaci. Toto dílo publikované roku 1202
má hlavní zásluhu na tom, že v Evropě byl přijat poziční systém zápisu čísel (pomocí indických
symbolů, kterým dnes říkáme arabské číslice). Ve třetí části knihy Fibonacci zformuloval a
řešil úlohu:
Kdosi umístil pár králíků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby
poznal, kolik párů králíků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u králíků je
tomu tak, že pár králíků přivede na svět měsíčně jeden pár a že králíci počínají
rodit ve dvou měsících svého věku.1
Tuto úlohu a její řešení lze považovat za jeden z prvních matematických modelů růstu populace.
Budeme ji řešit s použitím současné symboliky.
Ze zadání úlohy plyne, že králíky můžeme rozdělit do dvou kategorií (tříd) — na ty, kteří
jsou mladší než dva měsíce a tedy dosud „nerodí potomky, a na ty staré aspoň dva měsíce a
tedy plodné. Označme x(t), resp. y(t), počet párů juvenilních (mladých, dosud neplodných),
resp. dospělých (plodných), králíků v t-tém měsíci. Z poněkud vágního Fibonacciova popisu
však není jasné, co přesně má vyjadřovat „počet párů králíků v t-tém měsíci . Budeme si tedy
představovat, že každý měsíc v určený den proběhne sčítání králíků, kterým získáme hodnoty
x(t) a y(t). Nyní je potřeba vyjasnit, kdy se nové páry rodí. Jedna z možností je, že také
k porodům dochází určitý den v měsíci. Abychom úvahy dále zjednodušili (a zreprodukovali
Fibonacciův výsledek) budeme předpokládat, že králíci se rodí první den a jejich sčítání
provádíme poslední den měsíce. Při sčítání mají tedy novorození králíci věk již jeden měsíc.
Při sčítání následujícího měsíce mají tito králíci již věk dva měsíce a patří tedy mezi plodné.
Poněvadž pár plodných králíků „zrodí (tj. zplodí a porodí) jeden pár mladých, bude počet
párů mladých v t-tém měsíci stejný jako počet párů plodných v měsíci předchozím,
x(t) = y(t − 1). (5.1)
1
Překlad E. Čecha. Citováno dle J. Bečvář a kol., Matematika ve středověké Evropě. Praha: Prometheus
2001, str. 277.
75
76 KAPITOLA 5. APLIKACE
měsíc t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
počet juvenilních párů x(t) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
počet plodných párů y(t) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
celkový počet párů z(t) 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
Tabulka 5.1: Řešení Fibonacciovy úlohy o králících za předpokladu, že k rození dochází na
začátku měsíce, počty zjišťujeme na konci měsíce, tj. používáme model (5.3).
Králíci jsou na místě ohrazeném zdí. Tomu můžeme rozumět tak, že jsou chráněni před predátory
a tedy neumírají, a také, že nemohou nikam utéci. Proto bude počet plodných v t-tém
měsíci roven jejich počtu v předchozím měsíci zvětšenému o počet mladých, kteří se v předchozím
měsíci narodili a během měsíce dospěli,
y(t) = y(t − 1) + x(t − 1). (5.2)
Rovnice (5.1) a (5.2) můžeme považovat za model růstu populace králíků; její aktuální velikost
počítáme z velikosti v minulosti. Při matematickém modelování nějakých procesů je ovšem
obvyklé usuzovat na budoucnost z přítomnosti. V rovnicích (5.1) a (5.2) budeme psát t + 1
místo t, rovnice tedy přepíšeme do tvaru
x(t + 1) = y(t),
y(t + 1) = x(t) + y(t).
(5.3)
Měsíc, ve kterém „kdosi umístil pár králíků na určitém místě , budeme považovat za nultý,
onen „umístěný pár za dospělé. Máme tedy počáteční podmínku x(0) = 0, y(0) = 1. Odtud
již můžeme postupně počítat počty x(t) a y(t) pro libovolné t = 1, 2, 3, . . . a z nich celkový
počet párů z(t) = x(t) + y(t). Výpočet je shrnut v tabulce 5.1. Výsledek 377 párů odpovídá
výsledku v Liber abaci.2
Jiná z možností, jak zadání porozumět, je mírně realističtější představa, že králíci se rodí
kdykoliv, ale opět je sčítáme v určitý den měsíce. Při sčítání tedy mohou mít novorozenci,
tj. králíci narození od předchozího sčítání, věk z intervalu [0, 1) a starší, ale dosud neplodní
králíci věk z intervalu [1, 2). Při této interpretaci rozdělíme třídu juvenilních párů na dvě a
označíme x0(t) počet novorozených párů a x1(t) počet neplodných párů věku alespoň jeden
měsíc, ale méně než dva měsíce. Poněvadž novorozenci jsou bezprostředními potomky plodných
párů, mladí jsou ti, kteří se v předchozím měsíci narodili, a počet plodných je počtem
plodných z předchozího měsíce zvětšeným o počet mladých, kteří dosáhli věku aspoň dva
měsíce, dostaneme model
x0(t + 1) = y(t)
x1(t + 1) = x0(t)
y(t + 1) = x1(t)+y(t).
(5.4)
Při počátečních podmínkách x0(0) = 0, x1(0) = 0, y(0) = 1 a označení celkového počtu
párů jako z(t) = x0(t) + x1(t) + y(t), dostaneme počty králíků, jak je uvedeno v tabulce 5.2.
Výsledný počet párů králíků za rok je při této interpretaci téměř třikrát menší, než původní
Fibonacciův výsledek.
2
To nemusí znamenat, že by si Fibonacci skutečně představoval rození na začátku měsíce a sčítání na jeho
konci. Pravděpodobnější je, že si neuměl představit nulový věk a proto jeho novorozenci měli hned věk 1 a v
následujícím měsíci tak byli dvouměsíční a tedy již plodní.
5.1. RŮST POPULACE 77
měsíc t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
počet novorozených párů x0(t) 0 1 1 1 2 3 4 6 9 13 19 28 41
počet neplodných párů x1(t) 0 0 1 1 1 2 3 4 6 9 13 19 28
počet plodných párů y(t) 1 1 1 2 3 4 6 9 13 19 28 41 60
celkový počet párů z(t) 1 2 3 4 6 9 13 19 28 41 60 88 129
Tabulka 5.2: Řešení Fibonacciovy úlohy o králících za předpokladu, že k rození dochází kdykoliv
v průběhu měsíce a králíky sčítáme v pevně určený den měsíce, tj. používáme model
(5.4).
Prvním obecným poučením tedy může být to, že sestavení modelu růstu populace je
potřebné věnovat pozornost, přesně formulovat a zdůvodnit předpoklady, za kterých je model
sestaven. Různé modely téhož procesu mohou totiž dávat různé výsledky.
Vraťme se ještě k Fibonnaciovu modelu (5.3). V rovnicích budeme psát t + 1 místo t a
rovnice sečteme. Dostaneme tak
x(t + 2) + y(t + 2) = x(t + 1) + y(t + 1) + y(t + 1) = x(t + 1) + y(t + 1) + x(t) + y(t).
Označíme-li stejně jako v tabulce 5.3 symbolem z(t) = x(t) + y(t) celkový počet králíků
v t-tém měsíci, dostaneme pro vývoj tohoto počtu rekurentní formuli druhého řádu
z(t + 2) = z(t + 1) + z(t). (5.5)
Pro její rozbor využijeme teorii lineárních homogenních diferenčních rovnic vyššího řádu s
konstantními koeficienty 3.2.3. Charakteristická rovnice příslušná k diferenční rovnici (5.3)je
tvaru
λ2
− λ − 1 = 0
a její kořeny jsou
λ1,2 =
1
2
1 ±
√
5 .
To znamená, že řešení rovnice (5.5) s počátečními podmínkami
z(0) = 1, z(1) = 2
je rovno
z(t) =
5 + 3
√
5
10
1 +
√
5
2
t
+
5 − 3
√
5
10
1 −
√
5
2
t
.
Toto řešení odpovídá původnímu Fibonacciovu řešení, které je uvedeno v tabulce 5.1.
Řešení rovnice (5.5) s počátečními podmínkami
z(0) = 0, z(1) = 1
je rovno
z(t) =
√
5
5
1 +
√
5
2
t
−
1 −
√
5
2
t
=
√
5
5
√
5 + 1
2
t
1 −
√
5 − 3
2
t
.
78 KAPITOLA 5. APLIKACE
Fibonacciův model je krásný matematicky, není ovšem příliš realistický biologicky. Králíci
neumírají, dospívají v přesně určených časech, plodí přesně určený počet potomků v pravidelných
intervalech. Fibonacci samozřejmě nepředstíral, že popisuje vývoj populace králíků,
vytvořil jakousi umělou skutečnost — jeho králíci žijí a množí se na „místě ohraženém zdí .
Navíc svou úlohu o králících uzavírá větou: „tak je to možné dělat dál do nekonečného počtu
měsíců ; tím se Fibonacci projevil jako skutečný matematik — uvažuje o nekonečnu a abstraktních
nesmrtelných králících. Myšlenka modelovat pomocí rovnic typu (5.3) nebo (5.4)
vývoj populace rozdělené na několik disjunktních tříd, přičemž čas plyne v diskrétních krocích,
je však velmi plodná.
Pokusíme se modelovat vývoj populace za realističtějších předpokladů. Ponecháme původní
představu času plynoucího v diskrétních krocích (nejedná se tedy o čas fyzikální) a
zvolíme nějakou časovou jednotku (ve Fibonacciově úloze jí byl jeden měsíc). Populaci si
budeme představovat jako tvořenou velkým počtem jedinců (v případě organismů rozmnožujících
se pohlavně budeme za „jedince považovat páry nebo samice). Každý z jedinců může
být jednoho z typů — juvenilní (mladý, neplodný) nebo dospělý (plodný). Jinak jsou jedinci
nerozlišitelní.
V populaci probíhají tři procesy — rození (vznik nových jedinců), dospívání (maturace,
přeměna juvenilního jedince na plodného) a umírání (nebo z jiného pohledu přežívání). Narození
jedince, jeho přeměnu na plodného a jeho úmrtí považujeme za náhodné jevy. O umírání
(přežívání) a dospívání budeme předpokládat, že se jedná o jevy stochasticky nezávislé.
Označme
σ1 . . . pravděpodobnost, že juvenilní jedinec přežije jedno období,
σ2 . . . pravděpodobnost, že plodný jedinec přežije jedno období,
γ . . . pravděpodobnost, že juvenilní jedinec během období dospěje,
ϕ . . . střední počet potomků plodného jedince za jedno období.
O pravděpodobnostech přežití σ1 a σ2, pravděpodobnosti maturace γ a fertilitě ϕ budeme
předpokládat
0 < σ1 < 1, 0 ≤ σ2 < 1, 0 < γ ≤ 1, 0 < ϕ; (5.6)
v reálně existující populaci totiž musí být možné, že se juvenilní jedinec dožije plodnosti
(σ1 > 0, γ > 0) a že se nějací noví jedinci rodí (ϕ > 0), přežití nikdy není jisté (σ1 < 1,
σ2 < 1). Nevylučujeme možnost σ2 = 0, tj. že jedinci po „produkci potomků (porodu,
nakladení vajíček a podobně) hynou; taková populace se nazývá semelparní. Nevylučujeme
však ani možnost σ2 > 0, tj. že dospělí jedinci plodí po delší úsek života; taková populace se
nazývá iteroparní. Jedinci mohou dospívat bezprostředně po narození, tj. v čase kratším, než
je zvolené období. V období po narození tedy takový jedinec, pokud nezemře, jistě dospěje,
γ = 1. Jedinci z populace mohou dospívat i s jistým zpožděním, γ < 1. Zhruba řečeno,
při délce časového kroku jeden rok jsou jednoleté organismy semelparní s bezprostředním
dospíváním, drobní ptáci a savci jsou iteroparní s bezprostředním dospíváním, lososi nebo
cikády jsou semelparní se zpožděným dospíváním, velcí ptáci a savci (včetně člověka) jsou
iteroparní se zpožděným dospíváním. Snažíme se tedy modelovat dosti obecnou populaci.
Označme dále x(t), resp. y(t), velikost (počet jedinců, populační hustotu, celkovou biomasu
a podobně) části populace tvořené juvenilními, resp. plodnými, jedinci v t-tém časovém kroku.
Juvenilní část populace je tvořena jedinci, kteří se za poslední období narodili, a jedinci, kteří
již tuto třídu populace tvořili, přežili období a nedospěli v něm. Očekávaná velikost juvenilní
části populace v následujícím období tedy bude
x(t + 1) = σ1(1 − γ)x(t) + ϕy(t). (5.7)
5.1. RŮST POPULACE 79
Plodná část populace bude tvořena jedinci, kteří byli juvenilní, nezemřeli a dospěli, a jedinci,
kteří již dospělí byli a přežili. Očekávaná velikost plodné části populace v následujícím období
tedy bude
y(t + 1) = σ1γx(t) + σ2y(t). (5.8)
Poznamenejme ještě, že kdybychom připustili σ1 = σ2 = 1 a položili γ = ϕ = 1 (jedinci
jistě přežívají, tj. neumírají, jistě během období dospějí a dospělí vždy vyprodukují právě
jednoho potomka), dostaneme původní Fibonacciův model (5.3).
Opět označíme celkovou velikost populace v čase t symbolem z(t), tj. z(t) = x(t) + y(t).
Z rovnic (5.7) a (5.8) postupně dostaneme
z(t + 2) = x(t + 2) + y(t + 2) =
= σ1(1 − γ)x(t + 1) + ϕy(t + 1) + σ1γx(t + 1) + σ2y(t + 1) =
= σ1(1 − γ) + σ2 x(t + 1) + y(t + 1) +
+ (σ1γ − σ2)x(t + 1) + ϕ − σ1(1 − γ) y(t + 1) =
= σ1(1 − γ) + σ2 z(t + 1)+
+ (σ1γ − σ2) σ1(1 − γ)x(t) + ϕy(t) + ϕ − σ1(1 − γ) σ1γx(t) + σ2y(t) =
= σ1(1 − γ) + σ2 z(t + 1)+
+ σ1γϕ − σ1σ2(1 − γ) x(t) + σ1γϕ − σ1σ2(1 − γ) y(t) =
= σ1(1 − γ) + σ2 z(t + 1) + σ1γϕ − σ1σ2(1 − γ) z(t).
Celková velikost populace z je tedy řešením lineární diferenční rovnice druhého řádu
z(t + 2) − σ1(1 − γ) + σ2 z(t + 1) + σ1 σ2(1 − γ) − γϕ z(t) = 0. (5.9)
K analýze této rovnice využijeme výsledky oddílu 3.2.3, zejména příkladu začínajícího na
str. 42. Při označení používaném ve zmíněném příkladu je
b = − σ1(1 − γ) + σ2 < 0, c = σ1 σ2(1 − γ) − γϕ ,
b2
− 4c = σ2
1(1 − γ)2
+ 2σ1σ2(1 − γ) + σ2
2 − 4σ1σ2(1 − γ) + 4σ1γϕ =
= σ1(1 − γ) − σ2
2
+ 4σ1γϕ > 0,
neboť podle (5.6) je σ1γϕ > 0. To znamená, že ryze dominantní charakteristický kořen je
λ1 =
σ1(1 − γ) + σ2 + σ1(1 − γ) − σ2
2
+ 4σ1γϕ
2
> 0
a druhý charakteristický kořen je
λ2 =
σ1(1 − γ) + σ2 − σ1(1 − γ) − σ2
2
+ 4σ1γϕ
2
< 0.
Počáteční velikosti populace ζ0 = z(0) a ζ1 = z(1) musí být nezáporné a alespoň jedna z nich
musí být nenulová (jinak by žádná populace nebyla). To znamená, že
ζ1 − ζ0λ2 = ζ1 + ζ2|λ2| > 0
80 KAPITOLA 5. APLIKACE
a vývoj velikosti populace bude po jistém čase popsán geometrickou posloupností s kvocientem
λ1. Populace roste, pokud c < −b − 1, tj.
σ1 σ2(1 − γ) − γϕ < σ1(1 − γ) + σ2 − 1,
po úpravě
1 − σ1(1 − γ) (1 − σ2) < σ1γϕ.
Výraz na pravé straně této nerovnosti představuje střední hodnotu počtu novorozenců, kteří
se dožijí dospělosti. Výraz na levé straně vyjadřuje pravděpodobnost toho, že juvenilní jedinec
uhyne nebo dospěje a hned v prvním období uhyne, tedy pravděpodobnost, že novorozenec
během svého života nezplodí potomka.
Pokud
1 − σ1(1 − γ) (1 − σ2) > σ1γϕ,
populace vymře. V případě, že by nastala rovnost, populace se vyvine do konstantní velikosti.
Ovšem pravděpodobnost, že by reálná populace měla takové parametry, které splní nějakou
rovnost, je nulová.
5.1.2 Süßmilchova populace a Leslieho matice
Berlínský akademik Johann Peter Süßmilch publikoval v roce 1741 pojednání Die göttliche
Ordnung in der Veränderungen des menslichen Geschlechts aus der Geburt, dem Tode un
der Fortpflanzung deßelben (Božský řád ve změnách lidských generací jejich rozením, smrtí
a rozmnožováním), které je nyní považováno za první práci věnovanou demografii. Do jejího
druhého vydání o dvacet let později zahrnul matematický model, který pro něj vypracoval
Leonhard Euler. Model vychází z podobných zjednodušení jako Fibonacciův model růstu
populace králíků, zahrnuje však vedle rození i umírání. Začíná v roce 0 s jedním lidským
párem, přičemž muž i žena mají dvacet let. Euler dále předpokládal, že lidé umírají ve 40
letech, žení a vdávají se ve 20 letech a každý pár má šest dětí: dvě děti (chlapce a děvče) ve
věku 22 let, další dva ve věku 24 let a poslední dvojici ve věku 24 let.
Vyjádříme Eulerův model formálně. Za jednotku času budeme považovat dva roky. Označíme
n = n(t) — počet novorozených párů v čase t,
d = d(t) — počet úmrtí v časovém intervalu (t − 1, t)
x = x(t) — počet žijících párů v čase t.
Novorozenci v čase t jsou potomci párů 22-ti letých (tj. těch, kteří byli novorozenci před
22 lety, tedy v čase t − 11), párů 24 letých a párů 26 letých. Pro veličinu n(t) tedy máme
rekurentní vztah
n(t) = n(t − 11) + n(t − 12) + n(t − 13).
Poněvadž lidé umírají ve 40 letech, je počet d(t) zemřelých párů v čase t roven počtu novorozenců
před 40 lety, tj.
d(t) = n(t − 20). (5.10)
V čase t žijí páry, které žily v předchozím období a nezemřely, a dále páry, které se v tomto
čase narodily. Platí tedy
x(t) = x(t − 1) − d(t) + n(t).
5.1. RŮST POPULACE 81
rok čas novorozenci úmrtí žijící páry rok čas novorozenci úmrtí žijící páry
t n(t) d(t) x(t) t n(t) d(t) x(t)
0 0 0 0 1 20 10 0 1 3
2 1 1 0 2 22 11 0 0 3
4 2 1 0 3 24 12 1 0 4
6 3 1 0 4 26 13 2 0 6
8 4 0 0 4 28 14 3 0 9
10 5 0 0 4 30 15 2 0 11
12 6 0 0 4 32 16 1 0 12
14 7 0 0 4 34 17 0 0 12
16 8 0 0 4 36 18 0 0 12
18 9 0 0 4 38 19 0 0 12
Tabulka 5.3: Počáteční velikosti populace modelované rovnicemi (5.11).
Těmito úvahami dostáváme model vývoje populace tvořený třemi posloupnostmi, které splňují
lineární diferenční rovnice
n(t + 13) = n(t + 2) + n(t + 1) + n(t),
d(t + 20) = n(t),
x(t + 20) = x(t + 19) + n(t) − d(t).
(5.11)
Vývoj modelované populace v prvních čtyřiceti letech, tj. v čase t = 0 až t = 19 je shrnut
v Tabulce 5.1. V počátečním čase byl na Zemi pouze jeden pár dvacetiletých, tj. x(0) = 1,
n(0) = 0. Po dvou letech k nim přibyli novorození chalapec a děvče, tj. n(1) = 1, x(1) = 2. Po
dalších dvou letech přibyl další pár novorozenců, n(2) = 1, x(2) = 3 a po dalších dvou letech
opět, n(3) = 1, x(3) = 4. Pak se čtrnáct let velikost populace neměnila, nikdo se nerodil ani
neumíral. Za další dva roky, tj. 20 let od začátku prvotní pár zemřel, d(10) = 1, x(10) = 3 a za
další dva roky přibyli první potomci prvního narozeného páru, n(11) = 1, x(11) = 4. Za další
dva roky přibyli druzí dva potomci prvního narozeného páru a první dva potomci druhého
narozeného páru, n(12) = 2, x(12) = 6. Tak můžeme v počítání pokračovat a dostaneme
všechny počáteční podmínky pro rovnice (5.12), jak jsou uvedeny v Tabulce 5.3.
Rovnice (5.12) spolu s počátečními podmínkami umožňují rekurentně počítat velikost populace
v libovolném čase. L. Euler tento výpočet provedl až do času t = 119. Na Obrázku
5.1 jsou zobrazeny hodnoty posloupností n, d, x až do tohoto času. K problematice růstu
populace se Euler později vrátil v rukopise Sur la multiplication du genre humain (O rozmnožování
lidského rodu), který však za jeho života nevyšel. Tam odvodil (v 18. století, bez
jakékoliv výpočetní techniky!), že velikost lidstva po dostatečně dlouhé době vývoje roste jako
geometrická posloupnost s kvocientem r
.
= 1,096, což znamená, že jeho velikost se zdvojnásobí
každých zhruba 15 let. Dále vztahem
n(t)
d(t)
=
n(t)
n(t − 20)
≃ r20 .
= 6,25
ukázal, že počet úmrtí je zhruba šestkrát menší, než počet narození.
Vzhledem k podmínce (5.10) můžeme původní Eulerův model (5.11) zredukovat na dvě
lineární diferenční rovnice
n(t + 13) = n(t + 2) + n(t + 1) + n(t),
x(t + 20) = x(t + 19) + n(t + 20) − n(t).
(5.12)
82 KAPITOLA 5. APLIKACE
0 20 40 60 80 100 120
110010000
t
n,d,x
x(t) n(t) d(t)
Obrázek 5.1: Model „rozmnožování lidského rodu (5.11). Na svislé ose je logaritmické měřítko.
Symboly označují: x(t) — počet žijících párů v čase t, tj. 2t let od počátku, n(t) —
počet narození v čase t, d(t) — počet úmrtí v čase t.
První z těchto rovnic je lineární homogenní diferenční rovnice pro posloupnost n. Můžeme ji
tedy vyřešit metodami uvedenými v 3.2.3 a nalezenou posloupnost n dosadit do druhé rovnice.
Charakteristická rovnice pro první z rovnic (5.12) je
λ13
− λ2
− λ = 1
a má jeden reálný a 12 komplexně sdružených jednoduchých kořenů. Tyto kořeny jsou
λ1
.
= 1,096128990,
λ2,3
.
= 0,9404208930 ± 0,5461788546i
.
= 1,087521401(cos0,5261682144 ± i sin 0,5261682144),
λ4,5
.
= 0,5258241166 ± 0,9196097193i
.
= 1,059326691(cos1,051377404 ± i sin 1,051377404),
λ6,7 = ±i = cos π
2 ± i sin π
2 ,
λ8,9
.
= −0,9603461911 ± 0,2570448492i
.
= 0,9941513271(cos2,880064478 ± i sin 2,880064478),
λ10,11
.
= −0,6729736856 ± 0,6502474237i
.
= 0,9357966091(cos2,373367756 ± i sin 2,373367756),
λ12,13
.
= −0,3809896276 ± 0,8056402296i
.
= 0,8911841986(cos2,012532255 ± i sin 2,012532255).
Reálný charakteristický kořen λ1 je současně ryze dominantním charakteristickým kořenem.
To znamená, že posloupnost n je asymptoticky ekvivalentní s posloupností ¯n danou vztahem
¯n(t) = λt
1 lim
τ→∞
n(τ)
λτ
1
.
Posloupnost ¯n lze proto považovat za první aproximaci posloupnosti n. Označíme
α = lim
τ→∞
n(τ)
λτ
1
,
geometrickou posloupnost ¯n jednoduše vyjádříme vztahem ¯n(t) = αλt
1 a dosadíme ji do
druhé z rovnic (5.12). Tak najdeme první aproximaci ¯x posloupnosti x. Posloupnost ¯x tedy
5.1. RŮST POPULACE 83
má splňovat
¯x(t + 20) = ¯x(t + 19) + ¯n(t + 20) − ¯n(t) = ¯x(t + 19) + αλt+20
1 − αλt
1.
Budeme-li v této rovnosti psát t − 19 místo t, dostaneme po jednoduché úpravě vyjádření
diference posloupnosti ¯x ve tvaru
∆¯x(t) = α
λ20
1 − 1
λ19
1
λt
1.
Podle (1.6) a podle 1.4.2 tedy je
¯x(t) = ¯x0 + α
λ20
1 − 1
λ19
1
t−1
i=0
λi
1 = ¯x0 +
α
λ19
1
λ20
1 − 1
λ1 − 1
λt
1 − 1 .
Vyjádření posloupnosti ¯x zjednodušíme tím, že označíme
A =
α
λ19
1
λ20
1 − 1
λ1 − 1
. (5.13)
Dostáváme tak první aproximace řešení systému diferenčních rovnic (5.12) ve tvaru
¯n(t) = αλt
1, ¯x(t) = ¯x0 + A λt
1 − 1 . (5.14)
Tyto posloupnosti lze považovat za vyjádření časového trendu množství novorozenců a velikosti
populace.
Povšimněme si nyní toho, že pro argument ϕ charakteristických kořenů, které mají druhý
největší modul, tj. kořenů λ2,3, platí
ϕ = arg λ2,3
.
= 0,5261682
.
=
2π
11,9414
.
Odtud plyne, že „perioda kolísání posloupnosti n kolem posloupnosti ¯n, tj. kolem jakési
střední hodnoty počtu novorozených párů, je zhruba 12. Tento jev je také dobře pozorovatelný
na Obrázku 5.1.
Označme pro stručnost κ = |λ2|. Posloupnost ˜n daná vztahem
˜n(t) = αλt
1 + (β cos tϕ + γ sin tϕ)κt
,
kde β,γ jsou vhodné konstanty určené počátečními podmínkami, „pro dostatečně velká t
dostatečně přesně aproximuje posloupnost n .
Nyní budeme hledat „dostatečně dobrou aproximaci ˜x posloupnosti x. Dostaneme ji tak,
že ve druhé z rovnic (5.12) budeme psát ˜x místo x, ˜n místo n a t − 19 místo t. Dostaneme
˜x(t + 1) = ˜x(t) + ˜n(t + 1) − ˜n(t − 19) =
= ˜x(t) + αλt+1
1 + β cos(t + 1)ϕ + γ sin(t + 1)ϕ κt+1
−
− αλt−19
1 − β cos(t − 19)ϕ + γ sin(t − 19)ϕ κt−19
,
tedy
∆˜x(t) = α
λ20
1 − 1
λ19
λt
1 + (B cos tϕ + C sin tϕ)κt
, (5.15)
84 KAPITOLA 5. APLIKACE
0 20 40 60 80 100 120
110010000
t
n,x
x(t) x(t) x~(t)
n(t) n(t) n~(t)
Obrázek 5.2: Upravený model „rozmnožování lidského rodu (5.12). Na svislé ose je logaritmické
měřítko. Symboly označují: x(t), n(t) — hodnoty počítané z rekurentních vztahů
(5.12), ¯x(t), ¯n(t) — první aproximace řešení (5.14) využívající pouze dominantní charakteristický
kořen λ1 (trend), ˜x(t), ˜n(t) — druhá aproximace řešení (5.16) využívající charakteristické
kořeny λ2,3 s druhým největším modulem. Při výpočtu byly použity hodnoty α
.
=
0,194708013278096, ¯x0
.
= 2,6514514395602, β
.
= 0,231889637997667, γ
.
= 0,352845633763305,
˜x0
.
= 2,07362768022334.
kde jsme označili
B = κ(β cos ϕ − γ sin ϕ) − κ−19
(β cos 19ϕ − γ sin 19ϕ),
C = κ(γ cos ϕ − β sin ϕ) − κ−19
(γ cos 19ϕ + β sin 19ϕ).
Z rovnice (5.15) dostaneme aproximaci řešení druhé z rovnic (5.12) ve tvaru
˜x(t) = ˜x0 +
t−1
i=0
α
λ20
1 − 1
λ19
λi
1 + (B cos iϕ + C sin iϕ)κi
.
Toto vyjádření můžeme upravit s využitím 1.4.2 a označení (5.13)
˜x(t) = ˜x0 + A(λt
1 − 1)+
+
B κt+1 cos(t − 1)ϕ − κ cos ϕ − κt cos tϕ + 1 + C κt+1 sin(t − 1)ϕ + κ sin ϕ − κt sin tϕ
κ2 − 2κ cos ϕ + 1
.
(5.16)
Aproximace (5.14) a (5.16) řešení systému (5.12) jsou zobrazeny na Obrázku 5.2.
Model (5.12) popisuje vývoj velikosti populace, která je strukturovaná do dvou tříd —
novorozenci a ostatní. Snadno ho ale můžeme modifikovat, aby popisoval populaci strukturovanou
podrobněji; může nás zajímat počet školních dětí, počet rodičů pečujících o děti předškolního
věku a podobně. V Eulerově zjednodušení takové rozčlenění populace závisí pouze
5.1. RŮST POPULACE 85
na věku jedinců. Označme proto xi(t) počet párů věku i (tj. 2i let) v čase t, i = 1, 2, . . . , 20.
Pak platí
x(t) =
20
i=1
xi(t)
a
xi(t) = n(t − i), xi(t + 1) =
n(t), i = 1,
xi−1(t), i > 1,
, i = 1, 2, . . . , 20.
První z rovnic modelu (5.12) nyní můžeme přepsat ve tvaru
n(t + 1) = n(t − 10) + n(t − 11) + n(t − 12) = x10(t) + x11(t) + x12(t).
Pro vývoj velikosti populace strukturované podle věku popsaným způsobem tak dostáváme
model tvořený 21 lineárními diferenčními rovnicemi prvního řádu
n(t + 1) = x10(t) + x11(t) + x12(t),
x1(t + 1) = n(t),
xi(t + 1) = xi−1(t), i = 2, 3, . . . , 20.
(5.17)
Euler v podstatě předpokládal, že smrt je jistá ve čtyřiceti letech a v mladším věku je jisté
přežití. Abychom model přiblížili realitě, nahradíme jistoty pravděpodobnostmi. Označme
proto Pi pravděpodobnost, že jedinec věku i (tj. 2i let) přežije jedno dvouleté období (tj.
dožije se věku 2i + 2 let). Dále nechť nejvyšší možný věk je 2k let. Pak
x1(t + 1) = P0n(t), xi(t + 1) = Pi−1xi−1(t), i = 2, 3, . . . , k.
Další Eulerův nerealistický předpoklad je ten, že dospělé páry mají v přesně daném věku
právě jeden pár potomků. Tento předpoklad nahradíme realističtějším, že počet potomků
páru věku i je náhodná veličina se střední hodnotou Fi. První z rovnic modelu (5.17) nyní
můžeme nahradit rovnicí
n(t + 1) =
k
i=1
Fixi(t);
hodnota posloupnosti n(t) nyní již nevyjadřuje počet novorozenců v čase t, ale očekávanou
hodnotu tohoto počtu. Celkem tak dostáváme model tvořený k + 1 lineárními diferenčními
rovnicemi
n(t + 1) =
k
i=1
Fixi(t),
x1(t + 1) = P0n(t),
xi(t + 1) = Pi−1xi−1(t), i = 2, 3, . . . , k.
Tento model můžeme zapsat ve vektorovém tvaru











n
x1
x2
...
xk−2
xk−1
xk











(t + 1) =











0 F1 F2 . . . Fk−2 Fk−1 Fk
P0 0 0 . . . 0 0 0
0 P1 0 . . . 0 0 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . 0 0 0
0 0 0 . . . Pk−2 0 0
0 0 0 . . . 0 Pk−1 0






















n
x1
x2
...
xk−2
xk−1
xk











(t),
86 KAPITOLA 5. APLIKACE
nebo stručně
x(t + 1) = Ax(t), (5.18)
kde jsme označili
x =









n
x1
x2
...
xk−1
xk









, A =









0 F1 F2 . . . Fk−1 Fk
P0 0 0 . . . 0 0
0 P1 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . 0 0
0 0 0 . . . Pk−1 0









.
Maticový model(5.18) poprvé zformuloval Patrick Holt Leslie ve slavném článku On the use of
matrices in certain population mathematics, který publikoval roku 1945 v časopise Biometrika.
Matice A proto dostala název Leslieho matice.
5.1.3 Malthusovské modely
Předpokládejme, že známe okamžitou velikost populace a umíme spočítat počty jedinců uhynulých
a „nově vzniklých (tj. novorozenců, embryí, klíčících semen a podobně). Budeme dále
předpokládat, že nějací „noví jedinci skutečně „vznikají a jejich počet v nějakém zvoleném
období je úměrný velikosti populace (např. že každý jedinec za období vyprodukuje určitý
počet potomků a jedinec „nově vzniklý potomky ještě neprodukuje). Počet uhynulých jedinců
budeme považovat za úměrný velikosti populace, což lze interpretovat tak, že existuje
pro všechny „staré jedince (tj. nikoliv ty „nově vzniklé ) pravděpodobnost, že během uvažovaného
období zemřou. Nebudeme vylučovat „nesmrtelnost (tj. populace se může vyvíjet
v dokonale chráněném prostředí a její růst sledujeme jen po takové období, že jedinci nezestárnou;
takovou populací byli např. Fibonacciovi králíci) ani možnost, že během období
vymřou všichni „staří jedinci a zůstanou pouze ti „nově vzniklí .
Zvolme tedy časovou jednotku a označme x(t) velikost populace v čase t, y(t) množství
jedinců „vzniklých v časovém intervalu (t, t+1], kteří v čase t+1 žijí, a z(t) množství jedinců
uhynulých v tomto časovém intervalu. Tyto stavové proměnné jsou vázány rovností
x(t + 1) = x(t) + y(t) − z(t) (5.19)
pro každé t ∈ N. Přitom předpokládáme
(i) y(t) = bx(t) pro každé t ∈ N a nějaké b > 0,
(ii) z(t) = dx(t) pro každé t ∈ N a nějaké d, 0 ≤ d ≤ 1;
parametr b, resp. d, se nazývá koeficient porodnosti (birth rate), resp. úmrtnosti (death rate).
S využitím uvedených předpokladů můžeme rovnost (5.19) přepsat ve formě
x(t + 1) = x(t) + bx(t) − dx(t) = (1 + b − d)x(t)
a při označení
r = 1 + b − d (5.20)
v jednoduchém tvaru
x(t + 1) = rx(t). (5.21)
5.1. RŮST POPULACE 87
Dostáváme tak model s jedinou stavovou proměnnou x a jediným parametrem r. Parametr r
se nazývá růstový koeficient (growth rate) a podle předpokladu (ii) splňuje nerovnost
r = 1 + b − d ≥ 1 + b − 1 = b > 0. (5.22)
Model (5.21) je vlastně lineární homgenní diferenční rovnice prvního řádu, jednoduše řečeno,
rekurentní formule pro geometrickou posloupnost s kvocientem r. Při známé (nebo dané)
počáteční velikosti populace x(0) = x0 můžeme tedy časově závislou velikost populace vyjádřit
geometrickou posloupností
x(t) = rt
x(0). (5.23)
Ze známých vlastností geometrické posloupnosti dostáváme první závěr:
Tvrzení 15. Pro populaci modelovanou rovností (5.19) s předpoklady (i) a (ii) platí
• je-li r > 1, tj. b > d, pak lim
t→∞
x(t) = ∞, populace neomezeně roste;
• je-li r = 1, tj. b = d, pak x(t) = x(0) pro všechna t ∈ N, velikost populace je v průběhu
času konstantní;
• je-li r < 1, tj. b < d, pak lim
t→∞
x(t) = 0, populace vymírá.
Někdy může být užitečné v populaci rozlišovat novorozence a ostatní jedince. Množství
„nově vzniklých jedinců totiž nemusí být pozorovatelné, např. klíčící semena jsou schovaná
v zemi, březost samice nemusí být viditelná a podobně. Budeme proto uvažovat jinou veličinu
— množství novorozenců, tj. živě narozených mláďat nebo čerstvě rašících rostlin. Označme
tedy n(t) množství novorozenců v čase t. Za novorozence budeme považovat jedince, kteří
„vznikli v časovém intervalu (t−1, t] a v čase t žijí. To znamená, že n(t) = y(t−1). Rovnost
(5.19) tedy můžeme přepsat na tvar
x(t + 1) − n(t + 1) = x(t) − z(t). (5.24)
V čase t > 0 je podíl novorozenců v populaci podle (5.21) a předpokladu (i) roven
n(t)
x(t)
=
y(t − 1)
rx(t − 1)
=
b
r
.
Vidíme, že tento podíl nezávisí na čase. Označíme
m =
b
r
. (5.25)
Pak podle nerovnosti (5.22) a předpokladu (i) je m > 0. Z rovností (5.24) a (5.21) nyní
můžeme vyjádřit
z(t) = x(t) − x(t + 1) + n(t + 1) = x(t) − x(t + 1) + mx(t + 1) = (1 − r + mr)x(t).
Porovnáním s předpokladem (ii) vidíme, že
d = 1 − r + mr. (5.26)
88 KAPITOLA 5. APLIKACE
Odtud a s dalším využitím předpokladu (ii) dostaneme
m =
d + r − 1
r
≤
1 + r − 1
r
= 1.
Pro množství n(t) novorozenců v čase t tedy platí
n(t) = mx(t), 0 < m ≤ 1. (5.27)
Množství novorozenců n(t), množství „nově vzniklých jedinců y(t) a množství uhynulých
jedinců z(t) splňují stejnou diferenční rovnici (5.21) jako velikost populace x(t):
n(t + 1) = mx(t + 1) = mrx(t) = rn(t), y(t + 1) = bx(t + 1) = brx(t) = ry(t),
z(t + 1) = dx(t + 1) = drx(t) = rz(t).
Z rovností (5.26), (5.27) a předpokladu (ii) dostaneme
r =
1 − d
1 − m
=
1 −
z(t)
x(t)
1 −
n(t)
x(t)
=
x(t) − z(t)
x(t) − n(t)
. (5.28)
Známe-li tedy velikost populace a množství novorozenců v nějakém okamžiku a množství
uhynulých jedinců v předchozím období, můžeme vypočítat růstový koeficient r; samozřejmě
za předpokladu, že se populace vyvíjí podle uvažovaného modelu, tj. podle rovnice (5.21).
S využitím rovností (5.26), (5.27) a předpokladu (ii) můžeme také vyjádřit
z(t)
n(t)
− r =
z(t)
x(t)
x(t)
n(t)
− r =
d
m
− r =
1 − r + mr
m
− r =
1 − r
m
,
takže
z(t)
n(t)
− r
1 − r
=
1
m
. (5.29)
Ze znalosti množství novorozenců, množství uhynulých jedinců a podílu novorozenců v populaci
můžeme vypočítat růstový koeficient r.
V matrikách bývají vedeny záznamy o narozeních a úmrtích (ve farních matrikách bývaly
záznamy o křtech a pohřbech). Z těchto údajů lze určit počet novorozenců n(t) a počet
zemřelých z(t) v nějakém roce. Z odhadu podílu novorozenců v populaci (například spočítáním
kočárků a lidí na náměstí odpoledne) lze pomocí rovnice (5.29) spočítat přírůstek obyvatelstva
r a z této hodnoty a z rovnice (5.28) odhadnout počet obyvatel.
Údaje o úmrtích bývají většinou doplněny i o věk zemřelých. Budeme tedy předpokládat,
že známe věk uhynulých jedinců, Označme zk(t) množství jedinců, kteří uhynuli v časovém
intervalu (t, t+1] a jejich věk byl k; přesněji, kteří v časovém intervalu (t, t+1) věku k dosáhli
a poté v tomto intervalu uhynuli, nebo kteří by v tomto intervalu věku k dosáhli, pokud by
neuhynuli. Předpokládejme, že existuje nějaký maximální možný věk ω, tj. takový věk, že
není možné aby jakýkoliv jedinec byl starší než ω.3
3
Tím samozřejmě není řečeno, že je možné se věku ω dožít; v případě lidské populace můžeme bezpečně
volit např. ω = 1000 let, neboť nejstarší člověk Metuzalém zemřel ve věku 969 let.
5.1. RŮST POPULACE 89
Označme dále xk(t) množství jedinců věku k v čase t, přesněji: množství jedinců, kteří
v časovém intervalu (t − 1, t] dosáhli věku k. Proměnné x(t), n(t), z(t), xk(t), zk(t), k =
1, 2, . . . , ω jsou vázány vztahy
z(t) =
ω
i=1
zi(t), x(t) = n(t) +
ω
i=1
xi(t), zk(t) = xk(t) − xk+1(t + 1) (5.30)
pro každý čas t ∈ N.
Nechť qk, k = 1, 2, . . . , ω označuje pravděpodobnost, že se jedinec dožije věku k, tj. pravděpodobnost,
že jedinec, který byl v čase t − k novorozencem, žije v čase t,
qk =
xk(t)
n(t − k)
. (5.31)
Položme ještě q0 = 1. Z rovností (5.30), (5.31), (5.27) a (5.23) vyjádříme
zk(t) = xk(t) − xk+1(t + 1) = qkn(t − k) − qk+1n t + 1 − (k + 1) =
= qkmx(t − k) − qk+1mx(t − k) = (qk − qk+1)mrt
x(0)
1
rk
= (qk − qk+1)
n(t)
rk
.
Odtud dostaneme rekurentní formuli pro výpočet pravděpodobností qk dožití věku k při známých
počtech úmrtí ve věku k, počtu novorozenců n(t) a růstovém koeficientu r:
qk+1 = qk −
rkzk(t)
n(t)
, q0 = 1.
Z ní také plyne, že
1 = q0 ≥ q1 ≥ q2 ≥ · · · ≥ qω−1 ≥ qω. (5.32)
Tyto nerovnosti vyjadřují samozřejmou skutečnost, že jedinec, který se dožil věku k + 1, se
určitě dožil také věku k.
Z rovností (5.23), (5.30), (5.31), (5.27) a (5.32) dostaneme
rt
x(0) = x(t) = n(t) +
ω
i=1
xi(t) = n(t) +
ω
i=1
qin(t − i) = mx(t) +
ω
i=1
qimx(t − i) =
= m rt
x(0) +
ω
i=1
qirt−i
x(0) = mrt
x(0) 1 +
ω
i=1
qi
ri
.
Z této rovnosti plyne Eulerova rovnice
1 = m 1 +
ω
i=1
qi
ri
, (5.33)
kterou lze považovat mj. za rovnici pro výpočet růstového koeficientu r ze znalosti pravděpodobností
q1, q2, . . . , qω a podílu novorozenců v populaci.
Do Eulerovy rovnice (5.33) dosadíme parametr m vypočítaný z rovnosti (5.29),
1 +
ω
i=1
qi
ri
=
z(t)
n(t)
− r
1 − r
90 KAPITOLA 5. APLIKACE
a tím odvodíme vztah
ω
i=1
qi
ri
=
z(t)
n(t)
− 1
1 − r
. (5.34)
Z Eulerovy rovnice (5.33) a rovnosti (5.27) dostaneme
x(t) = n(t) 1 +
ω
i=1
qi
ri
. (5.35)
Relace (5.34) a (5.35) lze považovat za rovnice pro výpočet růstového koeficientu r při známých
pravděpodobnostech dožití q1, q2, . . . , qω, počtu novorozenců n(t) a k tomu velikosti
populace x(t) nebo počtu úmrtí z(t).
Podle rovností (5.31), (5.27) a (5.23) platí
xk(t) = qkn(t − k) = qkmx(t − k) = qkmrt−k
x(0) = mx(t)
qk
rk
,
takže podle Eulerovy rovnice (5.33) je podíl jedinců věku k v populaci roven
xk(t)
x(t)
= m
qk
rk
=
qk
rk
1 +
ω
i=1
qi
ri
, (5.36)
jmenovatel posledního zlomku nezávisí na věku k. To znamená, že v populaci, jejíž velikost
se vyvíjí podle rovnice (5.21), je stálé zastoupení jednotlivých věkových tříd, populace má
věkově stabilizovanou strukturu. Označíme-li
x0(t) = n(t) (5.37)
vidíme porovnáním s Eulerovou rovnicí (5.33), že rovnost (5.36) platí také pro k = 0.
Podle nerovností (5.32) pro r ≥ 1 platí
1 =
q0
r0
≥
q1
r1
≥
q2
r2
≥
q3
r3
≥ · · · ≥
qω
rω
.
Odtud, z rovnosti (5.36) a z Tvrzení 15 dostáváme:
Tvrzení 16. Nechť se velikost populace vyvíjí podle modelu (5.21). Pokud populace nevymírá
(r ≥ 1), pak třída novorozenců n(t) je v populaci zastoupena nejpočetněji ze všech věkových
tříd. Pokud třída novorozenců není zastoupena nejpočetněji, pak populace vymírá (r < 1).
Podle třetí z rovností (5.30) a rovností (5.21), (5.36) platí
1 −
zk(t)
xk(t)
=
xk(t) − xk(t) = xk+1(t + 1)
xk(t)
=
xk+1(t + 1)
xk(t)
=
=
xk+1(t + 1)
x(t + 1)
rx(t)
xk(t)
=
qk+1
rk+1
rrk
qk
=
qk+1
qk
.
5.1. RŮST POPULACE 91
Výraz nalevo vyjadřuje klasickou pravděpodobnost, že jedinec, který měl v čase t věk k
neuhyne během časového intervalu (t, t + 1]. Výraz napravo vyjadřuje podmíněnou pravděpodobnost,
že se jedinec dožije věku k + 1 za podmínky, že se dožil věku k. Rovnost tedy
není nijak překvapivá, ukazuje však, že dosud odvozené závěry z modelu neodporují realitě.
Zmíněnou pravděpodobnost, tj. pravděpodobnost, že jedinec věku k přežije časový interval
jednotkové délky, označíme symbolem pk, tedy
pk =
qk+1
qk
= 1 −
zk(t)
xk(t)
=
xk+1(t + 1)
xk(t)
, k = 0, 1, 2, . . . , ω − 1. (5.38)
Pokud známe pravděpodobnosti přežití pk, můžeme vypočítat pravděpodobnosti qk dožití
věku k podle rekurentní formule
qk+1 = pkqk, q0 = 1.
Tuto formuli lze považovat za lineární homogenní diferenční rovnici a tedy
qk =
k−1
i=0
pi.
Tento výsledek říká, že přežití každého z intervalů (t + i, t + i + 1], i = 0, 1, . . . , k jedincem,
který byl v čase t novorozený, jsou stochasticky nezávislé jevy.
Třetí vyjádření pravděpodobností pk v rovnostech (5.38) můžeme také zapsat jako diferenční
rovnice pro množství jedinců věku k:
xk+1(t + 1) = pkxk(t), k = 0, 1, 2, . . . , ω − 1. (5.39)
K tomuto systému diferenčních rovnic přidáme ještě rovnici pro množství novorozenců, tj.
pro složku x0(t) = n(t). Z předpokladu (i) dostaneme
x0(t + 1) = n(t + 1) = y(t) = bx(t), (5.40)
takže s využitím druhé z rovností (5.30) je
x0(t + 1) = b
ω
i=0
xi(t). (5.41)
Aby se velikost populace vyvíjela podle rovnice (5.21), musí být počáteční podmínky systému
rovnice (5.41), (5.39) podle rovností (5.36) ve tvaru
x0(0) = mx(0), xk(0) =
qk
rk
x(0)
1 +
ω
i=1
qi
ri
, k = 1, 2, . . . , ω. (5.42)
Předpokládejme navíc, že jsme schopni rozlišit věk jedinců, kteří ve zvoleném časovém období
„dali vznik novým jedincům . V matrice obyvatelstva by například mohly být záznamy
o věku matky. Budeme předpokládat v analogii k předpokladu (i), že množství „nově vzniklých
jedinců, kteří jsou potomky jsou potomky jedinců věku k, je úměrné množství jedinců
tohoto věku. Navíc jedinci z žádné věkové třídy nemohou „vyprodukovat méně než žádného
jedince. Předpokládáme tedy
92 KAPITOLA 5. APLIKACE
(iii) yk(t) = bkxk(t), bk ≥ 0, k = 0, 1, . . . , ω,
ω
i=0
bi > 0.
Proměnné y a yk, k = 0, 1, . . . , ω jsou samozřejmě vázány rovností
y(t) =
ω
i=0
yi(t) (5.43)
pro všechna t ∈ N. Parametry bk, k = 0, 1, 2, . . . , ω nazýváme věkově specifické koeficienty
porodnosti nebo míra reprodukce ve věku k. Jedinci bývají plodní až od jistého minimálního
věku, řekněme α > 0 (menarche), poté plodnost až do jistého věku roste, v nějakém věku plné
dospělosti, řekněme β > α, dosáhne svého maxima, od tohoto věku již neroste nebo dokonce
klesá a v nějakém věku γ (menopauza), β ≤ γ ≤ ω, může vymizet. Pro věkově specifické
plodnosti tedy může platit
0 = b0 = · · · = bα−1 < bα ≤ bα+1 ≤ · · · bβ−1 ≤ bβ ≥ bβ+1 ≥ · · · ≥ bγ−1 ≥ bγ = 0;
nerovnosti mezi věkově specifickými koeficienty porodnosti nejsou z hlediska matematického
modelu důležité, mohou mít význam pouze při jeho interpretacích.
Z předpokladů (i), (iii) a rovnosti (5.36) dostaneme
bx(t) = y(t) =
ω
i=0
yi(t) =
ω
i=0
bixi(t) = m
ω
i=0
bi
qi
ri
x(t).
Odtud a z vyjádření (5.25) plyne
r =
b
m
=
ω
i=0
bi
qi
ri
.
Růstový koeficient r je tedy řešením rovnice
ω
i=0
biqir−1−i
= 1. (5.44)
Poněvadž se velikost populace vyvíjí podle diferenční rovnice (5.21), musí mít rovnice (5.44)
kladné řešení. To znamená, že
existuje k ∈ {0, 1, 2, . . . , ω} že bkqk > 0; (5.45)
v opačném případě by totiž levá strana rovnice (5.44) byla nulová pro každé r > 0. Označme
nyní f(r) levou stranu rovnice (5.44). Z podmínky (5.45) plyne, že platí
lim
r→0+
f(r) = ∞, lim
r→∞
f(r) = 0, f′
(r) = −
ω
i=0
(i + 1)biqir−2−i
< 0 pro r > 0.
Funkce f je tedy na intervalu (0, ∞) ryze klesající, klesá od nekonečna k nule. To znamená,
že rovnice (5.44) má řešení jediné. Pokud f(1) > 1, je toto řešení větší než 1, pokud f(1) < 1,
je toto řešení menší než 1. Z tohoto pozorování a z tvrzení 15 plyne
5.2. PROBLÉM EXTINKCE 93
Tvrzení 17. Nechť se velikost populace x(t) vyvíjí podle modelu (5.21), tj. jsou splněny
relace (5.19),(5.24), (5.30), (5.31) a předpoklady (i), (ii). Nechť navíc platí předpoklad (iii) a
jsou splněny podmínky (5.43) a (5.45). Pak
• je-li
ω
i=0
biqi > 1, pak populace neomezeně roste;
• je-li
ω
i=0
biqi = 1, pak velikost populace je v průběhu času konstantní;
• je-li
ω
i=0
biqi < 1, pak populace vymírá.
5.2 Problém extinkce
Do druhého vydání svého Eseje o principech populace v roce 1803 přidal Thomas Malthus
kapitolu o populaci švýcarska, ve které upozornil na skutečnost, že
v Bernu přijala městská rada v letech 1583 až 1654 mezi měšťany 487 rodin, z nichž
379 během dvou století vymřelo a v roce 1783 jich zůstávalo pouze 108.
Navzdory tomu, že velikost populace roste exponenciálně, velké množství rodin vymírá. Vysvětlit
toto paradoxní pozorování se pokusil úředník ministerstva financí Irenée Jules Bienaymé
(1796–1878), který roku 1845 publikoval práci o trvání šlechtických rodin ve Francii
nazvanou De la loi de multiplication et de la durée des familles.
Bienaymé pro zjednodušení předpokládal, že všichni muži mají stejnou pravděpodobnost,
že budou mít 0, 1, 2, 3,. . . synů, kteří se dožijí dospělosti. Pokud je průměrný počet synů
menší než 1, je jasné, že nositelé rodového jména vymřou. Ovšem stejný závěr platí, pokud
je průměrný počet synů 1; např. je-li stejná pravděpodobnost 1
2 toho, že muž nebude mít
syna, nebo že bude mít dva syny. Na Bienaymého práci navázal jeho přítel, matematik a
ekonom Antoine Augustin Cournot (1801–1877) v knize De l’origine et des limites de la
correspondance entre l’alg`ebre et la géométrie (O počátku a mezích vztahů mezi algebrou a
geometrií) z roku 1847.
Stejnýn problémem se zabýval bratranec Charlese Darwina Francis Galton (1822–1911).
Neznal ovšem Bienaymého řešení. V časopise Educational Times předložil čtenářům problém:
Velký národ, v němž budeme uvažovat pouze dospělé muže, kterých je celkem N,
kolonizuje nějakou oblast. Vývoj jejich populace se řídí zákonem, že v každé populaci
nemá a0 procent mužů žádné mužské potomky, kteří by se dožili dospělosti;
a1 procent mužů má jednoho takového mužského potomka; a2 procent jich má 2;
a tak dále až do a5 procent mužů, kteří jich mají 5.
Najděte (1) jaký podíl příjmení po r generacích vymře a (2) a kolik příjmení bude
nosit m osob.
Druhou částí problému se Bienaymé nezabýval. Galton od čtenářů nedostal uspokojivé řešení
a sám na ně asi přijít nemohl. Proto se obrátil na svého přítele matematika Henryho Williama
Watsona (1827–1903), aby se ho pokusil vyřešit. V roce 1875 publikovali Galton s Watsonem
článek On the probability of extinction of families (O pravděpodobnosti vymření rodin), v
němž ukázali (chybně!), že každá rodina vymře.
94 KAPITOLA 5. APLIKACE
Tentýž problém, ale jinak interpretovaný, řešil John Burdon Sanderson Haldane. V letech
1924 až 1934 napsal sérii deseti článků souhrně nazvaných Matematická teorie přirozeného
a umělého výběru. V pátém z nich se zabýval pravděpodobností, že mutovaný gen se bude
v populaci šířit nebo že zanikne. Jako příklad můžeme uvažovat rostlinu s mutovaným genem,
která produkuje N semen, z nichž každé má pravděpodobnost q, že z něj vyroste nová
rostlina. Pravděpodobnost pk, že rostlina bude mít k potomků, je pravděpodobnostní funkcí
binomického rozdělení,
pk =
N
k
qk
(1 − q)N−k
.
Předpokládejme dále, že počet N je velký a pravděpodobnost q je malá, přesněji 1 ≤ Nq ≤ 3
2 a
označme R0 = Nq průměrný počet semen, která přežijí a vyprodukují novou rostlinu. Haldane
nazval veličinu R0 − 1 selektivní výhodou a ukázal, že pravděpodobnost přežití mutovaného
genu je dvojnásobkem selekční výhody.
5.2.1 Vymření potomků jedince
Uvažujme populaci s nepřekrývajícími se generacemi. Její vývoj si budeme představovat tak,
že každá generace žije jedno časové období a „vyprodukuje generaci bezprostředních potomků.
Všechny jedince budeme považovat za identické. Zejména to znamená, že počet bezprostředních
potomků nějakého jedince nezávisí na tom, zda tento jedinec měl či neměl nějaké
sourozence a kolik jich bylo.
Zavedeme náhodnou veličinu K vyjadřující počet bezprostředních potomků jedince. Pravděpodobnost,
že jedinec má právě k bezprostředních potomků, tedy hodnoty pravděpodobnostní
funkce náhodné veličiny K označíme pk. Pak 0 ≤ pk ≤ 1 pro všechna k = 0, 1, 2, 3, . . .
a platí
∞
k=0
pk = 1. (5.46)
Dále budeme předpokládat, že vyhynutí je možné, ale není jisté, tedy že
0 < p0 < 1.
Očekávaný počet bezprostředních potomků jedince, tedy střední hodnota náhodné veličiny K
je dána součtem
E K =
∞
k=0
kpk =
∞
k=1
kpk. (5.47)
Jako časovou jednotku zvolíme dobu života jedné generace. Označme x(t) pravděpodobnost,
že potomci nějakého jedince vymřou nejpozději v čase t, tj. vymřou do t-té generace.
Uvažovaný jedinec existuje, v počáteční nulté generaci nevymřel, tj.
x(0) = 0. (5.48)
Extinkce potomků v první generaci znamená, že jedinec nemá žádné bezprostřední potomky,
tj. x(1) = p0. Pravděpodobnost, že jedinci vymřou do druhé generace, je pravděpodobnost
vzájemně neslučitelných jevů, že jedinec nemá bezprostředního potomka, nebo že jedinec má
5.2. PROBLÉM EXTINKCE 95
jednoho bezprostředního potomka, který bezprostřední potomky již nemá, nebo že jedinec má
dva bezprostřední potomky a z nich každý zemře bez bezprostředních potomků, atd. Tedy
x(2) = p0 + p1p0 + p2p2
0 + p3p2
0 + · · · = p0 + p1x(1) + p2x(1)2
+ p3x(1)2
+ · · · =
∞
k=0
pkx(1)k
.
Obecně
x(t) =
∞
k=0
pkx(t − 1)k
. (5.49)
Nyní zavedeme reálnou funkci f jako součet mocniné řady
f(x) =
∞
k=0
pkxk
.
Podle podmínky (5.46) je poloměr konvergence této řady alespoň 1 a platí
f(1) = 1. (5.50)
Dále
f′
(x) =
∞
k=0
kpkxk−1
=
∞
k=1
kpkxk−1
.
Odtud plyne, že pro x ∈ [0, 1] je f′ ≥ 0, což znamená, že funkce f je neklesající na intervalu
[0, 1]. Porovnáním s formulí (5.47) vidíme, že
E K = f′
(1). (5.51)
Pravděpodobnost vymření potomků jedince nejpozději v n-té generaci je podle vyjádření
(5.49) řešením nelineární autonomní rekurentní formule prvního řádu
x(t + 1) = f x(t) (5.52)
s počáteční podmínkou (5.48). Najdeme rovnovážné body rovnice (5.52), tj. řešení rovnice
x = f(x). (5.53)
Tato rovnice má podle (5.50) řešení x = 1. Budeme hledat její řešení uvnitř intervalu (0, 1).
Zde je rovnice (5.53) ekvivalentní s rovnicí
1 =
1 − f(x)
1 − x
.
Pravá strana této rovnice je funkcí proměnné x; označme tuto funkci ϕ. S využitím (5.46) a
formule z tvrzení 1.4.2 dostaneme
ϕ(x) =
1 − f(x)
1 − x
=
1
1 − x
∞
k=0
pk −
∞
k=0
pkxk
=
∞
k=0
pk
1 − xk
1 − x
=
=
∞
k=0
k−1
i=0
xi
pk =
∞
k=0
k−1
i=0
pkxi
.
96 KAPITOLA 5. APLIKACE
Odtud plyne
ϕ′
(x) =
∞
k=0
k−1
i=0
ipkxi−1
=
∞
k=1
k−1
i=0
ipkxi−1
> 0
pro x ∈ (0, 1). Dále platí
ϕ(0) =
1 − f(0)
1 − 0
= 1 − p0 ∈ (0, 1),
lim
x→1+
ϕ(x) = lim
x→1+
−f′(x)
−1
= f′
(1) = E K.
To znamená, že funkce ϕ je na intervalu (0, 1) ryze rostoucí, z hodnoty ϕ(0) < 1 naroste k
hodnotě E K. Odtud dále plyne, že v případě E K ≤ 1 rovnice (5.53) nemá uvnitř intervalu
(0, 1) řešení, a v případě E K > 1 má rovnice jediné řešení x∗ ∈ (p0, 1).
Průběh řešení rovnice (5.52) nyní můžeme vyšetřit graficky. Pokud E K ≤ 1, mají graf
funkce y = f(x) a přímka y = x na intervalu [0, 1] jediný společný bod odpovídající rovnovážnému
řešení x ≡ 1. V opačném případě protíná graf funkce y = f(x) přímku y = x ve dvou
bodech odpovídajících rovnovážným řešením x ≡ 1 a x ≡ x∗ ∈ (p0, 1). Schodovitá procedura
ukazuje, že řešení rovnice (5.52) s počáteční podmínkou (5.48) je rostoucí posloupnost taková,
že
lim
t→∞
x(t) = x∞.
Hodnotu limity x∞ lze interpretovat jako pravděpodobnost, že potomci nějakého jedince
vymřou. Pokud tedy E K ≤ 1, vymřou s pravděpodobností 1, tedy jistě. Pokud E K > 1,
vymřou s pravděpodobností x∗ ∈ (p0, 1) a budou v populaci dlouhodobě (v neomezeném
časovém horizontu) přítomni s pravděpodobností 1 − x∗. To znamená, že i v případě, že
očekávaný (průměrný) počet bezprostředních potomků jedince z populace je větší než 1, jeho
potomci mohou z populace vymizet.
5.2.2 Šíření potomků jedince v populaci
Označme qk,n pravděpodobnost, že nějaký jedinec z uvažované populace má v n-té generaci
právě k potomků. Zejména qk,1 vyjadřuje pravděpodobnost, že jedinec má právě k bezprostředních
potomků, tedy
qk,1 = pk.
Hodnoty qk,n jakožto pravděpodobnosti splňují pro libovolné n ∈ N vztahy
0 ≤ qk,n ≤ 1,
∞
k=0
qk,n = 1. (5.54)
O počtech bezprostředních potomků různých jedinců předpokládáme, že jsou stochasticky
nezávislé. Pravděpodobnost, že dva jedinci budou mít celkem k bezprostředních potomků je
tedy dána součtem součinů
k
i=0
qi,1qk−i,1 =
k
i=0
pipk−i =
i1+i2=k
pi1 pi2
5.2. PROBLÉM EXTINKCE 97
a obecně pravděpodobnost, že l jedinců bude mít dohromady k bezprostředních potomků, je
dána součtem
i1+i2+···+il=k
pi1 pi2 · · · pil
.
Předpoklad o nezávislosti počtu bezprostředních potomků nějakého jedince a počtu jeho sourozenců
vyjádříme nyní tak, že pravděpodobnost jevu, že nějaký jedinec má v n−1-ní generaci
právě l potomků a ti mají dohromady k bezprostředních potomků, je dána součinem
ql,n−1
i1+i2+···+il=k
pi1 pi2 · · · pil
.
Pravděpodobnost, že jedinec má v n-té generaci právě k > 0 potomků, je pravděpodobností
jevu, že jedinec má v n − 1-ní generaci právě jednoho potomka a ten má právě k bezprostředních
potomků, nebo jedinec má v n − 1-ní generaci právě dva potomky, kteří mají celkem k
bezprostředních potomků, nebo . . . . Popsané jevy jsou zřejmě neslučitelné, takže
qk,n =
∞
l=1
ql,n−1
i1+i2+···+il=k
pi1 pi2 · · · pil
pro k > 0. (5.55)
Jev, že jedinec nemá v n-té generaci potomky, je totožný s jevem, že jedinec nemá v n − 1ní
generaci potomka, nebo má v n − 1-ní generaci jednoho potomka, který nemá žádného
bezprostředního potomka, nebo jedinec má v n − 1-ní generaci právě dva potomky, z nichž
žádný nemá bezprostředního potomka, nebo . . . . Z této úvahy dostáváme
q0,n = q0,n−1 + q1,n−1p0 + q2,n−1p2
0 + · · · =
∞
l=0
ql,n−1pl
0. (5.56)
Pro n ∈ N, n > 0 definujeme funkci gn jako součet nekonečné řady
gn(x) =
∞
k=0
qk,nxk
.
Poloměr konvergence této řady je podle (5.54) roven alespoň 1. Pro funkce gn platí:
g1(x) =
∞
k=0
qk,1xk
=
∞
k=0
pkxk
= f(x)
98 KAPITOLA 5. APLIKACE
a s využitím vztahů (5.55), (5.56)
gn(x) = q0,n +
∞
k=1
qk,nxk
=
∞
l=0
ql,n−1pl
0 +
∞
k=1


∞
l=1
ql,n−1
i1+i2+···+il=k
pi1 pi2 · · · pil

 xk
=
= q0,n−1 +
∞
l=1
ql,n−1
i1+i2+···+il=0
pi1 pi2 · · · pil
+
∞
l=1
ql,n−1
∞
k=1 i1+i2+···+il=0
pi1 pi2 · · · pil
xk
=
= q0,n−1 +
∞
l=1
ql,n−1
∞
k=0 i1+i2+···+il=k
pi1 pi2 · · · pil
xk
=
= q0,n−1 +
∞
k=1
qk,n−1


∞
l=0 i1+i2+···+ik=l
pi1 pi2 · · · pik
xl

 =
= q0,n−1 +
∞
k=1
qk,n−1 f(x)
k
=
∞
k=0
qk,n−1 f(x)
k
= gn−1 (f(x)) .
Odtud dostáváme, že hodnoty funkcí gn můžeme počítat rekurentně ze vztahů
gn(x) = gn−1 f(x) , g1(x) = f(x).
Derivováním rekurentního vztahu obdržíme
g′
n(x) = g′
n−1 f(x) f′
(x)
a zejména vzhledem k (5.50)
g′
n(1) = g′
n−1(1)f′
(1).
Tento vztah můžeme chápat jako rekurentní formuli pro posloupnost, jejíž n-tý člen je g′
n(1)
a splňuje rekurentní formuli pro geometrickou posloupnost s kvocientem f′(1). To znamená,
že
g′
n(1) = f′
(1)
n−1
g′
1(1) = f′
(1)
n
a vzhledem k rovnosti (5.51) platí
g′
n(1) = (E K)n
. (5.57)
Nyní zavedeme náhodnou proměnnou Mn vyjadřující počet potomků jedince v n-té generaci.
Její střední hodnota, tedy očekávaný počet potomků nějakého jedince v n-té generaci je
dána rovností
E Mn =
∞
k=0
kqk,n =
∞
k=1
kqk,n.
Poněvadž
∞
k=1
kqk,nxk−1
=
∞
k=1
qk,nxk
′
=
∞
k=0
qk,nxk
− q0,n
′
= gn(x) − q0,n
′
= g′
n(x),
dostaneme ze vztahu (5.57) očekávaný počet potomků jedince v n-té generaci ve tvaru
E Mn = (E K)n
.