Stochastické procesy ve
finanční matematice
Doc. RNDr. Martin Kolář, Ph.D.
1
Obsah
1 Základy teorie pravděpodobnosti 4
1.1 Motivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Pravděpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Opakování základních pojmů teorie pravděpodobnosti . . . . . 5
1.4 Diskrétní náhodné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Závislost a nezávislost náhodných veličin . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Podmíněná pravděpodobnost a podmíněné očekávání . . . . . 11
1.7 Součty náhodných veličin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Jednoduchá náhodná procházka 14
2.1 Náhodná procházka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Základní vlastnosti náhodné procházky . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Základní techniky pro počítání s náhodnou procházkou . . . . 16
2.3.1 Technika podmínění 1. krokem . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Technika počítání trajektorií . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3 Princip reflexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.4 Generující funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.5 Charakteristiky náhodných veličin a jejich generující
funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.6 Součty náhodných veličin a konvoluce . . . . . . . . . . 23
2.3.7 Generující funkce a náhodná procházka . . . . . . . . . 24
2.3.8 Časy navštívení bodu r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Diskrétní modely ve finanční matematice 30
3.1 1-krokový model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Základní věta APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Model s více periodami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 Trh se dvěma periodami . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.2 Vícekrokový model s T kroky . . . . . . . . . . . . . . 37
2
4 Zákony arcsinu a Pólyova věta 39
4.1 Zákony arcsinu pro symetrickou náhodnou procházku . . . . . 39
4.1.1 1. zákon arcsinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.2 Stirlingova formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.3 2. zákon arcsinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Pólyova věta v Rn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Martingaly 46
5.1 Přirozená filtrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Martingal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Samofinancující portfolia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.1 Dynamické portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.2 Samofinancující portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4 Martingalová transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4.1 Podmíněná očekávání a martingalová transformace . . 51
6 Úplnost trhu 52
6.1 Věta o úplnosti trhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7 Wienerův proces (Brownův pohyb) 55
7.1 Wienerův proces pro cenu akcie . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.1.1 Itôovo lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.1.2 Odvození Black-Scholesovy rovnice . . . . . . . . . . . 58
3
Kapitola 1
Základy teorie
pravděpodobnosti
Hlavním cílem tohoto kurzu je se seznámit se základními metodami analýzy
stochastických procesů, používaných v modelech matematické teorie financí.
Matematické modely ve financích jsou z velké většiny stochastické. Základním
nástrojem který vzužívají je tedy teorie pravděpodobnosti. V této
kapitole připomeneme některé základní pojmy a techniky z teorie pravděpodobnosti,
tak jak je budeme v dalších kapitolách potřebovat.
1.1 Motivace
Uvažujme jako příklad cenu jedné akcie firmy Citi Bank dne 1. 2. 2012.
Dnes, 9. 1. 2012, je pro nás tato cena neznámá, a modelujeme ji tedy jako
náhodnou veličinu. Ovšem za měsíc, 9. 2. 2012, již bude známou hodnotou
(konstantou). Pro matematické modelování ve financích je typická tato “mezihra”
náhodných a známých, veličin, kterou se zabývá teorie stochastických
procesů.
Uvažujme množinu (posloupnost) náhodných veličin Xt, t ∈ I (Xt je tedy
stochastický proces).
Je-li Xt cena zvolené akcie v čase t, pak zřejmě Xt, Xt+1 nejsou nezávislé
náhodné veličiny. Hodnota Xt něco říká o pravděpodobnostním rozdělení
náhodné veličiny Xt+1. Na druhé straně, přírustky Xt+2 − Xt+1 a Xt+1 −
Xt budou ve většině našich modelů nezávislé. To úzce souvisí s hypotézou
efektivního trhu, která říká: Všechny informace dostupné v čase t jsou již
obsaženy v ceně Xt. Jak uvidíme, je to také jedním z hlavních argumentů
proč je Brownův pohyb “přirozeným ” modelem vývoje cen akcií.
4
1.2 Pravděpodobnost
Teorie pravděpodobnosti je hlavním nástrojem matematických modelů ve
financích. Je dobré si uvědomit hned na začátku že pojem pravděpodobnost
má více možných interpretací.
1. Frekventistický přístup: Pravděpodobnost jevu je limita jeho relativní
četnosti při velkém počtu opakování téhož experimentu. Nevýhodou
této definice je omezení na opakovatelné jevy. Předpoklad opakovatelnosti
konkrétní situace na trhu není ve financích úplně reálný.
2. Bayesovský přístup1
: Pravděpodobnost vyjadřuje míru naší nejistoty v
pravdivost nějakého tvrzení, založenou na informacích, které v danou
chvíli máme. V tomto pojetí je každá pravděpodobnost ve skutečnosti
podmíněná (informacemi které právě máme). Například pravděpodobnost
padnutí šestky na kostce je P(X = 6) = 1
6
, pokud nemáme žádnou
informaci o tom jak je kostka vyrobena. Budeme-li znát například
přesné složení materiálu (nehomogenost dřeva), může se tato pravděpodobnost
změnit.
Matematická technika výpočtů nicméně na interpretaci ve většině případů
nezávisí a je stejná pro obě pojetí.
1.3 Opakování základních pojmů teorie prav-
děpodobnosti
Pravděpodobnostní prostor (model) obvykle označujeme (Ω, A, P), kde
– Ω je prostor elementárních jevů, t.j. všechny možné stavy modelovaného
systému které chceme rozlišovat (např. {1, 2, 3, 4, 5, 6} u hodu kostkou).
– A je množina všech pozorovatelných jevů. PrvkyA jsou podmnožiny Ω.
Jev je tedy formálně vzato množina elementárních jevů, které jsou s ním
slučitelné. (Například jev padne sudé číslo je množina {2, 4, 6})
Je-li Ω konečné nebo spočetné (tak tomu bude u všech diskrétních modelů),
je A v definici pravděpodobnostního prostoru nadbytečná, neboť automaticky
A je rovno exp Ω, množině všech podmnožin Ω.
– P : A → 0, 1 je pravděpodobnostní míra. V diskrétním případě stačí
1
Tento přístup je historicky starší, pochází od Laplace a Bayese.
5
znát hodnoty této míry na elementárních jevech, tedy P : Ω → 0, 1 . P(ω)
je pak pravděpodobnost elementárního jevu ω, a pro obecný jev A ∈ A platí
P(A) =
ω∈A
P(ω).
Pokud je ale Ω nespočetná, pak exp Ω má příliš velkou mohutnost, aby
se na ní dala definovat pravděpodobnostní míra. Musíme se pak omezit na
menší σ-algebru. S tím se setkáme až u spojitých modelů.
1.4 Diskrétní náhodné proměnné
Diskrétní náhodná proměnná je funkce
X : Ω → {x1, x2, ...} ⊆ R,
kde {x1, x2, ...} je diskrétní podmnožina R.
Definice 1.4.1. Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny X je
f(x) = P(X = x).
Definice 1.4.2. distribuční funkce náhodné veličiny X je definována jako
F(x) = P(X ≤ x).
Připomeňme si ještě definici nezávislosti dvou jevů.
Definice 1.4.3. Jevy A, B ⊆ Ω jsou nezávislé, jestliže
P(A) =
P(A ∩ B)
P(B)
,
tj.
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
Jinak řečeno (podle prvního vztahu) víme-li že nastal jev B, nezmění to
pravděpodobnost jevu A.
Definice 1.4.4. Diskrétní náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, jestliže
jevy {X = x} a {Y = y} jsou nezávislé pro všechna x a y.
Jinými slovy, znalost hodnoty X nedává žádnou informaci o hodnotě Y .
6
Pravděpodobnostní funkce obsahuje všechny informace o náhodné veličině.
Často nám ale stačí číselné charakteristiky.
Definice 1.4.5. Očekávání (střední hodnota) náhodné veličiny X s pravděpodobnostní
funkcí f(x) je definována jako
E(X) =
x: f(x)>0
xf(x),
je-li řada absolutně konvergentní.
Očekávání můžeme vypočítat také pomocí vztahu:
E(X) =
ω∈Ω
X(ω)P(ω)
Definice 1.4.6. Je-li k přirozené číslo, k-tý moment mk náhodné veličiny
X je definován jako
mk = E(Xk
).
Definice 1.4.7. k-tý centrální moment σk je definován jako
σk = E((X − mk)k
).
Speciálně,
m1 = E(X)
je střední hodnota a
σ2 = E((X − E(X))2
)
je rozptyl (variance) Tedy σ2 = σ2
, kde σ =
√
σ2 je střední směrodatná
odchylka.
Definice 1.4.8. Nechť A je jev, tj. A ⊆ Ω, a nechť IA : Ω → R je náhodná
veličina definovaná vztahem
IA(ω) =
1 pro ω ∈ A
0 pro ω /∈ A
.
Pak IA se nazývá indikátorová funkce jevu A.
7
Libovolnou náhodnou veličinu můžeme zapsat pomocí indikátorových funkcí
jevů Ai = {X = xi}. Máme
X =
i
xiIAi
.
IA je příkladem Bernoulliovské náhodné veličiny. Nabývá pouze hodnot 0 a
1.
1.5 Závislost a nezávislost náhodných veličin
Lemma 1.5.1. Nechť X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny. Potom
E(XY ) = E(X)E(Y ).
Důkaz: Označme Ax = {X = x} a By = (Y = y). Pak
XY =
x,y
xyIAx∩By ,
tedy
E(XY ) =
x,y
xyE(IAx∩By ) =
x,y
xyP(Ax ∩ By) =
x,y
xyP(Ax)P(By) = (
x
xP(Ax))(
y
yP(By)) = E(X)E(Y ).
Opak obecně neplatí.
Definice 1.5.2. Říkáme, že náhodné veličiny X a Y jsou nekorelované,
jestliže platí:
E(XY ) = E(X)E(Y ).
Věta 1.5.3. Nechť X a Y jsou náhodné veličiny. Pak
1. V ar(aX) = a2
V ar(X) pro a ∈ R.
2. Jsou-li X a Y nekorelované (speciálně nezávislé) náhodné veličiny, pak
V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ).
8
Důkaz: První tvrzení plyne ihned z definice. Dokážeme druhé tvrzení.
V ar(X + Y ) = E [(X + Y ) − E(X + Y )]2
=
E (X + Y )2
− 2(X + Y )E(X + Y ) + E2
(X + Y ) =
E(X + Y )2
− 2E(X + Y )E(X + Y ) + E2
(X + Y ) =
= E(X +Y )2
−2(E(X)+E(Y ))2
+E2
(X +Y ) = E(X2
)+2E(XY )+E(Y 2
)
−2 (E(X))2
+ 2E(X)E(Y ) + (E(Y ))2
+ E2
(X) + 2E(XY ) + E2
(Y )
= E(X2
) + E(Y 2
) + 4E(XY ) − (E(X))2
− 4E(X)E(Y ) − (E(Y ))2
= E(X2
) + E(Y 2
) + 4E(X)E(Y ) − (E(X))2
− 4E(X)E(Y ) − (E(Y ))2
=
E(X2
) − (E(X))2
+ E(Y 2
) − (E(Y ))2
= V ar(X) + V ar(Y )
Definice 1.5.4. Kovariance náhodných veličin X a Y je definována jako
cov(X, Y ) = E [(X − E(X))(Y − E(Y ))] .
Korelační koeficient X a Y je
ρ(X, Y ) =
cov(X, Y )
V ar(X)V ar(Y )
.
Platí:
ρ(X, Y ) = 0 ⇔ E(XY ) = E(X)E(Y ) ⇔ cov(X, Y ) = 0
a
cov(X, Y ) = E(XY ) = E(X)E(Y ).
Dále je
|ρ(X, Y )| ≤ 1.
Klíčová otázka z praktického hlediska je jak ověřit nezávislost dvou daných
náhodných veličin. Definice k tomu vhodná není.
Definice 1.5.5. Nechť X a Y jsou diskrétní náhodné veličiny (na stejném
pravděpodobnostním prostoru). Sdružená distribuční funkce X a Y je definovaná
vztahem
FX,Y (x, y) = P(X ≤ x ∧ Y ≤ y).
Definice 1.5.6. Sdružená pravděpodobnostní funkce: fX,Y : R2
→
9
[0, 1] je definovaná vztahem
fX,Y (x, y) = P(X = x ∧ Y = y).
Analogicky pro více náhodných veličin. Následující lemma dává dobře ověřitelné
kriterium nezávislosti.
Lemma 1.5.7. Diskrétní náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé právě tehdy
když
fX,Y (x, y) = fX(x)fY (y)
pro všechna x, y ∈ R.
Důkaz: cvičení.
Ze znalosti sdružené pravděpodobnostní funkce fX,Y můžeme vypočítat
marginální pravděpodobnostní funkce fX a fY . Máme
fX(x) = P(X = x) = P(
y
({X = x} ∩ {Y = y}))
=
y
P(X = x ∧ Y = y) =
y
fX,Y (x, y).
Příklad 1.5.8. Nechť X : Ω → {1, 2, 3}a Y : Ω → {−1, 0, 2} jsou náhodné
veličiny, a sdružená pravděpodobnostní funkce je dána tabulkou:
y = −1 y = 0 y = 2 fX
x = 1 1
18
3
18
2
18
6
18
x = 2 2
18
0 3
18
5
18
x = 3 0 4
18
3
18
7
18
fY
3
18
7
18
8
18
18
18
Jsou X a Y nezávislé? - Nejsou v tom případě by řádky musely být násobkem
jeden druhého. Vypočteme kovarianci těchto dvou náhodných veličin. Máme
XY : Ω → {−1, 0, −2, −3, 2, 4, 6} .
Dále
E(X) =
1
18
+
10
18
+
21
18
=
37
18
, E(Y ) =
13
18
a
E(XY ) = −1
1
18
+ 2
2
18
− 2
2
18
+ 4
3
18
+ 6
3
18
=
29
18
Celkem tedy
cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) =
29
18
−
481
324
=
522 − 481
324
=
41
324
.
10
1.6 Podmíněná pravděpodobnost a podmíněné
očekávání
Připoměňme definici podmíněné pravděpodobnosti pro jevy,
P(A | B) =
P(A ∩ B)
P(B)
.
Ve finančních modelech je obvykle každá pravděpodobnost podmíněná
informací, kterou máme v danou chvíli.
Definice 1.6.1. Podmíněná pravděpodobnostní funkce Y za podmínky X =
x, označená fY |X(. | x), je definována jako
fY |X(y | x) = P(Y = y | X = x),
pro každé x takové, že P(X = x) > 0.
Máme
P(Y = y | X = x) =
P(Y = y ∧ X = x)
P(X = x)
=
fX,Y (x, y)
fX(x)
tedy
fY |X(y | x) =
fX,Y (x, y)
fX(x)
,
analogický tvar jako platí pro jevy.
V předchozím příkladu máme pro x = 1
fY |X(y | 1) ∼
1
6
,
3
6
,
2
6
=
fX,Y
fX
.
Víme-li, že X = x, pak Y má novou pravděpodobnostní funkci fY |X(y | x)
jakožto funkci y (x je pevné).
Očekávání vůči této funkci je podmíněné očekávání Y za podmínky X =
x, které označíme Ψ(x) = E(Y | X = x).
Definice 1.6.2. Funkce (tj. náhodná veličina)
Ψ(x) = E(Y | X = x)
se nazývá podmíněné očekávání Y při znalosti X.
V minulém příkladu je:
Ψ(1) =
1
6
(−1) +
3
6
0 +
2
6
2 =
1
2
,
11
Ψ(2) =
−2
5
+
6
5
=
4
5
a Ψ(3) = 6
7
.
Věta 1.6.3. Pro podmíněné očekávání Ψ(x) = E(Y | X = x) platí
E(Ψ(x)) = E(Y ).
Důkaz: cvičení.
1.7 Součty náhodných veličin
Lemma 1.7.1. Nechť X a Y jsou dvě náhodné veličiny na (Ω, A,P) a
f(x, y) je jejich sdružená pravděpodobnostní funkce. Pak pro jejich součet
Z = X + Y platí
P(X + Y = z) =
x
f(x, z − x).
Důkaz: Máme
{X + Y = z} =
x
({X = x ∧ Y = z − x})
tedy
P(X + Y = z) =
x
P({X = x} ∧ {Y = z − x}) =
x
f(x, z − x).
12
Pokud X, Y jsou nezávislé, pak
fX,Y (x, z − x) = fX(x)fY (z − x),
tedy
fX+Y (z) =
x
fX(x)fY (z − x),
což je konvoluce funkcí fX a fY . Označuje se fX fY .
13
Kapitola 2
Jednoduchá náhodná procházka
2.1 Náhodná procházka
Jednoduchá náhodná procházka je základem diskrétních modelů pro pohyb
cen aktiv. Je to “diskrétní verze” Brownova pohybu.
Uvažujme následující hru: Hází se opakovaně mincí (ne nutně férovou).
Padne-li hlava (H), získáme 1 Kč. Padne-li orel (O), prohrajeme 1 Kč. Ozna-
čme:
S0 ... suma, kterou máme na začátku,
Sn ... suma, kterou máme po n hrách.
Je tedy
Sn = S0 +
n
i=1
Xi,
kde Xi je náhodná veličina popisující výsledek i-té hry. Předpokládáme, že
pravděpodobnostní funkce Xi je
P(Xi = 1) = p, P(Xi = −1) = 1 − p = q
pro všechna i a navíc Xi jsou nezávislé.
Xi jsou tedy analogií Bernoulliho náhodné veličiny, kde místo hodnot{1, 0}
máme {1, −1} . Pro každé pevné n je Sn náhodná veličina, tedy {Sn}∞
n=1 je
stochastický proces.
Definice 2.1.1. Stochastický proces {Sn}∞
n=1 se nazývá jednoduchá náhodná
procházka. Je-li p = q = 1
2
, nazývá se symetrická jednoduchá
náhodná procházka.
14
Někdy je vhodnější uvažovat jinou interpretaci – náhodný pohyb částice
po přímce: V každém kroku t = 0, 1, 2, ... se částice posune buď o 1 doprava
s pravděpodobností p nebo o 1 doleva s pravděpodobností q = 1 − p.
Velmi užitečné je grafické znázornění jednoduché náhodné procházky.
Body o souřadnicích (n, Sn) spojíme úsečkami. Vzniklá lomená čára se nazývá
trajektorie (cesta) náhodné procházky. Trajektorie je grafické znázornění
realizace náhodného procesu {Sn}∞
n=0.
Varianty náhodné procházky:
• jiné rozdělení Xi (např. normální)
• hodnoty Xi ne v R ale v Rd
... vícerozměrná náhodná procházka
2.2 Základní vlastnosti náhodné procházky
Lemma 2.2.1. Jednoduchá náhodná procházka je prostorově homogenní,
tedy platí
P(Sn = j | S0 = a) = P(Sn = j + b | S0 = a + b).
Důkaz: Obě strany rovnosti jsou rovny P(
n
i=1
Xi = j − a).
Analogicky platí i časová homogenita.
Lemma 2.2.2. Jednoduchá náhodná procházka je časově homogenní,
neboli platí
P(Sn = j | S0 = a) = P(Sn+m = j | Sm = a).
Důkaz: Levá strana je rovna
P(
n
i=1
Xi = j − a),
pravá strana je rovna
P(
n+m
i=m
Xi = j − a).
15
Rovnost tedy plyne z nezávislosti a stejného rozdělení Xi.
Lemma 2.2.3. Jednoduchá náhodná procházka má Markovovu vlastnost,
tedy
P(Sm+n = j | S0, S1, ..., Sm) = P(Sm+n = j | Sm).
Důkaz: Známe-li hodnotu Sm, pak rozdělení pravděpodobnosti Sn+m závisí
jen na krocích Xm+1, Xm+2, ..., Xm+n, tedy je nezávislé na S0, S1, ..., Sm−1.
Markovovu vlastnost lze intuitivně popsat slovy “Náhodná procházka
nemá paměť.” nebo “Minulost ovlivňuje budoucnost jen skrze současnost.”
2.3 Základní techniky pro počítání s náhodnou
procházkou
Tato sekce se věnuje základním technikám počítání s náhodnou procházkou:
• podmínění 1. krokem
• počítání trajektorií
• generující funkce
2.3.1 Technika podmínění 1. krokem
Příklad 2.3.1. (zruinování hráče): Uvažujme předchozí hru s férovou mincí
(p = 1
2
). Padne-li hlava (H), hráč získá 1 Kč, padne-li orel (O), hráč prohraje
1 Kč. Nechť S0 = k je jeho počáteční jmění. Hráč si chce koupit auto v
ceně N. Bude hrát tak dlouho, dokud Sn = N (koupí auto) nebo Sn = 0
(bankrot). Jaká je pravděpodobnost, že si hráč koupí auto?
Uvažujme jevy:
A ... hráč nakonec zbankrotuje;
H ... první hod je hlava (P(H) = p);
O ... první hod je orel (P(O) = q).
Podle věty o úplné pravděpodobnosti:
P(A) = P(H)P(A | H) + P(O)P(A | O).
Označme Pk(A) hledanou pravděpodobnost bankrotu pro dané počáteční
jmění k, tedy
16
Pk(A) = P(H)Pk(A | H) + P(O)Pk(A | O).
Pk(A | H) je ale pravděpodobnost bankrotu v situaci, kdy hráč po 1.
kroku má k + 1 (a hra začíná znovu; z nezávislosti Xi). Tedy
Pk(A | H) = Pk+1(A)
a podobně
Pk(A | O) = Pk−1(A).
Označme pk = Pk(A). Dosazením dostaneme
pk = ppk+1 + qpk−1 =
1
2
pk+1 +
1
2
pk−1
což je diferenční rovnice 2. řádu. Máme
1
2
(pk+1 − pk) =
1
2
(pk − pk−1),
tedy přírůstky pravděpodobnosti jsou konstantní. Označme přírůstky b =
pk − pk−1, tedy pk = p0 + kb. Okrajové podmínky pro diferenční rovnici jsou:
p0 = 1...okamžitý bankrot
pN = 0...okamžitá koupě auta
Odtud dostaneme 1 + Nb = 0, tedy b = − 1
N
a pk = 1 − k
N
.
Pro p = 1
2
musíme vyřešit diferenční rovnici.
2.3.2 Technika počítání trajektorií
Uvažujme náhodnou procházku vycházející z bodu a. Tedy S0 = a, P(Xi =
1) = p, P(Xi = −1) = q, a
Sn = a +
n
i=1
Xi.
Pro pevně danou cestu je pravděpodobnost, že prvních n kroků bude
sledovat tuto trajektorii, rovna pr
ql
, kde r je počet kroků doprava (nahoru)
a l je počet kroků doleva (dolů), tedy
r =| {i : Si+1 − Si = 1, i ≤ n} |,
kde | . | značí velikost množiny.
17
Každý jev můžeme vyjádřit pomocí vhodné množiny trajektorií (které
jsou s ním v souladu), a jeho pravděpodobnost je součet pravděpodobností
těchto trajektorií. Máme
P(Sn = b) =
r
Mr
n(a, b)pr
qn−r
,
kde Mr
n(a, b) je počet cest (S0, S1, ..., Sn) takových, že S0 = a, Sn = b, a
majících přesně r kroků doprava.
Víme, že r + l = n a r − l = b − a, odtud 2r = n + b − a, tj.
r =
n + b − a
2
a
l =
n − b + a
2
.
Tedy
P(Sn = b) =
n
r
p
n+b−a
2 q
n−b+a
2 =
n
1
2
(n + b − a)
p
n+b−a
2 q
n−b+a
2 ,
pokud 1
2
(n + b − a) ∈ N (jinak je pravděpodobnost rovna 0).
V následujícím textu se budeme zabývat otázkami: Kdy se náhodná procházka
dostane poprvé do dané hodnoty? Jakou největší hodnotu nabývá do
času n?
2.3.3 Princip reflexe
Označme Nn(a, b) počet všech cest z bodu (0, a) do bodu (n, b). Víme, že
Nn(a, b) = Mr
n(a, b) =
n
1
2
(n + b − a)
.
Dále nechť N0
n(a, b) je počet všech cest z bodu (0, a) do bodu (n, b), které
obsahují nějaký bod (k, 0) na ose x, tj. navštíví bod 0.
Věta 2.3.2. (princip reflexe): Je-li a, b > 0 pak platí
N0
n(a, b) = Nn(−a, b).
Důkaz: Každá cesta z bodu (0, −a) do (n, b) protne osu x poprvé v nějakém
bodě (k, 0). Reflexí této cesty okolo osy x dostaneme cestu z bodu (0, a)
18
do (n, b), která navštíví osu x. Tato operace dává vzájemně jednoznačnou
korespondenci mezi cestami z (0, −a) do (n, b) a cestami (0, a) do (n, b),
které navštíví osu x. Tedy N0
n(a, b) = Nn(−a, b).
Věta 2.3.3. (o volbách): Je-li b > 0, pak počet cest z bodu (0, 0) do bodu
(n, b), které se nevrátí do bodu 0 je
b
n
Nn (0, b) ,
kde Nn (0, b) je počet všech cest z bodu (0, 0) do bodu (n, b).
Důkaz: Pro všechny takové cesty je první krok bod (1, 1) (jinak se nutně
dostaneme do nuly), tedy jejich počet je roven (z časové homogenity):
Nn−1 (1, b) − N0
n−1 (1, b) = Nn−1 (1, b) − Nn−1 (−1, b) =
=
n − 1
1
2
(n − 1 + b − 1)
−
n − 1
1
2
(n + b)
=
n − 1
m − 1
−
n − 1
m
=
b
n
n
m
=
b
n
Nn (0, b) ,
kde jsme označili m = 1
2
(n + b).
Příklad 2.3.4. (Úloha o volbách) Kandidát A má α hlasů; kandidát B
dostal β hlasů, kde α > β, tj. kandidát A zvítězil. Jaká je pravděpodobnost,
že během voleb byl A celou dobu před B?
Označme Xi = 1 je-li i-tý hlas pro A, Xi = −1 je-li i-tý hlas pro kandidáta
B. Je tedy n = α + β.
Součet Sk =
k
i=1
Xi popisuje o kolik vede A nad B v čase k (případně
prohrává je-li Sk < 0).
Podle věty o volbách je trajektorií z bodu (0, 0) do bodu (α + β, α − β),
které se nedostanou do 0 přesně
α − β
α + β
Nα+β (0, α − β) .
Hledaná pravděpodobnost je tedy
α−β
α+β
Nα+β (0, α − β)
Nα+β (0, α − β)
=
α − β
α + β
.
Nyní se budeme zajímat o to, jaká je pravděpodobnost, že se náhodná
procházka nevrátí do 0. Máme S0 = 0 a chceme S1 = 0, ..., Sn = 0, tedy
ekvivalentně S1S2...Sn = 0.
19
Věta 2.3.5. Je-li S0 = 0, pak pro n ≥ 1 platí
P(S1S2...Sn = 0 | Sn = b) =
| b |
n
P(Sn = b),
tedy
P(S1S2...Sn = 0) =
1
n
E(Sn).
Důkaz: cvičení
2.3.4 Generující funkce
Uvažujeme posloupnost reálných čísel
a = {ai; i = 0, 1, 2, ..} .
Taková posloupnost obsahuje velké množství informace, kterou můžeme výhodně
“zakódovat” do jediného objektu (funkce), s nímž budeme moci lépe
pracovat. Speciálně získáme možnost použít operace (např. derivaci) které
pro posloupnosti nemají smysl.
Definice 2.3.6. Generující funkce posloupnosti a je funkce daná součtem
mocninné řady
Ga(s) =
∞
i=0
aisi
pro s ∈ R, pro která řada konverguje.
Posloupnost a dostaneme z generující funkce Ga zpět vztahem
ai =
G
(i)
a (0)
i!
,
kde G
(i)
a (0) je i-tá derivace Ga v bodě 0.
Příklad 2.3.7. Nechť a = {0, 1, 0, −1, 0, 1, 0, ...} Pak
Ga = s − s3
+ s5
− s7
+ ...
což je geometrická řada s prvním členem s a s kvocientem q = −s2
. Tedy
Ga(s) = s
1
1 + s2
=
s
1 + s2
pro | s |< 1 (obor konvergence).
Definujeme generující funkci diskrétní náhodné veličiny.
20
Definice 2.3.8. Nechť X je diskrétní náhodná veličina, která nabývá hodnoty
v množině {0, 1, 2, ...} s pravděpodobnostní funkcí
f(i) = P(X = i).
Generující funkce této náhodné veličiny je definovaná jako generující
funkce její pravděpodobnostní funkce, tedy
GX(s) =
∞
i=0
f(i)si
=
∞
i=0
P(X = i)si
.
Platí
GX(s) = E(sX
).
Základní vlastnosti generujících funkcí:
1. Existuje nezáporné číslo R (poloměr konvergence) takové, že G(s) konverguje
pro | s |< R a diverguje pro | s |> R.
2. G(s) můžeme derivovat nebo integrovat člen po členu, libovolně mnohokrát,
pro | s |< R.
3. Jednoznačnost: Je-li Ga(s) = Gb(s) pro | s |< R, kde 0 < R ≤ R, pak
an = bn pro všechna n.
Příklady generujících funkcí náhodných veličin:
1. Konstantní náhodná veličina: P(X = c) = 1, tedy
GX(s) = 1sc
= sc
,
kde c ∈ N ∪ {0}.
2. Bernoulliho náhodná veličina: P(X = 1) = p; P(X = 0) = 1 − p, tedy
GX(s) = ps1
+ (1 − p)s0
= 1 − p + ps.
3. Geometrické rozdělení: P(X = n) = p(1 − p)n−1
, tedy
GX(s) =
∞
i=0
f(i)si
=
∞
n=1
p(1 − p)n−1
sn
=
∞
n=1
ps [(1 − p)s]n−1
=
= ps
∞
n=0
[(1 − p)s]n
=
sp
1 − (1 − p)s
=
sp
1 − s + sp
.
21
4. Poissonovo rozdělení s parametrem λ: P(X = k) = λk
k!
e−λ
, tedy
GX(s) =
∞
i=0
λi
i!
e−λ
si
= e−λ
∞
i=0
(λs)i
i!
= e−λ
eλs
= eλs−λ
= eλ(s−1)
(využili jsme xn
n!
= ex
).
2.3.5 Charakteristiky náhodných veličin a jejich generující
funkce
:
E(X) a V ar(X) lze jednoduše spočítat pomocí GX(s).
Věta 2.3.9. Nechť X je náhodná veličina s generující funkcí G(s). Pak
platí:
1. E(X) = GX(1)
2. obecně
E(X(X − 1)...(X − k + 1)) = G(k)
(1)
(tzv. k-tý faktoriální moment)
Důkaz: První tvrzení je speciální případ druhého. Máme
G(k)
(s) =
i
si−k
i(i − 1)...(i − k + 1)f(i) =
= E(sX−k
X(X − 1)...(X − k + 1)).
Pro s → 1 dostaneme
GX(1) = E(X(X − 1)...(X − k + 1)).
Pro rozptyl dostaneme speciálně vztah
V ar(X) = E(X2
) − E(X)2
= E(X(X − 1) + X) − E(X)2
=
= E(X(X − 1)) + E(X) − E(X)2
= GX(1) + GX(1) − [GX(1)]
2
.
22
2.3.6 Součty náhodných veličin a konvoluce
Něchť a = {ai, i ≥ 0} a b = {bi, i ≥ 0} jsou dvě posloupnosti, pak konvoluce
c = a b je posloupnost definovaná vztahem
cn = a0bn + a1bn−1 + ... + anb0.
Jsou-li Ga, Gb generující funkce posloupností a a b, pak generující funkce
posloupnosti c je
Gc(s) =
∞
n=0
cnsn
=
∞
n=0
n
i=0
aibn−i sn
=
=
∞
i=0
aisi
∞
n=i
bn−isn−i
=
∞
i=0
aisi
∞
n=0
bnsn
= Ga(s)Gb(s).
Tím jsme dokázali následující tvrzení.
Věta 2.3.10. Generující funkce konvoluce dvou posloupností je součinem
generujících funkcí těchto posloupností.
Věta 2.3.11. Nechť X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny. Pak
GX+Y (s) = GX(s)GY (s).
Důkaz: Víme, že pro pravděpodobnostní funkci X +Y platí fX+Y = fX fY
(z nezávislosti) a podle předchozí věty víme, že generující funkce konvoluce
je součin generujících funkcí. Tedy
GX+Y = GXGY .
Je-li tedy S = X1 + X2 + ... + Xn, kde Xi jsou nezávislé, pak
GS = GX1 GX2 ...GXn .
Definice 2.3.12. Sdružená pravděpodobnostní generující funkce
náhodných veličin, nabývajících hodnot v N ∪ {0}, je definovaná jako
GX1,X2 (s1, s2) = P (X1 = i ∧ X2 = j) si
1sJ
2 = E(sX1
1 sX2
2 )
Analogicky pro více náhodných veličin.
23
2.3.7 Generující funkce a náhodná procházka
Uvažujme opět náhodnou procházku:
Sn =
n
i=1
Xi,
kde P(Xi = 1) = p a P(Xi = −1) = q = 1 − p. Přitom Xi jsou nezávislé a
S0 = 0.
Jak často se náhodná procházka vrací do počátku? Jaké je pravděpodobnostní
rozdělení prvního návratu do počátku? (Pro další návraty je to opět
totéž, z nezávislosti Xi.)
K zodpovězení těchto otázek využijeme generující funkce.
Označme
p0(n) = P(Sn = 0)
pravděpodobnost, že náhodná procházka je v 0 v čase n,
f0(n) = P(S1 = 0, S2 = 0, ..., Sn−1 = 0, Sn = 0)
pravděpodobnost, že první návrat do počátku nastal v čase n.
Uvažujme generující funkce těchto dvou posloupností,
P0(s) =
∞
n=0
p0(n)sn
a
F0(s) =
∞
n=0
f0(n)sn
.
Máme p0(0) = 1 (neboť S0 = 0) a f0(0) = 0.
Lemma 2.3.13. Platí
P0(s) = 1 − 4pqs2 −1
2
.
Důkaz: Víme, že Sn = 0 ⇔ počet kroků doprava = počet kroků doleva,
tedy r = n
2
= l. Počet takových cest je n
n
2
pro n sudé a 0 pro n liché.
Označme k = n
2
, tj. n = 2k. Máme
p0(2k) =
2k
k
pk
qk
24
a
P0(s) =
∞
k=0
2k
k
(pqs2
)k
. (2.1)
Tvrdíme, že P0(s) = 1√
1−4pqs2
. Využijeme obecného binomického rozvoje
(1 + x)a
=
∞
n=0
a
n
xa
,
kde
a
n
=
a (a − 1) ... (a − n + 1)
n!
(pro a ∈ N je rozvoj konečný, pro a ∈ R ∧ a /∈ N je rozvoj nekonečný) Pro
a = −1
2
a x = −4pqs2
dostaneme
1 − 4pqs2 −1
2
=
∞
k=0
−1
2
k
−4pqs2 k
= (2.2)
∞
k=0
−1
2
k
(−4)k
pqs2 k
Porovnáním 2.1 a 2.2 tedy stačí dokázat, že
−1
2
k
(−4)k
=
2k
k
.
Pro levou stranu dostaneme
−1
2
−3
2
−5
2
... −2k−1
2
k!
(−1)k
· 22k
=
2k
· (−1)2k
·
1 · 3 · 5 · ... · (2k − 1)
k!
= 2k
·
1 · 3 · 5 · ... · (2k − 1)
k!
.
Pro pravou stranu
2k
k
=
2k (2k − 1) (2k − 2) ...1
k! · k!
= 2k
· k! ·
(2k − 1) (2k − 3) ...3 · 1
k! · k!
=
2k
·
(2k − 1) (2k − 3) ...3 · 1
k!
.
Tedy l.s. = p.s. Tím je lemma dokázáno.
Věta 2.3.14. Platí:
25
1)P0(s) = 1 + P0(s) · F0(s)
a
2)F0(s) = 1 − 1 − 4pqs2
1
2
.
Důkaz: Označme A jev, že {Sn = 0} a nechť Bk jsou jevy první návrat do
počátku nastal v k-tém kroku (k = 1, 2, ..., n).
1) Bk jsou disjunktní a dávají rozklad, tedy
P(A) =
n
k=1
P(A | Bk) · P(Bk).
Máme P(Bk) = f0(k) a P(A | Bk) = p0(n − k). Tedy
p0(n) =
n
k=1
p0(n − k) · f0(k).
Vynásobíme sn
a sečteme:
∞
n=1
p0(n) · sn
=
∞
n=1
n
k=1
p0(n − k) · f0(k) · sn
=
∞
k=1
f0(k) · sk
∞
n=k
p0(n − k) · sn−k
= P0(s) · F0(s).
Jelikož ∞
n=1
p0(n) · sn
= P0 − 1,
dostáváme P0 − 1 = P0 · F0, tedy P0 = 1 + P0 · F0.
Pro důkaz 2) dostáváme z 1)
F0 =
P0 − 1
P0
= 1 −
1
P0
= 1 − 1 − 4pqs2.
Důsledek 2.3.15. Pravděpodobnost toho, že se částice někdy vrátí do
počátku je rovna
∞
n=1
f0(n) = F0(1) = 1− | p − q | .
26
Speciálně, pro symetrickou náhodnou procházku (p = q) je návrat jistý.
Důsledek 2.3.16. Je-li p = q = 1
2
, tedy návrat je jistý, pak očekávání času
prvního návratu do počátku je
E(T0) =
∞
n=1
n · F0(n) = F0(1) = ∞.
Důkaz:
1. Máme
F0(1) = 1 − 1 − 4pq = 1 − 1 − 4p(1 − p) = 1 − 1 − 4p + 4p2 =
= 1 − (1 − 2p)2 = 1− | 1 − 2p |= 1− | 1 − p − p |= 1− | q − p | .
Pro q = p = 1
2
je F0(1) = 1 − 0 = 1.
2. Je-li návrat jistý, tedy p = 1
2
, pak P(T0 = ∞) = 0, a tedy E(T0) =
F0(1), kde F0 = 1 − 1 − 4pqs2. Máme
F0 = −
1
2
·
1
1 − 4pqs2
· (−4pq2s) =
4pqs
1 − 4pqs2
,
tedy lim
s→1−
F (s) = +∞.
Dokázali jsme tedy následující tvrzení.
Věta 2.3.17. (Pólyova věta): Symetrická náhodná procházka se s pravděpodobností
1 vrátí do počátku.
2.3.8 Časy navštívení bodu r
Označme
fr(n) = P(S1 = r, S2 = r, ..., Sn−1 = r, Sn = r)
pravděpodobnost, že se náhodná procházka dostane poprvé do bodu r v čase
n, s generující funkcí
Fr(s) =
∞
n=0
fr(n) · sn
.
Věta 2.3.18. Platí:
1. Fr(s) = [F1(s)]r
pro r ≥ 1,
27
2. F1(s) =
1−(1−4pqs2
)
1
2
2qs
.
Důkaz: Označme Tr = min {n; Sn = r} počet kroků potřebných k dosažení
hodnoty r poprvé. Nechť r > 0. Abychom dosáhli r, musíme se dostat nejdříve
do bodu 1, a potom z bodu 1 do bodu r. To je z prostorové homogenity totéž
jako dostat se z 0 do r −1. Odtud plyne Tr = T1 +Tr−1. Navíc T1 a Tr−1 jsou
nezávislé, tedy platí Fr = F1 · Fr−1. Máme
f1(n) = P(S1 = 1, S2 = 1, ..., Sn−1 = 1, Sn = 1) = P(A) =
= P(A | S1 = 1) · P(S1 = 1) + P(A | S1 = −1) · P(S1 = −1) =
= P(A | S1 = 1) · p + P(A | S1 = −1) · q = 0 · p + f2(n − 1) · q.
Odtud
f1(n) = f2(n − 1) · q.
Vynásobíme sn
a sečteme
f1(n) · sn
= q · f2(n − 1) · sn
pro n > 1. Tedy
n=2
f1(n) · sn
=
n=2
q · f2(n − 1) · sn
=
n=2
sq · f2(n − 1) · sn−1
= sq
n=1
f2(n) · sn
.
Odtud dostáváme
F1 − ps = F2 · qs.
Víme, že F2 = F2
1 , tedy
F1 − ps = F2
1 · qs
což vede ke kvadratické rovnici
qs · F2
1 − F1 + ps = 0.
Řešením dostaneme dva kořeny
F1 =



1−
√
4qps2
2qs
1+
√
4qps2
2qs
přitom ale kořen
1+
√
4qps2
2qs
nevyhovuje zadání, protože má v bodě 0 limitu
∞.
28
Důsledek 2.3.19. Pravděpodobnost, že náhodná procházka někdy navštíví
kladnou část reálné osy, je rovna min 1, p
q
.
Důkaz: Hledaná pravděpodobnost je rovna pravděpodobnosti že náhodná
procházka navštíví bod 1. Ta je rovna
∞
n=1
f1(n),
součtu pravděpodobností, že se dostaneme do bodu 1 v nějakém čase n.
Víme, že
F1(s) =
∞
n=0
f1(n) · sn
.
Dosazením s = 1 dostaneme
∞
n=1
f1(n) = F1(1) =
1 − (1 − 4pq)
1
2
2q
=
1 − 1 − 4p(1 − p)
2(1 − p)
=
1 − (1 − 2p)2
2(1 − p)
=
1− | 1 − 2p |
2(1 − p)
=
1− | q − p |
2q
=
=
1−(−(q−p))
2q
= 1−p+q
2q
= 2q
2q
= 1 pro q < p
1−q+p
2q
= 2p
2q
= p
q
pro q > p
.
Příklad 2.3.20. Ruleta má 37 čísel (včetně 0). Budeme vsázet stále na lichá
čísla, tedy p = 18
37
a q = 19
37
. Pravděpodobnost, že budeme někdy vyhrávat je
p
q
= 18
19
.
29
Kapitola 3
Diskrétní modely ve finanční
matematice
V této kapitole se budeme věnovat 1-krokovým a vícekrokovým diskrétním
modelům finančního trhu.
3.1 1-krokový model
Uvažujeme jednu pevně zvolenou akcii, a předpokládejme, že
– v čase t = 0 je cena akcie S0 známá hodnota;
– v čase t = 1 je cena akcie S1 náhodná veličina (neznámá hodnota).
Hodnota S1(ω) je funkcí tržního scénáře ω ∈ Ω, kde
Ω = {ω1, ..., ωk}
je prostor tržních scénářů
Dále předpokládejme, že existuje bezrizikové aktivum, jehož hodnota v
čase t = 0 je rovna 1 a v t = 1 je rovna er
za všech tržních scénářů. Hodnota
r se nazývá bezriziková úroková míra. Předpokládáme, že r je úroková míra
stejná jak pro půjčování, tak pro ukládání peněz.
1. příklad: Forwardová smlouva (uzavřená v čase t = 0): V čase t = 1
koupí X od Y jednu akcii za cenu F. Jaká je “správná” cena F?
Věta 3.1.1. Jestliže neexistuje arbitráž, pak cena forwardové smlouvy je
F = S0 · er
.
Arbitráží je míněna možnost jak si bez rizika zajistit zisk “z ničeho”. Přesnou
definici si uvedeme za chvilku.
30
Důkaz: Dokážeme, že jak F > S0 · er
, tak F < S0 · er
vede k arbitráži.
1) Nechť F > S0 · er
(výhodné pro Y ). Uvažujme následující strategii:
t = 0 ... Y si vypůjčí v bance S0, koupí akcii a uzavře forwardovou
smlouvu na prodej akcie.
t = 1 ... Y prodá akcii za F, do banky vrátí S0 · er
.
Zůstane mu bezrizikový zisk F − S0 · er
> 0, strategie tedy dává arbitráž.
2) Nechť F < S0 · er
(výhodné pro X) Uvažujme teď tuto strategii:
t = 0 ... X prodá akcii na krátko (tedy vypůjčí si akcii – tzv. shortselling)
za S0, uloží výnos do banky a uzavře forwardovou smlouvu na koupi
akcie.
t = 1 ... X dostane z banky S0 · er
, koupí akcii za F a vrátí ji (tj. uzavře
krátkou pozici). Zůstane mu S0 · er
− F > 0, tj. bezrizikový zisk. Opět je to
arbitráž.
Tedy pokud neexistuje arbitráž, pak F = S0 · er
.
2. příklad: Evropská call opce dává držiteli právo koupit akcii v čase
t = 1 za cenu K (tzv. realizační cena opce). Kupec opce zaplatí v čase t = 0
za toto právo prodejci cenu V0. Jaká je férová cena V0? (V čase t = 0 neznáme
S1.)
Držitel opce ji uplatní, je-li K < S1 (jinak koupí akcii levněji na trhu).
Tedy hodnota v čase t = 1 je
V1 = (S1 − K)+ =
S1 − K pokud S1 > K
0 pokud S1 ≤ K
.
Jaká je hodnota V0? Předpokládejme, že existují dva možné tržní scénáře
(ω1, ω2) a nechť pro t = 1 máme S1(ω1) = d1 a S1(ω2) = d2.
Chceme určit V0, za předpokladů
1. d1 < K < d2
2. d1 ≤ S0 · er
≤ d2
(pro S0 ·er
< d1 < d2 dostaneme arbitráž). Uvažujme portfolio (x1, x2, x3) ∈
R3
, kde x1 je počet aktiv peněžního trhu (bezrizikových), x2 je počet akcií a
x3 počet opcí.
Hodnota portfolia v čase t = 1 za scénáře ω1 je
y1 = x1 · er
+ x2 · d1 + 0 · x3
Hodnota portfolia v čase t = 1 za scénáře ω2 je
y2 = x1 · er
+ x2 · d2 + (d2 − K) · x3
31
Zobrazení T : (x1, x2, x3) → (y1, y2) je lineární zobrazení z R3
→ R2
,
které má nenulové jádro dimenze 1.
Tedy pro portfolio (0, 0, 1) existuje jednoznačné portfolio (x1, x2, 0),
které má stejnou hodnotu jako (0, 0, 1) v obou scénářích.1
Hodnoty x1 a x2 najdeme řešením rovnic:
x1 · er
+ x2 · d1 = 0
pro (V1 (ω1)) a
x1 · er
+ x2 · d2 = d2 − K
pro (V1 (ω2)).
Řešením dostaneme:
x1 =
−d1e−r
(d2 − K)
d2 − d1
a
x2 =
d2 − K
d2 − d1
.
Portfolio (x1, x2, 0) má stejnou hodnotu jako (0, 0, 1) v každém scénáři.
Musí mít tedy stejnou hodnotu v čase t = 0 (jinak by existovala arbitráž).
Tedy
V0 = −e−r
·
d1(d2 − K)
d2 − d1
· 1 +
d2 − K
d2 − d1
· S0 = (d2 − K)
er
S0 − d1
d2 − d1
e−r
+ 0
= e−r
V1 (ω2) p + V1 (ω1) (1 − p) ,
kde V1 (ω1) = 0.
e−r
je diskontní faktor a
p =
er
S0 − d1
d2 − d1
se nazývá “tržní” (risk-neutrální, rovnovážná) pravděpodobnost scénáře ω2.
Tedy V0 je diskontované očekávání hodnoty opce v čase t = 1 vzhledem
k tržní pravděpodobnostní míře.
1
tzv. replikující portfolio
32
3.2 Základní věta APT
APT označuje arbitrážní teorii oceňování (Arbitrage Pricing Theory)
Uvažujme trh s K aktivy A1
, ..., AK
volně obchodovatelnými, kde A1
je bezrizikové aktivum. Cena podílu aktiva Aj
v čase t = 0 je Sj
0 (známá
hodnota).
Máme tržní scénáře
Ω = {ω1, ..., ωN }.
Předpokládejme, že A1
je bezrizikové, tj.
S1
1(ωj) = er
pro všechna j = 1, ..., N, kde r je úroková míra.
Sj
1 (ωi) (náhodné veličiny na Ω = {ω1, ..., ωN }) bude označovat hodnotu
aktiva Aj
v čase t = 1 za scénáře ωi.
Máme tedy matici N × K s prvky Sj
1 (ωi) (scénáře píšeme do řádku).
Definice 3.2.1. Portfolio je vektor
Θ = (θ1, θ2, ..., θK) ∈ RK
,
kde θj je počet podílů aktiva Aj
v portfoliu. Pro θj < 0 je majitel v krátké
pozici v aktivu Aj
(o velikosti | θj |). V čase t = 0 je hodnota Θ rovna
V0 (Θ) =
K
j=1
θj · Sj
0.
Pro t = 1 závisí hodnota Θ na ωi,
V1 (Θ, ωi) =
K
j=1
θj · Sj
1 (ωi) .
Definice 3.2.2. Arbitráž je portfolio, které “získává peníze z ničeho”, tj.
formálně: buď
V0 (Θ) ≤ 0 a V1 (Θ, ωj) > 0
pro všechna ωj ∈ Ω, nebo
V0 (Θ) < 0 a V1 (Θ, ωj) ≥ 0
pro všechna ωj ∈ Ω.
Definice 3.2.3. Pravděpodobnostní míra πi = π(ωi) na množině Ω všech
33
scénářů je rovnovážná pravděpodobnostní míra (neboli risk-neutrální
míra), jestliže pro všechna Aj
je hodnota podílu v čase t = 0 rovna diskontovanému
očekávání vzhledem k pravděpodobnostní míře π hodnoty podílu
v čase t = 1. Tedy
Sj
0 = e−r
N
i=1
π(ωi) · Sj
1(ωi)
pro všechna j = 1, ..., K, kde e−r
je diskontní faktor.
Věta 3.2.4. (Základní věta APT): Rovnovážná pravěpodobnostní míra
existuje právě tehdy, když neexistuje arbitráž.
Důkaz:
Implikace ⇐ je snadná:
Jestliže existuje rovnovážná pravděbodobnostní míra a Θ je portfolio,
jehož hodnota v t = 1 je ≥ 0 za všech scénářů, pak
V0(Θ) = e−r
N
i=1
π(ωi) · V1(Θ, ωi) ≥ 0,
tedy Θ není arbitráž, a arbitráž neexistuje.
Nyní chceme dokázat opačnou implikaci: Neexistuje-li arbitráž, pak existuje
rovnovážná pravděpodobnostní míra taková, že
Sj
0 = e−r
N
i=1
π(ωi) · Sj
1(ωi).
Pro j = 1 platí tento vztah automaticky:
1 = S1
0 = e−r
N
i=1
π(ωi) · er
= e−r
N
i=1
π(ωi) · S1
1(ωi).
Uvažujme nyní 2 ≤ j ≤ K. Označme ε množinu všech takových vektorů
tvaru y = (y2, ..., yK), kde
yj = e−r
N
i=1
π(ωi) · Sj
1(ωi)
pro všechna j = 2, 3, ..., K, pro nějakou pravděpodobnostní míru π.
34
ε ⊆ RK−1
je uzavřený konvexní polyedr, který je konvexním obalem svých
extrémních bodů, které odpovídají pravděpodobnostem π (ωi) = 1, π (ωj) =
0 pro j = 0.
Chceme dokázat, že neexistuje-li arbitráž, pak
S = S2
0, ..., SK
0 ∈ ε.
Jinak řečeno, pokud S /∈ ε, pak existuje arbitráž. Využijeme větu o oddělující
nadrovině:
Věta 3.2.5. (Věta o oddělující nadrovině:) Nechť F ⊆ Rn
je uzavřená konvexní
množina, x /∈ F. Pak existuje v ∈ Rn
tak, že v · x < v • y pro všechna
y · F, kde · je skalární součin.
Důkaz: Nechť a je nejbližší bod v F k bodu x, pak vektor a−x má hledané
vlastnosti.
Máme tedy
S ∈ ε ⇒ ∃Θ = (θ2, ..., θK) = 0
tak, že pro všechna y ∈ ε platí:
y · Θ > S · Θ .
ε obsahuje extrémní body, tedy pro všechna i platí:
e−r
K
j=2
θj · Sj
1(ωi) >
K
j=2
θj · Sj
0
(tj. Ai > B).
Tedy existuje arbitráž:
Nechť Ai < θ1 < B pro všechna i, pak portfolio (−θ1, θ2, ..., θK) je
arbitráž (hodnota v t = 0 je < 0 a hodnota v t = 1 je > 0 pro všechna ωi).
Uvažujeme evropskou call opci, jejíž výplatní funkce je, jak víme,
V1 = (S1 − K)+.
Dále S1(ωi) = di pro i = 1, 2 a d1 < d2. Pokud neexistuje arbitráž, pak
existuje π taková, že cena v t = 0 je diskontované očekávání, tedy speciálně
pro akcii máme
S0 = e−r
· (π(ω1) · d1 + π(ω2) · d2)
a víme, že π(ω1) + π(ω2) = 1. Speciálně platí d1 < S0 · er
< d2 (v předchozím
to byl předpoklad, teď to platí automaticky).
35
Dostaneme
π(ω1) =
d2 − S0er
d2 − d1
a
π(ω2) =
S0er
− d1
d2 − d1
.
Je-li opce volně obchodovatelná, a má-li zůstat trh bez arbitráže, musí
totéž platit i pro opci, tedy:
V0 = π(ω2) · (d2 − K) + π(ω1) · 0 = π(ω2) · (d2 − K) =
S0er
− d1
d2 − d1
(d2 − K).
Jištění (Hedging): Uvažujme aktiva A1
, A2
, ..., AK
, B. Nechť Sj
t (ωi) a
SB
t (ωi) jsou ceny v čase t a scénáři ωi, kde t = 0, 1.
Definice 3.2.6. Portfolio Θ = (θ1, θ2, ..., θK) je replikující portfolio pro
B, jestliže
SB
1 (ωi) =
K
j=1
θj · Sj
1(ωi)
pro všechna i = 1, ..., N.
Věta 3.2.7. Nechť Θ = (θ1, θ2, ..., θK) je replikující portfolio pro B. Neexistujeli
arbitráž, pak v čase t = 0 platí:
SB
0 =
K
j=1
θj · Sj
0.
Důkaz: Nechť tvrzení neplatí.
Je-li SB
0 >
K
j=1
θj · Sj
0, pak (−1, θ1, θ2, ..., θK) v B, A1
, A2
, ..., AK
je
arbitráž, protože
K
j=1
θj · Sj
0 − SB
0 < 0
a
SB
1 (ωi) −
K
j=1
θj · Sj
1(ωi) = 0
pro všechna ωi ∈ Ω.
36
Analogicky, pro
SB
0 <
K
j=1
θj · Sj
0
vezmeme opačné portfolio.
3.3 Model s více periodami
3.3.1 Trh se dvěma periodami
Uvažujme jedno bezrizikové aktivum a 1 rizikovou akcii. Tržní scénáře jsou
nyní
Ω = {(++) , (+−) , (−+) , (−−)} .
Předpokládejme, že
S1(+) = u · S0
S1(−) = d · S0
S2(++) = u · S1(+) = u2
· S0
S2(+−) = d · S1(+) = u · d · S0
S2(−+) = u · S1(−) = d · u · S0
S2(−−) = d · S1(−) = d2
· S0
(u ... up a d ... down.) Máme tři částečné trhy. V každém uděláme stejný
výpočet jako v jednokrokovém modelu. Dostaneme rovnovážné pravděpodobnosti
(pro jednoduchost předpokládejmě, že r = 0).
pu =
1 − d
u − d
(S0 se vykrátí) a
pd =
u − 1
u − d
.
Celkem rovnovážná pravděpodobnostní míra bude:
P(++) = p2
u, P(−−) = p2
d, P(+−) = P(−+) = pupd.
3.3.2 Vícekrokový model s T kroky
Množina všech možných scénářů je v tomto případě
Ω = {(+, +, +, ..., +) , (+, +, ..., +, −) , ..., (−, −, ..., −)} .
37
Má 2T
prvků, je tedy 2T
možných scénářů.
Pro ω ∈ Ω je jeho rovnovážná pravděpodobnost
P(ω) = pK
u · pT−K
d ,
kde K je počet + ve scénáři ω.
Chceme-li ocenit opci, její cena bude očekávání (obecně diskontované očekávání,
ale my pro jednoduchostuvažujeme r = 0) její hodnoty v čase T
VT = (ST − K)+
vůči rovnovážné pravděpodobnostní míře. Nechť m je nejmenší přirozené číslo
takové, že S0 · um
· dT−m
≥ K. Máme tedy
V0 =
T
n=m
pn
u · pT−n
d ·
T
n
· S0 · un
· dT−n
− K
=
T
n=m
(1 − d)n
· (u − 1)T−n
(u − d)T
·
T
n
· S0 · un
· dT−n
− K ,
kde T
n
je počet trajektorií s celkem n plusy.
Poznámka. Položíme-li d = 1
u
, pak v limitě pro T → ∞ a u = e
σ√
T
dostaneme Black-Scholesův spojitý model pro oceňování opcí. σ je parametr
nazývaný volatilita.
38
Kapitola 4
Zákony arcsinu a Pólyova věta
4.1 Zákony arcsinu pro symetrickou náhodnou
procházku
V této podkapitole uvedeme dva zákony arcsinu, pro časy pobytu napravo
od počátku (tj. v kladných hodnotách) a pro poslední navštívení počátku.
4.1.1 1. zákon arcsinu
Věta 4.1.1. (1. zákon arcsinu pro poslední návštěvu počátku):
Nechť p = 1
2
a S0 = 0. Pravděpodobnost, že poslední návštěva počátku do
času 2n nastane v čase 2k, je rovna
P (S2k = 0) · P (S2n−2k = 0) .
Důkaz: Označme α2n(2k) pravděpodobnost, že poslední návštěva počátku
do času 2n nastane v čase 2k. Máme
α2n(2k) = P (S2k = 0) · P (S2k+1 · S2k+2...S2n = 0 | S2k = 0) .
Z časové homogenity plyne
α2n(2k) = P (S2k = 0) · P (S1 · S2...S2n−2k = 0 | S0 = 0) .
Tvrzení tedy plyne z následujícího lemmatu.
Lemma 4.1.2. Pro symetrickou náhodnou procházku platí:
P(S1...S2m = 0) = P(S2m = 0),
39
kde P(S2m = 0) = 2m
m
1
2
2m
.
Důkaz: Využijeme důsledek věty o volbách: Je-li S0 = 0, pak pro n ≥ 1
platí
P (S1 · S2...Sn = 0 | Sn = b) =
1
2
· E (| Sn |) .
Dále ze symetrie plyne
P(S1...S2m = 0) =
1
2m
· E(| S2m |) = 2 ·
1
2m
m
k=1
2k · P(S2m = 2k)
= 2
m
k=1
2k
2m
· P(S2m = 2k) = 2
m
k=1
2k
2m
·
2m
m + k
·
1
2
2m
= 2 ·
1
2
2m
·
m
k=1
2m − 1
m + k − 1
−
2m − 1
m + k
.
V posledním členu je m počet kroků do prava a výraz se sumou je tzv.
teleskopický součet1
. Dále platí
2m − 1
m + k − 1
−
2m − 1
m + k
=
2k
2m
2m
m + k
.
Opravdu, máme
(2m − 1) ... (m − k + 1)
(m + k − 1)!
−
(2m − 1) ... (m − k)
(m + k)!
=
=
(m + k) (2m − 1) ... (m − k + 1) − (2m − 1) ... (m − k + 1) (m − k)
(m + k)!
=
(2m − 1) ... (m − k + 1) [(m + k) − (m − k)]
(m + k)!
=
2k
2m
·
2m (2m − 1) ... (m − k + 1)
(m + k)!
=
=
2k
2m
·
2m
m + k
.
Odtud plyne, že
2·
1
2
2m
·
m
k=1
2m − 1
m + k − 1
−
2m − 1
m + k
= 2·
1
2
2m
·
2m − 1
m
−
2m − 1
2m
1
Z takovéhoto součtu nám zůstane jen první a poslední člen - ostatní se odečtou.
40
= 2 ·
1
2
2m
2m − 1
m
=
1
2
2m
·
(2m − 1) · ... · m · 2
m!
=
1
2
2m
2m (2m − 1) ... (m + 1)
m!
=
1
2
2m
2m
m
= P (S2m = 0) ,
a odtud plyne tvrzení věty.
V následující podkapitole uvidíme proč se těmto tvrzením říká zákon
arcsinu.
4.1.2 Stirlingova formule
Chceme porovnat hodnotu n!, (která se v různých formách vyskytuje v kombinačních
číslech pro počty trajektorií) s mocninnými funkcemi. Víme, že
nn
n · (n − 1) ...2 · 1 2n
, tedy nn
n! 2n
.
Jak rychle jde ale posloupnost an = n!
nn k nule? Lze ji srovnat s geometrickou
posloupností? Pro n → ∞ dostaneme
an+1
an
=
(n+1)!
(n+1)n+1
n!
nn
=
n!
(n+1)n
n!
nn
=
n
n + 1
n
=
1
e
.
Tedy (zatím jen hodně přibližně) můžeme psát
n!
nn
∼
1
en
,
neboli n! ∼ nn
en .
Stirlingova formule dává přesnější odhad. Platí
n! ≈
nn
en
√
2πn
v tom smyslu, že
lim
n→0
n!
nn
en
√
2πn
= 1.
Ze Stirlingovy folrmule dostaneme odhad na hodnotu u2k = P (S2k = 0) .
Lemma 4.1.3. Platí u2k
≈ 1√
πk
pro k → ∞, tedy
lim
k→∞
u2k
1√
πk
= 1.
41
Důkaz: Máme
u2k = P (S2k = 0) =
2k
k
·
1
2
2k
=
(2k)!
k! (2k − k)!
·
1
2
2k
=
(2k)!
(k!)2 ·
1
2
2k
=
(2k)2k
e2k
√
2π2k
kk
ek
√
2πk
2 ·
1
2
2k
=
22k
· k2k
√
2πk2
kk
√
2πk
2 ·
1
22k
=
√
2
√
2πk
=
1
√
πk
.
Podle zákonu arcsinu je
α2n(2k) = u2k · u2n−2k,
tedy
P (S2k = 0 ∧ S2k+1...S2n = 0) = P (S2k = 0) · P (S2n−2k = 0)
Ze Stirlingova vzorce máme
α2n(2k) ≈
1
√
πk
·
1
π (n − k)
=
1
π k (n − k)
.
Hodnota k (n − k) je maximální pro k = n
2
, tedy α2n(2k) je minimální pro
k = n
2
.
Označme T2n čas posledního navštívení bodu 0 do času 2n. Pak pro x ∈
(0, 1) máme,
P (T2n ≤ 2xn) =
k≤xn
1
π k (n − k)
.
=
xn
0
1
π u (n − u)
du =
2
π
arcsin
x
n
,
neboť
2 arcsin
x
n
= 2
1
1 − x
n
·
1
2
·
1
x
n
·
1
n
=
1
1 − x
n
· x
n
· n
=
1
(n−x)x
n2 · n
=
1
(n − x) x
.
42
4.1.3 2. zákon arcsinu
2. zákon arcsinu se týká časů pobytu na jedné straně od počátku (tj. doby,
kdy jeden z hráčů byl ve vedení).
Věta 4.1.4. Nechť p = 1
2
a S0 = 0. Pravděpodobnost, že náhodná procházka
stráví přesně 2k časových intervalů napravo od počátku je (opět) rovna
P (S2k = 0) · P (S2n−2k = 0) .
Důkaz: učebnice Grimmet, Stirzacker
4.2 Pólyova věta v Rn
Definice 4.2.1. Mějme posloupnost náhodných vektorů X1, X2, ..., Xn, ...,
kde
Xi = X
(1)
i , X
(2)
i , ..., X
(m)
i
je m-rozměrný vektor. Nechť platí
P X
(j)
i = 1 =
1
2
a
P X
(j)
i = −1 =
1
2
pro všechna i ∈ N a pro všechna j ∈ {1, 2, ..., m}, a všechna X
(j)
i jsou
navzájem nezávislé náhodné veličiny.
m-rozměrná náhodná procházka je definována vztahem
S(j)
n = S
(j)
0 +
n
k=1
X
(j)
k ,
tedy vektorově
Sn = S0 +
n
k=1
Xk.
Pro m = 2 uvažujme množinu mřížových bodů
Z2
= {(i, j) | i, j ∈ Z} = Z ⊕ Z.
Nechť S0 = (0, 0), pak
P [S1 = [1, 1]] = P [S1 = [−1, −1]] =
43
= P [S1 = [−1, 1]] = P [S1 = [1, −1]] =
1
4
Věta 4.2.2. (Pólyova věta): Pravděpodobnost, že se náhodná procházka
vrátí nekonečněkrát zpět do počátku je rovna 1 pro m = 1 a m = 2 a je rovna
0 pro m > 2.
Poznamenejme, že pro m = 3 je pravděpodobnost alespoň jednoho návratu
do počátku
.
= 0, 35.
Důkaz: Jako u jednorozměrné procházky označme
p0 (n) = P (Sn = 0)
pravděpodobnost návratu v čase n, a
f0 (n) = P (Sn = 0 ∧ S1 · S2...Sn−1 = 0)
pravděpodobnost prvního návratu v čase n. Nechť P0 a F0 jsou generující
funkce těchto posloupností. Víme, že pro generující funkce platí
F0 = 1 −
1
P0
.
Máme
P (částice se někdy vrátí do počátku) =
∞
n=1
f0 (n) = F0 (1) = 1 −
1
P0 (1)
.
Tedy
P0 (1) =
∞
n=1
p0 (n) .
Odtud dostáváme, že
P (částice se někdy vrátí do počátku) =



1 pokud
∞
n=1
p0 (n) diverguje
< 1 pokud
∞
n=1
p0 (n) konverguje
Podle Stirlingovy formule víme, že u2k ≈ 1√
π−k
. Pro m = 1 je
p0 (n) = P (Sn = 0) ≈
1
π · n
2
=
2
π
·
1
√
n
.
44
Víme, že
∞
n=1
1
√
n
diverguje, protože
∞
n=1
1
ns
konverguje pro s > 1.
Pro m > 1 je
P (Sn = 0) = P S(1)
n = S(2)
n = ... = S(m)
n = 0 = P S(1)
n = 0
m
,
tedy
p0 (n) = P (Sn = 0) ≈
2
π
·
1
√
n
m
=
2
π
m
2
·
1
n
m
2
.
Dále ∞
n=1
p0 (n) ≈
∞
n=1
1
n
m
2
konverguje pro m
2
> 1, tj. m > 2.
Tedy pro m > 2 je hledaná pravděpodobnost < 1, pro m = 1 a m = 2 je
hledaná pravděpodobnost 1.
45
Kapitola 5
Martingaly
Martingal je matematickým vyjádřením myšlenky “férové hry” Víme, že je-li
trh bez arbitráže, existuje rovnovážná pravděpodobnostní míra P.
Ve jednokrokovém modelu:
Ω = {ω1, ω2}
a S0 = e−r
EP (S1) = E (e−r
· S1).
Tedy cena v čase t = 0 je očekávání vzhledem k pravděpodobnosti P ceny
v čase t = 1.
Obecně pro T-krokový model
S0 = EP ST · e−rT
.
Navíc pro libovolný čas t ≤ T je
St = EP ST · e−r(T−t)
| S0, S1, ..., St ,
kde St je podmíněné očekávání diskontované hodnoty ST , podmíněné informacemi
o tržním scénáři, které máme v čase t.
Tedy diskontovaný proces St má vlastnost martingalu.
Připomenutí: Máme (Ω, A, P), kde A je σ-algebra1
(pozorovatelné jevy).
Definice 5.0.3. Mějme měřitelný prostor (Ω, A), množinu reálných čísel R
a indexovou množinu T = ∅ (která hraje roli času). Déle mějme zobrazení
X : Ω × T → R, které má tyto vlastnosti:
1. pro ∀t ∈ T: X (•, t) je náhodná veličina (značíme Xt)
1
σ-algebra je systém podmnožin Ω, uzavřený na sjednocení, doplňky, a průniky (i
spočetné).
46
2. pro ∀ω ∈ Ω: X (ω, •) je prvkem množiny reálných funkcí definovaných
na T.
Pak takové zobrazení nazýváme stochastický proces definovaný na
množině T. Značíme {Xt; t ∈ T}.
Dělení stochastických procesů: máme 4 základní typy:
• diskrétní proces s diskrétním časem (např. náhodná procházka)
• diskrétní proces se spojitým časem (např. Poissonův proces)
• spojitý proces s diskrétním časem (např. Markovovy řetězce)
• spojitý proces se spojitým časem (např. Wienerův proces)
5.1 Přirozená filtrace
Definice 5.1.1. Ve vícekrokovém trhu se informace o tržním scénáři odhaduje
krok po kroku. Pro t ≤ T definujeme
Ft = {všechny jevy určené během prvních t period} .
Ft je σ-algebra. Konečná posloupnost (Ft)0≤t≤T se nazývá přirozená filtrace
prostoru tržních scénářů Ω.
Obecně, systém σ-algeber (Ft)0≤t≤T se nazývá filtrace, jestliže platí
Ft ⊆ Fs
kdykoliv je t ≤ s. (To znamená, že s rostoucím časem neztrácíme informace,
σ-algebra se s rostoucím časem zvětšuje.)
Příklad: 2-krokový model trhu. Množina tržních scénářů je
Ω = {(++) , (+−) , (−+) , (−−)} .
V čase t = 0 jsou určeny pouze jevy Ω a ∅, tedy
F0 = {∅, Ω} .
V čase t = 1 jsou určeny jevy: F+ = {(++) , (+−)} a F− = {(−+) , (−−)}.
Tedy
F1 = {∅, Ω, F+, F−} .
47
V čase t = 2 jsou určeny všechny jevy (každá podmnožina Ω), tedy
F2 = exp Ω = {∀ podmnožiny Ω} .
Příklad: T- krokový model. Množina ΩT tržních scénářů je množina
posloupností délky T s komponentami +, -. Celkem je jich 2T
.
Částečný scénář jsou posloupnosti ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξt) délky t ≤ T, kde
ξj = + nebo ξj = − pro j = 1, 2, ..., t. Množinu těchto scénářů označme
Ωt.
Pro každý částečný scénář ξ = (ξ1, ..., ξt) definujeme jev F (ξ) jako
množinu všech úplných scénářů, jejichž prvních t složek jsou právě ξ1, ..., ξt,
tedy
F (ξ) = {ω ∈ Ω : ωj = ξj pro všechna j = 1, 2, ..., t} .
Úplné scénáře odpovídají koncovým uzlům stromu, částečné pak nekoncovým.
σ-algebry Ft definujeme jako
Ft = {všechna konečná sjednocení jevů F (ξ) , kde ξ=ξ1, ξ2, ..., ξt ∈ Ωt}
Martingal je herní strategie: V 1. kroku vsadíme 1 Kč. Pokud prohrajeme,
vsadíme 2 Kč (nakonec vyhrajeme, ale musíme mít neomezené zdroje).
Cena akcie v čase t závisí na tržním scénáři, ale jen na jeho složkách do
času t, nezávisí na složkách scénáře v časech > t.
Tedy proces ceny je adaptovaný přirozené filtraci.
Definice 5.1.2. Posloupnost náhodných veličin Xt je adaptovaná přirozené
filtraci, jestliže pro každé t a pro každý tržní scénář ω = ξ1, ..., ξT
hodnota Xt (ω) závisí jen na částečném scénáři ω1, ω2, ..., ωt.
5.2 Martingal
Definice 5.2.1. Nechť F jepřirozená filtrace prostoru tržních scénářů Ω =
{ω1, ω2, ..., ωN } a P je pravděpodobnostní míra na Ω. Adaptovaná posloupnost
náhodných veličin Xt se nazývá martingal, jestliže platí
E (Xt+1 | Ft) = Xt
pro všechna t ∈ {0, 1, ..., T − 1}.
Pokud
E (Xt+1 | Ft) ≥ Xt
48
mluvíme o submartingalu, pokud
E (Xt+1 | Ft) ≤ Xt
mluvíme o supermartingalu.
Ft obsahuje veškeré informace dostupné v čase t, většinou je tato informace
obsažena v hodnotách X1, X2, ..., Xt.
Tedy
E (Xt+1 | Ft) = E (Xt+1 | X1, X2, ..., Xt)
Definice 5.2.2. (obecnější): Nechť {Sn} pro 0 ≤ n < ∞ je posloupnost
náhodných veličin, která splňuje
1. E (|Sn|) < ∞,
2. E (Sn+1 | X0, X1, ..., Xn) = Sn,
pak Sn se nazývá (diskrétní) martingal vzhledem k posloupnosti
náhodných veličin Xn pro 0 ≤ n < ∞.
Příklad 5.2.3. Symetrická (jednoduchá) náhodná procházka: Nechť P (Xi = 1) =
1
2
= P (Xi = −1) a Sn = X0 + ... + Xn, pak Sn je martingal vzhledem k posloupnosti
Xn.
5.3 Samofinancující portfolia
5.3.1 Dynamické portfolio
Uvažujme T-krokový model trhu s obchodovanými aktivy A1
, A2
, ..., AK
.
Označme SA
t (ω) cenu podílu aktiva A v čase t ve scénáři ω. a ΘA
t (ω) počet
podílů aktiva A, které držíme v portfoliu Θ v čase t za scénáře ω (tj. během
období od skončení obchodování v čase t do začátku obchodování v čase
t + 1).
Posloupnost ΘA
t musí být adaptovaná přirozené filtraci. Dynamické portfolio
je omezené, jestliže náhodné veličiny ΘA
t jsou všechny omezené.
5.3.2 Samofinancující portfolio
Hodnota portfolia Θ po rebalancování (upravení) v čase t za scénáře ω je
V Θ
t = V Θ
t (ω) =
A
ΘA
t (ω) · SA
t (ω) ,
49
kde součet je přes všechna aktiva A = A1
, A2
, ..., AK
.
Hodnota V Θ
t+1 bude obecně jiná, než V Θ
t , kde V Θ
t+1 je po proběhnutí obchodování
v čase t.
Pokud do portfolia nepřidáváme ani neodebíráme prostředky, musí být
jeho hodnota těsně po rebalancování stejná jako před rebalancováním, tedy
ΘA
t · SA
t+1 (ω) = ΘA
t+1 · SA
t+1 (ω) ,
kde SA
t+1 jsou nové ceny a ΘA
t+1 jsou nové podíly v portfoliu.
Úpravou pak dostaneme
V Θ
t+1 (ω) − V Θ
t (ω) =
A
ΘA
t · SA
t+1 (ω) − SA
t (ω) .
To je podmínka pro samofinancující portfolio.
Věta 5.3.1. Nechť v T-periodickém trhu M neexistuje arbitráž a nechť existuje
bezrizikové aktivum s úrokovou mírou r = 0. Pak vzhledem k rovnovážné
pravděpodobnostní míře je proces cen (St) libovolného obchodovatelného aktiva
martingalem vzhledem k přirozené filtraci
Definice 5.3.2. Nechť Ft je přirozená filtrace a Yt je posloupnost náhodných
veličin adaptovaných Ft. Yt se nazývá předvídatelná posloupnost,
jestliže pro všechna t ≥ 1 je Yt Ft−1 - měřitelná, tedy hodnota Yt na konci
každé obchodní periody je funkcí hodnot známých na začátku této periody.
5.4 Martingalová transformace
Definice 5.4.1. Nechť {Xt} pro 0 ≤ t ≤ T je martingal a nechť {Yt} pro
0 ≤ t ≤ T je předvídatelná posloupnost. Pak martingalová transformace
{(Y • X)t}0≤t≤T je posloupnost náhodných veličin definovaná jako
(Y • X)t = X0 +
t−1
j=0
Yj (∆X)j+1
, kde (∆X)t+1 = Xt+1 − Xt.
Věta 5.4.2. Martingalová transformace je martingalem vzhledem k Ft.
Důsledek 5.4.3. Nechť M je T-periodický trh bez arbitráže, obsahující
bezrizikové aktivum s úrokovou mírou r = 0 a nechť M má rovnovážnou
pravděpodobnostní míru P. Pak pro každé samofinancující portfolio je proces
jeho ceny V Θ
t 0≤t≤T
martingalem.
Důkaz: Proces ceny je martingalová transformace.
50
5.4.1 Podmíněná očekávání a martingalová transfor-
mace
51
Kapitola 6
Úplnost trhu
6.1 Věta o úplnosti trhu
Uvažujeme trh M s aktivy A1
, ..., Ak
. Připomeňme si, co říká Základní věta
arbitrážní teorie (APT): Z neexistence arbitráže plyne existence rovnovážné
pravděpodobnostní míry (může jich být i více).
Definice 6.1.1. Trh bez arbitráže se nazývá úplný, jestliže existuje právě
jedna rovnovážná pravděpodobnostní míra. Trh je neúplný, pokud existuje
více rovnovážných pravděpodobnostních měr.
Definice 6.1.2. Derivát je obchodovatelné aktivum, jehož hodnota V1 v
čase t = 1 je funkcí V1 (ωi) tržního scénáře (tj. náhodná veličina, funkce na
Ω = {ω1, ..., ωN }).
Replikující portfolio pro daný derivát V , jehož hodnoty v čase t = 1 za
scénáře ωi jsou rovny V1 (ωi) je portfolio Θ = (θ1, ..., θk) v aktivech A1
, ..., Ak
takové, že:
V1 (ωi) =
k
j=1
θj · Sj
1 (ωi) ,
kde Sj
1 (ωi) je cena j-tého aktiva Aj
za scénáře ωi.
Z neexistence arbitráže plyne, že
VΘ =
k
j=1
θj · Sj
0,
tj. derivát má jednoznačně určenou cenu v čase t = 0.
52
Věta 6.1.3. (o úplnosti trhu): Nechť M je trh bez arbitráže s bezrizikovým
aktivem. Existuje-li pro každý derivát replikující portfolio v A1
, ..., Ak
, pak
je trh úplný. Naopak je-li M úplný a rovnovážná pravděpodobnostní míra
dává kladnou pravděpodobnost každému scénáři (tj. π (ωi) > 0 pro ∀i), pak
pro každý derivát existuje replikující portfolio (a tedy derivát má jednoznačně
určenou cenu).
Důkaz je založen na jednoduchých myšlenkách z lineární algebry. Deriváty
tvoří vektorový prostor (izomorfní RN
). Trh je úplný, právě tehdy když hodnoty
A1
, A2
, ..., Ak
generují RN
. Tedy vektory Sj
1 (ωi), j = 1, ..., k generují
RN
. Speciálně platí k ≥ N.
Důkaz: Chceme nejdříve dokázat, že pokud existuje replikujcí portfolio,
pak M je úplný.
Uvažujme pro pevně zvolený scénář ωl ∈ Ω následující derivát Dl, jehož
hodnota v čase t = 1 je rovna
V1 (ωi) =
0 pro i = l
1 pro i = l
.
Podle předpokladu existuje replikující portfolio pro Dl, označme ho Θ =
(θ1, ..., θk), v aktivech A1
, ..., Ak
. Tedy
V0 = θj · Aj
.
Je-li π rovnovážná pravděpodobnostní míra, pak také
V0 = e−r
N
i=1
V1 (ωi) · πi = e−r
π (ωl) .
Odtud plyne
π (ωl) = er
k
j=1
θj · Sj
0
a tedy π je jednoznačně určena.
Zbývá nám dokázat opačnou implikaci. Označíme
aj = Sj
1 (ω1) , Sj
1 (ω2) , ..., Sj
1 (ωN )
vektor v RN
pro každou hodnotu j (pro každé aktivum Aj). Derivát je vektor
v RN
, který dá se replikovat právě tehdy, když vektor jeho hodnot v
jednotlivých scénářích patří do lineárního obalu vektorů aj.
53
Nechť existuje π (ωi) jednoznačně určená, taková, že π (ωi) > 0 pro všechna
i. Budeme postupovat sporem: Nechť existuje derivát D, který nemá replikující
portfolio. Tedy jsou-li jeho hodnoty ve scénářích ωi rovny f (ωi) a
označíme-li
f = (f (ω1) , ..., f (ωN )) .
pak f není lineární kombinací aj, a tedy aj negeneruje RN
. Existuje tedy
vektor v = (v1, ..., vN ), který je kolmý na libovolný vektor aj pro všechna j.
Tedy
N
i=1
vi · Sj
1 (ωi) = 0
pro j = 1, ..., k. A1
je bezrizikové, tedy
A1
1 (ωi) = er
pro všechna i. Speciálně tedy v⊥ (1, ..., 1) a
N
i=1
vi = 0. Pro dostatečně malé
ε > 0 označme
π∗
(ωi) = π (ωi) + ε · vi.
Máme
N
i=1
π∗
(ωi) =
N
i=1
π (ωi) +
N
i=1
vi = 1 + 0 = 1.
Navíc, je-li ε dostatečně malé, pak π∗
(ωi) > 0, neboť π (ωi) > 0, a platí
N
i=1
π∗
(ωi) · Sj
1 (ωi) =
N
i=1
π (ωi) · Sj
1 (ωi) + ε
N
i=1
vi · Sj
1 (ωi) =
N
i=1
π (ωi) · Sj
1 (ωi)
a tedy π∗
je další rovnovážná pravděpodobnostní míra, což je spor.
54
Kapitola 7
Wienerův proces (Brownův
pohyb)
Wienerův proces je proces se spojitým časem a spojitými hodnotami, který
můžeme intuitivně chápat jako limitu náhodné procházky (pro ∆x → 0 a
∆t → 0).
Nechť P {Xi = 1} = P {Xi = −1} = 1
2
, kde Xi, ..., Xn jsou stejně rozdělené
nezávislé náhodné veličiny s E (Xi) = 0 a V ar (Xi) = 1. Potom
Sn = X1 + X2 + ... + Xn,
kde S0 = 0 je standardní symetrická náhodná procházka.
Pro t = n · ∆t (tedy n = t
∆t
) definujeme
St = Sn·∆t = (X1 + X2 + ... + Xn) · ∆x.
Z nezávislosti přírůstků Xj plyne, že E (St) = 0 a
V ar (St) = (∆x)2
· n = (∆x)2
·
t
∆t
.
Zajímá nás limitní přechod ∆x → 0 a ∆t → 0.
Uvažujeme mocninnou závislost mezi ∆x a ∆t. Pro ∆t = (∆x)p
, kde
p > 0, dostáváme
V ar (St) =
(∆x)2
∆t
· t



→ 0 pro p < 2
= t pro p = 2
→ ∞ pro p > 2
.
Konečný nenulový rozptyl tedy dostaneme jen pro volbu p = 2. Pro
∆t = (∆x)2
55
dostaneme v limitě pro ∆t → 0 standardní Wienerův proces.
Z Centrální limitní věty plyne, že St má v limitě pro ∆t → 0 (a (∆x)2
=
∆t) normální rozdělení N (0, t).
Věta 7.0.4. (Lindenbergova centrální limitní věta) Nechť X1, X2, ...
jsou nezávislé náhodné veličiny se stejným rozdělením, které mají střední
hodnotu µ a konečný rozptyl σ2
. Označme
Yn =
(X1 + X2 + ... + Xn − µn)
√
n
pro n = 1, 2, .... Pak Yn konverguje v distribuci k rozdělení N (0, σ2
).
Definice 7.0.5. Stochastický proces Wt ve spojitém čase a se spojitými hodnotami,
kde t ∈ [0, ∞) se nazývá standardní Wienerův proces, jestliže
platí:
1. W0 = 0
2. (spojitost) S pravděpodobností 1 je trajektorie Wienerova procesu spo-
jitá.
3. (nezávislost) PřírůstkyWienerova procesu jsou nezávislé, tj. pro 0 <
t1 < s1 ≤ t2 < s2 ≤ ... ≤ tn < sn jsou přírůstky Ws1 − Wt1, Ws2 −
Wt2, ..., Wsn − Wtn navzájem nezávislé.
4. (normalita přírůstků) Přírůstky Ws − Wt pro s > t mají rozdělení
N (0, s − t).
Speciálně Wt ∼ N (0, t) ∼
√
t · N (0, 1).
Označme ∆W přírůstek Wienerova procesu za čas ∆t. Máme ∆W =√
∆t · ε, kde ε má standardní normální rozdělení N (0, 1).
Speciálně
E (∆W) =
√
∆t · E (ε) = 0
a
V ar (∆W) = E (∆W)2
= ∆t · 1 = ∆t.
Zobecněný Wienerův proces je definován pomocí infinitezimálního
přírůstku.
dX = a · dt + b · dW,
kde a, b jsou konstanty a W je standardní Wienerův proces. Koeficient a je
koeficient driftu a b je koeficient volatility. Opět máme
∆X = a · ∆t + b · ε ·
√
∆t,
56
tedy E (∆X) = a · ∆t a V ar (∆X) = b2
∆t.
Pro b = 0 máme dX = a · dt, tedy Xt = a · t je deterministický proces.
Další zobecnění: koeficienty a, b se mohou měnit a mohou záviset na t a
hodnotách X.
7.1 Wienerův proces pro cenu akcie
Wienerův proces není vhodný pro popis ceny akcie z několika důvodů:
• Ceny akcie mohou nabývat i záporné hodnoty.
• Při Wienerově procesu je pravděpodobnost, že se cena zvýší o 1 Kč
stejná je-li S = 1 Kč, stejně jako S = 100 000 Kč. Pro nás není důležitá
absolutní měna, ale relativní přírůstek vůči ceně akcie.
Bez volatility máme: ∆S = µ · S · ∆t. Z tohoto vztahu můžeme vyjádřit
relativní přírůstek: ∆S
S
= µ·∆t, kde µ je drift (konstanta). Odtud dostáváme
dS
S
= µ · dt a řešením diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
dostáváme St = S0 · eµT
.
Obecně
dS = µ · S · dt + σ · S · dW,
kde µ je drift a σ je volatilita. To je geometrický Wienerův proces.
Máme
dS
S
= µ · dt + σ · dW
a diskretizací dostaneme:
∆S = µ · S · ∆t + σ · S · ε
√
∆t,
kde ε ∼ N (0, 1).
Tedy
∆S
S
= µ · ∆t + σ · ε
√
∆t,
a
∆S
S
∼ N µ · ∆t, σ2
· ∆t .
Navíc
E
∆S
S
= µ · ∆t
a
V ar
∆S
S
= σ2
· ∆t.
Chceme vypočítat S (vyřešit rovnici). K tomu potřebujeme Itôovo lemma.
57
7.1.1 Itôovo lemma
Itôovo lemma je analogií pravidla pro derivaci (resp. diferenciál) složené
funkce a slouží k výpočtu přírůstků funkce Itôova procesu.
Nechť hodnota X se vyvýjí podle procesu
dX = a (X, t) · dt + b (X, t) · dW,
kde W je standardní Wienerův proces a a, b jsou funkce X a t. Nechť G (x, t)
je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce dvou proměnných x, t. Jak se vyvýjí
G (X, t)?
Itôovo lemma (heuristická verze):
Pro G platí
dG =
∂G
∂t
+
1
2
·
∂2
G
∂x2
· b2
dt +
∂G
∂x
· dx
neboli dosadíme-li za dx:
dG =
∂G
∂t
+
1
2
·
∂2
G
∂x2
+ a ·
∂G
∂x
dt +
∂G
∂x
· b · dW.
Pro porovnání připomeňme diferenciál funkce.
• 1 proměnná: ∆G = ∂G
∂x
∆x
• funkce 2 deterministických proměnných x, t:
∆G =
∂G
∂t
∆t +
∂G
∂x
∆x,
neboli
dG =
∂G
∂t
dt +
∂G
∂x
dx.
V případě Wienorova procesu platí heuristický vztah (dW)2
= dt, tedy
máme navíc člen 1
2
· ∂2G
∂x2 · b2
· dt.)
7.1.2 Odvození Black-Scholesovy rovnice
Black-Scholesova rovnice představuje model vývoje ceny akcie. Předpokládejme,
že pohyb ceny akcie je popsán tedy geometrickým Wienerovým pro-
cesem,
dS = µ · S · dt + σ · S · dW,
58
neboli
dS
S
= µ · dt + σ · dW.
Použijeme Itôovo lemma na funkci G (S, t) = lnS . Máme ∂G
∂t
= 0, ∂G
∂S
= 1
S
a ∂2G
∂S2 = 1
S2 . Tedy z Itôova lemmatu
dG = µ −
σ2
2
· dt + σ · dW
a
d (ln S) = µ −
σ2
2
· dt + σ · dW.
Z toho plyne, že ln ST − ln S0 má normální rozdělení se střední hodnotou
µ − σ2
2
· T a rozptylem σ2
T. Tedy
ln ST ∼ N ln S0 + µ −
σ2
2
· T; σ2
T .
ST má tedy lognormální rozdělení, tj. ln ST má normální rozdělení.
Máme rovnici pro cenu akcie, která sleduje geometrický Wienerův proces:
dS = µ · S · dt + σ · S · dW (7.1)
Nechť f je cena evropské call opce (s danou realizační cenou K a časem
expirace T), tedy zisk je (ST − K)+. f závisí na S a t a je tedy funkcí dvou
proměnných f (S, t). Hodnota f (S, t) je cena opce v situaci, kdy cena akcie
je rovna S a v čase t.
Tedy podle Itôova lemmatu
df =
∂f
∂t
dt +
∂f
∂S
dS +
1
2
·
∂2
f
∂S2
(dS)2
.
za dS dosadíme z 7.1, tedy
df =
∂f
∂t
dt +
∂f
∂S
(µ · S · dt + σ · S · dW) +
1
2
·
∂2
f
∂S2
(µ · S · dt + σ · S · dW)2
.
Jelikož (dt)2
a dt · dW jsou členy vyššího řádu a víme, že (dW)2
= dt,
dostáváme:
df =
∂f
∂t
+
∂f
∂S
· µ · S +
1
2
·
∂2
f
∂S2
· σ2
· S2
dt +
∂f
∂S
· σ · S · dW (7.2)
59
Vhodnou kombinací 7.1 a 7.2 můžeme sestavit portfolio z akcií a opcí,
jehož výnos je deterministický, jinak řečeno můžeme eliminovat stochastický
člen dW.
Označme Π hodnotu portfolia složeného z 1 opce a −∂f
∂S
akcie, tedy
Π = −
∂f
∂S
· S + 1 · f
Pro přírůstek hodnoty portfolia za čas dt máme:
dΠ = −
∂f
∂S
· dS + 1 · df.
Po dosazení z 7.1 dostaneme
dΠ = −
∂f
∂S
· µ · S +
∂f
∂t
+
∂f
∂S
· µ · S +
1
2
·
∂2
f
∂S2
· σ2
· S2
· dt
a stochastický člen se vyruší.
dΠ se musí (z neexistence arbitráže) rovnat zisku z bezrizikového aktiva
s úrokovou mírou r, tj.
dΠ = r · Π · dt.
Celkem dostaneme
∂f
∂t
+
1
2
·
∂2
f
∂S2
· σ2
· S2
· dt = r · −
∂f
∂S
· S + f · dt
a
∂f
∂t
+
1
2
·
∂2
f
∂S2
· σ2
· S2
+
∂f
∂S
· S · r = r · f
To je Black-Scholesova parciální diferenciální rovnice.
Po transformaci (substitucích) dostaneme rovnici difuze (rovnici vedení
tepla)
∂f
∂t
= −
1
2
·
∂2
f
∂S2
Řešením společně s koncovou podmínkou (známe hodnotu f (T) = (ST − K)+)
dostaneme Black-Scholesův vzorec.
60