Oceňování finančních derivátů
doc. RNDr. Martin Kolář, Ph. D.
Mgr. Lenka Křivánková
Obsah
1 Základní vlastnosti opcí 3
1.1 Dělení opcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Základní typy použití opcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Jištění (hedging) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Pákový efekt (leverage) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Put-Call parita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Opční strategie 7
2.1 Strategie s jednou opcí a jednou akcií . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Upsání kryté call opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Pojistný (ochraný) put . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Dvě nebo více opcí stejného typu (Spread) . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Bull spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Bear spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.3 Butterfly spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Kombinace put a call opcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 Bottom straddle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.2 Top straddle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.3 Strip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.4 Strap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Horní a dolní odhad cen opcí 13
3.1 Horní odhad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Dolní odhad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Analýza citlivosti Black-Scholesova vzorce 17
4.1 Proměnné na nichž závisí hodnota opce . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Black-Scholesův vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Greeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3.1 Motivace: Jištění opční pozice . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3.2 Delta a ∆-hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1
4.3.3 Theta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3.4 Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3.5 Vega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.6 Rho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3.7 Vztah mezi ∆, Θ a Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Implikovaná volatilita 25
5.1 Odhad volatility z historických dat . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2 Implikovaná volatilita a volatility smile . . . . . . . . . . . . . 27
6 Exotické opce 29
6.1 Packages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.2 Nestandardní americké opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.3 Složené opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.4 Chooser options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.5 Bariérové opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.6 Binární opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.7 Look back options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.8 Shout options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.9 Asijské opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.10 Basket options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7 Deriváty úrokových měr 34
7.1 Numeraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.2 Rozšíření B.-S. modelu na situaci, kdy úroková míra je stochastická
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.3 Oceňování derivátů úrokových měr . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.3.1 Blackův model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.3.2 Opce na dluhopisy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2
Kapitola 1
Základní vlastnosti opcí
Definice 1.1. Opce je právo koupit (v případě call opce) nebo prodat (put
opce) podkladové aktivum za pevně stanovenou cenu, která se nazývá realizační
cena (strike price, excercise price) v pevně stanovené době (expirační
doba).
Podkladové aktivum: akcie, komodity, cizí měny, akciové indexy, futures,
swapy, . . .
1.1 Dělení opcí
Základní dělení opcí:
I. - call opce - nákupní opce . . . . . . právo nakoupit
- put opce - prodejní opce . . . . . . právo prodat
II. - Evropské opce - mohou být uplatněny jen v době expirace
- Americké opce - mohou být uplatněny kdykoli po dobu životnosti
opce, nejpozději v čase expirace
Obchodování:
- burza - standardní opce
- trh OTC (over the counter) - opce ”na míru”
Ten, kdo právo (opci) kupuje, musí prodávajícímu zaplatit cenu za toto právo,
která se nazývá prémie.
3
Prémie má 2 složky:
- vnitřní hodnotu
- časovou hodnotu
Pro call opci:
Vnitřní hodnota := max(St − K, 0),
kde St je okamžitá cena akcie v čase t, K je realizační cena opce.
Pro put opci:
Vnitřní hodnota := max(K − St, 0),
kde St je okamžitá cena akcie v čase t, K je realizační cena opce.
Časová hodnota = prémie − vnitřní hodnota
Dělení opcí podle vztahu současné a realizační ceny:
- opce mimo peníze (out of the money):
St < K pro call opci, St > K pro put opci
- opce na penězích (at the money):
St = K pro put i call opci
- opce v penězích (in the money):
St > K pro call opci, St < K pro put opci
Příklad 1. Americké opce na akcii Intelu 29.5.2003, S0 = 20, 83.
call June July October
20 1,25 1,60 2,40
22,5 0,20 0,45 1,15
put June July October
20 0,45 0,85 1,50
22,5 1,85 2,20 2,85
4
1.2 Základní typy použití opcí
Označení:
S0 . . . cena akcie v současnosti
St . . . cena akcie v čase t
ST . . . cena akcie v čase expirace
T . . . čas expirace
r . . . úroková míra
K . . . realizační cena opce
C . . . cena evropské call opce
P . . . cena evropské put opce
c . . . cena americké call opce
p . . . cena americké put opce
Výplatní funkce evropské call opce je max(ST − K, 0)
0
zisk
vyplata
Obrázek 1.1: Call opce
1.2.1 Jištění (hedging)
Příklad 2. V září 2009 máme 10 akcií KB, současná cena je S0 = 280 Kč
za akcii. Chceme se pojistit proti poklesu ceny na příští 2 měsíce. Koupíme
10 listopadových put opcí s realizační cenou 275 Kč. Nechť P = 10 Kč.
Zaplatíme 10 · 10 = 100 Kč (cena jistící strategie).
- Pokud cena klesne pod 275 Kč, uplatníme opci, dostaneme 275 · 10 =
2750, celkem máme zisk 2750 − 100 = 2650.
- Pokud cena bude větší než 275 Kč, prodáme akcii na trhu, opět máme
víc než 2750 − 100 = 2650.
5
1.2.2 Pákový efekt (leverage)
Násobení jak potenciálního zisku tak ztrát.
Příklad 3. Investor si myslí, že akcie Citibank v příštích 2 měsících porostou
a má 2000$ na investici. Nechť S0 = 20$ a nechť 2-měsíční call opce s
realizační cenou 22,5$ stojí 5$. Porovnejte 2 strategie:
1. koupit 100 akcií
2. koupit 400 call opcí
Řešení.
15$ 35$
Akcie −500$ 1500$
Opce −2000$ 3000$
1.3 Put-Call parita
Platí
C − P = max(ST − K, 0) − max(K − ST , 0) = ST − K
neboli
C + K = ST + P.
Pro bezrizikové portfolio platí C − P − ST = K, tedy jeho hodnota v čase 0
je K · e−rT
.
Celkem
C + K · e−rT
= P + S0
platí nezávisle na předpokladech B.-S. modelu.
C + K · e−rT
P + S0
ST < K 0 + K = K K − ST + ST = K
ST > K ST − K + K = ST 0 + ST = ST
Tedy
VT (C + K · e−rT
) = VT (P + S0) = max(K, ST ),
kde VT je hodnota portfolia v čase T.
6
Kapitola 2
Opční strategie
2.1 Strategie s jednou opcí a jednou akcií
2.1.1 Upsání kryté call opce
t.j. dlouhá pozice v akcii + krátká pozice v call opci
akcie
call
S K0
Obrázek 2.1: Krytá call opce
2.1.2 Pojistný (ochraný) put
(protective put)
t.j. dlouhá pozice v akcii + dlouhá pozice v put opci Z put-call parity plyne,
že pojistný put má stejný profil jako call opce jen posunutý o konstantu
(S + P = C + K · e−rT
).
7
K
Obrázek 2.2: Pojištěná put opce
2.2 Dvě nebo více opcí stejného typu (Spread)
2.2.1 Bull spread
Koupíme call s real. cenou K1 a prodáme call opci s real. cenou K2 > K1.
K1 K2
Obrázek 2.3: Bull spread
2.2.2 Bear spread
Naopak. Koupíme call s real. cenou K2 a prodáme call opci s real. cenou
K1 < K2.
8
K K1 2
Obrázek 2.4: Bear spread
2.2.3 Butterfly spread
Tři opce s různými real. cenami:
Koupíme 1 call opci s real. cenou K3 (vysokou) a 1 call opci s real. cenou K1
(nízkou) a upíšeme 2 call opce s real. cenou K2, mezi K1 a K3 a blízko S0.
(Malá investice, investor neočekává velký pohyb v ceně akcie.)
Obrázek 2.5: Butterfly spread
9
2.3 Kombinace put a call opcí
2.3.1 Bottom straddle
Koupíme call a put se stejnou real. cenou K.
K
Obrázek 2.6: Bottom straddle
2.3.2 Top straddle
Prodáme call a put se stejnou real. cenou K.
K
Obrázek 2.7: Top straddle
10
2.3.3 Strip
1 call + 2 put na dlouho
Obrázek 2.8: Strip
2.3.4 Strap
2 call + 1 put na dlouho
Obrázek 2.9: Strap
Obecně můžeme vytvořit libovolný po částech lineární profil výplaty, pokud
existují opce s libovolnou realizační cenou.
11
Základní předpoklady:
1. neexistují transakční náklady
2. všechny zisky jsou zdaněny stejnou sazbou
3. existuje stejná bezriziková úroková míra pro vklady i půjčky
12
Kapitola 3
Horní a dolní odhad cen opcí
3.1 Horní odhad
Pro call opci
Call opce znamená právo koupit akcii za určitou cenu ⇒ nemůžeme mít
hodnotu větší než akcie, tedy
C ≤ S0,
podobně pro americkou, c ≤ S0.
Jinak existuje arbitráž: koupit akcii a upsat opci.
Pro K → 0 bude C → S0.
Pro put opci
Put opce znamená právo prodat akcii za cenu K ⇒ opce nemůžeme mít vyšší
cenu než K (i kdyby cena akcie klesla téměř na 0), tedy pro evropskou put
opci platí
P ≤ K v čase realizace,
tedy v čase 0 platí
P ≤ K · e−rT
.
Jinak existuje arbitráž: upíšeme put opci, uložíme zisk na bezrizikový vklad,
v čase T máme P · erT
> K.
Pro S0 → 0 bude P → K.
13
3.2 Dolní odhad
Pro call opci
C ≥ S0 − K · e−rT
Příklad 4. Nechť S0 = 20$, K = 18$, r = 10% ročně, T = 1 rok
S0 − K · e−rT
= 20 − 18 · e−0,1
= 3, 71
Nechť C = 3$.
Arbitráž: koupíme call opci a prodáme akcii nakrátko. Máme ihned 20 − 3 =
17$, uložíme je, v čase T = 1 máme 17 · e0,1
= 18, 79.
Je-li ST > 18, uplatníme opci, uzavíráme krátkou pozici a máme zisk 18, 79− 18 = 0, 79.
Je-li ST < 18, koupíme akcii na trhu, uzavřeme krátkou pozici, máme zisk > 0, 79.
Obecně uvažujeme 2 portfolia:
A: 1 call + hotovost K · e−rT
B: 1 akcie
V čase T je hodnota A:
Je-li ST < K · · · K + 0 = K.
Je-li ST > K · · · K + (ST − K) = ST .
Tedy VT (A) = max(K, ST ).
Pro portfolio B je VT (B) = ST .
Tedy VT (A) ≥ VT (B) za všech scénářů, tedy to platí v čase 0 (jinak by
existovala arbitráž).
Tedy
C + K · e−rT
≥ S0 ⇒ C ≥ S0 − K · e−rT
Důsledek 3.1.
C ≥ S0 − K · e−rT
> S0 − K
vnitřní hodnota opce
Cena evropské call opce je vždy větší než její vnitřní hodnota.
Totéž platí pro americkou call opci (c ≥ C > S0 − K).
14
Pro put opci
P ≥ K · e−rT
− S0
Uvažujeme 2 portfolia:
C: 1 put + 1 akcii
D: hotovost K · e−rT
C D
ST < K (K − ST ) + ST = K K
ST > K ST K
Tedy VT (C) = max(ST , K) ≥ VT (D) = K.
Tedy V0(C) ≥ V0(D) ⇒ P + S0 ≥ K · e−rT
.
P ≥ K · e−rT
− S0
Uplatnění americké call opce:
Příklad 5. Uvažujeme americkou call opci s S0 = 50 Kč, K = 40 Kč, T = 1
měsíc. Opce je hluboko v penězích. Zdálo by se vhodné, opci hned uplatnit,
ale není to tak.
- Pokud chceme akcii koupenou za opci držet víc než 1 měsíc, pak je lepší
měsíc počkat a uložit 40 Kč do banky, kde přináší úrok. (Navíc pokud
cena klesne pod 40 Kč, budeme rádi, že jsme opci neuplatnili.)
- Pokud akcii chceme hned prodat (např. myslíme, že je nadhodnocená),
pak je lepší opci prodat než uplatnit. Opci si koupí někdo kdo akcii
chce držet (takový investor existuje, jinak by cena nebyla 50 Kč). Cena
opce bude větší než její vnitřní hodnota, t.j. 50 − 40 = 10 Kč.
Tedy americká call opce má stejnou hodnotu jako evropská call opce.
Důvody pro neuplatňování americké call opce před časem expirace:
- Call opce je pojištění, pokud ji prodáme, přijdeme o něj.
- Časová hodnota peněz.
U americké put opce jsou tyto 2 důvody proti sobě.
15
Příklad 6. K = 10$ a S0 je skoro 0, čím dřív opci uplatníme, tím lépe
(peníze za prodej uložíme do banky).
⇒ Americká put opce má větší hodnotu než evropská put opce. p > P
⇒ Existují situace kdy hodnota evropské put opce je menší než její vnitřní
hodnota (tedy časová hodnota je záporná).
16
Kapitola 4
Analýza citlivosti
Black-Scholesova vzorce
4.1 Proměnné na nichž závisí hodnota opce
Black-Scholes model:
K . . . realizační cena
S0 . . . současná cena
σ . . . volatilita
T . . . čas
r . . . bezriziková úroková míra
Call Put
S0 + −
K − +
T + +
r + −
σ + +
+ . . . přímá úměrnost
− . . . nepřímá úměrnost
r: Put opce je potencionální příjem v budoucnosti, pokud roste r, jeho
současná hodnota klesá.
Call opce je potencionální výdej v budoucnosti, tedy je to naopak.
σ: S rostoucí volatilitou šance velkeho růstu i velkého poklesu rostou. Pro
majitele akcie se tyto vlivy kompenzují, ale majitel call (resp. put) opce
profituje z růstu (resp. poklesu), zatímco při poklesu (resp. růstu) je
jeho ztráta omezena opční prémií.
⇒ σ - roste ⇒ C - roste (resp. P - roste)
T: Delší čas znamená větší nejistotu (podobně jako u volatility), tedy
stejný argument jako pro σ ukazuježe C a P rostou přímo úměrně T.
V B.-S. vzorci vystupuje jen součin σ
√
T, tedy vliv σ a
√
T je stejný.
17
4.2 Black-Scholesův vzorec
Pro evropskou call a put opci:
C = S0 Φ(d1) − K e−rT
Φ(d1 − σ
√
T),
kde Φ je distribuční funkce N(0, 1),
d1 =
ln S0
K
+ (r + σ2
2
)T
σ
√
T
.
4.3 Greeks
4.3.1 Motivace: Jištění opční pozice
Příklad 7. Banka prodala call opce na 100 000 akcií za 300 000 Kč. S0 = 49,
K = 50, r = 0, 05, σ = 0, 2, T = 20 týdnů (0,38 roku). Cena opcí je 240 000.
Tedy banka prodala o 60 000 dráž než je teoretická hodnota. Jak se může
pojistit proti rizikům a zaručit si zisk?
Řešení. dvě strategie
1. strategie: nedělat nic (nekrytá pozice, naked position)
ST < 50 ⇒ neplatí nic, má zisk 300 000
ST > 50 ⇒ musí zaplatit 105
· (ST − 50)
2. strategie: (Krytá pozice) banka koupí v čase t = 0 100 000 akcií
ST > 50 ⇒, např. ST = 51, prodá za 50, ale koupila za 49 ⇒ další zisk
ST < 50 ⇒, např. ST = 40, na portfoliu ztratí 900 000 (z opcí má zisk
jen 300 000)
Podle B.-S. vzorce by cena jištění v průměru měla být 240 000, ale strategie 1
a 2 mají velké výkyvy. Pokud se chceme držet blízko 240 000, musíme použít
dynamiské jištění.
3. strategie: (Dynamická) Stop-loss strategie
- koupíme akcii pokud cena vzroste nad K
- jakmile klesne cena pod K, opět prodáme
Tedy St < K máme nekrytou pozici,
St > K máme krytou pozici.
Zdánlivě produkuje stejnou výplatu jako opce.
Cena strategie: S0 > K pak S0,
S0 < K pak je cena 0.
Celkem max(S0 − K, 0).
18
Problém: Je-li St = K, nevíme zda cena poroste nebo bude klesat (hypotéza
efektivního trhu). Prakticky musíme kupovat pro K + a prodávat pro
K − . Pro → 0 očekávaný počet obchodů půjde do ∞ (vlastnost Brownova
pohybu, že protne osu x nekonečněmnohokrát v libovolně malém okolí 0).
Každá dvojice obchodů je ztráta 2 .
Lemma 4.1. Je-li Wt0 = K, kde Wt je Brownův pohyb, pak s pravděpodobností
1 trajektorie Wt nabývá v intervalu (t0, t0 + δ) hodnoty K nekonečněmnohokrát
pro libovolně malé δ.
4.3.2 Delta a ∆-hedging
∆ měří rychlost změny opční ceny vzhledem ke změně ceny akcie, t.j.
∆ =
∂C
∂S
,
kde C je cena call opce a S je cena akcie.
Příklad 8. Nechť ∆ = 0, 6 pro S0 = 100 a C = 10. Tedy upsání 20 call opcí
můžeme jistit koupením 0, 6 · 20 = 12 akcií. Zisk (ztráta) za opce je jištěna
ztrátou (ziskem) z pozice akcií.
Např. akcie vzroste o 1 Kč ⇒ zisk 12 Kč na akciích a ztráta −20 · 0, 6 = −12
Kč na opcích (každá opce jde dolů o 0,6 Kč).
∆ opční pozice je 0, 6 · (−20) = −12.
∆ pozice v akciích je 12 · 1 = 12.
Celková ∆ portfolia je −12 + 12 = 0.
∆ = 0 . . . ∆-neutrální portfolio
Hodnota takového portfolia se nemění při malém pohybu ceny akcie.
∆ se mění, závisí na S → dynamický hedging.
Platí
∆(call) = Φ(d1),
kde d1 = ln(S0/K)+(r+σ2/2)T
σ
√
T
.
Z put-call parity:
P + S = C + K · e−rT
∂
∂S
:
∂P
∂S
+ 1 =
∂C
∂S
+ 0
∆(put) = ∆(call) − 1 = Φ(d1) − 1
19
Delta portfolia
π . . . hodnota portfolia A
∆(A) =
∂π
∂S
Nechť portfolio obsahuje wi i-té opce, pak
∆(A) =
i
wi · ∆i,
kde ∆i je ∆ i-té opce (z linearity derivace).
Příklad 9. Česká banka má 3 pozice v opcích na euro:
1. dlouhou pozici na 105
call opcí s K = 27 Kč a T = 3 měsíce. ∆ = 0, 533,
2. krátkou pozici na 2·105
call opcí s K = 28 Kč a T = 5 měsíců. ∆ = 0, 468,
3. krátkou pozici na 5·104
put opcí s K = 28 Kč a T = 2 měsíce. ∆ = − 0, 508.
∆(1+2+3) = 105
·(0, 533)−2·105
(0, 468)−5.104
(−0, 508) = −14 900 Tedy
banka může udělat portfolio ∆-neutrální nakoupením 14 900 Euro.
∆ závisí na S, musíme portfolio dynamicky ”rebalancovat,” aby bylo ∆neutrální
(prodej akcií + nákup opcí, nebo naopak).
Transakční náklady: pro 1 opci je ∆-hedging neúnosně drahý kvůli transakčním
nákladům. Pro velké portfolio je ale schůdný, je třeba jen jedna transakce
pro celé portfolio (v daném čase).
4.3.3 Theta
Θ měří citlivost portfolia (hodnoty opce) na změnu času, t.j.
Θ =
∂C
∂T
.
Θ(call) = −
S0 · Φ (d1) · σ
2
√
T
− rK e−rT
Φ(d2),
kde Φ (d1) = 1√
2π
e−
d1
2
2 .
Θ je jiný typ parametru než ∆, protože čas je deterministická proměnná,
proti plynutí času se nemá smysl jistit. Θ se v praxi používá jako náhražka
za Γ.
20
4.3.4 Gamma
Γ měří rychlost změny ∆ vzhledem ke změně ceny S, t.j.
Γ =
∂∆
∂S
=
∂2
C
∂S2
.
Malé Γ - ∆ se mění pomalu, není třeba tak často rebalancovat pro udržení
∆-neutrálního portfolia.
Velké Γ - ∆ je citlivé na změny S ⇒ častější rebalancování.
Γ měří křivost.
Pro ∆-neutrální portfolio platí přibližně:
∆π = Θ ·∆t + ∆ ·∆S
=0
+1
2
Γ · (∆S)2
+ o(∆t).
Γ-neutrální portfolio:
Pozice v akcii má Γ = 0.
Je třeba nástroj (např. opce), který má Γ = 0, t.j. který závisí nelineárně na
ceně akcie.
Je-li ΓA gamma portfolia A a gamma opce je ΓO, pak přidáním wT počtu
opcí do portfolia máme Γ = ΓA + wT ΓO. Tedy pro wT = −ΓA
ΓO
dostaneme
Γ = 0, t.j. Γ neutrální portfolio.
Přidáním opce se změní ∆ portfolia, nebude tedy ∆-neutrální. Proto musíme
ještě změnit pozici v akciích (nezmění Γ-neutralitu, protože Γ(akcie)=0).
Portfolio s ∆ = 0 a Γ = 0 je imunní i proti větším výkyvům ceny podkladové
akcie.
Příklad 10. Uvažujeme ∆-neutrální portfolio s Γ = −3000. ∆ a Γ opce jsou
0,62 a 1,5. Pak portfolio bude Γ-neutrální, jestliže přidáme dlouhou pozici
v 3000
1,5
= 2000 call opcích. Tím se změní ∆ portfolia z 0 na 2000 · 0, 62 =
1240. Musíme ještě prodat 1240 akcií, abychom dostali portfolio, které je
∆-neutrální (a současně Γ-neutrální).
Výpočet Γ:
Γ(call) =
∂Φ(d1)
∂S0
=
Φ (d1)
S0σ
√
T
Pro dlouhou pozici je Γ > 0.
21
Taylorův rozvoj hodnoty portfolia v parametrech
Připomenutí: Tayl. polynom 2. stupně pro funkci 2 proměnných
f(x, y) ˙=f(x0, y0) +
∂f
∂x
(x0, y0)(x − x0) +
∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0) +
1
2
∂2
f
∂x2
(x − x0)2
+
∂2
f
∂x∂y
(x − x0)(y − y0) +
1
2
∂2
f
∂y2
(y − y0)2
Označme:
∂f = f(x, y) − f(x0, y0) . . . přírůstek funkce
∂x = x − x0 . . . přírůstek x
∂y = y − y0 . . . přírůstek y
∂f =
∂f
∂x
∂x +
∂f
∂y
∂y +
1
2
∂2
f
∂x2
(∂x)2
+
∂2
f
∂x∂y
∂x∂y +
1
2
∂2
f
∂y2
(∂y)2
Nechť π je hodnota portfolia, r, σ bereme konstantní, uvažujeme π jako
funkci S a t.
∂π ˙=
∂π
∂S
=∆
∂S +
∂π
∂t
=Θ
∂t +
1
2
∂2
π
∂S2
=Γ
(∂S)2
+
∂2
π
∂t∂S
∂t∂S +
1
2
∂2
π
∂t2
(∂t)2
Tedy (po zanedbání)
∂π ˙=∆∂S + Θ∂t +
1
2
Γ(∂S)2
Pro ∆-neutrální portfolio máme
∂π ˙=Θ∂t +
1
2
Γ(∂S)2
,
pro ∆ i Γ neutrální portfolio máme
∂π ˙=Θ∂t.
4.3.5 Vega
V měří citlivost na změnu volatility, t.j.
V(call) =
∂C
∂σ
.
Platí V(call) = S0 ·
√
T · Φ (d1).
22
Velké vega - velká citlivost portfolia na změny volatility.
Pozice v akcii má vega = 0.
Γ-neutrální portfolio má obvykle nenulové V a naopak.
K sestavení Γ i V neutrálního portfolia jsou potřeba nejméně dva různé deriváty
na podkladovou akcii.
Příklad 11. Uvažujme ∆-neutrální portfolio A s Γ(A) = −5000 a V(A) = − 8000.
Obchodovaná opce O má gamma 0, 5, vega 2, 0 a delta 0, 6.
Řešení. Portfolio bude V-neutrální pokud koupíme 8000/2 = 4000 opcí. To
zvýší ∆ na 4000 · 0, 6 = 2400, tedy je třeba prodat 2400 akcií, aby bylo opět
∆-neutrální. Γ se změní na −5000 + 4000 · 0, 5 = −3000.
Pro Γ a současně V neutrální portfolio musíme mít k dispozici ještě další
opci.
Příklad 12. Nechť opce O2 má gamma 0, 8, vega 1, 2 a delta 0, 5.
Řešení. Máme-li w1 opcí O a w2 opcí O2 pak chceme:
Γ : −5000 + 0, 5w1 + 0, 8w2 = 0
V : −8000 + 2, 0w1 + 1, 2w2 = 0
Odtud dostaneme:
w1 = 400
w2 = 6000
Tedy koupíme-li 400 opcí O a 6000 opcí O2, pak portfolio bude Γ i V neutrální.
Jeho ∆ bude 400 · 0, 6 + 6000 · 0, 5 = 3240. Tedy musíme ještě prodat 3240
akcií, aby bylo portfolio i ∆-neutrální.
Taylorův rozvoj v proměnných S, t, σ:
∂π ˙=
∂π
∂S
∂S +
∂π
∂t
∂t +
∂π
∂σ
∂σ +
1
2
∂2
π
∂S2
(∂S)2
=∆∂S + Θ∂t + V∂σ +
1
2
Γ(∂S)2
4.3.6 Rho
ρ měří změnu hodnoty opce (portfolia) v závislosti na změně úrokové míry.
ρ(call) =
∂C
∂r
Platí ρ(call) = K · T · e−rT
· Φ(d2).
23
4.3.7 Vztah mezi ∆, Θ a Γ
Připomenutí: Black-Scholesova rovnice pro cenu derivátu f (např.: f = C, P, . . . )
∂f
∂t
+ r · S ·
∂f
∂S
+
1
2
σ2
· S2
·
∂2
f
∂S2
= r · f
tedy pro hodnotu π portfolia derivátů dostaneme (na jednu stejnou podkladovou
akcii)
∂π
∂t
+ r · S ·
∂π
∂S
+
1
2
σ2
· S2
·
∂2
π
∂S2
= r · π.
Tedy
Θ + r · S · ∆ +
1
2
σ2
· S2
· Γ = r · π.
Pro ∆-neutrální portfolio:
Θ +
1
2
σ2
· S2
· Γ = r · π.
Je-li Θ velké kladné, pak Γ je velké záporné a naopak. V ∆-neutrálním portfoliu
lze Θ použít jako náhražku Γ.
24
Kapitola 5
Implikovaná volatilita
Parametry B.-S. modelu: S0, K, T, r, σ.
σ je jediný parametr, který nelze pozorovat.
2 způsoby počítání s volatilitou:
- odhad z historických dat
- používání implikované volatility
σ měří naši nejistotu ohledně zisku z akcie.
V B.-S. modelu máme:
dSt = µSt dt + σSt dWt
dSt
St
= µ dt + σ dWt
Z Itôova lemmatu dostaneme
St = S0 exp σWT −
σ2
2
T + µT
tedy (zlogaritmuji)
ln ST − ln S0 = σWT −
σ2
2
T + µT
tedy ln ST − ln S0 má rozdělení N µ − σ2
2
T, σ2
T (je BP s driftem).
Tedy ln ST má střední hodnotu ln S0 + µ − σ2
2
T a rozptyl σ2
T. ST má
log-normální rozdělení (t.j. ln ST má normální rozdělení).
ST = S0 exT
,
25
kde x = 1
T
· ln ST
S0
a x má rozdělení N µ − σ2
2
, σ2
T
, t.j. střední směrodatná
odchylka x je σ√
T
.
Definice 5.1. x se nazývá míra zisku akcie, x ∼ N µ − σ2
2
, σ2
T
.
Měření volatility
Volatilita je míra nejistoty o výnosech akcie (typické hodnoty σ jsou 0,15-
0,60).
Víme, že x ∼ N µ − σ2
2
, σ2
T
. Tedy σ je střední směrodatná odchylka
míry zisku akcie za 1 rok.
Pro malé T =∆t víme, že
∆S
S
∼ N (µ∆t, σ2
∆t) .
σ
√
T je střední směrodatná odchylka relativní změny ceny akcie za čas T.
Příklad 13. σ = 0, 3 (30% ročně), S0 = 50 Kč.
Tedy střední směrodatná odchylka procentuální změny ceny akcie za 1 týden
je
30 ·
1
52
˙= 4, 16%.
Tedy pohyb o 1 odchylku je 50 · 0, 0416 ˙= 2, 08 Kč.
5.1 Odhad volatility z historických dat
n + 1 . . . počet pozorování
Si . . . cena akcie na konci i-tého intervalu, i = 0, 1, . . . , n
τ . . . délka časového intervalu v letech
Označme ui = ln( Si
Si−1
) a nechť s je střední směrodatná odchylka ui, s =
1
n−1
n
i=1(ui − ¯u)2, kde ¯u je střední hodnota ui.
Víme, že střední směrodatná odchylka ui je σ ·
√
τ a je tedy odhad σ
√
τ,
a odhad σ je
ˆσ =
s
√
τ
26
Obchodní × kalendářní dny
V praxi se ignorují dny, ve kterých se neobchoduje, tedy
volatilita za rok = volatilita za 1 obch. den · počet obch. dnů za rok.
Životnost opce:
T =
počet obch. dnů do expirace
počet obch. dnů za rok (=252)
.
5.2 Implikovaná volatilita a volatility smile
Předpoklady B.-S. modelu:
ceny akcie sledují geometrický Brownův pohyb, tedy pravděpodobnostní rozdělení
cen akcie St je lognormální.
Empirické výsledky:
Procenta dnů kdy pohyby kursů jsou větší než 1, 2, 3, 4, 5, 6 středních směrodatných
odchylek.
realita (% dnů) lognormální B.-S. model (% dnů)
> 1 SSO 25,00 32,00
> 2 SSO 5,00 5,00
> 3 SSO 1,30 0,27
> 4 SSO 0,30 0,01
> 5 SSO 0,08 0,00
> 6 SSO 0,03 0,00
Jak toho využít?
Nakoupit opce hluboko mimo peníze, podle B.-S. modelu jsou velmi levné,
a čekat. Protože velké výkyvy mají daleko větší pravděpodobnost než v lognormálním
modelu, některé opce se dostanou do peněz.
Jak se používá Black-Scholesův model v praxi?
V praxi se dovolí, aby volatilita závisela na realizační ceně opce a čase do
expirace.
Definice 5.2. Ze skutečných tržních cen opcí dopočítáme volatilitu v B.-S.
vzorci, která vede k této ceně. To je implikovaná volatilita.
Pokud by B.-S. model beze zbytku platil, pak by tato volatilita byla stejná
pro všechny realizační ceny K. Ve skutečnosti, ale σ závisí na K (volatility
smile, skew).
27
Obrázek 5.1: Volatility smile Obrázek 5.2: Volatility skew
1. Opce na směnné kurzy:
Připomenutí: Hodnota opce v čase t = 0 je rovna diskontovanému očekávání
hodnoty opce v čase expirace t = T, vzhledem k risk-neutrální pravděpodobnostní
míře.
Levý i pravý chvost skutečného rozdělení je ”těžší” (větší) než u lognormálního
rozdělení.
Uvažujeme call opci s realizační cenou K2.
Bude v penězích pro ST > K2.
Pravděpodobnost toho, že ST > K2 je větší pro skutečné rozdělení než pro
lognormální.
Větší pravděpodobnost ⇒ větší očekávání ⇒ větší cena opce ⇒ větší volatilita
⇒ zvednutí grafu implikované volatility ⇒ ”půlka” volatility smile.
Analogicky pro K1 uvažujeme put opci s realizační cenou K1. (Z put-call parity
plyne, že implikovaná volatilita je stejná pro put i call opci se stejnými
parametry.)
Tak dostaneme levou půlku volatility smile.
2. Opce na akcie:
Levý chvost je u skutečného rozdělení větší než u lognormálního rozdělení,
pravý chvost je menší.
Tak dostaneme jen levou půlku volatility smile, celkově dostaneme skew.
Vliv jištění na volatilitu:
∆-hedging: pohyb ceny nahoru ⇒ nákup
pohyb ceny dolů ⇒ prodej ⇒ další pokles
Jištění tedy zesiluje pohyb cen a tím zvyšuje volatilitu.
28
Kapitola 6
Exotické opce
- evropské + americké opce . . . plain vanilla (obyčejné)
mají standardní vlastnosti, obchodují se ve velkém množství
- nestandardní produkty . . . exotické opce
6.1 Packages
- balíčky
- portfolio z evropských opcí, forwardů, podkladových akcií, hotovosti
- příklady máme z opčních strategií - spreads, straddles, . . .
Příklad 14. Flexibilní forward
- krátká pozice: zaručuje, že podkladové aktivum můžeme prodat za nějakou
cenu mezi K1 a K2
- dlouhá pozice: zaručuje, že podkladové aktivum můžeme koupit za nějakou
cenu mezi K1 a K2
6.2 Nestandardní americké opce
- omezení na dobu uplatnění
- standardní americké opce můžeme uplatnit kdykoli
Příklad 15. a) uplatnění opce je omezené na určitá data . . . Bermudské opce
b) uplatnění opce je možné jen po část životnosti opce, např.: od jistého data
c) realizační cena se může měnit během životnosti opce
29
6.3 Složené opce
- opce na opce
- 4 typy: call na call
call na put
put na call
put na put
- 2 realizační ceny, 2 realizační data
- dají se ocenit za předpokladů B.-S. modelu, pomocí 2-dimenzionálního
normálního rozdělení
Call na call
V čase 1. expirace T1 má držitel právo koupit call opci za cenu K1, která mu
dává v čase T2 právo koupit podkladové aktivum (akcii) za cenu K2.
Evropská call na call má v čase t = 0 hodnotu
V0 = S0 ·M(a1, b1; T1/T2)−K2 · e−rT2
M(a2, b2; T1/T2)− e−rT1
·K1 ·Φ(a2),
kde
a1 =
ln(S0/S ) + (r + σ2
/2)T1
σ
√
T1
, a2 = a1 − σ T1,
b1 =
ln(S0/K) + (r + σ2
/2)T2
σ
√
T2
, b2 = b1 − σ T2,
M(a, b; ρ) je sdružená distribuční funkce 2-dim. normálního rozdělení s korelačním
koeficientem ρ.
M(a, b; ρ) = P(X ≤ a & Y ≤ b), kde X a Y mají 2-dim. normální rozdělení
s korelačním koeficientem ρ.
S je cena aktiva v čase T1 pro kterou je cena call opce v čase T1 rovna K1.
Tedy pokud S1 > S složená opce bude uplatněna (v čase T1),
S1 < S složená opce bude uplatněna (v čase T1).
S1 . . . cena akriva v čase T1.
30
6.4 Chooser options
- na výběr, as you like it
V předem daném čase T1 se držitel rozhodne, zda jde o call nebo put opci.
Tedy hodnota v čase T1 je max(C, P), kde C je hodnota příslušné call opce,
P je hodnota příslušné put opce.
Pokud realizační ceny obou jsou stejné, rovny K, potom máme podle put-call
parity:
max(C, P) = max(C, C +K e−r(T2−T1)
−S1) = C +max(0, K e−r(T2−T1)
−S1).
Tedy chooser opce je rovna:
- 1 call opce s realizační cenou K a dobou expirace T2
- 1 put opce s realizační cenou K · e−r(T2−T1)
a časem expirace T1.
Tyto dvě opce oceníme podle B.-S. modelu.
6.5 Bariérové opce
Knock-in:
opce začíná platit jen pokud cena akcie dosáhne bariéry H v čase 0 až T.
Knock-out:
opce je bezcenná pokud cena akcie dosáhne bariéry H v čase 0 až T.
Další rozlišení: H > S0 . . . bariéra shora; H < S0 . . . bariéra zdola
H < S0 : down-and-in H > S0 : up-and-in
down-and-out up-and-out
Cdi . . . down-and-in call opce
Hodnota v čase t = 0 této opce je
Cdi = S0
H
S0
2λ
· Φ y − K · e−rT H
S0
2λ−2
· Φ y − σ
√
T ,
kde
λ =
r + σ2
/2
σ2
, y =
ln (H2
/S0 · K)
σ
√
T
+ λ σ
√
T.
Platí C = Cdi + Cdo ⇒ call down-and-out má hodnotu Cdo = C − Cdi.
Analogicky pro Cui a Cuo (up-and-in, up-and-out call opce).
31
6.6 Binární opce
- nespojitá výplatní funkce
- Cash-or-nothing call opce má výplatu
0 pokud ST < K
Q pokud ST > K
, kde Q je
pevně daná hodnota.
Vzhledem k risk-neutrální míře je pravděpodobnost, že cena v čase expirace
bude větší než K, rovna Φ(d2).
Tedy cena cash-or-nothing call opce je rovna: e−rT
· Q · Φ(d2).
Analogicky pro cash-or-nothing put opci, hodnota je e−rT
· Q · Φ(−d2).
Asset-or-nothing call má výplatní funkci
0 pokud ST < K
ST pokud ST > K
.
Obyčejná call opce = asset-or-nothing − cash-or-nothing, pro Q = K.
6.7 Look back options
- Výplata závisí na max (resp. min) ceny aktiva během života opce.
Pro evropskou look back call opci bude výplata rovna ST − min
t∈(0,T)
St.
Tedy opce nám umožní koupit akcii za minimální cenu dosaženou během života
opce.
Pro put opci je výplata: max
t∈(0,T)
St − ST .
Umožňuje prodat za maximální cenu dosaženou během života opce.
6.8 Shout options
- Držitel opce má možnost 1× za dobu života opce ”zavolat” na prodejce
opce. Na konci obdrží buď obvyklou výplatu, nebo vnitřní hodnotu opce
v čase zavolání.
Označme čas zavolání τ. Výplata tedy je
max(0, ST − Sτ ) + (Sτ − K).
Tedy hodnota v čase τ je současná hodnota (Sτ − K) + hodnota evropské
call opce s expirační cenou Sτ .
Dál ocenění jako u americké opce.
32
6.9 Asijské opce
- Asijská call opce má výplatní funkci: max(0, Sprůměr − K)
Asijská put opce má výplatní funkci: max(0, K − Sprůměr)
- pro geometrický průměr existuje oceňovací formule
- pro aritmetický průměr neexistuje, jen přibližný vzorec
6.10 Basket options
- opce na portfolia
- výplatní funkce závisí na hodnotě portfolia akcií, místo jedné akcie
33
Kapitola 7
Deriváty úrokových měr
Zatím jsme předpokládali, že úroková míra r je konstantní, teď budeme předpokládat,
že r se mění v čase.
Tržní cena rizika
Uvažujeme derivát, jehož hodnota závisí na jediné proměnné θ. Předpokládejme,
že θ se řídí stochastickou diferenciální rovnicí
dθ
θ
= m · dt + s · dW,
kde W je standardní Wienerův proces, m a s mohou záviset na θ a na t.
θ může být např. cena akcie, cena ropy, . . .
Nechť f1 a f2 jsou ceny 2 derivátů závislých jen na θ a t. Jejich výplata
je funkcí θ v nějakém budoucím čase. Nechť f1 a f2 splňují rovnice
df1
f1
= µ1 dt + σ1 dW,
df2
f2
= µ2 dt + σ2 dW,
kde µ1, µ2, σ1, σ2, jsou funkce θ a t. W je tentýž proces ve všech třech
rovnicích.
∆W můžeme vhodnou kombinací f1 a f2 eliminovat:
∆f1 = µ1f1∆t + σ1f1∆W / · σ2f2
∆f2 = µ2f2∆t + σ2f2∆W / · (−σ1f1)
34
Uvažujme portfolio: σ2f2 hodnota 1. derivátu
− σ1f1 hodnota 2. derivátu
Nechť π je hodnota tohoto portfolia. Pak
π = σ2f2f1 − σ1f1f2
∆π = σ2f2∆f1 − σ1f1∆f2 = µ1f2σ2f1∆t − σ1f1µ2f2∆t
⇒ portfolio je bezrizikové; musí tedy platit (neexistence arbitráže)
∆π = r · π ·∆t,
kde r je bezriziková úroková míra.
Dosazením dostaneme:
∆π = σ2f2∆f1 − σ1f1∆f2 = r(σ2f2f1 − σ1f1f2)∆t
(σ2µ1f1f2 − σ1µ2f2f1)∆t = r(σ2f2f1 − σ1f1f2)∆t
σ2µ1 − µ2σ1 = rσ2 − rσ1
σ2(µ1 − r) = σ1(µ2 − r)
µ1 − r
σ1
parametryf1
=
µ2 − r
σ2
parametryf2
⇒ závisí pouze na θ
Tedy jsme dokázali, že je-li cena derivátu závislého jen na θ a t rovna f,
splňující rovnici
df
f
= µ dt + σ dW,
pak
µ − r
σ
= λ (pro všechny takové deriváty).
Definice 7.1. λ se nazývá tržní cena rizika veličiny θ (λ je funkcí θ a t).
Máme µ − r = λ · σ σ . . . míra rizika související s θ obsažená v f
λ . . . cena rizika
pravá strana = míra rizika · cena rizika
levá strana = očekávaný zisk přidaný k bezrizikové míře, který kompenzuje
toto riziko
35
Příklad 16. Uvažujme derivát, jehož hodnota je závislá na ceně ropy (v
kladném směru; t.j. roste-li cena ropy, roste cena derivátu) a nezávisí na
jiných proměných. Předpokládejme, že očekávaný zisk je 12% ročně, volatilita
je 20% ročně a nechť r = 8%.
Tedy tržní cena rizika ropy je
0, 12 − 0, 08
0, 2
= 0, 2.
Připomenutí:
Výměnou pravděpodobnostní míry za ekvivalentní můžeme dosáhnout změny
koeficientu driftu (Cameron-Martinova věta pro konstantní drift, Girsanova
věta pro obecný stochastický drift).
Alternativní terminologie: výběr pravděpodobnostní míry určuje ”svět,” ve
kterém platí určitá cena rizika (”míra” ∼ cena rizika).
Cena rizika = 0 ∼ risk-neutrální svět.
Nechť opět f je cena derivátu závislého na proměnné θ. Předpokládejme,
že se řídí stochastickou diferenciální rovnicí
df = µf dt + σf dW,
kde W je standardní Wienerův proces, µ a σ jsou funkce t a θ.
Hodnota µ závisí na vztahu investora vůči riziku. Ve světě, kde cena rizika
je rovna 0 (risk-neutrální svět), máme
λ =
µ − r
σ
= 0 ⇐⇒ µ = r,
tedy
df = rf dt + σf dW.
To platí v standardním risk-neutrálním světě (cena rizika ≈ výběr pradvěpodobnostní
míry).
Příklad 17.
Volba I: dostaneme s jistotou 50 Kč
Volba II: dostaneme s pravděpodobností 1
2
100 Kč, dostaneme s pravděpodobností
1
2
0 Kč
Očekávání je pro obě volby stejné (50 Kč).
Volba I má rozptyl 0 (nulové riziko), volba II má nenulové riziko.
36
Investor je
1. rizikově neutrální: obě volby jsou ekvivalentní
2. rizikově averzní: volba I je lepší (většina investorů)
3. vyhledávající riziko: volba II je lepší (hazardní hráči)
Jiné předpoklady o tržní ceně rizika dávají ”jiné světy.” Obecně máme
µ = r + λσ λ =
µ − r
σ
.
Tedy
df = (r + λσ) · f dt + σf dW. (7.1)
Tedy tržní cena rizika určuje míru růstu všech derivátů závislých na dané
proměnné. Při přechodu od jedné ceny rizika k jiné se mění koeficient růstu,
ale volatilita zůstává stejná.
Pro určitou hodnotu ceny rizika dostaneme reálný svět, to co pozorujeme
v praxi.
Připomenutí:
Itôův proces je martingal právě tehdy, když koeficient u dt je identicky rovný
nule, t.j. dθ = σ(t, θ) · dW.
Víme, že pro martingal E(θT ) = θ0 .
7.1 Numeraire
- volba jednotek
Nechť f a g jsou ceny obchodovatelných aktiv, závisející na jednom zdroji
nejistoty.
Definice 7.2. Definujeme
Φ =
f
g
.
Φ je relativní cena f vzhledem ke g.
Φ můžeme chápat jako cenu f vyjádřenou v jednotkách g, namísto korun.
Aktivum g se nazývá numeraire.
37
Věta 7.3. Platí: neexistence arbitráže ⇒ Φ je martingal pro nějakou volbu
tržní ceny rizika. Touto volbou je volatilita g.
Důkaz. Nechť volatility f a g jsou σf a σg. Z rovnice 7.1 máme (za tržní cenu
rizika bereme volatilitu g, tedy σg):
df = r + σg · σf f dt + σf f dW
dg = r + σg
2
g dt + σg g dW.
Itôovo lemma (použité na funkci ln) dává
d ln f = r + σg · σf −
σf
2
2
dt + σf dW
d ln g = r +
σg
2
2
dt + σg dW,
tedy
d ln f − ln g = σg · σf −
σf
2
2
−
σg
2
2
dt + σf − σg dW
d ln
f
g
= −
1
2
σf − σg
2
dt + σf − σg dW.
Aplikací Itôova lemmatu na proces f
g
a funkci ln dostaneme
d
f
g
= σf − σg ·
f
g
dW.
Tedy Φ = f
g
je martingal.
Svět, ve kterém je cena rizika rovna volatilitě g, budeme nazývat (forward)risk-neutrální
vzhledem k g.
Tedy f
g
je martingal ⇒
f0
g0
= Eg
fT
gT
a tedy
f0 = g0 Eg
fT
gT
,
kde Eg je očekávaná hodnota v risk-neutrálním světě vzhledem ke g.
38
Volby numeraire:
1. Peněžní trh jako numeraire:
Peněžní trh je aktivum, které v čase t = 0 má hodnotu 1 Kč a získává
okamžitou bezrizikovou míru r v libovolném čase, (kde r může být
stochastické).
Je-li g hodnota peněžního trhu, pak dg = r · g · dt.
Drift je stochastický, ale volatilita g je rovna 0. Tedy v risk-neutrálním
světě vzhledem ke g je cena rizika rovna 0.
Tedy f0 = g0 E fT
gT
, kde E je očekávání ve standardním risk-neutrálním
světě. Dále máme
g0 = 1 a gT = e
T
0 r dt
tedy
f0 = E e− T
0 r dt
· fT neboli f0 = E e−¯rT
· fT ,
kde ¯r = 1
T
T
0
r dt je aritmetický průměr hodnoty r mezi časy 0 a T.
2. Bezkuponový dluhopis jako numeraire:
Nechť P(t, T) je cena v čase t bezkuponového dluhopisu, který vyplatí
1$ v čase T. Položme g rovno P(t, T).
ET bude označovat očekávání ve světě, který je risk-neutrální vzhledem
k P(t, T).
Protože gT = P(T, T) = 1 a g0 = P(0, T), rovnice
f0 = g0 · Eg
fT
gT
dává
f0 = P(0, T) · ET (fT ) . (7.2)
Tedy oproti peněžnímu trhu je diskontování (pomocí P(0, T)) mimo
operátor očekávání. To zjednodušší oceňování derivátů, které závisí jen
na hodnotách v čase T.
39
Nechť θ je stochastická proměnná, různá od úrokové míry. Forwardový kontrakt
na θ se splatností v čase T je definován jako kontrakt s výplatou θT −K
v čase T, kde θT je hodnota v čase T a K je realizační cena. Nechť f označuje
hodnotu kontraktu. Dále máme
f0 = P(0, T) · [ET (θT ) − K].
Forwardová cena F je ta hodnota K, pro kterou je f0 = 0. Tedy
P(0, T) · [ET (θT ) − F] = 0 ⇒ F = ET (θT ).
Tedy forwardová cena proměnné θ je očekávání budoucí ceny ve světě riskneutrálním
vzhledem k P(t, T).
7.2 Rozšíření B.-S. modelu na situaci, kdy
úroková míra je stochastická
Uvažujeme evropskou call opci s časem expirace T. Podle 7.2 máme
C = P(0, T) · ET [max(ST − K, 0)],
kde ST je cena akcie v čase T, K je realizační cena opce.
Nechť R je zero rate (okamžitá úroková míra T-roční)
P(0, T) = e−RT
tedy
C = e−RT
· ET [max(ST − K, 0)].
Předpokládejme, že ST je lognormální v risk-neutrálním světě vůči P(t, T) se
střední směrodatnou odchylkou W. Dostaneme (jako při odvození standardního
Black-Scholesova vzorce)
ET [max(ST − K, 0)] = ET (ST ) · Φ(d1) − K · Φ(d2),
kde
d1 =
ln[ET (ST )/K] + W2
/2
W
, d2 =
ln[ET (ST )/K] − W2
/2
W
,
ET (ST ) je forwardová cena akcie pro kontrakt se splatností v čase T.
40
Z neexistence arbitráže plyne, že ET (ST ) = S0 · eRT
. Celkem tedy
C = S0 · Φ(d1) − K · e−RT
· Φ(d2),
kde
d1 =
ln[S0/K] + RT + W2
/2
W
, d2 =
ln[S0/K] + RT − W2
/2
W
.
Platí-li W = σ ·
√
T, pak dostaneme přesně B.-S. vzorec s r nahrazeným
R.
Poznámka. Proč je ET (ST ) forwardová cena akcie.
Nechť θ je proměnná, která není úroková míra. Forwardový kontrakt na θ se
splatností v čase T je definován jako kontrakt s výplatou θT − K v čase T,
kde θT je hodnota v čase T. Označme f hodnotu forwardového kontraktu.
Máme
f0 = P(0, T) · [ET (θT ) − K].
Forwardová cena (realizační cena) je ta hodnota K, pro kterou je f0 = 0.
Tedy
P(0, T) · [ET (θT − K)] = 0, neboli K = E(θT ).
Tedy forwardová cena je očekávaná budoucí cena ve světě, který je riskneutrální
vzhledem k P(t, T).
7.3 Oceňování derivátů úrokových měr
Výplata závisí nějakým způsobem na úrovni úrokové míry. Oceňování je složitější
než u opcí, neboť:
- pro řadu produktů je třeba mít model, který popisuje chování celé
výnosové křivky,
- úrokové míry jsou použity jak pro diskontování, tak pro definici výplaty
z derivátu.
41
7.3.1 Blackův model
Mějme evropskou call opci na proměnnou V .
Definujeme:
T . . . čas do expirace opce
F . . . forwardová cena V na kontrakt s expirací v čase T
F0 . . . hodnota F v čase 0 (kontrakt uzavřený v čase 0)
K . . . realizační cena opce
P(t, T) . . . cena v čase t bezkuponového dluhopisu vyplácejícího v čase T 1$
VT . . . hodnota V v čase T
σ . . . volatilita F
Pro oceňování opce:
1. Předpokládejme, že ln VT má normální rozdělení se střední hodnotou
F0 a směrodatnou odchylkou σ
√
T.
2. Diskontujeme očekávanou výplatu pomocí T-roční okamžité úrokové
míry (což je ekvivalentní vynásobení výplaty faktorem P(0, T)).
Výplata z opce je max(VT −K, 0). Z lognormálního rozdělení dostaneme (jako
u B.-S. vzorce):
E(max(VT − K, 0)) = E(VT ) · Φ(d1) − K · Φ(d2),
kde E(VT ) je očekávaná hodnota VT a
d1 =
ln[ET (VT )/K] + σ2
T/2
σ
√
T
, d2 =
ln[ET (VT )/K] − σ2
T/2
σ
√
T
= d1 − σ
√
T.
Protože předpokládáme, že E(VT ) = F0, máme
C = P(0, T) · [F0 Φ(d1) − K Φ(d2)], (7.3)
kde
d1 =
ln[F0/K] + σ2
T/2
σ
√
T
, d2 = d1 − σ
√
T.
Podobně pro put opci:
P = P(0, T) · [K Φ(−d2) − F0 Φ(−d1)].
Nepředpokládáme geometrický Brownův pohyb pro vývoj V (uvolnění předpokladů
B.-S. modelu).
42
7.3.2 Opce na dluhopisy
Některé dluhopisy mají opce ”zabudované v sobě.”
Callable bond: dluhopis, který dovoluje firmě, která ho vydala, odkoupit
jej zpátky za určenou cenu, v určených časech v budoucnosti.
Tedy držitel vlastně prodává call opci na tento dluhopis firmě, která ho vy-
dala.
Na ocenění evropské call opce na dluhopis použijeme Blackův model.
Předpoklady: cena dluhopisu v čase T je lognormální.
Rovnici 7.3 můžeme použít (s F0 rovnou forwardové ceně dluhopisu FB a σ
rovno forwardové volatilitě dluhopisu σB). Dostaneme
C = P(0, T) · [FB Φ(d1) − K Φ(d2)],
P = P(0, T) · [K Φ(−d2) − FB Φ(−d1)],
kde
d1 =
ln[FB/K] + σB
2
T/2
σB
√
T
a d2 = d1 − σB
√
T.
FB se vypočítá podle vztahu
FB =
B0 − I
P(0, T)
,
kde I je současná hodnota kuponů a B0 je cena dluhopisů v čase 0.
43
Literatura
[1] Hull J. C.: Options, Futures and other derivatives, Preatice Hall 2006
[2] Melicherčík I., Olšarová L., Úradníček V.: Kapitoly z finančnej matematiky,
EPOS, Bratislava 2005
44