Algebra I
Radan Kučera, jarní semestr 2011
Literatura:
J. Rosický: Algebra, skriptum PřF MU, 4. vydání, Brno 2002 (nebo později), str. 7-102.
Operace na množině, grupoid
Definice. Nechť G je množina. Libovolné zobrazení G x G — G se nazývá (binární) operace na množině G.
Označení. Operace budeme značit symbolem • (případně +, o, • apod.), obraz dvojice [a, b] G G x G v operaci • symbolem a • b.
Definice. Operace • na množině G se nazývá
► komutativní, jestliže M a, b G G: a • b = b • a;
► asociativní, jestliže Ma, b, c G G: a • (b • c) = (a • b) • c.
Definice. Množina G spolu s operací • na G se nazývá grupoid, označujeme jej (G, •), nebo jen G, bude-li z kontextu jasné, jakou operaci máme na mysli.
Definice. Grupoid (G, •) se nazývá
► komutativní, jestliže • je komutativní operace na G;
► asociativní (neboli pologrupa), jestliže • je asociativní operace na G.
Neutrální prvek, inverzní prvky, grupa
Definice. Nechť (G, •) je grupoid. Prvek e G G se nazývá neutrální prvek (neboli jednotkový prvek) tohoto grupoidu, jestliže Ma G G: e • a = a • e = a.
Věta. Každý grupoid má nejvýše jeden neutrální prvek. Důkaz.
Definice. Nechť (G, •) grupoid s neutrálním prvkem e a nechť je pevně dáno a G G. Prvek b G G se nazývá inverzním prvkem k prvku a (v grupoidu G), jestliže platí a • b = b • a = e.
Věta. V libovolné pologrupě s neutrálním prvkem ke každému prvku existuje nejvýše jeden prvek inverzní.
Defnice. Grupoid G se nazývá grupa, jestliže
► G je pologrupa (tj. asociativní grupoid),
► G má neutrální prvek,
► ke každému prvku a G G existuje v G prvek inverzní.
Označení. V grupě (G, •) tedy ke každému prvku a G G existuje právě jeden prvek inverzní, značíme jej a-1.
Definice. Je-li (G, •) grupa a je-li navíc operace • komutativní, hovoříme o komutativní grupě.
Definice. Grupa (G, •) se nazývá triviální, má-li množina G jediný prvek, tj. G = {e}. (Tento jediný prvek e je pak nutně neutrální, neboť musí platit e • e = e.)
Příklad. (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +) jsou komutativní grupy; (Q*, •), (R*, •), (C*, •) jsou komutativní grupy, kde Q* = Q - {0}, R* = R -{0}, C* = C -{0}.
Příklad. Nechť R značí kteroukoli z číselných množin Z, Q, R, C, pak pro libovolné m, n G N definujeme Mnm(R) jako množinu všech matic typu n x m s prvky z R. Pak (Mnm(R), +) je komutativní grupa (zde + značí sčítání matic). Naopak (Mnn(R), •), kde • značí násobení matic, je pologrupa s neutrálním prvkem, ale grupa to není. Je-li R kterákoli z číselných množin Q, R, C, označme QCn(R) množinu všech regulárních matic typu n x n s prvky z R (tj. matic s nenulovým determinantem). Pak (GLn(R), •) je grupa, která není komutativní, je-li n > 2.
Permutace
Příklad. Nechť X je množina, symbolem X   značíme množinu všech zobrazení X — X, symbol o značí skládání zobrazení. Připomeňme, že pro f, g G XX je definováno
(f o g )(x) = f (g (x))      pro libovolné x G X.
Pak (XX, o) je pologrupa s neutrálním prvkem, ale grupa to není.
Definice. Permutací na množině X rozumíme libovolnou bijekci X — X. Množinu všech permutací na množině X značíme S(X). Pokud X = {1, 2,..., n}, píšeme místo S(X) stručně jen Sn.
Příklad. (S(X), o) je grupa, která není komutativní, má-li X alespoň tři prvky.
Jak označovat prvky grupy
dvouřádkovou maticí orientovaným grafem
(
1 2 3 4 5 6 4   1   5   2   6 3
*-2 3
anebo schématem
1
3
5
6
Definice. Nechť i1,..., ik jsou různé prvky množiny {1, 2,..., n}, přičemž k > 2. Permutaci z Sn takovou, že
přičemž pro všechny prvky a G {1, 2,..., n}, a G {/i,..., /k} platí a — a, nazýváme cyklem délky k a značíme (/i,..., ik). Cykly délky 2 se nazývají transpozice.
1
6
5
1
6
Definice. Cykly (/'i,...,  ), (ji,..., jr) G Sn se nazývají nezávislé, jsou-li množiny      ..., ik} a {ji,..., jr} disjunktní (tj. mají-li prázdný průnik).
Věta. Každou neidentickou permutaci f G Sn lze napsat jako složení několika nezávislých cyklů, a to jednoznačně až na jejich pořadí.
Věta. Nechť n > 1, pak každou permutaci f G Sn lze napsat jako složení několika transpozic. Důkaz.
Definice. Nechť f G Sn. Řekneme, že uspořádaná dvojice [i, j] je inverze permutace f, jestliže 1 < i < j < n a platí f (i) > f (j). Permutace f se nazývá sudá nebo lichá podle toho, má-li sudý nebo lichý počet inverzí. Paritu p(f) permutace f definujeme:
1 je-li f sudá,
I —1      je-li f lichá.
Jak zjistit paritu permutace f G Sn?
Je-li f dána dvouřádkovou maticí, spočítáme, kolikrát ve spodním řádku „je menší číslo předběhnuto větším":
/ 1 2 3 4 5 6 \ V 4   1   5   2   6   3 )
4 > 1, 4 > 2, 4 > 3, 5 > 2, 5 > 3, 6 > 3: šest inverzí - sudá permutace. Je-li f dána schématem
spočítáme, kolikrát se protínají šipky:
šest průsečíků - šest inverzí - sudá permutace.
A co parita permutace f G Sn zapsané jako složení cyklů?
Věta. Pro libovolné f, g G Sn platí
p(f o g) = p(f) • p(g)-
Jinými slovy: složením libovolných dvou permutací stejné parity dostaneme sudou permutaci, kdežto složením libovolných dvou permutací různé parity dostaneme lichou permutaci. Důkaz.
Důsledek. Složení sudého počtu transpozic je sudá permutace, složení lichého počtu transpozic je lichá permutace. Důkaz. Pokračování.
Důsledek. Cyklus liché délky je sudá permutace a cyklus sudé délky je lichá permutace.
Důsledek. Neidentická permutace je sudá, právě když ve svém rozkladu na složení nezávislých cyklů má sudý počet cyklů sudé délky. Je tedy lichá, právě když v tomto rozkladu má lichý počet
cyklů sudé délky.    Příklady. Ještě jeden.