Exponent konečné grupy
Věta. Nechť G je komutativní grupa, a, b ∈ G takové, že řád prvku
a je m ∈ N, řád prvku b je n ∈ N. Jestliže (m, n) = 1, pak řád
prvku a · b je m · n. Důkaz.
Definice. Nechť G je konečná grupa. Nejmenší přirozené číslo e
takové, že pro každé a ∈ G platí ae = 1, se nazývá exponent
grupy G. Příklad.
Poznámka. Máme-li konečnou grupu G, můžeme určit řád každého
prvku grupy G a spočítat nejmenší společný násobek všech
získaných řádů. Tento nejmenší společný násobek je roven
exponentu grupy G.
Věta. Nechť G je konečná komutativní grupa. Pak exponent grupy
G je roven největšímu z řádů všech prvků grupy G. Důkaz.
Věta (zákony o krácení). Nechť G je grupa, a, b, c ∈ G. Pak platí
a · b = a · c =⇒ b = c,
b · a = c · a =⇒ b = c. Důkaz.
Podgrupa grupy
Definice. Nechť (G, ·) je grupa, H podmnožina množiny G.
Řekneme, že H je podgrupa grupy G, a píšeme H ≤ G, jestliže
neutrální prvek 1 ∈ H,
pro každé a ∈ H platí a−1 ∈ H,
pro každé a, b ∈ H platí a · b ∈ H.
Poznámka. Největší podgrupou grupy G (vzhledem k ⊆) je celá G,
nejmenší podgrupou je {1}.
Věta. Nechť H je podgrupa grupy (G, ·). Pak · určuje operaci na
množině H, přičemž H je grupa vzhledem k této operaci. Je-li
grupa G komutativní, pak je i grupa H komutativní.
Označení. Zmiňovanou operaci na podgrupě budeme označovat
stejným symbolem jako původní operaci na celé grupě, přestože
tyto operace nejsou stejné.
Věta. Jestliže H je podgrupa grupy G a K je podgrupa grupy H,
pak je K také podgrupou grupy G.
Podgrupa grupy generovaná podmnožinou grupy
Věta. Nechť G je grupa, I neprázdná množina taková, že pro každé
i ∈ I je dána podgrupa Hi grupy G. Pak průnik i∈I Hi všech
těchto podgrup je opět podgrupou grupy G. Důkaz.
Definice. Nechť M je podmnožina grupy G. Symbolem M
označíme průnik všech podgrup grupy G, jejichž podmnožinou je
množina M. Podle předchozí věty je M podgrupou grupy G
obsahující množinu M; evidentně je nejmenší s touto vlastností.
Podgrupu M nazýváme podgrupa generovaná množinou M,
množinu M nazýváme množina generátorů podgrupy M .
Označení. Je-li M = {a1, . . . , an}, lze psát stručně a1, . . . , an
místo M . Příklady.
Poznámka. Zřejmě G = G, ∅ = {1}. Pro každou M ⊆ G platí
M = M ∪ {a−1
; a ∈ M} .
Definice. Řádem konečné grupy (G, ·) rozumíme počet prvků této
grupy, značíme |G|.
Podgrupa grupy generovaná podmnožinou grupy
Věta. Nechť M je podmnožina grupy (G, ·) taková, že M = ∅ a že
pro každé a ∈ M je také a−1 ∈ M. Pak platí
M = {a1 · . . . · an; n ∈ N, a1, . . . , an ∈ M}. Důkaz.
Důsledek. Nechť (G, ·) je grupa, a ∈ G. Pak platí
a = {am; m ∈ Z}. Důkaz.
Důsledek. Nechť (G, ·) je grupa, a ∈ G je prvek řádu n ∈ N ∪ {∞}.
Pak počet prvků podgrupy a generované prvkem a je roven n.
Definice. Grupa G se nazývá cyklická, existuje-li a ∈ G tak, že
G = a .
Příklad. Grupy (Z, +) i (Zm, +) pro libovolné m ∈ N jsou cyklické.
Důsledek. Konečná n-prvková grupa je cyklická, právě když
obsahuje prvek řádu n.
Důsledek. Nechť H, K jsou podgrupy komutativní grupy (G, ·).
Pak platí H ∪ K = {h · k; h ∈ H, k ∈ K}.
Homomorfismus grup
Definice. Nechť (G1, ·) a (G2, ∗) jsou grupy, f : G1 → G2
zobrazení. Řekneme, že f je homomorfismus grupy (G1, ·) do
grupy (G2, ∗), jestliže pro každé a, b ∈ G1 platí
f (a · b) = f (a) ∗ f (b). Injektivní homomorfismus se nazývá
vnoření, bijektivnímu homomorfismu říkáme izomorfismus.
Poznámka. Nepřesně řečeno: homomorfismus je zobrazení mezi
grupami, u kterého dostaneme totéž, ať už „napřed počítáme a
pak zobrazujeme anebo „napřed zobrazujeme a pak počítáme .
Příklad. Pro libovolné m ∈ N je zobrazení parita p : Sm → {1, −1}
homomorfismus grupy permutací (Sm, ◦) do grupy ({1, −1}, ·),
neboť pro libovolné permutace f , g ∈ Sm platí
p(f ◦ g) = p(f ) · p(g). V případě m = 2 jde o izomorfismus.
Příklad. Zobrazení logaritmus log : R+ → R je homomorfismus
multiplikativní grupy všech kladných reálných čísel (R+, ·) do
aditivní grupy všech reálných čísel (R, +), neboť pro libovolná
kladná reálná čísla a, b platí log(a · b) = (log a) + (log b). Protože
je toto zobrazení bijekce, jde o izomorfismus.