Faktorgrupy - opakování
Nechť (G, ·) je grupa, H její podgrupa. Každý prvek a ∈ G určuje
svou levou třídu a · H = {a · h; h ∈ H}. Přitom
∀a, b ∈ G : (a · H = b · H ⇔ a ∈ b · H ⇔ b−1 · a ∈ H).
Rozklad grupy G podle podgrupy H je množina všech levých tříd
G/H = {a · H; a ∈ G}. Předpokládejme, že podgrupa H je
normální podgrupa grupy G, tj. pro každé h ∈ H a každé a ∈ G
platí a · h · a−1 ∈ H. Pak lze na rozkladu G/H zavést operaci
pomocí reprezentantů, tj. pro libovolné a, b ∈ G definovat součin
levých tříd a · H a b · H předpisem (a · H) · (b · H) = (a · b) · H.
Touto operací na rozkladu G/H vznikne faktorgrupa (G/H, ·).
Definujme zobrazení π : G → G/H předpisem π(a) = a · H pro
libovolné a ∈ G (tedy každý prvek grupy G je zobrazen na třídu,
do níž patří). Zřejmě je π surjektivní. Dokázali jsme, že π je
homomorfismus grup, jehož jádro ker π = H.
Definice. Tento surjektivní homomorfismus π : G → G/H se
nazývá projekce grupy G na faktorgrupu G/H.
Faktorgrupy a homomorfismy
Věta. Nechť f : G → K je homomorfismus grup, ker f jeho jádro.
Pak pro libovolné a, b ∈ G platí f (a) = f (b), právě když
a−1 · b ∈ ker f , tj. právě když a · (ker f ) = b · (ker f ). Část důkazu.
Věta (Hlavní věta o faktorových grupách). Nechť f : G → K je
homomorfismus grup, H normální podgrupa grupy G splňující
H ⊆ ker f . Zdůvodnění předpokladu. Nechť π : G → G/H je projekce grupy
G na faktorgrupu G/H. Pak existuje, a to jediné, zobrazení
f : G/H → K splňující f ◦ π = f . Důkaz. G
f //
π
!!CCCCCCCC K
G/H
f
==zzzzzzzz
Navíc platí:
f je homomorfismus grup,
f je injekce, právě když H = ker f , Důkaz.
f je surjekce, právě když f je surjekce.
Důsledek. Je-li f : G → K homomorfismus grup, pak platí
G/(ker f ) ∼= f (G), kde f (G) = {f (a); a ∈ G} ⊂ K je obraz G. Důkaz.
Důsledek. Je-li f : G → K surjektivní homomorfismus grup, pak
platí G/(ker f ) ∼= K.
Příklady
Příklad. Zobrazení abs : R∗ → R∗, určené předpisem abs(x) = |x|
pro každé x ∈ R∗, je homorfismus grupy (R∗, ·) do sebe s jádrem
ker abs = {1, −1} a obrazem abs(R∗) = R+, proto faktorgrupa
(R∗/{1, −1}, ·) ∼= (R+, ·).
Příklad. Nechť n ∈ N, n > 1. Zobrazení parity p : Sn → {1, −1} je
surjektivní homomorfismus grup, jehož jádrem je normální
podgrupa všech sudých permutací An = ker p, proto faktorgrupa
(Sn/An, ◦) ∼= ({1, −1}, ·).
Příklad. Zobrazení f : R → C∗ s předpisem f (x) = cos x + i sin x
je homomorfismus grupy (R, +) do grupy (C∗, ·), neboť platí
cos(x + y) + i sin(x + y) = (cos x + i sin x) · (cos y + i sin y)
pro libovolné x, y ∈ R. Jádrem je podgrupa ker f = {2kπ; k ∈ Z}
všech celočíselných násobků 2π. Obrazem
f (R) = {cos x + i sin x; x ∈ R} = {a ∈ C; |a| = 1} je podgrupa
všech komplexních čísel s absolutní hodnotou 1. Proto
(R/{2kπ; k ∈ Z}, +) ∼= ({a ∈ C; |a| = 1}, ·).
Součin grup
Věta. Nechť (G1, ·) a (G2, ·) jsou grupy. Definujme na kartézském
součinu G1 × G2 novou operaci · po složkách, tj. definujeme
(g1, g2) · (h1, h2) = (g1 · h1, g2 · h2) pro libovolné g1, h1 ∈ G1 a
g2, h2 ∈ G2. Pak (G1 × G2, ·) je grupa. Důkaz.
Definice. Výše popsaná grupa (G1 × G2, ·) se nazývá součin grup
(G1, ·) a (G2, ·). Zobrazení
p1 : G1 × G2 → G1 a p2 : G1 × G2 → G2
určená předpisy
p1((a, b)) = a, p2((a, b)) = b
pro libovolné (a, b) ∈ G1 × G2 se nazývají projekce (ze součinu).
Věta. Nechť (G1 × G2, ·) je součin grup (G1, ·) a (G2, ·). Pak obě
projekce p1 a p2 jsou surjektivní homomorfismy.
Cayleyho věta
Věta. Nechť (G, ·) je grupa, zvolme libovolně a ∈ G. Pak zobrazení
ra : G → G, určené předpisem ra(g) = a · g pro každé g ∈ G, je
bijekce, tedy ra ∈ S(G). Důkaz.