Cayleyho věta Věta. Nechť (G, ·) je grupa, zvolme libovolně a ∈ G. Pak zobrazení ra : G → G, určené předpisem ra(g) = a · g pro každé g ∈ G, je bijekce, tedy ra ∈ S(G). Věta. Nechť (G, ·) je grupa. Libovolnému prvku a ∈ G přiřaďme bijekci ra z předchozí věty. Vznikne tak zobrazení r : G → S(G) s předpisem r(a) = ra pro každé a ∈ G. Pak platí: r je injektivní homomorfismus grup. Důkaz. Důsledek (Cayleyho věta). Každá grupa G je izomorfní s vhodnou podgrupou grupy permutací S(G). Každá konečná grupa řádu n je izomorfní s vhodnou podgrupou grupy Sn. Poznámka. V předchozí větě jsme každý prvek a grupy (G, ·) reprezentovali permutací ra nosné množiny G. Tuto situaci lze zobecnit, můžeme prvky grupy (G, ·) reprezentovat permutacemi nějaké jiné množiny X, kterou můžeme libovolně zvolit. Budeme tedy studovat homomorfismy G → S(X). Této situaci říkáme reprezentace grupy G permutacemi na množině X anebo stručně akce grupy G na množině X. Akce grupy G na množině X Definice. Nechť G je grupa, X množina a ϕ : G → S(X) je homomorfismus grup. Pro libovolné a ∈ G je ϕ(a) ∈ S(X), je tedy ϕ(a) : X → X bijekce. V bijekci ϕ(a) máme pro každý prvek y ∈ X dán jeho obraz ϕ(a)(y) ∈ X. Pro libovolné y ∈ X se množina Sy = {a ∈ G; ϕ(a)(y) = y} nazývá stabilizátor prvku y, množina Oy = {ϕ(a)(y); a ∈ G} ⊆ X orbita prvku y (vzhledem k ϕ). Příklad. Zvolme n ∈ N a X = {1, 2, . . . , n}. Pak S(X) = Sn. Zvolme dále libovolně f ∈ Sn a označme G = f , tj. G je podgrupa grupy Sn generovaná permutací f . Potom ϕ lze zvolit jako inkluzi, tj. každý prvek grupy G je zobrazen na sebe. Pokud zapíšeme permutaci f jako složení nezávislých cyklů, ihned vidíme, jak vypadá orbita Oy pro libovolný y ∈ X: platí-li f (y) = y, je Oy = {y}, v opačném případě je Oy množina všech prvků z cyklu, v němž vystupuje y. Stabilizátorem Sy prvku y je množina všech mocnin f k permutace f , které ponechávají y na místě, tj. splňují f k(y) = y. Jde o podgrupu grupy G generovanou permutací f |Oy |, tj. Sy = f |Oy | . Platí proto |G/Sy | = |Oy |. Konkrétní příklad. Akce grupy G na množině X Mějme dáno: grupu G, množinu X a homomorfismus grup ϕ : G → S(X), určující pro libovolný prvek y ∈ X stabilizátor Sy = {a ∈ G; ϕ(a)(y) = y} a orbitu Oy = {ϕ(a)(y); a ∈ G}. Věta. Množina všech orbit {Oy ; y ∈ X} je rozklad na množině X. Důkaz. Věta. Pro libovolné y ∈ X tvoří stabilizátor Sy podgrupu grupy G. Důkaz. Věta. Předpokládejme navíc, že X je konečná množina. Pak pro každé y ∈ X je počet prvků v orbitě Oy roven indexu stabilizátoru Sy , tj. |Oy | = |G/Sy |. Důkaz. Důsledek. Nechť je navíc X konečná množina a y1, . . . , ym ∈ X jsou takové, že v každé orbitě leží právě jeden z prvků y1, . . . , ym (a tedy m je počet orbit). Pak platí |X| = m i=1 |G/Syi |. Věta (Burnsidovo lemma). Nechť je navíc G konečná grupa a X konečná množina. Pro libovolné a ∈ G nechť Fa je množina fixních bodů permutace ϕ(a), tedy Fa = {y ∈ X; ϕ(a)(y) = y}. Pak pro počet orbit platí m = 1 |G| a∈G |Fa|. Důkaz Burnsidova lemmatu Mějme dáno: grupu G, množinu X a homomorfismus grup ϕ : G → S(X), určující pro libovolný prvek y ∈ X stabilizátor Sy = {a ∈ G; ϕ(a)(y) = y} a orbitu Oy = {ϕ(a)(y); a ∈ G}. Věta (Burnsidovo lemma). Nechť je navíc G konečná grupa a X konečná množina. Pro libovolné a ∈ G nechť Fa je množina fixních bodů permutace ϕ(a), tedy Fa = {y ∈ X; ϕ(a)(y) = y}. Pak pro počet orbit platí m = 1 |G| a∈G |Fa|. Důkaz. Nechť v každé orbitě leží právě jeden z prvků y1, . . . , ym. a∈G |Fa| = {(a, y) ∈ G × X; ϕ(a)(y) = y} = y∈X |Sy | = = m i=1 y∈Oyi |Sy | = m i=1 y∈Oyi |G| |G/Sy | = m i=1 y∈Oyi |G| |Oy | = = m i=1 y∈Oyi |G| |Oyi | = m i=1 |Oyi | |G| |Oyi | = m i=1 |G| = m|G|. Příklad užití Burnsidova lemmatu v kombinatorice Příklad. Máme stejné korálky n různých barev. Děláme dětské náramky tak, že navlečeme 7 korálků na šňůrku a zavážeme. Kolik různých náramků lze takto vytvořit (poloha uzlíku nerozhoduje)? Řešení. Pro n = 1 je jediný, pro n = 2 lze promyslet, že jich je 18. Proč? Ale pro n > 1 už naivní metodou nakreslení všech možností neuspějeme. Užijme Burnsidovo lemma, kde X je množina všech obarvení vrcholů pravidelného 7úhelníka n barvami. Pak |X| = n7, každé obarvení určí náramek, ale různá obarvení mohou dát týž náramek. Abychom zjistili, která obarvení dávají stejný náramek, užijme grupu D7 všech symetrií pravidelného 7úhelníka a definujme ϕ : D7 → S(X) takto: pro symetrii a ∈ D7 a obarvení y ∈ X je ϕ(a)(y) to obarvení, které z y vznikne, aplikujeme-li na 7úhelník symetrii a. Pak dvě obarvení z množiny X odpovídají témuž náramku, právě když patří do stejné orbity. Pro identitu id je |Fid | = |X| = n7, pro libovolnou ze 6 zbylých rotací r ∈ D7 je |Fr | = n a pro každou ze 7 osových souměrností s je |Fs| = n4. Proč? Podle Burnsidova lemmatu je hledaný počet 1 14(n7 + 7n4 + 6n). Další akce libovolné grupy G na její nosné množině Věta. Nechť (G, ·) je grupa, zvolme libovolně a ∈ G. Pak zobrazení ρa : G → G, určené předpisem ρa(g) = a · g · a−1 pro každé g ∈ G, je bijekce, tedy ρa ∈ S(G). Důkaz. Definice. Nechť (G, ·) je grupa. Jejím centrem Z(G) rozumíme množinu všech prvků, které komutují s každým prvkem grupy G, tj. Z(G) = {a ∈ G; ∀g ∈ G : a · g = g · a}. Věta. Nechť (G, ·) je grupa. Libovolnému prvku a ∈ G přiřaďme bijekci ρa z předchozí věty. Vznikne tak zobrazení ρ : G → S(G) s předpisem ρ(a) = ρa pro každé a ∈ G. Pak platí: ρ je homomorfismus grup, udává tedy akci grupy G na nosné množině G této grupy. Přitom jádro ker ρ = Z(G). Pro libovolný prvek g ∈ G platí, že g má jednoprvkovou orbitu v této akci, právě když g je v centru grupy G, tj. Og = {g} ⇐⇒ g ∈ Z(G). Důkaz. Důsledek. Z(G) je normální podgrupa grupy G. Užití předchozí akce na p-grupách Definice. Nechť p je prvočíslo. Konečná grupa G se nazývá p-grupa, jestliže |G| = pk pro vhodné k ∈ N. Věta. Nechť p je prvočíslo a G je p-grupa. Pak |Z(G)| > 1, tj. G má netriviální centrum. Důkaz. Platí |G| = pk pro nějaké k ∈ N. Užijeme výše popsanou akci ρ : G → S(G) s předpisem ρ(a) = ρa pro každé a ∈ G. Víme: počet prvků libovolné orbity je index stabilizátoru, tento index je dělitelem řádu grupy G, tj. čísla |G| = pk. Dále platí a ∈ Z(G) ⇐⇒ |Oa| = 1, a /∈ Z(G) =⇒ p | |Oa|. Každý prvek z G patří do právě jedné orbity, počet prvků grupy |G| je dělitelný číslem p. Odtud p | |Z(G)|.