Konečné grupy
Věta. Nechť p je prvočíslo a G je p-grupa řádu \G| = p2. Pak je G komutativní. Důkaz.
Důsledek. Nechť p je prvočíslo. Pak existují, až na izomorfismus, právě dvě grupy řádu p2, a sice Zp2 a Zp x Zp.
Poznámka. Pro libovolnou konečnou grupu G nám Lagrangeova věta říká, že řád každé podgrupy grupy G dělí řád grupy G. Naopak se můžeme ptát, jestli pro každého dělitele d řádu grupy G existuje podgrupa H grupy G mající řád d. Takto obecně to pravda není, například grupa A4 řádu 12 nemá žádnou podgrupu řádu 6. Je to však pravda, je-li d mocnina prvočísla.
Věta (Cauchy). Nechť G je konečná grupa a p prvočíslo dělící řád grupy G. Pak G obsahuje alespoň jednu podgrupu řádu p. Důkaz.
Věta (Sylow). Nechť G je konečná grupa, p prvočíslo a k G N takové, že pk je dělitelem řádu grupy G. Pak G obsahuje alespoň jednu podgrupu řádu pk.
p-Sylowské podgrupy
Definice. Nechť G je konečná grupa, p prvočíslo a k G N takové, že pk je největší mocnina p dělící řád grupy G, tj. |G| = pk • m, přičemž p \ m. Pak libovolná podgrupa grupy G mající řád pk se nazývá p-Sylowská podgrupa grupy G (někdy též Sylowova p-podgrupa).
Příklad. Grupa (S3, o) řádu 6 obsahuje tři 2-Sylowské podgrupy, totiž {id, (1,2)}, {id, (1, 3)}, {id, (2, 3)}. Obsahuje také jedinou 3-Sylowskou podgrupu, totiž {id, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}.
Věta (Sylow). Nechť G je konečná grupa, p prvočíslo a k G N takové, že | G | = pk • map \ m. Označme r počet p-Sylowských podgrup grupy G. Pak platí
► r = 1 (mod p),   r | m;
► libovolná podgrupa grupy G, jejíž řád je mocnina p, je podgrupou některé p-Sylowské podgrupy grupy G;
► jestliže H, K jsou p-Sylowské podgrupy grupy G, pak existuje g G G tak, že předpis h — g • h • g-1 určuje izomorfsmus
H — K.
Struktura konečných komutativních grup
Věta. Nechť (G, •) je konečná komutativní grupa, |G| > 1. Pak existují (ne nutně různá) prvočísla pi, .. ., ps a k1, .. ., ks G N tak, že
(G, •) = (Z * , +) x---x (Zpks, +).
Tento rozklad grupy G na součin cyklických p-grup je určen jednoznačně až na pořadí činitelů. Zřejmě platí |G| = p^1 • • • pks.
Příklad. Užijme větu k tomu, abychom zjistili, jak mohou vypadat komutativní grupy řádu 8. Podle předchozí věty jde o to, jakými způsoby je možné napsat 8 jako součin mocnin prvočísel: 8 = 23 = 22 • 2 = 2 • 2 • 2, proto každá komutativní grupa řádu 8 je izomorfní s právě jednou z grup Z8, Z4 x Z2 a Z2 x Z2 x Z2. Zdůrazněme, že tento výčet se týká jen komutativních grup, existují i nekomutativní grupy řádu 8, například grupa symetrií čtverce D4.
Okruhy
Definice. Množina R spolu se dvěma operacemi + a • se nazývá okruh, jestliže platí:
► (R, +) je komutativní grupa,
► (R, •) je pologrupa s neutrálním prvkem,
► platí distributivní zákony, tj. pro libovolné prvky a, b, c G R je a • (b + c) = a • b + a • c,   (b + c) • a = b • a + c • a (užíváme obvyklou konvenci o tom, že násobení má přednost před sčítáním).
Příklady. (Z, +, •), (Q, +, •), (R, +, •), (C, +, •) jsou okruhy.
Pro libovolné m G N je (Zm, +, •) okruh.  Důkaz distributivního zákona.
Množina všech čtvercových matic Mnn(R), kde R značí Z, Q, R nebo C a n G N, tvoří okruh (Mn>n(R), +, •). Množina všech polynomů R [x], kde R značí Z, Q, R nebo C, tvoří okruh (R[x], +, •).
Příklad. (N, +, •) okruhem není.
Okruhy
Definice. (R, +, •) je okruh, jestliže:
► (R, +) je komutativní grupa,
► (R, •) je pologrupa s neutrálním prvkem,
platí distributivní zákony, tj. pro libovolné prvky a, b, c G R je
a • (b + c) = a • b + a • c,   (b + c) • a = b • a + c • a.
Označení. Neutrální prvek grupy (R, +) značíme 0 a nazýváme
nula okruhu R, zatímco neutrální prvek pologrupy (R, •) značíme
1 a nazýváme jednička okruhu R.
Inverzní prvek k prvku a G R v grupě (R, +) se nazývá
opačný prvek, značíme —a.
Symbolem a — b rozumíme a + (—b).
Mocninu prvku a G R nazýváme násobek prvku a značíme na pro libovolné n G Z.
Součet ai + • • • + an prvků okruhu R lze stručně zapsat    /Li a/.
Základní vlastnosti okruhů
Definice. Okruh (R, +, •) se nazývá triviální, má-li R jediný prvek.
Věta. Nechť R je okruh. Pak platí
► Va G R : a • 0 = 0 • a = 0, Důkaz.
► Va, b G R : (-a) • b = a • (-b) = -(a • b),
► Va, b, c G R :
a • (b — c) = a • b — a • c,   (b — c) • a = b • a — c • a,
V n, m G N Vai,..., an, b\,..., bm G R :
(ai + ••• + an) • (bi + ••• + bm) = Zn=i£m=i a, • bj,
Vn, m G Z Va, b G R : (na) • (mb) = (n • m)(a • b). Důkaz.
Věta. Okruh R je triviální, právě když v něm platí 1 = 0.
Defnice. Okruh R se nazývá komutativní, je-li pologrupa (R, •) komutativní.
Defnice. Prvky a, b okruhu R se nazývají dělitelé nuly, jestliže a = 0, b = 0, avšak a • b = 0.
Obory integrity
Definice. Netriviální komutativní okruh R se nazývá obor integrity, pokud nemá dělitele nuly.
Označení. Množinu všech nenulových prvků okruhu R značíme R*. Netriviální komutativní okruh R je tedy obor integrity, právě když (R*, •) je pologrupa.
Věta. Netriviální komutativní okruh R je obor integrity, právě když v něm platí zákon o krácení, tj. pro každé a, b, c G R platí
a = 0, a • b = a • c       ==>-       b = c. Důkaz.
Definice. Nechť R je okruh. Invertibilní prvek pologrupy (R, •) se nazývá jednotka okruhu R. Množinu všech jednotek okruhu R značíme Rx.
Poznámka. Nezaměňujte pojmy jednička a jednotka okruhu. Okruh má jedinou jedničku, kdežto jednotek může mít více. Vždy je jednička jednotkou. Okruhy s jedinou jednotkou jsou výjimečné (například okruh Z2). Nezaměňujte R * a Rx. Uvědomte si, že nové označení je v souladu s užívaným Z^,.
Tělesa
R * = R — {0} ... množina nenulových prvků okruhu R, Rx = {a G R; 3b G R : a • b = b • a = 1} ... množina invertibilních prvků okruhu R.
Věta. Nechť R je okruh. Pak (Rx, •) je grupa.
Definice. Netriviální komutativní okruh R se nazývá těleso, pokud je každý jeho nenulový prvek jednotkou.
Věta. Netriviální komutativní okruh R je těleso, právě když R * = Rx, tedy právě když (R *, •) je grupa.
Důsledek. Každé těleso je oborem integrity.
Příklad. Okruh celých čísel Z je oborem integrity, který není tělesem.
Věta. Každý konečný obor integrity je tělesem. Důkaz.
Věta. Okruh zbytkových tříd Zm je oborem integrity, právě když je tělesem, což nastane právě když m je prvočíslo. Důkaz.
Charakteristika okruhu
Definice. Nechť R je okruh. Nejmenší přirozené číslo n takové, že nl = 0, se nazývá charakteristika okruhu R. Pokud takové n neexistuje (tedy pro všechna k G N platí kl = 0), řekneme, že charakteristika okruhu R je nula.
Označení. Charakteristiku okruhu R značíme char R.
Příklady. char Z = char Q = char R = char C = 0, char Zm = m.
Věta. Nechť R je okruh, m = char R. Pak pro každé a G R platí
ma = 0. Důkaz.
Věta. Nechť R je obor integrity, pak char R je buď 0, nebo prvočíslo.