Charakteristika okruhu
Definice. Nechť R je okruh. Nejmenší přirozené číslo n takové, že
n1 = 0, se nazývá charakteristika okruhu R. Pokud takové n
neexistuje (tedy pro všechna k ∈ N platí k1 = 0), řekneme, že
charakteristika okruhu R je nula. Charakteristiku okruhu R
značíme char R.
Věta. Nechť R je obor integrity. Pak pro libovolný a ∈ R∗ platí:
pokud char R = 0, pak pro každé k ∈ N je ka = 0;
pokud char R = p > 0, pak řád prvku a v grupě (R, +) je p.
Důkaz.
Důsledek. Je-li R obor integrity, pak všechny nenulové prvky grupy
(R, +) mají stejný řád.
Důsledek. Je-li R konečné těleso, p = char R, pak grupa (R, +) je
izomorfní s grupou (Zp, +)×· · ·×(Zp, +), počet prvků konečného
tělesa R je tedy mocninou jeho prvočíselné charakteristiky p.
Homomorfismus okruhů
Definice. Nechť (R, +, ·) a (S, +, ·) jsou okruhy, f : R → S
zobrazení. Řekneme, že f je homomorfismus okruhu R do
okruhu S, jestliže
pro každé a, b ∈ R platí f (a + b) = f (a) + f (b),
pro každé a, b ∈ R platí f (a · b) = f (a) · f (b),
f (1) = 1.
Injektivní homomorfismus se nazývá vnoření, bijektivní
izomorfismus. O okruzích R, S řekneme, že jsou izomorfní,
píšeme R ∼= S, existuje-li alespoň jeden izomorfismus R → S.
Příklad. Pro libovolné m ∈ N je zobrazení π : Z → Zm, určené
předpisem π(a) = [a]m pro libovolné a ∈ Z, homomorfismus
okruhu (Z, +, ·) celých čísel do okruhu (Zm, +, ·) zbytkových tříd
modulo m.
Věta. Jsou-li f : R → S a g : S → T homomorfismy okruhů, pak
také g ◦ f : R → T je homomorfismem okruhů.
Homomorfismus okruhů, jeho jádro
Věta. Nechť f : R → S je izomorfismus okruhů. Pak i inverzní
zobrazení f −1 : S → R je izomorfismus okruhů.
Důsledek. Pro libovolné okruhy R, S, T platí: R ∼= R; z R ∼= S
plyne S ∼= R; a konečně z R ∼= S a S ∼= T plyne R ∼= T.
Poznámka. Zapomeneme-li v okruhu R, jak se násobí, zůstane nám
aditivní grupa (R, +). Každý homomorfismus okruhů f : R → S
je také homomorfismem aditivních grup, je tedy f (0) = 0, pro
každé a ∈ R platí f (−a) = −f (a), a máme jeho jádro:
Definice. Nechť f : R → S je homomorfismus okruhů. Množina
ker f = {a ∈ R; f (a) = 0} se nazývá jádro homomorfismu f .
Věta. Homomorfismus okruhů f : R → S je injektivní, právě když
ker f = {0}.
Příklad. Zobrazení f : C → M2,2(R), kde f (a + bi) =
a b
−b a
pro libovolné a, b ∈ R, je vnoření tělesa C komplexních čísel do
okruhu M2,2(R) matic typu 2 × 2. Ověření.
Binomická věta
Věta (binomická). Nechť R je komutativní okruh, pak pro každé
a, b ∈ R a každé n ∈ N platí
(a + b)n
=
n
i=0
n
i
an−i
· bi
,
kde n
i = n!
(n−i)!i! značí obvyklý binomický koeficient.
Důkaz. indukcí vůči n: I. krok: případ n = 1 je zřejmý.
II. krok: předpokládejme, že pro nějaké n ∈ N už bylo dokázáno,
dokážeme tvrzení pro n + 1. Víme tedy
(a +b)n = an + n
1 an−1 ·b + n
2 an−2 ·b2 +· · ·+ n
n−1 a ·bn−1 +bn.
Vynásobením (užíváme komutativitu okruhu)
(a+b)n ·a = an+1 + n
1 an ·b+ n
2 an−1 ·b2 +· · ·+ n
n a·bn,
(a+b)n ·b = n
0 an ·b+ n
1 an−1 ·b2 +· · ·+ n
n−1 a·bn +bn+1.
Sečtením a užitím n
i+1 + n
i = n+1
i+1 dostaneme
(a + b)n+1 =
an+1 + n+1
1 an · b + n+1
2 an−1 · b2 + · · · + n+1
n a · bn + bn+1,
což se mělo dokázat. Proč binomická věta platí jen v komutativních okruzích?
Umocnění na charakteristiku v oboru integrity
Věta. Pro libovolné prvočíslo p a libovolné i ∈ {1, 2, . . . , p − 1}
platí p | p
i .
Důkaz. Platí p | p! = p
i · i! · (p − i)!. Současně p i! · (p − i)!.
Věta. Nechť R je obor integrity charakteristiky char R = p > 0.
Pak pro každé a, b ∈ R platí
(a + b)p
= ap
+ bp
.
Důsledek. Nechť R je obor integrity charakteristiky
char R = p > 0. Pak zobrazení f : R → R, kde f (r) = rp, je
injektivní homomorfismus okruhů. Důkaz.
Podokruh okruhu
Definice. Nechť (R, +, ·) je okruh, H podmnožina množiny R.
Řekneme, že H je podokruh okruhu R, jestliže
0, 1 ∈ H,
pro každé a ∈ H platí −a ∈ H,
pro každé a, b ∈ H platí a + b, a · b ∈ H.
Poznámka. Největším podokruhem okruhu R (vzhledem k ⊆) je
celý okruh R, nejmenším podokruhem je {n1; n ∈ Z}. Část zdůvodnění.
Věta. Nechť H je podokruh okruhu (R, +, ·). Pak + a · určují
operace na množině H, přičemž H je okruh vzhledem k těmto
operacem. Je-li okruh R komutativní, pak je i okruh H
komutativní. Je-li R obor integrity, pak je i H obor integrity.
Důsledek. Každý podokruh tělesa je oborem integrity.
Příklad. Podokruh tělesa nemusí být těleso: vždyť Z je
podokruhem Q.
Věta. Jestliže H je podokruh okruhu R a K je podokruh okruhu H,
pak je K také podokruh okruhu R.
Podokruh okruhu generovaný podmnožinou okruhu
Věta. Nechť R je okruh, I neprázdná množina taková, že pro každé
i ∈ I je dán podokruh Hi okruhu R. Pak průnik i∈I Hi všech
těchto podokruhů je opět podokruhem okruhu R.
Definice. Nechť M je podmnožina okruhu R. Symbolem M
označíme průnik všech podokruhů okruhu R, jejichž podmnožinou
je množina M. Podle předchozí věty je M podokruhem okruhu
R obsahující množinu M; evidentně je nejmenší s touto vlastností.
Podokruh M nazýváme podokruh generovaný množinou M,
množinu M nazýváme množina generátorů podokruhu M .
Poznámka. Zřejmě R = R, ∅ = {n1; n ∈ Z}.
Označení. Je-li M = H ∪ {a}, kde H je podokruh okruhu R a
a ∈ R, píšeme též H[a] místo M .
Věta. Nechť H je podokruh komutativního okruhu R a a ∈ R. Pak
H[a] = {h0 + h1a + h2a2 + · · · + hnan; n ∈ N, h0, h1, . . . , hn ∈ H}.
Důkaz.
Součin okruhů
Věta. Nechť (R, +, ·) a (S, +, ·) jsou okruhy. Definujme na
kartézském součinu R × S nové operace + a · po složkách, tj.
(r1, s1) + (r2, s2) = (r1 + r2, s1 + s2),
(r1, s1) · (r2, s2) = (r1 · r2, s1 · s2)
pro libovolné r1, r2 ∈ R a s1, s2 ∈ S. Pak (R × S, +, ·) je okruh
s nulou (0, 0) a jedničkou (1, 1). Navíc platí (R × S)× = R× × S×.
Definice. Výše popsaný okruh (R × S, +, ·) se nazývá
součin okruhů (R, +, ·) a (S, +, ·). Zobrazení p1 : R × S → R a
p2 : R × S → S určená předpisy p1((r, s)) = r, p2((r, s)) = s pro
libovolné (r, s) ∈ R × S se nazývají projekce (ze součinu).
Věta. Nechť (R × S, +, ·) je součin okruhů (R, +, ·) a (S, +, ·).
Pak obě projekce p1 a p2 jsou surjektivní homomorfismy okruhů.
Čínská zbytková věta
Věta (Čínská zbytková). Nechť m, n ∈ N a zobrazení
f : Zmn → Zm × Zn je určeno předpisem f ([a]mn) = ([a]m, [a]n)
pro libovolné a ∈ Z. Pak f je homomorfismus okruhů. Část důkazu.
Je-li navíc (m, n) = 1, je f izomorfismus, a tedy Zmn
∼= Zm × Zn.
Důsledek. Je-li (m, n) = 1, pak Z×
mn
∼= Z×
m × Z×
n , a tedy
ϕ(m · n) = ϕ(m) · ϕ(n).
Důsledek. Je-li (m, n) = 1, pak pro každé a, b ∈ Z existuje c ∈ Z
tak, že
c ≡ a (mod n),
c ≡ b (mod m).