Konstrukce podílového tělesa Q (R) oboru integrity R
Motivace. Víme, že každý podokruh tělesa je oborem integrity. Ukažme, že i naopak každý obor integrity je podokruhem vhodného tělesa. Nechť dále R je libovolný, ale pevně zvolený obor integrity.
Věta. Na množině R x R * definujeme relaci = předpisem
(a, b) = (c, d) a • d = b • c
pro libovolné a, c G R, b, d G R *. Pak = je relace ekvivalence.
Označení. Označme Q (R) rozklad příslušný ekvivalenci =, tedy Q (R) = (R x R *)/ =. Pro libovolné (a, b) G R x R * označme b G Q (R) třídu obsahující (a, b), pro každé a, c G R, b, d G R * tedy platí
b = d    ^    a • d = b ^ c.
Věta. Na Q (R) lze definovat operace + a • takto: pro každé a, c G R, b, d G R * definujeme
f  i  f _      a-d+c b f   f _ a-c
b + d =     b-d    , b ^ d = b-d.
Pak (Q (R), +, •) je těleso a zobrazení k : R —> Q (R), určené předpisem k(a) = |, je vnoření (tj. injektivní homomorfismus okruhů).
Konstrukce podílového tělesa Q (R) oboru integrity R
Máme vnoření k : R — Q (R), k (a) = | pro každé a G R. Příklad. Q (Z) = Q.
Věta. Nechť f : R — T je vnoření oboru integrity R do tělesa T. Pak předpis f( f) = f (a) • f (b)-1 pro libovolné a, b G R, b = 0 dává homomorfsmus f : Q (R) — T takový, že f o k = f.
Navíc platí, že f je jediný takový homomorfsmus a že f je také vnoření, a tedy Q (R) je izomorfní se svým obrazem v homomorfsmu f, tj. Q (R) = {f (a) • f (b)-1; a, b G R, b = 0}.
Příklad. Z [i] = {x + i • y; x, y G Z} je obor integrity, inkluze dává jeho vnoření do C, tj. máme injektivní homomorfismus f : Z[i] — C, kde f (a) = a pro a G Z[i]. Proto Q (Z[i]) =
{a • /T1; a,/3 G Z[i], /3 = 0} = {x + i • y; x, y G Q} = Q[i]. výpočet.
Příklad. Podobně Q(Z[^/p]) = Q[^/p] pro libovolné prvočíslo p.
R
Q(R)
fff
T
k
Dělitelnost v komutativních okruzích
Definice. Nechť R je komutativní okruh, a, b G R. Řekneme, že prvek b dělí prvek a, neboli že prvek a je dělitelný prvkem b, píšeme b | a, jestliže existuje prvek q G R takový, že a = q • b. V opačném případě říkáme, že prvek b nedělí prvek a, neboli že prvek a není dělitelný prvkem b, píšeme b \ a.
Věta. Nechť R je komutativní okruh, pak platí
► y a G R : 1 | a, a | a;
► M a, b, c G R : a | b, b | c => a | c; Důkaz.
► Ma, b, c G R : a | b, a | c => a | b + c;
► Ma G R : a G Rx ^ a | 1;
► Ma, b G R : a G Rx, b | a        b G Rx;
Důsledek. Nechť R je komutativní okruh, a\,..., an, b e R,
u\,..., un e R libovolné. Jestliže b | a; pro každé i = 1,..., n, pak
► M a, b G R : a G Rx => a | b.
b | £"=i u; • a;.
Dělitelnost v komutativních okruzích
Definice. Nechť R je komutativní okruh, a, b G R. Řekneme, že prvky a, b jsou asociované, píšeme a ~ b, jestliže a | b a současně b | a.
Věta. Nechť R je komutativní okruh. Relace asociovanosti ~ je relací ekvivalence na množině R.
Věta. Nechť R je obor integrity, a, b G R. Pak platí a ~ b, právě když existuje jednotka c G Rx tak, že a = c • b. Důkaz.
Defnice. Nechť R je komutativní okruh, a, b G R. Libovolný prvek c G R splňující c | a, c | b, se nazývá společný dělitel prvků a, b. Libovolný prvek d G R se nazývá největší společný dělitel prvků a, b, jestliže
► d | a, d | b,
► Vc G R : c | a, c | b => c | d.
Tedy největší společný dělitel prvků a, b je takový jejich společný dělitel, který je dělitelný každým jejich společným dělitelem.
Dělitelnost v komutativních okruzích
Definice. Nechť R je komutativní okruh, a, b G R. Libovolný prvek c G R splňující a | c, b | c, se nazývá společný násobek prvků a, b. Libovolný prvek d G R se nazývá nejmenší společný násobek prvků a, b, jestliže
► a | d, b | d,
► Vc G R : a | c, b | c ==> d | c.
Tedy nejmenší společný násobek prvků a, b je takový jejich společný násobek, který dělí každý jejich společný násobek.
Poznámka. Předchozí definice mírně pozměňují dříve definované pojmy „největší společný dělitel" a „nejmenší společný násobek" v Z. Definovali jsme je totiž pomocí uspořádání podle velikosti, které v obecném okruhu nemáme k dispozici. Dále budeme tyto pojmy používat podle nové definice, avšak zavedené označení (m, n) a [m, n] ponecháme. Tedy (m, n) značí nezáporný největší společný dělitel čísel m, n G Z. Podobně [m, n] značí jejich nezáporný nejmenší společný násobek.
Dělitelnost v komutativních okruzích
Věta. Nechť R je komutativní okruh, a, b G R. Největší společný dělitel prvků a, b, pokud existuje, je určen jednoznačně až na asociovanost. Také nejmenší společný násobek prvků a, b, pokud existuje, je určen jednoznačně až na asociovanost.
Definice. Nechť R je komutativní okruh, a G R. Řekneme, že a je ireducibilní prvek okruhu R, jestliže a = 0, a G Rx a pro každé b, c G R takové, že a = b • c, platí b G Rx a c ~ a anebo c G Rx a b ~ a.
Příklad. Ireducibilními prvky okruhu Z jsou právě prvočísla a čísla k nim opačná.
Příklad. Je-li T těleso, pak v T neexistují žádné ireducibilní prvky.
Věta. Nechť R je komutativní okruh, a, b G R. Je-li a ireducibilní prvek okruhu Rab ~ a, pak je také b ireducibilní.
Okruhy s jednoznačným rozkladem
Definice. Řekneme, že R je okruh s jednoznačným rozkladem, jestliže
► R je obor integrity,
► každé a G R, a = 0, a G Rx, lze rozložit na součin několika ireducibilních prvků, přičemž tento součin je jednoznačný až na pořadí a asociovanost.
Příklad. Víme, že Z je okruh s jednoznačným rozkladem, například rozklady 6 = 2 • 3 = 3 • 2 = (-2) • (-3) = (-3) • (-2) se liší jen pořadím a asociovaností.
Příklad. Každé těleso je okruh s jednoznačným rozkladem, neboť neobsahuje žádný prvek, který by byl nenulový a nebyl jednotka.
Příklad. V okruhu Z[i] je možné dokázat větu o dělení se zbytkem (aby se dalo říct, že zbytek je „menší" než číslo, kterým se dělilo, je třeba nějak měřit velikost zbytku; v tomto případě to lze udělat pomocí absolutní hodnoty). Stejnou úvahou jako v Z, tedy pomocí Euklidova algoritmu a Bezoutovy rovnosti lze pak ukázat, že Z[i] je okruh s jednoznačným rozkladem.
Polynomy nad libovolným okruhem R
Poznámka. Abychom nemuseli definovat, co je to výraz a kdy jsou si dva výrazy rovny, nezavedeme polynom jako výraz určitého tvaru, ale pomocí posloupnosti koeficientů. To lze udělat nad libovolným okruhem R.
Definice. Nechť R je okruh. Polynomem nad okruhem R rozumíme nekonečnou posloupnost f = (f0, fi, f2,...), kde fi G R pro každé i = 0,1,2,... a platí, že množina {i G N U {0}; f = 0} je konečná. Prvky f0, fi, f2,... nazýváme koeficienty polynomu f. Množinu všech polynomů nad okruhem R označujeme symbolem R [x].
Dohoda. Koeficienty polynomu f budeme automaticky označovat symboly fo, fi, f2,....
Věta. Nechť R je okruh. Na množině R [x] definujeme operace +, • vztahy
(f + g)i = fi + gi, (f • g)i = Ek=o fkgi-k
pro každé f, g G R [x], i G Z, i > 0. Pak (R [x], +, •) je okruh. Je-li R komutativní, pak R [x] je také komutativní.
Polynomy nad libovolným okruhem R
Definice. Okruh R [x] se nazývá okruh polynomů nad okruhem R.
Věta. Nechť R je okruh. Zobrazení k : R — R [x] určené předpisem k (a) = (a, 0,0,...) je vnoření.
Ztotožnění. Polynomy tvaru (a, 0,0,...) se nazývají konstatntní. Předchozí věta nám umožňuje ztotožnit a G R s konstantním polynomem (a, 0, 0, . . . ). Tím se okruh R stává podokruhem okruhu R [x]. Polynom 0 = (0,0,0,...) se nazývá nulový, ostatní polynomy se nazývají nenulové.
Definice. Nechť f je nenulový polynom nad okruhem R. Největší n > 0 takové, že fn = 0, se nazývá stupeň polynomu f, značíme st(f). (Takové n existuje, vždyť množina {i G N U {0}; f = 0} je konečná.) Koeficient fn se pak nazývá vedoucí koeficient polynomu f. Stupeň nulového polynomu klademe roven —oo, jeho vedoucí koeficient nedefinujeme.
Příklad. Polynomy stupně 0 jsou právě nenulové konstantní polynomy.
Polynomy nad libovolným okruhem R
Defnice. Polynomy stupně 1 se nazývají lineární, polynomy stupně 2 kvadratické, polynomy stupně 3 kubické. Lineární polynom (0,1, 0, 0,...) budeme označovat symbolem x.
Příklad. Zřejmě x2 = (0,0,1,0, 0,...), x3 = (0,0, 0,1, 0,...) atd.
Věta. Nechť R je okruh a f G R [x] nenulový polynom stupně n. Pak platí f = fn • xn + • • • + fi • x + f0, kde koeficienty f polynomu f chápeme jako konstantní polynomy a operace + a • jsou operace v okruhu R[x].
Poznámka. Přestože jsme polynomy nedefinovali jako výrazy, předchozí věta nám umožňuje s nimi tak pracovat.
Dohoda. V následující větě budeme potřebovat tyto vztahy pro počítání s nekonečnem:       —to < n,
(—to) + (—to) = (—to) + n = n + (—to) = —to pro libovolné n G Z, n > 0.
Polynomy nad libovolným okruhem R
Věta. Nechť R je okruh a f, g G R [x]. Pak p/atí
► st(f + g) < max{st(f), st(g)},
► st(f • g) < st(f) + st(g), Důkaz.
jest/iže f = 0, g = 0 a a/espoň jeden z vedoucích koeficientů po/ynomů f a g není dě/ite/ nu/y, pak st(f • g) = st(f) + st(g).
Věta. Je-/i R obor integrity, pak také R [x] je obor integrity.
Věta. Nechť R j'e obor integrity. Pak (R[x])x = Rx, tedy po/ynom f je jednotkou okruhu R [x ], právě když je konstantní a současně je jednotkou okruhu R. Důkaz.
Důs/edek. Pro žádný okruh R není R [x] tě/eso.
Přík/ad. Jestliže R není obor integrity, mohou existovat i nekonstatní jednotky okruhu R [x], například v Z9[x] platí ([3]9 • x + [1]9) • ([6]g • x + [1]9) = [1]9.