Věta o dělení polynomů se zbytkem
Věta. Nechť R je okruh, f, g G R [x ], přičemž vedoucí koeficient polynomu g = 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r G R [x] taková, že st(r) < st(g) a platí f = g • q + r.
Důkaz existence q, r. Pro f = 0 zřejmé (q = r = 0), dále f = 0.
Nechť g = anxn +-----h aix + ao, an G Rx, tj. st(g) = n,
f = bmxm + • • • + bix + bo, bm = 0, tj. st(f) = m. Postupujme indukcí vůči m.
I. krok: Je-li m < n, pak označme q = 0, r = f.
II. krok: Předpokládejme, že m > n a že pro polynomy stupně menšího než m již bylo dokázáno. Polynom g • a-1 • bm • xm-n má stejný stupeň i vedoucí koeficient jako f, proto pro polynom
h = f — g • a-1 • bm • xm-n platí st(h) < m. Z indukčního předpokladu existují p, r G R[x] tak, že st(r) < st(g) a platí h = g • p + r. Pak dosazením a úpravou dostaneme f = g • a'1 • bm • xm~" + h = g . (a'1 • bm • xm~" + p) + r. Stačí označit q = a'1 • bm • xm-n + p.
Věta o dělení polynomů se zbytkem
Věta. Nechť R je okruh, f, g G R [x ], přičemž vedoucí koeficient polynomu g = 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r G R [x] taková, že st(r) < st(g) a platí f = g • q + r.
Důkaz jednoznačnosti q, r. Předpokládejme, že q, r, q, r G R [x],
přičemž st(r) < st(g) a st(r) < st(g), splňují
f = g • q + r = g • q + r. Pak g • (q — q) = r — r. Vedoucí
koeficient polynomu g není dělitel nuly, tedy
st(g) + st(q — q) = st(g • (q — q)) = st(r — r) < st(g).
Pak tedy st(q — q) < 0, tj. q = q, odkud   = .
Euklidův algoritmus v okruhu polynomů nad tělesem
Poznámka. Je-li R je těleso, je v R [x] vedoucí koeficient každého nenulového polynomu jednotkou. Proto pro libovolné nenulové polynomy f, g G R [x] lze postupovat podle Euklidova algoritmu
f	= g '	qo + ro,
g	= ro	• qi + ri,
ro	= ri	• q2 + r2,
ri	= r2	• q3 + r3,
rn-2 = rn-1 ^ qn + rn,
rn-i = rn • qn+i + 0.
Přitom st(g) > st(r0) > st(ri) > st(r2) > ..., proto skutečně po několika děleních nastane rn+i = 0.
Největší společný dělitel v okruhu polynomů nad tělesem
Věta. Nechť R je těleso. Pak libovolné dva nenulové polynomy f, g G R [x] mají v R [x ] největší společný dělitel d G R [x], který je možné spočítat pomocí Euklidova algoritmu (jako poslední nenulový zbytek v prováděných děleních) a vyjádřit jej Bezoutovou rovností, tj. existují a, b G R [x] tak, že d = a • f + b • g.
Definice. Nenulový polynom se nazývá normovaný, je-li jeho vedoucí koeficient roven 1.
Poznámka. Jeli R těleso, je R [x] obor integrity a platí
(R [x])x = Rx = R*. Je tedy každý nenulový polynom z R [x]
asociovaný s právě jedním normovaným.
Definice. Nechť R je těleso, f, g G R [x ] nenulové polynomy. Označme (f,g) normovaný největší společný dělitel polynomů f a g. O polynomech f a g řekneme, že jsou nesoudělné, je-li (f, g) = 1.
Věta. Nechť R je těleso, f, g, h G R [x] nenulové polynomy. Jestliže f | g • h a současně (f, g) = 1, pak f | h. Důkaz.
Ireducibilní polynomy
Věta. Nechť R je těleso, f G R [x ]. Polynom f je ireducibilní prvek okruhu R [x ], právě když f není konstantní a nelze jej rozložit na součin dvou nekonstantních polynomů z okruhu R [x ].
Definice. Nechť R je okruh, f G R [x] se nazývá ireducibilní polynom nad R, jestliže f není konstantní a nelze jej rozložit na součin dvou nekonstantních polynomů z okruhu R [x].
Varování. Pozor, rozlišujte pojmy „ireducibilní polynom nad okruhem R" a „ireducibilní prvek okruhu R [x]."
Příklad. Je-li R těleso, jsou ireducibilní polynomy nad R právě ireducibilními prvky okruhu R [x].
Příklad. Konstantní polynom 2 je ireducibilním prvkem okruhu Z[x], ale není ireducibilním polynomem nad Z. Polynom 2x je ireducibilní polynom nad Z, ale není ireducibilním prvkem okruhu Z[x].
Věta. Nechť R je těleso, f, g, h G R [x] polynomy, přičemž f je ireducibilní nad R. Jestliže f | g • h, pak f | g nebo f | h.
Okruh polynomů nad libovolným tělesem je okruhem s jednoznačným rozkladem
Věta. Nechť R je těleso, f G R [x] nenulový polynom. Pak existuje k G Z, k > 0, a G R * a normované ireducibilní polynomy pi,..., pk G R [x] tak, že
f = a • pi• ... • pk. Tento rozklad je navíc jednoznačný až na pořadí činitelů.
Důsledek. Jestliže R je těleso, je R [x] okruh s jednoznačným rozkladem.
Poznámka. Předchozí důsledek lze značně zesílit, platí totiž následující věta:
Věta. Nechť R je okruh. Pak okruh polynomů R [x] je okruhem s jednoznačným rozkladem, právě když okruh R je okruhem s jednoznačným rozkladem.
Důsledek. Okruh Z[x] je okruhem s jednoznačným rozkladem.
Kořen polynomu
Definice. Nechť R je okruh, f = an xn + • • • + aix + ao G R [x ], c G R. Pak prvek an • cn + • • • + a1 • c + a0 G R značíme f (c) a nazýváme hodnota polynomu f v prvku c.
Věta. Nechť R je komutativní okruh, f, g G R [x], c G R. Pak platí
► (f + g )(c ) = f (c) + g (c),
► (f • g )(c ) = f (c) • g (c).
Poznámka. Předpoklad o komutativitě byl podstatný pro násobení: jestliže pro a, c G R platí a • c = c • a, pak pro f = x, g = a je
(f ^g)(c) = (x ^ a)(c) = (ax)(c) = a ^ c = c ^ a = f (c) ^ g(c).
Důsledek. Nechť R je komutativní okruh, c G R. Pak zobrazení a : R [x] —> R určené předpisem a(f) = f (c) pro každé f G R [x] je homomorfismus okruhů.
Definice. Nechť R je okruh, f G R [x], c G R. Řekneme, že c je kořenem polynomu f, jestliže f (c) = 0.
Násobnost kořene polynomu
Věta. Nechť R je komutativní okruh, f G R [x], c G R. Pak platí: c je kořenem polynomu f, právě když (x — c) | f v okruhu R [x]. Důkaz.
Definice. Nechť R je komutativní okruh, f G R [x], f = 0, c G R, f (c) = 0. Přirozené číslo k se nazývá násobnost kořene c polynomu f, jestliže (x — c )k | f a (x — c )k+1 \ f v okruhu R [x]. Kořeny násobnosti 1 se nazývají jednoduché.
Poznámka. Podmínka (x — c )k | f znamená, že existuje g G R [x] tak, že (x — c)k • g = f. Protože (x — c)k je normovaný polynom stupně k, platí k + st(g) = st(f). Přitom g = 0, tedy st(g) > 0, odkud plyne k < st(f). Proto nenulový polynom nemůže být dělitelný každou mocninou polynomu x — c a předchozí definice jednoznačně určuje násobnost každého kořene libovolného nenulového polynomu nad komutativním okruhem.
Příklad. Kvadratický polynom x2 — [1]8 G Z8[x] má čtyři jednoduché kořeny [1]8, [—1]8, [3]8, [—3]8. v okruhu zg[x] není rozkládání na součin
normovaných lineárních činitelů jednoznačné.
Počet kořenů polynomu nad oborem integrity
Věta. Nechť R je obor integrity, f G R [x ], f = 0. Polynom f má nejvýše st( f) kořenů v R, počítáno i s násobností. Přesněji: součet násobností všech kořenů polynomu f v R je menší nebo roven st(f).
Důkaz. Nechť ci,..., cs jsou různé kořeny polynomu f v R, nechť k; je násobnost kořene c;. Pak (x — q )k; | f v R [x]. Označme K podílové těleso oboru integrity R, tedy R je podokruhem tělesa K. Pak (x — c; )k; | f v K [x ]. Přitom x — c1, ..., x — cs jsou různé normované ireducibilní polynomy v K [x]. Rozložíme-li f na součin vedoucího koeficientu f a normovaných ireducibilních polynomů v K[x], z jednoznačnosti rozkladu plyne, že se mezi nimi polynom x — c; objeví alespoň k(-krát pro každé i = 1,..., s. Proto ns=1(x — c;)k; | f. Protože K je těleso, platí    s=1 k; < st(f).
Důsledek. Nechť R je konečné těleso, pak je jeho multiplikativní grupa (R*, •) cyklická. Důkaz.
Důsledek. Pro libovolné prvočíslo p je grupa (Z* •) cyklická.
Derivace polynomu
Definice. Nechť R je okruh, f = anxn + • • • + a2x2 + a1x + a0 polynom z R [x]. Derivací polynomu f rozumíme polynom
f' = nanxn-i +-----h 2a2x + ai.
Poznámka. V tělese reálných čísel máme pojem limity, který v obecném okruhu není k dispozici. Proto jsme pojem derivace polynomu nemohli definovat limitou, ale jen uvedeným vzorcem, v němž například nan znamená n-násobek prvku an (tedy součet n kopií prvku an v grupě (R, +)).
Věta. Nechť R je okruh, f, g e R [x ], c G R. Pak platí
► (f + g)' = f' + g,
► (f • g)' = f' • g + f • g,
► ((x - c)n)' = n(x - c)n-i.
Označení. Druhou derivaci polynomu f značíme f'' = (f')', třetí f''' = (f'')' atd. Obecně pro k e N pak k-tou derivaci polynomu f značíme f(k) = (f(kJe tedy f(1) = f', f(2) = f'', atd.
Souvislost derivace polynomu s násobností kořenů
Věta. Nechť R je komutativní okruh, f G R [x], c G R, k G N. Jestliže c je k-násobným kořenem polynomu f, pak je c kořenem polynomů f', f", ..., f(kDůkaz.
Věta. Nechť R je těleso, f G R [x], c G R, k G N. Předpokládejme, že char R = 0 nebo char R > k. Pak c je k-násobným kořenem polynomu f, právě když je c kořenem polynomů f, f", ..., f (k-i) a není kořenem polynomu f (k).
Příklad. Předpoklad o charakteristice je nezbytný. Například pro R = Z2 polynom f = x2 G Z2[x] má kořen [0]2 násobnosti 2. Přitom f' = 2[1]2x = 0, a tedy f(k) = 0 pro každé k G N.
Poznámka. Jev pozorovaný v předchozím příkladě platí obecněji: je-li char R = p > 0, pak pro každé f G R [x] platí f(p) = 0.
Polynomy nad C
Věta (Základní věta algebry). Každý nekonstantní polynom f G C [x] má v C kořen.
Definice. Těleso R se nazývá algebraicky uzavřené, jestliže každý nekonstantní polynom f G R [x ] má v R kořen.
Příklad. Tělesa R a Q nejsou algebraicky uzavřená, žádné konečné těleso není algebraicky uzavřené (je-li R = {r1;..., rn}, pak (x — ri) • ... • (x — rn) + 1 nemá v R kořen).
Poznámka. Základní větu algebry lze tedy formulovat takto: C je algebraicky uzavřené těleso.
Důsledek. Pro libovolný polynom f G C[x] platí: f je ireducibilní nad C, právě když je f lineární.
Důsledek. Nechť f G C[x] je normovaný polynom, st(f) = n > 1. Pak existují c1}..., cn G C tak, že
f = (x — ci) •   ...   • (x — cn).
Tento rozklad je navíc jednoznačný až na pořadí činitelů.
Polynomy nad C - Vietovy vztahy
Důsledek (Viete). Nechť f = xn + an-ixn-1 +-----h aix + ao G C [x ]
je normovaný polynom, n > 1, c1,..., cn G C jeho kořeny (každý uveden tolikrát, kolik je jeho násobnost). Pak platí
— an-1 = c1 + ^ ^ ^ + cn,
an-2 = C1C2 + c1c3 +-----h Ol Q, + c2c3 +-----h O7-1 cn,
(    1) an-k — ^ ^        c/'l c/2 . . . cik,
1</'l<-</'k <n
( —1)n ao = C1C2 ... Cn.
Poznámka. Výraz na pravé straně k-tého řádku lze popsat takto: vezmeme všechny k-prvkové podmnožiny množiny indexů {1, 2,..., n}, pro každou z nich vynásobíme odpovídající kořeny a získané součiny sečteme.
Polynomy nad R
Věta. Je-li komplexní číslo c kořenem polynomu f G R [x ], pak i číslo c komplexně sdružené s číslem c je kořenem polynomu f.
Věta. Pro libovolný polynom f G R [x] platí: f je ireducibilní nad R, právě když je f lineární anebo je f = ax2 + bx + c kvadratický se záporným diskriminantem b2 — 4ac < 0. část důkazu.
Důsledek. Každý nekonstantní normovaný polynom f G R [x] lze psát jako součin normovaných polynomů, které jsou lineární anebo kvadratické se záporným diskriminantem. Tento zápis je jednoznačný až na pořadí činitelů.
Polynomy nad Z - hledání racionálních kořenů
Věta. Nechť f = an xn + an-ix n~1 +-----h aix + a0 G Z [x ] je
nekonstantní polynom stupně n, r G Z, s G N, (r, s) = 1, taková, že S je kořen polynomu. Pak platí
► r | ao,
► s | an,
► pro každé m G Z platí (sm — r) | f (m).
Poznámka. Předchozí větu používáme pro nalezení všech racionálních kořenů daného polynomu s celočíselnými koeficienty a nenulovým absolutním členem: první dvě podmínky totiž dávají jen konečně mnoho možných hodnot pro r, s. Pro každou z možných dvojic r, s lze zjistit dosazením, zda L je kořenem f. V případě velkého počtu dvojic je možné některé dvojice eliminovat třetí podmínkou, například testovat, zda platí (s + r) | f(—1) a (s — r) | f(1).
Polynomy nad Z
Definice. Nechť f = an xn + a„_ixn-1 + • • • + aix + ao G Z [x] je nenulový. Řekneme, že f je primitivní, jestliže jeho koeficienty jsou nesoudělné, tj. (a0, a1,..., an) = 1.
Věta (Gaussovo lemma). Součin libovolných dvou primitivních polynomů je primitivní polynom.
Důkaz sporem. Přepokládejme, že f, g G Z[x] jsou primitivní polynomy takové, že jejich součin f • g primitivní není. Pak existuje prvočíslo p, které dělí všechny koeficienty polynomu f • g. Zobrazení a : Z[x] — Zp[x] určené předpisem
a(anxn + an_ixn-1 +-----h aix + ao) =
= [an ]pxn + [an_i]Pxn-1 + • • • + [ai ]Px + [ao]P pro libovolné a0, a1,..., an G Z (tedy každý koeficient je nahrazen odpovídající zbytkovou třídou) je homomorfismus okruhů. Pak a(f) = 0, a(g) = 0, a(f) • a(g) = a(f • g) = 0, což je spor s tím, že ZP je těleso, a tedy ZP[x] je obor integrity.
Polynomy nad Z - ireducibilita
Věta (Gauss). Libovolný polynom f G Z [x] je ireducibilní nad Z, právě když je ireducibilní nad Q.
Důkaz. Tvrzení je zřejmé pro konstantní polynom f, který není ireducibilní ani nad Z ani nad Q. Nechť je tedy f nekonstantní. Jestliže f není ireducibilní nad Z, je možné jej psát jako součin dvou nekonstantníchch polynomů v Z[x]. Tyto polynomy jsou i z Q[x], a tedy f není ireducibilní nad Q.
Předpokládejme tedy naopak, že f není ireducibilní nad Q. Pak tedy f = g • h pro vhodné nekonstantní polynomy f, g G Q [x]. Existují nenulová racionální čísla b, c tak, že b • g a c • h jsou primitivní. Podle Gaussova lemmatu je i (b • g)(c • h) = (bc) • f primitivní. Existují nesoudělná u, v G N tak, že bc = ±u. Kdyby u = 1, bylo by u dělitelné nějakým prvočíslem p, které by pak dělilo všechny koeficienty polynomu uf a z p \ v bychom dostali, že (bc) • f není primitivní. Proto u = 1a f = (±v • (b • g)) • (c • h) je rozklad f na součin dvou nekonstantních polynomů v Z[x], a tedy f není ireducibilní nad Z.
Polynomy nad Z - ireducibilita
Věta (Eisensteinovo kriterium). Nechť
f = anxn + an-1xn-1 + • • • + a1x + a0 G Z [x ] je nekonstantní polynom stupně n. Jestliže existuje prvočíslo p takové, že
► p | an-1, p | an-2, ..., p | a1, p | ao,
► p t an,
► p2 t ao, pak je f ireducibilní nad Q.
Poznámka. Pokud prvočíslo daných vlastností neexistuje, neříká Eisensteinovo kriterium o ireducibilitě f zhola nic.
Polynomy nad Z - důkaz Eisensteinova kriteria
Důkaz sporem. Předpokládejme, že naopak f není ireducibilní nad Q, podle Gaussovy věty není ireducibilní ani nad Z. Z předpokladů st(f) = n > 0 a f je nekonstantní. Existují tedy nekonstantní polynomy g, h G Z [x] tak, že f = g • h. Opět užijme homomorfismus okruhů a : Z[x] — Zp[x] určený předpisem a(bnxn + b„_ix n-1 + • • • + bix + bo) =
= [bn]pxn + [bn_1]pxn-1 + ••• + [b1]px + [bo]p
pro libovolné b0, b1,..., bn G Z. Pak z prvního předpokladu plyne, že
a(g) • a(h) = a(g • h) = a(f) = [an]pxn je asociované s polynomem xn, neboť p \ an. Přitom Zp[x] je okruh s jednoznačným rozkladem, proto a(g) i a(h) jsou asociované s mocninami polynomu x. A protože jsou nekonstantní, musí být absolutní členy obou polynomů g i h dělitelné p. Jejich součin a0 je tedy dělitelný p2, což je spor.