Příklady na testování hypotéz o exponenciálním a Poissonově rozložení
Příklad 1.: Za 2. světové války byl Londýn bombardován řízenými střelami. Jeho jižní část
byla rozdělena na oblasti o ploše 0,25 km2
a bylo zkoumáno, kolik řízených střel dopadlo na
každou z těchto oblastí.
Počet střel 0 1 2 3 4 a víc
Počet oblastí 229 211 93 35 8
Na asymptotické hladině významnosti testujte hypotézu, že počet řízených střel, které dopadly
na jednu oblast, se řídí Poissonovým rozložením. Úkol vyřešte
a) pomocí testu dobré shody,
b) pomocí jednoduchého testu Poissonova rozložení (zde uveďte i odpovídající p-hodnotu).
Výsledky:
Ad a) Test dobré shody
Odhad parametru λ … 0,9271
Teoretické četnosti npj … 227,9268 211,3071 97,9496 30,2692 8,5473
Realizace testové statistiky … K = 1,0301
Kritický obor … )∞= ,8147,7W .
Testová statistika se nerealizuje v kritickém oboru, hypotézu o Poissonově rozložení tedy
nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Pomocí funkce plot můžeme graficky současně znázornit pozorované relativní četnosti a
hodnoty teoretické pravděpodobnostní funkce: plot(xj,nj./n, 'o', xj,pj,'*')
Ad b) Jednoduchý test Poissonova rozložení
Realizace testové statistiky … K = 572,6966
Kritický obor … )∞∪= ;643,3392510,4485;0W
Testová statistika se nerealizuje v kritickém oboru, hypotézu o Poissonově rozložení tedy
nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Odpovídající p-hodnota je 0,9614.
Upozornění: Jednoduchý test Poissonova (i exponenciálního) rozložení lze provést pomocí
funkce darling.m, kterou lze stáhnou z Učebních materiálů v ISu.
Popis funkce darling:
function [zamitnuti,K,p,lam]=darling(X,distrib,alfa)
% TEST K OVERENI EXPONENCIALNIHO A POISSONOVA ROZLOZENI
% function [zamitnuti,K,p,lambda]=DARLING(X,ROZLOZENI,ALFA)
% X muze byt n-vektor pozorovanych velicin, jejichz rozdeleni overujeme;
% - pro souhrnne zadana data je X tvaru (r x 2), kde prvni sloupec
% obsahuje jednotlive varianty a druhy sloupec cetnosti;
% - pro vypoctene statistiky je X=[n,m,s2], kde n=pocet pozorovani,
% m=vyberovy prumer a s2=vyberovy rozptyl
% ROZLOZENI je 'exp' pro overeni exponencialniho rozlozeni (implicitni)
% nebo 'poiss' pro overeni Poissonova rozlozeni
% ALFA je hladina vyznamnosti testu (implicitne 0.05)
%
% vystup: zamitnuti=1 => ZAMITAME hypotezu o shode rozdeleni
% zamitnuti=0 => hypotezu o shode rozdeleni NEZAMITAME
% K = hodnota testoveho kriteria
% p = p-hodnota testu
% lambda = odhadnuty parametr rozdeleni
Příklad 2.: Bylo zkoumáno 43 automobilů téže značky a měřena vzdálenost (v tisících km),
kterou ujely, než se vyskytla první vážná porucha:
5 48 7 30 15 18 7 1 15 90 25 17 32
3 2 27 19 16 74 9 8 11 12 21 8 9
58 14 24 12 1 5 13 69 23 4 10 3 2
83 6 10 5
Na asymptotické hladině významnosti testujte hypotézu, že počet km se řídí exponenciálním
rozložením s parametrem λ = 0,056 (tzn., že střední hodnota počtu ujetých kilometrů do první
vážné poruchy je 17 857). Úkol vyřešte
a) pomocí Darlingova testu exponenciálního rozložení,
b) pomocí Kolmogorovova – Smirnovova testu.
Výsledky:
Ad a) K = 51,8457, ),;61,776825,9987;0W ∞∪= H0 tedy nezamítáme na asymptotické
hladině významnosti 0,05. Odpovídající p-hodnota je 0,2839.
Ad b) K-S test
K-S test má syntaxi [H,P,KSSTAT,CV] = kstest(X,cdf,alpha,tail)
Význam výstupních parametrů:
Parametr H … 0, když nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti alpha
H … 1, když nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti alpha
Parametr P … odpovídající p-hodnota
Parametr KSSTAT … realizace testové statistiky K-S testu (tj. absolutní hodnota
maximálního rozdílu mezi distribuční funkcí testovaného spojitého rozložení a výběrovou
distribuční funkcí).
Parametr CV … ta hodnota testové statistiky, pro kterou by se již nulová hypotézy zamítla na
hladině významnosti alpha.
Význam vstupních parametrů:
Parametr X … vektor s realizacemi náhodného výběru.
Parametr cdf … matice, která má dva sloupce, v prvním jsou hodnoty X, ve druhém hodnoty
distribuční funkce testovaného spojitého rozložení v bodech X.
Parametr alpha … zvolená hladina významnosti testu (implicitně 0,05).
Parametr tail … specifikuje typ testu. Pokud není udán, je implicitně 0 a provede se
oboustranný test. Je-li tail = -1, alternativa tvrdí, že výběrová distribuční funkce je
stochasticky menší než testovaná distribuční funkce a je-li tail = 1, alternativa tvrdí, že
výběrová distribuční funkce je stochasticky větší než testovaná distribuční funkce.
Upozornění: K-S test předpokládá, že testovaná distribuční funkce je plně specifikována
včetně všech případných parametrů. Nejsou-li parametry rozložení předem známy a odhadují
se z dat, musí se použít Lilieforsova varianta K-S testu. MATLAB však má implementovanou
Lilieforsovu variantu pouze pro normální rozložení.
V našem případě zadáme příkaz:
[H,P,KSSTAT,CV] = kstest(x,[x,expcdf(x,1/0.056)])
Dostaneme
H = 0 (tedy nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05),
P = 0,9277 (odpovídající p-hodnota je blízká 1, je podstatně větší než 0,05),
KSSTAT = 0,0814 (naopak testová statistika se realizuje nízkou hodnotou, tedy rozdíl mezi
výběrovou distribuční funkcí a distribuční funkcí rozložení Ex(0,056) je malý),
CV = 0,2028 ( testová statistika by se musela realizovat hodnotou aspoň 0,2028, abychom na
hladině významnosti 0,05 mohli zamítnout hypotézu o rozložení Ex(0,056)).
Graficky můžeme posoudit shodu mezi výběrovou distribuční funkcí a distribuční funkcí
rozložení Ex(0,056) pomocí příkazů:
xx=[0:1:100]';
cdfplot(x)
hold on
plot(xx,expcdf(xx,1/0.056),'r--')
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
F(x)
Empirical CDF
Příklad 3.: Jsou dány realizace náhodného výběru rozsahu 10 ze spojitého rozložení: 12 7 18
5 11 7 1 7 3 3. Shodu mezi výběrovou distribuční funkcí a distribuční funkcí exponenciálního
rozložení posuďte pomocí pravděpodobnostně – pravděpodobnostního grafu.
Návod:
Pravděpodobnostně – pravděpodobnostní graf má syntaxi probplot('distname', X), kde
distname je název testovaného rozložení (v našem případe exponential)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
0.01
0.1
0.25
0.5
0.75
0.9
0.95
Data
Probability
Probability plot for Exponential distribution
Příklad 4.: Byl zjišťován počet poruch určitého zařízení za 100 hodin provozu ve 150
disjunktních 100 h intervalech. Výsledky měření:
Počet poruch za 100 hodin provozu 0 1 2 3 4 a víc
Absolutní četnost 52 48 36 10 4
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že náhodný výběr 1501 X,,X K
pochází z rozložení ( )2,1Po .
Výsledek: Testová statistika K testu dobré shody nabývá hodnoty 3,053, kritický obor je
( ) ) ( ) ) )∞=∞χ=∞−−χ= α− ;488,9,4,1prW 95,0
2
1
2
, tedy nulovou hypotézu nezamítáme na
asymptotické hladině významnosti 0,05.