Základní pojmy
Než se podíváme na některé nové vlastnosti čísel, je potřeba si zopakovat některé jejich
základní vlastnosti.
Definice. Řekneme, že celé číslo a dělí celé číslo b (neboli číslo b je dělitelné číslem a, též
b je násobek a), právě když existuje celé číslo c tak, že platí a  c = b. Píšeme pak a|b.
Často se stane, že pro daná čísla x a y neplatí, že y dělí x; v tom případě píšeme y  x.
I pro tato čísla lze ale určit takzvaný kvocient a zbytek:
Věta 0.1 (Věta o dělení celých čísel se zbytkem). Pro libovolně zvolená čísla a  Z, m  N
existují jednoznačně určená čísla q  Z, r  {0, 1, . . ., m - 1} tak, že a = qm + r.
Každé celé číslo má tedy množinu dělitelů; z definice plyne, že vždy obsahuje alespoň
číslo 1. Pro dvě a více různých celých čísel říkáme, že průnik množin jejich dělitelů je
množina jejich společných dělitelů. Ta je určitě neprázdná, protože vždy obsahuje alespoň
číslo 1.
Definice. Každé celé číslo, dělící současně celá čísla a1, a2, . . . , an se nazývá jejich společným
dělitelem. Je-li alespoň jedno z čísel a1, a2, . . ., an různé od nuly, je počet těchto
dělitelů konečný a tedy je jeden z nich největší. Ten se nazývá největším společným dělitelem
čísel a1, a2, . . . , an a značí se (a1, a2, . . ., an).
Každé celé číslo, které je násobkem všech čísel a1, a2, . . . , an, se nazývá jejich společným násobkem.
Nejmenší kladný společný násobek celých nenulových čísel a1, a2, . . ., an se nazývá
jejich nejmenším společným násobkem a značí se [a1, a2, . . . , an].
K nalezení největšího společného dělitele dvou celých čísel slouží Euklidův algoritmus.
Jelikož se lze snadno přesvědčit, že (a1, a2, . . ., an) = ((a1, a2, . . . , an-1), an), je vhodný i k
nalezení společného dělitele více čísel.
Věta 0.2 (Euklidův algoritmus). Nechť a1, a2 jsou přirozená čísla. Pro každé n  3, pro
které an-1 = 0, označme an zbytek po dělení čísla an-2 číslem an-1. Pak po konečném počtu
kroků dostaneme ak = 0 a platí ak-1 = (a1, a2).
Věta 0.3. (Bezoutova) Pro libovolná celá čísla a1, a2 existuje jejich největší společný dělitel
(a1, a2), přitom existují celá čísla k1, k2 tak, že (a1, a2) = k1a1 + k2a2.
Předchozí věta platí i pro více než dvě čísla, zabývat se tím však nebudeme.
Důležitý význam má však pojem nesoudělných čísel.
1
Definice. Čísla a1, a2, . . ., an  Z se nazývají nesoudělná, jestliže platí (a1, a2, . . . , an) = 1.
Čísla a1, a2, . . ., an  Z se nazývají po dvou nesoudělná, jestliže pro každé i, j takové, že
1  i < j  n, platí (ai, aj) = 1.
2