Algebra 2
Jméno: ...
25.5.2007
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů.
Minimum (včetně semestrální písemky a DŮ) je 30
Na práci máte 90 minut.
Hodnocení 
3odů.
1. (1 Okřát 1 bod -- správně 1 bod, chybně --1, bez odpovědi 0)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku),
zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano -- ne Libovolná binomická kongruence xn
= -- 1 (mod m), kde n je liché, má vždy
alespoň jedno řešení.
(b) ano -- ne Lineární diofantická rovnice ax = b má pro libovolná a, b G Z splňující a \ b
nekonečně mnoho řešení.
(c) ano -- ne Pro všechna přirozená čísla n > 1 platí J2dinß(d) = 0 (ß zde označuje Möbiovu
funkci).
(d) ano -- ne Existuje jen konečně mnoho prvočísel tvaru 27k + 3, kde k E Z.
(e) ano -- ne Víte-li, že číslo 2 má řád r < p -- 1 modulo p, pak 4 není primitivní kořen modulo
p.
(f) ano -- ne Mezi čísly 1 až 60 existuje Í/?(Í/?(60)) = 8 primitivních kořenů modulo 60.
(g) ano -- ne Libovolná redukovaná soustava zbytků modulo prvočíslo p obsahuje stejný počet
kvadratických zbytků a nezbytků.
(h) ano -- ne Je-li n prvočíslo, pak (n -- 1)! = --1 (mod n).
(i) ano -- ne Libovolná polynomiální kongruence f(x) = 0 (mod m), kde m G N, má nejvýše
st(/) řešení modulo m.
(j) ano -- ne Je-li m G N, pak pro každé přirozené číslo d takové, že d \ <p{m) existuje x G Z
řádu d modulo m.
2. (6 bodů) Dokažte tvrzení: ,,Pro každé přirozené číslo n platí, že číslo
226n+2
- 16
je dělitelné číslem 37."
3. (8 bodů) Určete počet řešení kongruence 3x2
+ 491x + 112 = 0 (mod 503).
4. (6 bodů) Řešte diofantickou rovnici x4
= 369 + y4
.
5. (6 bodů) Dokažte, že jsou-li a, b nesoudělná celá čísla, pak jsou také čísla a3
+ b3
, a2
+ ab + b2
nesoudělná.
6. (4 bodů) Zformulujte Bezoutovu větu a aplikujte ji na čísla 2007 a 1561.