A
1. (3 b.) Pro libovolná a, b G Z platí 17 | 2a + 3b <r=> 17 | 9a + 5b. Dokažte.
2. (4 b.) Pro císlo n = 2400 určete počet a součet jeho kladných dělitelů a rovněž počet přirozených čísel x < n, pro která (x, n) = 1.
3. (5 b.) Kdýž na Sokolskem sletu výtvorili cvičenci osmistupý, zbývalo jich 5 navíc, pri cvicení v kruzích o 9 lidech prebývali 2 a pri tvorbe pyramid (na každou je potreba 14 lidí), jich 7 muselo nevýužite mavat divákum. Kolik cvicencu se výstoupení žucastnilo, kdýž jich býlo více než 1000 a mene než 1500?
4. (5b.)
(a) Zformulujte vetu o resitelnosti a poctu resení linearní kongruence a aplikujte ji na kongruenci 597x = 27 (mod 1144).
(b) Tuto kongruenci výreste.
5. (3b.) Urcete žbýtek po delení císla 1010 sedmi.
B
1. (3 b.) Dokažte, že jsou-li a, b nesoudelná celá císla, pak jsou nesoudelna take císla a2 + ab + b2, a2 — ab + b2 .
2. (4 b.) V oboru prirožených císel reste rovnici y>(m) = 32.
3. (5 b.) Sest loupežníku si chtelo roždelit žlat'áký, ktere meli na stole. Kdýž je roždelovali na sest stejných hromádek, ctýri žlat'aký žbýlý. Kdýž je žkusili roždelit na pet stejných hromadek, žbýl jeden žlat'ák. Nakonec se nepoprali, protože se vratil sedmý loupežník, která ž kapsý pridal dva žlat'aký na stul a vsechný žlat'aký pak roždelil na sedm stejnách hromádek. Kolik žlataku býlo puvodne na stole, víte-li, že jich nebýlo více než 400 a mene
než 200.
4. (5b.)
(a) Zformulujte vetu o resitelnosti a poctu resenáí lineáarnáí kongruence a aplikujte ji na kongruenci 334x = 1844 (mod 1360).
(b) Tuto kongruenci výreste.
5. (3 b.) Urcete žbýtek po delení císla 131517 císlem 17.