Hodnocení EAlgebra 2 23.5.2005
Jméno:
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů.
Minimum je 25 bodů.
Na práci máte 90 minut.
1. (1 Okřát 1 bod -- správně 1 bod, chybně --1, bez odpovědi 0)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku),
zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano -- ne Mají-li celá čísla x, resp. y řád a, resp. b modulo m E N, pak má číslo x ˇ y řád
a ˇ b modulo m.
(b) ano -- ne Pro každé reálné číslo x platí, že (x) (tj. necelá část x) je menší nebo rovno x.
(c) ano -- ne Existuje nekonečně mnoho prvočísel tvaru 7k + 3.
(d) ano -- ne Pro libovolné m G N je grupa (Z^, ˇ) cyklická.
(e) ano -- ne Binomická kongruence xn
= -- 1 (mod m), kde n je sudé, nemá řešení pro žádné
m > 2.
(f) ano -- ne Pro každé přirozené číslo m > 1 je <p{rn) sudé číslo.
(g) ano -- ne Diofantická rovnice xn
+ yn
= zn
s neznámými x, y, z G N nemá pro parametr
n G N žádné řešení.
(h) ano -- ne Je-li řešitelná kongruence f (x) = 0 (mod m), pro m G N a f (x) G Z[x], pak je
tato kongruence řešitelná modulo libovolné přirozené číslo d, splňující d \ m.
(i) ano -- ne Relace dělitelnosti na množině celých čísel je antisymetrická.
(j) ano -- ne Je-li celé číslo g primitivním kořenem modulo m G N, pak je primitivním kořenem
také gd
pro libovolné d G N, pro které (d, 4>(m)) = 1.
2. (6 bodů) Řešte v N rovnici <p{m) = 20.
3. (10 bodů) Řešte kongruenci x5
= 534 (mod 232
)
4. (10 bodů) Rozhodněte, pro která přirozená čísla n je číslo 3n
+ 4ra
-- 5ra
dělitelné jedenácti.
5. (8 bodů) Šest loupežníků si chtělo rozdělit zlaťáky, které měli na stole. Když je rozdělovali na šest
stejných hromádek, tři zlaťáky zbyly. Když je zkusili rozdělit na pět stejných hromádek, jeden zlaťák
zbyl. Nakonec se nepoprali, protože se vrátil sedmý loupežník, který z kapsy přidal tři zlaťáky na
stůl a všechny zlaťáky pak rozdělil na sedm stejných hromádek. Kolik zlaťáků bylo původně na
stole, víte-li, že jich nebylo více než 400 a méně než 100.
6. (6 bodů) Mějme kongruenci 642 ˇ x = 1844 (mod 1144).
(a) Pomocí kritéria, udávajícího řešitelnost (a počet řešení) lineární kongruence, určete počet
řešení této kongruence.
(b) Kongruenci vyřešte.