Galoisova teorie nekonečných rozšíření Nechť K/F je algebraické, normální a separabilní rozšíření. Je-li K/F je nekonečné rozšíření, máme jako u konečných rozšíření grupu Aut(K/F) a můžeme se ptát, jestli její všechny podgrupy odpovídají jednoznačně všem mezitělesům (tedy tělesům M splňujícím F ⊆ M ⊆ K). Následující příklad ukazuje, že obecně ne. Příklad 1. Nechť F = Q, za těleso K zvolme kompozitum všech kvadratických rozšíření tělesa racionálních čísel, tj. K = Q( √ a; a ∈ Q) = Q( √ −1, √ 2, √ 3, √ 5, √ 7, √ 11, . . . ). Pak Aut(K/Q) = Aut(K). Libovolný σ ∈ Aut(K/Q) je určen svými obrazy na √ −1 a √ p pro všechna prvočísla p, přitom σ( √ −1) = ± √ −1 a σ( √ p) = ± √ p pro každé prvočíslo p. Je tedy σ2 = idK. Proto je Aut(K) komutativní 2-elementární grupa, tedy vektorový prostor nad tělesem F2 o dvou prvcích. Evidentně je Aut(K) nekonečná grupa (z Kummerovy teorie plyne, že jsou-li p1, . . . , pn různá prvočísla, pak [Q( √ p1, . . . , √ pn) : Q] = 2n ), je to tedy nekonečně rozměrný vektorový prostor. Pak množina všech nenulových lineárních zobrazení Aut(K) → F2 je nespočetná (zvolíme-li libovolně bázi, pak nenulová lineární zobrazení jednoznačně odpovídají neprázdným podmnožinám báze, protože těleso skalárů má dva prvky). Tato lineární zobrazení jednoznačně odpovídají podgrupám grupy Aut(K) indexu 2 (každé odpovídá svému jádru). Proto je těchto podgrup více než kvadratických rozšíření Q, kterých je jen spočetně mnoho (každé kvadratické rozšíření Q je Galoisovo, tedy cyklické, a protože ±1 ∈ Q, je tvaru Q( √ a) pro nějaké a ∈ Q). Ačkoli každému takovému kvadratickému rozšíření Q odpovídá jednoznačně určená podgrupa grupy Aut(K) indexu 2 a různým rozšířením odpovídají různé podgrupy, naopak to neplatí. Jen spočetně mnoha těmto podgrupám odpovídá rozšíření, kdežto pro nespočetně mnoho podgrup odpovídající rozšíření neexistuje. Cílem následujícího textu je vysvětlit proč; a také ukázat, čím se podgrupy odpovídající rozšířením odlišují od těch ostatních. Poznámka 2. Připomeňme, že topologický prostor je libovolná množina spolu s topologií na ní. Topologie na množině X je libovolný systém podmnožin množiny X, kterým se říká otevřené (v této topologii), splňující: prázdná množina i celá množina X jsou otevřené, průnik libovolných dvou otevřených množin je otevřená množina a sjednocení libovolného systému otevřených množin je otevřená množina. 1 Největší topologií na množině X je tzv. diskrétní topologie, v níž je každá podmnožina množiny X otevřená. Naopak nejmenší topologií na množině X je tzv. indiskrétní topologie, v níž jsou otevřené pouze prázdná množina a množina X. Topologii na množině X lze zadat pomocí nějaké její báze (resp. subbáze) otevřených množin, což je libovolný systém otevřených množin takový, že otevřenými množinami v X jsou právě sjednocení libovolně mnoha množin z báze (resp. množin, které jsou průniky konečně mnoha množin ze subbáze). Ze znalosti báze (resp. subbáze) snadno určíme celou topologii: pro libovolnou subbázi tvoří systém všech průniků konečně mnoha množin ze subbáze bázi; celou topologii pak dostaneme jako systém všech sjednocení množin báze. Další možností, jak zadat topologii na množině X, je popsat pro každý bod x ∈ X bázi (resp. subbázi) otevřených okolí bodu x, což je libovolný systém otevřených množin obsahujících bod x takových, že každá otevřená množina obsahující bod x nutně obsahuje i některou množinu z báze otevřených okolí bodu x (resp. průnik některých konečně mnoha množin z subbáze otevřených okolí bodu x). Máme-li pro každý bod dánu bázi (resp. subbázi) otevřených okolí tohoto bodu, jejich sjednocením dostaneme bázi (resp. subbázi) otevřených množin. Topologický prostor X se nazývá Hausdorffův (neboli T2), jestliže pro každé x, y ∈ X, x = y, existují disjunktní otevřené množiny A, B ⊆ X tak, že x ∈ A, y ∈ B. Z libovolného metrického prostoru (X, ρ) získáme Hausdorffův topologický prostor na X tak, že za bázi otevřených okolí libovolného bodu x ∈ X zvolíme systém otevřených koulí se středem v bodě x s poloměry libovolně se blížícími nule, například {y ∈ X; ρ(x, y) < 1 n }, n ∈ N. Množina A ⊆ X se nazývá uzavřená (v této topologii), právě když je její doplněk X − A otevřená množina. Množina A ⊆ X se nazývá kompaktní (v této topologii), právě když z libovolného jejího otevřeného pokrytí (tedy z libovolného systému otevřených množin, jejichž sjednocení je A podmnožinou) lze vybrat konečné podpokrytí. Topologický prostor X se nazývá kompaktní, je-li celá množina X kompaktní. Zobrazení X → Y mezi topologickými prostory se nazývá spojité, jestliže pro každou otevřenou množinu A ⊆ Y je množina f−1 (A) ⊆ X otevřená. Zobrazení X → Y mezi topologickými prostory se nazývá homeomorfismus (někdy též izomorfismus topologických prostorů), jestliže je f bijektivní a obě zobrazení f i f−1 jsou spojitá. 2 Je-li X topologický prostor a Y ⊆ X jeho libovolná podmnožina, můžeme na Y definovat topologii tak, že otevřenými množinami v topologii na Y jsou právě průniky množiny Y postupně se všemi otevřenými množinami na X. Tomuto topologickému prostoru Y se říká podprostor topologického prostoru X. (Jedná se tedy o nejmenší topologii na Y , v níž je zobrazení inkluze Y → X spojité.) Jsou-li Xi, i ∈ I, topologické prostory, na součinu množin X = i∈I Xi definujeme topologii takto: je to nejmenší topologie, v níž jsou všechny projekce πi : X → Xi spojité. Tomuto topologickému prostoru X pak říkáme součin topologických prostorů Xi, i ∈ I. (Znamená to, že subbází otevřených množin v X je systém množin π−1 i (A), kde i ∈ I a A ⊆ Xi je otevřená množina v topologii prostoru Xi.) Platí Tichonovova věta: Součinem libovolného systému kompaktních topologických prostorů je kompaktní topologický prostor. Podmnožina topologického prostoru se nazývá obojetná, právě když je současně otevřená i uzavřená. Topologický prostor se nazývá souvislý, jestliže jeho jediné obojetné množiny jsou prázdná množina a celý prostor. Podmnožina Y topologického prostoru X se nazývá souvislá, jestliže tvoří v topologii podprostoru (zmiňované výše) souvislý topologický prostor. Jinými slovy: podmnožina Y topologického prostoru X není souvislá, právě když existují otevřené množiny A, B topologického prostoru X takové, že A ∩ Y a B ∩ Y jsou neprázdné disjunktní množiny, jejichž sjednocením je Y . Topologický prostor se nazývá totálně nesouvislý (anglicky totally disconnected), jestliže nemá žádnou alespoň dvouprvkovou souvislou podmnožinu. Topologické prostory, pro jejichž každé dva různé body existuje obojetná množina, která obsahuje právě jeden z nich, se nazývají totálně separované (anglicky totally separated). Každý takový prostor je totálně nesouvislý (opačná implikace však neplatí). Definice 3. Nechť (G, ·) je grupa taková, že její nosná množina je současně topologický prostor. Pak i součin G × G je topologický prostor (s topologií součinu). Jestliže obě zobrazení G → G, x → x−1 , a G×G → G, (x, y) → x·y, jsou spojitá, říkáme, že G je topologická grupa. Příklad 4. • Libovolná grupa spolu s diskrétní nebo indiskrétní topologií je topologická grupa. • Grupy (R, +) a (R∗ , ·) vzhledem k obvyklé topologii dané metrikou absolutní hodnoty jsou topologické. 3 • Pro libovolné n ∈ N je (Rn , +) spolu s topologií danou euklidovskou metrikou také topologická grupa. • Grupa (F2, +) spolu s topologií, v níž jsou otevřené právě množiny F2, {[0]2}, ∅, není topologická, protože zobrazení + : F2 × F2 → F2 není spojité (promyslete si, které podmnožiny jsou v topologickém prostoru F2 × F2 otevřené). Poznámka 5. Nechť (G, ·) je topologická grupa. Zobrazení G × G → G, (x, y) → x · y, je spojité, a tedy pro každé g ∈ G je posunutí ρg: G × G → G, ρg(x) = g · x, spojité. Přitom jde o bijekci, jejíž inverzí je ρg−1 . Je tedy ρg homeomorfismus. Proto lze topologii topologické grupy zadat nějakou bází (resp. subbází) otevřených okolí neutrálního prvku 1 ∈ G. Tvrzení 6. Je-li I množina a pro každé i ∈ I je dána topologická grupa Gi, pak součin grup i∈I Gi spolu s topologií součinu tvoří topologickou grupu. Definice 7. Relace na množině I se nazývá předuspořádání, jestliže je reflexivní a tranzitivní. Řekneme, že (I, ) je usměrněná množina, jestliže je předuspořádání, v němž má každá konečná podmnožina horní závoru, jinými slovy pro každé i, j ∈ I existuje k ∈ I tak, že i k, j k. Definice 8. Nechť (I, ) je usměrněná množina taková, že pro každé i ∈ I je dána množina Gi a pro každá i, j ∈ I, i j, je dáno zobrazení ϕij : Gj → Gi, přičemž platí • ∀i ∈ I : ϕii = idGi , • ∀i, j, k ∈ I : i j k =⇒ ϕij ◦ ϕjk = ϕik. Pak Gi, i ∈ I, nazveme projektivním (nebo též inverzním) systémem množin. Jeho projektivní (nebo též inverzní) limitou rozumíme lim ←− Gi = χ ∈ i∈I Gi; ∀i, j ∈ I: i j =⇒ ϕij χ(j) = χ(i) . Pro každé j ∈ I pak dostáváme projekci πj: lim ←− Gi → Gj (stačí zúžit projekce ze součinu). Tyto projekce zřejmě pro každé i, j ∈ I, i j, tvoří komutativní diagram lim ←− Gi πj ||zzzzzzzz πi !!DDDDDDDD Gj ϕij // Gi 4 Je-li navíc každé Gi grupa (resp. okruh, resp. topologický prostor, resp. topologická grupa) a je-li každé ϕij homomorfismus grup (resp. homomorfismus okruhů, resp. spojité zobrazení, resp. spojitý homomorfismus grup), hovoříme o projektivním (nebo též inverzním) systému grup (resp. okruhů, resp. topologických prostorů, resp. topologických grup). Projektivní limita spolu s projekcemi má následující univerzální vlastnost, která ji jednoznačně určuje až na izomorfismus: Tvrzení 9. Nechť Gi, i ∈ I, je projektivní systém množin a nechť je dána množina H a pro každé i ∈ I zobrazení ψi: H → Gi takové, že pro každé i, j ∈ I, i j, komutuje diagram H ψj ~~}}}}}}} ψi @@@@@@@@ Gj ϕij // Gi Pak existuje jediné zobrazení ψ: H → lim ←− Gi tak, že pro každé j ∈ I komutuje diagram H ψ // ψj >>>>>>>> lim ←− Gi πj ||zzzzzzzz Gj Tvrzení 10. Je-li Gi, i ∈ I, projektivní systém grup (resp. okruhů), pak je lim ←− Gi podgrupou (resp. podokruhem) součinu i∈I Gi. Příklad 11. • Nechť p je prvočíslo. Zřejmě (N, ≤) je usměrněná množina. Pro každé i, j ∈ N takové, že i ≤ j, máme jediný homomorfismus okruhů ϕij: Z/pj Z → Z/pi Z (platí ϕij([a]pj ) = [a]pi pro každé a ∈ Z). Tyto homomorfismy tvoří projektivní systém okruhů (to plyne okamžitě už z toho, že to jsou jediné homomorfismy mezi uvedenými okruhy). Jako inverzní limitu dostáváme okruh Zp = lim ←− Z/pi Z, který se nazývá okruh celých p-adických čísel. • Zřejmě (N, |) je usměrněná množina. Pro každé m, n ∈ N takové, že m | n, máme jediný homomorfismus okruhů ϕmn: Z/nZ → Z/mZ 5 (platí ϕmn([a]n) = [a]m pro každé a ∈ Z). Tím opět dostáváme projektivní systém okruhů, jehož inverzní limitou je okruh Z = lim ←− Z/mZ. Je možné ukázat, že Z ∼= p Zp, kde p probíhá všechna prvočísla a Zp je výše zmíněný okruh celých p-adických čísel. Věta 12. Nechť Gi, i ∈ I, je projektivní systém Hausdorffových topologických prostorů. Pak projektivní limita lim ←− Gi je uzavřená podmnožina topologického prostoru i∈I Gi. Důkaz. Ukážeme, že doplněk i∈I Gi − lim ←− Gi je otevřená množina. Nechť χ ∈ i∈I Gi, χ /∈ lim ←− Gi. Pak existují i, j ∈ I, i j, tak, že ϕij χ(j) = χ(i). Protože Gi je Hausdorffův, existují disjunktní otevřené množiny U, V ⊆ Gi tak, že χ(i) ∈ U, ϕij χ(j) ∈ V . Označme pro k ∈ I Tk =    U pro k = i, ϕ−1 ij (V ) pro k = j, Gk jinak. Pak k∈I Tk je otevřená množina v k∈I Gk, která je disjunktní s lim ←− Gi a obsahuje χ. Definice 13. Prokonečnou grupou máme na mysli topologickou grupu, která je izomorfní (tj. existuje mezi nimi izomorfismus grup, který je současně i homeomorfismem) s projektivní limitou konečných grup s diskrétní topologií. Poznámka 14. Abychom lépe porozuměli topologii prokonečné grupy, popišme nějakou bází otevřených okolí neutrálního prvku. Nechť tedy Gi, i ∈ I, je projektivní systém konečných diskrétních grup. Pak projektivní limita lim ←− Gi má nejmenší topologii takovou, že všechny projekce πj: lim ←− Gi → Gj jsou spojité. Proto množiny π−1 j ({1}), j ∈ I, tvoří subbázi otevřených okolí neutrálního prvku. Protože (I, ) je usměrněná, pro libovolnou konečnou podmnožinu {i1, . . . , in} ⊆ I existuje j ∈ I tak, že i1 j, . . . , in j. Protože ϕikj jsou homomorfismy, je ϕikj(1) = 1, a tedy π−1 j ({1}) ⊆ n k=1 π−1 ik ({1}). Proto množiny π−1 j ({1}), j ∈ I, tvoří dokonce bázi otevřených okolí neutrálního prvku. 6 Věta 15. Každá prokonečná grupa je kompaktní. Důkaz. Každý konečný topologický prostor je kompaktní. Z Tichonovovy věty je součin kompaktních prostorů kompaktní. Podle věty 12 je prokonečná grupa uzavřenou podmnožinou v kompaktním prostoru, a tedy kompaktní. Lemma 16. Nechť G je topologická grupa, H otevřená podgrupa grupy G. Pak H je uzavřená (a tedy obojetná) množina. Důkaz. Pro libovolné g ∈ G je levá třída g · H je obrazem podgrupy H v posunutí ρg. Proto je každá levá třída otevřená. Protože levé třídy tvoří rozklad na G a jednou z nich je podrupa H, je H doplňkem sjednocení ostatních levých tříd. Toto sjednocení otevřených množin je otevřená množina, tedy H je uzavřená. Věta 17. Každá prokonečná grupa je totálně nesouvislá. Důkaz. Nechť tedy Gi, i ∈ I, je projektivní systém konečných diskrétních grup, G = lim ←− Gi jeho projektivní limita. Vzhledem k tomu, že posunutí je homeomorfismus, stačí ukázat, že pro libovolné g ∈ G, g = 1, existuje obojetná množina obsahující 1 a neobsahující g. Protože g = 1, existuje j ∈ I tak, že πj(g) = 1. Pak π−1 j ({1}) je otevřená podrupa grupy G neobsahující g. Stačí užít lemma 16. Pro zajímavost uveďme následující topologickou charakterizaci prokonečných grup. Věta 18. Topologická grupa je prokonečná, právě když je kompaktní a totálně nesouvislá. Důkaz. V případě zájmu lze šestistránkový důkaz nalézt v [1], str. 25-31. Poznámka 19. Nechť K/F je algebraické, normální a separabilní rozšíření. Označme L množinu všech mezitěles L (tj. L je těleso splňující F ⊆ L ⊆ K) takových, že L/F je konečné a normální. Zřejmě je pro každé L ∈ L také L/F separabilní, a tedy Galoisovo, a máme konečnou Galoisovu grupu Gal(L/F). Navíc je (L, ⊆) usměrněná množina, neboť pro L1, L2 ∈ L je také jejich kompozitum L1L2 ∈ L. Jsou-li L1, L2 ∈ L, L1 ⊆ L2, pak restrikce resL2/L1 : Gal(L2/F) → Gal(L1/F) 7 je homomorfismus grup. Grupy Gal(L/F) jsou konečné, jestliže je vezmeme s diskrétní topologií, dostáváme jako inverzní limitu tohoto projektivního systému topologických grup prokonečnou grupu lim ←− Gal(L/F), přičemž L v limitě probíhá usměrněnou množinu L. Označme G = Aut(K/F). Pak pro každé L ∈ L máme restrikci resK/L : G → Gal(L/F), která je homomorfismem grup. Pro každé L1, L2 ∈ L, L1 ⊆ L2, máme komutativní diagram G resK/L2 yytttttttttt resK/L1 %%JJJJJJJJJJ Gal(L2/F) resL2/L1 // Gal(L1/F) Stejně jako v tvrzení 9 tím dostáváme zobrazení ρ: G → lim ←− Gal(L/F), ve kterém se σ ∈ G zobrazí na prvek, v jehož L-té komponentě je resK/L(σ). Zřejmě je ρ homomorfismus grup. Předpokládejme, že existuje σ ∈ ker ρ, σ = idK. Pak existuje α ∈ K tak, že σ(α) = α. Přitom toto α je algebraické nad F (vždyť K/F je algebraické) a jeho minimální polynom f nad F nemá násobné kořeny (vždyť K/F je separabilní) a všechny kořeny f leží v K (vždyť K/F je normální). Proto rozkladové těleso L polynomu f nad F splňuje L ⊆ K, a tedy L ∈ L. Protože σ ∈ ker ρ, platí resK/L(σ) = idL. Navíc α ∈ L, a tedy α = σ(α) = (resK/L(σ))(α) = idL(α) = α, spor. Je tedy ρ injektivní. Ukažme, že je ρ také surjektivní. Zvolme χ ∈ lim ←− Gal(L/F) libovolně, ale pevně. Konstruujme σ: K → K takto: už víme, že pro libovolné α ∈ K existuje L ∈ L tak, že α ∈ L; položme σ(α) = (χ(L))(α). Tato definice je korektní, neboť jsou-li L1, L2 ∈ L takové, že α ∈ L1 a α ∈ L2, pak také jejich kompozitum L1L2 ∈ L a z χ ∈ lim ←− Gal(L/F) plyne resL1L2/L1 χ(L1L2) = χ(L1), resL1L2/L2 χ(L1L2) = χ(L2), a tedy (χ(L1))(α) = (χ(L1L2))(α) = (χ(L2))(α). Je tedy σ definováno korektně. Snadno se ukáže, že je σ automorfismus: pro libovolné α, β ∈ K 8 existuje L ∈ L, α, β ∈ L, a χ(L) je automorfismus tělesa L. Tedy σ je homomorfismus okruhů. Zřejmě σ(α) = α pro každé α ∈ F. Protože K je těleso, je σ injektivní. A protože libovolné α ∈ K je kořenem svého minimálního polynomu f nad F a σ permutuje kořeny polynomu f, je σ surjektivní. Tedy σ ∈ G. Dokázali jsme, že ρ: G → lim ←− Gal(L/F) je izomorfismus grup. Protože grupa vpravo je prokonečná, lze izomorfismem ρ přenést topologii prokonečné grupy na G. Tato topologie na G = Aut(K/F) se nazývá Krullova. Z poznámky 14 dostáváme popis báze otevřených okolí neutrálního prvku idK grupy G. Pro každé L ∈ L je πL ◦ ρ = resK/L, a platí (πL ◦ ρ)−1 ({idL}) = Aut(K/L). Proto Aut(K/L), L ∈ L, tvoří bázi otevřených okolí neutrálního prvku idK grupy G. Lemma 20. Pro každé L ∈ L platí, že resK/L : G → Gal(L/F) je surjektivní. Důkaz. Nechť σ ∈ Gal(L/F) je libovolné. Označme M množinu všech uspořádaných dvojic (M, τ), kde těleso M splňuje L ⊆ M ⊆ K a pro automorfismus τ: M → M platí resM/L(τ) = σ. Zřejmě (L, σ) ∈ M, a tedy M je neprázdná. Na M zavedeme uspořádání ≤ takto: (M1, τ1) ≤ (M2, τ2), právě když M1 ⊆ M2 a resM2/M1 (τ2) = τ1. Zřejmě libovolná lineárně uspořádaná podmnožina M má v M horní závoru. Podle Zornova lemmatu existuje maximální prvek (M0, τ0) množiny M. Předpokládejme na okamžik, že existuje α ∈ K, α /∈ M0. Označme f minimální polynom prvku α nad F, nechť R je rozkladové těleso polynomu f nad M0. Automorfismus τ0 nechává koeficienty polynomu f na místě. Z věty o jednoznačnosti rozkladových těles víme, že existuje automorfismus τ1 tělesa R, jehož restrikcí na M0 je τ0. Pak (R, τ1) > (M0, τ0), spor. Je tedy M0 = K. Důsledek 21. Pro libovolné α ∈ K platí: α ∈ F, právě když pro každé τ ∈ G je τ(α) = α. Důkaz. Jeden směr plyne ihned z definice G. Naopak, predpokládejme, že α ∈ K, α /∈ F. Pak existuje L ∈ L tak, že α ∈ L. Protože α /∈ F, existuje σ ∈ Gal(L/F) tak, že σ(α) = α. Předchozí lemma zaručuje, že σ je restrikcí vhodného τ ∈ G. 9 Lemma 22. Nechť M je libovoné mezitěleso rozšíření K/F, tj. pro těleso M platí F ⊆ M ⊆ K. Pak Aut(K/M) je normální podgrupa grupy G, právě když pro každé τ ∈ G platí Aut(K/M) = Aut(K/τ(M)). Tato podmínka je splněna, je-li M/F normální rozšíření. Důkaz. Zvolme τ ∈ G libovolně, ale pevně. Podle definice je Aut(K/M) množina všech prvků σ ∈ G, které splňují σ(α) = α pro každé α ∈ M, což je ekvivalentní s tím, že (τ ◦ σ ◦ τ−1 )(β) = β pro každé β ∈ τ(M), tedy s tím, že τ ◦σ ◦τ−1 ∈ Aut(K/τ(M)). Je tedy Aut(K/M) normální podgrupa grupy G, právě když pro každé τ ∈ G platí Aut(K/M) = Aut(K/τ(M)). Je-li M/F normální rozšíření, pak M s každým prvkem α ∈ M obsahuje všechny kořeny minimálního polynomu f prvku α nad F, tedy pro každé τ ∈ G platí τ(M) ⊆ M a také τ−1 (M) ⊆ M, tj. M ⊆ τ(M), dohromady τ(M) = M. Důsledek 23. Pro každé L ∈ L platí, že Aut(K/L) je normální podgrupa grupy G. Důkaz. Z definice L/F je Galoisovo, a tedy normální. Věta 24. Uzavřené podgrupy grupy G v Krullově topologii jsou právě průniky (libovolných systémů) otevřených podgrup. Přesněji: je-li H uzavřená podgrupa grupy G, pak platí H = L∈L H ◦ Aut(K/L). Důkaz. Podle lemma 16 je každá otevřená podgrupa také uzavřená. Zřejmě průnik libovolného systému uzavřených podgrup je uzavřená podgrupa. Pro libovolnou podgrupu H grupy G je podle důsledku 23 množina H ◦ Aut(K/L) = {τ ◦ σ; τ ∈ H, σ ∈ Aut(K/L)} = τ∈H τ ◦ Aut(K/L) podgrupou grupy G a také sjednocením otevřených množin, tedy otevřenou podgrupou grupy G. Stačí tedy ukázat, že je-li H uzavřená, platí rovnost uvedená ve znění věty. Jedna inkluze je zřejmá, předpokládejme, že druhá inkluze neplatí, tj. existuje x ∈ L∈L H ◦ Aut(K/L), x /∈ H. Protože H je uzavřená, je G − H otevřená. Bází otevřených okolí bodu x je systém 10 x ◦ Aut(K/L), L ∈ L. Existuje tedy L0 ∈ L tak, že x ◦ Aut(K/L0) ⊆ G − H. Protože x ∈ L∈L H ◦ Aut(K/L), platí také x ∈ H ◦ Aut(K/L0), odkud x ◦ Aut(K/L0) ∈ (H ◦ Aut(K/L0))/ Aut(K/L0) = {h ◦ Aut(K/L0); h ∈ H}. Existuje tedy h0 ∈ H tak, že x ◦ Aut(K/L0) = h0 ◦ Aut(K/L0), tedy h0 ∈ x ◦ Aut(K/L0) ⊆ G − H, spor. Nyní už můžeme formulovat zobecnění základní věty Galoisovy teorie na nekonečná algebraická, normální a separabilní rozšíření. Věta 25. Nechť K/F je algebraické, normální a separabilní rozšíření, nechť G = Aut(K/F) je topologická grupa s Krullovou topologií. Označme M množinu všech mezitěles rozšíření K/F (tj. těles M, pro která F ⊆ M ⊆ K) a H množinu všech uzavřených podgrup grupy G. Pak zobrazení α: M → H, α(M) = Aut(K/M) pro každé M ∈ M, β: H → M, β(H) = {x ∈ K; ∀σ ∈ H: σ(x) = x} pro každou H ∈ H, tvoří dvojici navzájem inverzních bijekcí, přičemž α(M1) ⊇ α(M2) pro každá M1, M2 ∈ M, M1 ⊆ M2, β(H1) ⊇ β(H2) pro každé H1, H2 ∈ H, H1 ⊆ H2. Navíc pro každé M ∈ M platí M/F je normální rozšíření ⇐⇒ α(M) je normální podgrupa grupy G, M/F je konečné rozšíření ⇐⇒ α(M) je otevřená podgrupa grupy G, M/F je konečné rozšíření =⇒ |G/α(M)| = [M : F], M/F je nekonečné rozšíření =⇒ |G/α(M)| = ∞. Důkaz. Zřejmě pro libovolnou H ∈ H je {x ∈ K; ∀σ ∈ H: σ(x) = x} ∈ M, je tedy β dobře definováno. Abychom ukázali, že je dobře definováno i α, pro libovolnou M ∈ M ukažme, že Aut(K/M) je uzavřená podgrupa grupy G. Zřejmě jde o podgrupu, zbývá ukázat, že je uzavřená. Zvolme libovolně σ ∈ G, σ /∈ Aut(K/M). Pak existuje x ∈ M takové, že σ(x) = x. Pro toto x existuje L ∈ L tak, že 11 x ∈ L. Pro každé τ ∈ Aut(K/L) platí (σ ◦ τ)(x) = σ(τ(x)) = σ(x) = x, a tedy σ ◦ Aut(K/L) je otevřená množina obsahující σ, která je disjunktní s Aut(K/M). Proto je G − Aut(K/M) otevřená množina. Ihned z definic je jasné, že zobrazení α i β obracejí inkluze. Nechť M ∈ M je libovolné. Důsledek 21 pro rozšíření K/M tvrdí, že libovolné z ∈ K splňuje z ∈ M, právě když σ(z) = z pro každé σ ∈ Aut(K/M), tj. právě když z ∈ β(α(M)). Je proto β ◦ α = idM. Ukažme, že také α ◦ β = idH. Z definic je vidět, že pro libovolnou H ∈ H platí H ⊆ α(β(H)). Podle věty 24 platí H = L∈L H ◦ Aut(K/L), a tedy β(H) = β L∈L H ◦ Aut(K/L) ⊇ L∈L β H ◦ Aut(K/L) , odkud α(β(H)) ⊆ α L∈L β H ◦ Aut(K/L) ⊆ L∈L α β H ◦ Aut(K/L) . Jestliže ukážeme, že α β H ◦ Aut(K/L) = H ◦ Aut(K/L), průnik vpravo bude roven H a rovnost (α ◦ β)(H) = H bude dokázána. Z definic plyne, že platí H ◦ Aut(K/L) ⊆ α β H ◦ Aut(K/L) . Zvolme libovolně, ale pevně σ ∈ α β H◦Aut(K/L) . Pak σ ∈ Aut(K/β(H◦Aut(K/L))), jinými slovy: σ ∈ G je takové, že pro každé z ∈ K platí, že (1) ∀τ ∈ H ◦ Aut(K/L): τ(z) = z =⇒ σ(z) = z. Potřebujeme ukázat, že σ ∈ H ◦ Aut(K/L). Udělejme to sporem, předpokládejme naopak, že σ /∈ H ◦ Aut(K/L). Restrikce resK/L : G → Gal(L/F) je homomorfismus, který má jádro Aut(K/L). Kdyby resK/L(σ) ∈ resK/L(H), existovalo by λ ∈ H tak, že resK/L(λ) = resK/L(σ), tedy λ−1 ◦ σ ∈ Aut(K/L), odkud σ ∈ H ◦ Aut(K/L). Proto resK/L(σ) /∈ resK/L(H). Ovšem L/F je konečné Galoisovo rozšíření, přičemž resK/L(σ) ∈ Gal(L/F) je automorfismus, který nepatří do podgrupy resK/L(H) Galoisovy grupy Gal(L/F). Z hlavní věty Galoisovy teorie (pro konečná Galoisova rozšíření) plyne, že v tělese, které odpovídá podgrupě 12 resK/L(H), existuje prvek z takový, že (resK/L(σ))(z) = z, tedy σ(z) = z. Pro libovolné τ ∈ H ◦ Aut(K/L) je resK/L(τ) ∈ resK/L(H), tedy τ(z) = (resK/L(τ))(z) = z. Toto z tedy nesplňuje implikaci (1), spor. Dokázali jsme, že α a β jsou navzájem inverzní bijekce. Nechť M ∈ M je libovolné. Jestliže M/F je normální rozšíření, podle lemma 22 je α(M) normální podgrupa grupy G. Jestliže M/F není normální, existuje z ∈ M, jehož minimální polynom f nad F má kořen y /∈ M. Existuje L ∈ L tak, že z ∈ L, a tedy i y ∈ L. Víme, že existuje σ ∈ Gal(L/F) tak, že σ(z) = y. Podle lemma 20 existuje τ ∈ G tak, že resK/L(τ) = σ. Pro toto τ platí τ(z) = y, a tedy τ(M) = M. Protože α je bijekce, plyne odtud, že Aut(K/τ(M)) = α(τ(M)) = α(M) = Aut(K/M). To podle lemma 22 znamená, že α(M) není normální podgrupa grupy G. Je-li M ∈ M takové, že M/F je konečné rozšíření, pak existuje L ∈ L tak, že M ⊆ L (za L můžeme vzít Galoisův uzávěr M/F v K). Víme, že Aut(K/L) je otevřená podgrupa grupy G (viz závěr poznámky 19). Protože Aut(K/L) ⊆ Aut(K/M), je podgrupa α(M) = Aut(K/M) = σ∈Aut(K/M) σ ◦ Aut(K/L) sjednocení otevřených množin, a tedy otevřená množina. Podle lemma 20 je resK/L surjektivní. Protože ker(resK/L) = Aut(K/L), existuje izomorfismus grup ψ: G/ Aut(K/L) → Gal(L/F) tak, že komutuje diagram G resK/L vvmmmmmmmmmmmmmm πL  Gal(L/F) G/ Aut(K/L) ψ oo kde πL je projekce na faktorgrupu. Protože Aut(K/M) je podgrupou grupy G, máme rozklad G/ Aut(K/M) na levé třídy rozkladu (vzhledem k tomu, že nepředpokládáme, že je M/F normální rozšíření, nemusí být podgrupa Aut(K/M) grupy G normální, a proto nelze hovořit o faktorgrupě, ale pouze o rozkladu). Sestrojíme zobrazení ϕ: G/ Aut(K/L) → G/ Aut(K/M) předpisem ϕ(α ◦ Aut(K/L)) = α ◦ Aut(K/M) pro libovolné α ∈ G. Tato definice je korektní, neboť Aut(K/L) ⊆ Aut(K/M): jestliže totiž pro nějaké 13 α, β ∈ G platí α ◦ Aut(K/L) = β ◦ Aut(K/L), pak β−1 ◦ α ∈ Aut(K/L) ⊆ Aut(K/M), a tedy α ◦Aut(K/M) = β ◦Aut(K/M). Zřejmě je ϕ surjektivní. Protože ψ je bijekce, je také ϕ ◦ ψ−1 surjektivní zobrazení; přitom má následující předpis: pro dané σ ∈ Gal(L/F) zvolíme libovolné α ∈ G takové, že σ = resK/L(α), pak (ϕ ◦ ψ−1 )(σ) = α ◦ Aut(K/M). G resK/L vvmmmmmmmmmmmmmm πL  Gal(L/F) G/ Aut(K/L) ψ oo ϕ // G/ Aut(K/M) Zvolme libovolně σ, τ ∈ Gal(L/F) a najděme k nim vhodná α, β ∈ G tak, aby σ = resK/L(α), τ = resK/L(β). Následující podmínky jsou ekvivalentní: • (ϕ ◦ ψ−1 )(σ) = (ϕ ◦ ψ−1 )(τ), • α ◦ Aut(K/M) = β ◦ Aut(K/M), • α−1 ◦ β ∈ Aut(K/M), • ∀ z ∈ M: (α−1 ◦ β)(z) = z, • ∀ z ∈ M: α(z) = β(z), • ∀ z ∈ M: σ(z) = τ(z), • ∀ z ∈ M: (τ−1 ◦ σ)(z) = z, • τ−1 ◦ σ ∈ Gal(L/M), • σ ◦ Gal(L/M) = τ ◦ Gal(L/M). Užijeme-li předchozí implikaci zdola nahoru, dostaneme, že předpis σ ◦ Gal(L/M) → (ϕ ◦ ψ−1 )(σ) pro libovolné σ ∈ Gal(L/F) korektně definuje zobrazení Gal(L/F)/ Gal(L/M) → G/ Aut(K/M). Tyto implikace shora dolů dávají, že je to injektivní zobrazení. A konečně ze surjektivity ϕ ◦ ψ−1 dostaneme, že je to také surjektivní zobrazení. Proto platí | Gal(L/F)/ Gal(L/M)| = |G/ Aut(K/M)|, a tedy |G/ Aut(K/M)| = [M : F]. 14 Je-li naopak M ∈ M takové, že M/F je nekonečné rozšíření, pro libovolné n ∈ N existuje N ∈ M tak, že N ⊆ M a N/F je konečné rozšíření stupně [N : F] > n. Pak Aut(K/M) ⊆ Aut(K/N), a tedy |G/ Aut(K/M)| ≥ |G/ Aut(K/N)| = [N : F] > n. Má tedy podgrupa α(M) = Aut(K/M) v grupě G nekonečný index. Nechť nakonec je M ∈ M takové, že α(M) je otevřená podgrupa grupy G. Rozklad G/α(M) je pak otevřené pokrytí kompaktní množiny G disjunktními množinami. Proto existuje jeho konečné podpokrytí. Ovšem vynecháním libovolné z těchto množin už nedostaneme pokrytí. Rozklad G/α(M) tedy má jen konečně mnoho tříd rozkladu, a proto α(M) má konečný index v G. Podle výše dokázaného je rozšíření M/F konečné. Příklad 26. Nechť p je prvočíslo. Označme K = ∞ n=1 Q(ζpn ), kde ζpn = cos 2π pn + i sin 2π pn je primitivní pn -tá odmocnina z jedné. Zřejmě je K/Q algebraické, normální a separabilní rozšíření. Nechť G = Aut(K/Q) je topologická grupa s Krullovou topologií. Pro každé n ∈ N platí Gal(Q(ζpn )/Q) ∼= (Z/pn Z)× , přičemž třídě [a]pn odpovídá automorfismus tělesa Q(ζpn ) určený podmínkou ζpn → ζa pn . Proto je G topologická grupa izomorfní (algebraicky a současně topologicky) s projektivní limitou grup (Z/pn Z)× vůči homomorfismům určeným takto: pro každé i, j ∈ N, i ≤ j je ϕij: (Z/pj Z)× → (Z/pi Z)× (platí ϕij([a]pj ) = [a]pi pro každé a ∈ Z), tedy G ∼= lim ←− (Z/pn Z)× . Snadno je vidět, že tento projektivní systém grup dostáváme z prvního z příkladů 11 nahrazením okruhů jejich grupami jednotek, odkud dostáváme, že tato projektivní limita je grupou jednotek okruhu celých p-adických čísel G ∼= Z× p . Příklad 27. Nechť p je liché prvočíslo. Protože pro každé n ∈ N je grupa (Z/pn Z)× cyklická řádu (p−1)pn−1 , má jedinou podgrupu řádu p−1 a vzniklá faktorgrupa je cyklická řádu pn−1 . Proto má těleso Q(ζpn ) jediné podtěleso stupně pn−1 , které označíme Bn−1. Je tedy Bn−1/Q cyklické rozšíření stupně pn−1 . Platí Q = B0 ⊂ B1 ⊂ B2 ⊂ . . . 15 Označme K = ∞ n=1 Bn. Pak K/Q je algebraické, normální a separabilní rozšíření. Přitom restrikce dává pro libovolné i, j ∈ N, i ≤ j surjektivni homomorfismus grup Gal(Bj/Q) → Gal(Bi/Q). Protože Gal(Bj/Q) ∼= Z/pn Z, porovnáním s prvním z příkladů 11, v němž okruhy nahradíme jejich aditivními grupami, dostáváme, že platí (algebraicky a současně topologicky) Aut(K/Q) ∼= (Zp, +). Poznámka 28. Algebraické, normální a separabilní rozšíření K/F takové, že Aut(K/F) ∼= (Zp, +), se nazývá Zp-rozšíření. V případě, kdy K ⊆ C a F je konečné rozšíření Q, jsou tato Zp-rozšíření studována v tzv. Iwasawově teorii. Příklad 29. Nechť p je prvočíslo. Pro libovolné n ∈ N máme konečné těleso Fpn o pn prvcích, přičemž tato tělesa jsou volena tak, že pro každá m, n ∈ N taková, že m | n, platí Fpm ⊆ Fpn . Víme, že Galoisova grupa Gal(Fpn /Fp) je cyklická, generována Frobeniovým automorfismem x → xp , tedy Gal(Fpn /Fp) ∼= Z/nZ. Porovnáním s druhým z příkladů 11, v němž okruhy nahradíme jejich aditivními grupami, dostáváme, že pro těleso Fp = ∞ n=1 Fpn , což je algebraický uzávěr tělesa Fp, platí (algebraicky a současně topologicky) Aut(Fp/Fp) ∼= (Z, +). Reference [1] D. Ramakrishnan, R. V. Valenza, Fourier Analysis on Number Fields, Graduate Texts in Mathematics 186, Springer-Verlag, New York, 1999. 16