SEZNAM TEMATICKÝCH OKRUHŮ
1. Číselné obory
2. Základy matematické logiky
3. Lineární rovnice a nerovnice s jednou neznámou
4. Kvadratické rovnice a vztahy mezi jejími kořeny a koeficienty
5. Kvadratické nerovnice
6. Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
7. Rovnice a nerovnice s odmocninami
8. Soustavy lineárních rovnic
9. Rovnice, nerovnice a soustavy rovnic s parametry
10. Úhly v kružnicích a mocnosti bodů
11. Podobnost trojúhelníků, Euklidovy věty
12. Konstrukční úlohy řešené užitím množin bodů dané vlastnosti
13. Užití shodných zobrazení v konstrukčních úlohách
14. Stejnolehlost a její užití v konstrukčních úlohách
15. Funkce s lineárními výrazy v absolutní hodnotě
16. Kvadratické funkce
17. Lineární lomená funkce
18. Mocniny s racionálním exponentem
19. Exponenciální funkce, rovnice a nerovnice
20. Logaritmická funkce, rovnice a nerovnice
21. Goniometrické funkce a jejich základní vlastnosti
22. Vzorce pro goniometrické funkce a jejich užití
23. Sinová věta a její užití
24. Kosinová věta
25. Goniometrické rovnice a nerovnice
26. Polohové vlastnosti přímek a rovin v prostoru
27. Odchylky přímek a rovin prostoru
28. Vzdálenosti v prostoru
29. Základní kombinatorické pojmy a vzorce
30. Binomická věta
31. Rovnice přímky v rovině a prostoru
32. Rovnice roviny v prostoru, vzájemná poloha přímek a rovin
33. Kuželosečky a jejich rovnice
34. Aritmetika komplexních čísel
35. Řešení rovnic v komplexním oboru
36. Aritmetické posloupnosti a jejich užití
37. Geometrické posloupnosti a jejich užití
38. Geometrické řady
i
TEMATICKÉ OKRUHY Z DIDAKTIKY MATEMATIKY
1. Číselné obory
Vyložte vývoj představ o číslech u žáků od první třídy po maturitu. Popište zapisování reálnych čísel v desítkové soustavě (včetně rozdílů v zápisech racionálních a iracionálních čísel) a znázorňování čísel na číselné ose. Uveďte základní vlastnosti aritmetických operací s čísly, uspořádání čísel pomocí nerovností, dělitelnosti v oboru celých čísel a kritéria dělitelnosti vybranými přirozenými čísly. Objasněte zavedení mocnin čísel s přirozeným a celým exponentem.
2. Základy matematické logiky
Objasněte význam pojmů výrok a výroková forma, kvantifikátorů a spojování výroků pomocí logických spojek a pravidla pro jejich negace. Uveďte základní typy matematických důkazů a vysvětlete pojmy opačná a obměněná implikace.
3. Lineární rovnice a nerovnice s jednou neznámou
Vyložte postup ekvivalentních úprav vedoucí k řešení lineárních rovnic a nerovnic. Řešte příklady takových rovnic a nerovnic se zlomky, s závorkami a s neznámou ve jmenovateli. Řešte rovněž soustavy lineárních nerovnic plynoucí z diskuse o možných znaménkách činitelů nerovnic v součinovém a podílovém tvaru. Pro případ více činitelů vysvětlete metodu nulových bodů. Příklady:
4. Kvadratické  rovnice a vztahy mezi jejími kořeny a koeficienty
Řešte pamětným rozkladem kvadratické rovnice s malými celočíselnými kořeny. Odvoďte vzorec pro řešení obecné rovnice metodou doplnění na čtverec. Objasněte význam diskriminantu. Uveďte a dokažte Viétovy vzorce. Příklady:
A. Ukažte, že jeden kořen rovnice (1 + ^/Š)x2 — 2(2 + *s/Š)x + + 3 + s/i = 0 je přirozené číslo, zatímco druhý kořen je druhá odmocnina z přirozeného čísla.
B. Určete celé číslo k tak, aby rovnice 4ar2 + (8fc^4);c+4fc+13 = 0 měla v oboru reálných čísel dva různé kořeny a součet jejich druhých mocnin byl co nejmenší.
B. V oboru R řešte nerovnici
(3^2a:)(2a:+ f) x2(x2 — 1)
> 0.
2
C. Určete, pro která čísla p £ R má rovnice 2 • (x—p)2 = 14—px v oboru reálných čísel takové dva různé kořeny, že trojnásobek jejich součtu je menší než dvojnásobek jejich součinu.
D. Pro která p € R má rovnice x2 — 8x — 5 = p2 — 9p v oboru R dva různé kořeny, které lze označit X\ a Xi v takovém pořadí, že platí X2 + 1x\ = 11?
5. Kvadratické nerovnice
Řešte kvadratické nerovnice s kladným diskriminantem metodou rozkladu na kořenové činitele, vysvětlete případ záporného diskriminantu (metodou doplnění na čtverec). Podejte geometrickou interpretaci řešení úvahou o grafu kvadratické funkce. Příklady:
10      21 4
A. V oboru R řešte nerovnici-- <----.
............ y ry* ')«   _____ -í
í-í •(j •(j (J
B. V oboru R řešte nerovnici |ar2 + 2par+ 1| > 1 , kdepje reálný parametr, pro který platí a) p > s/2, b) p € (0,1).
C. V oboru R vyřešte nerovnici 3|x| + \Jl • (12 + 4x — x2) < < 2(x + 6).
6. Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
Uveďte základní vlastnosti absolutní hodnoty včetně významu |tz — fe| na číselné ose. Na příkladech vyložte základní přístupy k řešení rovnic a nerovnic s absolutní hodnotou (diskuse o znaménkách výrazů v absolutní hodnotě, metoda nulových bodů, odstranění absolutní hodnoty umocněním). Příklady:
x + 4
> x + 4.
A. V oboru R řešte nerovnici
x — 1
B. Nerovnici   ||x — 1| — 4| < 3   řešte v oboru R.
8 — x
C. V oboru R řešte nerovnici ——j-^—--—t < 1.
12 — \xz — ().ľ — 11
7. Rovnice a nerovnice s odmocninami
Popište základní metody řešení rovnic a nerovnic, objasněte problematiku jejich umocňování. Na příkladech nerovnic s odmocninami zdůrazněte, proč je před umocněním obou stran nezbytná diskuse o jejich znaménkách. Podtrhněte význam předběžného určování definičních oborů řešených rovnic a nerovnic. Uveďte též rovnice na užití substituce a násobení sdruženým výrazem (skripta MU: Herman, Kučera, Šimša, Metody řešení matematických úloh I, kap. 1, § 6). Příklady:
A. Stanovte definiční obor a pak vyřešte rovnici \Jx-sfx, — x + + s/x = x.
3
B. V oboru R řešte nerovnici   2x + \Jí — 2x — x2 > 0.
C. V oboru R řešte nerovnici \Jx + \fx + 2 < 2.
x + 3 (1 - s/2x - 2)
D. V oboru R řešte nerovnici---.-- < 0.
2 - s/x - 1
E. Stanovte definiční obor nerovnice 2 • s/21 + 4x — x2 + \5x — — 1| > 3ar +17 a pak ji vyřešte. Pomůcka: 17a;2 + 60a; + 43 = = (x+ l)(17x + 43).
F. Nalezněte definiční obor nerovnice a/4x^ s/W^Šx < 3^2 a pak ji vyřešte. Početní pomůcka: platí rozklad 16a;2 — 141a; + + 305 = (x- 5)(16x-61).
8. Soustavy lineárních rovnic
Soustavy dvou a tří lineárních rovnic řešte dosazovací a slučovací metodou, popište příklady, kdy řešení takové soustavy neexistuje nebo není jediné. Příklady:
A. Zásoba mouky ve skladu jídelny se vyčerpá o 4 dny dříve, jestliže se počet strávníků zvýší o 40, vystačí však o 6 dní déle, sníží-li se počet strávníků o 40. Kolik je původně strávníků v jídelně?
B. Najděte všechna řešení soustavy rovnic:
x+í       y    = 3     2  x+ 1    g     y    = 1
x + y    x — y     2'       x + y        x — y 2
9. Rovnice, nerovnice a soustavy rovnic s parametry
Na příkladech lineárních a kvadratických rovnic a nerovnic provádějte diskusi o tvaru a počtu řešení v závislosti na parametrech. Příklady:
A. V oboru R řešte
a) rovnici (x + p)/(x — q) + (x + q)/(x — p) = 2 s parametry p,q£%
b) nerovnici (x — 3p)/(x — p — 3) < 0 s parametrem p £ R.
B. V oboru R řešte soustavu dvou rovnic s neznámými x, y &
x y parametrem a G R \ {0}: —h ay = a,   ax H— = 1.
a a
C. Zjistěte, pro které hodnoty parametru p G R má rovnice
p(x2 + 1) — 3 = x ■ (x — 2p)
v oboru R dva různé kořeny. Pro které z nalezených hodnot p jsou oba tyto kořeny a) kladné, b) záporné, c) opačných znamének?
4
D. V oboru R uvažujme rovnici 2x + \J4x2 + 4x — p = p s neznámou x, kde p je parametr, p £ R. Nejprve určete, jak (v závislosti na p) vypadá definiční obor dané rovnice. Rovnici pak vyřešte důsledkovými úpravami a proveďte zkoušku. Diskusi o tvaru a počtu řešení zapište závěrem do tabulky.
10. Úhly v kružnicích a mocnosti bodů
Odvoďte vlastnosti středových, obvodových, úsekových úhlů a využijte je při konstrukcích trojúhelníků. Zformulujte a dokažte tvrzení o mocnosti bodu ke kružnici. Příklady:
A. V libovolném ostroúhlém trojúhelníku ABC označme S střed kružnice opsané a P patu výšky z vrcholu A. Dokažte, že úhly BAP a SAC jsou shodné.
B. Kružnice fci(Si,ri) a ^(S^,^) se protínají v bodech K a L. Vyberme libovolně body X £ ki &Y £ fc2 tak, aby bod K byl vnitřním bodem úsečky XY. Zdůvodněte, proč velikost úhlu XLY nezávisí na výběru bodů X a Y.
C. V jedné z polorovin s danou hraniční přímkou p je dána kružnice k a na ní dva různé body P a, Q. Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC tak, aby jeho základna AB ležela na přímce p, vrchol C na kružnici k, bod P na rameni AC a bod Q na rameni BC.
D. V rovině jsou dány body S, K, L neležící na jedné přímce. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby bod S byl středem strany AB, bod K vnitřním bodem strany AC a bod L vnitřním bodem strany BC. Proveďte rozbor, popište konstrukci a zdůvodněte, proč má úloha nejvýše jedno řešení.
E. V rovině je dána kružnice k(S, 5 cm) a bod M tak, že \SM\ = 7cm. Bodem M prochází přímka p, která na kružnici k vytíná tětivu AB délky 2cm. Vypočtěte \MA\ a \MB\.
11. Podobnost trojúhelníků, Euklidovy věty
Vyslovte věty, podle kterých rozhodujeme o podobnosti trojúhelníků. Pak využijte podobné pravoúhlé trojúhelníky k důkazům Euklidových vět o odvěsně a o výšce. Příklady:
A. Je dána kružnice k(S,r), její průměr AB a tečna t v bodě
A. Vypočtěte poloměr R té kružnice k\(0,R), která prochází bodem B, dotýká se přímky t a má střed O na kružnici k. Návod: Užijte jednu z Euklidových vět k trojúhelníku ABO.
B. Pro libovolný pravoúhlý trojúhelník ABC odvoďte vzorce, podle kterých se vypočtou délky odvěsny b a přepony c pomocí délky odvěsny a a výšky vc.
5
12. Konstrukční úlohy řešené užitím množin bodů dané vlastnosti
Popište situace, kdy přímky a kružnice (případně jejich části) tvoří množiny bodů významných vlastností. Tyto množiny pak využijte při řešení konstrukčních úloh. Příklady:
A. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dána délka a strany BC, velikost vt, výšky BB0 a délka tc těžnice CC\. Určete počet řešení v případě, kdy pro dané údaje platí nerovnosti tc > \a > \vb-
B. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li jeho vnitřní úhel (i, jeho výšku va a rozdíl d = b — a > 0 délek jeho stran a a 6. Návod: Při rozboru úlohy prodlužte stranu BC za vrchol B.
C. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno a + b, c a va. Zapište rozbor, popis konstrukce a proveďte diskusi o počtu řešení.
D. Uvnitř pásu omezeného danými dvěma rovnoběžkami a, b jsou dány dva různé body M a N. Sestrojte rovnoběžky man tak, aby M G m, N G n a aby průsečíky přímek a, b, m, n tvořily vrcholy kosočtverce. Zapište rozbor, popis konstrukce a proveďte diskusi o počtu řešení.
E. V rovině je dán pravý úhel XVY, jeho vnitřní bod Q a úsečka délky d. Sestrojte bod A na rameni V X a bod B na rameni VY tak, aby úsečka AB měla danou délku d a aby úhel AQB byl pravý. (Návod: Uvažte, v jakých geometrických místech leží střed S úsečky AB.)
13. Užití shodných zobrazení v konstrukčních úlohách
Popište obecné vlastnosti shodných zobrazení roviny a poté specifické vlastnosti jednotlivých druhů: osové a středové souměrnosti, otočení a posunutí. Vyberte několik typických úloh, při jejichž řešení se využívají jednotlivé druhy shodných zobrazení. Příklady:
A. Ve vnější oblasti kružnice k se středem S je dán bod A. Sestrojte přímku p, která prochází bodem A a protíná kružnici k v některých bodech X a Y tak, že trojúhelník SXY má největší možný obsah. (Řešte pomocí otočení.)
B. V rovině je dána přímka p a mimo ni bod C. Kromě toho je dána úsečka délky d a úhel velikosti u. Popište konstrukci trojúhelníku ABC, jehož vnitřní úhel u vrcholu C má velikost u) a jehož strana AB leží na přímce p a má délku d.
C. Jsou dány úsečky délek a, b, c. Umístěte je v rovině tak, aby všechny tři měly společný krajní bod a aby jejich druhé krajní body ležely v jedné přímce tak, že krajní bod úsečky délky 6 je stejně vzdálen od krajních bodů úseček délek a a c. Zapište
6
rozbor, popis konstrukce a diskusi o počtu řešení této nepolohové úlohy.
D. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC, znáte-li délku c jeho přepony AB a velikost ta jeho těžnice AA\.
E. Dané dvě kružnice k\ a ki se protínají ve dvou bodech. Jeden z nich je označen písmenem T. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby bod T byl jeho těžištěm, vrchol A ležel na kružnici k\ a vrchol B na kružnici fo.
F. Uvnitř kružnice k o středu S jsou dány další dva body K a L, přitom úhel KSL není pravý. Sestrojte dvě shodné a navzájem kolmé tětivy kružnice k tak, aby na první z nich ležel bod K a na druhé bod L. Proveďte rozbor, popište konstrukci a zdůvodněte, kolik má zadaná úloha řešení.
G. V rovině je dán ostrý úhel XV Y a jeho dva různé vnitřní body C a T. Sestrojte trojúhelník ABC s těžištěm T tak, aby vrchol A ležel na rameni VX a vrchol B na rameni VY. Zapište rozbor úlohy a přesný postup konstrukce.
H. V rovině je dána kružnice k a dva body A, B ležící vně kruhu omezeného kružnicí k. Sestrojte její průměr KL tak, aby krajní bod K měl od bodu A stejnou vzdálenost jako krajní bod L od bodu B. Zapište rozbor úlohy, postup konstrukce a určete, kolik může mít úloha řešení, přitom pro každý možný počet řešení načrtněte obrázek příslušné situace. (Návod: využijte vhodnou středovou souměrnost.)
I. V rovině je dána kružnice k(S,r), přímka p a úsečka délky a < 2r. Sestrojte čtverec ABCD o straně délky a, jehož vrcholy A, B leží na kružnici k a vrchol C na přímce p. Zapište rozbor, přesný postup konstrukce a načrtněte situaci, kdy má úloha nej větší možný počet řešení.
14. Stejnolehlost a její užití v konstrukčních úlohách
Objasněte definici stejnolehlosti jako zobrazení a uveďte její vlastnosti. Příklady doložte využití stejnolehlosti při řešení konstrukčních úloh. Příklady:
A. Jsou dány dvě soustředné kružnice ki(S,3cm), fc2(Sl,2cm) a bod A vzdálený 4 cm od středu S obou kružnic. Popište konstrukci rovnostranného trojúhelníku ABC, jehož vrchol B leží na kružnici k\, zatímco střed K jeho strany AC leží na kružnici fo. Návod: Při rozboru úlohy uvažte, kde leží střed L strany AB hledaného trojúhelníku ABC, kromě stejnolehlosti využijte i otočení.
B. Na kružnici k jsou dány tři různé body A, B, C. Na tom
7
oblouku BC kružnice k, na kterém neleží bod A, sestrojte bod X tak, aby tětiva BC rozdělila tětivu AX na dvě úsečky stejné délky. Proveďte rozbor, popište konstrukci a zjistěte možné počty řešení (doložte je náčrtky příslušných situací). (Místo stejnolehlosti lze využít i Thaletovu kružnici.)
C. V daném čtverci ABCD označme E střed strany CD. Sestrojte rovnostranný trojúhelník KLM tak, aby bod K ležel na straně AB, bod L na straně BC, bod M na straně AD a aby úsečky KM a BE byly rovnoběžné.
D. Je dán ostroúhlý trojúhelník ABC a vnitřní bod K jeho strany AB. Na straně AC sestrojte bod X a na straně BC bod Y tak, aby lomená čára CXYK byla složena ze tří shodných úseček.
15. Funkce s lineárními výrazy v absolutní hodnotě
Na konkrétních příkladech vysvětlete postup, jak sestrojit graf funkce s lineárními výrazy v absolutní hodnotě. Ukažte, jak lze těchto příkladů využít při procvičování základních charakteristik funkcí (omezenost, monotónnost, extrémy). Příklady:
A. Sestrojte graf funkce / : y = |1 — x| — ^|x + 2| as jeho pomocí určete počet řešení rovnice |1 — x| — ||x + 2| = p v závislosti na reálném parametru p.
16. Kvadratické funkce
Vyložte, jak metodou doplnění na čtverec získat údaje potřebné k sestrojení grafu kvadratické funkce a popište její vlastnosti (obor hodnot, extrém, monotónnost). Uveďte příklad užití grafu kvadratické funkce při řešení rovnic nebo nerovnic. Výklad doplňte ukázkami grafů „kvadratických" funkcí, jejichž vzorce obsahují členy v absolutní hodnotě. Příklady:
Grafy funkcí /i: y = x2 + 4x + q a f2 ■ y = ax2 + 2bx + 5 jsou paraboly souměrně sdružené podle osy s rovnicí y = 1. Určete neznámá čísla a, b, q.
17. Lineární lomená funkce
Definujte funkci nepřímá úměrnost a popište její graf a vlastnosti. Pak zaveďte vzorcem lineárně lomenou funkci a popište způsob určení jejího grafu pomocí posunutí grafu nepřímé úměrnosti. Příklad doplňte ukázkami grafů funkcí určených lomenými výrazy se členy v absolutní hodnotě.
8
Príklady:
A. V rovině z kartézskou soustavou souřadnici znázorněte množinu všech bodů P[x,y], jejichž souřadnice vyhovují rovnici 2x — 3y + xy = 2. Které body z této množiny mají obě souřadnice celočíselné?
18. Mocniny s racionálním exponentem
Vysvětlete, kdy a jak je definována n-tá odmocnina z daného reálného čísla i n-tá odmocnina jako funkce. Poté přejděte k mocninám, jejichž exponenty jsou racionální čísla s důrazem na nezávislost výběru zlomku, který dané číslo reprezentuje. Uveďte pravidla o počítání s mocninami. Popište, jaké představy by měli mít žáci o mocnině s iracionálním exponentem. Příklady:
A. Pro která celá čísla k je rozdíl -4= — „,} r- racionální číslo?
B. Upravte výraz   (y/a ■ \/a? ■ \fa?) : ( Va11)-
19. Exponenciální funkce, rovnice a nerovnice
Popište vlastnosti exponenciální funkce (v závislosti na jejím základu) a načrtněte její graf. Vyberte a řešte obvyklé druhy exponenciálních rovnic a nerovnic. Příklady:
A. V oboru R řešte rovnici 43V«-3 _ 4 . 2~2x.
B. V oboru R řešte nerovnici   (\x2 —13[ + 3)':r-2l-5 > ÍS^-2!-5.
C. V oboru R řešte nerovnici |4X — 9| < |2X — 3| + 6.
20. Logaritmická funkce, rovnice a nerovnice
Popište vlastnosti logaritmické funkce (v závislosti na jejím základu) a načrtněte její graf. Vyberte a řešte obvyklé druhy logaritmických rovnic a nerovnic. Příklady:
A. V oboru R řešte nerovnici log9 x < .   2 .
B. V oboru R řešte nerovnici loge^ (x + 18) < 1 — log^_ (4x + 23).
5 6 — x
C. V oboru R řešte nerovnici   log(-4_^25_a,2-) |8 — 2x\ > 0.
D. V oboru R řešte nerovnici Vxl0^     > 2.
E. V oboru R řešte nerovnici (^/x)1^lOŘ0-5X > 8.
F. V oboru R řešte nerovnici
G. Určete definiční obor nerovnice logx+i pak ji vyřešte.
5\x\ + ÍÍX + 2
> 2 a
8
9
H. Definiční obor rovnice   logx 27
5 logx 3
1 vyjádřete
logx V3x"
jako sjednocení intervalů a pak danou rovnici vyřešte.
I. Pro které hodnoty reálného parametru p má rovnice
x + logi(9x — p) = 0 právě dvě řešení v oboru reálných čísel?
J. Stanovte definiční obor a pak vyřešte nerovnici
21. Goniometrické funkce a jejich základní vlastnosti
Vysvětlete způsob zavedení funkcí sinus, kosinus a tangens v oboru reálných čísel. Uveďte ty jejich vlastnosti, které jsou geometricky názorné, a doplňte je ukázkami typických úloh (včetně úloh na sestrojení grafů). Příklady:
A. Určete počet řešení rovnice | sin 2x\ = p v intervalu reálných čísel x € (^47r, Wtt) v závislosti na reálném parametru p.
22. Vzorce pro goniometrické funkce a jejich užití
Z jednoho součtového vzorce (který nemusíte dokazovat) odvoďte ostatní součtové a rozdílové vzorce. Dále odvoďte vzorce pro dvojnásobný a poloviční argument. Podobně z jednoho vzorce pro součet odvoďte ostatní vzorce pro součet a rozdíl. Posuzované vzorce uplatněte při řešení konkrétních úloh. Příklady:
A. V trojúhelníku ABC o obvodu 10 cm platí cos a = | a cos (i = |. Ukažte, že délky a, b, c stran tohoto trojúhelníku jsou (v cm) vyjádřeny racionálními čísly a tato čísla určete.
B. Ze součtových vzorců pro goniometrické funkce nebo pomocí Moivreovy věty odvoďte vzorec sin 3í = 3 sin t — 4 sin3 t. Využijte ho pak k řešení rovnice sin 6a; = 2 sin 2a:.
23. Sinová věta a její užití
Odvoďte sinovou větu jednak přes výšku trojúhelníku, jednak přes středový a obvodový úhel v kružnici trojúhelníku opsané. Uveďte typické příklady na výpočet pomocí sinové věty. Příklady:
A. V daném trojúhelníku ABC při obvyklém označení stran a vnitřních úhlů platí a:6=2:3aa:/3=l:2. Zjistěte, zda rovněž poměr a : c je poměrem dvou celých čísel (v kladném případě tato čísla najděte).
B. Užitím sinové věty dokažte tzv. tangentovou větu pro obecný trojúhelník ABC, která je při obvyklém označení jeho prvků
vyjádřena úměrou (a — 6) : (a + 6) = tg í      ] : tg í ^rp^ ].  
10
C. Do kružnice o poloměru R = 3y^6cm je vepsán trojúhelník ABC, ve kterém platí a = 2v/3Ôcm, uj, = a a > 90°.
Vypočtěte délky zbylých stran bac.
24. Kosinová věta
Odvoďte kosinovou větu pomocí Pythagorovy věty přes výšku trojúhelníku. Uveďte typické příklady na výpočet užitím kosinové věty (m.j. vysvětlete, jak se z délek stran trojúhelníku usoudí, zdaje trojúhelník tupoúhlý). Příklady:
A. V trojúhelníku ABC o obsahu 12 cm2 platí a = 5 cm a tg a = 0,75 (při obvyklém označení stran a úhlů). Ukažte, že rovněž délky b, c zbylých dvou stran trojúhelníku jsou (v cm) vyjádřeny racionálními čísly a tato čísla určete.
B. Kružnice vepsaná trojúhelníku ABC se dotýká strany AB v bodě T, přičemž úsečky AT a BT mají po řadě délky 5 a 9. Vypočtěte délky všech stran trojúhelníku ABC, víte-li navíc, že jeho vnitřní úhel při vrcholu C má velikost 120°. (Návod: Uvažujte o dalších dvou bodech dotyku vepsané kružnice.)
2
C. V trojúhelníku ABC platí a = 3cm, 6 = 2v5cm a sin7 = -.
Vypočtěte stranu c, siná a cos/3 (přesně, tj. bez užití přibližných hodnot goniometrických a cyklometrických funkcí z kalkulaček).
25. Goniometrické rovnice a nerovnice
Vysvětlete, co jsou to základní goniometrická rovnice a pomocí jednotkové kružnice popište počet a rozložení jejich řešení v intervalu (0,2n). Na příkladech uveďte jednotlivé typy složitějších rovnic a metody jejich řešení. Řešte rovněž jednoduché goniometrické nerovnice (substituční metoda, využití jednotkové kružnice či grafů základních funkcí.) Příklady:
A. V oboru R řešte rovnici   sin x + cos 2x = 1.
B. V oboru R řešte rovnici   sin x + sin 2x + sin 3a; = 0.
C. V oboru (0, 2n) řešte rovnici   2 sin 2a; sin x + cos 2x = 1.
D. V oboru (0,2n) řešte rovnici (s/Š—l) sin x — 2 sin (| — x) = 0.
E. V oboru (0,2n) řešte rovnici sin 2a; + cos 2a; — tg x = 1.
9 / 7T \ 9
F. V oboru R řešte rovnici   2sin" ^a; — — J =2sin" x — tgx.
G. Pro které hodnoty parametru k G R má rovnice 5 sin 2a; — — 6 cos a; = k ■ (5 sin a; — 3) v oboru x G (0,7r) právě dvě řešení?
H. V oboru (0, n) řešte rovnici
sin (— + 2a;) • cotg 3a; + sin (tt + 2x) = \/2 cos 5a;.
11
I. V oboru (0,2n) řešte rovnici cotg a; — 1 = -.
1 + tgx
J. V oboru (0,7r) řešte rovnici   2 cos2 3a; + cos(2ar + n) = 1. K. V oboru (0,7r) řešte rovnici sin 3a; = cos 5a;. (Návod: Rovnici nejdříve upravte do tvaru sin A = sin B.)
L. Popište obecnou metodu řešení rovnice a cos x + b sin x + c = 0 s parametry a, b, c G R. Rovnici interpetujte též geometricky jako hledání průsečíků jednotkové kružnice a přímky s danou obecnou rovnicí. Nakonec stejnou metodou řešte rovnici sin x + cos x = =     sin 2a:.
M. Voboru (0,2n) řešte rovnicisin2a:^v/2-(sina:+cosa:) + l = 0. Návod: užijte substituci t = sin x + cos x. N. V oboru (0,2n) řešte rovnici 2cos^2a; + ^ — 4cos^a; + -^j = 1.
26. Polohové vlastnosti přímek a rovin v prostoru
Na příkladu krychle popište možné vzájemné polohy dvou přímek, přímky a roviny, dvou a tří rovin. Vysvětlete postup při konstrukci řezu krychle danou rovinou a jeho zobrazení ve volném rovnoběžném promítání. Příklady:
A. Zobrazte krychli ABC D A'B'CD' o hraně délky 7 cm. Vyznačte na ní střed M hrany A'D', střed N hrany D'C a ten bod P hrany BB', pro který platí \BP\ : \B'P\ = 1:3. Pak sestrojte řez krychle rovinou, která prochází body M, N a je rovnoběžná s přímkou CP.
27. Odchylky přímek a rovin prostoru
Vysvětlete teoretické zavedení odchylek dvou přímek, přímky od roviny a dvou rovin. Na příkladech hranolů a jehlanů určujte konkrétní odchylky metodou výpočtů přes vhodné trojúhelníky. Příklady:
A. Vypočtěte siná, kde a je odchylka dvou stěn pravidelného čtyřstěnu.
B. Kouli o poloměru r je opsán rotační kužel o výšce v. Vypočtěte cos a, kde a je odchylka površek kužele od jeho podstavy.
28. Vzdálenosti v prostoru
Vysvětlete, jak se definuje vzdálenost bodu od přímky a od roviny, vzdálenost dvou přímek, vzdálenost přímky od roviny a vzdálenost dvou rovin. Na příkladech hranolů a jehlanů určujte konkrétní vzdálenosti metodou výpočtů přes vhodné trojúhelníky.
12
Príklady:
Na vodorovné rovině a jsou položeny tři shodné koule o poloměru r tak, že se navzájem dotýkají. Na těchto třech koulích leží čtvrtá koule o temže poloměru r. Vypočtěte vzdálenost nej vyššího bodu čtvrté koule od roviny a.
29. Základní kombinatorické pojmy a vzorce
Popište, které konfigurace prvků nazýváme permutace, variace a kombinace (bez i s opakováním). Pak odvoďte vzorce pro jejich počty. Nakonec uveďte několik méně triviálních příkladů typu rozmísťování knih do poliček. Příklady:
A. Ke zkoušce na vysoké škole dostali studenti seznam 30 otázek. Tři z nich si každý student na začátku zkoušky vylosuje; zkoušku složí, umí-li aspoň dvě z vylosovaných otázek. S jakou pravděpodobností složí zkoušku student, který se naučí právě 20 otázek?
B. Pan Novák má v šatníku celkem 9 různých košilí (z toho 2 modré) a 8 různých kravat (z toho 2 zelené). Na služební cestu si chce vzít 4 košile a 2 kravaty tak, aby mezi nimi nebyla modrá košile společně se zelenou kravatou. Kolik možností výběru košil a kravat pan Novák má?
C. Určete počet těch pětimístných přirozených čísel, které ve svém zápisu nemají ani nulu, ani devítku a mají přitom lichý počet lichých číslic. Například číslo 44 433 mezi taková čísla nepatří, protože má dvě liché číslice.
D. Určete počet všech šestimístných přirozených čísel, která lze zapsat číslicemi 1, 2, 3 a která ve svém zápise neobsahují trojčíslí 123. Například číslo 112 322 trojčíslí 123 obsahuje, číslo 122 333 nikoliv. (V jednotlivých číslech nemusí být využity všechny tři číslice.)
E. Uvažujme ta osmimístná přirozená čísla, která jsou dělitelná devíti a každá jejich číslice je 1, 2 nebo 3.
a) Uveďte příklad dvou takových čísel zapsaných různými skupinami číslic.
b) Určete počet všech takových čísel.
F. Určete počet všech šestimístných přirozených čísel dělitelných čtyřmi, která ve svém zápisu nemají žádnou číslici různou od 5, 6, 7 nebo 8. (V jednom čísle nemusí být všechny čtyři „povolené" číslice, například číslo 888 888 je vyhovující.)
G. Určete počet všech šestimístných přirozených čísel dělitelných devíti, která ve svém zápisu nemají žádnou číslici různou od 1,
13
2 nebo 3. (V jednom čísle nemusí být všechny čtyři „povolené" číslice, například číslo 333 333 je vyhovující.)
H. Určete počet všech šestimístných přirozených čísel, která mají ve svém zápisu více lichých než sudých číslic. Takové je například číslo 120111 se čtyřmi lichými a dvěma sudými číslicemi. Výsledek můžete ponechat ve tvaru /-• • "ľ"', kde k € N.
I. Určete počet všech šestimístných přirozených čísel, které neobsahují číslici nula a ve kterých se každá zastoupená číslice vyskytuje alespoň dvakrát. Tuto vlastnost má například číslo 131333, ne však číslo 132 233.
30. Binomická věta
Binomickou větu zformulujte a dokažte jednak kombinatorickou úvahou, jednak indukcí využívající vztahů mezi kombinačními čísly umožňujícími snadnou konstrukci Pascalova trojúhelníku. Binomickou větu pak využijte při řešení typických úloh. Příklady:
A. Určete největší koeficient mnohočlenu (5x + 3)10.
B. Pro která čísla x je čtvrtý člen rozvoje mocniny
roven číslu 200?
31. Rovnice přímky v rovině a prostoru
Popište jednotlivé typy rovnic přímky a souvislosti jejich koeficientů se směrovým vektorem a v případě přímky v rovině i se směrnicí a normálovým vektorem. Vysvětlete, jak se podle rovnic dvou přímek pozná jejich kolmost nebo rovnobežnosť a jak se vypočte jejich odchylka. Odvoďte vzorec pro výpočet vzdálenosti bodu od přímky dané obecnou rovnicí (v rovině). Příklady:
A. V rovině jsou dány body .4[2,7], Sfl^] a přímka p: 3x — — 2y + 11 = 0. Vypočtěte souřadnice zbylých dvou vrcholů trojúhelníku ABC, jehož výška vj, leží na přímce p a jehož strana BC má střed v bodě S.
B. Vrchol C trojúhelníku ABC leží na přímce p: x — 2y + 8 = 0. Vypočtěte jeho souřadnice, znáte-li vrcholy A[2, —1], B[4,8] a víte-li, že obsah trojúhelníku ABC je 10.
C. Dány jsou vrcholy j4[—1,6], B[—7, —6] trojúhelníku ABC a průsečík V[1,0] jeho výšek. Vypočtěte souřadnice vrcholu C a rozhodněte (výpočtem, nikoliv náčrtkem), zda je trojúhelník ABC ostroúhlý, pravoúhlý, či tupoúhlý.
14
D. Na přímce p, která prochází bodem P[4,3, —2] a má směrový vektor (1,2, —1), určete bod C stejně vzdálený od bodů A[l, 2,5] a B[-1,0,1].
E. V rovině s kartézskou soustavou souřadnic Oxy jsou dány body S[í,0], K[-2,í], L[5,2] a přímka p: 2x - y - 4 = 0. Vypočtěte souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC, víte-li, že vrchol C leží na přímce p, na přímce AK i na přímce BL a že bod S je středem strany AB, která leží na ose x.
F. Vypočtěte kartézské souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC, znáte-li střed B\ [2,4] strany AC, střed C\ [3,6] strany AB a průsečík V[21,—7] jeho výšek. Úloha má dvě řešení, výpočet dokončete pro ten trojúhelník ABC, jehož vrcholy mají celočíselné souřadnice. (Návod: Pomocí souřadnic u,v vrcholu .4[«,u] vyjádřete souřadnice vrcholů B, C a pak pro neznámé u, v sestavte a vyřešte soustavu rovnic.)
G. Vypočtěte souřadnice vrcholů B, C trojúhelníku ABC, znáte-li vrchol j4[1,3] a víte-li, že těžnice z vrcholu B leží na přímce čj,: x — 2y + 10 = 0 a těžnice z vrcholu C na přímce tc: 3x — y — 5 = 0.
H. Vypočtěte souřadnice vrcholů B, C trojúhelníku ABC, znáte-li vrchol A[2, 5] a víte-li, že výška z vrcholu B leží na přímce Vt,: = 0 a výška z vrcholu C na přímce vc: x—3y+19 = 0.
32. Rovnice roviny v prostoru, vzájemná poloha přímek a rovin
Vysvětlete, jak vypadá obecná rovnice roviny a jaká je souvislost jejích koeficientů s normálovým vektorem roviny. Vyložte výhodné metody určování rovnice roviny podle způsobu jejího zadání. Na příkladech objasněte, jak určujeme vzájemnou polohu dvou rovin a vzájemnou polohu přímky a roviny. Příklady:
A. Napište obecnou rovnici roviny procházející body A[0, 2, —1], £[1,1,1] a C[4,6,2]. Pak určete souřadnice bodu D tak, aby čtyřúhelník ABCD byl rovnoběžník. Přesvědčete se, že tento rovnoběžník je obdélník a vypočtěte jeho obsah.
33. Kuželosečky a jejich rovnice
Popište, jak vypadá rovnice kružnice v rovině a jak se z ní určí střed, poloměr a rovnice tečen. Vyslovte ohniskové definice jednotlivých typů kuželoseček a poté odvoďte rovnici paraboly a hyperboly (nebo elipsy). Popište geometrický význam koeficientů těchto rovnic a metodu hledání těchto parametrů pro kuželosečky posunuté ze základní polohy.
15
Príklady:
A. Najděte rovnici kružnice, která prochází body M[0,6], N[8,0] a která se dotyká přímky p: 3x + 4y — 49 = 0.
B. Najděte rovnici té kružnice, která má střed na přímce p: 5x — — 4y — 28 = 0 a prochází body M[1,5] a N[7, —3].
C. Metodou analytické geometrie dokažte tvrzení: Leží-li počátek O kartézské soustavy souřadnic Oxy ve vnitřní oblasti kružnice k o poloměru r, pak tato kružnice protne osu x v bodech A, B a osu y v bodech C, D tak, že platí |.40|2 + \BO\2 + \CO\2 + |£>0|2 = = 4r2. (Souřadnice středu S kružnice k označte S[xo,yo]-)
D. Určete střed, vrcholy, ohniska a asymptoty hyperboly určené rovnicí x2 — 4y2 — 6x — 16y — 11 = 0 a pak ji načrtněte.
34. Aritmetika komplexních čísel
Vysvětlete, že nový druh čísel lze exaktně zavést pomocí dvojic reálných čísel a operací s nimi. Objasněte základní pojmy spojené s komplexními čísly, vlastnosti aritmetických operací s důrazem na praktickou metodiku dělení. Zaveďte goniometrický tvar komplexních čísel, jeho geometrický význam a odvoďte větu o násobení komplexních jednotek. Příklady:
A. Ukažte, že číslo JÍVO + \/2) + ^(v^ — V2)i je komplexní jednotka. Víte-li, že její argument je j^n, určete algebraický tvar komplexní jednotky, která má argument j^n.
35. ftešení rovnic v komplexním oboru
V oboru C řešte kvadratické rovnice s reálnými koeficienty a záporným diskriminantem. Dále v C řešte binomické rovnice a vysvětlete rozložení jejich kořenů v Gaussově rovině. Příklady:
A. Pravidelný šestiúhelník má střed v počátku Gaussovy roviny a jeden jeho vrchol je obrazem komplexního čísla 2 + i. Určete komplexní čísla, jejichž obrazy jsou zbývající vrcholy šestiúhelníku.
36. Aritmetické posloupnosti a jejich užití
Vymezte aritmetické posloupnosti a odvoďte vzorec pro součet jejich prvních n členů. Příklady doložte jednotlivé typy úloh o aritmetických posloupnostech. Příklady:
A. Určete součet všech kladných členů aritmetické posloupnosti s prvním členem 16\ a druhým členem 15|.
16
37. Geometrické posloupnosti a jejich užití
Vymezte geometrické posloupnosti a odvoďte vzorec pro součet jejich prvních n členů. Příklady doložte jednotlivé typy úloh o geometrických posloupnostech. Příklady:
A. Součet prvního a čtvrtého členu geometrické posloupnosti se rovná 195, součet druhého a třetího členu je roven 60. Určete první člen a kvocient této posloupnosti.
B. Geometrická posloupnost kladných čísel má tu vlastnost, že součet jejích prvních dvou členů je roven jedné, zatímco součet jejích prvních čtyř členů je roven třem. Vypočtěte první člen této posloupnosti.
38. Geometrické řady
Odvoďte vzorec pro součet členů (nekonečné) geometrické řady
a uveďte příklady jeho využití.
Příklady:
A. Dva hráči A, B házejí střídavě obvyklou hrací kostkou. Jako první hází hráč A, vyhrává ten hráč, kterému dříve padne šestka (hra pak končí). Vypočítejte pravděpodobnost výhry hráče A a pravděpodobnost výhry hráče B.
17