Cvičení 4.: Jednoduchá lineární regrese


Příklad 1.: U sedmi náhodně vybraných strojů v určitém podniku se zjišťovalo stáří stroje

v letech (proměnná X) a týdenní náklady v Kč na údržbu stroje (proměnná Y). Data:

(1,35), (1,52), (3,81), (3,105), (5,100), (6,125), (7, 120)

Data znázorněte graficky. Vyzkoušejte následující čtyři modely:

y = β[0] + β[1] x, y = β[0] + β[1] √x, y = β[0] + β[1] log[10] x, y = β[0] + β[1] 1/x. Vyberte ten
model, který poskytuje nejvyšší index determinace. Určete regresní odhad týdenních nákladů pro
stroj starý čtyři roky.


Řešení:

Nejprve data znázorníme graficky:


Datový soubor s proměnnými X a Y doplníme o proměnné SQRTX, LOGX a INVX. Hodnoty proměnné SQRTX
resp. LOGX resp. INVX získáme tak, že do Dlouhého jména napíšeme =sqrt(x) resp. =Log10(x) resp.
=1/x.



Regresní analýzu provedeme tak, že roli nezávisle proměnné bude hrát proměnná X, pak SQRTX, LOGX a
nakonec INVX.

Model s proměnnou X:

Model s proměnnou SQRTX:

Model s proměnnou LOGX:

Model s proměnnou INVX


Vidíme, že nejvyšší index determinace poskytuje model s proměnnou LOGX: ID^2 = 90,9%. Má také
nejmenší směrodatnou chybu odhadu.


Určíme regresní odhad týdenních nákladů pro stroj starý 4 roky v modelu s nezávisle proměnnou LOGX.
Nejprve vypočteme log(4) = 0,602

Pro výpočet predikované hodnoty zvolíme Rezidua/předpoklady/předpovědi Předpovědi závisle proměnné
X: 0,602 OK. Ve výstupní tabulce je hledaná hodnota označena jako Předpověď.


Bodový odhad je 100,77 Kč. Vidíme, že s pravděpodobností aspoň 0,95 budou týdenní náklady na údržbu
stroje starého 4 roky činit minimálně 88,93 Kč a maximálně 112,62 Kč.


Nakonec znázorníme data se všemi čtyřmi regresními křivkami. K původnímu datovému souboru
s proměnnými X,Y přidáme 4 nové proměnné PREDIKCE1, …, PREDIKCE4. Do Dlouhých jmen těchto
proměnných napíšeme příslušné regresní rovnice, tj.

=39,44444+13,14957*x

=-0,4776+48,55972*sqrtx

=44,64571+93,23472*logx

=126,6192-84,4832*invx


Obrázek vytvoříme pomocí vícenásobného bodového grafu.




Příklad 2.: V regresním modelu paraboly, který znázorňuje závislost spotřeby benzínu na rychlosti
automobilu Škoda 120 (datový soubor spotreba_benzinu.sta):


a) Určete 95 % intervaly spolehlivosti pro regresní parametry.


Ve výstupní tabulce výsledků regrese přidáme za proměnnou Úroveň p dvě nové proměnné dm (pro dolní
meze 95% intervalů spolehlivosti pro regresní parametry) a hm (pro horní meze 95% intervalů
spolehlivosti pro regresní parametry). Do Dlouhého jména proměnné dm resp. hm napíšeme:
=v3-v4*VStudent(0,975;5) resp. =v3+v4*VStudent(0,975;5)



Vidíme, že

7,320815 < β[0] < 12,18276 s pravděpodobností aspoň 0,95,

-0,21948 < β[1] <  -0,08159 s pravděpodobností aspoň 0,95,

0,000788 < β[2] < 0,0017 s pravděpodobností aspoň 0,95


b) Na hladině významnosti 0,05 proveďte celkový F-test.

Testovou statistiku F-testu a odpovídající p-hodnotu najdeme v záhlaví výstupní tabulky regrese.
Zde F = 76,41, p-hodnota < 0,00018, tedy na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o
nevýznamnosti modelu jako celku. (Výsledky F-testu jsou rovněž uvedeny

v tabulce ANOVA.)


c) Na hladině významnosti 0,05 proveďte dílčí t-testy a vypočtěte relativní chyby odhadů regresních
parametrů.

Výsledky dílčích t-testů jsou uvedeny ve výstupní tabulce regrese.

Testová statistika pro test hypotézy H[0]: β[0] = 0 je 10,31183, p-hodnota je 0,000148. Hypotézu o
nevýznamnosti parametru β[0 ]tedy zamítáme na hladině významnosti 0,05.

Testová statistika pro test hypotézy H[0]: β[1] = 0 je -5,61264, p-hodnota je 0,002483. Hypotézu o
nevýznamnosti parametru β[1 ]tedy zamítáme na hladině významnosti 0,05.

Testová statistika pro test hypotézy H[0]: β[2] = 0 je 7,01912, p-hodnota je 0,000905. Hypotézu o
nevýznamnosti parametru β[2 ]tedy zamítáme na hladině významnosti 0,05.

K upravené výstupní tabulce s mezemi intervalů spolehlivosti přidáme proměnnou chyba. Do jejího
Dlouhého jména napíšeme

=100*abs(0,5*(hm-dm)/v3)



Vidíme, že chyby odhadů jsou velké, v řádu desítek procent.


d) Určete regresní odhad spotřeby benzínu při rychlosti 80 km/h.

Pro výpočet predikované hodnoty zvolíme Rezidua/předpoklady/předpovědi - Předpovědi závisle
proměnné X: 80, Xkv 6400 OK. Ve výstupní tabulce je hledaná hodnota označena jako Předpověď: 5,6708


e) Vypočtěte střední absolutní procentuální chybu predikce (MAPE)


Ve výsledcích Vícenásobné regrese zvolíme záložku Rezidua/předpoklady/předpovědi – Reziduální
analýza – Uložit – Uložit rezidua a předpovědi – Vybrat X, Y – OK. Ve vzniklé tabulce odstraníme
proměnné 5 – 10, přidáme proměnnou chyby a do jejího Dlouhého jména napíšeme

=100*abs(v4/v2)

Pak spočteme průměr této proměnné a zjistíme, že MAPE = 2,15%.