Cvičení 5.: Pokročilé metody v jednoduché lineární regresi


Příklad 1.: Na podzim byla uskladněna zimní jablka. Po čase bylo vždy odebráno několik kusů a u
každého byla posuzována chuť, tvrdost, kvalita slupky a celkový vzhled jablka. Vyšší počet bodů
odpovídá lepší kvalitě ovoce. Doba, která uplynula od uskladnění, je nezávisle proměnná veličina X,
počet bodů závisle proměnná veličina Y.


                                         X

                                          Y

                                         0

                                          5  6  4  5

                                         2

                                          9  7  8

                                         4

                                          9  8  10  10  8

                                         6

                                          8  5  7  4  6

                                         8

                                          3  1  2


Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že regresní přímka je vhodný model závislosti Y na
X.


Řešení v systému STATISTICA:

Načteme datový soubor zimní_jablka.sta se dvěma proměnnými X a Y a 20 případy.

Data znázorníme graficky:


Je zřejmé, že přímka nebude vhodným regresním modelem.


Odhadneme parametry regresní přímky:


Sestavíme tabulku ANOVA:

Vrátíme se do Výsledky – vícenásobná regrese – Detailní výsledky – ANOVA.

Vidíme, že S[R] = 13,4444, S[T] = 127,75


Provedeme jednofaktorovou analýzu rozptylu, abychom získali skupinový součet čtverců:

Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Rozklad & jednofakt. ANOVA – OK – Proměnné – Závislé –
Y, Grupovací - X – OK – OK – Analýza rozptylu.

Zde najdeme S[A] = 107,75.


Vypočteme testovou statistiku  a  najdeme kritický obor W =  <F[0,95](3,15), ∞) = <4,1528, ∞).
Jelikož F W, zamítáme na  hladině významnosti 0,05 hypotézu, že přímka je vhodným regresním modelem
závislosti kvality jablek na době uskladnění.


Test adekvátnosti modelu můžeme též provést pomocí Obecných regresních modelů:

Statistiky – Pokročilé lineární/nelineární modely – Obecné regresní modely – Jednorozměrná regrese
- OK – na záložce Možnosti zaškrtneme Kvalita proložení – OK – Závislá Y, Spoj. nezáv. prom. X – OK
– Více výsledků – Celkové R – ve stromové struktuře vlevo vybereme Test kvality modelu.


Hodnota testové statistiky je 23,576 a odpovídající p-hodnota je blízká 0. Na hladině významnosti
0,05 tedy zamítáme hypotézu, že přímka je vhodným modelem k popisu závislosti kvality jablek na
době skladování.

Použijeme-li model , nemůžeme na hladině významnosti 0,05 zamítnout hypotézu, že tento model je
adekvátní, neboť odpovídající p-hodnota je 0,4619:


Odhadnuté parametry:


Výsledný model má tvar: y = 5,0384 + 2,1934x – 0,3260x^2.

Vidíme rovněž, že poměr determinace (uvedený ve výstupní tabulce regrese pod označením R2) vzrostl
z 10,52% na 82,64%.


Příklad 2.: Jsou známy údaje o počtu obyvatel USA v letech 1815 až 1975 (v miliónech osob):

1815

    1825

        1835

            1845

                1855

                    1865

                        1875

                            1885

                                1895

                                    1905

                                        1915

                                            1925

                                                 1935

                                                      1945

                                                           1955

                                                               1965

                                                                    1975

8,3

    11

        14,7

            19,7

                26,7

                    35,2

                        44,4

                            55,9

                                68,9

                                    83,2

                                        98,8

                                            114,2

                                                 127,1

                                                      140,1

                                                           164

                                                               190,9

                                                                    214,3

Předpokládáme, že růst populace se řídí exponenciální regresní funkcí , kde y je počet jedinců a x
je čas, x = 1815, 1825, …, 1975.

Odhadněte parametry exponenciální regresní funkce. Znázorněte data s proloženou regresní funkcí.
Pomocí D-W statistiky testujte hypotézu, že mezi rezidui neexistuje pozitivní autokorelace.

Návod: Data jsou uložena v souboru populace_USA.sta. V datovému souboru přidáme novou proměnnou
lnY, do jejíhož Dlouhého jména napíšeme Log(Y). Provedeme regresní analýzu se závisle proměnnou LnY
a nezávisle proměnnou X.

Výsledný model má tedy tvar: y = e^-34,0828+0,201.x

Dílčí t-testy vedou k zamítnutí hypotéz o nevýznamnosti regresních parametrů β[0], β[1], obě
p-hodnoty jsou blízké 0. Testová statistika celkového F-testu nabývá hodnotu 496,36, odpovídající
p-hodnota je také velmi blízká 0. Exponenciální model vysvětluje variabilitu počtu osob v USA
v letech 1815 – 1975 z 97%.


Grafické znázornění dat s proloženou regresní funkcí:

D-W statistika nabývá hodnoty 0,1532. Kritické hodnoty pro α = 0,05, n = 15, p = 2 jsou: d[L] =
0,95, d[U] = 1,54. Testová statistika je menší než d[L], tedy jsme na hladině významnosti 0,05
prokázali existenci pozitivní autokorelace reziduí.


Nepovinný úkol: Postupem popsaným v přednášce odstraňte problém autokorelovaných reziduí.