UNIVERZITA OBRANY Fakulta vojenských technologií Základy matematické kartografie (Skripta) Autor: plukovník doc. Ing. Václav TALHOFER, CSc. BRNO 2007 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Oponenti: prof. Ing. Bohuslav VEVERKA, DrSc, katedra mapování a kartografie, Fakulta stavební, ČVUT Praha Ing. Petr BUCHAR, CSc, katedra mapování a kartografie, Fakulta stavební, ČVUT Praha Skripta byla schválena na zasedání katedry dne 12. října 2007 ISBN: 978-80-7231-297-9 2 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obsah 1. Referenční plochy a souřadnicové soustavy..............................................................................................8 1.1 Referenční plochy.................................................................................................................................8 1.1.1 Referenční elipsoid..........................................................................................................................8 1.1.2 Referenční koule..............................................................................................................................9 1.1.3 Referenční rovina..........................................................................................................................10 1.2 Souřadnicové soustavy.......................................................................................................................10 1.2.1 Souřadnicové soustavy na referenčním elipsoidu.........................................................................11 1.2.l.a Výpočet délky poledníkového a rovnoběžkového oblouku.................................................................12 1.2.1. b Izometrické souřadnice........................................................................................................................14 7.2.2 Souřadnicové soustavy na referenční kouli...................................................................................15 1.2.2. a. Určení polohy kartografického pólu...................................................................................................18 1.2.3 Souřadnicové soustavy v zobrazovací rovině................................................................................20 2. Dělení a klasifikace zobrazení..................................................................................................................21 2.1 Základní transformace mezi referenčními plochami a rovinnými souřadnicovými systémy..............22 2.2 Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení.................................. ....................................................23 2.3 Základní vlastnosti nepravých zobrazení...........................................................................................25 2.4 Základní charakteristiky obecných zobrazení....................................................................................25 2.5 Klasifikace zobrazení podle zkreslení................................................................................................26 3. Zákony zkreslení........................................................................................................................................26 3.1 Délkové zkreslení...............................................................................................................................27 3.1.1 Délkové zkreslení na referenční kouli...........................................................................................29 3.1.2 Extrémní délkové zkreslení............................................................................................................30 3.1.3 Extrémní délkové zkreslení na referenční kouli.............................................................................31 3.2 Úhlové zkreslení.................................................................................................................................32 3.2.1 Úhlové zkreslení na referenční kouli.............................................................................................35 3.2.2 Extrémní úhlové zkreslení.............................................................................................................35 3.3 Plošné zkreslení.................................................................................................................................37 3.4 Zákony zkreslení při užití polárních rovinných souřadnic.................................................................38 3.5 Vizualizace průběhu zkreslení............................................................................................................40 4. Teorie zobrazení........................................................................................................................................43 4.1 Ekvidistantní zobrazení......................................................................................................................43 4.2 Ekvivalentní zobrazení.......................................................................................................................44 4.3 Konformní zobrazení..........................................................................................................................45 5. Zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli...........................................................................47 5.1 Základní vztahy a vzorce....................................................................................................................47 5.2 Zobrazení se zachovanými zeměpisnými souřadnicemi.....................................................................48 5.3 Konformní zobrazení elipsoidu na kouli............................................................................................49 6. Jednoduchá válcová zobrazení.................................................................................................................51 6.1 Základní vztahy a vzorce....................................................................................................................51 6.2 Ekvidistantní válcové zobrazení.........................................................................................................53 6.3 Ekvivalentní válcové zobrazení..........................................................................................................55 6.4 Konformní válcové zobrazení.............................................................................................................56 6.5 Šikmá poloha válcového zobrazení....................................................................................................58 1. Jednoduchá kuželová zobrazení...............................................................................................................58 7.7 Základní vztahy a vzorce............................................. .......................................................................59 7.2 Ekvidistantní kuželové zobrazení.......................................................................................................61 7.2.1 Ekvidistantní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou.........................................62 7.2.2 Ekvidistantní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami.....................................65 7.3 Ekvivalentní kuželové zobrazení........................................................................................................68 7.3.1 Ekvivalentní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou..........................................69 7.3.2 Ekvivalentní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami......................................70 7.4 Konformní kuželové zobrazení...........................................................................................................77 7.4.7 Konformní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou.............................................72 7.4.2 Konformní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami.........................................72 7.5 Šikmá poloha kuželového zobrazení...................................................................................................74 8. Jednoduchá azimutální zobrazení............................................................................................................74 3 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 8.1 Základní vztahy a vzorce....................................................................................................................75 8.2 Ekvidistantní azimutální zobrazení....................................................................................................76 8.3 Ekvivalentní azimutální zobrazení.....................................................................................................78 8.4 Konformní azimutální zobrazení........................................................................................................80 8.5 Azimutální projekce...........................................................................................................................82 8.5.1 Gnomonická projekce....................................................................................................................83 8.5.2 Ste re o grafická projekce.................................................................................................................84 8.5.3 Ortografická projekce...................................................................................................................85 9. Nepravá zobrazení.....................................................................................................................................86 9.1 Nepravá válcová zobrazení................................................................................................................86 9.1.1 Nepravá válcová sinusoidálnízobrazení.......................................................................................87 9.1.1. a Mercator-Sansonovo (Flamsteedovo) zobrazení.................................................................................87 9.1.1 .b Eckertovo sinusoidální zobrazení........................................................................................................90 9.7.2 Nepravá válcová eliptická zobrazení.............................................................................................91 9.1.2. a Mollweidovo zobrazení.......................................................................................................................91 9.2 Nepravá kuželová zobrazení..............................................................................................................93 9.2.1 Bonneovo nepravé kuželové zobrazení..........................................................................................94 9.3 Nepravá azimutální zobrazení...........................................................................................................96 9.3.1 Wemer-Stabovo nepravé azimutální zobrazení.............................................................................96 9.3.2 Ginzburgovo zobrazení.................................................................................................................98 9.3.3 Modifikovaná azimutální zobrazení..............................................................................................99 9.3.3. a Aitovovo nepravé azimutální zobrazení..............................................................................................99 9.3.3.b Hammerovo zobrazení.......................................................................................................................100 9.3.3.C Wagnerovo zobrazení........................................................................................................................101 9.4 Polykónická zobrazení.....................................................................................................................102 10. Gaussovo zobrazení............................................................................................................................105 10.1 Základní charakteristiky zobrazení..................................................................................................106 10.2 Zobrazovací rovnice.........................................................................................................................109 10.2.1 Zobrazovací rovnice UTM......................................................................................................112 10.3 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím........................................................................................112 10.3.1 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím UTM....................................................................115 10.4 Meridiánová konvergence................................................................................................................116 10.4.1 Meridiánová konvergence v UTM..........................................................................................119 10.5 Zákony zkreslení...............................................................................................................................779 10.5.1 Zákony zkreslení v UTM.........................................................................................................122 10.6 Směrová a délková korekce geodetické čáry....................................................................................123 10.6.1 Směrová korekce geodetické čáry...........................................................................................124 10.6.1.a Směrová korekce geodetické čáry v Gaussově zobrazení..................................................................125 10.6. l.b Směrová korekce v zobrazení UTM..................................................................................................127 10.6.2 Délková korekce geodetické čáry...........................................................................................127 10.7 Mezipásmové transformace..............................................................................................................129 11. Křovákovo zobrazení..........................................................................................................................130 77.7 Základní charakteristiky zobrazení..................................................................................................130 11.2 Zobrazovací rovnice.........................................................................................................................737 11.2.1 Zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli............................................................737 11.2.2 Transformace zeměpisných souřadnic na referenční kouli na kartografické souřadnice......737 11.2.3 Transformace do zobrazovací roviny.....................................................................................733 11.2.4 Převod rovinných polárních souřadnic na pravoúhlé............................................................733 77.3 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím........................................................................................734 77.4 Meridiánová konvergence................................................................................................................735 77.5 Zákony zkreslení...............................................................................................................................736 12. Používaná zobrazení v Armádě České republiky a v NATO..........................................................137 72.7 Zobrazení UTM................................................................................................................................737 72.2 Zobrazení UPS.................................................................................................................................137 12.2.1 Zobrazovací rovnice zobrazení UPS......................................................................................138 12.2.2 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím...............................................................................739 72.3 Lambertovo konformní kuželové zobrazení......................................................................................740 13. Transformace zobrazení.....................................................................................................................142 73.7 Prostorové transformace..................................................................................................................743 13.1.1 Prostorové pravoúhlé souřadnice..........................................................................................743 13.1.2 Tříprvková prostorová transformace......................................................................................745 4 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 13.1.3 Sedmiprvková prostorová transformace.................................................................................146 13.1.4 Moloděnského transformace...................................................................................................147 13.1.5 Zjednodušená Moloděnského transformace...........................................................................148 13.2 Rovinné transformace......................................................................................................................148 13.2.1 Shodnostní transformace........................................................................................................148 13.2.2 Podobnostní transformace......................................................................................................149 13.2.3 Afinní transformace................................................................................................................149 13.2.4 Interpolační metody................................................................................................................149 14. Aplikace zobrazení v nástrojích GIS.................................................................................................150 14.1 Volba geodetického referenčního systému.......................................................................................151 14.2 Transformace mezi geodetickými referenčními systémy..................................................................757 14.3 Volba zobrazení...............................................................................................................................752 74.4 Vizualizace matematických prvků....................................................................................................755 5 Úvod Základním úkolem geoinformatiky je vytváření a správa modelů krajinné sféry, jejích objektů a jevů. Zabývá se vztahem skutečnosti a jejím modelem ve všech aspektech, které s touto činností souvisí a je zároveň chápána jako vědní obor i praktická činnost. Geoinformatika je široký obor, který vychází z řady vědních oborů a má na ně silné vazby. Z hlediska klasické kartografie se geoinformatiky zabývá: • naukou o mapách, která zahrnuje historii kartografie, tříděním a dokumentací map a atlasů, jejich povšechným studiem; • kartografickou vizualizací, která řeší otázky kartografického jazyka a generalizace obsahu; • kartografickou tvorbou - vlastním zpracováváním obsahu map; • kartografickou polygrafií a reprografií, tedy způsoby rozmnožování map; • kartometrií a kartografickým výzkumem - způsoby analýzy obsahu map a syntézy zjištěných výsledků. Digitální geoinformatika vychází z obecné informatiky a zabývá se zejména: • definováním objektů a jevů a jejich vztahů v geografické realitě; • aplikacemi databázových přístupů k tvorbě digitálních geodatabází; • datovou analýzou; • prezentací dat a způsoby jejich zobrazování; Klasická i digitální geoinformatika se zabývá i řízením celého procesu modelováním včetně zjišťování a objektivizací uživatelských potřeb na vytvářené modely. Všechny modelované objekty a jevy je nutné mít lokalizovány na povrchu Země či v jejím blízkém okolí. Základní lokalizace je především otázkou topografického nebo tematického mapování zpravidla ve výchozím referenčním rámci, který je dán zvolených geodetickým referenčním systémem. Při jejich vizualizaci (zpravidla grafické trvalé nebo virtuální) je však nutné zvolit jeho rovinné zobrazení. Metodami zobrazování geodetických systémů do roviny se zabývá matematická kartografie. Matematická kartografie je tedy částí kartografie a obecně geoinformatiky zabývající se matematickými a geometrickými základy kartografických děl v obecném slova smyslu. Matematická kartografie studuje proces transformace prostorových souřadnic objektů a jevů na referenčních plochách do roviny. Zkoumá jeho zákonitosti, zkreslení, která při transformacích vznikají, jejich prostorové závislosti a poskytuje i metodiku výběru vhodných transformací pro modelovaná území. Matematická kartografie se zabývá i speciálními úkoly, jako je rovinné zobrazování bodů, čar a ploch, které se uplatňují například při zobrazování stran trigonometrických sítí, drah letadel, raket a kosmických těles, drah šíření elektromagnetických signálů radiotechnických prostředků apod. Výsledkem matematické kartografie jsou kartografická zobrazení (krátce zobrazení) jako matematický aparát pro výše uvedené transformace. Součástí kartografických zobrazení jsou i charakteristiky zkreslení, které při transformaci prostorových souřadnic do roviny vznikají. Tyto studijní texty jsou určeny ke studiu základů matematické kartografie studované v rámci předmětu kartografie v bakalářském studijním programu vojenské technologie v oboru vojenská geografie a meteorologie. Mohou být však využity i pro jiné obory, které se zabývají teorií a praxí kartografických zobrazení. Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Texty jsou členěny do 14 kapitol včetně úvodní kapitoly. Ve první kapitole jsou souhrnně definovány používané referenční plochy a jsou zde definovány základní souřadnicové soustavy na těchto referenčních plochách a v zobrazovacích rovinách. Druhá kapitola je věnována základních vlastnostem jednotlivých zobrazení a klasifikaci těchto zobrazení. Tato kapitola je zde zařazena i z terminologických důvodů, protože v cizojazyčné literatuře se lze setkat i s jinými názvy uváděných zobrazení a projekcí. Stěžejní kapitolou pro pochopení celé matematické kartografie je třetí kapitola, věnovaná zákonům zkreslení. Jsou zde vysvětleny příčiny zkreslení daných transformacemi prostorových těles (elipsoidu, koule) do roviny. Na tuto kapitolu navazuje kapitola vysvětlující princip odvozování zobrazovacích rovnic jednotlivých druhů a typů zobrazení. V páté až deváté kapitole jsou uvedeny jednotlivé druhy zobrazení, které jsou používány především v praxi při tvorbě map menších měřítek, zpravidla nástěnných a atlasových, kdy se jako výchozí referenční plocha většinou používá koule. Desátá a jedenáctá kapitola jsou věnovány zobrazením používaným při tvorbě státního mapového díla v České republice, závazných geoinformačích systémů (GIS) a v geodetické praxi. Jsou uváděny jak celosvětový systém WGS84 a jeho zobrazení UTM, tak i systém S-JTSK a Křovákovo zobrazení. Tyto kapitoly navazují na předmět geodézie. Dvanáctá kapitola je věnována používaným zobrazením v Armádě České republiky a v NATO. Předposlední kapitola je zaměřena na transformaci zobrazení mezi sebou. Poslední kapitola se zabývá některými aplikace matematické kartografie v programových prostředcích geografických informačních systémech se zaměřením na systém ArcGIS® firmy ESRI. Ve studijních textech nejsou vzhledem k jejich zaměření uvedeny podrobnější informace týkající se zejména zobrazování křivek a čar v konformních zobrazeních s aplikací na Gaussovo zobarzení a zobrazení UTM. Stejně tak řada použitých vzorců není plně odvozena. K jejich bližšímu studiu je možné využít některé materiály uvedené v seznamu literatury. V textu jsou některé vybrané termíny uváděny i v anglické verzi (kurzívou v závorce za českým termínem). Důvodem bylo jak obecná znalost anglické terminologie z oblasti matematické kartografie, tak i jejich používání v programových nástrojích GIS. plk. doc. Ing. Václav Talhofer, CSc. 7 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 1. Referenční plochy a souřadnicové soustavy Fyzický povrch zemského tělesa je velice složitý a členitý a v modelech krajinné sféry je těžko zobrazitelný. Proto je pro vytváření těchto modelů nahrazován topografickou plochou, která je spojitou plochou vyhlazující mikrostrukturu a ty terénní tvary, které jsou z hlediska rozlišovací úrovně modelu bezvýznamné. Topografická plocha je však stále poměrně složitá pro přímé zobrazování do map nebo pro definování digitálních modelů. Pro účely mapování a tvorby modelů terénu se tato plocha nahrazuje referenčními plochami, které jsou jednodušší a jsou matematicky nebo fyzikálně přesně definované. Tyto referenční plochy jsou potom součástí definovaného geodetického referenčního systému (Datum, Geographic Coordinate System). 1.1 Referenční plochy Referenční plochou pro výšková měření je geoid. Geoid je definován jako plocha, na které všechny body mají stejný geopotenciál a která nejlépe odpovídá nerušené střední hladině světových moří, protažené i pod kontinenty. Tato plocha je ve všech bodech kolmá na směr tíže. Protože geoid je definován jako fyzikální těleso, jeho matematické vyjádření je značně složité. Pro potřeby praktické geodézie, mapování, kartografie i celé geoinformatiky je proto nahrazován referenčním elipsoidem (spheroid), referenční koulí (sphere) nebo i referenční rovinou. Vztahy mezi fyzickým povrchem Země, geoidem, resp. kvazigeoidem a elipsoidem jsou znázorněny na následujícím obrázku (Obr. 1-1). geoid, resp. kvazigeoid~~~—~^^ H/\ elipsoid^^ íX 'tížnice\ \ \\ fyzický povrch Země Obr. 1-1 Vztahy mezi fyzickým povrchem Země, geoidem, resp. kvazigeoidem a elipsoidem 1.1.1 Referenční elipsoid Výchozí referenční plochou v matematické kartografii je rotační elipsoid. Parametry rotačního elipsoidu jsou voleny tak, aby v maximální míře nahrazoval geoid v zájmové části Země nebo aby nahrazoval celý geoid. Elipsoid je plně definován dvěma parametry, kterými mohou být: • a, b - velikost hlavní a vedlejší poloosy (semimajor axis, semiminor axis), • a, e - velikost hlavní poloosy a numerická výstřednost (excentricita, eccentricity), • a, e' - velikost hlavní poloosy a druhá excentricita, • a, f - velikost hlavní poloosy a zploštění (flattening). Mezi jednotlivými parametry platí vztahy ( 1-1 ): 8 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 2 ; 2 2 _ a -b f = a-b a Referenční elipsoidy jsou jako výchozí referenční plocha používány zejména tehdy, pokud je nutné definovat zobrazení s minimálními hodnotami zkreslení rovinného obrazu. Tento způsob se volí u kartografických zobrazení používaných při definici státních souřadnicových systémů nebo mezinárodních systémů. Současně se používá i při tvorbě státních mapových děl. Do současné doby byla odvozena řada referenčních elipsoidů. Na území České republiky se používá pro civilní státní mapová díla Besselův elipsoid, pro bývalé vojenské topografické mapy v souřadnicovém systému S-1942/83 (používané do roku 2005) elipsoid Krasovského a pro současné vojenské mapové dílo a pro celosvětový systém WGS84 elipsoid WGS84.. Parametry uvedených elipsoidů jsou uvedeny v následující tabulce (Tabulka 1-1): Tabulka 1-1 Parametry referenčních elipsoidů používaných na území České republiky Elipsoid Besselův Krasovského WGS84 (GRS80) Velká poloosa a [m] 6 377 397,1550 6 378 245 6 378 137 Malá poloosa b [m] 6 356 078,9629 6 356 863,0188 6 356 752,3142 Druhá mocnina excentricity -e2 0,006 674 372 2 0,006 693 421 6 0,006 694 380 Druhá mocnina druhé excentricity - e'2 0,006 719 218 8 0,006 738 525 4 0,006 739 496 7 Reciproká hodnota zploštění M f 299,152 812 853 298,300 003 2 298,257 223 6 Poznámka: Elipsoid GRS80 je součástí geodetického referenčního systému ETRS-89, který se též používá v rezortu Českého úřadu zeměměřického a katastrálního. Jeho parametry jsou v rámci v tabulce uváděné přesnosti prakticky shodné s elipsoidem WGS84. 1.1.2 Referenční koule Není-li vyžadována vysoká přesnost prostorové lokalizace modelovaných objektů a jevů, je často používána jako referenční plocha koule. Uplatňuje se zejména při tvorbě map malých měřítek, při vizualizaci digitálních dat s menšími nároky na minimalizaci zkreslení a při řešení jednodušších navigačních úloh. Zvláštním případem je použití referenční koule při tzv. dvojitém zobrazení, kdy je referenční elipsoid nejprve zobrazen na kouli, která se poté zobrazuje do roviny. Tento postup je používán zejména při obecné poloze konstrukční osy zobrazení. Poloměr referenční koule je možné volit na základě různých hledisek. Je-li zobrazované území rozloženo podél rovnoběžky o zeměpisné šířce (fa, je vhodné zvolit poloměr koule rovný příčnému poloměru křivosti elipsoidu (1-2 ): R = N0 (1-2) Při tomto řešení zůstává zachována původní délka rovnoběžky $3 na elipsoidu (Obr. 1-2). 9 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Pro území kruhového tvaru se volí poloměr koule rovný střednímu poloměru křivosti rovnoběžky $3 procházející jeho těžištěm ( 1-3 ): R=ylMQNQ (1"3) Obě tělesa se poté v okolí těžiště velmi těsně ve všech směrech přimykají (Obr. 1-3). F Ps Po — Po / \ R=No \\ \ \ \ \ \ \ ,'f 9" \ rovník \\ \ \ ] \ / \ R=MoNo \ \ \ \ ' \ 1 \ \ 1 \ N 1 \ 1 \ 1 \ / l I \ / 1 / , často jsou tyto hodnoty označovány i jako jižní zeměpisná šířka (pro hodnoty <-90°, 0°>) a severní zeměpisná šířka (pro hodnoty <0°, 90°>). Zeměpisná délka používaná v běžném životě nabývá hodnot <0°, 360°> s počátkem na základním poledníku s přírůstkem ve směru východním. Cáry s konstantní hodnotou A, resp.

podle vztahů ( 1-6 ) a ( 1-7 ): Obr. 1-4 Zeměpisné souřadnice na elipsoidu (l-4)a(l-5 ): dsp =Md(p dsr = N cos (f>dA (1-4) (1-5 ) a(l -e2) (1-6) M = (1-e2 sin2 (p) 3/2 a (1-7) N = (1-e2 sin2 (p) 1/2 11 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Ps / Ncosp ^\ Pí /\. Mdp / m/^AP / VN 1 9/\ l rovník Obr. 1-5 Elementy poledníku na elpsoidu Obr. 1-6 Elementy rovnoběžky na elpsoidu 1.2.1.a Výpočet délky poledníkového a rovnoběžkového oblouku V některých aplikacích matematické kartografie je nutné znát délku poledníkového oblouku (například v Gaussovo zobrazení), případně i délku oblouku rovnoběžky. Podle obrázku (Obr. 1-5) a s uvážením rovnice ( 1-4 ) lze délku poledníkového oblouku sp do bodu P o zeměpisné šířce vypočítat z rovnice: ■ JMdtp kterou lze upravit: sp = a(1 - e2)J(l -e2sin2 cos6^ + £,cos8^-... (1-9) kde , , 3 2 45 4 175 6 11025 g A-í + — e+ — e +-e +-e +... 4 64 256 16384 D 3 2 15 4 525 6 2205 g B- — e+ — e +-e +-e +... 4 16 512 2048 _ 15 4 105 6 2205 g (1"10) C = — e +-e +-e +... 64 256 4096 12 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 512 2048 315 16384 ■e +... Koeficienty A, B, C, D a E jsou funkcemi pouze excentricity e a jsou tedy pro konkrétní elipsoid konstantní. Pokud se dosadí výraz ( 1-9 ) do rovnice ( 1-8 ), bude sp - a(l - e2) j" (A - B cos 2

=--ún(V-Vk) cos S ( 1-25 ) 17 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Ps Pj Obr. 1-10 Vztahy mezi zeměpisnými a kartografickými souřadnicemi na referenční kouli Rovněž stejně jako u zeměpisné šířky na kouli i kartografickou šířku Š je možné nahradit v oblastech kolem kartografického pólu zenitovým úhlem Z = 90°- Š. 1.2.2.a Určení polohy kartografického pólu Polohu kartografického pólu je možné určit nejméně ze dvou bodů ležících na budoucím kartografickém rovníku (ortodromě procházející zpravidla osou zobrazovaného území) nebo nejméně ze tří bodů, pokud osa zobrazovaného území leží na budoucí kartografické rovnoběžce .Těmito body lze proložit rovinu, která protne povrch referenční koule v kružnici. V případě, že body leží na ortodromě, rovina prochází středem referenční koule. Pokud se vztyčí kolmice k dané rovině ve středu kružnice, tato kolmice protne povrch referenční koule v kartografickém pólu (viz. Obr. 1-11 a Obr. 1-12)._ p, p, — Ä kartografický pól kartografický pól \***+^s* zemský rovník V,__°% \ zemský rovník P Pi Obr. 1-11 Poloha kartografického pólu vůči ortodromě Obr. 1-12 Poloha kartografického pólu vůči kartografické rovnoběžce Polohu kartografického pólu je možné vypočítat s využitím řešení sférických trojúhelníků. Dále jsou uvedeny postupy výpočtu polohy kartografického pólu v obou uvedených případech. Výpočet polohy kartografického pólu ze dvou bodů 18 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Mějme dva body na ortodromě, jejichž zeměpisné souřadnice budou P\ (U\, V\) a P2 (U2, V2). Poloha kartografického pólu se potom vypočítá pomocí sinuscosinové věty ze dvou sférických trojúhelníků Pu K, Ps a P2, K, Ps (Obr. 1-13): cos 90° = sin Ul sin U k + cos Ul cos U k cos(V*j — VK) cos 90° = sin U2 sin Uk + cos U2 cos Uk cos(y2 - VK) Řešení těchto rovnic se obdrží rovnice pro výpočet polohy kartografického pólu: Obr. 1-13 Určení polohy kartografického pólu ze dvou bodů na kartografickém rovníku Výpočet polohy kartografického pólu ze tří bodů Mějme tři body na kartografické rovnoběžce, jejichž souřadnice budou P\ (U\, Vi), P2 (U2, V2) a P3 (t/3, V3). Poloha kartografického pólu se potom vypočítá pomocí sinuscosinové věty ze tří sférických trojúhelníků Pu K, Ps, P2, K, Ps a P3, K, Ps (Obr. 1-14): 19 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie kartografická rovnoběžka kartografický rovník Si = Š2 = S3 zemský rovník tgVk tguk Obr. 1-14 Určení polohy kartografického pólu ze tří bodů na kartografické rovnoběžce (cosř/j cosVj - cosř/3 cosVjXsinř/! - sinU2)- (cosUl cosVl - cosř/2 cosV^Xsinř/j -sinř/3) (cosř/j sinVj - cosř/2 sinV^Xsinř/j - sinř/3)-(cosř/j cosVj - cosř/3 cosVjXsinř/j -sinř/2) cosř/2cos(v(; -V2)-cosUlcos(yrk -Vi) cosř/jCos^ -Vr3)-cosř/1cos(v(; -Vj ( 1-27 ) sin U, - sin ř/9 siní/, - siní/, 1.2.3 Souřadnicové soustavy v zobrazovací rovině V zobrazovací rovině se převážně používá pravoúhlá souřadnicová soustava (Cartesian coordinate systém) definovaná počátkem O a osami X a Y. V této soustavě mohou být řešené i všechny úlohy praktické geodézie a kartografie za použití vzorců analytické geometrie v rovině. Z charakteru některých zobrazení ale plyne, že při transformaci referenční plochy do roviny je výhodnější nejprve použít polárních souřadnic (polar coordinates) v rovině. Počátek polární soustavy se volí vždy na ose X soustavy pravoúhlé. V praxi se používají dvě základní řešení -s různými a totožnými počátky obou soustav (Obr. 1-15, Obr. 1-16). V prvním případě budou pro transformaci polárních souřadnic do rovinných pravoúhlých platit vztahy ( 1-28 ): kde: x - xv -pcose y - p sin £ p je průvodič zobrazovaného bodu P' od počátku V, 8 je polární úhel měřený od záporného směru osy X. ( 1-28 ) Hodnoty £ bývají uvažovány v rozsahu <0°; 360°>, někdy i v rozsahu <-180°; 180°>, tedy obdobně jako u zeměpisných délek. Poloha počátku y může být pevná nebo se může měnit v závislost na hodnotě zeměpisné šířky. 20 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Pokud se v některých zobrazeních ztotožňují počátky obou soustav (Obr. 1-16), potom je výhodnější měřit polární úhel e od kladného směru osy X. Pro transformaci mezi soustavami poté platí vtahy ( 1-29 ) ľ (1-29) y - p sin e L X i x v E \p Yp p' X. \p y Yp 1 1 Xp 1 Y 1 Xp Y c 0 Obr. 1-15 Polární souřadnicová soustava s různým Obr. 1-16 Polární souřadnicová soustava s totožným počátkem než pravoúhlá soustava počátkem jako pravoúhlá soustava Počátek rovinných souřadnicových soustav se zpravidla volí uprostřed zobrazovaného území. Z hlediska konstrukce map, jejich používání nebo používání prostorových geoinformací je však výhodné, aby celé území leželo pouze v 1. kvadrantu. Proto se často k vypočteným souřadnicím přičítají vhodné konstanty Ax (falše northing) a Ay (falše easting) (Obr. 1-17). (x) 1 i 5 i w y i \ o ax 7 1 (y) (0) - -^ ay Obr. 1-17 Posun počátku pravoúhlé souřadnicové soustavy mimo zobrazované území Poznámka: Orientace os X, Y nemusí být vždy stejná jako na předchozích obrázcích. Některé systémy, používané zejména pro státní mapy, mohou mít orientaci otočenou například o 180° (v ČR). 2. Dělení a klasifikace zobrazení Kartografické zobrazení (map projection, projection) je dáno matematickým vyjádřením závislostí mezi zeměpisnými souřadnicemi na referenční ploše a souřadnicemi v zobrazovací rovině. Při definici uvedené závislosti je možné využít několika způsobů. 21 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 2.1 Základní transformace mezi referenčními plochami a ro vinnými souřadnicovými systémy Obr. 2-1 ukazuje možné způsoby transformace zeměpisných souřadnic na referenčních plochách do rovinných souřadnic. Výchozími souřadnicemi jsou zpravidla zeměpisné souřadnice na referenčním elipsoidu co, A, v některých případech, zejména u maloměřítkových map, i zeměpisné souřadnice na referenční kouli U, V. Konečné souřadnice jsou vždy rovinné pravoúhlé souřadnice x, y. REFERENČNÍ PLOCHA ZOBRAZOVACÍ ROVINA ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ PLOŠE ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI KARTOGRAFICKÉ SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI A e —f— —•— POLÁRNI SOUŘADNICE PRAVOÚHLE SOUŘADNICE Obr. 2-1 Způsoby transformace souřadnic mezi referenčními plochami a zobrazovací rovinou V praxi se lze setkat se všemi kombinacemi transformace. Například zobrazení vojenských topografických map je přímou transformací mezi zeměpisnými souřadnicemi co, A na rovinnými pravoúhlými souřadnicemi x, y (resp. N, E). Zobrazení základních map České republiky je naopak postupnou transformací od zeměpisných souřadnic na referenčním elipsoidu, přes zeměpisné souřadnice na referenční kouli, kartografické souřadnice, polární souřadnice k výsledným rovinným pravoúhlým souřadnicím. Výchozí referenční plochou při kartografickém zobrazování je referenční elipsoid nebo referenční koule. Referenční elipsoid je zpravidla používán tehdy, pokud je požadavek na minimalizaci zkreslení rovinného obrazu. Využívá se zejména při zobrazení státních mapových děl, vizualizaci objektů a jevů databází státních informačních systémů apod. Referenční koule se využívá jako výchozí plocha zejména při tvorbě map menších měřítek (v atlasech, nástěnných map apod.) či při vizualizaci digitálních dat s menší rozlišovací úrovní. Referenční koule se používá též při řešení jednodušších navigačních úloh. Je ji však možné využívat při zobrazení státních mapových děl s vysokými požadavky na minimalizaci zkreslení rovinného obrazu, potom ovšem ve variantě dvojitého zobrazení (například u Křovákova zobrazení, které je popsáno v kapitole 11). Kartografické zobrazení může být definováno geometrickou nebo matematickou cestou. Zobrazení definovaná geometrickou cestou se odvozují z matematického popisu perspektivní projekce referenčních těles (v podstatě však výhradně koule) na plochy rozvinutelné do roviny. Tato zobrazení jsou označována jako projekce a jsou v současné době používány poměrně zřídka. V podstatě všechna dnes používaná zobrazení jsou definována matematickou cestou. 22 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Poznámka: V anglické terminologii jsou však pod pojmem projekce (projection) uvažovány jak projekce ve významu uvedeném v předchozím textu, tak i všechna ostatní zobrazení. Zobrazení se třídí podle různých hledisek, z nichž nejvýznamnější jsou vlastnosti zkreslení obrazu a tvar zeměpisné sítě v rovině. Dalšími hledisky je i tvar zobrazovacích rovnic, poloha konstrukční osy, počet na sebe navazujících částí, na které je povrch zobrazován apod. 2.2 Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení Významnou třídou jsou zobrazení jednoduchá. Jejich charakter je možné přibližně vyjádřit pomocí geometrické představy promítání referenční plochy na plochy rozvinutelné do roviny, což se používá při rámcovém popisu zobrazení. Poznámka: Projekce i jednoduchá zobrazení mají totožné obecné tvary zobrazovacích rovnic, proto jsou projekce často zahrnovány do třídy jednoduchých zobrazení. Pod pojmem plochy rozvinutelné do roviny se rozumí plášť válce, kužele nebo rovina sama. Jednoduchá zobrazení se podle druhu zobrazovací roviny dělí na válcová (cylindrical), kuželová (conic) a azimutální (planar, azimuthal). Charakter zobrazení je výrazně ovlivněn vzájemnou polohou referenční plochou a konstrukční osou zobrazovací plochy. Konstrukční osa je u válcových zobrazení osou válce, u kuželových zobrazení osou kužele a u azimutálních zobrazení normálou k tečné rovině v tečném bodě (nebo ve středu zobrazovaného území). Je-li konstrukční osa totožná s osou rotace Země, je zobrazení označováno jako pólové (normální, polar), leží-li konstrukční osa v rovině rovníku, potom je zobrazení nazýváno příčné (rovníkové, transverzální, transversal), při obecné poloze konstrukční osy se zobrazení nazývá obecné (šikmé, oblique). Obrazem zeměpisné sítě jednoduchých válcových zobrazení v pólové poloze soustava vzájemně ortogonálních přímek (Obr. 2-2). Souřadnice bodů na referenční ploše se přímo transformují na rovinné pravoúhlé souřadnice. Obecné rovnice pro toto zobrazení lze vyjádřit pro referenční elipsoid vztahy (2-1 ), pro referenční kouli potom vztahy ( 2-2 ): x = f( A h #A h Dosadí-li se hodnoty Aa, A & do rovnice ( 3-14 ), získají se dvě rovnice pro extrémní délková zkreslení ma a m^, která jsou ve vzájemně kolmých směrech: m2 = m2 cos2 A +-sin2A +m2sin2A (3-25) a p a a jr-KT ar a MN cos

'=A 2 - A \), jak je ukázáno na obrázcích (Obr. 3-5 a Obr. 3-6)._ X q1 X' /q'i \_a2 \a'2/ p \ \ to ' q2 \ co' _ q'2 p'\ Obr. 3-5 Úhel jako rozdíl dvou azimutu na referenční Obr. 3-6 Úhel jako rozdíl dvou azimutu v zobrazovací ploše rovině Zkreslení úhlu je potom možné vyjádřit jako: Aco = {A\-A\) - (A2 - \) = {A\ -A2) - {A\ -\) = AA2 - AAl kde AA je zkreslení azimutu vyjádřené obecným vzorcem: AA = A-A ( 3-32) Zkreslení azimutu je možné odvodit z obrázku (Obr. 3-7) zobrazující rovinný obraz zeměpisného poledník A a libovolného směru s, jehož azimut v zobrazovací rovině je A' a na němž diferenciálně blízku od výchozího bodu P 'leží bod Q'. Podle obrázku platí: 32 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie A'=m°-(ď-ď) p Lze psát: tgA'=-tg(ďp-ď) Podle vzorce pro tangentu rozdílu dvou úhlů lze předchozí vzorec upravit: tgA = - t*ďp-**ď = ( 3.33 } \ + tgďptgď \ + tgďptgď Pro určení azimutu A 'je tedy nutné stanovit tangenty směrníků směru s a poledníku A. Podle obrázku (Obr. 3-7) lze směrník cr'vyjádrit jako , dy dx kde dx a dy je možné vyjádřit vztahy ( 3-3 ) a ( 3-4 ). Potom bude: — d

dA Dosadí-li se za diferenciály zeměpisných souřadnic tvary ( 3-12 ), rovnice ( 3-34 ) bude mít tvar: dy cos A , dy sin A , dy Ar dy . —--ds + —--ds -^-A^cos^cosA +—MsinA dq> M dANcosp _dq> dA (3-35) dx cos A , dx únA r dx ,r 3x „ . 4 --as H---ds —VVcos^cos AH--M sin A 3^7 M 3/lA^cos^ dq> dA Uváží-li se, že azimut poledníku Ap je 0°, potom směrník obrazu poledníku v zobrazovací rovině bude podle rovnice ( 3-35 ) roven: 33 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 3y , d(D d(p Dosazením výrazů ( 3-35 ) a ( 3-36 ) do vzorce ( 3-34 ) se po úpravách obdrží: dx dy dx dy d(pdA dAd(p (3-36) tgA'= (3-37) ŕ dxY ( dy^ — + — d(p \d(p M dx dx dy dy —cosr =Q)e'-Q)e =±2AjU£ Talhofer, V.: Základy matematické kartografie (3-52) Obr. 3-8 Směry extrémů úhlového zkreslení Při vyhodnocování extrémního úhlového zkreslení jeho znaménko nemá praktický význam a proto se většinou uvádí v absolutní hodnotě. Dosadí-li se výraz ( 3-52 ) do výrazu ( 3-50 ), získá se po úpravě nejvíce používaný vztah pro výpočet extrémního zkreslení: sin Aco£ _mb-ma 2 mb+ma (3-53 ) Poznámka: Pň rozborech kartografických zobrazení se úhlové zkreslení vyhodnocuje pouze výjimečně a často se uvažují pouze jeho extrémní hodnoty. Proto se zpravidla vynechává znak extrému s a symbolem A Xv —> 9 • y -> P -> (P -> p —> (P -> Á -> Á -> £ —> -> £ —> ->

Á Schéma je možné využít jako pomůcku pro parciální derivace rovnic ( 3-58 ): dx dx dx„ dx dp dx d£ ■ +--—+ - d

dq> dq> dq> dx d P d£ (3-61 ) — = -cos f —— + psm£— dX dX dX dy . dp d£ —^ - sin f —— + pcos£— dq> dq> dq> dy . dp d£ -= sinf-í-H- pcos£- dX dX dX Výrazy ( 3-70 ) se dosadí do obecných vztahů pro výpočet Gaussových symbolů (viz. ( 3-7 ), ( 3-8 ), ( 3-9 ) a ( 3-43 )) a získají se rovnice pro vyjádření těchto symbolů v polárních souřadnicích: + d(p j d£ dp psm£--cosf—— _ v dq> dq>) dq> 2d*v , (tyy d(p_ (3-62) 39 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie ^ ( . de dp) dxv dp dp 2 de de F - psme--cose— —- + —— + p-- ^ dA dA)d(p d(pdA d(pdA „ . . dp de)dxv (dpde dpde^ H= sinf— + pcose— —- + —------ dA dA) dq> \dA dq> dq>dA P (3-63 ) (3-64) (3-65 ) Parciální derivace zobrazovacích rovnice vyjádřených v polárních souřadnicích: dxv dp dp de de d(p ' d(p' dA' d(p' dA se odvodí z konkrétních zobrazovacích rovnic použitého zobrazení. Pokud jsou známy Gaussovy symboly, je možné vypočítat všechna zkreslení podle příslušných vztahů uvedených v předcházejících kapitolách. Pro zobrazovací rovnice z referenční koule vztahy pro výpočet Gaussových symbolů budou mít tvar: e = du + \ psme de cos^V^ + f^lVf—Í du duj du {duj H {duj ^ ( . de dp)dxv dp dp 2 de de F -\ psme--cosf—— —-+———+ p-- { dV dVJdU dU dV dU dV rT ( . dp de)dxv (dp de dp de) H -\ sinf-^ + yCcosf- —-+ —-------\p { dv F dvjdu {dvdu dudvjy (3-66) (3-67) (3-68 ) (3-69) 3.5 Vizualizace průběhu zkreslení Představu o rozložení a charakteru průběhu zkreslení je možné vyjádřit pomocí čar stejných hodnot zkreslení, tzv. ekvideformát. Ekvideformáty mohou být konstruovány pro průběh všech druhů zkreslení. Vzhledem ke skutečnosti, že plošné a úhlové zkreslení je možné vyjádřit i pomocí délkového zkreslení, jsou nejčastěji zobrazovány ekvideformáty délkových zkreslení (nazývané též jako izometrické čáry). Délkové zkreslení je, jak bylo uvedeno v předcházejícím textu, závislé nejen na poloze bodu, ale i na směru délkového elementu. Proto se zpravidla pro délkové ekvideformáty volí směry poledníků nebo rovnoběžek (zeměpisných či kartografických). Ekvideformáty jsou popisovány příslušnými hodnotami zkreslení. Často je však volen popis poměrovými formami. Například délkové zkreslení je vyjádřeno ve formě: Vm=m-1 (3"7°) což po dosazení za m lze také psát ve tvaru: 40 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie dS -ds Hodnota ds se často volí 1 km, což je dostatečně malá hodnota vzhledem k rozměrům Země, a rozdíl dS - ds se uvádí v metrech s příslušným znaménkem. Například pro hodnotu m = 0,9996 bude: 0,9996-1 v-- m ^ čili vm = 0,4 mim"1. Poměrová forma plošného zkreslení bude mít procentuální vyjádření ve tvaru: Za předpokladu, že pro zobrazení ekvideformát je volen konstantní interval přírůstku zkreslení, změna zkreslení je ilustrována změnou jejich hustoty (stejně jako u jiných izočar, například vrstevnic, izobar apod.). Zkreslení se nejvíce mění v kolmém směru na směr ekvideformát. Ekvideformáty lze konstruovat různými způsoby s využitím zobrazovacích rovnic daného zobrazení a rovnic jeho zkreslení. U jednoduchých zobrazení jsou ekvideformáty totožné s obrazem rovnoběžek (zeměpisných nebo kartografických - pro rovníkovou nebo šikmou polohu). Jednoduchá válcová zobrazení budou mít tedy ekvideformáty ve tvaru rovnoběžek s obrazem rovníku, kuželová a azimutální zobrazení potom soustředné kružnice se středem v počátku polární souřadnicové soustavy v rovině. Ve všech případech sestrojení ekvideformát je tudíž poměrně snadné. U nepravých a obecných zobrazení je tvar ekvideformát zpravidla složitější. V některých případech ekvideformáty mohou tvořit v zobrazované oblasti i uzavřené křivky. Postup jejich konstrukce je proto někdy obtížnější. V zásadě lze využít následující dvě cesty: • nejprve se určí hodnoty zkreslení, které se bude zobrazovat. Z rovnic zkreslení se potom vypočítají příslušné hodnoty zeměpisných souřadnic a z nich se vypočítají rovinné souřadnice bodů o požadovaném zkreslení. Z těchto bodů se potom interpolují jednotlivé ekvideformáty. Variantou je využití grafu příslušného zkreslení, ze kterého se souřadnice požadovaných bodů odečtou; • na více, zpravidla pravidelně rozmístěných bodech, se vypočítají hodnoty příslušného zkreslení a z nich se v rovině vyinterpolují příslušné ekvideformáty. Tuto variantu lze řešit i s využitím výpočetních prostředků a programového vybavení pro práci s počítačovou grafickou nebo přímo s geoinformačním systémem. Body s vypočteným zkreslením mohou definovat hladkou plochu, na které je možné pomocí interpolačních funkcí interpolovat izolinie s daným krokem. Ukázka tohoto postupu je na následujícím obrázku (Obr. 3-11). 41 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 3-11 Ukázka použití interpolačního programu pro konstrukci ekvideformát délkového zkreslení v polednících (použito Albersovo ekvivalentní kuželové zobrazení, převzato z [24]) Obr. 3-12 Vizualizace průběhu délkového zkreslení v polednících - povrch byl interpolovaný metodou kriging (použito Mollweidovo zobrazení, převzato z [24]) K vizualizaci délkového zkreslení je též možno využít elipsy zkreslení zobrazené například v uzlových bodech zeměpisné sítě. Výhodou tohoto postupu je zobrazení nejen velikosti délkového zkreslení, ale i orientace hlavních paprsků zkreslení vůči obrazu poledníků a rovnoběžek. Příklad uvedeného postupuje uveden na následujícím obrázku (viz. Obr. 3-13): Obr. 3-13 Ukázka vizualizace délkového zkreslení Mollweidova zobrazení (převzato z [10]) Pozn.: Místo ekvideformát je možné použít pro vizualizaci průběhu zkreslení přímo odvozenou hladkou plochu (Obr. 3-12) 42 4. Teorie zobrazení Ze závěrů obecné teorie zkreslení je možné matematicky definovat jednotlivé druhy zobrazení - ekvidistantní, ekvivalentní a konformní. V této kapitole budou postupně podány základní východiska pro definici těchto zobrazení. Opět se bude vycházet z pólové polohy obecných zobrazení z elipsoidu do zobrazovací roviny. Vztahy platné pro zobrazení koule budou uvedeny na konci jednotlivých částí. Větší pozornost bude věnována konformním zobrazením vzhledem k jejich významu při tvorbě státních mapových děl a při jejich využívání ve spojení vizualizovaných digitálních geografických dat s navigačními systémy, zejména družicovými. 4.1 Ekvidistantní zobrazení Jak bylo již dříve konstatováno, ekvidistantní zobrazení délkově nezkresluje některou soustavu čar. Tuto podmínku je možné definovat matematicky. Nejčastějším požadavkem je, aby se délkově nezkreslovaly buďto poledníky nebo rovnoběžky. Pokud je požadavek na nezkreslování jiné soustavy čar, je zpravidla možné použít rovníkovou nebo šikmou polohu zobrazení definovanou tak, aby požadovaná soustava byla kartografickými poledníky nebo rovnoběžkami. Proto další text bude omezen pouze na pólovou polohu zobrazení. V případě rovníkové a šikmé polohy je možné použít stejné, dále odvozené vztahy, v nichž se pouze nahradí zeměpisné souřadnice souřadnicemi kartografickými. Základní vztah pro definici ekvidistantního zobrazení vychází z obecné definice délkového zkreslení daného vztahem: dS m — — ds potom musí pro ekvidistantní zobrazení v polednících platit: mp=l (4-D Pokud se za délkový element zeměpisného poledníku použijí vztahy definované na referenčním elipsoidu nebo referenční kouli, lze pro referenční elipsoid předcházející vztah vyjádřit rovnicí: dS" -1 (4-2) Md(p a pro referenční kouli: dS _p_ = 1 (4-3 ) RdU Obdobně lze definovat obecné vztahy pro ekvidistantní zobrazení v rovnoběžkách z podmínky: mr-l Pro referenční elipsoid lze potom psát: Talhofer, V.: Základy matematické kartografie dSr Ncos (pdX a pro referenční kouli: dSr RcosUdV (4-4) = 1 (4-5) Vzorce ( 4-2 ) až ( 4-5 ) lze s výhodou použít při odvozování zobrazovacích rovnic ekvidistantního zobrazení nebo při jeho rozpoznávání v případě, že je možné jednoduše vyjádřit v rovině v pravoúhlých nebo polárních souřadnicích délkové elementy poledníku, resp. rovnoběžky. Tohoto postupu se využívá zejména u jednoduchých zobrazení, částečně i u zobrazení nepravých. Ekvidistantní zobrazení lze definovat i s využitím vztahů využívající Gaussovy koeficienty. Pomocí nich lze podmínku ( 4-1 ) psát v případě ekvidistantního zobrazení v polednících pro referenční elipsoid: ^ = 1^>£ = M2 <4"6) M Pro referenční kouli vztah ( 4-6 ) platí obdobně: 4ě_ R = l^>£ = tf 2 (4-7) Ekvidistantní zobrazení v rovnoběžkách pro referenční elipsoid bude mít následující obecnou podmínku: ^L = l^>G = iV2cos> (4-8) Ncos

G = 7Tcosz£/ (4-9) Hodnoty Gaussových koeficientů E, G budou mít tvary dané parametry konkrétní referenční plochy a konkrétními zobrazovacími rovnicemi použitého zobrazení. 4.2 Ekvivalentní zobrazení Základní vlastností ekvivalentního zobrazení je, že se při jeho použití nezkreslují plochy zobrazovaných objektů a jevů, případně jsou tyto plochy konstantně zkreslené v celém zobrazovaném území. Tato varianta je však pouze modifikací (měřítkovou změnou) základního ekvivalentního zobrazení a proto ji není nutno uvažovat jako zvláštní případ. Podmínku zachování velikosti ploch je možné vyjádřit z obecné rovnice plošného zkreslení (viz (3-55 )): kterou lze psát ve tvaru: !»„=! (4-10) mpmrúnA\-\ (4-11) 44 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Vzorec ( 4-11 ) se výhodně používá i pro rozpoznávání ekvivalentních zobrazení, a to zejména pro jednoduchá. U těchto zobrazení platí A'r = 90°; výše uvedený vzorec potom nabývá tvaru: mpmr — 1 (4-12) Jiné vyjádření podmínky ekvivalentního zobrazení vychází ze vztahů pro plošné zkreslení využívající Gaussovy koeficienty. Pro ekvivalentní zobrazení z referenčního elipsoidu lze psát: H 1=> H =MNcos^ (4-13) MN cos

H = tf2cos£/ R2cosU Hodnota koeficientu //je vyjádřena podle druhu referenční plochy a typu zobrazení. Uvedená podmínka se využívá zejména u nepravých nebo obecných zobrazení. 4.3 Konformní zobrazení Vlastností konformního zobrazení je, že nezkresluje úhly. Tuto vlastnost je možné vyjádřit vztahem: Affl = 0 (4-15) Úhlové zkreslení je obecně dáno vzorcem (( 3-53 ), viz. odstavec 3.2 ): . Acú£ mb-ma ,,,,, sin-- = —--- (4-16) 2 mb+ma Vzhledem ke vzorci ( 3-53 ) bude podmínka ( 4-15 ) splněna pouze za předpokladu, že: ma = mb (4"17 ) Hodnoty ma a mi, jsou extremními hodnotami délkového zkreslení. Pokud se mají tyto dvě hodnoty rovnat, potom je délkové zkreslení konstantní a nezávislé na směru azimutu délkového elementu. Elipsa zkreslení se tudíž zobrazuje jako kružnice. Z obecné rovnice délkového zkreslení dané vztahem ( 3-23 ) (viz odstavec 3.1 ): O 0 0 o o m =m„cos A-\--sin2A + m sin A p MN cos, (p je zřejmé, že konstantní délkové zkreslení bude pouze v případě platnosti podmínek: 1. mp = mr 2. F = 0 První podmínku lze vyjádřit i pomocí Gaussových symbolů. Pro referenční elipsoid lze psát: 45 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 4Ě = Vg _e= m2 (4.18) M Ncosp G N2 cos2 (p Pro referenční kouli lze psát obdobně: yf~ě _ Vg _^e _ 1 (4-19) R RcosU G cos2 U Hodnoty Gaussových koeficientů budou vyjádřeny opět podle druhu a charakteru daného zobrazení. Konformní zobrazení lze definovat i pomocí izometrických souřadnic. V kapitole Referenční plochy a souřadnicové soustavy byly odvozeny vztahy pro výpočet izometrické šířky na referenčním elipsoidu a na referenční kouli. Vyjde-li se z obecné rovnice délkového zkreslení ve tvaru: 2 dS2 m — ■ dsl a dosadí-li se za diferenciály délek jejich tvary vyjádřené v diferenciálech izometrických souřadnic (viz kapitola 1), lze psát: dx2+dy2 (4"2°) m - N2 cos2 (p{dq2 + d A2) V konformním zobrazení nesmí být zkreslení délkového elementu závislé na jeho azimutu. Bude uváženo, kdy bude rovnice ( 4-20 ) vyhovovat této podmínce. Azimut délkového elementu na referenční ploše lze vyjádřit: N cos 1, bude se síť poledníků na kouli překrývat. Obecné vztahy pro zkreslení délek ve směrech poledníků a rovnoběžek jsou dány poměry elementů délek na referenční kouli a příslušných délek na referenční ploše. V shodě se vztahy (3-1 ) z kapitoly 3 bude: RdU m, p Mdcp RcosUdV RcosU (5-4) N cos mr-m sin-=-— (5-9 ) 2 mr+mp Poznámka: Uvedené rovnice ( 5-7 ),( 5-8 ) a ( 5-9 ) platí pro všechna jednoduchá zobrazení, která budou popsána v následujících kapitolách. 5.2 Zobrazení se zacho vánými zeměpisnými souřadnicemi V praxi se poměrně často požívá zobrazení referenčního elipsoidu na kouli se zachovanými zeměpisnými souřadnicemi. Je to v podstatě stejné, jako když se pro zobrazení do roviny volí přímo referenční koule jako výchozí referenční plocha geodetického referenčního systému. Základní zobrazovací rovnice jsou ve tvaru: U =

m„ —m. sin- p m+m (6-6) (6-7) p Rovnice zkreslení jsou funkcemi pouze zeměpisné šířky, resp. souřadnice x. Proto všechny ekvideformáty budou přímky rovnoběžné s osou Y. Zkreslení se bude měnit stejnoměrně na obě strany od rovníku. 52 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Z rovnic zkreslení je též patrné, že charakter válcového zobrazení na hodnotě konstanty n a tvaru funkce x=f(U). Velikost konstanty n má vliv na rozestup obrazů poledníků a zpravidla se určuje z podmínky, která rovnoběžka se nemá zkreslovat. Za předpokladu, že se nemá zkreslovat rovnoběžka Uq (zpravidla střední rovnoběžka zobrazovaného území), potom lze rovnici ( 6-5 ) psát: mr--= 1 0 RcosUQ a tedy lze odvodit: n = RcosUQ (6"8) Pokud se požaduje nezkreslený rovník, potom hodnota Uq bude rovna nule a hodnota konstanty n bude vzhledem k rovnici ( 6-8 ): n = R (6-9) Tvar funkce x=f(U) se odvodí podle požadavků na zkreslení rovinného obrazu. 6.2 Ekvidistantní válcové zobrazení Vzhledem ke tvaru obecných rovnic zkreslení může být jednoduché válcové zobrazení ekvidistantní pouze v polednících. Poledníky budou nezkreslené, pokud bude platit: dx . mn =-= 1 p RdU odtud lze psát: dx — RdU Pokud osa Y bude totožná s obrazem rovníku, potom je možné předchozí výraz bude integrován v mezích: x U $dx = R$dU o o z něhož se získá první zobrazovací rovnice ve tvaru: x = RU (6-10) Druhá zobrazovací rovnice se pouze připojí ve tvaru ( 6-2 ), tedy: y - nV Zákony zkreslení budou mít tvar: mP =1 n (6-11) mr = mpl = - sin- RcosU Áa> n-RcosU n + RcosU V ve druhé zobrazovací rovnici i v rovnicích zkreslení bude konstanta n dosazena podle doplňujících podmínek ze vztahu ( 6-8 ) nebo ( 6-9 ). 53 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Síť rovnoběžek a poledníků je v tomto zobrazení čtvercová (pro n = R ) nebo obdélníková (pro n = RcosUq). Zobrazení se čtvercovou sítí se v literatuře nazývá zpravidla jako zobrazení Marinovo. Jeho ukázka pro území Afriky je na následujícím obrázku (Obr. 6-2), doplněném grafem zkreslení v rovnoběžkách. Obrázek (Obr. 6-3) je příkladem zobrazení stejného území se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami Uq = + 20°. Ekvidistantní válcové zobrazení se v současné době používá velice zřídka. Bývá v něm například zpracováván klad mapových listů topografických map. 30= 20° 10= 3 ■ 2- 1 í v & é 20" S 5 i T j .-5 1 d f 10= 20° 30= 40° 50° 60° 70° Mariniho ekvidistantní válcové zobrazení Obr. 6-2 Ukázka Marinova zobrazení pro území Afriky doplněné grafem délkového zkreslení ^ % v K - i i= f á 1 U 30° 20° 1Ů° 20" d0= 00° 60° 70° Ekvidistantní válcové zobrazení U0=20° Obr. 6-3 Ukázka ekvidistantního válcového zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami U0= ±20° pro území Afriky doplněné grafem délkového zkreslení 54 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 6.3 Ekvivalentní válcové zobrazení Při ekvivalentním válcovém zobrazení se nezkreslují plochy. Proto platí vztah: mpl = mpmr = 1 Po dosazení za délková zkreslení vzorců ( 6-3 ) a ( 6-5 ) se obdrží vztah: dx n =i (6-12) RdU RcosU Při ztotožnění obrazu rovníku s osou Y lze výraz ( 6-12 ) integrovat: ,2 U r R c dx - — cos UdU J n J a po integraci se obdrží první zobrazovací rovnice: *l«in^ (6-13) x — — siní/ n Druhá zobrazovací rovnice bude mít opět tvar ( 6-2 ), tedy: y - nV Zkreslení v poledníku a rovnoběžce mají vzájemně reciprokou hodnotu (viz vztah ( 6-12 )). Všechna zkreslení jsou tedy dány výrazy: 1 RcosU mp = — =- mr n (6-14) mPi =1 . Aco n2-R2cos2U sin-= —----— 2 n2+R2cos2U Konstanta n je volena na základě požadavků na nezkreslený rovník nebo dvě symetrické rovnoběžky s využitím vztahů ( 6-8 ) nebo ( 6-9 ). Vlastností ekvivalentního válcového zobrazení je zmenšující se vzdálenost rovnoběžek s rostoucí zeměpisnou šířkou. Zobrazení se používá buďto s nezkresleným rovníkem (zobrazení Lambertovo podle Johanna Heinricha Lamberta, 1728 - 1777) nebo se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami (zobrazení Behrmannovo, Walter Emmerich Behrmann, 1882 -1955). Zobrazení se používá u map velmi malých měřítek v případě, že je nutné zachovat velikosti ploch (velikosti území států, tematických areálů apod.). Na následujících obrázcích (Obr. 6-4 , Obr. 6-5) jsou ukázky zobrazení Afriky v Lambertově izocylidrickém a Behramnnově zobrazení. 55 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 6.4 Konformní válcové zobrazení Zobrazovací rovnice konformního zobrazení se odvodí z podmínky konformity (viz odstavec 4.3 ): mp = mr ve které se za mp a mr dosadí výrazy ( 6-3 ) a ( 6-5 ). Tím se obdrží základní rovnice: dx n RdU RcosU Pokud se ztotožní obraz rovníku s osou Y, výraz se integruje v mezích: 56 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie cost/ dU Po integraci se získá první zobrazovací rovnice ve dvou formálních variantách: x = nQ = n ln tg (— + 45°) (6-15 ) Druhá zobrazovací rovnice bude mít opět tvar ( 6-2 ), tedy: y - nV Rovnice zkreslení v případě uvážení vztahu mp = mr = m nabudou tvaru: n m — RcosU (6-16) 2 m Pi — m Konstanta n se opět volí na základě doplňujících podmínek ve tvaru ( 6-8 ) nebo ( 6-9 ). Konformní válcové zobrazení je typické zvětšováním vzdálenosti rovnoběžek směrem k oběma pólům. Na mapách v tomto zobrazení není možné póly zobrazit, neboť leží v nekonečnu vzhledem k rovníku. Proto se zobrazení používá nejčastěji pro území s polohou v blízkosti rovníku. Příklad použití uvedeného zobrazení pro území Afriky je na obrázku (Obr. 6-6), kde je připojen i graf délkového zkreslení. Opět jako v předešlých případech byla volena varianta se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami Uq = + 20°. Popsané zobrazení se nazývá podle holandského kartografa Mercatorovo (Gerardus Mercator, vlastním jménem Kraemer, 1512 - 1594). Mercator zobrazení již odvodil pomocí matematického aparátu ze zákonů zkreslení. Poznámka: Jednoduché konformní válcové zobrazení celé Země v pólové poloze bylo často používáno zejména pro tvorbu námořních navigačních map, protože se v něm čáry stejných hodnot azimutu (loxodromy) zobrazovaly jako přímky. To mělo své výhody, pokud se k navigaci používaly zejména magnetické přístroje (kompasy, ...). S přechodem na moderní metody navigace a začátkem plavby podél ortodrom, frekvence využití tohoto zobrazení se výrazně snížila. 57 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 6.5 Šikmá poloha válcového zobrazení Všechna válcová zobrazení značně zkreslují oblasti kolem pólů. Jsou proto vhodná zpravidla pro zobrazení pouze pro úzkých pásů podél zeměpisného nebo kartografického rovníku (hlavní kružnici na kouli). V případě použití válcového zobrazení území rozloženého podél kartografického rovníku (rovníková nebo šikmá poloha), je nutné ve všech vzorcích zaměnit souřadnice U a y souřadnicemi kartografickými Š a D. Vztah mezi kartografickými a zeměpisnými souřadnicemi je dán vzorci (viz vzorce ( 1-24 ) a ( 1-25 )). K jejich určení je však nutné znát polohu kartografického pólu Uu a V*, kterou je možné vypočítat ze známých zeměpisných souřadnic dvou bodů ležících na kartografickém rovníku (tedy zpravidla na podélné ose zobrazovaného území). Pro určení zeměpisných souřadnic je vhodné využít mapu, na které je již území jednou zobrazené. Body definující polohu kartografického rovníku se vybírají co nejdále od sebe. Jejich zeměpisné souřadnice budou P\ (U\, V\) a P2 (U2, V2). K výpočtu polohy kartografického pólu se potom využijí vztahy odvozené v téže kapitole. 7. Jednoduchá kuželová zobrazení Jednoduchá kuželová zobrazení mají poledníky zobrazené jako osnovu přímek vycházející z jednoho bodu - počátku polárního souřadnicového systému. Rovnoběžky jsou částí soustředných kružnic opět se středem v počátku rovinného polárního souřadnicového systému. Zeměpisný (nebo kartografický) pól se zobrazuje jako bod totožný se středem obrazů rovnoběžek nebo jako část kružnice. Poledníky a rovnoběžky jsou navzájem ortogonální a současně v jejich směrech leží hlavní paprsky zkreslení. Všechny dále odvozené vztahy budou platné pro pólovou polohu při zobrazení referenční plochy koule do roviny. Při použití rovníkové nebo šikmé polohy se ve všech vzorcích zeměpisné souřadnice nahradí souřadnicemi kartografickými. 58 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 7.1 Základní vztahy a vzorce Při použití kuželových zobrazení se zpravidla střední poledník (tvořící osu zobrazovaného území) volí jako základní poledník Vq tohoto zobrazení. Do jeho obrazu se vkládá osa X a současně je mu přisouzena nulová hodnota zeměpisné délky. Kuželová zobrazení jsou vhodná pro zobrazování území rozložená podél zeměpisných (nebo kartografických) rovnoběžek. Rovník od těchto území bývá často značně vzdálen bez možnosti jeho zobrazení, proto se počátek rovinné pravoúhlé souřadnicové soustavy volí v průsečíku základního poledníku a základní rovnoběžky, která přibližně prochází středem zobrazovaného území (viz Obr. 7-1) Obr. 7-1 Volba počátku rovinné pravoúhlé souřadnicové soustavy u kuželových zobrazení U kuželových zobrazení se zobrazovací rovnice i zákony zkreslení vyjadřují v rovinných polárních souřadnicích p a e, které se transformují do rovinných pravoúhlých souřadnic pomocí vztahů (7-1 ), tedy x-xv -pcose y - p sin £ (7-1) Počátek polární souřadnicové soustavy je v bodě V (vrchol kužele), který má konstantní hodnotu souřadnice x označenou xv. (7-2) Obecné rovnice kuželového zobrazení jsou ve tvaru ( 7-2 ), tedy p = f{u) £ = f{v) První zobrazovací rovnici je možné vyjádřit s ohledem na základní rovnoběžku ve tvaru: p = pQ+f(U-UQ) (7-3) kde po]Q průvodič základní rovnoběžky, který současně určuje její vzdálenost od počátku rovinného polárního souřadnicového systému. S ohledem na obrázek (Obr. 7-1) platí 59 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie U kuželových zobrazení se dále požaduje, aby úhlová vzdálenost obrazů poledníků byla při konstantním přírůstku AV též konstantní. Druhou obecnou zobrazovací rovnici je potom možné uvést ve tvaru: £ = nV ( 7-5 ) kde V je zeměpisná délka počítaná od základního poledníku pro dané území V0 a n je konstanta nabývající hodnot (0;1) v závislosti na doplňujících podmínkách pro vybraný typ zobrazení. Vzhledem k tomu, že se opět jedná o jednoduché zobrazení, budou hlavní paprsky délkového zkreslení ležet ve směrech poledníků a rovnoběžek. Hodnoty tohoto zkreslení je možné vyjádřit poměrem délkových elementů v zobrazovací rovině a na referenční kouli ve tvarech (Obr. 7-2): m =^£- (7-6) p R, II pd£ (7_7) RcosUdV Záporné znaménko u proměnné dp ve vzorci ( 7-6 ) je formálním vyjádřením vzájemné protichůdnosti růstu hodnot U a p. Rovnici ( 7-7 ) je možné upravit vzhledem ke tvaru rovnice ( 7-5 ), jejíž derivace bude: de - ndV de n —- dV Rovnici ( 7-7 ) je potom možné psát ve tvaru: np RcosU (7-8) Obr. 7-2 Délkové elementy poledníku a rovnoběžky u kuželových zobrazení Úhlové a plošné zkreslení je možné vyjádřit ve tvarech ( 7-9 ) a, ( 7-10 ) tedy: 2 m+m 60 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie mpl - mrmp (7-10) Všechna zkreslení jsou funkcemi pouze jedné proměnné - zeměpisné šířky U, resp. souřadnice p. Ekvideformáty stejných hodnot zkreslení mají proto tvar soustředných kružnic se středem v počátku polárního systému V. U kuželových zobrazení je možné nalézt vždy jednu ekvideformátu (rovnoběžku), s minimální hodnotou zkreslení, která může být případně rovna jedné. Od této rovnoběžky zkreslení roste na v obou směrech zeměpisné šířky, avšak nesymetricky. Obrazem pólu může být bod nebo část kružnice. Kuželová zobrazení mohou být řešena s jednou nebo dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami. Zobrazení jsou matematicky definovaná, přesto tyto varianty je možné si geometricky představit jako tečný, resp. sečný kužel. 7.2 Ekvidistantní kuželové zobrazení Jednoduchá kuželová zobrazení je možné jako ekvidistantní řešit pouze jako ekvidistantní v polednících. Pro ně lze napsat podmínku: mp =1 j„ (7-11) ~dp =1 RdU Řešení rovnice (7-11 ) vztažené k základní rovnoběžce Uq je možné napsat ve tvaru: p u $dp = -R$dU Po U0 ze kterého se získá tvar zobrazovací rovnice pro p: p = pQ-R(U-UQ) (7-12) Význam jednotlivých veličin rovnice ( 7-12 ) je zřejmý z obrázku (Obr. 7-3). Na obrázku je též patrný rozdíl v použití uvedené rovnice pro zeměpisné šířky větší, resp. menší než je Uq. Zobrazovací rovnice pro e má tvar ( 7-5 ), tedy: e = nV Vztahy pro zákony zkreslení vyplývají z rovnic ( 7-11 ), ( 7-8 ), .... Pro tuto variantu zobrazení budou ve tvarech: mp =1 p RcosU . ÁCú np-RcosU sin-= —- 2 np + RcosU 61 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 7-3 Význam průvodiče p u ekvidistantního kuželového zobrazení Pro vlastní použití je nutné určit hodnoty konstant n a p$. K tomuto určení se stanovují doplňující podmínky v různých variantách. V dalším textu jsou uvedeny tři nejběznější varianty: a) je stanovena podmínka, aby na základní rovnoběžce Uq bylo délkové zkreslení minimální a současně aby tato rovnoběžka byla délkově nezkreslena; b) je stanovena podmínka dvou předem daných nezkreslených rovnoběžek o zeměpisných šířkách í/i a (72; c) je stanovena podmínka totožného zkreslení nejsevernější a nejjižnější rovnoběžky. 7.2.1 Ekvidistantnf kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou Pokud je stanovena podmínka, aby na základní rovnoběžce Uq bylo délkové zkreslení minimální a současně aby tato rovnoběžka byla délkově nezkreslena, je nutné nejprve odvodit konstantu po. Konstanta se odvodí z podmínky extrémní hodnoty funkce ( 7-8 ) pro zeměpisnou šířku základní rovnoběžky Uq: dmr dU f "Po ^ KRcosUQj dU = 0 tedy: dU Rcos.UQ -npí d(R cosU0) dU R2cos.2Un Z rovnice (7-11 ) plyne výraz: dp dU = -R který lze dosadit do výše uvedené rovnice. Po derivacích se obdrží vztah: 62 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie - nR cos UQ + npQR sin UQ a odtud lze vypočítat: Protože druhá derivace tf2cos2£/n pQ=RcotgU0 = 0 (7-14) d mr dUl je kladná (jak se lze snadno přesvědčit), dochází na rovnoběžce Uq při splnění podmínky ( 7-14 ) k minimu délkového zkreslení. Je-li dále požadováno, aby hodnota tohoto minima byla optimální, tedy rovna jedné, musí podle ( 7-13 ) platit: np0 rc0sufí ■l odkud se po dosazení za p0 z výrazu ( 7-14 ) vypočítá n - sinř/n (7-15) Hodnotu po je možné si graficky představit na základě obrázku (Obr. 7-4) jako tečný kužel dotýkající se referenční koule podél rovnoběžky Uq. Analogicky pro referenční elipsoid platí: Po =^ocotg^o n - sin +u° u ť 2 í/.+í/n Jeho použití na území Evropy a průběh délkového zkreslení tohoto zobrazení vypočítaného za stejných vstupních podmínek jako na obrázku (Obr. 7-5) je uveden na obrázku (Obr. 7-6). 65 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Sů- 55-65- 50- i5- d0" 70" 30= 25" 20= 15= 10 60- /#v / /2Í3HJI 55- /%/ / fj^Lf /f 55" 5, ^-^/ / * / \~~P\ 25- 30- «■ 10- 5- o- ŕ 10- «■ 30- as- De llsleovo zobrazení délkové zkreslení 1,07 -1,05 -1,03 -m 1,01 -0,99 -0,97 - — mp > N v 30 35 40 45 50 55 60 65 70 U Obr. 7-6 Ukázka použití de llsleova zobrazení pro Us=70° a Uj =30° a graf délkového zkreslení Ekvidistantní kuželové zobrazení o dvou nezkreslených rovnoběžkách lze řešit i ve variantě totožného zkreslení nejsevernější a nejjižnější rovnoběžky zobrazovaného území. Poloha nezkreslených rovnoběžek v tomto případě není předem dána, ale vyplyne z výše uvedené podmínky. Tuto variantu rozpracoval Vitkovskij, který připojil další podmínku, aby základní rovnoběžka měla v absolutní hodnotě stejné zkreslení jako rovnoběžky krajní. Polohu základní rovnoběžky přitom zvolil uprostřed území, tedy: í/n U. +U; Z této podmínky se odvodí hodnota pQ postupem stejným jako při odvozování předchozí varianty zobrazení. Podmínku totožného zkreslení lze vyjádřit: m, — m. tedy: np. RcosU„ RcosU. a odtud se po dosazení za ps a Pj z ( 7-12 ) obdrží výsledný vztah: ä[(í/,-í/0)cosí/,-(í/,-í/0)cosí/J cost/, - cosi/ (7-21 ) Podmínku shodné absolutní hodnoty zkreslení na základní rovnoběžce Uq a krajních rovnoběžkách lze vyjádřit podle obrázku (Obr. 7-7): 66 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Vitkovského zobrazení délkové zkreslení 1,04 -. 0,96 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 30 35 40 45 50 55 60 65 70 U Obr. 7-7 Graf délkového zkreslení Vitkovského zobrazení pro Us=70° a Uj =30° mr =l-v 'o kde vm je délkové zkreslení vyjádřené v poměrové formě jako v m = m -1. Sečtením obou rovnic se získá vztah: tedy: a odtud: nPs _ + _ nPo RcosUs RcosU0 n_ 2RcosUscosU0 (?_22) Ps cosUQ+pQ cosUs Pokud je nutné znát polohu nezkreslených rovnoběžek, například pro jejich zadání do parametrů zobrazení při vizualizaci digitálních dat v používaném programovém prostředí, jejich zeměpisné šířky lze vypočítat na základě zákonů zkreslení: npx . mr =--— = 1 1 RcosU^ nPi i mr =-—— = 1 2 RcosU2 Dosazením za p\ a pi z rovnice ( 7-12 ) se po úpravě získají vztahy: 67 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie cosU1 =n(^—Ul+U0 cos£/2 = n R R (7-23 ) -u2+u0 Hodnoty U\ a V2 se určí opět některou z metod postupné aproximace. Při prvním přiblížení je možné do pravých stran rovnic dosadit: Uj+Uo 2 í/.+í/n Na následujícím obrázku (Obr. 7-8) je ukázka použití Vitkovského zobrazení pro Us = 70° a Uj = 30°, ve kterém mají nezkreslené rovnoběžky hodnoty U\ = 36°55' a t/2 = 66°02'. 60" 55" 65" 45" 40" 35" 7S= 20" -15" 10« 5" 0" 5" 10" 15" 20" 7tJ" 35" 40" 45" 65" 55" 60" 60- ;ľ 5S- /C / / r^f-*J / / T • /\/ / / 7 ';—r—J__il «: 10" / ]—S—íl— Tv WÍ^^V ■'^v^'^ - -LI / 7~^~~t——r^^w^ » 2»- «r io- í- »■ e i»- so-ií- 20- 2Í- Obr. 7-8 Ukázka Vitkovského zobrazení pro Us=70° a Uj =30° 7.3 Ekvivalentní kuželové zobrazení Ekvivalentní kuželové zobrazení je definováno základním vztahem vycházející z podmínky: mpl = mpmr = 1 která po dosazení za délková zkreslení z ( 7-6 ) a ( 7-7 ) získá tvar: — dp np RdU RcosU a po úpravě tvar vhodný pro integraci: ť u n = 1 R \pdp =--[cosUdU Po Po integraci výrazu se získá první zobrazovací rovnice: 68 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie n Druhá zobrazovací rovnice bude ve tvaru ( 7-5 ), tedy: e = nV Zákony zkreslení mají tvar: np m m„ RcosU p mpl=l (7-25) . Aco n2p2-R2 cos2 U sin- - 2 n2p2+R2 cos2 U Pro úplnou definici zobrazení je nutno určit konstanty n a po pomocí doplňujících podmínek, které zpřesňují jeho parametry. Obdobně jako u ekvidistantního kuželového zobrazení se volí podmínky, že jedna nebo dvě rovnoběžky jsou nezkreslené. 7.3.1 Ekvivalentní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou Podmínku nezkreslené základní rovnoběžky Uq je nutné doplnit podmínkou, aby se pól zobrazil jako bod totožný s počátkem rovinného polárního souřadnicového systému. Uvedenou podmínku lze vyjádřit z rovnice ( 7-24 ) dosazením za U = 90° a p = 0. Z toho: _ 2tf2(l-sin£/0) Po Podmínku nezkreslené základní rovnoběžky je možné vyjádřit rovnicí: = 1 np0 RcosUQ Společným řešením obou rovnic pro dvě neznámé se obdrží rovnice pro jejich vypočet ve tvaru: 2J?(l-siní/0) ^JACO U, cos£/0 cos2 Un 45°_rJL (7-26) V n = _^L^JL_ = cos2(45°-U0) (7-27 ) 2(l-sinř/0) 0 Základní rovnoběžka se zpravidla opět volí uprostřed mezi severní a jižní rovnoběžkou zobrazovaného území. Tato varianta je zajímavá tím, že platí: p0 * RcotgU0 což si lze geometricky představit tak, že se kužel referenční koule vůbec nedotýká. Tato varianta zobrazení se nazývá Lambertovo kuželové ekvivalentní zobrazení. Průběh jeho délkového zkreslení v rovnoběžkách a polednících je na obrázku (Obr. 7-9). 69 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 1 1 Lambertovo ekvavalentní kuželové zobrazení délková zkreslení 1, 1 1,05 m 1 mp 0,95 0,9 30 35 40 45 50 U 55 60 65 70 Obr. 7-9 Graf délkového zkreslení Lambertova ekvivalentního kuželového zobrazení pro Us=70° a Uj =30° 7.3.2 Ekvivalentní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami Podobně jako u ekvidistantního kuželového zobrazení i v této variantě je možné předem zvolit dvě rovnoběžky {U\ a ř/2), které se nebudou délkově zkreslovat. Platí zde tedy opět rovnice: npl RcosU, np2 RcosUj 2 2 které po umocnění a po dosazení za p\ a pi z ( 7-24 ) nabudou tvar: Po- 2RZ Po 2RZ (sint/j -sin£/0) (sin U2 - sin U0) R2cos2U, = tf2cos2£/, Rovnice se od sebe odečtou a z jejich rozdílu se odvodí první konstanta n: cos2ř/, -cos2£/2 1 / . . s n = —;-1-v = — (,sin ř/j + sin ř/2) 2{únU2 -sinř/j) 2 (7-28 ) Druhá konstanta yCb se získá po dosazení výrazu ( 7-28 ) do jedné z předcházejících rovnic. Jeho dosazením například do první z rovnic se tato konstanta vypočítá podle výrazu: Po 2R1 (sint/j -sin£/0) + tf2cos2£/, (7-29 ) Základní rovnoběžka Uq se zpravidla volí uprostřed mezi nezkreslenými rovnoběžkami U\ a Lh- Zobrazení se často nazývá Albersovo. Ukázka tohoto zobrazení pro území Evropy a graf průběhu délkových zkreslení v polednících a rovnoběžkách je na následujícím obrázku (Obr. 7-10). 70 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 7.4 Konformní kuželové zobrazení Konformní kuželové zobrazení je definováno podmínkami: mp - mr F = 0 Druhá podmínka je opět u jednoduchých zobrazení vždy splněna, proto postačí vyjít pouze z první podmínky, která po dosazení za délková zkreslení z ( 7-6 ) a ( 7-12 ) bude mít tvar: -dp RdU RcosU np Výraz ( 7-30 ) se integruje: p j~ u \^- = -n\ J P Ĺ Po dU cost/ a po integraci se získá první zobrazovací rovnice ve tvaru: ln p - ln pQ - -n lnfc|y + 45°|-lnfc í/n + 45° který lze po odlogaritmování vyjádřit také ve tvaru: ÍUn P = Pc tg - + 45c (7-30) (7-31) Při použití vyjádření izometrické šířky podle ( 1-23 ) lze rovnici ( 7-31 ) napsat ve tvaru: 71 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie p = pQen{Q°-Q) (7-32) kde e = 2,718281... je základ přirozených logaritmů. Druhá zobrazovací rovnice bude opět ve tvaru ( 7-5 ), tedy: e = nV Zákony zkreslení jsou vzhledem k výchozí podmínce konformního zobrazení ve tvaru: np m —- R cos U 2 (7-33 ) mpl — m v JJ ' U kuželových konformních zobrazení se vždy počátek rovinné polární souřadnicové soustavy ztotožňuje s pólem, protože rovnice ( 7-31 ) nabývá pro U = 90° hodnotu p = 0. Konstanty po a n se určují opět podle doplňujících podmínek, kterými se zpřesňují typy zobrazení. Mezi základní varianty opět patří zobrazení s jednou nebo se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami. 7.4.1 Konformní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou První varianta uvažuje zobrazení s jednou nezkreslenou základní rovnoběžkou obdobně, jak bylo uvedeno v odstavci 7.2.1 . V tomto případě se však zpravidla základní rovnoběžka dodatečně zkresluje a rovnice ( 7-14 ) tak získává tvar: pQ=mQRcotgU0 (7-34) kde m0 je délkové zkreslení základní rovnoběžky, které je vždy menší než 1. Tím vzniká zobrazení se dvěmi nezkresleným rovnoběžkami. Jejich zeměpisnou šířku U\ a V2 je možné opět vypočítat ze vztahů: nPi i mr =--— = 1 1 RcosUl mr =-—— = 1 2 RcosU2 kde za p\ a pi se dosadí výraz ( 7-31 ). Výpočet konstanty n je stejný jako v odstavci 7.2.1 , tedy n - sin U0 Uvedený typ zobrazení je použit například při zobrazení základních map České republiky (Křovákovo zobrazení), ovšem v šikmé poloze (viz kapitola 11). 7.4.2 Konformní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami Budou-li požadovány dvě, předem dané rovnoběžky U\ a U2, které nebudou délkově zkreslené, potom budou platit podmínky: 72 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie m„ = - RcosU x RcosU ^ = 1 Z těchto podmínek se odvodí výrazy: RcosU A = Pi n RcosU"2 n které se vzájemně podělí. Po jejich dělení se získá vztah: px _ cosUl Pi co&u2 Dosazením vztahu ( 7-31 ) a po úpravě se obdrží: cosí/j cosí/o f tg U ^ + 45° Odtud lze vypočítat konstantu «: lncosř/j -lncos£/2 Ö2-Ö, Druhá konstanta se vypočítá z rovnice ( 7-31 ) dosazením za p\ nebo pi. (7-35 ) Po RcosU, 'S ^ + 45° RcosUl tg[^- + 45° tg + 45° (7-36) Rovnici ( 7-36 ) je možné vyjádřit formálně i pomocí základu přirozených logaritmů e: = RcosUx ^„(a-a) = RcosU2 ^(q2-qo) (7.37) Základní rovnoběžka Uq se opět zpravidla volí uprostřed mezi nezkreslenými rovnoběžkami Ui a U2. Zobrazení se nazývá Lambertovo a je často požíváno pro letecké navigační mapy standardizované podle norem ICAO (International Civil Aviation Organization) nebo NATO 73 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie (viz. kapitola 12). Zobrazení je použito též při tvorbě státních mapových děl například v Belgii. Na obrázku (Obr. 7-11) je ukázka zobrazení pro střední Evropu a graf průběhu délkových zkreslení. Obr. 7-11 Ukázka Lambertova konformního kuželového zobrazení pro U\ =40° a ř/2=60° a graf jeho délkového zkreslení 7.5 Šikmá poloha kuželového zobrazení Kuželové zobrazení je zpravidla vhodné pro území protáhlého tvaru ve směru rovnoběžky. Pokud má území protáhlý tvar, avšak jeho osa není ve směru zeměpisné rovnoběžku, je možné tuto osu nahradit rovnoběžkou kartografickou a pro jeho zobrazení použít šikmou polohu tak, jak je uvedeno v odstavci 1.2.2.a . 8. Jednoduchá azimutální zobrazení Azimutální zobrazení je možné chápat jako mezní případ kuželových zobrazení, kdy konstanta n = 1 a počátek polární rovinné souřadnicové soustavy (vrchol kužele) splyne se zeměpisným nebo kartografickým pólem. V tomto typu zobrazení je obrazem sítě poledníků soustavou polopřímek vycházejících z pólu a obrazem rovnoběžek jsou soustředné kružnice se středem v pólu. Tyto soustavy jsou navzájem ortogonální a ve směrech poledníků a rovnoběžek taktéž leží hlavní paprsky zkreslení. Jednoduchá azimutální zobrazení se nejčastěji používají pro zobrazení z referenční koule, a takto budou i odvozována v následujících odstavcích. Odvozované rovnice budou platné pro pólovou polohu, i když v tomto případě bývají velice často používány rovníková nebo obecná poloha. Zobrazení se však používají i pro zobrazení referenčního elipsoidu (například zobrazení UPS - Universal Polar Stereographic) 74 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 8.1 Základní vztahy a vzorce U azimutálního zobrazení se ztotožňuje počátek rovinné pravoúhlé sítě s obrazem pólu (středem zobrazení). Při pólové poloze je tento střed v obrazu zeměpisného pólu, v rovníkové nebo šikmé poloze potom v obraze kartografického pólu. Jeden z poledníků se zvolí jako základní, od něhož se odečítají zeměpisné (kartografické) délky. Do obrazu tohoto poledníku se vkládá osa X. Jako základní poledník se zpravidla volí střední poledník zobrazovaného území, který je i kolmý na severní a jižní rám budoucí mapy (viz Obr. 8-1). x -sv n fr\fW- % «: :—— ' X 1 \ 7 ^ Obr. 8-1 Volba polohy souřadnicových os azimutálního zobrazení Pokud je azimutální zobrazení voleno v rovníkové nebo šikmé poloze, obrazy zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou zpravidla složitými křivkami. Pouze poledník procházející středem zobrazovaného území, který je totožný se základním kartografickým poledníkem a tedy i s osou X, je zobrazen jako přímka (viz Obr. 8-3, poledník V=20°). Zobrazovací rovnice a zákony zkreslení se vyjadřují pomocí polárních rovinných souřadnic p, £ jejichž převod do pravoúhlé soustavy je dán rovnicemi: x - pcoss y - p sin £ kde £ je pravotočivý úhel odečítaný od kladné větve osy X. Azimutální zobrazení se zejména využívá ke zobrazování oblastí rozložených v blízkosti pólu (zeměpisného nebo kartografického). Z tohoto důvodu je výhodné nahradit zeměpisnou (nebo kartografickou) šířku zenitovým úhlem počítaným podle vztahu: Z = 90°-£/ U azimutálního zobrazení je nutné vždy zobrazovat celé území kolem pólu zobrazení (celý kruh). Obecné zobrazovací rovnice lze potom psát ve tvaru: p = f(Z) (8-1) £ = V (8-2) Zákony zkreslení se vyjádří obdobně jako u kuželového zobrazení s tím rozdílem, že zde v zobrazovacích rovnicích nevystupuje žádná konstanta: 75 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie m =-^- (8-3) p RdZ m^—P— (8-4) R sin Z Úhlové a plošné zkreslení je možné vyjádřit ve tvarech ( 7-9 ) a, ( 7-10 ) tedy: Aú) mr —m„ sini^=^-£_ (8-5) 2 mr+mp mpl - mrmp ( 8-6) Všechna zkreslení jsou opět funkcemi pouze jedné proměnné - zeměpisné šířky U, resp. souřadnice p. Ekvideformáty všech zkreslení mají proto tvar soustředných kružnic se středem v pólu zobrazení. V dalších odstavcích jsou odvozené nejběžnější typy azimutálních zobrazení. 8.2 Ekvidistantní azimutální zobrazení Nejčastější ekvidistantní azimutální zobrazení je zobrazení Postelovo, které je ekvidistantní v polednících. Jeho zobrazovací rovnice vycházejí ze vztahu: dp mn =-= 1 p RdZ Uvedená diferenciální rovnic se bude integrovat v mezích od 0 do Z, resp. p, protože pól bude vždy zobrazen jako bod: P z jdp = RJdZ o o První zobrazovací rovnice bude potom ve tvaru: p = RZ ( 8-7) Druhá zobrazovací rovnice bude ve tvaru ( 8-2 ), tedy: £ = V Rovnice zkreslení po úpravách vztahů ( 8-3 ), ( 8-4 ), ( 7-9 ) a ( 7-10 ) budou ve tvarech: mp = 1 ( 8-8 ) mr - mpl - ^ ( 8-9 ) sin Z . Aco Z-sinZ sin- (8-10) Z + sin Z Význam zobrazení spočívá v zachování skutečné vzdálenosti od pólu zobrazení k libovolnému bodu v zobrazovaném prostoru. Proto se toto zobrazení často používá tam, kde je nutné rychlé zjišťování vzdáleností od pozorovacího místa, a to jak ve vojenských, tak i v civilních aplikacích (např. displeje radiolokátorů, apod.). Stejně tak se toto zobrazení velmi 76 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie často požívá pro mapy polárních oblastí. Příklad takovéto mapy pro oblast severního pólu je uveden na obrázku (Obr. 8-2). Obr. 8-2 Ekvidistantní azimutální zobrazení pro oblast severního pólu a graf zkreslení v rovnoběžkách a polednících Zobrazení se často používá i v obecné poloze, v níž se zobrazují kartografické poledníky jako polopřímky vycházející z obrazu kartografického pólu a kartografické rovnoběžky jakou soustředné kružnice. Obrazy zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou však složité křivky (Obr. 8-3). 40'0,0"N 60-0'0"N 100'0'0"W 1B0"0'0"E ĚffiWi OTI* aO'O'O'W 10°0'0"W O'O'tľE 10=0'0"É 30"0'0"E SOLÍTE ffi°0'0"E 70°0'0"E Obr. 8-3 Ekvidistantní azimutální zobrazení kartografickým pólem v Brně (Ut = 49°12', V* = 16°36') Variantou zobrazení je doplňkový požadavek na nezkreslenou rovnoběžku Z0. V tomto případě je nutné stanovit podmínku nezkreslené rovnoběžky aplikací rovnice ( 8-9 ) zavedením redukční konstanty c: mr c -1 pro ZQ mr =-— 0 sin Z0 77 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Odtud: c= SinZ° (8-11) Zobrazovací rovnice pro p ( 8-7 ) potom bude ve tvaru: p = cRZ (8-12) Rovnice zkreslení po úpravách vztahů ( 8-8 ), ( 8-9 ) a ( 8-10 ) budou ve tvarech: mp-c (8-13 ) cZ (8-14) mPi sin Z g2z (8-15) sin Z . Aco Z-sin Z ,„,^ sin-=- (8-16) 2 Z + sinZ Vzhledem k rovnici ( 8-13 ) je zřejmé, že se v tomto případě jedná o zobrazení s konstantně zkreslenými poledníky. 8.3 Ekvivalentní azimutální zobrazení Základní rovnice ekvivalentního azimutálního zobrazené se odvodí ze vztahu: mpmr =1, odtud d P P =1 RdZ R sin Z Uvedená rovnice se opět integruje ve stejných mezích jako ekvidistantní zobrazení: P z jpdp = 7?2Jsin ZdZ o o Po integraci se vypočte: -^- = tf2(l-cosZ) 2 S uvážením obecného vztahu: l-cosa = 2sin — 2 se první zobrazovací rovnice může vyjádřit i vztahem: p = 2Rsin- (8-17) 2 Druhá zobrazovací rovnice bude opět ve tvaru ( 8-2 ), tedy: 78 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie £ = V Délkové zkreslení v rovnoběžkách se vyjádří vztahem ( 8-4 ). Pokud se za p dosadí výraz ( 8-17 ), potom lze psát: , 2R sin — 1 _ 2 m„ R sin Z S uvážením obecného vztahu: lze po úpravách psát: - . a a srna- 2sin—cos— 2 2 1 1 P cos — (8-18) Plošné a úhlové zkreslení budou potom ve tvarech: mPi =1 (8-19) sin- Aco 1-cos" 2 . 2Z 1 + cos — (8-20) Příklad zobrazení pro pól na rovníku je na obrázku (Obr. 8-4) Ekvivalentní azimutální zobrazení mp 0 20 30 40 50 60 70 80 Obr. 8-4 Ekvivalentní azimutální zobrazení (ř70=0°, Vo=0°) a graf zkreslení v rovnoběžkách a polednících Z charakteru zobrazení je zřejmé, že hlavní délkové měřítko, které je uváděné na mapě používající toto zobrazení, platí pouze ve středu zobrazení. Proto se někdy volí varianta zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou Zq. V tomto případě potom vzniká zobrazení s konstantním zkreslením ploch. Původní délkové zkreslení na této rovnoběžce je: 79 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 1 m-o =—ž~ o cos—-2 Aby bylo rovno jedné, je nutné zavést konstantu c. Potom: mc-l a odtud Z c - cos- o. (8-21) Zobrazovací rovnice a zákony zkreslení dané rovnicemi ( 8-17 ) až ( 8-20 ) budou potom mít tvar: p = 2cRún — (8-22) 2 c m, = Z (8-23 ) cos- 2 Z 2 Z (8-24) m„ =ccos— mpl=c2 (8-25) sin- 2 Z ( 8-26 ) 1-cos — 2 . 2Z 1 + cos — 2 Ekvivalentní azimutální zobrazení, nazývané též Lambertovo, je často používáno při zobrazování velkých územních celků na jedné mapě. Známé je například jeho použití při zobrazení zemských polokoulí ve školních zeměpisných atlasech (viz Obr. 8-4) s cílem zachovat poměry ploch jednotlivých kontinentů. 8.4 Konformní azimutální zobrazení Zobrazovací rovnice konformního zobrazení se odvodí z podmínky: mp =mr kdy po dosazení rovnic zkreslení bude: dp p RdZ R sin Z Vzhledem k tomu, že p a Z nabývají i nulových hodnot, výraz se integruje neurčitým integrálem: rdp _ r dZ 1 p sin Z 80 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Po integraci se obdrží: lna -Intg — + lnc 2 Po odlogaritmování se získá první zobrazovací rovnice ve tvaru: p = ctg^- (8"27) Druhá zobrazovací rovnice bude opět ve tvaru ( 8-2 ), tedy: £ = V Zákony zkreslení budou potom mít tvar: c m — Z (8-28) 2R cos — 2 mp,=m2 (8-29) Affl = 0 (8-30) Hodnota parametru c se určí z doplňujícího požadavku na délkové zkreslení. Obecně lze stanovit, že rovnoběžka Zq se nebude délkově zkreslovat. Pro ni platí: m =1 tedy Pc 7? sin Z0 = 1 Pokud se dosadí za po výraz ( 8-27 ), a opět využije se obecný vztah potom lze psát: „ . a a sina = 2sin—cos— 2 2 zo -*-= 1 2R sin —L cos 2 2 Odtud: 2 Rovnice ( 8-27 ) a ( 8-28 ) potom budou mít tvar: c = 2R cos2 ^ (8-31) /? = 2tfcos2^rg- (8-32) 2 2 81 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie cos 2 m — ■ (8-33 ) cos V případě požadavku na nezkreslený pól (Z0=0°), rovnice ( 8-31 ), ( 8-32 ) a ( 8-33 ) budou ve tvaru: c = 27? 1 m • 8-34) (8-35 ) (8-36) cos Poznámka: Místo stanovení hodnoty nezkreslené rovnoběžky se někdy používá přímo hodnota délkového zkreslení na pólu, často nazývaná měřítkový faktor. Tento postup je například použit pň definování zobrazení UPS (Universal Polar Stereographič). Blíže viz. odstavec 12.2 Ukázka konformního azimutálního zobrazení je na obrázku (Obr. 8-5). 70° 60° 70°_50° 40' 3Ú° 20° 50° Obr. 8-5 Konformní azimutální zobrazení (ř/0=50°, y0=15°) a graf zkreslení v rovnoběžkách 8.5 Azimutální projekce Ve skupině azimutálních zobrazení jsou někdy využívány i postupy odvozování rovinných souřadnic na základě geometrických principů - projekcí. Tyto postupy nejsou v současné době využívány u válcových a kuželových zobrazení, proto v příslušných kapitolách nebyly uváděny. 82 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Princip azimutálních projekcí vychází z matematického vyjádření projekce povrchu referenční koule na zobrazovací rovinu. Střed promítání leží na normále k zobrazovací rovině procházející středem koule (viz Obr. 8-6). Obr. 8-6 Princip azimutální projekce Podle tohoto obrázku platí: p _ C + R Obr. 8-7 Gnomonická projekce RúnZ C + RcosZ Ze vztahu se odvodí první zobrazovací rovnice: {C + R)RsinZ P = - (8-37) C + RcosZ Druhá zobrazovací rovnice bude stejná, jako u všech azimutálních zobrazení, tedy ve tvaru (8-2): £ = V Stejně tak budou stejné i zákony zkreslení dané rovnicemi ( 8-3 ) až ( 7-10 ). Jednotlivé typy azimutálních zobrazení se liší volbou konstanty C. 8.5.1 Gnomonická projekce Gnomonická (centrální) projekce vzniká při promítání ze středu koule. V tomto případě je konstanta C rovna nule (Obr. 8-7). Dosadí-li se tato hodnota do obecných zobrazovacích rovnic a zákonů zkreslení, potom bude: p = RtgZ ■V 1 p cosz Z 1 cos Z (8-38 ) (8-39) (8-40) (8-41 ) 83 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie m cos Z sin- Aa> ■■tg' ( 8-42) (8-43 ) Gnomonická projekce je charakteristická tím, že všechny ortodromy se zobrazují jako přímky. Ortodromy jsou na kouli hlavními kružnicemi vzniklými jako řezy rovin jdoucích středem koule. Z toho důvodu je zřejmé, že průsečnice dvou rovin (roviny ortodromy a průmětny) může být pouze přímka. Ukázka gnomonické projekce je na obrázku (Obr. 8-8) 180"0'0"W 170"0'0"E 140"0'0"E 80"0'0"E 40"0'0"E 30"0'0"E 120"0'0"W 110-0'0"W 90"0'0"W 70"0'0"W 50"0'0"W Obr. 8-8 Ukázka gnomonické projekce, poloha pólu: U = 40°s.š., V = 75°z.d. 8.5.2 Stereografická projekce Stereografická projekce vznikne, umístí-li se projekční centrum do protilehlého bodu referenční koule (viz Obr. 8-9). Konstanta C potom bude rovna poloměru koule R. Pokud hodnota konstanty C bude dosazena do zobrazovacích rovnic a rovnic zkreslení, potom se získají následující vztahy: 2R sin Z „ Z , o /i/i % p =-= 2Rtg — (8"44) 1 + cosZ 2 £=V (8-45) 2 1 m„ — m = '"'"'"1 + cosZ" 2 Z (§-46) cos — 84 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 1 2 A(0 = 0 ( 8-48 ) Srovnají-li se vztahy ( 8-44 ) až ( 8-48 ) se vztahy pro konformní azimutální zobrazení v odstavci, potom je patrné, že rovnice jsou stejné. Stereografická projekce je tedy zároveň i konformním zobrazením a toto zobrazení lze tudíž odvozovat jak matematickou, tak i geometrickou cestou. 8.5.3 Ortografická projekce Ortogrqfická projekce vzniká promítáním z nekonečna, parametr C je tedy °°. Princip projekce je zřejmý z obrázku (Obr. 8-10), ze kterého je možné psát ihned zobrazovací rovnice: p = RúnZ (8-49) £ = V Zákony zkreslení nabývají po úpravách tvarů: mp - mpl - cos Z ( 8-50) m„ (8-51) sin^ = řg2* (8-52) 2 2 Z rovnic zkreslení je zřejmé, že ortografická projekce je současně ekvidistantním azimutálním zobrazením v rovnoběžkách, jehož zobrazovací rovnice lze odvodit i matematickou cestou. 85 9. Nepravá zobrazení Nepravá zobrazení jsou charakteristická tím, že zachovávají některé vlastnosti jednoduchých zobrazení, zejména tvary zeměpisných rovnoběžek. Jiné jejich charakteristiky však mění a tyto změny se potom odrážejí do tvarů zeměpisných poledníků. Nepravá zobrazení mají jednu zobrazovací rovnici funkcí obou souřadnic na referenční ploše. Proto nelze jejich zobrazovací rovnice odvozovat obdobně jako u jednoduchých zobrazení. Stejně tak hlavní paprsky zkreslení neleží ve směrech poledníků a rovnoběžek a úhel mezi obrazy poledníků a rovnoběžek není pravý. Vznik nepravého zobrazení si není možné představit prostorovým promítáním koule na plášť válce či kužele nebo přímo do roviny. Nepravá zobrazení se vždy odvozují matematickou cestou podle zadaných podmínek nebo, a to poměrně často, jsou definována konstrukčním návodem. Poznámka: Název nepravá zobrazení je používán pro tuto třídu zobrazení poměrně často, přesto se lze setkat i s jinými názvy, například pseudozobrazení, pazobrazení apod. Při užití zobrazení je navíc vhodné a praktické znát název zobrazení. Zejména pň použití programových nástrojů obsažených v různých projektech bez znalosti názvu zobrazení se někdy pouze obtížně vybírá odpovídající typ zobrazení. Nepravá zobrazení se často využívají pro zobrazování velkých územních celků v malém měřítku až po zobrazení celého světa na jednom mapovém listě, takzvané planisféry. Z tohoto důvodu se většina zobrazení používá v pólové poloze s referenční koulí jako náhradní plochou. Výjimečně jsou tato zobrazení používána v rovníkové nebo šikmé poloze. V tomto případě je nutné v zobrazovacích rovnicích nahradit zeměpisné souřadnice souřadnicemi kartografickými. 9.1 Nepravá válcová zobrazení Nepravá válcová zobrazení jsou definována zobrazovacími rovnicemi ( 9-1 ) (viz. kapitola 2): X = fW (9-1) y = f(u,v) Vzhledem ke tvaru obecných zobrazovacích rovnic je zřejmé, že se rovnoběžky zobrazují jako soustava rovnoběžných přímek s obrazem rovníku, zatímco tvar poledníků budou křivky symetrické k obrazu základního poledníku. Základní poledník je volen jako střední poledník zobrazovaného prostoru a jsou od něho odečítány hodnoty zeměpisné délky. Osa X se ztotožňuje s obrazem tohoto poledníku. Osa Y se ztotožňuje s obrazem rovníku. Podle tvaru obrazů poledníků se zpravidla rozlišují zobrazení sinusoidální, eliptická, kruhová, přímková atd. Rovnice zkreslení lze odvodit z obecných rovnic uvedených v kapitole 3. Jejich aplikací se pro zobrazovací rovnice ( 9-1 ) nejprve vyjádří Gaussovy koeficienty: Talhofer, V.: Základy matematické kartografie (9-2) dU dV a s jejich pomocí potom i vlastní obecné rovnice zkreslení: m =-p R 4g mr RcosU H m pl R2cosU (9-3) (9-4) (9-5) Aeo 1 tg- m>m' 2 (9-6) mPi 2 2"^ 9.1.1 Nepravá válcová sinusoidálnf zobrazení V těchto zobrazeních se poledníky zobrazují jako části sinusoid. Zeměpisné póly se zpravidla zobrazují jako úsečky s výjimkou Mercator - Šansonová zobrazení, v němž se zeměpisné póly zobrazují jako bod. Nejznámější jsou zobrazení Mercator - Sansonovo a Eckertovo. Další zobrazení odvozoval zejména Kavrajskij a Urmajev. Popis těchto zobrazení zde není uveden, je však možné je nalézt například v ([15] nebo [9]). 9.1.1.a Mercator-Sansonovo (Flamsteedovo) zobrazení Mercator-Sansonovo zobrazení je definováno jako ekvidistantní v rovnoběžkách s nezkresleným základním poledníkem a současně jako ekvivalentní. Toto zobrazení odvodil Mercator, prvně použil Francouz Nicalus Šanson (1600 - 1667) a později jej aplikoval i Flasteed (John Flamsteed, 1646 - 1719), kterému je někdy připisováno i spoluautorství. První podmínku je možné vyjádřit rovnicí: mr=^L = l RcosU z čehož plyne výraz: ^ = RcosU (9-7) dV 87 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie který se pro konstantní U po úpravě integruje: y v $dy=RcosU$dV o o Po integraci se obdrží zobrazovací rovnice ( 9-8 ): y = RVcosU (9-8) Druhá zobrazovací rovnice se odvodí z podmínky nezkreslení ploch s využitím výrazu ( 9-5 ). Platí: mPi =1 H =tf2cos£/ tedy dU dV Dosadí-li se do výrazu ( 9-9 ) výraz ( 9-7 ), potom se po úpravě obdrží: — = R (9-10) dU Integrací výrazu ( 9-10 ) se získá první zobrazovací rovnice (9-11 ): x = RU y = RVcosU (9-11) Z tvaru zobrazovacích rovnic vyplývá, že obrazem pólů jsou body a že vzdálenost obrazů rovnoběžek je konstantní (Obr. 9-1). Současně je z první rovnice zřejmé, že základní poledník zůstává délkově nezkreslen a je tudíž splněna i třetí podmínka. Z tvaru zobrazovacích rovnic je možné odvodit i všechny rovnice zkreslení: mp = Vl + sin2£/V2 mr=1 (9-12) mPi =1 ACO 1 . TT [77 tg-= — sinř/VV 2 2 Na grafech (Obr. 9-2, Obr. 9-3) je průběh délkového zkreslení v polednících a úhlového zkreslení. Oba grafy zobrazují pouze jeden kvadrát celé planisféry. Zbylé tři kvadráty mají zkreslení symetrická podle základního poledníku a rovnoběžky. Tatáž vlastnost je i ostatních nepravých válcových zobrazení. 88 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 9-1 Mercator-Sansonovo zobrazení, základní poledník 0° Mercator-Sansonovo zobrazení Obr. 9-2 Graf délkového zkreslení v polednících Mercator-Sansonova zobrazení 89 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Mercator-Sansonovo zobrazení Affl 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 U •10° 20° 30° 40° •50° •60° •70° •80° 90° 100° 110° 120° 130° 140° 150° ■160° ■170° ■180° Obr. 9-3 Graf hodnot maximálního úhlového zkreslení Mercator-Sansonova zobrazení 9.1.1.b Eckertovo sinusoidální zobrazení U Mercator-Sansonova zobrazení dochází ke značným úhlovým zkreslení zejména ve vyšších hodnotách zeměpisné šířky (viz Obr. 9-3). Tuto nevýhodu se snažil odstranit německý kartograf Max Eckert (1868 - 1938). Navrhl zobrazení v němž jsou póly zobrazeny úsečkami stejné délky jako základní poledník a současně poloviční délky obrazu rovníku. Přitom zobrazení navrhl jako ekvivalentní tak, že plošný obsah celého obrazu Země je stejný jako plocha zobrazované referenční koule o poloměru R. Odvození zobrazovacích rovnic je poměrně složité a proto jsou dále uvedeny pouze jejich konečné vztahy. Celé odvození je uvedeno například v [15]. Zobrazovací rovnice mají následující tvar: X Y = 2R ylx+2 2R U _ 2U ■ v cos — (9-13) . - - 7T + 2 . TT smU +U =-smU Rovnice zkreslení potom nabývají tvaru: 90 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie mp = 2cos —COS£ 2 cos 2í/' y/ft + 2cosU' m„/ = 7W„mr COS£ = 1 Aa> 1 rT^. - o m„ +m—2 (9-14) Acos U sec a sec x, kde 2V t-—tga n mr =-secřv cos a (9-18) tg Ao) 1 [ 2 2 — = —JmB+mr 2 2 2 , 2 o m„+m, —2 Ukázka Mollweidova zobrazení se základním poledníkem 0° je na obrázku (Obr. 9-5). Obr. 9-5 Mollweidovo zobrazení se základním poledníkem 0° V Mollweidově zobrazení se pól zobrazí jako bod. Ve velkých zeměpisných šířkách a v blízkosti krajních poledníků dochází ke značnému zkreslení. Tuto nevýhodu se pokusil řešit americký kartograf John Paul Goode, který uvedené zobrazení použil pro konstrukci mapy celé Země tak, že jím zobrazil pouze ucelené části povrchu, jednotlivé kontinenty nebo oceány. Jednotlivé části jsou spojené na rovníku (Obr. 9-6). Uvedenou úpravou jsou vyloučené části sítě s velkým zkreslením, avšak nezíská se souvislý obraz Země. Goodovu úpravu je možné aplikovat i na jiná nepravá válcová zobrazení. 92 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 9-6 Mollweidovo zobrazení v Goodově úpravě pro zobrazení oceánů (převzato z [9]) Poznámka: Obdobnou úpravu je možné provést i pro jiná nepravá válcová zobrazení, poměrně často jsou takto řešena různá Eckertova zobrazení. 9.2 Nepravá kuželová zobrazení Základní rovnice nepravých kuželových zobrazení v pólové poloze jsou vyjádřeny vztahy (9-19): P = f(U) £ = f(U,V) (9-19) Vzhledem k jejich tvaru je zřejmé, že obrazem rovnoběžek budou obdobně jako u jednoduchých kuželových zobrazení části kružnice se společným, pevným, středem. Poledníky však budou křivky různého druhu. Zákony zkreslení se odvodí aplikací rovnic pro výpočet Gaussových symbolů při užití polárních souřadnic uvedených v kapitole Zákony zkreslení. Vzhledem k zobrazovacím rovnicím( 9-19 ) budou mít rovnice pro výpočet těchto symbolů následující tvary: G = p: de de dU dV ^de^2 (9-20) H = -p dV, dp de dU dV Jednotlivá zkreslení je možné počítat stejnými rovnicemi jako u nepravých válcových zobrazení, tedy rovnicemi ( 9-3 ), ( 9-4 ), ( 9-5 ) a ( 9-6 ). Po dosazení tvarů uvedených Gaussových symbolů rovnice zkreslení budou: 93 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie i m. —- R fd£_ [dV m RcosU dp de p—-- R2cosU tg- AúJ 1 2^ m2p + m2 (9-21 ) (9-22) (9-23 ) (9-24) m Pi Obdobně jako u jednoduchých kuželových zobrazení se i zde volí jako základní konstrukční poledník poledník procházející středem zobrazovaného území, do jehož obrazu se vkládá osa X a od něhož jsou potom odečítány zeměpisné délky V. Počátek rovinného pravoúhlého systému souřadnic se volí v průsečíku tohoto poledníku a základní rovnoběžky procházející rovněž středem zobrazovaného území (Obr. 9-7). Transformace z polárních souřadnic na rovinné je opět stejná jako u jednoduchých kuželových zobrazení: kde X - Xv - p cos £ y - p sin £ (9-25 ) = RcotgUQ v Ps S>\p u Uo ladní poledník | N Y Obr. 9-7 Princip nepravého kuželového zobrazení 9.2.1 Bonneovo nepravé kuželové zobrazení Z nepravých kuželových zobrazení se v dřívější praxi uplatnilo zejména Bonneovo zobrazení (Rigobert Bonne, 1727 - 1795), kdy se používalo zejména pro mapy světadílů nebo větších 94 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie států a případně i pro topografické mapy (například Francie, Švýcarsko apod.). Zobrazení je definováno jako ekvidistantní v rovnoběžkách s nezkresleným základním poledníkem Vq. Vzhledem k tvaru rovnice pro p, která je stejná jako u jednoduchého ekvidistatntního kuželového zobrazení, bude první zobrazovací rovnice: p = p0-R{U-U0) (9-26) Druhá zobrazovací rovnice se odvodí z podmínky nezkreslených rovnoběžek. Pro konstantní hodnotu U bude tedy platit: tedy: Rovnice se integruje p de , mr =----= 1 RcosU dV ds^^^dV P \de = ^^\dV o P o a řešením integrálu se obdrží druhá zobrazovací rovnice ve tvaru: RcosU w 8 =-V P Derivací rovnic ( 7-12 ) a ( 9-27 ) podle U a V se získají výrazy: dp dU ■ = -R *=RV dU siní/ RcosU^ --+-;— v P P de _ RcosU dV~ p j Po dosazení do ( 9-21 ), ( 9-23 ) a ( 9-24 ) bude: mp =. i + y siní/ RcosU tg Aa _ 1 2 ~2 P 1 (9-27 ) (9-28 ) (9-29) (9-30) Z rovnice ( 9-29 ) je zřejmé, že Bonneovo zobrazení je současně zobrazením ekvivalentním. Ukázka zobrazení celého světa se základním poledníkem Vq=0° je na obrázku (Obr. 9-8). 95 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 9-8 Ukázka Bonneova zobrazení, základní rovnoběžka UQ = 60°, základní poledník Vo=0° Mezním případem Bonneova zobrazení pro Uq = 90° a po = 0 je zobrazení Werner-Stabovo (viz 9.3.1 ). 9.3 Nepravá azimutální zobrazení Mezi nepravá azimutální zobrazení se řadí zobrazení odvozená matematickou cestou, zobrazení vzniklá afinním promítání jednoduchých azimutálních zobrazení v rovníkové poloze nebo zobrazení vzniklá kombinací azimutálních zobrazení s válcovými či nepravými válcovými zobrazeními. U nepravých azimutálních zobrazení v pólové poloze se kromě základního poledníku přímkově zobrazuje i poledník odkloněný od něho o 90°. V obrazech těchto poledníků se zpravidla umisťují osy X a Y rovinné pravoúhlé sítě. Obecné zobrazovací rovnice a obecné tvary zákonů zkreslení jsou stejné jako u nepravých kuželových zobrazení (viz 9.2 ). Zobrazovací rovnice ( 9-19 ) musí být vždy formulovány tak, aby při libovolných hodnotách U zeměpisné délce V = +180° odpovídal úhel s = +180°. Pro transformaci polárních souřadnic pa f na pravoúhlé se použijí vztahy (viz též kapitola Referenční plochy a souřadnicové soustavy): X - pcoss ľ (9-31) y - p sin £ Obrazy rovnoběžek jsou i zde soustředné kružnice se společným středem, poledníky se zobrazují jako různé křivky, proto i zde nemohou tato zobrazení být definována jako konformní. Dále jsou uvedeny příklady nepravých azimutálních zobrazení. 9.3.1 Werner-Stabovo nepravé azimutální zobrazení Johannes Werner (1468 - 1522) roku 1514 odvodil nepravé azimutální zobrazení, které lze uvažovat jako mezní případ Bonneova zobrazení, v němž se obraz zemského pólu ztotožňuje 96 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie se středem rovnoběžkových kružnic (viz Obr. 9-9). V tomto případě pro t/0 = 90° bude p0 = 0 a rovnice: bude mít tvar: p = RZ (9-32) kdeZ= 90°- U. Dosazením uvedené rovnice do vztahu ( 9-27 ) se získá druhá zobrazovací rovnice: cost/ -V (9-33 ) Zákony zkreslení budou obdobné jako u Bonneova zobrazení s tím, že místo U bude uvažován zenitový úhel Z. Po dosazení za p výrazu ( 9-32 ) budou mít tedy rovnice zkreslení tvar: m =, 1 + V2 sinZ cos Z mr =mp[=l tg- Aú) 1 2 2 (9-34) (9-35 ) (9-36) Zobrazení je rovněž ekvivalentní a současně ekvidistantní v rovnoběžkách. Werner-Stabovo zobrazení prvně použil v roce 1517 Johan Stab, proto se jeho jméno objevuje v názvu zobrazení. Hojně se v 16. a 17 století používalo pro mapy kontinentů. Ukázka zobrazení celé planisféry je na obrázku (Obr. 9-9). Obr. 9-9 Werner - Stabeovo zobrazení celého světa Poznámka: Toto zobrazení bylo odvozeno dříve, než Bonneovo, kterým bylo později zpravidla nahrazeno. 97 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 9.3.2 Ginzburgovo zobrazení Dalším typem nepravého azimutálního zobrazení je zobrazení s oválnými ekvideformátami nazývané Ginzbugovo podle sovětského kartografa G.A.Ginzburga, nazývané také někdy zobrazení CNIIGAiK (Centralnyj naučnoisledovatelskij institut geodézii, aerofotosjomky i kartografii) podle instituce, kde Ginzburg pracoval. Zobrazovací rovnice mají následující tvar: p = 3R sin- (9-37) £ = V-C f z V V ^ max J sin2V kde: Zmax je největší hodnota Z v zobrazovaném území, C, q jsou parametry, jejichž volbou je ovlivňováno zakřivení obrazů poledníků. Zákony zkreslení mají potom následující rovnice: Z ■ cos—secT 3 3C Z tst--tg — sin2V Z 3 f mr =3 sin—cos ecZ 3 mpl - mpmr cos t 1-2C- -cos2y V (9-38 ) j tg- Aco 1 m2n + /;;,' _p-L_2 m Pi Ukázka zobrazení části povrchu Země je na obrázku (Obr. 9-10). Vzhledem k obecné poloze zobrazení musely být nejdříve zeměpisné souřadnice převedeny na kartografické a teprve poté byly použity zobrazovací rovnice ( 9-37 ). 98 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 9.3.3 Modifikovaná azimutálnf zobrazení Od druhé poloviny 19. století vznikla řada zobrazení, které mají původ v jednoduchých zobrazení v příčné poloze. U těchto zobrazení se základní poledních a rovník zobrazují jako přímky, ostatní poledníky a rovnoběžky jako křivky. Póly se zobrazují jako body nebo křivky. Zobrazení jsou navrhována tak, aby byla vhodná pro zobrazení celého světa na jedné mapě -tzv. planisféry. Zobrazení vzhledem ke svému charakteru nikdy nemohou být konformní, často jsou však ekvivalentní. 9.3.3.a Aitovovo nepravé azimutální zobrazení Ruský kartograf David A. Aitov (též Aitoff, 1889) sestrojil afinní průmět ekvidistantního azimutálního zobrazení v příčné poloze (Postelovo zobrazení) na rovinu r odkloněnou o 150° od roviny rovníku (o 60°od průmětny 7t) (viz Obr. 9-11). Rovník se v tomto zobrazení nezkresluje a obrysová kružnice (pro poledníky AV = +90°) se zobrazí jako obrysová elipsa celé Země (pro poledníky AV = +180°). Základní poledník se zobrazí v poloviční délce. Číslování poledníků se nemění. Rovinné pravoúhlé souřadnice Postelová zobrazení se upraví tak, že se souřadnice y vynásobí dvěma a současně se dvěma dělí zeměpisné délky. Zobrazovací rovnice potom získají tvar: ( TT ^1 x - yCarccos cos U cos- cos e v 2 y (9-39) ( AV^ jc = 27?arccos cosř/cos- sinf l 2 J Zobrazení tímto postupem ztrácí ekvidistantnost, na okrajích mapy však zmenšuje zkreslení. Ukázka zobrazení je na obrázku (Obr. 9-12). 99 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 9-11 Princip Aitovova zobrazení Obr. 9-12 Aitovovo zobrazení světa 9.3.3.b Hammerovo zobrazení Prof. Ernest H.H. Hammer užil téhož postupu jako Aitov pro zobrazení Lambertova jednoduchého ekvivalentního azimutálního zobrazení v rovníkové poloze. Zobrazení se po jeho autorovi nazývá Hammerovo nebo i Hammer-Aitovovo. Obrysová kružnice Lambertova zobrazení se transformuje do obrysové elipsy s poloosami: a = 2r4i b = R4l Poměr poloos a:b je možné označit písmenem h. Tento poměr lze měnit a tím lze upravovat průběh zkreslení. Pokud je tento poměr 2:1, potom i Hammerovo zobrazení je ekvivalentní. Obecné rovnice zobrazení jsou: 100 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 2R sin U + cosU cos AV cost/ sin AV rr AV 1 + cosc/ cos- (9-40) Ukázka zobrazení je na následujícím obrázku (Obr. 9-13) Obr. 9-13 Hammer - Aitovovo zobrazení světa 9.3.3.c Wagnerovo zobrazení Zobrazení vznikají transformací jednoduchého azimutálního ekvivalentního zobrazení v rovníkové poloze a vhodným přečíslováním nejen poledníků, ale i rovnoběžek. Tento postup uplatnil například Wagner. Z původního zobrazení vyňal určitou část a formálně ji přečísloval tak, aby vyjadřovala povrch celé Země. Vyňatou část poté zvětšil tak, aby měla stejnou plochu jako referenční koule. Dále ji afinně transformoval vynásobením všech souřadnic y a dělením všech souřadnic x vhodnou konstantou. Wagner vytvořil celou řadu variant tohoto zobrazení. Na následujícím obrázku (Obr. 9-14) je postup vzniku sítě Wagnerova zobrazení pro vyňaté území omezené poledníky V= +60° a rovnoběžky U = +65°. (Ti v 'f* ° 30° sj° jio ^\ ,H„. Obr. 9-14 Postup vzniku sítě Wagnerova zobrazení (převzato z [23]) Obrázek (Obr. 9-15) potom představuje zobrazení celé Země. 101 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 9.4 Polykónická zobrazení Polykónické zobrazení si lze představit jako zobrazování na nekonečný počet kuželů. Každá rovnoběžka je zobrazována na samostatný kužel, jenž je k referenční ploše v této rovnoběžce tečný. Podobně jako u jednoduchých kuželových zobrazení jsou i zde obrazy rovnoběžek kružnice. Každá kružnice má však samostatný střed ležící na obraze základního poledníku. Základní poledník se zobrazuje jako přímka, ve které je vložena osa x. Jako základní rovnoběžka se zpravidla volí rovnoběžka procházející středem zobrazovaného území, případně i jeho nejjižnější rovnoběžka (Obr. 9-16). x Vo' Ví V2 -- :;>:>< )0 N. V. /Ui \ Uo Xvo Xvi XV2 """" o Z) 5 rr základní poledník Obr. 9-16 Princip polykónických zobrazení Obecný tvar zobrazovacích rovnic odpovídá obecnému tvaru zobrazovacích rovnic nepravého kuželového zobrazení, tedy: P = f(U) £ = f(U,V) Pro převod polárních souřadnic do rovinných pravoúhlých se použijí vztahy ( 9-41 ) - viz i kapitola 1. 102 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie x- xv - pcose y - p sin e (9-41 ) V uvedených rovnicích nebude veličina xv konstantní, ale bude funkcí zeměpisné šířky zobrazované rovnoběžky. Lze tedy psát: Xv=f(u) (9-42) a tato rovnice je v podstatě třetí zobrazovací rovnicí. Pro definování jednotlivých druhů zkreslení je vhodné použít Gaussovy symboly ve tvaru pro polární souřadnicové systémy (viz odstavec 3.1 ). V tomto případě symboly po úparavách nabudou tvaru: 'dxv dpV fdxv . de*]2 —-cose—— + —-sme + p- du duj [du Hdu) defdxv . de'] F -p-— —JLsme + p— dv{du du de f dxv dp ~ H = p— —-cose—— dV^dU dU (9-43 ) (9-44) (9-45 ) (9-46) Jednotlivá zkreslení potom budou mít tvar: mp =■ ídxv dpY I —-cose—— I dUJ {dU fdxv . de\ + \ -^sme + p-— I dU J P R de_ dV P RcosU de ( dx (9-47) dv mpl =■ dp —cose—— dU dU RzcosU tg- Aa> m2p + /;;;' -2 m Pi Příkladem polykónického zobrazení je ekvidistantní polykónické zobrazení, v němž se nezkreslují rovnoběžky a současně není zkreslený základní poledník. Podle jeho autora, amerického kartografa Ferdinanda Rudolpha Hasslera (1770- 1843), který jej navrhl v roce 1820, je toto zobrazení známé i jako Hasslerovo nebo jednoduché americké, i když se samozřejmě o jednoduché zobrazení nejedná. Protože každá rovnoběžka není délkově zkreslená, první zobrazovací rovnice bude mít tvar (viz odstavec 1.2.1. kapitoly Jednoduchá kuželová zobrazení): p = RcotgU (9-48) 103 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Druhá zobrazovací rovnice bude odpovídat Bonneovu zobrazení, tady rovnici ( 9-27 ). RcosU -V P A po dosazení za p z rovnice ( 9-48 ) lze psát: e - V sin U (9-49 ) Třetí zobrazovací rovnice se odvodí z podmínky nezkresleného základního poledníku (viz. Obr. 9-16). Pro hodnotu Ui platí: xVi ^p.+Riu.-U,) Pro rovnoběžku U lze potom obecně psát: xv=p + R(U-U0) (9-50) Zákony zkreslení se odvodí z rovnic ( 9-43 ) až ( 9-47 ). Derivací zobrazovacích rovnic se obdrží: dU de_ dV __ dU sin2ř/ ^ = tf--^ = -Rcotg2U dU sin2 U = VcosU - siní/ R -R(l-cot g2U) Po dosazení do vztahů ( 9-47 ) nabudou zákony zkreslení tvary: mp =1 1 + 2 cotg U sin — J sec t, kde T - arctg £-sms 2sm2- + tg2U V 2 m =1 mpl =l + 2cot^2ř/sin2 — tg- Ao) 1 -2^ m2+m2 m Pi Ukázky polykónického zobrazení jsou na následujících obrázcích. (9-51) 104 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie / k/m »• "' íl 1 ' 4xÍ$X : -I ' Bl^^ 1 Sx$^^X\X Ví ' ■ ■ ■ ■ íilllílll • ' * ■( ■ / ; n Obr. 9-17 Polykónické zobrazení celého světa se základním poledníkem 15° Obr. 9-18 Polykónické zobrazení části Země, základní poledník 15°, základní rovnoběžka 50° 10. Gaussovo zobrazení Pro velkou část státních mapových děl států světa, včetně děl určených pro ozbrojené síly, je použito Gaussovo konformní válcové zobrazení nebo jeho varianty. Zobrazení je též často používáno pro vizualizaci digitálních informací o terénu stejně jako jsou v jeho souřadnicích prováděna měření v terénu nebo následné výpočty. Obecnou teorii konformního zobrazení referenčního plochy do roviny v příčné poloze odvodil na počátku 19. století Gauss (Carl Fridrich Gauss, 1775 - 1855) s cílem použít ji pro mapování Hannoverská (1820 - 1830). Teorii tohoto zobrazení však neuverejnil. Po jeho smrti ji podle zmínek v korespondenci uveřejnil v roce 1866 Schreiber v díle Teorie der Projektionsmethode der Hannoverschen Landesvermessung. Na počátku 20. století tuto teorii doplnil a upravil pro praktické použití pro zobrazení z referenčního elipsoidu Kriiger (L. 105 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Krüger, 1857 - 1923) v díle Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene, které doplnil i tabulkami a dalšími pomůckami pro praktické použití. Vzhledem k tomu je možné nalézt i označení tohoto zobrazení jako Gauss-Krügerovo nebo Gaussovo Krüger ovo. Mírně upravené zobrazení pomocí konstantního zkreslení, tzv. měřítkového faktoru (scale factor) se nazývá zobrazení UTM (Universal Transverse Mercator). Ve Velké Británii a Severním Irsku se pro toto zobrazení používá název Transverse Mercator Projection. Poznámka: Je nutné přesně rozlišovat mezi jednoduchým konformním válcovým zobrazením nazývaným Mercatorovo zobrazení a mezi Gaussovým zobrazením. Tato zobrazení nelze vzájemně zaměňovat. Zejména pň používání vestavěných programových nástrojů GIS k tomu však může dojít poměrně snadno, neboť nabízená zobrazení jsou zde často označována podle svých autorů nebo podle vžitých názvů. Gaussovo zobrazení bylo zavedeno jako zobrazení státního mapového díla v Německu od roku 1922 (v úpravě podle Krügera). Před druhou světovou válkou a v období po ní bylo toto zobrazení velice často použito jak pro státní mapová díla včetně děl určených pro potřeby ozbrojených sil (bývalý Sovětský svaz, Rakousko, státy pod vlivem bývalého Sovětského svazu, jako například Vietnam, apod.). V České republice se Gaussovo zobrazení začalo poprvé používat též po druhé světové válce při tvorbě prozatímních vojenských topografických map v systému S-1946, ve kterém byl použit Besselův elipsoid. V padesátých letech 20. století se zobrazení používalo jak pro potřeby armády, tak pro potřeby národního hospodářství. Pro armádní účely bylo použito v šestistupňových pásech, pro civilní účely v pásech třístupňových. V obou případech byl použit geodetický referenční systém S-1952 s Krasovského elipsoidem. Od sedmdesátých let se zobrazení používalo opět pouze pro potřeby armády a to v geodetickém referenčním systému S-1942, resp. S-1942/83, elipsoid byl opět Krasovského. Od počátku roku 2006 je původní Gaussovo zobrazení i pro potřeby obrany státu opuštěno a nahrazeno zobrazením UTM v geodetickém referenčním systému WGS84 s elipsoidem WGS84. Z hlediska praktického využití je předností Gaussovo zobrazení jeho koncepční jednotnost pro jakoukoliv část zemského povrchu a malé rovinné zkreslení. 10.1 Základní charakteristiky zobrazení Gaussovo zobrazení je matematicky definovaným konformním zobrazením referenčního elipsoidu přímo do roviny. K jeho pochopení je možné vyjít z přibližné geometrické představy postupného zobrazování plochy elipsoidu na „soustavu válců" v rovníkové poloze. Pokud je zobrazení použito pro mapy středních měřítek (zpravidla topografické mapy měřítek 1:25 000 až 1:1 000 000, potom se nejčastěji používá se šestistupňovými poledníkovými pásy, jimiž je povrch elipsoidu rozdělen na šedesát dílů. V případě, že je nebo bylo použito pro mapy větších měřítek, potom se zpravidla používají třístupňové poledníkové pásy. Poznámka: Pásy jsou často číslovány arabskými číslicemi počínaje od Greenwichského poledníku směrem na východ, případně od poledníku 180° opět východním směrem. Čísla pásů se potom používají i k identifikaci objektů jako součást jedné ze souřadnic (souřadnice y v S-1942) nebo jako součást lokalizačního kódu ve hlásném systému (MGRS). Každý poledníkový pás je samostatně zobrazen do roviny. Celá Země je tedy v případě šestistupňových pásů zobrazena na 60 pásech. Pásy mají rozsah zeměpisné šířky od 90° jižní zeměpisné šířky po 90°severní zeměpisné šířky. V některých modifikacích je tento rozsah upraven. Například v UTM se pásy zobrazují od 80° jižní zeměpisné šířky po 84° severní zeměpisné šířky. 106 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie V zobrazení se osový poledník (střední poledník pásu) a rovník zobrazují jako navzájem kolmé přímky. Ostatní poledníky a rovnoběžky se zobrazují jako křivky. Poledníky se zobrazují jako části sinusoid konkávne zakřivených a symetrických k osovému poledníku. Zakřivení poledníků je velice malé a lze jej stanovit podle přibližného vzorce ( 10-1 ): Ap-M cos

(l-ř2+772) (1(M6) / ( \q) = N sin ípcos3 p[5 -12 + 9?]2 + 4?]4) (1047) f( \q) = Ncos^ (p\$-m2 + t4 + I4rf -5%jft2) (10-18) / ( \q) = -N sin pcos5 {l -t2 +rf ) + Ncos5 ^(5-18ř2+ř4+1472 -5872í2) 720 A3 6 120 ( 10-21) 111 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie v nichž hodnoty zeměpisné délky jsou v obloukové míře (v radiánech). Poznámky: 1. Čtvrtý člen v zobrazovací rovnici ( 10-20 ) s Ä6 je již velmi malý, jeho vynecháním se největší chyba v souřadnici x pohybuje v intervalu +2 mm až -1 mm, na území ČR je do 0,5 mm. Tento člen se používá pouze pň vysokých požadavcích na přesnost výpočtů. 2. K praktickým výpočtům byly zpracovány různé tabulky, grafy, nomogramy, případně byly zobrazovací rovnice převáděny do jiných forem tak, aby bylo možné snadněji sestavovat výše uvedené pomůcky (viz například Storkán, F.: Tabulky pro nové mapy, SNTL Praha 1956, Kolektiv autorů: Tabulky k výpočtům v Gaussovo zobrazení, elipsoid Krasovského, USGK Praha 1965, Geodetické tabulky , MNO Praha 1979 ...). V současné době jsou rovnice zpravidla naprogramovány v různých programových systémech (geodetického nebo geoinformačního charakteru) nebo samostatně. 3. Uvedené vzorce plně vyhovují i nejvyšší požadované přesnosti výpočtů na území ČR v rozsahu jednoho poledníkového pásu. V případě vysoce přesných výpočtů zejména v oblastech blízkých rovníku a případně i ve větších úhlových vzdálenostech od osového poledníku, než ±3°, je nutné uvážit i další členy zobrazovacích rovnic (viz. např. [5]). 10.2.1 Zobrazovací rovnice UTM Zobrazení UTM se začalo používat v USA zejména pro potřeby armády v roce 1947. Postupně se rozšířilo jako jedno ze standardizovaných zobrazení pro topografické mapy a pro lokalizaci dat GIS v rámci NATO. Zobrazení se používá pro celou Zemi od 84° severní zeměpisné šířky po 80° jižní zeměpisné šířky, opět ve variantě 6° poledníkových pásů. Osy se zpravidla označují N a E (standardní označení v rámci NAFO, přičemž se souřadnice zpravidla uvádějí v pořadí E, N), někdy se mohou označovat stejně jako u Gaussovo zobrazení X, Y. UTM se používalo s různými elipsoidy. Například pro Severní Ameriku to byl původně Clarkův elipsoid 1866, pro Afriku Clarkův elipsoid 1880, pro Evropu a systém ED50 Hayfordův elipsoid. V současné době je nejčastěji používán elipsoid WGS84. Zobrazení se liší od původního Gaussovo zobrazení použitím měřítkového faktoru mQ = 0,9996, jímž jsou vynásobeny obě zobrazovací rovnice ( 10-20 ) a ( 10-21 ). V podstatě se jedná o totéž zobrazení s konstantně zkresleným osovým poledníkem. Zobrazovací rovnice tedy mají tvar: N = m A2 i \A4 Sp + Nel cos

+í7>) Ncos

A5= ^ Ar5 cos5 (p Hodnoty se opět dosadí do ( 10-21 ) a vypočte se hodnota A ve třetím, posledním přiblížení, přičemž se u páté mocniny y zanedbávají členy s if a if, jejichž hodnoty jsou zanedbatelné: 3 . 5 ---1-(l-t2+?]2)+-^-(5-2ř29ř4) (10-24) Ncos^ 6N3cos^ 120N5cos^ Zeměpisná šířka

^=T7-^--77t/- Nf cos kde Nei je opět příčný poloměr křivosti použitého elipsoidu. 10.4 Meridiánová konvergence Vzhledem k tomu, že většina souřadnicových výpočtů v Gaussově zobrazení používá rovinné pravoúhlé souřadnice, je poměrně často je nutné znát pro daný bod i hodnotu meridiánové konvergence y. Meridiánová konvergence je úhel mezi rovnoběžnou s osou X (N) a obrazem místního zeměpisného poledníku (viz Obr. 10-7). Její znalost je nutná při převodu směrníku na zeměpisný azimut a naopak. Podle obrázku (Obr. 10-8) platí: Obr. 10-7 Princip meridiánové konvergence o = a-y ( 10-37) Poznámka: Pň výpočtu hodnoty cje nutné uvážit i směrovou korekci geodetické čáry. 116 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 10-8 Vztah meridiánové konvergence, směrníku a zeměpisného azimutu Meridiánovou konvergenci je možné vypočítat z rovinných pravoúhlých nebo zeměpisných souřadnic. Při jejím výpočtu ze zeměpisných souřadnic lze vyjít z následujícího obrázku (Obr. 10-9), kde je v okolí bodu P' zobrazen jak element poledníku, tak i element rovnoběžky. Obr. 10-9 Odvození meridiánové konvergence ze zeměpisných souřadnic Poněvadž se jedná o konformní zobrazení, je možné konvergenci definovat i jako úhel mezi obrazem zeměpisné rovnoběžky a rovnoběžkou s osou Y. V tomto případě je odvození rovnice meridiánové konvergence snazší vzhledem ke tvaru zobrazovacích rovnic, protože hodnota cos3 cos2 #>(5 -12 + 9^2 + 4^4)— tgy=- N cos + N cos3 #>(l-í2 + ?72)— 1 + cos2 (p[l-t2 +r/2)— Po další úpravě se získá rovnice: A3 tgy- sin i MM i i I I ■ i i i i m>i l I I I i i II i 1 i i 1 1 M i i i i i 1 1 1 1 1 Délkové zkreslení Gaussova zobrazení 0 10 20 30 40 50 60 70 80 84 Obr. 10-12 Zobrazení ekvideformát délkového zkreslení Gaussova zobrazení (převzato z [23]) Obr. 10-13 Graf délkového zkreslení v Gaussově zobrazení 121 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 10.5.1 Zákony zkreslení v UTM V zobrazení UTM se délkové zkreslení ze zeměpisných souřadnic počítá podle vzorce: m — m, 1 + cos2 co(l + ?]2)— + cos4 co(5 - 4t2 )- ( 10-53) Je možné použít i zjednodušený tvar: f m— m, 1 + cos co 2 (10-54) Pro výpočet z rovinných pravoúhlých souřadnic se používá následující vzorec: m — m, 1 + - ■ + - v 2m2R2 2AmA0RA j (10-55) případně opět jeho zjednodušený tvar: f m —m, ,2 > 1 +-— v 2moR J ( 10-56) Průběh délkového zkreslení v rámci jednoho šestistupňového pásu je zřejmý z obrázku (viz.Obr. 10-15). Graf na následujícím obrázku (viz Obr. 10-16) opět znázorňuje závislost délkového zkreslení na zeměpisné šířce a hodnotě X. Na území ČR dosahuje délkové zkreslení hodnot -0.40 mim"1 uprostřed 3. poledníkového pásu (na poledníku X = 15°), na okrajích tohoto pásu kolem potom kolem 0,20 mim"1. 122 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 10-15 Zobrazení ekvideformát délkového Obr. 10-16 Graf délkového zkreslení v zobrazení UTM zkreslení zobrazení UTM (převzato z [23]) 10.6 Směrová a délková korekce geodetické čáry Při řešení geodetických a kartografických úloh v rovině je často potřeba znát průběh rovinného obrazu geodetické čáry, kterými jsou poledníky, rovník a všechny ostatní nejkratší spojnice dvou bodů na referenčním elipsoidu, tedy i stany trigonometrických sítí. Geodetické čáry se v rovině konformního zobrazení obecně zobrazují jako křivky, jejichž křivost se v každém bodě mění a lze ji vypočítat podle vztahu: 1 dm r = - m dT ( 10-57) kde m je délkové zkreslení a dm/dlJe změna zkreslení ve směru kolmém ke geodetické čáře. Poznámka: Je-li geodetická čára vedena kolmo k ekvideformátám, potom dm/ďT = 0 a proto její obraz bude přímka. Pokud je geodetická čára ve směru ekvideformát, potom změna zkreslení v kolmém směru bude maximální a tedy bude i její obraz maximálně zakřiven (viz obrázek Obr. 10-17). Obr. 10-17 Průběh geodetické čáry vzhledem k ekvideformátám Délkové zkreslení se mění v závislosti na poloze konkrétního bodu na dané geodetické čáře. Pro výpočty zejména v geodetické praxi je ale nutné znát především tvar geodetické čáry na jejím počátečním a koncovém bodě a délku jejího obrazu. Tyto vlastnosti lze určit pomocí výpočtů tzv. směrové a délkové korekce geodetické čáry. 123 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 10.6.1 Směrová korekce geodetické čáry Směrová korekce rovinného obrazu geodetické čáry je malý úhel, který svírá přímá spojnice jejích koncových bodů s tečnou k obrazu geodetické čáry v počátečním a koncovém bodě (viz. Obr. 10-18), Obr. 10-18 Směrová korekce geodetické čáry kde: ô\2, S2\ je směrová korekce geodetické čáry, 012, 012 je směrník geodetické čáry na referenční ploše, který se při konformním zobrazení nezkresluje, o 12 je směrník přímé spojnice koncových bodů geodetické čáry v zobrazovací rovině D\2 je délka přímé spojnice 5i2 je délka geodetické čáry v zobrazovací rovině. Podle obrázku lze obecně psát: S = o'-0 (10-58) Směrovou korekci je možno vypočítat z křivosti obrazu geodetické čáry a její délky. Pro bod P '\ budou platit následující vztahy: <5i=r1^.+r1'^_ ( 10-59) 4=(2r1 + r2)^ o kde: Y\ je křivost obrazu geodetické čáry na počátečním bodě, Y2 je křivost obrazu geodetické čáry na koncovém bodě, ( 10-60) ( 10-61) 124 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie JTi/3 je křivost obrazu geodetické čáry v její první třetině. Při výpočtech směrové korekce se ve všech rovnicích často nahrazuje délka S12 délkou přímé spojnice D\2 bez toho, aniž dojde k podstatnému vlivu na přesnost výpočtu korekce. Všechny tři vzorce plně svojí přesností vyhovují požadavkům na výpočet směrové korekce pro běžné geodetické práce. 10.6.1.a Směrová korekce geodetické čáry v Gaussově zobrazení Křivost obrazu geodetické čáry lze vyjádřit rovnicí ( 10-57 ). Pokud se za m dosadí z rovnice ( 10-50 ) a budou se uvažovat pouze první dva členy, bude: v 2/r dm dT Protože m je funkcí y a y je funkcí T, platí: dm _ dm dy dT dy dT ( 10-62) Z rovnice ( 10-52 ) bude: dm _ y dy R2 Podle obrázku (Obr. 10-18), kde zobrazen diferenciální úsek obrazu geodetické čáry v bodě P bude: -dy dT - sin(90° -o), z čehož dy dT - -COSťX Po dosazení do ( 10-57 ) se obdrží: y y r =---COSťXH---COSťX R2 2R4 ( 10-63) Druhý člen v rovnici ( 10-63 ) lze zanedbat a křivost obrazu geodetické čáry v obecném bodě lze vyjádřit jako: y r = —^coscr R2 ( 10-64) Je tedy možné vypočítat hodnoty i" v počátečním a koncovém bodě obrazu geodetické čáry: I\ =-^coscx12 R r2 = y2 ( 10-65) ( 10-66) R rcoscr21 Obraz geodetické čáry se zakřivuje velmi málo, proto je možné při výpočtu uvážit, že: °12 ÄťT 12ÄCr21 'X 125 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie a uvedené křivosti počítat T, =--^-COSťT'12 R2 r2 = --^-coscx-12 R (10-67) ( 10-68) Hodnota délka přímé spojnice koncových bodů a coscr'12 se vypočítá z jejich rovinných pravoúhlých souřadnic: Du = U2 - -^1 )2 + (^2 - Ji )2 COSťX l2- 12 lze po dosazení do ( 10-60 ) vypočítat směrovou korekci na počátečním bodě: ^12 = t~2 (xi ~ x2 )(23;i + y 2) 6R Obdobně by se určila směrová korekce na koncovém bodě ve tvaru: ^21 = —~7 (*2 ~ xi )(23;2 + y\) (10-69) (10-70) 6R kde hodnota i? je vztažena ke středu geodetické čáry. Vzorce ( 10-69 ) a ( 10-70 ) jsou vhodné pro použití při délce geodetických čar několik desítek kilometrů a jejich přesnost za uvedených podmínek je do ±0,001". Pokud by bylo nutné pracovat s delšími čarami, je nutné použít přesnější vzorce uvedené například v [22]. Směrovou korekci je nutné zavádět do výpočtů vždy se správným znaménkem daným vzorcem ( 10-58 ). Podle vztahu ( 10-59 ) je možné sestavit následující tabulku (Tabulka 10-2): Tabulka 10-2 Tabulka rozdílů souřadnic koncových bodů geodetické čáry a znaménka směrové korekce 2yi + y2 + - + -#12 + ^12 >< ď\2CJ\2 1 + ^12 ~S12 ď\2>CJ\2 ď\2 x",y", resp. N1,E1 —> (p,X —> N" ,E" Pro jednotlivé kroky se použijí vztahy ( 10-20 ), ( 10-21 ) a ( 10-33 ), ( 10-34 ) pro Gaussovo zobrazení a pro zobrazení UTM potom vztahy ( 10-23 ), ( 10-22 ) a ( 10-35 ), ( 10-36 ). Poznámka: Pň transformaci jednoho bodu do souřadnicového systému jiného pásu je nutné uvážit rychlý nárůst délkového zkreslení, což v důsledku může ovlivnit i přesnost výpočtů v rovinných souřadnicích. 11. Křovákovo zobrazení Po vzniku Československé republiky v roce 1918 byly budovány i nové geodetické a kartografické základy nového státního mapového díla, které se měly použít i pro katastrální účely. V roce 1922 navrhl Křovák (Josef Křovák 1884 až 1951) konformní kuželové zobrazení v obecné poloze jako součást geodetického referenčního systému jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK). Toto zobrazení se využívalo do roku 1938 a bylo znovu zavedeno po druhé světové válce. S výjimkou padesátých a šedesátých let 20. století se používá dodnes. Zobrazení bylo definováno s ohledem na protáhlý a mírně vůči zeměpisným rovnoběžkám stočený tvar území bývalé Československé republiky (včetně tzv. Zakarpatské Ukrajiny) tak, aby minimalizovalo na tomto území délkové zkreslení. Dnes je používáno pouze v České a Slovenské republice. V současné době jsou v tomto zobrazení vydávána státní mapová díla určená pro státní správu a samosprávu (viz Nařízení vlády ČR č.430/2006 - [17]). Jedná se zejména o Státní mapu v měřítku 1 : 5 000, Základní mapy ČR v měřítcích 1 : 10 000, 1 : 50 000, 1 : 100 000 nebo 1 : 200 000 a Mapu ČR v měřítku 1 : 500 000. V tomto zobrazení jsou také poskytována digitální data z databáze ZABAGED. 11.1 Základní charakteristiky zobrazení V dále uvedených vzorcích jsou použité původní symboly, které zavedl Křovák. Zejména pro rovinné polární souřadnice se používají symboly R, D' namísto p, e a pro poloměr referenční koule r namísto původního R. Křovákovo zobrazení je dvojité zobrazení, které je možné vyjádřit schématickým zápisem: (p, X —>U,V —> Š, D -^R, D' -> x,y Výchozí referenční plochou je Besselův elipsoid, který je nejprve konformně zobrazen na referenční kouli. Na ní jsou definovány kartografické souřadnice, pomocí kterých je povrch koule transformován do zobrazovací roviny konformním kuželovým zobrazením. Poslední fází je transformace z polárních rovinných souřadnic na pravoúhlé. V následujících odstavcích jsou popsány jednotlivé fáze. 130 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 11.2 Zobrazovací rovnice 11.2.1 Zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli V první fázi je Besselův elipsoid konformně zobrazen na referenční kouli s jednou nezkreslenou rovnoběžkou (po = 49°3(K, která probíhá přibližně středem území původní Československé republiky. Poloměr referenční koule je r = ^M0N0 K transformaci souřadnic jsou použity rovnice odvozené v kapitole 5: ae 9 , akoÍl-esin^A V = aA 1 + e sin (p j Konstanty zobrazení jsou: r = 6 380 703,6105 m yt = 1,00341 91640 a= 1,00059 7498372 Po transformaci odpovídá původní hodnotě (po nezkreslené rovnoběžky hodnota na referenční kouli UQ = 49°27'35",84625. 11.2.2 Transformace zeměpisných souřadnic na referenční kouli na kartografické souřadnice Na referenční kouli je definována souřadnicová soustava kartografických souřadnic Š, D. Tato soustava vyhovuje protáhlému a mírně stočenému tvaru původní republiky. Osu území tvoří základní kartografická rovnoběžka So, z jejíhož tvaru byla vypočítána poloha kartografického pólu K podle postupu uvedeném v odstavci 1.2.2.a . Na této kartografické rovnoběžce byl za nejvýchodnějším cípem republiky, který tvořil okraj tehdejší speciální mapy 1:75 000, zvolen bod A, jehož zeměpisné souřadnice jsou: ÍPA = 48°15' Aa = 42°30' východně Ferra (24°50' východně Greenwich). Tento bod má na referenční kuli souřadnice: £/A = 48°12/42/,,69689 Va = 42031'31/,,41725 Z polohy základní kartografické rovnoběžky byla vypočítána poloha kartografického pólu K. Pól leží na stejném poledníku jako bod A je od něho na sever o 11°30'. Jeho zeměpisné souřadnice na kouli jsou: t/ř=59°42'42/,,69689 Vř = 42031'31/,,41725 Základní kartografická rovnoběžka má hodnotu 5o = 78°30'. Celé území bývalého Československa leželo potom v úzkém pásu vymezeném dvěma kartografickými 131 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie rovnoběžkami v relativně malé vzdálenosti AŠ = 2°3ľ, což je asi 280 km. Uvedené hlavní prvky zobrazení dokumentuje obrázek (viz. Obr. 11-1). 10° 15° 20* 25' 30° Obr. 11-1 Základní prvky Křovákova zobrazení Zeměpisné souřadnice U, y j sou transformovány na kartografické souřadnice Š, D pomocí rovnic ( 1-24 ) a ( 1-25 ). Křovák jej pouze upravil zavedením zenitové vzdálenosti a (a = 90°- UK) kartografického pólu (viz Obr. 11-2). Ps Vt-v h~ a=90°-Ut 90°-U i im°-D K \v! ft \ j A Obr. 11-2 Transformace zeměpisných souřadnic na kartografické Upravené rovnice potom budou: sin Š - sint/ cos a + cos U sinacos(V - Vk) (11-1) sin D - SSl^L sm(y - yk) (H-2) cos S 132 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 11.2.3 Transformace do zobrazovací roviny Pro zobrazení referenční koule je použito jednoduché konformní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou, která se z důvodů zmenšení absolutní hodnoty zkreslení dodatečně zkresluje pomocí měřítkového faktoru mo = 0,9999. Pro výpočty se používají vztahy ( 7-31 ), ( 7-5 ), ( 7-34 ) a ( 7-15 ). Protože se však jedná o obecnou polohu zobrazení, mají zobrazovací rovnice a další vztahy následující tvary: R = R, tg ^ + 45° tg + 45° D' - nD j (H-3) (H-4) kde: RQ = m0rcotgS0 sin Šn (11-5) (11-6) Hodnota R0 = 1 298 039,0046 m a n = 0,97992 47046. Poznámka: Použitím měřítkového se zobrazení mění v zobrazení se dvěmi nezkreslenými kartografickými rovnoběžkami o hodnotách Št = 79°18'03" a Š2 = 77°40'50". 11.2.4 Převod rovinných polárních souřadnic na pravoúhlé Polární souřadnice R, D' jsou transformovány na rovinné pravoúhlé x, y v souřadné soustavě, kde osa Xje umístěna v obraze poledníku Ak a její počátek je v obraze kartografického pólu K. Kladný směr osy je na jih. Osa F je na ní kolmá a její kladná orientace je na západ. Polární souřadnice jsou transformovány podle vzorců: x = RcosD' (H-7) y = RúnD' (11-8) Celé území republiky potom leží v prvním kvadrantu (viz Obr. 11-3). 133 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Y v / / / /* l 1 Ir i i i i Ro Šo=78°30' i cn=49°30' ^""^Jäé -_-s& k-— VI.....V - ' - ■ a 'X Obr. 11-3 Poloha rovinného pravoúhlého systému v Křovákově zobrazení Obrazem kartografických poledníků jsou polopřímky vycházející z obrazu kartografického pólu, obrazem kartografických rovnoběžek jsou soustředné kružnice se středem opět v obraze kartografického pólu. Obrazem zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou složité křivky, které však na zobrazovaném území České a Slovenské republiky mohou být na mapách středních měřítek nahrazeny přímkami (poledníky) nebo soustřednými kružnicemi (rovnoběžky), jejichž zakřivení je téměř totožné se zakřivením obrazu rovnoběžek u Gaussova zobrazení. 11.3 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím se řeší postupně podle schématu (Kratochvíl: Polohové geodetické sítě, 2000): x, y -> R, D' -> Š, D -> U, V -> (p, X Nejprve se ze vztahů ( ll-7)a( 11-8 ) vypočítají polární souřadnice: O / 2^ 2 (11-9) R = *Jx +y (11-10) D' — arctg y Poté se s využitím vztahů ( 7-31 ) a ( 7-5 ) vypočítají kartografické souřadnice na referenční kouli: (11-11) (11-12) í f š } ^ + 45° níK 1 arctan tg -45° 2 V R L v J J D sinŠn Transformaci kartografických souřadnic na zeměpisné lze řešit pomocí vztahů ze sférické trigonometrie (viz. Obr. 11-2): 134 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie U - arcsin(cosa sin Š - sin a cos Š cos D) V - V, - arcsin ^cosŠ . ^ cost/ -sin D (11-13) (11-14) j Výpočet zeměpisné šířky je nutné provést v několika iteracích, protože argument co je na obou stranách rovnice. Jeden z možných postupů je následující: co^ - 2\ arctan tan — + 45° 2 1 - e sin U ■45c ^(0=2< arctan tan—+ 45° 1 r v ^2 1 - e sin co -45° (11-15) kde/= 1,2. a (11-16) Zpravidla po třetí iteraci ve vzorci ( 11-15 ) se získá dostatečně přesná hodnota zeměpisné šířky. Vypočítaná hodnota zeměpisné délky A je opět vztažena k poledníku Ferra. 11.4 Meridiánová konvergence Podle obrázku (Obr. 11-4) lze odvodit přesný vzorec pro výpočet meridiánové konveregence y ve tvaru: y = D'-v. (11-17) Za Z)'je možné dosadit z rovnice ( 11-10 ). Úhel v je možné vypočítat ze sférického trojúhelníku Ps, K, P (viz Obr. 11-2). Tento úhel se vzhledem k tomu, že se jedná o konformní zobrazení, nezkresluje. Potom: sin a . ^ sin a . / T,\ (11-18) sin v--sin D--- sin^ — V) cosU cos S Vzhledem k tomu, že sklon obrazu zeměpisných poledníků vůči základnímu poledníku Křovákova zobrazení se příliš neliší od sklonu obrazu poledníků vůči osovému poledníku šestistupňového pásu Gaussova zobrazení, je možné pro výpočet, kdy není nutná vysoká přesnost, použít i první dva členy ze vzorce ( 10-42 ) z kapitoly 10: y = smcoA (11-19) ovšem s tím, že A je odečítána od poledníku At = 42°30' východně Ferra. Konvergenci je možné vypočítat i z rovinných pravoúhlých souřadnic pomocí empirického vzorce: 135 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie y (11-20) / = 0,008255;y + 2,362 z x Souřadnice se dosazují v kilometrech a jeho přesnost je 2'. Na celém území bývalého Československa konvergence má pouze záporné znaménko. Protože tato skutečnost je obecně známá, hodnota se konvergence často uvádí bez znaménka. Na území ČR konvergence dosahuje hodnot od -4°33' na východě území do - 9°35'na jeho západě. y v 1 i / ! / i i /*_ / ^ l / / ar r i i i / / ! / i \ i v / ! t*~~~~-~±J l / 1 11 / i 1 ' 1 1 1 1 1 Obr. 11-4 Meridiánová konvergence Křovákova zobrazení 11.5 Zákony zkreslení V Křovákově zobrazení opět stačí vypočítat pouze délkové zkreslení m. Plošné zkreslení bude jeho kvadrátem a úhlové zkreslení je zde nulové. Délkové zkreslení vzniká jednak při zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli, jednak při zobrazení referenční koule do roviny. Zkreslení při zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli v rozsahu území bývalého Československa je v podstatě zanedbatelné a činí maximálně 0,07 mm.km"1 v absolutní hodnotě. V běžných výpočtech se neuvažuje. Při zobrazení referenční koule do zobrazovací roviny kuželového zobrazení má v případě Křovákova zobrazení tvar: m = -^— (11-21) r sin S Při odvozování Křovákova zobrazení byl požadavek takový, aby na celém území bývalého Československa dosahovalo délkové zkreslení v absolutní hodnotě maximálně 10 cm na 1 km. Tento požadavek se nepodařilo úplně splnit. Na základní kartografické rovnoběžce je zkreslení -10 cm.km"1, na severních a jižních výběžcích republiky je dosaženo hodnot 14 cm.km"1. Nezkreslené rovnoběžky jsou vzdálené od základní rovnoběžky 89 km na sever a 91 km na jih. Ekvideformáty jsou soustředné kružnice se středem v obraze kartografického pólu. 136 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Křovákovo zobrazení je vhodné pro území bývalého Československa, případně pro území ležící v úzkém pásu kolem základní kartografické rovnoběžky. Ve větší vzdálenosti od této rovnoběžky zkreslení velmi rychle narůstá (viz teorie kuželového zobrazení) a již ve vzdálenosti 20 km dosahuje jeho hodnota 0,5 mim"1. Proto je toto zobrazení pro jiná území nevhodné. 12. Používaná zobrazení v Armádě České republiky a v NATO Následující text pojednává o standardních zobrazeních používaných y Armádě České republiky (AČR) a v armádách Organizace atlantické smlouvy (NATO). Výchozí referenční plochou pro všechna zobrazení je elipsoid WGS84. Zobrazení většiny map středních měřítek je buďto UTM nebo UPS. Pro přehledné a letecké mapy je v souladu se standardy mezinárodní organizace pro civilní letectví (International Civil Aviation Organization - ICAO) používáno Lambertovo konformní kuželové zobrazení (Lambert Conformal Conic Projection - LCC) o dvou nezkreslených rovnoběžkách. Teoretické principy všech zobrazení byly uvedeny v příslušných předchozích kapitolách. V následujících odstavcích jsou proto pouze tato zobrazení upřesněna. 12.1 Zobrazení UTM Základní zobrazení používané v AČR je zobrazení UTM v geodetickém referenčním systému WGS84. Jeho podrobný popis je uveden v kapitole 10. Zobrazení UTM je používáno pro všechny topografické mapy, dále pro speciální (tematické) mapy, které mají podklad topografickou mapu, a pro většinu grafických výstupů z digitálních modelů území, které jsou v AČR používány. V tomto zobrazení (a v celém geodetickém referenčním systému) pracuje i většina systémů velení a řízení, pokud používají lokalizační data. Toto zobrazení je jedním ze standardních zobrazení používaných v rámci NATO. Je používáno pro stejné účely tak, jak je popsáno v předchozím textu. Zobrazení UTM se používá od 84° severní zeměpisné šířky (od 84°30' z důvodů překrytu se zobrazením UPS na severní polokouli) po 80° jižní zeměpisné šířky (po 80°30' opět z důvodů překrytu se zobrazením UPS na jižní polokouli). 72.2 Zobrazení UPS Pro polární oblasti kolem severního a jižního zeměpisného pólu je standardizované zobrazení konformní azimutální zobrazení s konstantním zkreslením na pólu. Toto zobrazení se nazývá Universal Polar Stereographic (UPS) a je používáno od 84° (od 83°30') do 90° severní zeměpisné šířky a od 80° (od 79°30') do 90° jižní zeměpisné šířky. Zobrazení se používá z elipsoidu WGS84. Zobrazovací rovnice vycházejí z teorie konformního azimutálního zobrazení popsaného v odstavci 8.4 modifikovaného ovšem na zobrazení z elipsoidu. Při jeho definici se použila verze konstantního délkového zkreslení na pólech v hodnotě m0 = 0,994, což odpovídá variantě jedné nezkreslené rovnoběžky s hodnotou (po = 81° 06' 52.3" severní nebo jižní zeměpisné šířky. Poznámka: Na severní polokouli tím dochází k situaci, že nezkreslená rovnoběžka je mimo zobrazované území [12]. 137 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Počátek rovinné souřadnicové soustavy je položen do obrazu severního (jižního) pólu a souřadnicové osy leží v obrazech poledníků 0° a 180° - osa ./V a 90°a 270° osa E, přičemž poloha osy ./V je na severní a jižní polokouli vzájemně otočená. K rovinným pravoúhlým souřadnicím jsou připočítávány konstanty o velikosti 2000 km tak, aby celé zobrazované území leželo v 1. kvadrantu. Tyto konstanty jsou označeny FN (Falše Northing) a FE (Falše Easting) (viz. Obr. 12-1 a Obr. 12-2). FA/ = 2000 km 1 = 180° 1 = 270 !»> = 81° 06' 52.3" A = 270 (3=80° f»> = 81° 06' 52.3" /l = 0° Á= 180° Obr. 12-1 Zobrazení UPS a poloha souřadnicových os Obr. 12-2 Zobrazení UPS a poloha souřadnicových os na severní polokouli na jižní polokouli 12.2.1 Zobrazovací rovnice zobrazení UPS Vzhledem k vysokým zeměpisným šířkám se v zobrazovacích rovnicích počítá se „zenitovou vzdáleností" z, která v tomto případě je však doplňkem izometrické šířky q do 90°. Její rovnice bude mít tvar: z »-2 1 + e sin (p 1 - e sin

. Zeměpisná délka se potom určí podle schématu: X — X', pokud jmenovatel ve zlomku je (12-10) kladný (12-11) pokud AE>0a/l'<0 X =7l + X', X = -71 + X' , ( 12-12) pokud AE <0 a X' > 0 V případě, že se pro výpočet použije funkce arctg se dvěma argumenty (čitatel i jmenovatel vstupují do výpočtu samostatně), potom X je přímo rovna X' v rozsahu <-7t, 7ľ>. Zeměpisná šířka

1 _ N2 cos (pfí>\ ( 12-21 ) ( 12-22) n0 cos X 0 cos q>0 sin X 0 Hodnoty cos (p\M + N— JA/ l{M + Hd) AA - (- sin Adx + cos Ady)/{N + Hel )cos

1 Add To Favorites Geographic Coordinate System Transformations Convert from: Europe\S-JTSK Using: |s_JTSK_To_WGS_19S4_1 Method: Position Vector- dx=570,000000 dy=05,700000 dz=462.B0OOO0 «=1,998000 ry=l,5B7000 rz=5.261000 s=3,560000 Obr. 14-2 Ukázka výběru přednastavené transformace (zde sedmiprvková podobnostní transformace) mezi různými geodetickými systémy v programu ArcGIS New Geographic Transformation New Geographic Transformation Source GCS: GCS_WGS_1984 Target G CS: Method — Europe\Pulkovo 1942 Adj 1983 New Geographic Transformation Name: Position Vector z. Parameters: Geocentric Translation Molodensky Abridqed Molodensky Coordinate Frame NADCON HARN Lonqitude Rotation Target GCS ■Method — Name: Obr. 14-3 Ukázka výběru vhodné metody transformace (zde sedmiprvková podobnostní transformace) mezi různými geodetickými systémy a způsobu zadávání jejích parametrů v programu ArcGIS Poznámka: Pro transformaci souřadnic mezi referenčními systémy jsou dostupné i jiné postupy, které nemusí být součástí žádného komplexního systému. V České republice je to například program MATKART [5]. 14.3 Volba zobrazení Nástroje GIS mají zpravidla opět vestavěnou širokou nabídku různých zobrazení a projekcí, ze kterých je možné si vybírat a zadávat nebo akceptovat předem dané jejich parametry (základní poledník, poloha nezkreslených rovnoběžek, apod.). Před volbou zobrazení je nutné mít zvolen odpovídající geodetický referenční systém. Příklad systému zadávání parametrů zobrazení je uveden na následujícím obrázku (viz. Obr. 14-4). 152 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Projected Coordinate System Properties General Jl_atnbert_CDnfo rrnal_Coriic Parameter Value |False_Northing 0,000000000000000000 |Central_Meridian 14,999999999999996000 |standard_Parallel_1 4-7,50 |standard_Parallel_2 58,999999999999993000 Scale_Factor 1.000000000000000000 I Latitude Of Griqin_ 0,000000000000000000 J Jnear Unit-Name: Meter -3 1 Meters per unit Geographic Coordinate System - Name: GCS_Sphere_EMEP Alias: Abbreviation: Remarks: AngularUnit: Degree (0,017453292519943299) Prime Meridian: Greenwich (0.000000000000000000) t -iJ Modify... 1 J. Obr. 14-4 Volba zobrazení a zadávání jeho parametrů v programu ArcGIS Konkrétní hodnoty parametrů zobrazení je nutné vypočítat předem na základě jeho požadovaných vlastností a polohy zobrazovaného území na Zemi. 74.4 Vizualizace matematických prvků Matematické prvky, zpravidla rám mapy s hodnotami zeměpisných nebo rovinných pravoúhlých souřadnic, síť poledníků a rovnoběžek nebo pravoúhlou síť ve zvoleném intervalu, různé druhy vyjádření měřítka mapy, výsledné editované mapy je možné též generovat pomocí vestavěných nástrojů. Pokud není nutné vytvářet vlastní grafický styl zobrazení, k editaci se opět používají vestavěné nástroje a systém průvodce. Příklad výsledné vizualizace matematických prvků je uveden na obrázku (viz. Obr. 14-5). 153 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 60=_ST_40*_30° 20° 10° F_20*_40° 50° 60=_70°_30=_30" 20* nr tr ir 2tř 3tr 4tr ar 1:30 000 000 1 csrtimeteequab 300 k ikxnetK Obr. 14-5 Příklad vizualizace matematických prvků mapy v programu ArcGIS. Poznámka - hodnoty měřítek odpovídají originálnímu zobrazení; na obrázku jsou jiné, dané zmenšením obrázku a slouží pouze pro ilustraci funkčnosti programu. 154 Literatura [I] ArcGIS 9.2, Environmental System Research Institute, Inc. 2007 [2] BÖHM, J.: Vyšší geodesie II, Souřadnicové soustavy, učební texty vysokých škol, České vysoké učení technické v Praze, SNTL Praha 1966, 186 s. [3] BANDROVA T.: Kartografija 1 (Kartni proekcii), UASG Sofia, 235 s. [4] BUCHAR, P.: Matematická kartografie 10, ČVUT Praha 2002 [5] ČECHUROVÁ, M., VEVERKA, B.: Software MATKART - současný stav a vývojové trendy, Kartografické listy, Ročenka k artografickej spoločnosti Slovenskej republiky, č. 15/2007, ISBN 80-89060-10-8, Bratislava 2007, s. 34-40 [6] DMA Technical Manual - The Universal Grids: Universal Transverse Mercator (UTM) and Universal Polar Stereographic (UPS), Edition 1, Defense Mapping Agency, Sign. DMATM 8358.2, September 1989 [7] EGELTOFT, T., STOIMENOV G.: Map Projections, Royal Institute of Technology, Department of Geodesy and Photogrammetry, Stockholm, Sweden, April 1997, ISSN 1400-3155, 83 s. [8] FIALA, F.: Matematická kartografie, SNTL Praha 1955, s. [9] HOJOVEC, V. a kol.: Kartografie, G KP Praha 1987, 660 s. [10] http://www.nga.mil/ [II] http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/map/ [12] http://en.wikipedia.org/ [13] KENNEDY, M., KOPP, S.: Understanding Map Projection, Publikace ESRI 200x [14] KRATOCHVÍL, V.: Polohové geodetické sítě, Aplikace metody nejmenších čtverců a transformace souřadnic, VA v Brně 2000, PČT S-464, 214 s. [15] KUSKA, F.: Matematická kartografia, SVTL, Edicia technickej literatury, Bratislava 1960, 475 s. [16] LEICK, A.: GPS satelite surveying, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc. 1995, ISBN 0-471-30626-6, 560 p. [17] Nařízení vlády ČR č. 430/2006 Sb. O stanovení geodetických systémů a státních mapových děl závazných na území státu a zásadách jejich používání [18] NOVÁK, V., MURDYCH, Z.: Kartografie a topografie, SPN Praha 1988, 320 s. [19] OLŠOVSKÝ, V.: Globálni systém určování polohy - GPS, úvod do studia, VA v Brně 1999, 176 s. [20] OPERATIONAL NAVIGATION CHARTS (ONC), MIL-O-89102 NOT 1, The National Geospatial-Intelligence Agency, 1995, revised 2004, http://www.nga.mil/ [21] PORTER, W., McDONNEL, Jr.: Introduction to map projections, Marcel Dekker, INC., 270 Madison Avenue, New York and Basel 1979, ISBN 0-8247-6830-2 [22] REKTORYS, K. a kol.: Přehled užité matematiky, 5. vydání, SNTL - nakladatelství technické literatury, Praha 1988, 1140 s. [23] SRNKA, E.: Matematická kartografie, VAAZ Brno 1986, 302 s. 155 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie [24] VESELÁ, I.: Systém vizualizace zkreslení vybraných zobrazení v prostředí ArcGIS 9.x, (bakalářská práce), Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, Geografický ústav Brno 2006, 50 s. [25] VYKUTIL, J.: Vyšší geodézie, Kartografie, Praha 1982, 544 s. 156 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Název: Autor: Vedoucí katedry: Rok vydání: Náklad: Počet stran: Vydavatel: Tiskne: Číslo zakázky: Číslo EP: Cena pro vnitřní potřebu: Základy matematické kartografie plk. doc. Ing. Václav TALHOFER, CSc. plk. doc. Ing. Václav TALHOFER, CSc. 2007 50 157, počet příloh: 0, počet obrázků: 122 Univerzita obrany Vydavatelská skupina UO Publikace neprošla jazykovou úpravou. 157