III. Tepelné fluktuace: lineární oscilátor KOTLÁŘSKÁ 14. BŘEZNA 2012 F4110 Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr 2011 - 2012 Úvodem • Podruhé bez Planckovy konstanty • Molekulární chaos: Fluktuace a stochastická dynamika • Dvě cesty: ª výpočet středních hodnot ª přímá simulace jednotlivých realizací náhodných procesů ª most: ergodické chování systému v termostatu • Hlavní formální prostředek dnes: Langevinova rovnice -- prototyp stochastických diferenciálních rovnic 3 Slide18 Poslední folie před týdnem – Kapplerův pokus torzní zrcátko 4 Slide18 Poslední folie před týdnem – Kapplerův pokus Ekvipartiční zákon ð torzní zrcátko 5 Ergodičnost Rovnovážné systémy jsou zvláštní. Jsou na konci cesty, všechna vnitřní napětí v systému se vyrovnají a nastane zdánlivý klid. Pod ním však kolotá věčný molekulární chaos. Jeho nahodilost se řídí přísnými zákony. Ať se děje co děje, globální rovnováha nakonec nesmí být porušena. 6 Bližší pohled na odvození z minulé přednášky 1.Zrcátko pokládáme za " N + 1" molekulu, která má také své Boltzmannovo rozdělení pravděpodobnosti 2.Použijeme ekvipartičního zákona na zobecněnou souřadnici (úhel ) 3.Je tu ovšem skrytá záměna středovacích procedur: [USEMAP] [USEMAP] 7 Bližší pohled na odvození z minulé přednášky 1.Zrcátko pokládáme za " N + 1" molekulu, která má také své Boltzmannovo rozdělení pravděpodobnosti 2.Použijeme ekvipartičního zákona na zobecněnou souřadnici (úhel ) 3.Je tu ovšem skrytá záměna středovacích procedur: [USEMAP] [USEMAP] rovnovážná střední hodnota, pomocí distribuční funkce 8 Bližší pohled na odvození z minulé přednášky 1.Zrcátko pokládáme za " N + 1" molekulu, která má také své Boltzmannovo rozdělení pravděpodobnosti 2.Použijeme ekvipartičního zákona na zobecněnou souřadnici (úhel ) 3.Je tu ovšem skrytá záměna středovacích procedur: [USEMAP] [USEMAP] t Kappler počítal časovou střední hodnotu rovnovážná střední hodnota, pomocí distribuční funkce 9 Bližší pohled na odvození z minulé přednášky 1.Zrcátko pokládáme za " N + 1" molekulu, která má také své Boltzmannovo rozdělení pravděpodobnosti 2.Použijeme ekvipartičního zákona na zobecněnou souřadnici (úhel ) 3.Je tu ovšem skrytá záměna středovacích procedur: [USEMAP] [USEMAP] t ERGODICKÝ PŘEDPOKLAD Kappler počítal časovou střední hodnotu rovnovážná střední hodnota, pomocí distribuční funkce 10 Bližší pohled na odvození z minulé přednášky 1.Zrcátko pokládáme za " N + 1" molekulu, která má také své Boltzmannovo rozdělení pravděpodobnosti 2.Použijeme ekvipartičního zákona na zobecněnou souřadnici (úhel ) 3.Je tu ovšem skrytá záměna středovacích procedur: [USEMAP] [USEMAP] t ERGODICKÝ PŘEDPOKLAD Kappler počítal časovou střední hodnotu rovnovážná střední hodnota, pomocí distribuční funkce 11 Bližší pohled na odvození z minulé přednášky 1.Zrcátko pokládáme za " N + 1" molekulu, která má také své Boltzmannovo rozdělení pravděpodobnosti 2.Použijeme ekvipartičního zákona na zobecněnou souřadnici (úhel ) 3.Je tu ovšem skrytá záměna středovacích procedur: [USEMAP] [USEMAP] t ERGODICKÝ PŘEDPOKLAD Kappler počítal časovou střední hodnotu rovnovážná střední hodnota, pomocí distribuční funkce 12 Bližší pohled na odvození z minulé přednášky 1.Zrcátko pokládáme za " N + 1" molekulu, která má také své Boltzmannovo rozdělení pravděpodobnosti 2.Použijeme ekvipartičního zákona na zobecněnou souřadnici (úhel ) 3.Je tu ovšem skrytá záměna středovacích procedur: [USEMAP] [USEMAP] t ERGODICKÝ PŘEDPOKLAD Kappler počítal časovou střední hodnotu rovnovážná střední hodnota, pomocí distribuční funkce 13 Ergodičnost a molekulární chaos 1.Zrcátko pokládáme za " N + 1" molekulu, která má také své Boltzmannovo rozdělení pravděpodobnosti 2.Použijeme ekvipartičního zákona na zobecněnou souřadnici (úhel ) 3.Je tu ovšem skrytá záměna středovacích procedur: [USEMAP] [USEMAP] t ERGODICKÁ VĚTA Kappler počítal časovou střední hodnotu rovnovážná, pomocí distribučnífunkce • Molekulární chaos mění každý dynamický proces na stochastický • Při opakování vznikají náhodné realisace procesu • Nejčastěji se objeví "typické" realisace • Pro ně systém bloudí všemi hodnotami uvažované dynamické veličiny a to tak, že u různých hodnot pobývá zhruba podle ter mické rozdělovací funkce • Z chaotického chování se tak vynořuje pravidelnost ČASOVÉ STŘEDNÍ HODNOTY º TERMICKÉ STŘEDNÍ HODNOTY 14 Tlak v plynu a jeho fluktuace V elementární kinetické teorii se odvozuje výraz pro tlak plynu, který vede ke stavové rovnici. Na malou plošku působí tlaková síla, která však kolísá – podléhá fluktuacím. Ta bude hnací silou pro chaotický pohyb mesoskopických objektů. 15 Tři příklady mesoskopických systémů globální stupně volnosti • translační mohou být exaktně odděleny od vnitřních SV • rotační 1)Brownova částice volný translační (+ volný rotační) pohyb 2) 2) 2) 2) 2)pérové váhy mezipřípad: translační pohyb s vratnou silou 3) 3) 3) 3) 3)Kapplerovo zrcátko těžiště pevné, rotace okolo osy s vratnou silou 16 Naše volba pro konkrétnost představy globální stupně volnosti • translační mohou být exaktně odděleny od vnitřních SV • rotační 1)Brownova částice volný translační (+ volný rotační) pohyb 2) 2) 2) 2) 2)pérové váhy mezipřípad: translační pohyb s vratnou silou 3) 3) 3) 3) 3)Kapplerovo zrcátko těžiště pevné, rotace okolo osy s vratnou silou 17 Naše volba pro konkrétnost představy globální stupně volnosti • translační mohou být exaktně odděleny od vnitřních SV • rotační 1)Brownova částice volný translační pohyb v jedné dimensi 2) 2) 2) 2) 2)pérové váhy mezipřípad: translační pohyb s vratnou silou 3) 3) 3) 3) 3)Kapplerovo zrcátko těžiště pevné, rotace okolo osy s vratnou silou 18 Naše volba pro konkrétnost představy globální stupně volnosti • translační mohou být exaktně odděleny od vnitřních SV • rotační 1)Brownova částice volný translační pohyb v jedné dimensi 2) 2) 2) 2) 2)pérové váhy mezipřípad: translační pohyb s vratnou silou 3) 3) 3) 3) 3)Kapplerovo zrcátko těžiště pevné, rotace okolo osy s vratnou silou 19 Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu Odhady pro destičku 1mm x 1mm Vzduch za normálních podmínek 1atm, 0 C obdobně s druhé strany krátké silové impulsy Síla na stojící destičku Impuls síly za dobu makroskopicky krátkou, pro molekuly dlouhou 20 Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu Odhady pro destičku 1mm x 1mm Vzduch za normálních podmínek 1atm, 0 C obdobně s druhé strany krátké silové impulsy Síla na stojící destičku Impuls síly za dobu makroskopicky krátkou, pro molekuly dlouhou n = 2.69´1025 mezimol. vzdálenost= 3.3 nm nárazů za sec.= 1.30´1022 v = 493 m/s dusík v = 461 m/s kyslík 21 Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu Odhady pro destičku 1mm x 1mm Vzduch za normálních podmínek 1atm, 0 C obdobně s druhé strany krátké silové impulsy Síla na stojící destičku Impuls síly za dobu makroskopicky krátkou, pro molekuly dlouhou n = 2.69´1025 mezimol. vzdálenost= 3.3 nm nárazů za sec.= 1.30´1022 v = 493 m/s dusík v = 461 m/s kyslík ~ 1016 nárazů/ms 22 Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu Odhady pro destičku 1mm x 1mm Vzduch za normálních podmínek 1atm, 0 C obdobně s druhé strany krátké silové impulsy Síla na stojící destičku n = 2.69´1025 mezimol. vzdálenost= 3.3 nm nárazů za sec.= 1.30´1022 v = 493 m/s dusík v = 461 m/s kyslík ~ 1016 nárazů/ms Impuls síly za dobu makroskopicky krátkou, pro molekuly dlouhou 23 Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu Odhady pro destičku 1mm x 1mm Vzduch za normálních podmínek 1atm, 0 C obdobně s druhé strany krátké silové impulsy Síla na stojící destičku n = 2.69´1025 mezimol. vzdálenost= 3.3 nm nárazů za sec.= 1.30´1022 v = 493 m/s dusík v = 461 m/s kyslík ~ 1016 nárazů/ms Impuls síly za dobu makroskopicky krátkou, pro molekuly dlouhou KONTROLA 24 Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu Odhady pro destičku 1mm x 1mm Vzduch za normálních podmínek 1atm, 0 C obdobně s druhé strany krátké silové impulsy Síla na stojící destičku Střední síla na stojící destičku n = 2.69´1025 mezimol. vzdálenost= 3.3 nm nárazů za sec.= 1.30´1022 v = 493 m/s dusík v = 461 m/s kyslík ~ 1016 nárazů/ms Impuls síly za dobu makroskopicky krátkou, pro molekuly dlouhou 25 Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu Střední síla na pomalu se pohybující destičku v u brzdná síla [USEMAP] 26 Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu Střední síla na pomalu se pohybující destičku v u brzdná síla [USEMAP] 27 Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu v u Objevila se disipativní síla úměrná rychlosti !! Je to důsledek molekulárního chaosu (termostat nereaguje na pohyb systému) [USEMAP] Střední síla na pomalu se pohybující destičku brzdná síla 28 Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu v u Objevila se disipativní síla úměrná rychlosti !! Je to důsledek molekulárního chaosu (termostat nereaguje na pohyb systému) Náhodná složka síly [USEMAP] nulová střední síla bodová korelační funkce (bílý šum) PROČ Střední síla na pomalu se pohybující destičku brzdná síla 29 Langevinova rovnice Jednoduchá myšlenka: Na mesoskopickou částici působí fluktuující síla ze strany molekul termostatu. Pro chaotický pohyb mesoskopických částic můžeme napsat pohybovou rovnici. Vypadá jako mikroskopická, ale není – náhodná Langevinova síla je zavedena fenomenologicky. 30 Langevinova rovnice Paul Langevin (1872 -- 1946) langevin6 1907 navrhl pohybovou rovnici pro částici propojenou s termostatem tření vtištěná síla (nenáhodná) NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA 31 Langevinova rovnice Paul Langevin (1872 -- 1946) langevin6 1907 navrhl pohybovou rovnici pro částici propojenou s termostatem tření vtištěná síla (nenáhodná) NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA Náhodná síla spolu s třením odrážejí účinek termostatu na systém 32 Langevinova rovnice Paul Langevin (1872 -- 1946) langevin6 1907 navrhl pohybovou rovnici pro částici propojenou s termostatem tření působící síla (nenáhodná) NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA Náhodná síla spolu s třením odrážejí účinek termostatu na systém DVĚ ZÁKLADNÍ STRATEGIE provedeme pro středování … LR jako stochastická DR 1D Brownovu částici simulace … řešení LR pro konkrétní lineární oscilátor realizaci Langevinovy síly „pérové váhy“ jako náhodného procesu simulace Kapplerových dat 33 Langevinova rovnice I. Původně použita na volnou Brownovu částici. Významné pokroky v pochopení. Difusní řešení je správné v limitě dlouhých časů. Pro krátké časy se projeví inerciální efekty 34 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici tření NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA 35 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici tření působící síla=0 (volná částice) Kdyby dostaneme NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA 36 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici tření působící síla=0 (volná částice) Kdyby dostaneme NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA 37 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici tření působící síla=0 (volná částice) Kdyby dostaneme ustálený stav ´ ´ NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA 38 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici tření působící síla=0 (volná částice) Kdyby dostaneme NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA 39 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici tření působící síla=0 (volná částice) Kdyby dostaneme NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA 40 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici tření působící síla=0 (volná částice) Kdyby dostaneme dělíme m NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA 41 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici tření dělíme m Původní Langevinův postup NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA 42 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Původní Langevinův postup Œ Středovat … ale co 43 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Původní Langevinův postup Œ Středovat … ale co � Použít ekvipartičního teorému Ž Zbavit se náhodné síly !!! 44 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Původní Langevinův postup Œ Středovat … ale co � Použít ekvipartičního teorému Ž Zbavit se náhodné síly !!! 45 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Původní Langevinův postup Œ Středovat … ale co � Použít ekvipartičního teorému Ž Zbavit se náhodné síly !!! 46 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici � Výsledná LODR 1. řádu (nenáhodná) Pokračování � Počáteční podmínka � Obecné řešení LODR 1. řádu partikulární řešení + obecné řešení homogenní rovnice 47 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici � Výsledná LODR 1. řádu (nenáhodná) Pokračování � Počáteční podmínka � Obecné řešení LODR 1. řádu partikulární řešení + obecné řešení homogenní rovnice 48 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici � Výsledná LODR 1. řádu (nenáhodná) Pokračování � Počáteční podmínka � Obecné řešení LODR 1. řádu partikulární řešení + obecné řešení homogenní rovnice ‘ Poslední integrace Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici VÝSLEDEK Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici VÝSLEDEK difusní limita Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici 52 ª Pro ª Pro Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici 53 ª Pro ª Pro Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici 54 ª Pro ª Pro Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici 55 ª Pro ª Pro Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici 56 ª Pro ª Pro ª Pro Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici 57 ª Pro ª Pro ª Pro Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici 58 ª Pro ª Pro ª Pro 59 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici myBrown difusní aproximace balistická limita úplné řešení Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici myBrown difusní aproximace balistická limita úplné řešení Balistický rozlet je zpočátku pomalejší, pak ovšem roste kvadraticky i nadále a od je už mnohem rychlejší. Crossover u t odpovídá první srážce 61 Langevinova rovnice II. Pro lineární oscilátor je řešení pomocí středovacích procedur také možné. My se soustředíme na přímou simulaci, abychom napodobili Kapplerovy časové průběhy. 62 Langevinova rovnice pro lineární oscilátor tření vratná síla NÁHODNÁ SÍLA Náhodná síla spolu s třením odrážejí účinek termostatu na systém tlumený lineární oscilátor parametry empiricky dostupné hnán vtištěnou silou síla náhodná, Gaussovský bílý šum středování středovaný pohyb je za chvíli utlumen 63 Langevinova rovnice pro lineární oscilátor – řešení LODR 2. řádu s pravou stranou obecné řešení= obecné ř. homog. rovnice+ partikulární řešení nehomog. rovnice sekulární rovnice kritická hodnota podtlumené kmity přetlumené kmity 64 Kořeny charakteristické rovnice roo1 bezrozměrný parametr asymptoty 65 Langevinova rovnice – Greenova funkce pulsní excitace partikulární řešení nehomog. rovnice hledáme pomocí Greenovy funkce 66 Langevinova rovnice – Greenova funkce partikulární řešení nehomog. rovnice hledáme pomocí Greenovy funkce akustická měření Greenovy funkce podle definice s kladívkem 67 Langevinova rovnice – Greenova funkce PAK pulsní excitace partikulární řešení nehomog. rovnice hledáme pomocí Greenovy funkce 68 Langevinova rovnice – Greenova funkce partikulární řešení nehomog. rovnice hledáme pomocí Greenovy funkce PAK Ověření: Definujeme Symbolicky 69 Langevinova rovnice – stanovení Greenovy funkce hledáme Greenovu funkci A kausalita B C okrajové podmínky (sešití při rovných časech) dostaneme integrací po malém okolí bodu t = t´ ü ü ü 70 Langevinova rovnice – odvození sešívacích podmínek hledáme Greenovu funkci A kausalita B C okrajové podmínky (sešití při rovných časech) dostaneme integrací po malém okolí bodu t = t´ 71 Langevinova rovnice – odvození sešívacích podmínek hledáme Greenovu funkci A kausalita B okrajové podmínky (sešití při rovných časech) dostaneme integrací po malém okolí bodu t = t´ C 72 Langevinova rovnice – stanovení Greenovy funkce hledáme Greenovu funkci A kausalita B C okrajové podmínky (sešití při rovných časech) dostaneme integrací po malém okolí bodu t = t´ ü ü ü 73 Langevinova rovnice – ukázka Greenovy funkce 74 Langevinova rovnice – náhodná síla Velikost náhodné síly [USEMAP] konvenční, ale matoucí označení 75 Langevinova rovnice – náhodná síla Velikost náhodné síly [USEMAP] naše konvenční označení 76 Langevinova rovnice – náhodná síla Velikost náhodné síly [USEMAP] ??? 77 Langevinova rovnice – náhodná síla Velikost náhodné síly Musíme se opřít o ekvipartiční teorém [USEMAP] ??? 78 Langevinova rovnice – náhodná síla Velikost náhodné síly Musíme se opřít o ekvipartiční teorém [USEMAP] ??? 79 Langevinova rovnice – náhodná síla Velikost náhodné síly Musíme se opřít o ekvipartiční teorém [USEMAP] ??? Výsledek připomíná Einsteinův vztah nezávisí na . 80 Langevinova rovnice – náhodná síla Velikost náhodné síly Musíme se opřít o ekvipartiční teorém [USEMAP] ??? Výsledek připomíná Einsteinův vztah nezávisí na . stejný jako pro volnou Brownovu částici 81 Shrnutí: výsledné formální řešení formální řešení 82 Shrnutí: výsledné formální řešení formální řešení 83 Shrnutí: výsledné formální řešení formální řešení 84 Shrnutí: výsledné formální řešení formální řešení 85 Numerická integrace formální řešení 86 Numerická integrace formální řešení rovnoměrné dělení intervalu času 87 Numerická integrace formální řešení rovnoměrné dělení intervalu času aproximace – věta o stř. hodnotě (Greenova funkce je plavná) 88 Numerická integrace formální řešení rovnoměrné dělení intervalu času aproximace – věta o stř. hodnotě (Greenova funkce je plavná) diskretizovaný tvar vhodný pro výpočet … rychlejší přímé num. řešení diferenciální rovnice 89 Numerická integrace diskrétní Gaussův náhodný proces 90 Numerická integrace diskrétní Gaussův náhodný proces rozdělení pravděpodobnosti 91 Numerická integrace diskrétní Gaussův náhodný proces rozdělení pravděpodobnosti 92 Numerická integrace diskrétní Gaussův náhodný proces rozdělení pravděpodobnosti pseudonáhodná čísla 93 Ukázka Kapplerových měření 94 Ukázka Kapplerových měření vysoký tlak, přetlumený oscilátor snížený tlak, podtlumený oscilátor 95 figLarge čas 2500 bodů rozmazáno s oknem 96 figSmall čas 2500 bodů rozmazáno s oknem The end 98 Systematický popis termických fluktuací termické fluktuace || kvantové fluktuace současnost MAKROSKOPICKÁ APARATURA S T termostat makroskopický " nekonečný " . . mnoho nezávislých vnitřních stupňů volnosti systém mesoskopický interakce T -- S měřicí blok není součástí systému ´ "silné slabé" « molekulární chaos mikroskopické globální stupně volnosti 99 Termostat z ideálního plynu obecný tvar hamiltoniánu pro (téměř) ideální plyn srážky vedou k chaotisaci podmínky pro dobrý termostat z ideálního plynu doba chaotisace (srážková doba) doba termalisace (relaxační doba) charakteristická doba systému TERMOSTAT: definuje a fixuje teplotu je robustní, nedá se vychýlit je rychlý při návratu do rovnováhy S termostatem pracujeme tak, jakoby po dobu zkoumaného procesu setrval v rovnováze [USEMAP] 100 Dynamický systém v rovnováze s termostatem Naše malé systémy si můžeme myslet jako "N + 1" molekulu, trochu sice větší, ale jinak zapadající do Boltzmannovy konstrukce kinetické teorie Předpokládáme totiž Škrtnutý člen vyvolá nevratnou dynamiku. Jsou dvě cesty: • Počítáme střední hodnoty s rozdělovací funkcí • Tímto vnucením rovnováhy jsme rovnocenně dosáhli nevratnosti. • Začneme dynamické výpočty pro systém S pod dynamickým vlivem T. To je možné např. za použití Langevinovy rovnice ( … Příště) ´ "N + 1" molekul [USEMAP] 101 Ekvipartiční teorém Ekvipartiční teorém je obecně platný za následujících předpokladů: • Systém je klasický ( fatálně důležité … viz Planckova funkce) • Uvažovaný stupeň volnosti (p nebo q) vystupuje v celkovém hamiltoniánu jen jako aditivní kvadratická funkce, typicky Pak [USEMAP] Tento výsledek pokrývá mimo jiné Kapplerovský výpočet. Na kinetické energii vůbec nezáleží, ani na rozdílném dynamickém chování pro různé podmínky (tla vzduchu v "termostatu")